高中数学人教A版选修2-1：第二章 章末复习课 Word版含答案

学业分层测评(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．等轴双曲线的一个焦点是F 1(－6，0)，则它的标准方程是( ) A.y 218－x 218＝1 B.x 218－y 218＝1 C.x 28－y 28＝1D.y 28－x 28＝1【解析】 设等轴双曲线方程为x 2a 2－y 2a 2＝1(a ＞0)， ∴a 2＋a 2＝62，∴a 2＝18，故双曲线方程为x 218－y 218＝1.【答案】 B2．已知双曲线方程为x 2－y 24＝1，过P (1，0)的直线l 与双曲线只有一个公共点，则共有l ( )A ．4条B ．3条C ．2条D ．1条【解析】 因为双曲线方程为x 2－y24＝1，所以P (1，0)是双曲线的右顶点，所以过P (1，0)并且和x 轴垂直的直线是双曲线的一条切线，与双曲线只有一个公共点，另外还有两条就是过点P (1，0)分别和两条渐近线平行的直线，所以符合要求的共有3条，故选B.【答案】 B3．双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为2，焦点到渐近线的距离为3，则双曲线C 的焦距等于( ) 【导学号：18490063】A ．2B ．2 2C ．4D ．4 2【解析】 由已知得e ＝c a ＝2，所以a ＝12c ，故b ＝c 2－a 2＝32c ，从而双曲线的渐近线方程为y ＝±ba x ＝±3x ，由焦点到渐近线的距离为3，得32c ＝3，解得c ＝2，故2c ＝4，故选C. 【答案】 C4．若实数k 满足0<k <5，则曲线x 216－y 25－k ＝1与曲线x 216－k －y 25＝1的( )A ．实半轴长相等B ．虚半轴长相等C ．离心率相等D ．焦距相等【解析】 若0<k <5，则5－k >0，16－k >0，故方程x 216－y 25－k ＝1表示焦点在x 轴上的双曲线，且实半轴的长为4，虚半轴的长为5－k ，焦距2c ＝221－k ，离心率e ＝21－k 4；同理方程x 216－k －y 25＝1也表示焦点在x 轴上的双曲线，实半轴的长为16－k ，虚半轴的长为5，焦距2c ＝221－k ，离心率e ＝21－k16－k.可知两曲线的焦距相等，故选D.【答案】 D5．双曲线两条渐近线互相垂直，那么它的离心率为( ) A ．2 B. 3 C. 2D.32【解析】 双曲线为等轴双曲线，两条渐近线方程为y ＝±x ，即ba ＝1，e ＝ca ＝ 2.【答案】 C 二、填空题6．在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线x 2m －y 2m 2＋4＝1的离心率为5，则m 的值为________． 【解析】 ∵c 2＝m ＋m 2＋4，∴e 2＝c 2a 2＝m ＋m 2＋4m＝5， ∴m 2－4m ＋4＝0，∴m ＝2. 【答案】 27．已知F 为双曲线C ：x 29－y 216＝1的左焦点，P ，Q 为C 上的点．若PQ 的长等于虚轴长的2倍，点A (5，0)在线段PQ 上，则△PQF 的周长为________．【解析】 由双曲线方程知，b ＝4，a ＝3，c ＝5，则虚轴长为8，则|PQ |＝16.由左焦点F (－5，0)，且A (5，0)恰为右焦点，知线段PQ 过双曲线的右焦点，则P ，Q 都在双曲线的右支上．由双曲线的定义可知|PF |－|P A |＝2a ，|QF |－|QA |＝2a ，两式相加得，|PF |＋|QF |－(|P A |＋|QA |)＝4a ，则|PF |＋|QF |＝4a ＋|PQ |＝4×3＋16＝28，故△PQF 的周长为28＋16＝44.【答案】 448．设直线x －3y ＋m ＝0(m ≠0)与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线分别交于点A ，B ，若点P (m ，0)满足|P A |＝|PB |，则该双曲线的离心率是________．【解析】由⎩⎨⎧x －3y ＋m ＝0，y ＝b a x ，得点A 的坐标为： ⎝ ⎛⎭⎪⎫am 3b －a ，bm 3b －a ， 由⎩⎨⎧x －3y ＋m ＝0，y ＝－b a x ，得点B 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－am 3b ＋a ，bm 3b ＋a ， 则AB 的中点C 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2m 9b 2－a 2，3b 2m 9b 2－a 2，∵k AB ＝13，∴k CP ＝3b 2m 9b 2－a 2a 2m 9b 2－a 2－m＝－3，即3b 2a 2－（9b 2－a 2）＝－3，化简得a 2＝4b 2， 即a 2＝4(c 2－a 2)，∴4c 2＝5a 2， ∴e 2＝54，∴e ＝52.【答案】 52 三、解答题9．双曲线与椭圆x 216＋y 264＝1有相同的焦点，它的一条渐近线为y ＝x ，求双曲线的标准方程和离心率．【解】 由椭圆x 216＋y 264＝1，知c 2＝64－16＝48，且焦点在y 轴上， ∵双曲线的一条渐近线为y ＝x ， ∴设双曲线方程为y 2a 2－x 2a 2＝1. 又c 2＝2a 2＝48，∴a 2＝24. ∴所求双曲线的方程为y 224－x 224＝1. 由a 2＝24，c 2＝48， 得e 2＝c 2a 2＝2，又e >0，∴e ＝ 2.10．已知双曲线x 23－y 2b 2＝1的右焦点为(2，0)． (1)求双曲线的方程；(2)求双曲线的渐近线与直线x ＝－2围成的三角形的面积． 【解】 (1)∵双曲线的右焦点坐标为(2，0)，且双曲线方程为x 23－y 2b2＝1，∴c 2＝a 2＋b 2＝3＋b 2＝4，∴b 2＝1，∴双曲线的方程为x 23－y 2＝1. (2)∵a ＝3，b ＝1，∴双曲线的渐近线方程为y ＝±33x ， 令x ＝－2，则y ＝±233，设直线x ＝－2与双曲线的渐近线的交点为A ，B ，则|AB |＝433，记双曲线的渐近线与直线x ＝－2围成的三角形的面积为S ，则S ＝12×433×2＝43 3.[能力提升]1．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的两条渐近线均与曲线C ：x 2＋y 2－6x ＋5＝0相切，则该双曲线的离心率等于( )A.355B.62C.32D.55【解析】 曲线C 的标准方程为(x －3)2＋y 2＝4，所以圆心坐标为C (3，0)，半径r ＝2，双曲线的渐近线为y ＝±b a x ，不妨取y ＝ba x ，即bx －ay ＝0，因为渐近线与圆相切，所以圆心到直线的距离d ＝|3b |a 2＋b 2＝2，即9b 2＝4(a 2＋b 2)，所以5b 2＝4a 2，b 2＝45a 2＝c 2－a 2，即95a 2＝c 2，所以e 2＝95，e ＝355，选A.【答案】 A2．设F 1，F 2分别为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点．若在双曲线右支上存在点P ，满足|PF 2|＝|F 1F 2|，且F 2到直线PF 1的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近线方程为( )A ．3x ±4y ＝0B ．3x ＋5y ＝0C ．5x ±4y ＝0D ．4x ±3y ＝0【解析】 由题意可知|PF 2|＝|F 1F 2|＝2c ，所以△PF 1F 2为等腰三角形，所以由F 2向直线PF 1作的垂线也是中线，因为F 2到直线PF 1的距离等于双曲线的实轴长2a ，所以|PF 1|＝24c 2－4a 2＝4b ，又|PF 1|－|PF 2|＝2a ，所以4b －2c ＝2a ，所以2b －a ＝c ，两边平方可得4b 2－4ab ＋a 2＝c 2＝a 2＋b 2，所以3b 2＝4ab ，所以4a ＝3b ，从而b a ＝43，所以该双曲线的渐近线方程为4x ±3y ＝0，故选D.【答案】 D3．过双曲线x 2－y 23＝1的左焦点F 1，作倾斜角为π6的直线AB ，其中A ，B 分别为直线与双曲线的交点，则|AB |的长为________．【解析】 双曲线的左焦点为F 1(－2，0)， 将直线AB 的方程y ＝33(x ＋2)代入双曲线方程， 得8x 2－4x －13＝0.显然Δ＞0， 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，∴x 1＋x 2＝12，x 1x 2＝－138，∴|AB |＝1＋k 2·（x 1＋x 2）2－4x 1x 2 ＝1＋13×⎝ ⎛⎭⎪⎫122－4×⎝ ⎛⎭⎪⎫－138＝3. 【答案】 34．已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为(2，0)，右顶点为(3，0)．(1)求双曲线C 的方程； 【导学号：18490064】(2)若直线l ：y ＝kx ＋2与双曲线C 恒有两个不同的交点A 和B ，且OA→·OB →>2，其中O 为原点，求k 的取值范围． 【解】 (1)设双曲线C 的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，由已知得a ＝3，c ＝2.又因为a 2＋b 2＝c 2，所以b 2＝1， 故双曲线C 的方程为x 23－y 2＝1. (2)将y ＝kx ＋2代入x 23－y 2＝1中， 得(1－3k 2)x 2－62kx －9＝0， 由直线l 与双曲线交于不同的两点得：⎩⎪⎨⎪⎧1－3k 2≠0，Δ＝（－62k ）2＋36（1－3k 2）>0， 即k 2≠13且k 2<1.①设A (x A ，y A )，B (x B ，y B )，则x A ＋x B ＝62k1－3k 2，x A x B＝－91－3k 2， 由OA →·OB →>2得x A x B ＋y A y B>2， 而x A x B ＋y A y B ＝x A x B ＋(kx A ＋2)(kx B ＋2) ＝(k 2＋1)x A x B ＋2k (x A ＋x B )＋2＝(k 2＋1)·－91－3k 2＋2k ·62k 1－3k 2＋2＝3k 2＋73k 2－1，于是3k 2＋73k 2－1>2，解此不等式得13<k 2<3. ②由①②得13<k 2<1.故k 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－33∪⎝ ⎛⎭⎪⎫33，1.。

学业分层测评(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．方程x 22＋m －y 22－m ＝1表示双曲线，则m 的取值范围为( )A ．－2＜m ＜2B ．m ＞0C ．m ≥0D ．|m |≥2【解析】 ∵已知方程表示双曲线，∴(2＋m )(2－m )＞0.∴－2＜m ＜2.【答案】 A2．设动点P 到A (－5，0)的距离与它到B (5，0)距离的差等于6，则P 点的轨迹方程是( )A.x 29－y 216＝1B.y 29－x 216＝1 C.x 29－y 216＝1(x ≤－3)D.x 29－y 216＝1(x ≥3)【解析】 由题意知，轨迹应为以A (－5，0)，B (5，0)为焦点的双曲线的右支．由c ＝5，a ＝3，知b 2＝16，∴P 点的轨迹方程为x 29－y 216＝1(x ≥3)． 【答案】 D3．已知双曲线的中心在原点，两个焦点F 1，F 2分别为(5，0)和(－5，0)，点P 在双曲线上，且PF 1⊥PF 2，△PF 1F 2的面积为1，则双曲线的方程为( )A.x 22－y 23＝1 B.x 23－y 22＝1C.x 24－y 2＝1D ．x 2－y24＝1【解析】 由⎩⎪⎨⎪⎧|PF 1|·|PF 2|＝2，|PF 1|2＋|PF 2|2＝（25）2，⇒(|PF 1|－|PF 2|)2＝16，即2a ＝4，解得a ＝2，又c ＝5，所以b ＝1，故选C. 【答案】 C4．已知椭圆方程x 24＋y 23＝1，双曲线的焦点是椭圆的顶点，顶点是椭圆的焦点，则双曲线的离心率为( )A. 2B. 3 C ．2D ．3【解析】 椭圆的焦点为(1，0)，顶点为(2，0)，即双曲线中a ＝1，c ＝2，所以双曲线的离心率为e ＝c a ＝21＝2.【答案】 C5．若k ＞1，则关于x ，y 的方程(1－k )x 2＋y 2＝k 2－1所表示的曲线是( )A ．焦点在x 轴上的椭圆B ．焦点在y 轴上的椭圆C ．焦点在y 轴上的双曲线D ．焦点在x 轴上的双曲线【解析】 原方程化为标准方程为x 2k 2－11－k ＋yk 2－1＝1，∵k ＞1，∴1－k ＜0，k 2－1＞0， ∴此曲线表示焦点在y 轴上的双曲线． 【答案】 C 二、填空题6．设点P 是双曲线x 29－y 216＝1上任意一点，F 1，F 2分别是其左、右焦点，若|PF 1|＝10，则|PF 2|＝________．【解析】 由双曲线的标准方程得a ＝3，b ＝4. 于是c ＝a 2＋b 2＝5.(1)若点P 在双曲线的左支上，则|PF 2|－|PF 1|＝2a ＝6，∴|PF 2|＝6＋|PF 1|＝16； (2)若点P 在双曲线的右支上， 则|PF 1|－|PF 2|＝6，∴|PF 2|＝|PF 1|－6＝10－6＝4. 综上，|PF 2|＝16或4. 【答案】 16或47．已知F 1(－3，0)，F 2(3，0)，满足条件|PF 1|－|PF 2|＝2m －1的动点P 的轨迹是双曲线的一支，则m 可以是下列数据中的________．(填序号)①2；②－1；③4；④－3.【解析】 设双曲线的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1，则c ＝3，∵2a <2c ＝6，∴|2m －1|<6，且|2m －1|≠0，∴－52<m <72，且m ≠12，∴①②满足条件．【答案】 ①②8．已知△ABP 的顶点A ，B 分别为双曲线C ：x 216－y 29＝1的左、右焦点，顶点P 在双曲线C 上，则|sin A －sin B |sin P 的值等于________. 【导学号：18490058】【解析】 由方程x 216－y 29＝1知a 2＝16，b 2＝9，即a ＝4，c ＝16＋9＝5.在△ABP 中，利用正弦定理和双曲线的定义知，|sin A －sin B |sin P ＝||PB |－|P A |||AB |＝2a 2c ＝2×42×5＝45.【答案】 45 三、解答题9．求与双曲线x 24－y 22＝1有相同焦点且过点P (2，1)的双曲线的方程．【解】 ∵双曲线x 24－y 22＝1的焦点在x 轴上． 依题意，设所求双曲线为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)． 又两曲线有相同的焦点，∴a 2＋b 2＝c 2＝4＋2＝6. ①又点P (2，1)在双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1上， ∴4a 2－1b 2＝1.②由①②联立得a 2＝b 2＝3， 故所求双曲线方程为x 23－y 23＝1.10．已知方程kx 2＋y 2＝4，其中k 为实数，对于不同范围的k 值分别指出方程所表示的曲线类型．【解】 (1)当k ＝0时，y ＝±2，表示两条与x 轴平行的直线； (2)当k ＝1时，方程为x 2＋y 2＝4，表示圆心在原点，半径为2的圆；(3)当k ＜0时，方程为y 24－x 2－4k ＝1，表示焦点在y 轴上的双曲线；(4)当0＜k ＜1时，方程为x 24k ＋y 24＝1，表示焦点在x 轴上的椭圆；(5)当k ＞1时，方程为x 24k＋y 24＝1，表示焦点在y 轴上的椭圆．[能力提升]1．椭圆x 24＋y 2a 2＝1与双曲线x 2a －y 22＝1有相同的焦点，则a 的值为( )A ．1B.2C ．2D ．3【解析】 由题意知椭圆、双曲线的焦点在x 轴上，且 a >0.∵4－a 2＝a ＋2，∴a 2＋a －2＝0， ∴a ＝1或a ＝－2(舍去)．故选A. 【答案】 A2．已知F 1，F 2为双曲线C ：x 2－y 2＝1的左、右焦点，点P 在双曲线C 上，∠F 1PF 2＝60°，则|PF 1|·|PF 2|等于( )A ．2B ．4C ．6D ．8【解析】 不妨设P 是双曲线右支上一点， 在双曲线x 2－y 2＝1中，a ＝1，b ＝1，c ＝2， 则|PF 1|－|PF 2|＝2a ＝2，|F 1F 2|＝22，∵|F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|·cos ∠F 1PF 2， ∴8＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|·12，∴8＝(|PF 1|－|PF 2|)2＋|PF 1|·|PF 2|， ∴8＝4＋|PF 1||PF 2|， ∴|PF 1||PF 2|＝4.故选B. 【答案】 B3．已知双曲线x 216－y 225＝1的左焦点为F ，点P 为双曲线右支上的一点，且PF 与圆x 2＋y 2＝16相切于点N ，M 为线段PF 的中点，O 为坐标原点，则|MN |－|MO |＝________．【解析】 设F ′是双曲线的右焦点，连接PF ′(图略)，因为M ，O 分别是FP ，FF ′的中点，所以|MO |＝12|PF ′|，又|FN |＝|OF |2－|ON |2＝5，由双曲线的定义知|PF |－|PF ′|＝8，故|MN |－|MO |＝|MF |－|FN |－12|PF ′|＝12(|PF |－|PF ′|)－|FN |＝12×8－5＝－1.【答案】 －14．已知双曲线x 216－y 24＝1的两焦点为F 1，F 2.(1)若点M 在双曲线上，且MF 1→·MF 2→＝0，求点M 到x 轴的距离； 【导学号：18490059】(2)若双曲线C 与已知双曲线有相同焦点，且过点(32，2)，求双曲线C 的方程．【解】 (1)不妨设M 在双曲线的右支上，M 点到x 轴的距离为h ，MF 1→·MF 2→＝0， 则MF 1⊥MF 2， 设|MF 1|＝m ，|MF 2|＝n ，由双曲线定义知，m －n ＝2a ＝8， ① 又m 2＋n 2＝(2c )2＝80，②由①②得m ·n ＝8，∴12mn ＝4＝12|F 1F 2|·h ，∴h ＝255. (2)设所求双曲线C 的方程为x2 16－λ－y24＋λ＝1(－4<λ<16)，由于双曲线C过点(32，2)，所以1816－λ－44＋λ＝1，解得λ＝4或λ＝－14(舍去)．∴所求双曲线C的方程为x212－y28＝1.。

新课程标准数学选修2—1第二章课后习题解答第二章 圆锥曲线与方程 2．1曲线与方程 练习（P37）1、是. 容易求出等腰三角形ABC 的边BC 上的中线AO 所在直线的方程是0x =.2、3218,2525a b ==.3、解：设点,A M 的坐标分别为(,0)t ，(,)x y . （1）当2t ≠时，直线CA 斜率 20222CA k t t-==-- 所以，122CB CA t k k -=-=由直线的点斜式方程，得直线CB 的方程为 22(2)2t y x --=-. 令0x =，得4y t =-，即点B 的坐标为(0,4)t -.由于点M 是线段AB 的中点，由中点坐标公式得4,22t tx y -==.由2t x =得2t x =，代入42ty -=，得422xy -=，即20x y +-=……①（2）当2t =时，可得点,A B 的坐标分别为(2,0)，(0,2) 此时点M 的坐标为(1,1)，它仍然适合方程①由（1）（2）可知，方程①是点M 的轨迹方程，它表示一条直线. 习题2.1 A 组（P37）1、解：点(1,2)A -、(3,10)C 在方程2210x xy y -++=表示的曲线上；点(2,3)B -不在此曲线上2、解：当0c ≠时，轨迹方程为12c x +=；当0c =时，轨迹为整个坐标平面. 3、以两定点所在直线为x 轴，线段AB 垂直平分线为y 轴，建立直角坐标系，得点M 的轨迹方程为224x y +=.4、解法一：设圆22650x y x +-+=的圆心为C ，则点C 的坐标是(3,0). 由题意，得CM AB ⊥，则有1CM AB k k =-.所以，13y yx x⨯=--(3,0)x x ≠≠ 化简得2230x y x +-=(3,0)x x ≠≠当3x =时，0y =，点(3,0)适合题意；当0x =时，0y =，点(0,0)不合题意.解方程组 222230650x y x x y x ⎧+-=⎪⎨+-+=⎪⎩， 得5,3x y == 所以，点M 的轨迹方程是2230x y x +-=，533x ≤≤. 解法二：注意到OCM ∆是直角三角形，利用勾股定理，得2222(3)9x y x y ++-+=， 即2230x y x +-=. 其他同解法一. 习题2.1 B 组（P37）1、解：由题意，设经过点P 的直线l 的方程为1x ya b+=. 因为直线l 经过点(3,4)P ，所以341a b+= 因此，430ab a b --=由已知点M 的坐标为(,)a b ，所以点M 的轨迹方程为430xy x y --=. 2、解：如图，设动圆圆心M 的坐标为(,)x y .由于动圆截直线30x y -=和30x y +=所得弦分别为AB ，CD ，所以，8AB =，4CD =. 过点M 分别 作直线30x y -=和30x y +=的垂线，垂足分别为E ，F ，则4AE =，2CF =.ME =，MF =.连接MA ，MC ，因为MA MC =， 则有，2222AE ME CF MF +=+所以，22(3)(3)1641010x y x y -++=+，化简得，10xy =. 因此，动圆圆心的轨迹方程是10xy =.2．2椭圆 练习（P42）1、14. 提示：根据椭圆的定义，1220PF PF +=，因为16PF =，所以214PF=. 2、（1）22116x y +=； （2）22116y x +=； （3）2213616x y +=，或2213616y x +=.3、解：由已知，5a =，4b =，所以3c =. （1）1AF B ∆的周长1212AF AF BF BF =+++.由椭圆的定义，得122AF AF a +=，122BF BF a +=. 所以，1AF B ∆的周长420a ==.（2）如果AB 不垂直于x 轴，1AF B ∆的周长不变化.这是因为①②两式仍然成立，1AF B ∆的周长20=，这是定值. 4、解：设点M 的坐标为(,)x y ，由已知，得直线AM 的斜率 1AM yk x =+(1)x ≠-； 直线BM 的斜率 1BM y k x =-(1)x ≠； 由题意，得2AMBMk k =，所以211y y x x =⨯+-(1,0)x y ≠±≠ 化简，得3x =-(0)y ≠因此，点M 的轨迹是直线3x =-，并去掉点(3,0)-.练习（P48）1、以点2B （或1B ）为圆心，以线段2OA （或1OA 为半径画圆，圆与x 轴的两个交点分别为12,F F . 点12,F F 就是椭圆的两个焦点.这是因为，在22Rt B OF ∆中，2OB b =，22B F OA =所以，2OF c =. 同样有1OF c =. 2、（1）焦点坐标为(8,0)-，(8,0)； （2）焦点坐标为(0,2)，(0,2)-.3、（1）2213632x y +=； （2）2212516y x +=.4、（1）22194x y += （2）22110064x y +=，或22110064y x +=.5、（1）椭圆22936x y +=的离心率是3，椭圆2211612x y +=的离心率是12，12>，所以，椭圆2211612x y +=更圆，椭圆22936x y +=更扁；（2）椭圆22936x y +=，椭圆221610x y +=，因为35>，所以，椭圆221610x y +=更圆，椭圆22936x y +=更扁.6、（1）8(3,)5； （2）(0,2)； （3）4870(,)3737--.7、7.习题2.2 A 组（P49）1、解：由点(,)M x y 10=以及椭圆的定义得，点M 的轨迹是以1(0,3)F -，2(0,3)F 为焦点，长轴长为10的椭圆.它的方程是2212516y x +=. 2、（1）2213632x y +=； （2）221259y x +=； （3）2214940x y +=，或2214940y x +=. 3、（1）不等式22x -≤≤，44y -≤≤表示的区域的公共部分；（2）不等式x -≤≤，101033y -≤≤表示的区域的公共部分. 图略.4、（1）长轴长28a =，短轴长24b =，离心率e =焦点坐标分别是(-，，顶点坐标分别为(4,0)-，(4,0)，(0,2)-，(0,2)；（2）长轴长218a =，短轴长26b =，离心率3e =，焦点坐标分别是(0,-，，顶点坐标分别为(0,9)-，(0,9)，(3,0)-，(3,0).5、（1）22185x y +=； （2）2219x y +=，或221819y x +=；（3）221259x y +=，或221259y x +=. 6、解：由已知，椭圆的焦距122F F =.因为12PF F ∆的面积等于1，所以，12112P F F y ⨯⨯=，解得1P y =.代入椭圆的方程，得21154x +=，解得2x =±.所以，点P的坐标是(1)2±±，共有4个. 7、解：如图，连接QA . 由已知，得QA QP =. 所以，QO QA QO QP OP r +=+==. 又因为点A 在圆内，所以OA OP <根据椭圆的定义，点Q 的轨迹是以,O A 为焦点，r 为长轴长的椭圆. 8、解：设这组平行线的方程为32y x m =+. 把32y x m =+代入椭圆方程22149x y +=，得22962180x mx m ++-=. 这个方程根的判别式 223636(218)m m ∆=-- （1）由0∆>，得m -< 当这组直线在y轴上的截距的取值范围是(-时，直线与椭圆相交. （2）设直线与椭圆相交得到线段AB ，并设线段AB 的中点为(,)M x y .则 1223x x mx +==-. 因为点M 在直线32y x m =+上，与3mx =-联立，消去m ，得320x y +=.这说明点M 的轨迹是这条直线被椭圆截下的弦（不包括端点），这些弦的中点在一条直线上. 9、222213.525 2.875x y +=.（第7题）10、地球到太阳的最大距离为81.528810⨯km ，最下距离为81.471210⨯km. 习题2.2 B 组（P50）1、解：设点M 的坐标为(,)x y ，点P 的坐标为00(,)x y ，则0x x =，032y y =. 所以0x x =，023y y = ……①. 因为点00(,)P x y 在圆上，所以22004x y += ……②.将①代入②，得点M 的轨迹方程为22449x y +=，即22149x y +=所以，点M 的轨迹是一个椭圆与例2相比可见，椭圆也可以看作是由圆沿某个方向压缩或拉伸得到.2、解法一：设动圆圆心为(,)P x y ，半径为R ，两已知圆的圆心分别为12,O O .分别将两已知圆的方程 22650x y x +++=，226910x y x +--= 配方，得 22(3)4x y ++=， 22(3)100x y -+= 当P 与1O ：22(3)4x y ++=外切时，有12O P R =+ ……① 当P 与2O ：22(3)100x y -+=内切时，有210O P R =- ……②①②两式的两边分别相加，得1212O P O P +=12= ……③ 化简方程③.先移项，再两边分别平方，并整理，得 12x =+ ……④ 将④两边分别平方，并整理，得 22341080x y +-= ……⑤将常数项移至方程的右边，两边分别除以108，得2213627x y += ……⑥由方程⑥可知，动圆圆心的轨迹是椭圆，它的长轴和短轴长分别为12，12 ……①由方程①可知，动圆圆心(,)P x y 到点1(3,0)O -和点2(3,0)O 距离的和是常数12， 所以点P 的轨迹方程是焦点为(3,0)-、(3,0)，长轴长等于12的椭圆.并且这个椭圆的中心与坐标原点重合，焦点在x 轴上，于是可求出它的标准方程. 因为 26c =，212a =，所以3c =，6a =（第4题）所以236927b =-=.于是，动圆圆心的轨迹方程为2213627x y +=. 3、解：设d 是点M 到直线8x =的距离，根据题意，所求轨迹就是集合12MF P M d ⎧⎫==⎨⎬⎩⎭ 由此得12=将上式两边平方，并化简，得 223448x y +=，即2211612x y +=所以，点M 的轨迹是长轴、短轴长分别为8，. 4、解：如图，由已知，得(0,3)E -，F 因为,,R S T 是线段OF ,,R S T '''是线段CF 所以，(1,0),(2,0),(3,0)R S T ；933(4,),(4,),(4,)424R S T '''.直线ER 的方程是33y x =-；直线GR '的方程是3316y x =-+.联立这两个方程，解得 3245,1717x y ==.所以，点L 的坐标是3245(,)1717.同样，点M 的坐标是169(,)55，点N 的坐标是9621(,)2525.由作图可见，可以设椭圆的方程为22221x y m n +=(0,0)m n >> ……①把点,L M 的坐标代入方程①，并解方程组，得22114m =，22113n =. 所以经过点,L M 的椭圆方程为221169x y +=. 把点N 的坐标代入22169x y +，得22196121()()11625925⨯+⨯=，所以，点N 在221169x y +=上.因此，点,,L M N 都在椭圆221169x y +=上.2．3双曲线 练习（P55）1、（1）221169x y -=. （2）2213y x -=. （3）解法一：因为双曲线的焦点在y 轴上所以，可设它的标准方程为22221y x a b -=(0,0)a b >>将点(2,5)-代入方程，得222541a b-=，即22224250a b a b +-= 又 2236a b +=解方程组 222222425036a b a b a b ⎧+-=⎪⎨+=⎪⎩ 令22,m a n b ==，代入方程组，得425036mn m n m n +-=⎧⎨+=⎩解得 2016m n =⎧⎨=⎩，或459m n =⎧⎨=-⎩第二组不合题意，舍去，得2220,16a b ==所求双曲线的标准方程为2212016y x -=解法二：根据双曲线的定义，有2a =所以，a = 又6c =，所以2362016b =-=由已知，双曲线的焦点在y 轴上，所以所求双曲线的标准方程为2212016y x -=. 2、提示：根据椭圆中222a b c -=和双曲线中222a b c +=的关系式分别求出椭圆、双曲线的焦点坐标.3、由(2)(1)0m m ++>，解得2m <-，或1m >- 练习（P61）1、（1）实轴长2a =24b =；顶点坐标为-；焦点坐标为(6,0),(6,0)-；离心率4e =. （2）实轴长26a =，虚轴长218b =；顶点坐标为(3,0),(3,0)-；焦点坐标为-；离心率e （3）实轴长24a =，虚轴长24b =；顶点坐标为(0,2),(0,2)-；焦点坐标为-；离心率e =（4）实轴长210a =，虚轴长214b =；顶点坐标为(0,5),(0,5)-；焦点坐标为；离心率5e =2、（1）221169x y -=； （2）2213628y x -=. 3、22135x y -= 4、2211818x y -=，渐近线方程为y x =±. 5、（1）142(6,2),(,)33-； （2）25(,3)4习题2.3 A 组（P61）1、把方程化为标准方程，得2216416y x -=. 因为8a =，由双曲线定义可知，点P 到两焦点距离的差的绝对值等于16. 因此点P 到另一焦点的距离是17.2、（1）2212016x y -=. （2）2212575x y -= 3、（1）焦点坐标为12(5,0),(5,0)F F -，离心率53e =； （2）焦点坐标为12(0,5),(0,5)F F -，离心率54e =；4、（1）2212516x y -=. （2）221916y x -=（3）解：因为ce a==222c a =，因此2222222b c a a a a =-=-=.设双曲线的标准方程为 22221x y a a -=，或22221y x a a -=.将(5,3)-代入上面的两个方程，得222591a a -=，或229251a a-=. 解得 216a = （后一个方程无解）.所以，所求的双曲线方程为2211616x y -=.5、解：连接QA ，由已知，得QA QP =. 所以，QA QO QP QO OP r -=-==. 又因为点A 在圆外，所以OA OP >.根据双曲线的定义，点Q 的轨迹是以,O A 为焦点，r 为实轴长的双曲线.6、22188x y -=. 习题2.3 B 组（P62）1、221169x y -= 2、解：由声速及,A B 两处听到爆炸声的时间差，可知,A B 两处与爆炸点的距离的差，因此爆炸点应位于以,A B 为焦点的双曲线上.使,A B 两点在x 轴上，并且原点O 与线段AB 的中点重合，建立直角坐标系xOy . 设爆炸点P 的坐标为(,)x y ，则 34031020PA PB -=⨯=. 即 21020a =，510a =.又1400AB =，所以21400c =，700c =，222229900b c a =-=.因此，所求双曲线的方程为221260100229900x y -=. 3、22221x y a b-=4、解：设点11(,)A x y ，22(,)B x y 在双曲线上，且线段AB 的中点为(,)M x y .设经过点P 的直线l 的方程为1(1)y k x -=-，即1y kx k =+-把1y kx k =+-代入双曲线的方程2212y x -=得222(2)2(1)(1)20k x k k x k ------=（220k -≠） ……①所以，122(1)22x x k k x k +-==- 由题意，得2(1)12k k k -=-，解得 2k =. 当2k =时，方程①成为22430x x -+=.根的判别式162480∆=-=-<，方程①没有实数解.所以，不能作一条直线l 与双曲线交于,A B 两点，且点P 是线段AB 的中点.2．4抛物线 练习（P67）1、（1）212y x =； （2）2y x =； （3）22224,4,4,4y x y x x y x y ==-==-.2、（1）焦点坐标(5,0)F ，准线方程5x =-； （2）焦点坐标1(0,)8F ，准线方程18y =-；（3）焦点坐标5(,0)8F -，准线方程58x =； （4）焦点坐标(0,2)F -，准线方程2y =；3、（1）a ，2pa -. （2），(6,-提示：由抛物线的标准方程求出准线方程. 由抛物线的定义，点M 到准线的距离等于9，所以 39x +=，6x =，y =±练习（P72）1、（1）2165y x =； （2）220x y =；（3）216y x =-； （4）232x y =-. 2、图形见右，x 的系数越大，抛物线的开口越大. 3、解：过点(2,0)M 且斜率为1的直线l 的方程 为2y x =-与抛物线的方程24y x =联立 224y x y x=-⎧⎨=⎩解得1142x y ⎧=+⎪⎨=+⎪⎩2242x y ⎧=-⎪⎨=-⎪⎩ 设11(,)A x y ，22(,)B x y，则AB ===4、解：设直线AB 的方程为x a =(0)a >.将x a =代入抛物线方程24y x =，得24y a =，即y =±. 因为22AB y ==⨯==， 所以，3a =因此，直线AB 的方程为3x =.习题2.4 A 组（P73）1、（1）焦点坐标1(0,)2F ，准线方程12y =-；（2）焦点坐标3(0,)16F -，准线方程316y =；（3）焦点坐标1(,0)8F -，准线方程18x =；（4）焦点坐标3(,0)2F ，准线方程32x =-.2、（1）28y x =-； （2），或(4,-3、解：由抛物线的方程22y px =(0)p >，得它的准线方程为2px =-. 根据抛物线的定义，由2MF p =，可知，点M 的准线的距离为2p . 设点M 的坐标为(,)x y ，则 22p x p +=，解得32p x =. 将32px =代入22y px =中，得y =. 因此，点M的坐标为3()2p，3(,)2p.4、（1）224y x =，224y x =-； （2）212x y =-（图略）5、解：因为60xFM ∠=︒，所以线段FM所在直线的斜率tan60k =︒. 因此，直线FM 的方程为1)y x =-与抛物线24y x =联立，得21)142y x y x ⎧=-⎪⎨=⎪⎩将1代入2得，231030x x -+=，解得，113x =，23x =把113x =，23x =分别代入①得1y =，2y =由第5题图知1(,33-不合题意，所以点M 的坐标为.因此，4FM ==6、证明：将2y x =-代入22y x =中，得2(2)2x x -=，化简得 2640x x -+=，解得3x = 则321y =±= 因为OB k =，OA k 所以15195OB OA k k -⋅===-- 所以 OA OB ⊥7、这条抛物线的方程是217.5x y = 8、解：建立如图所示的直角坐标系，设拱桥抛物线的方程为22x py =-， 因为拱桥离水面2 m ，水面宽4 m 所以 222(2)p =--，1p =因此，抛物线方程为22x y =- ……①水面下降1 m ，则3y =-，代入①式，得22(3)x =-⨯-，x =这时水面宽为m.习题2.2 B 组（P74）1、解：设垂线段的中点坐标为(,)x y ，抛物线上相应点的坐标为11(,)x y .根据题意，1x x =，12y y =，代入2112y px =，得轨迹方程为212y px =. 由方程可知，轨迹为顶点在原点、焦点坐标为(,0)8p的抛物线.2、解：设这个等边三角形OAB 的顶点,A B 在抛物线上，且坐标分别为11(,)x y ，22(,)x y ，则 2112y px =，2222y px =.又OA OB =，所以 22221122x y x y +=+ 即221212220x x px px -+-=，221212()2()0x x p x x -+-= 因此，1212()(2)0x x x x p -++= 因为120,0,20x x p >>>，所以12x x = 由此可得12y y =，即线段AB 关于x 轴对称.（第8题）因为x 轴垂直于AB ，且30AOx ∠=︒，所以11tan303y x =︒=. 因为2112y x p=，所以1y =，因此12AB y ==.3、解：设点M 的坐标为(,)x y由已知，得 直线AM 的斜率 (1)1AM yk x x =≠-+. 直线BM 的斜率 (1)1BM yk x x =≠-. 由题意，得2AM BM k k -=，所以，2(1)11y y x x x -=≠±+-，化简，得2(1)(1)x y x =--≠± 第二章 复习参考题A 组（P80）1、解：如图，建立直角坐标系，使点2,,A B F 在x 轴上，2F 为椭圆的右焦点（记1F 为左焦点）.因为椭圆的焦点在x 轴上，所以设它的标准方程为22221(0)x y a b a+=>>.则 22a c OA OF F A -=-=63714396810=+=，22a c OB OF F B +=+=637123848755=+=解得 7782.5a =，8755c =所以 b ===用计算器算得 7722b ≈因此，卫星的轨道方程是2222177837722x y +=. 2、解：由题意，得 12a c R r a c R r -=+⎧⎨+=+⎩， 解此方程组，得1221222R r r a r r c ++⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩因此卫星轨道的离心率21122c r r e a R r r -==++. 3、（1）D ； （2）B .4、（1）当0α=︒时，方程表示圆.（2）当090α︒<<︒时，方程化成2211cos y x α+=. 方程表示焦点在y 轴上的椭圆. （第1题）（3）当90α=︒时，21x =，即1x =±，方程表示平行于y 轴的两条直线.（4）当90180α︒<≤︒时，因为cos 0α<，所以22cos 1x y α+=表示双曲线，其焦点在x 轴上. 而当180α=︒时，方程表示等轴双曲线. 5、解：将1y kx =-代入方程224x y -=得 2222140x k x kx -+--= 即 22(1)250k x kx -+-= ……① 222420(1)2016k k k ∆=+-=-令 0∆<，解得2k >，或2k <- 因为0∆<，方程①无解，即直线与双曲线没有公共点，所以，k 的取值范围为k >，或k <6、提示：设抛物线方程为22y px =，则点B 的坐标为(,)2p p ，点C 的坐标为(,)2pp -设点P 的坐标为(,)x y ，则点Q 的坐标为(,0)x .因为，PQ y ==2BC p =，OQ x =.所以，2PQ BC OQ =，即PQ 是BC 和OQ 的比例中项.7、解：设等边三角形的另外两个顶点分别是,A B ，其中点A 在x 轴上方.直线FA 的方程为 )32py x =-与22y px =联立，消去x ，得 220y p --=解方程，得 12)y p =，22)y p =把12)y p =代入)2py x =-，得 17(2x p =+.把22)y p =代入)32py x =-，得 27(2x p =-.所以，满足条件的点A 有两个17((2))2A p p +，27((2))2A p p -.根据图形的对称性，可得满足条件的点B 也有两个17((,2))2B p p +-，27((,2))2B p p --所以，等边三角形的边长是112)A B p =，或者222(2A B p =. 8、解：设直线l 的方程为2y x m =+.把2y x m =+代入双曲线的方程222360x y --=，得221012360x mx m +++=.1265m x x +=-，2123610m x x += ……①由已知，得 21212(14)[()4]16x x x x ++-= ……②把①代入②，解得 3m =±所以，直线l 的方程为23y x =±9、解：设点A 的坐标为11(,)x y ，点B 的坐标为22(,)x y ，点M 的坐标为(,)x y .并设经过点M 的直线l 的方程为1(2)y k x -=-，即12y kx k =+-.把12y kx k =+-代入双曲线的方程2212y x -=，得 222(2)2(12)(12)20k x k k x k ------=2(0)k -≠. ……①所以，122(12)22x x k k x k +-==- 由题意，得2(12)22k k k -=-，解得4k = 当4k =时，方程①成为 21456510x x -+=根的判别式25656512800∆=-⨯=>，方程①有实数解. 所以，直线l 的方程为47y x =-.10、解：设点C 的坐标为(,)x y .由已知，得 直线AC 的斜率 (5)5AC yk x x =≠-+ 直线BC 的斜率 (5)5BCy k x x =≠-由题意，得AC BC k k m =. 所以，(5)55y y m x x x ⨯=≠±+- 化简得，221(5)2525x y x m-=≠± 当0m <时，点C 的轨迹是椭圆(1)m ≠-，或者圆(1)m =-，并除去两点(5,0),(5,0)-； 当0m >时，点C 的轨迹是双曲线，并除去两点(5,0),(5,0)-；11、解：设抛物线24y x =上的点P 的坐标为(,)x y ，则24y x =.点P 到直线3y x =+的距离d ===当2y =时，d此时1x =，点P 的坐标是(1,2).12、解：如图，在隧道的横断面上，以拱顶为原点、拱高所在直线为y 轴 （向上），建立直角坐标系.设隧道顶部所在抛物线的方程 为22x py =-因为点(4,4)C -在抛物线上 所以 242(4)p =--解得 24p =-为24x y =-.设0.5EF h =+. 则(3, 5.5)F h -把点F 的坐标代入方程24x y =-，解得 3.25h =. 答：车辆通过隧道的限制高度为3.2 m.第二章 复习参考题B 组（P81）1、12PF F S ∆=2、解：由题意，得1PF x ⊥轴.把x c =-代入椭圆方程，解得 2b y a=±. 所以，点P 的坐标是2(,)b c a -（第12题）（第4题）直线OP 的斜率21b k ac=-. 直线AB 的斜率2b k a =-.由题意，得2b bac a =，所以，b c =，a =. 由已知及1F A a c =+，得a c +=所以(1c +=c =所以，a =，b =因此，椭圆的方程为221105x y +=. 3、解：设点A 的坐标11(,)x y ，点B 的坐标22(,)x y .由OA OB ⊥，得12120x x y y +=.由已知，得直线AB 的方程为25y x =-+. 则有 12125()250y y y y -++= ……①由25y x =-+与22y px =消去x ，得250y py p +-= ……② 12y y p +=-，125y y p =- ……③ 把③代入①，解得54p = 当54p =时，方程②成为245250y y +-=，显然此方程有实数根. 所以，54p = 4、解：如图，以连接12,F F 的直线为x 轴，线段12F F 的中点为原点，建立直角坐标系.对于抛物线，有176352922922p=+=， 所以，4584p =，29168p =.对于双曲线，有2080529c a c a +=⎧⎨-=⎩解此方程组，得775.5a =，1304.5c = 因此，2221100320b c a =-=.所以，所求双曲线的方程是221601400.31100320x y -=(775.5)x ≥.因为抛物线的顶点横坐标是 (1763)(1763775.5)987.5a --=--=- 所以，所求抛物线的方程是 29168(987.5)y x =+ 答：抛物线的方程为29168(987.5)y x =+，双曲线的方程是221601400.31100320x y -=(775.5)x ≥. 5、解：设点M 的坐标为(,)x y由已知，得 直线AM 的斜率 (1)1AM yk x x =≠-+ 直线BM 的斜率 (1)1BM yk x x =≠- 由题意，得2AM BM k k +=，所以2(1)11y y x x x +=≠±-+，化简，得21(1)xy x x =-≠± 所以，点M 轨迹方程是21(1)xy x x =-≠±.6、解：（1）当1m =时，方程表示x 轴；（2）当3m =时，方程表示y 轴；（3）当1,3m m ≠≠时，把方程写成22131x y m m +=--. ①当13,2m m <<≠时，方程表示椭圆； ②2m =时，方程表示圆；③当1m <，或3m >时，方程表示双曲线.7、以AB 为直径的圆与抛物线的准线l 相切.证明：如图，过点,A B 分别作抛物线22(0)y px p =>的准线l 的 垂线，垂足分别为,D E .由抛物线的定义，得 AD AF =，BE BF =.所以，AB AF BF AD BE =+=+.设AB 的中点为M ，且过点M 作抛物线22(0)y px p =>的准线l 的垂线，垂足为C .显然MC ∥x 轴，所以，MC 是直角梯形ADEB 的中位线. 于是，11()22MC AD BE AB =+=. 因此，点C 在以AB 为直径的圆上.又MC l ⊥，所以，以AB 为直径的圆与抛物线的准线l 相切. 类似地，可以证明：对于椭圆，以经过焦点的弦为直径的圆与相应的准线相离； 对于双曲线，以经过焦点的弦为直径的圆与相应的准线相交.（第7题）。

章末复习课网络构建核心归纳1．指数函数的图象和性质一般地，指数函数y ＝a x(a >0且a ≠1)的图象与性质如下表所示.数的范围，通常要用分类讨论思想．(2)a >1时，a 值越大，图象向上越靠近y 轴，递增速度越快；0<a <1时，a 值越小，图象向上越靠近y 轴，递减速度越快．(3)在同一坐标系中有多个指数函数图象时，图象的相对位置与底数大小有如下关系：在y 轴右侧，图象从上到下相应的底数由大变小；在y 轴左侧，图象从下到上相应的底数由大变小．即无论在y 轴的左侧还是右侧，底数按逆时针方向变大．这一性质可通过令x ＝1时，y ＝a 去理解，如图．2．对数函数的图象和性质对数函数y ＝log a x (a >0且a ≠1)与指数函数y ＝a x(a >0且a ≠1)互为反函数，其图象关于直线y ＝x 对称．(如图)4．幂函数的性质(1)所有的幂函数在(0，＋∞)上都有定义，并且图象都过点(1,1)． (2)如果α>0，则幂函数的图象过原点，并且在区间[0，＋∞)上为增函数．(3)如果α<0，则幂函数的图象在区间(0，＋∞)上是减函数，在第一象限内，当x 从右边趋向于原点时，图象在y 轴右方无限地逼近y 轴，当x 从原点趋向于＋∞时，图象在x 轴上方无限地逼近x 轴．(4)当α为奇数时，幂函数为奇函数；当α为偶数时，幂函数为偶函数．要点一 指数、对数的运算指数式的运算首先注意化简顺序，一般负指数先转化成正指数，根式化为分数指数幂运算，其次若出现分式则要注意分子、分母因式分解以达到约分的目的．对数运算首先注意公式应用过程中范围的变化，前后要等价，熟练地运用对数的三个运算性质并结合对数恒等式，换底公式是对数计算、化简、证明常用的技巧．【例1】 (1)化简：a 43 －8a 13 b4b 23 ＋23ab ＋a 23 ÷⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23b a ×3ab ； (2)求值：12lg 3249－43lg 8＋lg 245.解 (1)原式＝a 13 a －8bb 13 2＋2a 13 b 13 ＋a 132×a 13a 13 －2b 13×a 13 b 13＝a 13a －8b a －8b×a 13 ×a 13 b 13 ＝a 3b .(2)法一 12lg 3249－43lg 8＋lg 245＝lg 427－lg 4＋lg 7 5＝lg ⎝⎛⎭⎪⎫427×14×75 ＝lg 10＝12lg 10＝12.法二 原式＝12(5lg 2－2lg 7)－43·32lg 2＋12(2lg 7＋lg 5)＝52lg 2－lg 7－2lg 2＋lg7＋12lg 5 ＝12lg 2＋12lg 5＝12(lg 2＋lg 5) ＝12lg 10＝12. 【训练1】 (1)化简：(8)－23 ×(3102)92 ÷105；(2)计算：2log 32－log 3329＋log 38－25log 53.解 (1)原式＝⎝⎛⎭⎫232 －23 ×⎝⎛⎭⎫1023 92 ÷1052 ＝2－1×103×10－52 ＝2－1×1012 ＝102.(2)原式＝log 34－log 3329＋log 38－5log 59＝log 3⎝ ⎛⎭⎪⎫4×932×8－9＝－7. 要点二 指数函数、对数函数、幂函数的图象问题 函数图象的画法4解析 法一 当x ＝0时，y ＝0，故可排除选项A ，由1－x >0，得x <1，即函数的定义域为(－∞，1)，排除选项B ，又易知函数在其定义域上是减函数，故选C ．法二 函数y ＝2log 4(1－x )的图象可认为是由y ＝log 4x 的图象经过如下步骤变换得到的：(1)函数y ＝log 4x 的图象上所有点的横坐标不变．纵坐标变为原来的2倍，得到函数y ＝2log 4x 的图象；(2)把函数y ＝2log 4x 关于y 轴对称得到函数y ＝2log 4(－x )的图象；(3)把函数y ＝2log 4(－x )的图象向右平移1个单位，即可得到y ＝2log 4(1－x )的图象，故选C ．答案 C【训练2】在同一直角坐标系中，函数f(x)＝x a(x≥0)，g(x)＝log a x的图象可能是( )解析法一当a>1时，y＝x a与y＝log a x均为增函数，但y＝x a递增较快，排除C；当0<a<1时，y＝x a为增函数，y＝log a x为减函数，排除A．由于y＝x a递增较慢，所以选D．法二幂函数f(x)＝x a的图象不过(0,1)点，故A错；B项中由对数函数f(x)＝log a x的图象知0<a<1，而此时幂函数f(x)＝x a的图象应是增长越来越慢的变化趋势，故B错；D对；C项中由对数函数f(x)＝log a x的图象知a>1，而此时幂函数f(x)＝x a的图象应是增长越来越快的变化趋势，故C错．答案 D要点三大小比较问题数的大小比较常用方法：(1)比较两数(式)或几个数(式)大小问题是本章的一个重要题型，主要考查数、指数函数、对数函数幂函数图象与性质的应用及差值比较法与商值比较法的应用．常用的方法有单调性法、图象法、中间搭桥法、作差法、作商法．(2)当需要比较大小的两个实数均是指数幂或对数式时，可将其看成某个指数函数、对数函数或幂函数的函数值，然后利用该函数的单调性比较．(3)比较多个数的大小时，先利用“0”和“1”作为分界点，即把它们分为“小于0”，“大于等于0小于等于1”，“大于1”三部分，再在各部分内利用函数的性质比较大小．π，c＝π－2，则( )【例3】设a＝log2π，b＝log12A．a>b>c B．b>a>c C．a>c>b D．c>b>a解析因为π>2，所以a＝log2π>1，所以b＝log1π<0.因为π>1，所以0<π－2<1，即20<c<1，所以a>c>b.答案 C【训练3】 设a ＝log 123，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫130.2，c ＝213 ，则( )A ．a ＜b ＜cB ．c ＜b ＜aC ．c ＜a ＜bD ．b ＜a ＜c解析 a ＝log 123＜0,0＜b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫130.2＜1，c ＝213 ＞1，故有a ＜b ＜c . 答案 A要点四 函数的定义域与值域 函数值域(最值)的求法(1)直观法：图象在y 轴上的“投影”的范围就是值域的范围． (2)配方法：适合二次函数．(3)反解法：有界量用y 来表示．如y ＝1－x 21＋x 2中，由x 2＝1－y 1＋y ≥0可求y 的范围，可得值域．(4)换元法：通过变量代换转化为能求值域的函数，特别注意新变量的范围． (5)单调性：特别适合于指、对数函数的复合函数． 【例4】 (1)函数f (x )＝1log 2x －的定义域为( ) A ．(－∞，2) B ．(2，＋∞) C ．(2,3)∪(3，＋∞)D ．(2,4)∪(4，＋∞)(2)设0≤x ≤2，y ＝4x －12 －3·2x＋5，试求该函数的最值． (1)解析 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧log 2x －，x －2>0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ≠3，x >2，所以函数f (x )的定义域为(2,3)∪(3，＋∞)．答案 C(2)解 令k ＝2x(0≤x ≤2)，∴1≤k ≤4.则y ＝22x －1－3·2x＋5＝12k 2－3k ＋5.又y ＝12(k －3)2＋12，k ∈[1,4]，∴y ＝12(k －3)2＋12，在k ∈[1,3]上是减函数，在k ∈[3,4]上是增函数，∴当k ＝3时，y min ＝12；当k ＝1时，y max ＝52.即函数的最大值为52，最小值为12.【训练4】 (1)若f (x )＝1log 0.5x ＋，则函数f (x )的定义域为( )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞ B ．(0，＋∞)C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0D ．⎝ ⎛⎦⎥⎤－12，0(2)函数f (x )＝ln ⎝⎛⎭⎪⎫1＋1x ＋1－x 2的定义域为________．解析 (1)f (x )＝1log 0.5x ＋的定义域为：⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1>0，log 0.5x ＋，即⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪⎩⎪⎨⎪⎧ x >－12，2x ＋1<1， 解得{x |－12<x <0}．故选C ．(2)由条件知⎩⎪⎨⎪⎧1＋1x>0，x ≠0，1－x 2≥0⇒⎩⎪⎨⎪⎧x <－1或x >0，x ≠0，－1≤x ≤1⇒x ∈(0,1]．答案 (1)C (2)(0,1]。

章末复习课[整合·网络构建][警示·易错提醒]1．进行类比推理时，可以从①问题的外在结构特征，②图形的性质或维数．③处理一类问题的方法．④事物的相似性质等入手进行类比．要尽量从本质上去类比，不要被表面现象迷惑，否则，只抓住一点表面的相似甚至假象就去类比，就会犯机械类比的错误．2．进行归纳推理时，要把作为归纳基础的条件变形为有规律的统一的形式，以便于作出归纳猜想．3．推理证明过程叙述要完整、严谨、逻辑关系清晰、不跳步．4．注意区分演绎推理和合情推理，当前提为真时，前者结论一定为真，而后者结论可能为真也可能为假．合情推理得到的结论其正确性需要进一步推证，合情推理中运用猜想时要有依据．5．用反证法证明数学命题时，必须把反设作为推理依据．书写证明过程时，一定要注意不能把“假设”误写为“设”，还要注意一些常见用语的否定形式．6．分析法的过程仅需要寻求结论成立的充分条件即可，而不是充要条件．分析法是逆推证明，故在利用分析法证明问题时应注意逻辑性与规范性．专题一合情推理合情推理包括归纳推理和类比推理，归纳推理是由部分到整体，由特殊到一般的推理，后面是由特殊到特殊的推理．但二者都能由已知推测未知，都能用于猜想，具有发现功能，但推理的结论不一定为真，有待进一步证明．[例1] (1)(2015·陕西卷)观察下列等式： 1－12＝121－12＋13－14＝13＋141－12＋13－14＋15－16＝14＋15＋16……据此规律，第n 个等式可为_______________________________．(2)设△ABC 的三边长分别为a ，b ，c ，△ABC 的面积为S ，内切圆半径为r ，则r ＝2Sa ＋b ＋c；类比这个结论可知，四面体ABCD 的四个面的面积分别为S 1，S 2，S 3，S 4，四面体ABCD 的体积为V ，内切球半径为R ，则R ＝________．解析：(1)由给出的等式看，左边共有2n 项且等式左边分母分别为1，2，3，…，2n ，分子均为1，且奇数项为正，偶数项为负．等式的右边共n 项，且分母分别为n ＋1，n ＋2，…2n .分子均为1，因此猜想1－12＋13－14＋……＋12n －1－12n ＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n(2)三角形边长――→类比四面体各面面积，三角形的面积――→类比四面体体积 因此R ＝3VS 1＋S 2＋S 3＋S 4答案：(1)1－12＋13－14＋…＋12n －1－12n ＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n .(2)R ＝3VS 1＋S 2＋S 3＋S 4归纳升华1．归纳推理中，从特殊发现各项的变化规律，特别是各项的符号变化；从已知相同特征中推出一个明确表述的一般性命题．2．类比推理重在考察观察和比较的能力，题目一般情况下较为新颖，也有一定的探索性． [变式训练] (1)有一个奇数列1，3，5，7，9，…，现在进行如下分组：第一组含一个数{1}；第二组含两个数{3，5}；第三组含三个数{7，9，11}；第四组含四个数{13，15，17，19}；….则观察每组内各数之和f (n )(n ∈N *)与组的编号数n 的关系式为________．(2)在平面几何中，对于Rt △ABC ，设AB ＝c ，AC ＝b ，BC ＝a ，则△ABC 的外接圆半径为r ＝12a 2＋b 2，把上述结论类比到空间，写出类似的结论．(1)解析：由于1＝13，3＋5＝8＝23，7＋9＋11＝27＝33，13＋15＋17＋19＝64＝43，…，猜想第n 组内各数之和f (n )与组的编号数n 的关系式为f (n )＝n 3.答案：f (n )＝n 3(2)解：取空间中三条侧棱两两垂直的四面体A ­BCD 且AB ＝a ，AC ＝b ，AD ＝c ，则此四面体的外接球的半径为R ＝12a 2＋b 2＋c 2.专题二 演绎推理演绎推理是由一般到特殊的推理方法，又叫逻辑推理，在前提和推理形式均正确的前提下，得到的结论一定正确，演绎推理的内容一般是通过合情推理获取．演绎推理的形式一般为“三段论”的形式，即大前提、小前提和结论． [例2] 已知函数f (x )＝12x 2＋a ln x (a ∈R)．(1)若f (x )在[1，e]上是增函数，求a 的取值范围． (2)若a ＝1，1≤x ≤e ，证明：f (x )<23x 3.解：(1)因为f ′(x )＝x ＋ax，且f (x )在[1，e]上是增函数， 所以f ′(x )＝x ＋a x≥0在[1，e]上恒成立， 即a ≥－x 2在[1，e]上恒成立，所以a ≥－1. (2)当a ＝1时，f (x )＝12x 2＋ln x ，x ∈[1，e]令F (x )＝f (x )－23x 3＝12x 2＋ln x －23x 3，又F ′(x )＝x ＋1x －2x 2＝（1－x ）（1＋x ＋2x 2）x≤0，所以F (x )在[1，e]上是减函数， 所以F (x )≤F (1)＝12－23<0，所以x ∈[1，e]时，f (x )<23x 3.归纳升华数学中的演绎推理一般是以三段论的格式进行的．三段论由大前提、小前提和结论三个命题组成，大前提是一个一般性原理，小前提给出了适合这个原理的一个特殊场合，结论是大前提和小前提的逻辑结果．[变式训练] 若定义在区间D 上函数f (x )对于D 上的几个值x 1，x 2，…，x n 总满足1n[f (x 1)＋f (x 2)＋…＋f (x n )]≤f ⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 2＋…＋x n n 称函数f (x )为D 上的凸函数，现已知f (x )＝sin x在(0，π)上是凸函数，则在△ABC 中，sin A ＋sin B ＋sin C 的最大值是________．解析：因为1n[f (x 1)＋f (x 2)＋…＋f (x n )]≤f ⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 2＋…＋x n n，因为f (x )＝sin x 在(0，π)上是凸函数， 所以f (A )＋f (B )＋f (C )≤3f ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋B ＋C n ，即sin A ＋sin B ＋sin C ≤3sin π3＝332，所以sin A ＋sin B ＋sin C 的最大值是332.答案：332专题三 综合法与分析法证明数学命题综合法是从原因推测结果的思维方法，即从已知条件出发，经过逐步的推理，最后达到待证的结论，这是常用的数学方法．分析法是从待证的结论出发，一步一步地寻找结论成立的充分条件，最后达到题设的已知条件或已被证明的事实．[例3] (2016·全国Ⅲ卷)如图，四棱锥PABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，AD ∥BC ，AB ＝AD＝AC ＝3，PA ＝BC ＝4，M 为线段AD 上一点，AM ＝2MD ，N 为PC 的中点．(1)证明：MN ∥平面PAB ； (2)求四面体NBCM 的体积．(1)证明：因为AM ＝2MD ，所以AM ＝23AD ＝2.取BP 的中点T ，连接AT ，TN ，如图所示，由N 是PC 的中点知，TN ∥BC .TN ＝12BC ＝2.因为AD ∥BC ， 所以TN ∥AM . 又BC ＝4， 所以AM ＝12BC .因为TN ＝AM .所以四边形AMNT 为平行四边形． 所以MN ∥AT .因为AT ⊂平面PAB ，MN ⊄平面PAB ， 所以MN ∥平面PAB .(2)解：因为PA ⊥平面ABCD ，N 为PC 的中点， 所以N 到平面ABCD 的距离为12PA ＝2.取BC 的中点E ，连接AE . 因为AB ＝AC ＝3，所以AE ⊥BC ，AE ＝AB 2－BE 2＝32－22＝ 5. 由AM ∥BC 得点M 到BC 的距离为 5. 所以S △BCM ＝12×4×5＝2 5.所以四面体N ­BCM 的体积V NBCM＝13×S △BCM ×2＝453. 归纳升华综合法和分析法是直接证明中的两种最基本的证明方法，但两种证明方法思路截然相反，分析法即可用于寻找解题思路，也可以是完整的证明过程，分析法与综合法可相互转换，相互渗透，要充分利用这一辩证关系，在解题中综合法和分析法联合运用，转换解题思路，增加解题途径．一般以分析法为主寻求解题思路，再用综合法有条理地表示证明过程．[变式训练] 在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 对应的边分别为a ，b ，c ，且A ，B ，C 成等差数列，a ，b ，c 成等比数列，求证：△ABC 为等边三角形．证明：由A ，B ，C 成等差数列，有2B ＝A ＋C .①因为A ，B ，C 为△ABC 的内角，所以A ＋B ＋C ＝π.② 由①②，得B ＝π3.③由a ，b ，c 成等比数列，有b 2＝ac .④ 由余弦定理及③，可得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝a 2＋c 2－ac . 再由④，得a 2＋c 2－ac ＝ac ， 即(a －c )2＝0，因此a ＝c ， 从而有A ＝C .⑤由②③⑤，得A ＝B ＝C ＝π3，所以△ABC 为等边三角形． 专题四 反证法的应用(1)反证法是一种间接证明的方法，它的理论基础是先否定命题，然后再证明命题的否定是错误的，从而肯定原命题正确，它反映了“正难则反”的思想．(2)反证法着眼于命题的转换，改变了研究的角度和方向，使论证的目标更为明确，由于增加了推理的前提——原结论的否定，更易于开拓思路，因此对于直接论证较为困难的时候，往往采用反证法证明．所以反证法在数学证明中有着广泛的应用．[例4] 设等比数列{a n }的公比为q . (1)推导{a n }的前n 项和公式；(2)设q ≠1，证明数列{a n ＋1}不是等比数列． 解：(1)设{a n }的前n 项和为S n ， 当q ＝1时，S n ＝a 1＋a 1＋…＋a 1＝na 1； 当q ≠1时，S n ＝a 1＋a 1q ＋a 1q 2＋…＋a 1qn －1，①qS n ＝a 1q ＋a 1q 2＋…＋a 1q n ，②①－②得，(1－q )S n ＝a 1－a 1q n，∴S n ＝a 1（1－q n ）1－q ，∴S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧na 1，q ＝1，a 1（1－q n ）1－q，q ≠1.(2)假设{a n ＋1}是等比数列，则对任意k ∈N *， 有(a k ＋1＋1)2＝(a k ＋1)(a k ＋2＋1)a 2k ＋1＋2a k ＋1＋1＝a k a k ＋2＋a k ＋a k ＋2＋1，a 21q 2k ＋2a 1q k ＝a 1qk －1·a 1q k ＋1＋a 1q k －1＋a 1q k ＋1，∵a 1≠0，∴2q k ＝qk －1＋qk ＋1.∵q ≠0，∴q 2－2q ＋1＝0， ∴q ＝1，这与已知矛盾．∴假设不成立，故{a n ＋1}不是等比数列． 归纳升华1．反证法必须从否定结论进行推理，即应把结论的反面作为条件，且必须根据这一条件进行推证，否则，仅否定结论，不从结论的反面进行推理，就不是反证法．2．推导出的矛盾多种多样，有的与已知相矛盾，有的与假设相矛盾，有的与已知事实相矛盾等等，推出的矛盾必须是明显的．[变式训练] 已知直线ax －y ＝1与曲线x 2－2y 2＝1相交于P ，Q 两点，证明：不存在实数a ，使得以PQ 为直径的圆经过坐标原点O .证明：假设存在实数a ，使得以PQ 为直径的圆经过坐标原点O ，则OP ⊥OQ . 设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则y 1x 1·y 2x 2＝－1， 所以(ax 1－1)(ax 2－1)＝－x 1·x 2， 即(1＋a 2)x 1·x 2－a (x 1＋x 2)＋1＝0. 由题意得(1－2a 2)x 2＋4ax －3＝0， 所以x 1＋x 2＝－4a 1－2a 2，x 1·x 2＝－31－2a 2. 所以(1＋a 2)·－31－2a 2－a ·－4a1－2a2＋1＝0， 则a 2＝－2，这是不可能的，所以假设不成立． 故不存在实数a ，使得以PQ 为直径的圆经过坐标原点O . 专题五 转化与化归思想的应用转化与化归的思想就是在处理问题时，通过某种转化过程，化归为一类已经解决或比较容易解决的问题，最终使问题化繁为简、化难为易．[例5] 设f (x )＝2x 2＋1，a ＋b ＝1，且a ，b 同号，求证：对任意实数p ，q 恒有af (p )＋bf (q )≥f (ap ＋bq )成立．证明：∵f (x )＝2x 2＋1，a ＋b ＝1∴af (p )＋bf (q )＝a (2p 2＋1)＋b (2q 2＋1)，f (ap ＋bq )＝2(ap ＋bq )2＋1.又af (p )＋bf (q )－f (ap ＋bq )＝a (2p 2＋1)＋b (2q 2＋1)－2(ap ＋bq )2－1 ＝2ap 2＋2bq 2－2a 2p 2－4abpq －2q 2b 2＝2ap 2(1－a )＋2bq 2(1－b )－4abpq＝2abp 2＋2abq 2－4abpq ＝2ab (p －q )2.因为a ，b 同号，所以2ab (p －q )2≥0. 所以原不等式成立． 归纳升华本章内容中转化与化归思想主要应用于以下几个方面：归纳推理中特殊到一般的转化；演绎推理中一般到特殊的转化；分析法中结论与条件的转化；反证法中正难则反的转化；数学归纳法中无限与有限的转化等．[变式训练] 已知函数f (x )＝ax 3＋bx ＋c 在点x ＝2处取得极小值c －16. (1)求a ，b 的值；(2)若f (x )有极大值28，求f (x )在[－3，3]上的最小值． 解：(1)因为f (x )＝ax 3＋bx ＋c ， 所以f ′(x )＝3ax 2＋b .由已知f (x )在点x ＝2处取得极小值c －16， 得⎩⎪⎨⎪⎧f ′（2）＝0，f （2）＝c －16，即⎩⎪⎨⎪⎧12a ＋b ＝0，8a ＋2b ＋c ＝c －16，则⎩⎪⎨⎪⎧12a ＋b ＝0，4a ＋b ＝－8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－12. (2)由(1)知f (x )＝x 3－12x ＋c ，f ′(x )＝3x 2－12. 令f ′(x )＝0，得x ＝－2或x ＝2.当x ∈(－3，－2)时，f ′(x )>0；当x ∈(－2，2)时，f ′(x )<0；当x ∈(2，3)时，f ′(x )>0. 所以f (x )在[－3，－2]上是增函数，在[－2，2]上是减函数，在[2，3]上是增函数． 所以f (x )在x ＝－2处有极大值． 因此f (－2)＝16＋c ＝28，所以c ＝12，所以f (－3)＝21，f (2)＝－4，f (－2)＝28，f (3)＝3. 故f (x )在[－3，3]上的最小值为f (2)＝－4.。

学业分层测评(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．已知点P (6，y )在抛物线y 2＝2px (p >0)上，若点P 到抛物线焦点F 的距离等于8，则焦点F 到抛物线准线的距离等于( )A ．2B ．1C ．4D ．8【解析】 抛物线y 2＝2px (p >0)的准线为x ＝－p2，因为P (6，y )为抛物线上的点，所以点P 到焦点F 的距离等于它到准线的距离，所以6＋p2＝8，所以p ＝4，即焦点F 到抛物线的距离等于4，故选C.【答案】 C2．抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，点P 为抛物线上的动点，点M 为其准线上的动点，当△FPM 为等边三角形时，其面积为( )A ．2 3B ．4C ．6D ．4 3【解析】 据题意知，△FPM 为等边三角形，|PF |＝|PM |＝|FM |，∴PM ⊥抛物线的准线．设P ⎝ ⎛⎭⎪⎫m 24，m ，则M (－1，m )，等边三角形边长为1＋m 24，又由F (1，0)，|PM |＝|FM |，得1＋m 24＝（1＋1）2＋m 2，得m ＝23，∴等边三角形的边长为4，其面积为43，故选D.【答案】 D3．已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A ，B 两点，若线段AB 的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为( )A ．x ＝1B ．x ＝－1C ．x ＝2D ．x ＝－2【解析】 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，代入抛物线方程得⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝2px 1， ①y 22＝2px 2， ②①－②得，(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝2p (x 1－x 2)．又∵y 1＋y 2＝4，∴y 1－y 2x 1－x 2＝2p 4＝p 2＝k ＝1，∴p ＝2.∴所求抛物线的准线方程为x ＝－1. 【答案】 B4．设F 为抛物线C ：y 2＝3x 的焦点，过F 且倾斜角为30°的直线交C 于A ，B 两点，则|AB |＝( )A.303 B ．6 C ．12D ．7 3【解析】 焦点F 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫34，0，直线AB 的斜率为33，所以直线AB 的方程为y ＝33⎝ ⎛⎭⎪⎫x －34，即y ＝33x －34，代入y 2＝3x ， 得13x 2－72x ＋316＝0， 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝212，所以|AB |＝x 1＋x 2＋32＝212＋32＝12，故选C. 【答案】 C5．过抛物线y 2＝4x 的焦点作直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，若x 1＋x 2＝6，那么|AB |等于( )A ．10B ．8C ．6D ．4【解析】 由题意知p ＝2，|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝8.故选B. 【答案】 B 二、填空题6．抛物线y 2＝x 上到其准线和顶点距离相等的点的坐标为________．【解析】 设抛物线上点的坐标为(x ，±x )，此点到准线的距离为x ＋14，到顶点的距离为x 2＋（x ）2，由题意有x ＋14＝x 2＋（x ）2，∴x ＝18，∴y ＝±24，∴此点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫18，±24.【答案】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫18，±247．直线y ＝kx ＋2与抛物线y 2＝8x 有且只有一个公共点，则k ＝________．【解析】 当k ＝0时，直线与抛物线有唯一交点，当k ≠0时，联立方程消去y 得k 2x 2＋4(k －2)x ＋4＝0，由题意Δ＝16(k －2)2－16k 2＝0，∴k ＝1.【答案】 0或18．平面上一机器人在行进中始终保持与点F (1，0)的距离和到直线x ＝－1的距离相等．若机器人接触不到过点P (－1，0)且斜率为k 的直线，则k 的取值范围是________. 【导学号：18490074】【解析】 设机器人为A (x ，y )，依题意得点A 在以F (1，0)为焦点，x ＝－1为准线的抛物线上，该抛物线的标准方程为y 2＝4x .过点P (－1，0)，斜率为k 的直线为y ＝k (x ＋1)．由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，y ＝kx ＋k ， 得ky 2－4y ＋4k ＝0.当k ＝0时，显然不符合题意；当k ≠0时，依题意得Δ＝(－4)2－4k ·4k <0，化简得k 2－1>0，解得k >1或k <－1，因此k 的取值范围为(－∞，－1)∪(1，＋∞)．【答案】 (－∞，－1)∪(1，＋∞)三、解答题9．若抛物线的顶点在原点，开口向上，F 为焦点，M 为准线与y 轴的交点，A 为抛物线上一点，且|AM |＝17，|AF |＝3，求此抛物线的标准方程．【解】 设所求抛物线的标准方程为x 2＝2py (p ＞0)， 设A (x 0，y 0)，由题知M ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－p 2.∵|AF |＝3，∴y 0＋p2＝3， ∵|AM |＝17， ∴x 20＋⎝⎛⎭⎪⎫y 0＋p 22＝17，∴x 20＝8，代入方程x 20＝2py 0，得8＝2p ⎝ ⎛⎭⎪⎫3－p 2，解得p ＝2或p ＝4.∴所求抛物线的标准方程为x 2＝4y 或x 2＝8y .10．已知直线l 经过抛物线y 2＝6x 的焦点F ，且与抛物线相交于A ，B 两点．(1)若直线l 的倾斜角为60°，求|AB |的值； (2)若|AB |＝9，求线段AB 的中点M 到准线的距离．【解】 (1)因为直线l 的倾斜角为60°，所以其斜率k ＝tan 60°＝ 3.又F ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0，所以直线l 的方程为y ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫x －32. 联立⎩⎨⎧y 2＝6x ，y ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫x －32，消去y 得x 2－5x ＋94＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝5， 而|AB |＝|AF |＋|BF |＝x 1＋p 2＋x 2＋p2＝x 1＋x 2＋p ， 所以|AB |＝5＋3＝8.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由抛物线定义知|AB |＝|AF |＋|BF |＝x 1＋x 2＋p ＝x 1＋x 2＋3，所以x 1＋x 2＝6，于是线段AB 的中点M 的横坐标是3.又准线方程是x ＝－32，所以M 到准线的距离为3＋32＝92.[能力提升]1．(2016·菏泽期末)已知抛物线x 2＝2py (p >0)的焦点为F ，过F 作倾斜角为30°的直线与抛物线交于A ，B 两点，若|AF ||BF |∈(0，1)，则|AF ||BF |＝( )A.15B.14C.13D.12【解析】 因为抛物线的焦点为F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，p 2，故过点F 且倾斜角为30°的直线的方程为y ＝33x ＋p 2，与抛物线方程联立得x 2－233px －p 2＝0，解方程得x A ＝－33p ，x B ＝3p ，所以|AF ||BF |＝|x A ||x B|＝13，故选C.【答案】 C2．已知抛物线C ：y 2＝8x 与点M (－2，2)，过抛物线C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于A ，B 两点，若MA→·MB →＝0，则k ＝( ) A.12 B.22 C. 2D ．2【解析】 由题意可知抛物线的焦点坐标为(2，0)，则过焦点且斜率为k 的直线的方程为y ＝k (x －2)，与抛物线方程联立，消去y 化简得k 2x 2－(4k 2＋8)x ＋4k 2＝0，设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝4＋8k 2，x 1x 2＝4，所以y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)－4k ＝8k ，y 1y 2＝k 2[x 1x 2－2(x 1＋x 2)＋4]＝－16，因为MA →·MB →＝0，所以(x 1＋2)(x 2＋2)＋(y 1－2)(y 2－2)＝0(*)，将上面各个量代入(*)，化简得k 2－4k ＋4＝0，所以k ＝2，故选D.【答案】 D3．抛物线x 2＝2py (p >0)的焦点为F ，其准线与双曲线x 23－y 23＝1相交于A ，B 两点，若△ABF 为等边三角形，则p ＝________．【解析】由于x 2＝2py (p >0)的准线为y ＝－p 2，由⎩⎨⎧y ＝－p 2，x 2－y 2＝3，解得准线与双曲线x 2－y 2＝3的交点为A ⎝⎛⎭⎪⎫－3＋14p 2，－p 2，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋14p 2，－p 2，所以AB ＝23＋14p 2.由△ABF 为等边三角形，得32AB ＝p ，解得p ＝6. 【答案】 64．已知抛物线x ＝－y 2与过点(－1，0)且斜率为k 的直线相交于A ，B 两点，O 为坐标原点，当△OAB 的面积等于10时，求k 的值. 【导学号：18490075】【解】 过点(－1，0)且斜率为k 的直线方程为y ＝k (x ＋1)，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－y 2，y ＝k （x ＋1），消去x ，整理得ky 2＋y －k ＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由根与系数之间的关系得y 1＋y 2＝－1k ，y 1y 2＝－1.设直线与x 轴交于点N ，显然N 点的坐标为(－1，0)． ∵S △OAB ＝S △OAN ＋S △OBN ＝12|ON ||y 1|＋12|ON ||y 2|＝12|ON ||y 1－y 2|， ∴S △OAB ＝12（y 1＋y 2）2－4y 1y 2＝121k 2＋4＝10，解得k ＝－16或16.。

第二章圆锥曲线与方程2.1曲线与方程课后篇巩固提升基础巩固1.方程(2x-3)2+(y+2)2=0表示的曲线是()A.一个圆B.两条直线C.一个点D.两个点解析由已知得解得所以方程表示一个点.答案C2.与点A(-1,0)和点B(1,0)连线的斜率之和为-1的动点P的轨迹方程是()A.x2+y2=3B.x2+2xy=1(x≠±1)C.y=D.x2+y2=9(x≠0)解析设P(x,y),因为k P A+k PB=-1,所以=-1,整理得x2+2xy=1(x≠±1).答案B3.方程x-1=表示的曲线是()A.一个圆B.两个半圆C.两个圆D.半个圆解析∵方程x-1=等价于(x-1)2+(y-1)2=1(x≥1),∴表示的曲线是半个圆.故选D.答案D4.“点M在曲线y2=4x上”是点M的坐标满足方程y=-2的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件解析点M在曲线y2=4x上,其坐标不一定满足方程y=-2,但当点M的坐标满足方程y=-2时,则点M一定在曲线y2=4x上.答案B5.在直角坐标系中,方程|x|y=1的曲线是()解析由|x|y=1知y>0,曲线全部位于x轴上方,故选C.答案C6.已知点A(a,2)既是曲线y=mx2上的点,也是直线x-y=0上的一点,则m=,a=.解析由题意知解得a=2,m=.答案 27.已知定点A(-2,0),B(1,0),如果动点P满足|P A|=2|PB|,则点P的轨迹所包围的图形的面积等于.解析设P(x,y),由|P A|=2|PB|得=2,整理得x2-4x+y2=0,即(x-2)2+y2=4.故点P的轨迹是以(2,0)为圆心,以2为半径的圆,S=πr2=4π.答案4π8.已知动点M(x,y)到直线l:3x+4y+1=0的距离等于1,则动点M的轨迹方程为.解析由题意知=1,∴3x+4y+1=±5.∴点M的轨迹方程为3x+4y+6=0和3x+4y-4=0.答案3x+4y+6=0和3x+4y-4=09.如图,圆O1与圆O2的半径都是1,|O1O2|=4,过动点P分别作圆O1、圆O2的切线PM,PN(M,N 分别为切点),使得|PM|=|PN|,试建立适当的坐标系,并求动点P的轨迹方程.解以O1O2的中点为原点,O1O2所在直线为x轴,建立如图所示的平面直角坐标系,得O1(-2,0),O2(2,0).连接PO1,O1M,PO2,O2N.由已知|PM|=|PN|,得|PM|2=2|PN|2,又在Rt△PO1M中,|PM|2=,在Rt△PO2N中,|PN|2=,即得-1=2(-1).设P(x,y),则(x+2)2+y2-1=2[(x-2)2+y2-1],化简得(x-6)2+y2=33.因此所求动点P的轨迹方程为(x-6)2+y2=33.10.已知曲线C的方程是y2-xy+2x+k=0.(1)若点(1,-1)在曲线C上,求k的值;(2)当k=0时,判断曲线C是否关于x轴、y轴、原点对称?解(1)因为点(1,-1)在曲线C上,所以(-1)2-1×(-1)+2×1+k=0,解得k=-4.(2)当k=0时,曲线C的方程为y2-xy+2x=0.以-x代替x,y不变,方程化为y2+xy-2x=0,所以曲线C不关于y轴对称;以-y代替y,x不变,方程化为y2+xy+2x=0,所以曲线C不关于x轴对称;同时以-x代替x,-y代替y,方程化为(-y)2-(-x)(-y)+2(-x)=0,即y2-xy-2x=0,所以曲线C不关于原点对称.能力提升1.已知0≤α<2π,点P(cos α,sin α)在曲线(x-2)2+y2=3上,则α的值为()A. B.π C. D.解析将点P坐标代入曲线方程,得(cos α-2)2+sin 2α=3,cos α=.又因为0≤α<2π,所以α=或α=π.答案C2.设方程f(x,y)=0的解集非空,若命题“坐标满足方程f(x,y)=0的点都在曲线C上”是不正确的,则下面命题中正确的是()A.坐标满足f(x,y)=0的点都不在曲线C上B.曲线C上的点的坐标不满足f(x,y)=0C.坐标满足f(x,y)=0的点有些在曲线C上,有些不在曲线C上D.一定有不在曲线C上的点,其坐标满足f(x,y)=0解析“坐标满足方程f(x,y)=0的点都在曲线C上”不正确,就是说“坐标满足方程f(x,y)=0的点不都在曲线C上”是正确的.这意味着一定有这样的点(x0,y0),虽然满足方程f(x,y)=0,但(x0,y0)∉C.即一定有不在曲线C上的点,其坐标满足f(x,y)=0,故应选D.答案D3.已知两点M(-2,0),N(2,0),点P为坐标平面内的动点,满足||·||+=0,则动点P(x,y)的轨迹方程为()A.y2=-8xB.y2=8xC.y2=-4xD.y2=4x解析设P(x,y),x>0,y>0,M(-2,0),N(2,0),||=4,则=(x+2,y),=(x-2,y),又由||·||+=0,则4+4(x-2)=0,化简整理得y2=-8x.故选A.答案A4.方程|x|+|y|=1所表示的曲线C围成的图形的面积为.解析方程|x|+|y|=1所表示的曲线C围成的图形是正方形ABCD(如图),其边长为.故方程|x|+|y|=1所表示的曲线C围成的图形的面积为2.答案25.设A为圆(x-1)2+y2=1上的动点,P A是圆的切线,且|P A|=1,则动点P的轨迹方程是.解析圆(x-1)2+y2=1的圆心为B(1,0),半径r=1,则|PB|2=|P A|2+r2,所以|PB|2=2.故P的轨迹方程为:(x-1)2+y2=2.答案(x-1)2+y2=26.若曲线y2=xy+2x+k通过点(a,-a)(a∈R),则k的取值范围是.解析由曲线y2=xy+2x+k通过点(a,-a),所以(-a)2=a·(-a)+2·a+k,即k=2a2-2a=2.所以k≥-.答案7.过点P(2,4)作两条互相垂直的直线l1、l2,若l1交x轴于点A,l2交y轴于点B,求线段AB的中点M的轨迹方程.解法一:如图,设点M的坐标为(x,y),∵M为线段AB的中点,∴A点的坐标为(2x,0),B点的坐标为(0,2y).∵l1⊥l2,且l1,l2过点P(2,4),∴P A⊥PB,即k P A·k PB=-1,而k P A=(x≠1),k PB=,∴=-1(x≠1),整理得x+2y-5=0(x≠1).∵当x=1时,A,B的坐标分别为(2,0),(0,4),∴线段AB的中点坐标是(1,2),它满足方程x+2y-5=0.综上所述,点M的轨迹方程是x+2y-5=0.法二:设点M的坐标为(x,y),则A,B两点的坐标分别是(2x,0),(0,2y),连接PM(如图).∵l1⊥l2,∴2|PM|=|AB|.而|PM|=,|AB|=,∴2,化简得x+2y-5=0,即为所求的点M的轨迹方程.8.设定点M(-3,4),动点N在圆x2+y2=4上运动,以OM,ON为两边作平行四边形MONP,求点P 的轨迹方程.解如图所示,设P(x,y),N(x0,y0),则线段OP的中点坐标为,线段MN的中点坐标为.因为平行四边形的对角线互相平分,所以,从而有由N(x+3,y-4)在圆上,得(x+3)2+(y-4)2=4.因此所求点P的轨迹方程为(x+3)2+(y-4)2=4,但应除去两点:.2.2椭圆2.2.1椭圆及其标准方程课后篇巩固提升1.已知方程=1表示焦点在x轴上的椭圆,则实数k的取值范围是()A.(4,10)B.(7,10)C.(4,7)D.(4,+∞)解析依题意有k-4>10-k>0,解得7<k<10.答案B2.中心在原点,焦点在坐标轴上,且过两点(4,0),(0,2)的椭圆方程为()A.=1B.=1C.=1D.=1解析(方法一)验证排除,将点(4,0)代入验证可排除A,B,C,故选D.(方法二)设椭圆方程为mx2+ny2=1(m>0,n>0),则解得故选D.答案D3.已知椭圆+y2=1的一个焦点是(2,0),那么实数k=()A. B.C.3D.5解析因为椭圆+y2=1的一个焦点是(2,0),所以k>1,因为k-1=4,所以k=5.故选D.答案D4.化简方程=10为不含根式的形式是()A.=1B.=1C.=1D.=1解析由题意可知方程表示点(x,y)与两个定点(0,3)和(0,-3)之间的距离之和为10,又两定点之间的距离为6,且6<10,符合椭圆的定义,即2a=10,2c=6,从而可求得b2=16,相应椭圆方程为=1.答案C5.已知F1,F2分别为椭圆=1的左、右焦点,倾斜角为60°的直线l过点F1,且与椭圆交于A,B两点,则△AF2B的周长为()A.10B.12C.16D.20解析由椭圆=1可得a=5,△AF2B的周长=|AF2|+|BF2|+|AB|,|AB|=|AF1|+|BF1|,所以△AF2B周长=|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|,由椭圆的定义知,|AF1|+|AF2|=|BF1|+|BF2|=2a=10,所以△AF2B周长=4a=20.故选D.答案D6.设椭圆=1过点(-2,),那么焦距等于.解析因为椭圆=1过点(-2,),所以m2=16,则c2=16-4=12,故焦距2c=4.答案47.已知椭圆的焦点是F1(-1,0),F2(1,0),P是椭圆上的一点,若|F1F2|是|PF1|和|PF2|的等差中项,则该椭圆的标准方程是.解析由题意得2|F1F2|=|PF1|+|PF2|,所以4c=2a.因为c=1,所以a=2.所以b2=a2-c2=3.故椭圆的标准方程为=1.答案=18.若方程=1表示椭圆,则实数m的取值范围是.解析根据椭圆标准方程的形式,可知方程=1表示椭圆的条件是解得1<m<7且m≠4,所以实数m的取值范围是(1,4)∪(4,7).答案(1,4)∪(4,7)9.已知椭圆的中心在原点,且经过点P(3,0),a=3b,求椭圆的标准方程.解当焦点在x轴上时,设其标准方程为=1(a>b>0),由椭圆过点P(3,0),知=1.又a=3b,解得b2=1,a2=9,故椭圆的方程为+y2=1.当焦点在y轴上时,设其标准方程为=1(a>b>0).由椭圆过点P(3,0),知=1.又a=3b,联立解得a2=81,b2=9,故椭圆的方程为=1.故椭圆的标准方程为=1或+y2=1.10.求适合下列条件的椭圆的标准方程:(1)两个焦点分别为(0,-2),(0,2),经过点(4,3);(2)经过两点(2,-),.解(1)(方法一)因为椭圆的焦点在y轴上,所以可设它的标准方程为=1(a>b>0).由椭圆的定义知2a==12, 所以a=6.又c=2,所以b==4.所以椭圆的标准方程为=1.(方法二)因为椭圆的焦点在y轴上,所以可设其标准方程为=1(a>b>0).由题意得解得所以椭圆的标准方程为=1.(2)(方法一)若椭圆的焦点在x轴上,设椭圆的标准方程为=1(a>b>0).由已知条件得解得所以所求椭圆的标准方程为=1.同理可得,焦点在y轴上的椭圆不存在.综上,所求椭圆的标准方程为=1.(方法二)设椭圆的一般方程为Ax2+By2=1(A>0,B>0,A≠B).将两点(2,-),代入,得解得所以所求椭圆的标准方程为=1.11.(选做题)如图所示,△ABC的底边BC=12,其他两边AB和AC上中线的和为30,求此三角形重心G的轨迹方程,并求顶点A的轨迹方程.解以BC边所在直线为x轴,BC边中点为原点,建立如图所示的平面直角坐标系,则B(6,0),C(-6,0),CE,BD为AB,AC边上的中线,则|BD|+|CE|=30.由重心性质可知,|GB|+|GC|=(|BD|+|CE|)=20>12.∵B,C是两个定点,G点到B,C的距离和等于定值20,且20>12=|BC|,∴G点的轨迹是椭圆,B,C是椭圆焦点,∴2c=|BC|=12,c=6,2a=20,a=10,b2=a2-c2=102-62=64,故G点的轨迹方程为=1(x≠±10).设G(x',y'),A(x,y),则有=1.由重心坐标公式知故A点轨迹方程为=1,即=1(x≠±30).2.2.2椭圆的简单几何性质课后篇巩固提升基础巩固1.若椭圆=1(a>)的长轴长为6,则它的焦距为()A.4B.3C.2D.1解析椭圆=1(a>)的长轴长为6,则2a=6,即a=3,由于b2=5,则c2=a2-b2=4,即c=2,则它的焦距为2c=4,故选A.答案A2.已知椭圆的方程为2x2+3y2=m(m>0),则椭圆的离心率为()A. B. C. D.解析因为2x2+3y2=m(m>0),所以=1.所以c2=.故e2=,解得e=.答案B3.焦点在x轴上,长、短半轴之和为10,焦距为4,则椭圆的标准方程为()A.=1B.=1C.=1D.=1解析由题意得c=2,a+b=10,所以b2=(10-a)2=a2-c2=a2-20,解得a2=36,b2=16,故椭圆方程为=1.答案A4.已知椭圆+x2=1(a>1)的离心率e=,P为椭圆上的一个动点,若定点B(-1,0),则|PB|的最大值为() A. B.2 C. D.3解析由题意可得:e2=,据此可得:a2=5,椭圆方程为+x2=1,设椭圆上点的坐标为P(x0,y0),则=5(1-),故|PB|=,当x0=时,|PB|max=.答案C5.已知椭圆C:=1(a>b>0)的右顶点、上顶点分别为A、B,坐标原点到直线AB的距离为,且a2=2b2,则椭圆C的方程为()A.=1B.=1C.=1D.=1解析椭圆右顶点坐标为A(a,0),上顶点坐标为B(0,b),故直线AB的方程为y=-x+b,即bx+ay-ab=0,依题意原点到直线的距离为,且a2=2b2,由此解得a2=16,b2=8,故椭圆的方程为=1,故选D.答案D6.椭圆的一个焦点将长轴长分成3∶2两部分,则这个椭圆的离心率为.解析依题意有(a+c)∶(a-c)=3∶2,所以a=5c,故离心率为e=.答案7.以椭圆上一点和两个焦点为顶点的三角形的面积的最大值为2,则椭圆长轴长的最小值为.解析由题意知,当椭圆上的点为短轴端点时,三角形面积有最大值,即bc=2.∴a2=b2+c2≥2bc=4,∴a≥2,当且仅当b=c=时等号成立.∴2a≥4,即椭圆长轴长的最小值为4,故答案为4.答案48.椭圆=1(a>b>0)的四个顶点顺次连接构成一个菱形,该菱形的面积为2,又椭圆的离心率为,则椭圆的标准方程是.解析由题意,得2ab=2,即ab=①.又e2=,即2a2=5b2②.解①②得a2=5,b2=2,所以所求椭圆方程为=1.答案=19.若椭圆的长轴长是10,离心率是,求该椭圆的标准方程.解设椭圆的方程为=1(a>b>0)或=1(a>b>0).由已知得2a=10,e=,所以c=4.所以b2=a2-c2=25-16=9.故椭圆的标准方程为=1或=1.10.已知椭圆=1,在该椭圆上是否存在点M,使得点M到椭圆的右焦点F和到直线x=4的距离相等.若存在,求出点M的坐标;若不存在,请说明理由.解由已知得c2=4-3=1,所以c=1,故F(1,0).假设在椭圆上存在点M,使得点M到椭圆的右焦点F和到直线x=4的距离相等,设M(x,y)(-2≤x≤2),则=|x-4|,两边平方得y2=-6x+15.又由=1,得y2=3,代入y2=-6x+15,得x2-8x+16=0,解得x=4.因为-2≤x≤2,所以符合条件的点M不存在.能力提升1.若方程x2+ky2=2表示焦点在y轴上的椭圆,那么实数k的取值范围是()A.(0,1)B.(0,2)C.(0,+∞)D.(1,+∞)解析椭圆的标准方程为=1,∵焦点在y轴上,∴>2,解得k<1,又k>0,∴0<k<1.故选A.答案A2.如图,F1,F2分别是椭圆=1(a>b>0)的两个焦点,A和B是以O为圆心,以|OF1|为半径的圆与该左半椭圆的两个交点,且△F2AB是等边三角形,则椭圆的离心率为()A. B. C. D.-1解析连接AF1(图略),由圆的性质知,∠F1AF2=90°.因为△F2AB是等边三角形,所以∠AF2F1=30°.故AF1=c,AF2=c,因此e=-1.答案D3.若椭圆两焦点分别为F1(-4,0),F2(4,0),点P在椭圆上,且△PF1F2的最大面积是12,则椭圆的标准方程是()A.=1B.=1C.=1D.=1解析由题意得c=4.因为点P在椭圆上,且△PF1F2的最大面积为12,所以×2c×b=12,即bc=12, 于是b=3,a=5,故椭圆方程为=1.答案C4.某宇宙飞船的运行轨道是以地球中心为一个焦点的椭圆,近地点A距地面m km,远地点B距离地面n km,地球半径为k km,则飞船运行轨道的短轴长为()A.2B.C.mnD.2mn解析由题意可得a-c=m+k,a+c=n+k,故(a-c)(a+c)=(m+k)(n+k),即a2-c2=b2=(m+k)(n+k),所以b=.所以椭圆的短轴长为2.答案A5.已知点P(2,1)在椭圆=1(a>b>0)上,点M(a,b)为平面上一点,O为坐标原点,则当|OM|取最小值时,椭圆的离心率为()A. B. C. D.解析点P(2,1)在椭圆=1(a>b>0)上,可得=1,M(a,b)为平面上一点,O为坐标原点, 则|OM|==3,当且仅当a2=2b2时,等号成立,此时由解得a2=6,b2=3.所以e=.故选C.答案C6.已知椭圆的短半轴长为1,离心率0<e≤,则长轴长的取值范围为.解析因为b=1,所以c2=a2-1.又=1-,所以,即a2≤4.又a2-1>0,所以a2>1,故1<a≤2,长轴长2<2a≤4.答案(2,4]7.已知椭圆G的中心在坐标原点,长轴在x轴上,离心率为,且G上一点到G的两个焦点的距离之和为12,则椭圆G的标准方程为.解析设椭圆G的标准方程为=1(a>b>0),半焦距为c,则所以所以b2=a2-c2=36-27=9,故椭圆G的方程为=1.答案=18.已知F1(-c,0),F2(c,0)为椭圆=1(a>b>0)的两个焦点,P为椭圆上一点,且=c2,求椭圆离心率的取值范围.解设P(x0,y0),则=(-c-x0,-y0),=(c-x0,-y0),所以=(-c-x0)(c-x0)+(-y0)2=-c2+.因为P(x0,y0)在椭圆上,所以=1.所以=b2,所以-c2+b2=c2,解得.因为x0∈[-a,a],所以∈[0,a2],即0≤≤a2,所以2c2≤a2≤3c2.即,所以,即椭圆离心率的取值范围是.9.已知椭圆C:=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,焦距为2,过点(1,0)作直线与椭圆相交于A,B两点,连接AF1,BF1,且△ABF1的周长为4.(1)求椭圆C的标准方程;(2)若|AB|=4|F2A|,求直线AB的方程.解(1)∵焦距为2,△ABF1的周长为4,∴c=1,4a=4,a2=b2+c2.解得c=1=b,a=.∴椭圆C的标准方程为+y2=1.(2)设直线AB的方程为x=my+1,点A的坐标为(x1,y1),点B的坐标为(x2,y2).联立得(m2+2)y2+2my-1=0,∴y1+y2=-,y1y2=-,∵|AB|=4|F2A|,∴|BF2|=3|F2A|,∴y2=-3y1.联立解得m=±1.∴直线AB的方程为x-y-1=0或x+y-1=0.10.(选做题)已知椭圆C:=1(a>b>0)的离心率为,P是C上一点,F1,F2是C的两个焦点,且|PF1|+|PF2|=4.(1)求椭圆C的方程;(2)设直线y=x+n交椭圆C于A,B两点,O为坐标原点,求△OAB面积的最大值.解(1)∵|PF1|+|PF2|=4,∴2a=4,即a=2.∵e=,∴c=,∴b2=a2-c2=2,即椭圆方程为=1.(2)设点A的坐标为(x1,y1),点B的坐标为(x2,y2),将y=x+n代入椭圆C的方程,整理得5x2+4nx+2n2-4=0,Δ=32n2-20(2n2-4)>0,∴n2<10,∴x1+x2=-,x1x2=,∴|AB|=,点O到直线AB的距离d=,∴S△OAB=×|AB|×d=×(10-n2+n2)=, ∴当且仅当10-n2=n2,即n2=5时取等号,∴△OAB面积的最大值为.2.3双曲线2.3.1双曲线及其标准方程课后篇巩固提升1.已知平面上定点F1,F2及动点M.命题甲:||MF1|-|MF2||=m(m为常数);命题乙:点M的轨迹是以F1,F2为焦点的双曲线,则甲是乙的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析根据双曲线的定义,乙⇒甲,但甲乙,只有当0<m<|F1F2|时,其轨迹才是双曲线.答案B2.曲线上的动点P到点F1(0,4),F2(0,-4)的距离之差为6,则曲线方程为()A.=1B.=1(y<0)C.=1或=1D.=1(y>0)解析∵曲线上的动点P到点F1(0,4),F2(0,-4)的距离之差为6,∴动点P的轨迹是以F1(0,4),F2(0,-4)为焦点,实轴长为6的双曲线的下支,∴曲线方程为=1(y<0),故选B.答案B3.已知双曲线=1(m>0)的左焦点为F1(-5,0),则m=()A.9B.3C.16D.4解析∵双曲线=1(m>0)的左焦点为F1(-5,0),∴25-m2=9.∵m>0,∴m=4,故选D.答案D4.如图,已知双曲线的方程为=1(a>0,b>0),点A,B均在双曲线的右支上,线段AB经过双曲线的右焦点F2,|AB|=m,F1为双曲线的左焦点,则△ABF1的周长为()A.2a+2mB.4a+2mC.a+mD.2a+4m解析由双曲线的定义,知|AF1|-|AF2|=2a,|BF1|-|BF2|=2a.又|AF2|+|BF2|=|AB|,所以△ABF1的周长为|AF1|+|BF1|+|AB|=4a+2|AB|=4a+2m.答案B5.已知双曲线的一个焦点F1(5,0),且过点(3,0),则该双曲线的标准方程为()A.=1B.=1C.=1D.=1解析因为双曲线的一个焦点F1(5,0),且过点(3,0),所以c=5,a=3;∴b2=c2-a2=16.∴该双曲线的标准方程是=1.故选A.答案A6.若曲线=1表示双曲线,则k的取值范围是.解析依题意应有k(k-1)<0,解得0<k<1.答案(0,1)7.已知双曲线=1(a>0)的一个焦点为F1(5,0),设另一个为F2,点P是双曲线上的一点,若|PF1|=9,则|PF2|=.(用数值表示)解析由题意知,双曲线=1(a>0)的一个焦点为F1(5,0),∴c=5,又由a2=c2-b2=25-9=16,所以a=4,因为点P为双曲线上一点,且|PF1|=9,根据双曲线的定义可知||PF2|-|PF1||=2a=8,所以|PF2|=17,或|PF2|=1,故答案为17或1.答案17或18.经过点P(-3,2)和Q(-6,-7),且焦点在坐标轴上的双曲线的标准方程为.解析设双曲线方程为Ax2-By2=1(AB>0),则解得A=-,B=-,故双曲线的标准方程为=1.答案=19.若k是实数,试讨论方程kx2+2y2-8=0表示何种曲线.解当k<0时,曲线方程化为=1,表示焦点在y轴的双曲线;当k=0时,曲线方程化为2y2-8=0,表示两条垂直于y轴的直线;当0<k<2时,曲线方程化为=1,表示焦点在x轴的椭圆;当k=2时,曲线方程化为x2+y2=4,表示一个圆;当k>2时,曲线方程化为=1,表示焦点在y轴的椭圆.10.(选做题)双曲线=1(a>0,b>0)满足如下条件:①ab=;②过右焦点F的直线l的斜率为,交y轴于点P,线段PF交双曲线于点Q,且|PQ|∶|QF|=2∶1,求双曲线的方程.解如图所示,设右焦点F(c,0),点Q(x,y),直线l:y=(x-c).令x=0,得P.由题意知=2,∴Q,且Q在双曲线上,∴=1.∵a2+b2=c2,∴=1,解得=3或=-(舍去).又由ab=,得∴所求双曲线方程为x2-=1.2.3.2双曲线的简单几何性质课后篇巩固提升基础巩固1.若实数k满足0<k<9,则曲线=1与曲线=1的()A.焦距相同B.实半轴长相等C.虚半轴长相等D.离心率相等解析由于0<k<9,则9-k>0,即曲线=1为焦点在x轴上的双曲线,焦点坐标为(±,0);25-k>0,即曲线=1为焦点在x轴上的双曲线,焦点坐标为(±,0),故两曲线的焦距相同,故答案为A.答案A2.已知双曲线C:=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程为y=x,且与椭圆=1有公共焦点,则C的方程为()A.=1B.=1C.=1D.=1解析由椭圆=1的焦点为(±3,0),可得双曲线的c=3,即a2+b2=9,由双曲线的渐近线方程为y=±x,可得,解得a2=6,b2=3,则双曲线的方程为=1.故选D.答案D3.下列双曲线中,不是以2x±3y=0为渐近线的是()A.=1B.=1C.=1D.=1解析C项中的双曲线=1,焦点在x轴上,渐近线方程为y=±x,不是2x±3y=0.答案C4.已知双曲线=1(a>0,b>0)的一条渐近线平行于直线l:y=2x+10,双曲线的一个焦点在直线l上,则双曲线的方程为()A.=1B.=1C.=1D.=1解析由题意知,双曲线的渐近线为y=±x,则=2.因为双曲线的左焦点(-c,0)在直线l上,所以0=-2c+10,故c=5.又因为a2+b2=c2,所以a2=5,b2=20,故双曲线的方程为=1.答案A5.两正数a,b的等差中项为,等比中项为,且a>b,则双曲线=1的离心率e为()A. B. C. D.解析因为两正数a,b的等差中项为,等比中项为,所以解得因为a>b,所以所以e=.故选D.答案D6.双曲线=1的焦点到渐近线的距离为.解析双曲线=1的焦点坐标为(-4,0),(4,0),渐近线方程为y=±x,故焦点(4,0)到渐近线y=x的距离d==2.答案27.在平面直角坐标系xOy中,若双曲线=1的离心率为,则m的值为.解析由题意得m>0,所以a=,b=,c=.由e=,得=5,解得m=2.答案28.若一条双曲线与-y2=1有共同渐近线,且与椭圆=1有相同的焦点,则此双曲线的方程为.解析由椭圆方程为=1得a2=20,b2=2,所以c2=20-2=18,得c=3,即椭圆的半焦距为3,设与双曲线-y2=1有相同渐近线的双曲线方程为-y2=λ(λ≠0),所求双曲线的焦点在x轴上,则λ>0,双曲线方程化为=1,根据椭圆和双曲线共焦点,所以有8λ+λ=18,解得λ=2,故所求双曲线的方程为=1.答案=19.双曲线与椭圆有共同的焦点F1(0,-5),F2(0,5),点P(3,4)是双曲线的渐近线与椭圆的一个交点,试求双曲线方程与椭圆的方程.解由共同的焦点F1(0,-5),F2(0,5),可设椭圆方程为=1(a2>25),双曲线方程为=1(0<b2<25),点P(3,4)在椭圆上,所以=1,得a2=40,双曲线过点P(3,4)的渐近线为y=x,即4=×3,所以b2=16,故椭圆方程为=1,双曲线方程为=1.10.已知双曲线C的方程为=1(a>0,b>0),离心率e=,顶点到渐近线的距离为,求双曲线C的方程.解依题意,双曲线焦点在y轴上,一个顶点坐标为(0,a),渐近线方程为y=±x,即ax±by=0, 所以.又e=,所以b=1,即c2-a2=1,-a2=1,解得a2=4,故双曲线方程为-x2=1.能力提升1.双曲线C:=1(a>0,b>0)的离心率为2,焦点到渐近线的距离为,则C的焦距等于()A.2B.2C.4D.4解析双曲线的一条渐近线方程为=0,即bx-ay=0,焦点(c,0)到渐近线的距离为,所以b=.又=2,c2=a2+b2,所以c=2,故双曲线的焦距为2c=4.答案C2.已知双曲线=1(a>0,b>0)的一条渐近线平行于直线l:x+3y+2=0,双曲线的一个焦点在直线l上,则双曲线的方程为()A.=1B.=1C.=1D.=1解析因为双曲线的渐近线为y=±x,其中一条渐近线与直线l平行,则有-=-,所以a2=9b2,又因为双曲线的焦点在x轴上,而其中一个焦点在直线l上,则直线l与x轴焦点(-2,0)为双曲线焦点,即c=2,又因为c2=a2+b2,得20=10b2,则b2=2,a2=18,所以双曲线方程为=1,答案为B.答案B3.若在双曲线=1(a>0,b>0)的右支上到原点O和右焦点F的距离相等的点有两个,则双曲线的离心率的取值范围是()A.(,+∞)B.(1,)C.(2,+∞)D.(1,2)解析到原点O和右焦点F距离相等的点在线段OF的垂直平分线上,其方程为x=.依题意,在双曲线=1(a>0,b>0)的右支上到原点和右焦点距离相等的点有两个,所以直线x=与右支有两个交点,故应满足>a,即>2,得e>2,故选C.答案C4.已知双曲线=1的实轴长、虚轴长、焦距构成等差数列,则双曲线的渐近线方程为.解析依题意有2a,2b,2c成等差数列,所以4b=2a+2c.因为c2=a2+b2,所以(2b-a)2=a2+b2,解得a=b,于是双曲线渐近线方程为y=±x=±x.答案y=±x5.已知双曲线=1(a>0,b>0)的一条渐近线为2x+y=0,一个焦点为(,0),则双曲线的方程为.解析由题意得c==2,c2=a2+b2,解得a=1,b=2.则双曲线的方程为x2-=1.答案x2-=16.过双曲线=1(a>0,b>0)的左焦点且垂直于x轴的直线与双曲线相交于M,N两点,以MN为直径的圆恰好过双曲线的右顶点,则双曲线的离心率等于.解析令x=-c,得y2=,则|MN|=.由题意得a+c=,即a2+ac=c2-a2,∴-2=0,∴=2或=-1(舍去),即离心率为2.答案27.求适合下列条件的双曲线的标准方程:(1)焦点在y轴上,虚轴长为8,离心率为e=;(2)经过点C(-),且与双曲线=1有共同的渐近线.解(1)设所求双曲线的标准方程为=1(a>0,b>0),则2b=8,e=,从而b=4,代入c2=a2+b2,得a2=9,故方程为=1.(2)由题意可设所求双曲线方程为=λ(λ≠0),将点C(-)的坐标代入,得=λ,解得λ=,所以所求双曲线的标准方程为=1.8.已知双曲线与椭圆=1有相同焦点,且经过点(4,6).(1)求双曲线方程;(2)若双曲线的左右焦点分别是F1,F2,试问在双曲线上是否存在点P,使得|PF1|=5|PF2|.解(1)椭圆=1的焦点在x轴上,且c==4,即焦点为(±4,0),于是可设双曲线方程为=1(a>0,b>0),则有解得a2=4,b2=12,故双曲线方程为=1.(2)假设在双曲线上存在点P,使得|PF1|=5|PF2|,则点P只能在右支上.由于在双曲线=1中,由双曲线定义知,|PF1|-|PF2|=2a=4,于是得|PF1|=5,|PF2|=1.但当点P在双曲线右支上时,点P到左焦点F1的距离的最小值应为a+c=6,故不可能有|PF1|=5,即在双曲线上不存在点P,使得|PF1|=5|PF2|.2.4.2抛物线的简单几何性质课后篇巩固提升基础巩固1.抛物线y2=2px(p>0)上的点M(4,m)到焦点的距离为5,则m的值为()A.2B.3C.4D.4或-4解析抛物线y2=2px的准线方程为x=-,由抛物线的定义有4+=5,p=2(负值舍去),此时y2=4x,将点M(4,m)代入抛物线方程中,求出m=±4,故选D.答案D2.若抛物线y2=x上一点P到准线的距离等于它到顶点的距离,则点P的坐标为()A. B.C. D.解析由题意知,点P到焦点F的距离等于它到顶点O的距离,因此点P在线段OF的垂直平分线上,而F,所以点P的横坐标为,代入抛物线方程得y=±,故点P的坐标为.答案B3.已知点A(-2,3)在抛物线C:y2=2px的准线上,记C的焦点为F,则直线AF的斜率为()A.-B.-1C.-D.-解析因为抛物线C:y2=2px的准线为x=-,且点A(-2,3)在准线上,所以-=-2,解得p=4,所以y2=8x,所以焦点F的坐标为(2,0),这时直线AF的斜率k AF==-.答案C4.过抛物线x2=y的焦点F的直线交抛物线于不同的两点A,B,则的值为()A.2B.1C. D.4解析因为直线交抛物线于不同的两点A、B,所以直线的斜率存在,设过抛物线x2=y的焦点F的直线方程为y=kx+,由可得y2-y+=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1y2=,y1+y2=k2+,因为抛物线的准线方程为y=-,所以根据抛物线的定义可知|AF|=y1+,|BF|=y2+,所以=4,故选D.答案D5.抛物线y=-x2上的点到直线4x+3y-8=0距离的最小值是()A. B. C. D.3解析设(x0,y0)为抛物线y=-x2上任意一点,所以y0=-,于是d=,所以d min=.答案A6.已知点P在抛物线y2=4x上,当点P到点Q(2,-2)的距离与点P到此抛物线焦点的距离之和取得最小值时,点P的坐标为()A.,-1B.,1C.(1,2)D.(1,-2)解析由题意,根据抛物线的方程y2=4x,求得p=2,则焦点坐标为F(1,0),过点P作准线x=-1的垂线,垂足为M,则|PF|=|PM|,依题意可知当P,Q和M三点共线且点P在中间时距离和最小,如图所示,所以此时点P的纵坐标为-2,代入抛物线的方程求得x=1,即点P的坐标为(1,-2),故选D.答案D7.沿直线y=-2发出的光线经抛物线y2=ax反射后,反射光线的反向延长线与x轴相交于点A(2,0),则抛物线的准线方程为(提示:抛物线的光学性质:从焦点发出的光线经抛物线反射后与轴平行).解析由直线y=-2平行于抛物线的轴知A(2,0)为焦点,故准线方程为x=-2.答案x=-28.直角三角形的直角顶点在坐标原点,另外两个顶点在抛物线y2=2px(p>0)上,且一直角边的方程是y=2x,斜边长是5,求此抛物线的方程.解如图所示,设直角三角形为AOB,直角顶点为O,AO边的方程为y=2x,则OB边的方程为y=-x.由得点A的坐标为.由得点B的坐标为(8p,-4p).因为|AB|=5,所以=5,解得p=,故所求抛物线方程为y2=x.9.已知抛物线C:y2=2px(p>0)上一点P(1,m)到焦点F的距离为2.(1)求实数p的值;(2)若直线l过C的焦点,与抛物线交于A,B两点,且|AB|=8,求直线l的方程.解(1)抛物线焦点为F,0,准线方程为x=-,因为点P(1,m)到焦点F距离为2,所以1+=2,解得p=2.(2)抛物线C的焦点坐标为(1,0),当斜率不存在时,可得|AB|=4不满足题意,当斜率存在时,设直线l的方程为y=k(x-1).联立方程得k2x2-(2k2+4)x+k2=0,显然Δ>0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=,所以|AB|=x1+x2+p=+2=8,解得k2=1,k=±1.所以直线l的方程为x-y-1=0或x+y-1=0.能力提升1.已知抛物线x2=16y上的点P到焦点F的距离为8,则△OPF(O为坐标原点)的面积为()A.16B.8C.4D.2解析设点P(x,y),因为点P到焦点F的距离为8,根据抛物线的定义,可得y+=8,即y+4=8⇒y=4,代入抛物线的方程,得x2=16×4=64,解得x=±8,即P(±8,4),所以△OPF的面积为S=|OP||x P|=×4×8=16,故选A.答案A2.直线y=kx-2交抛物线y2=8x于A,B两点,若AB中点的横坐标为2,则k等于()A.2或-2B.-1C.2D.3解析由得k2x2-4(k+2)x+4=0,由Δ>0得k>-1,则=4,即k=2.答案C3.已知抛物线y2=4x的焦点为F,过点F和抛物线上一点M(2,2)的直线l交抛物线于另一点N,则|NF|∶|FM|等于()A.1∶2B.1∶3C.1∶D.1∶解析抛物线的焦点为(1,0),因为直线l过点F和点M,所以直线l的斜率存在,直线l的方程为,即y=2(x-1).与抛物线方程联立,得2x2-5x+2=0,解得x=2(舍)或,即x N=,∴|NF|∶|FM|==1∶2,故选A.答案A4.已知点A(1,4)在抛物线y2=2px(p≠0)的准线l上,焦点为F,若点M在抛物线上,且满足|MA|=|MF|,则点M的坐标为()A.(-4,4)B.(-4,-4)C.(-1,2)D.(4,4)解析由已知得抛物线准线l的方程为x=1,于是抛物线方程为y2=-4x.因为点M(x0,y0)在抛物线上,且|MA|=|MF|,所以MA⊥l,因此y0=4,于是x0=-4,即点M的坐标为(-4,4).答案A5.已知抛物线y=ax2的准线与圆x2+y2-6y-7=0相切,则a的值为.解析抛物线y=ax2,即x2=y,准线方程为y=-,因为抛物线x2=y的准线与圆x2+(y-3)2=16相切,当a>0时,3+=4,解得a=,当a<0时,--3=4,解得a=-,故答案为或-.答案或-6.已知抛物线C的顶点在原点,焦点在x轴上,且抛物线上有一点P(4,m)到焦点的距离为6.(1)求抛物线C的方程;(2)若抛物线C与直线y=kx-2相交于不同的两点A,B,且AB中点横坐标为2,求k的值.解(1)由题意设抛物线方程为y2=2px(p>0),其准线方程为x=-.∵点P(4,m)到焦点的距离等于点P到准线的距离,∴4+=6,∴p=4,∴抛物线C的方程为y2=8x.。

学业分层测评(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．准线与x 轴垂直，且经过点(1，－2)的抛物线的标准方程是( )A ．y 2＝－2xB ．y 2＝2xC ．x 2＝2yD ．x 2＝－2y【解析】 由题意可设抛物线的标准方程为y 2＝ax ，则(－2)2＝a ，解得a ＝2，因此抛物线的标准方程为y 2＝2x ，故选B.【答案】 B2．以双曲线x 216－y 29＝1的右顶点为焦点的抛物线的标准方程为( )A ．y 2＝16xB ．y 2＝－16xC ．y 2＝8xD ．y 2＝－8x【解析】 因为双曲线x 216－y 29＝1的右顶点为(4，0)，即抛物线的焦点坐标为(4，0)，所以抛物线的标准方程为y 2＝16x .【答案】 A3．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线的斜率为2，且右焦点与抛物线y 2＝43x 的焦点重合，则该双曲线的离心率等于( )A. 2B. 3C ．2D ．2 3【解析】 抛物线的焦点为(3，0)，即c ＝ 3.双曲线的渐近线方程为y ＝b a x ，由ba ＝2，即b ＝2a ，所以b 2＝2a 2＝c 2－a 2，所以c 2＝3a 2，即e 2＝3，e ＝3，即离心率为 3.【答案】 B4．抛物线y 2＝12x 的准线与双曲线y 23－x29＝－1的两条渐近线所围成的三角形的面积为( )A ．3 3B ．2 3C ．2D. 3【解析】 抛物线y 2＝12x 的准线为x ＝－3，双曲线的两条渐近线为y ＝±33x ，它们所围成的三角形为边长等于23的正三角形，所以面积为33，故选A.【答案】 A5．抛物线y 2＝8x 的焦点到准线的距离是( ) A ．1 B ．2 C ．4D ．8【解析】 由y 2＝2px ＝8x 知p ＝4，又焦点到准线的距离就是p .故选C.【答案】 C 二、填空题6．抛物线y 2＝2x 上的两点A ，B 到焦点的距离之和是5，则线段AB 的中点到y 轴的距离是________．【解析】 抛物线y 2＝2x 的焦点为F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，准线方程为x ＝－12，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AF |＋|BF |＝x 1＋12＋x 2＋12＝5，解得x 1＋x 2＝4，故线段AB 的中点横坐标为2.故线段AB 的中点到y 轴的距离是2.【答案】 27．对标准形式的抛物线，给出下列条件：①焦点在y 轴上；②焦点在x 轴上；③抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6；④由原点向过焦点的某直线作垂线，垂足坐标为(2，1)．其中满足抛物线方程为y 2＝10x 的是________．(要求填写适合条件的序号)【解析】 抛物线y 2＝10x 的焦点在x 轴上，②满足，①不满足；设M (1，y 0)是y 2＝10x 上的一点，则|MF |＝1＋p 2＝1＋52＝72≠6，所以③不满足；由于抛物线y 2＝10x 的焦点为⎝ ⎛⎭⎪⎫52，0，过该焦点的直线方程为y ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －52，若由原点向该直线作垂线，垂足为(2，1)时，则k ＝－2，此时存在，所以④满足．【答案】 ②④8．抛物线y ＝2x 2的准线方程为________．【解析】 化方程为标准方程为x 2＝12y ，故p 2＝18，开口向上， ∴准线方程为y ＝－18. 【答案】 y ＝－18 三、解答题9．求焦点在x 轴上，且焦点在双曲线x 24－y 22＝1上的抛物线的标准方程．【解】 由题意可设抛物线方程为y 2＝2mx (m ≠0)，则焦点为⎝ ⎛⎭⎪⎫m 2，0. ∵焦点在双曲线x 24－y 22＝1上， ∴m 24×4＝1，求得m ＝±4， ∴所求抛物线方程为y 2＝8x 或y 2＝－8x .10．已知平面上动点P 到定点F (1，0)的距离比点P 到y 轴的距离大1，求动点P 的轨迹方程. 【导学号：18490069】【解】 法一 设点P 的坐标为(x ，y )， 则有（x －1）2＋y 2＝|x |＋1.两边平方并化简，得y 2＝2x ＋2|x |. ∴y 2＝⎩⎨⎧4x （x ≥0），0（x ＜0），即点P 的轨迹方程为y 2＝4x (x ≥0)或y ＝0(x ＜0)．法二 由题意知，动点P 到定点F (1，0)的距离比到y 轴的距离大1，由于点F (1，0)到y 轴的距离为1，故当x ＜0时，直线y ＝0上的点符合条件；当x ≥0时，原命题等价于点P 到点F (1，0)与到直线x ＝－1的距离相等，故点P 的轨迹是以F 为焦点，x ＝－1为准线的抛物线，方程为y 2＝4x .故所求动点P 的轨迹方程为y 2＝4x (x ≥0)或y ＝0(x ＜0)．[能力提升]1．已知P 为抛物线y 2＝4x 上的一个动点，直线l 1：x ＝－1，l 2：x ＋y ＋3＝0，则P 到直线l 1，l 2的距离之和的最小值为( )A ．2 2B ．4 C. 2D.322＋1【解析】 将P 点到直线l 1：x ＝－1的距离转化为点P 到焦点F (1，0)的距离，过点F 作直线l 2的垂线，交抛物线于点P ，此即为所求最小值点，∴P 到两直线的距离之和的最小值为|1＋0＋3|12＋12＝22，故选A.【答案】 A2．过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，点O 为原点，若|AF |＝3，则△AOB 的面积为( )A.22B. 2C.322D ．2 2【解析】 根据题意画出简图(图略)，设∠AFO ＝θ(0<θ<π)，|BF |＝m ，则点A 到准线l ：x ＝－1的距离为3，得3＝2＋3cos θ，得cos θ＝13，又m ＝2＋m cos(π－θ)，得m ＝21＋cos θ＝32，△AOB 的面积为S ＝12·|OF |·|AB |·sin θ＝12×1×⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋32×223＝322，故选C.【答案】 C3．如图2-4-1是抛物线形拱桥，当水面在l 时，拱顶离水面2 m ，水面宽4 m ．水位下降1 m 后，水面宽________m.图2-4-1【解析】 以拱顶为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系．设抛物线的标准方程为x 2＝－2py (p >0)． 则A (2，－2)，代入方程得p ＝1， ∴抛物线的方程为x 2＝－2y ，设B (x 0，－3)(x 0<0)代入方程得x 0＝－ 6. ∴此时的水面宽度为2 6 m. 【答案】 2 64．已知抛物线y 2＝2px (p >0)的准线过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左焦点F 1，点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫23，－263是两条曲线的一个公共点. 【导学号：18490070】(1)求抛物线的方程； (2)求双曲线的方程．【解】 (1)把M ⎝ ⎛⎭⎪⎫23，－263代入方程y 2＝2px ， 得p ＝2，因此抛物线的方程为y 2＝4x .(2)抛物线的准线方程为x ＝－1，所以F 1(－1，0)，设双曲线的右焦点为F ，则F (1，0)，于是2a ＝||MF 1|－|MF ||＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪73－53＝23，因此a ＝13.又因为c ＝1，所以b 2＝c 2－a 2＝89，于是，双曲线的方程为x 219－y 289＝1.。

学业分层测评 (建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．已知点P (6，y )在抛物线y 2＝2px (p >0)上，若点P 到抛物线焦点F 的距离等于8，则焦点F 到抛物线准线的距离等于( )A ．2B ．1C ．4D ．8【解析】 抛物线y 2＝2px (p >0)的准线为x ＝－p2，因为P (6，y )为抛物线上的点，所以点P 到焦点F 的距离等于它到准线的距离，所以6＋p2＝8，所以p ＝4，即焦点F 到抛物线的距离等于4，故选C.【答案】 C2．抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，点P 为抛物线上的动点，点M 为其准线上的动点，当△FPM 为等边三角形时，其面积为( )A ．2 3B ．4C ．6D ．4 3【解析】 据题意知，△FPM 为等边三角形，|PF |＝|PM |＝|FM |，∴PM⊥抛物线的准线．设P ⎝ ⎛⎭⎪⎫m 24，m ，则M (－1，m )，等边三角形边长为1＋m 24，又由F (1，0)，|PM |＝|FM |，得1＋m 24＝（1＋1）2＋m 2，得m ＝23，∴等边三角形的边长为4，其面积为43，故选D.【答案】 D3．已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A ，B 两点，若线段AB 的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为( )A ．x ＝1B ．x ＝－1C ．x ＝2D ．x ＝－2【解析】 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，代入抛物线方程得⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝2px 1， ①y 22＝2px 2， ②①－②得，(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝2p (x 1－x 2)．又∵y 1＋y 2＝4，∴y 1－y 2x 1－x 2＝2p 4＝p 2＝k ＝1，∴p ＝2.∴所求抛物线的准线方程为x ＝－1. 【答案】 B4．设F 为抛物线C ：y 2＝3x 的焦点，过F 且倾斜角为30°的直线交C 于A ，B 两点，则|AB |＝( )A.303B ．6C ．12D ．7 3【解析】 焦点F 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫34，0，直线AB 的斜率为33，所以直线AB 的方程为y ＝33⎝ ⎛⎭⎪⎫x －34，即y ＝33x －34，代入y 2＝3x ，得13x 2－72x ＋316＝0， 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝212，所以|AB |＝x 1＋x 2＋32＝212＋32＝12，故选C.【答案】 C5．过抛物线y 2＝4x 的焦点作直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，若x 1＋x 2＝6，那么|AB |等于( )A ．10B ．8C ．6D ．4【解析】 由题意知p ＝2，|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝8.故选B. 【答案】 B 二、填空题6．抛物线y 2＝x 上到其准线和顶点距离相等的点的坐标为________． 【解析】 设抛物线上点的坐标为(x ，±x )，此点到准线的距离为x ＋14，到顶点的距离为x 2＋（x ）2，由题意有x ＋14＝x 2＋（x ）2，∴x ＝18，∴y ＝±24，∴此点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫18，±24.【答案】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫18，±247．直线y ＝kx ＋2与抛物线y 2＝8x 有且只有一个公共点，则k ＝________． 【解析】 当k ＝0时，直线与抛物线有唯一交点，当k ≠0时，联立方程消去y 得k 2x 2＋4(k －2)x ＋4＝0，由题意Δ＝16(k －2)2－16k 2＝0，∴k ＝1.【答案】 0或18．平面上一机器人在行进中始终保持与点F (1，0)的距离和到直线x ＝－1的距离相等．若机器人接触不到过点P (－1，0)且斜率为k 的直线，则k 的取值范围是________. 【导学号：18490074】【解析】 设机器人为A (x ，y )，依题意得点A 在以F (1，0)为焦点，x ＝－1为准线的抛物线上，该抛物线的标准方程为y 2＝4x .过点P (－1，0)，斜率为k 的直线为y ＝k (x ＋1)．由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，y ＝kx ＋k ，得ky 2－4y ＋4k ＝0.当k ＝0时，显然不符合题意；当k ≠0时，依题意得Δ＝(－4)2－4k ·4k <0，化简得k 2－1>0，解得k >1或k <－1，因此k 的取值范围为(－∞，－1)∪(1，＋∞)．【答案】 (－∞，－1)∪(1，＋∞) 三、解答题9．若抛物线的顶点在原点，开口向上，F 为焦点，M 为准线与y 轴的交点，A 为抛物线上一点，且|AM |＝17，|AF |＝3，求此抛物线的标准方程．【解】 设所求抛物线的标准方程为x 2＝2py (p ＞0)，设A (x 0，y 0)，由题知M ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－p 2.∵|AF |＝3，∴y 0＋p2＝3，∵|AM |＝17，∴x 2＋⎝⎛⎭⎪⎫y 0＋p 22＝17，∴x 20＝8，代入方程x 20＝2py 0，得8＝2p ⎝ ⎛⎭⎪⎫3－p 2，解得p ＝2或p ＝4.∴所求抛物线的标准方程为x 2＝4y 或x 2＝8y .10．已知直线l 经过抛物线y 2＝6x 的焦点F ，且与抛物线相交于A ，B 两点． (1)若直线l 的倾斜角为60°，求|AB |的值； (2)若|AB |＝9，求线段AB 的中点M 到准线的距离．【解】 (1)因为直线l 的倾斜角为60°，所以其斜率k ＝tan 60°＝ 3.又F ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0，所以直线l 的方程为y ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫x －32.联立⎩⎨⎧y 2＝6x ，y ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫x －32， 消去y 得x 2－5x ＋94＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝5，而|AB |＝|AF |＋|BF |＝x 1＋p 2＋x 2＋p2＝x 1＋x 2＋p ，所以|AB |＝5＋3＝8.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由抛物线定义知|AB |＝|AF |＋|BF |＝x 1＋x 2＋p ＝x 1＋x 2＋3，所以x 1＋x 2＝6，于是线段AB 的中点M 的横坐标是3.又准线方程是x ＝－32，所以M 到准线的距离为3＋32＝92.[能力提升]1．(2016·菏泽期末)已知抛物线x 2＝2py (p >0)的焦点为F ，过F 作倾斜角为30°的直线与抛物线交于A ，B 两点，若|AF ||BF |∈(0，1)，则|AF ||BF |＝( )A.15 B.14 C.13D.12【解析】 因为抛物线的焦点为F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，p 2，故过点F 且倾斜角为30°的直线的方程为y ＝3x ＋p 2，与抛物线方程联立得x 2－23px －p 2＝0，解方程得x A ＝－3p ，x B ＝3p ，所以|AF ||BF |＝|x A ||x B |＝13，故选C.【答案】 C2．已知抛物线C ：y 2＝8x 与点M (－2，2)，过抛物线C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于A ，B 两点，若MA→·MB →＝0，则k ＝( )A.12B.22C. 2D ．2【解析】 由题意可知抛物线的焦点坐标为(2，0)，则过焦点且斜率为k 的直线的方程为y ＝k (x －2)，与抛物线方程联立，消去y 化简得k 2x 2－(4k 2＋8)x ＋4k 2＝0，设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝4＋8k2，x 1x 2＝4，所以y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)－4k ＝8k，y 1y 2＝k 2[x 1x 2－2(x 1＋x 2)＋4]＝－16，因为MA →·MB →＝0，所以(x 1＋2)(x 2＋2)＋(y 1－2)(y 2－2)＝0(*)，将上面各个量代入(*)，化简得k 2－4k ＋4＝0，所以k ＝2，故选D.【答案】 D3．抛物线x 2＝2py (p >0)的焦点为F ，其准线与双曲线x 23－y 23＝1相交于A ，B两点，若△ABF 为等边三角形，则p ＝________．【解析】由于x 2＝2py (p >0)的准线为y ＝－p2，由⎩⎨⎧y ＝－p 2，x 2－y 2＝3，解得准线与双曲线x 2－y 2＝3的交点为 A ⎝⎛⎭⎪⎫－3＋14p 2，－p 2，B ⎝⎛⎭⎪⎫3＋14p 2，－p 2，所以AB ＝23＋14p 2. 由△ABF 为等边三角形，得32AB ＝p ，解得p ＝6.【答案】 64．已知抛物线x ＝－y 2与过点(－1，0)且斜率为k 的直线相交于A ，B 两点，O 为坐标原点，当△OAB 的面积等于10时，求k 的值. 【导学号：18490075】【解】 过点(－1，0)且斜率为k 的直线方程为y ＝k (x ＋1)，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－y 2，y ＝k （x ＋1），消去x ，整理得ky 2＋y －k ＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由根与系数之间的关系得y 1＋y 2＝－1k，y 1y 2＝－1.设直线与x 轴交于点N ，显然N 点的坐标为(－1，0)．∵S △OAB ＝S △OAN ＋S △OBN ＝12|ON ||y 1|＋12|ON ||y 2|＝12|ON ||y 1－y 2|，∴S △OAB ＝12（y 1＋y 2）2－4y 1y 2＝121k 2＋4＝10，解得k ＝－16或16.。