椭圆标准方程式

椭圆的标准方程怎么求椭圆是解析几何中的一个重要概念，它在数学和物理学中有着广泛的应用。

椭圆的标准方程是求解椭圆特征的重要方法之一。

接下来，我们将介绍椭圆的标准方程是如何求解的。

首先，我们需要了解椭圆的定义和性质。

椭圆是平面上到两个定点F1和F2的距离之和等于常数2a的点P的轨迹。

这两个定点称为焦点，常数2a称为椭圆的长轴长度。

椭圆还有一个重要的性质是，椭圆上任意一点到两个焦点的距离之和等于常数2a。

椭圆还有一个短轴长度2b，满足b^2 = a^2 c^2，其中c是焦距。

接下来，我们来推导椭圆的标准方程。

假设椭圆的长轴与x轴重合，焦点在原点上方，且椭圆的中心与原点重合。

设椭圆的焦点坐标为(F1, 0)和(-F2, 0)，椭圆上一点P的坐标为(x, y)。

根据椭圆的定义，我们有PF1 + PF2 = 2a，即√(x F1)^2 + y^2 + √(x+ F2)^2 + y^2 = 2a。

化简得x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1，这就是椭圆的标准方程。

如果椭圆的长轴与y轴重合，推导过程和上面类似，最终得到的标准方程为y^2/a^2 + x^2/b^2 = 1。

当椭圆的中心不在原点时，我们可以通过平移坐标系的方法将椭圆的中心平移到原点，然后再根据上面的方法求解标准方程。

最后，我们来举一个具体的例子来求解椭圆的标准方程。

假设椭圆的焦点坐标为(3, 0)和(-3, 0)，离心率为2/3。

首先，我们可以计算出椭圆的长轴长度为6，根据离心率的定义可得椭圆的短轴长度为2√5。

然后，代入椭圆的标准方程x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1中，得到椭圆的标准方程为x^2/36 + y^2/20 = 1。

通过上面的介绍，我们可以得出椭圆的标准方程求解方法。

当我们了解了椭圆的定义和性质后，可以根据椭圆的焦点坐标和离心率来求解标准方程。

希望这篇文章对你有所帮助，谢谢阅读！。

椭圆的方程式
椭圆的标准方程共分两种情况：当焦点在x轴时，椭圆的标准方程是：x²/a²+y²/b²=1，（a>b>0）；当焦点在y轴时，椭圆的标准方程是：y²/a²+x²/b²=1，（a>b>0）。

其中a²-c²=b²，推导：PF1+PF2>F1F2（P为椭圆上的点F为焦点）。

不论焦点在X轴还是Y轴，椭圆始终关于X/Y/原点对称。

顶点：焦点在X轴时：长轴顶点：（-a，0），（a，0）；短轴顶点：（0，b），（0，-b）；焦点在Y轴时：长轴顶点：（0，-a），（0，a）；短轴顶点：（b,0），（-b，0）。

扩展资料
椭圆的面镜（以椭圆的长轴为轴，把椭圆转动180度形成的立体图形，其内表面全部做成反射面，中空）可以将某个焦点发出的光线全部反射到另一个焦点处；椭圆的透镜（某些截面为椭圆）有汇聚光线的作用（也叫凸透镜），老花眼镜、放大镜和远视眼镜都是这种镜片（这些光学性质可以通过反证法证明）。

离心率范围：0<e<1。

离心率越小越接近于圆，越大则椭圆就越扁。

在椭圆中,相交直线的斜率公式在数学中，椭圆是一种非常重要的几何形状，它具有许多独特的特性和性质。

在椭圆中，相交直线的斜率是一个非常有趣的问题，它涉及到椭圆曲线的性质和方程式的推导。

在本文中，我们将深入探讨在椭圆中，相交直线的斜率公式，并就此展开全面的介绍和探讨。

1. 椭圆的基本概念让我们简要回顾一下椭圆的基本概念。

椭圆是一个平面上的闭合曲线，其特点是到两个定点的距离之和是常数。

椭圆曲线在数学、物理学和工程学中都有着广泛的应用，因此对于椭圆的性质和特性的研究具有重要的意义。

2. 椭圆的方程式椭圆的方程式通常可以写作 x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1，其中a和b分别是椭圆长轴和短轴的长度。

这个方程式描述了椭圆上所有点的位置关系，我们可以通过这个方程式来推导椭圆的性质和特征。

3. 相交直线的斜率公式现在让我们来探讨在椭圆中，相交直线的斜率公式。

当一条直线与椭圆相交时，我们可以通过椭圆的方程式和直线的方程式来求解它们的交点，并进而推导出相交直线的斜率公式。

在不同情况下，相交直线的斜率公式会有所不同，我们可以通过实际的数学推导来得到这些公式，并进一步讨论它们的意义和应用。

4. 个人观点和总结对于在椭圆中，相交直线的斜率公式，我个人认为这是一个非常有趣的数学问题，它涉及到几何、代数和分析等多个数学领域的知识。

通过深入学习和理解相交直线的斜率公式，我们可以更好地掌握椭圆曲线的性质和特性，为数学和工程等领域的应用提供更多可能性。

通过本文的介绍和讨论，我们对在椭圆中，相交直线的斜率公式有了更深入的理解和认识。

我相信，通过持续的学习和探索，我们可以进一步挖掘椭圆曲线的奥秘，为数学和科学研究开辟更广阔的领域。

希望本文能对您有所帮助，谢谢阅读！在椭圆中,相交直线的斜率公式椭圆的性质和特性使得相交直线的斜率公式变得非常有趣。

让我们来看一下在椭圆中相交直线的一般情况。

假设椭圆的方程是 x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1，而直线的方程是 y = mx + c，其中m是直线的斜率，c是直线与y轴的截距。

高中数学椭圆秒杀技巧
椭圆是平面几何中的重要概念，也是高中数学中常见的几何图形之一。

在学习
椭圆的过程中，很多同学可能会觉得难以掌握，但实际上只要掌握一些技巧，就能轻松秒杀椭圆相关问题。

本文将介绍几个高中数学中秒杀椭圆题目的技巧。

技巧一：理解椭圆的定义
在学习椭圆之前，首先要对椭圆的定义有一个清晰的认识。

椭圆是平面上到两
个定点的距离之和等于常数的点的轨迹。

这个定义看起来有点抽象，但理解了这个定义之后，我们就能更好地解决与椭圆相关的问题。

技巧二：熟练掌握椭圆的标准方程
椭圆的标准方程是一个常见的形式，即$\\frac{x^2}{a^2} + \\frac{y^2}{b^2} =
1$。

掌握这个标准方程可以帮助我们快速识别椭圆，并在解题过程中更加得心应手。

技巧三：利用对称性简化问题
椭圆具有很强的对称性，可以利用这一特点简化问题。

分析题目中给出的条件，找到椭圆的对称轴和对称中心，可以帮助我们更快地找到解题思路。

技巧四：化简方程，消减未知数
有些椭圆相关的问题可能会涉及复杂的方程式，我们可以通过一系列化简操作，将方程转化为更简单的形式。

在这个过程中，适当的代换和方程变换是非常有帮助的。

技巧五：灵活运用性质和定理
掌握椭圆的相关性质和定理是解题过程中的利器。

比如椭圆的离心率性质、焦
点定理等，都可以帮助我们更好地理解题目和解题。

通过掌握上述技巧，我们就能更好地应对高中数学中关于椭圆的问题，轻松秒
杀各种椭圆相关题目。

希望同学们能够在练习中不断提升解题能力，取得更好的成绩！。

椭圆及其标准方程（一）一.引入问题1：曲线可以看作是适合某种条件的点的集合或轨迹，请问圆是满足什么条件的点的轨迹？问题2：椭圆是满足什么条件的点的轨迹呢？问题3：假设绳长（设为2a）不变，改变两个图钉之间的距离（设为2c），请问椭圆有何变化？二.新课1.椭圆的定义：在平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数（大于|F1F2|）的点的轨迹叫椭圆. 其中定点F1，F2叫做椭圆的焦点,| F1F2|叫做椭圆的焦距.说明:1)若常数等于| F1F2|,则轨迹为线段F1F22)若常数小于| F1F2|,则轨迹不存在练习1：平面内到两定点F[1](-2,0)和F[2](2,0)距离之和为4的点M的轨迹是( )A.椭圆B.线段C.圆D.以上都不对变:1)和为5呢? 2)和为3呢?练习2：命题甲:动点P到两定点A、B的距离之和|PA|+|PB|=2a(a>0,常数)命题乙:P点轨迹是椭圆,则命题甲是命题乙的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分且必要条件D.既不充分也不必要条件2.椭圆的标准方程建系设点----写出条件----列式----化简----检验3.椭圆的标准方程练习3：说出下列椭圆的焦点坐标(1)1322=+y x (2)13222=+y x 变形：62322=+y x 练习4：化简方程6222222=+-+++y x y x )()(变形1：4222222=+-+++y x y x )()(变形2：6222222=-++++)()(y x y x三. 例题讲解例1：求适合下列条件的椭圆的标准方程(1) 两个焦点的坐标分别是(-4,0)、(4,0),椭圆上一点P 到两焦点距离的和等于10; (2) 两个焦点的坐标分别是(0,-2)、(0,2),并且椭圆经过点),(2523-.变形：焦距为8,且椭圆上一点P 到两焦点距离的和等于10练习5：写出适合下列条件的椭圆的标准方程 (1) a=4,b=1,焦点在x 轴上; (2) a=4,c=15,焦点在y 轴上; (3)a+b=10,c=52.补充：方程1162422=++-ky k x 表示椭圆，求k 的取值范围. 变形：（1）焦点在x 轴上的椭圆；（2）焦点在y 轴上的椭圆.椭圆及其标准方程（二）一. 复习练习1.椭圆191622=+y x 的a ＝ b ＝ c ＝ ，焦点坐标是 . 练习2.动点P 到两个定点F 1(-4,0),F 2(4,0)的距离之和为8，则P 点的轨迹为（ ）A 、椭圆B 、线段F 1F 2C 、直线F 1F 2D 、不能确定练习3.椭圆13610022=+y x 上一点P 到焦点F 1 的距离为6，则点P 到另一个焦点F 2的距离为？练习4.写出适合下列条件的椭圆的标准方程： （1） 焦点在x 轴上，a ＝4，b ＝1 （2） a+b=10,c ＝2练习5.方程x 2+ky 2=2的曲线是焦点在y 轴上的椭圆，则k 的取值范围是（ ） A 、（0，+∞） B 、（0，2） C 、（1，+ ∞ ） D 、（0，1）练习6. 方程1162422=++-ky k x 表示焦点在x 轴的椭圆，求k 的取值范围. 若去掉x 轴呢？二. 例题讲解.题型一.用待定系数法求椭圆的标准方程例1：求中心在原点，焦点在坐标轴上，且经过两点P ),(3131，Q ),(210-的椭圆的标准方程.练习1. 求中心在原点，焦点在坐标轴上，且经过两点P ),(222-，Q ),(232--的椭圆的标准方程.题型二.轨迹问题例2：在圆422=+y x 上任取一点P ，过点P 作x 轴的垂线段PD,D 为垂足.当点P 在圆上运动时，线段PD 的中点M 的轨迹是什么?练习2.已知点M 在椭圆193622=+y x 上,MP 0垂直于椭圆焦点所在的直线,垂足为P 0,并且M 为线段PP 0的中点,求P 点的轨迹方程式.例3：设点A,B 的坐标分别是（-5, 0), (5, 0), 直线AM 、BM 相交于点M,且它们的斜率之积等于-4/9，求点M 的轨迹方程。

双曲线方程公式大全双曲线方程是形如 $y=ax^2+bx+c$ 的方程,其中 $a,b,c$ 是常数,$x$ 是双曲线上的点的坐标。

以下是双曲线方程的一些常用公式:1. 椭圆方程式:当 $b=0$ 时,双曲线方程退化为椭圆方程式$y=ax^2$,其中 $a$ 是椭圆的长轴比例系数。

2. 双曲线的离心率:当 $b>0$ 时,双曲线的离心率 $e$ 是$c/a$,当 $b<0$ 时,双曲线的离心率 $e$ 是 $c/a$。

3. 双曲线的离心率公式:当$b>0$ 时,$e=frac{c}{a}+frac{b}{2a}$,当$b<0$ 时,$e=frac{c}{a}-frac{b}{2a}$。

4. 双曲线的向量长度公式:当$b>0$ 时,$L=frac{sqrt{1+4e^2}}{2ae}$,当$b<0$ 时,$L=frac{sqrt{1-4e^2}}{2ae}$。

5. 双曲线的切线公式:当 $b=0$ 时,双曲线没有切线,但是可以定义一条平行于 $x$ 轴的切线,其斜率为 $-c/a$。

6. 双曲线的切线公式:当 $b>0$ 时,$y=ax^2$,当$b<0$ 时,$y=-ax^2$。

7. 双曲线的顶点坐标公式:当 $b=0$ 时,双曲线的顶点坐标为$(x_0,y_0)$,当 $b>0$ 时,顶点坐标为 $(esqrt{b^2/4a},0)$,当$b<0$ 时,顶点坐标为 $(-esqrt{b^2/4a},0)$。

8. 双曲线的斜率公式:当 $b>0$ 时,$y_0=ax_0^2+bx$,当$b<0$ 时,$y_0=-ax_0^2-bx$。

9. 双曲线的二阶导数公式:当 $y''(x)$ 存在时,$y''(x)=2ax^3+2bx^2+2cx$,其中 $a,b,c$ 是常数。

10. 双曲线的阶乘公式:当 $b=0$ 时,$y=ax^2$,当 $b不等于0$ 时,$y=ax^2(1+(2b/a)x)$。

內容說明：由橢圓的定義推導出橢圓的方程式橢圓的定義：()21212 2F F a a PF PF >=+，F 1F 2P (x ,y )F 1(-c ,0)橢圓的定義：設：P (x ,y )、F 1(-c ,0)、F 2(c ,0)()21212 2F F a a PF PF >=+，F 2(c ,0)xyP (x ,y )橢圓的定義：設：P (x ,y )、F 1(-c ,0)、F 2(c ,0)()21212 2F F a a PF PF >=+，ay c x y c x 2)()(2222=+-+++F 1(-c ,0)F 2(c ,0)xyP (x ,y )ay c x y c x 2)()(2222=+-+++公式推導：公式推導：a y c x y c x 2)()(2222=+-+++公式推導：a y c x y c x 2)()(2222=+-+++2222)(2)(y c x a y c x +--=++公式推導：a y c x y c x 2)()(2222=+-+++2222)(2)(y c x a y c x +--=++兩邊平方公式推導：a y c x y c x 2)()(2222=+-+++2222)(2)(y c x a y c x +--=++2222222)(4)(4)(y c x a y c x a y c x +--+-+=++公式推導：a y c x y c x 2)()(2222=+-+++2222)(2)(y c x a y c x +--=++2222222)(4)(4)(y c x a y c x a y c x +--+-+=++公式推導：a y c x y c x 2)()(2222=+-+++2222)(2)(y c x a y c x +--=++2222222)(4)(4)(yc x a y c x a y c x +--+-+=++222)(4242y c x a cx a cx +---=公式推導：a y c x y c x 2)()(2222=+-+++2222)(2)(y c x a y c x +--=++2222222)(4)(4)(yc x a y c x a y c x +--+-+=++222)(4242y c x a cx a cx +---=公式推導：a y c x y c x 2)()(2222=+-+++2222)(2)(y c x a y c x +--=++2222222)(4)(4)(yc x a y c x a y c x +--+-+=++222)(4242yc x a cx a cx +---=222)(444y c x a a cx +--=-公式推導：a y c x y c x 2)()(2222=+-+++2222)(2)(y c x a y c x +--=++2222222)(4)(4)(yc x a y c x a y c x +--+-+=++222)(4242yc x a cx a cx +---=222)(444y c x a a cx +--=-公式推導：a y c x y c x 2)()(2222=+-+++2222)(2)(y c x a y c x +--=++2222222)(4)(4)(yc x a y c x a y c x +--+-+=++222)(4242yc x a cx a cx +---=222)(444yc x a a cx +--=-22)(y c x a a cx +--=-公式推導：22)(y c x a acx +--=-兩邊平方公式推導：22)(y c x a acx +--=-222222222y c cx x a cx a x c ++-=+-公式推導：22)(y c x a acx +--=-222222222y c cx x a cx a x c ++-=+-公式推導：22)(yc x a acx +--=-222222222y c cx x a cx ax c ++-=+-222222222y c a x a a a x c ++=+公式推導：22)(y c x a acx +--=-222222222y c cx x a cx ax c ++-=+-222222222y c a x a a a x c ++=+公式推導：22)(y c x a acx +--=-222222222y c cx x a cx ax c ++-=+-222222)(y a x c a c a +-=-222222222y c ax a a a x c ++=+公式推導：222222)(y a x c a c a +-=-公式推導：222222)(y a x c a c a +-=-222b c a =-令：公式推導：222222)(y a x c a c a +-=-22222y a x b b +=222b c a =-令：公式推導：222222)(y a x c a c a +-=-22222y a x b b +=12222=+b y a x 222b c a =-令：橢圓的形式：一、水平型橢圓1352222=+y x 35橢圓的形式：一、水平型橢圓1352222=+y x 半長軸長a =5半短軸長b =335橢圓的形式：一、水平型橢圓1352222=+y x 35半長軸長a =5半短軸長b =3a 2＝b 2＋c 2c ＝4焦點F(±4，0)橢圓的形式：一、垂直型橢圓1532222=+y x 35橢圓的形式：一、垂直型橢圓1532222=+y x 半長軸長a =5半短軸長b =335橢圓的形式：一、垂直型橢圓301532222=+y x 半長軸長a =5半短軸長b =3a 2＝b 2＋c 2c ＝4焦點F(0，±4)35。

椭圆及其标准方程1.椭圆的定义：平面内与两个定点F1、F2的距离之和等于常数(大于｜F1F2｜)的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做焦距.注意：定义中的常数用2a表示，｜F1F2｜用2c表示，当2a＞2c＞0时，轨迹为椭圆，当2a=2c 时，轨迹为线段F1F2；当2a＜2c时，无轨迹.这样，椭圆轨迹一定要有2a＞2c这一条件.另外，应用定义来求椭圆方程或解题时，往往比较简便.2.椭圆的标准方程当焦点在x轴上时：+ =1(a＞b＞0)当焦点在y轴上时：+ =1(a＞b＞0)注意：(1)三个量之间的关系：a2=b2+c2(2)由x2,y2的分母大小确定焦点在哪条坐标轴上，x2的分母大，焦点就在x轴上，y2的分母大，焦点就在y轴上.(3)在方程Ax2+By2=C中，只有A、B、C同号时，才可能表示椭圆方程.(4)当且仅当椭圆的中心在原点，其焦点在坐标轴上时，椭圆的方程才具有标准形式.典型例题例1 求与椭圆+ =1共焦点，且过点M(3，-2)的椭圆方程.解法一：(待定系数法)由已知椭圆方程+ =1得C2=9-4=5，且焦点在x轴上，设所求椭圆方程为+ =1又∵点M(3，-2)在椭圆上∴+ =1，得a4-18a2+45=0∴a2=15或a2=3＜5=C2(舍)∴所求椭圆方程为+ =1解法二：(定义法)椭圆两焦点为F1(- ，0)，F2( ，0)，点M(3，-2)到这两个焦点距离之和是2a，即2a=｜M1F1｜+｜M1F2｜= + =2∴a2=15 b2=a2-c2=15-5=10∴所求椭圆方程为+ =1例2 已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点P1( ，1)，P2(- ，- )，求椭圆的方程.解：设椭圆方程为mx2+ny2=1,(m＞0，n＞0)由题意有解得m= ，n=∴所求椭圆方程为+ =1说明：设椭圆方程为mx2+ny2=1(m＞0，n＞0)可免讨论焦点的位置，而且计算简便.例3 已知点P在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P到两焦点的距离分别为和，过P作焦点所在轴的垂线恰好过椭圆的一个焦点，求椭圆方程.解：设两个焦点为F1F2，且｜PF1｜= ，｜PF2｜=由椭圆定义知2a=｜PF1｜+｜PF2｜=2 ∴a=而｜PF1｜＞｜PF2｜知PF2与焦点所在的对称轴垂直.∴Rt△PF2F1中，sin∠PF1F2= =∴∠PF1F2=2C=｜PF1｜cos =∴b2=a2-c2=故所求方程为+ y2=1或x2+ =13.(代入法)与椭圆有关的轨迹问题：常用的方法有定义法，坐标转移法，交轨法，点差法. 例4 已知圆C1：x2+y2+4x-12=0与圆C2:x2+y2-4x=0，动圆C与C1相内切，且与C2相外切，求动圆圆心的轨迹方程.解：圆C1与C2的标准方程是(x+2)2+y2=16，(x-2)2+y2=4圆心分别为C1(-2，0)，C2(2，0)设动圆P的圆心为P，半径为r，有｜PC1｜=4-r,｜PC2｜=2+r∴｜PC1｜+｜PC2｜=6＞｜C1C2｜=4∴P点在椭圆上运动，又2a=6，2c=4，∴b2=a2-c2=5∴P的轨迹为+ =1(在已知圆C1内)例5 已知MN是椭圆+ =1(a＞b＞0)中垂直于长轴的动弦，AB是椭圆长轴的两端点，求直线MA与NB的交点P的轨迹方程.解：设M、N的坐标为M(x0,y0)，N(x0,-y0)，又A(-a,0),B(a,0)所以直线AM的方程为y= (x+a) ①直线BN的方程为：y= ②①×②得：y2= (x2-a2) ③∵点M(x0,y0)在椭圆上，∴b2x20+a2y20=a2b2∴x20-a2=- y02,代入得③得：y2= (x2-a2)∴交点P的轨迹方程为- =1例6已知椭圆+y2=1(1)求斜率为2的平行弦的中点轨迹方程(2)过A(2，1)引椭圆的割线，求截得的弦中点轨迹方程(3)求过点P( ，)，且被P平分的弦所在的直线方程.解：(点差法)设弦的两端点分别为M(x1,y1)N(x2,y2)、MN的中点为P(x,y)，则x21+2y21=2，x22+2y22=2,两式相减弄除以(x2-x1)得：x1+x2+2(y1+y2) =0而x1+x2=2x,y1+y2=2y∴x+2y· =0 (*)(1)将=2代入(*)式得所求的轨迹方程为x+4y=0(椭圆内部分)(2)将= 代入(*)式，得所求的轨迹方程为x2+2y2-2x-2y=0(椭圆内部分)(3)将x1+x2=1,y1+y2=1代入(*)式，得=-∴所求的直线方程为2x+4y-3=0例7已知中心在原点，一焦点为F(0，)的椭圆被直线l:y=3x-2截得弦的中点横坐标为，求椭圆方程.解：∵C= ，∴a2=b2+50∴可设椭圆方程为+ =1把直线y=3x-2代入椭圆方程整理得10(b2+5)x2-12b2x-b4-46b2=0∴x1+x2=又∵=∴12b2=10b2+50解得b2=25 a2=75∴所求的椭圆方程为+ =1例8已知P为椭圆+ =1上的一点，F1F2是椭圆上的两焦点，∠F1PF2=60°，求△F1PF2的面积.解：∵= ｜PF1｜·｜PF2｜sin∠F1PF2∴只需求｜PF1｜·｜PF2｜即可又｜PF1｜+｜PF2｜=10｜PF1｜2+｜PF2｜2-2｜PF1｜·｜PF2｜cos60°=4C2=64解得｜PF1｜·｜PF2｜=12∴= ×12× =3例9已知方程2(k2-2)x2+k2y2+k2-k-6=0表示椭圆，求实数k的取值范围.解：结合椭圆的变形方程式a2y2+b2x2-a2b2=0从而有：2(k2-2)＞0 k＜- 或k＞k2≠0解得k≠0k2-k-6＜0 -2＜k＜32(k2-2)≠k2k≠±2∴k∈(-2，- )∪( ，2)∪(2，3)例10△ABC的三边a＞b＞c，且a+c=2b，｜AC｜=2,求顶点B的轨迹.解：以AC的中点为坐标原点建立坐标系，则A(-1，0)，C(1，0)，又a+c=2b=4由椭圆的定义知B点在椭圆上运动.∵a＞b＞c，且A、B、C三点不共线∴B点的轨迹方程是椭圆+ =1，在y轴左侧的部分，但要去掉点(-2，0)，(0，)，(0，- )核心知识1.椭圆+ =1(a＞b＞0)，范围：椭圆位于直线x=±a和y=±b所围成的矩形里，即｜x｜≤a，｜y｜≤b.2.对称性：椭圆关于x轴，y轴和原点都是对称的.坐标轴为椭圆的对称轴，原点是椭圆的对称中心，即为椭圆的中心.3.顶点：椭园与坐标轴的交点为椭圆的顶点为A1(-a,0)，A2(a,0)，B1(0，b),B2(0,-b)4.离心率：e= ,(o＜e＜1),e越接近于1，则椭圆越扁；e越接近于0，椭圆就越接近于圆.5.椭圆的第二定义：平面内的点到定点的距离和它到定直线的距离的比为常数e(0＜e＜1＝的点的轨迹.定点即为椭圆的焦点，定直线为椭圆的准线.6.椭圆的焦半径公式：设P(x0,y0)是椭圆+ =1(a＞b＞0)上的任意一点，F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，则｜PF1｜=a+ex0,｜PF2｜=a-ex0.7.椭圆的参数方程典型例题例1 设直线l过点P(-1，0)，倾角为，求l被椭圆x2+2y2=4所截得的弦长.解：直线l的方程为y= x+ ，代入椭圆方程，得7x2+12x+2=0,∵△=144-4×7×2=88∴弦长= =例2 求椭圆+ =1上的点到直线3x+4y-64=0的最长距离与最短距离.解：设椭圆上的点为(5cosθ，9sinθ)，则d= ==∴d max=例3 已知椭圆+ =1内有一点P(1，-1)，F是右焦点，M是椭圆上的动点，求｜MP｜+2｜MF｜的最小值，并求此时M的坐标.解：过M作右准线x=4的垂线，垂足为M1，由椭圆第二定义，有= ∴2｜MF｜=｜MM1｜∴｜MP｜+2｜MF｜=｜MP｜+｜MM1｜过P作右准线的垂线交椭圆于N，垂足为N1，垂线方程为y=-1.显然｜MP｜+｜MM1｜≥｜NP｜+｜NN1｜(当M与N重合时等号成立)而｜NP｜+｜NN1｜=｜PN1｜=3由方程组得N( ，-1)∴｜MP｜+2｜MF｜的最小值是3，此时M的坐标是( ，-1)例4 P是椭圆方程为+ =1上的任意一点，F1，F2是椭圆的两个焦点，试求｜PF1｜·｜PF2｜的取值范围.解：设｜PF1｜=t,则t∈［a-c,a+c］，即t∈［4- ，4+ ］且｜PF2｜=2a-t=8-t.∴｜PF1｜·｜PF2｜=t(8-t)=-(t-4)2+16 t∈［4- ，4+ ］当t=4时，取最大值为16当t=4± 时，取最小值为9.∴所求范围为［9，16］例5 F1、F2是椭圆的两个焦点，过F2作一条直线交椭圆于P、Q两点，使PF1⊥PQ，且｜PF1｜=｜PQ｜，求椭圆的离心率e.解：如下图，设｜PF1｜=t，则｜PQ｜=t，｜F1Q｜= t，由椭圆定义有：｜PF1｜+｜PF2｜=｜QF1｜+｜QF2｜=2a∴｜PF1｜+｜PQ｜+｜F1Q｜=4a 即( +2)t=2a,t=(4-2 )a∴｜PF2｜=2a-t=(2 -2)a在Rt△PF1F2中，｜F1F1｜2=(2c)2∴［(4-2 )a］2+［(2 -2)a］2=(2c)2∴=9-6 ∴e= = -双曲线1.双曲线的定义平面内与两定点F1、F2的距离差的绝对值是常数(大于零小于｜F1F2｜)的点的轨迹叫双曲线.两定点F1、F2是焦点，两焦点间的距离｜F1F2｜是焦距，用2c表示.常数用2a表示.(1)若｜MF1｜-｜MF2｜=2a时，曲线只表示焦点F2所对应的一支双曲线.(2)若｜MF1｜-｜MF2｜=-2a时，曲线只表示焦点F1所对应的一支双曲线.(3)若2a=2c时，动点的轨迹不再是双曲线，而是以F1、F2为端点向外的两条射线.(4)若2a＞2c时，动点的轨迹不存在.2.双曲线的标准方程- =1(a＞0,b＞0)焦点在x轴上的双曲线；- =1(a＞0,b＞0)焦点在y轴上的双曲线.判定焦点在哪条坐标轴上，不像椭圆似的比较x2、y2的分母的大小，而是x2、y2的系数的符号，焦点在系数正的那条轴上.典型例题例1 若方程+ =1表示双曲线，则实数m的取值范围是( )A.-3＜m＜2或m＞3B.m＜-3或m＞3C.-2＜m＜3D.-3＜m＜3或m＞3分析该方程表示双曲线，则x2与y2项的系数的符号相反，即(2-m)(｜m｜-3)＜0，将问题转化为不等式的求解.答：A例2 求与椭圆+ =1共焦点，且过点(3 ，)的双曲线的方程.分析一由题意知所求双曲线的焦点在x轴上，且焦距为8，∴c=4,设所求双曲线方程为- =1代入点(3 ，)，得λ2=7，故所求双曲线方程为- =1.分析二运用与椭圆共焦点的曲线系方程.设所求双曲线方程为+ =1，代入点(3 ，)，得λ=16或λ=-7(舍)，故所求双曲线方程为- =1.例3 课本第108页习题8.3第一题：△ABC一边的两个端点是B(0，6)和C(0，-6)，另两边所在直线的斜率之积是，求顶点A的轨迹.分析其顶点A的轨迹方程求得：- =1(x≠0).若将问题一般化：B(0，a)、C(0，-a)·k AB·k AC= ，则顶点A的轨迹方程为：- =1(x≠0).若B(bcotφ，acosφ)、C(-cotφ，-acscφ).k AB·k AC= ，则顶点A的轨迹会是怎样?反之，双曲线- =1(x≠0)上任一点到B(0，a)，C(0，-a)两点的连线的斜率之和，等于;若改变B、C的位置保持B、C两点关于原点对称于双曲线上，k AB·k AC是否成立.总之，同学们在学习过程中要多动手、多思考，举一反三，做到“以点代面，以少胜多”.例4一动圆与圆(x+3)2+y2＝1外切又与圆(x-3)2+y2＝9内切，求动圆圆心轨迹方程.分析如图，设动圆M与⊙O外切于A，与⊙O2内切于B，由位置关系可得数量关系：｜MO1｜＝｜MA｜+1 ｜MO2｜＝｜MB｜-3由｜MA｜＝｜MB｜可得｜MO1｜-｜MO2｜＝4由定义可知M点轨迹为双曲线的一支.解：如图，设动圆圆心M坐标为M(x,y)，圆M与圆O1外切于A，与圆O2内切于B，则，MO1＝｜MA｜+1，①｜MO2｜＝｜MB｜＝3②，①-②：｜MO1｜-｜MO2｜＝4由双曲线定义知，M点轨迹是以O1(-3，0)O2(3，0)为焦点2a＝4的双曲线的右支∴b2＝32-23＝5∴所求轨迹方程为：- ＝1(x≥2)说明：在求轨迹方程时，要注意使用曲线的定义，此时的思路：位置关系(内切，外切)数量关系(｜MO1｜＝r1+r0,｜MO2｜＝r-r2其中r为动圆半径曲线形状写出标准方程，可以简化运算.同时应注意定义中是到两定点距离的绝对值，此时不含绝对值，要求｜MO1｜>｜MO2｜，所以是双曲线的右支，而不是整个双曲线.例5过双曲线- ＝1的右焦点作倾角为45°的弦，求弦AB的中点C到右焦点F 的距离，并求弦AB的长.分析将直线方程与双曲线方程联立，求出A、B两点的坐标，再求其中点，由两点的距离公式求出｜CF｜.解：∵双曲线的右焦点为F(5，0)，直线AB的方程为y＝x-5，故16x2-9y2-144＝0 ①y＝x-5 ②消去y，并整理得7x2+90x-369＝0 ③此方程的两个根x1、x2是A、B两点的横坐标，设AB的中心点C的坐标为(x,y)，则x＝＝＝- .C点的坐标满足方程②，故y＝- -5＝-∴｜CF｜＝＝(5+ )＝又设A点坐标为(x1,y1),B点坐标为(x2,y2)，则y1＝x1-5,y2＝x2-5.∴y1-y2＝x1-x2，｜AB｜＝＝＝＝由方程③知x1+x2＝- ,x1·x2＝-∴｜AB｜＝＝＝＝27点评：利用韦达定理及两点间距离公式求弦长核心知识1.双曲线- ＝1的简单几何性质(1)范围：｜x｜≥a,y∈R.(2)对称性：双曲线的对称性与椭圆完全相同，关于x轴、y轴及原点中心对称。

两点求椭圆的标准方程椭圆是一种二维几何图形，它是一种双曲线，也是最基本的偏微分方程组解的典型形式。

在几何学中，椭圆的方程可以用两点求解的标准方程来表示。

一、椭圆的定义椭圆（Ellipse）是一种双曲线，它具有两个不同的焦点，并且每个焦点都到椭圆的边界点的距离相等。

用一般的表示法来说，椭圆可以定义为“椭圆上两点距离相等”。

二、椭圆的标准方程根据上面椭圆定义，椭圆可以用两点和椭圆上一点的极坐标来表示。

将两个焦点记为$F_1$和$F_2$，令$d$为这两点的距离，将椭圆上一点记为$P(x_0, y_0)$，其对应的极坐标为$(r, theta)$，则椭圆的标准方程可以写成：$$ frac{x^2}{a^2} + frac{y^2}{b^2} = 1 $$其中，$$ a = frac{d}{2} + sqrt{frac{d^2}{4} - r^2} $$$$ b = frac{d}{2} - sqrt{frac{d^2}{4} - r^2} $$ 令$$ e = sqrt{frac{d^2}{4} - r^2} $$则上式可以写成：$$ frac{(x-x_0)^2}{(d/2+e)^2} +frac{(y-y_0)^2}{(d/2-e)^2} = 1 $$勾股定理可以得到，$$ x_0^2 + y_0^2 = r^2 $$用上面的式子代入椭圆的标准方程可以得出：$$ frac{(x- sqrt{r^2-y^2} )^2}{(d/2+e)^2} +frac{y^2}{(d/2-e)^2} = 1 $$进一步简化可得：$$ frac{x^2}{a^2} + frac{y^2}{b^2} = 1 $$式中，$$ a = frac{d}{2} + e $$$$ b = frac{d}{2} - e $$三、应用1、求解点到曲线的距离假设有一点$P(x_0, y_0)$，要求它到椭圆$frac{x^2}{a^2} + frac{y^2}{b^2} = 1$的距离。