高一下数学期末复习试卷

2022-2023学年广东省梅州市高一（下）期末数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．复数z ＝（1+m ）+（2﹣m ）i （m ∈R ，i 为虚数单位）对应的点在第二象限内，则实数m 的取值范围是（ ） A ．﹣1＜m ＜2B ．m ＜﹣1C ．m ＞2D ．m ＜﹣1或m ＞22．已知|a →|=2，|b →|=3，且a →⊥b →，则|b →−a →|=（ ） A ．1B ．√5C ．√13D ．53．某水果店老板为了了解葡萄的日销售情况，记录了过去10天葡萄的日销售量（单位：kg ），结果如下：43，35，52，65，40，54，49，38，62，57．一次进货太多，水果会变得不新鲜；进货太少，又不能满足顾客的需求，店长希望每天的葡萄尽量新鲜，又能60%地满足顾客的需求（在100天中，大约有60天可以满足顾客的需求），每天大约应进（ ）千克葡萄． A ．49B ．51C ．53D ．554．已知a ，b ，c 是三条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列结论正确的是（ ） A ．若a ⊥b ，a ⊥c ，则b ∥c B ．a ∥α，b ∥α，则a ∥bC ．若a ∥α，b ⊥a ，则b ⊥αD ．若a ⊂α，α∥β，则a ∥β5．十字测天仪广泛应用于欧洲中世纪晚期的航海领域，主要用于测量太阳等星体的方位，便于船员确定位置，如图1所示，十字测天仪由杆AB 和横档CD 构成，并且E 是CD 的中点，横档与杆垂直并且可在杆上滑动，十字测天仪的使用方法如下：如图2，手持十字测天仪，使得眼睛可以从A 点观察，滑动横档CD 使得A ，C 在同一水平面上，并且眼睛恰好能观察到太阳，此时视线恰好经过点D ，DE 的影子恰好是AE ．然后，通过测量AE 的长度，可计算出视线和水平面的夹角∠CAD （称为太阳高度角），最后通过查阅地图来确定船员所在的位置．若在一次测量中，AE ＝60，横档CD 的长度为30，则太阳高度角的正弦值为（ ） A ．417B ．817C ．1317D ．15176．在直角坐标系xOy 中，已知a →=(1，3)，b →=(3，1)，若∀t ∈R ，|a →−λb →|≤|a →−tb →|恒成立，则λ＝（ ）A ．13B ．23C ．25D ．357．如图，三棱台ABC ﹣A 1B 1C 1中，底面ABC 是边长为6的正三角形，且AA 1＝A 1C 1＝C 1C ＝3，平面AA 1C 1C ⊥平面ABC ，则棱BB 1＝（ ）A ．3√62B ．3√3C ．3D ．3√28．在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，b ＝2，C =π3，则c 的取值范围为（ ） A ．(2，2√3)B ．(2√3，+∞)C ．(√3，2√3)D ．（2，+∞）二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

高一数学（理）期末备战试题3一、单选题1．复数5i 2-的共轭复数是（）A ．2i+B ．2i-+C ．2i--D ．2i-2．下列说法正确的是（）A ．直四棱柱是正四棱柱B ．圆锥的顶点与底面圆周上任意一点的连线都是母线C ．两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台D ．以直角三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫做圆锥3．独角兽企业是指成立时间少于10年，估值超过10亿美元且未上市的企业．2021年中国独角兽企业行业分布广泛，覆盖居民生活的各个方面．如图为某研究机构统计的2021年我国独角兽企业的行业分布图（图中的数字表示各行业独角兽企业的数量），其中京、沪、粤三地的独角兽企业数量的总占比为70%．则下列说法不正确的是（）A ．2021年我国独角兽企业共有170家B ．京、沪、粤三地的独角兽企业共有119家C ．独角兽企业最多的三个行业的占比超过一半D ．各行业独角兽企业数量的中位数为134．△ABC 的三内角A 、B 、C 所对边的长分别是a 、b 、c ，设向量()()p a c b q b a c a =+=-- ，，，，若p q∥，则角C 的大小为（）A ．π6B ．π3C ．π2D ．2π35．在下列判断两个平面α与β平行的4个命题中，真命题的个数是（）.（1）α、β都垂直于平面r ，那么α∥β.（2）α、β都平行于平面r ，那么α∥β.（3）α、β都垂直于直线l ，那么α∥β.（4）如果l 、m 是两条异面直线，且l ∥α，m ∥α，l ∥β，m ∥β，那么α∥βA ．0B ．1C ．2D ．36．在ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若cos cos a bA B=，222c a b ab =+-，则ABC ∆是（）A ．钝角三角形B ．等边三角形C ．直角三角形D ．等腰直角三角形7．在ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，3cos 10C =，若92CB CA ⋅= ，则c 的最小值为（）A ．2B ．4C D ．178．《易·系辞上》有“河出图，洛出书，圣人则之”之说，河图、洛书是中华文化、易经八卦和阴阳五行术数之源．如图所示的河图中，白圈为阳数，黑点为阴数．若从这10个数中任取3个数，则这3个数中至少有2个阳数的概率为（）A ．14B ．13C ．12D ．239．已知a 与b 为单位向量，且a ⊥b ，向量c 满足||2b c a --=rr r ，则|c |的可能取值有（）A ．6B ．5C ．4D ．310．已知在正四面体P －ABC 中，D ，E ，F 分别在棱PA ，PB ，PC 上，若PE ＝4，PF ＝PD ＝2，则点P 到平面DEF 的距离为（）A 2B ．42211C D ．311．我国古代数学家刘徽在其《海岛算经》中给出了著名的望海岛问题及二次测望方法：今有望海岛，立两表，齐高三丈，前后相去千步，令后表与前表三相直.从前表却行一百二十三步，人目着地取望岛峰，与表末三合.从后表却行一百二十七步，人目着地取望岛峰，亦与表末三合.问岛高及去表各几何?这一方法领先印度500多年，领先欧洲1300多年，其大意为：测量望海岛PQ 的高度及海岛离岸距离，在海岸边立两根等高标杆,AB CD （,,PQ AB CD 共面，均垂直于地面），使目测点E 与P 、B 共线，目测点F 与P 、D 共线，测出AE CF AC 、、，即可求出岛高PQ 和EQ 的距离（如图）.若,,,AB CD r AE a CF b EF d =====，则PQ =（）A ．drb a-B ．dr b a+C ．dr a b-D ．()d a r b a-+12．如图，在棱长为2的正四面体ABCD 中，点N ，M 分别为ABC 和ABD △的重心，P 为线段CM 上一点．（）A ．AP BP +的最小为2B ．若DP ⊥平面ABC ，则4CP CM= C ．若DP ⊥平面ABC ，则三棱锥P －ABC 外接球的表面积为92πD ．若F 为线段EN 的中点，且DP MF ∥，则25MP MC =二、填空题13．已知向量()2,3a =- ，()3,b m = ，且a b ⊥ ，则m =________.14．在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且(sin sin )()(sin sin )a A C b c B C -=-+，3b =，则ABC 的周长的最大值是______.15．在锐角△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ,若2cos b a a C -=，则ac的取值范围是______．16．已知在三棱锥P －ABC 中，PA ＝4，BC =PB ＝PC ＝3，PA ⊥平面PBC ，则三棱锥P －ABC 的外接球的表面积是________.三、解答题17．根据要求完成下列问题：(1)关于x 的方程2(2i)i 10x a x a +--+=有实根，求实数a 的取值范围；(2)若复数22(2)(23)i z m m m m =+-+--（R m ∈）的共轭复数z 对应的点在第一象限，求实数m 的集合．18．在ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且()2,cos n a c C =- 与(),cos m b B =共线.(1)求B ：(2)若2BD D C =，且1CD =，AD =，求ABC 的面积.19．如图，在四棱锥P －ABCD 中，平面PCD ⊥平面ABCD ，PCD 为等边三角形，112AB AD CD ===，90BAD ADC ∠=∠=︒，M 是棱上一点，且2CM MP = .(1)求证：AP ∥平面MBD ；(2)求二面角M －BD －C 的余弦值.20．第24届冬奥会于2022年2月在北京举行，志愿者的服务工作是冬奥会成功举办的重要保障．某高校承办了北京志愿者选拔的面试工作．现随机抽取了100名候选者的面试成绩，并分成五组：第一组[45,55)，第二组[55,65)，第三组[65,75)，第四组[75,85)，第五组[85,95)，绘制成如图2所示的频率分布直方图．已知第三、四、五组的频率之和为0.7，第一组和第五组的频率相同．(1)求a ，b 的值；(2)估计这100名候选者面试成绩的平均数和第60%分位数（分位数精确到0.1）；(3)在第四、第五两组志愿者中，现采用分层抽样的方法，从中抽取5人，然后再从这5人中选出2人，以确定组长人选，求选出的两人来自不同组的概率．21．如图所示，在平面五边形ABCDE 中，已知120A ∠=︒，90B ∠=︒，120C ∠=︒，90E ∠=︒，3AB AE ==.(1)当2BC =时，求CD ；(2)当五边形ABCDE 的面积S ⎡∈⎣时，求BC 的取值范围.22．已知梯形ABCD 中，224CD CB BA ===，90ABC BCD ∠=∠= ，E 为线段CD 上一点（不在端点），沿线段AE 将ADE 折成AD E ' ，使得平面BD E '⊥平面ABC .(1)当点E 为CD 的中点时，证明：平面AD E '⊥平面CD E '；(2)若AD '与平面BD E '求平面D AE '与平面D BC '所成的锐二面角的余弦值.高一数学（理）期末备战试题3参考答案1．B2．B3．C4．B5．D6．B7．C8．C9．D10．B11．A12．D13．24．915．22⎝⎭16．43π17．(1)1a =±(2)312（，）【解析】(1)设0x 是其实根，代入原方程变形为200021()i 0x ax a x ++-+=，由复数相等的定义，得20002100x ax a x ⎧++=⎨+=⎩，解得1a =±；(2)由题意得22(2)(23)i z m m m m =+----，∴2220(23)0m m m m ⎧+->⎨--->⎩，即2220230m m m m ⎧+->⎨--<⎩，解得312m <<，故实数m 的集合为3(1,)2.18．(1)3π【解析】(1)解：在ABC 中，A B C π++=，因为向量n 与向量m共线，则()2cos cos a c B b C -⋅=⋅，由正弦定理可得()2sin sin cos sin cos A C B C -⋅=⋅，所以，()2sin cos sin sin A B B C A ⋅=+=，A 、()0,B π∈，则sin 0A >，所以，1cos 2B =，因此，3B π=.(2)解：2BD DC =，且1CD =，AD =，2BD ∴=，3BC =，在ABD △中，由余弦定理有2222cos AD AB BD AB BD B =+-⋅⋅，即27422cos3AB AB π=+-⨯，即2230AB AB --=，0AB > ，解得3AB =，所以，11sin 922ABC S AB BC B =⋅⋅=⨯⨯△19．【解析】(1)连接AC ，记AC 与BD 的交点为H ，连接MH .由90BAD ADC ∠=∠=︒，得AB CD ∥，12AB AH CD HC ==，又12PM MC =，则AH PMHC MC=，∵平面PCD ⊥平面ABCD ，平面PCD 平面ABCD ＝CD ，∴PO ⊥平面ABC D.以O 为原点，OB 为x 轴，OC 为y 轴，OP 为x 轴，建立空间直角坐标系，则()0,1,0D -，()0,0,3P ，1230,,33M ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，()1,0,0B ，()0,1,0C ，1231,,33BM ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，()1,1,0BD =-- .设平面BDM 的法向量(),,n x y z = ，则1230330n BM x y z n BD x y ⎧⋅=-++=⎪⎨⎪⋅=--=⎩，取x ＝1得231,1,3n ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭ ，平面BCD 的一个法向量()0,0,1m = .设二面角M －BD －C 的平面角为θ，则10cos 5m n m nθ⋅==⋅ .∴二面角M －BD －C 的余弦值为105.20．(1)0.005,0.025a b ==；(2)估计平均数为69.5，第60%分位数为71.7；(3)25.【解析】(1)()()20.0450.0201010.0450.020100.7a b a ⎧+++⨯=⎪⎨++⨯=⎪⎩，解得：0.0050.025a b =⎧⎨=⎩，所以0.005,0.025a b ==；(2)500.00510600.02510700.04510800.02010900.0051069.5⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=，故估计这100名候选者面试成绩的平均数为69.5；前两组志愿者的频率为()0.0050.025100.30.6+⨯=<，前三组志愿者的频率为()0.0050.0250.045100.750.6++⨯=>，所以第60%分位数落在第三组志愿者中，设第60%分位数为x ，则()650.0450.60.3x -⨯=-，解得：71.7x ≈，故第60%分位数为71.7(3)第四、第五两组志愿者的频率比为4:1，故按照分层抽样抽得的第四组志愿者人数为4，分别设为a b c d ,,,，第五组志愿者人数为1，设为e ，这5人中选出2人，所有情况有()()()()()()()()()(),,,,,,,,,,,,,,,,,,,a b a c a d a e b c b d b e c d c e d e ，共有10种情况，其中选出的两人来自不同组的有()()()(),,,,,,,a e b e c e d e 共4种情况，故选出的两人来自不同组的概率为42105=21．(1)332；(2))3,33⎡⎣.120//901203060DEB CBE ∠=∠=︒，所以在ABE △中3AB AE ==，由余弦定理得2222cos12027BE AE AB AE AB =+-⋅︒=，∴33BE =，过C 点作CM BE ⊥于M ，可得33cos604BM BC =⋅︒=，∴3322CD BE BM =-=；(2)由193sin12024ABE S AB AE =⋅⋅⋅︒= ，又五边形ABCDE 的面积63,93S ⎡⎤∈⎣⎦，∴153273,44BCDE S ⎡⎫∈⎪⎢⎪⎣⎭，设BC x =，则()()1133333222BCDE S BE CD CM x x=⨯+⨯=⨯+-⨯，整理得2156327x x ≤-<，解得333x ≤<或3353x <≤，又2330DC BE BM x =-=->，即33x <，∴BC 的取值范围是)3,33⎡⎣.22．【解析】(1)当点E 为CD 的中点时，由题得AE CD ⊥，故AE ED ⊥'，AE EC ⊥， ED EC E ⋂='且都在平面CD E '中，故AE ⊥平面 CD E '.又AE ⊂平面AD E '，故平面AD E '⊥平面CD E'(2)如图过A 作AO BE ⊥交BE 于点O ，连D O '，则平面 BD E '⊥平面 ABC ，平面 BD E '⋂平面 ABC BE =，AO BE ⊥，AO ⊂平面 ABC ，故AO ⊥平面BD E'所以D O '是直线AD '在平面BD E '上的投影直线AD '与平面BD E '所成角即为直线AD '与直线D O '所成角，即为AD O∠'10sin 5AD O ∠'∴=，又22AD AD =='，∴在Rt AD O ' 中，45230,55AO D O '==，∴在Rt ABO 中，25sin 5ABO ∠=，则tan tan 2BEC ABO ∠∠==251,5CE BO ∴==5BE ∴=，355EO =352303555cos cos 3D EB D EO ∠∠''∴==2BD ∴'=，则BD BE'⊥所以平面 BD E '⊥平面ABC ，平面BD E 'I 平面ABC BE =，BD BE '⊥，BD '⊂平面BD E '，故BD '⊥平面ABC 法1：由上易证AB ⊥平面,BCD CE '⊥平面BCD '所以BCD ' 是AED '△的投影三角形设平面D AE '与平面D BC '所成的锐二面角为θ则2cos 3BCD AED S S θ''== 法2：分别取AD AB '､的中点M N ､，连接,,MN EM EN 易证平面EMN ∥平面CD B'所以平面D AE '与平面D BC '所成的锐二面角即为二面角A EM N --所成角由上可得AN ⊥平面EMN ，且可得EMN 中，1,5,2MN EM EN ===AEM △中，2,5,5AM EM AE ===过N 作NH EM ⊥交EM 于点H ，连AH 由AN ⊥平面EMN ，且NH ⊂面EMN所以AN EM ⊥又NH EM ⊥，可证EM ⊥面AHN 所以AH EM⊥所以AHN ∠为二面角A EM N --的平面角在Rt AHN 中，2535,1,55HN AN AH ===所以2cos 3HN AH θ==。

2022-2023学年北京市海淀区高一（下）期末数学试卷一、选选题共10小题，每小题4分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1．复数i •（3+i ）的虚部是（ ） A ．1B ．3C ．﹣1D ．﹣32．已知向量a →=（﹣1，1），则下列向量中与a →平行的单位向量是（ ） A ．(√22，−√22) B ．(√22，√22)C ．（1，﹣1）D ．（1，1）3．若tanα=−512，cos α＞0，则sin α＝（ ） A ．1213B ．513C ．−1213D ．−5134．已知tan(α−π4)=2，则tan α的值为（ ） A ．3B ．1C ．﹣3D ．﹣15．下列函数中，既是偶函数又是周期为π的函数为（ ） A ．y ＝sin xB ．y ＝cos xC ．y ＝sin2xD ．y ＝cos2x6．已知向量a →=(1，√3)，向量b →为单位向量，且a →⋅b →=1，则|2b →−a →|=（ ） A ．√2B ．√3C ．2D ．37．函数f(x)=sinx +sin(x +π2)的最大值为（ ） A ．1B ．√2C ．√3D ．28．在△ABC 中，“sin A ＝sin B ”是“A ＝B ”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件9．已知|AB →|=1，|AC →|=2，AD →⋅AC →=4，则|BD →|的最小值为（ ） A ．1B ．√2C ．√3D ．210．海洋中的波动是海水的重要运动形式之一．在外力的作用下，海水质点离开其平衡位置做周期性或准周期性的运动，由于流体的连续性，必然带动其邻近质点，从而导致其运动状态在空间的传播．（节选自《海洋科学导论》冯士筰李凤岐李少菁主编高等教育出版社）某校海洋研学小组的同学为了研究海水质点在竖直方向上的运动情况，通过数据采集和分析，同学们发现海水质点在某一时间段相对于海平面的位移y （米）与时间t （秒）的关系近似满足y ＝sin （ωt +φ），t ∈[0，8]，其中常数ω＞0，|φ|＜π．经测定，在t ＝2秒时该质点第一次到达波峰，在t ＝8秒时该质点第三次到达波峰．在t ∈[0，8]时，该质点相对于海平面的位移不低于0.5米的总时长为（ ） A ．32秒B ．2秒C ．52秒D ．3秒二、填空题共5小题，每小题4分，共20分。

武汉2023-2024学年度下学期期末考试高一数学试卷（答案在最后）命题教师：考试时间：2024年7月1日考试时长：120分钟试卷满分：150分一、选择题：本题共8小题，每题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若复数z 满足(2i)3i z +=-，则z =（）A.1i +B.1i- C.1i-+ D.1i--【答案】A 【解析】【分析】先利用复数的除法运算法则化简得到复数z ，再根据共轭复数的概念即可求解.【详解】因为(2i)3i z +=-，所以3i (3i)(2i)1i 2i 41z ---===-++，所以1i z =+.故选：A2.△ABC 中，60A =︒，BC =AC =C 的大小为（）A.75︒B.45︒C.135︒D.45︒或135︒【答案】A 【解析】【分析】利用正弦定理可得sin B =45B = ，由三角形内角和即可求解.【详解】由正弦定理可得sin sin BC AC A B=,故32sin 2B ==,由于60A =︒，故0120B ︒︒<<,故45B = ，18075C A B =--= ,故选：A3.已知数据1x ，2x ，L ，9x 的方差为25，则数据131x +，231x +，L ，931x +的标准差为（）A.25B.75C.15D.【答案】C 【解析】【分析】根据方差的性质求出新数据的方差，进而计算标准差即可.【详解】因为数据1x ，2x ，L ，9x 的方差为25，所以另一组数据131x +，231x +，L ，931x +的方差为2325225⨯=，15=.故选：C4.在正方形ABCD 中，M 是BC 的中点．若AC AM BD λμ=+，则λμ+的值为（）A.43B.53C.158D.2【答案】B 【解析】【分析】建立平面直角坐标系，利用向量的坐标运算求解作答.【详解】在正方形ABCD 中，以点A 为原点，直线AB ，AD 分别为x ，y 轴建立平面直角坐标系，如图，令||2AB =，则(2,0),(2,2),(0,2),(2,1)B C D M ，(2,2),(2,1),(2,2)AC AM BD ===-，(22,2)AM BD λμλμλμ+=-+ ，因AC AM BD λμ=+ ，于是得22222λμλμ-=⎧⎨+=⎩，解得41,33λμ==，53λμ+=所以λμ+的值为53.故选：B5.正三棱柱111ABC A B C -的底面边长为2D 为BC 中点，则三棱锥11A B DC -的体积为A.3B.32C.1D.32【答案】C 【解析】【详解】试题分析：如下图所示，连接AD ，因为ABC ∆是正三角形，且D 为BC 中点，则AD BC ⊥，又因为1BB ⊥面ABC ，故1BB AD ⊥，且1BB BC B ⋂=，所以AD ⊥面11BCC B ，所以AD 是三棱锥11A B DC -的高，所以11111133133A B DC B DC V S AD -∆=⋅==．考点：1、直线和平面垂直的判断和性质；2、三棱锥体积．6.在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos cos sin sin()sin B C AA C b c C ⎛⎫++= ⎪⎝⎭，3B π=，则a c +的取值范围是（）A.332⎛⎝ B.332⎛⎝ C.332⎣ D.332⎡⎢⎣【答案】A 【解析】【分析】利用三角恒等变换及正弦定理将cos cos sin sin()sin B C AA C bc C ⎛⎫++=⎪⎝⎭进行化简，可求出b 的值，再利用边化角将a c +化成角，然后利用辅助角公式及角的范围即可得到答案.【详解】由题知cos cos sin sin()sin B C AA C bc C ⎛⎫++=⎪⎝⎭，3B π=∴cos cos sin sin sin B C AB bc C ⎛⎫+=⎪⎝⎭即cos cos 3sin B C Ab c C+=由正弦定理化简得∴sin cos cos 3sin 3A cB bC C ⋅+⋅==∴23sin sin cos cos sin 3AC B C B +=∴23sin sin()sin 3AB C A +==∴2b =3B π=∴1sin sin sin a b cA B C===∴23sin sin sin sin()sin cos )3226a c A C A A A A A ππ+=+=+-=+=+ 203A π<<∴5666A πππ<+<∴)26A π<+≤即2a c <+≤故选：A .【点睛】方法点睛：边角互化的方法（1）边化角：利用正弦定理2sin sin sin a b cr A B C===（r 为ABC 外接圆半径）得2sin a r A =，2sin b r B =，2sin c r C =；（2）角化边：①利用正弦定理：sin 2aA r=，sin 2b B r =，sin 2c C r=②利用余弦定理：222cos 2b c a A bc+-=7.设O 为△ABC 的外心，若2AO AB AC =+，则sin BAC ∠的值为（）A.4B.4C.4-D.4【答案】D 【解析】【分析】设ABC 的外接圆半径为R ，由已知条件可得,2AC BO = ，所以12AC R =，且//AC BO ，取AC的中点M ，连接OM 可得π2BOM ∠=，计算cos sin BOC MOC ∠=-∠的值，再由余弦定理求出BC ，在ABC 中，由正弦定理即可求解.【详解】设ABC 的外接圆半径为R ，因为2AO AB AC =+ ,2AC AO AB BO =-=，所以1122AC BO R ==，且//AC BO ，取AC 的中点M ，连接OM ，则OM AC ⊥，因为//AC BO ，所以OM BO ⊥，即π2BOM ∠=，所以11π124cos cos sin 24AC RMC BOC MOC MOC OC OB R ⎛⎫∠=+∠=-∠=-=-=-=- ⎪⎝⎭,在BOC中由余弦定理可得：2BC R ===，在ABC中，由正弦定理得：2sin 224RBCBAC RR ∠===.故选：D8.高为8的圆台内有一个半径为2的球1O ，球心1O 在圆台的轴上，球1O 与圆台的上底面、侧面都相切.圆台内可再放入一个半径为3的球2O ，使得球2O 与球1O 、圆台的下底面及侧面都只有一个公共点.除球2O ，圆台内最多还能放入半径为3的球的个数是（）A.1 B.2C.3D.4【答案】B 【解析】【详解】作过2O 的圆台的轴截面，如图1.再作过2O 与圆台的轴垂直的截面，过截面与圆台的轴交于圆O .由图1.易求得24OO =.图1这个问题等价于：在以O 为圆心、4为半径的圆上，除2O 外最多还可放几个点，使以这些点及2O 为圆心、3为半径的圆彼此至多有一个公共点.由图2，3sin45sin sin604θ︒<=︒，有4560θ︒<<︒.图2所以，最多还可以放入36013122θ︒⎡⎤-=-=⎢⎣⎦个点，满足上述要求.因此，圆台内最多还可以放入半径为3的球2个.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知某地区有小学生120000人，初中生75000人，高中生55000人，当地教育部门为了了解本地区中小学生的近视率，按小学生、初中生、高中生进行分层抽样，抽取一个容量为2000的样本，得到小学生，初中生，高中生的近视率分别为30%，70%，80%.下列说法中正确的有（）A.从高中生中抽取了460人B.每名学生被抽到的概率为1125C.估计该地区中小学生总体的平均近视率为60%D.估计高中学生的近视人数约为44000【答案】BD 【解析】【分析】根据分层抽样、古典概型、频率公式等知识对选项进行分析，从而确定正确选项.【详解】高中生抽取5500020004401200007500055000⨯=++人，A 选项错误.每名学生被抽到的概率为200011200007500055000125=++，B 选项正确.学生总人数为1200007500055000250000++=，估计该地区中小学生总体的平均近视率为1200007500055000132.50.30.70.80.53250000250000250000250⨯+⨯+⨯==，C 选项错误.高中学生近视人数约为550000.844000⨯=人，D 选项正确.故选：BD10.G 是ABC 的重心，2,4,120,AB AC CAB P ∠=== 是ABC 所在平面内的一点，则下列结论正确的是（）A.0GA GB GC ++= B.AB 在AC上的投影向量等于12- AC .C.3AG =D.()AP BP CP ⋅+ 的最小值为32-【答案】ACD 【解析】【分析】根据向量的线性运算，并结合重心的性质，即可判断A ，根据投影向量的定义，判断B ；根据向量数量积公式，以及重心的性质，判断C ；根据向量数量积的运算率，结合图形转化，即可判断D.【详解】A.以,GB GC 为邻边作平行四边形GBDC ，,GD BC 交于点O ，O 是BC 的中点，因为G 是ABC 的重心，所以,,A G O 三点共线，且2AG GO =，所以2GB GC GD GO +== ，2GA AG GO =-=- ，所以0GA GB GC ++=，故A 正确；B.AB 在AC 上的投影向量等于1cos1204AC AB AC AC ⨯=-，故B 错误；C.如图，因为()12AO AB AC =+ ，所以()222124AO AB AC AB AC =++⋅,即211416224342AO ⎛⎫=+-⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭，即3AO = 因为点G 是ABC 的重心，22333AG AO ==，故C 正确；D.取BC 的中点O ，连结,PO PA ，取AO 中点M ，则2PA PO PM += ，()12AO AB AC =+，()()2221124816344AO AB AB AC AC =+⋅+=⨯-+= ,则()()()()221224AP BP CP PA PB PC PA PO PA PO PA PO ⎡⎤⋅+=⋅+=⋅=⨯+--⎢⎥⎣⎦，222132222PM OA PM =-=- ,显然当,P M 重合时，20PM = ，()AP BP CP ⋅+ 取最小值32-，故D 正确.故选：ACD【点睛】关键点点睛：本题的关键是对于重心性质的应用，以及向量的转化.11.如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，O 为正方体的中心，M 为1DD 的中点，F 为侧面正方形11AA D D 内一动点，且满足1B F ∥平面1BC M ，则（）A.三棱锥1D DCB -的外接球表面积为12πB.动点F 的轨迹的线段为22C.三棱锥1F BC M -的体积为43D.若过A ，M ，1C 三点作正方体的截面Ω，Q 为截面Ω上一点，则线段1AQ 长度的取值范围为45,225⎡⎢⎣⎦【答案】AC 【解析】【分析】选项A ：三棱锥1D DCB -的外接球即为正方体的外接球，结合正方体的外接球分析；选项B ：分别取1AA ，11A D 的中点H ，G ，连接1B G ，GH ，1HB ，1AD ；证明平面1B GH ∥平面1BC M ，从而得到点F 的轨迹为线段GH ；选项C ：根据选项B 可得出GH ∥平面1BC M ，从而得到点F 到平面1BC M 的距离为H 到平面1BC M 的距离，再结合线面垂直及等体积法，利用四棱锥的体积求解所求三棱锥的体积；选项D ：设N 为1BB 的中点，从而根据面面平行的性质定理可得到截面Ω即为面1AMC N ，从而线段1AQ 长度的最大值为线段11A C 的长，最小值为四棱锥11A AMC N -以1A 为顶点的高.【详解】对于A ：由题意可知：三棱锥1D DCB -的外接球即为正方体的外接球，可知正方体的外接球的半径3R =所以三棱锥1D DCB -的外接球表面积为24π12πR =，故A 正确；对于B ：如图分别取1AA ，11A D 的中点H ，G ，连接1B G ，GH ，1HB ，1AD ．由正方体的性质可得11B H C M ∥，且1B H ⊂平面1B GH ，1C M ⊄平面1B GH ，所以1C M //平面1B GH ，同理可得：1BC //平面1B GH ，且111BC C M C ⋂=，11,BC C M ⊂平面1BC M ，所以平面1B GH ∥平面1BC M ，而1B F ∥平面1BC M ，所以1B F ⊂平面1B GH ，所以点F 的轨迹为线段GH ，其长度为12222⨯=，故B 错误；对于C ：由选项B 可知，点F 的轨迹为线段GH ，因为GH ∥平面1BC M ，则点F 到平面1BC M 的距离为H 到平面1BC M 的距离，过点B 作1BP B H ⊥，因为11B C ⊥平面11ABB A ，BP ⊂平面11ABB A ，所以11B C BP ⊥，又1111⋂=B C B H B ，111,B C B H ⊂平面11B C MH ，所以BP ⊥平面11B C MH ，所以1111111111114252232335F BC M H BC M B C MH B B C MH B C MHV V V V S BP ----====⨯=⨯⨯⨯⨯，故C 正确；对于D ：如图，设平面Ω与平面11AA B B 交于AN ，N 在1BB 上，因为截面Ω⋂平面11AA D D AM =，平面11AA D D ∥平面11BB C C ，所以1AM C N ∥，同理可证1AN C M ∥，所以截面1AMC N 为平行四边形，所以点N 为1BB 的中点，在四棱锥11A AMC N -中，侧棱11A C 最长，且11A C =设棱锥11A AMC N -的高为h ，因为1AM C M ==1AMC N 为菱形，所以1AMC 的边1AC ，又1AC =则112AMC S =⨯=△1111111142223323C AA M AA M V SD C -=⋅=⨯⨯⨯⨯=△，所以1111114333A AMC AMC C AA M V S h V --=⋅===△，解得3h =.综上，可知1AQ 长度的取值范围是,3⎡⎢⎣，故D 错误.故选：AC【点睛】关键点睛：由面面平行的性质得到动点的轨迹，再由锥体的体积公式即可判断C ，D 选项关键是找到临界点，求出临界值.三、填空题：本小题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知复数()221i i()z m m m =-++⋅∈R 表示纯虚数，则m =________．【答案】1-【解析】【分析】根据2i 1=-和复数的分类要求得出参数值；【详解】因为复数()()2221ii=11i()z m m mm m =-++⋅-+-⋅∈R 表示纯虚数，所以210,10,m m ⎧-=⎨-≠⎩解得1m =-，故答案为：1-.13.定义集合(){},02024,03,,Z |A x y x y x y =≤≤≤≤∈，则从A 中任选一个元素()00,x y ，它满足00124x y -+-<的概率是________．【答案】42025【解析】【分析】利用列举法求解符合条件的()00,x y ，即可利用古典概型的概率公式求解.【详解】当0y =时，02024,Z x x ≤≤∈，有2025种选择，当1,2,3y =时，02024,Z x x ≤≤∈，分别有2025种选择，因此从A 中任选一个元素()00,x y ，共有202548100⨯=种选择，若00y =，则022y -=，此时由00124x y -+-<得012x -<，此时0x 可取0，1，2，若01y =或3，则021y -=，此时由00124x y -+-<得013x -<，此时0x 可取0，1，2，3，若02y =，则020y -=，此时由00124x y -+-<得014x -<，此时0x 可取0，1，2，3，4，综上可得满足00124x y -+-<的共有342516+⨯+=种情况，故概率为16481002025=故答案为：4202514.在ABC 和AEF △中，B 是EF的中点，1,6,AB EF BC CA ====，若2AB AE AC AF ⋅+⋅= ，则EF 与BC的夹角的余弦值等于__________.【答案】23【解析】【分析】【详解】由题意有：()()2AB AE AC AF AB AB BE AC AB BF ⋅+⋅=⋅++⋅+=,即22AB AB BE AC AB AC BF +⋅+⋅+⋅= ，而21AB =，据此可得：11,AC AB BE BF ⋅=⨯-=- ，即()112,2BF AC AB BF BC +⋅--=∴⋅= ，设EF 与BC 的夹角为θ，则2cos 2,cos 3BF BC θθ⨯⨯=∴= .四、解答题：本小题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.某学校为了解本校历史、物理方向学生的学业水平模拟测试数学成绩情况，分别从物理方向的学生中随机抽取60人的成绩得到样本甲，从历史方向的学生中随机抽取n 人的成绩得到样本乙，根据两个样本数据分别得到如下直方图：已知乙样本中数据在[70,80)的有10个．（1）求n 和乙样本直方图中a 的值；（2）试估计该校物理方向的学生本次模拟测试数学成绩的平均值和历史方向的学生本次模拟测试数学成绩的第75百位数（同一组中的数据用该组区间中点值为代表）；（3）采用分层抽样的方法从甲样本数据中分数在[60,70)和[70,80)的学生中抽取6人，并从这6人中任取2人，求这两人分数都在[70,80)中的概率．【答案】（1）50n =，0.018a =；（2）物理方向的学生本次模拟测试数学成绩的平均值为81.5，历史方向的学生本次模拟测试数学成绩的第75百位数为88.25；（3）25【解析】【分析】（1）由频率分布直方图得乙样本中数据在[70,80)的频率为0.2，这个组学生有10人，由此能求出n ，由乙样本数据直方图能求出a ；（2）利用甲、乙样本数据频率分布直方图能估计估计该校物理方向的学生本次模拟测试数学成绩的平均值和历史方向的学生本次模拟测试数学成绩的第75百位数；（3）由频率分布直方图可知从分数在[60,70)和[70,80)的学生中分别抽取2人和4人，将从分数在[60,70)中抽取的2名学生分别记为1A ，2A ，从分数在[70,80)中抽取的4名学生分别记为1b ，2b ，3b ，4b ，利用列举法能求出这两人分数都在[70,80)中的概率．【小问1详解】解：由直方图可知，乙样本中数据在[70,80)的频率为0.020100.20⨯=，则100.20n=，解得50n =；由乙样本数据直方图可知，(0.0060.0160.0200.040)101a ++++⨯=，解得0.018a =；【小问2详解】解：甲样本数据的平均值估计值为(550.005650.010750.020850.045950.020)1081.5⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯=，乙样本数据直方图中前3组的频率之和为(0.0060.0160.02)100.420.75++⨯=<，前4组的频率之和为(0.0060.0160.020.04)100.820.75+++⨯=>，所以乙样本数据的第75百位数在第4组，设第75百位数为x ，(80)0.040.420.75x -⨯+=，解得88.25x =，所以乙样本数据的第75百位数为88.25，即物理方向的学生本次模拟测试数学成绩的平均值为81.5，历史方向的学生本次模拟测试数学成绩的第75百位数为88.25；【小问3详解】解：由频率分布直方图可知从分数在[60,70)和[70,80)的学生中分别抽取2人和4人，将从分数在[60,70)中抽取的2名学生分别记为1A ，2A ，从分数在[70,80)中抽取的4名学生分别记为1b ，2b ，3b ，4b ，则从这6人中随机抽取2人的基本事件有：12(,)A A ，11(,)A b ，12(,)A b ，13(,)A b ，14(,)A b ，21(,)A b ，22(,)A b ，23(,)A b ，24(,)A b ，12()b b ,，13(,)b b ，14(,)b b ，23(,)b b ，24(,)b b ，34(,)b b 共15个，所抽取的两人分数都在[70,80)中的基本事件有6个，即这两人分数都在[70,80)中的概率为62155=．16.（建立空间直角坐标系答题不得分）如图，在四棱锥11A BCC B -中，平面ABC ⊥平面11BCC B ，△ABC 是正三角形，四边形11BCC B 是正方形，D 是AC 的中点．（1）求证：1//AB 平面1BDC ；（2）求直线BC 和平面1BDC 所成角的正弦值的大小．【答案】（1）证明见解析（2）55【解析】【分析】（1）连接1B C ，交1BC 于点O ，连接OD ，由中位线的性质，可知1//OD AB ，再由线面平行的判定定理，得证；（2）过点C 作1CE C D ⊥于点E ，连接BE ，可证CE ⊥平面1BDC ，从而知CBE ∠即为所求，再结合等面积法与三角函数的定义，得解．【小问1详解】连接1B C ，交1BC 于点O ，连接OD ，则O 为1B C 的中点，因为D 是AC 的中点，所以1//OD AB ，又OD ⊂平面1BDC ，1AB ⊄平面1BDC ，所以1AB ∥平面1BDC ．【小问2详解】过点C 作1CE C D ⊥于点E ，连接BE ，因为四边形11BCC B 是正方形，所以1BC CC ⊥，又平面ABC⊥平面11BCC B ，1CC ⊂平面11BCC B ，平面ABC ⋂平面11BCC B BC =，所以1CC ⊥平面ABC ，因为BD ⊂平面ABC ，所以1CC BD ⊥，因为ABC 是正三角形，且D 是AC 的中点，所以BD AC ⊥，又1CC AC C =I ，1,⊂CC AC 平面1ACC ，所以BD ⊥平面1ACC ，因为CE ⊂平面1ACC ，所以BD CE ⊥，又1C D BD D =I ，1,C D BD ⊂平面1BDC ，所以CE ⊥平面1BDC ，所以CBE ∠就是直线BC 和平面1BDC 所成角，设2BC =，在1Rt DCC 中，11CE DC CD CC ⋅=⋅，所以5CE ==，在Rt BCE 中，5sin 25CE CBE BC ∠===.17.甲、乙两人进行乒乓球对抗赛，每局依次轮流发球，连续赢2个球者获胜，且比赛结束，通过分析甲、乙过去比赛的数据知，甲发球甲赢的概率为23，乙发球甲赢的概率为25，不同球的结果互不影响，已知某局甲先发球.（1）求该局打4个球甲赢的概率；（2）求该局打5个球结束的概率.【答案】（1）875（2）44675【解析】【分析】（1）先设甲发球甲赢为事件A ，乙发球甲赢为事件B ，然后分析这4个球的发球者及输赢者，即可得到所求事件的构成，利用相互独立事件的概率计算公式即可求解；（2）先将所求事件分成甲赢与乙赢这两个互斥事件，再分析各事件的构成，利用互斥事件和相互独立事件的概率计算公式即可求得概率.【小问1详解】设甲发球甲赢为事件A ，乙发球甲赢为事件B ，该局打4个球甲赢为事件C ，由题知，2()3P A =，2()5P B =，则C ABAB =，所以23228()()()(()()353575P C P ABAB P A P B P A P B ===⨯⨯⨯=，所以该局打4个球甲赢的概率为875.【小问2详解】设该局打5个球结束时甲赢为事件D ，乙赢为事件E ，打5个球结束为事件F ，易知D ，E 为互斥事件，D ABABA =，E ABABA =，F D E =⋃，所以()()()()()()()P D P ABABA P A P B P A P B P A ==2222281135353675⎛⎫⎛⎫=-⨯⨯-⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()()()()()()()P E P ABABA P A P B P A P B P A ==2222241113535375⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯-⨯⨯-⨯-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以8444()()()()67575675P F P D E P D P E =⋃=+=+=，所以该局打5个球结束的概率为44675.18.在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，22cos a c b C -=.（1）求B ；（2）若点D 为边BC 的中点，点E ，F 分别在边AB ，AC （包括顶点）上，π6EDF ∠=，2b c ==.设BDE α∠=，将DEF 的面积S 表示为α的函数，并求S 的取值范围.【答案】（1）π3（2）3ππ,π328sin 23S αα=≤≤⎛⎫- ⎪⎝⎭，3,84S ⎡∈⎢⎣⎦【解析】【分析】（1）由题干及余弦定理可得222a c b ac +-=，再根据余弦定理即可求解；（2）由题可得ABC 为等边三角形，ππ32α≤≤，在BDE 与CDF 中，分别由正弦定理求出DE ，DF ，根据三角形面积公式可得3ππ,2ππ3216sin sin 36S ααα=≤≤⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由三角恒等变换及正弦函数的图象与性质即可求解.【小问1详解】因为22cos a c b C -=，所以222222222a b c a b c a c b ab a +-+--=⋅=，即222a cb ac +-=，所以2221cos 222a cb ac B ac ac +-===.因为()0,πB ∈，所以π3B =.【小问2详解】由π3B=及2b c==可知ABC为等边三角形.又因为π6EDF∠=，BDEα∠=，所以ππ32α≤≤.在BDE中，2π3BEDα∠=-，由正弦定理可得sin sinDE BDB BED∠=，即32π2sin3DEα=⎛⎫-⎪⎝⎭.在CDF中，π6CFDα∠=-，由正弦定理可得sin sinDF CDC CFD∠=，即π2sin6DFα=⎛⎫-⎪⎝⎭.所以31π3ππsin,2ππ2ππ8632 sin sin16sin sin3636Sααααα=⨯⨯=≤≤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫----⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.因为2ππ11sin sin cos sin sin cos362222αααααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫--=+-⎪⎪⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭2213313sin cos cos sin sin2cos224444αααααα=-+=-1πsin223α⎛⎫=-⎪⎝⎭，因为ππ32α≤≤，所以ππ2π2,333α⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，所以π3sin2,132α⎤⎛⎫-∈⎥⎪⎝⎭⎣⎦，所以1π1sin2,2342α⎤⎛⎫-∈⎥⎪⎝⎭⎣⎦.所以2ππ16sin sin36αα⎛⎫⎛⎫⎡⎤--∈⎪ ⎪⎣⎦⎝⎭⎝⎭，所以33,2ππ8416sin sin36αα⎡∈⎢⎛⎫⎛⎫⎣⎦--⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以333,2ππ8416sin sin36Sαα⎡=∈⎢⎛⎫⎛⎫⎣⎦--⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.所以S 的取值范围为3,84⎡⎢⎣⎦.19.（建立空间直角坐标系答题不得分）如图，在三棱柱ADP BCQ -中，侧面ABCD 为矩形．（1）若PD⊥面ABCD ，22PD AD CD ==，2NC PN =，求证：DN BN ⊥；（2）若二面角Q BC D --的大小为θ，π2π,43θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，且2cos 2AD AB θ=⋅，设直线BD 和平面QCB 所成角为α，求sin α的最大值．【答案】（1）证明见解析（2）12-【解析】【分析】（1）问题转化为证明DN⊥平面BCP ，即证明ND BC ⊥和DN PC ⊥，ND BC ⊥转化为证明BC ⊥平面PQCD ，而ND BC ⊥则只需证明PDN PCD△△（2）作出二面角Q BC D --的平面角以及直线BD 与平面QCB 所成的角，列出sin α的表达式，最后把问题转化为函数最值问题.【小问1详解】因为PD⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，所以PD BC ⊥，又CD BC ⊥，PD CD D ⋂=，,PD CD ⊂平面PCD ，所以BC ⊥平面PQCD ，又ND ⊂平面PQCD ，所以ND BC ⊥，在Rt PCD 中，2PD ==，则CD =3PC =，所以2NC =，1PN =，由PN PDND PC=，DPN CPD ∠=∠，所以PDN PCD △△，所以DN PC ⊥，又因为ND BC ⊥，PC BC C ⋂=，,PC BC ⊂平面BCP ，所以DN⊥平面BCP ，又因为BN ⊂平面BCP ，所以DN BN ⊥.【小问2详解】在平面QBC 中，过点C 作CF BC ⊥，因为ABCD 为矩形，所以BC CD ⊥，所以DCF ∠为二面角Q BC D --的平面角，且DCF θ∠=，又⋂=CF CD C ，,CD CF ⊂平面CDF ，所以BC ⊥平面CDF ，在平面CDF 中，过点D 作DG FC ⊥，垂足为G ，连接BG ，因为BC ⊥平面CDF ，DG ⊂平面CDF ，所以DG BC ⊥，又BC FC C ⋂=，,BC FC ⊂平面BCQ ，所以DG ⊥平面BCQ ，所以DBG ∠为直线BD 与平面QCB 所成的角，即DBG α∠=，sin DG DC θ=，又因为2cos 2AD AB θ=⋅，所以222sin 32cos 14cos 2DGBDAB AD αθθ===+++π2π,43θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦可得12cos ,22θ⎡∈-⎢⎣⎦，21cos 0,2θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，设32cos t θ=+，2,32t ⎤∈+⎥⎦，则23cos 2t θ-=，()2223sin 1cos 14t θθ-=-=-，所以()2222563125651sin 14222t t t t α⎛⎫-++ ⎪--+⎝⎭=-=≤=，当且仅当25t =时等号，所以sin α51-.【点睛】关键点点睛：本题的关键是作出二面角Q BC D --的平面角以及直线BD 与平面QCB 所成的角，然后写出sin α的表达式，最后求函数最值问题利用了换元法和基本不等式.。

2022-2023学年北京市东城区高一（下）期末数学试卷一、选择题共10小题，每小题3分，共30分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1．已知向量a →=（m ，1），b →=（﹣1，2）．若a →∥b →，则m ＝（ ） A ．2B ．1C ．﹣1D ．−122．复数z 满足i •z ＝1﹣2i ，则z ＝（ ） A ．2﹣iB ．﹣2﹣iC ．1+2iD ．1﹣2i3．某中学为了解在校高中学生的身高情况，在高中三个年级各随机抽取了10%的学生，并分别计算了三个年级抽取学生的平均身高，数据如表：则该校高中学生的平均身高可估计为（ ） A ．3.6x +3.4y +3.0z B ．x+y+z 2 C ．0.36x +0.34y +0.30zD ．x+y+z34．已知圆锥SO 的轴截面是一个边长为2的等边三角形，则圆锥SO 的体积为（ ） A ．2πB ．√3πC ．πD ．√33π 5．设a ，b 为实数，若a+i b−2i=1+i ，则（ ）A ．a ＝1，b ＝﹣1B ．a ＝5，b ＝3C ．a ＝1，b ＝2D ．a ＝1，b ＝36．将函数y ＝cos x ﹣sin x 的图象向左平移π2个单位，所得图象的函数解析式为（ ） A ．y =−√2sinx B ．y =√2cosx C ．y ＝﹣sin x ﹣cos xD ．y ＝cos x +sin x7．已知长方形墙ACFE 把地面上B ，D 两点隔开，该墙与地面垂直，长10米，高3米．已测得AB ＝6米，BC ＝8米．现欲通过计算，能唯一求得B ，D 两点之间的距离，需要进一步测量的几何量可以为（ ）A ．点D 到AC 的距离B ．CD 长度和DF 长度C ．∠ACB 和∠ADCD ．CD 长度和∠ACD8．设a →，b →为非零向量，|a →|=|b →|，则“a →，b →夹角为钝角”是“|a →+b →|＜√2|a →|”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件9．如图，直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，AB ⊥BC ，AA 1＝AB ，P 为棱A 1B 1的中点，Q 为线段A 1C 上的动点．以下结论中正确的是（ ）A ．存在点Q ，使BQ ∥ACB ．不存在点Q ，使BQ ⊥B 1C 1C ．对任意点Q ，都有BQ ⊥AB 1D ．存在点Q ，使BQ ∥平面PCC 110．如图，质点P 在以坐标原点O 为圆心，半径为1的圆上逆时针做匀速圆周运动，P 的角速度大小为2rad /s ，起点P 0为射线y ＝﹣x （x ≥0）与⊙O 的交点．则当0≤t ≤12时，动点P 的纵坐标y 关于t （单位：s ）的函数的单调递增区间是（ ）A ．[0，π2]B ．[7π8，11π8] C ．[11π8，15π8] D ．[3π4，11π4] 二、填空题共5小题，每小题4分，共20分。

2022-2023学年北京市西城区高一（下）期末数学试卷一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1．已知复数z 满足z ＝1+i ，则在复平面内z 对应的点在（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．下列函数中，最小正周期为π且是偶函数的是（ ） A ．y =sin(x +π4) B ．y ＝tan x C ．y ＝cos2xD ．y ＝sin2x3．在△ABC 中，2a ＝b ，C ＝60°，c =√3，则a ＝（ ） A ．12B ．1C ．√3D ．2√34．某城市—年中12个月的月平均气温y （单位℃）与月份x （x ＝1，2，3，…，12）的关系可近似地用三角函数y =a +Asin[π6(x −3)](A ＞0)来表示，已知月平均气温最高值为28℃，最低值为18℃，则A ＝（ ） A ．5B ．10C ．15D ．205．复数z ＝cos α+i sin α，且z 2为纯虚数，则α可能的取值为（ ） A ．0B ．π4C ．π3D ．π26．已知直线m ，直线n 和平面α，则下列四个命题中正确的是（ ） A ．若m ∥α，n ⊂α，则m ∥n B ．若m ∥α，n ∥α，则m ∥n C ．若m ⊥α，n ∥α，则m ⊥nD ．若m ⊥n ，n ∥α，则m ⊥α7．在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，P （1，﹣2），Q （3，4），则cos ∠POQ ＝（ ） A ．√53B ．√55C ．−√53D ．−√558．已知等边△ABC 的边长为4，P 为△ABC 边上的动点，且满足AP →⋅AB →≤12，则点P 轨迹的长度是（ ） A ．7B ．9C ．10D ．119．已知函数f(x)=2sin(ωx +π3)(ω＞0)，则“f （x ）在[0，π3]上既不是增函数也不是减函数”是“ω＞1”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件10．已知点A ，点B ，点P 都在单位圆上，且|AB|=√3，则PA →⋅PB →的取值范围是（ ）A ．[−12，32]B ．[﹣1，3]C ．[﹣2，3]D ．[﹣1，2]二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．11．（5分）已知复数z 在复平面内所对应的点的坐标为（3，﹣4），则|5z |为 ． 12．（5分）设向量a →=(1，2)，b →=(4，x)，若a →⊥b →，则x ＝ ． 13．（5分）已知圆柱的底面半径为3，体积为32π3的球与该圆柱的上、下底面相切，则球的半径为 ，圆柱的体积为 ．14．（5分）写出一个同时满足下列两个条件的函数f （x ）＝ ． ①∀x ∈R ，f(x +π2)=f(x)； ②∀x ∈R ，f(x)≤f(π4)恒成立．15．（5分）如图，在棱长为4的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，点P 是线段AC 上的动点（包含端点），点E 在线段B 1D 1上，且D 1E =14B 1D 1，给出下列四个结论： ①存在点P ，使得平面PB 1D 1∥平面C 1BD ； ②存在点P ，使得△PB 1D 1是等腰直角三角形； ③若PE ≤5，则点P 轨迹的长度为2√7； ④当AP PC=13时，则平面PB 1D 1截正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1所得截面图形的面积为18．其中所有正确结论的序号是 ．三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 16．（10分）已知π2＜α＜π，sinα=45．（1）求tan α的值； （2）求cos2αcos(α+π4)的值．17．（15分）如图，在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是棱DD 1，C 1D 1的中点． （1）证明：A 1B ⊥平面ADC 1B 1； （2）证明：B 1F ∥平面A 1BE ．18．（15分）已知在△ABC 中，a cos B +b cos A ＝2c cos A ． （1）求A 的大小；（2）若c ＝4，在下列三个条件中选择一个作为已知，使△ABC 存在且唯一，求△ABC 的周长． ①△ABC 的面积为5√3； ②a =√13；③AB 边上的高线CD 长为√32． 19．（15分）已知函数f(x)=sin(2x −π6)+2cos 2x −1． （1）求f(π6)的值；（2）若函数f （x ）的单调递增区间；（3）若函数f （x ）在区间[0，m ]上有且只有两个零点，求m 的取值范围．20．（15分）如图，在四棱锥S ﹣ABCD 中，平面SAD ⊥平面ABCD ，SA ＝SD ＝AD ＝2，四边形ABCD 为正方形，E 为AD 的中点，F 为SB 上一点，M 为BC 上一点，且平面EFM ∥平面SCD ． （1）求证：CD ⊥SA ；（2）求证：M 为线段BC 中点，并直接写出M 到平面SCD 的距离； （3）在棱SC 上是否存在点N ，使得平面DMN ⊥平面ABCD ？若存在，求CN CS；若不存在，说明理由．21．（15分）对于定义在R 上的函数f （x ）和正实数T ，若对任意x ∈R ，有f （x +T ）﹣f （x ）＝T ，则f （x ）为T ﹣阶梯函数．（1）分别判断下列函数是否为1﹣阶梯函数（直接写出结论）： ①f （x ）＝x 2；②f （x ）＝x +1．（2）若f （x ）＝x +sin x 为T ﹣阶梯函数，求T 的所有可能取值；（3）已知f （x ）为T ﹣阶梯函数，满足：f （x ）在[T 2，T]上单调递减，且对任意x ∈R ，有f （T ﹣x ）﹣f （x ）＝T ﹣2x ．若函数F （x ）＝f （x ）﹣ax ﹣b 有无穷多个零点，记其中正的零点从小到大依次为x 1，x 2，x 3，…直接给出一个符合题意的a 的值，并证明：存在b ∈R ，使得F （x ）在[0，2023T ]上有4046个零点，且x 2﹣x 1＝x 3﹣x 2＝…＝x 4046﹣x 4045．2022-2023学年北京市西城区高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1．已知复数z 满足z ＝1+i ，则在复平面内z 对应的点在（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解：∵z ＝1+i ，∴z =1−i ，∴在复平面内z 对应的点（1，﹣1）在第四象限． 故选：D ．2．下列函数中，最小正周期为π且是偶函数的是（ ） A ．y =sin(x +π4) B ．y ＝tan x C ．y ＝cos2xD ．y ＝sin2x解：y =sin(x +π4)的周期T ＝2π≠π，故A 错误；y ＝f （x ）＝tan x 满足f （﹣x ）＝tan （﹣x ）＝﹣tan x ＝﹣f （x ），即y ＝tan x 为奇函数，故B 错误； y ＝f （x ）＝cos2x 满足f （﹣x ）＝f （x ），即y ＝cos2x 为偶函数，且其周期T =2π2=π，故C 正确； y ＝f （x ）＝sin2x 满足f （﹣x ）＝﹣f （x ），即y ＝sin2x 为奇函数，故D 错误． 故选：C ．3．在△ABC 中，2a ＝b ，C ＝60°，c =√3，则a ＝（ ） A ．12B ．1C ．√3D ．2√3解：在△ABC 中，2a ＝b ，C ＝60°，c =√3， 由余弦定理可得c 2＝a 2+b 2﹣2ab cos C ， 所以3＝a 2+b 2﹣ab ＝a 2+4a 2﹣2a 2＝3a 2， 则a ＝1或﹣1（舍去）． 故选：B ．4．某城市—年中12个月的月平均气温y （单位℃）与月份x （x ＝1，2，3，…，12）的关系可近似地用三角函数y =a +Asin[π6(x −3)](A ＞0)来表示，已知月平均气温最高值为28℃，最低值为18℃，则A ＝（ ） A ．5B ．10C ．15D ．20解：由题意可知月平均气温最高值为28℃，最低值为18℃， 可得{a +A =28a −A =18，解得a ＝23，A ＝5．故选：A ．5．复数z ＝cos α+i sin α，且z 2为纯虚数，则α可能的取值为（ ） A ．0B ．π4C ．π3D ．π2解：z ＝cos α+i sin α，则z 2＝（cos α+i sin α）2＝cos 2α﹣sin 2α+2sin αcos α＝cos2α+i sin2α， ∵z 2为纯虚数，∴{cos2α=0sin2α≠0，即α=π4+k 2π，k ∈Z ，故α可能的取值为π4．故选：B ．6．已知直线m ，直线n 和平面α，则下列四个命题中正确的是（ ） A ．若m ∥α，n ⊂α，则m ∥n B ．若m ∥α，n ∥α，则m ∥n C ．若m ⊥α，n ∥α，则m ⊥nD ．若m ⊥n ，n ∥α，则m ⊥α解：若m ∥α，n ⊂α，则m ∥n 或m 与n 异面，故A 错误；如果m ∥α，n ∥α，那么m ∥n 或m 与n 相交或m 与n 异面，故B 错误； 如果m ⊥α，则m 与平行于α的所有直线垂直，又n ∥α，那么m ⊥n ，故C 正确； 若m ⊥n ，n ∥α，则m ⊥α或m ∥α或m 与α相交，故D 错误． 故选：C ．7．在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，P （1，﹣2），Q （3，4），则cos ∠POQ ＝（ ） A ．√53B ．√55C ．−√53D ．−√55解：∵在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，P （1，﹣2），Q （3，4）， ∴OP →=（1，﹣2），OQ →=（3，4）， ∴cos ∠POQ =OP →⋅OQ →|OP →||OQ|=1×3−2×4√1+(−2)2⋅√3+4=−55√5√55． 故选：D ．8．已知等边△ABC 的边长为4，P 为△ABC 边上的动点，且满足AP →⋅AB →≤12，则点P 轨迹的长度是（ ） A ．7B ．9C ．10D ．11解：当P 在线段AB 上，则|AP →|≤12|AB →|=3，即线段AB 上有长度为3的线段满足P 点的位置，当P 在AC 上，由于AC →⋅AB →=4×4×cos π3=8＜12，所以线段AC 满足P 点位置， 当P 在BC 上，则AP →=λAB →+μAC →，λ＞0，μ＞0，λ+μ＝1， 所以AP →⋅AB →=λ|AB →|2+μAC →⋅AB →=16λ+8μ＝16λ+8﹣8λ＝8+8λ， 令8+8λ≤12，解得λ≤12，所以线段BC 上远离B 点的一半线段满足P 点位置， 所以P 的轨迹长度为3+4+2＝9． 故选：B ．9．已知函数f(x)=2sin(ωx +π3)(ω＞0)，则“f （x ）在[0，π3]上既不是增函数也不是减函数”是“ω＞1”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解：若f （x ）在[0，π3]上既不是增函数也不是减函数， 则f （x ）在对称轴在（0，π3）上，由ωx +π3=k π+π2（k ∈z ）， 解得x =kπω+π6，故0＜kπω+π6＜π3，解得：ω＞12， 而（1，+∞）⫋（12，+∞），故“f （x ）在[0，π3]上既不是增函数也不是减函数”是“ω＞1”必要不充分条． 故选：B ．10．已知点A ，点B ，点P 都在单位圆上，且|AB|=√3，则PA →⋅PB →的取值范围是（ ） A ．[−12，32]B ．[﹣1，3]C ．[﹣2，3]D ．[﹣1，2]解：如图，不妨设线段AB 的垂直平分线为y 轴，在单位圆中，由|AB|=√3，可得A （−√32，12），B （√32，12），点P 都在单位圆上，故可设点P （cos α，sin α），α∈[0，2π]， 则PA →=(−√32−cosα，12−sinα)，PB →=(√32−cosα，12−sinα)， 所以PA →⋅PB →=cos 2α−34+14−sin α+sin 2α=12−sin α∈[−12，32]． 故选：A ．二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．11．（5分）已知复数z 在复平面内所对应的点的坐标为（3，﹣4），则|5z|为 1 ． 解：复数z 在复平面内所对应的点的坐标为（3，﹣4），则z ＝3﹣4i ， 故|5z |=5|z|=5√3+(−4)2=1．故答案为：1．12．（5分）设向量a →=(1，2)，b →=(4，x)，若a →⊥b →，则x ＝ ﹣2 ． 解：∵a →⊥b →，∴a →⋅b →=4+2x =0，解得x ＝﹣2． 故答案为：﹣2．13．（5分）已知圆柱的底面半径为3，体积为32π3的球与该圆柱的上、下底面相切，则球的半径为 2 ，圆柱的体积为 36π ． 解：因为球的体积为32π3，则球半径r 满足43πr 3=32π3，解得r ＝2，又因为球与圆柱的上、下底面相切，所以圆锥的高为2r ＝4， 所以圆柱的体积为V ＝π×32×4＝36π． 故答案为：2；36π．14．（5分）写出一个同时满足下列两个条件的函数f （x ）＝ ﹣cos4x （答案不唯一） ．①∀x ∈R ，f(x +π2)=f(x)； ②∀x ∈R ，f(x)≤f(π4)恒成立．解：由①∀x ∈R ，f(x +π2)=f(x)，可知函数的周期为π2，由②∀x ∈R ，f(x)≤f(π4)恒成立，可知函数在x =π4上取到最大值， 则f （x ）＝﹣cos4x 满足题意，一方面根据余弦函数的周期公式，T =2π4=π2，满足条件①； 另一方面，f(π4)=−cosπ=1=f(x)max ，满足条件②． 故答案为：﹣cos4x （答案不唯一）．15．（5分）如图，在棱长为4的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，点P 是线段AC 上的动点（包含端点），点E 在线段B 1D 1上，且D 1E =14B 1D 1，给出下列四个结论： ①存在点P ，使得平面PB 1D 1∥平面C 1BD ； ②存在点P ，使得△PB 1D 1是等腰直角三角形； ③若PE ≤5，则点P 轨迹的长度为2√7； ④当AP PC=13时，则平面PB 1D 1截正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1所得截面图形的面积为18．其中所有正确结论的序号是 ①③④ ．解：对于①，当点P 和点A 重合时，平面PB 1D 1∥平面C 1BD ，连接A 1C 1交B 1D 1于点O 1，连接BD 交AC 于点O ，连接C 1D ，C 1B ，C 1O ，AO 1，∵O 1C 1∥PO ，且O 1C 1＝AO ， ∴四边形O 1POC 1平行四边形，∴O 1P ∥C 1O ，∵O 1P ⊄平面C 1BD ，C 1O ⊂平面C 1BD ，∴O 1P ∥平面C 1BD ，∵B 1D 1∥BD ，B 1D 1⊄平面C 1BD ，BD ⊂平面C 1BD ，∴B 1D 1∥平面C 1BD ，又∵B 1D 1∩PO 1＝O 1，B 1D 1，PO 1⊂平面PB 1D 1，∴平面PB 1D 1∥平面C 1BD ；故①正确； 对于②，分别以DA ，DC ，DD 1所在的直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，由几何关系可知PD 1＝PB 1，要使△PB 1D 1是等腰直角三角形，则PD 1⊥PB 1， 由已知得D 1（0，0，4），B 1（4，4，4），设点P （4﹣a ，a ，0）， 则PD 1→=(a −4，−a ，4)，PB 1→=(a ，4−a ，4)， ∵PD 1⋅PB 1→=0，∴a 2﹣4a +8＝0，此方程无解，则不存在点P ，使得△PB 1D 1是等腰直角三角形，故②不正确；对于③，因为D 1E =14B 1D 1=√2，则E （1，1，4），A （4，0，0），C （0，4，0）， 即EA =EC =√26＞5，则P 轨迹是在AC 上的线段，不包括端点A 、C ，如下图所示， 由已知得△EAC 为等腰三角形，则△EAC 底边上的高EH =3√2＜5，随着P 向点C 运动，EP 逐渐减小，故在线段AH 上存在一点P ，使得EP ＝5， 同理可知靠近点C 处也存在一点P ，使得EP ＝5，设线段PE ＝5，由勾股定理可知PH =√7，所以点P 轨迹的长度为2√7，故③正确；对于④，连接BD ，过点P 作BD 的平行线交AB ，AD 于点M ，N ，连接B 1M ，D 1N ， 则MND 1B 1为平面PB 1D 1截正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1所得的截面图形， 由已知得AP =14AC =√2，由△AMN ∽△ABD 可知，MN =2√2，又因为MB 1=ND 1=2√5，且MN ∥B 1D 1， 所以四边形MND 1B 1为等腰梯形，其中梯形的高ℎ=3√2，所以截面面积为12(2√2+4√2)×3√2=18，故④正确．故答案为：①③④．三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 16．（10分）已知π2＜α＜π，sinα=45．（1）求tan α的值； （2）求cos2αcos(α+π4)的值．解：（1）因为sin 2α+cos 2α＝1，sinα=45， 所以cos 2α=925， 又因为π2＜α＜π， 所以cosα=−35． 所以tanα=sinαcosα=−43； （2）cos2αcos(α+π4)=22√22(cosα−sinα)=√2(cosα+sinα)=√25． 17．（15分）如图，在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是棱DD 1，C 1D 1的中点． （1）证明：A 1B ⊥平面ADC 1B 1； （2）证明：B 1F ∥平面A 1BE ．证明：（1）由正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的结构特征，可得B 1C 1⊥平面ABB 1A 1，∵A 1B ⊂平面ABB 1A 1，∴B 1C 1⊥A 1B ， ∵A 1ABB 1为正方形，∴A 1B ⊥AB 1，又∵B 1C 1∩AB 1＝B 1，∴A 1B ⊥平面ADC 1B 1． （2）设AB 1∩A 1B ＝O ，连接OE ，∵ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1是正方体，∴B 1A ∥C 1D ，且B 1A ＝C 1D ， ∴B 1O ∥C 1D ，且B 1O =12C 1D ，∵E ，F 分别DD 1，C 1D 1的中点，∴EF ∥C 1D ，且EF =12C 1D ， ∴EF ∥B 1O ，且EF ＝B 1O ，∴四边形B 1OEF 为平行四边形，∴B 1F ∥OE ， 又∵B 1F ⊄平面A 1BE ，OE ⊂平面A 1BE ， ∴B 1F ∥平面A 1BE ．18．（15分）已知在△ABC 中，a cos B +b cos A ＝2c cos A ． （1）求A 的大小；（2）若c ＝4，在下列三个条件中选择一个作为已知，使△ABC 存在且唯一，求△ABC 的周长． ①△ABC 的面积为5√3； ②a =√13；③AB 边上的高线CD 长为√32． 解：（1）由正弦定理asinA=bsinB=c sinC，得sin A cos B +sin B cos A ＝2sin C cos A ，所以sin （A +B ）＝2sin C cos A ，因为A +B +C ＝π，所以sin （A +B ）＝sin C ，所以sin C ＝2sin C cos A ， 因为C ∈（0，π），sin C ≠0，所以2cos A ＝1，即cosA =12， 又因为A ∈（0，π），所以A =π3；（2）选择①：因为S △ABC =5√3，即12bcsinA =5√3，即12×b ×4×√32=5√3，所以b ＝5， 又因为a 2＝b 2+c 2﹣2bc cos A ，即a 2=25+16−2×5×4×12， 所以a =√21，所以△ABC 的周长为9+√21； 选择②： 因为a =√13，又因为a 2＝b 2+c 2﹣2bc cos A ，即13＝b 2+16﹣2×b ×4×12， 所以b ＝1或3，因为△ABC 存在且唯一，所以舍去； 选择③：因为AB 边上的高线CD 长为√32，即bsinA =√32，所以b ＝1， 又因为a 2＝b 2+c 2﹣2bc cos A ，即a 2=1+16−2×1×4×12， 所以a =√13，所以△ABC 的周长为5+√13． 19．（15分）已知函数f(x)=sin(2x −π6)+2cos 2x −1． （1）求f(π6)的值；（2）若函数f （x ）的单调递增区间；（3）若函数f （x ）在区间[0，m ]上有且只有两个零点，求m 的取值范围． 解：（1）f （x ）=√32sin2x −12cos2x +cos2x =√32sin2x +12cos2x ＝sin （2x +π6），所以f （π6）＝sin （2•π6+π6）＝sin π2=1；（2）由（1）可得，单调递增满足−π2+2k π≤2x +π6≤π2+2k π，k ∈Z ， 解得：−π3+k π≤x ≤π6+k π，k ∈Z ，所以函数的单调递增区间为[−π3+k π，π6+k π]，k ∈Z ；（3）x ∈[0，m ]，可得2x +π6∈[π6，2m +π6]，由题意可得2m +π6∈[2π，3π），解得11π12≤m ＜17π12， 即m ∈[11π12，17π12）．20．（15分）如图，在四棱锥S ﹣ABCD 中，平面SAD ⊥平面ABCD ，SA ＝SD ＝AD ＝2，四边形ABCD 为正方形，E 为AD 的中点，F 为SB 上一点，M 为BC 上一点，且平面EFM ∥平面SCD ． （1）求证：CD ⊥SA ；（2）求证：M 为线段BC 中点，并直接写出M 到平面SCD 的距离； （3）在棱SC 上是否存在点N ，使得平面DMN ⊥平面ABCD ？若存在，求CN CS；若不存在，说明理由．证明：（1）因为四边形ABCD 为正方形，所以CD ⊥AD ，因为平面SAD ⊥平面ABCD ，平面SAD ∩平面ABCD ＝AD ，CD ⊂平面ABCD ， 所以CD ⊥平面SAD ，又SA ⊂平面SAD ，所以CD ⊥SA ；（2）因为平面EFM ∥平面SCD ，平面EFM ∩平面ABCD ＝EM ， 平面SCD ∩平面ABCD ＝CD ，所以CD ∥EM ， 又因为E 为AD 的中点，所以M 为线段BC 中点； 由（1）知，CD ⊥平面SAD ，又CD ⊂平面SCD ，所以平面SCD ⊥平面SAD ，所以点E 到平面SCD 的距离等于点E 到SD 的距离， 因为SA ＝SD ＝AD ＝2，所以△SAD 为正三角形，又E 为AD 的中点， 所以点E 到SD 的距离为√32，因为平面EFM ∥平面SCD ， 所以点M 到平面SCD 的距离为√32； 解：（3）存在，当N 为SC 中点时，平面DMN ⊥平面ABCD ，证明如下： 连接EC ，DM 交于点O ，连接SE ，因为ED∥CM，并且ED＝CM，所以四边形EMCD为平行四边形，所以EO＝CO，又因为N为SC中点，所以NO∥SE，因为平面SAD⊥平面ABCD，平面SAD∩平面ABCD＝AD，又SE⊂平面SAD，由已知SE⊥AD，所以SE⊥平面ABCD，所以NO⊥平面ABCD，又因为NO⊂平面DMN，所以平面DMN⊥平面ABCD，所以存在点N，使得平面DMN⊥平面ABCD，CNCS=12．21．（15分）对于定义在R上的函数f（x）和正实数T，若对任意x∈R，有f（x+T）﹣f（x）＝T，则f（x）为T﹣阶梯函数．（1）分别判断下列函数是否为1﹣阶梯函数（直接写出结论）：①f（x）＝x2；②f（x）＝x+1．（2）若f（x）＝x+sin x为T﹣阶梯函数，求T的所有可能取值；（3）已知f（x）为T﹣阶梯函数，满足：f（x）在[T2，T]上单调递减，且对任意x∈R，有f（T﹣x）﹣f（x）＝T﹣2x．若函数F（x）＝f（x）﹣ax﹣b有无穷多个零点，记其中正的零点从小到大依次为x1，x2，x3，…直接给出一个符合题意的a的值，并证明：存在b∈R，使得F（x）在[0，2023T]上有4046个零点，且x2﹣x1＝x3﹣x2＝…＝x4046﹣x4045．解：（1）①因为f（x）＝x2，所以f（x+1）﹣f（x）＝（x+1）2﹣x2＝2x+1≠1，所以f（x）＝x2不是1﹣阶梯函数；②因为f（x）＝x+1，所以f（x+1）﹣f（x）＝（x+1）+1﹣（x+1）＝1，所以f（x）＝x+1是1﹣阶梯函数；（2）因为f（x）为T﹣阶梯函数，所以对任意x∈R有：f（x+T）﹣f（x）＝[x+T+sin（x+T）]﹣（x+sin x）＝sin（x+T）﹣sin x+T，所以，对任意x∈R，sin（x+T）＝sin x，因为y＝sin x是最小正周期为2π的周期函数，又因为T＞0，所以T＝2kπ，k∈N*；（3）a＝1．证明：函数F（x）＝f（x）﹣x﹣b，则有：F（x+T）＝f（x+T）﹣（x+T）﹣b＝f（x）+T﹣（x+T）﹣b＝f（x）﹣x﹣b＝F（x），F（T﹣x）＝f（T﹣x）﹣（T﹣x）﹣b＝f（x）+T﹣2x﹣（T﹣x）﹣b＝f（x）﹣x﹣b＝F（x）．取b=f(3T4)−3T4，则有：F(3T4)=f(3T4)−3T4−b=0，F(T4)=F(T−T4)=F(3T4)=0，由于f（x）在[T2，T]上单调递减，因此F（x）＝f（x）﹣x﹣b在[T2，T]上单调递减，结合F（T﹣x）＝F（x），则有：F（x）在[0，T2]上有唯一零点T4，在[T2，T]上有唯一零点3T4．又由于F（x+T）＝F（x），则对任意k∈Z，有：F(T4+kT)=F(T4)=0，F(3T4+kT)=F(3T4)=0，因此，对任意m∈Z，F（x）在[mT，（m+1）T]上有且仅有两个零点：mT+T4，mT+3T4．综上所述，存在b=f(3T4)−3T4，使得F（x）在[0，2023T]上有4046个零点：x1=T4，x2=3T4，x3=5T4，x4=7T4， (x4045)8089T4，x4046=8091T4，其中，x2−x1=x3−x2=⋯=x4046−x4045=T 2．。

高一（下学期）期末考试数学试卷（含答案解析）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、多选题1．下列抽样方法是简单随机抽样的是（ ）A ．某工厂从老年、中年、青年职工中按2∶5∶3的比例选取职工代表B ．用抽签的方法产生随机数C ．福利彩票用摇奖机摇奖D ．规定凡买到明信片最后四位号码是“6637”的人获三等奖 2．若直线a 平行于平面α，则下列结论正确的是（ ） A ．a 平行于α内的有限条直线 B ．α内有无数条直线与a 平行 C ．直线a 上的点到平面α的距离相等 D ．α内存在无数条直线与a 成90°角3．设a ，b ，l 为不同的直线，α，β，γ为不同的平面，下列四个命题中错误的是（ ） A ．若//a α，a b ⊥，则b α⊥ B ．若αγ⊥，βγ⊥，l αβ=，则l γ⊥C ．若a α⊂，//a β，b β⊂，//b α，则//αβD ．若αβ⊥，l αβ=，A α∈，AB l ⊥，则AB β⊥4．小王于2017年底贷款购置了一套房子，根据家庭收入情况，小王选择了10年期每月还款数额相同的还贷方式，且截止2021年底，他没有再购买第二套房子．如图是2018年和2021年小王的家庭收入用于各项支出的比例分配图：根据以上信息，判断下列结论中正确的是（ ） A ．小王一家2021年用于饮食的支出费用跟2018年相同 B ．小王一家2021年用于其他方面的支出费用是2018年的3倍 C ．小王一家2021年的家庭收人比2018年增加了1倍 D ．小王一家2021年用于房贷的支出费用与2018年相同5．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，点F 是棱1BB 的中点，点P 在四边形11BCC B 内(包括边界)运动，则下列说法正确的是（ ）A ．若P 在线段1BC 上，则三棱锥1P AD F -的体积为定值B ．若P 在线段1BC 上，则DP 与1AD 所成角的取值范围为,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．若//PD 平面1AD F ，则点PD ．若AP PC ⊥，则1A P 与平面11BCC B二、单选题6．已知a ，b ，c 是三条不同的直线，α，β是两个不同的平面，⋂=c αβ，a α⊂，b β⊂，则“a ，b 相交“是“a ，c 相交”的（ ） A ．充要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分不必要条件D ．既不充分也不必要条件7．某校有男生3000人，女生2000人，学校将通过分层随机抽样的方法抽取100人的身高数据，若按男女比例进行分层随机抽样，抽取到的学生平均身高为165cm ，其中被抽取的男生平均身高为172cm ，则被抽取的女生平均身高为（ ） A ．154.5cmB ．158cmC ．160.5cmD ．159cm8．从二面角内一点分别向二面角的两个面引垂线，则这两条垂线所夹的角与二面角的平面角的关系是（ ） A ．互为余角B ．相等C ．其和为周角D ．互为补角9．某校从参加高二年级学业水平测试的学生中抽出80名学生,其数学成绩（均为整数）的频率分布直方图如图,估计这次测试中数学成绩的平均分、众数、中位数分别是（ ）A ．73.3，75，72B ．72，75，73.3C ．75，72，73.3D ．75，73.3，7210．对于数据：2、6、8、3、3、4、6、8，四位同学得出了下列结论：甲：平均数为5；乙：没有众数；丙：中位数是3；丁：第75百分位数是7，正确的个数为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．411．为了贯彻落实《中共中央国务院全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》的文件精神，某学校结合自身实际，推出了《植物栽培》《手工编织》《实用木工》《实用电工》《烹饪技术》五门校本劳动选修课程，要求每个学生从中任选三门进行学习，学生经考核合格后方能获得该学校荣誉毕业证，则甲､乙两人的选课中仅有一门课程相同的概率为（ ） A ．325B ．15C ．310 D ．3512．已知正四棱柱ABCD - A 1B 1C 1D 1中 ，AB=2，CC 1=E 为CC 1的中点，则直线AC 1与平面BED 的距离为 A．2BCD ．1三、填空题13．如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点E 、F 、G 分别为棱11B C 、1CC 、11D C 的中点，P 是底面ABCD 上的一点，若1A P ∥平面GEF ，则下面的4个判断∶点P∶线段1A P ；∶11A P AC ⊥；∶1A P 与1B C 一定异面．其中正确判断的序号为__________．14．甲、乙两同学参加“建党一百周年”知识竞赛，甲、乙获得一等奖的概率分别为14、15，获得二等奖的概率分别为12、35，甲、乙两同学是否获奖相互独立，则甲、乙两人至少有1人获奖的概率为___________.15．数据1x ，2x ，…，8x 平均数为6，标准差为2，则数据126x -，226x -，…，826x -的方差为________. 16．将正方形ABCD 沿对角线AC 折起，并使得平面ABC 垂直于平面ACD ，直线AB 与CD 所成的角为__________.四、解答题17．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，1,AB BC AA AB ⊥=，G 是棱11A C 的中点．(1)证明：1BC AB ⊥；(2)证明：平面1AB G ⊥平面1A BC ．18．甲、乙两台机床同时生产一种零件，在10天中，两台机床每天生产的次品数分别为： 甲：0,0,1,2,0,0,3,0,4,0；乙：2,0,2,0,2,0,2,0,2,0． （1）分别求两组数据的众数、中位数；（2）根据两组数据平均数和标准差的计算结果比较两台机床性能．19．某大学艺术专业400名学生参加某次测评，根据男女学生人数比例，使用分层抽样的方法从中随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成7组：[)2030，，[)3040，，，[]8090，，并整理得到如下频率分布直方图：（1）从总体的400名学生中随机抽取一人，估计其分数小于70的概率；（2）已知样本中分数小于40的学生有5人，试估计总体中分数在区间[)4050，内的人数； （3）已知样本中有一半男生的分数不小于70，且样本中分数不小于70的男女生人数相等.试估计总体中男生和女生人数的比例.20．某学校招聘在职教师，甲、乙两人同时应聘．应聘者需进行笔试和面试，笔试分为三个环节，每个环节都必须参与，甲笔试部分每个环节通过的概率依次为113224，，，乙笔试部分每个环节通过的概率依次为311422，，，笔试三个环节至少通过两个才能够参加面试，否则直接淘汰；面试分为两个环节，每个环节都必须参与，甲面试部分每个环节通过的概率依次为2132，，乙面试部分每个环节通过的概率依次为4354，，若面试部分的两个环节都通过，则可以成为该学校的在职教师．甲、乙两人通过各个环节相互独立． (1)求甲未能参与面试的概率；(2)记乙本次应聘通过的环节数为X ，求(3)P X =的值；(3)记甲、乙两人应聘成功的人数为Y ，求Y 的的分布列和数学期望21．如图，在三棱锥P -ABC 中，PA ⊥平面,ABC AB AC =，,M N 分别为,BC AB 的中点，(1)求证：MN //平面P AC (2)求证：平面PBC ⊥平面P AM22．如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 为菱形，其对角线AC 与BD 相交于点O ，1160A AB A AD BAD ∠=∠=∠=，13AA =，2AB =.(1)证明：1A O ⊥平面ABCD ； (2)求三棱锥11C A BD -的体积.参考答案：1．BC【分析】由题意，根据简单随机抽样的定义，可得答案.【详解】对于A ，此为分层抽样；对于B ，此为随机数表法；对于C ，此为简单随机抽样；对于D ，此为系统抽样. 故选：BC. 2．BCD【分析】根据直线与平面平行的性质即可判断.【详解】因为直线a 平行于平面α，所以a 与平面α内的直线平行或异面，选项A 错误；选项B ，C ，D 正确.故选：BCD. 3．ACD【分析】选项ACD ，可借助正方体构造反例；选项B ，在平面γ分别取直线m 满足m a ⊥，直线n 满足n b ⊥，可证明l m ⊥，l n ⊥，即得证.【详解】A 选项：取11//A C 平面ABCD ，1111AC B D ⊥，但是11B D 不垂直于平面ABCD ，命题A 错误． B 选项：设a αγ⋂=，b βγ=，在平面γ分别取直线m 满足m a ⊥，直线n 满足n b ⊥．因为αγ⊥，βγ⊥，所以m α⊥，n β⊥，又l α⊆，l β⊆，所以l m ⊥，l n ⊥，所以l γ⊥．命题B 正确． C 选项：11//A B 平面ABCD ，//CD 平面11ABB A ，但平面ABCD 与平面11ABB A 不平行，命题C 错误． D 选项：平面ABCD ⊥平面11ABB A ，交线为AB ，1B ∈平面11ABB A ，1B C AB ⊥，但1B C 与平面ABCD 不垂直，命题D 错误． 故选：ACD4．BD【分析】由题意，根据扇形统计图的性质，可得答案.【详解】对于A ，小王一家2021年用于饮食的支出比例与跟2018年相同，但是由于2021年比2018年家庭收入多，∶小王一家2021年用于饮食的支出费用比2018年多，故A 错误；对于B ，设2018年收入为a ，∶相同的还款数额在2018年占各项支出的60%，在2021年占各项支出的40%，∶2021年收入为：0.6 1.50.4aa =，∶小王一家2021年用于其他方面的支出费用为1.512%0.18a a ⨯=，小王一家2018年用于其他方面的支出费用为0.06a ，∶小王一家2021年用于其他方面的支出费用是2018年的3倍，故B 正确；对于C ，设2018年收入为a ，则2021年收入为：0.6 1.50.4aa =，故C 错误； 对于D ，小王一家2021年用于房贷的支出费用与2018年相同，故D 正确． 故选：BD ． 5．ACD【分析】A. 如图，当P 在线段1BC 上时，当P 到平面1AFD 的距离不变，又底面1AFD △的面积是定值，所以三棱锥1P AD F -的体积为定值，所以该选项正确；B. 如图，分析得DP 与1AD 所成角的取值范围为[,]32ππ，所以该命题错误；C.如图，,M N 分别是1,CC CB 中点，点P 的轨迹是线段MN =D. 点P 的轨迹为以BC 中点O 为圆心，以1为半径的半圆，1BO 所以1PB 1,所以1A P 与平面11BCC B=所以该选项正确. 【详解】A. 如图，因为11//,BC AD AD ⊂平面1,AFD 1BC ⊄平面1,AFD 所以1//BC 平面1,AFD 所以当P 在线段1BC 上时，当P 到平面1AFD 的距离不变，又底面1AFD △的面积是定值，所以三棱锥1P AD F -的体积为定值，所以该选项正确；B. 如图，因为11//,BC AD 所以DP 与1AD 所成角就是DP 与1BC 所成的角（锐角或直角），当点P 在1,B C 时，由于∶1BDC 是等边三角形，所以这个角为3π，当1DP BC 时，这个角为2π，由图得DP 与1AD 所成角的取值范围为[,]32ππ，所以该命题错误；C.如图，,M N 分别是1,CC CB 中点，点P 的轨迹是线段MN ,由于//DM AF ,AF ⊂平面1AFD ,DM ⊄平面1AFD ,所以//DM 平面1AFD ，同理可得//MN 平面1AFD ，又,DM MN ⊂平面DMN ,DMMN M =,所以平面//DMN 平面1AFD ，所以//DP 平面1AFD ，MN ==P 选项正确；D.如图，由题得1A P 与平面11BCC B 所成角为11A PB ∠,1112tan A PB PB ∠=,即求1PB 的最小值，因为,PC AP PC AB ⊥⊥,,,AP AB A AP AB ⋂=⊂平面ABP ,所以PC ⊥平面ABP ,所以PC BP ⊥,所以点P 的轨迹为以BC 中点O 为圆心，以1为半径的半圆，1BO 所以1PB1,所以1A P 与平面11BCC B 所=所以该选项正确.故选：ACD 6．C【分析】根据直线与平面的位置关系进行判断即可.【详解】解：∶若a ，b 相交，a α⊂，b β⊂，则其交点在交线c 上，故a ，c 相交， ∶若a ，c 相交，可能a ，b 为相交直线或异面直线．综上所述：a ，b 相交是a ，c 相交的充分不必要条件． 故选：C ． 7．A【分析】由分层抽样求出100人中的男女生数，再利用平均数公式计算作答. 【详解】根据分层随机抽样原理，被抽取到的男生为60人，女生为40人， 设被抽取到的女生平均身高为cm x ，则6017240165100x⨯+=，解得154.5cm x =，所以被抽取的女生平均身高为154.5cm . 故选：A 8．D【分析】做出图像数形结合即可判断.【详解】如图，A 为二面角--l αβ内任意一点，AB α⊥，AC β⊥，过B 作BD l ⊥于D ， 连接CD ，因为AB α⊥，l α⊂，所以AB l ⊥因为AC β⊥，l β⊂，所以AC l ⊥，且AB AC A ⋂=， 所以l ⊥平面ABCD ，且CD ⊂面ABCD ，所以⊥l CD 则BDC ∠为二面角l αβ--的平面角，90ABD ACD ∠∠︒＝＝，BAC ∠为两条垂线AB 与AC 所成角，所以180A BDC ∠∠︒＋＝， 所以两条垂线所夹的角与二面角的平面角互为补角. 故选：D. 9．B【解析】根据频率分布直方图,结合平均数、众数、中位数的求法,即可得解. 【详解】由频率分布直方图可知,平均数为450.00510450.00510550.01510650.02010⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯750.03010850.02510950.0051072+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=众数为最高矩形底边的中点,即75中为数为:0.005100.015100.02010100.5x ⨯+⨯+⨯+⨯= 可得0.010x = 所以中为数为0.010701073.30.030+⨯≈ 综上可知,B 为正确选项 故选:B【点睛】本题考查了频率分布直方图的应用,平均数、众数、中位数的计算,属于基础题. 10．B【分析】分别求出平均数，中位数，众数，第75百分位数即可得解. 【详解】解：平均数为2683346858+++++++=，故甲正确；众数为：3，6，8，故乙错误；将这组数据按照从小到大的顺序排列：2,3,3,4,6,6,8,8， 则中位数为4652+=，故丙错误； 875%6⨯=，则第75百分位数为6872+=，故丁正确， 所以正确的个数为2个. 故选：B. 11．C【分析】先分析总的选课情况数，然后再分析甲、乙两人的选课中仅有一门课程相同的情况数，然后两者相除即可求解出对应概率.【详解】甲、乙总的选课方法有：3355C C ⋅种，甲、乙两人的选课中仅有一门课程相同的选法有：5412C C ⋅种，（先选一门相同的课程有15C 种选法，若要保证仅有一门课程相同只需要其中一人从剩余4门课程中选取2门，另一人选取剩余的2门课程即可，故有24C 种选法）所以概率为12543355310C C P C C ==，故选：C.【点睛】关键点点睛：解答本题的关键在于分析两人的选课仅有1门相同的选法数，可通过先确定相同的选课，然后再分析四门课程中如何做到两人的选课不同，根据古典概型的概率计算方法完成求解. 12．D【详解】试题分析：因为线面平行，所求求线面距可以转化为求点到面的距离，选用等体积法．1//AC 平面BDE ，1AC ∴到平面BDE 的距离等于A 到平面BDE 的距离，由题计算得11111223232E ABD ABD V S CC -=⨯=⨯⨯⨯在BDE 中，BE DE BD ===BD边上的高2==，所以122BDE S =⨯=所以1133A BDE BDE V S h -==⨯，利用等体积法A BDE E ABD V V --=，得: 13⨯=解得: 1h = 考点：利用等体积法求距离 13．∶∶【分析】先证明平面1A BD ∥平面GEF ，可判断P 的轨迹是线段BD ，结合选项和几何性质一一判断即可． 【详解】分别连接11,,BD A B A D ，所以11BD B D ∥，又因为11B D ∥EG ，则BD EG ∥， 同理1A D EF ∥，1,BDA D D EGEF E ==，故平面1A BD ∥平面GEF ，又因为1A P ∥平面GEF ，且P 是底面ABCD 上的一点，所以点P 在BD 上．所以点P 的轨迹是一段长度为BD =，故∶正确；当P 为BD 中点时1A P BD ⊥，线段1A P ，故∶错； 因为在正方体1111ABCD A B C D -中，1AC ⊥平面1A BD ，又1A P ⊂平面1A BD ， 则11A P AC ⊥，故∶正确；当P 与D 重合时，1A P 与1B C 平行，则∶错． 故答案为：∶∶14．1920【分析】利用独立事件的概率乘法公式和对立事件的概率公式可求得所求事件的概率.【详解】由题意可知，甲不中奖的概率为1111424--=，乙不中奖的概率为1311555--=，因此，甲、乙两人至少有1人获奖的概率为111914520-⨯=.故答案为：1920. 15．16【详解】试题分析：由题意知12868x x x x +++==，(862s x +-=，则12848x x x +++=，24s =，而()()()12826262624886688x x x y -+-++-⨯-⨯===，所以所求方差为()()()2222212812122122124168s x x x s ⎡⎤=-+-++-=⨯=⎣⎦'．故正确答案为16．考点：两组线性数据间的特征数的运算．【方法点晴】此题主要考查两组俱有线性关系的数据的特征数关系，当数据{}12,,,n x x x 与{}12,,,n y y y 中若有i i y ax b =+时，那么它们之间的平均数与方差（标准差）之间的关系是：y x =，222y x s a s =或是y x s as =，掌握此关系会给我们计算带来很大方便． 16．60°【分析】将所求异面直线平移到同一个三角形中，即可求得异面直线所成的角. 【详解】如图，取AC ，BD ，AD 的中点，分别为O ，M ，N ，则11,22ON CD MN AB ∥∥，所以ONM ∠或其补角即为所求的角.因为平面ABC ⊥平面ACD ，BO AC ⊥，平面ABC平面ACD AC =，BO ⊂平面ABC ，所以BO ⊥平面ACD ，又因为OD ⊂平面ACD ，所以BO OD ⊥. 设正方形边长为2，OB OD ==2BD =，则112OM BD ==. 所以=1ON MN OM ==.所以OMN 是等边三角形，60ONM ∠=︒. 所以直线AB 与CD 所成的角为60︒． 故答案为： 60° 17．(1)证明见解析 (2)证明见解析【分析】（1）由线面垂直得到1AA BC ⊥，从而求出BC ⊥平面11ABB A ，得到1BC AB ⊥；（2）根据正方形得到11BA AB ⊥，结合第一问求出的1BC AB ⊥，得到1AB ⊥平面1A BC ，从而证明面面垂直. （1）∶1AA ⊥平面ABC ，且BC ⊂平面ABC ， ∶1AA BC ⊥． 又因为1,BC AB AA AB A ⊥=，1,AA AB ⊂平面11ABB A ，所以BC ⊥平面11ABB A ． ∶1AB ⊂平面11ABB A ， ∶1BC AB ⊥． （2）∶1AA AB =，易知矩形11ABB A 为正方形， ∶11BA AB ⊥．由（1）知1BC AB ⊥，又由于11,,A B BC B A B BC =⊂平面1A BC ，∶1AB ⊥平面1A BC ． 又∶1AB ⊂平面1AB G ， ∶平面1AB G ⊥平面1A BC ．18．（1）甲的众数等于0；乙的众数等于0和2；甲的中位数等于0；乙的中位数等于1；（2）甲乙的平均水平相当，但是乙更稳定.【分析】（1）根据众数和中位数的公式直接计算，众数是指数据中出现次数最多的数据，中位数是按从小到大排列，若是奇数个，则正中间的数是中位数，若是偶数个数，则正中间两个数的平均数是中位数；（2）平均数指数据的平均水平，标准差指数据的稳定程度，离散水平.【详解】解：（1）由题知：甲的众数等于0；乙的众数等于0和2；甲的中位数等于0；乙的中位数等于1 （2）甲的平均数等于0012003040110+++++++++=乙的平均数等于2020202020110+++++++++=甲的方差等于2222222222(01)(01)(11)(21)(01)(01)(31)(01)(41)(01)210-+-+-+-+-+-+-+-+-+-=乙的方差等于2222222222(21)(01)(21)(01)(21)(01)(21)(01)(21)(01)110-+-+-+-+-+-+-+-+-+-=1 因此，甲乙的平均水平相当，但是乙更稳定！【点睛】本题考查样本的众数，中位数，标准差，重点考查定义和计算能力，属于基础题型. 19．（1）0.4；（2）20；（3）3:2.【分析】（1）根据频率=组距⨯高，可得分数小于70的概率为：1(0.040.02)10-+⨯；（2）先计算样本中分数小于40的频率，进而计算分数在区间[40，50)内的频率，可估计总体中分数在区间[40，50)内的人数；（3）已知样本中有一半男生的分数不小于70，且样本中分数不小于70的男女生人数相等，分别求出男生、女生的人数，进而得到答案．【详解】解：（1）由频率分布直方图知：分数小于70的频率为：1(0.040.02)100.4-+⨯= 故从总体的400名学生中随机抽取一人，估计其分数小于70的概率为0.4； （2）已知样本中分数小于40的学生有5人， 故样本中分数小于40的频率为：0.05，则分数在区间[40，50)内的频率为：1(0.040.020.020.01)100.050.05-+++⨯-=， 估计总体中分数在区间[40，50)内的人数为4000.0520⨯=人， （3）样本中分数不小于70的频率为：0.6， 由于样本中分数不小于70的男女生人数相等． 故分数不小于70的男生的频率为：0.3， 由样本中有一半男生的分数不小于70，故男生的频率为：0.6，则男生人数为0.610060⨯=， 即女生的频率为：0.4，则女生人数为0.410040⨯=， 所以总体中男生和女生人数的比例约为：3:2． 20．(1)38；(2)13(3)80P X ==；(3)分布列见解析；期望为712． 【分析】(1)甲未能参与面试，则甲笔试最多通过一个环节，结合已知条件计算即可；(2)分析3X =时，分析乙笔试和面试分别通过的环节即可求解；(3)首先分别求出甲乙应聘的概率，然后利用独立事件的性质求解即可.【详解】(1)设事件A =“甲未能参与面试”，即甲笔试最多通过一个环节， 故1131131133()(1)(1)(1)(1)(1)2(1)(1)2242242248P A =---+⨯--⨯+--⨯=；(2)当3X =时，可知乙笔试通过两个环节且面试通过1个环节，或者乙笔试通过三个环节且面试都未通过， 3113114343(3)[(1)(1)2][(1)(1)]4224225454P X ==-⨯⨯+⨯⨯-⨯⨯-+-⨯3114313(1)(1)4225480+⨯⨯⨯--=；(3)甲应聘成功的概率为1113113113215[(1)2(1)]2242242243224P =-⨯⨯⨯+⨯⨯-+⨯⨯⨯⨯=， 乙应聘成功的概率为2113113113433[(1)2(1)]224224224548P =-⨯⨯⨯+⨯⨯-+⨯⨯⨯⨯=，由题意可知，Y 的取值可能为0，1，2， 5395(0)(1)(1)248192P Y ==--=， 535341(1)(1)(1)24824896P Y ==⨯-+-⨯=535(2)24864P Y ==⨯=， 所以Y 的分布列如下表：所以数学期望7()12E Y =. 21．(1)证明见解析； (2)证明见解析.【分析】（1）由题意证得//MN AC ,结合线面平行的判定定理，即可证得//MN 平面PAC ；（2）由PA ⊥平面ABC ，证得PA BC ⊥，再由AB AC =，证得AM BC ⊥，根据线面垂直的判定定理证得BC ⊥平面PAM ，进而得到平面PBC ⊥平面PAM . （1）证明：在ABC 中，因为,M N 分别为,BC AB 中点，可得//MN AC , 又因为MN ⊄平面PAC ，AC ⊂平面PAC ，所以//MN 平面PAC . （2）证明：因为PA ⊥平面ABC ，且BC ⊂平面ABC ，可得PA BC ⊥， 又因为AB AC =，且M 为BC 中点，可得AM BC ⊥，又由PA AM A =且,PA AM ⊂平面PAM ，所以BC ⊥平面PAM ， 因为BC ⊂平面PBC ，所以平面PBC ⊥平面PAM . 22．(1)证明见解析 (2)【分析】（1）连接1A B ，1A D ，可证明1AO BD ⊥，再证明1A O OA ⊥，从而可证明结论. （2）由线面垂直的判断定理得AC ⊥平面1A BD ，由11//AC A C 得11A C ⊥平面1A BD ，再由棱锥的体积可得答案. （1）连接11,A D A B ，111,,AD AB A AB A AD A A =∠=∠为公共边，1111,∴≅∴=A AB A AD A D A B ，又O 为BD 的中点，1A O BD ∴⊥，在1A AB 中，由余弦定理可知1A B在1Rt AOB 中1AO =13,A A AO = 满足22211A O AO A A +=1A O OA ∴⊥，又AO BD O ⋂=，1A O ∴⊥平面ABCD .（2）由（1）知1A O ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ， 1A O AC ∴⊥且1BD AC BD AO O ⊥⋂=，， AC ∴⊥平面1A BD ，且11//AC A C ， 11A C ∴⊥平面1A BD ，1111232C A BD V -=⨯⨯。

高一下学期期末考试数学试题第Ⅰ卷 选择题一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}A |2,x x x R =≤∈，集合B 为函数y lg(1)x =-的定义域，则B A I （ ） A ．(1,2) B ．[1,2] C ．[1,2) D ．(1,2]2.已知20.5log a =，0.52b =，20.5c =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．a b c <<B ．c b a <<C ．a c b <<D ．c b a <<3.一个单位有职工800人，其中高级职称160人，中级职称300人，初级职称240人，其余人员100人，为了解职工收入情况，现采取分层抽样的方法抽取容量为40的样本，则从上述各层中依次抽取的人数分别为（ ）A ．15,24,15,19B ．9,12,12,7C ．8,15,12,5D ．8,16,10,6 4.已知某程序框图如图所示，若输入实数x 为3，则输出的实数x 为（ ）A ．15B ．31 C.42 D ．63 5.为了得到函数4sin(2)5y x π=+，x R ∈的图像，只需把函数2sin()5y x π=+，x R ∈的图像上所有的点（ ）A ．横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标伸长到原来的2倍．B ．纵坐标缩短到原来的12倍，横坐标伸长到原来的2倍．C ．纵坐标缩短到原来的12倍，横坐标缩短到原来的12倍． D ．横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标伸长到原来的2倍．6.函数()1ln f x x x=-的零点所在的区间是（ ）A ．(0,1)B ．(1,2) C.(2,3) D ．(3,4)7.下面茎叶图记录了在某项体育比赛中，九位裁判为一名选手打出的分数情况，则去掉一个最高分和最低分后，所剩数据的方差为（ ）A ．327 B ．5 C.307D ．4 8.已知函数()222cos 2sin 1f x x x =-+，则（ ）A ．()f x 的最正周期为2π，最大值为3．B ．()f x 的最正周期为2π，最大值为1． C.()f x 的最正周期为π，最大值为3． D ．()f x 的最正周期为π，最大值为1．9.平面向量a r 与b r 的夹角为23π，(3,0)a =r ，||2b =r ，则|2|a b +=r r （ ）A C.7 D ．3 10.已知函数2log (),0()(5),0x x f x f x x -<⎧=⎨-≥⎩，则()2018f 等于（ ）A ．1-B ．2 C.()f x D ．111.设点E 、F 分别为直角ABC ∆的斜边BC 上的三等分点，已知3AB =，6AC =，则AE AF ⋅u u u r u u u r（ ）A ．10B ．9 C. 8 D ．712.气象学院用32万元买了一台天文观测仪，已知这台观测仪从启动的第一天连续使用，第n 天的维修保养费为446(n )n N *+∈元，使用它直至“报废最合算”（所谓“报废最合算”是指使用的这台仪器的平均每天耗资最少）为止，一共使用了（ ）A ．300天B ．400天 C.600天 D ．800天第Ⅱ卷 非选择题二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13.已知θ为锐角且4tan 3θ=，则sin()2πθ-= ． 14.A 是圆上固定的一点，在圆上其他位置任取一点B ，连接A 、B 两点，它是一条弦，它的长度不小于半径的概率为 ．15.若变量x ，y 满足2425()00x y x y f x x y +≤⎧⎪+≤⎪=⎨≥⎪⎪≥⎩，则32z x y =+的最大值是 ．16.关于x 的不等式232x ax >+（a为实数）的解集为，则乘积ab 的值为 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 在ABC ∆中，角A ，B C ，所对应的边分别为a ，b ，c ，且5a =，3A π=，cos B =（1）求b 的值； （2）求sin C 的值．18. 已知数列{}n a 中，前n 项和和n S 满足22n S n n =+，n N *∈．（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设12n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和n T ． 19. 如图，在ABC ∆中，点P 在BC 边上，AC AP >，60PAC ∠=︒，PC =10AP AC +=．（1）求sin ACP ∠的值；（2）若APB ∆的面积是，求AB 的长．20. 已知等差数列{}n a 的首项13a =，公差0d >．且1a 、2a 、3a 分别是等比数列{}n b 的第2、3、4项． （1）求数列{}n a 与{}n b 的通项公式；（2）设数列{}n c 满足2 (n 1)(n 2)n n na c ab =⎧=⎨⋅≥⎩，求122018c c c +++L 的值（结果保留指数形式）．21.为响应党中央“扶贫攻坚”的号召，某单位知道一贫困村通过种植紫甘薯来提高经济收入．紫甘薯对环境温度要求较高，根据以往的经验，随着温度的升高，其死亡株数成增长的趋势．下表给出了2018年种植的一批试验紫甘薯在不同温度时6组死亡株数：经计算：615705i i i x y ==∑，6214140ii x ==∑，62110464i i y ==∑≈0.00174．其中i x ，i y 分别为试验数据中的温度和死亡株数，1,2,3,4,5,6.i =（1）y 与x 是否有较强的线性相关性？请计算相关系数r （精确到0.01）说明．（2）求y 与x 的回归方程ˆˆˆ+a y bx =（ˆb 和ˆa 都精确到0.01）；（3）用（2）中的线性回归模型预测温度为35C ︒时该批紫甘薯死亡株数（结果取整数）． 附：对于一组数据11(,v )u ，22(,v )u ，L L ，(,v )n n u ，①线性相关系数ni i u v nu vr -=∑，通常情况下当|r |大于0.8时，认为两个变量具有很强的线性相关性．②其回归直线ˆˆv u αβ=+的斜率和截距的最小二乘估计分别为： 1221ˆni i i nii u v nu vunu β==-=-∑∑，ˆˆˆav u β=-；22.已知函数()2lg(a)1f x x =+-，a R ∈． （1）若函数()f x 是奇函数，求实数a 的值；（2）在在（1）的条件下，判断函数()y f x =与函数lg(2)xy =的图像公共点各数，并说明理由；（3）当[1,2)x ∈时，函数lg(2)x y =的图像始终在函数lg(42)xy =-的图象上方，求实数a 的取值范围．答案一、选择题答案9. 【解析】方法1： (1,b =-,2(1,a b +=±,|2|13a b +=。