高考数学专题复习 专题9 平面解析几何 第61练 椭圆的定义与标准方程练习 理

定义及标准方程一、单选题（共28题；共56分）1.已知椭圆＋＝1的两个焦点F1，F2，M是椭圆上一点，且|MF1|－|MF2|＝1，则△MF1F2是( )A. 钝角三角形B. 直角三角形C. 锐角三角形D. 等边三角形2.已知椭圆上的一点到左焦点的距离为6，则点到右焦点的距离为（）A. 4B. 6C. 7D. 143.已知椭圆的两个焦点是，椭圆上任意一点与两焦点距离的和等于4，则椭圆C的离心率为（）A. B. C. D. 24.如果方程表示焦点在轴上的椭圆，则的取值范围是（）.A. B. C. D.5.已知椭圆的一点到椭圆的一个焦点的距离等于6，那么点到椭圆的另一个焦点的距离等于( )A. 2B. 4C. 6D. 86.椭圆的左右焦点分别为，，一条直线经过与椭圆交于，两点，则的周长为（）A. B. 6 C. D. 127.已知椭圆的一个焦点坐标为，则k的值为（）A. 1B. 3C. 9D. 818.已知椭圆的中点在原点，焦点在轴上，且长轴长为，离心率为，则椭圆的方程为（）．A. B. C. D.9.椭圆的焦距为8，且椭圆的长轴长为10，则该椭圆的标准方程是（）A. B. 或C. D. 或10.方程表示焦点在轴上的椭圆，则的取值范围是（）A. B. C. D.11.若直线经过椭圆的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的标准方程为（）A. B. C. 或 D. 以上答案都不对12.已知椭圆C：中，，，则该椭圆标准方程为A. B. C. D.13.已知方程的曲线是焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是（）A. B. C. D. 且14.已知椭圆的两个焦点是，且点在椭圆上，则椭圆的标准方程是（）A. B. C. D.15.P为椭圆上一点，、为左右焦点，若则△的面积为（）A. B. C. 1 D. 316.已知椭圆：（）的左、右焦点为，，离心率为，过的直线交于，两点.若的周长为，则的方程为（）A. B. C. D.17.以双曲线的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为( )A. B. C. D.18.椭圆的焦点在轴上，中心在原点，其短轴上的两个顶点和两个焦点恰好为边长为的正方形的顶点，则椭圆的标准方程为（）A. B. C. D.19.椭圆的焦距为2，则m的值等于A. 5或3B. 8C. 5D. 或20.焦点坐标为，长轴长为10，则此椭圆的标准方程为（）A. B. C. D.21.点A(a,1)在椭圆的内部，则a的取值范围是（）A. －<a<B. a<－或a>C. －2<a<2D. －1<a<122.已知方程表示焦点在轴上的椭圆，则的取值范围是（）A. B. C. D.23.椭圆的一个焦点坐标是（）A. B. C. D.24.已知F1F2为椭圆的两个焦点，过F2作椭圆的弦AB，若的周长为16，椭圆的离心率，则椭圆的方程为（）A. B. C. D.25.“”是“方程表示焦点在y轴上的椭圆”的( ）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件26.已知、为椭圆两个焦点，P为椭圆上一点且,则（）A. 3B. 9C. 4D. 527.已知椭圆的焦点在轴上，离心率为，则的值为（）A. B. C. D. 或28.方程2x2＋ky2＝1表示的是焦点在y轴上的椭圆，则实数k的取值范围是( )A. (0，＋∞)B. (2，＋∞)C. (0,2)D. (0，1)二、填空题（共17题；共19分）29.已知椭圆中心在原点，一个焦点为，且长轴长是短轴长的2倍.则该椭圆的长轴长为________；其标准方程是________．30.已知椭圆的左、右两个焦点分别为,若经过的直线与椭圆相交于两点,则的周长等于________31.已知F1，F2为椭圆的两个焦点，过F1的直线交椭圆于A,B两点，若|F2A|＋|F2B|＝12，则|AB|＝________.32.已知两定点、，且是与的等差中项，则动点P的轨迹方程是________ .33.已知点，点B是圆F：（F为圆心）上一动点，线段AB的垂直平分线交于点，则动点的轨迹方程为________．34.已知椭圆C：，点M与C的焦点不重合，若M关于C的焦点的对称点分别为A，B，线段MN的中点在C上，则________．35.已知椭圆：的左、右焦点分别为、，以为圆心作半经为1的圆，为椭圆上一点，为圆上一点，则的取值范围为________.36.焦点在x轴上，短轴长等于16，离心率等于的椭圆的标准方程为________．37.椭圆的焦点为，点P在椭圆上，若，则的大小为________.38.P是椭圆上的点，F1和F2是该椭圆的焦点，则k＝|PF1|·|PF2|的最大值是________。

（江苏专用）2018版高考数学专题复习专9平面解析几何第61练椭圆的定义与标准方程练习理（1）理解椭圆的左义，能利用定义求方程：（2）会依据椭圆标准方程用待左系数训练目标法求椭圆方程.训练题型（1）求椭圆的标准方程；（2）椭圆定义的应用；（3）求参数值.（1）泄义法求方程：（2）待泄系数法求方程；（3）根据椭圆泄义及a、b、c之解题策略间的关系列方程求参数值.1. ____________________________________________________ 已知焦点在y轴上的椭圆秩+二=1的长轴长为8,贝山= _____________________________________ .1U m2.设凡尺分别是椭圆去+三=1的左，右焦点，P为椭圆上一点，”是凡邛勺中点，0件3,10则尸点到椭圆左焦点的距离为_________ •・3.设凡E分别是椭圆丘J+备=l（0G<1）的左，右焦点，过点片的直线交椭圆疋于&尸两点，若AJA3RB,低丄x轴，则椭圆疋的方程为__________________________ .R R■ ■4.（2016 •兰州一模）已知椭圆半+寻=l（a>Q0）的左，右焦点分别为凡忌点尸在椭圆上，0为坐标原点，若0P=*丘,且彤• PF：=£,则该椭圆的离心率为________________ .y5.（2016 •衡水模拟）已知忌尺是椭圆7j-+/=l的两个焦点，尸为椭圆上一动点，贝IJ使PF：-啟取最大值的点尸的坐标为_________ .R ■6.（2016 •南通密卷）已知椭圆宇+扌= l（a>&）的中心、右焦点、右顶点依次为0, F, G,J FG直线平=#=^与"轴交于"点'则篇取得最大值时’巳的值为________________ .7.已知椭圆G扌+斗=1，点”与Q的焦点不重合，若”关于C的焦点的对称点分别为儿9 45,线段血•的中点在C上，则凡.8.（2016 •烟台质检）一个椭圆中心在原点，焦点斤，尺在x轴上，尸（2,羽）是椭圆上一点, 且彤，唇尿成等差数列，则椭圆的方程为_______________________ •y / 19.（2016 •衡水冀州中学上学期第四次月考）若椭圆-4-T==l（a>6>0）的离心率e=z,右3 b Z焦点为尸（c,0）,方程d+2&+c=0的两个实数根分别是卫，则点尸g, Q到原点的距离为 _______ .X V10.已知椭圆£：了+左=1（a>Q0）的右焦点为尸（3, 0）,过点尸的直线交尸于万两点•若曲的中点坐标为（1, 一1）,则疋的方程为_________________ .11.（2016 •池州模拟）已知恥/5, 0）,椭圆1与直线尸皿+/）交于点儿B,则△月阳的周长为_______ •12.（2016 •豫北六校联考）如图所示,A,万是椭圆的两个顶点,Q是丽的中点，尸为椭圆的右焦点，％的延长线交椭圆于点M,且OF=y[2,若J0丄创,则椭圆的方程为 ______________ . 13・（教材改编）已知点P® y）在曲线斗+首=1厲>0）上，则Y + 2y的最大值f（b）= 4 b__________________ .（用含b的代数式表示）14. （2016 •合肥一模）若椭圆三+备=1的焦点在x轴上，过点（bb作圆/+/=1的切线, a b2切点分别为川，5,直线丽恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆的方程是答案精析1. 162.4解析 如图，设片(一G O), E(G O),其中c=y/l-b :.又设 A(Ct tf) 9 jo). 由 AF 、= 3Fb 得庞=3矗 即(~2c» — Zf)=3Ca+6 y 0)=(3AO +3C , 3_pb)， •*«Ab= _|c= -討］_歹， 代入椭圆方程，得亠；'一+ £=1，4.半5. (0, 1)或(0, — 1)6. 2解析 设焦距为2°,则二5,由题意得第=7=£—①运岂当£=*时取等号，又 Y OH a a a \ a 2c/ —£=3,所以a=2・7. 12解析 如图，设砂的中点为Q ，连结莎，DF-则点。

§9.6 椭 圆1．椭圆的定义(1)定义：平面内与两个定点F 1，F 2的距离的和等于常数2a (2a ______|F 1F 2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的________，两焦点间的距离叫做椭圆的________．※(2)另一种定义方式(见人教A 版教材选修2－1 P47例6、P50)：平面内动点M 到定点F 的距离和它到定直线l 的距离之比等于常数e (0＜e ＜1)的轨迹叫做椭圆．定点F 叫做椭圆的一个焦点，定直线l 叫做椭圆的一条准线，常数e 叫做椭圆的__________．焦点在x 轴上 焦点在y 轴上(1)图形(2)标准 方程y 2a 2＋x2b 2＝1 (a >b >0) (3)范围 －a ≤x ≤a ， －b ≤y ≤b－a ≤y ≤a ， －b ≤x ≤b(4)中心原点O (0，0)(5)顶点A 1(－a ，0)，A 2(a ，0)B 1(0，－b )， B 2(0，b )(6)对称轴 x 轴，y 轴(7)焦点F 1(0，－c )，F 2(0，c )(8)焦距 2c ＝2a 2－b 2(9)离心率※(10)准线x ＝±a 2cy ＝±a 2c自查自纠1．(1)＞ 焦点 焦距 (2)离心率2．(2)x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)(5)A 1(0，－a )，A 2(0，a )，B 1(－b ，0)，B 2(b ，0) (7)F 1(－c ，0)，F 2(c ，0) (9)e ＝c a(0＜e ＜1)(2015·广东)已知椭圆x 225＋y 2m2＝1(m >0)的左焦点为F 1(－4，0)，则m ＝( )A ．2B ．3C ．4D ．9解：由25－m 2＝4，得m 2＝9，又m >0，∴m ＝3.故选B . “－3<m <5”是“方程x 25－m ＋y 2m ＋3＝1表示椭圆”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解：要使方程x 25－m ＋y2m ＋3＝1表示椭圆，只须满足⎩⎪⎨⎪⎧5－m >0，m ＋3>0，5－m ≠m ＋3，解得－3<m <5且m ≠1，因此，“－3<m <5”是“方程x 25－m ＋y 2m ＋3＝1表示椭圆”的必要不充分条件．故选B .(2013·全国课标Ⅱ)设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 是C 上的点，PF 2⊥F 1F 2，∠PF 1F 2＝30°，则C 的离心率为( )A.36B.13C.12D.33解：设||F 1F 2＝2c ，则||PF 2＝233c ，∴||PF 1＝433c .∴2a ＝||PF 1＋||PF 2＝23c ，故e ＝ca ＝33.故选D . 已知中心在原点的椭圆C 的右焦点为F (1，0)，离心率等于12，则C 的方程是____________．解：由椭圆C 的右焦点为F (1，0)知c ＝1，且焦点在x 轴上，又e ＝c a ＝12，∴a ＝2，a2＝4，b 2＝a 2－c 2＝3，椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.故填x 24＋y 23＝1.已知椭圆x 2m ＋y 24＝1的焦距是2，则该椭圆的长轴长为____________．解：当焦点在x 轴上时，有m －4＝1，得m ＝5，此时长轴长为25；当焦点在y 轴上时，长轴长为4.故填25或4.类型一 椭圆的定义及其标准方程求满足下列条件的椭圆的标准方程：(1)两个焦点的坐标分别是(－3，0)，(3，0)，椭圆上一点P 到两焦点的距离之和等于10；(2)过点P (－3，2)，且与椭圆x 29＋y 24＝1有相同的焦点；(3)已知点P 在以坐标轴为对称轴的椭圆上，且点P 到两焦点的距离分别为5，3，过点P 且与长轴垂直的直线恰过椭圆的一个焦点．解：(1)∵椭圆的焦点在x 轴上，∴设它的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)．∵2a ＝10，2c ＝6，即a ＝5，c ＝3， ∴b 2＝a 2－c 2＝52－32＝16.∴所求椭圆的标准方程为x 225＋y 216＝1.(2)∵所求的椭圆与椭圆x 29＋y 24＝1的焦点相同，∴其焦点在x 轴上，且c 2＝5.设所求椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，∵所求椭圆过点P (－3，2)，∴有9a 2＋4b2＝1.又a 2－b 2＝c 2＝5，∴联立上述两式，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝15，b 2＝10.∴所求椭圆的标准方程为x 215＋y 210＝1. (3)由于焦点的位置不确定，可设所求的椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)或y 2a 2＋x 2b2＝1(a＞b ＞0)，由已知条件得⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝5＋3，（2c ）2＝52－32， 解得a ＝4，c ＝2，∴b 2＝12.故椭圆方程为x 216＋y 212＝1或y 216＋x 212＝1. 【点拨】(1)求椭圆的方程多采用定义法和待定系数法，利用椭圆的定义定形状时，一定要注意常数2a >|F 1F 2|这一条件．(2)求椭圆标准方程的基本方法是待定系数法，具体过程是先定形，再定量，即首先确定焦点所在位置，然后再根据条件建立关于a ，b 的方程组．如果焦点位置不确定，要考虑是否有两解，有时为了解题方便，也可把椭圆方程设为mx 2＋ny 2＝1 (m >0，n >0，m ≠n )的形式．(1)过两点P 1(2，2)，P 2(－3，－1)作一个椭圆，使它的中心在原点，焦点在x 轴上，求椭圆的方程，椭圆的长半轴、短半轴的长度以及离心率．解：根据题意，设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，将两已知点坐标代入得⎩⎪⎨⎪⎧4a 2＋4b 2＝1，9a 2＋1b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝323，b 2＝325.故椭圆方程为332x 2＋532y 2＝1，长半轴长a ＝323＝436，短半轴长b ＝325＝4105. ∵c 2＝a 2－b 2＝323－325＝6415，∴离心率e ＝ca＝c 2a 2＝105.(2)过点(3，－5)，且与椭圆y 225＋x 29＝1有相同焦点的椭圆的标准方程为____________．解法一：椭圆y 225＋x 29＝1的焦点为(0，－4)，(0，4)，即c ＝4. 由椭圆的定义知，2a ＝（3－0）2＋（－5＋4）2＋（3－0）2＋（－5－4）2，解得a ＝2 5.由c 2＝a 2－b 2可得b 2＝4.∴所求椭圆的标准方程为y 220＋x 24＝1.解法二：∵所求椭圆与椭圆y 225＋x 29＝1的焦点相同， ∴其焦点在y 轴上，且c 2＝25－9＝16.设它的标准方程为y 2a 2＋x 2b2＝1(a >b >0)，∵c 2＝16，且c 2＝a 2－b 2，∴a 2－b 2＝16.① 又点(3，－5)在所求椭圆上，∴（－5）2a 2＋（3）2b 2＝1，即5a 2＋3b2＝1.② 由①②得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝20，b 2＝4，∴所求椭圆的标准方程为y 220＋x 24＝1.故填y 220＋x 24＝1.类型二 椭圆的离心率设F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)分别是椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，若在直线x ＝a 2c上存在点P ，使线段PF 1的中垂线过点F 2，则椭圆离心率的取值范围是( )A.⎝⎛⎦⎥⎤0，22B.⎝⎛⎦⎥⎤0，33 C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫22，1 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫33，1解法一：由题意可设P ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2c ，y ，∵PF 1的中垂线过点F 2，∴|F 1F 2|＝|F 2P |，即2c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2c －c 2＋y 2，整理得y 2＝3c 2＋2a 2－a 4c 2. ∵y 2≥0，∴3c 2＋2a 2－a 4c 2≥0，即3e 2－1e 2＋2≥0，解得e ≥33.∴e 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫33，1. 解法二：设直线x ＝a 2c 与x 轴交于M 点，则|F 1F 2|＝|F 2P |≥|MF 2|，即2c ≥a 2c－c ，整理得13≤e 2<1，33≤e <1. ∴椭圆离心率的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫33，1.故选D . 【点拨】(1)对于参数的取值范围问题，要能从几何特征的角度去分析参数变化引起的图形的变化．在学习中，要能主动的研究几何特征变化的根本性原因．(2)对几何对象的本质属性的把握越准确，代数化就越容易．(3)整个图形都随着P 点的变化而变化，P 点的变化使得线段||PF 2的长度也在变化，进而||PF 2与||MF 2的长度关系也在变化．正确的描述这一变化中量与量之间的数量关系是解题的关键所在．(4)求椭圆的离心率通常要构造关于a ，c 的齐次式，再转化为关于e 的方程或不等式．(2015·浙江)椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点F (c ，0)关于直线y ＝bcx 的对称点Q 在椭圆上，则椭圆的离心率是____________．解：设左焦点为F 1，由F (c ，0)关于直线y ＝bcx 的对称点Q 在椭圆上，得|OQ |＝|OF |，又|OF 1|＝|OF |，∴F 1Q ⊥QF .不妨设|QF 1|＝ck ，则|QF |＝bk ，|F 1F |＝ak ，因此2c ＝ak .又2a＝ck ＋bk ，∴c a ＝a b ＋c ，即a 2＝c 2＋bc ，得b ＝c ，a ＝2c ，∴e ＝c a ＝22.故填22.类型三 椭圆的焦点三角形已知F 1，F 2是椭圆的两个焦点，P 为椭圆上一点，∠F 1PF 2＝60°.(1)求椭圆离心率的范围；(2)求证△F 1PF 2的面积只与椭圆的短轴长有关．解：设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，P 点坐标为(x 0，y 0)．(1)||PF 1＝a ＋ex 0，||PF 2＝a －ex 0. 在△F 1PF 2中，cos ∠F 1PF 2＝||PF 12＋||PF 22－||F 1F 222||PF 1·||PF 2＝（a ＋ex 0）2＋（a －ex 0）2－4c 22（a ＋ex 0）（a －ex 0）＝cos60°＝12，解得x 20＝4c 2－a 23e2. ∵x 0∈(－a ，a )，∴x 20∈[0，a 2)，0≤4c 2－a 23c 2a 2＜a 2， 有0≤4c 2－a 2＜3c 2，解得12≤e <1.∴椭圆离心率e ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，1. (2)证明：将x 20＝4c 2－a 23e 2代入b 2x 20＋a 2y 20＝a 2b 2，求得y 20＝b 43c 2，∴||y 0＝b 23c . ∴S △F 1PF 2＝12||y 0||F 1F 2＝12·b 23c ·2c ＝33b 2.得证．【点拨】椭圆的焦点三角形是描述椭圆的焦距、焦半径之间的相互制约关系的一个载体．由于其位置、边的特殊性决定了它易于同椭圆的定义、长轴长、离心率等几何量发生联系，内容丰富多彩．(2014·安徽)设F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点，过点F 1的直线交椭圆E 于A ，B 两点，|AF 1|＝3|F 1B |.(1)若|AB |＝4，△ABF 2的周长为16，求|AF 2|；(2)若cos ∠AF 2B ＝35，求椭圆E 的离心率．解：(1)由|AF 1|＝3|F 1B |，|AB |＝4，得|AF 1|＝3，|F 1B |＝1，∵△ABF 2的周长为16，∴由椭圆定义可得4a ＝16，|AF 1|＋|AF 2|＝2a ＝8， 故|AF 2|＝2a －|AF 1|＝8－3＝5.(2)设|F 1B |＝k ，则k >0且|AF 1|＝3k ，|AB |＝4k ，由椭圆定义可得 |AF 2|＝2a －3k ，|BF 2|＝2a －k .在△ABF 2中，由余弦定理可得 |AB |2＝|AF 2|2＋|BF 2|2－2|AF 2||BF 2|cos ∠AF 2B ，即(4k )2＝(2a －3k )2＋(2a －k )2－65(2a －3k )(2a －k )，化简可得(a ＋k )(a －3k )＝0，而a ＋k >0，故a ＝3k .于是有|AF 2|＝3k ＝|AF 1|，|BF 2|＝5k ，因此|BF 2|2＝|AF 2|2＋|AB |2，可得F 1A ⊥F 2A ，故△AF 1F 2为等腰直角三角形．从而c ＝22a ，∴椭圆E 的离心率e ＝c a ＝22. 类型四 椭圆的弦长(2015·陕西)已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的半焦距为c ，原点O 到经过两点(c ，0)，(0，b )的直线的距离为12c .(1)求椭圆E 的离心率；(2)如图，AB 是圆M ：(x ＋2)2＋(y －1)2＝52的一条直径，若椭圆E 经过A ，B 两点，求椭圆E 的方程．解：(1)过点(c ，0)，(0，b )的直线方程为bx ＋cy －bc ＝0，则原点O 到该直线的距离d ＝bc b 2＋c 2＝bc a ＝c2， 得a ＝2b ＝2a 2－c 2，解得离心率e ＝c a ＝32.(2)由(1)知，椭圆E 的方程为x 2＋4y 2＝4b 2.①依题意，圆心M (－2，1)是线段AB 的中点，且|AB |＝10.易知，AB 与x 轴不垂直，设其直线方程为y ＝k (x ＋2)＋1，代入①得(1＋4k 2)x 2＋8k (2k ＋1)x ＋4(2k ＋1)2－4b 2＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－8k （2k ＋1）1＋4k 2，x 1x 2＝4（2k ＋1）2－4b21＋4k2. 由x 1＋x 2＝－4，得－8k （2k ＋1）1＋4k 2＝－4，解得k ＝12. 从而x 1x 2＝8－2b 2. 于是|AB |＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122|x 1－x 2|＝52（x 1＋x 2）2－4x 1x 2＝10（b 2－2）.由|AB |＝10，得10（b 2－2）＝10，解得b 2＝3. 故椭圆E 的方程为x 212＋y 23＝1.【点拨】(1)解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系，解决相关问题．涉及弦中点的问题常常用“点差法”解决，往往会更简单．(2)设直线与椭圆的交点坐标为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB |＝（1＋k 2）[（x 1＋x 2）2－4x 1x 2]＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1k 2[（y 1＋y 2）2－4y 1y 2](k 为直线斜率)．提醒：利用公式计算直线被椭圆截得的弦长是在方程有解的情况下进行的，不要忽略对判别式的判断．设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的右焦点为F ，过F 的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，直线l 的倾斜角为60°，椭圆的离心率为23.如果|AB |＝154，则椭圆C 的方程为____________．解：由题意知离心率e ＝c a ＝23，c ＝23a ，由b 2＝a 2－c 2，得b ＝53a ，∴椭圆C 的方程为x 2a2＋9y25a2＝1 .① 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，直线l 的方程为y ＝3(x －c )，即y ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫x －23a ，与①联立得32x 2－36ax ＋7a 2＝0，(4x －a )·(8x －7a )＝0，解得x 1＝a 4，x 2＝7a 8.由|AB |＝1＋3|x 1－x 2|＝2⎪⎪⎪⎪⎪⎪a 4－78a ＝54a ＝154，解得a ＝3，∴b ＝53a ＝ 5.∴椭圆C 的方程为x29＋y25＝1.故填x29＋y25＝1.类型五 椭圆中的最值问题(1)已知F 是椭圆x 29＋y 25＝1的左焦点，P 是此椭圆上的动点，A (1，1)是一定点，求|PA |＋|PF |的最大值和最小值．解：由题意知a ＝3，b ＝5，c ＝2，F (－2，0)．设椭圆右焦点为F ′，则|PF |＋|PF ′|＝6 ，∴|PA |＋|PF |＝|PA |－|PF ′|＋6.当P ，A ，F ′三点共线时，|PA |－|PF ′|取到最大值|AF ′|＝2，或者最小值－|AF ′|＝－ 2.∴|PA |＋|PF |的最大值为6＋2，最小值为6－ 2.(2)求A (0，2)到椭圆x 24＋y 2＝1上的动点的距离的最大值和最小值．解：设椭圆上的动点B (x ，y )，则|AB |＝x 2＋（y －2）2＝－3y 2－4y ＋8＝－3⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋232＋283，∵点B 是椭圆上的点，∴－1≤y ≤1.∴|AB |的最大值为2213，最小值为1.(3)在椭圆x 218＋y 28＝1上求一点，使它到直线2x －3y ＋15＝0的距离最短．解：设所求点坐标为A (32cos θ，22sin θ)，θ∈R ，由点到直线的距离公式得d ＝|62cos θ－62sin θ＋15|22＋（－3）2＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＋1513，当θ＝2k π＋3π4，k ∈Z 时，d 取到最小值31313，此时A 点坐标为(－3，2)．【点拨】椭圆中距离的最值问题一般有3种解法：①利用椭圆的定义结合平面几何知识求解(适用于所求的表达式中隐含有长轴或者离心率e )；②根据椭圆标准方程的特点，把距离问题转化为二次函数求最值的问题(适用于定点在椭圆的对称轴上，如(2)中的点A )；③用椭圆的参数方程设动点的坐标，转化为三角问题求解．(1)(2014·福建)设P ，Q 分别为圆x 2＋(y －6)2＝2和椭圆x 210＋y 2＝1上的点，则P ，Q 两点间的最大距离是( )A ．5 2B.46＋ 2 C ．7＋ 2D ．6 2解法一：设椭圆上任意一点为Q (x ，y )，则圆心(0，6)到椭圆的距离d ＝x 2＋（y －6）2＝－9y 2－12y ＋46＝－9⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋232＋50≤52，P ，Q 两点间的最大距离d ′＝d max ＋2＝6 2.解法二：易知圆心坐标为M (0，6)，|PQ |的最大值为|MQ |max ＋2，设Q (10cos θ，sin θ)，则|MQ |＝10cos 2θ＋（sin θ－6）2＝－9sin 2θ－12sin θ＋46＝－9⎝⎛⎭⎪⎫sin θ＋232＋50，当sin θ＝－23时，|MQ |max ＝52，∴|PQ |max ＝52＋2＝6 2.故选D .(2)(2015·安徽合肥质检)如图，焦点在x 轴上的椭圆x 24＋y 2b 2＝1的离心率e ＝12，F ，A分别是椭圆的一个焦点和顶点，P 是椭圆上任意一点，则PF →·PA →的最大值为____________．解：设P 点坐标为(x 0，y 0)．由题意知a ＝2，∵e ＝c a ＝12，∴c ＝1，∴b 2＝a 2－c 2＝3.∴椭圆方程为x 24＋y 23＝1.∴－2≤x 0≤2，－3≤y 0≤ 3.∵F (－1，0)，A (2，0)， PF →＝(－1－x 0，－y 0)，PA →＝(2－x 0，－y 0)，∴PF →·PA →＝x 20－x 0－2＋y 20＝14x 20－x 0＋1＝14(x 0－2)2.即当x 0＝－2时，PF →·PA →取得最大值4.故填4.1．在运用椭圆的定义时，要注意“|F 1F 2|＜2a ”这个条件，若|F 1F 2|＝2a ，则动点的轨迹不是椭圆，而是连结两定点的线段(包括端点)；若|F 1F 2|＞2a ，则轨迹不存在．2．椭圆的标准方程有两种形式，两种形式可以统一为x 2m ＋y 2n＝1(m ＞0，n ＞0，且m ≠n )，具体是哪种形式，由m 与n 的大小而定．3．求椭圆的标准方程常用的方法是待定系数法和定义法，即(1)先设出椭圆标准方程，根据已知条件列出关于a ，b 的两个方程，求参数a ，b 的值；(2)由椭圆的定义及几何性质直接求出参数a ，b 的值．4．充分利用图形的几何性质可以减少计算量，椭圆中可以用来减少计算量的几何性质主要体现在椭圆的定义中．5．直线与椭圆的位置关系，可通过讨论椭圆方程与直线方程组成的方程组的实数解的个数来确定．通常用消元后的关于x (或y )的一元二次方程的判别式Δ与零的大小关系来判定．6．直线和椭圆相交时，弦的中点坐标或弦中点轨迹方程可由韦达定理来解决．设而不求(设点而不求点)的方法是解析几何中最重要的解题方法之一．7．椭圆中几个常用的结论：(1)焦半径：椭圆上的点P (x 0，y 0)与左(下)焦点F 1与右(上)焦点F 2之间的线段叫做椭圆的焦半径，分别记作r 1＝||PF 1，r 2＝||PF 2.①x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，r 1＝a ＋ex 0，r 2＝a －ex 0； ②y 2a 2＋x 2b2＝1(a ＞b ＞0)，r 1＝a ＋ey 0，r 2＝a －ey 0； ③焦半径中以长轴端点的焦半径最大和最小(近日点与远日点)．(2)焦点三角形：椭圆上的点P (x 0，y 0)与两焦点构成的△PF 1F 2叫做焦点三角形．r 1＝|PF 1|，r 2＝|PF 2|，∠F 1PF 2＝θ，△PF 1F 2的面积为S ，则在椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)中：①当r 1＝r 2时，即点P 的位置为短轴端点时，θ最大；②S ＝b 2tan θ2＝c ||y 0，当||y 0＝b 时，即点P 的位置为短轴端点时，S 取最大值，最大值为bc .(3)焦点弦(过焦点的弦)：焦点弦中以通径(垂直于长轴的焦点弦)最短，弦长l min ＝2b2a.(4)AB 为椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的弦，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，弦中点M (x 0，y 0)，则①弦长l ＝1＋k 2||x 1－x 2＝1＋1k2|y 1－y 2|；②直线AB 的斜率k AB ＝－b 2x 0a 2y 0.以上常用结论在教材的例题与习题中都有体现．1．设F 1，F 2分别是椭圆x 225＋y 216＝1的左、右焦点，P 为椭圆上一点，M 是F 1P 的中点，|OM |＝3，则P 点到椭圆左焦点的距离为( )A ．4B ．3C ．2D ．5解：由题意知，在△PF 1F 2中，|OM |＝12|PF 2|＝3，∴|PF 2|＝6，∴|PF 1|＝2a －|PF 2|＝10－6＝4.故选A .2．方程x 2＋ky 2＝2表示焦点在y 轴上的椭圆，则k 的取值范围是( ) A ．(0，＋∞) B ．(0，2) C ．(1，＋∞)D ．(0，1)解：将方程x 2＋ky 2＝2变形为x 22＋y 22k＝1，根据椭圆的定义，要使焦点在y 轴，只须2k>2，解得0<k <1.故选D .3．(2014·全国)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点为F 1，F 2，离心率为33，过F 2的直线l 交C 于A ，B 两点．若△AF 1B 的周长为43，则C 的方程为( )A.x 23＋y 22＝1B.x 23＋y 2＝1 C.x 212＋y 28＝1D.x 212＋y 24＝1 解：由椭圆的定义知△AF 1B 的周长为4a ＝43，a ＝ 3.由e ＝c a＝c3＝33，得c ＝1，∴b 2＝a 2－c 2＝2.∴椭圆C 的方程为x 23＋y 22＝1.故选A .4．(2015·豫西五校联考)已知椭圆x 24＋y 2b 2＝1(0＜b ＜2)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线l 交椭圆于A ，B 两点，若|AF 2|＋|BF 2|的最大值为5，则b 的值是( )A ．1B. 2C.32D. 3解：由椭圆的方程可知a ＝2，由椭圆的定义可知，|AF 2|＋|BF 2|＋|AB |＝4a ＝8，∴|AB |＝8－(|AF 2|＋|BF 2|)≥3，由椭圆的性质可知，过椭圆焦点的弦中，通径最短，则2b2a＝3，∴b 2＝3，即b ＝ 3.故选D .5．(2013·四川)从椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1()a >b >0上一点P 向x 轴作垂线，垂足恰为左焦点F 1，A 是椭圆与x 轴正半轴的交点，B 是椭圆与y 轴正半轴的交点，且AB ∥OP (O 是坐标原点)，则该椭圆的离心率是( )A.24B.12C.22D.32解：由题意知A ()a ，0，B ()0，b ，AB →＝()－a ，b ，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－c ，b 2a ，OP →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－c ，b 2a ，∵AB∥OP ，∴AB →∥OP →，因此有()－a ·b 2a ＝b ·()－c ，解得b ＝c .∴a 2－b 2＝a 2－c 2＝c 2，得e ＝22.故选C .6．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左焦点为F ，C 与过原点的直线相交于A ，B 两点，连接AF ，BF .若||AB ＝10，||BF ＝8，cos ∠ABF ＝45，则C 的离心率为( )A.35B.57C.45D.67解：由余弦定理||AF 2＝||BF 2＋||AB 2－2||BF ·||AB cos ∠ABF ＝82＋102－2×8×10×45＝36，||AF ＝6，∵||AF 2＋||BF 2＝||AB 2，∴△AFB 为直角三角形．设椭圆的右焦点为F ′，连接AF ′，BF ′，由对称性知四边形AFBF ′为平行四边形． 又∵∠AFB ＝90°，∴四边形AFBF ′为矩形． ∴⎩⎨⎧2c ＝||FF ′＝||AB ＝10，2a ＝||AF ＋||AF ′＝||AF ＋||BF ＝14， 得⎩⎪⎨⎪⎧c ＝5，a ＝7.∴e ＝c a ＝57.故选B .7．(2015·乌鲁木齐调研)已知F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)为椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的两个焦点，P 为椭圆上一点，且PF 1→·PF 2→＝c 2，则此椭圆离心率的取值范围是__________．解：设P (x ，y )，则PF 1→·PF 2→＝(－c －x ，－y )·(c －x ，－y )＝x 2－c 2＋y 2＝c 2，①将y 2＝b 2－b 2a 2x 2代入①式解得x 2＝（2c 2－b 2）a 2c 2＝（3c 2－a 2）a 2c 2，又x 2∈[0，a 2]，∴2c 2≤a 2≤3c 2， ∴e ＝c a ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤33，22.故填⎣⎢⎡⎦⎥⎤33，22.8．(2014·辽宁)已知椭圆C ：x 29＋y 24＝1，点M 与C 的焦点不重合．若M 关于C 的焦点的对称点分别为A ，B ，线段MN 的中点在C 上，则|AN |＋|BN |＝____________．解：设MN 的中点为P ，椭圆C 的左、右焦点分别为F 1，F 2，连接PF 1，PF 2，则PF 1，PF 2分别为△ANM 与△BNM 的中位线，有|PF 1|＝12|AN |，|PF 2|＝12|BN |，又∵点P 在椭圆上，∴|AN |＋|BN |＝2|PF 1|＋2|PF 2|＝2·2a ＝12.故填12.9．已知椭圆中心在原点，长轴在坐标轴上，离心率为53，短轴长为4，求椭圆的方程． 解：由题意得c a ＝53，2b ＝4， 又a 2＝b 2＋c 2，则有a 2＝9，b 2＝4， 于是椭圆方程为x 29＋y 24＝1或x 24＋y 29＝1.10．如图，椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点为F 1，右焦点为F 2，离心率e ＝12.过F 1的直线交椭圆于A ，B 两点，且△ABF 2的周长为8，求椭圆E 的方程．解：由题意得||AB ＋||AF 2＋||BF 2＝||AF 1＋||BF 1＋||AF 2＋||BF 2＝(||AF 1＋||AF 2)＋(||BF 1＋||BF 2)＝4a ＝8，得a ＝2.又e ＝c a ＝12，∴c ＝1.∴b 2＝a 2－c 2＝22－12＝3.∴椭圆E 的方程为x 24＋y 23＝1.11．(2014·江苏)如图，在平面直角坐标系xOy 中，F 1，F 2分别是椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点，顶点B 的坐标为(0，b )，连接BF 2并延长交椭圆于点A ，过点A 作x 轴的垂线交椭圆于另一点C ，连接F 1C .(1)若点C 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫43，13，且BF 2＝2，求椭圆的方程； (2)若F 1C ⊥AB ，求椭圆离心率e 的值． 解：(1)由题意知|BF 2|2＝b 2＋c 2＝a 2＝2，∵点C ⎝ ⎛⎭⎪⎫43，13在椭圆上， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫432a2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫132b2＝1，解得b 2＝1.∴椭圆的方程为x 22＋y 2＝1.(2)易知BF 2→＝(c ，－b )．∵点B (0，b )，F 2(c ，0)在直线AB 上， ∴直线AB 的方程为x c ＋y b＝1. 设A (x 1，y 1)，联立⎩⎪⎨⎪⎧x c ＋yb ＝1，x 2a 2＋y 2b 2＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝2a 2c a 2＋c2，y 1＝b （c 2－a 2）a 2＋c 2，∴点A 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 2c a 2＋c 2，b （c2－a 2）a 2＋c 2. 又AC ⊥x 轴，∴由椭圆的对称性，可得点C 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 2c a 2＋c 2，b （a2－c 2）a 2＋c 2. ∴F 1C →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3a 2c ＋c3a 2＋c 2，b 3a 2＋c 2.又∵F 1C ⊥AB ， ∴F 1C →·BF 2→＝c 2（3a 2＋c 2）a 2＋c 2－b 4a 2＋c 2＝0，即c 2(3a 2＋c 2)－(a 2－c 2)2＝0，化简得5c 2＝a 2，e 2＝15，e ＝55.(2015·全国Ⅱ)已知椭圆C ：9x 2＋y 2＝m 2(m >0)，直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与C 有两个交点A ，B ，线段AB 的中点为M .(1)证明：直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值；(2)若l 过点⎝ ⎛⎭⎪⎫m3，m ，延长线段OM 与C 交于点P ，四边形OAPB 能否为平行四边形？若能，求此时l 的斜率；若不能，说明理由．解：(1)证明：设直线l ：y ＝kx ＋b (k ≠0，b ≠0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (x M ，y M )． 将y ＝kx ＋b 代入9x 2＋y 2＝m 2，得(k 2＋9)x 2＋2kbx ＋b 2－m 2＝0，故x M ＝x 1＋x 22＝－kb k 2＋9，y M ＝kx M ＋b ＝9b k 2＋9.于是直线OM 的斜率k OM ＝y M x M ＝－9k，∴k OM ·k ＝－9，即直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值． (2)四边形OAPB 能为平行四边形．∵直线l 过点⎝ ⎛⎭⎪⎫m3，m ，∴l 不过原点且与椭圆C 有两个交点的充要条件是k >0，k ≠3. 由(1)得直线OM 的方程为y ＝－9kx .设点P 的横坐标为x P ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－9k x ，9x 2＋y 2＝m 2，得x 2P ＝k 2m 29k 2＋81，即x P ＝±km 3k 2＋9. 将点⎝ ⎛⎭⎪⎫m 3，m 的坐标代入(1)中l 的方程得b ＝m （3－k ）3，因此x M ＝k （k －3）m 3（k 2＋9）. 四边形OAPB 为平行四边形当且仅当线段AB 与线段OP 互相平分，即x P ＝2x M ，于是±km 3k 2＋9＝2×k （k －3）m 3（k 2＋9）， 解得k 1＝4－7，k 2＝4＋7.∵k >0，k ≠3，∴当l 的斜率为4－7或4＋7时，四边形OAPB 为平行四边形．。

第65练 椭圆的定义与标准方程[基础保分练]1．动点A 到定点F 1(0，－2)和F 2(0,2)的距离的和为4，则动点A 的轨迹为( )A ．椭圆B ．线段C ．不存在D ．两条射线2．(2018·长沙模拟)椭圆E 的焦点在x 轴上，中心在原点，其短轴上的两个顶点和两个焦点恰为边长是2的正方形的顶点，则椭圆E 的标准方程为( )A.x 22＋y 22＝1B.x 22＋y 2＝1C.x 24＋y 22＝1D.y 24＋x 22＝1 3．以椭圆上一点和两个焦点为顶点的三角形的面积的最大值为1，则椭圆长轴长的最小值为( )A ．1B.2C ．2D ．2 24．已知P 为椭圆C 上一点，F 1，F 2为椭圆的焦点，且|F 1F 2|＝23，若|PF 1|与|PF 2|的等差中项为|F 1F 2|，则椭圆C 的标准方程为( )A.x 212＋y 29＝1B.x 212＋y 29＝1或x 29＋y 212＝1C.x 29＋y 212＝1D.x 248＋y 245＝1或x 245＋y 248＝1 5．设P 是椭圆x 216＋y 212＝1上一点，P 到两焦点F 1，F 2的距离之差的绝对值为2，则△PF 1F 2是( ) A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等腰直角三角形 6．已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，M 为椭圆上一动点，F 1为椭圆的左焦点，则线段MF 1的中点P 的轨迹是( )A ．圆B ．椭圆C ．线段D ．直线7．已知椭圆x 24＋y 2＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，点M 在该椭圆上，且MF 1—→·MF 2—→＝0，则点M 到y 轴的距离为( ) A.233 B.263 C.33D. 38．设P 是椭圆x 225＋y 29＝1上一点，M ，N 分别是两圆：(x ＋4)2＋y 2＝1和(x －4)2＋y 2＝1上的点，则|PM |＋|PN |的最小值、最大值分别为( )A ．9,12B ．8,11C ．8,12D ．10,129．中心在原点的椭圆C 的一个顶点是圆E ：x 2＋y 2－4x ＋3＝0的圆心，一个焦点是圆E 与x 轴其中的一个交点，则椭圆C 的标准方程为________________．10．(2018·广东五校协作体考试)已知椭圆C ：x 22＋y 2＝1的两焦点为F 1，F 2，点P (x 0，y 0)满足0<x 202＋y 20<1，则|PF 1|＋|PF 2|的取值范围是________． [能力提升练]1．已知椭圆x 23＋y 24＝1的上焦点为F ，直线x ＋y ＋1＝0和x ＋y －1＝0与椭圆相交于点A ，B ，C ，D ，则|AF |＋|BF |＋|CF |＋|DF |等于( )A ．23B ．43C ．4D ．82．若F 1，F 2是椭圆x 29＋y 27＝1的两个焦点，A 为椭圆上一点，且∠AF 1F 2＝45°，则△AF 1F 2的面积为( )A ．7B.74C.72D.752 3．已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的右焦点为F (3,0)，过点F 的直线交E 于A ，B 两点．若AB 的中点坐标为(1，－1)，则椭圆E 的方程为( )A.x 245＋y 236＝1B.x 236＋y 227＝1C.x 227＋y 218＝1D.x 218＋y 29＝1 4．椭圆x 24＋y 23＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 是椭圆上任意一点，则|PF 1→|·|PF 2→|的取值范围是( )A ．(0,4]B ．(0,3]C ．[3,4)D ．[3,4]5．设椭圆x 24＋y 23＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在椭圆上，若△PF 1F 2是直角三角形，则△PF 1F 2的面积为________． 6．若椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的焦点在x 轴上，过点⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12作圆x 2＋y 2＝1的切线，切点分别为A ，B ，直线AB 恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆的方程为______________________．答案精析基础保分练1．B 2.C 3.D 4.B 5.B 6.B 7.B 8.C 9.x 24＋y 23＝1 10.[2,22) 能力提升练1．D [设椭圆的下焦点为F 1，连接CF 1，DF 1，因为y 24＋x 23＝1，所以c ＝1.所以F (0,1)，F 1(0，－1)，由题意知，直线x ＋y －1＝0过点F ，直线x ＋y ＋1＝0过点F 1，由椭圆的对称性知，四边形CFBF 1为平行四边形，AFDF 1为平行四边形，所以|AF |＝|DF 1|，|BF 1|＝|CF |.所以|AF |＋|BF |＋|CF |＋|DF |＝|DF 1|＋|BF |＋|BF 1|＋|DF |＝4a ＝8.]2．C [由题意得a ＝3，b ＝7，c ＝2，∴|F 1F 2|＝22，|AF 1|＋|AF 2|＝6.∵|AF 2|2＝|AF 1|2＋|F 1F 2|2－2|AF 1|·|F 1F 2|cos45°＝|AF 1|2－4|AF 1|＋8，∴(6－|AF 1|)2＝|AF 1|2－4|AF 1|＋8.解得|AF 1|＝72.∴△AF 1F 2的面积S ＝12×72×22×22＝72.] 3．D [因为直线AB 过点F (3,0)和点(1，－1)，所以直线AB 的方程为y ＝12(x －3)， 代入椭圆方程x 2a 2＋y 2b2＝1， 消去y ，得⎝ ⎛⎭⎪⎫a 24＋b 2x 2－32a 2x ＋94a 2－a 2b 2＝0， 所以AB 中点的横坐标为32a 22⎝ ⎛⎭⎪⎫a 24＋b 2＝1，即a 2＝2b 2， 又a 2＝b 2＋c 2，c 2＝9，所以b 2＝9，a 2＝18，即椭圆E 的方程为x 218＋y 29＝1.] 4．D [由椭圆定义，知|PF 1→|＋|PF 2→|＝4，且椭圆x 24＋y 23＝1的长轴长为4，焦距为2， 所以1≤|PF 1→|≤3.令|PF 1→|＝t ，则|PF 2→|＝4－t .令f (t )＝|PF 1→|·|PF 2→|＝t (4－t )＝－t 2＋4t ，t ∈[1,3]，由二次函数的性质可知，函数f (t )在t ＝2处取得最大值，即f (t )max ＝f (2)＝－22＋4×2＝4，函数f (t )在t ＝1或t ＝3处取得最小值，由于f (1)＝f (3)＝3，故f (t )min ＝3，即|PF 1→|·|PF 2→|的取值范围是[3,4]，故选D.] 5.32解析 由已知a ＝2，b ＝3，c ＝1，则当点P 为短轴顶点(0，3)时，∠F 1PF 2＝π3，△PF 1F 2是正三角形，若△PF 1F 2是直角三角形，则直角顶点不可能是点P ，只能是焦点F 1(或F 2)为直角顶点，此时|PF 1|＝b 2a ＝32⎝⎛⎭⎪⎫或|PF 2|＝b 2a ，12PF F S ＝12·b 2a ·2c ＝b 2c a ＝32. 6.x 25＋y 24＝1 解析 由题意可设斜率存在的切线的方程为 y －12＝k (x －1)(k 为切线的斜率)，即2kx －2y －2k ＋1＝0， 由|－2k ＋1|4k 2＋4＝1，解得k ＝－34， 所以圆x 2＋y 2＝1的一条切线方程为3x ＋4y －5＝0， 求得切点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫35，45， 当直线l 与x 轴垂直时，k 不存在，直线方程为x ＝1，易知另一切点为B (1,0)，则直线AB 的方程为y ＝－2x ＋2，令y ＝0得右焦点为(1,0)，即c ＝1.令x ＝0得上顶点为(0,2)，即b ＝2，所以a 2＝b 2＋c 2＝5，故所求椭圆的方程为x 25＋y 24＝1.精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。

椭圆的定义、标准方程与应用（例题详解）一、定义类：1、椭圆定义：椭圆是一种中心对称的图形，即椭圆的中心点与形状对称，可以通过对称轴对椭圆进行对称变换。

具体而言，当你沿着对称轴将椭圆的一段变换至另一段时，整个椭圆的线段形式都不变。

椭圆也有自己的焦点，它是椭圆的特征，椭圆上每个点到它的焦点之间的距离总是一定的。

如果一个图形有以上特征，那么它就可以称为椭圆。

2、已知点A（ -2，0），B（2，0），动点P满足|PA| + |PB| = 4，求点P的轨迹。

3、已知点A（ -2，0），B（2，0），动点P满足|PA| - |PB| = 2，求点P的轨迹。

二、椭圆的标准方程：1、椭圆的标准方程是一种二次曲线函数，是用来表达椭圆的函数。

2、椭圆的标准方程有两种形式，一种是椭圆的极坐标方程，一种是椭圆的笛卡尔坐标方程。

3、椭圆的极坐标方程为：①、$$r=frac{acdot b}{sqrt{a^2cdot sin^2theta + b^2cdot cos^2theta}}$$。

②、a和b分别是椭圆的长轴和短轴，$theta$是弧度。

4、椭圆的笛卡尔坐标方程为：$$frac{x^2}{a^2}+frac{y^2}{b^2}=1$$；其中，a和b分别是椭圆的长轴和短轴，$(x,y)$是椭圆上一点的坐标。

三、椭圆的面积和周长：1、椭圆的面积可以使用一下公式来计算：$$S = picdot a cdot b$$；其中，a和b分别是椭圆的长轴和短轴，S是椭圆的面积。

2、椭圆的周长也可以使用一下公式来计算：$$L = picdot sqrt{2a^2+2b^2}$$；其中，a和b分别是椭圆的长轴和短轴，L是椭圆的周长。

四、标准形式类：1、已知椭圆的方程为 + = 1（a > b > 0），过点P（2，1）且与该椭圆有一个交点的直线方程为：y-1=k(x-2)，求k的取值范围。

2、已知椭圆的方程为 + = 1（a > b > 0），过点P（0，2）且与该椭圆有一个交点的直线方程为：y=x+2，求k的取值范围。

椭圆的定义和标准方程的基本练习(包括答案)椭圆和标准方程1的定义。

选择题(共19题)1。

如果F1 (3，0)，F2 ({3，0)，从点p到F1，F2的距离之和是10，那么点p的轨迹方程是()a.b.c.d .或2。

移动圆内接圆x2 y2 6x 5=0，圆x2y2-6x-91=0。

那么运动圆的中心轨迹是()a。

椭圆b。

双曲线c。

抛物线d。

圆3。

从椭圆上的点p到一个焦点的距离是5，那么从点p到另一个焦点的距离是()。

已知坐标平面上的两点a ({1，0)和b (1，0 ),从移动点p到a和b的距离之和为常数2。

那么运动点p的轨迹是()a .椭圆b .双曲线c .抛物线d .线段5。

从椭圆上的移动点p到两个焦点的距离之和为()a. 10b.8c.6d。

已知两点f1 ({1，0)，F2 (1，0)，并且|f1F2|是|PF1|和|PF2|的等差中值，则移动点p的轨迹方程为()a.b.c.d.7。

已知F1和F2是椭圆的两个焦点=1，并且穿过点F2的直线在点a和b处与椭圆相交。

如果|AB|=5，则|AF1| |BF1|等于()A.16B.11C.8D.3 8。

设a={1，2，3，4，5}，A，b∈A，则该方程表示焦点在y轴上的椭圆()A.5 B.10 C.20 D.25 9。

简化的结果是在平面上有一个长度为2的线段AB和一个移动点p(a . b . c . d . 10)。

如果满足|PA| |PB|=8，则|PA|的取值范围为()a. [1，4] b. [2，6] c. [3，5] d. [3，6] 11。

设定点F1(0，651233)，F2(0，3)并满足条件|PF1| |PF2|=6，则运动点P的轨迹是()a .椭圆b .线段c .椭圆或线段d .不存在。

12.已知△ABC的周长为20，顶点为B (0，651234)，C (0，4)，那么顶点a的轨迹方程为()a. (x ≠ 0) b. (x ≠ 0) c. (x ≠ 0) d. (x ≠ 0) 13。