2020-2021学年宁夏青铜峡市高级中学高一12月月考数学试题(解析版)

宁夏高一高中数学月考试卷班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.执行如图所示的程序框图，则输出s的值为（）A．B．C．D．2.有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为（）A．B．C．D．3.用秦九韶算法计算多项式在时的值时, 的值为 ( )A．－845B．220C．－57D．344.下列各组数据中最小的数是（）A．B．C．D．5.如图，给出的是计算的值的一个程序框图,则图中执行框内①处和判断框中的②处应填的语句是( )A． n="n+2," i>15?B． n=n+1, i>15?C． n="n+2," i>14?D． n=n+1, i>14 ?6.由一组样本数据，得到回归直线方程，那么下面说法不正确的是（）A．直线必经过；B．直线至少经过中的一个点；C．直线的斜率为；D．直线的纵截距为7.下列叙述错误的是（）.A．若事件发生的概率为，则B．互斥事件不一定是对立事件，但是对立事件一定是互斥事件C．5张奖券中有一张有奖，甲先抽，乙后抽，则乙与甲中奖的可能性相同D．某事件发生的概率是随着试验次数的变化而变化的8.如下图，矩形ABCD中，点E为边CD上任意一点，若在矩形ABCD内部随机取一个点Q，则点Q取自△ABE 内部的概率等于（）A．B．C．D．二、解答题1.某学校一个生物兴趣小组对学校的人工湖中养殖的某种鱼类进行观测研究，在饲料充足的前提下，兴趣小组对饲养时间x（单位:月）与这种鱼类的平均体重y（单位：千克）得到一组观测值，如下表：（月）（千克）（1）在给出的坐标系中，画出关于x、y两个相关变量的散点图．（2）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出变量关于变量的线性回归直线方程．（3）预测饲养满12个月时，这种鱼的平均体重（单位：千克）．（参考公式：，，，，，2.某校高二某班的一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的损坏，可见部分如下：试着根据表中的信息解答下列问题：（Ⅰ）求全班的学生人数及分数在[70，80）之间的频数；（Ⅱ）为快速了解学生的答题情况，老师按分层抽样的方法从位于[70，80）和[80，90）分数段的试卷中抽取7份进行分析，再从中任选2人进行交流，求交流的学生中，成绩位于[70，80）分数的人恰有一人被抽到的概率．3.某学校1800名学生在一次百米测试中，成绩全部介于13秒与18秒之间，抽取其中50个样本，将测试结果按如下方式分成五组：第一组，第二组，第五组，下图是按上述分组方法得到的频率分布直方图．（1）若成绩小于15秒认为良好，求该样本在这次百米测试中成绩良好的人数；（2）请估计学校1800名学生中，成绩属于第四组的人数；（3）请根据频率分布直方图，求样本数据的众数、中位数、平均数和方差．4.为了了解某省各景点在大众中的熟知度，随机对15～65岁的人群抽样了人，回答问题“某省有哪几个著名的旅游景点？”统计结果如下图表回答正确回答正确的人数180．9（1）分别求出的值；（2）从第2，3，4组回答正确的人中用分层抽样的方法抽取6人，求第2，3，4组每组各抽取多少人？（3）在（2）抽取的6人中随机抽取2人，求所抽取的人中恰好没有第3组人的概率．5.做投掷2颗骰子试验，用表示点P的坐标，其中表示第1颗骰子出现的点数，表示第2颗骰子出现的点数.（I）求点P在直线上的概率；（II）求点P满足的概率.三、填空题1.用辗转相除法求240和288的最大公约数时，需要做____次除法；利用更相减损术求36和48的最大公约数时，需要进行______次减法。

宁夏青铜峡市高级中学2021届高三上学期第二次月考数学试题（文）一、选择题（12×5=60分）1. 已知集合{}}242{60M x x N x x x =-<<=--<，，则M N ⋂=( )A. }{43x x -<<B. }{42x x -<<-C. }{22x x -<<D. }{23x x <<『答案』C『解析』由题意得，{}{}42,23M x x N x x =-<<=-<<，则{}22M N x x ⋂=-<<．故选C ．2. 已知命题p ：x ∀∈R ，23x x <；命题q ：x ∃∈R ，321x x =-，则下列命题中为真命题的是：（ ） A. p q ∧ B. p q ⌝∧C. p q ∧⌝D. p q ⌝∧⌝『答案』B『解析』0x =可知: 命题p ：x ∀∈R ，23x x <为假命题，由函数图象可知命题32:,1q x R x x ∃∈=-为真命题，所以p q ⌝∧为真命题．3. 函数()()2ln 1f x x x=+-零点所在的区间是（ ）A. (0,1)B. (1,2)C. (2,)eD. (3,4)『答案』B『解析』∵()2ln 22ln 201f e =-<-=，()2ln31ln 10f e =->-=，则(1)(2)0f f <， ∴函数()()2ln 1f x x x=+-的零点所在区间是 (1,2)， 当0x >，且0x →时，()()2ln 10f x x x=+-< 的()()22ln 1ln 0e e e e f e =+->->， ()()3322ln 3103ln f e =+->->， ()()1442ln 41ln 20f e =+->->， ACD 中函数在区间端点的函数值均同号， 根据零点存在性定理，B 为正确答案. 故选：B.4. 下列函数中，既是偶函数，又在区间(0,)+∞上单调递增的函数是（ ） A. 2y x =- B. y x = C. 1y x -=- D. 2log y x =『答案』B『解析』对于A ，2y x =-在(0,)+∞上单调递减，故A 错误；对于B ，y x =为偶函数，且0x >时，y x x ==为增函数，故B 正确； 对于C ，反比例函数1y x -=-为奇函数，故C 错误；对于D ，2log y x =既不是奇函数，也不是偶函数，故D 错误. 故选：B.5. 若 2.1log 0.6a =，0.62.1b =，0.5log 0.6c =，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A. a b c >> B. b c a >>C. c b a >>D. b a c >>『答案』B『解析』 2.1log 0.60a =<，0.62.11b =>，0.50log 0.61c <=<b c a ∴>>，故选B ．6. 若向量,a b ，满足1,2a b ==，若()a a b ⊥+，则a 与b 的夹角为（ ）A.2π B.23π C.34π D.56π 『答案』C『解析』由()a a b ⊥+有：()0a a b ⋅+=，令a 与b 的夹角为θ，∴22||||||||cos 0a a b a a b θ+⋅=+=，得cos θ= ∴34πθ=， 故选：C.7. 要得到函数()1sin 2222f x x x =-+的图象，只需把函数()sin 2g x x =的图象（ ） A. 向左平移6π个单位长度 B. 向右平移6π个单位长度 C. 向左平移3π个单位长度 D. 向右平移3π个单位长度 『答案』C 『解析』()1222sin 22sin 2cos cos 2sin sin 2sin 2223333f x x x x x x x ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=+=+=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，∴只需把()sin 2g x x =的图象向左平移3π个单位长度，即可得到函数()y f x =的图象. 故选：C.8. 函数y ＝xcos x ＋sin x 的图象大致为 ( )．A. B.C. D.『答案』D『解析』由于函数y =x cos x +sin x 为奇函数， 故它的图象关于原点对称，所以排除选项B ， 由当2x π=时，y =1>0，当x =π时，y =π×cos π+sin π=−π<0. 由此可排除选项A 和选项C 故正确的选项为D. 故选D. 9.ABC 中角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若2cos 22B a cc+=，则ABC 的形状为（ ） A. 正三角形 B. 直角三角形 C. 等腰三角形 D. 等腰直角三角形『答案』B 『解析』因为2cos22B a cc +=，所以1cos 22B a c c++=， 即()sin sin sin cos cos sin cos sin sin sin B C a A B C B CB cC C C++====， 所以sin cos 0B C =，因为B ，C 为三角形内角，所以cos 0C =，即2C π=，因此ABC 为直角三角形. 故选：B.10. 设D 为ABC ∆所在平面内一点，若3BC CD =，则下列关系中正确的是（ ）A. 1433AD AB AC =-+ B. 1433AD AB AC =- C. 4133AD AB AC =+D. 4133AD AB AC -=『答案』A『解析』∵3BC CD = ∴AC −AB =3(AD −AC )； ∴AD =43AC −13AB . 故选A.11. 已知()()()sin 0,0,f x A x A ωϕωϕπ=+>><，其部分图象如图所示，则()f x 的解析式为（ ）A. ()13sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B. ()153sin 26x x f π⎛⎫=-⎪⎝⎭C. ()153sin 26x x f π⎛⎫=+⎪⎝⎭D. ()13sin 26f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭『答案』D『解析』由图可知24T ππω==，解得12ω=； 又因为()3max f x =，故可得3A =； 由五点作图法可知1023πϕ⨯+=，解得6πϕ=-， 故()13sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭.故选：D.12. 已知函数()sin (0)3f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，直线24x π=为()f x 的图象的一条对称轴，且()f x 在,32ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调，则下列结论正确的是（ ）A. ()f x 的最小正周期为πB. 12x π=为()f x 的一个零点C. ()f x 在06,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为12-D. ()f x 的单调递增区间为5,()242242k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦『答案』D『解析』因为函数()f x 在,32ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调，所以()026T ππωω=≥>，得06ω<≤.又直线24x π=为()f x 的图象的对称轴，所以()2432k k Z ωππππ+=+∈，得424()k k Z ω=+∈，所以4ω=.()f x 的最小正周期为22ππω=，故A 错误；2sin 0123f ππ⎛⎫=≠ ⎪⎝⎭，故B 错误；当06x π≤≤时，433x πππ≤+≤，则()f x 的最小值为0，故C 错误；令242()232k x k k Z πππππ-+≤+≤+∈，解得5242242k k x ππππ-+≤≤+()k ∈Z ，即()f x 单调递增区间为5,()242242k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦，故D 正确. 故选：D.二、填空（4×5=20分） 13. 函数()()3log 1f x x =+的定义域是__________． 『答案』()(]1,11,4- 『解析』由题意401010x x x -≥⎧⎪-≠⎨⎪+>⎩，解得11x -<<或14x <≤．故答案为：()(]1,11,4-14. 已知()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，()3(xf x m m =+为常数)，则()3log 5f -= _______.『答案』-4『解析』因为函数()f x 是定义在R 上的奇函数，所以()00f =，即030m +=，解得1m =-，所以()33log 53log 514f =-=，所以()()33log 5log 54f f -=-=-，故答案为4－.15.1sin170=︒________.『答案』4- 『解析』由题意得112sin(1030)1sin170sin10sin202︒-︒=-==︒︒︒4sin(20)4sin20-︒==-︒．故答案为4-．16. 已知(cos 2,1)a x =，(1,sin 1)b x =+，,3x ππ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，则a b ⋅的取值范围是_____________. 『答案』171,8⎡⎤⎢⎥⎣⎦『解析』因为(cos 2,1)a x =，(1,sin 1)b x =+， 所以2cos 2sin 12sin sin 2a b x x x x ⋅=++=-++21172sin 48x ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭因为,3x ππ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，所以sin [0,1]x ∈，所以当1sin 4x =时，21172sin 48x ⎛⎫--+⎪⎝⎭有最大值178，当sin 1x =时，21172sin 48x ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭有最小值1，所以171,8a b ⎡⎤⋅∈⎢⎥⎣⎦，故答案为：171,8⎡⎤⎢⎥⎣⎦.三、解答题：（共70分）17. 已知向量()25cos ,sin ,(cos ,sin ),5a b a b ααββ==-=. （1）求cos()αβ-的值； （2）若0,022ππαβ<<-<<，且5sin 13β=-，求sin α. 解：（1）22225443()2555a b a b a b a b a b -=⇒-=⇒+-⋅=⇒⋅= 33cos cos sin sin cos()55αβαβαβ⇒+=⇒-=； （2）因为0,022ππαβ<<-<<，所以0αβπ<-<，而3cos()5αβ-=，所以4sin()5αβ-==，因为02πβ-<<，5sin 13β=-，所以12cos 13β==. 因此有33sin sin[()]sin()cos cos()sin 65ααββαββαββ=-+=-+-=.18. 某船在海面A 处测得灯塔C 在北偏东30方向，与A 相距B 在北偏西75︒方向，与A 相距A 向正北方向航行到D 处，测得灯塔B 在南偏西60︒方向，这时灯塔C 与D 相距多少海里？C 在D 的什么方向？ 解：作AE ⊥BD 于E ，CF ⊥AD 于F ，由题意得，AB ＝AC ＝BAD ＝75°，∠ADB ＝60°， 则∠B ＝45°，∴AE ×AB ＝ ∵∠ADB ＝60°， ∴∠DAE ＝30°， ∴AD ＝30，∵∠DAC ＝30°，AC ＝海里，∴CF ＝１２AC ＝AF ＝15海里，∴DF ＝15海里，又FC ＝∴CD 则∠CDF ＝30°，∴灯塔C 与D 相距C 在D 南偏东30°方向．19. 已知函数323()22f x x x =++ （Ⅰ）求曲线()y f x =在点(1，f (1))处的切线方程； （Ⅱ）求函数f （x ）在『—2，2』上的最大值和最小值． 解：323()22f x x x =++，()f x 的定义域是R ， （Ⅰ）2()333(1)f x x x x x '=+=+， 故f （1）92=，f '（1）6=， 故切线方程是：96(1)2y x -=-， 即12230x y --=；（Ⅱ）2()333(1)f x x x x x '=+=+，令()0f x '>，解得：0x >或1x <-， 令()0f x '<，解得：10x -<<，故()f x 在[2-，1)-递增，在(1,0)-递减，在(0，2]递增， 而(2)0f -=，()512f -=，(0)2f =，f （2）16=， 故()max f x f =（2）16=，()()20min f x f =-=． 20. 在ABC ∆中，,,a b c 分别是角,,A B C 的对边，且cos cos 2B bC a c=-+． （1）求B 的大小；（2）若4b a c =+=，求ABC ∆面积．解：（1）由cos cos 2B b C a c =-+ cos sin cos 2sin sin B BC A C⇒=-+ 2sin cos cos sin sin cos A B B C B C ⇒+=- 2sin cos cos sin sin cos A B B C B C ⇒=--()2sin cos sin A B B C ⇒=-+ 2sin cos sin A B A ⇒=- 1cos 2B ⇒=-又0πB <<，所以2π3B =. （2）由余弦定理有()22222π2cos 22cos 3b ac ac B a c ac ac =+-=+-- ，解得3ac =，所以1sin 24ABCSac B ==点睛：在利用余弦定理进行求解时，往往利用整体思想，可减少计算量，若本题中的()22222π2cos 22cos3b ac ac B a c ac ac =+-=+--. 21. 已知函数ln (),()x af x a R x-=∈ （Ⅰ）若函数f (x )在x ＝e 处取得极值，求a 的值；（Ⅱ）若对所有1≥x ，都有f （x ）x <，求实数a 的取值范围． 解：（Ⅰ）函数ln ()x a f x x-=，则2ln 1()x a f x x -++'=，由函数()f x 在x e =处取得极值，可得f '（e ）2ln 10e a e -++==，的解得0a =．经检验，符合题意.（Ⅱ）若对所有1x ，都有()f x x <，则ln x a x x-<在[1,)+∞上恒成立， 即2ln a x x >-在[1,)+∞上恒成立， 令2()ln g x x x =-，则2112()2x g x x x x -'=-=， 在[1,)+∞上，()0g x '<，函数()g x 单调递减，所以()g x g ≤（1）1=-，所以1a >-．故实数a 的取值范围是(1-，)+∞．选做题（10分 22题，23题任选一题）22. 在直角坐标系中，曲线C的参数方程为x y ϕϕ⎧=⎪⎨=⎪⎩（ϕ为参数），直线l 的参数方程为122x t y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）.以原点为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，点P的极坐标为2π⎫⎪⎭. （1）求点P 的直角坐标，并求曲线C 的普通方程；（2）设直线l 与曲线C 的两个交点为,A B ，求PA PB +的值.解：（1）由极值互化公式知：点P的横坐标02x π==，点P的纵坐标2x π==所以(P ，消去参数ϕ的曲线C 的普通方程为：221515x y +=. （2）点P 在直线l 上，将直线的参数方程代入曲线C 的普通方程得： 2280t t +-=，设其两个根为1t ，2t ，所以：122t t +=-，128t t =-， 由参数t 的几何意义知：126PA PB t t +=-==. 23. 已知函数()f x x a =-，不等式()3f x ≤的解集为[]6,0-．（1）求实数a 的值；（2）若()()52f x f x m ++≥对一切实数x 恒成立，求实数m 的取值范围． 解：（1）由()3f x ≤，得3x a -≤，∴33a x a -≤≤+，又()3f x ≤的解集为[]6,0-．解得：3a =-；（2）()()5385f x f x x x ++=+++≥．又()()52f x f x m ++≥对一切实数x 恒成立，525,2m m ∴≤≤.。

2020-2021学年宁夏青铜峡市高级中学高一上学期12月月考数学试题一、 选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分）1. 设集合A ={x |1≤x ≤3}，B ={x |2<x <4}，则A ∪B =（ ）A.{x |1≤x <4}B. {x |2≤x ≤3}C.{x |2<x ≤3}D. {x |1<x <4}2. 与－30°终边相同的角是（ ）A. －330°B.330°C. 30°D. 150°3．已知为第三象限角，那么是（ ）A. 第一象限角B. 第二象限角C. 第一、三象限角D. 第二、四象限角4．若α是第二象限角，则点()sin ,cos P αα在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限5.在下列区间中，函数()43xf x e x =+-的零点所在的区间为（ ）A．1,04⎛⎫- ⎪⎝⎭B．10,4⎛⎫⎪⎝⎭C．11,42⎛⎫⎪⎝⎭D．13,24⎛⎫⎪⎝⎭6．函数y＝在[2，3]上的最小值为( )A．2 B． C． D．－7．下列命题中正确的是（）A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则8．已知则用表示为（）A．B． C．D．9．的单调递增区间是（）A． B．C． D．10．函数y=的图象大致为( )11．若，则（）A．B． C． D．12．设函数，则满足的x 的取值范围是（ ） A ． B ．C ．D ．二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分） 13．若函数23()1x f x a -=+(其中且)，则的图像恒过定点___14．若tan 2θ=，则3cos sin cos sin θθθθ-=+__________.15．函数的最小值为______ ．16．已知函数是定义域为R 的奇函数，当时，，那么当时，的单调递增区间是_________．三、解答题（本大题共6个小题，共70分） 17.（本题10分）(1)一个半径为的扇形，若它的周长等于，那么扇形的圆心角是多少弧度？扇形面积是多少？(2)角的终边经过点P(，4)且cos =,求的值.18. （本题12分）设函数()f x 是R 上的奇函数，当0x 时，2()-4f x x x =．（1）求()f x 的表达式．()(,).f x a a +∞（2）若在是增函数，求的取值范围19．（本题12分）已知函数，（1）判断函数的单调性，并证明； （2）求函数的最大值和最小值.20．（本题12分）51cos -sin tan .13αααα=（）已知，是第二象限角，求，的值（2）已知3tan 4θ=-，求sin cos θθ，的值.21．（本题12分）已知函数（>0且≠1）.（1）求函数的定义域及单调区间; （2）求函数的零点.22．（本题12分）已知()|1|1f x x =-+，()(),3123,3f x x F x x x ≤⎧=⎨->⎩. （1）解不等式()23f x x ≤+；（2）若方程()F x a =有三个解，求实数a 的取值范围.17.18.19.【解析】（1）设12,[3,5]x x ∈且12x x <，所以()()()()()12121212123112222x x x x f x f x x x x x ----=-=++++ ∵1235x x ≤<≤∴120x x -<，()()12220x x ++>∴()()120f x f x -<即()()12f x f x <，()f x 在[3,5]上为增函数. （2）()f x 在[3,5]上为增函数，则max 4()(5)7f x f ==， min 2()(3)5f x f ==20.（1）（2）21.。

宁夏青铜峡市高级中学【最新】高一下学期期末考试数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．若,,a b c ∈R 且a b >，则下列不等式成立的是（ ） A ．22ac bc > B ．11a b< C ．b a a b<D ．||1||1a bc c >++2．已知角α的终边经过点()8,6P -，则sin cos αα-的值是（ ） A ．15B ．15-C ．75D ．75-3．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若::5:6:7a b c =，则最大角的余弦值为（ ） A ．1930B ．12C ．57D ．154．向量(),1a x =，(1,2)b =-，且a b ⊥，则a b -等于（ ）A BC ．D ．105．已知tan 2θ=，则22sin sin cos 2cos θθθθ+-=（ ） A ．43-B ．54C ．34-D ．456．在ABC ∆中，设角,,A B C 的对边分别为,,a b c ．若22cos sin sin cos a A B b A B =，则ABC ∆是（ ） A ．等腰直角三角形 B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．等腰三角形或直角三角形7．已知函数()()()1f x ax x b =-+，如果不等式()0f x >的解集为()1,3-，那么不等式()20f x -<的解集为（ ）A ．31(,)(,)22-∞-+∞ B ．31,22⎛⎫-⎪⎝⎭ C ．13(,)(,)22-∞-+∞ D ．13,22⎛⎫-⎪⎝⎭8．已知平面向量a ，b ，1a =，3b =，且27a b +=，则向量a 与向量a b +的夹角为（ ） A ．2π B ．3π C ．6π D ．π9．在ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，若ABC 的面积为S ，且()22a b c =+-，则πsin 4C ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）A ．1B ．2C D10．已知向量,a b 满足2(1,2),(1,)+==a b m b m ，且a 在b ，则实数m =（ ）A ．2±B ．2C ．D ．11．若sin 25α=，()sin 10βα-=，且,4απ⎡⎤∈π⎢⎥⎣⎦，3,2βπ⎡⎤∈π⎢⎥⎣⎦，则αβ+的值是（ ） A ．74π B ．94πC ．54π或74πD ．54π或94π 12．在ABC ∆中，BC CA CA AB ⋅=⋅，2BA BC +=，且233B ππ≤≤，则BA BC ⋅的取值范围是（ ） A ．[2,1)- B ．2,13⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．22,3⎡⎫-⎪⎢⎣⎭D ．22,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦二、填空题 13．函数tan 24x y π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的递增区间是________． 14．不等式411x ≤-的解集是______． 15．cos20cos40cos80︒︒︒的值为___________．16．在ABC 中：①若A B <，则sinA sinB <；②若sinA sinB <，则A B <；③若A B >，则11tan 2tan 2A B >；④若A B <，则22cos A cos B >；⑤若A B <，则tan tan 22A B<其中正确的序号是__________．三、解答题17．已知函数()()232f x mx mx m R =+-∈．（1）当1m = 时，解不等式()0f x >；（2）若关于x 的不等式()0f x <的解集为R ，求实数m 的取值范围． 18．已知向量(3,1),(1,2),()a b m a kb k R =-=-=+∈． （1）若m 与向量2a b -垂直，求实数k 的值；（2）若向量(1,1)c =-，且m 与向量kb c +平行，求实数k 的值．19．已知ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知cos c B a +=．（1）求C ；（2）如图，若a b =，D 为ABC ∆外一点，,2AD BC AD CD ==，求四边形ABCD 的面积．20．已知函数()sin()f x A x ωϕ=+，其中0A >，0>ω，22ππϕ-<<，x ∈R 其部分图象如图所示．（1）求函数()y f x =的解析式与单调增区间；（2）当[0,]x π∈时，求函数()y f x =的最大值与最小值及此时相应x 的值.21．在ABC ∆ 中，角A B C 、、所对的边分别为a b c 、、sin cC=，（1）求A 的大小；（2）若6a =，求b c +的取值范围.22．已知函数())2cos cos 1f x x x x =+-．（1）求函数()f x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值； （2）若()85f x =-，2,3x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求cos2x 的值； （3）若函数()()0y f x ωω=>在区间,62ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是单调递增函数，求正数ω的取值范围．参考答案1．D 【分析】利用作差法对每一个选项逐一判断分析. 【详解】选项A, 222()0,ac bc a b c -=-≥所以a ≥b,所以该选项错误；选项B,11b a a b ab--=，符合不能确定，所以该选项错误； 选项C, ()()b a b a b a a b ab+--=，符合不能确定，所以该选项错误；选项D, 0||1||1||1a b a b c c c --=>+++，所以||1||1a bc c >++，所以该选项正确. 故选D 【点睛】本题主要考查实数大小的比较，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力. 2．D 【分析】首先计算出r ，根据三角函数定义可求得正弦值和余弦值，从而得到结果. 【详解】由三角函数定义知：10r OP ===3sin 5y r α∴==-，4cos 5x r α==，则：7sin cos 5αα-=-本题正确选项：D 【点睛】本题考查任意角三角函数的求解问题，属于基础题. 3．D 【分析】设5,6,7a k b k c k ===，由余弦定理可求出. 【详解】设5,6,7a k b k c k ===, 所以最大的角为C ,22222121cos 2605a b c k C ab k +-===故选D. 【点睛】本题主要考查了余弦定理，大边对大角，属于中档题. 4．B 【分析】先由数量积为0，得出2x =，求出a b -的坐标，利用模长的坐标公式求解即可. 【详解】由题意可得 202a b x x ⋅=-=∴=，则(1,3)a b -=则19a b =+-=故选：B 【点睛】本题主要考查了向量模的坐标表示以及向量垂直的坐标表示，属于基础题. 5．D 【解析】 试题分析：22222222sin sin cos 2cos tan tan 24sin sin cos 2cos sin cos tan 15θθθθθθθθθθθθθ+-===++＋－＋－考点：同角间三角函数关系 6．D 【分析】 根据正弦定理sin sin a bA B=，将等式中的边a,b 消去，化为关于角A,B 的等式，整理化简可得角A,B 的关系，进而确定三角形ABC ∆． 【详解】由题得22sin cos sin sin sin cos A A B B A B =，整理得sin cos sin cos A A B B =，因此有11sin 2sin 222A B =，可得22A B =或22A B π=-，当22A B =时，ABC ∆为等腰三角形；当22A B π=-时，有2A B π+=，ABC ∆为直角三角形，故选D ．【点睛】这一类题目给出的等式中既含有角又含有边的关系，通常利用正弦定理将其都化为关于角或者都化为关于边的等式，再根据题目要求求解． 7．A 【分析】一元二次不等式大于零解集是(1,3)-，先判断二次项系数为负，再根据根与系数关系，可求出a,b 的值，代入解析式，求解不等式(2)0f x -<. 【详解】由()()()10f x ax x b =-+>的解集是()1,3-，则a 0< 故有11,3b a=--=，即1,3a b =-=-. 2()23f x x x ∴=-++ 2(2)443f x x x ∴-=--+由24430x x --+< 解得12x >或32x <- 故不等式()20f x -<的解集是31(,)(,)22-∞-+∞， 故选A . 【点睛】对于含参数的一元二次不等式需要先判断二次项系数的正负，再进一步求解参数. 8．B 【分析】 根据227a b +=可得到：a b ⊥，由此求得2a b +=；利用向量夹角的求解方法可求得结果. 【详解】 由题意知：2222444437a ba ab b a b +=+⋅+=+⋅+= 0a b ∴⋅=，则a b ⊥2a b ∴+=设向量a 与向量a b +的夹角为θ 则()21cos 2a a b aa ba a ba a bθ⋅++⋅===++3πθ∴= 本题正确选项：B 【点睛】本题考查向量夹角的求解，关键是能够通过平方运算将模长转变为向量的数量积，从而得到向量的位置关系. 9．D【分析】根据()22a b c =+-cos 1C C -=，结合三角函数的性质，求得C 的值，最后利用两角和的正弦函数，即可求解. 【详解】由()22a b c =+-，可得2221sin 22ab C a b cab =+-+，因为2222cos a b c ab C +-=，所以sin 2cos 2C ab C ab =+， cos 1C C -=，可得π2sin 16C ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则π1sin 62C ⎛⎫-= ⎪⎝⎭， 又因为0πC <<，则ππ5π666C -<-<，所以ππ66C -=，解得π3C =，所以πππππππsin sinsin cos cos sin 4343434C ⎛⎫⎛⎫+=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭122224=+⨯=. 故选：D. 【点睛】本题主要考查了两角和的正弦函数的化简、求值，以及余弦定理的应用，其中解答中根据题设条件和余弦定理，求得C 的值，结合三角函数的性质求解是解答的关键，着重考查推理与运算能力. 10．A【分析】根据2(1,2),(1,)+==a b m b m 可得0,2m a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，结合||cos a θ=，列出等式，即可解出答案. 【详解】因为向量,a b 满足2(1,2),(1,)a b m b m +==，22(0,)a a b b m =+-=，所以20,,22m m a a b ⎛⎫=⋅= ⎪⎝⎭，若向量,a b 的夹角为θ，则2225||(||cos )152m b a m a b θ=+⋅=⋅=， 所以42516160m m --=，即()()225440m m +-=，解得2m =±. 故选：A ． 【点睛】本题主要考查向量的投影及平面向量数量积公式，属于中档题.平面向量数量积公式有两种形式，一是||||cos a b a b θ⋅=，二是1212a b x x y y ⋅=+，主要应用以下几个方面:(1)求向量的夹角，cos ||||a ba b θ⋅=⋅（此时a b ⋅往往用坐标形式求解）；（2）求投影，a 在b 上的投影是||a bb ⋅；（3）,a b 向量垂直则0a b ⋅=;（4）求向量ma nb +的模（平方后需求a b ⋅）. 11．A 【分析】先计算2α和βα-的取值范围，根据取值范围解出cos2α和()cos βα-的值，再利用()()()()cos cos 2cos 2cos sin 2sin αβαβααβααβα+=+-=---⎡⎤⎣⎦求解()cos αβ+的值.【详解】∵,4απ⎡⎤∈π⎢⎥⎣⎦，∴2,22απ⎡⎤∈π⎢⎥⎣⎦.∵sin 2α=2,2απ⎡⎤∈π⎢⎥⎣⎦，∴,42ππα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，cos 25α=-. ∵3,2βπ⎡⎤∈π⎢⎥⎣⎦，∴5,24βαππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，∴()cos βα-=， ∴()()()()cos cos 2cos 2cos sin 2sin αβαβααβααβα+=+-=---⎡⎤⎣⎦⎛⎛=⨯= ⎝⎭⎝⎭又∵5,24αβπ⎡⎤+∈π⎢⎥⎣⎦， ∴74αβπ+=. 故选：A. 【点睛】本题考查三角恒等变换中和差角公式的运用，难度一般.解答时，要注意三角函数值的正负问题，注意目标式与条件式角度之间的关系，然后通过和差角公式求解. 12．D 【分析】由BC CA CA AB ⋅=⋅，可以得到()0CA BC BA ⋅+=，利用平面向量加法的几何意义，可以构造平行四边形BCDA ，根据()0CA BC BA ⋅+=，可知平行四边形BCDA 是菱形，这样在Rt BOA ∆中，可以求出菱形的边长，求出BA BC ⋅的表达式，利用233B ππ≤≤，构造函数，最后求出BA BC ⋅的取值范围. 【详解】()0()0BC CA CA AB CA BC AB CA BC BA ⋅=⋅⇒⋅-=⇒⋅+=，以,BC BA 为邻边作平行四边形BCDA ，如下图：所以BC BA BD +=，因此0CA BD CA BD ⋅=⇒⊥,所以平行四边形BCDA 是菱形，设CA BD O ⋂=，2BA BC +=，所以=21BD BO ⇒=，在Rt BOA ∆中，1cos cos 2BO ABO AB ABC AB ∠=⇒=∠ 212cos ()cos 1cos cos2ABCy ABC ABC AB A C C B B ∠==⋅∠=⋅∠+∠， 设211cos [,]3322x ABC ABC x ππ=∠≤∠≤∴∈-， 所以当11[,]22x ∈- 时，'22201(1)x y y x x =⇒=>++，21x y x =+是增函数，故2[2,]3y ∈-，因此本题选D. 【点睛】本题考查了平面加法的几何意义、以及平面向量数量积的取值范围问题，利用菱形的性质、余弦的升幂公式、构造函数是解题的关键. 13．32,2()22k k k Z ππππ⎛⎫-++∈ ⎪⎝⎭【分析】利用换元法，结合正切函数的单调性可求. 【详解】 令24x t π=+，因为tan y t=的增区间为(,)22k k ππππ-+，所以22k t k πππ-<<π+，即2242x k k ππππ-<+<π+，解之得2222k x k 3πππ-<<π+，故所求增区间为(2,2)(22k k k 3πππ-π+∈Z). 【点睛】本题主要考查正切型函数单调区间的求解，一般是利用换元法，侧重考查数学抽象的核心素养.14．()[),15,-∞-⋃+∞ 【分析】 将不等式411x ≤-经过移项通分转化为()()x 1x 50--≥且x 10-≠，从而可求出结果. 【详解】 因为411x ≤-，所以4101x x -+≤-,即501x x -≤-,等价于()()x 1x 50--≥且x 10-≠,所以原不等式的解集为()[)x ,15,∈-∞-⋃+∞. 【点睛】本题主要考查分式不等式解法，属于基础题型. 15． 【分析】因为20,40,80︒︒︒中，后者总是前者的两倍，故可以倍角公式化简． 【详解】8sin 20cos 20cos 40cos80cos 20cos 40cos808sin 20︒︒︒︒︒︒︒=︒4sin 40cos 40cos808sin 20︒︒︒=︒2sin80cos808sin 20︒︒=︒sin16018sin 208︒==︒，故填18．【点睛】三角函数的化简求值中，注意角与角的关系，有时他们的和或差是特殊角，有时要求的角可以用已知的角来表示，有时他们之间有倍数关系等． 16．①②④⑤ 【分析】根据三角形中大边对大角、正弦定理、同角三角函数的关系可判断①②④；利用特列法可判断③；利用正切函数的单调性可判断⑤. 【详解】 在ABC 中，2222<sin sin sin sin cos cos A B a b A B A B A B ⇔<⇔<⇔<⇔>，故①②④正确； 若75,30A B =︒=︒ 则11tan150tan 60<︒︒，∴③错误；0A B π<<<,∴0222A B π<<<； ∴22A Btan tan <，故⑤正确答案①②④⑤ 【点睛】本题通过对多个命题真假的判断，综合考查三角形中的边角关系、正弦定理、同角三角函数的关系以及正切函数的单调性，属于难题.这种题型综合性较强，也是高考的命题热点，同学们往往因为某一处知识点掌握不好而导致“全盘皆输”，因此做这类题目更要细心、多读题，尽量挖掘出题目中的隐含条件，另外，要注意从简单的自己已经掌握的知识点入手，然后集中精力突破较难的命题. 17．（Ⅰ）2{x x 3或x 1}<-；（Ⅱ）{m |24m 0}-<≤． 【分析】(Ⅰ)当m 1=时，()232f x x x =+-，根据二次不等式的求法，即可求解；(Ⅱ)因为不等式()0f x <的解集为R ，可得2320mx mx +-<恒成立，结合二次函数的性质，即可求解． 【详解】()I 当m 1=时，()2f x 3x x 2=+-．由()f x 0>可得23x x 20+->，解可得，2x 3>或x 1<-， 故不等式的解集为2{x x3或x 1}<- (Ⅱ)不等式()f x 0<的解集为R ，所以23mx mx 20+-<恒成立，①m 0=时，20-<恒成立，符合题意，②m 0≠时，根据二次函数的性质可知，m 02m 24m 0<⎧=+<⎨⎩，解可得，24m 0-<<，综上可得，实数m 的取值范围{m |24m 0}-<≤． 【点睛】本题主要考查了一元二次不等式的求解及二次函数的恒成立问题，其中解答中合理应用一元二次不等式和二次函数关系是解答的关键，同时解题中要注意分类讨论思想的应用，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题． 18．（1）53；（2）13-． 【分析】（1）由m a kb =+代入,a b 的坐标，然后得到m 的坐标表示，再由m 与 2a b -垂直，得到()20m a b ⋅-=，分别代入坐标，得到关于k 的方程，求出答案.（2）先得到kb c +的坐标，然后根据m 与kb c +平行，得到坐标关系，即关于k 的方程，求出答案. 【详解】（1）由题意，()()()3,1,23,12m a kb k k k k =+=-+-=-+-，()()()26,21,27,4a b -=---=-，因为m 与 2a b -垂直，所以()()()2734120m a b k k ⋅-=-⨯-++⨯-= 整理得25150k -=，解得53k =．（2）由题意，()()(),21,11,21kb c k k k k +=-+-=+--，由（1）知，()3,12m k k =-+-， 因为m 与kb c +平行，所以()()()()213121k k k k --⋅-+=-⋅+， 整理得620k +=，解得13k =-． 【点睛】本题考查向量的坐标运算，向量平行和垂直的坐标表示，属于简单题.19．(1) 6C π= (2) 3+【解析】试题分析：（1）由正弦定理将边化为角结合三角形内角和的性质，两角和的展开式得cos 2C =，进而得解； （2）由//AD BC ，得6CAD ACB π∠=∠=，由AD CD =，得6ACD CAD π∠=∠=，进而得23ADC π∠=，由余弦定理得AC ，进而求ACB S ∆和ACD S ∆即可. 试题解析：（1）在ABC ∆中，由正弦定理得sin cos sin 2C B B A +=，又()A B C π=-+，所以()sin cos sin 2C B B B C +=+，故sin cos C B B +sin cos cos sin B C B C =+，所以sin cos B C B =，又()0,B π∈，所以sin 0B ≠，故cos C =， 又()0,C π∈，所以6C π=．（2）因为//AD BC ，故6CAD ACB π∠=∠=，在ACD ∆中，2AD CD ==，所以6ACD CAD π∠=∠=，故23ADC π∠=， 所以222222222cos 123AC π=+-⨯⨯=， 又6ACB π∠=，AC BC =，所以211sin 3264ACB S AC BC AC π∆=⋅==，又12sin23ACD S CD AD π∆=⋅=所以四边形ABCD 的面积为3+． 20．(1)()2sin 6f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭；()22,233k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦； (2)当x π=时，()min 1f x =-；当3x π=时，()max 2f x =【分析】（1）根据图象可知2A =，142T π=，利用周期可求得ω；代入,23π⎛⎫⎪⎝⎭，结合ϕ的范围可求得ϕ，进而得到函数解析式；将x ωϕ+整体放入sin x 的单调增区间中，求得x 的范围即为()f x 的单调增区间；（2）利用x 的范围求得6x π+的范围，结合sin x 的图象可求得最值和取得最值时x 的取值. 【详解】（1）由图可知：2A =，154632T πππ=-= 2T π∴=，即：22ππω= 1ω∴=又23f π⎛⎫=⎪⎝⎭ 2sin 23πϕ⎛⎫∴+= ⎪⎝⎭，即：sin 13πϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭ 232k ππϕπ∴+=+，k Z ∈ 26k πϕπ∴=+，k Z ∈22ππϕ-<<6πϕ∴=()2sin 6f x x π⎛⎫∴=+ ⎪⎝⎭令22262k x k πππππ-+≤+≤+，k Z ∈，解得：22233k x k ππππ-+≤≤+，k Z ∈ ()f x ∴的单调增区间为：()22,233k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦（2）[]0,x π∈ 7,666x πππ⎡⎤∴+∈⎢⎥⎣⎦∴当766x ππ+=时，()min712sin 2162f x π⎛⎫==⨯-=- ⎪⎝⎭，此时x π= 当62x ππ+=时，()max 2sin22f x π==，此时3x π=【点睛】本题考查根据图象求解函数的解析式、正弦型函数单调区间的求解、最值点的求解问题，关键是能够采用整体对应的方式来研究函数的单调性和值域. 21．（Ⅰ）3A π=；（Ⅱ）(6,12].【解析】试题分析：（1）在三角形中处理边角关系时，一般全部转化为角的关系，或全部转化为边的关系.题中若出现边的一次式一般采用正弦定理，出现边的二次式一般采用余弦定理，应用正弦、余弦定理时，注意公式变形的应用，解决三角形问题时，注意角的限制范围;（2）在三角形中，注意隐含条件（3）解决三角形问题时，根据边角关系灵活的选用定理和公式，寻求角与角之间的关系，化非特殊角为特殊角；正确灵活运用公式，通过三角变换消去或约去一些非特殊角的三角函数值. 试题解析：（1）sin sin c a C A==，sin A A =∴tan A =∵0A π<< ∴ 3A π=6分（2）由正弦定理得：6sin sin sin 3a b c A B C π====，∴b B =，c C =∴b c B C +=+]sin sin()sin sin()3B A B B B ππ⎤=+--=++⎥⎦12sin()6B π=+∵5666B πππ<+<∴612sin()126B π<+≤ 即：(]6,12b c +∈ 12分考点：1、正弦定理的应用；2、三角函数的化简.22．（I ）1-；（II ；（III ）10,3⎛⎤ ⎥⎝⎦【分析】将()f x 整理为2sin 26x π⎛⎫+⎪⎝⎭；（I ）利用x 的范围求得26x π+的范围，结合sin x 的图象可求得最值；（II ）利用()85f x =-可求得sin 26x ；结合角的范围和同角三角函数关系可求得cos 26x π⎛⎫+⎪⎝⎭；根据cos 2cos 266x x ππ⎡⎤⎛⎫=+-⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，利用两角和差余弦公式可求得结果；（III ）利用x 的范围求得26x πω+的范围，从而根据sin x 单调递增区间构造出关于ω的不等式组，解不等式组再结合0>ω即可得到结果. 【详解】()2cos 2cos 12cos 22sin 26f x x x x x x x π⎛⎫=+-=+=+ ⎪⎝⎭（I ）0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦72,666x πππ⎡⎤∴+∈⎢⎥⎣⎦[]2sin 21,26x π⎛⎫∴+∈- ⎪⎝⎭()f x ∴在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为：1-（II ）由题意得：82sin 265x π⎛⎫+=- ⎪⎝⎭ 4sin 265x π⎛⎫∴+=- ⎪⎝⎭2,3x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦3132,626x πππ⎡⎤∴+∈⎢⎥⎣⎦ 3cos 265x π⎛⎫∴+= ⎪⎝⎭cos 2cos 2cos 2cos sin 2sin 666666x x x x ππππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=+-=+++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦341552=⨯=（III ）()2sin 26f x x πωω⎛⎫=+⎪⎝⎭,62x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，2,6366x πωπππωωπ⎡⎤+∈++⎢⎥⎣⎦ 2622362k k ππωππωππππ⎧+≤+⎪⎪∴⎨⎪+≥-⎪⎩，k Z ∈，解得：12362k k ωω⎧≤+⎪⎨⎪≥-⎩，k Z ∈0ω>，可知当0k =时满足题意，即103ω<≤ω∴的取值范围为：10,3⎛⎤ ⎥⎝⎦【点睛】本题考查正弦型函数的值域求解、单调性应用、三角恒等变换公式应用、同角三角函数关系等问题.关键是能够利用二倍角公式和辅助角公式将函数化为()sin A x ωϕ+的形式，从而通过整体对应的方式来研究函数的值域和性质.。

宁夏吴忠市青铜峡市高级中学2021-2022高一数学上学期第一次月考试题（含解析）一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知全集{}1,0,1,2,3U =-，集合{}0,1,2A =，{}1,0,1B =-，则UA B =（ ）A. {}1-B. {}0,1C. {}1,2,3-D. {}1,0,1,3-【答案】A 【解析】 【分析】本题根据交集、补集的定义可得.容易题，注重了基础知识、基本计算能力的考查. 【详解】={1,3}U C A -，则(){1}U C A B =-【点睛】易于理解集补集的概念、交集概念有误.2.关于一元二次方程22750x x --=，以下结论正确的是（ ） A. 方程没有实数根B. 方程有一正一负两个实数根C. 方程有两个不相等的正实根 D. 方程有两个不相等的负实根【答案】B 【解析】 【分析】根据判别式与韦达定理判断即可【详解】由题121275=49+40=890,,022x x x x ∆>+==-< 故方程有一正一负两个实数根 故选：B【点睛】本题考查一元二次方程根的分布，利用韦达定理判断是关键3.函数f （x ）的定义域为A. （0，+∞）B. [0，+∞）C. （1，+∞）D. [1，+∞）【答案】C 【解析】 【分析】要使原函数有意义，需满足x –1>0，解之即可.【详解】要使原函数有意义，需满足x –1>0，解得x>1．∴函数f （x ）的定义域为（1，+∞）． 故选C ．【点睛】本题考查函数定义域的求法，属基础题. 4.下列函数中,是奇函数的是（ ） A. 2y x =- B. 31y x=C. 21y x =+D. 41y x =【答案】B 【解析】 【分析】首先判断定义域是否关于原点对称，然后判断f （﹣x ）＝﹣f （x ）． 【详解】对于选项A ，定义域为R ，是偶函数； 对于选项B ，定义域为{x |x ≠0}，是奇函数； 对于选项C ，定义域为R ，是非奇非偶函数； 对于选项D ，定义域为{x |x ≠0}，是偶函数； 故选：B ．【点睛】本题考查了函数奇偶性的判断；首先判断定义域是否关于原点对称，如果不对称，则函数是非奇非偶的函数；如果关于原点对称，再判断f （﹣x ）与f （x ）的关系，相等是偶函数；相反是奇函数．5.集合A =2{|0}x x x -=，则A 的子集有（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个【答案】A 【解析】先求出集合A 中的元素，从而求出其子集的个数． 【详解】集合A =}{2{|0}=0,1x x x -=∴A 的子集的个数为：22＝4个， 故选：A ．【点评】本题考查集合子集的个数，如果一个集合有n 个元素，则有2n个子集． 6.下列各组函数中，表示同一个函数的是（ ） A. 2()f x x =和2()(1)g x x =+ B. ()f x x =和2()1x xg x x -=-C. 2()f x =和()1g x x =-D. ()f x x =和3()g x =【答案】D 【解析】 【分析】根据两个函数的定义域相同，对应关系也相同，判断它们是同一函数即可．【详解】对于A ，2()f x x =和2()(1)g x x =+的定义域相同，对应关系不相同∴不是同一函数；对于B ，()f x x =（x ∈R ）和2()1x xg x x -=-（x ≠1）的定义域不相同，∴不是同一函数；对于C ，2()f x =（1x ≥）和()1g x x =-（x ∈R ）的定义域不同，∴不是同一函数；对于D ，()f x x =和3()g x ==x 的定义域，对应关系都相同，∴是同一函数；故选：D ．【点评】本题考查了判断两个函数是否为同一函数的应用问题，是基础题目． 7.已知()f x 是奇函数，当0x >时，()f x =22x x -，则(2)f -=（ ） A. -10 B. 10C. 6-D. 6【答案】C 【解析】先求出f （2）的值,再利用奇函数得(2)f -的值．【详解】由题f （2）=8-2=6，()f x 是奇函数，则(2)f -=- f （2）=-6 故选：C【点睛】本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数奇偶性的合理运用．8.已知集合{|1<213}A x x =-<，{|}B x x a =<，若A B ⊆,则a 的取值范围是（ ） A. [1,)+∞ B. (,1]∞-C. [2,)+∞D. (,2]-∞【答案】C 【解析】 【分析】先求出集合A ，再由A B ⊆能求出实数a 的取值范围． 【详解】∵集合A ＝{x |1<x <2}， 若A B ⊆ ∴a ≥2，∴实数a 的取值范围是[2，+∞）． 故选：C ．【点评】本题考查根据集合的包含关系求参数的范围，考查对子集概念的理解，是基础题． 9.关于函数()23|2|f x x x =+-的单调递增区间为（ ） A. (,2]∞- B. (,4]∞-C. [2,)+∞D. [4,)+∞【答案】C 【解析】 【分析】去绝对值化简()23|2|f x x x =+-，求解单调区间即可【详解】56,2()232=6,2x x f x x x x x -≥⎧=+-⎨-<⎩，易得函数的增区间为[2,)+∞故选：C【点睛】本题考查分段函数的性质，涉及函数的图象与单调性，由绝对值的几何意义得到函数的解析式是解题的关键． 10.已知21(1)31x f x x -+=+，则(2)f =（ ） A. 3 B. 0C.37D.14【答案】D 【解析】 【分析】令1=2x +得x ＝1代入21(1)31x f x x -+=+即可求解． 【详解】令1=2x +得x ＝1，把x ＝1代入21(1)31x f x x -+=+，则1(2)4f =故选：D【点睛】本题考查函数求值问题，属基础题，难度不大．本题也可先求出函数解析式再求f （2）． 11.若函数f (x )＝x 2＋bx ＋c 对一切实数都有f (2＋x ) ＝ f (2－x )则( ) A. f (2)<f (1)< f (4) B. f (1)<f (2)< f (4) C. f (2)<f (4)< f (1) D. f (4)<f (2)< f (1)【答案】A 【解析】函数()2f x ax bx c =++对任意实数x 都有()()22f x f x +=-成立，∴函数图象关于2x =对称，当0a >时()2f 最小，由2142-<-，得()()14f f <，故选A.12.函数()()2ax bf x x c +=+的图象如图所示，则下列结论成立的是（ ）A. 0a >，0b >，0c <B. 0a <，0b >，0c >C. 0a <，0b >，0c <D. 0a <，0b <，0c < 【答案】C 【解析】试题分析：函数在P 处无意义，由图像看P 在y 轴右侧，所以0,0c c -><，()200,0b f b c =>∴>，由()0,0,f x ax b =∴+=即bx a=-，即函数的零点000.0,0bx a a b c a=->∴<∴<，故选C ． 考点：函数的图像二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把正确的答案填写在答题卡相应的横线上．13.如图，函数()f x 的图象是折线段ABC ，其中A B C ，，的坐标分别为(04)(20)(64)，，，，，，则((5))f f ______【答案】1 【解析】【分析】由三点的坐标分别求出线段AB 和BC 所在直线的方程，即可求函数f （x ）的解析式， 再利用分段函数求解((5))f f【详解】由A （0，4），B （2，0）可得 线段AB 所在直线的方程为124x y+=，整理得y ＝﹣2x +4，即f （x ）＝﹣2x +4（0≤x ≤2）． 同理BC 所在直线的方程为y ＝x ﹣2，即f （x ）＝x ﹣2（2＜x ≤6）． ∴()2402226x x f x x x -+≤≤⎧=⎨-≤⎩＜∴f （5）＝3，f （3）＝1． 故答案为：1【点评】本题的考点是求函数的值，主要考查了由函数图象求函数解析式，即由两点坐标求出直线方程，再转化为函数解析式，注意x 的范围并用分段函数表示．14.函数f (x )＝－x 2＋2x ＋3在区间[－2,3]上的最大值与最小值的和为________． 【答案】-1 【解析】函数f （x ）=﹣x 2+2x+3对称轴为x=1，由二次函数的性质，函数最大值为f （1）=4，最小值为f （﹣2）=﹣5所以最大值与最小值的和为﹣1 故答案为﹣1点睛：二次函数在给定区间上的最值不一定在端点处取得，要结合开口以及对称轴与区间端点的关系去求最值.15.若函数2()=(2)2f x x a x +++为偶函数，则实数a ＝______________ .【答案】-2 【解析】 【分析】利用偶函数的定义建立方程f （﹣x ）＝f （x ），然后求解a ．【详解】因为函数2()=(2)2f x x a x +++是偶函数，所以f （﹣x ）＝f （x ）， 即22(2)2=(2)22x a x x a x a +++-++∴=-故答案为：-2．【点睛】本题考查了函数奇偶性的应用，函数奇偶性的应用主要是通过定义，构建一个条件方程f （﹣x ）＝f （x ）或f （﹣x ）＝﹣f （x ），或者是利用函数奇偶性的运算性质来判断的． 16.已知函数()f x 是定义域为R 的偶函数，且在[0,)+∞上为减函数，若(21)(2)f a f +>-，则a 的取值范围是______________ 【答案】32-<a ＜12【解析】 【分析】利用偶函数在对称区间上的单调性相反得到f （x ）的单调性，利用单调性去掉抽象不等式的对应f ，解不等式得到解集．【详解】∵y ＝f （x ）是R 上的偶函数，且在[0,)+∞上为减函数，故在（﹣∞，0]上是增函数∵(21)(2)f a f +>- ∴|2a+1|<2 ∴32-<a ＜12故答案为：32-<a ＜12【点睛】本题考查偶函数的单调性：对称区间上的单调性相反；利用单调性解抽象不等式． 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.设全集U =R （R 是实数集），集合{}02A x x =<<，{}1B x x =≥，求：()U AB ，()()U U C A C B【答案】(){|01}U A C B x x ⋂=<<； ()(){1U U C A C B x x ⋃=<，或}2x ≥ 【解析】 【分析】利用交集，并集补集的定义求解即可【详解】{|1}U C B x x =<,则(){|01}U A C B x x ⋂=<<， {0U C A x x =≤，或}2x ≥，则 ()(){1U U C A C B x x ⋃=<，或}2x ≥【点睛】本题考查集合的运算，是基础题18.（1）已知函数2()2f x x x =-+，求(3)f ，(31)f x +（2）若()y g x =为一次函数，且(1)2,(3)8g g ==，求()g x 的解析式 【答案】（1）8, 2(31)=932f x x x +++;（2）()g x =31x -【解析】 【分析】（1）将3，及31x +代入解析式求解即可 （2）设()=y g x kx b =+，利用待定系数法求解【详解】（1）(3)=9328f -+=，()22(31)=31(31)2932f x x x x x ++-++=++ （2）设()=y g x kx b =+，则238k b k b +=⎧⎨+=⎩ ，解得3,1k b ==-故()g x =31x -【点睛】本题考查函数的解析式及求函数值，考查计算能力，是基础题 19.已知关于x 的方程220x x a ++=有两个不相等的实数根为12,x x （1）求a 的取值范围（2）若122194x x x x +=-，求a 【答案】（1）18a <（2）2a =- 【解析】 【分析】（1）利用判别式大于0求解（2）化简所求并将韦达定理代入即可求解 【详解】（1）因为方程有两个不相等实数根 则：1180 , 8a a =-><（2）由韦达定理，12121,22a x x x x +=-=2221212121221121212()294242a x x x x x x x x a x x x x x x -⋅++-+====- 解得2a =-，满足18a <所以2a =-【点睛】本题考查一元二次方程根的分布，考查韦达定理及应用，是基础题 20.已知函数+1()=1x f x x - （1）证明：函数()f x 在区间1+，单调递减（2）求函数+1,[3,5]1x y x x =∈-的最小值 【答案】（1）证明见解析（2）最小值为32【解析】 【分析】（1）根据题意，将函数的解析式变形可得()12111x f x x x +==+--，设任意的实数x 1，x 2且1＜x 1＜x 2，由作差法分析可得答案；（2）由（1）的结论，函数f （x ）在区间[3，5]单调递减函数，据此分析可得答案． 【详解】（1）设1212,(1,),x x x x ∈+∞<且 则：121212+1+1()()11x x f x f x x x -=--- 21122()(1)(1)x x x x -=--1212,(1,), 10,10x x x x ∈+∞∴->-> 1221, 0x x x x <∴->1212()()0, ()()f x f x f x f x ∴->>()f x ∴在区间1+∞（，）单调递减（2）由（1）知，[3,5]x ∈时，+11x y x =-单调递减， 则5x =时，函数的最小值为32y = 【点睛】本题考查函数的单调性的判断以及应用，涉及函数的最值，属于基础题．21.已知2()||2f x x x =-++（1）判断函数()f x 的奇偶性（2）作函数()y f x =的简图（在答题卡上作图，不需要写作图过程）并写出函数的单调递增区间【答案】（1）()f x 是偶函数（2）图像见解析，单调递增区间为11(,),(0,)22∞--【解析】【分析】（1）根据题意，由奇函数的性质以及函数的解析式分析可得答案；（2）由（1）的结论，作出函数的草图，据此分析可得函数的单调区间；【详解】（1）()f x 定义域为R对于任意x ∈R ，22()()||2||2f x x x x x -=--+-+=-++ ()()f x f x -=所以()f x 是偶函数（2）()f x 的单调递增区间为11(,),(0,)22∞-- 【点睛】本题考查分段函数的解析式，涉及函数的奇偶性、单调性的分析，属于基础题．22.已知31,? 0()=1,?025,?2x x f x x x x x +≤⎧⎪+<≤⎨⎪-+>⎩（1）求((4))f f（2）若()2f a >，求a 的取值范围（2）若(())2f f t =，求t 的值【答案】（1）((4))2f f =（2）13a <<（3）0t =或2t =或3t =【解析】【分析】（1）利用解析式，先求()4,f 再求((4))f f ．（2）分段建立不等式求解即可（3）分段建立方程求解【详解】（1）由题()()()()4=141=2f f f f ∴=，（2）a ≤0时，3a +1＞2，不成立；0＜a ≤2时，a +1＞2，∴1<a ≤2，a>2时，-a +5＞2，所以2<a <3,综上，a 的取值范围是13a <<（3）当()f t ≤0时，3()f t +1=2，不成立；0＜()f t ≤2时，()f t +1=2，∴()f t =1，故0022,,3111152t t t t t t ≤<≤>⎧⎧⎧⎨⎨⎨+=+=-+=⎩⎩⎩ 解得t=0,或3 ()f t >2时，-()f t +5=2，所以()f t =3故0022,,3131353t t t t t t ≤<≤>⎧⎧⎧⎨⎨⎨+=+=-+=⎩⎩⎩解得t=2, 综上，0t =或2t =或3t =【点睛】本题考查分段函数的应用，考查学生的计算能力，符合函数分层从内到外求解是关键，是中档题．。

宁夏青铜峡市高级中学2020-2021学年高二12月月考数学（文）试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．掷一枚质地均匀的骰子，向上的点数小于3的概率是（ ） A ．16B ．13C ．12D ．232．过点(3,4)A -，(2,)B m -的直线l 的斜率为-2，则m 的值为 A ．6B ．1C ．2D ．43．对具有线性相关关系的变量,x y ，测得一组数据如下表：根据上表，利用最小二乘法得它们的回归方程为10.5y x a =+，据此模型来预测当20x 时，y 的估计值为（ ）A ．210B ．210.5C ．211D ．211.54．在正方体1111ABCD A B C D -中，异面直线11B D 与CD 所成角的大小是（ ） A ．30︒B ．45︒C ．60︒D ．90︒5．已知圆221:40C x y +-=与圆222:44120C x y x y +-+-=相交于,A B 两点，则两圆的公共弦AB =A ．B ．CD ．26．已知四棱锥P ABCD -的三视图如图所示，则四棱锥P ABCD -的体积是（ ）.A ．BC ．6D ．87．若直线2x y -=被圆22()4x a y -+=所截得的弦长为，则实数a 的值为（ ）A ．0或4B ．0或3C ．-2或6D ．-18．设α、β是两个不同的平面，m 、n 是两条不同的直线，则下列命题正确的是 A ．若α、β垂直于同一平面，则αβ∥. B ．若α内无数条直线与β平行，则αβ∥. C ．若m α⊥，n m ⊥，则n α.D ．若m n ，αβ∥，则m 与α所成的角和n 与β所成的角相等. 9．点(0，﹣1)到直线()1y k x =+距离的最大值为（ ）A ．1B C D ．210．已知直线l 与直线2340x y -+=关于直线1x =对称，则直线l 的方程为（ ） A ．2380x y +-= B ．3210x y -+= C ．250x y +-=D ．3270x y +-=11．当点P 在圆221x y +=上变动时，它与定点(3,0)Q 的连结线段PQ 的中点的轨迹方程是（ ） A ．22(3)4x y ++= B ．22(23)41x y -+= C ．22(3)1x y -+=D ．22(23)41x y ++=12．在区间[]3,3-中随机取一个实数k ，则事件“直线y kx =与圆2221x y 相交”发生的概率为A B ．6C D二、填空题13．某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为200,400,300,100件，为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取________ 件.14．已知一组数据6，7，8，8，9，10，则该组数据的方差是____.15．从装有2个红球和2个白球的口袋内任取2个球，是互斥事件的序号为___________． （1）至少有1个白球；都是白球；（2）至少有1个白球；至少有1个红球； （3）恰有1个白球；恰有2个白球； （4）至少有1个白球；都是红球16．若实数x ，y 满足22(2)3x y -+=，那么yx的最大值是______三、解答题17．某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况，随机访问50名职工，根据这50名职工对该部门的评分，绘制频率分布直方图(如图所示)，其中样本数据分组区间为[40,50),[50,60),,[80,90),[90,100]⋯（1）求频率分布直方图中a 的值；（2）估计该企业的职工对该部门评分不低于80的概率；（3）从评分在[40,60)的受访职工中，随机抽取2人，求此2人评分都在[40,50)的概率.18．为了解某地区某种产品的年产量x （单位：吨）对价格y （单位：千元/吨）和利润z 的影响，对近五年该农产品的年产量和价格统计如下表：（1）求y 关于x 的线性回归方程ˆy bxa =+； （2）若每吨该农产品的成本为3千元，假设该农产品可全部卖出，预测当年产量为多少时，年利润z 取到最大值？（保留两位小数）参考公式：()()()1122211ˆnniii ii i nniii i x x y y x y nx ybx x xnx====---==--∑∑∑∑，ˆa y bx=-，562.7i iix y=∑.19．如图所示，边长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，1B C 与1BC 相交于点O .（1）求证：1//B C 平面11AA D D ； （2）求证：1BC ⊥平面1B DC ； （3）求四面体11B BDC -的体积.20．已知点(3,3)M ，圆22:(1)(2)4C x y -+-=. （1）求过点M 且与圆C 相切的直线方程；（2）若直线40()ax y a -+=∈R 与圆C 相交于A ，B 两点，且弦AB 的长为求实数a 的值.21．已知关于x 的一元二次方程()2222160x a x b ---+=（1）若a ，b 是一枚骰子掷两次所得到的点数，求方程有两正根的概率．（2）若]6[2a ∈，，]4[0b ∈，，求方程没有实根的概率． 22．已知圆C ：()()22344x y -+-=，直线l 过定点1,0A ． （1）若直线l 与圆C 相切，求直线l 的方程；（2）若直线l 与圆C 相交于P ，Q 两点，求CPQ ∆的面积的最大值，并求此时直线l 的方程．参考答案1．B 【分析】计算共有有6种情况，点数小于3的情况有2种，得到答案. 【详解】掷一枚质地均匀的骰子，向上的点数共有6种情况，点数小于3的情况有2种，故2163p ==. 故选：B . 【点睛】本题考查了概率的计算，意在考查学生的计算能力. 2．A 【分析】 由题意知4223AB m k +==---解方程即可.【详解】 由题意知4223AB m k +==---，∴6m =.故答案为A. 【点睛】根据直线斜率的概念得到结果. 3．D 【分析】先根据表中数据求出,x y 的平均值，代入回归方程可求得a ，再代入20x 即可求出结果.【详解】根据表中数据可得2456855x ++++==，2040607080545y ++++==， 5410.55a ∴=⨯+，解得 1.5a =，则当20x时，10.520 1.5211.5y =⨯+=.故选：D. 【点睛】关键点睛：本题考查利用线性回归方程来进行预测，解决本题的关键是知道样本的中心点在回归直线上，由此可求出a ，进而进行预测.4．B 【分析】如图所示，则111B D C ∠即为异面直线11B D 与CD 所成角．利用111B D C ∆为等腰直角三角形，即可得出． 【详解】解：如图正方体1111ABCD A B C D -中因为11//C D CD111B D C ∴∠即为异面直线11B D 与CD 所成角，又111B D C ∆为等腰直角三角形 11145B D C =︒∴∠故选：B 【点睛】本题考查了正方体的性质、异面直线所成的角，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 5．A 【分析】两圆方程相减得AB 所在的直线方程，再求出1C 到直线AB 的距离，从而由1C 的半径，利用勾股定理及垂径定理即可求出AB ． 【详解】圆221:40C x y +-=与圆222:44120C x y x y +-+-=相减得AB 所在的直线方程：20x y -+=.∵圆221:40C x y +-=的圆心()10,0C ，2r，∴圆心()0,0到直线AB ：20x y -+=的距离d ==，则AB ===． 故选A 【点睛】本题考查了圆与圆的公共弦的弦长和直线与圆相交的性质，求出公共弦所在的直线方程是解本题的关键，属于基础题． 6．B 【分析】根据三视图，得到侧面PAB ⊥底面ABCD ，从而求得底面面积和高，代入体积公式求解. 【详解】 如图所示：侧面PAB ⊥底面ABCD ，所以底面面积S ABCD =428⨯=，高OP =四棱锥P ABCD -的体积是1833V =⨯=， 故选：B 【点睛】本题主要考查三视图还原几何体以及几何体体积的求法，还考查了空间想象和运算求解的能力，属于基础题.7．A 【分析】先利用弦长、半径和弦心距的关系求得弦心距，再结合点到线的距离公式求解参数即可. 【详解】由圆()224x a y -+=可知，圆心(),0a ，半径为2，因为直线2x y -=被圆()224x a y -+=所截得的弦长为则圆心到直线的距离为d ==，即d ==22a -=，即4a =或0a =.故选：A. 8．D 【分析】根据线面的垂直与平行的判定与性质判断即可. 【详解】对A,如空间直角坐标系中设,xOy xOz yOz xOz αβ=⊥=⊥,但xOy yOz ⊥,故A 错误. 对B,当αβ⋂于直线a ,α内无数条直线与a 平行,即α内无数条直线与β平行,但αβ∥不成立.故B 错误.对C, 若m α⊥,n m ⊥,且n ⊂α也可成立,故//n α不一定成立.故C 错误. 对D, 若//m n ,αβ∥,则m 与α所成的角和n 与β所成的角相等正确.故D 正确. 故选：D 【点睛】本题主要考查了平行垂直的判定与性质,所以基础题型. 9．B 【分析】首先根据直线方程判断出直线过定点(1,0)P -，设(0,1)A -，当直线(1)y k x =+与AP 垂直时，点A 到直线(1)y k x =+距离最大，即可求得结果.【详解】由(1)y k x =+可知直线过定点(1,0)P -，设(0,1)A -，当直线(1)y k x =+与AP 垂直时，点A 到直线(1)y k x =+距离最大，即为||AP =故选：B. 【点睛】该题考查的是有关解析几何初步的问题，涉及到的知识点有直线过定点问题，利用几何性质是解题的关键，属于基础题. 10．A 【分析】先在已知直线上取两点关于1x =对称，在利用对称点求直线l 的方程即可. 【详解】直线2340x y -+=取两点()()1,2,2,0-，其关于1x =对称的点为()()1,2,4,0在直线l 上，故斜率为022413-=--，即方程为()2043y x -=--，即2380x y +-=. 故选：A. 11．B 【分析】根据已知条件可设()00,P x y ，线段PQ 的中点为(),M x y ，再利用中点坐标公式可得到0023,2x x y y =-=，再代入圆的方程221x y +=即可得到线段PQ 的中点的轨迹方程.【详解】设()00,P x y ，线段PQ 的中点为(),M x y ，（如图）则00322x x y y +⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩即00232x x y y =-⎧⎨=⎩，点()00,P x y 在圆221x y +=上变动，即22001x y +=()()222321x y ∴-+=即()222341x y -+=故选：B 【点睛】本题考查了中点坐标公式，动点轨迹方程求法，属于一般题. 12．A 【详解】依题意得圆22(2)1x y -+=的圆心为(2,0)，半径为1.要使直线y kx =与圆22(2)1x y -+=相交，则圆心到直线y kx =21k，解得k <<. 由几何概型的概率公式，得在区间[3,3]-中随机取一个实数k ，则事件“直线y kx =与圆22(2)1x y -+=相交”发生的概率为369=.故选A.点睛：（1）当试验的结果构成的区域为长度、面积、体积等时，要考虑使用几何概型求解； （2）利用几何概型求概率时，关键是试验的全部结果构成的区域和事件发生的区域的寻找，有时需要设出变量，在坐标系中表示所需要的区域；（3）几何概型有两个特点：一是无限性，二是等可能性，基本事件可以抽象为点，尽管这些点是无限的，但它们所占据的的区域是有限的，因此可用“比例解法”求解几何概型的概率. 13．18 【详解】应从丙种型号的产品中抽取30060181000⨯=件，故答案为18．点睛:在分层抽样的过程中，为了保证每个个体被抽到的可能性是相同的，这就要求各层所抽取的个体数与该层所包含的个体数之比等于样本容量与总体的个体数之比，即n i ∶N i ＝n ∶N ．14．53. 【分析】由题意首先求得平均数，然后求解方差即可. 【详解】由题意，该组数据的平均数为678891086+++++=，所以该组数据的方差是22222215[(68)(78)(88)(88)(98)(108)]63-+-+-+-+-+-=. 【点睛】本题主要考查方差的计算公式，属于基础题. 15．（3）（4） 【分析】根据互斥事件的概念依次判断每个选项中是否为互斥事件得到答案. 【详解】（1）至少有1个白球，都是白球，都是白球的情况两个都满足，故不是互斥事件；（2）至少有1个白球，至少有1个红球，一个白球一个红球都满足，故不是互斥事件； （3）恰有1个白球，恰有2个白球，是互斥事件； （4）至少有1个白球；都是红球，是互斥事件. 故答案为：（3）（4）. 【点睛】本题考查了互斥事件，意在考查学生对于互斥事件的理解和掌握. 16．【详解】解：满足等式（x-2）2+y 2=3的图形如下图所示：yx表示圆上动点与原点O 连线的斜率， 由图可得动点与B 重合时，此时OB 与圆相切，yx取最大值，连接BC ，在Rt △OBC 中，，OC=2 易得∠BOC=60°此时yx17．（1）0.006；（2）0.4；（3）110. 【分析】（1）在频率分布直方图中，由频率总和即所有矩形面积之和为1，可求a ；（2）在频率分布直方图中先求出50名受访职工评分不低于80的频率为0.4，由频率与概率关系可得该部门评分不低于80的概率的估计值为0.4；（3）受访职工评分在[50，60)的有3人，记为123,,A A A ，受访职工评分在[40，50)的有2 人，记为12,B B ，列出从这5人中选出两人所有基本事件，即可求相应的概率. 【详解】（1）因为(0.0040.00180.02220.028)101a +++⨯+⨯=， 所以0.006a =（2）由所给频率分布直方图知，50名受访职工评分不低于80的频率为(0.0220.018)100.4+⨯=，所以该企业职工对该部门评分不低于80的概率的估计值为0.4 （3）受访职工评分在[50，60)的有：50×0.006×10=3(人)， 即为123,,A A A ；受访职工评分在[40，50)的有： 50×0.004×10=2(人)，即为12,B B . 从这5名受访职工中随机抽取2人，所有可能的结果共有10种，它们是{}{}{}{}12131112,,,,,,,A A A A A B A B{}{}{}{}{}{}232122313212,,,,,,,,,,,A A A B A B A B A B B B又因为所抽取2人的评分都在[40，50)的结果有1种，即{}12,B B ， 故所求的概率为110P = 【点睛】本题考查频率分布直方图､概率与频率关系､古典概型，属中档题；利用频率分布直方图解题的时，注意其表达的意义，同时要理解频率是概率的估计值这一基础知识；在利用古典概型解题时，要注意列出所有的基本事件，千万不可出现重､漏的情况. 18．（1） 1.238.69y x =-+；（2）2.31吨. 【分析】（1）计算出x 和y ，将表格中的数据代入最小二乘法公式求得b 和a 的值，由此可求得回归直线方程；（2）求得z 关于x 的函数解析式为21.23 5.69z x x =-+，利用二次函数的基本性质可求得该函数取得最大值时对应的x 值，由此可得出结论. 【详解】（1）由表格中的数据可得1234535x ++++==，7.0 6.5 5.5 3.8 2.255y ++++==，5162.7i ii x y==∑，52155i i x ==∑，所以，2152251562.7535ˆ 1.2355535i ii i i x y x ybx x==--⨯⨯===--⨯-∑∑，()5 1.2338.69a ∴=--⨯=， 因此，回归直线方程为 1.238.69y x =-+；（2）年利润()28.69 1.233 1.23 5.69z x x x x x =--=-+.当 5.692.312 1.23x =≈⨯时，z 有最大值，因此当 2.31x =吨，年利润z 最大.【点睛】本题考查利用最小二乘法求回归直线方程，同时也考查了利用回归直线方程对总体进行估计，考查计算能力，属于中等题.19．（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）43【分析】（1）连接1D A ，通过证明11//BC AD 即可说明1//B C 平面11AA D D ； （2）通过11B C BC ⊥和1DC BC ⊥即可证明； （3）利用等体积法由1111B BDC D BB C V V --=即可求出. 【详解】（1）证明：连接1D A ，则在正方体1111ABCD A B C D -中，∵AB11D C ，∴四边形11ABC D 为平行四边形，∴11//BC AD ，又∵1BC ⊄平面11AA D D ，1AD ⊂平面11AA D D ，∴1//B C 平面11AA D D ；（2）证明：在正方体1111ABCD A B C D -中，11B C BC ⊥，DC BC ⊥，1DC C C ⊥，∴DC ⊥平面11BB C C ，∴1DC BC ⊥，又∵1B C 与DC 交于点C ，∴1BC ⊥平面1B DC ； （3）解：在正方体1111ABCD A B C D -中，11111122BB C S BB B C ∆=⋅=， 点D 到平面11BB C 的距离等于点D 到平面11BB C C 的距离为2， ∴1111142233B BDCD BB C V V --==⨯⨯=. 20．（1）3x =或34210x y +-=；（2）34-. 【分析】（1）考虑切线的斜率是否存在，结合直线与圆相切的的条件d=r ，直接求解圆的切线方程即可．（2）利用圆的圆心距、半径及半弦长的关系，列出方程，求解a 即可． 【详解】（1）由圆的方程得到圆心(1,2)，半径2r.当直线斜率不存在时，直线3x =与圆C 显然相切；当直线斜率存在时，设所求直线方程为3(3)y k x -=-，即330kx y k -+-=，2=，解得34k =-，∴ 方程为33(3)4y x -=--，即34210x y +-=. 故过点M 且与圆C 相切的直线方程为3x =或34210x y +-=. （2）∵ 弦长AB为 2. 圆心到直线40ax y -+=的距离d =∴224⎛⎫+=⎝⎭，解得34a =-. 【点睛】本题考查直线与圆的位置关系的综合应用，考查切线方程的求法，考查了垂径定理的应用，考查计算能力． 21．（1）19（2）4π 【分析】（1）由题意知本题是古典概型，计算基本事件a b （，）的总数和“方程有两个正根”的事件数，计算所求的概率值；（2）由题意知本题是几何概型，计算试验的全部结果构成区域和满足条件的事件组成区域，计算面积比即可． 【详解】（1）由题意知本题是一个古典概型，用a b （，）表示一枚骰子投掷两次所得到的点数的事件 依题意知，基本事件a b （，）的总数有36个，二次方程()2222160x a x b ---+=有两正根，等价于()222201604(2)4160a b a b ⎧->⎪⎪->⎨⎪∆=-+->⎪⎩即22244(2)16a b a b >⎧⎪-<<⎨⎪-+>⎩“方程有两个正根”的事件为A ，则事件A 包含的基本事件为：6,1)（、62（，） 、63（，） 、53（，）， 共4个，∴所求的概率为41()369P A ==. （2）由题意知本题是一个几何概型，如图所示：试验的全部结果构成区域,2604{|}a b a b Ω=≤≤≤≤（），， 其面积为16S Ω=（），满足条件的事件为：22{|}2604,216B a b a b a b =≤≤≤≤+（，），（﹣）＜， 其面积为21()444S B ππ=⨯⨯=， ∴所求概率为4()164P B ππ==. 【点睛】本题考查几何概型以及用列举法计算基本事件数及事件发生的概率，属于中档题. 22．（1）1x =或3430x y --= 【分析】（1）通过直线1l 的斜率存在与不存在两种情况，利用直线的方程与圆C 相切，圆心到直线的距离等于半径即可求解直线1l 的方程；（2）设直线方程为kx y k 0--=，求出圆心到直线的距离、求得弦长，得到CPQ ∆的面积的表达式，利用二次函数求出面积的最大值时的距离，然后求出直线的斜率，即可得到直线的方程. 【详解】（1）①若直线l 1的斜率不存在，则直线l 1：x ＝1，符合题意.②若直线l 1斜率存在，设直线l 1的方程为()1y k x =-，即0kx y k --=． 由题意知，圆心（3，4）到已知直线l 1的距离等于半径2，即：2=，解之得34k =. 所求直线l 1的方程是1x =或3430x y --=. (2)直线与圆相交，斜率必定存在，且不为0, 设直线方程为0kx y k --=，则圆心到直线l1的距离d=又∵△CPQ的面积12S d=⨯==∴当d S取得最大值2.∴d=∴ k＝1 或k＝7所求直线l1方程为x－y－1＝0或7x－y－7＝0 .【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系的应用，其中解答中涉及到直线与圆相切，圆的弦长公式，以及三角形的面积公式和二次函数的性质等知识点的综合考查，其中熟记直线与圆的位置关系的应用，合理准确计算是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.。

2020-2021学年宁夏吴忠市青铜峡高级中学高一（上）期末数学试卷一、选择题（共12小题）.1．已知全集A＝{x|1≤x≤2}，集合B＝{x|x≤1}，则A∩（∁R B）＝（）A．{x|x＞1}B．{x|x≥1}C．{x|1＜x≤2}D．{x|1≤x≤2} 2．若45°角的终边上有一点（a，﹣4﹣a），则a＝（）A．2B．4C．﹣2D．﹣43．下列函数中，是奇函数且在区间（0，1）上单调递增的是（）A．y＝sin x B．C．y＝cos x D．y＝lnx4．下列各式中，值为的是（）A．sin15°cos15°B．cos2﹣sin2C．D．5．已知函数f（x）＝﹣log2x，在下列区间中，函数f（x）有零点的是（）A．（0，1）B．（1，2）C．（2，4）D．（4，+∞）6．函数的部分图象如图所示，则ω，φ的值分别是（）A．B．C．D．7．已知＝，则sin2x＝（）A．﹣B．﹣C．D．8．函数f（x）＝（x2+cos x﹣|x2﹣cos x|）的大致图象是（）A．B．C．D．9．已知α，β∈（0，π），且tan（α﹣β）＝，tanβ＝﹣，则2α﹣β的值是（）A．﹣B．﹣C．D．10．已知f（x）＝，a＝21.2，，c＝2log52，则f（a），f（b），f（c）的大小关系为（）A．f（c）＜f（b）＜f（a）B．f（c）＜f（a）＜f（b）C．f（b）＜f（a）＜f（c）D．f（b）＜f（c）＜f（a）11．已知函数y＝2sin x的定义域为[a，b]，值域为[﹣2，1]，则b﹣a的值不可能是（）A．B．C．D．12．设函数（其中0＜ω＜1，a∈R），且f（x）的图象在y 轴右侧的第一个最高点横坐标为．且在区间上的最小值为，则a ＝（）A．1B．2C．D．二、填空题（共4小题）.13．已知sinθ•tanθ＜0，＞0，则角θ是第象限角．14．设函数f（x）＝的定义域为．15．已知扇形的弧长与面积都为2，则这个扇形的圆心角的弧度数是．16．已知函数，给出以下四个结论：①函数f（x）的最小正周期为2π；②函数f（x）在上为减函数；③函数f（x）的图象的一个对称中心是④若f（x1）＝f（x2），则x1+x2＝或x1﹣x2＝k2π（k2∈Z）．其中正确的序号是．（请写出所有结论正确的序号）三、解答题（共6小题）.17．计算．（1）；（2）．18．已知．（1）求sinα，cosα和tanα；（2）求的值．19．已知函数．（Ⅰ）用“五点法”作出在函数在一个周期内的图象简图．（Ⅱ）请描述如何由函数y＝sin x的图象通过变换得到y＝2sin（2x+）的图象．20．已知函数．（1）求函数f（x）的对称中心和最小正周期；（2）若当时，求函数f（x）的最大值及取得最大值时自变量x的集合．21．已知函数是定义域为R的奇函数．（1）求实数a和b的值；（2）若y＝f（x）在（1，+∞）上单调递减，且不等式f（t2﹣2t+4）+f（k﹣1）＜0（k＜0）对任意的t∈R恒成立，求实数k的取值范围．22．函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，φ∈[0，2π））的图象如图所示：（1）求f（x）的解析式；（2）f（x）向左平移个单位后得到函数g（x），求g（x）的单调递减区间；（3）若且，求x的取值范围．参考答案一、选择题（共12小题）.1．已知全集A＝{x|1≤x≤2}，集合B＝{x|x≤1}，则A∩（∁R B）＝（）A．{x|x＞1}B．{x|x≥1}C．{x|1＜x≤2}D．{x|1≤x≤2}【分析】先求出∁U B，由此能求出A∩（∁R B）．解：∵全集A＝{x|1≤x≤2}，集合B＝{x|x≤1}，∴∁U B＝{x|x＞1}，∴A∩（∁R B）＝{x|1＜x≤2}．故选：C．2．若45°角的终边上有一点（a，﹣4﹣a），则a＝（）A．2B．4C．﹣2D．﹣4【分析】由题意利用任意角的三角函数的定义，特殊角的三角函数值，求出a的值．解：∵45°角的终边上有一点（a，﹣4﹣a），∴tan45°＝＝1，则a＝﹣2，故选：C．3．下列函数中，是奇函数且在区间（0，1）上单调递增的是（）A．y＝sin x B．C．y＝cos x D．y＝lnx【分析】分别判断函数的奇偶性和单调性是否满足即可．解：A．y＝sin x是奇函数，当0＜x＜1时，函数为增函数，满足条件B．函数的定义域为{x|x≠0}，当0＜x＜1时，函数为减函数，不满足条件．C．y＝cos x为偶函数，不满足条件．D．函数的定义域为（0，+∞），关于原点不对称，函数为非奇非偶函数，不满足条件．故选：A．4．下列各式中，值为的是（）A．sin15°cos15°B．cos2﹣sin2C．D．【分析】直接利用三角函数关系式的变换和倍角公式的应用求出结果．解：由于选项A：sin15°cos15°＝sin30°＝，选项B：﹣＝＝，选项C：＝＝＝，选项D：＝＝tan45°＝．故选：B．5．已知函数f（x）＝﹣log2x，在下列区间中，函数f（x）有零点的是（）A．（0，1）B．（1，2）C．（2，4）D．（4，+∞）【分析】首先判断函数f（x）＝﹣log2x在（0，+∞）上是减函数，且连续；从而由零点的判定定理判断即可．解：易知函数f（x）＝﹣log2x在（0，+∞）上是减函数，且连续；f（1）＝1﹣0＝1＞0，f（2）＝﹣1＝﹣＜0；故函数f（x）有零点的区间是（1，2）；故选：B．6．函数的部分图象如图所示，则ω，φ的值分别是（）A．B．C．D．【分析】由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得结论．解：函数的部分图象，可得＝﹣，∴ω＝2．再根据五点法作图，有2×+φ＝，∴φ＝﹣，∴f（x）＝2sin（2x﹣），故选：D．7．已知＝，则sin2x＝（）A．﹣B．﹣C．D．【分析】利用二倍角的余弦公式、两角差的余弦公式化简所给的等式求得cos x+sin x＝，平方可得sin2x的值．解：∵已知＝＝cos x+sin x＝，平方可得1+2sin x cos x＝，∴sin2x＝2sin x cos x＝﹣，故选：A．8．函数f（x）＝（x2+cos x﹣|x2﹣cos x|）的大致图象是（）A．B．C．D．【分析】将函数化为分段函数的形式，再结合选项直接判断即可．解：因为，故选：B．9．已知α，β∈（0，π），且tan（α﹣β）＝，tanβ＝﹣，则2α﹣β的值是（）A．﹣B．﹣C．D．【分析】先根据题设条件，利用正切的两角和公式求得tanα的值，进而利用tan（2α﹣β）＝tan（α﹣β+α）根据两角和公式求得tan（2α﹣β）的值，进而根据α和β的范围确定2α﹣β的值．解：∵tan（α﹣β）＝，tanβ＝﹣，∴tanα＝tan（α﹣β+β）＝＝，∴tan（2α﹣β）＝tan（α﹣β+α）＝＝1，∵tanα＝＜，tanβ＝﹣＞﹣，α，β∈（0，π）∴0＜α＜，＜β＜π，∴﹣π＜2α﹣β＜﹣，∴2α﹣β＝﹣．故选：B．10．已知f（x）＝，a＝21.2，，c＝2log52，则f（a），f（b），f（c）的大小关系为（）A．f（c）＜f（b）＜f（a）B．f（c）＜f（a）＜f（b）C．f（b）＜f（a）＜f（c）D．f（b）＜f（c）＜f（a）【分析】首先判断f（x）在R上递增，再由指数函数的单调性和对数的运算性质可得a，b，c的大小关系，进而得到f（a），f（b），f（c）的大小关系．解：当x＜0时，f（x）＝﹣x2递增；当x≥0时，f（x）＝x3+1递增，且﹣02＜03+1，所以f（x）在R上递增，又1＜b＝（）﹣0.8＝20.8＜21.2＝a，c＝2log52＝log54∈（0，1），所以c＜b＜a，所以f（c）＜f（b）＜f（a），故选：A．11．已知函数y＝2sin x的定义域为[a，b]，值域为[﹣2，1]，则b﹣a的值不可能是（）A．B．C．D．【分析】根据三角函数的值域，先求出可能的a，b的取值，结合图象，判断在一个周期内b﹣a的最大取值范围即可．解：由﹣2≤2sin x≤1，得﹣1≤sin x≤，在一个周期内，由sin x＝，则x＝，或，，sin x＝﹣1，则x＝﹣，或，若a＝，则≤b≤，则≤b﹣a≤，则B，C，D，都有可能，故选：A．12．设函数（其中0＜ω＜1，a∈R），且f（x）的图象在y 轴右侧的第一个最高点横坐标为．且在区间上的最小值为，则a ＝（）A．1B．2C．D．【分析】由图象平移知，f（x）在y轴右侧是第一个最高点横坐标是的sin（2ωx+）取得最大值1，由此解得ω的值，由x的范围得到x+的范围，再得到正弦函数的范围，最后得到f（x）的范围，由此可得a的值．解：∵f（x）＝sin（2ωx+）++a（0＜ω＜1，a∈R），且f（x）的图象在y轴右侧的第一个最高点的横坐标为，∴sin（ω+）＝1，即ω+＝，∴ω＝∈（0，1），∵f（x）在区间x∈[﹣，]上的最小值为，∴x+∈[0，]∴sin（x+）∈[﹣，1]，f（x）的最小值为﹣++a＝，∴a＝，故选：C．二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）13．已知sinθ•tanθ＜0，＞0，则角θ是第二象限角．【分析】通过已知条件，判断α所在象限．解：因为sinθ•tanθ＜0且＞0，所以sinθ＞0，tanθ＜0且cosθ＜0，所以θ是第二象限角，故答案是：二．14．设函数f（x）＝的定义域为（0，10]．【分析】由函数f（x）＝的定义域为：，解不等式组即可求出答案．解：函数f（x）＝的定义域为：，解得：0＜x≤10．∴函数f（x）＝的定义域为：（0，10]．故答案为：（0，10]．15．已知扇形的弧长与面积都为2，则这个扇形的圆心角的弧度数是1．【分析】根据扇形的弧长公式和面积公式进行求解即可．解：∵一个扇形的弧长l与面积S都是2，∴S＝lr，则r＝2，则扇形的弧度数α＝＝＝1rad，故答案为：1．16．已知函数，给出以下四个结论：①函数f（x）的最小正周期为2π；②函数f（x）在上为减函数；③函数f（x）的图象的一个对称中心是④若f（x1）＝f（x2），则x1+x2＝或x1﹣x2＝k2π（k2∈Z）．其中正确的序号是③④．（请写出所有结论正确的序号）【分析】①求最小正周期判断，②举反例法判断，③特殊值法判断，④解三角方程法判断．解：＝sin（2x+）+sin＝sin（2x+）+；对于①，函数f（x）的最小正周期为T＝，不是2π，所以①错；对于②，假设f（x）在上为减函数，当α＝，β＝时，f（β）﹣f（α）＝sin（）＞0，与假设矛盾，所以②错；对于③，对函数f（x）＝sin（2x+）+，f（）＝，由正弦函数性质知，点为f（x）＝图象的一个对称中心，所以③对；对于④，f（x1）＝f（x2）⇔f（x1）﹣f（x2）＝0⇔sin（2x1+）﹣sin（2x2+）＝0⇔2cos（x1+x2+）sin（x1﹣x2）＝0⇔cos（x1+x2+）＝0或sin（x1﹣x2）＝0⇔x1+x2+或x1﹣x2＝k2π（k2∈Z），所以④对；故答案为：③④．三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．计算．（1）；（2）．【分析】（1）利用指数的性质、运算法则直接求解．（2）利用对数的性质、运算法则直接求解．【解答】（1）＝＝102．（2）＝π﹣3+3+2﹣5﹣（﹣2）＝π﹣1．18．已知．（1）求sinα，cosα和tanα；（2）求的值．【分析】（1）利用诱导公式，同角三角函数基本关系式即可化简求值得解．（2）利用诱导公式，同角三角函数基本关系式即可化简求值得解．解：（1）因为，所以﹣sinα＝﹣2cosα，可得tanα＝2，所以sin2α+cos2α＝5cos2α＝1，解得，或；（2）＝＝＝＝﹣．19．已知函数．（Ⅰ）用“五点法”作出在函数在一个周期内的图象简图．（Ⅱ）请描述如何由函数y＝sin x的图象通过变换得到y＝2sin（2x+）的图象．【分析】（Ⅰ）分别令取0，，π，，2π，列表、描点、连线即可作出函数在一个周期内的图象简图；（Ⅱ）根据三角函数图象的变换原则即可得到函数y＝sin x的图象通过变换得到函数的图象的变换过程．解：（Ⅰ）列表如下：0π2πxy020﹣20函数在一个周期内的图象简图如下所示：（Ⅱ）先将函数y＝sin x的图象向左平移个单位，再将所得图象上每个点的横坐标缩短为原来的，最后将图象上每个点的纵坐标伸长为原来的2倍，即可得到函数的图象．20．已知函数．（1）求函数f（x）的对称中心和最小正周期；（2）若当时，求函数f（x）的最大值及取得最大值时自变量x的集合．【分析】（1）化简函数f（x），求出最小正周期和对称中心即可；（2）根据x的范围，求出2x﹣的范围，求出函数的最大值以及对应x的值即可．解：（1）＝1﹣cos2x+sin2x﹣＝sin2x﹣cos2x+＝sin（2x﹣）+，最小正周期是T＝＝π，由2x﹣＝kπ，解得：x＝+，故对称中心是（+，）（k∈Z），（2）∵0≤x≤，∴﹣≤2x﹣≤，故当2x﹣＝时，f（x）max＝1，此时，x＝，故函数f（x）的最大值是1，此时自变量x的集合是{}．21．已知函数是定义域为R的奇函数．（1）求实数a和b的值；（2）若y＝f（x）在（1，+∞）上单调递减，且不等式f（t2﹣2t+4）+f（k﹣1）＜0（k ＜0）对任意的t∈R恒成立，求实数k的取值范围．【分析】（1）根据f（x）为奇函数，可得以f（﹣x）＝﹣f（x），然后求出a，b的值；（2）根据f（x）为奇函数，将f（t2﹣2t+4）+f（k﹣1）＜0转化为f（t2﹣2t+4）＜f（1﹣k），再结合f（x）的单调性，进一步求出k的取值范围．解：（1）∵为奇函数，∴f（﹣x）＝﹣f（x），即恒成立，∴a＝b＝0，∴．（2）∵f（x）为奇函数，∴f（t2﹣2t+4）+f（k﹣1）＜0（k＜0），∴f（t2﹣2t+4）＜﹣f（k﹣1），∴f（t2﹣2t+4）＜f（1﹣k）．∵k＜0，∴1﹣k＞1，∵t2﹣2t+4＝（t﹣1）2+3＞1，且f（x）在（1，+∞）上为减函数，∴t2﹣2t+4＞1﹣k，∴k＞﹣（t﹣1）2﹣2．∵t∈R，∴k＞﹣2，又k＜0，∴k∈（﹣2，0），即k的取值范围为（﹣2，0）．22．函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，φ∈[0，2π））的图象如图所示：（1）求f（x）的解析式；（2）f（x）向左平移个单位后得到函数g（x），求g（x）的单调递减区间；（3）若且，求x的取值范围．【分析】（1）由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得函数的解析式．（2）由题意函数y＝A sin（ωx+φ）的图象变换规律，求得g（x）的解析式，再利用余弦函数的单调性，求得g（x）的减区间．（3）由题意可得，再利用正弦函数的图象和性质，求得x的范围．解：（1）由题意知：，，∴，即ω＝2，∵2×+φ＝π，∴φ＝，∴．（2）∵把f（x）向左平移个单位后得到函数g（x），∴g（x）＝f（x+）＝sin[2（x+）+]＝sin（2x+）＝cos2x，令2kπ≤2x≤2kπ+π，求得kπ≤x≤kπ+，可得g（x）的减区间为[kπ，kπ+]，k∈Z．（3）由题意知：若，则，即，先考虑x∈[0，π]，则，或，，由f（|x|）图象的对称性，得x∈[﹣，]∪{π}．。