关于三元函数条件极值的充分条件_王中良

本科生毕业论文题目：三元函数的极值及实例应用*名：***学号： ************专业：应用数学年级： 2010级学院：数学与统计学院完成日期：14年5月25日指导教师：彭德军老师本科生毕业论文独创性声明本人声明所呈交的毕业论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，本论文中没有抄袭他人研究成果和伪造数据等行为。

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论文作者签名：日期：指导教师签名：日期：目录引言 (1)1 一、二元函数的极值及最值问题 (1)1．1一元函数的极值及最值 (1)1．2二元函数的极值及最值 (2)1．2．1 二元函数极值的定义 (2)1．2．2 二元函数取得极值的条件 (3)1．2．3 求二元函数极值的一般步骤 (3)2三元元函数的极值及应用 (4)2．2．1 三元函数极值的定义 (2)2．1．2 三元函数取得极值的条件 (5)3 三元函数求解极值的步骤 ............. 错误!未定义书签。

4 求三元函数极值的例子............... 错误!未定义书签。

5 结束语 (9)参考文献 (10)谢辞................................. 错误!未定义书签。

三元函数的极值及实例应用作者：吕思毕指导老师：彭德军老师（海南师范大学数学与应用数学，海口市，571158）摘要：本篇文章先从一元函数的极值与二元函数的极值的基础知识入手并讨论它们的定义、取极值的条件以及一元、二元函数的实例，而后把一、二元函数的极值问题推理到三元函数。

在实际问题中经常要遇到求三元以上函数的极值问题，对此可由二次型的正定性加以解决.定义1 设n 元函数12()(,,)n f X f x x x = 在12(,,,)T n n X x x x R =∈ 的某个邻域内有一阶、二阶连续偏导数。

记12()()()(),,,n f X f X f X f X x x x ⎛⎫∂∂∂∇= ⎪∂∂∂⎝⎭ , ()f X ∇称为函数()f X 在点12(,,,)T n X x x x = 处的梯度.定义3 满足0()0f X ∇=的点0X 称为函数()f X 的驻点.定义4222211212222212()()()()()()()()n i j n n n n n f X f X f X x x x x x f X H X x x f X f X f X x x x x x ⨯⎛⎫∂∂∂ ⎪∂∂∂∂∂⎪⎛⎫∂ ⎪== ⎪ ⎪∂∂ ⎪⎝⎭∂∂∂ ⎪ ⎪∂∂∂∂∂⎝⎭ 称为函数12()(,,)n f X f x x x = 在点n X R ∈处的黑塞矩阵。

显然()H X 是由()f X 的2n 个二阶偏导数构成的n 阶实对称矩阵.定理8(极值存在的必要条件) 设函数()f X 在点000012(,,,)T n X x x x = 处存在一阶偏导数，且0X 为该函数的极值点，则0()0f X ∇=.定理9(极值的充分条件) 设函数()f X 在点0n X R ∈的某个邻域内具有一阶、二阶连续偏导数，且000012()()()(),,,0n f X f X f X f X x x x ⎛⎫∂∂∂∇== ⎪∂∂∂⎝⎭则 : (1)当0()H X 为正定矩阵时，0()f X 为()f X 的极小值;(2)当0()H X 为负定矩阵时，0()f X 为()f X 的极大值; (3)当0()H X 为不定矩阵时，0()f X 不是()f X 的极值。

应注意的问题：利用二次型的正定性来判断多元函数的极值虽然是一个很好的方法,但也有一定的局限性,因为充分条件对正定和负定的要求是很严格的,若条件不满足,那结论就不一定成立.例3 求三元函数222(,,)23246f x y z x y z x y z =++++-的极值. 解 先求驻点，由220440660x y z f x f y f z ⎧=+=⎪=+=⎨⎪=-=⎩ 得1,1,1x y z =-=-=所以驻点为0(1,1,1)P--. 再求(Hessian)黑塞矩阵因为2,0,0,4,0,6xx xy xz yy yz zz f f f f f f ======,所以200040006H ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，可知H 是正定的，所以(,,)f x y z 在0(1,1,1)P --点取得极小值：(1,1,1)6f --=-.当然，此题也可用初等方法222(,,)(1)2(1)3(1)6f x y z x y z =++++--求得极小值6-，结果一样.4.2投入产出的矩阵理论 投入产出分析对于生产生活中有着非常广泛和重要的作用，它是利用数学理论和计算机技术来对经济活动中生产部门和消费部门之间的相互关系进行研究的,尤其是研究和分析各部门在产品生产和消费之间的数量关系。

三元函数微分学微积分是数学的一大分支，它主要研究的是函数的导数和积分。

而三元函数微分学则是微积分学中的一部分，它主要研究的是与三元函数相关的导数和偏导数。

一、三元函数的定义三元函数是指具有三个自变量的函数，它可以表示为：f(x,y,z)其中x,y,z是自变量，f(x,y,z)是因变量。

二、三元函数的偏导数在三元函数中，如果我们只考虑其中一个自变量的变化对函数值的影响，而忽略其他自变量的影响，就得到了一个偏导数。

以x为例，f(x,y,z)对x的偏导数表示为：∂f/∂x其中∂表示偏导数的符号。

同样，我们也可以得到f(x,y,z)关于y和z的偏导数。

三、三元函数的全微分在微积分中，全微分是指当自变量发生微小变化时因变量的变化量。

对于三元函数而言，它的全微分可以表示为：df = (∂f/∂x)dx + (∂f/∂y)dy + (∂f/∂z)dz其中dx,dy,dz分别表示x,y,z的微小变化量。

四、三元函数的链式法则链式法则是微积分中的一个重要概念，它主要用于求复合函数的导数。

在三元函数中，我们同样可以利用链式法则来求解。

具体而言，假设有函数：f(x,y,z) = g(u,v,w)其中x,y,z是u,v,w的函数，即：x = x(u,v,w)y = y(u,v,w)z = z(u,v,w)那么f对u的导数可以表示为：∂f/∂u = (∂f/∂x)(∂x/∂u) + (∂f/∂y)(∂y/∂u) + (∂f/∂z)(∂z/∂u)同理，我们也可以得到f对v和w的导数。

五、三元函数的极值在三元函数中，极值指的是函数取得最大值或最小值的点。

要找出函数的极值，我们需要先求出函数的一阶和二阶偏导数，然后解出导数为0的自变量值，再根据二阶偏导数的符号来判断极值类型。

六、三元函数的泰勒展开式泰勒展开式是微积分中的一个重要概念，它可以将一个函数在某个点的邻域中用无限级数来表示。

对于三元函数而言，泰勒展开式可以表示为：f(x,y,z) = f(a,b,c) + (∂f/∂x)(x-a) + (∂f/∂y)(y-b) + (∂f/∂z)(z-c) +1/2!(∂²f/∂x²)(x-a)² + 1/2!(∂²f/∂y²)(y-b)² + 1/2!(∂²f/∂z²)(z-c)² +1/2!(∂²f/∂x∂y)(x-a)(y-b) + 1/2!(∂²f/∂x∂z)(x-a)(z-c) + 1/2!(∂²f/∂y∂z)(y-b)(z-c) + ...其中a,b,c是展开点，展开式右侧的每一项都是该点处的偏导数或二阶偏导数的乘积。

专题-三次函数中的条件最值问题
三次函数往往在优化问题中发挥重要作用，并且可以通过巧妙地引入限制条件来解决最值问题。

如果我们需要找到一个三次函数的最大或最小值，而且这个函数同时受到其他约束条件的限制，我们需要进行一些额外的步骤。

首先，我们需要找到三次函数的导数和二阶导数。

通过求解一阶导数等于0的方程组，我们可以找到可能的最值点，通过求解二阶导数的符号，我们可以确定这些可能最值点的类型：极小值、极大值或拐点。

接下来，我们需要考虑给定约束条件。

最常见的是等式约束，例如$x+y=1$。

在这种情况下，我们可以通过将约束用其对应的解析式代替$x$或$y$，从而以单个变量的形式重新表达函数。

例如，如果我们的函数是$f(x,y)=x^3+3x^2y+y^3$，而我们有$x+y=1$的约束条件，那么我们可以将它重写为$f(x)=x^3+3x^2(1-x)+(1-x)^3$。

现在我们只需要在新的函数上应用前面描述的方法来找到可能最值点，并检查这些点是否满足约束条件。

另一种常见的约束条件是不等式约束，例如$x\geq0$。

在这种情况下，我们需要找到产生最值的可能点，并检查这些点是否在约束区域内。

这通常需要利用图形或几何的方法来确定可能点的位置和形状。

在完成这些步骤后，我们应该得到符合条件的最值点和相应的最值。

如果我们使用的方法正确，我们应该能够很容易地扩展这种方法来解决更加复杂的三次函数约束最值问题。

函数有极值的充分条件定理（充分条件）设函数),(y x f z =在点),(00y x 的某邻域内连续，有二阶连续偏导数， 一、函数有极值的充分条件又 0),(00=y x f x , 0),(00=y x f y ， 令 A y x f xx =),(00， B y x f xy =),(00， C y x f yy =),(00， 则),(y x f 在点),(00y x 处是否取得极值的条件如下：（1）02>-B AC 时具有极值，当0<A 时有极大值， 当0>A 时有极小值； （2）02<-B AC 时没有极值； （3）02=-B AC 时可能有极值,也可能没有极值，还需另作讨论．例题 求由方程y x z y x 22222+-++0104=--z 确定的函数),(y x f z =的极值 将方程两边分别对y x ,求偏导⎩⎨⎧='-+'⋅+='--'⋅+0422204222y y x x z z z y z z z x 由函数取极值的必要条件知,驻点为)1,1(-P ,将上方程组再分别对y x ,求偏导数,解,21|,0|,21|zz C z B z z A P yy P xy P xx -=''==''=-=''= 故 )2(0)2(122≠<--=-z z AC B ,函数在P 有极值.将)1,1(-P 代入原方程,有6,221=-=z z ,当21-=z 时，041>=A ,所以2)1,1(-=-=f z 为极小值；当62=z 时，041<-=A ,所以6)1,1(=-=f z 为极大值.第一步 解方程组,0),(=y x f x 0),(=y x f y 求出实数解，得驻点.第二步 对于每一个驻点),(00y x ，求出二阶偏导数的值A 、B 、C .第三步 定出2B AC -的符号，再判定是否是极值.二、求极值的步骤三、小结多元函数的极值（取得极值的必要条件、充分条件）求函数的极值的步骤。

多元函数条件极值的几种判别方法
侯亚红
【期刊名称】《山西经济管理干部学院学报》
【年(卷),期】2009(17)2
【摘要】本文通过例题详细介绍了判断多元函数条件极值的几种方法.
【总页数】2页(P119-120)
【作者】侯亚红
【作者单位】山西省财政税务专科学校,山西,太原,030024
【正文语种】中文
【中图分类】C420
【相关文献】
1.多元函数条件极值的几种求解方法 [J], 齐新社;包敬民;杨东升
2.判断多元函数条件极值的几种方法 [J], 侯亚红
3.几种多元函数条件极值的解法之比较 [J], 朱江红;孙兰香
4.二元函数条件极值的一个简便判别方法 [J], 曹恒
5.一种多元函数无条件极值的求解方法 [J], 马国栋;赖婷
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