商不变的规律

数学教案－商不变的规律引言商是数学中的一个常见概念，它描述了两个数相除的结果。

在实际生活中，我们经常会遇到商不变的规律。

这个规律指的是，如果我们在分子和分母中都乘（或除）以一个同样的数，那么商的结果不会改变。

本文将介绍商不变的规律的概念和应用，并提供一些相关的例子和练习。

商不变的规律的概念商不变的规律是数学中的一个基本原理，也是我们运用除法操作时常常利用到的一条性质。

简而言之，商不变的规律指的是，如果我们在被除数和除数中都乘（或除）以一个同样的数，那么商的结果不会改变。

换句话说，我们可以对被除数和除数同时进行相同的乘（或除）操作，而不会改变最终的商。

商不变的规律的应用商不变的规律在解决实际问题中起到了重要的作用。

以下是一些常见的应用场景：比例问题在比例问题中，我们常常需要求解未知的比例关系。

这时，我们可以利用商不变的规律来简化问题。

例如，如果一辆车以每小时60公里的速度行驶，那么3小时行驶的距离是多少？我们可以通过将速度和时间都除以3，得到车辆每小时20公里的速度。

然后再将新的速度乘以行驶的小时数3，即可得到结果，即60公里。

这个例子展示了商不变的规律在求解比例问题中的应用。

分配问题在一些分配问题中，商不变的规律能够帮助我们简化计算。

例如，如果某个项目需要花费8000元，而这个项目的费用将由三个人平分。

我们可以通过将项目的费用8000元除以参与人数3，得到每个人平分的费用为2666.67元。

这个例子再次展示了商不变的规律在解决分配问题中的应用。

比较问题商不变的规律还可以用来比较不同数值的大小。

例如，如果我们需要比较两个小数的大小，我们可以将两个小数的分子和分母都乘以同样的数，使得两个小数的分母相等。

然后，我们只需要比较两个小数的分子大小即可判断它们的大小关系。

这个方法通过利用商不变的规律，简化了比较问题的计算。

示例与练习示例1：比例问题某个果汁店每瓶果汁售价为10元，一天能卖出100瓶果汁。

那么两天能够卖出多少瓶果汁？解法：我们可以利用商不变的规律来解决这个问题。

北师大版四年级上册数学商不变的规律教案5篇《商不变的规律》是义务教育课程标准北师大版四年级数学上册第五单元“除法”中的的内容。

编者意图是在学生学会三位数除以两位数的基础上，引导学生探索、构建“商不变的规律”这一知识模型，下面是小编为大家整理的北师大版四年级上册数学商不变的规律教案5篇，希望大家能有所收获!北师大版四年级上册数学商不变的规律教案1教学目标：(1) 知识与技能：能运用商不变的规律口算有关除法。

(2)过程与方法：让学生经历探索的过程，学会并用类比迁移的方法探索新知，通过观察、分析、交流、合作总结被除数和除数同时发生变化，商不变的规律。

培养学生观察、比较、猜想、概括以及发现规律、探索新知的能力。

(3) 情感、态度与价值观：引导学生经历探索过程，体验数学知识的探索性，体验发现乐趣，增强成功体验。

教学重点：(1) 引导学生自己发现规律，掌握规律;(2) 通用简单的语言表述规律;(3) 利用商不变的规律进行简便计算。

教学难点：(1) 引探讨发现规律的过程;(2) 用语言正确表述变化的规律。

学生情况：兴趣是的老师。

而且课标明确指出：“数学学习活动必须建立在学生认知发展水平和已有的知识经验基础之上。

”四年级的小学生具有好动、好奇的心理特点，喜欢探究新的知识内容。

学生之前已分别掌握了被除数不变，商随除数的变化而变化的情况和除数不变，商随被除数的变化而发生变化的情况。

有了这些认识基础，再利用知识的迁移，他们一定能经过探索，发现并总结规律。

教学方法：根据本课教学内容的特点和学生的思维特点，我选择了引导发现法为主，辅以谈话法、小组合作等方法的优化组合。

充分调动学生各种感官参与学习，发挥学生的主观作用与老师的点拨作用，体现“学生是课堂的主体、教师是课堂的主导”，利用引人入胜的问题情境，生动有趣的故事激发学生学习的兴趣，调动学生学习的积极性，引导他们去发现规律、分析规律、解决实际问题、获取知识，从而达到训练思维、培养能力的目的。

积和商不变规律和变化规律积的变化规律：一个因数不变，另一个因数乘或除以几，积就相应的乘或除以几。

积不变规律：一个因数乘或除以几，另一个因数相应的除以或乘几，积不变。

商的变化规律：被除数不变，除数乘或除以几，商就相应的除以或乘几。

除数不变，被除数乘或除以几，商就相应的乘或除以几。

商不变规律：被除数和除数同时乘或除以几，商不变。

1、根据78×12＝936，填写下面各题的结果。

7.8×12＝（） 0.78×12＝（） 7.8×0.12＝（） 0.78×（）＝936 2、根据414÷18＝23，填写下面各题的结果。

4.14÷1.8＝（） 4140÷1.8＝（） 0.414÷0.18＝（） 41.4÷18＝（）3、根据45×63＝2835，填写下面各题的结果。

4.5×0.63＝（） 45×（）＝283.5 0.45×0.063＝（） 450×（）＝28.3510、两个因数的积是0.5，如果一个因数扩大10倍，另一个因数扩大100倍，积应该是（）。

11、两数相除，商是7.6，被除数扩大10倍，除数缩小到原数的1/100，商应该是（）。

12、26.87扩大到它的( )倍得到26870,再缩小到它的( )得268.7。

13、甲乙两数的和是418，甲数的小数点向右移到一位后就等于乙数，甲数是（），乙数是（）。

14、1000张纸叠起来厚9.2厘米,平均每张纸厚( )厘米,一厘米约有( )张纸.15、一吨海水含盐0.03吨,10吨海水含盐( )吨,1000吨海水含盐( )吨.16、由45到0.045缩小到原数的( ). 17、由0.08到80,扩大到原数的( ).17、两个数相除，除数缩小到原数的1/4，商就（）。

18、把一根粗细均匀的木头锯成两段用了0.24小时，如果把它锯成8段一共用（）小时。

商不变规律应用商业世界变化万千，但有一些规律是永恒不变的。

了解和应用这些规律可以帮助企业更好地发展和取得成功。

本文将介绍一些常见的商不变规律并探讨如何应用它们。

1. 顾客至上顾客是企业最重要的资源，顾客满意度直接影响企业的长期发展。

因此，企业应始终将顾客放在首位，了解他们的需求和喜好，并通过提供优质的产品和服务来满足顾客的要求。

2. 创新驱动不断创新是企业保持竞争力的关键。

商业世界变化迅速，企业必须不断寻求新的方法和解决方案，以满足市场需求并保持领先地位。

创新可以是产品创新、流程创新或者商业模式创新，企业应注重在各个方面的创新。

3. 效益至上企业的目标是实现长期盈利和可持续发展。

因此，企业应该注重效益，控制成本，提高生产效率，并寻求利润最大化的机会。

同时，企业也应该关注企业社会责任，维护良好的企业形象。

4. 合作共赢商业领域是一个互相依存的系统，企业之间的合作可以实现共赢。

通过与供应商、合作伙伴和其他利益相关者建立良好的合作关系，企业可以共同发展，分享资源和风险，并获得更多的机会。

5. 适应变化商业环境常常充满不确定性和变化，企业应该具备适应能力以应对挑战和机遇。

企业应该保持灵活性，及时调整策略和战略，以适应市场的变化和竞争的压力。

6. 优质品牌品牌是企业的重要资产，可以给企业带来竞争优势。

企业应该注重塑造和维护优质的品牌形象，通过提供高品质的产品和服务来赢得顾客的认可和信任。

结论商不变规律是企业成功的基石。

了解并应用这些规律可以帮助企业在竞争激烈的商业环境中取得成功。

企业应当遵循顾客至上、创新驱动、效益至上、合作共赢、适应变化和塑造优质品牌等规律，并灵活调整策略以适应不断变化的商业环境。

只有通过不断学习和应用这些规律，企业才能在商业竞争中立于不败之地。

四年级上商不变的规律在我们四年级的数学学习中，有一个非常重要的规律叫做“商不变的规律”。

这个规律就像是一把神奇的钥匙，能帮助我们更轻松地解决很多数学问题。

那什么是商不变的规律呢？咱们先来举个例子。

比如说，我们有 12 个苹果，要平均分给 3 个人，每个人能得到 4 个苹果，算式就是 12÷3 ＝ 4。

那如果现在有 24 个苹果，平均分给 6 个人，每个人能得到几个苹果呢？算一下，24÷6 ＝ 4。

你看，虽然被除数从 12 变成了 24，除数从 3 变成了 6，但商还是 4，没有变化。

再比如，60÷15 ＝ 4，那 120÷30 呢？答案还是 4。

通过这些例子，我们就能发现商不变的规律啦：被除数和除数同时乘或除以相同的数（0 除外），商不变。

为什么 0 要除外呢？这是因为 0 不能做除数呀，如果除数是 0，这个算式就没有意义了。

那商不变的规律有什么用呢？用处可大啦！比如说，我们要计算 700÷25，直接算可能有点麻烦。

但我们可以根据商不变的规律，把被除数和除数同时乘 4，就变成了（700×4）÷（25×4）＝ 2800÷100 ＝ 28，这样是不是就简单多啦？再比如，我们计算 5600÷400，同样可以利用商不变的规律，被除数和除数同时除以 100，变成 56÷4 ＝ 14。

商不变的规律还能帮助我们检验计算的结果是否正确。

比如我们计算 36÷9 ＝ 4，那如果被除数和除数同时乘 2，变成 72÷18，按照商不变的规律，商也应该是4，如果我们算出来不是4，那就说明可能算错啦。

同学们在运用商不变的规律时，一定要注意同时乘或除以相同的数，而且这个数不能是 0。

为了更好地掌握商不变的规律，我们可以多做一些练习题。

比如：1、填空：（1）36÷9 ＝（）÷3 （2）480÷80 ＝（）÷82、简便计算：（1）800÷25 （2）9000÷125通过这些练习，我们就能更加熟练地运用这个规律，提高我们的计算能力和解题速度。

商不变的规律简便计算
商不变的规律在算术中有着广泛的应用，特别是在乘法运算中。

通过这个规律，我们可以将乘法交换律用于简化计算。

举例来说，假设我们要计算12乘以15的结果，根据商不变的规律，我们可以将乘法交换为15乘以12，这样可以更容易地进行计算。

另外，在除法运算中，商不变的规律也同样有效。

例如，当我们要计算36除以12时，可以根据商不变的规律将除数和被除数的位置交换，得到12除以36，这样就更容易计算了。

商不变的规律不仅适用于整数的乘除运算，也同样适用于分数的乘除运算。

当我们要计算两个分数的乘积时，可以将分子和分母的位置交换，然后进行乘法运算。

同样，当我们要计算两个分数的商时，也可以应用商不变的规律，将被除数和除数的位置交换，然后进行除法运算。

商不变的规律在数学中的应用非常广泛，可以简化计算过程，提高计算效率。

在实际生活中，我们也能够通过商不变的规律来简便计算，例如在购物时计算总价、在理财中计算收益等等。

这个简单而重要的规律不仅在数学中有着深刻的意义，也在我们日常的生活中起着重要的作用。

四年级上册数学商不变的规律笔记一、概述在四年级的数学学习中，商不变的规律是一个非常重要的概念。

通过商不变的规律，我们可以更好地理解和运用乘法的相关知识，进而在解决实际问题时更加得心应手。

本文将从商不变的概念、规律的应用以及相关练习等方面展开讲解，帮助同学们更好地掌握这一部分知识。

二、商不变的概念商不变的概念指的是，在一个乘法运算中，无论先算乘法式中的哪两个数，最后得到的积是相同的。

对于乘法式3×4=12，不论先算3×4还是4×3，最终得到的积都是12，这就是商不变的规律。

在实际生活中，商不变的规律也有着广泛的应用。

我们去商场购物时，商品的价格和数量构成了乘法式，而不管我们是先看价格再看数量，还是先看数量再看价格，最终要支付的金额都是相同的，这就符合了商不变的规律。

三、商不变的规律及运用1. 乘法交换律商不变的规律与乘法交换律有着密切的关系。

乘法交换律是指，两个数相乘，交换两数的位置所得的积是相等的。

这也是商不变的规律的一个体现。

对于乘法式2×6=12，根据乘法交换律，也可以写成6×2=12。

而根据商不变的规律，不论是先算2×6还是6×2，最终得到的积都是12。

2. 商的分配律商不变的规律还与商的分配律有着密切的通联。

商的分配律是指，在一个乘法运算中，可以按照加法的性质把一个数分成几部分，然后分别与其他数相乘，最后将这些积相加得到的结果是相同的。

对于乘法式3×（4+2），按照商的分配律，可以得到3×4+3×2=12+6=18。

而根据商不变的规律，无论是先算3×4+3×2还是先算3×（4+2），最终得到的结果都是相同的。

3. 解决实际问题商不变的规律在解决实际问题时也非常有用。

小明去超市买了3斤苹果，每斤苹果6元，那么他一共需要支付多少钱呢？按照商不变的规律，我们可以先算3×6=18，也可以先算6×3=18，最终得到的结果都是18元，这就是商不变的规律在实际问题中的应用。

商不变规律的公式在我们的数学世界里，有一个非常神奇且重要的规律，那就是商不变规律。

这规律就像是一把神奇的钥匙，能帮我们打开很多数学难题的大门。

先来说说商不变规律的公式到底是啥。

简单来讲，就是被除数和除数同时乘或除以相同的数（0 除外），商不变。

这看起来好像挺简单的，可别小瞧它，里面的学问大着呢！我记得有一次给学生们讲这个知识点的时候，发生了一件特别有趣的事儿。

当时我在黑板上写下了一组算式：6 ÷ 2 = 3，然后我问同学们，如果被除数乘以 3，除数也乘以 3，商会怎么样呢？大家都皱着眉头思考，这时候有个调皮的小男孩儿举起手说：“老师，我觉得商会变大！”我笑了笑，让他说说为啥这么想。

他一脸认真地说：“因为乘的数变大了呀！”其他同学听了有的点头，有的则露出疑惑的表情。

我没有直接否定他的想法，而是按照他说的，在黑板上写下了（6×3）÷（2×3）= 18÷6 = 3。

然后我问大家：“你们看，商变了吗？”同学们这才恍然大悟，原来商并没有改变。

咱们再深入地理解一下这个公式。

比如说，80÷20 = 4，如果被除数和除数同时乘以 5，那就变成了（80×5）÷（20×5）= 400÷100 = 4，商依然是 4。

反过来，如果被除数和除数同时除以 10，也就是（80÷10）÷（20÷10）= 8÷2 = 4，商还是不变。

商不变规律在我们解决实际问题的时候，可太有用啦！比如，在计算一些比较复杂的除法运算时，我们可以利用这个规律把被除数和除数同时扩大或缩小相同的倍数，让计算变得更简单。

假设我们要计算 3600÷900，如果直接算，可能会觉得有点麻烦。

但是我们根据商不变规律，把被除数和除数同时除以 100，就变成了36÷9 = 4，是不是一下子就简单多啦？再比如说，在比较两个除法算式的大小时，如果商相同，我们就可以利用商不变规律把被除数或者除数转化成相同的数，这样比较起来就容易多了。

运用“商不变的规律”巧解数学问题□王凤菊小朋友，你知道商不变的规律吗？运用这个规律，可以解决以下问题：被除数和除数同时变，且变化相同，商的变化；被除数和除数同时变，且变化相同，余数的变化；被除数和除数仅一方变，商的变化；被除数和除数同时变，且变化不同，商的变化。

在学习时，你要注意掌握一些运算技巧和解决问题的策略方法，发展思维，提高计算能力、分析能力和解决问题的能力。

我是这样解的16406404024240竖式1一、被除数和除数同时变，且变化相同时，商的变化例1.计算：640÷40。

利用“商不变的规律”，可以简化整十、整百的数除以整十数的计算。

把被除数和除数同时除以10，商不变（如竖式1）。

例2计算：240÷5。

我是这样解的利用“商不变的规律”，根据数的特点，把除数转化成10来计算。

因为除数是5，把被除数和除数同时乘2，商不变。

240÷5＝（240×2）÷（5×2）＝480÷10＝48例3.计算：300÷25。

我是这样解的利用“商不变的规律”，根据数的特点，把除数转化成100来计算。

因为除数是25，把被除数和除数同时乘4，商不变。

300÷25＝（300×4）÷（25×4）＝1200÷100＝12例4.计算：750÷125。

我是这样解的利用“商不变的规律”，根据数的特点，把除数转化成1000来计算。

因为除数是125，把被除数和除数同时乘8，商不变。

750÷125＝（750×8）÷（125×8）＝6000÷1000＝6我是这样解的我是这样解的二、被除数和除数同时变，且变化相同时，余数的变化例5.计算：650÷40。

利用“商不变的规律”，计算过程中，被除数和除数的末尾同时划掉一个0（如竖式2），也就是同时除以10，商不变，但余数发生变化。