《向量的分解和向量的坐标运算》习题

2.2.2 向量的正交分解与向量的直角坐标运算课后导练基础达标1.若向量a =（3，2），b =（0，-1），则向量2b -a 的坐标是（ ）A.（3，-4）B.（-3，4）C.（3，4）D.（-3，-4）答案:D2.设a =（-1，2），b =（-1，1），c =(3,-2),用a ，b 作基底，将c 表示为c =p a +q b ,则（ ）A.p=4,q=1B.p=1,q=-4C.p=0,q=4D.p=1,q=4答案:B3.已知ABCD 中，AD =（3，7），AB =（-2，3），对角线AC 、BD 交于O ，则CO 坐标为（） A.（21-，5） B.（21，5）C.（21-，-5）D.（21，-5）解析:如图所示，AC =AB +AD =（-2，3）+（3，7）=（1，10）,∴OC =21AC =（21，5）.∴CO =（21-，-5）.答案:C4.设A 、B 、C 、D 坐标依次为（-1，0）、（3，1）、（4，3）、（0，2），则四边形ABCD 为（） A.正方形 B.矩形 C.菱形 D.平行四边形解析:如图所示，=（0，2）-（-1，0）=（1，2）,=（4，3）-（3，1）=（1，2）,∴=.又=(3,1)-(-1,0)=(4,1)且||≠||,∴四边形ABCD 为平行四边形.答案:D5.设点A(-1,2),B(2,3),C(3,-1),且AD=2AB-3BC,则点D坐标为( )A.(2,16)B.(-2,-16)C.(4,16)D.(2,0)解析:设D(x,y),则AD=(x+1,y-2),AB=(3,1),BC=(1,-4),由(x+1,y-2)=2(3,1)-3(1,-4)得⎩⎨⎧==∴⎩⎨⎧=-=+.16,2.142,31yxyx答案:A6.设a=(-1,2),b=(1,-1),c=(3,-2),且c=p a+q b,则实数p、q的值为( )A.p=4,q=1B.p=1,q=-4C.p=0,q=1D.p=1,q=4解析:由(3,-2)=p(-1,2)+q(1,-1)得⎩⎨⎧-=-+-=.22,3qpqp解得p=1,q=4.答案:D7.已知A、B、C坐标分别为（2，-4）、（0，6）、（-8，10），则AB+2BC=_________，BC-AC21=________.答案:（-18，18）（-3，-3）8.已知边长为单位长的正方形ABCD.若A点与坐标原点重合，边AB、AD分别落在x轴、y 轴的正方向上，则向量2AB+3BC+AC的坐标为___________.解析:根据题意建立坐标系（如图），则各顶点的坐标分别为A（0，0）、B（1，0）、C（1，1）、D（0，1）.∴=（1，0），=（0，1），=（1，1）.∴2+3+=（2，0）+（0，3）+（1，1）=（3，4）.答案:(3,4)综合运用9.(2006山东高考,4) 设向量a=(1,-3),b=(-2,4).若表示向量4a、3b-2a、c的有向线段首尾相接能构成三角形,则向量c为( )A.(1,-1)B.(-1,1)C.(-4,6)D.(4,-6)解析:若使向量4a ,3b -2a ,c 表示的有向线段首尾相接构成三角形,则4a +(3b -2a )+c =0, ∴c =-2a -3b =-2(1,-3)-3(-2,4)=(4,-6).故选D.答案:D10.(2006湖南高考,10) 如图所示,OM∥AB,点P 在由射线OM 、线段OB 及AB 的延长线围成的阴影区域内(不含边界),且OP =x OA +y OB ,则实数对(x,y)可以是…( )A.(43,41)B.(32,32-)C.(43,41-)D.(57,51-) 解析:据平面向量基本定理和平行四边形法则,A(43,41),OP =41OA +43OB ,P 在OB 下方, B(32,32-),P 在OM 边界上, D(57,51-),P 在AB 延长线上方,故选C. 答案:C11.已知O 是△ABC 内一点,∠AOB=150°,∠BOC=90°,设OA =a ,OB =b ,OC =c 且|a |=2,|b |=1,|c |=3,试用a 和b 表示c .解:以O 为坐标原点,OA 所在直线为x 轴建立如下图所示坐标系.由|OA |=2,得OA =(2,0). 由∠AOB=150°,根据三角函数定义可求出B 点坐标x b =1·cos150°=23-,y b =21, ∴B(23-,21),即=(23-,21). 同理,∠AOC=150°+90°=240°,∴x c =3×cos240°=23-,y c =3sin240°=233-. ∴C(233,23--), 即=(233,23--). 设=m +n ,则(233,23--)=m(2,0)+n(23-,21), 即⎩⎨⎧-=-=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=--=-.33,3.21233,23223n m n n m 解得 ∴OC =-3OA -33OB ,即c =-3a -33b .拓展探究12.已知点A(2,3),B(5,4),C(7,10),若AP =AB +λ·AC (λ∈R ),则λ=___________时,点P 在第一、三象限角平分线上;λ___________时,点P 在第三象限内.思路分析:由题设条件可用λ分别表示点P 的横、纵坐标,再根据点P 在第一、三角限角平分线上的充要条件是它的横、纵坐标相等,点P 在第三象限内的充要条件是它的横、纵坐标均为负,就能求出相应的λ值.解:设点P 的坐标为(x,y), 则=(x,y)-(2,3)=(x-2,y-3),+λ·=［(5,4)-(2,3)］+λ［(7,10)-(2,3)］=(3,1)+λ(5,7)=(3+5λ,1+7λ). ∵=+λ,∴⎩⎨⎧+=+=∴⎩⎨⎧+=-+=-.74,55.713,532λλλλy x y x若P 在一、三象限角平分线上,则5+5λ=4+7λ, ∴λ=21. 若P 在第三象限,则⎩⎨⎧<+<+.074,055λλ∴λ<-1. ∴λ=21时,点P 在一、三象限角平分线上;λ<-1时,点P 在第三象限内. 答案:21 <-1。

《向量的正交分解与向量的直角坐标运算》 一、知识讲解：1、正交基底：2、正交分解：3、（x,y ）的意义：4、向量的直角坐标运算：向量OA ,OB ,OC ,终点A,B,C 三点共线，则满足：二、典型例题：例一、若a ＝(1,1)，b ＝(1，－1)，c ＝(－1,2)，则c 用a ，b 表示为( )A.－12a ＋32bB.12a －32b-C.32a －12b D.－32a ＋12b例二、已知平面向量a ＝(x,1)，b ＝(－x ，x 2)，则向量a ＋b ( ) A.平行于y 轴B.平行于第一、三角限的角平分线C.平行于x 轴D.平行于第二、四象限的角平分线例三、已知点A (2,3)，B (－1,5)，且AC →＝13AB →，则点C 的坐标为________.例四、已知A (－3,0)，B (0,2)，O 为坐标原点，点C 在∠AOB 内，且∠AOC ＝45°，设OC →＝λOA →＋(1－λ)OB →(λ∈R )，则λ的值为( )A.15B.13C.25D.23例五、已知A(-2,1),B(1,3)求线段AB 中点M 和三等分点P 、Q 的坐标。

例六、已知平行四边形三个顶点坐标分别为A(-1,-2),B(3,1)C(0,2),求顶点D 的坐标。

三、课堂检测： 1.设向量a ＝(1，－3)，b ＝(－2,4)，若表示向量4a,3b －2a ，c 的有向线段首尾相接能构成三角形，则向量c 等于( ) A.(1，－1) B.(－1,1) C.(－4,6) D.(4，－6)2.已知边长为单位长度的正方形ABCD ，若A 点与坐标原点重合，边AB ，AD 分别落在x 轴，y 轴的正方向上，则向量2AB →＋3BC →＋AC →的坐标为________.3.若向量|a|＝|b|＝1，且a ＋b ＝(1,0)，求a 与b 的坐标.4.(1)已知平面上三点A (4,6)，B (7,5)，C (1,8)，求AB →，AC →，AB →＋AC →，AB →－AC →，2AB →＋12AC →.(2)已知a ＝(1,2)，b ＝(－3,4)，求向量a ＋b ，a －b,3a －4b 的坐标.5.在四边形ABCD 中，AB →＝DC →＝(1,0)，BA →|BA →|＋BC →|BC →|＝BD→|BD →|，则四边形ABCD 的面积是( )A.32B.3C.34D.32已知a =(x 1,y 1), b =(x 2,y 2),则向量： a+b = a-b= a= A=(x 1,y 1), B=(x 2,y 2),则向量AB =A,B 中点M 的坐标公式：→6.以原点O及点A(23，－2)为顶点作一个等边△AOB，求点B坐标及向量AB的坐标.。

同步单元小题巧练（5）向量的分解与向量的坐标运算1、已知AD 、BE 分别为ABC ∆的边BC 、AC 上的中线,设AD a =,BE b =,则BC 等于( )A.4233a b + B.2433a b + C.2433a b - D. 2433a b -+2、若向量(1,2),(3,4)AB BC ==,则AC =（ ） A. ()4,6B. ()4,6--C. (2,2)--D. ()2,23、(2,3)AB =uu u r ,(,)BC m n =uu u r ,(1,4)CD =-u u u r则DA uu u r =( )A.(1+m,7+n)B.( -1-m,-7-n)C.(1-m,7-n)D.(-1+m,-7+n)4、ABC ∆中,点D 在边AB 上, CD 平分ACB ∠.若CB a =,CA b =,1a =,2b =,则CD = ( )A.1233a b + B. 2133a b +C. 3455a b +D. 4355a b +5、下列各组向量中,可以作为基底的是( ) A. ()()120,0,2,1e e ==- B. ()()124,6,6,9e e == C. ()()122,5,6,4e e =-=- D. ()12132,3,,24e e ⎛⎫=-=-⎪⎝⎭6、ABC ∆中, AB 边的高为C D ,若,,0,1,2CB a CA b a b a b ==⋅===,则AD = ( ) A.1133a b - B. 2233a b -C. 3355a b -D. 4455a b -7、若P 为OAB ∆的边AB 上一点,且OAP ∆的面积与OAB ∆的面积之比为1:3,则有( ) A. 2OP OA OB =+ B. 2OP OA OB =+C. 2133OP OA OB =+ D. 1233OP OA OB =+8、已知O 是ABC ∆所在平面内一点, D 为BC 边中点,且20OA OB OC ++=,那么( ) A. AO OD = B. 2?AO OD = C. 3?AO OD = D. 2?AO OD =9、在ABC ∆中,已知2,3,60AB BC ABC ==∠=︒,AH BC ⊥于,H M 为AH 的中点,若AM B AC λμ=+,则,λμ的值分别是( )A.11,63 B. 11,36C.11,23 D. 11,4610、设向量()()1,3,2,4a b =-=-,若表示向量4,32,a b a c -的有向线段首尾相接能构成三角形,则向量c 为( ) A. ()1,1- B. (1,1)- C. (4,6?)- D. ()4,6-11、已知向量(1,2)a =,(1,0)b =,()3,4c =.若λ为实数, ()//a b c λ+,则λ= ( ) A.14 B. 12C.1D. 2 12、已知(3,2)M -,(5,1)N --且12MP MN =,则点P 的坐标为( ) A. (8,1)- B. 3(1,)2C. 31,2⎛⎫--⎪⎝⎭D. (8,1)-13、已知平面向量(2,1),(1,1),(5,1),a b c =-==-若()//,a kb c +则实数k 的值为( ) A. 2B.12C.114D. 114-14、已知两点(4,1)A 、(7,3)B -,则与向量AB 同向的单位向量是( ) A. 34(,)55-B. 34(,)55-C. 43(,)55-D. 43(,)55-15、已知1e 和2e 是表示平面内所有向量的一组基底,那么下面四组向量中不能作为一组基底的是( )A. 1e 和12e e +B. 122e e -和212e e -C. 122e e -和2142e e -D. 12e e +和12e e - 16、四边形OABC 中, 12CB OA =,若,OA a OC b ==,则AB = ( ) A. 12a b - B.2ab - C. 2a b + D. 12b a -17、如图所示,已知,E F 分别是矩形ABCD 的边,BC CD 的中点,EF 与AC 交于点G ,若,AB a AD b ==,用,a b 表示AG =______________.18、设向量,a b ,不平行,向量a b λ+与2a b +平行,则实数λ=__________. 19、已知()()1,1,,1,2,2a b x u a b v a b ===+=-,若u v ,则x =__________ 20、设向量OA 绕点O 逆时针旋转2π得向量OB ,且()27,9OA OB +=,则向量OB =__________答案以及解析1答案及解析： 答案：B解析：设AD 与BE 的交点为F ,则23AF a =,23BF b =.由0AB BF FA ++=,得()23AB a b =-, 所以()24233BC AD AB a b =-=+.2答案及解析： 答案：A 解析：∵(1,2)(3,4)(4,6)AC AB BC =+=+=,故选A.3答案及解析： 答案：B解析：(2,3)(,)(1,4)(1,7)AD AB BC CD m n m n =++=++-=++u u u r u u u r u u u r u u u r，(1,7)DA AD m n =-=----4答案及解析： 答案：B解析：如图所示, 12∠=∠,∴12CB BD CA DA ==, ∴13BD BA =()()1133CA CB b a -=-, ∴()121333CD CB BD a b a a b =+=+-=+.答案：C解析：因为零向量与任意向量共线,故A 错误.对于B, ()()1222,3,32,3e e ==,所以12e e =,即1e 与2e 共线.对于D, 1244e e ==,所以1e 与2e 共线6答案及解析： 答案：D 解析：0a b ⋅=,∴90ACB ∠=,∴225,5AB a b CD =+==.∴,55BD AD == ∴:4:1AD BD =.∴()44445555AD AB CB CA a b ==-=-.7答案及解析： 答案：C解析：因为OAP ∆的面积与OAB ∆的面积之比为1:3,所以13AP AB =,所以()13OP OA OB OA -=-,所以2133OP OA OB =+8答案及解析： 答案：A解析：D 为BC 边中点,∴2OB OC OD ==, ∵20OA OB OC ++=, ∴0OA OD +=, 即 AO OD =.答案：B 解析：()1122AM AH AB BH ==+, 因为,60AH BC ABC ⊥∠=︒,所以1BH =,所以13BH BC =, 故11112226AM AB BH AB BC =+=+()11112636AB AC AB AB AC =+-=+ 故11,36λμ==10答案及解析： 答案：D 解析：由题知()44,12a =-()()()3232,421,38,18b a -=---=-()432a b a c +-=-,所以()()4,128,18c -+-=-, 所以()4,6c =-11答案及解析： 答案：B解析：由题意知()1,2a b λλ+=+, 由()//a b c λ+得()14320λ+⨯-⨯=, 所以12λ=. 故选B.答案：C解析：设(,)P x y ,则(3,2)MP x y =-+,(8,1)MN =-,由12MP MN =得, ()()113,28,14,22x y ⎛⎫-+=-=- ⎪⎝⎭∴341{{13222x x y y -=-=-⇒+==-.13答案及解析： 答案：B解析：∵(2,1),(1,1)a b =-=，(2,1)(1,1)(2,1)a kb k k k ∴+=-+=+-，又(5,1)c =-，且()//a k b c +，，∴12510k k ⨯+--⨯-=（）（）（），解得：12k =14答案及解析： 答案：A 解析：15答案及解析： 答案：C解析：∵()122112422e e e e -=-- 122e e ∴-与2142e e -共线,故不能作为基底.其余三组均不共线16答案及解析： 答案：D解析：1122AB AO OC CB a b a b a =++=-++=-,故选D.17答案及解析： 答案：3344a b +解析：因为,E F 分别为,BC CD 的中点, 所以3333()4444AG AC a b a b ==+=+.18答案及解析： 答案：12解析：因为a b λ+与2a b +平行,所以存在实数μ,使()2,a b a b λμ+=+即()()120a b λμμ-+-= ,由于,a b 不平行,所以0{120λμμ-=-= ,解得12λ=.19答案及解析： 答案：1解析： ∵()1,1,(,1)a b x ==, ∴()()21,3,2,1u x v x =+=-()()2113201u v x x x ⇒+⋅-⋅-=⇒=.20答案及解析： 答案：1123,55⎛⎫- ⎪⎝⎭ 解析：设(),,OA m n =则(),,OB n m =-所以()()22,27,9OA OB m n n m +=-+=,即2729m n m n -=⎧⎨+=⎩解得235115m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩.因此1123,55OB ⎛⎫=- ⎪⎝⎭。

高中数学湘教版必修第二册第四章4.4向量的分解与坐标表示练习题一、选择题1. 正方形ABCD 中，M ，N 分别是BC ，CD 的中点，若AC⃗⃗⃗⃗⃗ =λAM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +μBN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则λ+μ= A. 65B. 85C. 2D. 832. 已知AB ⊥AC ，AB =AC ，点M 满足AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =t AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +(1−t)AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，若∠BAM =π3，则t 的值为( )A. √3−√2B. √2−1C. √3−12D. √3+123. 正方形ABCD 的边长为2，对角线AC ，BD 相交于点O ，动点P 满足|OP⃗⃗⃗⃗⃗ |=√22，若AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =m AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +n AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，其中m ，n ∈R ，则2m+12n+2的最大值是( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. √24. 已知向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,2),BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x,−5)，若AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =−7，则|AC⃗⃗⃗⃗⃗ |= A. 5 B. 4√2 C. 6 D. 5√25. 若向量a ⃗ =(1,1)，b ⃗ =(1,−1)，c⃗ =(−1,2)，则c 等于( ) A. −12a ⃗ +32b ⃗ B. 12a ⃗ −32b ⃗ C. 32a ⃗ −12b ⃗ D. −32a ⃗ +12b ⃗ 6. 在矩形ABCD 中，M 为CD 中点，N 在边BC 上运动，若MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +μAD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (λ,μ∈R)，则μ的取值范围是( )A. [0,1]B. [0,12]C. [−1,0]D. [−12,0]7. 已知在正六边形ABCDEF 中，G 是线段AF 的中点，则CG⃗⃗⃗⃗⃗ 等于( ) A. 58CE ⃗⃗⃗⃗⃗ +34DA ⃗⃗⃗⃗⃗ B. 34CE ⃗⃗⃗⃗⃗ +58DA ⃗⃗⃗⃗⃗ C. 56CE ⃗⃗⃗⃗⃗ +23DA ⃗⃗⃗⃗⃗ D. 23CE ⃗⃗⃗⃗⃗ +56DA ⃗⃗⃗⃗⃗ 8. 已知□ABCD 的三个顶点A(−1,−2)，B(3,1)，C(0,2)，则顶点D 的坐标为( )A. (2,−3)B. (−1,0)C. (4,5)D. (−4,−1)9. 已知F 1，F 2是椭圆的两个焦点，满足MF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·MF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0的点M 总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是( )A. (0,1)B. (0,12]C. (0,√22) D. [√22,1)10. 已知双曲线C ：x 2a2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的右焦点为F ，点B 是虚轴上的一个顶点，线段BF 与双曲线C 的右支交于点A ，若BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =2AF ⃗⃗⃗⃗⃗ ，且|BF ⃗⃗⃗⃗⃗ |=4，则双曲线C 的方程为( )A. x 26−y 25=1 B. x 28−y 212=1 C. x 28−y 24=1 D. x 24−y 26=1 二、填空题11. 如图，在同一个平面内，向量OA⃗⃗⃗⃗⃗ ，OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，OC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的模分别为1，1，√2，OA ⃗⃗⃗⃗⃗与OC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角为α，且tanα=7，OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与OC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角为45°.若OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =m OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +n OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (m,n ∈R)，则m +n =______．12. 如图，在平面四边形ABCD 中，AB ⊥BC ，∠BCD =60°，∠ADC =150°，=3，CD =，若点F为边AD 上的动点，则的最小值为______．13. 在直角梯形ABCD 中，AB ⊥AD ，DC // AB ，AD =DC =2，AB =4，E ，F 分别为AB ，BC 的中点，以A 为圆心，AD 为半径的圆弧DE 的中点为P(如图所示)，若AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λED ⃗⃗⃗⃗⃗ +μAF ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则λ=________，μ=________．14. 已知向量a ⃗ =(3,−2)，b ⃗ =(−2,1)，c ⃗ =(7,−4)，则用a ⃗ 、b ⃗ 表示c ⃗ = 15. △ABC 中，D 为AC 上的一点，满足AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13DC ⃗⃗⃗⃗⃗ .若P 为BD 上的一点，满足AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =m AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +n AC ⃗⃗⃗⃗⃗ (m >0,n >0)，则mn 的最大值为_________；4m +1n 的最小值为_________．16. 在直角梯形ABCD 中，AB ⊥AD ，DC//AB ，AD =DC =1，AB =2，E ，F 分别为AB ，BC 的中点．点P 在以A 为圆心，AD 为半径的圆弧DE ⌢上变动(如图所示)，若AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λED ⃗⃗⃗⃗⃗ +μAF ⃗⃗⃗⃗⃗ ，其中λ，μ∈R.则2λ−μ的取值范围是_________． 三、解答题17. 在三角形ABC 中，AB =2，AC =1，，D 是线段BC 上一点，且BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，F 为线段AB 上一点．(1)设AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，设AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x a ⃗ +y b ⃗ ，求x −y ； (2)求CF ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅FA⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围； (3)若F 为线段AB 的中点，直线CF 与AD 相交于点M ，求CM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ．18. 已知三个向量a ⃗ =(3,2)，b ⃗ =(−1,2)，c⃗ =(4,1)． (1)若a ⃗ =λb ⃗ +μc ⃗ ，求λ+μ的值;(2)若向量a ⃗ +k b ⃗ 与向量2b ⃗ −c ⃗ 共线，求实数k 的值．19.如图，在△ABC中，∠BAC=2π3,AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3DB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,P为CD上一点，且满足AP⃗⃗⃗⃗⃗ =m AC⃗⃗⃗⃗⃗ +1 2AB⃗⃗⃗⃗⃗ ,若△ABC的面积为2√3．(1)求m的值；(2)求|AP⃗⃗⃗⃗⃗ |的最小值．20.设e1⃗⃗⃗ ，e2⃗⃗⃗ 是不共线的非零向量，且a⃗=e1⃗⃗⃗ +2e2⃗⃗⃗ ，b⃗ =e1⃗⃗⃗ −e2⃗⃗⃗ ．(1)证明：a⃗，b⃗ 可以作为一组基底;(2)若向量c⃗=e1⃗⃗⃗ +3e2⃗⃗⃗ ，试用基底a⃗，b⃗ 表示c⃗．答案和解析1.【答案】B【解析】分析：本题考查了向量的坐标运算，平面向量的基本定理及应用，属于基础题．根据已知条件建立平面直角坐标系，使用坐标进行计算，列方程组解出λ，μ即可求解． 解答：2.【答案】C【解析】解：如图所示，建立直角坐标系．A(0,0)． 不妨设C(3,0)，B(0,3)，∵点M 满足AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =t AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +(1−t)AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴点M 在BC 上． 设|AM|=a ，则acos π6+12a =3，解得a =3√3−3． ∴M(9−3√32,3√3−32)． ∵点M 满足AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =t AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +(1−t)AC⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴9−3√32=0+(1−t)×3，解得t =√3−12． 故选：C ．如图所示，建立直角坐标系．A(0,0).不妨设C(3,0)，B(0,3)，由点M 满足AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =t AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +(1−t)AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，可得点M 在BC 上．设|AM|=a ，则acos π6+12a =3，解得a.可得M 坐标．利用点M 满足AM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =t AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +(1−t)AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，向量相等即可得出． 本题考查了向量坐标运算性质、向量共线定理、向量相等，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．3.【答案】A【解析】 【分析】本题考查向量的几何应用与向量的坐标运算，考查直线斜率的求法，点的轨迹方程，直线与圆的位置关系，属于中档题．根据题意建立直角坐标系，求出A(−1,−1)，B(1,−1)，D(−1,1)，P(√22cosθ,√22sinθ)，根据AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =m AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +n AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，可得{2m =√22cosθ+12n =√22sinθ+1，即，其几何意义为过点E(−3√2,−2√2)与点Q(cosθ,sinθ)的直线的斜率，设直线方程为y +2√2=k(x +3√2)，点Q 的轨迹方程为x 2+y 2=1，由直线与圆的位置关系有：|3√2k−2√2|√1+k 2≤1，解得：717≤k ≤1，进而得解． 【解答】解：建立如图所示的直角坐标系，则A(−1,−1)，B(1,−1)，D(−1,1)，P(√22cosθ,√22sinθ)，所以AP⃗⃗⃗⃗⃗ =(√22cosθ+1,√22sinθ+1)，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,0)，AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2)， 又AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =m AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +n AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，所以{2m =√22cosθ+12n =√22sinθ+1，则，其几何意义为过点E(−3√2,−2√2)与点Q(cosθ,sinθ)的直线的斜率， 设直线方程为y +2√2=k(x +3√2)，点Q 的轨迹方程为x 2+y 2=1， 由直线与圆的位置关系有：√2k−2√2|√1+k 2≤1，解得：717≤k ≤1，即2m+12n+2的最大值是1．4.【答案】A【解析】 【分析】本题考查向量的数量积，考查向量的模，考查平面向量的基本定理及其应用，属于基础题．由题已知求得BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−3,−5)，即可得到AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−4,−3)，即可求得|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |． 【解答】解：由已知向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,2),BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x,−5)， 又AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =−7，∴(−1,2)·(x,−5)=−7⇒−x −10=−7⇒x =−3， 即BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−3,−5)，∴AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−4,−3)， ∴|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√(−4)2+(−3)2=5， 故选A ．5.【答案】B【解析】 【分析】本题主要考查了向量的坐标运算，属于基础题．以a⃗ 和b ⃗ 为基底表示c ⃗ ，设出系数，用坐标形式表示出两个向量相等的形式，根据横标和纵标分别相等，得到关于系数的二元一次方程组，解方程组即可． 【解答】解：设c ⃗ =m a ⃗ +n b ⃗ ，∵a ⃗ =(1,1),b ⃗ =(1,−1),c ⃗ =(−1,2)，∴(−1,2)=m(1,1)+n(1,−1)=(m +n,m −n)∴m +n =−1，m −n =2， 解得m =12，n =−32，∴c ⃗ =12a ⃗ −32b ⃗故选B ．6.【答案】C【解析】 【分析】本题考查了平面向量的基本定理，考查学生的分析能力，计算能力；属于中档题． 利用平面向量的坐标表示分别表示MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ；即可求解． 【解答】解：建立平面直角坐标系：以A 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴，AD 所在直线为y 轴； 设B(m,0)，D(0,n)，N(m,y)； ∵N 为边BC 上的动点； ∴0≤y ≤n ； ∴C(m,n)，M(m2,n)，∴MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(m2,y −n)，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(m,0)，AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,n)； ∵MN⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +μAD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (λ,μ∈R)， ∴{λm =m 2y −n =μn ； ∴{λ=12μ=y−n n ； ∴−1≤μ≤0； 故选：C ．7.【答案】B【解析】 【分析】本题考查了平面向量基本定理和平面向量的坐标表示，属中档题．设CG ⃗⃗⃗⃗⃗ =m CE ⃗⃗⃗⃗⃗ +n DA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，通过建立坐标系，建立关于m ，n 的二元一次方程组，解方程组即可． 【解答】解：依题意作出图形，并建立如图所示的坐标系．不妨设AB =2，则C(−1,0)，A(2,√3)，F(3,0)， 所以G(52,√32)，E(2,−√3)，D(0,−√3)，所以CG ⃗⃗⃗⃗⃗ =(72,√32)，CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(3,−√3)，DA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,2√3).设CG⃗⃗⃗⃗⃗ =m CE ⃗⃗⃗⃗⃗ +n DA ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 则{72=3m +2n,√32=−√3m +2√3n,解得{m =34,n =58,所以CG ⃗⃗⃗⃗⃗ =34CE ⃗⃗⃗⃗⃗ +58DA ⃗⃗⃗⃗⃗ ． 故选B ．8.【答案】D【解析】 【分析】本题考查平面的坐标运算，属于基础题．设D(x,y)，则有AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，根据向量的相等，得到x ，y 的方程组，解得x ，y 的值，即可得到答案． 【解答】解：设D(x,y)，则有AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 所以(4,3)=(−x,2−y)， 即{x =−4,2−y =3,所以{x =−4,y =−1.故选D ．9.【答案】C【解析】 【分析】本题考查椭圆的性质，考查椭圆的离心率，属于中档题． 根据题意，可得b 2<b 4a 2−b 2，即可求解．【解答】解：不妨设椭圆方程为x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)，焦距为2c ，椭圆上任一点P(x,y)，由MF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·MF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0的点M 总在椭圆内，得PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >0，得x 2+y 2>c 2恒成立，可得y 2<b 4a 2−b 2恒成立，又−b ⩽y ⩽b ， 所以b 2<b 4a 2−b 2，化简得a 2<2b 2=2a 2−2c 2，得a 2>2c 2，可得e =ca<√22， 又0<e <1， ∴0<e <√22， 故选C ．10.【答案】D【解析】【分析】本题考查向量知识的运用，考查双曲线的方程，利用向量知识确定A 的坐标是关键． 利用右焦点为F(c,0)，点B(0,b)，线段BF 与双曲线C 的右支交于点A ，BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =2AF ⃗⃗⃗⃗⃗ ，确定A 的坐标，代入双曲线方程，结合|BF ⃗⃗⃗⃗⃗ |=4，则双曲线C 的方程可求． 【解答】 解：设A(x,y)，∵右焦点为F(c,0)，点B(0,b)，线段BF 与双曲线C 的右支交于点A ，BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =2AF⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴(x,y −b )=2(c −x,−y )∴x =2c3，y =b3， 代入双曲线方程，可得49×c 2a 2−19=1，又a 2+b 2=c 2，①， ∴b =√62a ，②， ∵|BF ⃗⃗⃗⃗⃗ |=4， ∴c 2+b 2=16，③，由①②③可得，a =2，b =√6， ∴双曲线C 的方程为x 24−y 26=1．故选：D ．11.【答案】3【解析】 【分析】本题考查了平面向量的坐标运算、平面向量的基本定理、同角三角函数的关系，两角和差的三角函数公式，属于中档题．建立适当坐标系，利用同角三角函数的关系和两角和差的三角函数的公式求得各点的坐标，进而利用平面向量的坐标运算得到关于m ，n 的方程组，求得m ，n 的值，即得． 【解答】解：如图所示，建立直角坐标系．则A(1,0)．由OA ⃗⃗⃗⃗⃗ 与OC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角为α，且tanα=7． ∴cosα=5√2，sinα=5√2，∴C(15,75)． cos(α+45°)=√22(cosα−sinα)=−35，sin(α+45°)=√22(sinα+cosα)=45，∴B(−35,45)．∵OC⃗⃗⃗⃗⃗ =m OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +n OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (m,n ∈R)， ∴15=m −35n ，75=0+45n ， 解得n =74，m =54， 则m +n =3． 故答案为：3．12.【答案】1516【解析】【分析】本题考查平面向量在几何中的应用，属于较难题，解题时以B 为原点，BC 、BA 分别为x 、y 轴建立平面直角坐标系，根据题目中条件计算出CE =√33，DE =1，再根据∠BCD =60°，CD =2√33，可得∠DEC =90°，写出点D 坐标以及A 点坐标，然后写出直线AD 方程，根据直线方程设出点F 单变量坐标，求出数量积EF ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BF ⃗⃗⃗⃗⃗ 的表达式，再求出最值即可。

高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作2.2 向量的分解与向量的坐标运算（数学人教B版必修4）建议用时实际用时满分实际得分45分钟100分一、选择题（每小题5分，共20分）1.若三点P(1，1)，A(2，-4)，B(x,-9)共线，则x=（）A.-1B.3C. 92D.52.已知向量a=(3，4)，b=(si nα,c os α)，且a∥b,则t anα=（）A. 34B.34-C. 43D.43-3. 设向量a=(1,-3),b=(-2,4)，c=(-1,-2),若表示向量4a、4b-2c、2(a-c)、d的有向线段首尾相连能构成四边形，则向量d为（）A.(2，6)B.(-2，6)C.(2，-6)D.(-2，-6)4. 已知向量a=(4,2),向量b=(x,3),且a∥b,则x=（）A.9B.6C.5D.3二、填空题（每小题5分，共10分）5.已知向量a＝(1,1)，b＝(2，x)，若a＋b与4b－2a 平行，则实数x的值是.6.已知a=（1，1），b=（1，-1），c=（-1，2），则向量c可用向量a、b表示为.三、解答题(共70分) 7.（15分）已知点A(-1，2)、B(2，8)，AC=13AB，DA=-13BA，求向量CD的坐标.8.（20分）已知点A(1,1)，B(3，－1)，C(a，b). (1)若A，B，C三点共线，求a，b的关系式；(2)若＝2，求点C的坐标.9. （15分）已知a=(-1，2)，b=(1,x),若2a-b与a+2b 平行，求实数x的值. 10.（20分）已知P为△ABC内一点，且3＋4＋5＝0，延长AP交BC于点D，若＝a，＝b，用a，b表示向量，.2.2 向量的分解与向量的坐标运算（数学人教B版必修4）答题纸得分：一、选择题题号 1 2 3 4答案二、填空题5． 6．三、解答题7.8.9.10.2.2 向量的分解与向量的坐标运算（数学人教B版必修4）答案一、选择题1.B 解析：因为PA=(1，-5)，PB=(x-1,-10),依题意有-5×(x-1)-1×(-10)=0，解得x=3.2.A 解析：根据两个向量平行的条件得3c os α-4si nα=0,则t anα=sincosαα=34.3.D 解析：设d=(x,y),由题意知4a+(4b-2c)+2(a-c)+ d=0，即4(1，-3)+［4(-2,4)-2(-1,-2)］+2［(1,-3)-(-1,-2)］+(x,y)=(0,0)，解之得x=-2,y=-6,即d=(-2,-6).4.B 解析：由向量的平行条件有4×3-2x=0,解得x=6.二、填空题5.2 解析：∵a＋b＝(3,1＋x)，4b－2a＝(6,4x－2)，又a＋b与4b－2a平行，∴3(4x－2)＝6(1＋x)，解得x＝2.6.c=12a-32b解析：设c=λa+μb，则（-1，2）=（λ+μ，λ-μ），∴λ=12，μ=-32，故c=12a-32b，故答案为c=12a-32b．三、解答题7.解：由向量的减法知，CD=AD-AC=13BA-13AB=23BA=23(-1-2，2-8)=(-2，-4).8.解：(1)由已知得＝(2，－2)，＝(a－1，b－1)，∵A，B，C三点共线，∴∥.∴2(b－1)＋2(a－1)＝0，即a＋b＝2.(2)∵＝2，∴(a－1，b－1)＝2(2，－2)，∴解得∴点C的坐标为(5，－3).9.解法1：由已知得2a-b=(-3,4-x),a+2b=(1,2+2x).由2a-b与a+2b平行，知-3(2+2x)-(4-x)=0,解得x=-2. 解法2：∵2a-b与a+2b平行，∴2a-b=λ(a+2b),∴(-3,4-x)=λ(1,2+2x),∴34(22)x xλλ=-⎧⎨-=+⎩，，解得x=-2.解法3：设m=2a-b,n=a+2b,则可得a=25m+15n,b=-15m+25n.∵m∥n,∴a∥b.又∵a=(-1,2),b=(1,x),∴-x-2=0,∴x=-2.10.解：∵=-=-a,=-=-b,又3+4+5=0, ∴3+4(-a)+5(-b)=0,化简得=a+b.设=t(t∈R),则=t a+t b.①又设=k(k∈R),由=-=b-a,得=k(b-a).而=+=a+,∴=a+k(b-a)=(1-k)a+k b.②由①②，得，解得t=.将其代入①，得＝a＋b.。

必修四第二章 平面向量2．2.2 向量的正交分解与向量的直角坐标运算基础达标1.化简OP －QP ＋MS －MQ 的结果为______．2.在△ABC 中，已知点D 为BC 边上的中点，点P 满足P A →＋BP →＋CP →＝0.AP →＝λPD →，则实数λ的值为________．3.在△ABC 中，(1)若D 是AB 边上一点，且AD ＝2DB ，CD ＝13CA ＋λCB ，则λ＝( ) A.23 B.13 C ．－13 D ．－23(2)若O 是△ABC 所在平面内一点，D 为BC 边中点，且2OA ＋OB ＋OC ＝0，那么( )A ．AO ＝ODB ．AO ＝2ODC ．AO ＝3OD D ．2AO ＝OD4.设向量(1,0)a =，11(,)22b =，则下列结论中正确的是（ ） A.||||a b = B.22a b ⋅= C.a b -与b 垂直 D.//a b 5.已知向量(1,1),(2,),x ==a b 若a +b 与-4b 2a 平行，则实数x 的值是（ ）A ．-2B ．0C ．1D ．26.在四边形ABCD 中，AC →＝AB →＋AD →，则( )A ．ABCD 一定是矩形B ．ABCD 一定是菱形C ．ABCD 一定是正方形 D ．ABCD 一定是平行四边形7．在▱ABCD 中，点E 、F 分别是CD 和BC 的中点，若AC →＝λAE →＋μAF →，其中λ，μ∈R ，则λ＋μ＝________.8.在ABC △中，AB =c ，AC =b ．若点D 满足2BD DC =，则AD =( ) A ．2133+b c B ．5233-c b C ．2133-b c D ．1233+b c 9．对任意向量a 、b ，在下式中：①a ＋b ＝b ＋a ；②(a ＋b )＋c ＝b ＋(a ＋c )；③|a ＋b |＝|a |＋|b |；④|a＋b|≤|a|＋|b|，恒成立的有()A．1个B．2个C．3个D．4个10.．已知a=（1，2），b=（－3，2），当k a+b与a－3b平行，k为何值（）A 14B －14C －31D31答案：1.【答案】OS2.【答案】-23.【答案】A A4.【答案】C5.【答案】D6.【答案】D7.【答案】438.【答案】A9.【答案】C10.【答案】C。

平面向量基本定理1．已知向量 e 1，e 2不共线，实数 x ，y 满足(3x －4y )e 1＋(2x －3y )e 2＝6e 1＋3e 2.则 x －y 的值等于( )A ．3B ．－3C ．0D ．22．设 e 1，e 2是一个平面内所有向量的一组基底，则下面四组向量中，不能作为基底的是 ( )A ．e 1＋e 2和 e 1－e 2B ．3e 1－2e 2和 4e 2－6e 1C ．e 1＋2e 2和 e 2＋2e 1D ．e 2和 e 1＋e 23．在A ABCD 中， AC 与 BD 交于点 M .若设 AB ＝a ， AD ＝b ，则以下各选项中，与－1 2 a ＋ 1 2b 相等的向量有( )A ． MAB ． MBC ． MCD ． MD4．设 e 1，e 2是两个不共线的向量，若向量 a ＝e 1＋λe 2(λ∈R )与 b ＝－(e 2－2e 1)共线， 则有( )A ．λ＝0B ．λ＝－1C ．λ＝－2D ．λ＝125．如图所示，已知在△ABC 中，M ，N ，P 是线段 AB 的四等分点，CB ＝e 1，CA ＝e 2，则 下列正确的是( )11 13 A ．CN ＝e 2，CM ＝e 1＋ e 1＋ e 2224 413 B ． AB ＝e 1－e 2，CP ＝e 1＋ e 244 31 1C ．CP ＝e 2， AM ＝e 1＋(e 1＋e 2)4 441 D ． AM ＝ (e 1－e 2)， AB ＝e 1＋e 246．设 e 1，e 2为一组基底，a ＝－e 1＋2e 2，b ＝e 1－e 2，c ＝3e 1－2e 2，以 a ，b 为基底可以 将 c 表示为 c ＝p a ＋q b ，则实数 p ，q 的值分别为__________．7．起点相同的三个非零向量 a ，b,3a －λb 的终点在一条直线上，则 λ＝__________.8．平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知点 A (1,1)，B (－1,2)，若点 C 满足OC ＝αOA ＋βOB ，其中，α，β∈R ，且 α＋β＝1，则点 C 的轨迹方程为__________．9．如图所示，在△ABC 中，点 M 是 BC 的中点，点 N 在边 AC 上，且 AN ＝2NC ，AM 与 BN 相 交于点 P ，求 AP ∶PM .110．已知向量a＝－e1＋3e2＋2e3，b＝4e1－6e2＋2e3，c＝－3e1＋12e2＋11e3，问a能否表示成a＝λb＋μc(λ，μ∈R)的形式？若能，写出表达式；若不能，请说明理由．2参考答案1．答案：A2．答案：B3．解析：答案：D1a＋122b＝12(b－a)＝12(AD－AB)＝12BD＝BM＝MD.4．解析：∵a与b共线，且b≠0，∴存在实数μ，使得a＝μb，即e1＋λe2＝－μ(e2－2e1)，则(2μ－1)e1＝(μ＋λ)e2.210,∴解得0.答案：D 1, 21.25．解析：由题意得，N为线段AB的中点，所以CN ＝12(CB＋CA)＝12(e1＋e2)＝12e1＋12e2，又M为AN的中点，113111所以CM＝(CA＋CN)＝e e e＝e1＋e2，故选项A正确．212222244311选项B中CP＝e2，选项C中AM＝(e1－e2)，选项D中AB＝e1－e2.e1＋44 4答案：A6．解析：c＝p a＋q b，即3e1－2e2＝(－p e1＋2p e2)＋(q e1－q e2)＝(q－p)e1＋(2p－q)e2，q p 1,3,p所以解得2p q2,q 4.答案：1,47．解析：设OA＝a，OB＝b，OC＝3a－λb＝3OA－λOB，∵A，B，C三点共线，∴3＋(－λ)＝1，∴λ＝2.答案：28．解析：由α＋β＝1，可知点C的轨迹是直线AB，通过直线的两点式求解直线AB的方程即可．答案：x ＋2y －3＝09．解：设 BM ＝e 1，CN ＝e 2，则 AM ＝ AC ＋CM ＝－3e 2－e 1， BN ＝ BC ＋CN ＝ 2e 1＋e 2.∵A ，P ，M 与 B ，P ，N 分别共线，∴存在实数 λ，μ，使 AP ＝λ AM ＝－λe 1－3λe 2，BP ＝μ BN ＝2μe 1＋μe 2，∴ BA ＝ BP － AP ＝(λ＋2μ)e 1＋(3λ＋μ)e 2，而 BA ＝ BC ＋CA ＝2e 1＋3e 2，22,∴由平面向量基本定理，得33.∴4 ,5 ∴ AP ＝3 . 54 5AM ，∴AP ∶PM ＝4∶1. 10．解：能．假设 a ＝λb ＋μc (λ，μ∈R )，将 a ，b ，c 代入 a ＝λb ＋μc ，得－e 1＋3e 23＋2e3＝(4λ－3μ)e1＋(－6λ＋12μ)e2＋(2λ＋11μ)e3，则1,101.5143,3612,2211,解得b＋1所以a＝b＋11051c.51c.所以a能表示成a＝λb＋μc(λ，μ∈R)的形式，表达式为a＝104。

同步单元专练(5)向量的分解与向量的坐标运算1、ABC ∆中, AB 边的高为C D ,若,,0,1,2CB a CA b a b a b ==⋅===,则AD = ( )A. 1133a b -B. 2233a b - C. 3355a b - D. 4455a b - 2、下列各组向量中,可以作为基底的是( )A. ()()120,0,2,1e e ==-B. ()()124,6,6,9e e ==C. ()()122,5,6,4e e =-=-D. ()12132,3,,24e e ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭3、设向量()()1,3,2,4a b =-=-,若表示向量4,32,a b a c -的有向线段首尾相接能构成三角形,则向量c 为( )A. ()1,1-B. (1,1)-C. (4,6?)-D. ()4,6-4、已知1e 和2e 是表示平面内所有向量的一组基底,那么下面四组向量中不能作为一组基底的是( )A. 1e 和12e e +B. 122e e -和212e e -C. 122e e -和2142e e -D. 12e e +和12e e -5、四边形OABC 中, 12CB OA =,若,OA a OC b ==,则AB = ( ) A. 12a b -B. 2a b - C. 2a b +D. 12b a - 6、已知向量集()(){}()(){}1,23,4,,2,24,5,M a a R N a a R λλλλ==+∈==--+∈,则M N ⋂= ( )A. {}(1,1)B. (){,(,1}12,2)－C. {}(2,2)--D. ∅7、已知,,O A B 是平面上的三个点,直线AB 上有一点C ,满足2+=0AC CB ,则OC = ( )A. 2OA OB -B. 2OA OB -+C.2133OA OB - D. 1233OA OB -+ 8、ABC ∆中, D 在AC 上, ,AD DC P =是BD 上的点, 29AP mAB AC =+,则m 的值( )A.59B. 79C. 12D. 14 9、设D 为ABC ∆所在平面内一点,若4BC CD =,则下列关系中正确的是( )A. 1443AD AB AC =-+ B. 1544AD AB AC =- C. 1544AD AB AC =-+ D. 5144AD AB AC =- 10、已知ABC ∆中满足AB AC ⊥,AB AC =,点M 满足(1)AM t AB t AC =⋅+-,若3BAM π∠=,则t 的值为( )11、在ABC ∆中,点D 在BC 边上,且3,BD DC AD x AB y AC ==+,则( ) A. 12,33x y == B. 13,44x y == C. 21,33x y == D. 31,44x y == 12、已知2,3OA OB ==,120AOB ∠=︒,点C 在AOB ∠内, 30?AOC ∠=,设(),OC mOA nOB m n R =+∈,则m n = ( ) A. 32C. 23D.32 13、设向量,a b ,不平行,向量a b λ+与2a b +平行,则实数λ=__________.14、已知向量()()()2,1,1,,1,2a b m c =-=-=-,若()a b c +,则m =__________.15、已知向量()2,3,a b a =-,向量b 的起点为()1,2A ,终点B 在坐标轴上,则点B 的坐标为__________16、已知()()1,1,,1,2,2a b x u a b v a b ===+=-,若u v ,则x =__________17、若a b a b ==-,则a 与b 的夹角为__________18、已知12,e e 是同一平面内两个不共线的向量,且122AB e ke =+,123CB e e =+,212CD e e =-,如果,,A B D 三点共线,则k 的值为__________19、如图所示,已知,E F 分别是矩形ABCD 的边,BC CD 的中点, EF 与AC 交于点G ,若,AB a AD b ==,用,a b 表示AG =__________20、在平行四边形ABCD 中, E 和F 分别是边CD 和BC 的中点,若AC AE AF λμ=+,其中,R λμ∈,则λμ+=__________21、设向量OA 绕点O 逆时针旋转2π得向量OB ,且()27,9OA OB +=,则向量OB =__________22已知,若,则点的坐标为答案以及解析1答案及解析：答案：D解析：0a b ⋅=,∴90ACB ∠=,∴22255,AB a b CD =+==.∴545BD AD == ∴:4:1AD BD =.∴()44445555AD AB CB CA a b ==-=-.2答案及解析：答案：C 解析：因为零向量与任意向量共线,故A 错误.对于B, ()()1222,3,32,3e e ==,所以12e e =,即1e 与2e 共线.对于D, 1244e e ==,所以1e 与2e 共线3答案及解析：答案：D解析：由题知()44,12a =-()()()3232,421,38,18b a -=---=-()432a b a c +-=-, 所以()()4,128,18c -+-=-,所以()4,6c =-4答案及解析：答案：C解析：∵()122112422e e e e -=-- 122e e ∴-与2142e e -共线,故不能作为基底.其余三组均不共线5答案及解析：答案：D 解析：1122AB AO OC CB a b a b a =++=-++=-,故选D.6答案及解析：答案：C解析：由集合(){},,,M N a a x y x y R ⋂==∈对于M 有1234x y --=,对于N 有2245x y ++=, 解得2,2x y =-=-7答案及解析：答案：A解析：8答案及解析：答案：A解析：9答案及解析：答案：C解析：10答案及解析：答案：C解析：11答案及解析：答案：B解析：12答案及解析：答案：B解析：过点C 作,CM OB CN OA ,则OC OM ON =+, 设ON x =,则2OM x =,323OA OBOC x x xOA xOB OB OB =⋅+⋅=+,所以,3m x n ==,所以m n ==13答案及解析： 答案：12解析：因为a b λ+与2a b +平行,所以存在实数μ,使()2,a b a b λμ+=+即()()120a b λμμ-+-= ,由于,a b 不平行,所以0{120λμμ-=-= ,解得12λ=.14答案及解析：答案：-1解析：()()21,11,1a b m m +=--+=-,由()a b c +,得()()12110m ⨯--⨯-=,即1m =-.15答案及解析： 答案：70,2⎛⎫ ⎪⎝⎭或7,03⎛⎫ ⎪⎝⎭解析：由b a ,可设()2,3.b a λλλ==-设(),, B x y 则()1,2AB x y b =--=. 由21123232x x y y λλλλ-=-=-⎧⎧⇒⎨⎨=-=+⎩⎩① 又B 点在坐标轴上,则120λ-=或320λ+=,12λ∴=或2,3λ=-代入①式得 B 点坐标为70,2⎛⎫ ⎪⎝⎭或7,03⎛⎫ ⎪⎝⎭16答案及解析：答案：1解析： ∵()1,1,(,1)a b x ==,∴()()21,3,2,1u x v x =+=-()()2113201u v x x x ⇒+⋅-⋅-=⇒=.17答案及解析：答案：60解析：如图,,OA a OB b BA a b ===-, 因为a b a b ==-,所以OA OB AB ==,所以a 与b 的夹角为60AOB ∠=︒18答案及解析：答案：-8解析：()121212234BD CD CB e e e e e e =-=--+=-.因为,,A B D 三点共线,所以存在实数λ,使AB BD λ=,即()121224e ke e e λ+=-,所以24k λλ=⎧⎨=-⎩,解得8k =-.19答案及解析：答案：3344a b + 解析：AG AE GE AB BE GE =-=+-1111122222a b FE a b DB =+-=+-⨯ ()11332444a b a b a b =+--=+20答案及解析：答案：43解析：设,AB a AD b ==,则1,2AE a b =+AF a b =+,得()()222,233a AF AEb AE AF =-=-, 又因为AC a b =+,所以()23AC AE AF =+,即2,3λμ==所以43λμ+=21答案及解析：答案：1123,55⎛⎫-⎪⎝⎭解析：设(),,OA m n =则(),,OB n m =-所以()()22,27,9OA OB m n n m +=-+=,即2729m n m n -=⎧⎨+=⎩解得235115m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩.因此1123,55OB ⎛⎫=- ⎪⎝⎭22答案及解析：答案：解析：设,所以 又,所以 即,所以由Ruize收集整理。

《向量的正交分解和向量的坐标运算》习题一、选择题1.（08 •广东理）在平行四边形初中，化与別交于点0,产是线段勿的中点，处的延长线与CD交于点、F.若AC=a, ~BD=b,则亦 =（）A.c-\a+\bo 2 , 1B・-a+~b1 2D. -a+-bA. 2B. -2C. 2 或一2D. &或一&6.已知中，点〃在死边上，且~CD=2DB, cb=rA8+sAC,则厂+s的值是（）2 4A-3 B-32.在四边形畀况刀中, AB=a~\~2b, BC=_Aa— b, CD=—ba—3b.其中o、方不共线，则四边形初〃是（A.梯形C.菱形B.矩形D.正方形3. （08 •湖南）设〃、E、尸分别是△血力的三边尿7、CA、〃〃上的点，且花、=2场，袪'=2苗,存=2换则劝 +庞+和戒（）A.反向平行B.同向平行C.互相垂直D.既不平行也不垂直4.在口〃磁屮，AB=a f ~AD=b,无f=4疋,"为彳〃的屮点，则诙=（） 4A•評5.已知直线x+y=a与圆/+/=4交于久〃两点，且|鬲+翩=|鬲一翩，其屮。

为坐标原点，则实数臼的值为（）C. —3D. 07.（09 •全国I 文）设非零向量0、b、c 满足\a\ = \b\ = \c\9 a+b=c,则〈⑦ b）=（）C. 60°8. 设日、b 是不共线的两个非零向量，己知AB=2a+pb, BC=a+ b, CD=a —2b.若/、B 、D 三点共线，则Q 的值为（）C. —29. （2010 •全国卷II 文，10）△肋C 中，点〃在边初上，CO 平分ZACB,若CB = a, CA=b,]a]= 1, /b/=2,则 C 万=（ ）D. 7 a+^ b10. （2010 •合肥市）如图，△肋C 中，AD=DB, AE= EC, CD 与 BE 交于 F,设AB=a, AC=b fAF=xa+yb,贝】J （x,力为（ ）二.填空题511. 已知e 】、o 是两个不共线的向量，而$=#&+（1—詁）a 与& =2e 】 + 3o 是两个共线向量,则实数k= ________ •12. 如图所示，平而内有三个向量励、阪~oa 其中励与翩夹角为120。

高中数学4.4向量的分解与坐标表示专项测试同步训练2020.031,試證通過A(h,k)且與x 軸正向夾角為a 之直線L 的參數方程式為⎩⎨⎧+=+=ααsin cos t k y t h x ，t 為任意實數。

2, 3,設→■a=(2cos?,2sin? )，→■b=(cos2?,sin2?)，0???2?，則|→■a?→■b|之最大值為何？4,DABC 中，AB(_ EMBED Word.Picture.8 ___) =(1,t)，BC(_ EMBED Word.Picture.8 ___)=(s,-2)，AC(_ EMBED Word.Picture.8 ___)=(3,4)，則數對(s,t)=？ 5,6,求參數方程式⎩⎨⎧541－＝＋＝t y t x ，－1≦t ≦2 所表之線段長。

7,已知A(-2,3)，B(4,-5)，設點P(x,y)在線段上，求3x-4y+6的最大值？8,△ABC 中，設A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，C(x 3,y 3)，P 與△ABC 共平面， 若2+2+2之值最小，求P 之坐標，此時P 與△ABC 有何關係？ 9,設 L 1：x ＝3－s ，y ＝2s ，s 為任意實數；L 2：x ＝4＋t ，y ＝－1＋3t ，t 為任意實數，則 L 1，L 2 之交點坐標為何？10,△ABC 之重心為 G ，邊與的中點分別為 D 與 E ，若 G ，D ，E的坐標分別為G(，-2)，D(，-1)，E(，-4)，則求頂點A，B，C的坐標。

11,在xy平面上，設O為原點，已知OA，AB，BC之方向角為30?、45?、60?，且| OA|=1，| AB|=2 ，| BC|=3 ，請問OC=？12,A(3,2)、B(?2,1)、C(?1,?3)，求滿足| PA+ PB+ PC|=6之點P(x,y)軌跡方程式。

13,設A(-4，-4)，B(2，8)，C(，)，則△ABC之內心坐標為何？14,若A(0,2)，B(-2,6)，C(-6,4)，則下列何點可與上述三點恰可構成一個平行四邊形？(A)(-4,0)(B)(4,4)(C)(-8,8)(D)(-3,3)(E)(-4,4)15,DABC中，A(1,-2)、B(0,3)、C(-1,1)，P為其內部一點，且DBCP：DCAP：DABP=2：1：3，則點P的坐標為何？答案1, 取L之方向單位向量=(cosa,sina)，由AP(_ EMBED Word.Picture.8 ___)=t，即可得2, (14,7)，(11,6)3, 34, (2,6)5,6,7, 388, P為△之重心9, (519，－58)10, A(1，2)，B(－27，－4)，C(9，－4)11, (3 +1,3)12, x 2+y 2=413, (2，2)14, (A)(B)(C)15, (?16,13) [提示：設P 為?ABC 內部一點，若l PA+m PB+n PC= 0，則?PAB ：?PBC ：?PCA=n ：l ：m 。

教材习题点拨练习A1．AB →＝－2e 1＋2e 2，CD →＝3e 1＋3e 2，EF →＝－3e 1＋2e 2，GH →＝6e 1－3e 2.2．OC →＝－a ；OD →＝－b ；DC →＝－a ＋b ；BC →＝－a －b .3．原式可化为(3x －4y －7)a ＝(2x ＋y －10)b .因为a ，b 不共线，所以⎩⎪⎨⎪⎧3x －4y ＝7，2x ＋y ＝10，解得x ＝4711，y ＝1611. 4．略．5．如图，OP →＝23OA →＋13OB →；OQ →＝13OA →＋23OB →.第5题练习B1．AD →＝13a ；AE →＝13b ；BC →＝－a ＋b ； DE →＝－13a ＋13b ；DB →＝23a ；EC →＝23b . 2．MN →＝MC →＋CN →＝34BC →＋14CA →＝34(AC →－AB →)－14AC →＝－34a ＋12b ，MP →＝BP →－BM →＝－12a －14b ，NP →＝AP →－AN →＝14a －34b . 3．AM →＝AB →＋BM →＝a ＋23b ，MH →＝AH →－AM →＝－a －16b ，AF →＝a ＋13b .1．a ＝2e 1＋3e 2，a ＝(2,3)；b ＝－2e 1＋3e 2，b ＝(－2,3)；c ＝－2e 1－3e 2，c ＝(－2，－3)； d ＝2e 1－3e 2，d ＝(2，－3)．2．(1)(3,6)，(－7,2)，(－16,8)；(2)(1,11)，(7，－5)，(18，－7)．3．设向量OA →，OB →相对x 轴正方向的转角为α，β.(1)OA →＝(3,5)，|O A →|＝34，α＝59°，OB →＝(6,9)，|OB →|＝313，β＝56.3°；(2)OA →＝(－3,4)，|O A →|＝5，α＝126.9°，OB →＝(6,3)，|OB →|＝35，β＝26.6°；(3)OA →＝(0,3)，|OA →|＝3，α＝90°，OB →＝(0,5)，|OB →|＝5，β＝90°；(4)OA →＝(－3,6)，|OA →|＝35，α＝116.6°，OB →＝(－8，－7)，|OB →|＝113，β＝221.2°.4．(1)(0,3)；(2)⎝⎛⎭⎫－32，－3. 5．A ′(－2，－3)，B ′(3，－5)，C ′(2,4)，D ′(－3,5)．练习B1．设点D 的坐标为(x ，y )，在平行四边形ABCD 中，AD →＝BC →，则(x ＋1，y ＋2)＝(－3,1)，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1＝－3，y ＋2＝1.所以点D 的坐标为(－4，－1)． 2．设点P 的坐标为(x ，y )，则AP →＝(x －1，y －4)，AB →＝(2，－2)．因为AP →＝32AB →， 所以(x －1，y －4)＝32(2，－2)， 即⎩⎪⎨⎪⎧x －1＝3，y －4＝－3. 所以点P 的坐标为(4,1)．3．设点P 坐标为(x ，y )，则AP →＝(x ＋2，y －5)，PB →＝(4－x,2－y )．因为AP →＝12PB →，所以(x ＋2，y －5)＝12(4－x,2－y )，即x ＋2＝12(4－x )，y －5＝12(2－y )．所以点P 的坐标为(0,4)． 4．设AB 的中点为M ，AB 的三等分点为P ，Q ，则OM →＝12(OA →＋OB →)＝(0,1)；OP →＝OA →＋13AB →＝(－1,0)；OQ →＝OA →＋23AB →＝(1,2)．所以AB 的中点为M (0,1)，三等分点的坐标分别为P (－1,0)，Q (1,2)．1．由题意得－3y －(－4)×2＝0，得y ＝83. 2．AB →＝(1,2)，AC →＝(2,4)．因为1×4－2×2＝0，所以AB →∥AC →，所以A ，B ，C 三点共线．3．AB →＝(1，－1)，CD →＝(1，－1)．因为1×(－1)－(－1)×1＝0，所以AB →∥CD →.又B ，C 不在同一条直线上，所以AB ∥CD .练习B1．AB →＝(1，－3)，DC →＝(1，－3)．因为AB →＝DC →，所以四边形ABCD 是平行四边形． 2．AP →＝(x ，y ＋3)．因为a ∥AP →，所以2x －(y ＋3)＝0.所以2x －y －3＝0.习题2－2A1．a ＝－e 1＋2e 2，b ＝2e 1＋3e 2，c ＝3e 1－e 2，d ＝－e 1－3e 2.2．(1)(6,9)；(2)(－1，－16)；(3)(－1,25)；(4)(－2,0)．3．AB →＝(x 2－x 1，y 2－y 1)，BC →＝(x 3－x 2，y 3－y 2)，CA →＝(x 1－x 3，y 1－y 3)，AB →＋BC →＋CA →＝0.4．因为x a ＋y b ＝(3,4)，所以(x ＋2y,2x ＋3y )＝(3,4)．所以⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2y ＝3，2x ＋3y ＝4，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝2. 5．设点A ′，B ′的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则A ′(4，－1)，B ′(－1，－3)，AB →＝(5,2)，A ′B ′→＝(－5，－2)，所以A ′B ′→＝－AB →.6．C (5，－7)，D (－10,13)，E ⎝⎛⎭⎫－52，3. 习题2－2B1．(1)(－11，－9)；(2)(47，－50)．2．因为x a ＋y b ＝(－3,5)，所以(6x ＋3y ，－4x －8y )＝(－3,5)，即⎩⎪⎨⎪⎧6x ＋3y ＝－3，－4x －8y ＝5， 即x ＝－14，y ＝－12.3．A 1B 1→＝⎝⎛⎭⎫－43，23，|A 1B 1→|＝235. 4．设点A ，B 关于点M 的中心对称点为A ′(x ′1，y ′1)，B ′(x ′2，y ′2)， 则⎩⎨⎧ x 0＝x 1＋x ′12，y 0＝y 1＋y ′12.⎩⎪⎨⎪⎧x ′1＝2x 0－x 1，y ′1＝2y 0－y 1. 所以A ′(2x 0－x 1,2y 0－y 1)，同理B ′(2x 0－x 2,2y 0－y 2)．5．AP →＝(x －x 1，y －y 1)，PB →＝(x 2－x ，y 2－y )．因为AP →＝λPB →，所以(x －x 1，y －y 1)＝λ(x 2－x ，y 2－y )，即⎩⎪⎨⎪⎧ 1＋λx ＝x 1＋λx 2，1＋λy ＝y 1＋λy 2.因为λ≠－1，所以x ＝x 1＋λx 21＋λ，y ＝y 1＋λy 21＋λ.。

§5.2 向量的分解与向量的坐标运算小题是基础 练小题 提分快一、选择题1．已知向量a ＝(－1,2)，b ＝(1,3)，则|2a －b |＝( ) A.2B ．2C.10D ．102．下列各组向量中，可以作为基底的是( ) A ．e 1＝(0,0)，e 2＝(1，－2) B ．e 1＝(－1,2)，e 2＝(5,7) C ．e 1＝(3,5)，e 2＝(6,10) D ．e 1＝(2，－3)，e 2＝⎝⎛⎭⎫12，－34 3．如果e 1、e 2是平面α内两个不共线的向量，那么下列说法中不正确的是( ) ①a ＝λe 1＋μe 2(λ、μ∈R )可以表示平面α内的所有向量；②对于平面α内任一向量a ，使a ＝λe 1＋μe 2的实数对(λ，μ)有无穷多个； ③若向量λ1e 1＋μ1e 2与λ2e 1＋μ2e 2共线，则λ1λ2＝μ1μ2.④若实数λ、μ使得λe 1＋μe 2＝0，则λ＝μ＝0. A ．①②B ．②③C ．③④D ．②4．若向量a ＝(2,3)，b ＝(－1,2)，则a ＋b 的坐标为( ) A ．(1,5)B ．(1,1)C ．(3,1)D ．(3,5)5．在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB →＝( ) A.34AB →－14AC → B.14AB →－34AC →C.34AB →＋14AC →D.14AB →＋34AC → 6．已知向量a ＝⎝⎛⎭⎫13，tan α，b ＝(cos α，1)，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，且a ∥b ，则sin ⎝⎛⎭⎫α－π2＝( ) A ．－13B.13C.223D ．－2237．已知点A (1,3)，B (4，－1)，则与AB →同方向的单位向量是( ) A.⎝⎛⎭⎫35，－45B.⎝⎛⎭⎫45，－35 C.⎝⎛⎭⎫－35，45D.⎝⎛⎭⎫－45，358．若A ，B ，C ，D 四点共线，且满足AB →＝(3a,2a )(a ≠0)，CD →＝(2，t )，则t 等于( ) A.34B.43C ．3D ．－3二、非选择题9．在平面直角坐标系xOy 中，已知a ＝(3，1)，若将向量－2a 绕坐标原点O 逆时针旋转120°得到向量b ，则b 的坐标为________．10．已知向量a ＝(m,4)，b ＝(3，－2)，且a ∥b ，则m ＝________.11．设向量a ，b 满足|a |＝25，b ＝(2,1)，且a 与b 的方向相反，则a 的坐标为________． 12．已知A (2,1)，B (3,5)，C (3,2)，AP →＝AB →＋tAC →(t ∈R )，若点P 在第二象限，则实数t 的取值范围是________．综合提能力 课时练 赢高分一、选择题1．已知向量a ＝(－3，－4)，则下列能使a ＝λ e 1＋μ e 2(λ，μ∈R )成立的一组向量e 1，e 2是( ) A ．e 1＝(0,0)，e 2＝(－1,2) B ．e 1＝(－1,3)，e 2＝(2，－6) C ．e 1＝(－1,2)，e 2＝(3，－1) D ．e 1＝⎝⎛⎭⎫－12，1，e 2＝(1，－2) 2．已知向量AB →与向量a ＝(1，－2)反向共线，|AB →|＝25，点A 的坐标为(3，－4)，则点B 的坐标为( ) A ．(1,0)B ．(0,1)C ．(5，－8)D ．(－8,5)3．如图，向量e 1，e 2，a 的起点与终点均在正方形网格的格点上，则向量a 可用基底e 1，e 2表示为( )A ．e 1＋e 2B ．－2e 1＋e 2C ．2e 1－e 2D ．2e 1＋e 24．已知向量a ＝(1，m )，b ＝(3，－2)，且(a ＋b )∥b ，则m ＝( ) A ．－23B.23C ．－8D ．85．已知圆心为O ，半径为1的圆上有不同的三个点A ，B ，C ，其中OA →·OB →＝0，存在实数λ，μ满足OC →＋λOA →＋μOB →＝0，则实数λ，μ的关系为( ) A ．λ2＋μ2＝1 B.1λ＋1μ＝1 C ．λμ＝1D ．λ＋μ＝16.如图，OC →＝2OP →，AB →＝2AC →，OM →＝mOB →，ON →＝nOA →，若m ＝38，那么n 等于( )A.12B.23C.34D.457．已知G 是△ABC 的重心，过点G 作直线MN 与AB ，AC 分别交于点M ，N ，且AM →＝xAB →，AN →＝yAC →(x ，y >0)，则3x ＋y 的最小值是( ) A.83B.72C.52D.43＋2338.在Rt △ABC 中，∠C 是直角，CA ＝4，CB ＝3，△ABC 的内切圆与CA ，CB 分别切于点D ，E ，点P 是图中阴影区域内的一点(不包含边界)．若CP →＝xCD →＝yCE →，则x ＋y 的值可以是( )A ．1B ．2C ．4D ．8二、非选择题9.如图，在四边形ABCD 中，AC 和BD 相交于点O ，设AD →＝a ，AB →＝b ，若AB →＝2DC →，则AO →＝________(用向量a 和b 表示)．10．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(2，－2)，c ＝(1，λ)．若c ∥(2a ＋b )，则λ＝________.11．已知e 1，e 2是平面内两个不共线的非零向量，AB →＝2e 1＋e 2，BE →＝－e 1＋λe 2，EC →＝－2e 1＋e 2，且A ，E ，C 三点共线．(1)求实数λ的值；若e 1＝(2,1)，e 2＝(2，－2)，求BC →的坐标；(2)已知点D (3,5)，在(1)的条件下，若ABCD 四点构成平行四边形，求点A 的坐标．【参考答案】小题是基础 练小题 提分快一、选择题 1．C【解析】由已知，易得2a －b ＝2(－1,2)－(1,3)＝(－3,1)，所以|2a －b |＝(－3)2＋12＝10.故选C. 2．B【解析】两个不共线的非零向量构成一组基底，A 中向量e 1为零向量，C ，D 中两向量共线，B 中e 1≠0，e 2≠0，且e 1与e 2不共线，故选B. 3．B【解析】由平面向量基本定理可知，①④是正确的．对于②，由平面向量基本定理可知，一旦一个平面的基底确定，那么任意一个向量在此基底下的实数对是唯一的．对于③，当λ1λ2＝0或μ1μ2＝0时不一定成立，应为λ1μ2－λ2μ1＝0.故选B. 4．A【解析】∵向量a ＝(2,3)，b ＝(－1,2)，∴a ＋b ＝(1,5)．故选A. 5．A【解析】作出示意图如图所示．EB →＝ED →＋DB →＝12AD →＋12CB →＝12×12(AB →＋AC →)＋12(AB →－AC →)＝34AB →－14AC →.故选A. 6．C【解析】因为向量a ＝⎝⎛⎭⎫13，tan α，b ＝(cos α，1)，且a ∥b ， 所以13＝tan αcos α＝sin α.因为α∈⎝⎛⎭⎫π2，π， 所以sin ⎝⎛⎭⎫α－π2＝－cos α＝1－sin 2α＝223.故选C. 7．A【解析】因为AB →＝(3，－4)，所以与AB →同方向的单位向量为AB →|AB →|＝⎝⎛⎭⎫35，－45. 8．B【解析】因为A ，B ，C ，D 四点共线，所以AB →∥CD →，故3a ·t ＝2a ·2，t ＝43.故选B.二、非选择题 9．(23，－2)【解析】因为a ＝(3，1)，所以－2a ＝(－23，－2)，如图所示，易知向量－2a 与x 轴正半轴的夹角α＝150°.向量－2a 绕坐标原点O 逆时针旋转120°得到向量b ，由图可知，b 在第四象限，且与x 轴正半轴的夹角β＝30°，所以b ＝(23，－2)．10．－6【解析】由题意知－2m －12＝0，m ＝－6. 11．(－4，－2)【解析】因为b ＝(2,1)，且a 与b 的方向相反，所以设a ＝(2λ，λ)(λ<0)，因为|a |＝2 5.所以4λ2＋λ2＝20，λ2＝4，λ＝－2.所以a ＝(－4，－2)． 12．(－5，－3)【解析】设点P (x ，y )，则由AP →＝AB →＋tAC →(t ∈R )，得(x －2，y －1)＝(1,4)＋t (1,1)＝(1＋t,4＋t )，所以⎩⎪⎨⎪⎧ x －2＝1＋t ，y －1＝4＋t ，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝3＋t ，y ＝5＋t ，由点P 在第二象限，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋t <0，y ＝5＋t >0，解得－5<t <－3，所以实数t 的取值范围为(－5，－3)．综合提能力 课时练 赢高分一、选择题 1．C【解析】作为基底，其应该满足的条件为不共线向量．A 中，零向量与任意向量共线；B 中，e 1＝(－1,3)，e 2＝(2，－6)共线；C 中，e 1＝(－1,2)，e 2＝(3，－1)不共线；D 中，e 1＝⎝⎛⎭⎫－12，1，e 2＝(1，－2)共线．2．A【解析】依题意，设AB →＝λa ，其中λ<0，则有|AB →|＝|λa |＝－λ|a |，即25＝－5λ，∴λ＝－2，AB →＝－2a ＝(－2,4)，因此点B 的坐标是(－2,4)＋(3，－4)＝(1,0)，故选A. 3．B【解析】由题意可取e 1＝(1,0)，e 2＝(－1,1)，a ＝(－3,1)，设a ＝x e 1＋y e 2＝x (1,0)＋y (－1,1)＝(x －y ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧ x －y ＝－3，y ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝1，故a ＝－2e 1＋e 2. 4．A【解析】由题意得a ＋b ＝(4，m －2)．因为(a ＋b )∥b ，所以43＝m －2－2，解得m ＝－23.故选A.5．A【解析】解法一 取特殊点，取C 点为优弧AB 的中点，此时易得λ＝μ＝22，只有A 符合．故选A.解法二 依题意得|OA →|＝|OB →|＝|OC →|＝1，－OC →＝λOA →＋μOB →，两边平方得1＝λ2＋μ2.故选A. 6.C【解析】因为AB →＝2AC →，所以C 为AB 中点，故OC →＝12OA →＋12OB →＝2OP →，所以OP →＝14OA →＋14OB .由OM →＝mOB →，ON →＝nOA →，所以OB →＝1m OM →，OA →＝1n ON →，所以OP →＝14m OM →＋14n ON →，因为M ，P ，N 三点共线，故14m ＋14n ＝1，当m ＝38时，n ＝34.故选C.7．D【解析】如图．AC →＝1y AN →，AB →＝1x AM →，又∵AG →＝13AB →＋13AC →，∴AG →＝13x AM →＋13y AN →，又∵M ，G ，N 三点共线，∴13x ＋13y ＝1.∵x >0，y >0，∴3x ＋y ＝(3x ＋y )⎝⎛⎭⎫13x ＋13y ＝1＋13＋y 3x ＋x y ≥43＋233.当且仅当y ＝3x 时取等号．故选D. 8.B【解析】设△ABC 内切圆的圆心为O ，半径为r ，连接OD ，OE ，则OD ⊥AC ，OE ⊥BC ，所以3－r ＋4－r ＝5，解得r ＝1，故CD ＝CE ＝1，连接DE ，则当x ＋y ＝1时，P 在线段DE 上，但线段DE 均不在阴影区域内，排除A ；在AC 上取点M ，在CB 上取点N ，使得CM ＝2CD ，CN ＝2CE ，连接MN ，所以CP →＝x 2CM →＋y 2CN →，则当点P 在线段MN 上时，x 2＋y2＝1，故x ＋y ＝2.同理，当x ＋y ＝4或x ＋y ＝8时，点P 不在△ABC 内部，排除C ，D ，故选B. 二、非选择题 9.23a ＋13b 【解析】由AB →＝2DC →知，AB ∥DC 且|AB →|＝2|DC →|，从而|BO →|＝2|OD →|.所以BO →＝23BD →＝23(AD →－AB →)＝23(a －b )，所以AO →＝AB →＋BO →＝b ＋23(a －b )＝23a ＋13b . 10．12【解析】2a ＋b ＝(4,2)，因为c ∥(2a ＋b )，所以4λ＝2，得λ＝12.11．解：(1)AE →＝AB →＋BE →＝(2e 1＋e 2)＋(－e 1＋λe 2)＝e 1＋(1＋λ)e 2. ∵A ，E ，C 三点共线，∴存在实数k ，使得AE →＝kEC →， 即e 1＋(1＋λ)e 2＝k (－2e 1＋e 2)，得(1＋2k )e 1＝(k －1－λ)e 2. ∵e 1，e 2是平面内两个不共线的非零向量，∴⎩⎪⎨⎪⎧1＋2k ＝0，λ＝k －1，解得k ＝－12，λ＝－32.BC →＝BE →＋EC →＝－3e 1－12e 2＝(－6，－3)＋(－1,1)＝(－7，－2)．(2)∵ABCD 四点构成平行四边形，∴AD →＝BC →. 设A (x ，y )，则AD →＝(3－x,5－y )，又BC →＝(－7，－2)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 3－x ＝－7，5－y ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝10，y ＝7，点A (10,7)．。

§5.2 向量的分解与向量的坐标运算一、选择题1．已知向量a ＝(3，－4)，b ＝(x ，y )．若a ∥b ，则( )A ．3x －4y ＝0B ．3x ＋4y ＝0C ．4x ＋3y ＝0D ．4x －3y ＝02．已知向量a ＝(5,2)，b ＝(－4，－3)，c ＝(x ，y )．若3a －2b ＋c ＝0，则c ＝( )A ．(－23，－12)B ．(23,12)C ．(7,0)D ．(－7,0)3．若AC 为平行四边形ABCD 的一条对角线，AB →＝(3,5)，AC →＝(2,4)，则AD →＝( )A ．(－1，－1)B ．(5,9)C ．(1,1)D ．(3,5)4．已知平面向量a ＝(1，－2)，b ＝(2，m )．若a ∥b ，则3a ＋2b ＝( )A ．(7,2)B ．(7，－14)C ．(7，－4)D ．(7，－8) 5．设向量a ＝(x ,1)，b ＝(4，x )，且a ，b 方向相反，则x 的值是( )A ．2B ．－2C ．±2D ．06．设向量a ＝(1，－3)，b ＝(－2,4)，c ＝(－1，－2)．若表示向量4a ,4b －2c ,2(a －c )，d 的有向线段首尾相连能构成四边形，则向量d ＝( )A ．(2,6)B ．(－2,6)C ．(2，－6)D ．(－2，－6)7．已知平行四边形ABCD 中，AD →＝(3,7)，AB →＝(－2,3)，对角线AC 与BD 交于点O ，则CO→的坐标为( )A.⎝⎛⎭⎫－12，5 B ．⎝⎛⎭⎫12，5 C.⎝⎛⎭⎫12，－5 D ．⎝⎛⎭⎫－12，－5 8．在平面直角坐标系xOy 中，已知A (1,0)，B (0,1)，C 为坐标平面内第一象限内一点且∠AOC＝π4，|OC →|＝2.若OC →＝λOA →＋μOB →，则λ＋μ＝( ) A ．22B ．2C ．2D ．42二、填空题9．若A (1，－5)，B (a ，－2)，C (－2，－1)三点共线，则实数a 的值为________．10．在△ABC 中，点P 在BC 上，且BP →＝2PC →，点Q 是AC 的中点．若 P A →＝(4,3)，PQ →＝(1,5)，则BC →＝________.11．已知向量AC →，AD →和AB →在正方形网格中的位置如图所示．若AC →＝λAB →＋μAD →，则λμ＝________.12． P ＝{a|a ＝(－1,1)＋m (1,2)，m ∈R }，Q ＝{b|b ＝(1，－2)＋n (2,3)，n ∈R }是两个向量集合，则P ∩Q ＝________.三、解答题13．给定两个长度为1的平面向量OA →和OB →，它们的夹角为2π3.如图所示，点C 在以O 为圆心的圆弧AB →上运动．若OC →＝xOA →＋yOB →，其中x ，y ∈R ，求x ＋y 的最大值．【参考答案】一、选择题1．C【解析】∵a ∥b ，∴3y ＋4x ＝0.故选C.2．A【解析】由题意可得3a －2b ＋c ＝3(5,2)－2(－4，－3)＋(x ，y )＝(23＋x ，12＋y )＝(0,0)， 所以⎩⎪⎨⎪⎧ 23＋x ＝0，12＋y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－23，y ＝－12，所以c ＝(－23，－12)． 3．A【解析】由题意可得AD →＝BC →＝AC →－AB →＝(2,4)－(3,5)＝(－1，－1)．4．B【解析】∵a ∥b ，∴m ＋4＝0，∴m ＝－4，∴b ＝(2，－4)，∴3a ＋2b ＝3(1，－2)＋2(2，－4)＝(7，－14)．5．B【解析】因为a 与b 方向相反，故可设b ＝m a ，m <0，则有(4，x )＝m (x,1)，所以⎩⎪⎨⎪⎧4＝mx ，x ＝m ，解得m ＝±2.又m <0，所以m ＝－2，x ＝m ＝－2.6．D【解析】设d ＝(x ，y )，由题意知4a ＝4(1，－3)＝(4，－12)，4b －2c ＝4(－2,4)－2(－1， －2)＝(－6,20)，2(a －c )＝2[(1，－3)－(－1，－2)]＝(4，－2)．又4a ＋(4b －2c )＋2(a －c )＋d ＝0，所以(4，－12)＋(－6,20)＋(4，－2)＋(x ，y )＝(0,0)，解得x ＝－2，y ＝－6，所以d ＝ (－2，－6)．7．D【解析】AC →＝AB →＋AD →＝(－2,3)＋(3,7)＝(1,10)．∴OC →＝12AC →＝⎝⎛⎭⎫12，5.∴CO →＝⎝⎛⎭⎫－12，－5. 8．A【解析】因为|OC →|＝2，∠AOC ＝π4，所以点C 的坐标为(2，2)．又OC →＝λOA ＋μOB →，所以(2，2)＝λ(1,0)＋μ(0,1)＝(λ，μ)，所以λ＝μ＝2，λ＋μ＝22.二、填空题9．－54【解析】AB →＝(a －1,3)，AC →＝(－3,4)，由题意知AB →∥AC →，∴4(a －1)＝3×(－3)，即4a ＝－5，∴a ＝－54. 10．(－6,21)【解析】∵AQ →＝PQ →－P A →＝(1,5)－(4,3)＝(－3,2)，∴AC →＝2AQ →＝2(－3,2)＝(－6,4)．又PC →＝P A →＋AC →＝(4,3)＋(－6,4)＝(－2,7)，∴BC →＝3PC →＝3(－2,7)＝(－6,21)．11．－3【解析】建立如题图所示的平面直角坐标系xAy ，则AC →＝(2，－2)，AB →＝(1,2)，AD →＝(1,0)．由题意可知(2，－2)＝λ(1,2)＋μ(1,0)，即⎩⎪⎨⎪⎧ 2＝λ＋μ，－2＝2λ，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－1，μ＝3，所以λμ＝－3. 12．{(－13，－23)}【解析】集合P 中，a ＝(－1＋m,1＋2m )，集合Q 中，b ＝(1＋2n ，－2＋3n )．则⎩⎪⎨⎪⎧ －1＋m ＝1＋2n ，1＋2m ＝－2＋3n .得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－12，n ＝－7.此时a ＝b ＝(－13，－23)． 三、解答题13．解：以O 为坐标原点，OA →所在的直线为x 轴建立平面直角坐标系，如图所示，则点A的坐标为(1,0)，点B 的坐标为⎝⎛⎭⎫－12，32，设∠AOC ＝α⎝⎛⎭⎫α∈⎝⎛⎭⎫0，2π3，则点C 的坐标为(cos α，sin α)， 由OC →＝xOA →＋yOB →，得⎩⎨⎧ cos α＝x －12y ，sin α＝32y ， 所以x ＝cos α＋33sin α，y ＝233sin α，所以x ＋y ＝cos α＋3sin α＝2sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6， 又α∈⎣⎡⎦⎤0，2π3，则α＋π6∈⎣⎡⎦⎤π6，5π6. 所以当α＋π6＝π2，即α＝π3时，x ＋y 取得最大值2.。

4.4 向量的分解与坐标表示双基达标(限时20分钟)1．若向量a ＝(x －2，3)与向量b ＝(1，y ＋2)相等，则 ( )．A ．x ＝1，y ＝3B ．x ＝3，y ＝1C ．x ＝1，y ＝－5D ．x ＝5，y ＝－1解析 由已知得，⎩⎪⎨⎪⎧x －2＝13＝y ＋2，解得x ＝3，y ＝1，故选B.答案 B2．若向量a ＝(1，1)，b ＝(1，－1)，c ＝(－1，2)，则c 等于 ( )． A ．－12a ＋32bB.12a －32b C.32a －12bD ．－32a ＋12b解析 设c ＝x a ＋y b ， 则(x ＋y ，x －y )＝(－1，2)，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝－1x －y ＝2，∴x ＝12，y ＝－32，∴c ＝12a －32b .答案 B3．已知AB →＝(3，4)，A (－2，－1)，则B 点的坐标是 ( )． A ．(5，5) B ．(－5，－5) C ．(1，3)D ．(－5，5)解析 设B (x ，y )，AB →＝(x ，y )－(－2，－1)＝(x ＋2，y ＋1)， 即(x ＋2，y ＋1)＝(3，4)，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2＝3，y ＋1＝4.∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝3.∴B 点的坐标为(1，3)． 答案 C4．已知A (－1，－2)，B (2，3)，C (－2，0)，D (x ，y )，且AC →＝2BD →，则x ＋y ＝________. 解析 ∵AC →＝(－2，0)－(－1，－2)＝(－1，2)， BD →＝(x ，y )－(2，3)＝(x －2，y －3)， 又2BD →＝AC →，即(2x －4，2y －6)＝(－1，2)，∴⎩⎪⎨⎪⎧2x －4＝－1，2y －6＝2， 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝32，y ＝4，∴x ＋y ＝112.答案1125．在平行四边形ABCD 中，AC 为一条对角线．若AB →＝(2，4)，AC →＝(1，3)，则BD →等于________． 解析 ∵AC →＝AB →＋AD →，∴AD →＝AC →－AB →＝(－1，－1)． ∴BD →＝AD →－AB →＝(－3，－5)． 答案 (－3，－5)．6．如图，在△ABC 中，BD →＝12DC →，AE →＝3ED →，若AB →＝a ，AC →＝b ，试用基底{a ，b }表示BE →.解 BD →＝13BC →＝13(b －a )．AD →＝AB →＋BD →＝a ＋13(b －a )＝23a ＋13b .ED →＝14AD →＝14(23a ＋13b )．BE →＝BD →＋DE →＝13(b －a )－14(23a ＋13b )＝－12a ＋14b .综合提高 (限时25分钟)7．给定向量a ＝(1，2)，b ＝(λ，1)，若(a ＋2b )∥(2a －2b )，则λ的值为 ( )． A.12B.13C ．1D ．2解析 ∵a ＋2b ＝(2λ＋1，4)，2a －2b ＝(2－2λ，2)， 又∵(a ＋2b )∥(2a －2b )，∴2(2λ＋1)－4(2－2λ)＝0，∴λ＝12.答案 A8．设a ＝(－1，2)，b ＝(1，－1)，c ＝(3，－2)，且c ＝p a ＋q b ，则实数p 、q 的值为( )．A ．p ＝4，q ＝1B ．p ＝1，q ＝－4C ．p ＝0，q ＝1D ．p ＝1，q ＝4 解析 p a ＝p (－1，2)＝(－p ，2p )，q b ＝q (1，－1)＝(q ，－q )， (3，－2)＝(q －p ，2p －q )，∴⎩⎪⎨⎪⎧3＝q －p ，－2＝－q ＋2p .∴⎩⎪⎨⎪⎧p ＝1，q ＝4. 答案 D9．设a ＝(32，sin α)，b ＝(cos α，13)，且a ∥b ，则锐角α为________．解析 由题知：32×13－sin αcos α＝0，∴sin αcos α＝12即(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝0，∴sin α＝cos α，tan α＝1，α＝45°. 答案 45°10．若a ，b 是不共线的两个向量，且AB →＝λ1a ＋b ，AC →＝a ＋λ2b (λ1，λ2∈R )，则当且仅当________时，A 、B 、C 三点共线．解析 ∵A 、B 、C 共线，∴AB →∥AC →，又AC →≠0，∴存在实数m ，使AB →＝mAC →，∴λ1a ＋b ＝m (a ＋λ2b )＝m a ＋mλ2b ，又a ，b 不共线，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ1＝m1＝mλ2，消去m 得λ1λ2＝1，∴λ1λ2－1＝0.答案 λ1λ2－1＝011．已知A 、B 、C 三点的坐标分别为(－1，0)，(3，－1)，(1，2)，并且AE →＝13AC →，BF →＝13BC →.求证：EF →∥AB →.证明：设E (x 1，y 1)，F (x 2，y 2)，依题意有： AC →＝(2，2)，BC →＝(－2，3)，AB →＝(4，－1)．因为AE →＝13AC →，所以AE →＝⎝⎛⎭⎫23，23. 因为BF →＝13BC →，所以BF →＝⎝⎛⎭⎫－23，1. 因为(x 1＋1，y 1)＝⎝⎛⎭⎫23，23，所以E ⎝⎛⎭⎫－13，23. 因为(x 2－3，y 2＋1)＝⎝⎛⎭⎫－23，1，所以F ⎝⎛⎭⎫73，0. 所以EF →＝⎝⎛⎭⎫83，－23. 又因为4×⎝⎛⎭⎫－23－83×(－1)＝0， 所以EF →∥AB →.12．(创新拓展)已知点O (0，0)，A (1，2)，B (4，5)，且OP →＝OA →＋tAB →(t ∈R )，求： (1)t 为何值时，点P 在x 轴上？点P 在二、四象限角平分线上？点P 在第二 角限？(2)四边形OABP 能否成为平行四边形？若能，求出相应的t 值；若不能，请 说明理由．解 (1)OP →＝OA →＋tAB →＝(1＋3t ，2＋3t )， 若点P 在x 轴上，只需2＋3t ＝0，t ＝－23；若点P 在二、四象限角平分线上，则 1＋3t ＝－(2＋3t )，t ＝－12；若点P 在第二象限，则需⎩⎪⎨⎪⎧1＋3t ＜0，2＋3t ＞0⇒－23＜t ＜－13.(2)OA →＝(1，2)，PB →＝(3－3t ，3－3t )，若四边形OABP 为平行四边形，则OA →＝PB →.⎩⎪⎨⎪⎧3－3t ＝1，3－3t ＝2无解，故四边形OABP 不能成为平行四边形．。

2.2.2 向量的正交分解与向量的直角坐标运算一、基础过关1．给出下面几种说法：①相等向量的坐标相同；②平面上一个向量对应于平面上唯一的坐标；③一个坐标对应于唯一的一个向量；④平面上一个点与以原点为始点，该点为终点的向量一一对应．其中正确说法的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4答案 C解析 由向量坐标的定义不难看出一个坐标可对应无数个相等的向量，故③错误．2．已知a －12b ＝(1,2)，a ＋b ＝(4，－10)，则a 等于( )A ．(－2，－2)B ．(2,2)C ．(－2,2)D ．(2，－2)答案 D3．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(2,3)，c ＝(3,4)，且c ＝λ1a ＋λ2b ，则λ1，λ2的值分别为() A ．－2,1 B ．1，－2C ．2，－1D ．－1,2答案 D解析 由⎩⎪⎨⎪⎧ λ1＋2λ2＝3，2λ1＋3λ2＝4. 解得⎩⎪⎨⎪⎧λ1＝－1，λ2＝2.4．已知M (3，－2)，N (－5，－1)且MP →＝12MN →，则点P 的坐标为( )A ．(－8,1) B.⎝⎛⎭⎫1，32C.⎝⎛⎭⎫－1，－32 D ．(8，－1)答案 C解析 设P (x ，y )，由(x －3，y ＋2)＝12×(－8,1)，∴x ＝－1，y ＝－32.5．已知平面上三点A (2，－4)，B (0,6)，C (－8,10)，则12AC →－14BC →的坐标是________． 答案 (－3,6)6.已知A (－1，－2)，B (2,3)，C (－2,0)，D (x ，y )，且AC →＝2BD →，则x ＋y ＝________.答案 112解析 ∵AC →＝(－2,0)－(－1，－2)＝(－1,2)，BD →＝(x ，y )－(2,3)＝(x －2，y －3)，又2BD →＝AC →，即(2x －4,2y －6)＝(－1,2)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －4＝－1，2y －6＝2， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝32，y ＝4，∴x ＋y ＝112. 7．已知a ＝(2,1)，b ＝(－1,3)，c ＝(1,2)，求p ＝2a ＋3b ＋c ，并用基底a 、b 表示p . 解 p ＝2a ＋3b ＋c＝2(2,1)＋3(－1,3)＋(1,2)＝(4,2)＋(－3,9)＋(1,2)＝(2,13)．设p ＝x a ＋y b ，则有⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －y ＝2，x ＋3y ＝13，解得⎩⎨⎧ x ＝197，y ＝247.∴p ＝197a ＋247b . 二、能力提升8．在平行四边形ABCD 中，AC 为一条对角线．若AB →＝(2,4)，AC →＝(1,3)，则BD →等于( )A ．(－2，－4)B ．(－3，－5)C ．(3,5)D ．(2,4)答案 B解析 ∵AC →＝AB →＋AD →，∴AD →＝AC →－AB →＝(－1，－1)，∴BD →＝AD →－AB →＝(－3，－5)．9．向量AB →＝(7，－5)，将AB →按向量a ＝(3,6)平移后得向量A ′B ′→，则A ′B ′→的坐标形式为( )A ．(10,1)B ．(4，－11)C ．(7，－5)D ．(3,6)答案 C解析 A ′B ′→与AB →方向相同且长度相等，故A ′B ′→＝AB →＝(7，－5)．10.已知点A (1,3)，B (4，－1)，则与向量A B →同方向的单位向量为( ) A.⎝⎛⎭⎫35，－45 B.⎝⎛⎭⎫45，－35 C.⎝⎛⎭⎫－35，45 D.⎝⎛⎭⎫－45，35 答案 A解析 A B →＝O B →－O A →＝(4，－1)－(1,3)＝(3，－4)，∴与A B →同方向的单位向量为A B →|A B →|＝⎝⎛⎭⎫35，－45. 11.如图，已知四边形ABCD 为平行四边形，O 为对角线AC ，BD 的交点，AD →＝(3,7)，AB →＝(－2,1)．求OB →的坐标．解 DB →＝AB →－AD →＝(－2,1)－(3,7)＝(－5，－6)，∴OB →＝12DB →＝12(－5，－6)＝⎝⎛⎭⎫－52，－3. 12．已知点A (2,3)，B (5,4)，C (7,10)．若AP →＝AB →＋λAC →(λ∈R )．(1)试求λ为何值时，点P 在第一、三象限的角平分线上？(2)试求λ为何值时，点P 在第三象限内？解 ∵AP →＝AB →＋λAC →，∴OP →＝OA →＋AP →＝OA →＋AB →＋λAC →＝OB →＋λAC →＝(5,4)＋λ(5,7)＝(5＋5λ，4＋7λ)．(1)由5＋5λ＝4＋7λ，解得λ＝12，∴当λ＝12时，点P 在第一、三象限的角平分线上． (2)由⎩⎪⎨⎪⎧ 5＋5λ<0，4＋7λ<0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ λ<－1，λ<－47，∴λ<－1.∴当λ<－1时，点P 在第三象限内．三、探究与拓展13.在直角坐标系xOy 中，向量a ，b ，c 的方向和长度如图所示，|a |＝2，|b |＝3，|c |＝4，分别求它们的坐标．解 设a ＝(a 1，a 2)，b ＝(b 1，b 2)，c ＝(c 1，c 2)，则 a 1＝|a |cos 45°＝2×22＝2， a 2＝|a |sin 45°＝2×22＝2； b 1＝|b |cos 120°＝3×⎝⎛⎭⎫－12＝－32， b 2＝|b |sin 120°＝3×32＝332； c 1＝|c |cos(－30°)＝4×32＝23， c 2＝|c |sin(－30°)＝4×⎝⎛⎭⎫－12＝－2. 因此a ＝(2，2)，b ＝⎝⎛⎭⎫－32，332，c ＝(23，－2)．。

2021年高中数学《向量的分解与向量的坐标运算》随堂练习一、选择题1.设平面向量a=(3,5)，b=(－2,1)，则a －2b 等于( )A.(7,3)B.(7,7)C.(1,7)D.(1,3)2.在△ABC 中，点P 在BC 上，且BP =2PC ，点Q 是AC 的中点，若PA =(4,3)，PQ =(1,5)，则BC =( ) A.(－2,7) B.(－6,21) C.(2，－7) D.(6，－21)3.设向量a=(2,4)与向量b=(x,6)共线,则实数x=( )A.2B.3C.4D.64.已知点A(0,1),B(3,2),向量AB =(-4,-3),则向量BC =( )A.(-7,-4)B.(7,4)C.(-1,4)D.(1,4)5.已知向量a=(5,2),b=(-4,-3),c=(x,y),若3a-2b+c=0,则c=( )A.(-23,-12)B.(23,12)C.(7,0)D.(-7,0)6.已知向量a=(3,-1),b=(-1,2),c=(2,1)，若a=xb+yc(x,y ∈R),则x+y=（ ）A.2B.1C.0D.0.5 7.已知a=(2,1)，b=(m,-1)，且a ⊥(a-b)，则实数m=（ ）A.1B.2C.3D.48.已知向量a=(2,1),b=(-1,3)，则（ ）A.a//bB.a ⊥bC.a ⊥(a-b)D.a//(a-b)二、填空题9.向量a ，b ，c 在正方形网格中的位置如图所示，若c=λa ＋μb(λ，μ∈R)，则μλ=______.10.已知平面向量a=(2,-1),b=(1,1),c=(-5,1).若(a+kb)∥c,则实数k 的值为 . 11.已知向量a=(2,3)，b=(-1,2)，若μa+b 与a-2b 平行，则μ等于__________.12.如果3e1＋4e2=a,2e1＋3e2=b，其中a，b为已知向量，则e1=________，e2=________.三、解答题13.已知a=(1,0),b=(2,1).(1)当k为何值时,ka-b与a+2b共线?(2)若AB=2a+3b,BC=a+mb且A,B,C三点共线,求m的值.答案解析14.答案为：A ；解析：a －2b=(3,5)－2(－2,1)=(3,5)－(－4,2)=(7,3).15.答案为：B;16.答案为：B ；解析：∵a 与b 共线,∴2×6=4x,∴x=3,故选B.17.答案为：A ；解析：根据题意得AB =(3,1),∴BC =AC -AB =(-4,-3)-(3,1)=(-7,-4).故选A.18.答案为：A ；解析：由题意可得3a-2b+c=(23+x,12+y)=(0,0),所以23+x=0,12+y=0解得x=-23,y=-12. 所以c=(-23,-12).19.答案为：C ；20.答案为：C ；21.答案为：C ；22.答案为：4;解析：以向量a 的终点为原点，过该点的水平和竖直的网格线所在直线为x 轴、y 轴建立平面直角坐标系，设一个小正方形网格的边长为1，则a=(－1,1)，b=(6,2)，c=(－1，－3).由c=λa ＋ μb ，即(－1，－3)=λ(－1,1)＋μ(6,2)，得－λ＋6μ=－1，λ＋2μ=－3，故λ=－2，μ=－0.5，则μλ=4. 23.答案为：21; 解析:由题意知,a+kb=(2,-1)+k(1,1)=(k+2,k-1),由(a+kb)∥c,得-5(k-1)=k+2,解得k=21. 24.答案为：-0.5.25.答案为：3a －4b 3b －2a ；解析：由⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝3e 1＋4e 2，b ＝2e 1＋3e 2，解得e 1=3a －4b ，e 2=3b －2a .26.解:(1)ka-b=k(1,0)-(2,1)=(k-2,-1).a+2b=(1,0)+2(2,1)=(5,2).∵ka-b 与a+2b 共线,∴2(k-2)-(-1)×5=0,即2k-4+5=0,得k=-21. (2)∵A,B,C 三点共线,∴AB =λBC (λ∈R).即2a+3b=λ(a+mb),∴λ=2,m λ=3,∴m=23.。