湖南省长沙市雅礼中学2020届高三数学下学期考前热身训练试题 理

2020届湖南省长沙市雅礼中学高三下学期5月质量检测数学（理）试题一、单选题1．已知集合2{|60}A x x x =-->，{4,3,3,4}B =--，则A B =（ ）A ．{4,3,3,4}--B ．{4,3,3}--C ．{4,3,4}-D ．{4,3,4}--【答案】D【解析】解一元二次不等式化简集合A ，根据交集的定义运算可得答案. 【详解】由题意可得：{3A x x =或}2x <-， 结合交集的定义可知：{4,3,4}A B =--.故选：D. 【点睛】本题考查了一元二次不等式的解法，考查了交集的运算，属于基础题.2．已知复数z 满足(1)34z i i -=-，其中i 为虚数单位，则在复平面内，复数z 对应的点在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】A【解析】根据复数的除法运算求得72i z -=，根据共轭复数的概念得到72iz +=，根据复数的几何意义可得答案. 【详解】 ∵34(34)(1)71(1)(1)2i i i iz i i i --+-===--+. ∴72i z +=，所以复数z 对应的点为71,22⎛⎫⎪⎝⎭. 故选：A . 【点睛】本题考查了复数的除法运算，共轭复数的概念，复数的几何意义，属于基础题.A ．a b c >>B ．a c b >>C ．c a b >>D ．c b a >>【答案】A【解析】根据指数函数、对数函数的单调性可得出1a >，112b <<，102c <<，比较大小可得选项. 【详解】因为44log 6>log 41a ==，331log log 2log 312=<<=，31210222--<<=，所以1a >，112b <<，102c <<.所以a b c >>，故选：A . 【点睛】本题考查指数、对数、幂的大小的比较，通常运用指数函数、对数函数的单调性，与1012，，比较出大小关系，再考虑转化成同底数，同指数，同真数，根据指数函数，对数函数的单调性进行大小的比较，属于中档题．4．若直线20x ay +-=与3610x y -+=垂直，则二项式521ax x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中x 的系数为（ ） A ．2- B ．52-C ．2D ．52【答案】B【解析】由直线20x ay +-=与3610x y -+=垂直，求出a .写出二项式521ax x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式的通项，令x 的次数为1，求出k ，即得x 的系数. 【详解】由题意可得：360a -=，则12a =. 5212x x ⎛⎫∴- ⎪⎝⎭的展开式的通项55210315511(1)22kk kk k k k k x T C C x x ---+⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，令1031k -=，可得()2325153,122k C ⎛⎫=∴-=- ⎪⎝⎭，即x 的系数为5-.【点睛】本题考查两条直线的位置关系，考查二项式定理，属于中档题.5．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，在区间[0,)+∞上单调递增，且(2)0f =，则不等式2(log )0f x >的解集为（ ）A ．1,(4,)4⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭B ．1,2(2,4)4⎛⎫⎪⎝⎭C ．1,1(4,)4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭D ．10,(4,)4⎛⎫⋃+∞ ⎪⎝⎭【答案】D【解析】根据函数()f x 是定义在R 上的偶函数，将不等式2(log )0f x >化为2(|log |)(2)f x f >，根据函数()f x 在区间[0,)+∞上单调递增，可得2|log |2x >，解此不等式可得结果. 【详解】因为函数()f x 是定义在R 上的偶函数，所以()(||)f x f x =，又(2)0f =， 所以不等式2(log )0f x >等价于2(|log |)(2)f x f >， 又函数()f x 在区间[0,)+∞上单调递增，所以2|log |2x >， 所以2log 2x >或2log 2x <-， 所以4x >或104x <<. 故选：D. 【点睛】本题考查了利用函数的奇偶性和单调性解不等式，考查了对数不等式的解法，属于基础题.6．《宋人扑枣图轴》是作于宋朝的中国古画，现收藏于中国台北故宫博物院.该作品简介：院角的枣树结实累累，小孩群来攀扯，枝桠不停晃动，粒粒枣子摇落满地，有的牵起衣角，有的捧着盘子拾取，又玩又吃，一片兴高采烈之情，跃然于绢素之上.甲､乙两人想根据该图编排一个舞蹈，舞蹈中他们要模仿该图中小孩扑枣的爬､扶､捡､顶中的两个动作，两人每人模仿一个动作.若他们采用抽签的方式来决定谁模仿哪个动作，则甲只能模仿“爬”或“扶”且乙只能模仿“扶”或“捡”的概率是（ ）A ．35B ．712C ．14D ．512【答案】C【解析】记“甲只能模仿“爬”或“扶”且乙只能模仿“扶”或“捡””为事件A .列举出全部基本事件，求出事件A 包含的基本事件个数，根据古典概型的概率计算公式，求出事件A 的概率. 【详解】记“甲只能模仿“爬”或“扶”且乙只能模仿“扶”或“捡””为事件A .全部基本事件为：(爬，扶)、(爬，捡)、(爬，顶)、(扶，爬)、(扶，捡)、(扶，顶)、(捡，爬)、(捡，扶)、(捡，顶)、(顶，爬)、(顶，扶)、(顶，捡)共12个. 事件A 包含(爬，扶)、(爬，捡)、(扶，捡)共3个基本事件 故事件A 的概率：()14P A = 故选：C. 【点睛】本题考查古典概型，属于基础题.7．九连环是中国最杰出的益智游戏.九连环有九个相互连接的环组成，这九个环套在一个中空的长形柄中，九连环的玩法就是要将这九个环从柄上解下来，规则如下：如果要解下(或安上)第n 环，则第(1)n -号环必须解下(或安上)，1n -往前的都要解下(或安上)才能实现.记解下n 连环所需的最少移动步数为n a ，已知11a =，22a =，1221(3)n n n a a a n --=++≥，则解六连环最少需要移动圆环步数为（ ）A ．42B ．85C ．256D ．341【答案】A【解析】代入数列的递推式，计算可得所求值. 【详解】由题意可得：321212215a a a =++=++=，2154110a a a =++=++=，543211010121a a a =++=++=， 654212120142a a a =++=++=，故选：A . 【点睛】本题主要考查数列的递推式的运用，考查运算能力，属于基础题.8．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左右焦点分别为1F ，2F ，以12F F 为直径的圆与一条渐近线交于点P (P 在第一象限).1PF 交双曲线的左支于Q ，若12PQ QF =，则双曲线的离心率为（ ） A．12BCD1+ 【答案】A【解析】写出圆方程，与渐近线方程联立解得得P 点坐标，由12PQ QF =可表示出Q 点坐标，Q 点坐标代入双曲线方程整理后可求得e ． 【详解】12(,0),(,0)F c F c -，圆方程为222x y c +=，由222x y c by xa ⎧+=⎪⎨=⎪⎩， 由222+=a b c ，0,0x y >>，解得x ay b=⎧⎨=⎩，即(,)P a b ，设Q (x 0，y 0)，由12PQ QF =，00(,)2(,)x a y b c a b --=---，得023a c x -=，03by =， 因为Q 在双曲线上，∴2222(2)199a c b a b --=，2(12)10e -=，解得e =（e =舍去）， 故选：A ． 【点睛】本题考查求双曲线的离心率，解题关键是找到关于,,a b c 的齐次关系式，由题意中向量的线性关系，可得解法，圆与渐近线相交得P 点坐标，由向量线性关系得Q 点坐标，9．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，16AC BC CC ===.AC BC ⊥，E ､F 分別为1BB ，11AC 中点，过点A ､E ､F 作三棱柱的截面交11B C 于M ，则EM =（ ）A ．9B ．5C 13D ．35【答案】B 【解析】首先延长AF ，1CC 交于点P ，连接PE 交11B C 于M ，连接FM ，取1CC 的中点Q ，连接EQ ，得到四边形AEMF 所求截面，再利用平行的相似比得到M 为11B C 上靠近1B 的三等分点，计算EM 即可. 【详解】如图，延长AF ，1CC 交于点P ，连接PE 交11B C 于M ，连接FM ， 取1CC 的中点Q ，连接EQ ，则四边形AEMF 所求截面. 因为111=,//2FC AC FC AC ，且F 为11A C 的中点， 所以1C 为PC 的中点.又因为Q ，E 分别为1CC ，1BB 的中点，所以1//MC EQ .则1123MC PC EQ PQ ==，即11122433MC EQ B C ===. 所以M 为11B C 上靠近1B 的三等分点. 故222313EM =+=【点睛】本题主要考查了三棱柱的结构特征，同时考查学生分析问题的能力，属于中档题. 10．已知ABC 是边长为3其中心为O ，P 为平面内一点，若1OP =，则PA PB ⋅的最小值是（ ） A ．11- B ．6-C ．3-D ．15-【答案】A【解析】作出图像如下图所示，取AB 的中点为D ，由1OP =，则P 在以O 为圆心，以1为半径的圆上，再由公式()()()()22222+21244PA PB PA PBPD AB PA PB PD ---⋅===-，可得选项.【详解】作出图像如下图所示，取AB 的中点为D ，则31323OD ==，因为1OP =，则P 在以O 为圆心，以1为半径的圆上， 则()()()()22222+21244PA PB PA PBPD AB PA PB PD ---⋅===-.又PD 为圆O上的点P 到D 的距离，则min 211PD =-=， ∴PA PB ⋅的最小值为11-.【点睛】本题考查向量的数量积的最值，转化法是解决此类问题的常用方法，属于中档题. 11．已知函数()cos(2)f x x ϕ=+(π||2ϕ<)，3()()()2F x f x f x '=+为奇函数，则下述四个结论中说法正确的编号是（ ） ①tan 3ϕ=②()f x 在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭有且仅有一个极大值点；③()f x 在[,]a a -上存在零点，则a 的最小值为π6； ④()F x 在π3π,44⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增；A ．①②B ．①③④C ．③④D ．②③④【答案】C【解析】根据()F x 为奇函数，求出π6ϕ=，可知①错误；当5π0,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，当5ππ,122x ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，()0f x '>，可知②错误；根据函数()f x 的零点为ππ26k +，k ∈Z ,可知③正确；当3,44x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，2,232x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，2sin 2y x =为单调递减函数，可知④正确. 【详解】因为()cos(2)f x x ϕ=+，所以()2sin(2)f x x ϕ'=-+，所以3π()()()cos(2)3sin(2)2cos 23F x f x f x x x x ϕϕϕ⎛⎫'=+=++=++ ⎪⎝⎭ 因为()F x 为奇函数，则(0)0F =，即πcos 0ϕ⎛⎫+=，所以k ππϕπ+=+，k Z ∈，因为π||2ϕ<，所以π6ϕ=， 对于①，3tan tan63πϕ==，故①错误； 对于②，因为π()2sin 26f x x ⎛⎫'=-+⎪⎝⎭，当5π0,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，当5ππ,122x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '>，∴()f x 在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上存在一个极小值点，没有极大值点，故②错误；对于③，令()cos 206f x x π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，得ππ26k x =+，k ∈Z ，若()f x 在[,]a a -上存在零点，则0a >且a 的最小值为π6，故③正确； 对于④，()2cos 22sin263F x x x ππ⎛⎫=++=- ⎪⎝⎭，当3,44x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，2,232x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则()F x 在π3π,44⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，故④正确；故选：C. 【点睛】本题考查了函数的奇偶性，考查了利用导数研究函数的极值，考查了函数的零点，考查了正弦函数的单调性，属于中档题.12．如图，正三角形DEF 的边长为5cm ，以等边三角形ABC 为底面，DBA ，ECA △，FBC 分别是以AB ，CA ，BC 为底边的全等的等腰三角形.沿黑实线剪开后，分别以BC ，CA ，AB 为折痕折起DBA ，ECA △，FBC 使得D ，E ，F 重合，得到三棱锥.当ABC 的边长变化时，所得三棱锥体积(单位：3cm )的最大值为（ ）A ．15B ．5C ．125D 453【解析】首先根据题意得到DEF 与ABC 有相同的外接圆圆心，设圆心为O ，AB x =()0x >，三棱锥的高为h ，连接OD 交AB 于G ，从而得到25533h x =-，23ABC S x =△，455512V x x =-，再利用导数即可得到体积的最大值. 【详解】由题知：DEF 与ABC 有相同的外接圆圆心，设圆心为O ，AB x =()0x >，三棱锥的高为h ，连接OD 交AB 于G ，如图所示：因为15532sin 603OD =⋅=2211332OG x x x ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，5333DG x =， 所以2222533255336633h DG OG x x x ⎛⎫⎛⎫=-=--=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2213sin 6024ABC S x x =⋅=△. 故245132555533312V x x x x =-=-令455y x x=-()0x >，()34320554y x x x x '=-=-.当()0,4x ∈，0y '>，y 为增函数，当()4,x ∈+∞，0y '<，y 为减函数.故当4x =时，V 故选：D 【点睛】本题主要考查利用导数求函数的最值，同时考查了三棱锥的体积问题，属于中档题.二、填空题13．已知奇函数()f x 的定义域为R ，且当0x <时，()ln(13)f x x =-，则曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线斜率为________. 【答案】34-. 【解析】根据函数()f x 为奇函数求出当0x >时，()()ln 13f x x =-+，根据导数的几何意义可得结果. 【详解】因为函数()f x 为奇函数，所以()()f x f x -=-，因为当0x <时，()ln(13)f x x =-，所以当0x >时，()()()ln 13f x f x x =--=-+， 所以3()13f x x'=-+，3(1)4f '=-，所以曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线斜率为34-. 故答案为：34-. 【点睛】本题考查了由奇函数求解析式，考查了导数的几何意义，属于基础题.14．2022年北京冬季奥运会将在北京和张家口两个城市举行，北京市某学校为此举办了主题为“迎冬奥运，普及冰雪运动”的手抄报展示活动，学校决定从收集到的300份作品中，抽取15份进行展示，现采用系统抽祥的方法，将这300份作品从001到300进行编号，已知第一组中被抽到的号码为17，则所抽到的最大的号码为________. 【答案】297【解析】根据系统抽样，可知将300份作品分成15组，每组20份，由第一组中被抽到的号码为17，可知最后一组被抽到的是该组第17份，从而可求出对应号码. 【详解】根据系统抽样可知样本间隔为3002015=，从而将300份作品分成15组，每组20份.由题意可得最后一组号码为172014297+⨯=. 故答案为：297. 【点睛】本题考查系统抽样知识，考查学生的推理能力，属于基础题.15．已知椭圆2214y x +=，P 为椭圆上任意一点，过P 分别作与1l ：2y x =和2l ：2y x =-平行的直线，交直线2l ，1l 于M,N ，则||MN 最大值为________. 【答案】2.【解析】根据题意画出示意图，可得四边形PMON 为平行四边形，设11(,)M x y ，22(,)N x y ，00(,)P x y ，根据MN 与OP 的中点相同，换算出关系式02121022y x x y y x ⎧-=⎪⎨⎪-=⎩，再由两点间的距离公式，结合椭圆的性质即可求解. 【详解】由题意，画示意图如下：设11(,)M x y ，22(,)N x y ，00(,)P x y . 则112y x =-，222y x =，由题意可知四边形PMON 为平行四边形，所以()()120211202110202x x x y y y y y x x ⎧+=+=-⎪⎨⎪+=+=-⎩，即02121022y x x y y x ⎧-=⎪⎨⎪-=⎩又因P 为椭圆上任意一点， 所以000022221144y y x x +=⇒=-||MN ∴==== 因为011x -≤≤，∴2001x ≤≤，所以由函数性质知：当201x =时，有||2max MN ==.故答案为： 2 【点睛】本题结合两点间的距离公式考查椭圆的几何性质的应用，考查理解辨析能力与运算求解能力，属于中档题.16．设正数数列{}n a 的前n 项和为n S ，数列{}n S 的前n 项之积为n T ，且1n n S T +=，则数列{}n a 的通项公式是________________. 【答案】1(1)n a n n =+【解析】令1n =可得11112a S T ===，利用n T 的定义，1(2)n nn T S n T -=≥，可得n T 的递推关系，从而得1n T ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，求出n T 后可得n S ，从而可得n a ． 【详解】111T a S ==，∴121a =，112a =，即1112S T ==，1(2)n n n T S n T -=≥，∴11n n n T T T -+=，∴1111n n T T --=，即{}n T 是以2为首项，1为公差的等差数列，故1211n n n T =+-=+，11n T n =+，1n n S n =+，112S =也符合此式，1n n S n =+， ∴当2n ≥时，1111(1)n n n n n a S S n n n n --=-=-=++，又112a =，∴1(1)n a n n =+，故答案为：1(1)n a n n =+.【点睛】本题考查求数列的通项公式，解题中注意数列的和、数列的积与项的关系，进行相应的转化． 如对积n T 有1(2)nn n T S n T -=≥，对和n S 有1(2)n n n a S S n -=-≥，另外这种关系中常常不包括1n =的情形，需讨论以确定是否一致．三、解答题17．已知a ，b ，c 分别是三角形ABC 三个内角A ，B ，C所对的边，2()cos 2sin f A A A A =+.（1）若()3f A =，求角A ； （2）在（1）的条件下，若2tan tan tan b c aB C A+=，a =求三角形ABC 的面积. 【答案】（1）π3；（2）【解析】（1）将函数解析式进行化简整理，根据题意得到等式()f A =π2sin 2136A ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，得到ππ262A -=，从而求得π3A =；（2）由2tan tan tan b c a B C A +=得cos cos 2cos sin sin sin b B c C a AB C A+=，即cos cos 2cos 1B C A +==，结合2π3B C +=的条件，可以断定π3B C ==，从而得到三角形ABC 是等边三角形，利用面积公式求得结果. 【详解】（1）2()cos 2sin 21cos2f A A A A A A =+=+-π2sin 2136A ⎛⎫=-+= ⎪⎝⎭ππ262A -=，π3A =（2）由2tan tan tan b c a B C A +=，则cos cos 2cos sin sin sin b B c C a AB C A +=， 所以cos cos 2cos 1B C A +== 又因为2π3B C +=，所以π3B C ==所以三角形ABC 是等边三角形，由22a =，所以面职为23. 【点睛】该题考查的是有关解三角形的问题，涉及到的知识点有三角恒等变换，已知三角函数值求角，同角三角函数关系式，正弦定理，三角形的面积公式，属于简单题目.18．如图，四棱锥D ABCM -的底面为等腰梯形，//MC AB ，1AM MC CB ===，2AB DB ==，侧面DAM △为正三角形，（1）求证：BM ⊥平面DAM ； （2）在线段BD 上存在一点E ，满足BEBDλ=，求λ值使得平面EMC 与平面ABCM 和平面DMC 所成二面角相等.【答案】（1）证明见解析；（2）254λ=.【解析】（1）延长AM ，BC 交于一点记为点P ，先得BM AM ⊥，再由勾股定理得BM DM ⊥，根据线面垂直判定定理即可得结果；（2）取CM 中点为O ，MC 为y 轴建立空间直角坐标系，取平面ABCM 的法向量为()0,0,1m =，分别求出面CME 法向量为u 和DMC 法向量为n ，根据cos ,cos ,u m u n =即可得结果.【详解】（1）由题等腰梯形中//MC AB 且12MC AB =，延长AM ，BC 交于一点记为点P ， 则三角形ABP 为正三角形，M 为AP 中点，所以BM AM ⊥，且3BM =， 又由题1DM =，2DB =，有勾股定理知道BM DM ⊥， 由于AMDM M =，所以BM ⊥平面DAM .（2）取CM 中点为O ，MC 为y 轴建立空间直角坐标系如图，则10,,02M ⎛⎫- ⎪⎝⎭，10,,02C ⎛⎫ ⎪⎝⎭，3334D -⎝⎭，3B ⎫⎪⎪⎝⎭， 则平面ABCM 为xOy 平面，取法向量为()0,0,1m =由题可设373,4BE BD λλ⎛⎫==-- ⎪ ⎪⎝⎭()01λ<<∴3373,14OE λ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，()0,1,0MC =, 设平面CME 法向量为(),,u x y z =，00u OE u MC ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即03373104y x y z λ=⎧⎪⎫⎨⎛⎫+-=⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩，不妨取()2,0,2u λλ=-同理可求平面DMC 法向量为()2,0,1n =-. 由题可知cos ,cos ,u m u n =，即2425uuλλλ-+-=⨯，所以得3252254λλ+-⇒=±，又01λ<<，所以254λ=.【点睛】本题主要考查了通过线线垂直得到线面垂直，考查了空间向量在求面面角中的应用，考查了学生的计算能力，属于中档题.19．近年来，国资委党委高度重视扶贫开发工作，坚决贯彻落实中央扶贫工作重大决策部署，在各个贫困县全力推进定点扶贫各项工作，取得了积极成效，某扶贫小组为更好的执行精准扶贫政策，为某扶贫县制定了具体的扶贫政策，并对此贫困县2015年到2019年居民家庭人均纯收入(单位：百元)进行统计，数据如下表：年份20152016201720182019年份代号(t)12345人均纯收入(y) 5.8 6.67.28.89.6并调查了此县的300名村民对扶贫政策的满意度，得到的部分数据如下表所示：满意不满意45岁以上村民1505045岁以下村民50（1）求人均纯收入y与年份代号t的线性回归方程；（2）是否有99.9%的把握认为村民的年龄与对扶贫政策的满意度具有相关性？（3）若以该村的村民的年龄与对扶贫政策的满意度的情况估计贫困县的情况，则从该贫困县中任取3人，记取到不满意扶贫政策的45岁以上的村民人数为x，求x的分布列及数学期望.参考公式：回归直线ˆya bx =+中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：()121(,)(,)nii n i x x yy b x x ==--=-∑∑，a y bx =-；22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.临界值表：【答案】（1）ˆ0.98 4.66y t =+；（2）有99.9%的把握认为村民的年龄与扶贫政策的满意度具有相关性；（3）分布列答案见解析，数学期望：12. 【解析】（1）先求出样本中心点，之后利用公式，结合数据，求得结果；（2）利用题中数据，将列联表补齐，利用公式计算得出218.7510.828k =>，从而得出结论；（3）依题意，可知x 的可能取值为0，1，2，3，分别求得其对应的概率，列表得出分布列，利用公式求得期望. 【详解】 （1）依题意：1(12345)35t =++++=， 1(5.8 6.67.28.89.6)7.65y =++++=故()5214101410i i t t =-=++++=∑，()51(,)(2)( 1.8)(1)(1)0(0.4)1 1.2229.8ii t t y y =--=-⨯-+-⨯-+⨯-+⨯+⨯=∑()()()1210.98niii nii tty y b xx ==--==-∑∑∴7.60.983 4.66a y bt =-=-⨯=∴ˆ0.98 4.66yt =+ （2）依题意，完善表格如下：计算得2k 的观测值为22300(150505050)3005000500018.7510.828200100200100200100200100k ⨯⨯-⨯⨯⨯===>⨯⨯⨯⨯⨯⨯故有99.9%的把握认为村民的年龄与扶贫政策的满意度具有相关性. （3）依题意，x 的可能取值为0，1，2，3，从该贫困县中随机抽取一名，则取到不满意扶贫政策的45岁以上村民的概率为16，故35125(0)6216P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，2135125(1)6672P X C ⎛⎫==⨯⨯=⎪⎝⎭，223515(2)6672P X C ⎛⎫==⨯⨯=⎪⎝⎭，33311(3)6216P X C ⎛⎫=== ⎪⎝⎭ 故x 的分布列为则数学期望为12525511()012321672722162E X =⨯+⨯+⨯+⨯=(或由1~3,6X B ⎛⎫⎪⎝⎭)，得11()362E X =⨯=. 【点睛】该题考查的是有关概率统计的问题，涉及到的知识点有回归直线方程的求解，独立性检验，离散型随机变量的分布列及期望，属于中档题目. 20．已知顶点在原点，对称轴为坐标轴的抛物线，过39,24A ⎛⎫-⎪⎝⎭､11,24B ⎛⎫⎪⎝⎭两点，点M 为抛物线上不同于A ､B 的点，并且介于A ､B 两点之间，点N 为直线BM 上一点，满足0AN BM ⋅=.（1）求直线BM 斜率k 的取值范围；（2）当BM MN ⋅取最大值时，求直线BM 的方程. 【答案】（1）(1,1)-；（2）210x y +-=.【解析】（1）根据已知设所求的抛物线方程22,0py x p =>，点A 坐标代入求的抛物线方程为2x y =，设点11(,)M x y ，则211x y =，根据题意，得到13122x -<<， 利用两点斜率坐标公式求得2111111114411222y x k x x x --===+--，进而求得其范围； （2）分0k =和0k ≠两种情况，结合图形可知11||)2BM x k ⎫=-=-⎪⎭，)12||MN x x =-=，3(1)(1)BM MN k k ⋅=--+，11k -<<且0k ≠，构造函数，利用导数求得其最值，进而求得直线方程. 【详解】（1）,A B 分别在第二和第一象限， 设所求的抛物线方程22,0py x p =>， 点A 坐标代入解得12p =， 所求的抛物线方程为2x y =，设点11(,)M x y ，则211x y =，根据题意，得到13122x -<<， 可求得抛物线方程为2x y =，设点11(,)M x y ，则211x y =，13122x -<<，2111111114411222y x k x x x --===+--，所以11k -<<. 所以直线BM 的斜率k 的范围为(1,1)-. （2）方法一：①当0k =时，直线BM 的方程为：14y =，此时1BM MN ⋅=. ②当0k ≠时，设点22(,)N x y ， 直线BM 的方程为1142y k x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，直线AN 的方程为91342y x k ⎛⎫-=-+ ⎪⎝⎭；可解得()2224321k k x k +-=+，由（1）可知112x k =-.结合图形11||)2BM x k ⎫=-=-⎪⎭，212|||MN x x =-=；11k -<<且0k ≠，2||MN =所以3(1)(1)BM MN k k ⋅=-+，11k -<<且0k ≠. 令3()(1)(1)f k k k =-+，由2()(1)(42)f k k k '=--+， 可知()f k 在区间11,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭单调增，在区间1,0,(0,1)2⎛⎫- ⎪⎝⎭单调递减， 因此当12k =-时，()f k 取得极大值为2716，即2716BM MN ⋅=，综上①②可得：当12k =-时，BM MN ⋅取最大值2716，此时直线BM 的方程为210x y +-=. 方法二：42133||||()216BM MN BM MN BM AN AM BM AM x x x ⋅=⋅=⋅-=-⋅=-+-+，13122x -<<，求导可解得. 【点睛】该题考查的是有关解析几何的问题，涉及到的知识点有抛物线方程的求解，直线与抛物线的位置关系，利用导数研究其最值，属于较难题目. 21．已知函数()(,)ln bxf x a b a x=∈+R ，在点(1,(1))f 处的切线为1y =.（1）求函数()f x 的单调区间； （2）若1x ，2x 是函数21()ln ()2g x kx x x k =-∈R 的两个极值点，证明1202x x f +⎛⎫'> ⎪⎝⎭. 【答案】（1）()f x 的单调减区间是10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭和1,1e ⎛⎫⎪⎝⎭，单调增区间是(1,)+∞；（2）证明见解析.【解析】（1）根据(1)1f =，(1)0f '=，解得1a =，1b =，根据导数的符号，结合定义域可得函数的单调区间； （2）根据题意将问题转化为()1ln xk f x x==+有两个实根1x 、2x ，不妨设12x x <，则1211x x e <<<，结合函数()f x 的图象可知，要证1202x x f +⎛⎫'> ⎪⎝⎭，即证1212x x +>，即证122x x +>，即证212x x >-，根据函数()f x 的单调性以及12()()f x f x =，转化为证明11()(2)f x f x >-，然后构造函数，利用导数证明即可. 【详解】 （1）因为()(,)ln bxf x a b a x=∈+R ，所以()()21ln ()ln b a x bx x f x a x +-⋅'=+()2ln ln ba b b x a x -+=+， 由题意可知(1)1f =，(1)0f '=，即1ba =，20ba b a-=， 可解得1a =，1b =. 所以()1ln xf x x=+，则2ln ()(1ln )x f x x '=+，由()0f x '>，得1x >，由()0f x '=得1x=，由()0f x '<得1x <；又()f x 的定义域为10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭，1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，所以()f x 的单调减区间是10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭和1,1e ⎛⎫ ⎪⎝⎭，单调增区间是(1,)+∞.（2）由1x ，2x 是函数21()ln ()2g x kx x x k =-∈R 的两个极值点，得()(1ln )ln g x k x x k x k x '=+-=+-有两个变号零点，令ln 0k x k x +-=即(1ln )k x x +=， 当1ln 0x +=时，上述等式不成立； 当1ln 0x +≠时，上式转化为()1ln xk f x x==+，由（1）知()f x 的单调减区间是10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭和1,1e ⎛⎫ ⎪⎝⎭，单调增区间是(1,)+∞，且10,e x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x <，则函数()f x 的图象大致如图所示；不妨设12x x <，则1211x x e<<<，∴要证1202x x f +⎛⎫'> ⎪⎝⎭，即证1212x x +>，即证122x x +>，即证212x x >-，∵1211x x e<<<，∴121x ->，由（1）知()f x 在(1,)+∞上单调递增， ∴要证212x x >-只需证21()(2)f x f x >-， 又12()()f x f x =，故即证11()(2)f x f x >-令()()(2)h x f x f x =--，11x e ⎛⎫<< ⎪⎝⎭∴22ln ln(2)()()(2)(1ln )(1ln(2))x x h x f x f x x x -'''=--=+++-()2222ln 2ln ln(2)(1ln )(1ln )(1ln )x x x x x x x --<+=+++ 又2ln(2)y x x =-在1,1e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上为增函数，∴22ln(2)ln(211)0y x x =-<⨯-=，∴()0h x <，()h x 在1,1e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减， ∴()(1)0h x h >=，即11()(2)f x f x >-∴1202x x f +⎛⎫'> ⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查了导数的几何意义，考查了利用导数求函数的单调区间，考查了利用导数研究函数的极值点，考查了利用导数证明不等式，考查了转化化归思想，函数与方程思想，属于难题.22．在平面直角坐标中xOy 中，已知曲线1C 的标准方程为221x y +=，将曲线1C 上所有点的横坐标伸长为原来的3倍，纵坐标伸长为原来的4倍，得到曲线2C .以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为πcos 74θ⎛⎫+= ⎪⎝⎭.（1）写出曲线2C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；（2）若直线l 上的两个动点M ，N 满足||MN =P 在曲线2C 上，以M ，N ，P 为顶点构造平行四边形MNPQ ，求平行四边形MNPQ 面积的最大值.【答案】（1）2C ：221916x y +=，l ：7x y -=；（2）. 【解析】（1）利用平面直角坐标系中的伸缩变换代入即可求出2C 的方程，再把极坐标化为直角坐标即可求出直线l 的直角坐标方程；（2）设曲线2C 上的点坐标为(3cos ,4sin )P αα，利用点到直线的距离公式和化一公式求出d 的最大值，再利用求面积的公式代入即可. 【详解】（1）曲线1C 的标准方程为221x y +=，将曲线1C 上所有点的横坐标伸长为原来的3倍，纵坐标伸长为原来的4倍，得到曲线2C 的标准方程为221916x y +=.直线l πcos 74θ⎛⎫+= ⎪⎝⎭. 展开整理为cos sin 7ρθρθ-=， 将cos x ρθ=，sin y ρθ=， 代入整理为7x y -=.（2）设(3cos ,4sin )P αα，则点P 到直线7x y -=的距离d ===，所以max d ==sin()1αφ-=，即π2π()2k k αφ-=+∈Z 取到.所以平行四边形MNPQ 面积的最大值122=⨯⨯=【点睛】本题主要考查直角坐标系中的伸缩变换以及极坐标与直角坐标的互化，利用曲线的参数方程求最值问题.属于中档题. 23．已知不等式15|2|22x x -++≤的解集为M . （1）求集合M ；（2）设集合M 中元素的最大值为t .若0a >，0b >，0c >，满足111223t a b c++=，求2993a b c ++的最小值. 【答案】（1）1,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦；（2）14. 【解析】（1）利用绝对值不等式和已知条件得出15|2|22x x -++=，解出x 的范围即可；（2）利用三个数的柯西不等式配凑整理即可得出结果.【详解】（1）115|2|(2)222x x x x ⎛⎫-++≥--+≥ ⎪⎝⎭， 又因为15|2|22x x -++≤， 所以15|2|22x x -++=， 当21x <-时，()135122,2222x x x x ⎛⎫---+=-+==- ⎪⎝⎭舍去，当122x -≤≤时，()15222x x ⎛⎫--++= ⎪⎝⎭成立，当2x >时，()13522,2222x x x x ⎛⎫-++=-== ⎪⎝⎭舍去， 则122M x x ⎧⎫=-≤≤⎨⎬⎩⎭（2）设集合M 中元素的最大值为2t =， 即111423a b c++=. 又因为22121111199349932344a b c a b c a b c ⎫⎛⎫⎛⎫++=++++≥++= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭所以即2993a b c++的最小值14， 当且仅当34a =，38b =，14c =时取等号.【点睛】本题主要考查了绝对值不等式和柯西不等式.属于中档题.。

2022-2021学年湖南省雅礼中学高三（下）其次次月考数学试卷（理科）一．选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.把答案填在答题卡中对应题号的框框内.）1．已知集合A={﹣2，﹣1，0，1，2，3}，集合，则A∩B等于（）A．{﹣2，﹣1，0，1} B．{﹣1，0，1} C．{﹣1，0，1，2} D．{﹣1，0，1，2，3}2．若A、B均是非空集合，则A∩B≠∅是A⊆B的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．即不充分也不必要条件3．（中诱导公式、基本公式）已知，且，则tan（2π﹣α）的值为（）A．B．C．D．4．如图，水平放置的三棱柱的侧棱长和底边长均为2，且侧棱AA1⊥面A1B1C1，正视图是边长为2的正方形，俯视图为一个等边三角形，该三棱柱的左视图面积为（）A．2B．C．2D．45．已知向量满足：，与的夹角为，则=（）A．2 B．4 C．2D．86．设x，y 满足约束条件，则目标函数z=的最小值为（）A．2 B．1 C．D．﹣27．设f（x）定义如下面数表，{x n}满足x0=5，且对任意自然数n均有x n+1=f（x n），则x2022的值为（）x 1 234 5f（x）4 135 2A．4 B．1 C．3 D．28．如图，长沙河西先导区某广场要划定一矩形区域ABCD，并在该区域内开拓出三块外形大小相同的矩形绿化区，这三块绿化区四周和绿化区之间设有1米宽的走道．已知三块绿化区的总面积为800平方米，则该矩形区域ABCD占地面积的最小值为（）平方米．A．900 B．920 C．948 D．9689．已知函数，若存在x1＜x2，使得f（x1）=f（x2），则x1•f（x2）的取值范围为（）A．B．C．D．10．设定义在R上的偶函数f（x）满足f（x+2）=f（x），f′（x）是f（x）的导函数，当x∈[0，1]时，0≤f（x）≤1；当x∈（0，2）且x≠1时，x（x﹣1）f′（x）＜0．则方程f（x）=lg|x|根的个数为（）A．12 B．1 6 C．18 D．20二．填空题：本大题共1小题，考生作答5小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上．（一）选做题（请考生在第11、12、13题中任选两题作答，假如全做，则按前两题给分）【几何证明选讲】11．如图，PC切⊙O于点C，割线PAB经过圆心O，弦CD⊥AB于点E，已知⊙O的半径为3，PA=2，则OE=．【极坐标系与参数方程选讲】12．已知曲线C的参数方程为（θ为参数），直线l的极坐标方程为，它们的交点在平面直角坐标系中的坐标为．【不等式选讲】1011•天津）已知集合A={x∈R||x+3|+|x﹣4|≤9}，B=，则集合A∩B=．（二）必做题（14～16题）14．设（其中e为自然对数的底数），则的值为．15．动点A（x，y）在圆x2+y2=1上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转，12秒旋转一周．已知时间t=0时，点A的坐标是，则当0≤t≤12时，动点A的纵坐标y关于t（单位：秒）的函数的单调递增区间是．16．已知数列{a n}的前n项和S n=（﹣1）n •n，若对任意正整数n，（a n+1﹣p）（a n﹣p ）＜0恒成立，则实数P 的取值范围是．三．解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．17．设函数．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；（Ⅱ）当时，求函数f（x）的最大值和最小值．18．设数列{a n}的前n项和为S n，已知对任意正整数n，都有S n+2=2a n成立．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设，数列{b n}的前n项和为T n，求证：T n＜3．19．如图所示，在平面四边形ABCD中，，与的夹角为，与的夹角为．（1）求△CDE的面积S；（2）求．20．已知函数f（x ）=lnx﹣ax+﹣1（a∈R）（1）当a=﹣1时，求曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；（2）当a≤时，争辩f（x）的单调性．21．若数列{a n}（n∈N*）满足：①a n≥0；②a n﹣2a n+1+a n+2≥0；③a1+a2+…+a n≤1，则称数列{a n}为“和谐”数列．（1）已知数列{a n}，（n∈N*），推断{a n}是否为“和谐”数列，说明理由；（2）若数列{a n}为“和谐”数列，证明：．（n∈N*）22．已知函数f（x）=（1）当x＞0时，证明：f（x）＞；（2）当x＞﹣1且x≠0时，不等式f（x）＜恒成立，求实数k的值．2022-2021学年湖南省雅礼中学高三（下）其次次月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一．选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.把答案填在答题卡中对应题号的框框内.）1．已知集合A={﹣2，﹣1，0，1，2，3}，集合，则A∩B等于（）A．{﹣2，﹣1，0，1} B．{﹣1，0，1} C．{﹣1，0，1，2} D．{﹣1，0，1，2，3}考点：交集及其运算．专题：集合．分析：依据集合的基本运算进行求解即可．解答：解：∵A={﹣2，﹣1，0，1，2，3}，集合，∴A∩B={﹣1，0，1}，故选：B点评：本题主要考查集合的基本运算，比较基础．2．若A、B均是非空集合，则A∩B≠∅是A⊆B的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．即不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的推断．专题：规律型．分析：推断出“A∩B≠∅”成立推不出“A⊆B”反之，若“A⊆B”成立，则能推出A∩B≠∅”确定成立，利用充要条件的有关定义得到结论．解答：解：若“A∩B≠∅”成立推不出“A⊆B”反之，若“A⊆B”成立，则有A∩B=A≠∅，所以A∩B≠∅”确定成立，所以A∩B≠∅是A⊆B的必要不充分条件，故选B．点评：本题考查推断一个条件是另一个的什么条件，应当先化简各个条件，若条件是数集的形式，常转化为推断集合间的包含关系．3．（中诱导公式、基本公式）已知，且，则tan（2π﹣α）的值为（）A．B．C．D．考点：同角三角函数基本关系的运用．专题：计算题．分析：先依据诱导公式化简已知条件，得到sinα的值，然后由α的范围，利用同角三角函数间的基本关系求出cosα的值，把所求的式子利用诱导公式化简后，再依据同角三角函数间的基本关系把切化弦后，将sinα和cosα的值代入即可求出值．解答：解：由，又，得，则．故选B点评：此题考查同学机敏运用诱导公式及同角三角函数间的基本关系化简求值，是一道中档题．同学在求cosα的值时应留意α的范围．4．如图，水平放置的三棱柱的侧棱长和底边长均为2，且侧棱AA1⊥面A1B1C1，正视图是边长为2的正方形，俯视图为一个等边三角形，该三棱柱的左视图面积为（）A．2B．C．2D．4考点：简洁空间图形的三视图．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：三棱柱的左视图是一个矩形，矩形的长是三棱柱的侧棱长，宽是底面三角形的一条边上的高，在边长是2的等边三角形中做出底边上的高的长度，得到结果．解答：解：由题意知三棱柱的左视图是一个矩形，矩形的长是三棱柱的侧棱长，宽是底面三角形的一条边上的高，在边长是2的等边三角形中，底边上的高是，∴侧视图的面积是2故选：A．点评：本题考查简洁的空间图形三视图，考查三视图的面积的计算，考查通过原图观看三视图的大小，比较基础．5．已知向量满足：，与的夹角为，则=（）A．2 B．4 C．2D．8考点：平面对量数量积的运算．。

雅礼中学2020届高考模拟卷（一）数学（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1. 若复数z 的共轭复数z 满足：31i z =+，则复数z 对应的点在（ ） A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限2. 已知集合(){}2|log 11x P x =-<，2|1Q x x ⎧<=⎫⎨⎬⎩⎭，则()P Q R等于（ ）A. (]1,2B. []0,2C. 1,2D. (]03,3. 某商家统计了去年P ，Q 两种产品的月销售额（单位：万元），绘制了月销售额的雷达图，图中A 点表示P 产品2月份销售额约为20万元，B 点表示Q 产品9月份销售额约为25万元.根据图中信息，下面统计结论错误．．的是（ ） A. P 产品的销售额极差较大 B. P 产品销售额的中位数较大 C. Q 产品的销售额平均值较大D. Q 产品的销售额波动较小4. 《九章算术⋅衰分》中有如下问题:“今有甲持钱五百六十,乙持钱三百五十，丙持钱一百八十，凡三人俱出关，关税百钱.欲以钱数多少衰出之,问各几何?”翻译为“今有甲持钱560,乙持钱350,丙持钱180,甲、乙、丙三个人一起出关，关税共计100钱,要按个人带钱多少的比例交税,问三人各应付多少税?”则下列说法中错误的是（ ） A. 甲付的税钱最多 B. 乙、丙两人付的税钱超过甲 C. 乙应出的税钱约为32D. 丙付的税钱最少5. 函数2233x y x =-的图象大致是（ ）A.B.CD.6. 抛物线216x y =的焦点到圆22:680C x y x +-+=上点的距离的最大值为（ ）A. 6B. 2C.14+D.164+ 7. 要得到函数πcos 26y x ⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象，可把函数πsin 26y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象（ ） A 向右平移π6B. 向右平移π12C. 向左平移π6D. 向左平移π128. 若曲线e x y =关于直线()0y x m m =+≠的对称曲线是()ln y x a b =++，则ba的值为（ ） A. 2B. 1-C. 1D. 不确定9. 如果()3*1nx n x ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭N 的展开式中存在正的常数项，则n 的最小值为（ ） A. 2B. 4C. 8D. 2810. 若实数x ，y 满足10300x y x y x -+≤⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩，且()232x y k x +-≥-恒成立，则k 的取值范围是（ ）A. (],1-∞-B. (],1-∞C. [)1,-+∞D. [)1,+∞11. 设22221111483444541004M ⎛⎫=++++⎪----⎝⎭，则与M 最接近的整数为（ ）A. 18B. 20C. 24D. 25..12. 如图，四边形ABCD的面积为90ABD BDC ∠=∠=︒，把BCD 绕BD 旋转，使点C 运动到P ，此时向量BA 与向量DP 的夹角为90°.则四面体ABDP 外接球表面积的最小值为（ ）A.π3B.C. 8πD. 10π二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13. 设随机变量X 服从正态分布()0,1N ，如果()10.8413P X ≤=，则()10P X -<<= ________. 14. 数列{}n a 是公差不为零的等差数列，它的前n 项的和为n S ，若515S =且2a ，4a ，5a 成等比数列，则9S 的值为________.15. 已知向量,a b 的夹角为θ，π2π33θ≤≤，a b a b λ==+，则λ的取值范围是________. 16. 已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>左，在焦点分别为1F ，2F ，A 为双曲线C 右支上一点，直线1F A 与双曲线C 的左支相交于B ，如果21:3:5B A F F =，且2ABF 的周长为14a ，则双曲线C 的离心率为________.三、解答题：本大题共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 在锐角ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知()sin cos A B C -=.. （1）求B 的值； （2）求cos cos a C c Ab-的取值范围.18. 在四棱锥P ABCD -中，12AP PD DC CB BA ====，PB PC =,90APD DCB CBA ∠=∠=∠=︒. 的（1）证明：平面PAD ⊥平面ABCD ； （2）求直线PB 与平面PCD 夹角的正弦值.19. 在平面直角标系xOy中，点P ⎛ ⎝⎭在椭圆()2222:10x y M a b a b +=>>（1）求椭圆M 的标准方程；（2）过椭圆M 的右顶点A 作椭圆M 的两条弦AB 、AC ，记直线AB 、AC ，BC 的斜率分别为1k 、2k 、k ，其中1k 、2k 的值可以变化，当1k =，求1212k k k k --的所有可能的值.20. 已知函数()()ln 1sin f x ax x x =-+-.（1）若直线y x =与函数()y f x =的图象相切于原点，试判断()f x 在区间()0,∞+上的单调性； （2）若函数()f x 在区间()1,0-上有零点，求实数a 取值范围.21. 某校数学兴趣小组由水平相当n 位同学组成，他们的学号依次为1，2，3，…，n .辅导老师安排一个挑战数学填空题的活动，活动中有两个固定的题，同学们对这两个题轮流作答，每位同学在四分钟内答对第一题及四分钟内答对第二题的概率都为12，每个同学的答题过程都是相互独立的挑战的具体规则如下： ①挑战的同学先做第一题，第一题做对才有机会做第二题；②挑战按学号由小到大的顺序依次进行，第1号同学开始第1轮挑战； ③若第()1,2,3,,1i i n =-号同学在四分钟内未答对第一题，则认为第i 轮挑战失败，由第1i 号同学继续挑战； ④若第()1,2,3,,1i i n =-号同学在四分钟内答对了第一题，满四分钟后，辅导老师安排该生答第二题，若该生在四分钟内又答对第二题，则认为挑战成功挑战在第i 轮结束；若该生在四分钟内未答对第二题，则也认为第i 轮挑战失败，由第1i号同学继续挑战；⑤若挑战进行到了第n 轮，则不管第n 号同学答对多少题，下轮不再安排同学挑战.的的令随机变量n X 表示n 名挑战者在第()1,2,3,,n n X X n =⋅⋅⋅轮结束. （1）求随机变量4X 的分布列；（2）若把挑战规则①去掉，换成规则⑥：挑战的同学先做第一题，若有同学在四分钟内答对了第一题，以后挑战的同学不做第一题，直接从第二题开始作答.令随机变量n Y 表示n 名挑战者在第()1,2,3,,n n Y Y n =⋅⋅⋅轮结束. （ⅰ）求随机变量()*,2n Y n N n ∈≥的分布列； （ⅱ）证明()()()()()23453n E Y E Y E Y E Y E Y <<<<<<<.22. 在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为33cos 1cos 62cos 1cos x y θθθθ-⎧=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩（θ为参数），以坐标原点O 为极点、x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C的极坐标方程为：22π214θρ⎛⎫-- ⎪⎝⎭=，曲线1C 与曲线2C 相交于点A 、B ，与y 轴相交于点P .（1）写出曲线1C 的普通方程及曲线2C 的直角坐标方程；（2）求11PA PB+的值. 23. 已知关于x 的不等式121x x m --+≥+有解，记实数m 的最大值为M . （1）求实数m 的取值范围；（2）正数a 、b 、c 满足22a b c M ++=，求证：1349a b b c c a++≥+++.。

雅礼中学2020届高三月考试卷（五）数学（理科）一、选择题1.复数z 满足()214z i i +=，则复数z 的共轭复数z =（ ）A. 2B. -2C. 2i -D. 2i【答案】A【分析】根据复数的乘法与除法运算,化简即可求得复数z .结合共轭复数的定义即可得z .【详解】将式子()214z i i +=化简可得 ()244221ii z ii ===+ 根据共轭复数定义可知2z =故选:A【点睛】本题考查了复数乘法与除法的运算,共轭复数的概念,属于基础题.2.已知命题p ：x R ∀∈，2230x x -+≥；命题q ：若22a b <，则a b <，下列命题为假命题的是（ ）A. p q ∨B. ()p q ∨⌝C. p q ⌝∨D. ()p q ⌝∨⌝【答案】C【分析】解不等式可判断命题p ,根据不等式性质可判断q ,即可由复合命题的性质判断命题真假.【详解】命题p :x R ∀∈,2230x x -+≥因为()2120x -+≥,所以命题p 为真命题命题q ：若22a b <,则a b <,当1,4a b ==-时不等式不成立,所以命题q 为假命题由复合命题真假判断可知p q ∨为真命题;()p q ∨⌝为真命题;p q ⌝∨为假命题;()p q ⌝∨⌝为真命题 综上可知,C 为假命题 故选:C【点睛】本题考查了命题真假的判断,复合命题真假的判断,属于基础题. 3.已知3na x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中各项的二项式系数之和为32，且各项系数和为243，则展开式中7x 的系数为（ ）A. 20B. 30C. 40D. 50【答案】C 【分析】根据二项式系数和可求得n 的值,由各项系数和可求得a 的值,进而由二项定理展开式的通项求得7x 的系数即可. 【详解】因为3n a x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中各项的二项式系数之和为32 则232n =,解得5n = 所以二项式53a x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭ 因为53a x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式各项系数和为243 令1x =,代入可得()5512433a ==+ 解得2a = 所以二项式为532x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭ 则该二项式展开式的通项为()5315415522rr r r r r r T C x C x x --+⎛⎫=⋅=⋅ ⎪⎝⎭ 所以当展开式为7x 时,即1547r x x -= 解得2r =则展开式的系数为225241040C ⋅=⨯= 故选：C【点睛】本题考查了二项定理的综合应用,二项式系数与项的系数概念,二项展开式的通项及应用,属于基础题.4.中国古代数学著作《算法统宗》中记载了这样的一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还”，其大意为：有一个人走了378里路，第一天健步行走，从第二天起其因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达了目的地，问此人第三天走的路程里数为（ ）A. 192B. 48C. 24D. 88 【答案】B【分析】根据题意可知此人行走的里程数为等比数列,设出第一天行走的里程,即可由等比数列的前n 项和公式,求得首项.即可求得第三天行走的路程里数.【详解】由题意可知此人行走的里程数为等比数列设第一天行走的路程为m ,且等比数列的公比为12q =则由等比数列的前n 项和公式()111n n a q S q -=- 代入可得6112378112m ⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦=- 解得192m = 根据等比数列的通项公式11n n a a q -=代入可得231192482a ⎛⎫=⨯= ⎪⎝⎭ 故选:B 【点睛】本题考查了等比数列通项公式及前n 项和公式的实际应用,对题意理解要正确,属于基础题. 5.ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若sin A ，sin B ，sin C 成等比数列，且2c a =，则sin B 的值为（ ） A. 34B. C. 1D. 【答案】B【分析】根据sin A ,sin B ,sin C 成等比数列,再由正弦定理可得2b ac =.结合2c a =,代入余弦定理,即可求得cos B ,再由同角三角函数关系式即可求得sin B .【详解】因为sin A ,sin B ,sin C 成等比数列则2sin sin sin B A C =⋅ 由正弦定理sin ,sin ,sin ,222a b c A B B R R R===代入可得2b ac = 又因为2c a =,代入余弦定理2222cos b a c ac B =+- 代入化简可得2223cos 24b ac B ac +-== 因为0B π<<,所以sin 0B >而由同角三角函数关系式,可知sin B === 故选:B 【点睛】本题考查了等比中项定义及应用,正弦定理与余弦定理解三角形,同角三角函数关系式应用,综合性强,但难度不大,属于中档题.6.执行如图所示的程序框图，若输出的ｋ＝6，则输入整数p 的最大值是（ ）。

2024学年湖南省雅礼中学高三考前热身练习数学试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。

用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上。

将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。

2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。

答案不能答在试题卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

4．考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．用数学归纳法证明，则当时，左端应在的基础上加上（ ）A ．B ．C ．D ．2．如图，在等腰梯形ABCD 中，//AB DC ，222AB DC AD ===，60DAB ∠=︒，E 为AB 的中点，将ADE ∆与BEC ∆分别沿ED 、EC 向上折起，使A 、B 重合为点F ，则三棱锥F DCE -的外接球的体积是（ ）A 6B 6C ．32π D ．23π 3．已知半径为2的球内有一个内接圆柱，若圆柱的高为2，则球的体积与圆柱的体积的比为（ ） A ．43B ．916C ．34D ．1694．设i 是虚数单位，若复数103m i++（m R ∈）是纯虚数，则m 的值为（ ） A ．3-B ．1-C ．1D ．35．已知直线y =k (x +1)(k >0)与抛物线C 2:4y x =相交于A ，B 两点，F 为C 的焦点，若|FA |=2|FB |，则|FA | =（ ） A ．1B ．2C ．3D ．46．若ABC ∆的内角A 满足2sin 23A =-，则sin cos A A -的值为（ ）A ．153B ．15-3C ．53D ．5-37．已知抛物线()220y px p =>经过点()2,22M ，焦点为F ，则直线MF 的斜率为（ ）A ．22B ．24C ．22D ．22-8．若函数()xf x e =的图象上两点M ，N 关于直线y x =的对称点在()2g x ax =-的图象上，则a 的取值范围是（ ） A ．,2e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B ．(,)e -∞C ．0,2e ⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．(0,)e9．总体由编号为01，02，...，39，40的40个个体组成.利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表（如表）第1行的第4列和第5列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为（ ）A ．23B ．21C ．35D ．3210．已知01a b <<<，则（ ）A ．()()111bba a ->- B ．()()211b ba a ->- C ．()()11ab a b +>+ D ．()()11a ba b ->-11．已知平面向量a b ，满足21a b a ＝，＝,与b 的夹角为2 3π，且)2(()a b a b λ⊥+－，则实数λ的值为（ ） A ．7-B ．3-C ．2D ．312．已知集合1|2A x x ⎧⎫=<-⎨⎬⎩⎭，{|10}B x x =-<<则AB =（ ）A ．{|0}x x <B ．1|2x xC ．1|12x x ⎧⎫-<<-⎨⎬⎩⎭D ．{|1}x x >-二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2020届湖南雅礼中学新高考原创考前信息试卷（八）理科数学★祝考试顺利★ 注意事项：1、考试范围：高考范围。

2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。

3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。

4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

6、主观题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

7、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

8、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

一、选择题1.已知集合{|1}A x x =≥-，则正确的是（ ） A. 0⊆AB. {0}A ∈C. A φ∈D.{0}A ⊆【答案】D 【解析】 【分析】由元素与集合以及集合与集合的关系即可求解. 【详解】对A ，0A ∈,故A 错误； 对B ，{0}A ⊆，故B 错误；对C ，空集φ是任何集合的子集，即A φ⊆，故C 错误； 对D ，由于集合{0}是集合A 的子集，故D 正确.故选：D【点睛】本题主要考查了元素与集合以及集合与集合之间的关系，要注意区分，属于基础题. 2.已知函数()f x 的导函数()f x ',且满足()()21ln f x xf x '=+，则()1f '＝( ) A. e - B. 1-C. 1D. e【答案】B 【解析】 【分析】对函数进行求导，然后把1x =代入到导函数中，得到一个方程，进行求解。