精品高二数学必修5课时练：第二章 章末复习课

章末复习课[整合·网络构建][警示·易错提醒]1．“互斥事件”与“相互独立事件”的区别．“互斥事件”是说两个事件不能同时发生，“相互独立事件”是说一个事件发生与否对另一个事件发生的概率没有影响．2．对独立重复试验要准确理解．(1)独立重复试验的条件：第一，每次试验是在同样条件下进行；第二，任何一次试验中某事件发生的概率相等；第三，每次试验都只有两种结果，即事件要么发生，要么不发生．(2)独立重复试验概率公式的特点：关于P(X＝k)＝C k n p k(1－p)n－k，它是n次独立重复试验中某事件A恰好发生k次的概率．其中n是重复试验次数，p是一次试验中某事件A发生的概率，k是在n次独立试验中事件A恰好发生的次数，弄清公式中n，p，k的意义，才能正确运用公式．3．(1)准确理解事件和随机变量取值的意义，对实际问题中事件之间的关系要清楚．(2)认真审题，找准关键字句，提高解题能力．如“至少有一个发生”“至多有一个发生”“恰有一个发生”等．(3)常见事件的表示．已知两个事件A、B，则A，B中至少有一个发生为A∪B；都发生为A·B；都不发生为—A ·—B ；恰有一个发生为(—A ·B)∪(A·—B )；至多有一个发生为(—A ·—B )∪(—A ·B)∪(A·—B )．4．对于条件概率，一定要区分P(AB)与P(B|A)．5．(1)离散型随机变量的期望与方差若存在则必唯一，期望E (ξ)的值可正也可负，而方差的值则一定是一个非负值．它们都由ξ的分布列唯一确定．(2)D (ξ)表示随机变量ξ对E (ξ)的平均偏离程度．D (ξ) 越大表明平均偏离程度越大，说明ξ的取值越分散；反之D (ξ)越小，ξ的取值越集中．(3)D (aξ＋b )＝a 2D (ξ)，在记忆和使用此结论时，请注意D (aξ＋b )≠aD (ξ)＋b ，D (aξ＋b )≠aD (ξ)．6．对于正态分布，要特别注意N (μ，σ2)由μ和σ唯一确定，解决正态分布问题要牢记其概率密度曲线的对称轴为x ＝μ.专题一 条件概率的求法条件概率是高考的一个热点，常以选择题或填空题的形式出现，也可能是大题中的一个部分，难度中等．[例1] 坛子里放着7个大小、形状相同的鸭蛋，其中有4个是绿皮的，3个是白皮的．如果不放回地依次拿出2个鸭蛋，求：(1)第1次拿出绿皮鸭蛋的概率；(2)第1次和第2次都拿出绿皮鸭蛋的概率；(3)在第1次拿出绿皮鸭蛋的条件下，第2次拿出绿皮鸭蛋的概率．解：设“第1次拿出绿皮鸭蛋”为事件A ，“第2次拿出绿皮鸭蛋”为事件B ，则“第1次和第2次都拿出绿皮鸭蛋”为事件AB .(1)从7个鸭蛋中不放回地依次拿出2个的事件数为n (Ω)＝A 27＝42， 根据分步乘法计数原理，n (A )＝A 14×A 16＝24. 于是P (A )＝n （A ）n （Ω）＝2442＝47.(2)因为n (AB )＝A 24＝12， 所以P (AB )＝n （AB ）n （Ω）＝1242＝27.(3)法一 由(1)(2)可得，在第1次拿出绿皮鸭蛋的条件下，第2次拿出绿皮鸭蛋的概率为P (B |A )＝P （AB ）P （A ）＝27÷47＝12. 法二 因为n (AB )＝12，n (A )＝24， 所以P (B |A )＝n （AB ）n （A ）＝1224＝12.归纳升华解决概率问题的步骤．第一步，确定事件的性质：古典概型、互斥事件、独立事件、独立重复试验、条件概率，然后把所给问题归结为某一种．第二步，判断事件的运算(和事件、积事件)，确定事件至少有一个发生还是同时发生，分别运用相加或相乘事件公式．第三步，利用条件概率公式求解：(1)条件概率定义：P (B |A )＝P （AB ）P （A ）.(2)针对古典概型，缩减基本事件总数P (B |A )＝n （AB ）n （A ）.[变式训练] 已知100件产品中有4件次品，无放回地从中抽取2次每次抽取1件，求下列事件的概率：(1)第一次取到次品，第二次取到正品； (2)两次都取到正品．解：设A ＝{第一次取到次品}，B ＝{第二次取到正品}．(1)因为100件产品中有4件次品，即有正品96件，所以第一次取到次品的概率为P (A )＝4100，第二次取到正品的概率为P (B |A )＝9699，所以第一次取到次品，第二次取到正品的概率为P (AB )＝P (A )P (B |A )＝4100×9699＝32825. (2)因为A ＝{第一次取到次品}，且P (A )＝1－P (A )＝96100， P (B |A )＝9599，所以P (AB )＝P (A )P (B |A )＝96100×9599＝152165. 专题2 独立事件的概率要正确区分互斥事件与相互独立事件，准确应用相关公式解题，互斥事件是不可能同时发生的事件，相互独立事件是指一个事件的发生与否对另一个事件没有影响．[例2] 某射击小组有甲、乙两名射手，甲的命中率为P 1＝23，乙的命中率为P 2，在射击比赛活动中每人射击两发子弹则完成一次检测，在一次检测中，若两人命中次数相等且都不少于一发，则称该射击小组为“先进和谐组”．(1)若P 2＝12，求该小组在一次检测中荣获“先进和谐组”的概率．(2)计划在2018年每月进行1次检测，设这12次检测中该小组获得“先进和谐组”的次数为ξ，如果E (ξ)≥5，求P 2的取值X 围．解析：(1)因为P 1＝23，P 2＝12，根据“先进和谐组”的定义可得，该小组在一次检测中荣获“先进和谐组”的包括两人两次都射中，两人恰好各射中一次，所以该小组在一次检测中荣获“先进和谐组”的概率P ＝⎝⎛⎭⎪⎫C 12·23·13·⎝ ⎛⎭⎪⎫C 12·12·12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫23·23⎝ ⎛⎭⎪⎫12·12＝13.(2)该小组在一次检测中荣获“先进和谐组”的概率P ＝⎝⎛⎭⎪⎫C 12·23·13[C 12·P 2·(1－P 2)]＋⎝ ⎛⎭⎪⎫23·23()P 2·P 2＝89P 2－49P 22， 又ξ～B (12，P )，所以E (ξ)＝12P ， 由E (ξ)≥5知，⎝ ⎛⎭⎪⎫89P 2－49P 22·12≥5，解得34≤P 2≤1.[变式训练] 甲、乙两射击运动员分别对一目标射击1次，甲射中的概率为0.8，乙射中的概率为0.9，求：(1)2人都射中目标的概率． (2)2人中恰有1人射中目标的概率． (3)2人中至少有1人射中目标的概率．解：记“甲射击1次，击中目标”为事件A ，“乙射击1次，击中目标”为事件B ，则A 与B ，与B ， A 与B ，与为相互独立事件．(1)2人都射中目标的概率为P (AB )＝P (A )·P (B )＝0.8×0.9＝0.72.(2)“2人中恰有1人射中目标”包括两种情况：一种是甲射中、乙未射中(事件A 发生)，另一种是甲未射中、乙射中(事件B 发生)．根据题意，知事件A 与B 互斥，所求的概率为P ＝P (A )＋P (B )＝P (A )P ()＋P ()P (B )＝0.8×(1－0.9)＋(1－0.8)×0.9＝0.08＋0.18＝0.26.(3)“2人中至少有1人射中目标”包括“2人都射中”和“2人中有1人射中”2种情况，其概率为P ＝P (AB )＋[P (A )＋P (B )]＝0.72＋0.26＝0.98.专题三 独立重复试验与二项分布二项分布是高考考查的重点，要准确理解、熟练运用其概率公式P n (k )＝C kn ·p k(1－p )n －k，k ＝0，1，2，…，n ，高考以解答题为主，有时也用选择题、填空题形式考查．[例3] 现有10道题，其中6道甲类题，4道乙类题，X 同学从中任取3道题解答． (1)求X 同学所取的3道题至少有1道乙类题的概率；(2)已知所取的3道题中有2道甲类题，1道乙类题．设X 同学答对每道甲类题的概率都是35，答对每道乙类题的概率都是45，且各题答对与否相互独立．用X 表示X 同学答对题的个数，求X 为1和3的概率．解：(1)设事件A ＝“ X 同学所取的3道题至少有1道乙类题”，则有A ＝“X 同学所取的3道题都是甲类题”．因为P (— A )＝C 36C 310＝16，所以P (A )＝1－P (— A )＝56.(2)P (X ＝1)＝C 12⎝ ⎛⎭⎪⎫351·⎝ ⎛⎭⎪⎫251·15＋C 02⎝ ⎛⎭⎪⎫350·⎝ ⎛⎭⎪⎫252·45＝28125； P (X ＝3)＝C 22⎝ ⎛⎭⎪⎫352·⎝ ⎛⎭⎪⎫25·45＝36125. 归纳升华解决二项分布问题必须注意： (1)对于公式P n (k )＝C k n ·p k (1－p )n －k，k ＝0，1，2，…，n 必须在满足“独立重复试验”时才能运用，否则不能应用该公式．(2)判断一个随机变量是否服从二项分布，关键有两点：一是对立性，即一次试验中，事件发生与否两者必有其一；二是重复性，即试验独立重复地进行了n 次．[变式训练] 口袋中装有大小、轻重都无差别的5个红球和4个白球，每一次从袋中摸出2个球，若颜色不同，则为中奖．每次摸球后，都将摸出的球放回口袋中，则3次摸球恰有1次中奖的概率为()A.80243B.100243C.80729D.100729解析：每次摸球中奖的概率为C 14C 15C 29＝2036＝59，由于是有放回地摸球，故3次摸球相当于3次独立重复实验， 所以3次摸球恰有1次中奖的概率P ＝C 13×59×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－592＝80243.答案：A专题四 离散型随机变量的期望与方差离散型随机变量的均值和方差在实际问题中具有重要意义，也是高考的热点内容． [例4] (2016·某某卷)某小组共10人，利用假期参加义工活动，已知参加义工活动次数为1，2，3的人数分别为3，3，4.现从这10人中随机选出2人作为该组代表参加座谈会．(1)设A 为事件“选出的2人参加义工活动次数之和为4”，求事件A 发生的概率； (2)设X 为选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量X 的分布列和数学期望．解：(1)由已知，有P (A )＝C 13C 14＋C 23C 210＝13. 所以，事件A 发生的概率为13.(2)随机变量X 的所有可能取值为0，1，2. P (X ＝0)＝C 23＋C 23＋C 24C 210＝415， P (X ＝1)＝C 13C 13＋C 13C 14C 210＝715， P (X ＝2)＝C 13C 14C 210＝415.所以随机变量X 的分布列为：X 0 1 2 P415715415随机变量X 的数学期望E (X )＝0×415＋1×715＋2×415＝1.归纳升华(1)求离散型随机变量的分布列有以下三个步骤：①明确随机变量X 取哪些值；②计算随机变量X 取每一个值时的概率；③将结果用表格形式列出．计算概率时要注意结合排列组合知识．(2)均值和方差的求解方法是：在分布列的基础上利用E (X )＝x 1p 1＋x 2p 2＋…＋x i p i ＋…＋x n p n 求出均值，然后利用D (X )＝∑i ＝1n[x i －E (X )]2p i 求出方差．[变式训练] 根据以往的经验，某工程施工期间的降水量X (单位：mm)对工期的影响如下表：0.3，0.7，0.9，求：(1)工期延误天数Y 的均值与方差．(2)在降水量至少是300的条件下，工期延误不超过6天的概率．解：(1)由已知条件有P (X ＜300)＝0.3，P (300≤X ＜700)＝P (X ＜700)－P (X ＜300)＝0.7－0.3＝0.4，P (700≤X ＜900)＝P (X ＜900)－P (X ＜700)＝0.9－0.7＝0.2. P (X ≥900)＝1－P (X ＜900)＝1－0.9＝0.1.所以Y 的分布列为于是，E (Y )＝0×0.3D (Y )＝(0－3)2×0.3＋(2－3)2×0.4＋(6－3)2×0.2＋(10－3)2×0.1＝9.8.故工期延误天数Y 的均值为3，方差为9.8.(2)由概率的加法公式，P (X ≥300)＝1－P (X ＜300)＝0.7， 又P (300≤X ＜900)＝P (X ＜900)－P (X ＜300)＝0.9－0.3＝0.6. 由条件概率，得P (Y ≤6|X ≥300)＝P (X ＜900|X ≥300)＝P （300≤X ＜900）P （X ≥300）＝0.60.7＝67.故在降水量X 至少是300的条件下，工期延误不超过6天的概率是67.专题五 正态分布及简单应用高考主要以选择题、填空题形式考查正态曲线的形状特征与性质，抓住其对称轴是关键． [例5] 某市去年高考考生成绩服从正态分布N (500，502)，现有25 000名考生，试确定考生成绩在550～600分的人数．解：因为考生成绩X ～N (500，502)，所以μ＝500，σ＝50，所以P (550<X ≤600)＝12[P (500－2×50<X ≤500＋2×50)－P (500－50<X ≤500＋50)]＝12(0.954 4－0.682 6)＝0.135 9.故考生成绩在550～600分的人数为25 000×0.135 9≈3 398(人)． 归纳升华正态分布概率的求法1．注意3σ原则，记住正态总体在三个区间内取值的概率．2．注意数形结合．由于正态分布密度曲线具有完美的对称性，体现了数形结合的重要思想，因此运用对称性结合图象解决某一区间内的概率问题成为热点问题．[变式训练] 某镇农民年收入服从μ＝5 000元，σ＝200元的正态分布．则该镇农民平均收入在5 000～5 200元的人数的百分比是________．解析：设X 表示此镇农民的平均收入，则X ～N (5 000，2002)． 由P (5 000－200＜X ≤5 000＋200)＝0.682 6. 得P (5 000＜X ≤5 200)＝0.682 62＝0.341 3.故此镇农民平均收入在5 000～5 200元的人数的百分比为34.13%. 答案：34.13% 专题六 方程思想方程思想是解决概率问题中的重要思想，在求离散型随机变量的分布列，求两个或三个事件的概率时常会用到方程思想．即根据题设条件列出相关未知数的方程(或方程组)求得结果．[例6] 甲、乙、丙三台机床各自独立地加工同一种零件，已知甲机床加工的零件是一等品而乙机床加工的零件不是一等品的概率为14，乙机床加工的零件是一等品而丙机床加工的零件不是一等品的概率为112，甲、丙两台机床加工的零件都是一等品的概率为29.(1)分别求甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品的概率；(2)从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验，求至少有一个一等品的概率． 解：记A ，B ，C 分别为甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品的事件． 由题设条件有⎩⎪⎨⎪⎧P （A — B ）＝14，P （B — C ）＝112，P （AC ）＝29，即⎩⎪⎨⎪⎧P （A ）[1－P （B ）]＝14， ①P （B ）[1－P （C ）]＝112，②P （A ）P （C ）＝29. ③由①③得P (B )＝1－98P (C )，代入②得27[P (C )]2－51P (C )＋22＝0.解得P (C )＝23或P (C )＝119(舍去)．将P (C )＝23分别代入②③可得P (A )＝13，P (B )＝14.故甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品的概率分别是13，14，23.(2)记D 为从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验，至少有一个一等品的事件．则P (D )＝1－P (— D )＝1－[1－P (A )][1－P (B )][1－P (C )]＝1－23×34×13＝56.故从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验，至少有一个一等品的概率为56.归纳升华(1)在求离散型随机变量的分布列时，常利用分布列的性质：①p 1≥0，i ＝1，2，3，…，n ；②∑i ＝1np i ＝1，列出方程或不等式求出未知数．(2)在求两个或多个概率时，常根据不同类型的概率公式列出方程或方程组求出未知数． [变式训练] 若离散型随机变量ξ的分布列为：ξ 0 1 P9a 2－a3－8a求常数a 解：由离散型随机变量的性质得⎩⎪⎨⎪⎧9a 2－a ＋3－8a ＝1，0≤9a 2－a ≤1，0≤3－8a ≤1，解得a ＝23(舍去)或a ＝13.所以，随机变量的分布列为：ξ 0 1 P2313。

习题课(1)课时目标1．熟练掌握等差数列的概念、通项公式、前n 项和公式，并能综合运用这些知识解决一些问题．2．熟练掌握等差数列的性质、等差数列前n 项和的性质，并能综合运用这些性质解决相关问题．要点回顾1．若S n 是数列{a n }的前n 项和，则S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ，a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1， n ＝1，S n －S n －1， n ≥2.2．若数列{a n }为等差数列，则有： (1)通项公式：a n ＝a 1＋(n －1)d ；(2)前n 项和：S n ＝na 1＋n (n －1)d 2＝n (a 1＋a n )2.3．等差数列的常用性质(1)若{a n }为等差数列，且m ＋n ＝p ＋q (m ，n ，p ，q ∈N *)，则a m ＋a n ＝a p ＋a q . (2)若S n 表示等差数列{a n }的前n 项和，则 S k ，S 2k －S k ，S 3k －S 2k 成等差数列．一、选择题1．在等差数列{a n }中，a 1＋3a 8＋a 15＝120，则2a 9－a 10的值为( ) A ．24 B ．22 C ．20 D ．－8 答案 A2．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 3＋a 7＋a 11＝6，则S 13等于( ) A ．24 B ．25 C ．26 D ．27 答案 C解析 ∵a 3＋a 7＋a 11＝6，∴a 7＝2，∴S 13＝13(a 1＋a 13)2＝13a 7＝26.3．设数列{a n }、{b n }都是等差数列，且a 1＝25，b 1＝75，a 2＋b 2＝100，则a 37＋b 37等于( )A ．0B ．37C ．100D ．－37 答案 C解析 设数列{a n }，{b n }的公差分别为d ，d ′， 则a 2＋b 2＝(a 1＋d )＋(b 1＋d ′) ＝(a 1＋b 1)＋(d ＋d ′) ＝100.又∵a 1＋b 1＝100，∴d ＋d ′＝0. ∴a 37＋b 37＝(a 1＋36d )＋(b 1＋36d ′) ＝(a 1＋b 1)＋36(d ＋d ′)＝100.4．设{a n }是公差为正数的等差数列，若a 1＋a 2＋a 3＝15，a 1a 2a 3＝80，则a 11＋a 12＋a 13等于( )A ．120B ．105C ．90D ．75 答案 B解析 ∵a 1＋a 2＋a 3＝3a 2＝15，∴a 2＝5. ∵a 1＝5－d ，a 3＝5＋d ，d >0， ∴a 1a 2a 3＝(5－d )·5·(5＋d )＝80， ∴d ＝3，a 1＝2.∴a 11＋a 12＋a 13＝3a 12＝3(a 1＋11d ) ＝3a 1＋33d ＝3×2＋33×3＝105.5．若{a n }为等差数列，S n 为其前n 项和，若a 1>0，d <0，S 4＝S 8，则S n >0成立的最大自然数n 为( )A ．11B ．12C ．13D ．14 答案 A解析 S 4＝S 8⇒a 5＋a 6＋a 7＋a 8＝0⇒a 6＋a 7＝0，又a 1>0，d <0，S 12＝(a 1＋a 12)·122＝0，n <12时，S n >0.6．在等差数列{a n }中，a 1＝－2 008，其前n 项和为S n ，若S 2 0082 008－S 2 0062 006＝2，则S 2 012等于( )A ．－2 012B ．2 012C ．6 033D ．6 036 答案 D解析 S nn ＝a 1＋(n －1)d 2，∴S 2 0082 008－S 2 0062 006＝a 1＋2 008－12d －a 1－2 006－12d ＝d ＝2.∴S 2 012＝2 012×(－2 008)＋2 012×2 0112×2＝2 012×3＝6 036. 二、填空题7．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2＋n ＋1，则a 6＋a 7＋…＋a 10的值为________． 答案 80解析 a 6＋a 7＋…＋a 10＝S 10－S 5＝111－31＝80.8．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S p ＝S q (p ，q ∈N *且p ≠q )，则S p ＋q ＝________. 答案 0解析 设S n ＝an 2＋bn ，由S p ＝S q .知ap 2＋bp ＝aq 2＋bq ，∴p ＋q ＝－ba.∴S p ＋q ＝a (p ＋q )2＋b (p ＋q )＝a (－b a )2＋b (－b a )＝b 2a －b2a ＝0. 9．等差数列{a n }中，|a 3|＝|a 9|，公差d <0，则使前n 项和S n 取得最大值的自然数n 是______． 答案 5或6解析 d <0，|a 3|＝|a 9|，∴a 3>0，a 9<0且a 3＋a 9＝0， ∴a 6＝0，∴a 1>a 2>…>a 5>0，a 6＝0,0>a 7>a 8>…. ∴当n ＝5或6时，S n 取到最大值．10．已知数列{a n }中，a 1＝20，a n ＋1＝a n ＋2n －1，n ∈N *，则数列{a n }的通项公式a n ＝________.答案 n 2－2n ＋21解析 ∵a n ＋1－a n ＝2n －1， ∴a 2－a 1＝1，a 3－a 2＝3，…， a n －a n －1＝2n －3，n ≥2.∴a n －a 1＝1＋3＋5＋…＋(2n －3)．∴a n ＝20＋(n －1)(2n －2)2＝n 2－2n ＋21.三、解答题11．甲、乙两物体分别从相距70 m 的两处同时相向运动，甲第1分钟走2 m ，以后每分钟比前1分钟多走1 m ，乙每分钟走5 m.(1)甲、乙开始运动后几分钟相遇？(2)如果甲、乙到达对方起点后立即返回，甲继续每分钟比前1分钟多走1 m ，乙继续每分钟走5 m ，那么开始运动几分钟后第二次相遇？解 (1)设n 分钟后第1次相遇，依题意，有2n ＋n (n －1)2＋5n ＝70，整理得n 2＋13n －140＝0.解之得n ＝7，n ＝－20(舍去)．第1次相遇是在开始运动后7分钟． (2)设n 分钟后第2次相遇，依题意，有2n ＋n (n －1)2＋5n ＝3×70，整理得n 2＋13n －420＝0.解之得n ＝15，n ＝－28(舍去)．第2次相遇是在开始运动后15分钟．12．已知公差大于零的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足：a 3·a 4＝117，a 2＋a 5＝22. (1)求数列{a n }的通项公式a n ；(2)若数列{b n }是等差数列，且b n ＝S nn ＋c，求非零常数c .解 (1)设等差数列{a n }的公差为d ，且d >0. ∵a 3＋a 4＝a 2＋a 5＝22，又a 3·a 4＝117， 又公差d >0，∴a 3<a 4，∴a 3＝9，a 4＝13. ∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋2d ＝9a 1＋3d ＝13，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1d ＝4，∴a n ＝4n －3. (2)由(1)知，S n ＝n ·1＋n (n －1)2·4＝2n 2－n ，∴b n ＝S nn ＋c ＝2n 2－n n ＋c .∴b 1＝11＋c ，b 2＝62＋c ，b 3＝153＋c .∵{b n }是等差数列，∴2b 2＝b 1＋b 3，∴2c 2＋c ＝0，∴c ＝－12(c ＝0舍去)．能力提升13．在等差数列{a n }中，a 10<0，a 11>0，且|a 10|<a 11，S n 为{a n }的前n 项的和，则下列结论正确的是( )A ．S 1，S 2，…，S 10都小于零，S 11，S 12，…都大于零B ．S 1，S 2，…，S 5都小于零，S 6，S 7，…都大于零C ．S 1，S 2，…，S 20都小于零，S 21，S 22，…都大于零D ．S 1，S 2，…，S 19都小于零，S 20，S 21，…都大于零 答案 D解析 ∵S 19＝19(a 1＋a 19)2＝19a 10<0，S 20＝20(a 1＋a 20)2.而a 1＋a 20＝a 10＋a 11，∵a 10<0，a 11>0且|a 10|<a 11， ∴a 10＋a 11>0，∴S 20＝20(a 1＋a 20)2＝10(a 10＋a 11)>0.又∵d ＝a 11－a 10>0. ∴S n >0 (n ≥20)．14．把自然数1,2,3,4，…按下列方式排成一个数阵．1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 ……………………………根据以上排列规律，数阵中第n (n ≥3)行从左至右的第3个数是______________.答案 n 22－n 2＋3解析 该数阵的第1行有1个数，第2行有2个数，…，第n 行有n 个数，则第n －1 (n ≥3)行的最后一个数为(n －1)(1＋n －1)2＝n 22－n 2，则第n 行从左至右的第3个数为n 22－n2＋3.1．等差数列是最基本、最常见的数列，等差数列的定义是研究解决等差数列的判定和性质，推导通项公式、前n 项和公式的出发点．2．通项公式与前n 项和公式联系着五个基本量：a 1、d 、n 、a n 、S n .掌握好本部分知识的内在联系、结构，以便灵活运用．3．另外用函数观点和方法揭示等差数列的特征，在分析解决数列的综合题中有重要的意义．高中数学学习技巧：在学习的过程中逐步做到：提出问题，实验探究，展开讨论，形成新知，应用反思。

习题课(1) 课时目标1．熟练掌握等差数列的概念、通项公式、前n 项和公式，并能综合运用这些知识解决一些问题．2．熟练掌握等差数列的性质、等差数列前n 项和的性质，并能综合运用这些性质解决相关问题．要点回顾1．若S n 是数列{a n }的前n 项和，则S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ，a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1， n ＝1，S n －S n －1， n ≥2. 2．若数列{a n }为等差数列，则有：(1)通项公式：a n ＝a 1＋(n －1)d ；(2)前n 项和：S n ＝na 1＋n n －1d 2＝n a 1＋a n 2. 3．等差数列的常用性质(1)若{a n }为等差数列，且m ＋n ＝p ＋q (m ，n ，p ，q ∈N *)，则a m ＋a n ＝a p ＋a q .(2)若S n 表示等差数列{a n }的前n 项和，则S k ，S 2k －S k ，S 3k －S 2k 成等差数列．一、选择题1．在等差数列{a n }中，a 1＋3a 8＋a 15＝120，则2a 9－a 10的值为( )A ．24B ．22C ．20D ．－8答案 A2．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 3＋a 7＋a 11＝6，则S 13等于( )A ．24B ．25C ．26D ．27答案 C解析 ∵a 3＋a 7＋a 11＝6，∴a 7＝2，∴S 13＝13a 1＋a 132＝13a 7＝26. 3．设数列{a n }、{b n }都是等差数列，且a 1＝25，b 1＝75，a 2＋b 2＝100，则a 37＋b 37等于( )A ．0B ．37C ．100D ．－37答案 C解析 设数列{a n }，{b n }的公差分别为d ，d ′，则a 2＋b 2＝(a 1＋d )＋(b 1＋d ′)＝(a 1＋b 1)＋(d ＋d ′)＝100.又∵a 1＋b 1＝100，∴d ＋d ′＝0.∴a 37＋b 37＝(a 1＋36d )＋(b 1＋36d ′)＝(a 1＋b 1)＋36(d ＋d ′)＝100.4．设{a n }是公差为正数的等差数列，若a 1＋a 2＋a 3＝15，a 1a 2a 3＝80，则a 11＋a 12＋a 13等于( )A ．120B ．105C ．90D ．75答案 B解析 ∵a 1＋a 2＋a 3＝3a 2＝15，∴a 2＝5.∵a 1＝5－d ，a 3＝5＋d ，d >0，∴a 1a 2a 3＝(5－d )·5·(5＋d )＝80，∴d ＝3，a 1＝2.∴a 11＋a 12＋a 13＝3a 12＝3(a 1＋11d )＝3a 1＋33d ＝3×2＋33×3＝105.5．若{a n }为等差数列，S n 为其前n 项和，若a 1>0，d <0，S 4＝S 8，则S n >0成立的最大自然数n 为( )A ．11B ．12C ．13D ．14答案 A解析 S 4＝S 8⇒a 5＋a 6＋a 7＋a 8＝0⇒a 6＋a 7＝0，又a 1>0，d <0，S 12＝a 1＋a 12122＝0，n <12时，S n >0.6．在等差数列{a n }中，a 1＝－2 008，其前n 项和为S n ，若S 2 0082 008－S 2 0062 006＝2，则S 2 012等于( )A ．－2 012B ．2 012C ．6 033D ．6 036答案 D解析 S n n ＝a 1＋n －1d 2， ∴S 2 0082 008－S 2 0062 006＝a 1＋2 008－12d －a 1－2 006－12d ＝d ＝2.∴S 2 012＝2 012×(－2 008)＋2 012×2 0112×2 ＝2 012×3＝6 036.二、填空题7．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2＋n ＋1，则a 6＋a 7＋…＋a 10的值为________．答案 80解析 a 6＋a 7＋…＋a 10＝S 10－S 5＝111－31＝80.8．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S p ＝S q (p ，q ∈N *且p ≠q )，则S p ＋q ＝________.答案 0解析 设S n ＝an 2＋bn ，由S p ＝S q .知ap 2＋bp ＝aq 2＋bq ，∴p ＋q ＝－b a.∴S p ＋q ＝a (p ＋q )2＋b (p ＋q ) ＝a (－b a )2＋b (－b a) ＝b 2a －b 2a＝0. 9．等差数列{a n }中，|a 3|＝|a 9|，公差d <0，则使前n 项和S n 取得最大值的自然数n 是______．答案 5或6解析 d <0，|a 3|＝|a 9|，∴a 3>0，a 9<0且a 3＋a 9＝0，∴a 6＝0，∴a 1>a 2>…>a 5>0，a 6＝0,0>a 7>a 8>….∴当n ＝5或6时，S n 取到最大值．10．已知数列{a n }中，a 1＝20，a n ＋1＝a n ＋2n －1，n ∈N *，则数列{a n }的通项公式a n ＝________.答案 n 2－2n ＋21解析 ∵a n ＋1－a n ＝2n －1，∴a 2－a 1＝1，a 3－a 2＝3，…，a n －a n －1＝2n －3，n ≥2.∴a n －a 1＝1＋3＋5＋…＋(2n －3)．∴a n ＝20＋n －12n －22＝n 2－2n ＋21. 三、解答题11．甲、乙两物体分别从相距70 m 的两处同时相向运动，甲第1分钟走2 m ，以后每分钟比前1分钟多走1 m ，乙每分钟走5 m.(1)甲、乙开始运动后几分钟相遇？(2)如果甲、乙到达对方起点后立即返回，甲继续每分钟比前1分钟多走1 m ，乙继续每分钟走5 m ，那么开始运动几分钟后第二次相遇？解 (1)设n 分钟后第1次相遇，依题意，有2n ＋n n －12＋5n ＝70， 整理得n 2＋13n －140＝0.解之得n ＝7，n ＝－20(舍去)．第1次相遇是在开始运动后7分钟．(2)设n 分钟后第2次相遇，依题意，有2n ＋n n －12＋5n ＝3×70， 整理得n 2＋13n －420＝0.解之得n ＝15，n ＝－28(舍去)．第2次相遇是在开始运动后15分钟．12．已知公差大于零的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足：a 3·a 4＝117，a 2＋a 5＝22.(1)求数列{a n }的通项公式a n ；(2)若数列{b n }是等差数列，且b n ＝S nn ＋c ，求非零常数c .解 (1)设等差数列{a n }的公差为d ，且d >0.∵a 3＋a 4＝a 2＋a 5＝22，又a 3·a 4＝117，又公差d >0，∴a 3<a 4，∴a 3＝9，a 4＝13.∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋2d ＝9a 1＋3d ＝13，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1d ＝4，∴a n ＝4n －3. (2)由(1)知，S n ＝n ·1＋n n －12·4＝2n 2－n ， ∴b n ＝S n n ＋c ＝2n 2－n n ＋c. ∴b 1＝11＋c ，b 2＝62＋c ，b 3＝153＋c. ∵{b n }是等差数列，∴2b 2＝b 1＋b 3，∴2c 2＋c ＝0，∴c ＝－12(c ＝0舍去)． 能力提升13．在等差数列{a n }中，a 10<0，a 11>0，且|a 10|<a 11，S n 为{a n }的前n 项的和，则下列结论正确的是( )A ．S 1，S 2，…，S 10都小于零，S 11，S 12，…都大于零B ．S 1，S 2，…，S 5都小于零，S 6，S 7，…都大于零C ．S 1，S 2，…，S 20都小于零，S 21，S 22，…都大于零D ．S 1，S 2，…，S 19都小于零，S 20，S 21，…都大于零答案 D解析 ∵S 19＝19a 1＋a 192＝19a 10<0， S 20＝20a 1＋a 202. 而a 1＋a 20＝a 10＋a 11，∵a 10<0，a 11>0且|a 10|<a 11，∴a 10＋a 11>0，∴S 20＝20a 1＋a 202＝10(a 10＋a 11)>0. 又∵d ＝a 11－a 10>0.∴S n >0 (n ≥20)．14．把自然数1,2,3,4，…按下列方式排成一个数阵．12 34 5 67 8 9 1011 12 13 14 15……………………………根据以上排列规律，数阵中第n (n ≥3)行从左至右的第3个数是______________.答案 n 22－n 2＋3 解析 该数阵的第1行有1个数，第2行有2个数，…，第n 行有n 个数，则第n －1 (n≥3)行的最后一个数为n －11＋n －12＝n 22－n 2，则第n 行从左至右的第3个数为n 22－n 2＋3.1．等差数列是最基本、最常见的数列，等差数列的定义是研究解决等差数列的判定和性质，推导通项公式、前n 项和公式的出发点．2．通项公式与前n 项和公式联系着五个基本量：a 1、d 、n 、a n 、S n .掌握好本部分知识的内在联系、结构，以便灵活运用．3．另外用函数观点和方法揭示等差数列的特征，在分析解决数列的综合题中有重要的意义．。

新课程标准数学必修5第二章课后习题解答第二章 数列2．1数列的概念与简单表示法 练习（P31） 1、2、前5项分别是：1,0,1,0,1--.3、例1（1）1(2,)1(21,)n n m m N n a n m m N n⎧-=∈⎪⎪=⎨⎪=-∈⎪⎩**； （2）2(2,)0(21,)n n m m N a n m m N ⎧=∈⎪=⎨=-∈⎪⎩**说明：此题是通项公式不唯一的题目，鼓励学生说出各种可能的表达形式，并举出其他可能的通项公式表达形式不唯一的例子.4、（1）1()21n a n Z n +=∈-； （2）(1)()2n n a n Z n +-=∈； （3）121()2n n a n Z +-=∈ 习题2.1 A 组（P33） 1、（1）2,3,5,7,11,13,17,19；（2） （3）1,1.7,1.73,1.732,…1.732050； 2,1.8,1.74,1.733,…,1.732051.2、（1）11111,,,,491625； （2）2,5,10,17,26--.3、（1）（1），4-，9，（16-），25，（36-），49； 12(1)n n a n +=-； （2）1，（，2；n a =.4、（1）1,3,13,53,2132； （2）141,5,,,5454--.5、对应的答案分别是：（1）16,21；54n a n =-；（2）10,13；32n a n =-；（3）24,35；22n a n n =+.6、15,21,28； 1n n a a n -=+. 习题2.1 B 组（P34）1、前5项是1,9,73,585,4681.该数列的递推公式是：1118,1n n a a a +=+=.通项公式是：817n n a -=.2、110(10.72)10.072a =⨯+=﹪； 2210(10.72)10.144518a =⨯+=﹪； 3310(10.72)10.217559a =⨯+=﹪； 10(10.72n n a =⨯+﹪.3、（1）1,2,3,5,8； （2）358132,,,,2358.2．2等差数列 练习（P39）1、表格第一行依次应填：0.5，15.5，3.75；表格第二行依次应填：15，11-，24-.2、152(1)213n a n n =+-=+，1033a =.3、4n c n =4、（1）是，首项是11m a a md +=+，公差不变，仍为d ；（2）是，首项是1a ，公差2d ；（3）仍然是等差数列；首项是716a a d =+；公差为7d . 5、（1）因为5375a a a a -=-，所以5372a a a =+. 同理有5192a a a =+也成立； （2）112(1)n n n a a a n -+=+>成立；2(0)n n k n k a a a n k -+=+>>也成立. 习题2.2 A 组（P40）1、（1）29n a =； （2）10n =； （3）3d =； （4）110a =.2、略.3、60︒.4、2℃；11-℃；37-℃.5、（1）9.8s t =； （2）588 cm ，5 s. 习题2.2 B 组（P40）1、（1）从表中的数据看，基本上是一个等差数列，公差约为2000，52010200280.2610a a d =+=⨯ 再加上原有的沙化面积5910⨯，答案为59.2610⨯；（2）2021年底，沙化面积开始小于52810 hm ⨯. 2、略. 2．3等差数列的前n 项和 练习（P45） 1、（1）88-； （2）604.5.2、59,11265,112n n a n n ⎧=⎪⎪=⎨+⎪>⎪⎩ 3、元素个数是30，元素和为900.习题2.3 A 组（P46）1、（1）(1)n n +； （2）2n ； （3）180个，和为98550； （4）900个，和为494550.2、（1）将120,54,999n n a a S ===代入1()2n n n a a S +=，并解得27n =； 将120,54,27n a a n ===代入1(1)n a a n d =+-，并解得1713d =.（2）将1,37,6293n d n S ===代入1(1)n a a n d =+-，1()2n n n a a S +=，得111237()6292n n a a a a =+⎧⎪⎨+=⎪⎩；解这个方程组，得111,23n a a ==.（3）将151,,566n a d S ==-=-代入1(1)2n n n S na d -=+，并解得15n =；将151,,1566a d n ==-=代入1(1)n a a n d =+-，得32n a =-.（4）将2,15,10n d n a ===-代入1(1)n a a n d =+-，并解得138a =-；将138,10,15n a a n =-=-=代入1()2n n n a a S +=，得360n S =-. 3、44.5510⨯m. 4、4.5、这些数的通项公式：7(1)2n -+，项数是14，和为665.6、1472.习题2.3 B 组（P46）1、每个月的维修费实际上是呈等差数列的. 代入等差数列前n 项和公式，求出5年内的总共的维修费，即再加上购买费，除以天数即可. 答案：292元.2、本题的解法有很多，可以直接代入公式化简，但是这种比较繁琐. 现提供2个证明方法供参考. （1）由 61615S a d =+，1211266S a d =+，18118153S a d =+ 可得61812126()2()S S S S S +-=-.（2）1261212126()()S S a a a a a a -=+++-+++7812a a a =+++ 126(6)(6)(6)a d a d a d =++++++ 126()36a a a d =++++636S d =+同样可得：1812672S S S d -=+，因此61812126()2()S S S S S +-=-.3、（1）首先求出最后一辆车出发的时间4时20分；所以到下午6时，最后一辆车行驶了1小时40分.（2）先求出15辆车总共的行驶时间，第一辆车共行驶4小时，以后车辆行驶时间依次递减，最后一辆行驶1小时40分. 各辆车的行驶时间呈等差数列分布，代入前n 项和公式，这个车队所有车的行驶时间为2418531522S +=⨯= h. 乘以车速60 km/h ，得行驶总路程为2550 km.4、数列1(1)n n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的通项公式为111(1)1na n n n n ==-++ 所以111111111()()()()1122334111n nS n n n n =-+-+-++-=-=+++ 类似地，我们可以求出通项公式为1111()()n a n n k k n n k==-++的数列的前n 项和.2．4等比数列练习（P52） 1、2、由题意可知，每一轮被感染的计算机台数构成一个首项为180a =，公比为20q =的等比数列，则第5轮被感染的计算机台数5a 为 447518020 1.2810a a q ==⨯=⨯.3、（1）将数列{}n a 中的前k 项去掉，剩余的数列为12,,k k a a ++ . 令,1,2,k i b a i +== ，则数列12,,k k a a ++ 可视为12,,b b .因为11(1)i k i i k ib a q i b a ++++==≥，所以，{}n b 是等比数列，即12,,k k a a ++ 是等比数列. （2）{}n a 中的所有奇数列是135,,,a a a ，则235211321(1)k k a a aq k a a a +-===== ≥. 所以，数列135,,,a a a 是以1a 为首项，2q 为公比的等比数列. （3）{}n a 中每隔10项取出一项组成的数列是11223,,,a a a ， 则1112231111121110(1)k k a a aq k a a a +-===== ≥ 所以，数列11223,,,a a a 是以1a 为首项，11q 为公比的等比数列.猜想：在数列{}n a 中每隔m （m 是一个正整数）取出一项，组成一个新的数列，这个数列是以1a 为首项，1m q +为公比的等比数列.4、（1）设{}n a 的公比为q ，则24228511()a a q a q ==，而262837111a a a q a q a q ⋅=⋅=所以2537a a a =⋅，同理2519a a a =⋅ （2）用上面的方法不难证明211(1)nn n a a a n -+=⋅>. 由此得出，n a 是1n a -和1n a +的等比中项. 同理：可证明，2(0)nn k n k a a a n k -+=⋅>>. 由此得出，n a 是n k a -和n k a +的等比中项(0)n k >>. 5、（1）设n 年后这辆车的价值为n a ，则13.5(110)n n a =-﹪. （2）4413.5(110)88573a =-≈﹪（元）. 用满4年后卖掉这辆车，能得到约88573元.习题2.4 A 组（P53）1、（1）可由341a a q =，得11a =-，6671(1)(3)729a a q ==-⨯-=-. 也可由671a a q =，341a a q =，得337427(3)729a a q ==⨯-=-（2）由131188a q a q =⎧⎪⎨=⎪⎩，解得12723a q =⎧⎪⎨=⎪⎩，或12723a q =-⎧⎪⎨=-⎪⎩（3）由416146a q a q ⎧=⎪⎨=⎪⎩，解得232q =，862291173692a a q a q q a q ==⋅==⨯= 还可由579,,a a a 也成等比数列，即2759a a a =，得22795694a a a ===.（4）由411311156a q a a q a q ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩ ①②①的两边分别除以②的两边，得2152q q +=，由此解得12q =或2q =. 当12q =时，116a =-. 此时2314a a q ==-. 当2q =时，11a =. 此时2314a a q ==. 2、设n 年后，需退耕n a ，则{}n a 是一个等比数列，其中18(110),0.1a q =+=﹪. 那么2005年需退耕5551(1)8(110)13a a q =+=+≈﹪（万公顷） 3、若{}n a 是各项均为正数的等比数列，则首项1a 和公比q 都是正数. 由11n n a a q-=11(1)22)n n q --=.那么数列{}n a12q 为公比的等比数列.4、这张报纸的厚度为0.05 mm ，对折一次后厚度为0.05×2 mm ，再对折后厚度为0.05×22 mm ，再对折后厚度为0.05×32 mm. 设00.05a =，对折n 次后报纸的厚度为n a ，则{}n a 是一个等比数列，公比2q =. 对折50次后，报纸的厚度为50505013100.052 5.6310 m m 5.6310 m a a q ==⨯≈⨯=⨯ 这时报纸的厚度已经超出了地球和月球的平均距离（约83.8410 m ⨯），所以能够在地球和月球之间建一座桥.5、设年平均增长率为1,105q a =，n 年后空气质量为良的天数为n a ，则{}n a 是一个等比数列.由3240a =，得2231(1)105(1)240a a q q =+=+=，解得10.51q =≈ 6、由已知条件知，,2a bA G +==，且02a b A G +-=- 所以有A G ≥，等号成立的条件是a b =. 而,a b 是互异正数，所以一定有A G >.7、（1）2±； （2）22()ab a b ±+. 8、（1）27，81； （2）80，40，20，10. 习题2.4 B 组（P54）1、证明：由等比数列通项公式，得11m m a a q -=，11n n a a q -=，其中1,0a q ≠所以 1111m m n m n n a a q q a a q---== 2、（1）设生物体死亡时，体内每克组织中的碳14的原子核数为1个单位，年衰变率为q ，n 年后的残留量为n a ，则{}n a 是一个等比数列. 由碳14的半衰期为5730则 57305730112n a a qq===，解得157301()0.9998792q =≈ （2）设动物约在距今n 年前死亡，由0.6n a =，得10.9998790.6n n a a q ===. 解得 4221n ≈，所以动物约在距今42213、在等差数列1，2，3，…中，有7108917a a a a +==+，1040203050a a a a +==+ 由此可以猜想，在等差数列{}n a 中若*(,,,)k s p q k s p q N +=+∈，则k s p q a a a a +=+. 从等差数列与函数之间的联系的角度来分析这个问题：由等差数列{}n a 的图象，可以看出k p a k a p =，s q a sa q=根据等式的性质，有k s p q a a k sa a p q++=++，所以k s p q a a a a +=+. 猜想对于等比数列{}n a ，类似的性质为：若*(,,,)k s p q k s p q N +=+∈，则k s p q a a a a ⋅=⋅. 2．5等比数列的前n 项和 练习（P58） 1、（1）6616(1)3(12)189112a q S q --===--. （2）1112.7()9190311451()3n n a a qS q----===----. 2、设这个等比数列的公比为q（第3题）所以 101256710()()S a a a a a a =+++++++ 555S q S =+55(1)q S =+50= 同理 1015105S S q S =+.因为 510S =，所以由①得 5101051416S q q S =-=⇒= 代入②，得1015105501610210S S q S =+=+⨯=.3、该市近10年每年的国内生产总值构成一个等比数列，首项12000a =，公比 1.1q =设近10年的国内生产总值是10S ，则10102000(1 1.1)31874.81 1.1S -=≈-（亿元） 习题2.5 A 组（P61） 1、（1）由34164641a q a ===--，解得4q =-，所以144164(4)5111(4)a a q S q ---⨯-===---. （2）因为2131233(1)S a a a a q q --=++=++，所以2113q q --++=，即2210q q --=解这个方程，得1q =或12q =-. 当1q =时，132a =；当12q =-时，16a =.2、这5年的产值是一个以1138 1.1151.8a =⨯=为首项， 1.1q =为公比的等比数列所以5515(1)151.8(1 1.1)926.75411 1.1a q S q -⨯-==≈--（万元） 3、（1）第1个正方形的面积为42cm ，第2个正方形的面积为22cm ，…，这是一个以14a =为首项，12q =为公比的等比数列所以第10个正方形的面积为99710114()22a a q -==⨯=（2cm ）（2）这10个正方形的面积和为77110101422821112a a qS q---⨯-===---（2cm ）4、（1）当1a =时，2(1)(1)(2)()12(1)2n n na a a n n --+-++-=-----=-当1a ≠时，22(1)(2)()()(12)n n a a a n a a a n -+-++-=+++-+++(1)(1)12n a a n n a -+=--（2）1212(235)(435)(35)2(12)3(555)n n n n -------⨯+-⨯+-⨯=+++-+++11(1)5(15)323(1)(15)2154n nn n n n ----+-⨯-⨯=+--- （3）设21123n n S x x nx -=++++ ……①则 212(1)n n n xS x x n x nx -=+++-+ ……②①－②得，21(1)1n n n x S x x x nx --=++++- ……③当1x =时，(1)1232n n n S n +=++++= ；当1x ≠时，由③得，21(1)1n n n x nx S x x -=--- 5、（1）第10次着地时，经过的路程为91002(50251002)-++++⨯1291911002100(222)2(12)100200299.61 (m)12------=+⨯+++-=+⨯≈- （2）设第n 次着地时，经过的路程为293.75 m ，则1(1)12(1)12(12)1002100(222)100200293.7512n n ---------+⨯+++=+⨯=- 所以130********.75n --⨯=，解得120.03125n -=，所以15n -=-，则6n =6、证明：因为396,,S S S 成等差数列，所以公比1q ≠，且9362S S S =+即，936111(1)(1)(1)2111a q a q a q q q q---⨯=+--- 于是，9362q q q =+，即6321q q =+ 上式两边同乘以1a q ，得741112a q a q a q =+ 即，8252a a a =+，故285,,a a a 成等差数列 习题2.5 B 组（P62）1、证明：11111()(1())1n n n n n n n n n bb b a b a a a b b a a b a a a b a+++---+++=+++==-- 2、证明：因为7714789141277()S S a a a q a a a q S -=+++=+++=141421141516211277()S S a a a q a a a q S -=+++=+++=所以71472114,,S S S --成等比数列3、（1）环保部门每年对废旧物资的回收量构成一个等比数列，首项为1100a =，公比为 1.2q =. 所以，2010年能回收的废旧物资为89100 1.2430a =⨯≈（t ）（2）从2002年到2010年底，能回收的废旧物资为9919(1)100(1 1.2)208011 1.2a q S q --==≈--（t ）可节约的土地为165048320⨯=（2m ） 4、（1）依教育储蓄的方式，应按照整存争取定期储蓄存款利率计息，免征利息税，且若每月固定存入a 元，连续存n 个月，计算利息的公式为()2a na n+⨯月利率.因为整存整取定期储蓄存款年利率为2.52﹪，月利率为0.21﹪故到期3年时一次可支取本息共(505036)360.2118001869.932+⨯⨯⨯+=﹪（元）若连续存6年，应按五年期整存整取定期储蓄存款利率计息，具体计算略. （2）略.（3）每月存50元，连续存3年按照“零存整取”的方式，年利率为1.89﹪，且需支付20﹪的利息税所以到期3年时一次可支取本息共1841.96元，比教育储蓄的方式少收益27.97元.（4）设每月应存入x 元，由教育储蓄的计算公式得36(36)0.2136100002x x x +⨯+=﹪解得267.39x ≈（元），即每月应存入267.39（元） （5）（6）（7）（8）略 5、设每年应存入x 万元，则2004年初存入的钱到2010年底利和为7(12)x +﹪，2005年初存入的钱到2010年底利和为6(12)x +﹪，……，2010年初存入的钱到2010年底利和为(12)x +﹪. 根据题意，76(12)(12)(12)40x x x ++++++= ﹪﹪﹪根据等比数列前n 项和公式，得7(12)(1 1.02)401 1.02x +-=-﹪，解得52498x ≈（元） 故，每年大约应存入52498元第二章 复习参考题A 组（P67）1、（1）B ； （2）B ； （3）B ； （4）A .2、（1）212n n n a -=； （2）12(1)(21)1(2)n n n a n +--=+；（3）7(101)9n n a =-； （4）n a =n a3、4、如果,,a b c 成等差数列，则5b =；如果,,a b c 成等比数列，则1b =，或1-.5、n a 按顺序输出的值为：12，36，108，324，972. 86093436sum =.6、81381.9(10.13)1396.3⨯+≈﹪（万） 7、从12月20日到次年的1月1日，共13天. 每天领取的奖品价值呈等差数列分布.110,100d a ==. 由1(1)2n n n S a n d -=+得：1313121001310208020002S ⨯=⨯+⨯=>. 所以第二种领奖方式获奖者受益更多.8、因为28374652a a a a a a a +=+=+=所以34567285450()2a a a a a a a +++++==+，则28180a a +=.9、容易得到101010,1012002n n na n S +==⨯=，得15n =.10、212212()()()n n n n S a a a a nd a nd a nd ++=+++=++++++2121()n a a a n nd S n d =++++⨯=+32122312(2)(2)(2)n n n nS a a a a n d a n d a n d ++=+++=++++++ 2121()22n a a a n n d S n d =++++⨯=+ 容易验证2132S S S =+. 所以，123,,S S S 也是等差数列，公差为2n d . 11、221(1)(1)4(1)221a f x x x x x =+=+-++=-- 223(1)(1)4(1)267a f x x x x x =-=---+=-+ 因为{}n a 是等差数列，所以123,,a a a 也是等差数列. 所以，2132a a a =+. 即，20286x x =-+. 解得1x =或3x =. 当1x =时，1232,0,2a a a =-==. 由此可求出24n a n =-. 当3x =时，1232,0,2a a a ===-. 由此可求出42n a n =-.第二章 复习参考题B 组（P68）1、（1）B ； （2）D .2、（1）不成等差数列. 可以从图象上解释. ,,a b c 成等差，则通项公式为y pn q =+的形式，且,,a b c 位于同一直线上，而111,,a b c 的通项公式却是1y pn q =+的形式，111,,a b c不可能在同一直线上，因此肯定不是等差数列.（2）成等比数列. 因为,,a b c 成等比，有2b ac =. 又由于,,a b c 非零，两边同时取倒数，则有21111b ac a c==⨯. 所以，111,,a b c也成等比数列.3、体积分数：60.033(125)0.126⨯+≈﹪，质量分数：60.05(125)0.191⨯+≈﹪.4、设工作时间为n ，三种付费方式的前n 项和分别为,,n n n A B C . 第一种付费方式为常数列；第二种付费方式为首项是4，公差也为4的等差数列；第三种付费方式为首项是0.4，公比为2的等比数列. 则38n A n =，2(1)44222n n n B n n n -=+⨯=+， 0.4(12)0.4(21)12n n n C -==--. 下面考察,,n n n A B C 看出10n <时，380.4(21)n n >-.因此，当工作时间小于10天时，选用第一种付费方式.10n ≥时，,n n n n A C B C ≤≤因此，当工作时间大于10天时，选用第三种付费方式.5、第一星期选择A 种菜的人数为n ，即1a n =，选择B 种菜的人数为500a -.所以有以下关系式：2118030a a b =⨯+⨯﹪﹪3228030a a b =⨯+⨯﹪﹪……118030n n b a a b --=⨯+⨯﹪﹪500n n a b += 所以111502n n a a -=+，115003502n n n b a a -=-=- 如果1300a =，则2300a =，3300a =，…，10300a =6、解：由1223n n n a a a --=+得 1123()n n n n a a a a ---+=+以及1123(3)n n n n a a a a ----=--所以221213()37n n n n a a a a ---+=+=⨯，221213(1)(3)(1)13n n n n a a a a ----=--=-⨯.由以上两式得，11437(1)13n n n a --=⨯+-⨯ 所以，数列的通项公式是11137(1)134n n n a --⎡⎤=⨯+-⨯⎣⎦ 7、设这家牛奶厂每年应扣除x 万元消费基金2002年底剩余资金是1000(150)x +-﹪2003年底剩余资金是2[1000(150)](150)1000(150)(150)x x x x +-+-=+-+-﹪﹪﹪﹪ ……5年后达到资金 54321000(150)(150)(150)(150)(150)2000x x x x +-+-+-+-+=﹪﹪﹪﹪﹪ 解得 459x ≈（万元）。

第二课 数 列[核心速填]1．数列的通项与前n 项和的关系 (1)S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n .(2)a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1，n ＝1，S n －S n －1，n≥2.2．等差数列(1)通项公式：a n ＝a 1＋(n －1)d ， a n ＝a m ＋(n －m)d.(2)前n 项和公式：S n ＝n(a 1＋a n )2＝na 1＋n(n －1)2d.(3)等差中项：若a ，A ，b 成等差数列，则A 叫做a ，b 的等差中项，且有a ＋b ＝2A. (4)常用性质：①若m ＋n ＝p ＋q(m ，n ，p ，q∈N *)，则a m ＋a n ＝a p ＋a q ； ②在等差数列{a n }中，S k ，S 2k －S k ，S 3k －S 2k ，…成等差数列． (5)等差数列的判断：①定义式：a n ＋1－a n ＝d(d 为常数)； ②等差中项：a n ＋a n ＋2＝2a n ＋1； ③通项公式：a n ＝dn ＋b ； ④前n 项和：S n ＝an 2＋bn. 3．等比数列 (1)通项公式：a n ＝a 1q n －1，a n ＝a m qn －m.(2)前n 项和公式：S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧na 1，q ＝1，a 1(1－q n )1－q＝a 1－a n q1－q ，q≠1.(3)等比中项：若a ，G ，b 成等比数列，则G 叫做a ，b 的等比中项，且有G 2＝ab 或G ＝±ab. (4)等比数列的性质：①若m ＋n ＝p ＋q(m ，n ，p ，q∈N *)，则a m ·a n ＝a p ·a q ；②在等比数列{a n }中，S k ，S 2k －S k ，S 3k －S 2k ，…成等比数列．(q≠－1) (5)等比数列的判断：①定义式：a n ＋1a n ＝q(q 为非零常数)；②等比中项：a n ·a n ＋2＝a 2n ＋1；③通项公式：a n ＝aq n(a ，q 为非零常数)；④前n 项和：S n ＝A －Aq n (A 为非零常数，q≠0且q≠1)．[体系构建][题型探究](1)已知等比数列{a n }中，各项都是正数，且a 1，12a 3,2a 2成等差数列，则a 9＋a 10a 7＋a 8＝________.(2)已知数列{a n }为等比数列，S n 是它的前n 项和．若a 2·a 3＝2a 1，且a 4与2a 7的等差中项为54，则S 5＝________.[思路探究] (1)先由a 1，12a 3,2a 2成等差数列求公比q ，进而求a 9＋a 10a 7＋a 8的值．(2)利用等比数列的性质求a 4，由等差中项求a 7，进而求S 5. [解] (1)∵a 1，12a 3,2a 2成等差数列，∴2×12a 3＝a 1＋2a 2，即a 3＝a 1＋2a 2.设等比数列{a n }的公比为q 且q>0， 则a 3＝a 1q 2，a 2＝a 1q ， ∴a 1q 2＝a 1＋2a 1q ，∴q 2＝1＋2q ，解得q ＝1＋2或q ＝1－2(舍)， a 9＋a 10a 7＋a 8＝a 9(1＋q)a 7(1＋q)＝q 2＝(2＋1)2＝3＋2 2. (2)由等比数列性质可知a 2·a 3＝a 1·a 4， ∵a 2·a 3＝2a 1，∴a 1·a 4＝2a 1，而a 1≠0， ∴a 4＝2.由已知a 4＋2a 7＝2×54，∴a 7＝14，∴q 3＝a 7a 4＝18，∴q＝12，∴a 1＝a 4q 3＝218＝16，∴S 5＝a 1(1－q 5)1－q ＝16×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1251－12＝31.[答案] (1)3＋2 2 (2)31 [跟踪训练]1．成等差数列的三个正数的和等于15，并且这三个数分别加上2,5,13后成为等比数列{b n }中的b 3，b 4，b 5.(1)求数列{b n }的通项公式；(2)数列{b n }的前n 项和为S n ，求证：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n ＋54是等比数列．[解] (1)设成等差数列的三个正数分别为a －d ，a ，a ＋d. 依题意，得a －d ＋a ＋a ＋d ＝15，解得a ＝5. 所以{b n }中的b 3，b 4，b 5依次为7－d,10,18＋d.依题意，有(7－d)(18＋d)＝100，解得d ＝2或d ＝－13(舍去)，故{b n }的第3项为5，公比为2，由b 3＝b 1·22，即5＝b 1·22，解得b 1＝54.所以{b n }是以54为首项，2为公比的等比数列，其通项公式为b n ＝54·2n －1＝5·2n －3.(2)证明：数列{b n }的前n 项和S n ＝54(1－2n)1－2＝5·2n －2－54，即S n ＋54＝5·2n －2，所以S 1＋54＝52，S n ＋1＋54S n ＋54＝5·2n －15·2n －2＝2.因此⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n ＋54是以52为首项，公比为2的等比数列.1．形如n ＋1n n 121(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1)＝a 1＋f(1)＋f(2)＋…＋f(n －1)．2．形如a n ＋1＝f(n)·a n (n∈N *)的递推数列，可用累乘法求通项公式：a n ＝a 1·a 2a 1·a 3a 2·…·a n a n －1＝a 1·f(1)·f(2)·…·f(n－1)．3．形如a n ＋1＝pa n ＋q(pq≠0，且p≠1)的递推数列，可构造等比数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋q p －1，其中该等比数列的首项是a 1＋qp －1，公比为p.4．形如a n ＋1＝pa n ＋q n的递推数列，可在递推公式两边同除以qn ＋1，得a n ＋1q n ＋1＝p q ·a n q n ＋1q，转化为形如a n＋1＝pa n ＋q 的形式求解．已知数列{a n }分别满足以下条件，求通项公式a n .(1)a 1＝1，a n ＋1－a n ＝n(n∈N *)； (2)数列{a n }的前n 项和为S n ＝32a n －3.[思路探究] (1)已知a 1且a n ＋1－a n ＝n ，故用累加法；(2)条件是关于a n ，S n 的关系式，利用n≥2时，a n ＝S n －S n －1消去S n 转化为a n 与a n －1的关系． [解] (1)∵a n ＋1－a n ＝n ， ∴a 2－a 1＝1， a 3－a 2＝2， a 4－a 3＝3， ……a n －a n －1＝n －1.将以上各式叠加，得a n －a 1＝1＋2＋…＋(n －1)＝n(n －1)2.∴a n ＝a 1＋n(n －1)2＝1＋n(n －1)2＝n 2－n ＋22.(2)∵S n ＝32a n －3，∴n≥2时，a n ＝S n －S n －1＝32a n －32a n －1，∴a na n －1＝3(n≥2)． 而当n ＝1时，有a 1＝32a 1－3，∴a 1＝6，∴{a n }是以6为首项，3为公比的等比数列， ∴a n ＝6×3n －1＝2×3n.[跟踪训练]2．根据下列条件，确定数列{a n }的通项公式． (1)a 1＝1，na n ＋1＝(n ＋2)a n ； (2)a 1＝2，a n ＋1＝2a n ＋3. [解] (1)∵na n ＋1＝(n ＋2)a n ， ∴a n ＋1a n ＝n ＋2n， ∴a n ＝a n a n －1·a n －1a n －2·…·a 2a 1·a 1＝n ＋1n －1.n n －2 (31)·1＝n(n＋1)2(n∈N*)．(2)∵a n＋1＝2a n＋3，∴a n＋1＋3＝2(a n＋3)，∴a n＋1＋3a n＋3＝2，∴{a n＋3}是以2为公比的等比数列，∴a n＋3＝5×2n－1，∴a n＝5×2n－1－3(n∈N*).是指等差或等比数列，非等差或非等比数列称为一般数列．对于特殊数列的求和，要恰当的选择、准确的应用求和公式，采用公式法直接求和；对于一般的数列求和，可采用分组化归法、并项转化法、倒序相加法、错位相减法、裂项相消法、分段求和法等．设数列{a n }满足a 1＋3a 2＋32a 3＋…＋3n －1a n ＝n 3，n∈N *.(1)求{a n }的通项公式；(2)设b n ＝na n ，求数列{b n }的前n 项和S n .[思路探究] (1)利用a n 与S n 的关系求解； (2)利用错位相减法求解． [解] (1)∵a 1＋3a 2＋32a 3＋…＋3n －1a n ＝n 3，n∈N *. ①当n≥2时， a 1＋3a 2＋32a 3＋…＋3n －2a n －1＝n －13， ② ①－②得 3n －1a n ＝13，即a n ＝13n (n≥2)．(*)又a 1＝13，满足(*)式，∴a n ＝13n .(2)∵b n ＝n a n，∴b n ＝n·3n，∴S n ＝3＋2×32＋3×33＋…＋n×3n， ③ ∴3S n ＝32＋2×33＋3×34＋…＋(n －1)3n＋n×3n ＋1， ④③－④得－2S n ＝3＋32＋ (3)－n·3n ＋1＝3(1－3n)1－3－n·3n ＋1，即S n ＝(2n －1)·3n ＋14＋34. [跟踪训练]3．等差数列{a n }中，a 1＝3，公差d ＝2，S n 为前n 项和，求1S 1＋1S 2＋…＋1S n .[解] 由题意可知，S n ＝3n ＋n(n －1)2×2＝n 2＋2n ，∴1S n ＝1n 2＋2n ＝1n(n ＋2)＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋2， ∴1S 1＋1S 2＋…＋1S n ＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－14＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋2 ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12－1n ＋1－1n ＋2＝34－2n ＋32(n ＋1)(n ＋2).情况分别说明．本章中，当数列所给的对象不宜进行统一研究或推理时，需通过分类讨论来解决．如运用等比数列求和公式时，需对q 分q ＝1和q≠1且q≠0两种情况进行讨论．已知{a n }是公比为q 的等比数列，且a 1，a 3，a 2成等差数列．(1)求q 的值；(2)设{b n }是以2为首项，q 为公差的等差数列，其前n 项和为S n ，当n≥2时，比较S n 与b n 的大小，并说明理由．[思路探究] (1)利用等差、等比数列的有关性质求q ； (2)作差比较，判断差的正、负、零情况．[解] (1)依题意，得2a 3＝a 1＋a 2，即2a 1q 2＝a 1＋a 1q. ∵a 1≠0，∴2q 2－q －1＝0，∴q＝1或q ＝－12.(2)若q ＝1，则S n ＝2n ＋n(n －1)2＝n 2＋3n2，b n ＝n ＋1，当n≥2时，S n －b n ＝S n －1＝(n －1)(n ＋2)2，故当n≥2时，S n ＞b n ；若q ＝－12，则S n ＝－n 2＋9n 4，b n ＝－12n ＋52，当n≥2时，S n －b n ＝S n －1＝－(n －1)(n －10)4，∴当2≤n≤9时，S n ＞b n ，当n ＝10时，S n ＝b n ， 当n≥11时，S n ＜b n . [跟踪训练]4．在公差为d 的等差数列{a n }中，已知a 1＝10，且a 1,2a 2＋2,5a 3成等比数列． (1)求d ，a n ；(2)若d ＜0，求|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n |.[解] (1)由题意得，a 1·5a 3＝(2a 2＋2)2，由a 1＝10，{a n }为公差为d 的等差数列得，d 2－3d －4＝0， 解得d ＝－1或d ＝4.所以a n ＝－n ＋11(n∈N *)或a n ＝4n ＋6(n∈N *)． (2)设数列{a n }的前n 项和为S n .因为d ＜0，由(1)得d ＝－1，a n ＝－n ＋11，所以当n≤11时，|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n |＝S n ＝－12n 2＋212n ；当n≥12时，|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n |＝－S n ＋2S 11＝12n 2－212n ＋110.综上所述，|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n|＝⎩⎪⎨⎪⎧－12n 2＋212n ，n≤11，12n 2－212n ＋110，n≥12.[链接高考]1．设等比数列{a n }满足a 1＋a 3＝10，a 2＋a 4＝5，则a 1a 2…a n 的最大值为________．[解析] 设等比数列{a n }的公比为q ，则由a 1＋a 3＝10，a 2＋a 4＝q(a 1＋a 3)＝5，知q ＝12.又a 1＋a 1q 2＝10，∴a 1＝8.故a 1a 2…a n ＝a n 1q 1＋2＋…＋(n －1)＝23n·⎝ ⎛⎭⎪⎫12(n －1)n 2 ＝23n －n 22＋n 2＝2－n 22＋72n. 记t ＝－n 22＋7n 2＝－12(n 2－7n)，结合n∈N *可知n ＝3或4时，t 有最大值6. 又y ＝2t为增函数，从而a 1a 2…a n 的最大值为26＝64. [答案] 642．已知{a n }为等差数列，S n 为其前n 项和．若a 1＝6，a 3＋a 5＝0，则S 6＝________.【导学号：57452066】[解析] ∵a 3＋a 5＝2a 4，∴a 4＝0. ∵a 1＝6，a 4＝a 1＋3d ，∴d＝－2. ∴S 6＝6a 1＋6×(6－1)2d ＝6.[答案] 63．设数列{}a n 满足a 1＝1，且a n ＋1－a n ＝n ＋1(n∈N *)，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 前10项的和为______．[解析] 由题意有a 2－a 1＝2，a 3－a 2＝3，…，a n －a n －1＝n(n≥2)．以上各式相加，得a n －a 1＝2＋3＋…＋n ＝(n －1)(2＋n)2＝n 2＋n －22.又∵a 1＝1，∴a n ＝n 2＋n2(n≥2)．∵当n ＝1时也满足此式，∴a n ＝n 2＋n 2(n∈N *)．∴1a n ＝2n 2＋n ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1. ∴S 10＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫11－12＋12－13＋…＋110－111＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－111＝2011. [答案]20114．设数列{a n }的前n 项和为S n .若S 2＝4，a n ＋1＝2S n ＋1，n∈N *，则a 1＝________，S 5＝________. [解析] ∵a n ＋1＝2S n ＋1，∴S n ＋1－S n ＝2S n ＋1， ∴S n ＋1＝3S n ＋1，∴S n ＋1＋12＝3⎝⎛⎭⎪⎫S n ＋12，∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n ＋12是公比为3的等比数列，∴S 2＋12S 1＋12＝3.又S 2＝4，∴S 1＝1，∴a 1＝1， ∴S 5＋12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫S 1＋12×34＝32×34＝2432，∴S 5＝121. [答案] 1 1215．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝1＋λa n ，其中λ≠0. (1)证明{a n }是等比数列，并求其通项公式； (2)若S 5＝3132，求λ.【导学号：57452067】[解] (1)证明：由题意得a 1＝S 1＝1＋λa 1， 故λ≠1，a 1＝11－λ，故a 1≠0.由S n ＝1＋λa n ，S n ＋1＝1＋λa n ＋1得a n ＋1＝λa n ＋1－λa n ， 即a n ＋1(λ－1)＝λa n .由a 1≠0，λ≠0得a n ≠0，所以a n ＋1a n ＝λλ－1.因此{a n }是首项为11－λ，公比为λλ－1的等比数列，于是a n ＝11－λ⎝ ⎛⎭⎪⎫λλ－1n －1.(2)由(1)得S n ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫λλ－1n. 由S 5＝3132得1－⎝ ⎛⎭⎪⎫λλ－15＝3132，即⎝ ⎛⎭⎪⎫λλ－15＝132. 解得λ＝－1.。

第二章数列§2.1数列的概念与简单表示法(一)课时目标1．理解数列及其有关概念；2．理解数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的任意一项；3．对于比较简单的数列，会根据其前n项写出它的通项公式．1．按照一定顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项．数列中的每一项都和它的序号有关，排在第一位的数称为这个数列的第1项(通常也叫做首项)，排在第二位的数称为这个数列的第2项，…，排在第n 位的数称为这个数列的第n 项．2．数列的一般形式可以写成a 1，a 2，…，a n ，…，简记为{a n }．3．项数有限的数列称有穷数列，项数无限的数列叫做无穷数列．4．如果数列{a n }的第n 项与序号n 之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式．一、选择题1．数列2,3,4,5，…的一个通项公式为( )A ．a n ＝nB ．a n ＝n ＋1C ．a n ＝n ＋2D ．a n ＝2n答案 B2．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝1＋(－1)n ＋12，则该数列的前4项依次为( ) A ．1,0,1,0 B ．0,1,0,1C.12，0，12，0 D ．2,0,2,0 答案 A3．若数列的前4项为1,0,1,0，则这个数列的通项公式不可能是( )A ．a n ＝12[1＋(－1)n －1] B ．a n ＝12[1－cos(n ·180°)] C ．a n ＝sin 2(n ·90°)D ．a n ＝(n －1)(n －2)＋12[1＋(－1)n －1] 答案 D解析 令n ＝1,2,3,4代入验证即可．4．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝n 2－n －50，则－8是该数列的( )A ．第5项B ．第6项C ．第7项D ．非任何一项答案 C解析 n 2－n －50＝－8，得n ＝7或n ＝－6(舍去)．5．数列1,3,6,10，…的一个通项公式是( )A ．a n ＝n 2－n ＋1B ．a n ＝n (n －1)2C ．a n ＝n (n ＋1)2D ．a n ＝n 2＋1 答案 C解析 令n ＝1,2,3,4，代入A 、B 、C 、D 检验即可．排除A 、B 、D ，从而选C.6．设a n ＝1n ＋1＋1n ＋2＋1n ＋3＋…＋12n (n ∈N *)，那么a n ＋1－a n 等于( ) A.12n ＋1 B.12n ＋2C.12n ＋1＋12n ＋2D.12n ＋1－12n ＋2答案 D解析 ∵a n ＝1n ＋1＋1n ＋2＋1n ＋3＋…＋12n ∴a n ＋1＝1n ＋2＋1n ＋3＋…＋12n ＋12n ＋1＋12n ＋2， ∴a n ＋1－a n ＝12n ＋1＋12n ＋2－1n ＋1＝12n ＋1－12n ＋2. 二、填空题7．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧3n ＋1(n 为正奇数)4n －1(n 为正偶数).则它的前4项依次为____________．答案 4,7,10,158．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝1n (n ＋2)(n ∈N *)，那么1120是这个数列的第______项． 答案 10解析 ∵1n (n ＋2)＝1120， ∴n (n ＋2)＝10×12，∴n ＝10.9．用火柴棒按下图的方法搭三角形：按图示的规律搭下去，则所用火柴棒数a n 与所搭三角形的个数n 之间的关系式可以是______________．答案 a n ＝2n ＋1解析 a 1＝3，a 2＝3＋2＝5，a 3＝3＋2＋2＝7，a 4＝3＋2＋2＋2＝9，…，∴a n ＝2n ＋1.10．传说古希腊毕达哥拉斯(Pythagoras ，约公元前570年—公元前500年)学派的数学家经常在沙滩上研究数学问题，他们在沙滩上画点或用小石子来表示数．比如，他们将石子摆成如图所示的三角形状，就将其所对应石子个数称为三角形数，则第10个三角形数是______．答案 55解析 三角形数依次为：1,3,6,10,15，…，第10个三角形数为：1＋2＋3＋4＋…＋10＝55.三、解答题11．根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式：(1)－1,7，－13,19，…(2)0.8,0.88,0.888，…(3)12，14，－58，1316，－2932，6164，… (4)32，1，710，917，…(5)0,1,0,1，…解 (1)符号问题可通过(－1)n 或(－1)n ＋1表示，其各项的绝对值的排列规律为：后面的数的绝对值总比前面数的绝对值大6，故通项公式为a n ＝(－1)n (6n －5)(n ∈N *)．(2)数列变形为89(1－0.1)，89(1－0.01)， 89(1－0.001)，…，∴a n ＝89⎝⎛⎭⎫1－110n (n ∈N *)． (3)各项的分母分别为21,22,23,24，…易看出第2,3,4项的分子分别比分母少3.因此把第1项变为－2－32，因此原数列可化为－21－321，22－322，－23－323，24－324，…， ∴a n ＝(－1)n ·2n －32n (n ∈N *)． (4)将数列统一为32，55，710，917，…对于分子3,5,7,9，…，是序号的2倍加1，可得分子的通项公式为b n ＝2n ＋1，对于分母2,5,10,17，…联想到数列1,4,9,16…即数列{n 2}，可得分母的通项公式为c n ＝n 2＋1，∴可得它的一个通项公式为a n ＝2n ＋1n 2＋1(n ∈N *)． (5)a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧0 (n 为奇数)1 (n 为偶数)或a n ＝1＋(－1)n 2(n ∈N *) 或a n ＝1＋cos n π2(n ∈N *)． 12．已知数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫9n 2－9n ＋29n 2－1； (1)求这个数列的第10项；(2)98101是不是该数列中的项，为什么？ (3)求证：数列中的各项都在区间(0,1)内；(4)在区间⎝⎛⎭⎫13，23内有、无数列中的项？若有，有几项？若没有，说明理由．(1)解 设f (n )＝9n 2－9n ＋29n 2－1＝(3n －1)(3n －2)(3n －1)(3n ＋1)＝3n －23n ＋1. 令n ＝10，得第10项a 10＝f (10)＝2831. (2)解 令3n －23n ＋1＝98101，得9n ＝300. 此方程无正整数解，所以98101不是该数列中的项． (3)证明 ∵a n ＝3n －23n ＋1＝3n ＋1－33n ＋1＝1－33n ＋1， 又n ∈N *，∴0<33n ＋1<1，∴0<a n <1. ∴数列中的各项都在区间(0,1)内．(4)解 令13<a n ＝3n －23n ＋1<23，则⎩⎪⎨⎪⎧3n ＋1<9n －69n －6<6n ＋2，即⎩⎨⎧ n >76n <83.∴76<n <83. 又∵n ∈N *，∴当且仅当n ＝2时，上式成立，故区间⎝⎛⎭⎫13，23上有数列中的项，且只有一项为a 2＝47. 能力提升13．数列a ，b ，a ，b ，…的一个通项公式是______________________．答案 a n ＝a ＋b 2＋(－1)n ＋1⎝⎛⎭⎫a －b 2解析 a ＝a ＋b 2＋a －b 2，b ＝a ＋b 2－a －b 2， 故a n ＝a ＋b 2＋(－1)n ＋1⎝⎛⎭⎫a －b 2.14．根据下列5个图形及相应点的个数的变化规律，试猜测第n 个图中有多少个点．解 图(1)只有1个点，无分支；图(2)除中间1个点外，有两个分支，每个分支有1个点；图(3)除中间1个点外，有三个分支，每个分支有2个点；图(4)除中间1个点外，有四个分支，每个分支有3个点；…；猜测第n 个图中除中间一个点外，有n 个分支，每个分支有(n －1)个点，故第n 个图中点的个数为1＋n (n －1)＝n 2－n ＋1.1．与集合中元素的性质相比较，数列中的项也有三个性质：(1)确定性：一个数在不在数列中，即一个数是不是数列中的项是确定的．(2)可重复性：数列中的数可以重复．(3)有序性：一个数列不仅与构成数列的“数”有关，而且与这些数的排列次序也有关．2．并非所有的数列都能写出它的通项公式．例如，π的不同近似值，依据精确的程度可形成一个数列3,3.1,3.14,3.141，…，它没有通项公式．3．如果一个数列有通项公式，则它的通项公式可以有多种形式．例如：数列－1,1，－1,1，－1,1，…的通项公式可写成a n ＝(－1)n ，也可以写成a n ＝(－1)n ＋2，还可以写成a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－1 (n ＝2k －1)，1 (n ＝2k )，其中k ∈N *.。

第二章 2.5 第3课时 数列的通项公式[课时作业][A 组 基础巩固]1．设数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋3，则数列{a n }的通项公式为( )A ．a n ＝3nB ．a n ＝3n ＋1C ．a n ＝3n －1D ．a n ＝3n －12．数列{a n }中，若a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋3(n ≥1)，则该数列的通项a n ＝________.( )A ．2n ＋1－3B ．2n －3C ．2n ＋3D ．2n －1－33．设数列{a n }满足a 1＋2a 2＋22a 3＋…＋2n －1a n ＝n 2(n ∈N *)，则通项公式是( ) A ．a n ＝12n B ．a n ＝12n －1 C ．a n ＝12n D ．a n ＝12n ＋14．已知数列{a n }满足a 1＝1，且a n ＝13a n －1＋⎝⎛⎭⎫13n (n ≥2，且n ∈N *)，则数列{a n }的通项公式为( ) A ．a n ＝3nn ＋2B ．a n ＝n ＋23nC ．a n ＝n ＋2D ．a n ＝(n ＋2)3n5．若数列{a n }的前n 项和为S n ，且a n ＝2S n －3，则{a n }的通项公式是________．6．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝a n ＋2n －1(n ∈N *)，则a n ＝________.7．在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＝3a n －1＋2(n ≥2，n ∈N *)，则通项a n ＝________.8．已知数列{a n }满足a 1＝2，(n ＋1)a n ＝(n －1)a n －1(n ≥2，n ∈N *)，则a 3a 1＝________，数列{a n }的通项公式为________．9．已知数列{a n }满足：S n ＝1－a n (n ∈N *)，其中S n 为数列{a n }的前n 项和，求{a n }的通项公式．10．已知数列{a n }满足a 1＝23，a n ＋1＝n n ＋1·a n，求a n .[B 组 能力提升]1．已知数列{a n }满足a 1＝12，a 1＋a 2＋…＋a n ＝n 2a n ，则a n 为( ) A ．a n ＝1n (n ＋1)B ．a n ＝1n (n －1)C ．a n ＝n n ＋1D ．a n ＝n －1n ＋12．已知{a n }是首项为1的正项数列，且(n ＋1)a 2n ＋1－na 2n ＋a n a n ＋1＝0，则{a n }的通项公式为a n ＝( ) A.1nB ．(n n ＋1)n －1 C.1n ＋1D ．(n n ＋1)n3．对于数列{a n }，满足a 1＝1，a n ＋1＝a n ＋1n ＋1＋n，则a n ＝________. 4．设数列{a n }满足a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n ＝n (n ＋1)(n ＋2)(n ∈N *)，则通项a n ＝________.5．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋1.(1)证明数列{a n ＋1}是等比数列；(2)求数列{a n }的通项公式．6．数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，S n ＋1＝4a n ＋2(n ∈N *)．(1)设b n ＝a n ＋1－2a n ，求证：{b n }是等比数列； (2)设c n ＝a n 3n －1，求证：{c n }是等比数列．第二章 2.5 第3课时 数列的通项公式[课时作业]解析[A 组 基础巩固]1．设数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋3，则数列{a n }的通项公式为( )A ．a n ＝3nB ．a n ＝3n ＋1C ．a n ＝3n －1D ．a n ＝3n －1 答案：C2．数列{a n }中，若a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋3(n ≥1)，则该数列的通项a n ＝________.( )A ．2n ＋1－3B ．2n －3C ．2n ＋3D ．2n －1－3 解析：a n ＋1＋3＝2(a n ＋3)，∴此数列是以a 1＋3为首项，2为公比的等比数列，a n ＋3＝(1＋3)×2n －1，即a n＝2n ＋1－3. 答案：A3．设数列{a n }满足a 1＋2a 2＋22a 3＋…＋2n －1a n ＝n 2(n ∈N *)，则通项公式是( ) A ．a n ＝12nB ．a n ＝12n －1C ．a n ＝12nD ．a n ＝12n ＋1 解析：设|2n －1·a n |的前n 项和为T n ，∵数列{a n }满足a 1＋2a 2＋22a 3＋…＋2n －1a n ＝n 2(n ∈N *)，∴T n ＝n 2，∴2n －1a n ＝T n －T n －1＝n 2－n －12＝12， ∴a n ＝122n －1＝12n ，经验证，n ＝1时也成立， 故a n ＝12n .故选C. 答案：C4．已知数列{a n }满足a 1＝1，且a n ＝13a n －1＋⎝⎛⎭⎫13n (n ≥2，且n ∈N *)，则数列{a n }的通项公式为( ) A ．a n ＝3nn ＋2B ．a n ＝n ＋23nC ．a n ＝n ＋2D ．a n ＝(n ＋2)3n解析：a n ＝13a n －1＋⎝⎛⎭⎫13n (n ≥2，且n ∈N *)⇔a n ⎝⎛⎭⎫13n ＝a n －1⎝⎛⎭⎫13n －1＋1， 即b n ＝a n ⎝⎛⎭⎫13n ，则数列{b n }为首项b 1＝a 113＝3a 1＝3，公差为1的等差数列， 所以b n ＝3＋(n －1)×1＝n ＋2，所以a n ＝n ＋23n .答案：B5．若数列{a n }的前n 项和为S n ，且a n ＝2S n －3，则{a n }的通项公式是________． 解析：由a n ＝2S n －3得a n －1＝2S n －1－3(n ≥2)，两式相减得a n －a n －1＝2a n (n ≥2)，∴a n ＝－a n －1(n ≥2)，a n a n －1＝－1(n ≥2)． 故{a n }是公比为－1的等比数列，令n ＝1得a 1＝2a 1－3，∴a 1＝3，故a n ＝3·(－1)n －1. 答案：a n ＝3·(－1)n －1 6．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝a n ＋2n －1(n ∈N *)，则a n ＝________.解析：∵a 1＝1，a n ＋1＝a n ＋2n －1(n ∈N *)，∴a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1＝(2n －3)＋(2n－5)＋…＋1＋1＝(n －1)(2n －3＋1)2＋1＝n 2－2n ＋2. 答案：n 2－2n ＋27．在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＝3a n －1＋2(n ≥2，n ∈N *)，则通项a n ＝________.解析：由a n ＝3a n －1＋2，得a n ＋1＝3(a n －1＋1)(n ≥2)．∵a 1＝2，∴a 1＋1＝3≠0，∴数列{a n ＋1}是以3为首项，3为公比的等比数列，∴a n ＋1＝3·3n －1＝3n ，即a n ＝3n －1. 答案： 3n －18．已知数列{a n }满足a 1＝2，(n ＋1)a n ＝(n －1)a n －1(n ≥2，n ∈N *)，则a 3a 1＝________，数列{a n }的通项公式为________．解析：当n ≥2时，由(n ＋1)a n ＝(n －1)a n －1得a n a n －1＝n －1n ＋1， 故a 3a 1＝a 2a 1·a 3a 2＝13×24＝16. a n ＝a 2a 1·a 3a 2·a 4a 3·…·a n －1a n －2·a n a n －1·a 1＝13×24×35×…×n －2n ×n －1n ＋1×2＝1×2n (n ＋1)×2＝4n (n ＋1).又a 1＝2满足上式，故a n ＝4n (n ＋1)(n ∈N *) 答案：16 a n ＝4n (n ＋1)(n ∈N *) 9．已知数列{a n }满足：S n ＝1－a n (n ∈N *)，其中S n 为数列{a n }的前n 项和，求{a n }的通项公式． 解析：∵S n ＝1－a n ，①∴S n ＋1＝1－a n ＋1，②②－①得a n ＋1＝－a n ＋1＋a n ，∴a n ＋1＝12a n ，(n ∈N *) 又n ＝1时，a 1＝1－a 1，∴a 1＝12.∴a n ＝12·(12)n －1＝(12)n (n ∈N *)．10．已知数列{a n }满足a 1＝23，a n ＋1＝nn ＋1·a n ，求a n .解析：由题意知a n ≠0，因为a n ＋1＝nn ＋1·a n ，所以a n ＋1a n ＝nn ＋1， 故a n ＝a na n －1·a n －1a n －2·…·a 2a 1·a 1＝n －1n ·n－2n －1·…·12·23＝23n .[B 组 能力提升]1．已知数列{a n }满足a 1＝12，a 1＋a 2＋…＋a n ＝n 2a n ，则a n 为( )A ．a n ＝1n (n ＋1) B ．a n ＝1n (n －1)C ．a n ＝nn ＋1 D ．a n ＝n －1n ＋1解析：∵a 1＋a 2＋…＋a n ＝n 2a n ，①∴a 1＋a 2＋…＋a n －1＝ (n －1)2a n －1(n ≥2，n ∈N *)，②①－②得a n ＝n 2a n －(n －1)2a n －1.即a n a n －1＝n －1n ＋1(n ≥2，n ∈N *)．∴a 2a 1·a 3a 2·a 4a 3·…·a n a n －1＝13×24×35×46×…×n －2n ×n －1n ＋1.即a na 1＝2n (n ＋1)，又a 1＝12，∴a n ＝1n (n ＋1)， 当n ＝1时，a 1＝11×(1＋1)＝12成立，∴a n ＝1n (n ＋1)(n ∈N *)．答案：A2．已知{a n }是首项为1的正项数列，且(n ＋1)a 2n ＋1－na 2n ＋a n a n ＋1＝0，则{a n }的通项公式为a n ＝() A.1n B ．(n n ＋1)n －1C.1n ＋1 D ．(n n ＋1)n解析：∵(n ＋1)a 2n ＋1－na 2n ＋a n a n ＋1＝0.∴(a n ＋1＋a n )·[(n ＋1)a n ＋1－na n ]＝0.∵a n >0，∴a n ＋1＋a n >0.∴a n ＋1a n ＝n n ＋1，即a n ＋1＝nn ＋1a n .∴a n ＝n －1n a n －1＝n －1n ·n －2n －1a n －2＝…＝n －1n ·n －2n －1·n －3n －2·…·23·12·a 1＝1n(n ≥2)． 当n ＝1时，a 1＝1n 也成立，∴a n ＝1n. 答案：A3．对于数列{a n }，满足a 1＝1，a n ＋1＝a n ＋1n ＋1＋n，则a n ＝________. 解析：∵a n ＋1－a n ＝n ＋1－n ，∴(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1)＝(2－1)＋(3－2)＋…＋(n －n －1)，即a n ＝n (n ≥2)，将n ＝1代入也成立，∴a n ＝n .答案：n4．设数列{a n }满足a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n ＝n (n ＋1)(n ＋2)(n ∈N *)，则通项a n ＝________. 解析：数列{na n }的前n 项和为a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n ＝n (n ＋1)(n ＋2)．① 其前n －1项和为a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋(n －1)a n －1＝(n －1)n (n ＋1)．②①－②，得na n ＝n (n ＋1)[(n ＋2)－(n －1)]＝3n (n ＋1)，即a n ＝3n ＋3.当n ＝1时也满足上式．故a n ＝3n ＋3.答案：3n ＋35．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋1.(1)证明数列{a n ＋1}是等比数列；(2)求数列{a n }的通项公式．解析：(1)证明：法一：因为a n ＋1＝2a n ＋1，所以a n ＋1＋1＝2(a n ＋1)．由a 1＝1，知a 1＋1≠0，从而a n ＋1≠0. 所以a n ＋1＋1a n ＋1＝2(n ∈N *)． 所以数列{a n ＋1}是等比数列．法二：由a 1＝1，知a 1＋1≠0，从而a n ＋1≠0. ∵a n ＋1＋1a n ＋1＝2a n ＋1＋1a n ＋1＝2(a n ＋1)a n ＋1＝2(n ∈N *)， ∴{a n ＋1}是等比数列．(2)由(1)可知a n ＋1＝2×2n －1＝2n ，∴a n ＝2n －1. 6．数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，S n ＋1＝4a n ＋2(n ∈N *)．(1)设b n ＝a n ＋1－2a n ，求证：{b n }是等比数列； (2)设c n ＝a n 3n －1，求证：{c n }是等比数列． 证明：(1)由S n ＋1＝4a n ＋2得S n ＝4a n －1＋2，a n ＋1＝S n ＋1－S n ＝(4a n ＋2)－(4a n －1＋2)＝4a n －4a n －1(n ≥2)， 即a n ＋1－2a n ＝2(a n －2a n －1)，∴b n＝2b n－1(n≥2，n∈N*)，又b1＝a2－2a1＝3，∴{b n}是以3为首项，2为公比的等比数列．(2)由(1)知a n＋1－2a n＝b n＝3·2n－1，于是有a n－21a n－1＝3·2n－2，21a n－1－22a n－2＝3·2n－2，22a n－2－23a n－3＝3·2n－2，…2n－2a2－2n－1a1＝3·2n－2.将以上n－1个等式叠加得a n－2n－1a1＝(n－1)·3·2n－2，∴a n＝3(n－1)2n－2＋2n－1a1＝(3n－1)·2n－2(n≥2，n∈N*)，又n＝1时也满足此式，∴c n＝a n3n－1＝2n－2，∴{c n}是等比数列，公比是2.。

§2.2等差数列(二)课时目标1．进一步熟练掌握等差数列的通项公式．2．熟练运用等差数列的常用性质．1．等差数列的通项公式a n ＝a 1＋(n －1)d ，当d ＝0时，a n 是关于n 的常函数；当d ≠0时，a n 是关于n 的一次函数；点(n ，a n )分布在以d 为斜率的直线上，是这条直线上的一列孤立的点．2．已知在公差为d 的等差数列{a n }中的第m 项a m 和第n 项a n (m ≠n )，则a m －a n m －n＝d . 3．对于任意的正整数m 、n 、p 、q ，若m ＋n ＝p ＋q .则在等差数列{a n }中，a m ＋a n 与 a p ＋a q 之间的关系为a m ＋a n ＝a p ＋a q .一、选择题 1．在等差数列{a n }中，若a 2＋a 4＋a 6＋a 8＋a 10＝80，则a 7－12a 8的值为( ) A ．4 B ．6C ．8D ．10答案 C解析 由a 2＋a 4＋a 6＋a 8＋a 10＝5a 6＝80，∴a 6＝16，∴a 7－12a 8＝12(2a 7－a 8) ＝12(a 6＋a 8－a 8)＝12a 6＝8. 2．已知数列{a n }为等差数列且a 1＋a 7＋a 13＝4π，则tan(a 2＋a 12)的值为( )A. 3 B ．±3C ．－33D ．－ 3 答案 D解析 由等差数列的性质得a 1＋a 7＋a 13＝3a 7＝4π，∴a 7＝4π3. ∴tan(a 2＋a 12)＝tan(2a 7)＝tan 8π3＝tan 2π3＝－ 3. 3．已知等差数列{a n }的公差为d (d ≠0)，且a 3＋a 6＋a 10＋a 13＝32，若a m ＝8，则m 为( )A ．12B ．8C ．6D ．4答案 B解析 由等差数列性质a 3＋a 6＋a 10＋a 13＝(a 3＋a 13)＋(a 6＋a 10)＝2a 8＋2a 8＝4a 8＝32， ∴a 8＝8，又d ≠0，∴m ＝8.4．如果等差数列{a n }中，a 3＋a 4＋a 5＝12，那么a 1＋a 2＋…＋a 7等于( )A ．14B ．21C ．28D ．35答案 C解析 ∵a 3＋a 4＋a 5＝3a 4＝12，∴a 4＝4.∴a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 7＝(a 1＋a 7)＋(a 2＋a 6)＋(a 3＋a 5)＋a 4＝7a 4＝28.5．设公差为－2的等差数列{a n }，如果a 1＋a 4＋a 7＋…＋a 97＝50，那么a 3＋a 6＋a 9＋…＋a 99等于( )A ．－182B ．－78C ．－148D ．－82答案 D解析 a 3＋a 6＋a 9＋…＋a 99＝(a 1＋2d )＋(a 4＋2d )＋(a 7＋2d )＋…＋(a 97＋2d )＝(a 1＋a 4＋…＋a 97)＋2d ×33＝50＋2×(－2)×33＝－82.6．若数列{a n }为等差数列，a p ＝q ，a q ＝p (p ≠q )，则a p ＋q 为( )A ．p ＋qB ．0C ．－(p ＋q ) D.p ＋q 2答案 B解析 ∵d ＝a p －a q p －q ＝q －p p －q＝－1， ∴a p ＋q ＝a p ＋qd ＝q ＋q ×(－1)＝0.二、填空题7．若{a n }是等差数列，a 15＝8，a 60＝20，则a 75＝________.答案 24解析 ∵a 60＝a 15＋45d ，∴d ＝415， ∴a 75＝a 60＋15d ＝20＋4＝24.8．已知{a n }为等差数列，a 1＋a 3＋a 5＝105，a 2＋a 4＋a 6＝99，则a 20＝________. 答案 1解析 ∵a 1＋a 3＋a 5＝105，∴3a 3＝105，a 3＝35.∴a 2＋a 4＋a 6＝3a 4＝99.∴a 4＝33，∴d ＝a 4－a 3＝－2.∴a 20＝a 4＋16d ＝33＋16×(－2)＝1.9．已知⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是等差数列，且a 4＝6，a 6＝4，则a 10＝______. 答案 125解析 1a 6－1a 4＝14－16＝2d ，即d ＝124. 所以1a 10＝1a 6＋4d ＝14＋16＝512，所以a 10＝125. 10．已知方程(x 2－2x ＋m )(x 2－2x ＋n )＝0的四个根组成一个首项为14的等差数列，则 |m －n |＝________.答案 12解析 由题意设这4个根为14，14＋d ，14＋2d ，14＋3d . 则14＋⎝⎛⎭⎫14＋3d ＝2，∴d ＝12，∴这4个根依次为14，34，54，74， ∴n ＝14×74＝716， m ＝34×54＝1516或n ＝1516，m ＝716， ∴|m －n |＝12. 三、解答题11．等差数列{a n }的公差d ≠0，试比较a 4a 9与a 6a 7的大小．解 设a n ＝a 1＋(n －1)d ，则a 4a 9－a 6a 7＝(a 1＋3d )(a 1＋8d )－(a 1＋5d )(a 1＋6d )＝(a 21＋11a 1d ＋24d 2)－(a 21＋11a 1d ＋30d 2) ＝－6d 2<0，所以a 4a 9<a 6a 7.12．已知等差数列{a n }中，a 1＋a 4＋a 7＝15，a 2a 4a 6＝45，求此数列的通项公式． 解 ∵a 1＋a 7＝2a 4，a 1＋a 4＋a 7＝3a 4＝15，∴a 4＝5.又∵a 2a 4a 6＝45，∴a 2a 6＝9，即(a 4－2d )(a 4＋2d )＝9，(5－2d )(5＋2d )＝9，解得d ＝±2.若d ＝2，a n ＝a 4＋(n －4)d ＝2n －3；若d ＝－2，a n ＝a 4＋(n －4)d ＝13－2n .能力提升13．在3与27之间插入7个数，使这9个数成等差数列，则插入这7个数中的第4个数值为( )A ．18B ．9C ．12D ．15答案 D解析 设这7个数分别为a 1，a 2，…，a 7，公差为d ，则27＝3＋8d ，d ＝3.故a 4＝3＋4×3＝15.14．已知两个等差数列{a n }：5,8,11，…，{b n }：3,7,11，…，都有100项，试问它们有多少个共同的项？解 在数列{a n }中，a 1＝5，公差d 1＝8－5＝3.∴a n ＝a 1＋(n －1)d 1＝3n ＋2.在数列{b n }中，b 1＝3，公差d 2＝7－3＝4，∴b n ＝b 1＋(n －1)d 2＝4n －1.令a n ＝b m ，则3n ＋2＝4m －1，∴n ＝4m 3－1. ∵m 、n ∈N *，∴m ＝3k (k ∈N *)，又⎩⎪⎨⎪⎧0<m ≤1000<n ≤100，解得0<m ≤75. ∴0<3k ≤75，∴0<k ≤25，∴k ＝1,2,3，…，25∴两个数列共有25个公共项．。

新课程标准数学必修5第二章课后习题解答第二章 数列2．1数列的概念与简单表示法 练习（P31） 1、2、前5项分别是：1,0,1,0,1--.3、例1（1）1(2,)1(21,)n n m m N na n m m N n⎧-=∈⎪⎪=⎨⎪=-∈⎪⎩**； （2）2(2,)0(21,)n n m m N a n m m N ⎧=∈⎪=⎨=-∈⎪⎩**说明：此题是通项公式不唯一的题目，鼓励学生说出各种可能的表达形式，并举出其他可能的通项公式表达形式不唯一的例子.4、（1）1()21n a n Z n +=∈-； （2）(1)()2n n a n Z n +-=∈； （3）121()2n n a n Z +-=∈ 习题2.1 A 组（P33） 1、（1）2,3,5,7,11,13,17,19；（2） （3）1,1.7,1.73,1.732,…1.732050； 2,1.8,1.74,1.733,…,1.732051.2、（1）11111,,,,491625； （2）2,5,10,17,26--.3、（1）（1），4-，9，（16-），25，（36-），49； 12(1)n n a n +=-； （2）1，（，2；n a =4、（1）1,3,13,53,2132； （2）141,5,,,5454--.5、对应的答案分别是：（1）16,21；54n a n =-；（2）10,13；32n a n =-；（3）24,35；22n a n n =+.6、15,21,28； 1n n a a n -=+. 习题2.1 B 组（P34）1、前5项是1,9,73,585,4681.该数列的递推公式是：1118,1n n a a a +=+=.通项公式是：817n n a -=.2、110(10.72)10.072a =⨯+=﹪； 2210(10.72)10.144518a =⨯+=﹪；3310(10.72)10.217559a =⨯+=﹪； 10(10.72n n a =⨯+﹪.3、（1）1,2,3,5,8； （2）358132,,,,2358.2．2等差数列 练习（P39）1、表格第一行依次应填：0.5，15.5，3.75；表格第二行依次应填：15，11-，24-.2、152(1)213n a n n =+-=+，1033a =.3、4n c n =4、（1）是，首项是11m a a md +=+，公差不变，仍为d ；（2）是，首项是1a ，公差2d ；（3）仍然是等差数列；首项是716a a d =+；公差为7d . 5、（1）因为5375a a a a -=-，所以5372a a a =+. 同理有5192a a a =+也成立； （2）112(1)n n n a a a n -+=+>成立；2(0)n n k n k a a a n k -+=+>>也成立. 习题2.2 A 组（P40）1、（1）29n a =； （2）10n =； （3）3d =； （4）110a =.2、略.3、60︒.4、2℃；11-℃；37-℃.5、（1）9.8s t =； （2）588 cm ，5 s. 习题2.2 B 组（P40）1、（1）从表中的数据看，基本上是一个等差数列，公差约为2000，52010200280.2610a a d =+=⨯ 再加上原有的沙化面积5910⨯，答案为59.2610⨯；（2）2021年底，沙化面积开始小于52810 hm ⨯. 2、略. 2．3等差数列的前n 项和 练习（P45） 1、（1）88-； （2）604.5.2、59,11265,112n n a n n ⎧=⎪⎪=⎨+⎪>⎪⎩ 3、元素个数是30，元素和为900.习题2.3 A 组（P46）1、（1）(1)n n +； （2）2n ； （3）180个，和为98550； （4）900个，和为494550.2、（1）将120,54,999n n a a S ===代入1()2n n n a a S +=，并解得27n =； 将120,54,27n a a n ===代入1(1)n a a n d =+-，并解得1713d =.（2）将1,37,6293n d n S ===代入1(1)n a a n d =+-，1()2n n n a a S +=，得111237()6292n n a a a a =+⎧⎪⎨+=⎪⎩；解这个方程组，得111,23n a a ==.（3）将151,,566n a d S ==-=-代入1(1)2n n n S na d -=+，并解得15n =；将151,,1566a d n ==-=代入1(1)n a a n d =+-，得32n a =-.（4）将2,15,10n d n a ===-代入1(1)n a a n d =+-，并解得138a =-；将138,10,15n a a n =-=-=代入1()2n n n a a S +=，得360n S =-. 3、44.5510⨯m. 4、4.5、这些数的通项公式：7(1)2n -+，项数是14，和为665.6、1472.习题2.3 B 组（P46）1、每个月的维修费实际上是呈等差数列的. 代入等差数列前n 项和公式，求出5年内的总共的维修费，即再加上购买费，除以天数即可. 答案：292元.2、本题的解法有很多，可以直接代入公式化简，但是这种比较繁琐. 现提供2个证明方法供参考. （1）由 61615S a d =+，1211266S a d =+，18118153S a d =+ 可得61812126()2()S S S S S +-=-. （2）1261212126()()S S a a a a a a -=+++-+++7812a a a =+++ 126(6)(6)(6)a d a d a d =++++++ 126()36a a a d=++++ 636S d =+同样可得：1812672S S S d -=+，因此61812126()2()S S S S S +-=-.3、（1）首先求出最后一辆车出发的时间4时20分；所以到下午6时，最后一辆车行驶了1小时40分.（2）先求出15辆车总共的行驶时间，第一辆车共行驶4小时，以后车辆行驶时间依次递减，最后一辆行驶1小时40分. 各辆车的行驶时间呈等差数列分布，代入前n 项和公式，这个车队所有车的行驶时间为2418531522S +=⨯= h. 乘以车速60 km/h ，得行驶总路程为2550 km. 4、数列1(1)n n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的通项公式为111(1)1na n n n n ==-++ 所以111111111()()()()1122334111n nS n n n n =-+-+-++-=-=+++ 类似地，我们可以求出通项公式为1111()()n a n n k k n n k==-++的数列的前n 项和. 2．4等比数列练习（P52） 1、2、由题意可知，每一轮被感染的计算机台数构成一个首项为180a =，公比为20q =的等比数列，则第5轮被感染的计算机台数5a 为 447518020 1.2810a a q ==⨯=⨯.3、（1）将数列{}n a 中的前k 项去掉，剩余的数列为12,,k k a a ++. 令,1,2,k i b a i +==，则数列12,,k k a a ++可视为12,,b b .因为11(1)i k i i k ib a q i b a ++++==≥，所以，{}n b 是等比数列，即12,,k k a a ++是等比数列.（2）{}n a 中的所有奇数列是135,,,a a a ，则235211321(1)k k a a a q k a a a +-=====≥.所以，数列135,,,a a a 是以1a 为首项，2q 为公比的等比数列.（3）{}n a 中每隔10项取出一项组成的数列是11223,,,a a a ，则1112231111121110(1)k k a a a q k a a a +-=====≥所以，数列11223,,,a a a 是以1a 为首项，11q 为公比的等比数列.猜想：在数列{}n a 中每隔m （m 是一个正整数）取出一项，组成一个新的数列，这个数列是以1a 为首项，1m q +为公比的等比数列.4、（1）设{}n a 的公比为q ，则24228511()a a q a q ==，而262837111a a a q a q a q ⋅=⋅= 所以2537a a a =⋅，同理2519a a a =⋅ （2）用上面的方法不难证明211(1)nn n a a a n -+=⋅>. 由此得出，n a 是1n a -和1n a +的等比中项. 同理：可证明，2(0)nn k n k a a a n k -+=⋅>>. 由此得出，n a 是n k a -和n k a +的等比中项(0)n k >>. 5、（1）设n 年后这辆车的价值为n a ，则13.5(110)n n a =-﹪. （2）4413.5(110)88573a =-≈﹪（元）. 用满4年后卖掉这辆车，能得到约88573元.习题2.4 A 组（P53）1、（1）可由341a a q =，得11a =-，6671(1)(3)729a a q ==-⨯-=-. 也可由671a a q =，341a a q =，得337427(3)729a a q ==⨯-=-（2）由131188a q a q =⎧⎪⎨=⎪⎩，解得12723a q =⎧⎪⎨=⎪⎩，或12723a q =-⎧⎪⎨=-⎪⎩（3）由416146a q a q ⎧=⎪⎨=⎪⎩，解得232q =，862291173692a a q a q q a q ==⋅==⨯= 还可由579,,a a a 也成等比数列，即2759a a a =，得22795694a a a ===.（4）由411311156a q a a q a q ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩①②①的两边分别除以②的两边，得2152q q +=，由此解得12q =或2q =. 当12q =时，116a =-. 此时2314a a q ==-. 当2q =时，11a =. 此时2314a a q ==. 2、设n 年后，需退耕n a ，则{}n a 是一个等比数列，其中18(110),0.1a q =+=﹪.那么2005年需退耕5551(1)8(110)13a a q =+=+≈﹪（万公顷） 3、若{}n a 是各项均为正数的等比数列，则首项1a 和公比q 都是正数. 由11n n a a q-=11(1)22)n n qq --===.那么数列{}n a为首项，12q 为公比的等比数列.4、这张报纸的厚度为0.05 mm ，对折一次后厚度为0.05×2 mm ，再对折后厚度为0.05×22 mm ，再对折后厚度为0.05×32 mm. 设00.05a =，对折n 次后报纸的厚度为n a ，则{}n a 是一个等比数列，公比2q =. 对折50次后，报纸的厚度为50505013100.0525.6310 m m 5.6310 m a a q ==⨯≈⨯=⨯ 这时报纸的厚度已经超出了地球和月球的平均距离（约83.8410 m ⨯），所以能够在地球和月球之间建一座桥.5、设年平均增长率为1,105q a =，n 年后空气质量为良的天数为n a ，则{}n a 是一个等比数列.由3240a =，得2231(1)105(1)240a a q q =+=+=，解得10.51q =≈ 6、由已知条件知，,2a bA G +==，且02a b A G +-=所以有A G ≥，等号成立的条件是a b =. 而,a b 是互异正数，所以一定有A G >.7、（1）2±； （2）22()ab a b ±+. 8、（1）27，81； （2）80，40，20，10. 习题2.4 B 组（P54）1、证明：由等比数列通项公式，得11m m a a q -=，11n n a a q -=，其中1,0a q ≠所以 1111m m n m n n a a q q a a q---== 2、（1）设生物体死亡时，体内每克组织中的碳14的原子核数为1个单位，年衰变率为q ，n 年后的残留量为n a ，则{}n a 是一个等比数列. 由碳14的半衰期为5730则 57305730112n a a qq===，解得157301()0.9998792q =≈ （2）设动物约在距今n 年前死亡，由0.6n a =，得10.9998790.6n n a a q ===. 解得 4221n ≈，所以动物约在距今42213、在等差数列1，2，3，…中，有7108917a a a a +==+，1040203050a a a a +==+ 由此可以猜想，在等差数列{}n a 中若*(,,,)k s p q k s p q N +=+∈，则k s p q a a a a +=+. 从等差数列与函数之间的联系的角度来分析这个问题：由等差数列{}n a 的图象，可以看出k p a k a p =，s q a sa q=根据等式的性质，有k s p q a a k sa a p q++=++，所以k s p q a a a a +=+. 猜想对于等比数列{}n a ，类似的性质为：若*(,,,)k s p q k s p q N +=+∈，则k s p q a a a a ⋅=⋅. 2．5等比数列的前n 项和 练习（P58） 1、（1）6616(1)3(12)189112a q S q --===--. （2）1112.7()9190311451()3n n a a q S q----===----. 2、设这个等比数列的公比为q（第3题）所以 101256710()()S a a a a a a =+++++++555S q S =+55(1)q S =+50=同理 1015105S S q S =+.因为 510S =，所以由①得 5101051416S q q S =-=⇒= 代入②，得1015105501610210S S q S =+=+⨯=.3、该市近10年每年的国内生产总值构成一个等比数列，首项12000a =，公比 1.1q =设近10年的国内生产总值是10S ，则10102000(1 1.1)31874.81 1.1S -=≈-（亿元）习题2.5 A 组（P61）1、（1）由34164641a q a ===--，解得4q =-，所以144164(4)5111(4)a a q S q ---⨯-===---. （2）因为2131233(1)S a a a a q q --=++=++，所以2113q q --++=，即2210q q --=解这个方程，得1q =或12q =-. 当1q =时，132a =；当12q =-时，16a =.2、这5年的产值是一个以1138 1.1151.8a =⨯=为首项， 1.1q =为公比的等比数列所以5515(1)151.8(1 1.1)926.75411 1.1a q S q -⨯-==≈--（万元） 3、（1）第1个正方形的面积为42cm ，第2个正方形的面积为22cm ，…，这是一个以14a =为首项，12q =为公比的等比数列所以第10个正方形的面积为99710114()22a a q -==⨯=（2cm ）（2）这10个正方形的面积和为77110101422821112a a qS q---⨯-===---（2cm ）4、（1）当1a =时，2(1)(1)(2)()12(1)2n n na a a n n --+-++-=-----=-当1a ≠时，22(1)(2)()()(12)n n a a a n a a a n -+-++-=+++-+++(1)(1)12n a a n n a -+=-- （2）1212(235)(435)(35)2(12)3(555)n n n n -------⨯+-⨯+-⨯=+++-+++11(1)5(15)323(1)(15)2154n nn n n n ----+-⨯-⨯=+--- （3）设21123n n S x x nx -=++++……①则 212(1)n n n xS x x n x nx -=+++-+……②①－②得，21(1)1n n n x S x x x nx --=++++-……③当1x =时，(1)1232n n n S n +=++++=；当1x ≠时，由③得，21(1)1n n n x nx S x x -=--- 5、（1）第10次着地时，经过的路程为91002(50251002)-++++⨯1291911002100(222)2(12)100200299.61 (m)12------=+⨯+++-=+⨯≈- （2）设第n 次着地时，经过的路程为293.75 m ，则1(1)12(1)12(12)1002100(222)100200293.7512n n ---------+⨯+++=+⨯=-所以130********.75n --⨯=，解得120.03125n -=，所以15n -=-，则6n = 6、证明：因为396,,S S S 成等差数列，所以公比1q ≠，且9362S S S =+即，936111(1)(1)(1)2111a q a q a q q q q---⨯=+--- 于是，9362q q q =+，即6321q q =+ 上式两边同乘以1a q ，得741112a q a q a q =+ 即，8252a a a =+，故285,,a a a 成等差数列 习题2.5 B 组（P62） 1、证明：11111()(1())1n n n n n n n n n b bb a b a a a b b a a b aa ab a+++---+++=+++==--2、证明：因为7714789141277()S S a a a q a a a q S -=+++=+++=141421141516211277()S S a a a q a a a q S -=+++=+++=所以71472114,,S S S --成等比数列3、（1）环保部门每年对废旧物资的回收量构成一个等比数列，首项为1100a =，公比为 1.2q =. 所以，2010年能回收的废旧物资为89100 1.2430a =⨯≈（t ）（2）从2002年到2010年底，能回收的废旧物资为9919(1)100(1 1.2)208011 1.2a q S q --==≈--（t ）可节约的土地为165048320⨯=（2m ） 4、（1）依教育储蓄的方式，应按照整存争取定期储蓄存款利率计息，免征利息税，且若每月固定存入a 元，连续存n 个月，计算利息的公式为()2a na n+⨯月利率.因为整存整取定期储蓄存款年利率为2.52﹪，月利率为0.21﹪故到期3年时一次可支取本息共(505036)360.2118001869.932+⨯⨯⨯+=﹪（元）若连续存6年，应按五年期整存整取定期储蓄存款利率计息，具体计算略. （2）略.（3）每月存50元，连续存3年按照“零存整取”的方式，年利率为1.89﹪，且需支付20﹪的利息税所以到期3年时一次可支取本息共1841.96元，比教育储蓄的方式少收益27.97元.（4）设每月应存入x 元，由教育储蓄的计算公式得36(36)0.2136100002x x x +⨯+=﹪解得267.39x ≈（元），即每月应存入267.39（元） （5）（6）（7）（8）略5、设每年应存入x 万元，则2004年初存入的钱到2010年底利和为7(12)x +﹪，2005年初存入的钱到2010年底利和为6(12)x +﹪，……，2010年初存入的钱到2010年底利和为(12)x +﹪. 根据题意，76(12)(12)(12)40x x x ++++++=﹪﹪﹪根据等比数列前n 项和公式，得7(12)(1 1.02)401 1.02x +-=-﹪，解得52498x ≈（元）故，每年大约应存入52498元第二章 复习参考题A 组（P67）1、（1）B ； （2）B ； （3）B ； （4）A .2、（1）212n n n a -=； （2）12(1)(21)1(2)n n n a n +--=+；（3）7(101)9n n a =-； （4）n a =n a =3、4、如果,,a b c 成等差数列，则5b =；如果,,a b c 成等比数列，则1b =，或1-.5、n a 按顺序输出的值为：12，36，108，324，972. 86093436sum =.6、81381.9(10.13)1396.3⨯+≈﹪（万） 7、从12月20日到次年的1月1日，共13天. 每天领取的奖品价值呈等差数列分布.110,100d a ==. 由1(1)2n n n S a n d -=+得：1313121001310208020002S ⨯=⨯+⨯=>. 所以第二种领奖方式获奖者受益更多.8、因为28374652a a a a a a a +=+=+=所以34567285450()2a a a a a a a +++++==+，则28180a a +=.9、容易得到101010,1012002n n na n S +==⨯=，得15n =.10、212212()()()n n n n S a a a a nd a nd a nd ++=+++=++++++2121()n a a a n nd S n d =++++⨯=+32122312(2)(2)(2)n n n nS a a a a n d a n d a n d ++=+++=++++++ 2121()22n a a a n n d S n d =++++⨯=+ 容易验证2132S S S =+. 所以，123,,S S S 也是等差数列，公差为2n d . 11、221(1)(1)4(1)221a f x x x x x =+=+-++=-- 223(1)(1)4(1)267a f x x x x x =-=---+=-+ 因为{}n a 是等差数列，所以123,,a a a 也是等差数列. 所以，2132a a a =+. 即，20286x x =-+. 解得1x =或3x =. 当1x =时，1232,0,2a a a =-==. 由此可求出24n a n =-. 当3x =时，1232,0,2a a a ===-. 由此可求出42n a n =-.第二章 复习参考题B 组（P68）1、（1）B ； （2）D .2、（1）不成等差数列. 可以从图象上解释. ,,a b c 成等差，则通项公式为y pn q =+的形式，且,,a b c 位于同一直线上，而111,,a b c 的通项公式却是1y pn q =+的形式，111,,a b c不可能在同一直线上，因此肯定不是等差数列.（2）成等比数列. 因为,,a b c 成等比，有2b ac =. 又由于,,a b c 非零，两边同时取倒数，则有21111b ac a c==⨯. 所以，111,,a b c也成等比数列.3、体积分数：60.033(125)0.126⨯+≈﹪，质量分数：60.05(125)0.191⨯+≈﹪.高中数学高中数学 4、设工作时间为n ，三种付费方式的前n 项和分别为,,n n n A B C . 第一种付费方式为常数列；第二种付费方式为首项是4，公差也为4的等差数列；第三种付费方式为首项是0.4，公比为2的等比数列. 则38n A n =，2(1)44222n n n B n n n -=+⨯=+， 0.4(12)0.4(21)12n n n C -==--. 下面考察,,n n n A B C 看出10n <时，380.4(21)n n >-.因此，当工作时间小于10天时，选用第一种付费方式.10n ≥时，,n n n n A C B C ≤≤因此，当工作时间大于10天时，选用第三种付费方式.5、第一星期选择A 种菜的人数为n ，即1a n =，选择B 种菜的人数为500a -.所以有以下关系式：2118030a a b =⨯+⨯﹪﹪3228030a a b =⨯+⨯﹪﹪……118030n n b a a b --=⨯+⨯﹪﹪500n n a b += 所以111502n n a a -=+，115003502n n n b a a -=-=- 如果1300a =，则2300a =，3300a =，…，10300a =6、解：由1223n n n a a a --=+得 1123()n n n n a a a a ---+=+以及1123(3)n n n n a a a a ----=--所以221213()37n n n n a a a a ---+=+=⨯，221213(1)(3)(1)13n n n n a a a a ----=--=-⨯.由以上两式得，11437(1)13n n n a --=⨯+-⨯ 所以，数列的通项公式是11137(1)134n n n a --⎡⎤=⨯+-⨯⎣⎦ 7、设这家牛奶厂每年应扣除x 万元消费基金2002年底剩余资金是1000(150)x +-﹪2003年底剩余资金是2[1000(150)](150)1000(150)(150)x x x x +-+-=+-+-﹪﹪﹪﹪ ……5年后达到资金 54321000(150)(150)(150)(150)(150)2000x x x x +-+-+-+-+=﹪﹪﹪﹪﹪ 解得 459x ≈（万元）。

第二章数列章末复习学习目标 1.整合知识结构，梳理知识网络，进一步巩固、深化所学知识.2.熟练掌握解决等差数列、等比数列问题的基本技能.3.依托等差数列、等比数列解决一般数列的常见通项、求和等问题．1．等差数列和等比数列的基本概念与公式等差数列等比数列定义如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示(q≠0)递推公式a n＋1－a n＝d a n＋1a n＝q中项由三个数x，A，y组成的等差数列可以看成最简单的等差数列．这时A叫做x与y的等差中项，并且A＝x＋y2如果在x与y中间插入一个数G，使x，G，y成等比数列，那么G叫做x与y的等比中项，且G＝±xy通项公式a n＝a1＋(n－1)d a n＝a1q n－1前n项和公式S n＝n a1＋a n2＝na1＋n n－12d当q≠1时，S n＝a11－q n1－q＝a1－a n q1－q，当q＝1时，S n＝na1性质a m，a n的关系a m－a n＝(m－n)da ma n＝q m－n m，n，s，t∈N＋，a m＋a n＝a s＋a t a m a n＝a s a t2.数列中的基本方法和思想(1)在求等差数列和等比数列的通项公式时，分别用到了叠加法和叠乘法； (2)在求等差数列和等比数列的前n 项和时，分别用到了倒序相加法和错位相减法． (3)等差数列和等比数列各自都涉及5个量，已知其中任意三个求其余两个，用到了方程思想． (4)在研究等差数列和等比数列单调性，等差数列前n 项和最值问题时，都用到了函数思想．题型一 方程思想求解数列问题例1 等差数列{a n }各项为正整数，a 1＝3，前n 项和为S n ，等比数列{b n }中，b 1＝1且b 2S 2＝64，{n a b }是公比为64的等比数列，求{a n }，{b n }的通项公式． 解 设{a n }的公差为d ，{b n }的公比为q ，则d 为正整数，a n ＝3＋(n －1)d ，b n ＝q n －1.依题意有()1116122642,664,n n n n a a d a a b q q b q b S q d ++--⎧====⎪⎨⎪=+=⎩①②由q (6＋d )＝64知q 为正有理数，又由q ＝62d知d 为6的因子1,2,3,6之一，解①②得d ＝2，q ＝8，故a n ＝2n ＋1，b n ＝8n －1.反思感悟 在等比数列和等差数列中，通项公式a n 和前n 项和公式S n 共涉及五个量：a 1，a n ，n ，q (d )，S n ，其中首项a 1和公比q (公差d )为基本量，“知三求二”是指将已知条件转换成关于a 1，a n ，n ，q (d )，S n 的方程组，通过方程的思想解出需要的量．跟踪训练1 记等差数列{a n }的前n 项和为S n ，设S 3＝12，且2a 1，a 2，a 3＋1成等比数列，求S n .解 设数列{a n }的公差为d ，依题设有⎩⎪⎨⎪⎧2a 1a 3＋1＝a 22，a 1＋a 2＋a 3＝12，即⎩⎪⎨⎪⎧ a 21＋2a 1d －d 2＋2a 1＝0，a 1＋d ＝4. 解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝8，d ＝－4.因此S n ＝12n (3n －1)或S n ＝2n (5－n )，n ∈N ＋.题型二 转化与化归思想求解数列问题 例2 在数列{a n }中，S n ＋1＝4a n ＋2，a 1＝1. (1) 设c n ＝a n2n ，求证：数列{c n }是等差数列；(2) 求数列{a n }的通项公式及前n 项和的公式． (1)证明 ∵S n ＋1＝4a n ＋2，①∴当n ≥2，n ∈N ＋时，S n ＝4a n －1＋2. ② ①－②得a n ＋1＝4a n －4a n －1.方法一 对a n ＋1＝4a n －4a n －1两边同除以2n ＋1，得a n ＋12n ＋1＝2a n 2n －a n －12n －1， 即a n ＋12n ＋1＋a n －12n －1＝2a n2n ，即c n ＋1＋c n －1＝2c n ， ∴数列{c n }是等差数列．由S n ＋1＝4a n ＋2，得a 1＋a 2＝4a 1＋2， 则a 2＝3a 1＋2＝5，∴c 1＝a 12＝12，c 2＝a 222＝54，故公差d ＝54－12＝34，∴{c n }是以12为首项，34为公差的等差数列．方法二 ∵a n ＋1－2a n ＝2a n －4a n －1＝2(a n －2a n －1)， 令b n ＝a n ＋1－2a n ，则{b n }是以a 2－2a 1＝4a 1＋2－a 1－2a 1＝3为首项，2为公比的等比数列， ∴b n ＝3·2n －1.∵c n ＝a n 2n ，∴c n ＋1－c n ＝a n ＋12n ＋1－a n 2n ＝a n ＋1－2a n2n ＋1＝b n2n +1＝3×2n -12n +1＝34， c 1＝a 12＝12，∴{c n }是以12为首项，34为公差的等差数列．(2)解 由(1)可知数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n 是首项为12，公差为34的等差数列，∴a n 2n ＝12＋(n －1)34＝34n －14， ∴a n ＝(3n －1)·2n －2.∴S n ＋1＝4a n ＋2＝2n(3n －1)＋2. ∴S n ＝2n －1·(3n －4)＋2(n ≥2)．当n ＝1时，S 1＝1＝a 1，符合． ∴S n ＝2＋(3n －4)·2n －1(n ∈N ＋)．反思感悟 由递推公式求通项公式，要求掌握的方法有两种，一种求法是先找出数列的前几项，通过观察、归纳得出，然后证明；另一种是通过变形转化为等差数列或等比数列，再采用公式求出．跟踪训练2 设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n ＝(n －1)S n ＋2n (n ∈N ＋)． (1)求a 2，a 3的值；(2)求证：数列{S n ＋2}是等比数列． (1)解 ∵a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n ＝(n －1)S n ＋2n (n ∈N ＋)， ∴当n ＝1时，a 1＝2×1＝2； 当n ＝2时，a 1＋2a 2＝(a 1＋a 2)＋4，∴a2＝4；当n＝3时，a1＋2a2＋3a3＝2(a1＋a2＋a3)＋6，∴a3＝8.(2)证明∵a1＋2a2＋3a3＋…＋na n＝(n－1)S n＋2n(n∈N＋)，①∴当n≥2时，a1＋2a2＋3a3＋…＋(n－1)a n－1＝(n－2)S n－1＋2(n－1)．②①－②得na n＝(n－1)S n－(n－2)S n－1＋2＝n(S n－S n－1)－S n＋2S n－1＋2＝na n－S n＋2S n－1＋2.∴－S n＋2S n－1＋2＝0，即S n＝2S n－1＋2，∴S n＋2＝2(S n－1＋2)．∵S1＋2＝4≠0，∴S n－1＋2≠0，∴S n＋2S n－1＋2＝2，故{S n＋2}是以4为首项，2为公比的等比数列．题型三函数思想求解数列问题命题角度1 借助函数性质解数列问题例3 一个等差数列{a n}中，3a8＝5a13，a1>0.若S n为{a n}的前n项和，则S1，S2，…，S n中没有最大值？请说明理由．解因为此等差数列不是常数列，所以其前n项和S n是关于n的二次函数，我们可以利用配方法，结合二次函数的性质求解．设{a n}的首项为a1，公差为d，则有3(a1＋7d)＝5(a1＋12d)，所以d＝－239a1，所以S n＝na1＋n n－12d＝－139n2a1＋4039na1＝－139a1(n－20)2＋40039a1，故n＝20时，S n最大，即前20项之和最大．反思感悟数列是一种特殊的函数，在求解数列问题时，若涉及参数取值范围、最值问题或单调性时，均可考虑采用函数的性质及研究方法指导解题．值得注意的是数列定义域是正整数集或{1,2,3，…，n}，这一特殊性对问题结果可能造成影响．跟踪训练3 已知数列{a n}的通项公式为a n＝2n－2019，问这个数列前多少项的和最小？解设a n＝2n－2 019，对应的函数为y＝2x－2 019，易知y＝2x－2 019在R上单调递增，且当y ＝0时，x ＝2 0192，因此，数列{a n }为单调递增数列，a 1 009<0，a 1 010>0，故当1≤n ≤1 009时，a n <0；当n >1 009时，a n >0. ∴数列{a n }中前1 009项的和最小． 命题角度2 以函数为载体给出数列例4 已知函数f (x )＝2x ＋33x ，数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a n ，n ∈N ＋. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)令T n ＝a 1a 2－a 2a 3＋a 3a 4－a 4a 5＋…－a 2n a 2n ＋1，求T n .解 (1)∵a n ＋1＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a n ＝2a n ＋33a n＝2＋3a n 3＝a n ＋23， ∴a n ＋1－a n ＝23，∴{a n }是以23为公差的等差数列．又a 1＝1，∴a n ＝23n ＋13.(2)T n ＝a 1a 2－a 2a 3＋a 3a 4－a 4a 5＋…－a 2n a 2n ＋1 ＝a 2(a 1－a 3)＋a 4(a 3－a 5)＋…＋a 2n (a 2n －1－a 2n ＋1) ＝－43(a 2＋a 4＋…＋a 2n )＝－43·n ⎝ ⎛⎭⎪⎫53＋4n 3＋132＝－49(2n 2＋3n )．反思感悟 以函数为载体给出数列，只需代入函数式即可转化为数列问题．跟踪训练4 设y ＝f (x )是一次函数，f (0)＝1，且f (1)，f (4)，f (13)成等比数列，则f (2)＋f (4)＋…＋f (2n )＝________. 答案 2n 2＋3n解析 设f (x )＝kx ＋b (k ≠0)，又f (0)＝1，则b ＝1， 所以f (x )＝kx ＋1(k ≠0)． 又[f (4)]2＝f (1)f (13)，所以(4k ＋1)2＝(k ＋1)(13k ＋1)，解得k ＝2. 所以f (x )＝2x ＋1，则f (2n )＝4n ＋1.所以{f (2n )}是公差为4的等差数列． 所以f (2)＋f (4)＋…＋f (2n )＝n 5＋4n ＋12＝2n 2＋3n .1．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝－11，a 4＋a 6＝－6，则当S n 取最小值时，n 等于( )A ．6B ．7C ．8D ．9 答案 A解析 设等差数列{a n }的公差为d ， ∵a 4＋a 6＝－6，∴a 5＝－3， ∴d ＝a 5－a 15－1＝2，∴a 6＝－1<0，a 7＝1>0，故当等差数列{a n }的前n 项和S n 取得最小值时，n 等于6. 2．数列1,1＋2,1＋2＋22，…，1＋2＋22＋…＋2n －1，…的前99项和为( )A ．2100－101 B ．299－101 C ．2100－99 D ．299－99答案 A解析 由数列可知a n ＝1＋2＋22＋…＋2n -1＝1－2n1－2＝2n－1，所以，前99项的和为S 99＝(2－1)＋(22－1)＋…＋(299－1)＝2＋22＋…＋299－99＝21－2991－2－99＝2100－101.3．在等比数列{a n }中，已知a 2＝4，a 6＝16，则a 4＝________. 答案 8解析 a 24＝a 2a 6＝4×16＝64，∴a 4＝±8.若a 4＝－8，则a 23＝a 2a 4＜0.∴a 4＝－8舍去．∴a 4＝8.4．等比数列{a n }的各项均为正数，且a 1a 5＝4，则log 2a 1＋log 2a 2＋log 2a 3＋log 2a 4＋log 2a 5＝________. 答案 5解析 log 2a 1＋log 2a 2＋log 2a 3＋log 2a 4＋log 2a 5＝log 2(a 1a 2…a 5)＝log 2a 53， 又a 1a 5＝a 23＝4，且a 3＞0，∴a 3＝2. ∴log 2a 53＝log 225＝5.5．若数列{a n }的前n 项和S n ＝32n 2－292n (n ＝1,2,3，…)，则此数列的通项公式为________；数列{na n }中数值最小的项是第________项． 答案 a n ＝3n －16 3解析 利用a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2求得a n ＝3n －16.则na n ＝3n 2－16n ＝3⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫n －832－649，所以n ＝3时，na n 的值最小．1．等差数列与等比数列是高中阶段学习的两种最基本的数列，也是高考中经常考查并且重点考查的内容之一，这类问题多从数列的本质入手，考查这两种基本数列的概念、基本性质、简单运算、通项公式、求和公式等问题．2．数列求和的方法：一般的数列求和，应从通项入手，若无通项，先求通项，然后通过对通项变形，转化为与特殊数列有关或具备某种方法适用特点的形式，从而选择合适的方法求和． 3．在求通项求和的基础上，可以借助不等式、单调性等研究数列的最值、取值范围、存在性问题．。

第二章章末复习课[整合·网络构建][警示·易错提醒]．数列的概念及表示方法()定义：按照一定顺序排列的一列数．()表示方法：列表法、图象法、通项公式法和递推公式法．()分类：按项数有限还是无限分为有穷数列和无穷数列；按项与项之间的大小关系可分为递增数列、递减数列、摆动数列和常数列．．求数列的通项(易错点)()数列前项和与通项的关系：＝()当已知数列{}中，满足＋－＝()，且()＋()＋…＋()可求，则可用累加法求数列的通项，常利用恒等式＝＋(－)＋(－)＋…＋(－－)．()当已知数列{}中，满足＝()，且()·()·…·()可求，则可用累加法求数列的通项，常利用恒等式＝···…·. ()作新数列法：对由递推公式给出的数列，经过变形后化归成等差数列或等比数列来求通项．()归纳、猜想、证明法．．等差数列、等比数列的判断方法()定义法：＋－＝(常数)⇔{}是等差数列；＝(为常数，≠)⇔{}是等比数列．()中项公式法：＋＝＋＋⇔{}是等差数列；＝·＋(≠)⇔{}是等比数列．()通项公式法：＝＋(，是常数)⇔{}是等差数列；＝·(，为非零常数)⇔{}是等比数列．()前项和公式法：＝＋(，为常数，∈*)⇔{}是等差数列；＝－(，为常数，且≠，≠，≠，∈*)⇔{}是等比数列．．求数列的前项和的基本方法(易错点) ()裂项(相消)法：有时把一个数列的通项公式分成两项差的形式，相加过程消去中间项，只剩有限项再求和．()错位相减法：适用于一个等差数列和一个等比数列对应项相乘构成的数列求和．()倒序相加法：例如，等差数列前项和公式的推导．()分组求和法：把一个数列分成几个可以直接求和的数列．()公式法：利用等差数列或等比数列前项和公式．专题一等差、等比数列的判断判定一个数列是等差或等比数列有如下多种方法：。

学习目标 1.整合知识结构，梳理知识网络，进一步巩固、深化所学知识.2.提高解决等差数列、等比数列问题的能力，培养综合运用知识解决问题的能力．知识点一梳理本章的知识网络知识点二对比归纳等差数列和等比数列的基本概念和公式知识点三 本章公式推导和解题过程中用到的基本方法和思想1．在求等差数列和等比数列的通项公式时，分别用到了累加法和累乘法； 2．在求等差数列和等比数列的前n 项和时，分别用到了倒序相加法和错位相减法． 3．等差数列和等比数列各自都涉及5个量，已知其中任意三个求其余两个，用到了方程思想．4．在研究等差数列和等比数列单调性，等差数列前n 项和最值问题时，都用到了函数思想．类型一 方程思想求解数列问题例1 设{a n }是公比大于1的等比数列，S n 为数列{a n }的前n 项和．已知S 3＝7，且a 1＋3,3a 2，a 3＋4构成等差数列．(1)求数列{a n }的通项；(2)令b n ＝ln a 3n ＋1，n ＝1,2，…，求数列{b n }的前n 项和T n .解 (1)由已知得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 2＋a 3＝7，(a 1＋3)＋(a 3＋4)2＝3a 2，解得a 2＝2.设数列{a n }的公比为q ，由a 2＝2，可得a 1＝2q，a 3＝2q ， 又S 3＝7，可知2q＋2＋2q ＝7，即2q 2－5q ＋2＝0.解得q 1＝2，q 2＝12.由题意得q ＞1，∴q ＝2，∴a 1＝1.故数列{a n }的通项为a n ＝2n －1.(2)由于b n ＝ln a 3n ＋1，n ＝1,2，…， 由(1)得a 3n ＋1＝23n，∴b n ＝ln23n＝3n ln2. 又b n ＋1－b n ＝3ln2，∴{b n }是等差数列， ∴T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝n (b 1＋b n )2＝3n (n ＋1)2·ln2.故T n ＝3n (n ＋1)2ln2.反思与感悟 在等差数列和等比数列中，通项公式a n 和前n 项和公式S n 共涉及五个量：a 1，a n ，n ，q (d )，S n ，其中首项a 1和公比q (公差d )为基本量，“知三求二”是指将已知条件转换成关于a 1，a n ，n ，q (d )，S n 的方程组，通过方程的思想解出需要的量．跟踪训练1 记等差数列{}a n 的前n 项和为S n ，设S 3＝12，且2a 1，a 2，a 3＋1成等比数列，求S n .解 设数列{}a n 的公差为d ，依题设有⎩⎪⎨⎪⎧ 2a 1(a 3＋1)＝a 22，a 1＋a 2＋a 3＝12，即⎩⎪⎨⎪⎧ a 21＋2a 1d －d 2＋2a 1＝0，a 1＋d ＝4.解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝8，d ＝－4.因此S n ＝12n (3n －1)或S n ＝2n (5－n )，n ∈N *.类型二 转化与化归思想求解数列问题 例2 在数列{a n }中，S n ＋1＝4a n ＋2，a 1＝1.(1) 设c n ＝a n2n ，求证数列{c n }是等差数列；(2) 求数列{a n }的通项公式及前n 项和的公式． (1)证明 由S n ＋1＝4a n ＋2，① 则当n ≥2，n ∈N *时，有S n ＝4a n －1＋2.②①－②得a n ＋1＝4a n －4a n －1.方法一 对a n ＋1＝4a n －4a n －1两边同除以2n ＋1，得a n ＋12n ＋1＝2a n 2n －a n －12n －1，即a n ＋12n ＋1＋a n －12n －1＝2a n2n ， 即c n ＋1＋c n －1＝2c n ， ∴数列{c n }是等差数列．由S n ＋1＝4a n ＋2，得a 1＋a 2＝4a 1＋2，则a 2＝3a 1＋2＝5，∴c 1＝a 12＝12，c 2＝a 222＝54，故公差d ＝54－12＝34，∴{c n }是以12为首项，34为公差的等差数列．方法二 ∵a n ＋1－2a n ＝2a n －4a n －1＝2(a n －2a n －1)， 令b n ＝a n ＋1－2a n ，则{b n }是以a 2－2a 1＝4a 1＋2－a 1－2a 1＝3为首项，2为公比的等比数列， ∴b n ＝3·2n －1，∵c n ＝a n 2，∴c n ＋1－c n ＝a n ＋12－a n 2＝a n ＋1－2a n2＝b n2n ＋1＝3×2n －12n ＋1＝34， c 1＝a 12＝12，∴{c n }是以12为首项，34为公差的等差数列．(2)解 由(1)可知数列{a n 2n }是首项为12，公差为34的等差数列．∴a n 2n ＝12＋(n －1)34＝34n －14，a n ＝(3n －1)·2n －2是数列{a n }的通项公式． 设S n ＝(3－1)·2－1＋(3×2－1)·20＋…＋(3n －1)·2n －2，∴2S n ＝(3－1)·20＋(3×2－1)·21＋…＋(3n －1)·2n －1，故S n ＝2S n －S n＝－(3－1)·2－1－3(20＋21＋…＋2n －2)＋(3n －1)·2n －1＝－1－3×2n －1－12－1＋(3n －1)·2n －1＝－1＋3＋(3n －4)·2n －1＝2＋(3n －4)·2n －1.∴数列{a n }的通项公式为a n ＝(3n －1)·2n －2，前n 项和公式为S n ＝2＋(3n －4)·2n －1，n ∈N *.反思与感悟 由递推公式求通项公式，要求掌握的方法有两种，一种求法是先找出数列的前几项，通过观察、归纳得出，然后证明；另一种是通过变形转化为等差数列或等比数列，再采用公式求出．跟踪训练2 设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n ＝(n －1)S n ＋2n (n ∈N *)．(1)求a 2，a 3的值；(2)求证：数列{S n ＋2}是等比数列． (1)解 ∵a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n ＝(n －1)S n ＋2n (n ∈N *)， ∴当n ＝1时，a 1＝2×1＝2；当n ＝2时，a 1＋2a 2＝(a 1＋a 2)＋4，∴a 2＝4；当n ＝3时，a 1＋2a 2＋3a 3＝2(a 1＋a 2＋a 3)＋6，∴a 3＝8. (2)证明 ∵a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n ＝(n －1)S n ＋2n (n ∈N *)，①∴当n ≥2时，a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋(n －1)a n －1 ＝(n －2)S n －1＋2(n －1)．②①－②得na n ＝(n －1)S n －(n －2)S n －1＋2 ＝n (S n －S n －1)－S n ＋2S n －1＋2 ＝na n －S n ＋2S n －1＋2.∴－S n ＋2S n －1＋2＝0，即S n ＝2S n －1＋2， ∴S n ＋2＝2(S n －1＋2)．∵S 1＋2＝4≠0，∴S n －1＋2≠0，∴S n ＋2S n －1＋2＝2，故{S n ＋2}是以4为首项，2为公比的等比数列． 类型三 函数思想求解数列问题 命题角度1 借助函数性质解数列问题例3 已知等差数列{a n }的首项a 1＝1，公差d >0，且第2项、第5项、第14项分别是一个等比数列的第2项、第3项、第4项． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝1n (a n ＋3)(n ∈N *)，S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ，是否存在t ，使得对任意的n 均有S n >t 36总成立？若存在，求出最大的整数t ；若不存在，请说明理由． 解 (1)由题意得(a 1＋d )(a 1＋13d )＝(a 1＋4d )2， 整理得2a 1d ＝d 2. ∵d >0，∴d ＝2.∵a 1＝1.∴a n ＝2n －1 (n ∈N *)． (2)b n ＝1n (a n ＋3)＝12n (n ＋1)＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1，∴S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1＝12⎝⎛⎭⎪⎫1－1n ＋1＝n2(n ＋1). 假设存在整数t 满足S n >t36总成立，又S n ＋1－S n ＝n ＋12(n ＋2)－n 2(n ＋1)＝12(n ＋2)(n ＋1)>0，∴数列{S n }是单调递增的．∴S 1＝14为S n 的最小值，故t 36<14，即t <9.又∵t ∈Z ，∴适合条件的t 的最大值为8.反思与感悟 数列是一种特殊的函数，在求解数列问题时，若涉及参数取值范围、最值问题或单调性时，均可考虑采用函数的性质及研究方法指导解题．值得注意的是数列定义域是正整数集或{1,2,3，…，n }，这一特殊性对问题结果可能造成影响．跟踪训练3 已知首项为32的等比数列{a n }不是递减数列，其前n 项和为S n (n ∈N *)，且S 3＋a 3，S 5＋a 5，S 4＋a 4成等差数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设T n ＝S n －1S n(n ∈N *)，求数列{T n }最大项的值与最小项的值．解 (1)设等比数列{a n }的公比为q ， 因为S 3＋a 3，S 5＋a 5，S 4＋a 4成等差数列， 所以S 5＋a 5－S 3－a 3＝S 4＋a 4－S 5－a 5，即4a 5＝a 3，于是q 2＝a 5a 3＝14.又{a n }不是递减数列且a 1＝32，所以q ＝－12.故等比数列{a n }的通项公式为a n ＝32×(－12)n －1＝(－1)n －1·32n .(2)由(1)得S n＝1－(－12)n＝⎩⎪⎨⎪⎧1＋12n，n 为奇数，1－12，n 为偶数.当n 为奇数时，S n 随n 的增大而减小， 所以1＜S n ≤S 1＝32.故0＜S n －1S n ≤S 1－1S 1＝32－23＝56.当n 为偶数时，S n 随n 的增大而增大， 所以34＝S 2≤S n ＜1，故0＞S n －1S n ≥S 2－1S 2＝34－43＝－712.综上，对于n ∈N *，总有－712≤S n －1S n ≤56且S n －1S n≠0.所以数列{T n }最大项的值为56，最小项的值为－712.命题角度2 以函数为载体给出数列例4 已知函数f (x )＝2－|x |，无穷数列{a n }满足a n ＋1＝f (a n )，n ∈N *. (1)若a 1＝0，求a 2，a 3，a 4；(2)若a 1＞0，且a 1，a 2，a 3成等比数列，求a 1的值． 解 (1)由a n ＋1＝f (a n )⇒a n ＋1＝2－|a n |，a 1＝0⇒a 2＝2，a 3＝0，a 4＝2.(2)∵a 1，a 2，a 3成等比数列⇒a 3＝a 22a 1＝2－|a 2|⇒a 22＝a 1·(2－|a 2|)，且a 2＝2－|a 1|⇒(2－|a 1|)2＝a 1(2－|2－|a 1||)⇒(2－a 1)2＝a 1(2－|2－a 1|)， 下面分情况讨论：①当2－a 1≥0时，(2－a 1)2＝a 1＝a 21⇒a 1＝1，且a 1≤2；②当2－a 1＜0时，(2－a 1)2＝a 1＝a 1(4－a 1)⇒2a 21－8a 1＋4＝0⇒a 21－4a 1＋4＝2⇒(a 1－2)2＝2⇒a 1＝2＋2，且a 1＞2， 综上，a 1＝1或a 1＝2＋ 2.反思与感悟 以函数为载体给出数列，只需代入函数式即可转化为数列问题． 跟踪训练4 已知函数f (x )＝2x ＋33x，数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a n ，n ∈N *.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)令T n ＝a 1a 2－a 2a 3＋a 3a 4－a 4a 5＋…－a 2n a 2n ＋1，求T n .解 (1)∵a n ＋1＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a n ＝2a n ＋33a n＝2＋3a n 3＝a n＋23，∴a n ＋1－a n ＝23，∴{a n }是以23为公差的等差数列．又a 1＝1，∴a n ＝23n ＋13.(2)T n ＝a 1a 2－a 2a 3＋a 3a 4－a 4a 5＋…－a 2n a 2n ＋1 ＝a 2(a 1－a 3)＋a 4(a 3－a 5)＋…＋a 2n (a 2n －1－a 2n ＋1) ＝－43(a 2＋a 4＋…＋a 2n )＝－43·n ⎝ ⎛⎭⎪⎫53＋4n 3＋132＝－49(2n 2＋3n )．1．设数列{a n }是公差不为零的等差数列，S n 是数列{a n }的前n 项和(n ∈N *)，且S 21＝9S 2，S 4＝4S 2，则数列{a n }的通项公式是________． 答案 a n ＝36(2n －1)解析 设等差数列{a n }的公差为d ， 由前n 项和的概念及已知条件得a 21＝9(2a 1＋d )，① 4a 1＋6d ＝4(2a 1＋d )．②由②得d ＝2a 1，代入①有a 21＝36a 1， 解得a 1＝0或a 1＝36.将a 1＝0舍去．因此a 1＝36，d ＝72，故数列{a n }的通项公式为a n ＝36＋(n －1)·72＝72n －36＝36(2n －1)．2．若数列{a n }的前n 项和S n ＝32n 2－292n (n ＝1,2,3，…)，则此数列的通项公式为________；数列{na n }中数值最小的项是第________项． 答案 a n ＝3n －16 3解析 利用a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2求得a n ＝3n －16.则na n ＝3n 2－16n ＝3， 所以n ＝3时，na n 的值最小．3．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，公比是正数的等比数列{b n }的前n 项和为T n ，已知a 1＝1，b 1＝3，a 3＋b 3＝17，T 3－S 3＝12，求{a n }，{b n }的通项公式． 解 设数列{a n }的公差为d ，数列{b n }的公比为q . 由a 3＋b 3＝17得1＋2d ＋3q 2＝17， ① 由T 3－S 3＝12得q 2＋q －d ＝4.②由①、②及q ＞0解得q ＝2，d ＝2. 故所求的通项公式为a n ＝2n －1，b n ＝3·2n －1.1．等差数列与等比数列是高中阶段学习的两种最基本的数列，也是高考中经常考查并且重点考查的内容之一，这类问题多从数列的本质入手，考查这两种基本数列的概念、基本性质、简单运算、通项公式、求和公式等问题．2．数列求和的方法：一般的数列求和，应从通项入手，若无通项，先求通项，然后通过对通项变形，转化为与特殊数列有关或具备某种方法适用特点的形式，从而选择合适的方法求和．40分钟课时作业一、选择题1．一个等差数列的第5项等于10，前3项的和等于3，那么( ) A ．它的首项是－2，公差是3 B ．它的首项是2，公差是－3 C ．它的首项是－3，公差是2 D ．它的首项是3，公差是－2 答案 A解析 ⎩⎪⎨⎪⎧a 5＝10，S 3＝3⇒⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋4d ＝10，3a 1＋3×22×d ＝3⇒a 1＝－2，d ＝3.2．等比数列{a n }中，已知前4项和为1，前8项之和为17，则此等比数列的公比q 为( ) A ．2 B ．－2 C ．2或－2 D ．2或－1答案 C解析 S 4＝a 1(1－q 4)1－q ＝1，① S 8＝a 1(1－q 8)1－q＝17，②②÷①得1＋q 4＝17，q 4＝16.q ＝±2.3．等比数列{a n }的前n 项和S n ＝3n＋t ，则t ＋a 3的值为( ) A ．1B ．－1C ．17D ．18 答案 C解析 a 1＝S 1＝3＋t ， 由a 1＋a 2＝9＋t 得a 2＝6， 由a 1＋a 2＋a 3＝27＋t 得a 3＝18， 由a 1a 3＝a 22，得t ＝－1，故t ＋a 3＝17.4．已知等差数列前n 项和为S n ，且S 13＜0，S 12＞0，则此数列中绝对值最小的项为( ) A ．第5项 B ．第6项 C ．第7项 D ．第8项答案 C解析 由S 13＝13a 7，S 12＝6(a 6＋a 7)及S 13＜0，S 12＞0， 知a 7＜0，a 6＋a 7＞0，即a 6＞－a 7＞0，故|a 6|＞|a 7|.又等差数列为递减数列，故|a 1|＞|a 2|＞…＞|a 6|＞|a 7|，|a 7|＜|a 8|＜…， 故|a 7|最小．5．已知{a n }是等比数列，a 2＝2，a 5＝14，则a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n a n ＋1等于( )A ．16(1－4－n )B ．16(1－2－n) C.323(1－4－n) D.323(1－2－n) 答案 C解析 依题意a 2＝a 1q ＝2，a 5＝a 1q 4＝14，两式相除可求得q ＝12，a 1＝4，又因为数列{a n }是等比数列，所以{a n a n ＋1}是以a 1a 2为首项，q 2为公比的等比数列， 根据等比数列前n 项和公式可得原式＝a 1a 2(1－q 2n )1－q2＝323(1－4－n)． 6．在等比数列{a n }中，a 1＝2，前n 项和为S n ，n 为自然数，若数列{a n ＋1}也是等比数列，则S n 等于( ) A ．2n ＋1－2 B ．3nC ．2nD ．3n－1答案 C解析 设数列{a n }的公比为q ， 则a n ＝2qn －1.因数列{a n ＋1}也是等比数列， 则(a n ＋1＋1)2＝(a n ＋1)(a n ＋2＋1) ⇒a 2n ＋1＋2a n ＋1＝a n ·a n ＋2＋a n ＋a n ＋2⇒a n ＋a n ＋2＝2a n ＋1⇒a n (1＋q 2－2q )＝0⇒(q －1)2＝0⇒q ＝1.由a 1＝2得a n ＝2，所以S n ＝2n . 二、填空题7．数列{a n }的前n 项和为S n ＝n 2＋3n ＋1，n ∈N *，则它的通项公式为________．答案 a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧5， n ＝1，2n ＋2，n ≥2解析 当n ＝1时，a 1＝S 1＝5； 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n ＋2.故数列{a n }的通项公式为a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧5， n ＝1，2n ＋2，n ≥2.8．已知{a n }是等差数列，S n 为其前n 项和，n ∈N *.若a 3＝16，S 20＝20，则S 10的值为________． 答案 110解析 设{a n }的首项，公差分别是a 1，d ，则⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋2d ＝16，20a 1＋20×(20－1)2×d ＝20，解得a 1＝20，d ＝－2，∴S 10＝10×20＋10×92×(－2)＝110.9．在数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝2，且a n ＋2－a n ＝1＋(－1)n (n ∈N *)，则S 100＝________. 答案 2600解析 由a 1＝1，a 2＝2且a n ＋2－a n ＝1＋(－1)n(n ∈N *)知， 当n 为奇数时，a n ＋2－a n ＝0； 当n 为偶数时，a n ＋2－a n ＝2.所以前100项中，奇数项为常数项1，偶数项构成以a 2＝2为首项，2为公差的等差数列．所以S 100＝50×2＋50×492×2＋50×1＝2600.10．已知等差数列{a n }中，a 1＝29，S 10＝S 20，则这个数列的前n 项和最大时n ＝________. 答案 15解析 方法一 设数列{a n }的公差为d ， ∵S 10＝S 20，∴10×29＋10×92d ＝20×29＋20×192d ，解得d ＝－2， ∴a n ＝－2n ＋31，设这个数列的前n 项和最大，则需⎩⎪⎨⎪⎧a n ≥0，a n ＋1≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧－2n ＋31≥0，－2(n ＋1)＋31≤0，∴14.5≤n ≤15.5， ∵n ∈N *，∴n ＝15.方法二 设数列{a n }的公差为d ， ∵S 10＝S 20，∴10×29＋10×92d ＝20×29＋20×192d ，解得d ＝－2.等差数列{a n }的前n 项和S n ＝d2n 2＋(a 1－d2)n 是关于n 的不含常数项的二次函数，根据其图象的对称性，由S 10＝S 20，知x ＝10＋202＝15是其对称轴，由d ＝－2知二次函数的图象开口向下， 故n ＝15时S n 最大． 三、解答题11．在等比数列{a n }中，a n >0 (n ∈N *)，公比q ∈(0,1)，且a 1a 5＋2a 3a 5＋a 2a 8＝25，又a 3与a 5的等比中项为2.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝log 2a n ，数列{b n }的前n 项和为S n ，当S 11＋S 22＋…＋S nn 最大时，求n 的值．解 (1)∵a 1a 5＋2a 3a 5＋a 2a 8＝25， ∴a 23＋2a 3a 5＋a 25＝25， 又a n >0，∴a 3＋a 5＝5. 又a 3与a 5的等比中项为2， ∴a 3a 5＝4，而q ∈(0,1)， ∴a 3>a 5，∴a 3＝4，a 5＝1.∴q ＝12，a 1＝16，∴a n ＝16×(12)n －1＝25－n.(2)b n ＝log 2a n ＝5－n ， ∴b n ＋1－b n ＝－1，∴{b n }是以b 1＝4为首项，－1为公差的等差数列， ∴S n ＝n (9－n )2，∴S n n ＝9－n 2， ∴当n ≤8时，S nn>0； 当n ＝9时，S n n＝0； 当n >9时，S n n<0.∴当n ＝8或9时，S 11＋S 22＋S 33＋…＋S nn 最大．12．求数列1,3a,5a 2,7a 3，…，(2n －1)·a n －1的前n 项和．解 (1)当a ＝0时，S n ＝1.(2)当a ＝1时，数列变为1,3,5,7，…，(2n －1)， 则S n ＝n [1＋(2n －1)]2＝n 2.(3)当a ≠1且a ≠0时，有S n ＝1＋3a ＋5a 2＋7a 3＋…＋(2n －1)an －1，① aS n ＝a ＋3a 2＋5a 3＋7a 4＋…＋(2n －1)a n ，②①－②得S n －aS n ＝1＋2a ＋2a 2＋2a 3＋ (2)n －1－(2n －1)a n，(1－a )S n ＝1－(2n －1)a n＋2(a ＋a 2＋a 3＋a 4＋…＋a n －1)＝1－(2n －1)a n＋2·a (1－a n －1)1－a＝1－(2n －1)a n＋2(a －a n)1－a，又1－a ≠0，∴S n ＝1－(2n －1)a n1－a ＋2(a －a n)(1－a )2.综上，S n＝⎩⎪⎨⎪⎧1，a ＝0，n 2，a ＝1，n ∈N *，1－(2n －1)a n 1－a ＋2(a －a n)(1－a )2，a ≠0且a ≠1，n ∈N *.13．已知数列{a n }中，a 1＝5且a n ＝2a n －1＋2n－1 (n ≥2且n ∈N *)． (1)求a 2，a 3的值；(2)是否存在实数λ，使得数列{a n ＋λ2}为等差数列？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由； (3)求通项公式a n . 解 (1)∵a 1＝5， ∴a 2＝2a 1＋22－1＝13，a 3＝2a 2＋23－1＝33.(2)假设存在实数λ，使得数列{a n ＋λ2n}为等差数列．设b n ＝a n ＋λ2n，由{b n }为等差数列，则有2b 2＝b 1＋b 3. ∴2×a 2＋λ22＝a 1＋λ2＋a 3＋λ23，13＋λ2＝5＋λ2＋33＋λ8.解得λ＝－1. 又b n ＋1－b n ＝a n ＋1－12－a n －12＝12n ＋1＝12n ＋1＝1.综上可知，存在实数λ＝－1，使得数列{a n ＋λ2n}为首项是2，公差是1的等差数列．(3)由(2)知，数列{a n －12}为首项是2，公差是1的等差数列．∴a n －12n＝2＋(n －1)×1＝n ＋1，∴a n ＝(n ＋1)2n＋1.。