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(完整)人教版高中数学必修4课后习题答案(截取自教师用书)(word版可编辑修改)
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人教版高中数学必修4课后习题答案（截取自教师用书
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人教版高中数学必修4课后习题答案(截取自教师用书)。
第二章平面向量()(时间：分钟满分：分)一、选择题(本大题共小题，每小题分，共分)．已知向量＝()，＝()，且∥，则的值是()．－．．．．下列命题正确的是()．单位向量都相等．若与共线，与共线，则与共线．若＋＝－，则·＝．若与都是单位向量，则·＝.．设向量＝(－，＋)，＝(＋，－)，若与的夹角大于°，则实数的取值范围是()．(－，)．(－∞，－)∪(，＋∞)．(－，)．(－∞，)∪(，＋∞)．平行四边形中，为一条对角线，若＝()，＝()，则·等于()．．．－．－．已知＝，＝，·(－)＝，则向量与向量的夹角是()．关于平面向量，，，有下列四个命题：①若∥，≠，则存在λ∈，使得＝λ；②若·＝，则＝或＝；③存在不全为零的实数λ，μ使得＝λ＋μ；④若·＝·，则⊥(－)．其中正确的命题是()．①③．①④．②③．②④．已知＝，＝，且·＝－，则向量在向量上的投影等于()．－．．－．设，，，为平面上四点，＝λ＋(－λ)·，且λ∈()，则()．点在线段上．点在线段上．点在线段上．，，，四点共线．是△内的一点，＝(＋)，则△的面积与△的面积之比为()．．．．在△中，＝，＝，若＝＋，则＋等于()．．已知＋＋＝，且＝＝＝，则·(＋)等于()．－．－．．定义平面向量之间的一种运算“⊙”如下：对任意的＝(，)，＝(，)，令⊙＝－.下面说法错误的是()．若与共线，则⊙＝．⊙＝⊙．对任意的λ∈，有(λ)⊙＝λ(⊙)．(⊙)＋(·)＝题号答案二、填空题(本大题共小题，每小题分，共分)．设向量＝()，＝()，若向量λ＋与向量＝(－，－)共线，则λ＝.．，的夹角为°，＝，＝，则－＝.．已知向量＝()，＝(－，)，直线过点(，－)，且与向量＋垂直，则直线的方程为．．已知向量＝()，＝()，＝()，设是直线上任意一点(为坐标原点)，则·的最小值为．三、解答题(本大题共小题，共分)。
第二章章末检测班级____ 姓名____ 考号____ 分数____ 本试卷满分150分，考试时间120分钟．一、选择题：本大题共12题，每题5分，共60分．在下列各题的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1．下列各式叙述不正确的是( ) A ．若a ＝λ b ，则a 、b 共线B ．若b ＝3a (a 为非零向量)，则a 、b 共线C ．若m ＝3a ＋4b ，n ＝32a －2b ，则m ∥nD ．若a ＋b ＋c ＝0，则a ＋b ＝－c 答案：C解析：根据共线向量定理及向量的线性运算易解．2．已知向量a ，b 和实数λ，下列选项中错误的是( ) A ．|a |＝a ·a B ．|a ·b |＝|a |·|b | C ．λ(a ·b )＝λa ·b D ．|a ·b |≤|a |·|b | 答案：B 解析：|a ·b |＝|a |·|b ||cos θ|，只有a 与b 共线时，才有|a ·b |＝|a ||b |，可知B 是错误的．3．已知点A (1,3)，B (4，－1)，则与向量AB →同方向的单位向量为( ) A.⎝⎛⎭⎫35，－45 B.⎝⎛⎭⎫45，－35 C.⎝⎛⎭⎫－35，45 D.⎝⎛⎭⎫－45，35 答案：A解析：AB →＝(3，－4)，则与其同方向的单位向量e ＝AB →|AB →|＝15(3，－4)＝⎝⎛⎭⎫35，－45. 4．已知O 是△ABC 所在平面内一点，D 为BC 边的中点，且2OA →＋OB →＋OC →＝0，那么( )A.AO →＝OD →B.AO →＝2OD →C.AO →＝3OD → D ．2AO →＝OD → 答案：A解析：由于2OA →＋OB →＋OC →＝0，则OB →＋OC →＝－2OA →＝2AO →.所以12(OB →＋OC →)＝AO →，又D 为BC 边中点，所以OD →＝12(OB →＋OC →)．所以AO →＝OD →.5．若|a |＝1，|b |＝6，a ·(b －a )＝2，则a 与b 的夹角为( ) A.π6 B.π4 C.π3 D.π2 答案：C解析：a ·(b －a )＝a ·b －a 2＝1×6×cos θ－1＝2，cos θ＝12，θ∈[0，π]，故θ＝π3.6．若四边形ABCD 满足：AB →＋CD →＝0，(AB →＋DA →)⊥AC →，则该四边形一定是( ) A ．矩形 B ．菱形 C ．正方形 D ．直角梯形 答案：B解析：由AB →＋CD →＝0⇒AB →∥DC →且|AB →|＝|DC →|，即四边形ABCD 是平行四边形，又(AB →＋DA →)⊥AC →⇒AC →⊥DB →，所以四边形ABCD 是菱形．7．给定两个向量a ＝(2,1)，b ＝(－3,4)，若(a ＋x b )⊥(a －b )，则x 等于( ) A.1327 B.132 C.133 D.727 答案：D解析：a ＋x b ＝(2,1)＋(－3x,4x )＝(2－3x,1＋4x )，a －b ＝(2,1)－(－3,4)＝(5，－3)，∵(a＋x b )⊥(a －b )，∴(2－3x )·5＋(1＋4x )·(－3)＝0，∴x ＝727.8．如图所示，在重600N 的物体上拴两根绳子，与铅垂线的夹角分别为30°，60°，重物平衡时，两根绳子拉力的大小分别为( )A ．300 3N,300 3NB ．150N,150NC ．300 3N,300ND ．300N,300N 答案：C解析：如图：作▱OACB ，使∠AOC ＝30°，∠BOC ＝60°，∠OAC ＝90°，|OA →|＝|OC →|cos30°＝300 3N.|OB |→＝|OC →|sin30°＝300N.9．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(－2，－4)，|c |＝5，若(a ＋b )·c ＝52，则a 与c 的夹角为( )A ．30°B ．60°C ．120°D ．150° 答案：C解析：由条件知|a |＝5，|b |＝25，a ＋b ＝(－1，－2)，∴|a ＋b |＝5，∵(a ＋b )·c ＝52，∴5×5·cos θ＝52，其中θ为a ＋b 与c 的夹角，∴θ＝60°，∵a ＋b ＝－a ，∴a ＋b 与a 方向相反，∴a 与c 的夹角为120°.10．若向量AB →＝(1，－2)，n ＝(1,3)，且n ·AC →＝6，则n ·BC →等于( ) A ．－8 B ．9 C ．－10 D ．11 答案：D解析：n ·AB →＝1－6＝－5，n ·AC →＝n ·(AB →＋BC →)＝n ·AB →＋n ·BC →＝6，∴n ·BC →＝11.11．在边长为1的正三角形ABC 中，BD →＝13BA →，E 是CA 的中点，则CD →·BE →等于( )A ．－12B ．－23C ．－13D ．－16答案：A解析：建立如图所示的直角坐标系，则A ⎝⎛⎭⎫－12，0，B ⎝⎛⎭⎫12，0，C ⎝⎛⎭⎫0，32，依题意设D (x 1,0)，E (x 2，y 2)，∵BD →＝13BA →，∴⎝⎛⎭⎫x 1－12，0＝13(－1,0)，∴x 1＝16. ∵E 是CA 的中点，∴CE →＝12CA →，又CA →＝⎝⎛⎭⎫－12，－32，∴x 2＝－14，y 2＝34.∴CD →·BE →＝⎝⎛⎭⎫16，－32·⎝⎛⎭⎫－34，34＝16×⎝⎛⎭⎫－34＋⎝⎛⎭⎫－32×34＝－12.故选A. 12．已知|a |＝2 2，|b |＝3，a ，b 的夹角为π4，如图所示，若AB →＝5a ＋2b ，AC →＝a －3b ，且D 为BC 中点，则AD →的长度为( )A.152B.152 C ．7 D ．8 答案：A解析：AD →＝12(AB →＋AC →)＝12(5a ＋2b ＋a －3b )＝12(6a －b )∴|AD →|2＝14(36a 2－12ab ＋b 2)＝2254.∴|AD →|＝152.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上． 13．已知向量a 和向量b 的夹角为30°，|a |＝2，|b |＝3，则a ·b ＝________. 答案：3解析：a ·b ＝2×3×32＝3.14．已知a 是平面内的单位向量，若向量b 满足b ·(a －b )＝0，则|b |的取值范围是________． 答案：[0,1] 解析：∵b ·(a －b )＝0，∴a ·b ＝b 2，即|a ||b |·cos θ＝|b |2，当b ≠0时，|b |＝|a |cos θ＝cos θ∈(0,1]，所以|b |∈[0,1]．15．设向量a 与b 的夹角为α，且a ＝(3,3)，2b －a ＝(－1,1)，则cos α＝________.答案：31010解析：设b ＝(x ，y )，则2b －a ＝(2x －3,2y －3)＝ (－1,1)，∴x ＝1，y ＝2，则b ＝(1,2)，cos α＝a ·b |a |·|b |＝93 2×5＝310＝31010.16．关于平面向量a ，b ，c ，有下列三个命题： ①若a ·b ＝a ·c ，则b ＝c ；②若a ＝(1，k )，b ＝(－2,6)，a ∥b ，则k ＝－3；③非零向量a 和b 满足|a |＝|b |＝|a －b |，则a 与a ＋b 的夹角为60°，其中真命题的序号为________．(写出所有真命题的序号)答案：②解析：①a 与b 的夹角为θ1，a 与c 的夹角为θ2. a ·b ＝a ·c ，有|a ||b |cos θ1＝|a ||c |cos θ2，得不到b ＝c ，错误． ②a ＝(1，k )，b ＝(－2,6)，∵a ∥b ，∴b ＝λa ，得k ＝－3.正确． ③设|a |＝|b |＝|a －b |＝m (m >0)， 且a 与a ＋b 的夹角为θ. 则有(a －b )2＝a 2－2a ·b ＋b 2＝m 2， ∴2a ·b ＝m 2.a ·(a ＋b )＝a 2＋a ·b ＝m 2＋m 22＝3m 22， (a ＋b )2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝m 2＋m 2＋m 2＝3m 2，∴cos θ＝a ·(a ＋b )|a ||a ＋b |＝32m 2m ·3m ＝32.∴θ＝30°.∴③错误．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．(10分)已知|a |＝4，|b |＝8，a 与b 的夹角是150°，计算： (1)(a ＋2b )·(2a －b )； (2)|4a －2b |.解：(1)(a ＋2b )·(2a －b )＝2a 2＋3a ·b －2b 2 ＝2|a |2＋3|a |·|b |·cos150°－2|b |2＝2×42＋3×4×8×⎝⎛⎭⎫－32－2×82＝－96－48 3.(2)|4a －2b |＝(4a －2b )2 ＝16a 2－16a ·b ＋4b 2 ＝16|a |2－16|a |·|b |·cos150°＋4|b |2＝16×42－16×4×8×(－32)＋4×82 ＝8(2＋6)18．(12分)已知向量a ＝(－3,2)，b ＝(2,1)，c ＝(3，－1)，t ∈R ， (1)求|a ＋t b |的最小值及相应的t 值； (2)若a －t b 与c 共线，求实数t 的值．解：(1)∵a ＝(－3,2)，b ＝(2,1)，c ＝(3，－1)， ∴a ＋t b ＝(－3,2)＋t (2,1)＝(－3＋2t,2＋t )， ∴|a ＋t b |＝(－3＋2t )2＋(2＋t )2 ＝5t 2－8t ＋13＝5⎝⎛⎭⎫t －452＋495≥495＝755， 当且仅当t ＝45时取等号，即|a ＋t b |的最小值为755，此时t ＝45.(2)∵a －t b ＝(－3－2t,2－t )，又a －t b 与c 共线，c ＝(3，－1)，∴(－3－2t )×(－1)－(2－t )×3＝0，解得t ＝35.19．(12分)已知a ＝(1,1)、b ＝(0，－2)，当k 为何值时， (1)k a －b 与a ＋b 共线；(2)k a －b 与a ＋b 的夹角为120°. 解：∵a ＝(1,1)，b ＝(0，－2)∵k a －b ＝k (1,1)－(0，－2)＝(k ，k ＋2) a ＋b ＝(1，－1)(1)要使k a －b 与a ＋b 共线，则－k －(k ＋2)＝0，即k ＝－1. (2)要使k a －b 与a ＋b 的夹角为120°， ∵|k a －b |＝k 2＋(k ＋2)2， |a ＋b |＝2，∴cos120°＝(k a －b )·(a ＋b )|k a －b |·|a ＋b |＝k －k －22·k 2＋(k ＋2)2＝－12. 即k 2＋2k －2＝0，解得k ＝－1±3.20．(12分)已知向量OP 1→、OP 2→、OP 3→满足条件OP 1→＋OP 2→＋OP 3→＝0，|OP 1→|＝|OP 2→|＝|OP 3→|＝1，求证：△P 1P 2P 3是正三角形．证明：如图所示，设OD →＝OP 1→＋OP 2→，由于OP 1→＋OP 2→＋OP 3→＝0，∴OP 3→＝－OD →，|OD →|＝1，∴|OD →|＝1＝|P 1D →|，∴∠OP 1P 2＝30°， 同理可得∠OP 1P 3＝30°，∴∠P 3P 1P 2＝60°. 同理可得∠P 2P 3P 1＝60°， ∴△P 1P 2P 3为正三角形．21．(12分)在平面直角坐标系xOy 中，点A (－1，－2)，B (2,3)，C (－2，－1)． (1)求以线段AB ，AC 为邻边的平行四边形两条对角线的长；(2)设实数t 满足(AB →－tOC →)·OC →＝0，求t 的值．解：(1)由题设知AB →＝(3,5)，AC →＝(－1,1)，则AB →＋AC →＝(2,6)，AB →－AC →＝(4,4)，所以|AB →＋AC →|＝210，|AB →－AC →|＝42，故所求的两条对角线的长分别为42，210.(2)由题设知OC →＝(－2，－1)，AB →－tOC →＝(3＋2t,5＋t )． 由(AB →－tOC →)·OC →＝0，得(3＋2t,5＋t )·(－2，－1)＝0，即5t ＝－11，所以t ＝－115.22．(12分)设集合D ＝{平面向量}，定义在D 上的映射f 满足：对任意x ∈D ，均有f (x )＝λx (λ∈R 且λ≠0)．(1)若|a |＝|b |，且a 、b 不共线，试证明：[f (a )－f (b )]⊥(a ＋b )；(2)若A (1,2)，B (3,6)，C (4,8)，且f (BC →)＝AB →，求f (AC →)·AB →.解：(1)证明：∵f (a )－f (b )＝λa －λb ＝λ(a －b )， ∴[f (a )－f (b )]·(a ＋b )＝λ(a －b )(a ＋b )＝λ(a 2－b 2)＝λ(|a |2－|b |2)＝0， ∴[f (a )－f (b )]⊥(a ＋b )．(2)由已知得AB →＝(2,4)，BC →＝(1,2)，AC →＝(3,6)．∵f (BC →)＝AB →，∴λBC →＝AB →. 即λ(1,2)＝(2,4)，∴λ＝2.∴f (AC →)·AB →＝(2AC →)·AB →＝(6,12)·(2,4)＝60.。
）_ ■（向虽的表祠-（相等与共线〕 r ■（向圮加法运算及其儿何意义〕-｛向就的线性运算〕 ----- （向量减法运算及其几何克义〕L ■（向址逐甌RjQt 何意义〕（平面向虽基本定理］|_（】E 交分解］- LL ｛「坐标妬）一IWQ __________________平面向量的槪念与性质理解向量、共线向量、相等向量、单位向量、向量的模、夹角等概念、突显向量“形〃的特征就是充分运用向量并结合数学对象的几何意义解题的重要前提、 例① 关于平而向量eb. C 有下列三个命题：① 若〃丄c,贝ij （a+c ）・b=a ・b;② 若a= （IQ, b= （—2, 6）, a//b 9 贝iJk= — 3：③ 非零向量a 与〃满足0|= /b / =la —b /,则a 与a+b 的夹角为60S其中真命题的序号为 ________ .（写出所有真命题的序号）［解析］ ①因为〃丄c,所以b c=09所以（a+c ） b=a b+c b=a b ：② fl%,且aH0=>b=〃r=>错谋！=错谋!=k=—3;③ \a\= /b / = /a —b\=a,b, a —b 构成等边三角形，a 与a+b 的夬角应为30。
、 所以真命题为①［答案］①②吿题㊁ _________________________________________平而向量的线性运算1、向量的加法.减法与数乘向量的综合运算.通常叫作向量的线性运算，主要就是运 用它们的运算法则、运算律，解决三点共线.两线段平行.线段相等、求点的坐标等问题、2、理解向咼的有关概念［如平行向量（共线向蚩：）、相等与相反向量.平面向疑基本左 理、单位向量等］及其相应运算的几何意义，并能灵活应用基向量、平行四边形法则、三角形 法则等，就是求解有关向量线性运算问题的基础、例② 如图，在ZkABC 中，错误!=错误!，错误!=错误!错误!.B0与CR 相交于点/, AI 的延长线与边BC 交于点P 、⑴用错误!与错误!分别表示错误!与错误!：（2） 如果错误!=错误! +Z 错误!=错误! + “错误!,求实数2与“的值；（3） 确立点P 在边BC 上的位置、章杏优化总结 知W 网络体系构建把握宏观理淸脉络L （运算律〕 彳］诃朮的数朮积运算〕—提炼車点桁展升华 —｛向址的物理背娥及概念｝⑴由错误！=错误!错误！，可得错误!=错误！+错误!= 一错误!+错误!错误！,又错误!=错误!错误!，所以错误!=错误!+错误!= 一错误!+错误!错误!、(2)将错谋!= 一错误! +错误!错谋!，错误!= 一错谋!+错课!错谋!,代入错误!=错误! +/・错误!=错误! +“错误!，则有错误! +力错误！=错误! + “错误!，即(1-2)错误!+错误！久错误!=错误！“错误!+ (1—“)错误!、所以错误!解得错误！⑶设错误!=川错误!，错误!="错误！、由(2),知错误!=错误!错误!+错误!错误!，所以错谋！=错谋！-错谋！=〃错谋！-错谋！= 〃错课！ -错谋！=错课!错谋！ +错谋! 错误！f错误！= 〃備误！一川错误！，所以错误!解得错误！所以错误！=错误!错误！，即错误！=2、即点P就是BC上靠近点C的三等分点、平而向虽:的数量积求平而向量的数量积的方法有两个：一个就是根据数量积的立义，另一个就是根据坐标、左义法就是a・b= /a l\b /・cos&,英中&为向量a, 〃的夹角;坐标法就是a= (xj)/= (M,*)时e/mm+yw、利用数量积可以求长度，也可判断直线与直线的关系(相交的夹角以及垂直)，还可以通过向虽:的坐标运算转化为代数问题解决、例③ ⑴设单位向量加=(AS y), b= (2,—1).若m丄b,则I x4-2yl= _______________ 、(2)已知两个单位向量a, b的夹角8为60°x=w+ (l—t)b9若b・c=0,则f=____________________________________________________________________________ 、［解析］(1)因为单位向量m = (x9y)9则F+y2=i、①若加丄〃，则m・b=a即"一)=0、②由①®解得/=错误！，所以丨x I =错误！，I x+2yl=5 I x I =错误！、(2)法一：因为b・c=0,所以少［皿 + (1 —/) /＞］=0,即ta b+ (1—哪=0、又因为I a \ = \ b \ = \9 & =60。
新课程标准数学必修4第二章课后习题解答第二章 平面向量2．1平面向量的实际背景及基本概念 练习（P77）1、略.2、AB ，BA . 这两个向量的长度相等，但它们不等.3、2AB =， 2.5CD =，3EF =，22GH =4、（1）它们的终点相同； （2）它们的终点不同. 习题2.1 A 组（P77） 1、（2）. 3、与DE 相等的向量有：,AF FC ；与EF 相等的向量有：,BD DA ； 与FD 相等的向量有：,CE EB .4、与a 相等的向量有：,,CO QP SR ；与b 相等的向量有：,PM DO ； 与c 相等的向量有：,,DC RQ ST5、332AD =. 6、（1）×； （2）√； （3）√； （4）×. 习题2.1 B 组（P78）1、海拔和高度都不是向量.2、相等的向量共有24对. 模为1的向量有18对. 其中与AM 同向的共有6对，与AM 反向的也有6对；与AD 同向的共有3对，与AD 反向的也有64对；模为2的向量有2对2．2平面向量的线性运算 练习（P84）1、图略.2、图略.3、（1）DA ； （2）CB .4、（1）c ； （2）f ； （3）f ； （4）g .练习（P87）1、图略.2、DB ，CA ，AC ，AD ，BA .3、图略. 练习（P90） 1、图略.2、57AC AB =，27BC AB =-.说明：本题可先画一个示意图，根据图形容易得出正确答案. 值得注意的是BC 与AB 反向.3、（1）2b a =； （2）74b a =-； （3）12b a =-； （4）89b a =.4、（1）共线； （2）共线.5、（1）32a b -； （2）111123a b -+； （3）2ya . 6、图略.习题2.2 A 组（P91）1、（1）向东走20 km ； （2）向东走5 km ；（3）向东北走km ；（4）向西南走；（5）向西北走km ；（6）向东南走km. 2、飞机飞行的路程为700 km ；两次位移的合成是向北偏西53°方向飞行500 km. 3、解：如右图所示：AB 表示船速，AD 表示河水的流速，以AB 、AD 为邻边作□ABCD ，则AC 表示船实际航行的速度.在Rt △ABC 中，8AB =，2AD =，所以228AC AB AD =+==因为tan 4CAD ∠=，由计算器得76CAD ∠≈︒所以，实际航行的速度是km/h ，船航行的方向与河岸的夹角约为76°. 4、（1）0； （2）AB ； （3）BA ； （4）0； （5）0； （6）CB ； （7）0. 5、略6、不一定构成三角形. 说明：结合向量加法的三角形法则，让学生理解，若三个非零向量的和为零向量，且这三个向量不共线时，则表示这三个向量的有向线段一定能构成三角形.7、略.8、（1）略； （2）当a b ⊥时，a b a b +=-9、（1）22a b --； （2）102210a b c -+； （3）132a b +； （4）2()x y b -.10、14a b e +=，124a b e e -=-+，1232310a b e e -=-+. 11、如图所示，OC a =-，OD b =-，DC b a =-，BC a b =--.（第11题）12、14AE b =，BC b a =-，1()4DE b a =-，34DB a =，34EC b =，1()8DN b a=-，11()48AN AM a b ==+.13、证明：在ABC ∆中，,E F 分别是,AB BC 的中点，所以EF AC //且12EF AC =，即12EF AC =；同理，12HG AC =，所以EF HG =.习题2.2 B 组（P92）1、丙地在甲地的北偏东45°方向，距甲地1400 km.2、不一定相等，可以验证在,a b 不共线时它们不相等.3、证明：因为MN ANAM =-，而13AN AC =，13AM AB =， 所以1111()3333MN AC AB AC AB BC =-=-=.4、（1）四边形ABCD 为平行四边形，证略 （2）四边形ABCD 为梯形.证明：∵13AD BC =，∴AD BC //且AD BC ≠ ∴四边形ABCD 为梯形. （3）四边形ABCD 为菱形.证明：∵AB DC =，∴AB DC //且AB DC =∴四边形ABCD 为平行四边形 又AB AD =∴四边形ABCD 为菱形.5、（1）通过作图可以发现四边形ABCD 为平行四边形. 证明：因为OA OB BA -=，OD OC CD -= 而OA OC OB OD +=+所以OA OB OD OC -=- 所以BA CD =，即AB ∥. 因此，四边形ABCD 为平行四边形.（第12题）（第1题）（第4题(2)）（第4题(3)）（第5题）2．3平面向量的基本定理及坐标表示 练习（P100）1、（1）(3,6)a b +=，(7,2)a b -=-； （2）(1,11)a b +=，(7,5)a b -=-； （3）(0,0)a b +=，(4,6)a b -=； （4）(3,4)a b +=，(3,4)a b -=-.2、24(6,8)a b -+=--，43(12,5)a b +=.3、（1）(3,4)AB =，(3,4)BA =--； （2）(9,1)AB =-，(9,1)BA =-； （3）(0,2)AB =，(0,2)BA =-； （4）(5,0)AB =，(5,0)BA =-4、AB ∥CD . 证明：(1,1)AB =-，(1,1)CD =-，所以AB CD =.所以AB ∥CD .5、（1）(3,2)； （2）(1,4)； （3）(4,5)-.6、10(,1)3或14(,1)3- 7、解：设(,)P x y ，由点P 在线段AB 的延长线上，且32AP PB =，得32AP PB =-(,)(2,3)(2,A P x y x y =-=--，(4,3)(,)(4,3)PB x y x y =--=---∴3(2,3)(4,3)2x y x y --=---- ∴32(4)233(3)2x x y y ⎧-=--⎪⎪⎨⎪-=---⎪⎩∴815x y =⎧⎨=-⎩，所以点P 的坐标为(8,15)-.习题2.3 A 组（P101）1、（1）(2,1)-； （2）(0,8)； （3）(1,2).说明：解题时可设(,)B x y ，利用向量坐标的定义解题. 2、123(8,0)F F F ++=3、解法一：(1,2)OA =--，(53,6(1))(2,7)BC =---=而AD BC =，(1,5)OD OA AD OA BC =+=+=. 所以点D 的坐标为(1,5). 解法二：设(,)D x y ，则((1),(2))(1,2)AD x y x y =----=++，(53,6(1))(2,7)BC =---=由AD BC =可得，1227x y +=⎧⎨+=⎩，解得点D 的坐标为(1,5).4、解：(1,1)OA =，(2,4)AB =-. 1(1,2)2A C A B ==-，2(4,8)AD AB ==-，1(1,2)2AE AB =-=-. (0,3)O C O A A C =+=，所以，点C 的坐标为(0,3)； (3,9)O D O A A D =+=-，所以，点D 的坐标为(3,9)-； (2,1)O E O A A E =+=-，所以，点E 的坐标为(2,1)-. 5、由向量,a b 共线得(2,3)(,6)x λ=-，所以236x =-，解得4x =-. 6、(4,4)AB =，(8,8)CD =--，2CD AB =-，所以AB 与CD 共线. 7、2(2,4)OA OA '==，所以点A '的坐标为(2,4)；3(3,9)O B O B '==-，所以点B '的坐标为(3,9)-； 故 (3,9)(2,4)(5,5)A B ''=--=- 习题2.3 B 组（P101） 1、(1,2)OA =，(3,3)AB =.当1t =时，(4,5)OP OA AB OB =+==，所以(4,5)P ； 当12t =时，13357(1,2)(,)(,)22222OP OA AB =+=+=，所以57(,)22P ； 当2t =-时，2(1,2)(6,6)(5,4)OP OA AB =-=-=--，所以(5,4)P --； 当2t =时，2(1,2)(6,6)(7,8)OP OA AB =+=+=，所以(7,8)P .2、（1）因为(4,6)AB =--，(1,1.5)AC =，所以4AB AC =-，所以A 、B 、C 三点共线； （2）因为(1.5,2)PQ =-，(6,8)PR =-，所以4PR PQ =，所以P 、Q 、R 三点共线； （3）因为(8,4)EF =--，(1,0.5)EG =--，所以8EF EG =，所以E 、F 、G 三点共线.3、证明：假设10λ≠，则由11220e e λλ+=，得2121e e λλ=-. 所以12,e e 是共线向量，与已知12,e e 是平面内的一组基底矛盾, 因此假设错误，10λ=. 同理20λ=. 综上120λλ==.4、（1）19OP = （2）对于任意向量12OP xe ye =+，,x y 都是唯一确定的，所以向量的坐标表示的规定合理.2．4平面向量的数量积练习（P106）1、1cos ,86242p q p q p q ⋅=⋅⋅<>=⨯⨯=. 2、当0a b ⋅<时，ABC ∆为钝角三角形；当0a b ⋅=时，ABC ∆为直角三角形.3、投影分别为0，-图略 练习（P107）1、2(3)5a =-，252b =+=35427a b ⋅=-⨯+⨯=-.2、8a b ⋅=，()()7a b a b +-=-，()0a b c ⋅+=，2()49a b +=.3、1a b ⋅=，13a =，74b =，88θ≈︒. 习题2.4 A 组（P108）1、63a b ⋅=-222()225a b a a b b +=+⋅+=-25a b +=-2、BC 与CA 的夹角为120°，20BC CA ⋅=-.3、22223a b a a b b +=+⋅+=，22235a b a a b b -=-⋅+=. 4、证法一：设a 与b 的夹角为θ.（1）当0λ=时，等式显然成立；（2）当0λ>时，a λ与b ，a 与b λ的夹角都为θ，所以 ()cos cos a b a b a b λλθλθ⋅== ()c o s a b a b λλθ⋅= ()cos cos a b a b a b λλθλθ⋅== 所以 ()()()a b a b a b λλλ⋅=⋅=⋅；（3）当0λ<时，a λ与b ，a 与b λ的夹角都为180θ︒-，则 ()cos(180)cos a b a b a b λλθλθ⋅=︒-=-()cos cos a b a b a b λλθλθ⋅==-()cos(180)cos a b a b a b λλθλθ⋅=︒-=- 所以 ()()()a b a b a b λλλ⋅=⋅=⋅； 综上所述，等式成立.证法二：设11(,)a x y =，22(,)b x y =，那么 11221212()(,)(,)a b x y x y x x y y λλλλλ⋅=⋅=+112212121212()(,)(,)()a b x y x y x x y y x x y y λλλλλ⋅=⋅=+=+11221212()(,)(,)a b x y x y x x y y λλλλλ⋅=⋅=+所以 ()()()a b a b a b λλλ⋅=⋅=⋅；5、（1）直角三角形，B ∠为直角.证明：∵(1,4)(5,2)(6,6)BA =---=--，(3,4)(5,2)(2,2)BC =-=-∴6(2)(6)20BA BC ⋅=-⨯-+-⨯=∴BA BC ⊥，B ∠为直角，ABC ∆为直角三角形（2）直角三角形，A ∠为直角证明：∵(19,4)(2,3)(21,7)AB =---=，(1,6)(2,3)(1,3)AC =-----=-∴2117(3)0AB AC ⋅=⨯+⨯-=∴AB AC ⊥，A ∠为直角，ABC ∆为直角三角形（3）直角三角形，B ∠为直角证明：∵(2,5)(5,2)(3,3)BA =-=-，(10,7)(5,2)(5,5)BC =-=∴35350BA BC ⋅=-⨯+⨯=∴BA BC ⊥，B ∠为直角，ABC ∆为直角三角形6、135θ=︒.7、120θ=︒.22(23)(2)44361a b a b a a b b -+=-⋅-=，于是可得6a b ⋅=-，1cos 2a ba bθ⋅==-，所以120θ=︒.8、23cos 40θ=，55θ=︒. 9、证明：∵(5,2)(1,0)(4,2)AB =--=-，(8,4)(5,2)(3,6)BC =--=，(8,4)(4,6)(4,2)DC =-=-∴AB DC =，43(2)60AB BC ⋅=⨯+-⨯= ∴,,,A B C D 为顶点的四边形是矩形.10、解：设(,)a x y =，则2292x y yx ⎧+=⎪⎨=⎪⎩，解得5x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩.于是35(,55a =或35(55a =--. 11、解：设与a 垂直的单位向量(,)e x y =，则221420x y xy ⎧+=⎨+=⎩，解得x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩.于是5(,55e =-或5(,55e =-. 习题2.4 B 组（P108）1、证法一：0()0()a b a c a b a c a b c a b c ⋅=⋅⇔⋅-⋅=⇔⋅-=⇔⊥- 证法二：设11(,)a x y =，22(,)b x y =，33(,)c x y =.先证()a b a c a b c ⋅=⋅⇒⊥-1212a b x x y y ⋅=+，1313a c x x y y ⋅=+由a b a c ⋅=⋅得12121313x x y y x x y y +=+，即123123()()0x x x y y y -+-= 而2323(,)b c x x y y -=--，所以()0a b c ⋅-= 再证()a b c a b a c ⊥-⇒⋅=⋅由()0a b c ⋅-=得 123123()()0x x x y y y -+-=， 即12121313x x y y x x y y +=+，因此a b a c ⋅=⋅2、cos cos cos sin sin OA OB AOB OA OBαβαβ⋅∠==+.3、证明：构造向量(,)u a b =，(,)v c d =.c o s ,u v u v u v ⋅=<>，所以,ac bd u v +=<>∴2222222222()()()cos ,()()ac bd a b c d u v a b c d +=++<>≤++4、AB AC ⋅的值只与弦AB 的长有关，与圆的半径无关.证明：取AB 的中点M ，连接CM ，则CM AB ⊥，12AM AB =又cos AB AC AB AC BAC ⋅=∠，而AM BAC AC∠=所以212AB AC AB AM AB ⋅==5、（1）勾股定理：Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，则222CA CB AB +=证明：∵AB CB CA =-∴2222()2AB CB CA CB CA CB CA =-=-⋅+. 由90C ∠=︒，有CA CB ⊥，于是0CA CB ⋅= ∴222CA CB AB +=（2）菱形ABCD 中，求证：AC BD ⊥证明：∵AC AB AD =+，,DB AB AD =-∴22()()AC DB AB AD AB AD AB AD ⋅=+⋅-=-.∵四边形ABCD 为菱形，∴AB AD =，所以220AB AD -= ∴0AC DB ⋅=，所以AC BD ⊥（3）长方形ABCD 中，求证：AC BD =证明：∵ 四边形ABCD 为长方形，所以AB AD ⊥，所以0AB AD ⋅=∴222222AB AB AD AD AB AB AD AD +⋅+=-⋅+.∴22()()AB AD AB AD +=-，所以22AC BD =，所以AC BD =（4）正方形的对角线垂直平分. 综合以上（2）（3）的证明即可. 2．5平面向量应用举例 习题2.5 A 组（P113） 1、解：设(,)P x y ，11(,)R x y则1111(1,0)(,)(1,)RA x y x y =-=--，(,)(1,0)(1,0)AP x y x =-=-由2RA AP =得11(1,)2(1,)x y x y --=-，即11232x x y y =-+⎧⎨=-⎩（第4题）代入直线l 的方程得2y x =. 所以，点P 的轨迹方程为2、解：（1）易知，OFD ∆∽OBC ∆，12DF BC =, 所以23BO BF =. 2211()()3323AO BO BA BF a b a a a b =-=+=-+=+（2）因为1()2AE a b =+所以23AO AE =，因此,,A O E 三点共线，而且2AOOE = 同理可知：2,2BO CO OF OD ==，所以2AO BO COOE OF OD === 3、解：（1）(2,7)B A v v v =-=-； （2）v 在A v 方向上的投影为135A Av v v ⋅=. 4、解：设1F ，2F 的合力为F ，F 与1F 的夹角为θ，则31F =+，30θ=︒； 331F =+，3F 与1F 的夹角为150°.习题2.5 B 组（P113）1、解：设0v 在水平方向的速度大小为x v ，竖直方向的速度的大小为y v ，则0cos x v v θ=，0sin y v v θ=.设在时刻t 时的上升高度为h ，抛掷距离为s ，则001sin ,()2cos h v t gt g s v t θθ⎧=-⎪⎨⎪=⎩为重力加速度 所以，最大高度为220sin 2v gθ，最大投掷距离为20sin 2v gθ.2、解：设1v 与2v 的夹角为θ，合速度为v ，2v 与v 的夹角为α，行驶距离为d .则1sin 10sin sin v vvθθα==，0.5sin 20sin v d αθ==. ∴120sin d vθ=. 所以当90θ=︒，即船垂直于对岸行驶时所用时间最短. 3、（1）(0,1)-解：设(,)P x y ，则(1,2)AP x y =--. (2,AB =-.（第2题）（第4题）将AB 绕点A 沿顺时针方向旋转4π到AP ，相当于沿逆时针方向旋转74π到AP ，于是7777(2)(1,3)4444AP ππππ=+-=--所以1123x y -=-⎧⎨-=-⎩，解得0,1x y ==-（2）32y x=-解：设曲线C 上任一点P 的坐标为(,)x y ，OP 绕O 逆时针旋转4π后，点P 的坐标为(,)x y '' 则cos sin 44sincos44x x y y xy ππππ⎧'=-⎪⎪⎨⎪'=+⎪⎩，即)2)x x y y x y ⎧'=-⎪⎪⎨⎪'=+⎪⎩又因为223x y ''-=，所以2211()()322x y x y --+=，化简得32y x=-第二章 复习参考题A 组（P118）1、（1）√； （2）√； （3）×； （4）×.2、（1）D ； （2）B ； （3）D ； （4）C ； （5）D ； （6）B .3、1()2AB a b =-，1()2AD a b =+4、略解：2133DE BA MA MB a b ==-=-+2233AD a b =+，1133BC a b =+1133EF a b =--，1233FA DC a b ==-1233CD a b =-+，2133AB a b =-CE a b =-+5、（1）(8,8)AB =-，82AB =（2）(2,16)OC =-，(8,8)OD =-； （3）33OA OB ⋅=. 6、AB 与CD 共线.证明：因为(1,1)AB =-，(1,1)CD =-，所以AB CD =. 所以AB 与CD 共线. 7、(2,0)D -. 8、2n =. 9、1,0λμ=-=.10、34cos ,cos 0,cos 55A B C ===（第4题）11、证明：2(2)22cos6010n m m n m m -⋅=⋅-=︒-=，所以(2)n m m -⊥.12、1λ=-. 13、13a b +=，1a b -=. 14、519cos ,cos 820θβ==第二章 复习参考题B 组（P119）1、（1）A ； （2）D ； （3）B ； （4）C ； （5）C ； （6）C ； （7）D .2、证明：先证a b a b a b ⊥⇒+=-.222()2a b a b a b a b +=+=++⋅，222()2a b a b a b a b -=-=+-⋅. 因为a b ⊥，所以0a b ⋅=，于是22a b a b a b +=+=-.再证a b a b a b +=-⇒⊥.由于222a b a a b b +=+⋅+，222a b a a b b -=-⋅+ 由a b a b +=-可得0a b ⋅=，于是a b ⊥所以a b a b a b +=-⇔⊥. 【几何意义是矩形的两条对角线相等】 3、证明：先证a b c d =⇒⊥22()()c d a b a b a b ⋅=+⋅-=- 又a b =，所以0c d ⋅=，所以c d ⊥ 再证c d a b ⊥⇒=.由c d ⊥得0c d ⋅=，即22()()0a b a b a b +⋅-=-=所以a b = 【几何意义为菱形的对角线互相垂直，如图所示】4、12AD AB BC CD a b =++=+，1142AE a b =+而34EF a =，14EM a =，所以1111(4242AM AE EM a b a =+=++=5、证明：如图所示，12OD OP OP =+，由于1230OP OP OP ++=，所以3OP OD =-，1OD = 所以11OD OP PD == 所以1230OPP ∠=︒，同理可得1330OPP ∠=︒所以31260P PP ∠=︒，同理可得12360PP P ∠=︒，23160P P P ∠=︒，所以123PP P ∆为正三角形.（第3题）P 2（第5题）（第6题）6、连接AB .由对称性可知，AB 是SMN ∆的中位线，222MN AB b a ==-. 7、（18=（千米／时）， 沿与水流方向成60°的方向前进； （2）实际前进速度大小为 沿与水流方向成90︒+的方向前进. 8、解：因为OA OB OB OC ⋅=⋅，所以()0OB OA OC ⋅-=，所以0OB CA ⋅= 同理，0OA BC ⋅=，0OC AB ⋅=，所以点O 是ABC ∆的垂心. 9、（1）2110200a x a y a y a x -+-=； （2）垂直；（3）当12210A B A B -=时，1l ∥2l ；当12120A A B B +=时，12l l ⊥，夹角θ的余弦cos θ=；（4）d =。
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【必修4】 第二章平面向量2.1 练习1、画有向线段,分别表示一个竖直向上,大小为18N 的力和一个水平向左、大小为28N 的力（1cm 长表示10N ）.2、非零向量AB 的长度怎样表示？非零向量BA 的长度怎样表示？这两个向量的长度相等吗？这两个向量相等吗？3、指出图中各向量的长度.4、(1）用有向线段表示两个相等的向量，如果有相同的起点，那么它们的终点是否相同？（2）用有向线段表示两个方向相同但长度不同的向量，如果有相同的起点，那么它们的终点是否相同？2.2.1 练习1、如图，已知b a ，,用向量加法的三角形法则作出b a 。
2、如图，已知b a ，，用向量加法的平行四边形法则作出b a +.3、根据图示填空：（1）________;=+d a（2）.________=+b c4、根据图示填空:（1）________;=+b a（2）________;=+d c（3)________;=++d b a（4）.________=++e d c2.2.2 练习1、如图，已知b a ，，求作.b a -2、填空：________;=- ________;=- ________;=-BA BC ________;=-OA OD .________=-3、作图验证：b a b)(a --=+-2.2。
第二章平面向量()(时间：分钟满分：分)一、选择题(本大题共小题，每小题分，共分)．与向量＝(，)的夹角为°的单位向量是()．(，)或(，) ．(，)．() ．()或(，)．设向量＝()，＝(，)，则下列结论中正确的是()．＝．·＝．－与垂直．∥．已知三个力＝(－，－)，＝(－)，＝(，－)同时作用于某物体上一点，为使物体保持平衡，现加上一个力，则等于()．(－，－) ．(，－)．(－) ．()．已知正方形的边长为，＝，＝，＝，则＋＋的模等于()．．＋．．若与满足＝＝，〈，〉＝°，则·＋·等于()．＋．．若向量＝()，＝(，－)，＝(－)，则等于()．－＋－－．－＋．若向量＝()，＝()，＝(，)，满足条件(－)·＝，则＝()．．．．．向量＝(，－)，向量＝(，－)，则△的形状为()．等腰非直角三角形．等边三角形．直角非等腰三角形．等腰直角三角形．设点()、()，将向量按向量＝(－，－)平移后得到为()．() ．()．() ．()．若＝(λ，)，＝(－)，且与的夹角是钝角，则λ的取值范围是()．在菱形中，若＝，则·等于()．．－．．与菱形的边长有关．如图所示，已知正六边形，下列向量的数量积中最大的是()····题号答案二、填空题(本大题共小题，每小题分，共分)．已知向量＝(，－)，＝(－，)，＝(－)，若(＋)∥，则＝.．已知向量和向量的夹角为°，＝，＝，则向量和向量的数量积·＝.．已知非零向量，，若＝＝，且⊥，又知(＋)⊥(－)，则实数的值为．.如图所示，半圆的直径＝，为圆心，是半圆上不同于，的任意一点，若为半径上的动点，则(＋)·的最小值是．三、解答题(本大题共小题，共分)．(分)已知，，在同一平面内，且＝()．()若＝，且∥，求；。
习题课 (二 )课时作业一、选择题1． 函数 f(x)＝ tan2xtanx 的定义域为 ()k πA. xx ∈ R 且 x ≠ 4 ， k ∈Zπ B. xx ∈ R 且 x ≠ k π＋2， k ∈ Zπ C. xx ∈ R 且 x ≠ k π＋4， k ∈ ZπD. xx ∈ R 且 x ≠ k π－4， k ∈ Z 答案： Ax ≠ k π x ≠k ππ分析： 由题意，得x ≠ k π＋ 2(k ∈ Z)，即2k πk π π (k ∈ Z )，因此 x ≠ 4 (k ∈ Z)， πx ≠ 2 ＋ 42x ≠ k π＋ 2选 A.2．函数 f(x)＝ x ＋ sin|x|， x ∈ [ － π， π]的大概图象是 ( )答案： A分析：函数 f(x)是非奇非偶函数， 故清除 B ，D ；又 x ∈ [－ π，π]时， x ＋sin|x|≥ x 恒建立，因此函数 f(x)的图象应在直线 y ＝x 的上方，故清除 C ，选 A.3．函数 f(x)＝ Asin(ωx＋ ωπ)( A>0， ω>0)在 － 3π3πω 的最大值是，－ 上单一递加，则2 4()1B.3A. 2 4 C ．1D ． 2 答案： Cπ分析： 由于 A>0 ， ω>0 ，因此当 ππ2k π－ 22k π－ ≤ωx＋ ωπ≤ 2k π＋ 2 (k ∈ Z) 时，有ω －2ππ π2k π＋23π3ππ≤ x ≤2k π－2 2k π＋ 2ω － π(k ∈ Z )，因此 － 2 ，－ 4?－ π， ω － π(k ∈ Z)，ω2k π－ π3π 2－ 2 ≥ ω－πω≤ 1－ 4k3π3π 3π T π则π ，解得 ω≤ 2＋ 8k .又由题意得－ 4－ － 2 ＝4 ≤ 2 ＝ω，3π 2k π＋ 2－ 4 ≤ ω － π4因此 ω≤ 3，因此 0<ω≤ 1，因此 ω的最大值为 1.3 1 7)4． 三个数 cos ， sin10，－ cos 的大小关系是 (2 43 17A. cos 2>sin 10>－ cos 43 7 1B ．cos 2>－ cos 4>sin 103 17 C ．cos 2<sin 10<－ cos 47 3 1 D ．－ cos 4<cos 2<sin 10答案： C1 π 1分析： sin 10＝cos 2－ 10 .7 7－ cos 4＝ cos π－ 4 .3π 1 ≈ 7，∵ ＝1.5， －10 1.47， π－ ≈ 1.39 22 43 π 1 7∴π>－ >π－2>210 4>0.又∵y ＝ cosx 在(0 ，π)上是减函数，3 1 7∴cos 2<sin 10<－ cos 4.5．函数 y ＝log 1 tanx 的定义域是 ()2πA. x 0＜ x ≤4πB. x 2k π＜ x ≤2k π＋ 4， k ∈Zπ C. x k π＜ x ≤ k π＋ 4， k ∈ Zπ πD. x 2k π－ ＜ x ≤ k π＋ ， k ∈Z2 4答案： Clog 1 tanx 0分析：由2，tanx 0解得 x k π＜ x ≤ k π＋ π，因此选 C.， k ∈ Z41 π π6．函数 y ＝－ ≤ x ≤ 且 x ≠ 0 的值域是 ()A ． [－ 1,1]B ．( －∞，－ 1]∪ [1，＋∞ )C ．( －∞， 1]D ． [－ 1，＋∞ ) 答案： Bπ π 分析： 由于－ 4≤ x ≤ 4，π π又由于 y ＝ tanx 在 x ∈ －4， 4 时为增函数．因此－1≤ tanx ≤1.又 x ≠ 0，因此－ 1≤ tanx＜ 0 或 0＜ tanx ≤ 1，因此易求得1∈(－∞，－ 1]∪[1，＋ ∞)．tanx二、填空题7．若 y ＝ cosx 在区间 [ － π， a]上为增函数，则 a 的取值范围是 ________． 答案： (－ π， 0]分析： 由 y ＝ cosx 的图象可知， a 的取值范围是－ π<a ≤ 0.8．函数 y ＝ 1 的定义域是 ________．log 2tanx答案： xk π<x ≤k π＋ π， k ∈Z4 1分析： 要使函数存心义，只要πlog 2≥ 0，∴0<tanx ≤ 1，∴k π<x ≤ k π＋，k ∈ Z ，∴该函tanx4数的定义域是x k π<x ≤ k π＋ π，k ∈ Z .4ππ的9．函数 f(x)＝ tan ωx (ω>0) 图象上的相邻两支曲线截直线 y ＝ 1 所得线段长为 ，则 f124值是 ________．答案： 3分析： 由题意可得 T ＝ ππ.∴ω＝ ＝ 4，4 Tπ π f(x)＝ tan4x.，因此 f 12 ＝ tan 3＝ 3.三、解答题1的值域和单一区间．10．求函数 y ＝ tan 2x － 2tanx ＋ 21解：y ＝tanx － 1 2＋ 1，∵(tanx －1)2＋ 1≥ 1，∴该函数的值域是 (0,1] ．ππ当 tanx<1 时，该函数单一递加，单一递加区间是， k π＋4 (k ∈ Z)；k π－2ππ当 tanx>1 时，该函数单一递减，单一递减区间是， k π＋2 (k ∈ Z)．k π＋4π11．设函数 f(x)＝ sin( －2x ＋ φ)(0< φ<π)，y ＝ f( x)图象的一条对称轴是直线 x ＝ 8. (1)求 φ；(2)求函数 y ＝ f(x)的单一区间．ππ ，解： (1)令 (－ 2)× ＋φ＝ k π＋ ， k ∈ Z82∴ φ＝k π＋3πφ<π，∴ φ＝ 3π4 ， k ∈ Z ，又 0< 4 .3π(2)由 (1) 得 f(x)＝ sin － 2x ＋4 ＝3π－ sin 2x － 4 ，3π令 g(x)＝ sin 2x － 4 ，π 3π π由－ 2＋ 2k π≤ 2x － 4≤2＋ 2k π，k ∈ Z ，π5π得 ＋ k π≤x ≤＋ k π，k ∈ Z ，8 85π即 g(x)的单一增区间为π＋k π， ＋k π， k ∈ Z ；8 8π 3π 3π由 ＋ 2k π≤ 2x － ≤ ＋ 2k π， k ∈ Z ，2 4 2 5π 9π得 8 ＋ k π≤ x ≤ 8 ＋ k π， k ∈ Z ，即 g(x)的单一减区间为 5π 9π＋ k π， ＋ k πk ∈ Z ，8 8 故 f(x) 的单一增区间为 5π 9π＋ k π， ＋ k πk ∈ Z ；8 8 π 5π 单一减区间为8＋ k π， 8 ＋k πk ∈ Z .能力提高12．若 a ＝ log 1 tan70 °，b ＝ log 1 sin25 ，°c ＝ log 1 cos25 °，则 ()222A ． a<b<cB ． b<c<aC ．c<b<aD ． a<c<b答案： D分析： ∵0<sin25 °<sin65 °＝ cos25°<1＝ tan45 <tan70° ，°∴log 1 sin25 >log ° 1 cos25 °>log 1 tan70 °.222即 a<c<b.π13．若函数 f(x)＝tan 2x － atanx |x|≤ 4 的最小值为－ 6，务实数 a 的值．π解： 设 t ＝tanx ，∵ |x|≤ ，∴ t ∈ [ － 1,1] ，4则原函数化为y ＝t 2－ at ＝ t － a 2 －a 2 ，2 4a对称轴方程为 t ＝ 2，2①若－ 1≤ a ≤ 1，则当 t ＝ a 时， y min ＝－ a＝－ 6，∴ a 2＝ 24，不切合题意，舍去．2 2 4a时，二次函数在 [－ 1,1] 上递加，当 t ＝－ 1 时， y min ＝ 1＋ a ＝－ 6，②若 <－ 1，即 a<－ 22∴a ＝－ 7.a，即 a>2 时，二次函数在 [－ 1,1] 上递减，当 t ＝1 时， y min ＝ 1－a ＝－ 6，∴ a ＝③若 >127.综上所述， a ＝－ 7 或 a ＝7.。
第二章平面向量2.2 平面向量的线性运算 2.2.1 向量加法运算及其几何意义课后篇巩固探究基础巩固1.在四边形ABCD 中,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则四边形ABCD 是 ( )A.梯形B.矩形C.正方形D.平行四边形,四边形ABCD 是以AB,AD 为邻边的平行四边形.2.如图所示,四边形ABCD 是梯形,AD ∥BC,AC 与BD 交于点O,则OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =( ) A.CD ⃗⃗⃗⃗⃗ B.OC ⃗⃗⃗⃗⃗ C.DA ⃗⃗⃗⃗⃗D.CO⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =OC⃗⃗⃗⃗⃗ .3.已知向量a ∥b,且|a|>|b|>0,则向量a+b 的方向 ( )A.与向量a 的方向相同B.与向量a 的方向相反C.与向量b 的方向相同D.不确定a 和b 方向相同,则它们的和的方向应该与a(或b)的方向相同;若它们的方向相反,而a 的模大于b 的模,则它们的和的方向与a 的方向相同.4.如图,在正六边形ABCDEF 中,BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ +FB ⃗⃗⃗⃗ 等于( ) A.0 B.BE ⃗⃗⃗⃗⃗ C.AD ⃗⃗⃗⃗⃗ D.CF⃗⃗⃗⃗CD⃗⃗⃗⃗⃗ =AF ⃗⃗⃗⃗⃗ ,∴BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ +FB ⃗⃗⃗⃗ =BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AF ⃗⃗⃗⃗⃗ +FB ⃗⃗⃗⃗ =0.5.向量(PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )+(AO ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )+OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 化简后等于( ) A.AC ⃗⃗⃗⃗⃗ B.PA ⃗⃗⃗⃗⃗ C.PC ⃗⃗⃗⃗D.PM⃗⃗⃗⃗⃗⃗PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )+(AO ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )+OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AO ⃗⃗⃗⃗⃗ +OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =PO ⃗⃗⃗⃗⃗ +OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =PC ⃗⃗⃗⃗ .6.在矩形ABCD 中,若AB=2,BC=1,则|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |= .ABCD 是矩形,所以对角线AC=√22+12=√5,于是|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√5. √57.如图,在平行四边形ABCD 中,写出下列各式的结果:(1)AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ = ; (2)AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ +DO ⃗⃗⃗⃗⃗ = ; (3)AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD⃗⃗⃗⃗⃗ = ;(4)AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +DA ⃗⃗⃗⃗⃗ = .由平行四边形法则可知为AC⃗⃗⃗⃗⃗ ; (2)AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ +DO ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +DO ⃗⃗⃗⃗⃗ =AO ⃗⃗⃗⃗⃗ ; (3)AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ;(4)AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +DA ⃗⃗⃗⃗⃗ =BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +DA ⃗⃗⃗⃗⃗ =BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +DA ⃗⃗⃗⃗⃗ =0.AC ⃗⃗⃗⃗⃗ (2)AO ⃗⃗⃗⃗⃗ (3)AD ⃗⃗⃗⃗⃗ (4)08.如图所示,若P 为△ABC 的外心,且PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =PC ⃗⃗⃗⃗ ,则∠ACB= .P 为△ABC 的外心,所以PA=PB=PC,因为PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =PC ⃗⃗⃗⃗ ,由向量的线性运算可得四边形PACB 是菱形,且∠PAC=60°,所以∠ACB=120°.9.是否存在a,b,使|a+b|=|a|=|b|?请画出图形说明.,如图,OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =a,OB⃗⃗⃗⃗⃗ =b,OA=OB=OC,∠AOB=120°,∠AOC=∠COB=60°. 10.如图所示,P,Q 是△ABC 的边BC 上两点,且BP=QC.求证:AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AP ⃗⃗⃗⃗⃗ +AQ⃗⃗⃗⃗⃗ .AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =AP ⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AQ ⃗⃗⃗⃗⃗ +QC⃗⃗⃗⃗⃗ , ∴AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AP ⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AQ ⃗⃗⃗⃗⃗ +QC ⃗⃗⃗⃗⃗ . ∵PB ⃗⃗⃗⃗⃗ 与QC ⃗⃗⃗⃗⃗ 大小相等,方向相反, ∴PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +QC⃗⃗⃗⃗⃗ =0. 故AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AP ⃗⃗⃗⃗⃗ +AQ ⃗⃗⃗⃗⃗ +0=AP ⃗⃗⃗⃗⃗ +AQ⃗⃗⃗⃗⃗ . 能力提升1.已知四边形ABCD 为菱形,则下列等式中成立的是 ( )A.AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =CA ⃗⃗⃗⃗⃗B.AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =BC ⃗⃗⃗⃗⃗C.AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗D.AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =DC⃗⃗⃗⃗⃗ABCD 是菱形,所以也是平行四边形,于是AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,故C 项正确.2.设a=(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ )+(BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +DA ⃗⃗⃗⃗⃗ ),b 是任一非零向量,则在下列结论中: ①a ∥b;②a+b=a;③a+b=b;④|a+b|<|a|+|b|;⑤|a+b|=|a|+|b|. 正确结论的序号是( ) A.①⑤B.②④⑤C.③⑤D.①③⑤a=(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ )+(CD ⃗⃗⃗⃗⃗ +DA ⃗⃗⃗⃗⃗ )=AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CA⃗⃗⃗⃗⃗ =0, 又b 为任一非零向量,∴①③⑤均正确.3.如图,已知电线AO 与天花板的夹角为60°,电线AO 所受拉力|F 1|=24 N.绳BO 与墙壁垂直,所受拉力|F 2|=12 N,则F 1与F 2的合力大小为 ,方向为 .OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,OB⃗⃗⃗⃗⃗ 为邻边作平行四边形BOAC,则F 1+F 2=F,即OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =OC⃗⃗⃗⃗⃗ ,则∠OAC=60°,|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=24,|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|OB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=12, ∴∠ACO=90°,∴|OC⃗⃗⃗⃗⃗ |=12√3. ∴F 1与F 2的合力大小为12√3N,方向为竖直向上.√3 N 竖直向上 4.如图,在△ABC 中,O 为重心,D,E,F 分别是BC,AC,AB 的中点,化简下列三式:(1)BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CE ⃗⃗⃗⃗ +EA ⃗⃗⃗⃗⃗ ; (2)OE ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +EA ⃗⃗⃗⃗⃗ ; (3)AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +FE ⃗⃗⃗⃗ +DC⃗⃗⃗⃗⃗ .BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CE ⃗⃗⃗⃗ +EA ⃗⃗⃗⃗⃗ =BE ⃗⃗⃗⃗⃗ +EA ⃗⃗⃗⃗⃗ =BA⃗⃗⃗⃗⃗ . (2)OE ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +EA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(OE ⃗⃗⃗⃗⃗ +EA ⃗⃗⃗⃗⃗ )+AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =OB ⃗⃗⃗⃗⃗ . (3)AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +FE ⃗⃗⃗⃗⃗ +DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AC⃗⃗⃗⃗⃗ . 5.一艘船在水中航行,水流速度与船在静水中航行的速度均为5 km/h.如果此船实际向南偏西30°方向行驶2 km,然后又向西行驶2 km,你知道此船在整个过程中的位移吗?,用AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 表示船的第一次位移,用CD ⃗⃗⃗⃗⃗ 表示船的第二次位移,根据向量加法的三角形法则知AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,所以AD ⃗⃗⃗⃗⃗ 可表示两次位移的和位移. 由题意知,在Rt △ABC 中,∠BAC=30°, 则BC=12AC=1,AB=√3.在等腰三角形ACD 中,AC=CD=2, 所以∠D=∠DAC=12∠ACB=30°,所以∠BAD=60°,AD=2AB=2√3,所以两次位移的和位移的方向是南偏西60°,位移的大小为2√3km. 6.如图所示,一架飞机从A 地按北偏东35°的方向飞行800 km 到达B 地,然后又从B 地按南偏东55°的方向飞行600 km 到达C 地,求这架飞机飞行的路程及两次位移的和(参考数据:sin 37°=0.6).AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 分别表示飞机从A 地按北偏东35°的方向飞行800km,从B 地按南偏东55°的方向飞行600km,则飞机飞行的路程指的是|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |+|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |;两次位移的和指的是AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ .依题意,有|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |+|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=800+600=1400(km),∠ABC=35°+55°=90°.在Rt △ABC 中,|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |2+|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |2=√8002+6002=1000(km),其中∠BAC=37°,所以方向为北偏东35°+37°=72°.从而飞机飞行的路程是1400km,两次飞行的位移和的大小为1000km,方向为北偏东72°.。
