向量的分解与向量的坐标运算

课 时
则(10，－5)＝λ(3,2)＋μ(－2,2)
栏 ＝(3λ，2λ)＋(－2μ，2μ)＝(3λ－2μ，2λ＋2μ)．
目
开 关
∴1－0＝ 5＝3λ2－λ＋2μ2μ
λ＝1 ，解得μ＝－72
，∴a＝b－72c.
研一研·问题探究、课堂更高效
2.2.2
例 3 已知▱ABCD 的顶点 A(－1，－2)，B(3，－1)，C(5,6)，
小结 待定系数法是最基本的数学方法之一，它的实质是先
将未知量设出来，再利用方程或方程组求解，把一个向量用
其他两个向量表示，这是常用方法．
研一研·问题探究、课堂更高效
2.2.2
跟踪训练 2 已知 a＝(10，－5)，b＝(3,2)，c＝(－2,2)，试用 b，
c 表示 a.
本 解 设 a＝λb＋μc (λ，μ∈R)．
目
开
关
2.2.2
研一研·问题探究、课堂更高效
2.2.2
[典型例题]
例1 已知平面上三点A(2，－4)，B(0,6)，C(－8,10)，求：
(1)A→B－A→C；(2)A→B＋2B→C；(3)B→C－12A→C.
解 ∵A(2，－4)，B(0,6)，C(－8,10)．
本 课
∴A→B＝(0,6)－(2，－4)＝(－2,10)，
2.2.2
例 2 已知 a＝(－2,3)，b＝(3,1)，c＝(10，－4)，试用 a，b 表
示 c.
解 设 c＝xa＋yb，
本 则(10，－4)＝x(－2,3)＋y(3,1)
课 时
＝(－2x＋3y,3x＋y)，
栏 目 开
∴1－0＝ 4＝－32x＋x＋y，3y，
关
解得 x＝－2，y＝2，∴c＝－2a＋2b.

向量减法
若向量a=(x1,y1)，b=(x2,y2)， 则向量a减去向量b的结果为
(x1-x2,y1-y2)。
向量的模长与夹角
向量的模长
向量a的模长记作|a|，定义为√(x^2+y^2)。
向量的夹角
若向量a=(x1,y1)，b=(x2,y2)，则向量a和b之间的夹角θ满足cosθ=a·b/|a||b|，其中"·"表示向量的点乘运 算。
向量在几何中的应用
描述点与点之间的位置关系
通过向量表示，可以清晰地描述点与点之间的 位置关系，如距离、角度等。
描述运动和变化
向量可以表示物体的运动和变化，如速度、加 速度等。
描述力
向量可以表示力的大小和方向，用于分析力的合成与分解。
向量在物理中的应用
描述速度和加速度
向量可以表示物体在直线运动中的速度和加速度。
2023
向量的正交分解和坐 标表示向量的坐标运 算
https://
REPORTING
2023
目录
• 向量的正交分解 • 向量的坐标表示 • 坐标表示向量的运算 • 向量的正交分解与坐标表示的应用
2023
PART 01
向量的正交分解
REPORTING
正交分解的定义
01
正交基底
在二维平面中，选取两个不共线的非零向量e1和e2作为基底，任何向量a都可以 表示为e1和e2的线性组合，即a=xe1+ye2。
向量的坐标运算
向量加法
若向量a=(x1,y1)，b=(x2,y2)， 则向量a和b的加法运算结果
为(x1+x2,y1+y2)。
向量数乘
实数k与向量a的数乘运算结果 为(kx,ky)。

第28讲-向量的分解与向量的坐标运算(解析版)向量的分解与向量的坐标运算向量是线性代数中的重要概念，具有方向和大小的特点，可以表示物理量，也可以用于计算和解决各种数学问题。

本文将介绍向量的分解和向量的坐标运算，帮助读者更好地理解和应用向量。

一、向量的分解在空间中，一个向量可以分解成两个或三个互相垂直的分量，分别与坐标轴平行。

这种分解使得计算和研究向量更加方便。

下面以二维向量为例，介绍向量的分解方法。

设有一个向量a，它与坐标轴的夹角为a，长度为a。

将a的终点与a轴和a轴的交点分别连接，得到两个垂直于坐标轴的线段，分别为a·aaaa和a·aaaa。

这两个线段就是向量a在a轴和a轴上的分量。

根据三角函数的性质，可以得到以下计算向量分量的公式：aa = a·aaaaaa = a·aaaa通过这种分解方法，我们可以将一个平面向量分解成两个分量，通过分量运算更准确地描述向量的性质和特点。

二、向量的坐标运算向量的坐标运算是利用向量的分量进行加减、数乘等运算，从而得到新向量的过程。

下面我们来介绍向量的坐标运算的几个基本概念和方法。

1. 向量的加法向量的加法是指将两个向量进行相加，得到一个新向量的运算。

设有两个向量a和a，它们的分量分别为(aa, aa)和(aa, aa)，则它们的和向量a+a的分量满足以下关系：(a + a)a = aa + aa(a + a)a = aa + aa通过向量的加法，我们可以将多个向量相加得到一个结果向量，用于描述物理量的合成和分解等问题。

2. 向量的数乘向量的数乘是指将一个向量与一个实数进行乘法运算，得到一个新向量的过程。

设有一个向量a和实数a，则向量a的数乘a的分量满足以下关系：(aa)a = a·aa(aa)a = a·aa通过向量的数乘，我们可以改变向量的大小和方向，用于描述变化、缩放等问题。

3. 向量的减法向量的减法是指将一个向量减去另一个向量，得到一个新向量的运算。

由两点距离公式，得 2 2 O C 1 6 37 .
y

O
A
x
设 O C的 相 对 x轴 正 向 的 旋 转 角 为 ， 则
tan 6 1 6
因 此 ， 向 量 O A + O B的 方 向 偏 离 x 轴 正 方 向 为 arctan6， 长 度 等 于 37
a


b
y
30
0
答案：

2, 2
a
45
0
0
3 3 3 b , 2 2
o
30
c
x
c 2 3, 2


3.平面向量的坐标运算
1.已知a ( a1 , a 2 ) ，b ( b1 , b 2 ) ，求a + b，a - b． 解：a+b= ( a 1 e1 a 2 e 2 ) ( b1 e1 b 2 e 2 )
( a 1 b1 ) e1 ( a 2 b 2 ) e 2
即 同理
a + b ( a1 b1 , a 2 b 2 ) a - b ( a 1 b1 , a 2 b 2 )
两个向量和与差的坐标分别等于 这两向量相应坐标的和与差
2、已知
a ( a 1 , a 2 ) ，求 a
例 3 在 直 角 坐 标 系 x o y 中 ， 已 知 点 A x1 , y 1 ， 点 B x2 , y2 .求 线 段 AB 中 点 的 坐 标
解 ： 设 点 M x , y 是 线 段 AB的 中 点 ， 则
1 OM OA OB 2
得 arctan 6

[解析]
设 c＝xa＋yb.
则 c ＝ x(3e1 － 2e2) ＋ y( － 2e1 ＋ e2) ＝ (3x － 2y)e1 ＋ ( － 2x ＋ y)e2＝7e1－4e2.
3x－2y＝7 ∵e1、e2 不共线，∴ －2x＋y＝－4 x＝1 解；该平面内的任意 一个向量a都可用e1、e2线性表示，并且这 种表示方式是惟一的；对基底的选取不惟 一，只要是同一平面内的两个不共线向量 都可以作为一组基底；定理的证明，课本 中是用作图法证明了它的存在性，又用反 证法证明了它的惟一性．平面向量基本定 理为我们用坐标表示平面向量提供了理论 依据．
•(
• [解析] 平面α内任一向量都可写成e1与e2的
线性组合形式，而不是空间内任一向量， 故B不正确；对任意实数λ1、λ2，向量λ1e1＋ λ2e2一定在平面α内；而对平面α中的任一向 量a，实数λ1、λ2是惟一的．
• 4．若a，b不共线，且λa＋μb＝0(λ，μ∈R)，
则
•( • • • •
• 3 ．如果 e1 、 e2 是平面 α 内所有向量的一组
基底，那么
•
•
• •
) A ．若实数 λ1 、 λ2 ，使 λ1e1 ＋ λ2e2 ＝ 0 ，则 λ1 ＝λ2＝0 B ．空间任一向量 a 可以表示为 a ＝ λ1e1 ＋ λ2e2，这里λ1、λ2是实数 C．对实数λ1、λ2，λ1e1＋λ2e2不一定在平面 α内 D ．对平面 α中的任一向量 a ，使 a ＝ λ1e1 ＋ λ2e2的实数λ1、λ2的实数λ1、λ2有无数对
• 2．直线方程的向量参数式 • 与 P 、 A 、 B 三点共线的条件是完全一致
的．其中线段中点的向量表达式，在用向 量解决平面几何总是时会经常用到，要熟 练掌握． • 3．要正确理解基底的概念 • 向量的基底是指平面内不共线的向量，事 实上，若 {e1 ， e2} 是基底，则必有 e1≠0 ， e2≠0 ， 且 e1 与 e2 不 共 线 ． 如 {0 ， e2} ， {e1,2e1} ， {e1 ＋ e2,2e1 ＋ 2e2} 等均不能构成 基底．

b
a
思考3：把一个向量分解为两个互相垂直
的向量，叫做把向量正交分解.如图，向 量i、j是两个互相垂直的单位向量，向量 a与i的夹角是30°，且|a|=4，以向量i、 j为基底，向量a如何表示？
B
P
a 2 3坐标系中，分别取与x轴、
y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底，
CD 2i 3 j
探究:平面向量的正交分解及坐标表示
思考1：不共线的向量有不同的方向，对 于两个非零向量a和b，作OA a，OB b， 如图.为了反映这两个向量的位置关系， 称∠AOB为向量a与b的夹角.你认为向量 的夹角的取值范围应如何约定为宜？
ab
B
b [0°，180°]
O aA
思考2：如果向量a与b的夹角是90°，则 称向量a与b垂直，记作a⊥b. 互相垂直 的两个向量能否作为平面内所有向量的 一组基底？
3.向量的坐标表示是一种向量与坐标 的对应关系，它使得向量具有代数意义. 将向量的起点平移到坐标原点，则平移 后向量的终点坐标就是向量的坐标.
作业： P102习题2.3B组：3，4.
对于平面内的一个向量a，由平面向量基本定
理知，有且只有一对实数x、y，使得 a＝
xi＋yj.我们把有序数对（x，y）叫做向量a
的坐标，记作a＝(x，y).其中x叫做a在x轴上
的坐标，y叫做a在y轴 上的坐标，上式叫做向量 y
的坐标表示.那么x、y的
ya
几何意义如何？
j
x
Oi
x
平面向量的坐标表示
y 如图，i，j是分别与x轴，y轴方向相
D a
同的单位向量，若以i，j为基底，则
C
A
对于该平面内的任一向量a,

一、空间向量标准正交分解的过程 在给定的空间直角坐标系中, i, j , k为x轴, y轴, z轴 正方向上的单位向量, a是空间中的任意向量
z C
作OP a.
a
P
根据向量的加法运算, 有OP OA AD DP 根据向量共线定理OA xi, AD y j, DP zk
OB ( x2 , y2 , z2 ) x2 i y2 j z2 k AB OB OA ( x2 i y2 j z2 k ) ( x1i y1 j z1 k ) ( x2 x1 )i ( y2 y1 ) j ( z2 z1 )k 即向量AB的坐标为( x2 x1, y2 y1, z2 z1 )
空间向量的坐标表示
向量a在向量b上的投影
布置作业——自主探究
一、课本P34页练习题1、2 二、预习下一节《空间向量基本定理》导学提纲。
设单位向量i, j, k为标准正交基，b沿i, j, k a， 方向的标准正交分解分别为a =2i 3 j 4k， b 3i j.求a 的值. b
( x, y, z )叫做空间向量a的坐标.记作a ( x, y, z ). a ( x, y, z )叫做向量a的坐标表示.
在空间直角坐标系中, 点P的坐标为( x, y, z ), 向量OP的坐标也是( x, y, z ).
注： a的起点在坐标原点时， 当 a的终点的坐标 为( x, y, z ) a x y j z k a ( x, y, z ) i
向量 AB的起点A不在坐标原点时，向量 AB的坐标还是终点B的坐标吗？如果不是， 向量 AB的坐标是怎样的？

3.设A(2, 3)，B(5, 4)，C(7, 10) 满足 设 ， ，
AP = AB + λ AC
(1) λ为何值时 点P在直线 为何值时,点 在直线 在直线y=x上? 为何值时 上 (2)设点 在第三象限, 求λ的范围 设点P在第三象限 的范围. 设点 在第三象限 的范围 解: (1) 设P(x, y)，则 ， (2) 由已知
(x－2, y－3)=(3, 1)+λ(5, 7), 5λ+5<0,7λ+4<0 , － － 所以x=5λ+5，y=7λ+4. ， 所以
1 解得λ 解得 = 2
所以λ<－ 所以 －1.
2.设点 在平面上做匀速直线运动 速度向量 设点P在平面上做匀速直线运动 设点 在平面上做匀速直线运动,速度向量 设起始P(－ 秒钟后点P 设起始 秒钟后点 v = (4, −3) ,设起始 －10,10), 则5秒钟后点 的坐标为( 的坐标为( ).
秒种后， 点坐标为 解：5秒种后，P点坐标为 秒种后 (－10, 10)+5(4, －3)=(10, －5). －
| OC |= 1 + 36 = 37
tan α = 6 α=arctan 6
例5.已知□ABCD的三个顶点 －2, 1)、B(－1, 已知 的三个顶点A(－ 、 － 的三个顶点 3)、C(3, 4)，求顶点 的坐标。 、 的坐标。 ，求顶点D的坐标 解：OD = OA + AD = OA + BC
说明： 说明： 两个向量的和与差的坐标等于两个向量的 相应坐标的和与差； 相应坐标的和与差； 数乘向量的积的坐标等与数乘以向量相应 坐标的积。 坐标的积。
已知A(x 的坐标. 例2.已知 1,y1）,B(x2,y2),求向量 AB 的坐标 已知 求向量 解： AB = OB − OA =(x2,y2)－(x1,y1) － =(x2－x1，y2－y1)。 。 说明：一个向量的坐标等于向量终点的坐 说明：一个向量的坐标等于向量终点的坐 向量终点 始点的坐标 标减去始点的坐标。 标减去始点的坐标。

设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ为向量a，b的夹角.
①数量积：a·b＝|a||b|cosθ＝x1x2＋y1y2.
②模：|a|＝ ＝ .
③夹角：cosθ＝ ＝ .
④两非零向量a⊥b的充要条件：a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0.
⑤|a·b|≤|a||b|(当且仅当a∥b时等号成立)⇔|x1x2＋y1y2|≤ · .
，注意与平面向量平行的坐标表示区分．
3.（2021年全国高考甲卷）若向量 满足 ，则 _________.
【答案】
【分析】根据题目条件，利用 模的平方可以得出答案
【详解】∵
∴
∴ .
故答案为： .
4.（2021年全国新高考Ⅰ卷）已知 为坐标原点，点 ， ， ， ，则（）
A. B.
C. D.
【答案】AC
2.三个常用结论
(1)O为△ABC的重心的充要条件是 ＋ ＋ ＝0；
(2)四边形ABCD中，E为AD的中点，F为BC的中点，则 ＋ ＝2 ；
(3)对于平面上的任一点O， ， 不共线，满足 ＝x ＋y (x，y∈R)，则P，A，B共线⇔x＋y＝1.
注意向量共线与三点共线的区别.
3.平面向量基本定理实际上是向量的分解定理，并且是平面向量正交分解的理论依据，也是向量的坐标表示的基础.
【答案】D
【分析】根据所给图形，由向量的线性运算，逐项计算判断即可得解.
【详解】 ＋ ＋ ＝ ＋ ＝0，A正确；
＋ ＋ ＝ ＋ ＋ ＝0，B正确；
＋ ＋ ＝ ＋ ＝ ＋ ＝ ，C正确；
＋ ＋ ＝ ＋0＝ ＝ ≠ ，D错误，
故选：D．
2.（2020内蒙古鄂尔多斯市第一中学）下列结论正确的是
A．若向量 ， 共线，则向量 ， 的方向相同

M
一.空间向量基本定理：
如果三个向量 a, b, c 不共面，那么对 空间任一向量 p ,存在一个唯一的有序 实数组x、y、z，使 p xa yb z c
E A D c
b
C
O
p
B
思路：作 AB // b, BD // a, BC // c
a
p OB BA OC OD OE x a yb z c
BAA1 CAA1 60 ， AB AC AA1 1 ，求 MN 的长。
A1 M A B B1 N C1
C
1 1 BA1 AB B1C1 解： （Ⅰ） MN MA 1A 1B 1B 1N 3 3 1 1 1 1 1 (c a ) a (b a ) a b c 。 3 3 3 3 3
（Ⅱ） (a b c)2 a 2 b2 c 2 2a b 2b c 2c a
1 1 1 1 1 0 2 1 1 2 1 1 5 ， 2 2
1 5 。 | a b c | 5 ， | MN | | a b c | 3 3
a, b, c 都不等于 0
③一个基底是指一个向量组，一个 基向量是指基底中的某一个向量，二者 是相关连的不同概念。
例1：已知四面体OABC，M和N分别
是OA、BC的中点，P和Q分别是MN的 三等分点，试用基底 OA, OB, OC 表示向量 OP , OQ O


M
Q
A
P
C N
B
例2 空间四边形OABC中，G、H分别是 Δ ABC，Δ OBC的重心，设 OA a, OB b, OC c ,试用基向量 a, b, c 表示 向量 OG, GH. O

2 2
58
因为k a − b 与 a + 3b 平行，所以3(k − 2) + 7 = 0 ，即得 k = − 7 3 a − b = (k − 2, −1) = (− , −1) ， a + 3b = (7,3) ， 此时k 3
1
则 a + 3b
= −3(k a − b)
，即此时向量 a + 3b 与 ka − b 方向相反。
运算类型 几何方法
坐标方法
运算性质
a +b =b +a
(a +b) +c = a +(b +c)
向量的加 1.平行四 边形法则2. a+b=(x +x2, y +y2) 法 1 1 三角形法 则 向量的 减法
a−b =(x1 −x2, y1 −y2)
AB + BC = AC
a − b = a + (−b )
向量与函数的综合
高考总复习·数学 高考总复习 数学
已知向量 u = ( x, y) v = ( y,2 y − x) 的对应关系用 v = f (u) 表示。 与 (1)证明：对于任意向量 a, b 及常数m，n恒有 成立；
f (ma + nb) = mf (a) + nf (b)
(2)设 a = (1,1), b = (1,0) ，求向量 f (a) 及 f (b) 的坐标； （3）求使 f (c) = ( p, q) ，（p，q为常数）的向量 故 f (ma + nb) = (ma2 + nb2 ,2ma2 + 2nb2 − ma1 − nb1 )
e1
2
二．平面向量的坐标表示 在直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量 i , j → 作为基底。由平面向量的基本定理知，该平面内的任一向量 a 可 → a a 表示成 → = xi + yj ，由于→与数对(x,y)是一一对应的，因此把(x,y)叫 做向量 a 的坐标，记作 a =(x,y)，其中x叫作在x轴上的坐标，y叫 做在y轴上的坐标。

§4.2 向量的分解与坐标运算【基础知识梳理】1. 平面向量基本定理：如果1e ，2e 是一个平面内的两个_________的向量，那么该平面内的任一向量，存在______的一对实数a 1，a 2，使___________________.其中，不共线的向量1e ，2e 叫做表示这一个平面内所有向量的一组_______，记为_________，a =a 11e +a 22e 叫做向量关于_________的分解式2. 正交基底：如果基底的两个基向量1e ，2e 互相______，则称这个基底为正交基底.在正交基底下分解向量，叫做正交分解.3. 已知A,B 是直线l 上任意两点，O 是l 外一点，则直线l 的向量参数方程式是 线段AB 的中点的向量表达式4. 正交分解；如果基底的两个基向量互相_____，则称这个基底为正交基底，在正交基底下分解向量，叫做正交分解.在直角坐标系xOy 内，分别取与x 轴和y 轴方向相同的两个单位向量1e ，2e ，建立正交基底 ，（也叫做直角坐标系xOy 的基底），任作一向量a ，存在唯一的有序实数对（21,a a ），使得 （21,a a ）就是向量a在基底{1e ，2e }下的坐标.5. 符号(x,y)在直角坐标系中有双重意义： ， .6. 向量的直角坐标运算：两个向量的和与差的坐标等于向量数乘积的坐标等于一个向量的坐标等于7. 用平面向量坐标表示向量共线条件： 【基础知识检测】1. D 是△ABC 的边AB 上的中点，则向量= （ ） A.12BC BA -+ B. 12BC BA -- C. 12BC BA - D. 12BC BA + 2. 已知向量a ＝（4，2），向量b ＝（x ，3），且a //b ,则x ＝ （ ） A. 9 B. 6 C. 5 D. 3NO.233. 已知点A （1，-2），若点A 、B 的中点坐标为（3，1）且AB 与向量),1(a λ=共线，则λ=____4. 已知AB a =，B （1，0），)4,3(b =，)1,-1(c =，且c 2-b 3a =，则A 点的坐标为_______【典型例题探究】题型1.（平面向量基本定理及应用）在平行四边形ABCD 中，M 、N 分别为DC 、BC 的中点，已知=，=，试用、表示、.变式训练：在平行四边形ABCD 中，a AB =，b AD =，NC 3AN =，M 为BC 的中点，则=_______.（用、表示）题型2.（向量的坐标运算）已知A （-2，4），B （3，1），C （-3，-4）.设=，=，c CA =，且c 3CM =，b 2CN -=.⑴ 求3a +b -3c ； ⑵ 求满足a =m b +n c 的实数m 、n ；⑶ 求M 、N 的坐标及向量MN 的坐标.变式训练：已知A(-1,2),B(2,8),且BA 31DA ,AB 31AC -== ，求点C,D 和CD 坐标.题型3. （向量平行的充要条件）已知点A （4，0），B （4，4），C （2，6），求AC 和OB 的交点P 的坐标.（用向量方法解决）变式训练： ⑴ 已知点A （3，1），B （0，0）C （3，0）.设∠BAC 的平分线AE 与BC 相交于E ，那么有λλ=其中,CE BC 等于_______;⑵ 已知向量(,12),(4,5),(,10)OA k OB OC k ===- ，且A 、B 、C 三点共线，则k=_____.【限时过关检测】 班级 学号 姓名 分数一、选择题( 每小题8分 )1. 已知点A （2，3），B （-1，5），且3,31==，则点C ，D 的坐标分别为 （ ） A. )9,7(),311,1(- B. )8,5(),35,1(- C. )7,5(),37,21(- D.)9,7(),38,1(- 2. 已知△ABC 的顶点A （2，3），B （8，-4）和重心G （2，1），则点C 的坐标是 （ ）A. （4，-3）B. （1，4）C. （-4，-2）D. （-2，-2）3. 与向量)3,1(a -=平行的单位向量是 （ ）A. （1，-3）B. （1,3）C. （23，-1）D. （-21，23） 4. 平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知两点()()3,1B ,1,3A -，若C 满足OB OA OC β+α=，其中有R ,∈βα且1=β+α，则点C 的轨迹方程为 （ ）A. 011y 2x 3=-+B. ()()52y 1x 22=-+- C. 0y x 2=- D. 05y 2x =-+ 二、填空题( 每小题8分 )5. 若1,1(a -=)，)5,3(c ),3,1(b =-=，使b y a x c +=成立的实数x 、y 的取值是 .6. 若三点A(2，2)，B(a,0),C(0,4)共线，则a 的值等于7. 已知向量)2,1(a =，)1,x (b =，b 2a u +=，b a 2v -=，且u ∥v ，则x=______.8. 已知)2,3(),2,1(-==，当实数k=________时2k +与4-2平行.三、解答题9.（10分）已知平行四边形ABCD ，AH=HD ，BF=MC=31BC ，设AB =a ，AD =b ，选择基底{a ，b }，试写出下列向量在此基底下的分解式：AM 、MH 、AF .10. （10分）已知平面上有三个点A （-2，1），B （1，4），D （4，-3），又有一点C 在AB 上，使C 21=，连结DC 并延长到E ，使ED 41C E -=，求E 点的坐标.【体验高考】( 每小题8分 )1.（2007宁夏、海南）已知平面向量)1,1(),1,1(-==，则向量b 23a 21-= （ ） Ａ．（-2，-1） Ｂ．（-2，1） Ｃ．（-1，0） Ｄ．（-1，2）2. （2007安徽）在四面体O-ABC 中，a O A =，b O B =，c OC =，D 为BC 的中点，E 为AD 的中点，则O E = （用a ，b ，c 表示）．。

初中数学知识点向量的坐标与分解初中数学知识点：向量的坐标与分解向量是初中数学中重要的概念之一，它具有方向和大小，可以表示物体的位移、速度和力等物理量。

在向量的研究中，了解向量的坐标与分解是非常重要的。

本文将介绍向量的坐标表示方法和向量的分解技巧。

一、向量的坐标表示方法向量的坐标是用有序数对表示的，通常用(a, b)表示。

其中，a表示向量在水平方向，即x轴上的投影长度；b表示向量在垂直方向，即y 轴上的投影长度。

例如，假设有向量AB，点A的坐标为(x₁, y₁)，点B的坐标为(x₂, y₂)，则向量AB的坐标表示为(Bx - Ax, By - Ay)。

其中，Bx和By分别表示点B的水平和垂直坐标，Ax和Ay分别表示点A的水平和垂直坐标。

二、向量的坐标操作1. 向量的相反向量向量的相反向量是指方向相反、大小相等的向量。

将一个向量的坐标中的元素取相反数，即可得到该向量的相反向量。

例如，向量AB的坐标为(a, b)，则向量BA的坐标为(-a, -b)。

2. 向量的相加向量的相加是指将两个向量的坐标分别相加，得到一个新的向量。

例如，设向量AB的坐标为(a₁, b₁)，向量CD的坐标为(a₂, b₂)，则向量AB + CD的坐标为(a₁ + a₂, b₁ + b₂)。

3. 向量的数乘向量的数乘是指将向量的坐标中的每个元素都乘以一个实数，得到一个新的向量。

例如，设向量AB的坐标为(a, b)，实数k表示一个常数，则向量kAB的坐标为(ka, kb)。

三、向量的分解向量的分解是指将一个向量拆解成两个分量的和，其中一个分量在某个方向上，另一个分量在该方向的垂直方向上。

1. 向量的水平和垂直分量设向量AB的坐标为(a, b)，将向量AB分解成水平和垂直分量的和。

水平分量的坐标为(a, 0)，垂直分量的坐标为(0, b)。

2. 向量的分解定理向量的分解定理是指将一个向量拆解成两个分量的和的公式表示。

设向量AB的坐标为(a, b)，将向量AB分解成向量AC和向量CB的和。

学案三十九 平面向量的坐标运算命题人：张德聚 复核人：刘军【考纲要求】1．了解平面向量基本定理，理解平面向量的坐标概念，会用坐标形式进行向量的加法、减法、数乘的运算，掌握向量坐标形式的平行的条件 2．学会使用分类讨论、函数与方程思想解决有关问题【课前自主预习】一、知识梳理1、两个向量和差的坐标运算若==1122(,),(,)a x yb x x ，λ为一实数，则b a +=______________________；同理将-a b =_____________这就是说，两个高量和（差）的坐标分别等于______________________。

2、数乘向量和坐标运算a λ=____________，这就是说，实数与向量的积的坐标等于：_______________________________________。

3、向量AB 的坐标表示若已知(,)A x y 11,(,)B x y 22，则AB =_____________=___________________即一个向量的坐标等于此向量的有向线段的________________________。

4．平面向量基本定理: _________________________________________________ ________________________________________ 5. ==1122(,),(,)a x y b x x ,则____________________//⇔⇔b a二、自我检测1、设=-=-=(1,3),(2,4),(0,5)a b c 则-+3a b c =______________2、若点A （-2，1），B （1，3），则AB =___________________________3、若点A 的坐标是(,)x y 11，向量AB 的坐标为(,)x y 22，则点B 的坐标为（ ） A ．(,)x x y y --1212 B ．(,)x x y y --2121C ．(,)x x y y ++1212D ．(,)x x y y -+12124、已知M （3，-2）N （-5，-1），且=MP MN 2则MP =（ ） A ．（-8，1） B ．(,)-142C ．（-16,2）D ．(8,-1)5、(2009·烟台模拟)已知向量a =(8,x21),b =(x ,1),其中x ＞0,若（a -2b ）//(2a +b ),则x 的值为 （ ）A.4B.8C.0D.26、已知=-=-=+(,),(,),a b c a b 31122则C =（ ） A ．（6，-2） B ．（5，0） C ．（-5，0）D ．（0，5）【课堂思维展示】 一、例题讲解例1已知A （-2，4）、B （3，-1）、C （-3，-4）且CM =3CA ，CN =2CB ，求点M 、N 及MN 的坐标.例2设两个非零向量e 1和e 2不共线.（1）如果AB =e 1-e 2，BC =3e 1+2e 2，CD =-8e 1-2e 2，求证：A 、C 、D 三点共线；（2）如果AB =e 1+e 2，BC =2e 1-3e 2，CD =2e 1-k e 2，且A 、C 、D 三点共线，求k 的值.例3平面内给定三个向量a =(3,2),b =(-1,2),c =(4,1).回答下列问题：（1）若（a +k c ）∥(2b -a )，求实数k ;(2)设d =(x ,y )满足(d -c )∥(a +b )且|d -c |=1,求d .例4如图所示，在平行四边形ABCD 中，M ，N 分别为DC ，BC 的中点，已知AM =c ，AN =d ，试用c ，d 表示AB ，AD二、反思总结三、当堂检测1.三点112233(,),(,),(,)A x y B x y C x y 共线的充要条件是.A 12210x y x y -= .B 13310x y x y -=.C 21313121()()()()x x y y x x y y --=-- .D 21313121()()()()x x x x y y y y --=--2.如果1e,2e是平面α内所有向量的一组基底，那么下列命题中正确的是.A 若实数12,λλ使11220e e λλ+=，则 120λλ==.B 空间任一向量a 可以表示为1122a e e λλ=+，这里12,λλ是实数.C 对实数12,λλ，向量1122e e λλ+不一定在平面α内.D 对平面内任一向量a ，使1122a e e λλ=+的实数12,λλ有无数对3.已知向量(1,2)a =-，b 与a 方向相反，且||2||b a =，那么向量b 的坐标是_____4.已知(5,4),(3,2)a b ==，则与23a b - 平行的单位向量的坐标为______【课后定时训练】一、基础巩固—三维活页（四十三） 二、能力提高1.（2009·武汉武昌区调研测试）已知O 是△ABC 的外心，AB =2，AC =1，∠BAC =120°.设AB =a ，AC =b ，若AO =1λa +2λb ,则1λ+2λ的值为（ ） A .1623B .1613C .613D .212.（2008·辽宁文，5）已知四边形ABCD 的顶点A （0，2）、B （-1，-2）、C （3，1），且BC =2AD ，则顶点D 的坐标为( ) A .(2,27)B .(2,21-)C .(3,2)D .(1,3)3.（2008·全国Ⅱ文，13）设向量a =(1,2),b =(2,3)，若向量λa +b 与向量c =(-4,-7)共线，则λ= .4.（2008·菏泽模拟）已知向量m =(a -2,-2),n =(-2,b -2),m ∥n (a ＞0,b ＞0)，则ab 的最小值是 .。

正交分解
（1）当 90 时，把一个向量分解为两个 互相垂直的向量，叫做把向量正交分解。
F
F1
' 1
F
F1'' F2''
F2'
F2 G
（2）当两向量互相垂直并且长度为1时， 我们可以构造出一组特殊的基底—— i , j
j
i
问题二： 在平面直角坐标系中，每一个点都可 以用有序实数对来表示，即A( x, y) 。
人 教 A 版 数 学
求它们的坐标。 a 2i 3 j , a (2,3)
b 2i 3 j , b (2,3)
c 2i 3 j , c (2, 3)
b2 b3)
如图，已知 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 )，求 AB 的坐标。
平面向量基本定理的内容是什么？
如果 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平 ，有且只有一对实数 ，使： 面内的任一向量
问题一： 已知一个光滑斜坡上放着一个重为 G的物体，如图：

G F1 F2 叫做把重力分解。
a 1e1 2e2 我们也可看做把 a 分解。 所以，
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第二章
平面向量
2．平面向量的坐标表示
如图所示，在平面直角坐标系内，分别取与x 轴、y轴 方向相同的两个单位向量 i，j 作为基底，对于平面内任意 一个向量a，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数 x、y，使得a＝xi＋yj.这样，平面内的任一向量a都可由 有序数对(x，y) x、y 唯一确定，我们把 叫做向量a 的坐标，记作a＝(x，y)，x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在 y轴上的坐标．

关于(0,0)对称
b
30°
在直角坐标系xOy中， 向量 a, b , c 的方向和 长度如图所示，分别 求它们的坐标。 a
45°
30°
若a (a1, a2 )，则a1 a cos，a2 a sin
c
问：考察的知
识点是什么？
学案导学
掌握在直角坐标系中向量的坐标表示及 其运算，需要解决的问题是：
1.已知：A (3,4), B(2,1),
求AB坐标。
求B点坐标。
(-5,-5)
2. 已知： (3,4), A(2,1), AB
(1,3)
已知A（-2，1），B（1，3）， 求线段AB中点M的坐标.
例6、已知A（-2，1），B（1，3），求 线段AB中点M和三等分点P，Q的坐标。
设e1，e2是平面内所有向量的一组基底，
则下面四组向量中，不能作为基底的 是（ B ） A e1 e2和e1 e2 B 3e1 2e2 和4e2 6e1
C e1 2e2 和2e1 e2
平面向量基本定理
D e2和e1 e2
的坐标。 3.已知：向量, b的坐标 会求a b , a b, a a ,
平面向量的坐标表示
y
⑴写出A，B两点的坐标；
5
B
A(2,2),
B(4,5) ,
C(2,3)
e
3 2 1 2
C a
A
2 4
⑵若 e1 e2 1，以 e1 , e a=2e1 3e2
平面向量的坐标表示
y
⑴写出A，B两点的坐标；
5
B