人教A版必修5：第二章章末复习课 Word版含解析

本章复习（一）从容说课本章通过生产实际和社会生活中的实际引入了等差数列与等比数列这两种特殊数列的概念、有关知识和方法.重点研究了等差数列与等比数列的通项公式、基本性质、前n项和公式以及用上述知识解决生产实际与社会生活中有关的实际问题.数列在现实世界中无处不在，等差数列与等比数列是其中的两种特殊的数列，发现数列的等差关系或等比关系是首先遇到的问题，也是学习中需要培养的最基本的能力.只有在观察和思考过程中迅速发现等差关系或等比关系，才能进一步地建立等差数列或等比数列的数学模型，接下来再用等差数列或等比数列的通项公式和有关的性质分析问题和解决问题.数列实际上是特殊的函数，是定义在正整数集N*(或它的有限集{1，2，3，…，n})上的函数.数列的项实际上是定义域为正整数集N*(或它的有限集{1，2，3，…，n})的函数当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值.学习中学会用函数的观点认识数列，是理解数列的概念和性质的有效途径.尤其对等差数列与等比数列这两种特殊数列，更需要清楚地认识到它们与一次函数与指数函数的对应关系.进而，还可以将知识拓展到等差数列的前n项和与二次函数的关系.数列的通项公式描述的是数列的第n项与序号n之间的函数关系，它是研究数列性质的载体，也是联系问题的已知条件与所要解决的问题的桥梁.它是分析问题与解决问题过程中最受关注的目标.等差数列与等比数列的通项公式的推导，采用了不完全归纳法；等差数列与等比数列的前n项和公式的推导分别采用了“倒序相加”和“错位相减”的方法；本章在有关的问题的探索过程中还蕴含着更多的数学思想方法，如函数与方程的思想、数形结合的思想、转化与化归的思想、算法的思想、分类讨论的思想方法等等.所有蕴含这些思想方法的问题，都是培养和提高学生的数学素养的极好素材，需要我们潜心探究，以更好地体现新课程标准的 理念.学习过程中，用数列这个数学模型研究和解决生产实际与社会生活中的现实问题，是本章的一个重要内容，通过对“教育储蓄问题”“住房贷款问题”等问题的探究，既巩固了数学知识，又培养了学生的人生观和价值观，收到的效果是不可估量的，这类问题值得我们高度重视.数列学习中，学生将在理解概念和性质的基础上，结合对具体教学实例的分析，体验数列这个数学模型在解决问题中的特殊作用；通过合作交流、独立思考、自主探索，发展有条理的思考与表达能力，提高逻辑思维能力.数列，特别是等差数列与等比数列，既有知识性，又有趣味性和实用性，在物理、化学、生物等学科，以及经济、天文、历法等领域，都有它的身影.我们应当适当地引导学生拓展知识的空间，更好地应用知识，乃至于更好地提高思想水平和能力水平.在实例的选择中，我们要把握这样一些原则：亲和原则.选取的例子要贴近学生，或者来自学生的生活实践，或者使用学生所学过的数学.趣味性原则.选取的实例一般要有丰富的背景，本身要有趣味性.基础性原则.问题本身并不难，但要蕴涵丰富的思想方法.本节课作为本章的小结，旨在和学生一起站在全章的高度，以问题解决为主线，以典型例习题为操作平台，以巩固知识、发展能力、提高素养为目的对本章作全面的复习总结，帮助学生进一步提高对数列的理解和认识，优化知识结构.鉴于本节课是复习课，小结应主要由学生来完成，教师帮助其完善和补充，练习题也放手由学生来完成，教师做好组织者和引导者的工作.教学重点1.系统化本章的知识结构；2.提高对几种常见类型的认识；3.优化解题思路和解题方法，提升数学表达的能力.教学难点解题思路和解题方法的优化.教具准备多媒体课件，投影胶片，投影仪等三维目标一、知识与技能1.进一步理解数列基础知识和方法，能清晰地构思解决问题的方案；2.进一步学习有条理地、清晰地表达数学问题，提高逻辑思维能力；3.加强对等差数列与等比数列的性质的理解，提高“知三求二”的熟练程度；4.在理解的基础上进一步熟练地构建数列模型解决实际问题.二、过程与方法1.通过实例，发展对解决具体问题的过程与步骤进行分析的能力；2.通过独立思考、合作交流、自主探究的过程，发展应用数列基础知识的能力；3.在解决具体问题的过程中更进一步地感受数列问题中蕴含的思想方法.三、情感态度与价值观1.通过具体实例，感受和体会数列在解决具体问题中的意义和作用，认识数列知识的重要性；2.感受并认识数列知识的重要作用，形成自觉地将数学知识与实际问题相结合的 思想；3.在解决实际问题过程中形成和发展正确的价值观.教学过程导入新课数列是高中代数的重要内容之一，也是高考考查的重点.它的主要内容主要有两个方面：第一方面是数列的基本概念，如等差数列的定义、等比数列的定义、通项公式、等差中项、等比中项、数列的性质以及数列的前n项和公式等；第二方面是数列的运算和实际应用，即运用通项公式、前n项和公式以及数列的性质求一些基本量，运用数列的基础知识探究与解决实际问题.应用本章知识要解决的主要问题有：(1)对数列概念理解的题目；(2)等差数列和等比数列中五个基本量a1,a n,d(q),n,S n“知三求二”的问题；(3)数列知识在实际方面的应用.在解决上述问题时，一是要用函数观点来分析解决有关数列问题；二是要运用方程的思想来解决“知三求二”的计算问题；三是能自觉地运用等差、等比数列的特征来化简计算；四是树立应用意识，能用数列有关知识解决生产生活中的一些问题.推进新课师出示多媒体课件一：(请同学们自己将框中的公式补充完整)师等差数列与等比数列的通项公式与前n项和公式都不止一种形式，请同学们在总结的时候不要忘记它们中的任何一种形式.［回顾与思考］1.知识的发生发展过程：师你能从函数的观点认识数列吗？你能体会学习数列与学习实数之间的异同吗？等差数列与等比数列的通项公式反映了什么函数关系？它们的图象各有什么特点呢？生思考.师请看下面的结构框图(出示多媒体课件二)：师请同学们理解并解释框图的结构及其含义.2.通项公式与前n项和公式的推导中的思想方法：师你能清楚地说出等差数列、等比数列的通项公式与前n项和公式的一种推导方法吗？每一个公式的推导能说出几种方法吗？生回忆学习过程中自己已经掌握的方法，并积极发言.师在它们的前n项和公式的推导中，请大家特别注意其中的两种推导方法：等差数列的前n项和公式推导中的“倒序相加法”与“叠加法”；等比数列的前n项和公式推导中的“错位相减法”与“叠乘法”；另外，还应该知道，对于任何数列{a n}，S n与a n有以下关系：a n=S1,n=1,S n-S n-1,n＞1.师你知道这个公式在解决问题中有哪些作用吗？生思考，回答.3.应用本章知识要解决的主要问题：师你明确应用本章知识要解决哪些问题吗？生应用本章知识要解决的主要问题有：(1)对数列概念理解的题目；(2)等差数列和等比数列中五个基本量a1,a n,d(q),n,S n“知三求二”的问题；(3)数列知识在生产实际和社会生活中的应用.师肯定学生的回答，必要时给予补充.师出示投影胶片1：例题1.【例1】设{a n}是公比为q的等比数列，S n是它的前n项和.若{S n}是等差数列，求q 的值.［合作探究］师这是一个关于等差数列与等比数列的基本概念和基本性质的基本题，起点比较低，入手的路子宽.你如何想？生独立思考，列式、求解.师组织学生交流不同的解题思路，概括出典型的解题方法的过程.参考答案如下：(投影胶片2)解法一：利用定义，∵{S n}是等差数列，∴a n=S n-S n-1=…=S2-S1=a2.∴a1·q n-1=a1·q.∵a1≠0,∴q n-2=1.∴q=1.解法二：利用性质，∵{S n }是等差数列，∴a n =S n -S n -1=S n -1-S n -2=a n -1,a 1·q n -1=a 1·q n -2.∵a 1≠0,q≠0,∴q=1.解法三：利用性质，∵2S 2=S 1+S 3，∴2(a 1+a 2)=a 1+a 1+a 2+a 3,即a 2＝a 3.∴q=1.师 点评：还可以用求和公式、反证法等.师 出示投影胶片3：例题2.【例2】 设数列{a n }的前n 项和为S n ＝n 2＋2n ＋4(n ∈N ).(1)写出这个数列的前三项；(2)证明数列除去首项后所成的数列a 2，a 3，…，a n ，…是等差数列.［合作探究］师 第1个问题很容易思考，请同学们独立完成.生 迅速作答.解：（1）a 1=S 1=7,a 2=S 2-S 1=22+2×2+4-7=5,a 3=S 3-S 2=32+2×3+4-(7+5)=7,即a 1=7,a 2=5,a 3=7.师 第2个问题是要证明一个数列是等差数列，这里的关键是要注意条件中的“除去首项后”，你能把握好这个条件的运用吗？生 自主探究，组织数学语言，准确表达推理过程.参考答案：(投影胶片4)（2）∵⎩⎨⎧-=-,1,11n nS S n S n ＞1， ∴当n ＞1时，a n ＝S n -S n -1＝n 2＋2n ＋4- [(n -1)2＋2(n -1)＋4]＝2n ＋1.a n ＋1-a n ＝2(定值),即数列{a n }除去首项后所成的数列是等差数列.师 点评：a n ＝S 1,n =1,S n -S n -1,n ＞1 是一个重要的关系式，要充分发挥它的作用.还有其他不同的证法，请同学们多交流.师 出示投影胶片5：例题3.【例3】 有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和是12，求这四个数.［合作探究］师 三个数成等差数列，在设法上应根据条件的特殊性考虑特殊的设法，同样，三个数成等比数列，也要注意兼顾前三个数已经设出来的形式.生 积极思考，列式探究，踊跃发言.师 观察学生的思考情况，指点学生寻找合理的思路.归纳、概括、总结学生的解题结果，给出如下两种典型解法.投影胶片6解法一：设四个数依次为a -d ，a ，a ＋d ，ad a 2)(+， 依题意有 (a -d )＋ad a 2)(+＝16,① a ＋(a ＋d )＝12,②由②式得 d ＝12-2a .③将③式代入①式整理得a 2-13a ＋36＝0.解得a 1＝4，a 2＝9.代入③式得d 1＝4，d 2＝-6.从而所求四个数为0，4，8，16或15，9，3，1.投影胶片7解法二：设四个数依次为x ，y ，12-y ，16-x ，依题意有⎩⎨⎧-=-=-+②①2)12()16(,2)12(y x y y y x由①式得x ＝3y-12.③将③式代入②式得y(16-3y ＋12)＝(12-y)2.整理得y 2-13y ＋36＝0,解得y 1＝4，y 2＝9,代入③式得x 1＝0，x 2＝15.从而得所求四个数为0，4，8，16或15，9，3，1.师 点评：本题若采用其他设求知量的方法列方程，解题过程会是怎么样的呢？请同学们课外探究一下，并在本题上述设求知量的方法的基础上，思考四个数成等差数列的常见设法，以及四个数成等比数列的常见设法.师 出示投影胶片8：例4.【例4】 设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 3＝12，S 12＞0，S 13＜0，（1）求公差d 的取值范围；（2）指出S 1，S 2，…S 12中哪一个值最大，并说明理由.［合作探究］分析：本题的条件形式上比较特殊，属于同学们不太熟悉的面孔，思考应该从最熟悉的角度入手.师 引导：第1个问题，目标是关于d 的范围的问题，故应当考虑到合理的选用等差数列的前n 项和的哪一个公式.其次，条件a 3＝12可以得出a 1与d 的关系，列式中可以用来代换掉另一个量，起到减少求知量的作用.生 在教师的引导下，列出式子，将问题化归为一个关于d 的不等式.参考答案：投影胶片9解：（1）依题意有S 12＝12a 1＋21×12×11d ＞0, S 13＝13a 1＋21×13×12d ＜0, 即2a 1＋11d ＞0,①a 1＋6d ＜0.②由a 3＝12，得a 1＝12-2d ,③将③式分别代入①②式得24＋7d ＞0且3＋d ＜0， ∴724-＜d ＜-3为所求. 师 对第2个问题的思考，可以有较多的角度，请同学们合作探究，交流你们的想法，寻找更好的思路.生 积极活动，在交流中受到启发，得到自己的成功的解法.师 收集、整理出学生的不同思路，公布优秀的思考方法和解题过程，归纳出如下几种解法： 投影胶片10（2）解法一：由(1)知d ＜0，∴a 1＞a 2＞a 3＞……＞a 12＞a 13，因此，若在1≤n ≤12中存在自然数n ，使得a n ＞0，a n ＋1＜0，则S n 就是S 1，S 2，…，S 12中的最大值，由于S 12=12a 1+21×12×11d =6(2a 1+11d )＝6(a 6＋a 7)＞0，S 13=13a 1+21×13×12d =13(a 1+6d )＝13a 7＜0,∴a 6＞0，a 7＜0，故在S 1，S 2，…，S 12中，S 6最大.投影胶片11解法二：S n ＝na 1＋21n (n -1)d ＝n (12-2d )＋21 (n 2-n )d ＝2)245()2245(222d d d n d ----. ∵d ＜0，∴2)2245(d n --最小时，S n 最大， 而当724-＜d ＜-3时，有6＜2245d -＜6.5，且n ∈N ， ∴当n ＝6时，(n -2245d -)2最小，即S 6最大. 投影胶片12解法三：由d ＜0，可知a 1＞a 2＞a 3＞…＞a 12＞a 13，因此，若在1≤n ≤12中存在自然数n ，使得a n ＞0，a n ＋1＜0，则S n 就是S 1，S 2，…，S 12中的最大值，由S 12＞0，S 13＜0，有12a 1＋21×12×11d ＞0a 1＋5d ＞-2d ＞0; 13a 1＋21×13×12d ＜0a 1＋6d ＜0. ∴a 6＞0，a 7＜0，故在S 1，S 2，…，S 12中，S 6最大.投影胶片13解法四：同解法二得S n ＝2d (n -2245d -)2-2245d -. ∵d ＜0，故S n 的图象是开口向下的一条抛物线上的一些点，注意到S 0＝0，且S 12＞0，S 13＜0，知该抛物线与横轴的一个交点是原点，一个在区间(12，13)内，于是抛物线的顶点在(6，6.5)内，而n ∈N ，知n ＝6时，有S 6是S 1，S 2，…，S 12中的最大值.课堂小结本节学习了如下内容：1.第二章“数列”一章知识和方法的概括性回顾与思考.2.运用中典型例题的探究.布置作业1.独立完成复习参考题A组题.2.开展探究活动，思考更深刻的数列知识运用的问题.。

章末检测(二) 数列时间：120分钟 满分：150分一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．在等差数列{a n }中，a 3＝－6，a 7＝a 5＋4，则a 1等于( )A ．－10B ．－2C ．2D ．10解析：设公差为d ，∴a 7－a 5＝2d ＝4，∴d ＝2，又a 3＝a 1＋2d ，∴－6＝a 1＋4，∴a 1＝－10. 答案：A2．在等比数列{a n }中，a 4，a 12是方程x 2＋3x ＋1＝0的两根，则a 8等于( )A ．1B ．－1C ．±1D ．不能确定解析：由题意得，a 4＋a 12＝－3<0，a 4·a 12＝1>0，∴a 4<0，a 12<0，∴a 8<0，又∵a 28＝a 4·a 12＝1，∴a 8＝－1. 答案：B3．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2＋n ，那么它的通项公式a n ＝( )A ．nB ．2nC ．2n ＋1D ．n ＋1解析：当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2＋n －[(n －1)2＋(n －1)]＝2n ，当n ＝1时，a 1＝S 1＝2，也满足上式，故数列{a n }的通项公式为a n ＝2n .答案：B4．若数列{a n }满足a n ＝q n (q >0，n ∈N *)，则以下命题正确的是( )①{a 2n }是等比数列；②⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是等比数列； ③{lg a n }是等差数列；④{lg a 2n }是等差数列．A ．①③B ．③④C ．②③④D ．①②③④解析：因为a n ＝q n (q >0，n ∈N *)，所以{a n }是等比数列，因此{a 2n }，⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是等比数列，{lg a n }，{lg a 2n }是等差数列．答案：D5．已知数列2，x ，y,3为等差数列，数列2，m ，n,3为等比数列，则x ＋y ＋mn 的值为( )A ．16B ．11C ．－11D ．±11解析：根据等差中项和等比中项知x ＋y ＝5，mn ＝6，所以x ＋y ＋mn ＝11，故选B. 答案：B6．已知S n ＝1－2＋3－4＋5－6＋…＋(－1)n ＋1·n ，则S 6＋S 10＋S 15等于( )A ．－5B ．－1C ．0D ．6 解析：由题意可得S 6＝－3，S 10＝－5，S 15＝－7＋15＝8，所以S 6＋S 10＋S 15＝0.答案：C7．已知等比数列{a n }的公比为正数，且a 3·a 7＝4a 24，a 2＝2，则a 1＝( )A ．1 B. 2 C ．2 D.22解析：设{a n }的公比为q ，则有a 1q 2·a 1q 6＝4a 21q 6，解得q ＝2(舍去q ＝－2)，所以由a 2＝a 1q＝2，得a 1＝1.故选A.答案：A8．设等差数列{a n }的公差d 不为0，a 1＝9d .若a k 是a 1与a 2k 的等比中项，则k 等于( )A ．2B ．4C ．6D ．8解析：∵a 2k ＝a 1a 2k ，∴(8＋k )2d 2＝9d (8＋2k )d ，∴k ＝4(舍去k ＝－2)．答案：B9．计算机的成本不断降低，若每隔3年计算机价格降低13，现在价格为8 100元的计算机，9年后的价格可降为( )A ．900元B ．1 800元C ．2 400元D ．3 600元解析：把每次降价后的价格看做一个等比数列，首项为a 1，公比为1－13＝23，则a 4＝8 100×⎝⎛⎭⎫232＝2 400.答案：C10．一个凸多边形的内角成等差数列，其中最小的内角为120°，公差为5°，那么这个多边形的边数n 等于( )A ．12B ．16C ．9D ．16或9解析：由题意得，120°n ＋12n (n －1)×5°＝180°(n －2)，化简整理，得n 2－25n ＋144＝0， 解得n ＝9或n ＝16.当n ＝16时，最大角为120°＋(16－1)×5°＝195°>180°，不合题意．∴n ≠16.故选C.答案：C11．设{a n }是公差为－2的等差数列，若a 1＋a 4＋a 7＋…＋a 97＝50，则a 3＋a 6＋a 9＋…＋a 99的值为( )A ．－78B ．－82C ．－148D ．－182解析：∵a 1＋a 4＋a 7＋…＋a 97＝50，d ＝－2，∴a 3＋a 6＋a 9＋…＋a 99＝(a 1＋2d )＋(a 4＋2d )＋(a 7＋2d )＋…＋(a 97＋2d )＝(a 1＋a 4＋a 7＋…＋a 97)＋33×2d ＝50＋33×(－4)＝－82. 答案：B12．定义：称n p 1＋p 2＋…＋p n为n 个正数p 1，p 2，…，p n 的“均倒数”，若数列{a n }的前n 项的“均倒数”为12n －1，则数列{a n }的通项公式为( ) A ．2n －1B ．4n －1C ．4n －3D ．4n －5解析：设数列{a n }的前n 项和为S n ，由已知得n a 1＋a 2＋…＋a n ＝n S n ＝12n －1，∴S n ＝n (2n －1)＝2n 2－n .当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n 2－n －[2(n －1)2－(n －1)]＝4n －3，当n ＝1时，a 1＝S 1＝2×12－1＝1适合上式，∴a n ＝4n －3.答案：C二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中的横线上)13．已知S n 是等比数列{a n }的前n 项和，a 5＝－2，a 8＝16，则S 6等于________．解析：∵{a n }为等比数列，∴a 8＝a 5q 3，∴q 3＝16－2＝－8，∴q ＝－2.又a 5＝a 1q 4，∴a 1＝－216＝－18，∴S 6＝a 1(1－q 6)1－q ＝－18[1－(－2)6]1＋2＝218. 答案：21814．设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若S 3＝3，S 6＝24，则a 9＝________.解析：设等差数列公差为d ，则S 3＝3a 1＋3×22×d ＝3a 1＋3d ＝3，a 1＋d ＝1，① 又S 6＝6a 1＋6×52×d ＝6a 1＋15d ＝24，即2a 1＋5d ＝8.② 联立①②两式得a 1＝－1，d ＝2，故a 9＝a 1＋8d ＝－1＋8×2＝15.答案：1515．在等差数列{a n }中，S n 为它的前n 项和，若a 1>0，S 16>0，S 17<0，则当n ＝________时，S n 最大．解析：∵⎩⎨⎧ S16＝16(a 1＋a 16)2＝8(a 8＋a 9)>0S 17＝17(a 1＋a 17)2＝17a 9<0，∴a 8>0，而a 1>0，∴数列{a n }是一个前8项均为正，从第9项起为负值的等差数列，从而n ＝8时，S n 最大． 答案：816．已知函数f (x )＝x a 的图象过点(4,2)，令a n ＝1f (n ＋1)＋f (n )，n ∈N *.记数列{a n }的前n 项和为S n ，则S 2 016＝________.解析：由f (4)＝2可得4α＝2，解得α＝12， 则f (x )＝x 12. ∴a n ＝1f (n ＋1)＋f (n )＝1n ＋1＋n＝n ＋1－n ， S 2 016＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 2 016＝(2－1)＋(3－2)＋(4－3)＋…＋( 2 017－ 2 016)＝ 2 017－1.答案： 2 017－1三、解答题(本大题共有6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(12分)在等比数列{a n }中，a 2＝3，a 5＝81.(1)求a n ；(2)设b n ＝log 3a n ，求数列{b n }的前n 项和S n .解析：(1)设{a n }的公比为q ，依题意得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1q ＝3，a 1q 4＝81，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，q ＝3. 因此a n ＝3n －1.(2)因为b n ＝log 3a n ＝n －1，且为等差数列，所以数列{b n }的前n 项和S n ＝n (b 1＋b n )2＝n 2－n 2. 18．(12分)已知等差数列{a n }，a 6＝5，a 3＋a 8＝5.(1)求{a n }的通项公式a n ；(2)若数列{b n }满足b n ＝a 2n －1，求{b n }的通项公式b n .解析：(1)设{a n }的首项是a 1，公差为d ，依题意得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋5d ＝5，2a 1＋9d ＝5，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝－20，d ＝5.∴a n ＝5n －25(n ∈N *)．(2)∵a n ＝5n －25，∴b n ＝a 2n －1＝5(2n －1)－25＝10n －30，∴b n ＝10n －30(n ∈N *)．19．(12分)已知等差数列{a n }满足a 1＋a 2＝10，a 4－a 3＝2.(1)求{a n }的通项公式；(2)设等比数列{b n }满足b 2＝a 3，b 3＝a 7.问：b 6与数列{a n }的第几项相等？ 解析：(1)设等差数列{a n }的公差为d .因为a 4－a 3＝2，所以d ＝2.又因为a 1＋a 2＝10，所以2a 1＋d ＝10，故a 1＝4.所以a n ＝4＋2(n －1)＝2n ＋2(n ∈N *)．(2)设等比数列{b n }的公比为q .因为b 2＝a 3＝8，b 3＝a 7＝16，所以q ＝2，b 1＝4.所以b 6＝4×26－1＝128.由128＝2n ＋2，得n ＝63.所以b 6与数列{a n }的第63项相等．20．(12分)已知等差数列{a n }满足：a 3＝7，a 5＋a 7＝26，{a n }的前n 项和为S n .(1)求a n 及S n ；(2)令b n ＝1a 2n －1(n ∈N *)，求数列{b n }的前n 项和T n .解析：(1)设等差数列{a n }的公差为d ，由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋2d ＝72a 1＋10d ＝26，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝3d ＝2.∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝3＋2(n －1)＝2n ＋1.S n ＝na 1＋12n (n －1)d ＝3n ＋12n (n －1)×2＝n 2＋2n .(2)由(1)知a n ＝2n ＋1，∴b n ＝1a 2n －1＝1(2n ＋1)2－1＝14·1n (n ＋1)＝14⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋1， ∴T n ＝14⎝⎛⎭⎫1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1 ＝14⎝⎛⎭⎫1－1n ＋1＝n 4(n ＋1).21．(13分)设数列{a n }的前n 项和为S n ，其中a n ≠0，a 1为常数，且－a 1，S n ，a n ＋1成等差数列．(1)求{a n }的通项公式；(2)设b n ＝1－S n ，问：是否存在a 1，使数列{b n }为等比数列？若存在，求出a 1的值；若不存在，请说明理由．解析：(1)依题意，得2S n ＝a n ＋1－a 1，当n ≥2时，有⎩⎪⎨⎪⎧2S n ＝a n ＋1－a 1，2S n －1＝a n －a 1. 两式相减，得a n ＋1＝3a n (n ≥2)．又因为a 2＝2S 1＋a 1＝3a 1，a n ≠0，所以数列{a n }是首项为a 1，公比为3的等比数列．因此，a n ＝a 1·3n －1(n ∈N *)．(2)因为S n ＝a 1(1－3n )1－3＝12a 1·3n －12a 1， b n ＝1－S n ＝1＋12a 1－12a 1·3n . 要使{b n }为等比数列，当且仅当1＋12a 1＝0，即a 1＝－2， 所以存在a 1＝－2，使数列{b n }为等比数列．22．(13分)求和：x ＋3x 2＋5x 3＋…＋(2n －1)x n (x ≠0)．解析：设S n ＝x ＋3x 2＋5x 3＋…＋(2n －1)x n ，∴xS n ＝x 2＋3x 3＋5x 4＋…＋(2n －3)x n ＋(2n －1)x n ＋1.∴(1－x )S n ＝x ＋2x 2＋2x 3＋…＋2x n －(2n －1)x n ＋1＝2(x ＋x 2＋x 3＋…＋x n )－x －(2n －1)x n ＋1＝2x (1－x n )1－x－x －(2n －1)x n ＋1(x ≠1)， 当x ≠1时，1－x ≠0，S n ＝2x (1－x n )(1－x )2－x ＋(2n －1)x n ＋11－x. 当x ＝1时，S n ＝1＋3＋5＋…＋(2n －1)＝n (1＋2n －1)2＝n 2.所以S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2x (1－x n )(1－x )2－x ＋(2n －1)x n ＋11－x ，x ≠1，n 2，x ＝1.。

章末复习学习目标　1.整合知识结构，梳理知识网络，进一步巩固、深化所学知识.2.熟练掌握解决等差数列、等比数列问题的基本技能.3.依托等差数列、等比数列解决一般数列的常见通项、求和等问题．1．等差数列和等比数列的基本概念与公式等差数列等比数列定义如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d 表示如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q 表示(q ≠0)递推公式a n ＋1－a n ＝d＝q a n ＋1a n中项由三个数a ，A ，b 组成的等差数列可以看成最简单的等差数列．这时A 叫做a 与b 的等差中项，并且A ＝a ＋b2如果在a 与b 中间插入一个数G ，使a ，G ，b 成等比数列，那么G 叫做a 与b 的等比中项，且G ＝±ab通项公式a n ＝a 1＋(n －1)d a n ＝a 1q n －1前n 项和公式S n ＝n (a 1＋a n )2当q ≠1时，S n ＝＝a 1(1－q n )1－q，当q ＝1时，S n ＝na 1a 1－a n q1－q＝na 1＋d n (n －1)2a m ，a n 的关系am －a n ＝(m －n )d＝q m －n a man m ，n ，s ，t ∈N *，m ＋n ＝s ＋t a m ＋a n ＝a s ＋a t a m a n ＝a s a t{k n }是等差数列，且k n∈N *是等差数列{}n k a 是等比数列{}nk a 性质n ＝2k －1，k ∈N *S 2k －1＝(2k －1)·a k a 1a 2·…·a 2k －1＝a 2k －1k 利用定义a n ＋1－a n 是同一常数是同一常数a n ＋1a n利用中项a n ＋a n ＋2＝2a n ＋1a n a n ＋2＝a 2n ＋1利用通项公式a n ＝pn ＋q ，其中p ，q 为常数a n ＝ab n (a ≠0，b ≠0)判断方法利用前n 项和公式S n ＝an 2＋bn (a ，b 为常数)S n ＝A (q n －1)，其中A ≠0，q ≠0且q ≠1或S n ＝np (p 为非零常数)2.数列中的基本方法和思想(1)在求等差数列和等比数列的通项公式时，分别用到了累加法和累乘法；(2)在求等差数列和等比数列的前n 项和时，分别用到了倒序相加法和错位相减法．(3)等差数列和等比数列各自都涉及5个量，已知其中任意三个求其余两个，用到了方程思想．(4)在研究等差数列和等比数列单调性，等差数列前n 项和最值问题时，都用到了函数思想.题型一　方程思想求解数列问题例1　等差数列{a n }各项为正整数，a 1＝3，前n 项和为S n ，等比数列{b n }中，b 1＝1且b 2S 2＝64，是公比为64的等比数列，求{a n }，{b n}的通项公式．{}na b 解　设{a n }的公差为d ，{b n }的公比为q ，则d 为正整数，a n ＝3＋(n －1)d ，b n ＝q n －1.依题意有1116122642,(6)64,n n n na a d a ab q q b q b S q d ++--⎧====⎪⎨⎪=+=⎩①②由q (6＋d )＝64知q 为正有理数，又由知d 为6的因子1,2,3,6之一，解①②得d ＝2，q ＝8，62dq =故a n ＝2n ＋1，b n ＝8n －1.反思感悟　在等比数列和等差数列中，通项公式a n 和前n 项和公式S n 共涉及五个量：a 1，a n ，n ，q (d )，S n ，其中首项a 1和公比q (公差d )为基本量，“知三求二”是指将已知条件转换成关于a 1，a n ，n ，q (d )，S n 的方程组，通过方程的思想解出需要的量．跟踪训练1　记等差数列{a n }的前n 项和为S n ，设S 3＝12，且2a 1，a 2，a 3＋1成等比数列，求S n .解　设数列{a n }的公差为d ，依题设有Error!即Error!解得Error!或Error!因此S n ＝n (3n －1)或S n ＝2n (5－n )，n ∈N *.12题型二　转化与化归思想求解数列问题例2　在数列{a n }中，S n ＋1＝4a n ＋2，a 1＝1.(1) 设c n ＝，求证：数列{c n }是等差数列；a n2n (2) 求数列{a n }的通项公式及前n 项和的公式．(1)证明　∵S n ＋1＝4a n ＋2，①∴当n ≥2，n ∈N *时，S n ＝4a n －1＋2.②①－②得a n ＋1＝4a n －4a n －1.对a n ＋1＝4a n －4a n －1两边同除以2n ＋1，得＝2－，a n ＋12n ＋1a n 2n a n －12n －1即＋＝2，a n ＋12n ＋1a n －12n －1a n 2n 即c n ＋1＋c n －1＝2c n ，∴数列{c n }是等差数列．由S n ＋1＝4a n ＋2，得a 1＋a 2＝4a 1＋2，则a 2＝3a 1＋2＝5，∴c 1＝＝，c 2＝＝，故公差d ＝－＝，a 1212a 22254541234∴{c n }是以为首项，为公差的等差数列．1234(2)解　由(1)可知数列是首项为，公差为的等差数列，{a n 2n }1234∴＝＋(n －1)＝n －，∴a n ＝(3n －1)·2n －2.a n 2n 12343414设S n ＝(3－1)·2－1＋(3×2－1)·20＋…＋(3n －1)·2n －2，则2S n ＝(3－1)·20＋(3×2－1)·21＋…＋(3n －1)·2n －1，∴S n ＝2S n －S n＝－(3－1)·2－1－3(20＋21＋…＋2n －2)＋(3n －1)·2n －1＝－1－3×＋(3n －1)·2n －12n －1－12－1＝－1＋3＋(3n －4)·2n －1＝2＋(3n －4)·2n －1.∴数列{a n }的通项公式为a n ＝(3n －1)·2n －2，n ∈N *，前n 项和公式为S n ＝2＋(3n －4)·2n －1，n ∈N *.反思感悟　由递推公式求通项公式，要求掌握的方法有两种，一种求法是先找出数列的前几项，通过观察、归纳得出，然后证明；另一种是通过变形转化为等差数列或等比数列，再采用公式求出．跟踪训练2　设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n ＝(n －1)S n ＋2n (n ∈N *)．(1)求a 2，a 3的值；(2)求证：数列{S n ＋2}是等比数列．考点　等差等比数列综合应用题点　等差等比数列其他综合问题(1)解　∵a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n ＝(n －1)S n ＋2n (n ∈N *)，∴当n ＝1时，a 1＝2×1＝2；当n ＝2时，a 1＋2a 2＝(a 1＋a 2)＋4，∴a 2＝4；当n ＝3时，a 1＋2a 2＋3a 3＝2(a 1＋a 2＋a 3)＋6，∴a 3＝8.(2)证明　∵a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n ＝(n －1)S n ＋2n (n ∈N *)，①∴当n ≥2时，a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋(n －1)a n －1＝(n －2)S n －1＋2(n －1)．②①－②得na n ＝(n －1)S n －(n －2)S n －1＋2＝n (S n －S n －1)－S n ＋2S n －1＋2＝na n －S n ＋2S n －1＋2.∴－S n ＋2S n －1＋2＝0，即S n ＝2S n －1＋2，∴S n ＋2＝2(S n －1＋2)．∵S 1＋2＝4≠0，∴S n －1＋2≠0，∴＝2，S n ＋2S n －1＋2故{S n ＋2}是以4为首项，2为公比的等比数列．题型三　函数思想求解数列问题命题角度1　借助函数性质解数列问题例3　一个等差数列{a n }中，3a 8＝5a 13，a 1>0.若S n 为{a n }的前n 项和，则S 1，S 2，…，S n 中没有最大值？请说明理由．解　因为此等差数列不是常数列，所以其前n 项和S n 是关于n 的二次函数，我们可以利用配方法，结合二次函数的性质求解．设{a n }的首项为a 1，公差为d ，则有3(a 1＋7d )＝5(a 1＋12d )，所以d ＝－a 1，所以S n ＝na 1＋d ＝－n 2a 1＋na 1＝－a 1(n －20)2＋a 1，故n ＝20239n (n －1)2139403913940039时，S n 最大，即前20项之和最大．反思感悟　数列是一种特殊的函数，在求解数列问题时，若涉及参数取值范围、最值问题或单调性时，均可考虑采用函数的性质及研究方法指导解题．值得注意的是数列定义域是正整数集或{1,2,3，…，n }，这一特殊性对问题结果可能造成影响．跟踪训练3　已知数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －2 019，问这个数列前多少项的和最小？解　设a n ＝2n －2 019，对应的函数为y ＝2x －2 019，易知y ＝2x －2 019在R 上单调递增，且当y ＝0时，x ＝，因此，数列{a n }为单调递增数列，a 1 009<0，a 1 010>0，2 0192故当1≤n ≤1 009时，a n <0；当n >1 009时，a n >0.∴数列{a n }中前1 009项的和最小．命题角度2　以函数为载体给出数列例4　已知函数f (x )＝，数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝f ，n ∈N *.2x ＋33x (1an )(1)求数列{a n }的通项公式；(2)令T n ＝a 1a 2－a 2a 3＋a 3a 4－a 4a 5＋…－a 2n a 2n ＋1，求T n .解　(1)∵a n ＋1＝f ＝＝＝a n ＋，(1a n )2a n ＋33a n2＋3a n 323∴a n ＋1－a n ＝，23∴{a n }是以为公差的等差数列．23又a 1＝1，∴a n ＝n ＋.2313(2)T n ＝a 1a 2－a 2a 3＋a 3a 4－a 4a 5＋…－a 2n a 2n ＋1＝a 2(a 1－a 3)＋a 4(a 3－a 5)＋…＋a 2n (a 2n －1－a 2n ＋1)＝－(a 2＋a 4＋…＋a 2n )43＝－·＝－(2n 2＋3n )．43n (53＋4n 3＋13)249反思感悟　以函数为载体给出数列，只需代入函数式即可转化为数列问题．跟踪训练4　设y ＝f (x )是一次函数，f (0)＝1，且f (1)，f (4)，f (13)成等比数列，则f (2)＋f (4)＋…＋f (2n )＝ .答案　2n 2＋3n解析　设f (x )＝kx ＋b (k ≠0)，又f (0)＝1，则b ＝1，所以f (x )＝kx ＋1(k ≠0)．又[f (4)]2＝f (1)f (13)，所以(4k ＋1)2＝(k ＋1)(13k ＋1)，解得k ＝2.所以f (x )＝2x ＋1，则f (2n )＝4n ＋1.所以{f (2n )}是公差为4的等差数列．所以f (2)＋f (4)＋…＋f (2n )＝＝2n 2＋3n .n (5＋4n ＋1)21．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝－11，a 4＋a 6＝－6，则当S n 取最小值时，n 等于( )A ．6B ．7C ．8D ．9答案　A解析　设等差数列{a n }的公差为d ，∵a 4＋a 6＝－6，∴a 5＝－3，∴d ＝＝2，∴a 6＝－1<0，a 7＝1>0，a 5－a 15－1故当等差数列{a n }的前n 项和S n 取得最小值时，n 等于6.2．数列1,1＋2,1＋2＋22，…，1＋2＋22＋…＋2n －1，…的前99项和为( )A ．2100－101 B ．299－101C ．2100－99D ．299－99考点　数列前n 项和的求法题点　并项求和法答案　A解析　由数列可知a n＝1＋2＋22＋…＋2n －1＝＝2n －1，1－2n1－2所以，前99项的和为S 99＝(2－1)＋(22－1)＋…＋(299－1)＝2＋22＋…＋299－99＝－99＝2100－101.2(1－299)1－23．等比数列{a n }的各项均为正数，且a 1a 5＝4，则log 2a 1＋log 2a 2＋log 2a 3＋log 2a 4＋log 2a 5＝ .答案　5解析　log 2a 1＋log 2a 2＋log 2a 3＋log 2a 4＋log 2a 5＝log 2(a 1a 2…a 5)＝log 2a ，53又a 1a 5＝a ＝4，且a 3＞0，∴a 3＝2.23∴log 2a ＝log 225＝5.534．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝，试判断此数列是否有最大项？若有，第几项最大，9n (n ＋1)10n 最大项是多少？若没有，说明理由．解　a n ＋1－a n ＝－＝·，9n ＋1(n ＋2)10n ＋19n (n ＋1)10n 9n 10n 8－n10当n <8时，a n ＋1－a n >0，即a n ＋1>a n ；当n ＝8时，a n ＋1－a n ＝0，即a n ＋1＝a n ；当n >8时，a n ＋1－a n <0，即a n ＋1<a n .则a 1<a 2<a 3<…<a 8＝a 9>a 10>a 11>…，故数列{a n }有最大项，为第8项和第9项，且a 8＝a 9＝＝.98×9108991081．等差数列与等比数列是高中阶段学习的两种最基本的数列，也是高考中经常考查并且重点考查的内容之一，这类问题多从数列的本质入手，考查这两种基本数列的概念、基本性质、试题为高清版下载可打印简单运算、通项公式、求和公式等问题．2．数列求和的方法：一般的数列求和，应从通项入手，若无通项，先求通项，然后通过对通项变形，转化为与特殊数列有关或具备某种方法适用特点的形式，从而选择合适的方法求和．3．在求通项求和的基础上，可以借助不等式、单调性等研究数列的最值、取值范围、存在性问题．试题为高清版下载可打印。

章末复习课知识网络类型一：等差、等比数列的概念与性质例 1：已知数列{a n}的首项a1＝2a＋1(a 是常数，且a≠－1)，a n＝2a n－1＋n2－4n＋2(n≥2)，数列{b n}的首项b1＝a，b n ＝a n＋n2(n≥2).(1)证明：{b n}从第 2 项起是以 2 为公比的等比数列；(2)设S n 为数列{b n}的前n 项和，且{S n}是等比数列，求实数a 的值；(3)当a>0 时，求数列{a n}的最小项．(1)证明：∵b n＝a n＋n2，∴b n＋1＝a n＋1＋(n＋1)2＝2a n＋(n＋1)2－4(n＋1)＋2＋(n ＋1)2＝2a n＋2n2＝2b n(n≥2)．由a1＝2a＋1，得a2＝4a，b2＝a2＋4＝4a＋4.∵a≠－1，∴b2≠0，即{b n}从第2项起是以2为公比的等比数列．变式训练1：(1)计算a2，a3，a4的值；(2)令b n＝a n＋1－a n－1，求证：数列{b n}是等比数列；(3)求数列{a n}的通项公式．类型二：求和问题例2：设等差数列{a n}的前n项和为S n，已知a3＝12，S12＞0，S13＜0.(1)求公差d的取值范围；(2)指出S1，S2，…，S12中哪一个值最大，并说明理由．(2)方法一：由d＜0可知：a1＞a2＞a3＞…＞a12＞a13.因此，若在1≤n≤12中，存在自然数n，使得a n＞0，a n＋1＜0，则S n就是S1，S2，…，S12中的最大值．由于S12＝6(a6＋a7)＞0，S13＝13a7＜0，即a6＋a7＞0，a7＜0.由此，得a6＞－a7＞0.故在S1，S2，…，S12中S6的值最大．方法二：由d＜0可知：a1＞a2＞a3＞…＞a12＞a13.因此，若在1≤n≤12中，存在自然数n，使得a n＞0，a n＋1＜0，则S n就是S1，S2，…，S12中的最大值．点评：数列的最值问题．(1)前n 项和为S n，有最大值．确定使S n 取最大值时的n 值．①是求使a n≥0，a n＋1<0，成立的n 值；类型三：数列的综合问题(1)求数列{a n}的通项公式；(2)证明：对于一切正整数n,2a n≤b n＋1＋1.＝1，且f(x)＝x 有唯一解．(1)求f(x)的表达式；(2)记x n＝f(x n－1)(n∈N 且n>1)，且x1＝f(1)，求数列{x n}的通项公式；。

本章小结一、等差数列与等比数列的概念与性质等差数列、等比数列是高中阶段学习的两类特殊数列，有关等差数列、等比数列的一些性质的应用在高考中经常以选择题、填空题出现，考查知识应用的灵活性．[例1] (1)等比数列{a n }的各项为正，公比q 满足q 2＝4，则a 3＋a 4a 4＋a 5＝________；(2)在各项都为正数的等比数列{a n }中，若a 5a 6＝9，则log 3a 1＋log 3a 2＋log 3a 3＋…＋log 3a 10等于________．[解析] 在(1)中可先把a 3＋a 4a 4＋a 5变形、化简，再把公比代入．在(2)中可先把log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a 10变形，再把题中条件进行代换．(1)∵(a 3＋a 4)q ＝a 3q ＋a 4q ＝a 4＋a 5，∴a 3＋a 4a 4＋a 5＝1q .而q 2＝4，可知q ＝2，∴a 3＋a 4a 4＋a 5＝1q ＝12.(2)∵log 3a 1＋log 3a 2＋log 3a 3＋…＋log 3a 10 ＝log 3a 1a 2a 3…a 8a 9a 10， 而a 1a 2a 3…a 8a 9a 10＝(a 5a 6)5，∴log 3a 1a 2a 3…a 8a 9a 10＝log 3(a 5a 6)5＝5log 3a 5a 6＝5log 39＝5×2＝10. [答案] (1)12 (2)10规律总结 巧用等比数列的一些性质解题，可使得问题计算简化．[例2] 已知a 1＝2，点(a n ，a n ＋1)在函数f (x )＝x 2＋2x 的图象上，其中n ＝1,2,3，…. (1)证明数列{lg(1＋a n )}是等比数列；(2)设T n ＝(1＋a 1)(1＋a 2)…(1＋a n )，求T n 及数列{a n }的通项．[分析] 把点(a n ，a n ＋1)代入f (x )，可得{a n }的递推式，再变形使之形成新的等比数列来求解．[解] (1)证明：由已知a n ＋1＝a 2n ＋2a n ， ∴a n ＋1＋1＝(a n ＋1)2.∵a 1＝2，∴a n ＋1>1，两边取对数得 lg(1＋a n ＋1)＝2lg(1＋a n )，即lg (1＋a n ＋1)lg (1＋a n )＝2.∴{lg(1＋a n )}是公比为2的等比数列．(2)由(1)知lg(1＋a n )＝2n －1·lg(1＋a 1)＝2n －1·lg3＝lg32n －1，∴1＋a n ＝32n －1. ∴T n ＝(1＋a 1)(1＋a 2)…(1＋a n )。

数列其次章章末复习内容 本章诊疗 一、数列的概念 精要总结1.数列的概念的理解。

数列的数是按肯定次序排列的，因此假如组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们是不同的数列，例如4，5，6，7，8，9，10与数列10,9,8,7,6.5.4是两个不同的数列.数列的定义中并没有规定数列中的数必需不同，因此同一个数在数列中可以重复消灭； 数列的性质与集合中的元素相比较：①确定性：一个数是或不是某一数列中的项是确定的的，集合中的元素也具有确定性； ②可重复性：数列中的数可以重复，而集合中的元素是不能重复消灭；③有序性：一个数列不仅与构成的数列“数”有关，而且与这些数的排列次序有关，而集合中的元素是无序的； ④数列的每一项是数，而集合中的元素还可以代表除数字的其它事物. 2.对数列通项公式的理解（1）数列的通项公式实际上是一个以正整数集*N 或它的有限子集{1,2,3,}n 为定义域的函数的解析式.（2）假如知道数列中的通项公式，依次可以用1,2,3,n 去替代公式中的n 就可以求出这个数列中的各项，同时，可以利用数列的通项公式进行验证某数是否是数列中的某项，是第几项；（32的近似值，精确到0.1,0.01,0.001，所构成的数列为1,1.4,1.41,1.414,就写不出数列的通项公式.（4）有的数列的通项公式，在形式上是不肯定是唯一确定的，例如数列：1,1,1,1--的通项可以写成(1)nn a =-也可以写为1,()1n n a n -⎧=⎨⎩为奇数，（为偶数），还可以写为+2(1)n n a =-等，但是这些数列虽然形式不一样但是实质是一样的，表示同一数列，还应留意数列的通项还可以是分段函数的形式. 3.数列与函数由于数列是以正整数集或它的有限子集为定义域的函数()n a f n =，当自变量依据从小到大的挨次取值时，所对应的一列函数值，因此数列的图像是以序号为横坐标，相应的项为纵坐标的一系列孤立点，依据函数的特性来争辩数列的问题，比如数列的单调性、图像、最值等 数列的概念易错点，利用函数争辩数列往往忽视数列的定义域4. 递推数列与通项公式 （1）通项公式直接反映了na 与n 之间的关系，即na 是n 的函数，知道任意一个n 值，可以求出该项的值na ；而递推数列则是间接反映数列的式子，它是数列任意两个（或多个）相邻项之间的推导关系，不能由n 直接推导na ，（2）.如何用递推公式给出一个数列用递推数列公式给出一个数列，必需给出① “基础”——数列{}n a 的第1项或前几项；②递推关系————数列{}n a 的任一项na 与它的前一项1n a -（或前几项）之间的关系，并且这个关系可以用一个公式来表示.（3）.给出了递推公式求数列的通项公式，常用累加、累乘、周期性等学问求解 ①假如满足1()n n a a f n --=的规律时，可以有112211()()()n n n n n a a a a a a a a ---=-+-++-+累加.②满足1()n n a g n a -=时，可以有121121n n n n n a aa a a a a a ---=累乘. ③{}n a 为周期数列，则周期为T （T 为正整数）时，n n Ta a +=，可将na 转化为12,,,Ta a a 处理.2.错例辨析例2下列说法哪些是正确的？哪些是错误的？并说明理由 （1）数列1,2,3，4可以表示为{1,2,3,4} （2）数列1,1,2,2与数列2,2,1,1是相同的数列 （3）数列,,,a a a a --的第21项是a -（4）数列1,2,3,,n 是无穷数列错解：（2）（4）正确剖析：上面全错 搞清数列的概念正解：（1）错误，数列的表示不能与集合表示，所以是错误的； （2）错误，两个数列的次序不同是不同的数列；（3）正确，数列的奇数项是a -，所以第21项是21a a=-；（4）错误，数列是有穷数列. 例3已知下面数列{}n a 的前n 项和为nS ，求数列{}n a 的通项公式3n n S b=+错解：()()21113323n n n n n n a S S b b ---=-=+-+=⋅，所以通项为1123n n n n a S S --=-=⋅.剖析：由nS 求na 肯定要分两种状况，当1n =时，11S a =，对含有参数的问题要留意参数进行争辩正解：113a S b==+，当2n ≥时，()()21113323n n n n n n a S S b b ---=-=+-+=⋅.当1b =-时，1a 适合此等式；当1b ≠时，1a 不适合此等式.1b ∴=-时，123n n a -=⋅；当1b ≠时，13123,2n n b n a n -+⋅=⎧=⎨⋅≥⎩. 二、 等差数列 1. 精要总结（1）从其次项起每一项与前一项的差是一个常数，那么这个数列是等差数列，常数必需相同，即表示为1n n a a --(2)n ≥是同一个常数，(1)从函数角度看等差数列的通项公式 等差数列的通项公式1(1)n a a n d=+-，可以表示为1()n a nd a d =+-，所以na 是n 的一次函数，其图像是一系列孤立点，当0d >时，是单调递增函数，当0d <是单调递减函数，当0d =是常函数，此时数列是常数列.（2）有两点可以确定一条直线知，知道数列中的任意两项可以求出数列的通项来；由1(1)n a a n d=+-中共含有四个量，知三个量可以求出通项公式中的第四个量，即“知三求一”.利用等差数列的性质可以简便易行，那么等差数列的性质有搞清等差数列的性质，在解决数列问题时，性质优先考虑，所以等差数列常用的性质（1）m n p q +=+，那么m n p qa a a a +=+；（2）()(,*)n m a a n m d n m N =+-∈；（3）{},{}n n a b 分别是公差为12,d d 等差数列，那么数列{}n n pa qb +是公差为12pd qd +但是留意在等差数列{}n a 中，假如2m n p +=，不能推出2m n pa a a +=.熟记等差数列的求和公式11()(1)22n n n a a n n S na d +-==+，关于n 的二次函数，但是没有常数项，若有常数项就不是等差数列的前n 项和，可以依据二次函数求等差数列和的最大值与最小值；也可以依据数列的单调性依据通项na 的正负确定最大项与最小项，等差数列和的性质满足每k 项的和仍成等差数列即232,,n n n n nS S S S S --仍成等差数列. 1.等差数列的前n 项的和公式：11()(1)22n n n a a n n S na d +-==+是2.等差数列的前n 项和的推导过程12311,n n n n n S a a a a S a a a -=++++=+++相加可得1()2n n n a a S +=这是数列求和的方法-----倒序相加求和. 3.由等差数列求和公式若已知1,,,,n na d n S a 中的三个，可以求出其余的两个.1.等差数列前n 项和的性质有：①n S 与n a 的关系满足11(1)(2)n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩； ②若项数为2n ，则21(),n n n S n a a +=+且+1-=,n n S a S S nd S a =奇偶奇偶；若项数为2n 1-，则21(21)(),1n n n n S n S n a a S S a S n -=--==-奇奇偶偶为中间项，.③等差数列每k 项的和仍成等差数列，即232,,n n n n nS S S S S --仍成等差数列.2.等差数列的前n 项的和公式与函数的关系来解决等差数列的前n 项和的最值问题（1）二次函数法：用求二次函数最值的方法来 求等差数列的前n 项和的最值问题，留意*n N ∈； （2）用图像法：利用二次函数的图像的对称性来确定n 的值，使nS 取最值；（3）通项法：当10a >，0d <时，n 为使0n a ≥的最大的正整数时，n S 最大，这是由于：当0n a >时，1nn S S ->即递增；当0n a <时，1n n S S -<即递减；类似地，①当1100,0,0m m m a a d S a +≥⎧><⇒⎨≤⎩为最大值；②当110,0,0m mm a a d S a +≤⎧<>⇒⎨≥⎩为最小值.2. 错例辨析例4成等差数列的四个数之和为26，其次个数与第三个数之积为40，求这四个数.错解：这四个数为3,,,3a d a d a d a d --++，则由题设得()()()()()()223326,426,40,40.a d a d a d a d a a d a d a d -+-++++=⎧=⎧⎪⇒⎨⎨-+=-=⎪⎩⎩ 解得13,23.2a d ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以所求的四个数为2,5,8,11. 剖析：四个数成等差数列可以按3,,,3a d a d a d a d --++设，但是留意公差不是d ，而是2d ，再就是留意2,5,8,11.与与11,8,5,2.是不同的等差数列.正解：设这四个数为3,,,3a d a d a d a d --++，则由题设得()()()()()()223326,426,40,40.a d a d a d a d a a d a d a d -+-++++=⎧=⎧⎪⇒⎨⎨-+=-=⎪⎩⎩ 解得13,23.2a d ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或13,23.2a d ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩ 所以，所求这四个数为2,5,8,11或11,8,5,2. 例5在等差数列{}n a 中，已知120,a =前n 项的和为n S ，且1015S S =求当n 取何值时，n S 有最大值，并求出最大项.错解：设公差为d ，由于1015S S =，所以由等差数列的前n 项和公式得10915141020152022d d ⨯⨯⨯+=⨯+，即53d =-，所以520(1)3n a n =--⨯，当0n a >时，520(1)0133n n --⨯>⇒<所以当12n =时，nS 最大，12121151220()13023S ⨯=⨯+⨯-= 剖析：事实上n a >是不正确的，应当满足10,0n n a a +≥≤正解：设公差为d ，由于1015S S =，所以由等差数列的前n 项和公式得10915141020152022d d ⨯⨯⨯+=⨯+，即53d =-，由于1015S S =，所以15100S S -=，即11121314150a a a a a ++++=，又由于111512141320a a a a a +=+==，又由于10,0d a <>，所以12140,0a a ><，故当1213n n ==或时nS 有最大值，为1213130S S ==.三、等比数列 1. 精要总结（1）在等比数列中公比0q ≠，任何一项也不为零，从其次项起每一项与前一项的比是同一个常数，各项均不为零的常数列即是等差又是等比数列. （2）理解等比数列的通项公式11n n a a q -=，在通项公式中，知道1,,,na n q a 中四个量中的三个可以求出另一量，可以推广为：n mn m a a q -=，三个数,,A x B 成等比数列,那么x 是,A B的等比中项，所以x =（3）等比数列的性质 ①在等比数列{}n a 中，公比是q ，当11,0q a >>或101,0q a <<<时，{}n a 是递增数列；当11,0q a ><或01q <<，10a >时，{}n a 是单调递减数列；当1q =时，数列{}n a 是常数列，当0q <是摇摆数列；②在等比数列{}n a 中，n mn m a a q -=（,*n m N ∈）③在等比数列{}n a 中，当m n p q+=+(,,,*)m n p q N ∈时，有m n p q a a a a =.④若有穷等比数列{}n a 中，则与首末等距离的两项的积相等，即12132n n n a a a a a a --===⑤在等比数列{}n a 中，若,,(,,*)m n p m n p N ∈成等差数列，那么,,m n pa a a 成等比数列.（4）等比数列的前n 项和①等比数列的前n 项的和公式为11(1)(1)(1)1n n na q S a q q q =⎧⎪=-⎨≠⎪-⎩，其中共涉及五个量，1,,,,n na a n q S “知三求二”②前n 项和公式的应用中，要留意前n 项和公式的分类争辩，即1q =与1q ≠时不同的表达形式，不行忽视1q =的状况，③错位相减和裂项消去法是数列求和的基本方法，其中错位相减法要留意等式两边所乘的数不能为0，首末两位不能模糊不清. （5）等比数列和的性质 等比数列的性质：①n n S Aq A=-+与指数函数对应；②232,,n n n n nS S S S S --成等比数列，公比为nq .③等比数列{}n a 中，若项数为2n ，则=S S q偶奇，若项数为21n +，则1-S a q S =奇偶，利用等比数列的性质解题，可以事半功倍.有关应用问题，关键在于理解题意，建立起函数关系，当函数关系与数列的通项公式相对应时，考虑这些项是否为特殊的等差、等比数列中的项，有关增长率问题，一般归结为等比数列的求通项、求和问题，应用等比数列通项公式和前n 项和公式便可以解决. 2. 错例辨析例6已知数列}{n a 是非零等差数列，又a 1,a 3,a 9组成一个等比数列的前三项，则1042931a a a a a a ++++的值是 .错解：忘考虑公差为零的状况.剖析：223191111(2)(8)a a a a d a a d a d =⇒+=+⇒=，13912410113131616a a a a a a a a ++==++1613正解：223191111(2)(8)a a a a d a a d a d=⇒+=+⇒=或0d =，当0d ≠时，13912410113131616a a a a a a a a ++==++，当0d =时， 13924101a a a a a a ++=++.答案：1或1613例7在等比数列{}n a 中，,(0,,,*)m n m n a A a B AB m n m n N +-==>>∈，求ma错解：设公比为q ，则1111,m n m n m n m n a a q A a a q B +---+-====，两式相乘可得22(1)12211()m m m m a q AB a q AB a AB a --=⇒=⇒=⇒=剖析：一方面ma 是m na +和m na -的等比中项，另一方面ma 的符号确定ma 在等比数列中的位置，错解中没有对ma 的符号进行精确 的推断致误.正解：同上2m a AB=当n 为奇数时，m n +与m的奇偶性相反，m a =当n 为偶数时，m n +与m 的奇偶性相同，即m a 与m n a +同号，故0,0)0,0)m A B a A B ⎧>>⎪=⎨<<⎪⎩)0,0)0,0m n a A B n A B n ⎧⎪⎪∴=>>⎨⎪<<⎪⎩为奇数，为偶数，为奇数）四、数列求和的方法 1. 精要总结对于数列求和遇到等差或等比数列的可以利用等差数列与等比数列的求和公式求和，那么不是等差或等比数列的求和可以有下面的方法①拆项相消求和，一般遇到分式或根式的数列把通项拆成两项的差再求和，常用的1111111,[](1)1(1)(2)2(1)(1)(2)n n a a n n n n n n n n n n n ==-==-+++++++，n a ==，留意拆成的两项的差肯定要与na 保持全都，否则配如适当的系数；②错位相减求和，一般遇到等差数列与等比数列的积可以利用错位相减求和，就是把nS 写出来，再同乘以公比，转化为等比数列再求和，第一留意项数，再就是公比是参数时留意争辩；③倒序相加求和；向等差数列求和公式的推导，到首末两端等距离的项数的和相等，这样的数列可以利用倒序相加求和；④分项分别求和：遇到简单的数列可以把数列的通项拆成几部分在分别求和，不论接受哪一种方法，一般先求数列通项，依据通项再求和. 2. 错例辨析例8求和22111()()()n n x x x y y y ++++++错解：23211(1)111(1)(1)11()()11111nn n n n n n nx x x x y y y S x x x x y yy x x y y y ----=++++++++=+=+----剖析：没有对公比1q =进行争辩，误认为是1q ≠致误正解：（1）当1,1x y ≠≠时，(1)1111n nn nx x y S x y y --=+-- （2）当1,1x y ≠=时，(1)1n n x x S nx -=+-； （3）当1,1x y =≠时1(1)nn ny S n y y -=+-； （4）当1,1x y ==时，2n S n=例9一个数列{}n a ，当n 为奇数时，51n a n =+，当n 为偶数时，22nn a =，求这个数列的前n 项的和，错解：22212113521210,2,,,,,k k k k ka a a a a a a a ++-+-==∴构成首项为6的等差数列，2462,,,ka a a a 构成首项为2，公比为2的等比数列，21(651)2(12)57+=2221222n n n n n S S S n n +++-∴=+=++--奇偶.剖析：在求和时，奇数项与偶数项都假设含有n 项是错误的，应分奇数与偶数进行争辩. 正解：当2n m =时，13521,,,,m a a a a -构成首项为6的等差数列，2462,,,ma a a a 构成首项为2，公比为2的等比数列， 122(651)2(12)572221284nm n m m S n n +++-=+=++--.当21n m =+时，122(1)[65(1)1]2(12)57(1)(1)2221284nm n m m S n n +++++-=+=++++--。

第二章章末复习课[整合·网络构建][警示·易错提醒]1．数列的概念及表示方法(1)定义：按照一定顺序排列的一列数．(2)表示方法：列表法、图象法、通项公式法和递推公式法．(3)分类：按项数有限还是无限分为有穷数列和无穷数列；按项与项之间的大小关系可分为递增数列、递减数列、摆动数列和常数列．2．求数列的通项(易错点)(1)数列前n 项和S n 与通项a n 的关系：a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2. (2)当已知数列{a n }中，满足a n ＋1－a n ＝f (n )，且f (1)＋f (2)＋…＋f (n )可求，则可用累加法求数列的通项a n ，常利用恒等式a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1)．(3)当已知数列{a n }中，满足a n ＋1a n＝f (n )，且f (1)·f (2)·…·f (n )可求，则可用累加法求数列的通项a n ，常利用恒等式a n ＝a 1·a 2a 1·a 3a 2·…·a n a n －1. (4)作新数列法：对由递推公式给出的数列，经过变形后化归成等差数列或等比数列来求通项．(5)归纳、猜想、证明法．3．等差数列、等比数列的判断方法(1)定义法：a n ＋1－a n ＝d (常数)⇔{a n }是等差数列；a n ＋1a n＝ q (q 为常数，q ≠0)⇔{a n }是等比数列．(2)中项公式法：2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2⇔{a n }是等差数列；a 2n ＋1＝a n ·a n ＋2(a n ≠0)⇔{a n }是等比数列．(3)通项公式法：a n ＝an ＋b (a ，b 是常数)⇔{a n }是等差数列；a n ＝c ·q n (c ，q 为非零常数)⇔{a n }是等比数列．(4)前n 项和公式法：S n ＝an 2＋bn (a ，b 为常数，n ∈N *)⇔{a n }是等差数列；S n ＝aq n －a (a ，q 为常数，且a ≠0，q ≠0，q ≠1，n ∈N *)⇔{a n }是等比数列．4．求数列的前n 项和的基本方法(易错点)(1)裂项(相消)法：有时把一个数列的通项公式分成两项差的形式，相加过程消去中间项，只剩有限项再求和．(2)错位相减法：适用于一个等差数列和一个等比数列对应项相乘构成的数列求和．(3)倒序相加法：例如，等差数列前n 项和公式的推导．(4)分组求和法：把一个数列分成几个可以直接求和的数列．(5)公式法：利用等差数列或等比数列前n 项和S n 公式．专题一等差、等比数列的判断判定一个数列是等差或等比数列有如下多种方法：n n12n ＝a n·a n＋1，其中n＝1，2，3，….(1)若{a n}是等比数列，试求数列{b n}的前n项和S n的公式．(2)当{b n}是等比数列时，甲同学说：{a n}一定是等比数列；乙同学说：{a n}一定不是等比数列．你认为他们的说法是否正确？为什么？解：(1)因为{a n}是等比数列，a1＝1，a2＝a，所以a≠0，a n＝a n－1.又b n＝a n·a n＋1，则b 1＝a 1·a 2＝a ，b n ＋1b n ＝a n ＋1·a n ＋2a n ·a n ＋1＝a n ＋2a n ＝a n ＋1a n －1＝a 2， 即{b n }是以a 为首项，a 2为公比的等比数列．所以，S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧n ， a ＝1，－n ， a ＝－1，a （1－a 2n）1－a 2， a ≠±1. (2)甲、乙两个同学说法都不正确，理由如下：法一：设{b n }的公式比为q ，则b n ＋1b n ＝a n ＋1·a n ＋2a n ·a n ＋1＝a n ＋2a n ＝q 且a ≠0， 又a 1＝1，a 2＝a ，a 1，a 3，a 5…，a 2n －1，…是以1为首项，q 为公比的等比数列；a 2，a 4，a 6，…，a 2n ，…是以a 为首项， q 为公比的等比数列．即{a n }为：1，a ，q ，aq ，q 2，aq 2，…，当q ＝a 2时，{a n }是等比数列；当a ≠a 2时，{a n }不是等比数列． 法二：{a n }可能是等比数列，也可能不是等比数列，举例说明如下：设{b n }的公式为q .①取a ＝q ＝1时，a n ＝1(n ∈N *)，此时b n ＝a n a n ＋1＝1，{a n }、{b n }都是等比数列．②取a ＝2，q ＝1时，a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1 （n 为奇数），2 （n 为偶数）. b n ＝2(n ∈N *)．所以{b n }是等比数列，而{a n }不是等比数列．归纳升华判断一个数列是等比数列的常用方法(1)定义法：a n ＋1a n＝q (q 为常数且不为零)⇔{a n }为等比数列． (2)等比中项法：a 2n ＋1＝a n a n ＋2(n ∈N *且a n ≠0)⇔{a n }为等比数列．(3)通项公式法：a n ＝a 1q n －1(a 1≠0且q ≠0)⇔{a n }为等比数列．[变式训练] 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a n ＝5S n －3，求数列{a n }的通项公式．解：当n ＝1时，因为a 1＝5a 1－3，所以a 1＝34. 当n ≥2时，因为a n ＝5S n －3，所以a n －1＝5S n －1－3，所以a n －a n －1＝5(S n －S n －1)．即a n －a n －1＝5a n ，a n a n －1＝－14， 所以{a n }是首项a 1＝34，公比q ＝－14的等比数列． 所以a n ＝a 1q n －1＝34⎝ ⎛⎭⎪⎫－14n －1(n ∈N *)． 专题二 数列的通项公式的求法(1)定义法：定义法是指直接利用等差数列或等比数列的定义求通项的方法，这种方法适用于已知数列类型的题目．(2)已知S n 求a n .若已知数列的前n 项和S n 与a n 的关系，求数列{a n }的通项a n 可用公式a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1（n ＝1），S n －S n －1（n ≥2）求解． (3)由递推公式求数列通项法．对于递推公式确定的数列的求解，通常可以通过递推公式的变换，转化为等差数列或等比数列问题，有时也用到一些特殊的转化方法与特殊数列．(4)待定系数法(构造法)．求数列通项公式的方法灵活多样，特别是由给定的递推关系求通项公式，对于观察、分析、推理能力要求较高．通常可对递推式变换，转化成特殊数列(等差或等比数列)来求解，这种方法体现了数学中化未知为已知的转化思想，而运用待定系数法变换递推公式中的常数就是一种重要的转化方法．[例2](1)等差数列{a n}是递增数列，前n项和为S n，且a1，a3，a9成等比数列，S5＝a25，则数列{a n}的通项公式为________________；(2)已知数列{a n}的前n项和S n满足S n＝2a n＋(－1)n，n≥1，则数列{a n}的通项公式为______________．解析：(1)设数列{a n}的公差为d(d＞0)，因为a1，a3，a9成等比数列，所以a23＝a1a9，即(a1＋2d)2＝a1(a1＋8d)⇒d2＝a1d，因为d≠0，所以a1＝d.①因为S5＝a25，所以5a1＋5×42·d＝(a1＋4d)2.②由①②得：a1＝35，d＝35，所以a n＝35＋(n－1)·35＝35n.(2)n＝1时，a1＝S1，所以a1＝2a1－1，即a1＝1，n≥2时，a n＝S n－S n－1＝2(a n－a n－1)＋2·(－1)n，所以a n＝2a n－1＋2·(－1)n－1，a n－1＝2a n－2＋2·(－1)n－2，a2＝2a1－2，所以a n＝23[2n－2＋(－1)n－1]．又因为a1＝1适合a n＝23[2n－2＋(－1)n－1]，所以a n＝23[2n－2＋(－1)n－1]．答案：(1)a n＝3 5n(2)a n＝23[2n－2＋(－1)n－1]归纳升华(1)已知数列的前n项和，或前n项和与通项的关系求通项，常用a n与S n的关系求解．(2)由递推关系a n＋1＝Aa n＋B(A，B为常数，且A≠0，A≠1)求a n时，由待定系数法设a n＋1＋λ＝A(a n＋λ)可得λ＝BA－1，这样就构造了等比数列{a n＋λ}．[变式训练]已知数列{a n}满足a n＋1＝2a n＋3·5n，a1＝6，求数列{a n}的通项公式．解：设a n＋1＋x·5n＋1＝2(a n＋x·5n)①将a n＋1＝2a n＋3·5n代入①式，得2a n＋3·5n＋x·5n＋1＝2a n＋2x·5n，等式两边消去2a n，得3·5n＋x·5n＋1＝2x·5n，两边除以5n，得3＋5x＝2x，则x＝－1，代入①式得a n＋1－5n＋1＝2(a n－5n)．②由a1－51＝6－5＝1≠0及②式得，a n－5n≠0，则a n＋1－5n＋1a n－5n＝2.所以{a n－5n}是以1为首项，2为公比的等比数列，所以a n－5n＝1×2n－1＝2n－1，所以a n＝2n－1＋5n(n∈N*)．专题三数列求和数列求和问题一般转化为等差数列或等比数列的前n项和问题或已知公式的数列求和，不能转化的再根据数列通项公式的特点选择恰当的方法求解．一般常见的求和方法有：(1)公式法(直接利用等差或等比数列的前n项和公式)；(2)分组求和法；(3)错位相减法；(4)倒序相加法；(5)裂项相消法．把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互拆消，从而求得其和；(6)并项求和法．一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如a n＝(－1)n f(n)类型，可采用两项合并求解．[例3](1)已知等比数列{a n}中，a1＝3，a4＝81，若数列{b n}满足b n＝log3a n，则数列{1b n b n＋1}的前n项和S n＝________________.(2)设数列{a n}满足a1＝2，a n＋1－a n＝3·22n－1.①求数列{a n}的通项公式；②令b n＝na n，求数列{b n}的前n项S n.(1)解析：设等比数列{a n}的公比为q，则a4a1＝q3＝27，解得q＝3，所以a n＝a1q n－1＝3·3n－1＝3n，故b n＝log3a n＝n，所以1b n b n＋1＝1n（n＋1）＝1n－1n＋1.则S n＝1－12＋12－13＋…＋1n－1n＋1＝1－1n＋1＝nn＋1.答案：n n＋1(2)解：①由已知，当n≥1时，a n＋1＝[(a n＋1－a n)＋(a n－a n－1)＋…＋(a2－a1)]＋a1＝3(22n－1＋22n－3＋…＋2)＋2＝22(n＋1)－1.而a1＝2，符合上式，所以数列{a n}的通项公式为a n＝22n－1.②由b n＝na n＝n·22n－1知S n＝1×2＋2×23＋3×25＋…＋n·22n－1①从而22·S n＝1×23＋2×25＋3×27＋…＋n·22n＋1②①－②得(1－22)S n＝2＋23＋25＋…＋22n－1－n·22n＋1，即S n＝19[(3n－1)22n＋1＋2]．归纳升华用错位相减法求和时，应注意：(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形．(2)在写出“S n”与“qS n”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”，以便下一步准确写出“S n－qS n”的表达式．若公比是个参数(字母)，则应先对参数加以讨论，一般情况下分等于1和不等于1两种情况分别求和．[变式训练]设数列{a n}满足a1＋3a2＋32a3＋…＋3n－1a n＝n 3(n∈N*)．(1)求数列{a n}的通项；(2)设b n＝na n，求数列{b n}的前n项和S n.解：(1)因为a1＋3a2＋32a3＋…＋3n－1a n＝n3，①所以当n≥2时，a1＋3a2＋32a3＋…＋3n－2a n－1＝n－13，②由①－②得3n－1a n＝13，所以a n＝13n，在①中，令n＝1，得a1＝13，所以数列{a n}的通项公式a n＝13n(n∈N*)．(2)因为b n＝na n＝n·3n，所以S n＝3＋2×32＋3×33＋…＋n·3n，③所以3S n＝32＋2×33＋3×34＋…＋n·3n＋1.④由④－③得2S n＝n·3n＋1－(3＋32＋33＋…＋3n)＝n·3n＋1－3（1－3n）1－3，所以S n＝（2n－1）·3n＋14＋34.专题四函数与方程思想(1)在等差(比)数列的通项公式和前n 项和公式中共有5个量a 1，d (或q )，n ，a n 及S n ，已知这5个量中任意3个量的值，就可以运用方程思想，解方程(或方程组)求出另外2个量的值．(2)数列可以看作是定义域为正整数集(或其有限子集)的特殊函数．运用函数思想去研究数列，就是要借助于函数的单调性、图象和最值等知识解决与数列相关的问题．等差数列与一次函数、等比数列与指数函数有着密切的关系，等差数列前n 项和公式与二次函数也有密切关系，故可用函数的思想来解决数列问题．[例4] (1)已知数列{a n }的首项为a 1＝21，前n 项和为S n ＝ an 2＋bn ，等比数列{b n }的前n 项和T n ＝2n ＋1＋a ，则S n 的最大值为________；(2)若等差数列{a n }中，a 1＋a 4＋a 7＝15，a 2·a 4·a 6＝45.则通项公式a n ＝__________________．解析：(1)由T n ＝2·2n ＋a ，可求得a ＝－2，所以S n ＝－2n 2＋bn ，所以数列{a n }为等差数列，又因为a 1＝21，S n ＝－2n 2＋bn ，故b ＝21－(－2)＝23，所以S n ＝－2n 2＋23n ＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫n －2342＋5298， 当n ＝6时，S n 取得最大值66.(2)因为a 1＋a 7＝2a 4＝a 2＋a 6，所以a 1＋a 4＋a 7＝3a 4＝15，所以a 4＝5，所以a 2＋a 6＝10且a 2·a 6＝9，所以a 2，a 6是方程x 2－10x ＋9＝0的两根，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝1，a 6＝9，或⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝9，a 6＝1.若a 2＝1，a 6＝9，则d ＝2，所以a n ＝2n －3；若a 2＝9，a 6＝1，则d ＝－2，所以a n ＝13－2n .故a n ＝2n －3或a n ＝13－2n .答案：(1)66 (2)2n －3或13－2n归纳升华函数的思想：等比数列的通项a n ＝a 1q n －1＝a 1q·q n (q ＞0且q ≠1)常和指数函数相联系；等比数列前n 项和S n ＝a 1q －1·(q n －1)(q ≠1)．设A ＝a 1q －1，则S n ＝A (q n －1)也与指数函数相联系． [变式训练] 等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1＋2，S 3＝9＋3 2.求数列{a n }的通项a n 与前n 项和S n .解：设数列{a n }的公差为d ，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1＋2，3a 1＋3d ＝9＋32，所以d ＝2.所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2n －1＋2，S n ＝n （a 1＋a n ）2＝n (n ＋2)． 专题五 数列的交汇问题[例5]设数列{a n }满足1a 1＋2a 2＋…＋2n －1a n ＝2n λa n －1，其中常数λ>12. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若λ＝23，b n ＝(2n －4 001)a n ，当n 为何值时，b n 最大？ 解：(1)由题意得1a 1＋2a 2＋…＋2n －1a n ＝2n λa n －1，① 当n ≥2时，1a 1＋2a 2＋…＋2n －2a n －1＝2n －1λa n －1－1，② 由①－②得2n －1a n ＝2n λa n －2n －1λa n －1， 即a n a n －1＝2λ－1λ(n ≥2)． 又当n ＝1时，1a 1＝2λa 1－1， 所以a 1＝2λ－1.因为λ>12，所以数列{a n }是以2λ－1为首项， 以2λ－1λ为公比的等比数列． 所以a n ＝(2λ－1)⎝ ⎛⎭⎪⎫2λ－1λn －1， 即a n ＝（2λ－1）nλn －1. (2)当λ＝23时，a n ＝13·2n －1， 所以b n ＝2n －4 0013·2n －1. 设b n 最大，则⎩⎪⎨⎪⎧b n ≥b n ＋1，b n ≥b n －1，即⎩⎪⎨⎪⎧2n －4 0013·2－≥2（n ＋1）－4 0013·2n ，2n －4 0013·2n －1≥2（n －1）－4 0013·2n －2， 解得4 0032≤n ≤4 0052.因为n ∈N *，所以n ＝2 002，故当n ＝2 002时，b n 最大．归纳升华数列是高中代数的重点内容之一，它始终处在知识的交汇点上，如数列与函数、方程、不等式等其他知识有较多交汇处．它包含知识点多、思想丰富、综合性强，已成为近年高考的一大亮点．[变式训练] 已知二次函数f (x )＝x 2－ax ＋a (x ∈R)同时满足：①不等式f (x )≤0的解集有且只有一个元素；②在定义域内存在0<x 1<x 2，使得不等式f (x 1)>f (x 2)成立．设数列{a n }的前n 项和S n ＝f (n )．(1)求f (x )的表达式；(2)求数列{a n }的通项公式．解：(1)因为f (x )≤0的解集有且只有一个元素，所以Δ＝a 2－4a ＝0，所以a ＝0或a ＝4.当a ＝4时，函数f (x )＝x 2－4x ＋4在(0，2)上递减，故存在0<x 1<x 2，使f (x 1)>f (x 2)成立；而当a ＝0时，f (x )＝x 2在(0＋∞)上递增，不合题意．故a ＝4，f (x )＝x 2－4x ＋4.(2)由(1)知，S n ＝n 2－4n ＋4.当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(n 2－4n ＋4)－[(n －1)2－4(n －1)＋4]＝2n －5，当n ＝1时，a 1＝S 1＝1不适合上式．故a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝1，2n －5，n ≥2.。