人教A版高中数学必修三第二章 章末复习课

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高中数学必修三第二章复习
授课日期及时段
1、必修三第二章知识点串联与复习
教学目的
2、第二章知识的练习
重点：必修三第二章知识点串联与复习
重点难点
难点：频率分布直方图；线性相关
教学内容
11
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必修四回忆
1、sin cos 5,那么sincos ．
4
2、(2021·湖州模拟)给出以下命题：
AB BA
①向量→的长度与向量→的长度相等；
②向量a与b平行，那么a与b的方向相同或相反；
③两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同；
④两个有公共终点的向量，一定是共线向量
AB CD
⑤向量→与向量→是共线向量，那么点A、B、C、D必在同一条直线上．其中不正确的个数为________．
课前回忆
n=5
1、右边程序执行后输出的结果是〔〕s=0
A. 1 B ．0 C ．1 D ．2 WHILEs<15
S=s+n
n=n－1
1111
2、右图给出的
是计算
246
100的值的一个程序框图，
其中判断框内应填入的
条件是〔〕
A．i<＝
100B．i>100
C．i>50D．i<＝50
智能梳理
抽样：
22
统计的的根本思想是：用样本的某个量去估计总体的某个量
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可修改33。

章末复习课[整合·网络构建][警示·易错提醒]1．“互斥事件”与“相互独立事件”的区别．“互斥事件”是说两个事件不能同时发生，“相互独立事件”是说一个事件发生与否对另一个事件发生的概率没有影响．2．对独立重复试验要准确理解．(1)独立重复试验的条件：第一，每次试验是在同样条件下进行；第二，任何一次试验中某事件发生的概率相等；第三，每次试验都只有两种结果，即事件要么发生，要么不发生．(2)独立重复试验概率公式的特点：关于P(X＝k)＝C k n p k(1－p)n－k，它是n次独立重复试验中某事件A恰好发生k次的概率．其中n是重复试验次数，p是一次试验中某事件A发生的概率，k是在n次独立试验中事件A恰好发生的次数，弄清公式中n，p，k的意义，才能正确运用公式．3．(1)准确理解事件和随机变量取值的意义，对实际问题中事件之间的关系要清楚．(2)认真审题，找准关键字句，提高解题能力．如“至少有一个发生”“至多有一个发生”“恰有一个发生”等．(3)常见事件的表示．已知两个事件A、B，则A，B中至少有一个发生为A∪B；都发生为A·B；都不发生为—A ·—B ；恰有一个发生为(—A ·B)∪(A·—B )；至多有一个发生为(—A ·—B )∪(—A ·B)∪(A·—B )．4．对于条件概率，一定要区分P(AB)与P(B|A)．5．(1)离散型随机变量的期望与方差若存在则必唯一，期望E (ξ)的值可正也可负，而方差的值则一定是一个非负值．它们都由ξ的分布列唯一确定．(2)D (ξ)表示随机变量ξ对E (ξ)的平均偏离程度．D (ξ) 越大表明平均偏离程度越大，说明ξ的取值越分散；反之D (ξ)越小，ξ的取值越集中．(3)D (aξ＋b )＝a 2D (ξ)，在记忆和使用此结论时，请注意D (aξ＋b )≠aD (ξ)＋b ，D (aξ＋b )≠aD (ξ)．6．对于正态分布，要特别注意N (μ，σ2)由μ和σ唯一确定，解决正态分布问题要牢记其概率密度曲线的对称轴为x ＝μ.专题一 条件概率的求法条件概率是高考的一个热点，常以选择题或填空题的形式出现，也可能是大题中的一个部分，难度中等．[例1] 坛子里放着7个大小、形状相同的鸭蛋，其中有4个是绿皮的，3个是白皮的．如果不放回地依次拿出2个鸭蛋，求：(1)第1次拿出绿皮鸭蛋的概率；(2)第1次和第2次都拿出绿皮鸭蛋的概率；(3)在第1次拿出绿皮鸭蛋的条件下，第2次拿出绿皮鸭蛋的概率．解：设“第1次拿出绿皮鸭蛋”为事件A ，“第2次拿出绿皮鸭蛋”为事件B ，则“第1次和第2次都拿出绿皮鸭蛋”为事件AB .(1)从7个鸭蛋中不放回地依次拿出2个的事件数为n (Ω)＝A 27＝42， 根据分步乘法计数原理，n (A )＝A 14×A 16＝24. 于是P (A )＝n （A ）n （Ω）＝2442＝47.(2)因为n (AB )＝A 24＝12， 所以P (AB )＝n （AB ）n （Ω）＝1242＝27.(3)法一 由(1)(2)可得，在第1次拿出绿皮鸭蛋的条件下，第2次拿出绿皮鸭蛋的概率为P (B |A )＝P （AB ）P （A ）＝27÷47＝12. 法二 因为n (AB )＝12，n (A )＝24， 所以P (B |A )＝n （AB ）n （A ）＝1224＝12.归纳升华解决概率问题的步骤．第一步，确定事件的性质：古典概型、互斥事件、独立事件、独立重复试验、条件概率，然后把所给问题归结为某一种．第二步，判断事件的运算(和事件、积事件)，确定事件至少有一个发生还是同时发生，分别运用相加或相乘事件公式．第三步，利用条件概率公式求解：(1)条件概率定义：P (B |A )＝P （AB ）P （A ）.(2)针对古典概型，缩减基本事件总数P (B |A )＝n （AB ）n （A ）.[变式训练] 已知100件产品中有4件次品，无放回地从中抽取2次每次抽取1件，求下列事件的概率：(1)第一次取到次品，第二次取到正品； (2)两次都取到正品．解：设A ＝{第一次取到次品}，B ＝{第二次取到正品}．(1)因为100件产品中有4件次品，即有正品96件，所以第一次取到次品的概率为P (A )＝4100，第二次取到正品的概率为P (B |A )＝9699，所以第一次取到次品，第二次取到正品的概率为P (AB )＝P (A )P (B |A )＝4100×9699＝32825. (2)因为A ＝{第一次取到次品}，且P (A )＝1－P (A )＝96100， P (B |A )＝9599，所以P (AB )＝P (A )P (B |A )＝96100×9599＝152165. 专题2 独立事件的概率要正确区分互斥事件与相互独立事件，准确应用相关公式解题，互斥事件是不可能同时发生的事件，相互独立事件是指一个事件的发生与否对另一个事件没有影响．[例2] 某射击小组有甲、乙两名射手，甲的命中率为P 1＝23，乙的命中率为P 2，在射击比赛活动中每人射击两发子弹则完成一次检测，在一次检测中，若两人命中次数相等且都不少于一发，则称该射击小组为“先进和谐组”．(1)若P 2＝12，求该小组在一次检测中荣获“先进和谐组”的概率．(2)计划在2018年每月进行1次检测，设这12次检测中该小组获得“先进和谐组”的次数为ξ，如果E (ξ)≥5，求P 2的取值X 围．解析：(1)因为P 1＝23，P 2＝12，根据“先进和谐组”的定义可得，该小组在一次检测中荣获“先进和谐组”的包括两人两次都射中，两人恰好各射中一次，所以该小组在一次检测中荣获“先进和谐组”的概率P ＝⎝⎛⎭⎪⎫C 12·23·13·⎝ ⎛⎭⎪⎫C 12·12·12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫23·23⎝ ⎛⎭⎪⎫12·12＝13.(2)该小组在一次检测中荣获“先进和谐组”的概率P ＝⎝⎛⎭⎪⎫C 12·23·13[C 12·P 2·(1－P 2)]＋⎝ ⎛⎭⎪⎫23·23()P 2·P 2＝89P 2－49P 22， 又ξ～B (12，P )，所以E (ξ)＝12P ， 由E (ξ)≥5知，⎝ ⎛⎭⎪⎫89P 2－49P 22·12≥5，解得34≤P 2≤1.[变式训练] 甲、乙两射击运动员分别对一目标射击1次，甲射中的概率为0.8，乙射中的概率为0.9，求：(1)2人都射中目标的概率． (2)2人中恰有1人射中目标的概率． (3)2人中至少有1人射中目标的概率．解：记“甲射击1次，击中目标”为事件A ，“乙射击1次，击中目标”为事件B ，则A 与B ，与B ， A 与B ，与为相互独立事件．(1)2人都射中目标的概率为P (AB )＝P (A )·P (B )＝0.8×0.9＝0.72.(2)“2人中恰有1人射中目标”包括两种情况：一种是甲射中、乙未射中(事件A 发生)，另一种是甲未射中、乙射中(事件B 发生)．根据题意，知事件A 与B 互斥，所求的概率为P ＝P (A )＋P (B )＝P (A )P ()＋P ()P (B )＝0.8×(1－0.9)＋(1－0.8)×0.9＝0.08＋0.18＝0.26.(3)“2人中至少有1人射中目标”包括“2人都射中”和“2人中有1人射中”2种情况，其概率为P ＝P (AB )＋[P (A )＋P (B )]＝0.72＋0.26＝0.98.专题三 独立重复试验与二项分布二项分布是高考考查的重点，要准确理解、熟练运用其概率公式P n (k )＝C kn ·p k(1－p )n －k，k ＝0，1，2，…，n ，高考以解答题为主，有时也用选择题、填空题形式考查．[例3] 现有10道题，其中6道甲类题，4道乙类题，X 同学从中任取3道题解答． (1)求X 同学所取的3道题至少有1道乙类题的概率；(2)已知所取的3道题中有2道甲类题，1道乙类题．设X 同学答对每道甲类题的概率都是35，答对每道乙类题的概率都是45，且各题答对与否相互独立．用X 表示X 同学答对题的个数，求X 为1和3的概率．解：(1)设事件A ＝“ X 同学所取的3道题至少有1道乙类题”，则有A ＝“X 同学所取的3道题都是甲类题”．因为P (— A )＝C 36C 310＝16，所以P (A )＝1－P (— A )＝56.(2)P (X ＝1)＝C 12⎝ ⎛⎭⎪⎫351·⎝ ⎛⎭⎪⎫251·15＋C 02⎝ ⎛⎭⎪⎫350·⎝ ⎛⎭⎪⎫252·45＝28125； P (X ＝3)＝C 22⎝ ⎛⎭⎪⎫352·⎝ ⎛⎭⎪⎫25·45＝36125. 归纳升华解决二项分布问题必须注意： (1)对于公式P n (k )＝C k n ·p k (1－p )n －k，k ＝0，1，2，…，n 必须在满足“独立重复试验”时才能运用，否则不能应用该公式．(2)判断一个随机变量是否服从二项分布，关键有两点：一是对立性，即一次试验中，事件发生与否两者必有其一；二是重复性，即试验独立重复地进行了n 次．[变式训练] 口袋中装有大小、轻重都无差别的5个红球和4个白球，每一次从袋中摸出2个球，若颜色不同，则为中奖．每次摸球后，都将摸出的球放回口袋中，则3次摸球恰有1次中奖的概率为()A.80243B.100243C.80729D.100729解析：每次摸球中奖的概率为C 14C 15C 29＝2036＝59，由于是有放回地摸球，故3次摸球相当于3次独立重复实验， 所以3次摸球恰有1次中奖的概率P ＝C 13×59×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－592＝80243.答案：A专题四 离散型随机变量的期望与方差离散型随机变量的均值和方差在实际问题中具有重要意义，也是高考的热点内容． [例4] (2016·某某卷)某小组共10人，利用假期参加义工活动，已知参加义工活动次数为1，2，3的人数分别为3，3，4.现从这10人中随机选出2人作为该组代表参加座谈会．(1)设A 为事件“选出的2人参加义工活动次数之和为4”，求事件A 发生的概率； (2)设X 为选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量X 的分布列和数学期望．解：(1)由已知，有P (A )＝C 13C 14＋C 23C 210＝13. 所以，事件A 发生的概率为13.(2)随机变量X 的所有可能取值为0，1，2. P (X ＝0)＝C 23＋C 23＋C 24C 210＝415， P (X ＝1)＝C 13C 13＋C 13C 14C 210＝715， P (X ＝2)＝C 13C 14C 210＝415.所以随机变量X 的分布列为：X 0 1 2 P415715415随机变量X 的数学期望E (X )＝0×415＋1×715＋2×415＝1.归纳升华(1)求离散型随机变量的分布列有以下三个步骤：①明确随机变量X 取哪些值；②计算随机变量X 取每一个值时的概率；③将结果用表格形式列出．计算概率时要注意结合排列组合知识．(2)均值和方差的求解方法是：在分布列的基础上利用E (X )＝x 1p 1＋x 2p 2＋…＋x i p i ＋…＋x n p n 求出均值，然后利用D (X )＝∑i ＝1n[x i －E (X )]2p i 求出方差．[变式训练] 根据以往的经验，某工程施工期间的降水量X (单位：mm)对工期的影响如下表：0.3，0.7，0.9，求：(1)工期延误天数Y 的均值与方差．(2)在降水量至少是300的条件下，工期延误不超过6天的概率．解：(1)由已知条件有P (X ＜300)＝0.3，P (300≤X ＜700)＝P (X ＜700)－P (X ＜300)＝0.7－0.3＝0.4，P (700≤X ＜900)＝P (X ＜900)－P (X ＜700)＝0.9－0.7＝0.2. P (X ≥900)＝1－P (X ＜900)＝1－0.9＝0.1.所以Y 的分布列为于是，E (Y )＝0×0.3D (Y )＝(0－3)2×0.3＋(2－3)2×0.4＋(6－3)2×0.2＋(10－3)2×0.1＝9.8.故工期延误天数Y 的均值为3，方差为9.8.(2)由概率的加法公式，P (X ≥300)＝1－P (X ＜300)＝0.7， 又P (300≤X ＜900)＝P (X ＜900)－P (X ＜300)＝0.9－0.3＝0.6. 由条件概率，得P (Y ≤6|X ≥300)＝P (X ＜900|X ≥300)＝P （300≤X ＜900）P （X ≥300）＝0.60.7＝67.故在降水量X 至少是300的条件下，工期延误不超过6天的概率是67.专题五 正态分布及简单应用高考主要以选择题、填空题形式考查正态曲线的形状特征与性质，抓住其对称轴是关键． [例5] 某市去年高考考生成绩服从正态分布N (500，502)，现有25 000名考生，试确定考生成绩在550～600分的人数．解：因为考生成绩X ～N (500，502)，所以μ＝500，σ＝50，所以P (550<X ≤600)＝12[P (500－2×50<X ≤500＋2×50)－P (500－50<X ≤500＋50)]＝12(0.954 4－0.682 6)＝0.135 9.故考生成绩在550～600分的人数为25 000×0.135 9≈3 398(人)． 归纳升华正态分布概率的求法1．注意3σ原则，记住正态总体在三个区间内取值的概率．2．注意数形结合．由于正态分布密度曲线具有完美的对称性，体现了数形结合的重要思想，因此运用对称性结合图象解决某一区间内的概率问题成为热点问题．[变式训练] 某镇农民年收入服从μ＝5 000元，σ＝200元的正态分布．则该镇农民平均收入在5 000～5 200元的人数的百分比是________．解析：设X 表示此镇农民的平均收入，则X ～N (5 000，2002)． 由P (5 000－200＜X ≤5 000＋200)＝0.682 6. 得P (5 000＜X ≤5 200)＝0.682 62＝0.341 3.故此镇农民平均收入在5 000～5 200元的人数的百分比为34.13%. 答案：34.13% 专题六 方程思想方程思想是解决概率问题中的重要思想，在求离散型随机变量的分布列，求两个或三个事件的概率时常会用到方程思想．即根据题设条件列出相关未知数的方程(或方程组)求得结果．[例6] 甲、乙、丙三台机床各自独立地加工同一种零件，已知甲机床加工的零件是一等品而乙机床加工的零件不是一等品的概率为14，乙机床加工的零件是一等品而丙机床加工的零件不是一等品的概率为112，甲、丙两台机床加工的零件都是一等品的概率为29.(1)分别求甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品的概率；(2)从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验，求至少有一个一等品的概率． 解：记A ，B ，C 分别为甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品的事件． 由题设条件有⎩⎪⎨⎪⎧P （A — B ）＝14，P （B — C ）＝112，P （AC ）＝29，即⎩⎪⎨⎪⎧P （A ）[1－P （B ）]＝14， ①P （B ）[1－P （C ）]＝112，②P （A ）P （C ）＝29. ③由①③得P (B )＝1－98P (C )，代入②得27[P (C )]2－51P (C )＋22＝0.解得P (C )＝23或P (C )＝119(舍去)．将P (C )＝23分别代入②③可得P (A )＝13，P (B )＝14.故甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品的概率分别是13，14，23.(2)记D 为从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验，至少有一个一等品的事件．则P (D )＝1－P (— D )＝1－[1－P (A )][1－P (B )][1－P (C )]＝1－23×34×13＝56.故从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验，至少有一个一等品的概率为56.归纳升华(1)在求离散型随机变量的分布列时，常利用分布列的性质：①p 1≥0，i ＝1，2，3，…，n ；②∑i ＝1np i ＝1，列出方程或不等式求出未知数．(2)在求两个或多个概率时，常根据不同类型的概率公式列出方程或方程组求出未知数． [变式训练] 若离散型随机变量ξ的分布列为：ξ 0 1 P9a 2－a3－8a求常数a 解：由离散型随机变量的性质得⎩⎪⎨⎪⎧9a 2－a ＋3－8a ＝1，0≤9a 2－a ≤1，0≤3－8a ≤1，解得a ＝23(舍去)或a ＝13.所以，随机变量的分布列为：ξ 0 1 P2313。

章末复习课[整合·网络构建][警示·易错提醒]1．(1)简单随机抽样中易忽视样本是从总体中逐个抽取的，是不放回抽样，且每个个体被抽到的概率相等．(2)系统抽样中，易忽视抽取的样本数也就是分段的段数，当N n不是整数时，注意剔除，剔除的个体是随机的，各段入样的个体编号成等差数列．(3)分层抽样中，易忽视每层抽取的个体的比例是相同的，即均为样本容量n 总体个数N. (4)易把直方图与条形图混淆：两者的区别在于条形图是离散随机变量，纵坐标刻度为频数或频率，直方图是连续随机变量，连续随机变量在某一点上是没有频率的．(5)易忽视频率分布直方图中纵轴表示的应为频率组距. (6)在绘制茎叶图时，易遗漏重复出现的数据，重复出现的数据要重复记录，同时不要混淆茎叶图中茎与叶的含义．(7)回归分析中易误认为样本数据必在回归直线上，实质上回归直线必过的点是(x －，y －)，可能所有的样本数据点都不在直线上．(8)利用回归方程分析问题时，所得的数据易误认为准确值，而实质上是预测值(期望值)．专题一 抽样方法及其应用随机抽样有简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种．其共同点是在抽样过程中每个个体被抽到的机会相等，当总体中的个体数较少时，常采用简单随机抽样；当总体中的个体数较多时，多采用系统抽样；当已知总体由差异明显的几部分组成时，常采用分层抽样．其中简单随机抽样是最简单、最基本的抽样方法．在进行系统抽样和分层抽样时都要用到简单随机抽样．[例1](1)为了解某地区中小学生的视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大．在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是()A．简单随机抽样B．按性别分层抽样C．按学段分层抽样D．系统抽样(2)某单位有840名职工，现采用系统抽样方法抽取42人做问卷调查，将840人按1，2，…，840随机编号，则抽取的42人中，编号落入区间[481，720]的人数为()A．11B．12C．13D．14解：(1)因为男女生视力情况差异不大，而各学段学生的视力情况有较大差异，所以应按学段分层抽样，故选C.(2)因为840∶42＝20∶1，故编号在[481，720]内的人数为240÷20＝12.答案：(1)C(2)B归纳升华1．系统抽样是将总体分成均衡的几部分，然后按照预先定出的规则，从每一部分抽取一个个体．2．分层抽样．从各部分抽取的个体数与该部分个体数的比等于样本容量与总体容量的比．[变式训练](2019·天津卷)某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方法，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查．已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4∶5∶5∶6，则应从一年级本科生中抽取________名学生．解析：依题意，应从一年级本科生中抽取的学生人数为44＋5＋5＋6×300＝60.答案：60专题二利用样本的频率分布估计总体分布本专题主要利用统计表、统计图分析、估计总体的分布规律．要熟练掌握绘制统计图表的方法，明确图表中有关数据的意义是正确分析问题的关键．从图形与图表中获取有关信息并加以整理，是近年来高考命题的热点问题．[例2](2019·重庆卷改编)20名学生某次数学考试成绩(单位：分)的频率分布直方图如图所示．(1)求频率分布直方图中a的值；(2)分别求出成绩落在[50，60)与[60，70)中的学生人数．解：(1)据直方图知组距为10，由(2a＋3a＋7a＋6a＋2a)×10＝1，解得a＝1200＝0.005.(2)成绩落在[50，60)中的学生人数为2×0.005×10×20＝2.成绩落在[60，70)中的学生人数为3×0.005×10×20＝3.归纳升华1．已知频率分布直方图中的部分数据，求其他数据，可根据频率分布直方图中的数据求出样本与整体的关系，利用频率和等于1就可求出其他数据．2．已知频率分布直方图，求某种范围内的数据，可利用图形及某范围结合求解．[变式训练](2019·全国卷Ⅰ)某公司计划购买1台机器，该种机器使用三年后即被淘汰．机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元．在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元．现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：记x表示1台机器在三年使用期内需更换的易损零件数，y表示1台机器在购买易损零件上所需的费用(单位：元)，n表示购机的同时购买的易损零件数．(1)若n＝19，求y与x的函数解析式；(2)若要求“需更换的易损零件数不大于n”的频率不小于0.5，求n的最小值；(3)假设这100台机器在购机的同时每台都购买19个易损零件，或每台都购买20个易损零件，分别计算这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数，以此作为决策依据，购买1台机器的同时应购买19个还是20个易损零件？解：(1)当x ≤19时，y ＝3 800；当x >19时，y ＝3 800＋500(x －19)＝500x －5 700，所以y 与x 的函数解析式为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧3 800，x ≤19，500x －5 700，x >19(x ∈N)． (2)由柱状图知，需更换的零件数不大于18的频率为0.46，不大于19的频率为0.7，故n 的最小值为19.(3)若每台机器在购机同时都购买19个易损零件，则这100台机器中有70台在购买易损零件上的费用为3 800，20台的费用为4 300，10台的费用为4 800，因此这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数为1100(3 800×70＋4 300×20＋4 800×10)＝4 000.若每台机器在购机同时都购买20个易损零件，则这100台机器中有90台在购买易损零件上的费用为4 000，10台的费用为4 500，因此这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数为1100(4 000×90＋4 500×10)＝4 050.比较两个平均数可知，购买1台机器的同时应购买19个易损零件. 专题三 利用样本的数字特征估计总体的数字特征总体的平均数与标准差往往通过样本的平均数、标准差来估计．一般地，样本容量越大，对总体的估计越精确．平均数描述集中趋势，方差、标准差描述波动大小，也可以说方差、标准差反映各个数据与其平均数的离散程度．一组数据的方差或标准差越大，说明这组数据波动越大．方差的单位是原数据单位的平方，标准差的单位与原单位相同．[例3] (2019·课标全国Ⅰ卷)从某企业生产的某种产品中抽取100件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频数分布表：质量指标值分组[75，85) [85，95) [95，105) [105，115) [115，125) 频数 6 26 38 22 8(1)作出这些数据的频率分布直方图；(2)估计这种产品质量指标值的平均数及方差(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；(3)根据以上抽样调查数据，能否认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品80%”的规定？解：(1)由数据可作出如下频率分布直方图： (2)质量指标值的样本平均数为x －＝80×0.06＋90×0.26＋100×0.38＋110×0.22＋120×0.08＝100.质量指标值的样本方差为s 2＝(－20)2×0.06＋(－10)2×0.26＋0×0.38＋102×0.22＋202×0.08＝104.所以这种产品质量指标值的平均数的估计值为100，方差的估计值为104.(3)质量指标值不低于95的产品所占比例的估计值为0.38＋0.22＋0.08＝0.68.由于该估计值小于0.8，故不能认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品80%”的规定．归纳升华利用频率分布直方图求数字特征的方法1．众数是最高的矩形的底边的中点的横坐标．2．中位数左右两侧直方图的面积相等．3．平均数等于每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和．4．利用直方图求众数、中位数、平均数均为近似值，往往与实际数据得出的不一致．但它们能粗略估计其众数、中位数和平均数．[变式训练]甲、乙两位学生参加数学竞赛培训．现分别从他们在培训期间参加的若干次预赛成绩中随机抽取8次，记录如下：甲：82 81 79 78 95 88 93 84乙：92 95 80 75 83 80 90 85(1)画出甲、乙两位学生成绩的茎叶图，指出学生乙成绩的中位数；(2)现要从中选派一人参加数学竞赛，从平均状况和方差的角度考虑，你认为派哪位学生参加合适？请说明理由．解：(1)茎叶图：学生乙成绩的中位数为84.(2)派甲参加比较合适．理由如下：x－甲＝18(78＋79＋81＋82＋84＋88＋93＋95)＝85.x－乙＝18(75＋80×2＋83＋85＋90＋92＋95)＝85，s2甲＝18[(78－85)2＋(79－85)2＋(81－85)2＋(82－85)2＋(84－85)2＋(88－85)2＋(93－85)2＋(95－85)2]＝35.5，s2乙＝18[(75－85)2＋(80－85)2＋(80－85)2＋(83－85)2＋(85－85)＋(90－85)2＋(92－85)2＋(95－85)2]＝41.因为x－甲＝x－乙，s2甲<s2乙，所以甲的成绩比较稳定，派甲参加比较合适.专题四回归分析及其应用回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法．相关性问题是日常生活中普遍存在的问题．生活中有些变量之间存在着明显的函数关系，有些变量之间不满足函数关系，但是它们之间又存在着一种明显的依赖关系．利用回归分析的方法对两个具有线性相关关系的变量研究的步骤为：1．画出这两个变量的散点图．2．求回归直线方程．3．利用回归直线方程进行预报．[例❹]某产品的广告支出x(单位：万元)与销售收入y(单位：万元)之间有下列所示对应的数据：广告支出x/万元1234销售收入y/万元12284460(1)画出表中数据的散点图；(2)求出y对x的回归方程；(3)若广告费为9万元，则销售收入约多少万元？解：(1)依表中数据，画出散点图如图．(2)观察散点图可知，各点大致分布在一条直线附近，所以变量x，y线性相关．将相关数据列表如下：i 1234x i123 4y i12284460x i y i1256132240x2i14916设回归方程为y ^＝b ^x ＋a ^，于是b ^＝440－4×2.5×3630－4×2.52＝805＝16， a ^＝y －－b ^x －＝36－16×2.5＝－4，所以y 对x 的回归方程为y ^＝16x －4.(3)当广告费为9万元时，y ^＝16×9－4＝140(万元)，即广告费为9万元时，销售收入约140万元．归纳升华对一组数据进行线性回归分析时，应先画出散点图，看其是否呈直线形，再依a ^，b ^的计算公式算出a ^，b ^.[变式训练] 为了解儿子身高与其父亲身高的关系，随机抽取5对父子的身高数据如下： 父亲身高x / cm174 176 176 176 178 儿子身高y / cm 175 175 176 177 177则y 对x 的线性回归方程为( )A.y ^＝x －1B.y ^＝x ＋1C.y ^＝88＋12xD.y ^＝176解析：由题意得x －＝174＋176＋176＋176＋1785＝176(cm)，y －＝175＋175＋176＋177＋1775＝176(cm)，由于(x －，y －)一定满足线性回归方程，经验证知选C.答案：C专题五 数形结合思想数形结合思想在本章中的重要应用是通过频率分布的态势对总体进行估计及根据散点图确定两个变量是否具有相关关系，并做出判断．统计图表(频率分布直方图、茎叶图)与数字特征(平均数、中位数、方差)是高考的重点和热点内容，几乎每年必考，通常以茎叶图和频率分布直方图为载体，考查平均数、中位数、方差等的计算，高考对变量间的相关性的考查呈逐年上升的趋势，主要考查借助散点图直观地分析两个变量间的相关关系，知道回归直线经过样本中心，会求回归方程，并能利用方程对有关变量做出估计．[例5] 从甲、乙两个城市分别随机抽取16台自动售货机，对其销售额进行统计，统计数据用茎叶图表示(如图所示)．设甲、乙两组数据的平均数分别为x －甲，x －乙，中位数分别为m 甲，m 乙，则( )A.x －甲<x －乙，m 甲>m 乙B.x －甲<x －乙，m 甲<m 乙C.x －甲>x －乙，m 甲>m 乙D.x －甲>x －乙，m 甲<m 乙解析：由茎叶图得到甲的取值有一半在20以下，乙取值主要集中在20以上，故x －甲<x －乙，m 甲<m 乙，选B.答案：B归纳升华求解茎叶图问题，需注意以下两点：1．在绘制茎叶图时应注意重复出现的数据应重复记录，不能遗漏．2．茎叶图在样本数据较少、较为集中且位数不多时比较适用．由于它较好地保留了原始数据，所以可以帮助分析样本数据的大致频率分布，还可以用来分析样本数据的一些数字特征，如众数、中位数、平均数等．[变式训练](2019·课标全国Ⅱ卷)根据下面给出的2019年至2019年我国二氧化硫年排放量(单位：万吨)柱形图，以下结论中不正确的是() A．逐年比较，2019年减少二氧化硫排放量的效果最显著B．2019年我国治理二氧化硫排放显现成效C．2019年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势D．2019年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关解析：依据给出的柱形图，逐项验证．对于A选项，由图知从2019年到2019年二氧化硫排放量下降得最多，故A正确．对于B选项，由图知由2019年到2019年矩形高度明显下降，因此B正确．对于C选项，由图知从2019年以后除2019年稍有上升外，其余年份都是逐年下降的，所以C 正确．对于D选项，由图知2019年以来我国二氧化硫年排放量与年份负相关，故D错误．答案：D第 11 页。

人教版高中数学必修3第二章章末复习课章末复习课[整合·网络构建][警示·易错提醒]1．(1)简单随机抽样中易忽视样本是从总体中逐个抽取的，是不放回抽样，且每个个体被抽到的概率相等．(2)系统抽样中，易忽视抽取的样本数也就是分段的段数，当N n不是整数时，注意剔除，剔除的个体是随机的，各段入样的个体编号成等差数列．(3)分层抽样中，易忽视每层抽取的个体的比例是相同的，即均为样本容量n 总体个数N. (4)易把直方图与条形图混淆：两者的区别在于条形图是离散随机变量，纵坐标刻度为频数或频率，直方图是连续随机变量，连续随机变量在某一点上是没有频率的．(5)易忽视频率分布直方图中纵轴表示的应为频率组距. (6)在绘制茎叶图时，易遗漏重复出现的数据，重复出现的数据要重复记录，同时不要混淆茎叶图中茎与叶的含义．(7)回归分析中易误认为样本数据必在回归直线上，实质上回归直线必过的点是(x －，y －)，可能所有的样本数据点都不在直线上．(8)利用回归方程分析问题时，所得的数据易误认为准确值，而实质上是预测值(期望值)．专题一 抽样方法及其应用随机抽样有简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种．其共同点是在抽样过程中每个个体被抽到的机会相等，当总体中的个体数较少时，常采用简单随机抽样；当总体中的个体数较多时，多采用系统抽样；当已知总取一个容量为300的样本进行调查．已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4∶5∶5∶6，则应从一年级本科生中抽取________名学生．解析：依题意，应从一年级本科生中抽取的学生人数为44＋5＋5＋6×300＝60.答案：60专题二利用样本的频率分布估计总体分布本专题主要利用统计表、统计图分析、估计总体的分布规律．要熟练掌握绘制统计图表的方法，明确图表中有关数据的意义是正确分析问题的关键．从图形与图表中获取有关信息并加以整理，是近年来高考命题的热点问题．[例2](2019·重庆卷改编)20名学生某次数学考试成绩(单位：分)的频率分布直方图如图所示．(1)求频率分布直方图中a的值；(2)分别求出成绩落在[50，60)与[60，70)中的学生人数．解：(1)据直方图知组距为10，由(2a＋3a＋7a＋6a＋2a)×10＝1，解得a＝1200＝0.005.(2)成绩落在[50，60)中的学生人数为2×0.005×10×20＝2.成绩落在[60，70)中的学生人数为3×0.005×10×20＝3.归纳升华1．已知频率分布直方图中的部分数据，求其他数据，可根据频率分布直方图中的数据求出样本与整体的关系，利用频率和等于1就可求出其他数据．2．已知频率分布直方图，求某种范围内的数据，可利用图形及某范围结合求解．[变式训练](2019·全国卷Ⅰ)某公司计划购买1台机器，该种机器使用三年后即被淘汰．机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元．在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元．现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：记x表示1台机器在三年使用期内需更换的易损零件数，y表示1台机器在购买易损零件上所需的费用(单位：元)，n表示购机的同时购买的易损零件数．(1)若n＝19，求y与x的函数解析式；(2)若要求“需更换的易损零件数不大于n”的频率不小于0.5，求n的最小值；(3)假设这100台机器在购机的同时每台都购买19个易损零件，或每台都购买20个易损零件，分别计算这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数，以此作为决策依据，购买1台机器的同时应购买19个还是20个易损零件？解：(1)当x≤19时，y＝3 800；当x>19时，y＝3 800＋500(x－19)＝500x－5 700，所以y与x的函数解析式为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧3 800，x ≤19，500x －5 700，x >19(x ∈N)． (2)由柱状图知，需更换的零件数不大于18的频率为0.46，不大于19的频率为0.7，故n 的最小值为19.(3)若每台机器在购机同时都购买19个易损零件，则这100台机器中有70台在购买易损零件上的费用为3 800，20台的费用为4 300，10台的费用为4 800，因此这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数为1100(3 800×70＋4 300×20＋4 800×10)＝4 000.若每台机器在购机同时都购买20个易损零件，则这100台机器中有90台在购买易损零件上的费用为4 000，10台的费用为4 500，因此这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数为1100(4 000×90＋4 500×10)＝4 050.比较两个平均数可知，购买1台机器的同时应购买19个易损零件. 专题三 利用样本的数字特征估计总体的数字特征总体的平均数与标准差往往通过样本的平均数、标准差来估计．一般地，样本容量越大，对总体的估计越精确．平均数描述集中趋势，方差、标准差描述波动大小，也可以说方差、标准差反映各个数据与其平均数的离散程度．一组数据的方差或标准差越大，说明这组数据波动越大．方差的单位是原数据单位的平方，标准差的单位与原单位相同．[例3] (2019·课标全国Ⅰ卷)从某企业生产的某种产品中抽取100件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频数分布表： 质量指标值分组[75，85) [85，95) [95，105) [105，115) [115，125) 频数 6 26 3822 8(1)作出这些数据的频率分布直方图；(2)估计这种产品质量指标值的平均数及方差(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；(3)根据以上抽样调查数据，能否认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品80%”的规定？解：(1)由数据可作出如下频率分布直方图：(2)质量指标值的样本平均数为x －＝80×0.06＋90×0.26＋100×0.38＋110×0.22＋120×0.08＝100.质量指标值的样本方差为s 2＝(－20)2×0.06＋(－10)2×0.26＋0×0.38＋102×0.22＋202×0.08＝104.所以这种产品质量指标值的平均数的估计值为100，方差的估计值为104.(3)质量指标值不低于95的产品所占比例的估计值为0.38＋0.22＋0.08＝0.68.由于该估计值小于0.8，故不能认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品80%”的规定．归纳升华利用频率分布直方图求数字特征的方法1．众数是最高的矩形的底边的中点的横坐标．2．中位数左右两侧直方图的面积相等．3．平均数等于每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和．4．利用直方图求众数、中位数、平均数均为近似值，往往与实际数据得出的不一致．但它们能粗略估计其众数、中位数和平均数．[变式训练]甲、乙两位学生参加数学竞赛培训．现分别从他们在培训期间参加的若干次预赛成绩中随机抽取8次，记录如下：甲：82 81 79 78 95 88 93 84乙：92 95 80 75 83 80 90 85(1)画出甲、乙两位学生成绩的茎叶图，指出学生乙成绩的中位数；(2)现要从中选派一人参加数学竞赛，从平均状况和方差的角度考虑，你认为派哪位学生参加合适？请说明理由．解：(1)茎叶图：学生乙成绩的中位数为84.(2)派甲参加比较合适．理由如下：x－甲＝18(78＋79＋81＋82＋84＋88＋93＋95)＝85.x－乙＝18(75＋80×2＋83＋85＋90＋92＋95)＝85，s2甲＝18[(78－85)2＋(79－85)2＋(81－85)2＋(82－85)2＋(84－85)2＋(88－85)2＋(93－85)2＋(95－85)2]＝35.5，s2乙＝18[(75－85)2＋(80－85)2＋(80－85)2＋(83－85)2＋(85－85)＋(90－85)2＋(92－85)2＋(95－85)2]＝41.因为x－甲＝x－乙，s2甲<s2乙，所以甲的成绩比较稳定，派甲参加比较合适.专题四回归分析及其应用回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法．相关性问题是日常生活中普遍存在的问题．生活中有些变量之间存在着明显的函数关系，有些变量之间不满足函数关系，但是它们之间又存在着一种明显的依赖关系．利用回归分析的方法对两个具有线性相关关系的变量研究的步骤为：1．画出这两个变量的散点图．2．求回归直线方程．3．利用回归直线方程进行预报．[例❹] 某产品的广告支出x (单位：万元)与销售收入y (单位：万元)之间有下列所示对应的数据： 广告支出x /万元1 2 3 4 销售收入y /万元12 28 44 60 (1)画出表中数据的散点图；(2)求出y 对x 的回归方程；(3)若广告费为9万元，则销售收入约多少万元？解：(1)依表中数据，画出散点图如图．(2)观察散点图可知，各点大致分布在一条直线附近，所以变量x ，y 线性相关．将相关数据列表如下：i1 2 3 4 x i1 2 3 4 y i12 28 44 60 x i y i12 56 132 240x 2i 1 4 9 16设回归方程为y ＝b x ＋a ，于是b ^＝440－4×2.5×3630－4×2.52＝805＝16，a^＝y－－b^x－＝36－16×2.5＝－4，所以y对x的回归方程为y^＝16x－4.(3)当广告费为9万元时，y^＝16×9－4＝140(万元)，即广告费为9万元时，销售收入约140万元．归纳升华对一组数据进行线性回归分析时，应先画出散点图，看其是否呈直线形，再依a^，b^的计算公式算出a^，b^.[变式训练]为了解儿子身高与其父亲身高的关系，随机抽取5对父子的身高数据如下：父亲身高x/ cm174176176176178儿子身高y/ cm175175176177177 则yA.y^＝x－1B.y^＝x＋1C.y^＝88＋12x D.y^＝176解析：由题意得x－＝174＋176＋176＋176＋1785＝176(cm)，y－＝175＋175＋176＋177＋1775＝176(cm)，由于(x－，y－)一定满足线性回归方程，经验证知选C.答案：C专题五数形结合思想数形结合思想在本章中的重要应用是通过频率分布的态势对总体进行估计及根据散点图确定两个变量是否具有相关关系，并做出判断．统计图表(频率分布直方图、茎叶图)与数字特征(平均数、中位数、方差)是高考的重点和热点内容，几乎每年必考，通常以茎叶图和频率分布直方图为载体，考查平均数、中位数、方差等的计算，高考对变量间的相关性的考查呈逐年上升的趋势，主要考查借助散点图直观地分析两个变量间的相关关系，知道回归直线经过样本中心，会求回归方程，并能利用方程对有关变量做出估计．[例5] 从甲、乙两个城市分别随机抽取16台自动售货机，对其销售额进行统计，统计数据用茎叶图表示(如图所示)．设甲、乙两组数据的平均数分别为x －甲，x －乙，中位数分别为m 甲，m 乙，则( )A.x －甲<x －乙，m 甲>m 乙B.x －甲<x －乙，m 甲<m 乙C.x －甲>x －乙，m 甲>m 乙D.x －甲>x －乙，m 甲<m 乙解析：由茎叶图得到甲的取值有一半在20以下，乙取值主要集中在20以上，故x －甲<x －乙，m 甲<m 乙，选B.答案：B归纳升华求解茎叶图问题，需注意以下两点：1．在绘制茎叶图时应注意重复出现的数据应重复记录，不能遗漏．2．茎叶图在样本数据较少、较为集中且位数不多时比较适用．由于它较好地保留了原始数据，所以可以帮助分析样本数据的大致频率分布，还可以用来分析样本数据的一些数字特征，如众数、中位数、平均数等．[变式训练] (2019·课标全国Ⅱ卷)根据下面给出的2019年至2019年我国二氧化硫年排放量(单位：万吨)柱形图，以下结论中不正确的是( )A ．逐年比较，2019年减少二氧化硫排放量的效果最显著B ．2019年我国治理二氧化硫排放显现成效C ．2019年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势D．2019年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关解析：依据给出的柱形图，逐项验证．对于A选项，由图知从2019年到2019年二氧化硫排放量下降得最多，故A正确．对于B选项，由图知由2019年到2019年矩形高度明显下降，因此B正确．对于C选项，由图知从2019年以后除2019年稍有上升外，其余年份都是逐年下降的，所以C 正确．对于D选项，由图知2019年以来我国二氧化硫年排放量与年份负相关，故D错误．答案：D。