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椭圆的定义和标准方程PPT优秀课件

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椭圆的标准方程ppt课件共23页

椭圆的标准方程ppt课件共23页

即：(a2-c2)x2+a2y2=a2(a2-c2)
Y M (x,y)
因为2a>2c，即a>c，所
以a2-c2>0，令a2-c2=b2，
F1
O
其中b>0，代入上式可得： (-c,0)
F2 X
(c,0)
b2x2+a2y2=a2b2 两边同时除以a2b2得：
x2 a2

y2 b2
1 (a>b>0)
23.09.2019
23.09.2019
方案一
YM
Y
F2 F1
O
F2 X
M
O
方案二
X
F1
23.09.2019
Y M 求椭圆的方程
F1
O
F2 X YM
F1
O
F2 X
如图所示： F1、F2为两定点，且 F1F2 =2c， 求平面内到两定点F1、F2距离之和为定值2a （2a>2c)的动点M的轨迹方程。
23.09.2019
Y M (x,y)
F1
O
(-c,0)
F2 X
(c,0)
解：以F1F2所在直线为X轴， F1F2 的中点 为原点建立平面直角坐标系，则焦点F1、 F设2的M坐（标x,y分)为别所为求(-c轨,0迹)、上(c的,0任)。意一点，
则: MF1 + MF2 =2a 即 : (x c )2 y 2(x c )2 y 2 2 a
例2、求满足下列条件的椭圆的标准方程：
（1）满足a=4,b=1，焦点在X轴上的椭圆的 标准方程为__1_x6_2 __y_2___1__
（2）满足a=4,cb= 15 ，焦点在Y轴上的椭圆

2.1.1椭圆的定义与标准方程(一)PPT课件

2.1.1椭圆的定义与标准方程(一)PPT课件

F1 O
F2
x
O
x
F2
方
x2
y2
a2 b2 1
x2 b2
y2 a2
1
（1）方程的左边是两项平方和的形式，等号的右边是1；
程 （2）在椭圆两种标准方程中，总有a>b>0；
（3）焦点在分母较大的变量所对应的坐标轴上；
特 （4） a—椭圆上任意一点P到F1、F2距离和的一半；
点
c—半焦距.且有关系式 a 2 b2 c2成立。
演讲人：XXXXXX 时 间：XX年XX月XX日
1、a＝4，b＝3，焦点在x轴上；
x2 y2 1
16 9
2.b=1，c 15，焦点在y轴上
x2 y2 1 16
例2、课本P33 例3
练习、已知椭圆两个焦 点的坐标分别是（0，3）、
（0， 3），并且椭圆经过点（8，3），求椭圆的
标准方程 .
x2 y2 1 72 81
• 随堂练习
1．椭圆2x52＋y2＝1 上一点 P 到一个焦点的距离为 2，则点 P
写在最后
成功的基础在于好的学习习惯
The foundation of success lies in good habits
23
结束语
当你尽了自己的最大努力时，失败也是伟大的， 所以不要放弃，坚持就是正确的。
When You Do Your Best, Failure Is Great, So Don'T Give Up, Stick To The End
。
4、椭圆的两焦点坐标分别为 F1(0， 3),F2(0,3),2a 10
则椭圆的标准方程是
y2 x2 1
25 16

椭圆ppt课件

椭圆ppt课件

02
椭圆的绘制方法
几何法绘制椭圆
固定两点法
选取两个固定点，利用细线、笔 和画板，通过细线两端分别绕两 个固定点旋转绘制椭圆。
圆心与半径法
选取一个圆心，以不同半径分别 用圆规画出两个相交的圆，连接 两个交点得到椭圆的长短轴，再 绘制椭圆。
代数法绘制椭圆
标准方程法
根据椭圆的标准方程，确定长短轴长度和中心位置，利用坐标纸和直尺绘制椭圆 。
椭圆的几何性质
焦点
椭圆有两个焦点，它们位于长轴上，距离原点分别为c。
长轴和短轴
椭圆有两条对称轴，分别是长轴和短轴。长轴通过两个焦 点，短轴与长轴垂直。长轴长度为2a，短轴长度为2b。
离心率
椭圆的离心率e定义为c/a，它描述了椭圆的扁平程度。 0<e<1时，椭圆越扁平；e=0时，椭圆变为圆；e>1时， 椭圆不存在。
椭圆形储罐
椭圆形储罐结构受力均匀 ，节省材料，常用于石油 、化工等行业的聚焦于一点，应用于望 远镜、卫星天线等光学设 备中。
经济学中椭圆的应用
生产可能性边界
生产可能性边界呈椭圆形，表示 在一定资源和技术条件下，两种
产品最大可能产量的组合。
效用函数
在消费者选择理论中，效用函数常 用椭圆函数形式来描述消费者在无 差异曲线上的偏好。
参数方程法
根据椭圆的参数方程，设定参数范围和步长，利用计算器或计算机软件生成椭圆 上的离散点，再连接成椭圆。
电脑绘图软件绘制椭圆
绘图软件工具
使用绘图软件中的椭圆工具，通过鼠标点击和拖动直接在画 布上绘制椭圆。
自定义绘制
利用绘图软件的编程功能，编写自定义的椭圆绘制程序，实 现更复杂的椭圆绘制需求。
03
椭圆的应用举例

3.1.1 椭圆及其标准方程 课件(共34张PPT).ppt

3.1.1 椭圆及其标准方程 课件(共34张PPT).ppt

焦点在x轴上：
x2 a2
y2 b2
1(a
b
0)
焦点在y轴上：
y2 a2
x2 b2
1(a
b
0)
y
O
x
其中, PF1 PF2 2a, F1F2 2c,c2 a2 b2.
问题4：若焦点F1、F2 在y轴上，且F1(0,-c)，F2 (0,c)，a,b的意义同上， 则椭圆的方程是什么？
F1(c,0), F2(c,0) F1(0,c), F2 (0,c)
概念辨析1：椭圆的定义
1.命题甲: 动点P到两定点A、B的距离之和| PA | | PB | 2a(a为常数,a 0)
命题乙: 动点P的轨迹是椭圆.
则命题甲是命题乙的___B____条件.
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
甲 / 乙 乙甲
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
2.若两定点F1, F2,且 F1F2 10,则满足下列条件的动点P 的轨迹是什么？ ① PF1 PF2 10; 线段F1F2 ② PF1 PF2 16; 椭圆 ③ PF1 PF2 6. 不存在
1(a
b 0),
(法1) 2a
22 3
2
5
22 3 5 2
( 15
3)2
( 15
3)2 2 15,
a 15,b2 15 5 10,方程 y2 x2 1为所求.
15 10
(法2)
代入(2,3)得
9 a2
4 b2
1,
又b2
a2
5,
联立解得a2
15或3(3
设为 y2
a2
x2
b2
1(a
b 0)

椭圆及其标准方程课件(公开课)

椭圆及其标准方程课件(公开课)

椭圆的参数方程是描述椭圆形状 和大小的一种数学表达方式，它 通过引入参数变量来表达椭圆上
的点。
参数方程通常采用极坐标或直角 坐标系中的参数方程形式，以便
更好地描述椭圆的几何特性。
参数方程在解决与椭圆相关的数 学问题时非常有用，因为它能够 直观地表达椭圆的形状和大小。
参数方程与普通方程的转换
参数方程和普通方程是描述椭圆的不 同方式，它们之间可以进行相互转换 。
普通方程转换为参数方程则需要引入 参数变量，将其表达为参数方程的形 式。
参数方程转换为普通方程需要消去参 数变量，将其转化为标准的椭圆方程 形式。
参数方程的应用
01
在几何学中，参数方程 被广泛应用于描述和分 析椭圆的形状和性质。
02
在物理学中，参数方程 可以用于描述物体的运 动轨迹，例如行星的运 动轨迹等。
03
在工程学中，参数方程 可以用于设计各种机械 零件和机构，例如轴承 、齿轮等。
04
在经济学中，参数方程 可以用于描述市场供需 关系和价格变动等。
05
椭圆的扩展知识
椭圆的扩展定义
椭圆是平面内与两个定点$F_1$和$F_2$的距离之和等于常 数且大于$F_1$和$F_2$之间距离的点的轨迹。
扩展定义中的两个定点称为椭圆的焦点，而常数等于 $F_1$和$F_2$之间的距离时，轨迹为线段。
光学仪器
椭球面镜是许多光学仪器 的重要元件，如显微镜和 望远镜。
02
椭圆的标准方程
椭圆的标准方程推导
椭圆的标准方程推导基于平面几何和 代数知识，通过设定椭圆上的点满足 的条件，经过一系列的推导和简化， 最终得到标准方程。
推导过程中涉及了椭圆的定义、性质 和参数设定等，有助于深入理解椭圆 的几何特征和代数表达。

椭圆及其标准方程ppt课件

椭圆及其标准方程ppt课件

令b=POI=√a²-c², 那么方程⑤就
由于方程②③的两边都是非负实数，因此方程①到方程⑥的变形都是同解变 形.这样，椭圆上任意一点的坐标(x,y) 都满足方程⑥;反之，以方程⑥的解为 坐标的点(x,y)与椭圆的两个焦点(c,0),(-c,0)的距离之和为2a, 即以方程⑥的 解为坐标的点都在椭圆上.则方程⑥是椭圆的方程，这个方程叫做圆的标准方 程.它表示焦点在x 轴上，两个焦点分别是F(-c,0),F₂ (c,0) 的椭圆，这里
所以点M 的轨迹是椭圆.
例3如图，设A,B 两点的坐标分别为(-5,0),(5,0).直线AM,BM 相交于点M, 且它们的斜率之积是 ,求点M 的轨迹方程.
事
解 ：设点M 的坐标为(x,y),因为点A 的坐标是(-5,0), 所以直线AM的斜率 同理，直线 BM 的斜率 由已知有
化简得点M 的轨迹方程为
设M(x,y )是椭圆上任意一点，椭圆的焦距为2c(c>0), 那么焦点F,F₂ 的 坐 标分别为(-c,0),(c,0) ,根据椭圆的定义，设点M 与焦点F,F₂ 的距离的和等于 2a.
由椭圆的定义可知，椭圆可看作点集P={M||MF₁I+|MF₂I=2a}. 因为IMFI= √ (x+c)²+y²,IMF₂F= √ (x-c)²+y², 所以J(x+c)²+y²+ √ (x-c)²+y²=2a.① 化简得√(x+c)²+y²=2a-√(x-c)²+y².② 对方程②两边平方得(x+c)²+y²=4a²-4aJ(x-c)²+y²+(x-c)²+y². 整理得a²-cx=aJ(x-c)²+y².③

椭圆及其标准方程(24张PPT)

椭圆及其标准方程(24张PPT)

知识生成
• (1)取一条细绳 • (2)把它的两端固定在图板上的两
点F1、F2 • (3)用铅笔尖把细绳拉紧，在图板上
慢慢移动看看画出的图形
知识生成
思考1
（1）在画图的过程中，F1、F2的位置是固定的
还是运动的？
固定的
F11
（2）在画图的过程中，绳子的长度变了没有？
说明了什么？
|MF1|+|MF2|为定值
x2
y2
(4) 1
m2 m2 1
焦点坐标为： F1(0,1)，F2 (0,1)
应用拓展
2.已知椭圆两个焦点的坐标分别是( -2, 0 ), (2,0)，
y
并且经过点P
5 ， 3 2 2
，求它的标准方程.
F1 O
解：因为椭圆的焦点在x轴上，设 由椭圆的定义知
x2 a2
y2 b2
1(a
b
0)
2a
椭得圆，的b焦2 x距2 为a22 yc，2 则a有2bF2 1(-c，0)、F2(c，0).
化 两边同又除设以Ma与2bF2得1，axF222的 距by22离的1.和(a等于b 2a0)
构建方程
焦点在 x 轴上,椭圆的 标准方程
y
M (x, y)
F1 O
F2
x
x2 y2 a2 b2 1(a b 0)
当2a<2c时，即距离之和小于焦距时
知识生成
1.当2a 2c时，M点的轨迹是 椭圆 2.当2a 2c时，M点的轨迹是 线段F1F2 3.当2a 2c时，M点的轨迹是 不存在
知识深化
思考3
(1)已知A(-3,0),B(3,0),M点到A,B两点的距离和为
10,则M点的轨迹是什么？

椭圆的定义与标准方程公开课课件.ppt

椭圆的定义与标准方程公开课课件.ppt
于常数（2a大于F1F2）的点的轨迹
同 点
a、b、c 的关系
a2 = b2 + c2
焦点位置的判断 分母哪个大，焦点就在哪个轴上
辨析2：
x2 y2 1 25 9
则a＝ 5 ，b＝ 3 ；c=_4____
x2 y2 1 169 144
则a＝ 13 ，b＝ 12 ；c=__5__
x2 y2 1
探究：若将细绳的两端拉开一段距离，分别固定在图板上
不同的两点F1、F2处，并用笔尖拉紧绳子，再移动笔尖一 周，这时笔尖画出的轨迹是什么图形呢？
1.在作图过程中，哪些点的位置不变， 哪些距离改变，哪些量不变？
2. 改变两图钉之间的距离，使其与 绳长相等，画出的图形还是椭圆吗？
3．绳长能小于两图钉之间的距离吗？
（2）两个定点——两点间距离
确定;(常记作2c) （3）常数——轨迹上任意点到两
F1
F2
定点距离和确定. (常记作2a, 且2a>2c)
若2a=F1F2轨迹是什么呢？ 若2a<F1F2轨迹是什么呢？
轨迹是一条线段 轨迹不存在
♦提出了问题就要试着解决问题. 怎么推导椭圆的标准方程呢？
♦ 求动点轨迹方程的一般步骤： 坐标法
回忆圆标 准方程推 导步骤
1、建立适当的坐标系，用有序实数对 （x,y）表示曲线上任意一点M的坐标;
2、写出适合条件 P（M） ;
3、用坐标表示条件P（M），列出方程 ; 4、化简方程
♦ 探讨建立平面直角坐标系的方案
yy y
y
M
y
F2 M
F1 O O OF2 x x x
O
x
O
x
F1
方案一

高二数学优秀课件《椭圆的定义2.2.1(2)与标准方程》(公开课)课件

高二数学优秀课件《椭圆的定义2.2.1(2)与标准方程》(公开课)课件

2
2
二、例题与练习
2 2
例1. 求下列方程表示的椭圆的焦点坐标：
（1）
x y 1 36 24
；
（2）8x2+3y2=24.
解：（1）已知方程就是椭圆的标准方程， 由36>24，可知这个椭圆的焦点在x轴上， 且a2=36，b2=24，所以c2=a2－b2=12, c2 3 因此椭圆的焦点坐标为
2 2
2
2
小结：
求椭圆标准方程的方法 一种方法：
课堂练习
1.口答：下列方程哪些表示椭圆？若是,则判定其焦点 在何轴？并指明 a 2 , b 2
x2 y2 (1) 1 16 16 x2 y2 (2) 1 25 16
(3)9x2 25 y 2 225 0
(4) 3x2 2 y 2 1
课堂练习
x2 y 2 2、如果椭圆 1上一点M 到焦点F1的距离 100 36 等于6，则点M 到另一个焦点F2的距离为 ( C ) A.10 B.12 C.14 D.16
一、复习:
1.
x2 y2 + 2 = 1 a > b > 0 2 a b
y P
标准方程
x2 y2 + 2 = 1 a > b > 0 2 b a y
F2 P
不 同 点
图
形
F1
O
F2
x
O
F1
x
焦点坐标 相 同 点 定 义
F1 -c , 0，F2 c , 0
F1 0,- c ，F2 0,c
x2 y 2 2 1 (a b 0) 2 a b
由已知，得2a=8，即a=4，又因为c=3， 所以b2=a2－c2=7，因此椭圆的标准方程是
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b a c (b>0)
2 2 2
a>c
2 2 2 2 2 2 bx + a y= a b
焦点在X轴的椭圆的标准方程：
焦点在Y轴的椭圆的标准方程：
x y ( a b 0) 1 2 2 a b
F ( c , 0 ) ,Fc (, 0 ) 1 2
2
2
y x 2 1 2 a b
x y 1 9 4
2
2
y x 1 9 4
2
2
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设F1、
F2为椭圆
x 2 25
y 2 9
1
P为椭圆上一点，与F1、
F2
的焦点，
练习
构成一个
Y
P
三角形，求 P F1 F2 的周长？ PF1 F2 周长 PF1 F1 F2 PF2 解：
PF1 PF2 F1F2
x a
2 2
y2 1 2 b
2 2
(a b 0 )
2 2 2 2
c a b
2 2
b a c 5 3 1 6
x2 y2 1 25 16
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故所求椭圆的标准方程为：
3.已知椭圆上某点到两定点的距离之和为6， 两个定点之间的距离为 2 5 ，求椭圆的标 准方程。
(1)
F1
F2
椭圆的定义： 平面内与两定点F1、F2 的距离之和为常数 的距离之和为常数的点 (大 的轨迹 或集合)叫做椭圆。 于 | F1F( 2|) 的点的轨迹(或集合)叫做椭圆。
椭圆的焦点： F1、F2 椭圆的焦距： |F1F2|
解： 设点M(x,y)为所求轨迹上任意一点
求平面内与两定点F1、 F2 的距离之和为常数 (大 椭圆的定义：平面内与两定点 F1、F2 的距离之和 于 | F1F2( |) 的点的轨迹 (或集合) ？ 为常数 大于 | F1F2|)的点的轨迹 (或集合)叫做椭圆。 Y |MF1|+|MF2|= 2a
解：因为 2a=6
所以 a=3
例题
2
2c= 2 5
c=
5
设焦点在Y轴的椭圆标准方程为
设焦点在X轴的椭圆标准方程为
x2 y2 2 1 2 a b
y2 x2 2 1 2 a b
2 2 2 b a c 9 54
b a c 9 54
2 2
焦点在X轴的椭圆标准方程为 焦点在Y轴的椭圆标准方程为
x y 2 1 2 a b
y x 2 1 2 a b
2
2
ba ck ne
解 ： 因为 5 4
1.求下列椭圆的焦点和焦距。 x2 y2 2 2 (1) 1 ( 2 ) 2 x y 1 6 5 4 y2 x2
16 8 1
例题
所以焦点在X轴上
因为 16 8 所以焦点在Y轴上
a =5 ,b =4
c a b 1 c 1 2c 2
2 2 2
2
2
a 1 6 ,b 8
2 2
c2 a2 b2 1 688 c 2 2
( 1 ,0 ) ,F ( 1 ,0 ) 焦点为：F 1 2 焦点为： F ( 0 , 22 ) , F ( 0 , 22 ) 1 2 焦距为： 2 焦距为： 4 2
2 2 2 a c x = a ( x c ) + y
| F1F2|=2c (c>0)
a 2 a c x + c x = a x 2 a c x + a c + a y 常数=2a (a>0)
2 2 2 22 2 2 2 ( a c ) x + a y = a ( a c )
4 2
2 22 2 2
2 22 2
(a 2 -c 2 )x 2 + a 2 y 2 = a 2 (a 2 -c 2 ) b a -c (b 0 )
2 2 2
22 2 2 2 2 2 2 a x + ( a c ) y = a ( a c )
b 2x 2 + a 2y 2 = a 2b 2
2 2
2 2 2 b a c( b 0 ) 2 2 2 2 2 2 a x+ by= ab
2
2
(a b 0)
2
F ( 0 , c ) ,F ( 0 ,c ) 1 2
c a b
2 2
2
c a b
2 2
常数(绳长) =2a (a>0)
焦距: | F1F2|=2c (c>0)
b a c
2 2

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(b>0)
Y
M
M
Y
F2
F1
o
F2
X
o
X
解：
解：
F1
令F1(-c,0)，F2 (c,0) |F1F2|=2c (c>0) 令F1(0，-c), F2 (0，c) | F1F2|=2c (c>0) 常数=2a (a>0) 常数=2a (a>0)
椭圆
一、椭圆的定义和标准方程
1.取一条长度一定且不可伸缩的细绳，把它的两 个端点固定在黑板上的F1，F2两点 (使绳长大于 F1到F2的距离)，用粉笔尖把绳子拉紧，使笔尖在 黑板上慢慢移动一周，得到的图形是什么？
得到的图形是椭圆
2.在画椭圆的过程中需要注意哪几个问题？
M
问题
F1，F2为固定两点 (2)笔尖到F1与F2的距离之和为绳长(定长) (3)绳长大于F1到F2的距离
设点M(x,y)为所求轨迹上任意一点
设点M(x,y)为所求轨迹上任意一点
|MF1|+|MF2|= 2a (a>0)
2 2 2 2 ( x + c )+ y + ( x c )+ y = 2 a
|MF1|+|MF2|= 2a
(a>0)
2 2 2 2 x + ( y + c )+ x + ( y c )= 2 a
(a>0)
F1
M
2 2 2 2 ( x + c )+ y + ( x c )+ y = 2 a 2 2 2 2 ( x + c )+ y = 2 a -( x c )+ y
(-c,0)
O
F2
(c,0)
X
2 2 2 2 2 2 2 ( x + c ) + y = 4 a 4 a ( x c ) + y + ( x c ) + y
2c 4 2
2 . 已知椭圆的焦点为 F1 (-3，0) ，F2 (3，0)， 椭圆上一点到两焦点的距离之和为10，求椭圆的 标准方程。 Y
解： 因为 F ( 3 ,0 ) ,F ( 3 ,0 ) 1 2 设椭圆标准方程为
M
例题
所以焦点在X轴上，c=3
F1
O
F2
X
2a 10 a 5
x 2 2 5
2
F1
o
F2
2a 2c
y 9
2
X

1
a 2 5 a 5 2 a 1 0