平面向量的基本定理及坐标运算

第二讲 平面向量的基本定理及坐标表示【知识网络】1.平面向量的基本定理：如果e 1、e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任 一向量a ，有且仅有一对实数21,λλ，使2211e e λλ+=a ，不共线向量21,e e 叫做表示这一平面内 所有向量的一组基底。

2.平面向量的坐标表示：把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做向量的正交分解，在平面 直角坐标系中分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量j i ,作为基底，对于平面上一个向 量a ，有且只有一对实数y x 、，使得j i a y x +=，则有序实数对),(y x 叫做a 的坐标，记作a=),(y x .3.平面向量的坐标运算：),(),,(2221y x y x ==b a ；（1）),(2121y y x x ++=+b a ；),(2121y y x x --=-b a ； （2）2121y y x x ⋅+⋅=⋅b a ；（3）),(11y x =a λ，2221x x +=a知识点一：平面向量的共线【典例精析】例1、设两个非零向量21e e 和不共线.(1)如果21212128,23,e e e e e e --=+=-=，求证：D C A 、、三点共线； （2）如果D C A ke e e e e e 、、且,2,32,212121-=-=+=三点共线，求k 的值.【变式训练】1.设a 、b 是不共线的两个非零向量， (1)若OA →＝2a －b ，OB →＝3a ＋b ，OC →＝a －3b ，求证：A 、B 、C 三点共线； (2)若8a ＋k b 与k a ＋2b 共线，求实数k 的值；知识点二：向量的平面坐标【典例精析】例1、已知A （-2，4），B （3，-1），C （-3，-4）.设=a ，=b ，CA =c ，且CM =3c ，=-2b ，（1）求：3a +b -3c ；（2）求满足a =m b +n c 的实数m ，n.(3)若CM =3，=2，求点M 、N 及的坐标.例2、平面内给定三个向量a =(3,2),b =(-1,2),c =(4,1).回答下列问题：（1）若（a +k c ）∥(2b -a )，求实数k;(2)设d =(x,y)满足(d -c )∥(a +b )且|d -c |=1,求d .例3、已知A 、B 、C 三点的坐标分别为（-1，0）、（3，-1）、（1，2），并且=31，=31.求证：∥.例4、设向量a ＝(1，－3)，b ＝(－2,4)，c ＝(－1，－2)．若表示向量4a 、4b －2c 、2(a －c )、d 的有向线段首尾相接能构成四边形，求向量d 的坐标。

一、共面向量基本定理1.如果两个向量a、b不共线，那么向量p与向量a、b共面的充要条件是：存在唯一实数对x、y，使p=xa+yb。

（x，y不全为零）2.平面向量基本定理是平面向量坐标表示的基础，它说明同一平面内的任一向量都可以表示为其他两个不共线向量的线性组合。

3.在解具体问题时适当地选取基底，使其它向量能够用基底来表示，选择两个不共线的向量，平面内的任何一个向量都可以唯一表示，这样几何问题就可以转化为代数问题。

4.平面向量可以在任意给定的两个方向上分解，任意两个向量都可以合成一个给定的向量，即向量的合成和分解。

5.当两个方向相互垂直时，它们实际上是在直角坐标系中分解的，（x，y）称为矢量的坐标。

（矢量的起点是原点）所以这个定理为矢量的坐标表示提供了理论基础。

二、平面向量的坐标运算AB+BC=AC；ABAC=CB；(λμ)a=λ(μa)；(λ+μ)a= λa+μa；a·a=|a|²；a·b=b·a等。

在平面内建立直角坐标系，以与x轴、y轴方向相同的两个单位向量为基底，则平面内的任一向量可表示为，称（x，y）为向量的坐标，=（x，y）叫做向量的坐标表示。

三、向量的数量积的性质(1)a·a=∣a∣²≥0(2)a·b=b·a(3)k(ab)=(ka)b=a(kb)(4)a·(b+c)=a·b+a·c(5)a·b=0<=>a⊥b(6)a=kb<=>a//b(7)e1·e2=|e1||e2|cosθ=cosθ四、基底在向量中的应用：(l)用基底表示出相关向量来解决向量问题是常用的方法之一．(2)在平面中选择基底主要有以下几个特点：①不共线；②有公共起点；③其长度及两两夹角已知．(3)用基底表示向量，就是利用向量的加法和减法对有关向量进行分解。

五、用已知向量表示未知向量：用已知向量表示未知向量，一定要结合图像，可从以下角度如手：（1）要用基向量意识，把有关向量尽量统一到基向量上来；（2）把要表示的向量标在封闭的图形中，表示为其它向量的和或差的形式，进而寻找这些向量与基向量的关系；（3）用基向量表示一个向量时，如果此向量的起点是从基底的公共点出发的，一般考虑用加法，否则用减法，如果此向量与一个易求向量共线，可用数乘。

一、平面向量的基本定理（1）平面向量基本定理：如果1e 和2e 是一平面内的两个不平行的向量，那么该平面内的任一向量a ，存在唯一的一对实数1a ，2a ，使a =1122a e a e +．（2） 基底：我们把不共线向量1e ，2e 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底，记作{}12,e e ．1122a e a e +叫做向量a 关于基底{}12,e e 的分解式． 注：①定理中1e ，2e 是两个不共线向量；②a 是平面内的任一向量，且实数对1a ，2a 是惟一的； ③平面的任意两个不共线向量都可作为一组基底．（3）平面向量基本定理的证明：在平面内任取一点O ，作11OE e =，22OE e =，OA a =．由于1e 与2e 不平行，可以进行如下作图：过点A 作2OE 的平行（或重合）直线，交直线1OE 于点M ，过点A 作1OE 的平行（或重合）直线，交直线2OE 于点N ，于是依据平行向量基本定理，存在两个唯一的实数1a 和2a 分别有11OM a e =，22ON a e =，所以1122a OA OM ON a e a e ==+=+证明表示的唯一性：如果存在另对实数x ，y 使12OA xe ye =+，则112212a e a e xe ye +=+，即1122()()0x a e y a e -+-=，由于1e 与2e 不平行，如果1x a -与2y a -中有一个不等于0，不妨设20y a -≠，则1212x a e e y a -=--，由平行向量基本定理，得1e 与2e 平行，这与假设矛盾，因此10x a -=，20y a -=，即1x a =，2y a =．二、向量的正交分解与向量的直角坐标运算：（1）向量的直角坐标：如果基底的两个基向量1e ，2e 互相垂直，则称这个基底为正交基底．在正交基底下分解向量，叫做正交分解．（2）向量的坐标表示：在直角坐标系中，一点A 的位置被点A 的位置向量OA 所唯一确定．设点A 的坐标为(,)x y ，由平面向量基本定理，有12(,)OA xe ye x y =+=，即点A 的位置向量OA 的坐标(,)x y ，也就是点A 的坐标；反之，点A 的坐标也是点A 相对于坐标原点的位置向量OA 的坐标．E 2E 1e 2e 1O ANMae1e 2axyO O yxae 2e 1平面向量的基本定理及坐标运算（3）向量的直角坐标运算：设12(,)a a a =，12(,)b b b =，则 ①1122(,)a b a b a b +=++；②1122(,)a b a b a b -=--；③1212(,)(,)a a a a a λλλλ==注：①两个向量的和与差的坐标等于两个向量相应坐标的和与差；②数乘向量的积的坐标等于数乘以向量相应坐标的积．（4）若11(,)A x y ，22(,)B x y ，则向量2121(,)AB OB OA x x y y =-=--；即：一个向量的坐标等于向量的终点的坐标减去始点的坐标．（5）用平面向量坐标表示向量共线条件：设12(,)a a a =，12(,)b b b =，则12210a b a b -=就是两个向量平行的条件．若向量b 不平行于坐标轴，即10b ≠，20b ≠，则两个向量平行的条件是，相应坐标成比例．题型一、平面向量的基本定理【例1】 若已知1e 、2e 是平面上的一组基底，则下列各组向量中不能作为基底的一组是（ ）A ．1e 与2e -B ．31e 与22eC ．1e ＋2e 与1e —2eD ．1e 与21e【例2】 线段与互相平分，则可以表示为（ ）A ．B ．C ．D ． 【例3】 已知ABCD □的两条对角线交于点O ，设AB a =，AD b =，用向量a 和b 表示向量BD ，AO ．【例4】 如图，平行四边形ABCD 中，E F 、分别是BC DC 、的中点，G 为DE BF 、的交点，若AB =a ，AD =b ，试以a ，b 为基底表示DE 、BF 、CG ．AB CD BD AB CD -1122AB CD -+1()2AB CD -()AB CD --GFE DCBA【例5】 设P 是正六边形OABCDE 的中心，若OA a =，OE b =，试用向量a ，b 表示OB 、OC 、OD【例6】 已知向量a ，b 不共线，()R c ka b k =+∈，d a b =-，如果c d ∥，那么（ ）A ．1k =且c 与d 同向B ．1k =且c 与d 反向C ．1k =-且c 与d 同向D ．1k =-且c 与d 反向【例7】 已知四边形ABCD 是菱形，点P 在对角线AC 上（不包括端点A ，C ），则AP 等于（ ）A ．()AB AD λ+，(01)λ∈， B ．()AB BC λ+，202λ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭， C ．()AB AD λ+，202λ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭，D ．()AB BC λ-，202λ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭， 【例8】 已知向量a b ，不共线，m n ，为实数，则当0ma nb +=时，有m n += 【例9】 在平行四边形ABCD 中，E 和F 分别是边CD 和BC 的中点．若AC AE AF λμ=+，其中λ，R μ∈，则λμ+= ．【例10】证明：若向量,,OA OB OC 的终点A B C 、、共线，当且仅当存在实数,λμ满足等式1λμ+=，使得OC OB OA λμ=+．POE DCBAFEDCBAOCBA题型二、平面向量的坐标表示与运算【例11】设向量(23),AB =，且点A 的坐标为(12),，则点B 的坐标为 ． 【例12】若(21),a =，(34),b =-则34a b +的坐标为_________． 【例13】设平面向量()()3,5,2,1a b ==-，则2a b -=（ ）A ．()6,3B ．()7,3C ．()2,1D ．()7,2【例14】已知(2,3),(1,2)a x b y =-=+，若a b =，则x = ，y = ． 【例15】若()0,1A ，()1,2B ，()3,4C ，则AB -2BC = 【例16】若()3,2M -，()5,1N --且12MP =MN ，求P 点的坐标．【例17】已知向量()1,0a =，()0,1b =，()R c ka b k =+∈，d a b =-，如果那么（ ）A ．且与同向B ．且与反向C ．且与同向D ．且与反向【例18】已知向量()11a =，，()2b x =，若a b +与42b a -平行，则实数的值是（ ） A ．2- B ．0 C ．1 D ．2【例19】在平面直角坐标系xoy 中，四边形ABCD 的边AB DC ∥，AD BC ∥，已知点()2,0A -，()6,8B ，()8,6C ，则D 点的坐标为___________．【例20】已知向量()3,1a =，()1,3b =，(),7c k =，若()a c -∥b ，则= ． 【例21】已知()12a =，，()32b =-，，当ka b +与3a b -平行，k 为何值（ ）A ．14 B ．－14 C ．－13 D ．13【例22】已知(1,2),(3,2)a b ==-，当实数k 取何值时，k a ＋2b 与2a -4b 平行？//c d 1k =c d 1k =c d 1k =-c d 1k =-c d x k【例23】点(23),A 、(54),B 、(710),C ，若()R AP AB AC λλ=+∈，试求λ为何值时，点P 在一、三象限角平分线上．【练1】 在ABC △中，AB c =，AC b =．若点D 满足2BD DC =，则AD =（ ）A ．2133b c +B ．5233c b -C ．2133b c -D ．1233b c +【练2】 如图，在ABC △中，点O 是BC 的中点，过点O 的直线分别交直线AB ，AC 于不同的两点M N ，，若AB mAM =，AC nAN =，则m n +的值为．【练3】 已知两个向量()()121a b x ==，，，，若a b ∥，则x 的值等于（ ） A ．12-B ．12C ．2-D ．2【练4】 若平面向量a ，b 满足1a b +=，a b +平行于轴，()21b =-，，则a = ．DCBAONMCBAx 随堂练习【题1】 若向量()1,1a =，()1,1b =-，()4,2c =，则c = （ ）A ．3a +bB ． 3a -bC ．-a +3bD ．a +3b【题2】 已知a ＝（4，2），b ＝（x ，3），且a ∥b ，则x 等于（ ）A ．9B ．6C ．5D ．3【题3】 已知平面向量a ＝（x ，1），b ＝（－x ，x 2），则向量a ＋b （ ）A ．平行于x 轴B ．平行于第一、三象限的角平分线C ．平行于y 轴D ．平行于第一、四象限的角平分线【题4】 已知向量e 1与e 2不共线，实数x ，y 满足（3x －4y ）e 1＋（2x －3y ）e 2＝6e 1＋3e 2，则x －y 等于（ ）A ．3B ．－3C ．0D ．2【题5】 已知向量(1,2)a =，(0,1)b =，设u a kb =+，2v a b =-，若u ∥v ，则实数k 的值为（ ）A ．－1B ．－12C ．12D ．1【题6】 设点A （2，0），B （4，2），若点P 在直线AB 上，且|AB |＝2|AP |，则点P 的坐标为（ ）A ．（3，1)B ．（1，－1）C ．（3，1）或（1，－1)D ．无数多个【题7】 设(1,2),(2,3),a b ==若向量a b λ+与向量(4,7)c =--共线，则λ=．【题8】 已知向量a ＝（2，－1），b ＝（－1，m ），c ＝（－1，2），若（a ＋b ）∥c ，则m ＝________．【题9】 已知A （－2，4），B （3，－1），C （－3，－4）．设AB →＝a ，BC →＝b ，CA →＝c ，且CM →＝3c ，CN→＝－2b ．（1）求：3a ＋b －3c ；（2）求满足a ＝m b ＋n c 的实数m ，n ．【题10】 在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，E 是线段OD 的中点，AE 的延长线与CD 交于点F ．若AC →＝a ，BD →＝b ，则AF →＝（ ） A ．14a ＋12b B ．23a ＋13b C ．12a ＋14bD ．13a ＋23b课后作业。

平面向量的基本定理及坐标表示全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：平面向量是我们在高中数学学习中接触到的一个重要知识点，它在几何学和代数学中都有着重要的作用。

平面向量本质上是有大小和方向的量，它可以用箭头表示出来，箭头的长度表示向量的大小，箭头的方向表示向量的方向。

而平面向量的基本定理和坐标表示是我们学习平面向量的重要内容，下面我就来详细介绍一下。

一、平面向量的基本定理1. 平行向量的概念两个向量如果它们的方向相同或者相反，那么我们称这两个向量为平行向量。

平行向量的特点是它们的模相等，方向相同或者相反。

2. 向量的加法如果有两个向量a和b，它们的起点相同，那么我们可以通过平行四边形法则将这两个向量相加，即将向量b平移至向量a的终点，然后连接向量a的起点和向量b的终点，这条连接线就是向量a+b的结果。

3. 向量的数量积向量的数量积，也称为点积或内积，是两个向量的特殊乘积。

设有两个向量a和b，它们之间夹角为θ，那么a·b=|a||b|cosθ，其中|a|和|b|分别表示向量a和b的模长。

二、平面向量的坐标表示在平面直角坐标系中，我们可以用坐标表示一个向量。

设有一个向量a，它在平面直角坐标系中的起点为O(0,0)，终点为A(x,y)，那么我们可以用坐标(x,y)表示向量a。

在平面直角坐标系中，向量a与坐标轴之间的夹角为θ，那么向量a的方向角为θ。

根据三角函数的定义，我们有cosθ=x/|a|，sinθ=y/|a|，tanθ=y/x，这三个公式可以帮助我们求解向量的方向角。

对于向量的数量积和叉积，我们也可以通过向量的坐标表示来进行计算。

设向量a在坐标系中的起点为O(0,0)，终点为A(x1,y1)，向量b在坐标系中的起点为O(0,0)，终点为B(x2,y2)，那么向量a和向量b 的数量积为x1x2+y1y2，向量a和向量b的叉积为x1y2-x2y1。

平面向量的基本定理和坐标表示是我们学习平面向量的重要内容，通过深入理解这些知识点，我们可以更好地解决平面向量的相关问题，为我们的数学学习打下坚实的基础。

平面向量基本定理及坐标表示1．平面向量基本定理如果e 1、e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，存在唯一一对实数λ1、λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2，其中，不共线的向量e 1、e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．2．平面向量的坐标运算(1)向量加法、减法、数乘及向量的模设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ＋b ＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)，a －b ＝(x 1－x 2，y 1－y 2)，λa ＝(λx 1，λy 1)，|a |＝x 21＋y 21.(2)向量坐标的求法①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标． ②设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB →＝(x 2－x 1，y 2－y 1)，|AB →|＝x 2－x 12＋y 2－y 12.3．平面向量共线的坐标表示设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，其中b ≠0，a 、b 共线⇔x 1y 2－x 2y 1＝0.选择题：设e 1，e 2是平面内一组基底，那么( ) A ．若实数λ1，λ2使λ1e 1＋λ2e 2＝0，则λ1＝λ2＝0B ．空间内任一向量a 可以表示为a ＝λ1e 1＋λ2e 2(λ1，λ2为实数)C ．对实数λ1，λ2，λ1e 1＋λ2e 2不一定在该平面内D ．对平面内任一向量a ，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2的实数λ1，λ2有无数对下列各组向量中，可以作为基底的是( )A ．e 1＝(0,0)，e 2＝(1，－2)B ．e 1＝(－1,2)，e 2＝(5,7)C ．e 1＝(3,5)，e 2＝(6,10)D ．e 1＝(2，－3)，e 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－34解析 两个不共线的非零向量构成一组基底，故选B.已知平面向量a ＝(1,1)，b ＝(1，－1)，则向量12a －32b 等于( )A ．(－2，－1)B ．(－2,1)C ．(－1,0)D ．(－1,2) 解析 12a ＝(12，12)，32b ＝(32，－32)，故12a －32b ＝(－1,2)．已知a ＝(1,1)，b ＝(1，－1)，c ＝(－1,2)，则c 等于( )A ．－12a ＋32b a －32b C ．－32a －12b D ．－32a ＋12b解析 设c ＝λa ＋μb ，∴(－1,2)＝λ(1,1)＋μ(1，－1)，∴⎩⎨⎧－1＝λ＋μ，2＝λ－μ，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ＝12，μ＝－32，∴c ＝12a －32b .已知向量a ＝(1,2)，b ＝(1,0)，c ＝(3,4)．若λ为实数，(a ＋λb )∥c ，则λ等于( ) C ．1 D ．2 解析 ∵a ＋λb ＝(1＋λ，2)，c ＝(3,4)，且(a ＋λb )∥c ，∴1＋λ3＝24，∴λ＝12已知a ＝(5，－2)，b ＝(－4，－3)，若a －2b ＋3c ＝0，则c 等于( )解析 由已知3c ＝－a ＋2b ＝(－5,2)＋(－8，－6)＝(－13，－4)，∴c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－133，－43.已知向量OA→＝(k,12)，OB →＝(4,5)，OC →＝(－k,10)，且A ，B ，C 三点共线，则k 的值是( )A ．－23解析 AB→＝OB →－OA →＝(4－k ，－7)，AC →＝OC →－OA →＝(－2k ，－2)，∵A ，B ，C 三点共线，∴AB →，AC →共线，∴－2×(4－k )＝－7×(－2k )，解得k ＝－23已知点A (1,3)，B (4，－1)，则与向量A B →同方向的单位向量为( )解析 A B →＝O B →－O A →＝(4，－1)－(1,3)＝(3，－4)，∴与A B →同方向的单位向量为A B →|A B →|＝⎝⎛⎭⎪⎫35，－45.已知点A (－1,5)和向量a ＝(2,3)，若AB→＝3a ，则点B 的坐标为( )A ．(7,4)B ．(7,14)C ．(5,4)D ．(5,14)解析 设点B 的坐标为(x ，y )，则AB →＝(x ＋1，y －5)，由AB →＝3a ，得⎩⎨⎧ x ＋1＝6，y －5＝9，解得⎩⎨⎧x ＝5，y ＝14.已知向量a ＝(－1,2)，b ＝(3，m )，m ∈R ，则“m ＝－6”是“a ∥(a ＋b )”的( ) A ．充分必要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件 D ．既不充分也不必要条件解析 由题意得a ＋b ＝(2,2＋m )，由a ∥(a ＋b )，得－1×(2＋m )＝2×2，∴m ＝－6，则“m ＝－6”是“a∥(a ＋b )”的充要条件，故选A已知在□ABCD 中，AD→＝(2,8)，AB →＝(－3,4)，则AC →＝( )A ．(－1，－12)B ．(－1,12)C ．(1，－12)D ．(1,12) 解析 ∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AC →＝AB →＋AD →＝(－1,12)在△ABC 中，点D 在BC 边上，且CD→＝2DB →，CD →＝rAB →＋sAC →，则r ＋s 等于( )C ．－3D ．0解析 ∵CD →＝2DB →，∴CD →＝23CB →＝23(AB →－AC →)＝23AB →－23AC →，则r ＋s ＝23＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－23＝0已知点M 是△ABC 的边BC 的中点，点E 在边AC 上，且EC→＝2AE →，则向量EM →＝( )AC →＋13AB → AC →＋16AB → AC →＋12AB → AC →＋32AB →解析 如图，∵EC →＝2AE →，∴EM →＝EC →＋CM →＝23AC →＋12CB →＝23AC →＋12(AB →－AC →)＝12AB →＋16AC →在△ABC 中，点P 在BC 上，且BP→＝2PC →，点Q 是AC 的中点，若PA →＝(4,3)，PQ →＝(1,5)，则BC →等于( )A ．(－2,7)B ．(－6,21)C ．(2，－7)D ．(6，－21)解析 BC →＝3PC →＝3(2PQ →－PA →)＝6PQ →－3PA →＝(6,30)－(12,9)＝(－6,21)．在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝2CD ，M ，N 分别为CD ，BC 的中点，若AB →＝λAM →＋μAN →，则λ＋μ等于( )解析 ∵AB →＝AN →＋NB →＝AN →＋CN →＝AN →＋(CA →＋AN →)＝2AN →＋CM →＋MA →＝2AN →－14AB →－AM →，∴AB →＝85AN →－45AM →，∴λ＋μ＝45.填空题：已知平面向量a ＝(1,2)，b ＝(－2，m )，且a ∥b ，则2a ＋3b ＝________. 解析 由a ＝(1,2)，b ＝(－2，m )，且a ∥b ，得1×m ＝2×(－2)，即m ＝－4. 从而b ＝(－2，－4)，那么2a ＋3b ＝2(1,2)＋3(－2，－4)＝(－4，－8)．已知向量a ＝(x,1)，b ＝(2，y )，若a ＋b ＝(1，－1)，则x ＋y ＝________.解析 ∵(x,1)＋(2，y )＝(1，－1)，∴⎩⎨⎧ x ＋2＝1，y ＋1＝－1，解得⎩⎨⎧x ＝－1，y ＝－2，∴x ＋y ＝－3.已知向量a ＝(1,2)，b ＝(0,1)，设u ＝a ＋k b ，v ＝2a －b ，若u ∥v ，则实数k 的值为( ) A ．－1 B ．－12 D ．1解析 ∵u ＝(1,2)＋k (0,1)＝(1,2＋k )，v ＝(2,4)－(0,1)＝(2,3)，又u ∥v ，∴1×3＝2(2＋k )，得k ＝－12已知向量a ＝(1,2)，b ＝(x,1)，u ＝a ＋2b ，v ＝2a －b ，且u ∥v ，则实数x 的值为________．解析 ∵a ＝(1,2)，b ＝(x,1)，u ＝a ＋2b ，v ＝2a －b ，∴u ＝(1,2)＋2(x,1)＝(2x ＋1,4)，v ＝2(1,2)－(x,1)＝(2－x,3)．又∵u ∥v ，∴3(2x ＋1)－4(2－x )＝0，即10x ＝5，解得x ＝12. 若三点A (1，－5)，B (a ，－2)，C (－2，－1)共线，则实数a 的值为________解析 AB →＝(a －1,3)，AC →＝(－3,4)，根据题意AB →∥AC →，∴4(a －1)＝3×(－3)，即4a ＝－5，∴a ＝－54在□ABCD 中，AC 为一条对角线，AB→＝(2,4)，AC →＝(1,3)，则向量BD →的坐标为__________．解析 ∵AB →＋BC →＝AC →，∴BC →＝AC →－AB →＝(－1，－1)，∴BD →＝AD →－AB →＝BC →－AB →＝(－3，－5)．已知□ABCD 的顶点A (－1，－2)，B (3，－1)，C (5,6)，则顶点D 的坐标为________ 解析 设D (x ，y )，则由AB →＝DC →，得(4,1)＝(5－x,6－y )，即⎩⎨⎧ 4＝5－x ，1＝6－y ，解得⎩⎨⎧x ＝1，y ＝5.已知梯形ABCD ，其中AB ∥CD ，且DC ＝2AB ，三个顶点A (1,2)，B (2,1)，C (4,2)，则点D 的坐标为_______ 解析 ∵在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，DC ＝2AB ，∴DC→＝2AB →.设点D 的坐标为(x ，y )，则DC→＝(4,2)－(x ，y )＝(4－x,2－y )，AB →＝(2,1)－(1,2)＝(1，－1)，∴(4－x,2－y )＝2(1，－1)，即(4－x,2－y )＝(2，－2)， ∴⎩⎨⎧ 4－x ＝2，2－y ＝－2，解得⎩⎨⎧x ＝2，y ＝4，故点D 的坐标为(2,4)．如图，在△ABC 中，AN →＝13NC →，P 是BN 上的一点，若AP →＝mAB →＋211AC →，则实数m 的值为________． 解析：设BP→＝kBN →，k ∈R .∵AP →＝AB →＋BP →＝AB →＋kBN →＝AB →＋k (AN →－AB →)＝AB →＋k (14AC →－AB →)＝(1－k )AB →＋k 4AC →， 且AP →＝mAB →＋211AC →，∴1－k ＝m ，k 4＝211，解得k ＝811，m ＝311.在□ABCD 中，AB →＝e 1，AC →＝e 2，NC →＝14AC →，BM →＝12MC →，则MN →＝________(用e 1，e 2表示) 解析 如图，MN →＝CN →－CM →＝CN →＋2BM →＝CN →＋23BC →＝－14AC →＋23(AC →－AB →)＝－14e 2＋23(e 2－e 1)＝－23e 1＋512e 2如图，已知AB→＝a ，AC →＝b ，BD →＝3DC →，用a ，b 表示AD →，则AD →＝____________解析 AD →＝AB →＋BD →＝AB →＋34BC →＝AB →＋34(AC →－AB →)＝14AB →＋34AC →＝14a ＋34b若三点A (2,2)，B (a,0)，C (0，b )(ab ≠0)共线，则1a ＋1b 的值为________．解析 AB →＝(a －2，－2)，AC →＝(－2，b －2)，则(a －2)(b －2)－4＝0，即ab －2a －2b ＝0，∴1a ＋1b ＝12.设OA →＝(－2,4)，OB →＝(－a,2)，OC →＝(b,0)，a >0，b >0，O 为坐标原点，若A ，B ，C 三点共线，则1a ＋1b 的最小值为________解析 由题意得AB→＝(－a ＋2，－2)，AC →＝(b ＋2，－4)， 又AB →∥AC →，∴(－a ＋2，－2)＝λ(b ＋2，－4)，即⎩⎨⎧－a ＋2＝λb ＋2，－2＝－4λ，整理得2a ＋b ＝2，∴1a ＋1b ＝12(2a ＋b )(1a ＋1b )＝12(3＋2a b ＋b a )≥12(3＋22a b ·b a )＝3＋222(当且仅当b ＝2a 时，等号成立)．已知A (7,1)，B (1,4)，直线y ＝12ax 与线段AB 交于点C ，且AC →＝2CB →，则实数a ＝________.解析 设C (x ，y )，则AC→＝(x －7，y －1)，CB →＝(1－x,4－y )，∵AC →＝2CB →，∴⎩⎨⎧ x －7＝21－x ，y －1＝24－y ，解得⎩⎨⎧x ＝3，y ＝3.∴C (3,3)．又∵C 在直线y ＝12ax 上，∴3＝12a ·3，∴a ＝2.已知向量OA→＝(1，－3)，OB →＝(2，－1)，OC →＝(k ＋1，k －2)，若A ，B ，C 三点能构成三角形，则实数k 应满足的条件是________解析 若点A ，B ，C 能构成三角形，则向量AB →，AC →不共线．∵AB →＝OB →－OA →＝(2，－1)－(1，－3)＝(1,2)，AC→＝OC →－OA →＝(k ＋1，k －2)－(1，－3)＝(k ，k ＋1)， ∴1×(k ＋1)－2k ≠0，解得k ≠1.设0＜θ＜π2，向量a ＝(sin2θ，cos θ)，b ＝(cos θ，1)，若a ∥b ，则tan θ＝________.解析 ∵a ∥b ，∴sin2θ×1－cos 2θ＝0，∴2sin θcos θ－cos 2θ＝0， ∵0＜θ＜π2，∴cos θ＞0，∴2sin θ＝cos θ，∴tan θ＝12解答题：已知A (1,1)，B (3，－1)，C (a ，b )．(1)若A ，B ，C 三点共线，求a ，b 的关系式； (2)若AC→＝2AB →，求点C 的坐标． 解析 (1)由已知得AB→＝(2，－2)，AC →＝(a －1，b －1)，∵A ，B ，C 三点共线，∴AB→∥AC →，∴2(b －1)＋2(a －1)＝0，即a ＋b ＝2.(2)∵AC→＝2AB →，∴(a －1，b －1)＝2(2，－2)． ∴⎩⎨⎧ a －1＝4，b －1＝－4，解得⎩⎨⎧a ＝5，b ＝－3.∴点C 的坐标为(5，－3)．已知点O 为坐标原点，A (0,2)，B (4,6)，OM →＝t 1OA →＋t 2AB →. (1)求点M 在第二或第三象限的充要条件；(2)求证：当t 1＝1时，不论t 2为何实数，A ，B ，M 三点共线． (1)解 OM →＝t 1OA →＋t 2AB →＝t 1(0,2)＋t 2(4,4)＝(4t 2,2t 1＋4t 2)． 当点M 在第二或第三象限时，有⎩⎨⎧4t 2＜0，2t 1＋4t 2≠0，故所求的充要条件为t 2＜0且t 1＋2t 2≠0.(2)证明 当t 1＝1时，由(1)知OM →＝(4t 2,4t 2＋2)．∵AB →＝OB →－OA →＝(4,4)，AM →＝OM →－OA →＝(4t 2,4t 2)＝t 2(4,4)＝t 2AB →， ∴AM→与AB →共线，又有公共点A ，∴A ，B ，M 三点共线．能力提升题组已知向量a ＝(2,3)，b ＝(－1,2)，若(m a ＋n b )∥(a －2b )，则mn 等于( ) A ．－2 B ．2 C ．－12 解析 由题意得m a ＋n b ＝(2m －n,3m ＋2n )，a －2b ＝(4，－1)，∵(m a ＋n b )∥(a －2b )，∴－(2m －n )－4(3m ＋2n )＝0，∴m n ＝－12已知|OA →|＝1，|OB →|＝3，OA →·OB →＝0，点C 在∠AOB 内，且OC →与OA →的夹角为30°，设OC →＝mOA →＋nOB →(m ，n ∈R )，则mn 的值为( )A ．2 C ．3 D ．4 解析 ∵OA →·OB→＝0，∴OA →⊥OB →，以OA 为x 轴，OB 为y 轴建立直角坐标系，OA →＝(1,0)，OB →＝(0，3)，OC →＝mOA →＋nOB →＝(m ，3n )．∵tan 30°＝3n m ＝33，∴m ＝3n ，即m n ＝3如图，在△OAB 中，P 为线段AB 上的一点，OP →＝xOA →＋yOB →，且B P →＝2P A →，则( )A ．x ＝23，y ＝13B ．x ＝13，y ＝23C ．x ＝14，y ＝34D ．x ＝34，y ＝14 解析 由题意知O P →＝O B →＋B P →，又B P →＝2P A →，∴O P →＝O B →＋23B A →＝O B →＋23(O A →－O B →)＝23O A →＋13O B →，∴x ＝23，y ＝13.已知点A (－1,2)，B (2,8)，AC →＝13AB →，DA →＝－13BA →，则CD →的坐标为________解析 设点C ，D 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)．由题意得AC →＝(x 1＋1，y 1－2)，AB →＝(3,6)，DA →＝(－1－x 2,2－y 2)，BA →＝(－3，－6)．∵AC →＝13AB →，DA →＝－13BA →，∴有⎩⎨⎧ x 1＋1＝1，y 1－2＝2和⎩⎨⎧－1－x 2＝1，2－y 2＝2.解得⎩⎨⎧ x 1＝0，y 1＝4和⎩⎨⎧x 2＝－2，y 2＝0.∴点C ，D 的坐标分别为(0,4)，(－2,0)，从而CD→＝(－2，－4)．已知向量a ＝(1,1)，b ＝(1，－1)，c ＝(2cos α，2sin α)(α∈R )，实数m ，n 满足m a ＋n b ＝c ，则(m －3)2＋n 2的最大值为________解析 由m a ＋n b ＝c ，可得⎩⎨⎧m ＋n ＝2cos α，m －n ＝2sin α，故(m ＋n )2＋(m －n )2＝2，即m 2＋n 2＝1，故点M (m ，n )在单位圆上，则点P (3,0)到点M 的距离的最大值为|OP |＋1＝3＋1＝4，故(m －3)2＋n 2的最大值为42＝16.已知△ABC 和点M 满足MA→＋MB →＋MC →＝0.若存在实数m ，使得AB →＋AC →＝mAM →成立，则m ＝________.解析∵MA→＋MB →＋MC →＝0，∴M 为△ABC 的重心．如图所示，连接AM 并延长交BC 于D ，则D 为BC 的中点． ∴AM →＝23AD →.又AD →＝12(AB →＋AC →)，∴AM →＝13(AB →＋AC →)， 即AB →＋AC →＝3AM →，∴m ＝3.如图所示，A ，B ，C 是圆O 上的三点，线段CO 的延长线与BA 的延长线交于圆O 外的一点D ，若OC →＝mOA→＋nOB →，则m ＋n 的取值范围是________ 解析 由题意得，OC→＝kOD →(k ＜0)，又|k |＝|OC→||OD →|＜1，∴－1＜k ＜0.又∵B ，A ，D 三点共线，∴OD →＝λOA →＋(1－λ)OB →，∴mOA→＋nOB →＝kλOA →＋k (1－λ)OB →， ∴m ＝kλ，n ＝k (1－λ)，∴m＋n＝k，从而m＋n∈(－1,0)．。

第3讲 平面向量的基本定理与坐标运算一、考点梳理考点1 平面向量基本定理(1)定理：如果e 1，e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2.(2)基底：把不共线的向量e 1，e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．例1．（1）下面说法中，正确的是( )①一个平面内只有一对不共线向量可作为表示该平面内所有向量的基底；①一个平面内有无数多对不共线向量可作为表示该平面内所有向量的基底；①零向量不可作为基底中的向量；①对于平面内的任一向量a 和一组基底e 1，e 2，使a ＝λe 1＋μe 2成立的实数对一定是唯一的．A ．①①B ．①①①C ．①①D ．①①①答案 B 解析 因为不共线的任意两个向量均可作为平面的一组基底，故①①正确，①不正确；由平面向量基本定理知①正确．综上可得①①①正确．（2）如图所示，在①OAB 中，OA →＝a ，OB →＝b ，M 、N 分别是边OA 、OB 上的点，且OM →＝13a ，ON →＝12b ，设AN →与BM →交于点P ，用向量a 、b 表示OP →.分析 利用“表示方法的唯一性”确定参数，进而确定λ1，λ2.解 ①OP →＝OM →＋MP →，OP →＝ON →＋NP →，设MP →＝mMB →，NP →＝nNA →，则OP →＝OM →＋mMB →＝13a ＋m (b －13a )＝13(1－m )a ＋m b ，OP →＝ON →＋nNA →＝12(1－n )b ＋n a . ①a 与b 不共线，①⎩⎨⎧ 13(1－m )＝n ，12(1－n )＝m ，①⎩⎨⎧ m ＝25，n ＝15.①OP →＝15a ＋25b . （3）如图所示，在①ABC 中，AB ＝2，BC ＝3，①ABC ＝60°，AD 为BC 边上的高，M 为AD 的中点，若AM →＝λAB →＋μBC →，则λ＋μ的值为( )A.53 B.－12 C.12 D.23答案 D解析 ①在①ABC 中，AB ＝2，BC ＝3，①ABC ＝60°，AD 为BC 边上的高，①在①ABD 中，BD ＝12AB ＝1.又BC ＝3，①BD ＝13BC ，①AD →＝AB →＋BD →＝AB →＋13BC →.①M 为AD 的中点，①AM →＝12AD →＝12AB →＋16BC →.①AM →＝λAB →＋μBC →，①λ＝12，μ＝16，①λ＋μ＝23.【变式训练1】．设{e 1，e 2}是平面内所有向量的一个基底，则下列四组向量中，不能作为基底的是() A ．e 1＋e 2和e 1－e 2 B ．3e 1－4e 2和6e 1－8e 2C ．e 1＋2e 2和2e 1＋e 2D ．e 1和e 1＋e 2答案 B 解析：在B 中，因为6e 1－8e 2＝2(3e 1－4e 2)，所以(3e 1－4e 2)①(6e 1－8e 2)．所以3e 1－4e 2和6e 1－8e 2不能作为基底，其他三个选项中的两组向量都不平行，故都可以作为一组基底．【变式训练2】．如图所示，已知在平行四边形ABCD 中，E 、F 分别是BC 、DC 边上的中点，若AB →＝a ，AD →＝b ，试以{a ，b }为基底表示DE →、BF →.解：①四边形ABCD 是平行四边形，E 、F 分别是BC 、DC 边上的中点，①AD →＝BC →＝2BE →，CD →＝BA →＝2CF →，①BE →＝12AD →＝12b ， CF →＝12CD →＝12BA →＝－12AB →＝－12a . ①DE →＝DA →＋AB →＋BE →＝－AD →＋AB →＋BE →＝－b ＋a ＋12b ＝a －12b . BF →＝BC →＋CF →＝AD →＋CF →＝b －12a . 【变式训练3】．如图所示，在①ABC 中，点M 为AB 的中点，且AN ＝12NC ，BN 与CM 相交于点E ，设AB →＝a ，AC →＝b ，试以a ，b 为基底表示AE →.解 ①AN →＝13AC →＝13b ，AM →＝12AB →＝12a ， 由N ，E ，B 三点共线知存在实数λ满足AE →＝λAN →＋(1－λ)AB →＝13λb ＋(1－λ)a . 由C ，E ，M 三点共线知存在实数μ满足AE →＝μAM →＋(1－μ)AC →＝μ2a ＋(1－μ)b . ①⎩⎨⎧ 1－λ＝μ2，1－μ＝λ3，解得⎩⎨⎧ λ＝35，μ＝45.①AE →＝25a ＋15b .考点2 平面向量的坐标表示及加减运算设OA →＝x i ＋y j ，则向量OA →的坐标(x ，y )就是终点A 的坐标；反过来，终点A 的坐标(x ，y )就是向量OA →的坐标． 因此，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都可以用一有序实数对唯一表示，即以原点为起点的向量与实数对是一一对应的．若点A 坐标为(x 1，y 1)，点B 坐标为(x 2，y 2)，O 为坐标原点，则OA →＝(x 1，y 1)，OB →＝(x 2，y 2)，AB →＝OB →－OA →＝(x 2，y 2)－(x 1，y 1)＝(x 2－x 1，y 2－y 1)，即一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标．例2．（1）给出下面几种说法：①相等向量的坐标相同；①平面上一个向量对应于平面上唯一的坐标；①一个坐标对应于唯一的一个向量；①平面上一个点与以原点为始点，该点为终点的向量一一对应．其中正确说法的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4答案 C 解析 由向量坐标的定义不难看出一个坐标可对应无数个相等的向量，故①错误．（2）如果用i ，j 分别表示x 轴和y 轴方向上的单位向量，且A (2,3)，B (4,2)，则AB →可以表示为( )A ．2i ＋3jB ．4i ＋2jC ．2i －jD ．－2i ＋j答案：C 解析：记O 为坐标原点，则OA →＝2i ＋3j ，OB →＝4i ＋2j ，所以AB →＝OB →－OA →＝2i －j .（3）已知边长为单位长度的正方形ABCD ，若A 点与坐标原点重合，边AB 、AD 分别落在x 轴、y 轴的正方向上，则向量AB →－BC →＋AC →的坐标为________．答案 (2,0) 解析 根据题意建立平面直角坐标系(如图)，则各顶点的坐标分别为A (0,0)，B (1,0)，C (1,1)，D (0,1)，所以AB →＝(1,0)，BC →＝(0,1)，AC →＝(1,1)，所以AB →－BC →＋AC →＝(1,0)－(0,1)＋(1,1)＝(2,0)．【变式训练1】．在平面直角坐标系中，向量a ，b ，c 的方向如图所示，|a |＝2，|b |＝3，|c |＝4，向量a ，b ，c 的坐标分别为_____，________，________.答案 (2，2) ⎝⎛⎭⎫－32，332 (23，－2) 解析 设a ＝(a 1，a 2)，b ＝(b 1，b 2)，c ＝(c 1，c 2)．a 1＝|a |cos45°＝2×22＝2， a 2＝|a |sin45°＝2×22＝2， b 1＝|b |cos120°＝3×⎝⎛⎭⎫－12＝－32， b 2＝|b |sin120°＝3×32＝332， c 1＝|c |cos(－30°)＝4×32＝23， c 2＝|c |sin(－30°)＝4×⎝⎛⎭⎫－12＝－2. ①a ＝(2，2)，b ＝⎝⎛⎭⎫－32，332，c ＝(23，－2)． 【变式训练2】．在平面直角坐标系中，|a |＝4，且a 如图所示，则a 的坐标为( )A ．(23，2)B ．(2，－23)C ．(－2,23)D ．(23，－2)答案D 解析：x ＝|a |·cos(－30°)＝4×32＝23，y ＝|a |·sin(－30°)＝4×(－12)＝－2. 【变式训练3】．已知①ABCD 的三个顶点A ，B ，C 的坐标分别为(－2,1)，(－1,3)，(3,4)，求顶点D 的坐标． 答案 (2,2)解：设顶点D 的坐标为(x ，y )，在①ABCD 中，AD →＝BC →，又AD →＝(x ＋2，y －1)，BC →＝(4,1)，①(x ＋2，y －1)＝(4,1)，即⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2＝4，y －1＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝2，①顶点D 的坐标为(2,2). 考点3 平面向量数乘运算的坐标表示平面向量数乘运算的坐标表示及中点坐标公式设向量a ＝(x 1，y 1)，则λa ＝(λx 1，λy 1)．中点坐标公式：若P 1，P 2的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，线段P 1P 2的中点P 的坐标为(x ，y )，则⎩⎨⎧ x ＝x 1＋x 22，y ＝y 1＋y 22.两个向量共线的坐标表示向量a ，b 共线的坐标表示：设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ①b ①x 1y 2－x 2y 1＝0.例3．（1）已知a ＝(2,1)，b ＝(－3,4)，求a ＋b ，a －b,3a ＋4b 的坐标．解 a ＋b ＝(2,1)＋(－3,4)＝(－1,5)，a －b ＝(2,1)－(－3,4)＝(5, －3)，3a ＋4b ＝3(2,1)＋4(－3,4)＝(6,3)＋(－12,16)＝(－6,19).（2）已知a ＝(1,2)，b ＝(－3,2)，当k 为何值时，k a ＋b 与a －3b 平行？平行时它们是同向还是反向？ 分析 先计算出k a ＋b 与a －3b 的坐标，然后利用向量共线的坐标表示即可求k ，再根据符号确定方向．解 因为a －3b ＝(1,2)－3(－3,2)＝(10，－4)．k a ＋b ＝k (1,2)＋(－3,2)＝(k －3,2k ＋2)，又(k a ＋b )①(a －3b )，故－4(k －3)＝10(2k ＋2)，即k ＝－13. 这时k a ＋b ＝⎝⎛⎭⎫－103，43，且a －3b 与－13a ＋b 的对应坐标异号，故当k ＝－13时，k a ＋b 与a －3b 平行，并且是反向的．（3）已知OA →＝(3,4)，OB →＝(7,12)，OC →＝(9,16)，求证：A ，B ，C 三点共线；证明：①AB →＝OB →－OA →＝(4,8)，AC →＝OC →－OA →＝(6,12)．①4×12－8×6＝0，即AB →与AC →共线．又①AB →与AC →有公共点A ，①A ，B ，C 三点共线．（4）已知a ＝(－2,3)，b ＝(3,1)，c ＝(10，－4)，试用a ，b 表示c .解 设c ＝x a ＋y b ，则(10，－4)＝x (－2,3)＋y (3,1)＝(－2x ＋3y,3x ＋y )，①⎩⎪⎨⎪⎧10＝－2x ＋3y ，－4＝3x ＋y ，解得x ＝－2，y ＝2，①c ＝－2a ＋2b . 【变式训练1】．已知a ＝(－1,2)，b ＝(2,1)，求：(1)2a ＋3b ；(2)a －3b ；(3)12a －13b .解 (1)2a ＋3b ＝2(－1,2)＋3(2,1)＝(－2,4)＋(6,3)＝(4,7)．(2)a －3b ＝(－1,2)－3(2,1)＝(－1,2)－(6,3)＝(－7，－1)．(3)12a －13b ＝12(－1,2)－13(2,1)＝⎝⎛⎭⎫－12，1－⎝⎛⎭⎫23，13＝⎝⎛⎭⎫－76，23.【变式训练2】．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(2，－2)，c ＝(1，λ)，若c ①(2a ＋b )，则λ＝ .答案12. 解析：2a ＋b ＝(4,2)，因为c ①(2a ＋b )，所以4λ＝2，得λ＝12.【变式训练3】．设向量OA →＝(k,12)，OB →＝(4,5)，OC →＝(10，k )，当k 为何值时，A ，B ，C 三点共线？解 ①AB →＝OB →－OA →＝(4－k ，－7)，AC →＝OC →－OA →＝(10－k ，k －12)，①(4－k )(k －12)＋7(10－k )＝0.解得k ＝－2或k ＝11.【变式训练4】．已知a ＝(10，－5)，b ＝(3,2)，c ＝(－2,2)，试用b ，c 表示a .解 设a ＝λb ＋μc (λ，μ①R )．则(10，－5)＝λ(3,2)＋μ(－2,2)＝(3λ，2λ)＋(－2μ，2μ)＝(3λ－2μ，2λ＋2μ)．①⎩⎪⎨⎪⎧ 10＝3λ－2μ，－5＝2λ＋2μ，解得⎩⎪⎨⎪⎧ λ＝1，μ＝－72，①a ＝b －72c . 考点4 平面向量数量积的坐标表示面向量数量积的坐标表示若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a·b ＝x 1x 2＋y 1y 2.即两个向量的数量积等于相应坐标乘积的和．平面向量长度(模)的坐标表示向量模公式：设a ＝(x 1，y 1)，则|a |＝x 21＋y 21.两向量垂直的坐标表示设两个非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ⊥b ①x 1x 2＋y 1y 2＝0.向量的夹角公式设两非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，a 与b 的夹角为θ，则cos θ＝a·b |a||b |＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21x 22＋y 22.例4．（1）若a ＝(2,3)，b ＝(－1，－2)，c ＝(2,1)，则(a·b )·c ＝____________；a·(b·c )＝____________. 答案 (－16，－8) (－8，－12)解析 ①a·b ＝2×(－1)＋3×(－2)＝－8，①(a·b )·c ＝－8×(2,1)＝(－16，－8)．①b·c ＝(－1)×2＋(－2)×1＝－4，①a·(b·c )＝(2,3)×(－4)＝(－8，－12)．（2）向量AB →与向量a ＝(－3,4)的夹角为π，|AB →|＝10，若点A 的坐标是(1,2)，则点B 的坐标为( )A ．(－7,8)B ．(9，－4)C ．(－5,10)D ．(7，－6)解析 (1)①向量AB →与向量a ＝(－3,4)的夹角为π，①设AB →＝k a ＝k (－3,4)＝(－3k,4k )(k <0)．由此可得|AB →|＝(－3k )2＋(4k )2＝10，解之得k ＝－2(k ＝2舍去)．①AB →＝(6，－8)，设B (m ，n )，得AB →＝(m －1，n －2)＝(6，－8)，则有⎩⎪⎨⎪⎧m －1＝6n －2＝－8，解得m ＝7，n ＝－6，①B (7，－6)，故选D.（3）已知向量a ＝(－1,2)，b ＝(m,1)．若向量a ＋b 与a 垂直，则m ＝________.答案 7 解析 因为a ＋b ＝(m －1,3)，a ＋b 与a 垂直，所以(m －1)×(－1)＋3×2＝0，解得m ＝7.（4）已知a ＝(3，－1)，b ＝(1，－2)，则a 与b 的夹角为( )A.π6B.π4C.π3D.π2答案 B 解析 ①|a |＝10，|b |＝5，a ·b ＝5.①cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝510×5＝22. 又①a ，b 的夹角范围为[0，π]．①a 与b 的夹角为π4. 【变式训练1】．已知a 与b 同向，b ＝(1,2)，a·b ＝10.(1)求a 的坐标；(2)若c ＝(2，－1)，求a (b·c )及(a·b )c .解 (1)设a ＝λb ＝(λ，2λ) (λ>0)，则有a·b ＝λ＋4λ＝10，①λ＝2，①a ＝(2,4)．(2)①b·c ＝1×2－2×1＝0，a·b ＝1×2＋2×4＝10，①a (b·c )＝0a ＝0，(a·b )c ＝10(2，－1)＝(20，－10)．【变式训练2】已知在①ABC 中，A (2，－1)、B (3,2)、C (－3，－1)，AD 为BC 边上的高，求|AD →|与点D 的坐标．解 设点D 的坐标为(x ，y )，则AD →＝(x －2，y ＋1)，BC →＝(－6，－3)，BD →＝(x －3，y －2)，①D 在直线BC 上，即BD →与BC →共线，①存在实数λ，使BD →＝λBC →，即(x －3，y －2)＝λ(－6，－3)．①⎩⎪⎨⎪⎧x －3＝－6λ，y －2＝－3λ. ①x －3＝2(y －2)，即x －2y ＋1＝0.①又①AD ①BC ，①AD →·BC →＝0，即(x －2，y ＋1)·(－6，－3)＝0，①－6(x －2)－3(y ＋1)＝0.即2x ＋y －3＝0.①由①①可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1，即D 点坐标为(1,1)，AD →＝(－1,2)． ①|AD →|＝(－1)2＋22＝5，即|AD →|＝5，D (1,1)．【变式训练3】．已知向量()5,a m =，()2,2b =-，若()a b b -⊥，则实数m = ( )A. －1B. 1C. 2D. －2 答案：B 解析 因为向量()5,a m =，()2,2b =-，所以()3,2a b m +=+，因为()a b b -⊥，所以()0a b b -⋅=，所以()6220m -+=，解得1m =.【变式训练4】．设向量a 与b 的夹角为θ，且a ＝(3,3)，2b －a ＝(－1，－1)，cos θ＝________.答案 1 解析 b ＝12a ＋12(－1，－1)＝(1,1)，a·b ＝6.又|a |＝32，所以cos θ＝a·b |a |·|b |＝66＝1.二、课堂检测1．下面三种说法中，正确的是( )①一个平面内只有一对不共线向量可作为表示该平面所有向量的基底；①一个平面内有无数多对不共线向量可作为该平面所有向量的基底；①零向量不可作为基底中的向量．A ．①①B ．①①C ．①①D ．①①①答案 B2．若a 、b 不共线，且λa ＋μb ＝0(λ，μ①R )，则( )A ．a ＝0，b ＝0B ．λ＝μ＝0C ．λ＝0，b ＝0D ．a ＝0，μ＝0答案 B3. 若e 1，e 2是平面内的一组基底，则下列四组向量能作为平面向量的基底的是( )A ．e 1－e 2，e 2－e 1B ．2e 1＋e 2，e 1＋12e 2 C ．2e 2－3e 1,6e 1－4e 2 D ．e 1＋e 2，e 1－e 2 答案 D4. 已知向量a ＝(1,2)，b ＝(3,1)，则b －a 等于( )A ．(－2,1)B ．(2，－1)C ．(2,0)D ．(4,3)答案 B 解析 b －a ＝(3,1)－(1,2)＝(2，－1)，故选B.5. 若AB →＝(1,1)，AD →＝(0,1)，BC →＋CD →＝(a ，b )，则a ＋b ＝( )A ．－1B ．0C ．1D ．2答案：A 解析：BC →＋CD →＝BD →＝AD →－AB →＝(0,1)－(1,1)＝(－1,0)，故a ＝－1，b ＝0，a ＋b ＝－1.6. 已知向量()2,3a =-，()3,b m =且//a b ，则m =（ ）A. －2B. 2C. 92-D. 92①①①C ①①①//a b ，(2,3)a =-，(3,)b m = ∴290m --=，解得92m =- 7. 如图，已知AB →＝a ，AC →＝b ，BD →＝3DC →，用a ，b 表示AD →，则AD →＝________.答案 14a ＋34b 解析 AD →＝AB →＋BD →＝AB →＋34BC →＝AB →＋34(AC →－AB →)＝14AB →＋34AC →＝14a ＋34b . 8. 若向量a ＝(2x －1，x 2＋3x －3)与AB →相等，已知A (1,3)，B (2,4)，则x ＝ .答案：1 解析：①AB →＝(2,4)－(1,3)＝(1,1)，AB →＝a ，①⎩⎪⎨⎪⎧2x －1＝1，x 2＋3x －3＝1，解得x ＝1. 9. 已知点(0,1)A ，B (2,5)，(,3)C x -，则向量AB 的坐标是________；若A ，B ，C 三点共线，则实数x =________. 答案：(2,4) －2①①：因为(0,1)A ，B (2,5)，所以()()20,512,4AB =--=；向量()()0,31,4AC x x =---=-， 因为A ，B ，C 三点共线，所以//AB AC ，所以()2440x ⨯--=，解得2x =-10. 已知点A (0,1)，B (3,2)，向量(4,3)AC =--，则向量AB =____，向量BC =____．答案：(3,1) (－7,－4)；解析：由点(0,1)A ，(3,2)B ，向量(4,3)AC =--，先求出点C 坐标为(4,2)--，由此利用平面向量坐标运算法则能求出向量AB 和向量BC ．点(0,1)A ，(3,2)B ，向量(4,3)AC =--，∴点C 坐标为(4,2)--，∴向量(3,1)AB =，向量(7,4)BC =--．11 已知()1,3OA =-，()2,1OB =-，()1,2OC k k =+-，若A 、B 、C 三点在同一直线上，则k =______. 答案：1解析：(1,2)AB OB OA =-=，(,1)AC OC OA k k =-=+． A 、B 、C 三点共线，2(1)0k k ∴-+=，解得1k =．12. 设向量(12)(23)a b ==，，，，若向量a b λ+与向量(47)c =--，共线，则λ= 答案：2解析：a b λ+=(,2(2,3)(2,23λλλλ+=++）），由向量共线的充分必要条件有：()()(2)7(23)42λλλ+⋅-=+⋅-⇒=.13. 若向量()1,2a =，()2,1b =，则a b +与a b -的夹角等于______. 答案：2π 解析：()3,3a b +=，()1,1a b -=-，()()=0+⋅-a b a b ，∴()()a b a b +⊥-，a b +与a b -的夹角等于2π. 14. 已知向量()1,2a =，向量()3,2b =-.（1）求向量2a b -的坐标；（2）当k 为何值时，向量ka b +与向量2a b -共线.答案：（1）()7,2-（2）12k =-解析：（1）()()()21,223,27,2a b -=--=-（2）()()()1,23,23,22ka b k k k +=+-=-+，()()()21,223,27,2a b -=--=-①ka b +与2a b -共线，①()()72223k k +=--①12k =-15 已知在①ABC 中，A (2，－1)、B (3,2)、C (－3，－1)，AD 为BC 边上的高，求|AD →|与点D 的坐标．解 设点D 的坐标为(x ，y )，则AD →＝(x －2，y ＋1)，BC →＝(－6，－3)，BD →＝(x －3，y －2)，①D 在直线BC 上，即BD →与BC →共线，①存在实数λ，使BD →＝λBC →，即(x －3，y －2)＝λ(－6，－3)．①⎩⎪⎨⎪⎧x －3＝－6λ，y －2＝－3λ.①x －3＝2(y －2)，即x －2y ＋1＝0.① 又①AD ①BC ，①AD →·BC →＝0，即(x －2，y ＋1)·(－6，－3)＝0，①－6(x －2)－3(y ＋1)＝0.即2x ＋y －3＝0.①由①①可得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝1，即D 点坐标为(1,1)，AD →＝(－1,2)．①|AD →|＝(－1)2＋22＝5，即|AD →|＝5，D (1,1)．。

平面向量的基本定理及坐标运算好啦，今天我们来聊聊平面向量的基本定理和坐标运算。

这可是个很有趣的话题，别被那些数学术语吓跑哦！你知道吗，向量其实就像是一把钥匙，可以打开很多数学大门。

听上去挺高大上的，但实际上，我们生活中处处都离不开它们，就像你每天都离不开饭一样。

想象一下，你在操场上跑来跑去，运动会的时候，标记你起跑的地方和终点的地方。

用坐标来表示，就是一个个的点，比如 (2, 3) 代表着你起跑的地方，(5, 7) 是终点。

平面向量就像是连接这两个点的一根线，从 A 点到 B 点的过程就叫做向量的运算。

听起来是不是有点神秘？其实也没那么复杂。

向量不仅有方向，还有长度，这样一来，我们就能把它当成一个小箭头，指向目标，越远越好，嘿嘿。

再来看看坐标运算，简单来说，就是把这些向量在坐标系上转来转去。

比如说你要把一条向量从起点搬到终点，怎么搬？很简单，向量的加法就可以搞定。

想象一下，你有一个从 (2, 3) 到 (5, 7) 的向量，再加上一个从 (5, 7) 到 (8, 10) 的向量，结果就是从 (2, 3) 直接到 (8, 10)。

这就像你在操场上先跑到朋友那儿，然后一起跑到更远的地方，简直爽翻了。

向量的减法也好玩，想象你在吃汉堡，先吃了一个大汉堡，接着又吃了一个小汉堡。

这样一来，你的胃口就会受到影响嘛，向量的减法就是把一部分“胃口”给减掉。

把(5, 7) 的向量减去 (2, 3)，就好比把你吃过的那部分减掉，最后留下的结果就是 (3, 4)。

这就像是记账，进账和出账的过程，清清楚楚，明明白白。

平面向量的基本定理告诉我们，两个向量如果相加，结果其实就是个新向量。

这和我们日常生活的积累特别像，不管是友情还是经历，都是点点滴滴积累起来的。

你在学校交了朋友，跑步时又认识了新伙伴，这些都是向量的相加。

每个人都是一个小向量，带着自己独特的方向和长度，拼凑起来就是一幅美丽的画面。

再说说方向和大小，向量的大小就是它的长度，方向就是箭头指向的地方。

平面向量的基本定理及坐标表示题型一：平面向量基本定理及其理解【方法梳理】同一平面内任一向量都可以表示为两个不共线向量的线性组合．只要选定一个平面内的两个不共线的向量，那么这个平面内的任何向量都可以用这两个向量表示出来．它体现了事物间的相互转化，也为今后的解题提供了一种方法．在向量运算及利用向量证明有关问题都有广泛的应用． 【知识链接】1．平面向量基本定理：若1e ，2e是共面 的两个向量，a 是该平面内任意向量，则 ，使a = ．把 的向量1e ，2e叫做表示这一平面所有向量的一组基底．（不共线）2．平面向量基本定理的理解：设a ，1e ，2e 共面，1e ，2e是基底，1122a λe λe =+ ，则：①向量的分解与合成：若1122a λe λe =+ ，则在1e ，2e相同或相反方向上把a 分解成两个向量11λe 与22λe 的和，反之，若1122λe λe a += ，则把两个向量11λe 与22λe合成为向量a ．②表达式的唯一性：1122a λe λe =+唯一12,λλ⇔唯一．③向量的正交分解：当12e e ⊥时，就说1122a λe λe =+ 为对向量a 的正交分解．④向量a的坐标：（详见向量的坐标表示部分）【巩固与应用】 1．判断：（1）设a ，1e ，2e 共面，若1122a λe λe =+ ，则把1e ，2e叫做该平面内所有向量的基底． （2）已知1e ，2e 是平面的一组基底，如果向量a ，1e ，2e 共面，则有且只有一对实数12,λλ，使1122a λe λe =+ ．反之，如果有且只有一对实数12,λλ，使1122a λe λe =+ ，则a ，1e ，2e 共面．2．证明定理中表达式1122a λe λe =+的唯一性．证明：只需证明实数对12(,)λλ唯一．假设存在另一对实数//12,λλ，且/11λλ≠，/22λλ≠，使//1122a λe λe =+ ．由1122a λe λe =+ 得//11221122λe λe λe λe +=+，即//111222()()0λλe λλe -+-= ．由于1e ，2e 不共线，则//11220λλλλ-=-=，这与假 设矛盾，故假设不成立，从而证明实数对12(,)λλ唯一．3．如果1e ，2e是平面α内所有向量的一组基底，那么，下列命题正确的是（ ） A ．若实数12,λλ使11220λe λe +=，则120λλ==B ．空间任意向量a 都可以表示为1122a λe λe =+，其中12,R λλ∈C ．1122λe λe +不一定在平面α内，其中12,R λλ∈D ．对于平面α内任一向量a ，使1122a λe λe =+的实数12,λλ有无数对4．下面三种说法：①一个平面内只有一对不共线向量可作为表示该平面所有向量的基底； ②一个平面内只有无数多对不共线向量可作为表示该平面所有向量的基底； ③零向量不可作为基底中的向量．其中正确的说法是（ ）A ．①②B ．②③C ．①③D ．①②③5．已知1e ，2e是表示平面所有向量的一组基底，那么下列四组向量中不能作为一组基底的是（ ）A ．1e 和12e e +B ．122e e - 和212e e -C ．122e e - 和2142e e -D ．12e e + 和12e e -题型二：待定系数法求向量表达式（Ⅱ）—用基底向量表示未知向量【方法梳理】1．用平面内的一组基底向量表示平面内的任何一个向量，这是用向量解题的基本功． 2．此类题涉及以下内容：三种线性运算及几何意义；共线向量、平面向量基本定理；有关相似形、比例线段等平面几何知识；方程思想与待定系数法等数学思想和思想方法． 【巩固与应用】例1．在△ABC 中，14OC OA = ，12OD OB =，AD 与BC 交于点M ，设OA a = ，OB b = ，以a 、b 为基底表示OM ．解：令OM ma nb =+(,R)m n ∈，则AM OM OA =- (1)m a nb =-+ ，AD OD OA =- 1122b a a b =-=-+．因为，,,A M D 三点共线，所以1(1)(1)2m n -⋅=-⋅（或1112m n -=-），即21m n +=． 同理CM OM OC =- 1()4m a nb =-+， CB OB OC =- 1144b a a b =-=-+． 因为,,C M B ，所以11()144m n -⋅=-⋅（或14114m n -=-），即41m n +=． 由21,41,m n m n +=⎧⎨+=⎩解得1,73.7m n ⎧=⎪⎨=⎪⎩所以1377OM a b =+ ．1．在△ABC 中，12BD DC = ，3AE ED =，若AB a = ，AC b = ，则BE =（ ）A ．1133a b +B ．1124a b -+C ．1124a b +D ．1133a b -+2．3．在△ABC 中，13AD AB =，14AE AC =，BE 与CD 交于点P ，且A B a = ，AC b = ，用,a b 表示AP题型：向量的坐标表示（Ⅰ）【方法梳理】向量的坐标表示是向量的另一种表示形式，向量的坐标建立了向量与实数的联系，使向量运算数量化、代数化，使向量运算变得异常简明． 【知识链接】1．向量坐标定义：设i 、j 分别是x 、y 轴上的单位方向向量，a是坐标平面内任意向量，根据平面向量基本定理，存在唯一有序实数对(,)x y ，使a xi y j =+，把数对(,)x y 叫做向量a 的直角坐标，记作(,)a x y =．注：(,)a xi y j a x y =+⇔=．2．坐标运算：（1）设11(,)a x y = ，22(,)b x y =，则a b +=，a b -= ，λa = ．（2）①设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则AB =．②设(,)a x y =是坐标平面内任意向量，若OA a = ，则点A 的坐标为 ．即：以原点为起点的向量的坐标与其终点的坐标 ．结果：(,)x y 、相同③向量的坐标与点的坐标有所不同，相等向量的坐标是 的，但它们的起点、终点的坐标 ． 结果：不同，可以不同，④两个一一对应关系：向量的坐标、原点为起点的向量、原点为起点的向量终点坐标之间存在一一对应关系．3．平面向量共线的坐标表示设11(,)a x y = ，22(,)b x y =，则//a b ⇔ ． 结果：12210x y x y -= 【巩固与应用】例2．已知(2,4)A -，(3,1)B -，(3,4)C --，且3CM C A =，2CN CB = ，试求点,M N 和向量MN的坐标．解：由(2,4)A -，(3,1)B -，(3,4)C --，得 (1,8)CA = ， (6,3)CB =．故3(3,24)CM CA == ，2(12,6)CN CB ==．令(,)M x y ，则(3,4)(3,24)CM x y =++= ，故33,424,x y +=⎧⎨+=⎩解得0,20.x y =⎧⎨=⎩故所求(0,20)M ，(9,2)N ，(9,18)MN =-．1．若向量(3,2)a = ，(0,1)b =-，则向量2b a - 的坐标是（ ）A ．(3,4)-B ．(3,4)-C ．(3,4)D ．(3,4)--2．若向量(1,1)a = ，(1,1)b =- ，则1322a b -=（ ）A ．(2,1)--B ．(2,1)-C ．(1,0)-D ．(1,2)-3．在平行四边形ABCD 中，AC 、BD 为对角线，若(1,3)AC =- ，(1,1)BD =，则AB =（ ）A ．(0,1)B ．(0,1)-C ．(1,1)-D ．(1,1)-6．已知(2,4)AB =-，则下列说法正确的是（ ）A ．点A 的坐标是(2,4)-B ．点A 为坐标原点时，点B 坐标为(2,4)-C ．点B 的坐标是(2,4)-D ．点B 为坐标原点时，点A 坐标为(2,4)-7．已知(2,3)A ，(1,5)B -，且3AC AB =，则点C 的坐标为（ ）A ．(7,9)-B ．(5,8)-C ．(5,7)-D ．(7,7)-8．已知(1,3)A -，(3,4)a =，且2AB a = ，则点B 的坐标为 ．9．设四边形ABCD 的四个顶点分别为(4,8)A ，15(1,)2B -，(2,1)C --，3(,7)4D -，求AC 和BD 交点M 的坐标．例．已知平面内三个向量：(3,2)a =，(1,2)b =-，(4,1)c =． （1）求满足a mb nc =+的实数,m n ；（2）若()//(2)a kc b a +-，求实数k ．结果：（1）58,99m n ==（2）1613k =- 1．已知平面向量(1,2)a = ，(2,)b m =-，且//a b ，则23a b += （ ）A ．(2,4)--B ．(3,6)--C ．(4,8)--D ．(5,10)--2．已知(3,1)a =- ，(1,2)b =- ，若(2)//()a b a kb -++，则实数k =A ．17-B ．12-C ．1918D ．533．若向量(1,2)a = ，(,1)b x =，且2a b + 与2a b - 共线，则x = ．4．已知(1,1)a =- ，(1,3)b =- ，(3,5)c =，且c ma nb =+ ，则m n += ．。