g3.1011函数的最值与值域及三性质

三、函数的单调性。

（1）确定函数的单调性或单调区间的常用方法： ①在解答题中常用：定义法（取值――作差――变形――定号）、导数法（在区间(,)a b 内，若总有()0f x '>，则()f x 为增函数；反之，若()f x 在区间(,)a b 内为增函数，则()0f x '≥，请注意两者的区别所在。

如已知函数3()f x x ax =-在区间[1,)+∞上是增函数，则a 的取值范围是____(答：(0,3]）)；②在选择填空题中还可用数形结合法、特殊值法等等，特别要注意(0by ax a x=+>0)b >型函数的图象和单调性在解题中的运用：增区间为(,)-∞+∞，减区间为[.如（1）若函数2)1(2)(2+-+=x a x x f 在区间（－∞，4] 上是减函数，那么实数a 的取值范围是______(答：3-≤a ）)；（2）已知函数1()2ax f x x +=+在区间()2,-+∞上为增函数，则实数a 的取值范围_____（答：1(,)2+∞）；（3）若函数()()log 40,1a a f x x a a x ⎛⎫=+->≠ ⎪⎝⎭且的值域为R ，则实数a 的取值范围是______(答：04a <≤且1a ≠）)；③复合函数法：复合函数单调性的特点是同增异减，如函数()212log 2y x x =-+的单调递增区间是________(答：（1,2）)。

（2）特别提醒：求单调区间时，一是勿忘定义域，如若函数2()log (3)a f x x ax =-+在区间(,]2a -∞上为减函数，求a 的取值范围（答：(1）；二是在多个单调区间之间不一定能添加符号“ ”和“或”；三是单调区间应该用区间表示，不能用集合或不等式表示．（3）你注意到函数单调性与奇偶性的逆用了吗?（①比较大小；②解不等式；③求参数范围）.如已知奇函数)(x f 是定义在)2,2(-上的减函数,若0)12()1(>-+-m f m f ，求实数m 的取值范围。

高一数学必修三知识点总结一、函数的概念与性质1. 函数的定义：一个从集合A到集合B的映射，记作f: A → B。

2. 函数的表示方法：解析式、表格、图象。

3. 函数的性质：单调性、奇偶性、周期性、有界性。

- 单调性：函数在某个区间内，值随自变量的增加而增加或减少。

- 奇偶性：f(-x) = f(x)为偶函数，f(-x) = -f(x)为奇函数。

- 周期性：存在正数T，使得对于所有x，f(x+T) = f(x)。

- 有界性：函数的值在某个范围内。

二、基本初等函数1. 幂函数：y = x^n (n为实数)。

2. 指数函数：y = a^x (a > 0, a ≠ 1)。

3. 对数函数：y = log_a(x) (a > 0, a ≠ 1)。

4. 三角函数：正弦、余弦、正切等。

- 正弦函数：y = sin(x)。

- 余弦函数：y = cos(x)。

- 正切函数：y = tan(x)。

三、函数的应用1. 实际问题中的函数建模：如速度-时间关系、投资-收益关系等。

2. 函数的最值问题：通过函数的单调性、导数等求解最值。

3. 函数的图像分析：通过图像了解函数的性质和变化趋势。

四、函数的极限与连续性1. 极限的概念：描述函数值趋向于某一点的性质。

2. 极限的计算：利用极限的四则运算、夹逼定理等求解。

3. 连续函数：在某个区间内，函数值连续变化。

五、导数与微分1. 导数的定义：描述函数在某一点处的变化率。

2. 导数的计算：利用导数的定义、导数公式、链式法则等。

3. 微分的概念：函数在某一微小区间内的线性变化。

六、导数的应用1. 函数的极值问题：通过导数求解函数的极大值和极小值。

2. 曲线的切线与法线：利用导数求曲线在某一點的切线和法线方程。

3. 函数的单调性：通过导数判断函数在某个区间内的单调性。

七、积分1. 不定积分：求函数原函数的过程。

2. 定积分：计算函数在某个区间内的积分值。

3. 积分的应用：求解面积、体积、弧长等问题。

1011函数的最值与值域一、知识回顾：求函数值域（最值）的一般方法：1、利用基本初等函数的值域；2、配方法（二次函数或可转化为二次函数的函数）；3、不等式法（利用基本不等式，尤其注意形如)0(>+=k x kx y 型函数）4、函数的单调性：特别关注)0(>+=k x kx y 的图象及性质5、部分分式法、判别式法（分式函数）6、换元法（无理函数）7、导数法（高次函数）8、反函数法9、数形结合法二、基本训练：1、函数的值域是131-=x y ( )(A) (-)1,-∞ (B) (),0()0,+∞∞-(C) (-1,+)∞ (D) (-),0()1,+∞-∞2、函数)2(log log 2x x y x +=的值域是 （） A ．]1,(--∞ (B)),3[+∞ (C)]3,1[- (D)),3[]1,(+∞⋃--∞3、函数2y =的值域为＿＿＿＿。

4、 ①223x x y +-= 的值域是______________.②12++=x x y 的最小值是______________.③312-+=x x y 的值域是______________.④函数231()23f x x x =-在区间[－1，5]上的最大值是______三、例题分析：1、①函数)1(11)(x x x f --=的最大值是 （ ）A ．54B ．45C ．43D ．34②函数1222--=x xy 的值域为 （ ）A ．（),1[]2,+∞--∞-B ．),1()2,(+∞---∞C ．}{R y y y ∈-≠,1D ．}{R y y y ∈-≠,2③已知()3(24)x b f x x -=≤≤的图象过点（2,1），则1212()[()]()F x f x f x --=-的值域为（ ）A 、[2, 5]B 、[)1,+∞C 、[2, 10]D 、[2, 13]④ 函数xx y 1-=在]2,1[上的值域是_______________ 2、求下列函数的值域： ①()271011x x y x x ++=>-+ ② x x y -+=123、已知二次函数2()f x ax bx =+满足(1)(1)f x f x +=-，且方程()f x x =有两个相等实根，若函数()f x 在定义域为[,]m n 上对应的值域为[2,2]m n ，求,m n 的值。

求值域方法函数值域的求法方法有好多,主要是题目不同,或者说稍微有一个数字出现问题,对我们来说,解题的思路可能就会出现非常大的区别.这里我主要弄几个出来,大家一起看一下吧. 函数的值域取决于定义域和对应法则，求函数的值域要注意优先考虑定义域常用求值域方法（1）、直接观察法：利用已有的基本函数的值域观察直接得出所求函数的值域 对于一些比较简单的函数，如正比例,反比例,一次函数,指数函数,对数函数,等等, 其值域可通过观察直接得到。

例1、求函数1,[1,2]y x x =∈的值域。

（★★）例2、 求函数x 3y -=的值域。

（★★） 答案：值域是：]3,[-∞ 【同步练习1】函数221xy+=的值域. （★★）解：}210{≤<y y（2）、配方法：二次函数或可转化为形如c x bf x f a x F ++=)()]([)(2类的函数的值域问题，均可用配方法，而后一情况要注意)(x f 的范围；配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。

例1、求函数225,y x x x R =-+∈的值域。

（★★）例2、求函数]2,1[x ,5x 2x y 2-∈+-=的值域。

（★★★） 解：将函数配方得：4)1x (y 2+-= ∵]2,1[x -∈ 由二次函数的性质可知：当x=1时，4y min =，当1x -=时，8y max = 故函数的值域是：[4，8]例3、求()()22log 26log 62log 222222-+=++=x x x y 。

（★★★★）（配方法、换元法）解：………所以当41=x 时，y 有最小值-2。

故所求函数值域为[-2，+∞）。

例4、设02x ≤≤，求函数1()4321xx f x +=-+ 的值域．解：12()4321(23)8xx x f x +=-+=-- ，02x ∵≤≤，24x 1∴≤≤．∴当23x =时，函数取得最小值8-；当21x =时，函数取得最大值4-， ∴函数的值域为[84]--，．评注：配方法往往需结合函数图象求值域．例5、求函数13432-+-=x x y 的值域。

高中数学第三章指数函数和对数函数3.1 正整数指数函数3.1.1 指数函数概念教案2 北师大版必修1编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（高中数学第三章指数函数和对数函数3.1 正整数指数函数3.1.1 指数函数概念教案2 北师大版必修1）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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§3.1。

1指数函数概念一。

教学目标：1．知识与技能：①通过实际问题了解指数函数的实际背景；②理解指数函数的概念和意义，根据图象理解和掌握指数函数的性质.③体会具体到一般数学讨论方式及数形结合的思想.2．情感、态度、价值观：①让学生了解数学来自生活，数学又服务于生活的哲理；②培养学生观察问题，分析问题的能力。

3．过程与方法：展示函数图象,让学生通过观察，进而研究指数函数的性质。

二．重、难点：重点：指数函数的概念和性质及应用。

难点:指数函数性质的归纳，概括及其应用。

三、学法与教法：①学法:观察法、讲授法及讨论法；②教法: 探究交流,讲练结合. 四、教学过程: （一)、情境设置①在本章的开头，问题(1）中时间x 与GDP 值中的 1.073(20)x y x x =∈≤与问题(2)t 1中时间t和C-14含量P的对应关系P=[(2,请问这两个函数有什么共同特征。

②这两个函数有什么共同特征:157301][()]2t P =t57301把P=[()变成2，从而得出这两个关系式中的底数是一个正数，自变量为指数，即都可以用x y a =（a ＞0且a ≠1来表示）。

高中数学学习中如何掌握函数最值的性质作者：高文汉来源：《中学生数理化·教与学》2019年第01期在求某个数值的最值时，经常要应用函数思想来解决，部分同学因为对函数最值的性质不够了解，所以不能应用函数思想来解决问题.本文将说明在高中数学学习中掌握函数最值性质的方法.一、对应图像，宏观探讨函数最值的概念从函数最值的概念来看，在探讨函数的最值时，首先要确定一个函数的范围，其次要探讨函数的单调区间，再次要探讨函数的增减性，最后要探讨函数的最值.这是一种把函数与集合论结合起来，探讨函数最值的方法.图1如题1：图1所示是定义在区间[-5，5]上的函数y=f（x），请说明该图像函数的单调区间，及每个区间上它是增函数还是减函数.该函数共有四个单调区间[-5，-2]，[-2，1]，[1，3]，[3，5]，函数y=f（x）在区间[-5，-2]，[1，3]上是减函数；在[-2，1]，[3，5]上是增函数.二、应用习题，明晰函数最值的探讨方法在了解了函数最值相关概念以后，要了解函数最值探讨的方法，就是用科学的数学语言来描述函数最值的问题，通过说明概念与概念的关联，来说明函数最值的计算方法.如题2：求函数y=2x-1在区间[2，6]上的最大值和最小值.应用函数最值的概念来分析函数的问题，建立数学关系.首先，确定函数最值的探讨范围.设x1、x2是区间[2，6]上的任意两个实数，且x10，（x1-1）（x2-1）>0，于是f（x1）-f（x2）>0，即f（x1）>f（x2）.这一步说明了该函数是个减函数，即x越大，y越小.最后，根据函数的最值探讨结合，把已知条件代入到数学关系中，根据数学关系得到函数的最值.根据已知条件获取函数y=2x-1在区间的两个端点上分别取得最大值与最小值，根据函数的单调性与增减性，可知当x=2时，ymax=2；当x=6时，ymin=25.三、结合性质，抓住函数最值的探讨特征在遇到实际数学应用问题时，要能捕捉到函数最值问题的特征.首先确定该数学问题是个函数问题，或者能够转化成函数问题.然后，要求探讨的是在某个区间中x值或y值的取值范围，或者探讨y值或x值的最大值或最小值，都可以应用函数最值的性质来探讨.如题3：中兴种子公司按每担200元收购某农产品，并按每100元纳税10元的税率来纳税.现公司的成本原定计划收购a万担，然而此时因政策优惠，出台了将征税率降低x（x≠0）个百分点的政策，如在不增加成本的前提下，预测收购量可增加2x个百分点.（1）根据现有已知条件建立税收y与x的函数关系式；（2）在实施了税收政策以后，如果要让缴纳的税款不少于原计划税收的83.2%，那么x的取值范围是多少？该问题是一个函数问题，它探讨的是税收y与x的函数关系式，并且要了解在税收y为83.2%的前提下，税率的取值范围，这就是在函数区间y为（10-x）%的前提下x的取值，这就是函数最值问题的特征.应用函数最值的性质来分析习题.（1）降低税率后的税率为（10-x）%，农产品的收购量为a（1+2x%）万担，那么收购总金额为200a（1+2x%）.结合已知条件建立函数关系，得y=200a（1+2x%）（10-x）%=150a（100+2x）（10-x）（0总之，在探讨数学问题时，经常要应用函数最值的性质来探讨数学问题，该文说明了函数最值问题探讨的方法.。

1．熟悉函数求值域的方法，能够灵活运用恰当的方法求函数的值域． 2．掌握函数求最值的方法，并且能够将恒成立问题，方程有解问题等转化成函数求最值问题．一、函数值域与最值的概念 1．函数值域的概念在函数()y f x =中，与自变量x 的值对应的y 的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域． 2．函数最值的概念一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数M 满足：①对于任意的x I ∈，都有()f x M ≤，且存在0x I ∈，使得()0f x M =，那么M 就是函数()y f x =的最大值．②对于任意的x I ∈，都有()f x M ≥，且存在0x I ∈，使得()0f x M =，那么M 就是函数()y f x =的最小值．二、常见函数的值域①一次函数()0y kx b k =+≠的值域为R ．②二次函数()20y ax bx c a =++≠，当0a >时，值域为24,4ac b a ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭，当0a>第三章 函数的概念及基本初等函数第11讲 函数值域与最值时，值域为24,4ac b a ⎛⎤--∞ ⎥⎝⎦； ③反比例函数()0ky k x=≠的值域为()(),00,-∞+∞；④指数函数()0,1x y a a a =>≠且的值域为()0,+∞； ⑤对数函数()log 0,1a y x a a =>≠且的值域为R ； ⑥正、余弦函数的值域为[]1,1-，正切函数的值域为R ．【例1】已知函数()223f x x x =+-，则()f x 的值域为（） A ．[)4,-+∞ B ．[)3,-+∞ C ．[)0,+∞ D ．[]0,4【答案】B【解析】()()222232314f x x x x x x =+-=+-=+-，[)0,x ∈+∞，故()()min 03f x f ==-，故函数值域为[)3,-+∞， 故选B ．【变式1．1】已知函数1()(12)f x x x =≤≤，则函数2()2()()g x f x f x =+的值域为（）A ．[3,2+B ．5[,3]4C ．9[,3]16D ．1[2+【答案】D【解析】1()(12)f x x x =≤≤，由21212x x ≤≤⎧⎨≤≤⎩，解得1x ≤≤2221()2()()(1g x f f x x x x x∴=≤+≤=+．令11)t t x =≤≤，∴函数222(1)1y t t t =+=+-．当2t =时，min 12y =+1t =时，max 3y =， ∴函数2()2()()g x f x f x =+的值域为1[2，故选D ．【变式1．2】函数()1423x x y x -=++∈R 的值域为（）A ．[)2,+∞B ．()3,+∞C ．13,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭D ．[)9,+∞【答案】B【解析】令2,0x t t =>，可得()21320y t t t =++>，可得函数的对称轴为14t =-，故函数在(0,)t ∈+∞上单调递增，当0t =时，min 3y =，故函数的值域为()3,+∞， 故选B ．【例2】函数21,1()1,1x x x f x x x ⎧-+<⎪=⎨>⎪⎩的值域为________．【答案】(0,)+∞【解析】当1x <时，()221331244f x x x x ⎛⎫=-+=-+≥ ⎪⎝⎭；当1x >时，()()10,1f x x=∈， 综上可得21,1()1,1x x x f x x x ⎧-+<⎪=⎨>⎪⎩的值域为(0,)+∞，故答案为(0,)+∞．【变式2．1】已知函数()(12)3,1ln ,1a x a x f x x x -+<⎧=⎨≥⎩的值域为R ，则实数a 的取值范围是________．【答案】11,2⎡⎫-⎪⎢⎣⎭【解析】由题意知()ln 1y x x =≥的值域为[)0,+∞，故要使()f x 的值域为R ， 则必有23(1)y a x a =-+为增函数，且1230a a -+≥， 所以120a ->且1a ≥-，解得112a -≤<， 实数a 的取值范围是11,2⎡⎫-⎪⎢⎣⎭．【例3】下列各式中，最小值为2的是（）A ．1xx+B +C ．y x x y+ D ．3x -【答案】D【解析】当0x <时，10x x+<不合题意，所以A 错误；4≥，当x =所以B 错误； 当0xy <时，0y xx y+<不合题意，所以C 错误； )2312x -=+1=时，取得最小值2，故选D ．【变式3．1】已知函数()[1,5]f x ∈，则函数1()()()g x f x f x =+的值域为_________． 【答案】26[2,]5【解析】设()t f x =，则[1,5]t ∈，()1h t t t=+，设121t t <<，则()()()()211212*********t t h t h t t t t t t t t t -⎛⎫⎛⎫-=+-+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 又121t t <<时，()()120h t h t -<，所以函数1()h t t t =+在[1,)+∞上为增函数，所以函数1()h t t t=+在[1,5]上为增函数，则函数的最大值为()1265555h =+=，最小值为()1112h =+=，故函数的值域为26[2,]5，故答案为26[2,]5．【例4】（1）若函数()11x f x x -=+的定义域是[)0,+∞，则()f x 的值域是_____． 【答案】[)1,1-【解析】由()11221111x x f x x x x -+-===-+++， 当0x ≥时，11x +≥，所以1011x <≤+，则2201x -≤-<+， 所以21111x -≤-<+，即()()101x f x x x -=≥+的值域为[)1,1-，故答案为[)1,1-．（2）函数12321x x y ++=+的值域为（）A ．(0,2)B ．[2,)+∞C ．(2,3)D ．[1,2]【答案】C【解析】123122121x x xy ++==+++，10121x <<+，23y ∴<<，故选C ． （3）求函数2211x x y x ++=+的值域_____________．【答案】13,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】2221111x x xy x x ++==+++， 当0x =时，1y =； 当0x >时，111y x x=++，12x x +≥=（当且仅当1x =时取等号），131122y ∴<≤+=；当0x <时，111y x x=++，12x x--≥=（当且仅当1x =-时取等号）， 12x x ∴+≤-，11012xx∴-≤<+，112y ∴≤<， 综上所述，函数2211x x y x ++=+的值域为13,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦， 故答案为13,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦．（4）设1x >-，求函数(5)(2)1x x y x ++=+的最值．【答案】最小值9，无最大值． 【解析】∵1x >-，∴10x +>，401x >+，∴()()221514(5)(2)710111x x x x x x y x x x ++++++++===+++ 415591x x =+++≥=+， 当且仅当411x x +=+，即1x =时等号成立， ∴1x =时，函数y 有最小值9，无最大值． 【变式4．1】求下列函数的值域． （1）322xy x -=+； （2）2211x x y x x -+=++；（3）221xy x =+； （4）21x x y x ++=．【答案】（1）()(),22,-∞--+∞；（2）1,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦；（3）[]1,1-；（4）(][),13,-∞-+∞．【解析】（1）327222x y x x -==-++，定义域为2x ≠-，所以其值域为()(),22,-∞--+∞．（2）由解析式知：定义域为x ∈R ，函数可转化为2(1)(1)10y x y x y -+++-=在x ∈R 上有解，∴当10y -=，即1y =时，0x =显然成立；当10y -≠时，22(1)4(1)0Δy y =+--≥，整理得231030y y -+≤，解得133y ≤≤且1y ≠， ∴综上，函数的值域为1,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦．（3）由解析式知：定义域为x ∈R ，函数可转化为220yx x y -+=在x ∈R 上有解，∴当0y =时，0x =显然成立；当0y ≠时，2440Δy =-≥，整理得21y ≤，解得11y -≤≤且0y ≠， ∴综上，函数的值域为[]1,1-．（4）由解析式知：定义域为0x ≠，而2111x x y x x x ++==++，∴当0x >时，1113y x x =++≥=，当且仅当1x =时等号成立；当0x <时，1[()()]111y x x =--+-+≤-=-，当且仅当1x =-时等号成立， ∴综上，函数的值域为(][),13,-∞-+∞．【例5】（1）函数y =的定义域是_________，函数23)y x x =->的值域为__________．【答案】[3,1]-，(4,)+∞【解析】①由228401x x --≥，得2230x x +-≤，解得31x -≤≤，故函数y =[3,1]-．②令t =2t >，则21x t =-，所以原函数可化为22()2(1)22g t t t t t =--=--，其对称轴为14t =， 所以函数()g t 在(2,)+∞上单调递增，所以()(2)4g t g >=，所以函数23)y x x =->的值域为(4,)+∞． 故答案为[3,1]-，(4,)+∞．（2）函数()f x x =的值域是___________．【答案】1,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭【解析】函数()f x x =，令0t t =≥，则21122x t =-， 则22111()(1)1,0222f t t t t t =+-=+-≥，所以当0t =，即12x =-时，()f x 取得最小值，最小值为12-，因而()f x 的值域为1,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭，故答案为1,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭．（3）函数y =的值域为_________．【答案】2⎤⎦【解析】由题意得3050x x -≥⎧⎨-≥⎩，解得35x ≤≤，222y =+=+224y ∴≤≤，由y 的非负性知原函数的值域为2⎤⎦，故答案为2⎤⎦．（4）函数()f x =___________．【答案】)+∞【解析】由已知得2206100x x x -≥⎧⎨-+≥⎩，解得2x ≤，所以()f x 的定义域为{}2x x ≤，且2x ≤时，y =y =所以()f x 在(],2-∞上是减函数，()()2f x f ≥=所以()f x 的值域为)+∞，故答案为)+∞．【变式5．1】求下列函数的值域．（1）y x =；（2）4y =；（3）y x =+（4）y =【答案】（1）1,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭；（2）[]2,4；（3）(],1-∞；（4）[]0,2．【解析】（1）函数y x =中，令120x -≥，得12x ≤，易见函数y =y x =-都是减函数，故函数y x =在12x ≤时是递减的，故12x =时，min 12y =-， 故值域为1,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭．（2）44y ==，[]1,3x ∈-， 而20(1)44x ≤--+≤，[]1,3x ∈-，02∴≤≤，42440∴-≤-， 即24y ≤≤，故值域为[]2,4．（3）函数y x =+1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦，令0t =≥，所以212t x -=，所以221,20221t t y t t t -=+=-++≥，对称轴方程为1t =，所以1t =时，函数max111122y =-++=，故值域为(],1-∞．（4）函数y ==[]5,1--，()[]24043,x +∈-+，故[]0,2y =，即值域为[]0,2．【变式5．2】已知幂函数()()2151m h x m m x +=-+为奇函数．（1）求实数m 的值；（2）求函数()()10,2g x h x x ⎫⎡⎫=+∈⎪⎪⎢⎣⎭⎭的值域．【答案】（1）0m =；（2）1,12⎛⎤⎥⎝⎦．【解析】（1）∵函数()()2151m h x m m x +=-+为幂函数，2511m m ∴-+=，解得0m =或5． 当0m =时，()h x x =，()h x 为奇函数； 当5m =时，()6h x x =，()h x 为偶函数，函数()h x 为奇函数，0m ∴=．（2）由（1）可知，()h x x =，则()g x x =10,2x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，t =，则21122x t =-+，(]0,1t ∈，则()22111(1)1222f t t t t =-++=--+，(]0,1t ∈，函数()f t 为开口向下，对称轴为1t =的抛物线，∴当0t =时，函数()102f =， 当1t =，函数()f t 取得最大值为1，()f t ∴的值域为1,12⎛⎤ ⎥⎝⎦，故函数()g x 的值域为1,12⎛⎤⎥⎝⎦．【例6】（多选）若函数()f x =(0,)+∞，则实数a 的取值可能是（） A ．0 B ．12C ．34D ．1【答案】CD【解析】当0a =时，()f x =，故不符合题意； 当0a ≠时，函数()f x =的值域为(0,)+∞，()204430a a a >⎧⎪∴⎨--⨯⨯≥⎪⎩，解得34a ≥， 故选CD ．【变式6．1】已知函数()22()lg 1(21)1(0)f x a x a x a ⎡⎤=-+++<⎣⎦的值域为R ，则实数a 的取值范围是________．【答案】5,14⎡⎤--⎢⎥⎣⎦【解析】要使函数()22()lg 1(21)1(0)f x a x a x a ⎡⎤=-+++<⎣⎦的值域为R ，则()22()1(21)1(0)g x a x a x a =-+++<的值域包含()0,∞+，①当210a -=，0a <，即1a =-时，()1g x x =-+值域为R 包含()0,∞+， 故符合条件；②当210a -≠，0a <时，2105014450a a a Δa ⎧->⎪<⇒-≤<-⎨⎪=+≥⎩， 综上，实数a 的取值范围是5,14⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，故答案为5,14⎡⎤--⎢⎥⎣⎦．【例7】已知函数()()343,1log ,1a x a x f x x x ⎧-+<=⎨≥⎩的值域为R ，则实数a 的取值范围是（） A ．()2,4- B ．[)2,4-C ．(],2-∞-D ．{}2-【答案】B【解析】1≥x 时，3log 0y x =≥， 又()f x 的值域为R ，则1x <时，()()43f x a x a =-+的值域包含(),0-∞，()404130a a a ->⎧∴⎨-⋅+≥⎩，解得24a -≤<，故选B ．【变式7．1】已知函数()()31(3)33x x f x x a x -⎧≠-⎪=+⎨⎪=-⎩的定义域与值域相同，则常数a =（） A ．3 B ．3-C ．13D ．13-【答案】A【解析】显然，()()31(3)33x x f x x a x -⎧≠-⎪=+⎨⎪=-⎩的定义域为R ，故值域为R ，3110333x y x x -==-++值域为{|3}y y ∈≠R ，3a ∴=， 故选A ．【例8】已知函数23()f x x =，[1,8]x ∈-，函数()2g x ax =+，[1,8]x ∈-．若对任意1[1,8]x ∈-，总存在2[1,8]x ∈-，使12()()f x g x =成立．则实数a 的取值范围是__________． 【答案】(][),22,-∞-+∞【解析】若对任意的1[1,8]x ∈-，总存在2[1,8]x ∈-，使12()()f x g x =成立， 只需函数()y f x =的值域为函数()y g x =的值域的子集．23()f x x =，[1,8]x ∈-的值域为[0,4]，下求()2g x ax =+的值域． ①当0a =时，()2g x =为常数，不符合题意舍去；②当0a >时，()g x 的值域为[2,28]a a -+，要使[0,4][2,28]a a ⊆-+， 得20a -≤且428a ≤+，解得2a ≥；③当0a <时，()g x 的值域为[28,2]a a +-，要使[0,4][28,2]a a ⊆+-， 得280a +≤且42a ≤-，解得2a ≤-， 综上所述，a 的取值范围为(][),22,-∞-+∞，故答案为(][),22,-∞-+∞．【变式8．1】已知函数()2f x x a =+，2()61g x x x =-+，对于任意的1[1,1]x ∈-都能找到2[1,1]x ∈-，使得()()21g x f x =，则实数a 的取值范围是__________． 【答案】26a -≤≤【解析】因为[1,1]x ∈-，所以()[2,2]f x a a ∈-++， 又因为2()(3)8g x x =--，[1,1]x ∈-，所以有()[4,8]g x ∈-，要想对于任意的1[1,1]x ∈-都能找到2[1,1]x ∈-，使得()()21g x f x =成立，则有282624a a a +≤⎧⇒-≤≤⎨-+≥-⎩．一般地，已知函数()[],,y f x x a b =∈，()[],,y g x x c d =∈， 记()[],,y f x x a b =∈的值域为A ，()[],,y g x x c d =∈的值域为B ， ①若[]1,x a b ∀∈，[]2,x c d ∃∈，有()()12f x g x =成立，则有A B ⊆； ②若[]1,x a b ∃∈，[]2,x c d ∀∈，有()()12f x g x =成立，则有A B ⊇； ③若[]1,x a b ∃∈，[]2,x c d ∃∈，有()()12f x g x =成立，故A B ≠∅．【例9】已知()2220,1,0x tx t x f x x t x x ⎧-+≤⎪=⎨++>⎪⎩，若()0f 是()f x 的最小值，则t 的取值范围为________． 【答案】[]0,2【解析】由于当0x >时，()1f x x t x=++在1x =时取得最小值为2t +，由题意当0x ≤时，()()2f x x t =-，若0t ≥，此时最小值为()20f t =，故22t t ≤+，即220t t --≤，解得12t -≤≤，此时02t ≤≤， 若0t <，则()()0f t f <，条件不成立， 故答案为[]0,2．【变式9．1】已知0a >且1a ≠，设函数2,3()3log ,3a x x f x x x -≤⎧=⎨+>⎩的最大值为1，则实数a 的取值范围是___________．【答案】3⎫⎪⎣⎭【解析】由题意知，函数()y f x =在(],3-∞上单调递增，且()31f =，由于函数()2,33log ,3a x x f x x x -≤⎧=⎨+>⎩的最大值为1，则函数()3log a f x x =+在()3,+∞上单调递减且3log 31a +≤，则有013log 31a a <<⎧⎨+≤⎩，即01log 32aa <<⎧⎨≤-⎩1a ≤<，因此，实数a的取值范围是3⎫⎪⎣⎭，故答案为3⎫⎪⎣⎭． 【例10】已知函数()11f x a x=-，()0,x ∈+∞． （1）求证()f x 在()0,∞+上递增；（2）若()f x 在[],m n 上的值域是[],m n ，求实数a 的取值范围； （3）当()2f x x ≤在()0,∞+上恒成立，求实数a 的取值范围．【答案】（1）证明见解析；（2）102a <<；（3）4⎫+∞⎪⎪⎣⎭． 【解析】（1）设120x x <<，则()()2121211211110x x f x f x a x a x x x --=--+=>， 故()()21f x f x >，即函数单调递增．（2）∵()f x 在()0,∞+上单调递增，∴若()f x 在[],m n 上的值域是[],m n ，则()()0n m f m m f n n ⎧>>⎪=⎨⎪=⎩，即11110m a m n an n m ⎧=+⎪⎪⎪=+⎨⎪>>⎪⎪⎩，故函数1y a =与1y x x=+（0x >）的图象有两个公共点， ∵当0x >时，12y x x =+≥（当且仅当1x x=，即1x =时取“=”），∴12a >，解得102a <<． （3）∵()11f x a x=-，()2f x x ≤在()0,∞+上恒成立， ∴211212x a x x x≥=++在()0,∞+上恒成立， 令()112g x x x=+，则()4g x ≤=（当且仅当12x x =，即x =时取等号），要使()0,∞+上恒成立，故a 的取值范围是,4⎫+∞⎪⎪⎣⎭． 【变式10．1】已知函数()()2410f x ax ax b a =-++>的定义域为[]2,3，值域为[]1,4，设()()6103f x x g x x+-=．（1）求,a b 的值；（2）若不等式()220x xg k -⋅≥在[]1,2x ∈上恒成立，求实数k 的取值范围．【答案】（1）3,12a b ==；（2）14k ≤． 【解析】（1）∵函数()()2410f x ax ax b a =-++>其图象对称轴为直线2x =，函数的定义域为[]2,3，值域为[]1,4，∴()()24811391214f a a b f a a b ⎧=-++=⎪⎨=-++=⎪⎩，解得3a =，12b =．（2）由（1）得()231213f x x x =-+，()()26103631233f x x x x g x x xx x+--+===+-．若不等式()220x xg k -⋅≥在[]1,2x ∈上恒成立，则2112122x x k ⎛⎫⎛⎫≤-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭在[]1,2x ∈上恒成立，[]22,4x∈，111,242x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，当1122x =，即1x =时，2112122x x ⎛⎫⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭取最小值14， 故14k ≤． 【例11】已知函数()4f x x x =+，()2g x x a =+，若11,32x ⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦，[]22,3x ∈都有()()12f x g x ≥，则实数a 的取值范围是_________．【答案】(],2-∞-【解析】由于132x ≤≤时，()44f x x x =+≥=，当且仅当4x x =，即2x =时等号成立，也即()f x 在区间1,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为4．由于23x ≤≤时，()g x 单调递增，所以最大值为()36g a =+，由于对11,32x ⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦，[]22,3x ∈，都有()()12f x g x ≥，所以46a ≥+，解得2a ≤-．所以实数a 的取值范围是(],2-∞-， 故答案为(],2-∞-．【变式11．1】已知函数()4f x x x =+，()2xg x a =+，若11,12x ⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦，[]22,3x ∃∈使得()()12f x g x ≥，则实数a 的取值范围是（） A ．(],1-∞ B ．[)1,+∞C ．(],2-∞D ．[)2,+∞【答案】A【解析】任取12112x x ≤<≤，()()()()112212121212444x x x x f x f x x x x x x x ---=+--=， 12121,14x x x x <<<，()()()()12120,f x f x f x f x ∴->>，即函数()4f x x x =+在1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，min ()(1)5f x f ==， min ()(2)4g x g a ==+，若11,12x ⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦，[]22,3x ∃∈，使得()()12f x g x ≥，则min min ()()f x g x ≥，即54,1a a ≥+≤， 故选A ．【变式11．2】已知二次函数()()220f x ax x a =->．（1）若()f x 在[]0,2的最大值为4，求a 的值；（2）若对任意实数t ，总存在[]12,,1x x t t ∈+，使得()()122f x f x -≥．求a 的取值范围．【答案】（1）2；（2）[)8,+∞．【解析】由()f x 解析式知：()f x 为开口方向向上，对称轴为1x a=的二次函数， （1）当12a ≥，即102a <≤时，()f x 在[]0,2上单调递减， ()()max 00f x f ∴==，不合题意； 当102a <<，即12a >时，()f x 在10,a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，在1,2a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增， ()()(){}max max 0,2f x f f ∴=，又()00f =，()244f a =-，()f x 在[]0,2的最大值为4，()()max 2444f x f a ∴==-=，解得2a =， 综上所述：2a =．（2）若对任意实数t ，总存在[]12,,1x x t t ∈+，使得()()122f x f x -≥， 则()()max min 2f x f x -≥对[],1x t t ∈+恒成立， ①当1t a≤时，()f x 在[],1t t +上单调递增， ()()()()max min 1222f x f x f t f t at a ∴-=+-=+-≥， 当1t a≥时，22y at a =+-单调递增，()min 12222at a a a a a ∴+-=⋅+-=，2a ∴≥；②当11t a ≥+，即11t a≤-时，()f x 在[],1t t +上单调递减， ()()()()max min 1222f x f x f t f t at a ∴-=-+=--+≥， 当11t a≤-时，22y at a =--+单调递减， ()min 122212at a a a a a ⎛⎫∴--+=---+= ⎪⎝⎭，2a ∴≥；③当112t t a <≤+，即1112t a a -≤<时，()f x 在1,t a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，在1,1t a ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦上单调递增，()()()()()2max min 1111212f x f x f t f a t t a a ⎛⎫∴-=+-=+-++≥ ⎪⎝⎭，当1112t a a -≤<时，又0a >，11111122t a a<+≤+<+， 令1m t =+，则212y am m a =-+在111,12a a ⎡⎫++⎪⎢⎣⎭上单调递增， 2111112222a a a a ⎛⎫⎛⎫∴+-++≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得8a ≥；④当1112t t a +<<+，即11112t a a -<<-时，()f x 在1,t a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减， 在1,1t a ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦上单调递增， ()()()2max min 1122f x f x f t f at t a a ⎛⎫∴-=-=-+≥ ⎪⎝⎭，当11112t a a -<<-时，212y at t a =-+在1111,2aa ⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调递减，2111112222a a a a ⎛⎫⎛⎫∴---+≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得8a ≥，综上所述：a 的取值范围为[)8,+∞．【例12】已知()f x 为奇函数，()g x 为偶函数，且2()()2log (1)f x g x x +=-． （1）求()f x 及()g x 的解析式及定义域；（2）若函数()()2(2)g x f x k x =+-在区间(1,1)-上为单调函数，求实数k 的范围；（3）若关于x 的方程()20xf m -=有解，求实数m 的取值范围．【答案】（1）21()log (11)1xf x x x-=-<<+，()()22log 1(11)g x x x =--<<；（2）(,0][4,)-∞+∞；（3）(,0)-∞．【解析】（1）因为()f x 是奇函数，()g x 是偶函数，所以()()f x f x -=-，()()g x g x -=．因为2()()2log (1)f x g x x +=-，①所以用x -取代x 代入上式得2()()2log (1)f x g x x -+-=+，即2()()2log (1)f x g x x -+=+，②联立①②可得2221()log (1)log (1)log (11)1xf x x x x x-=--+=-<<+， ()()2222log (1)log (1)log 1(11)g x x x x x =-++=--<<．（2）因为()()22log 1g x x =-，所以()2(2)1f x x k x =-+-+，因为函数()f x 在区间(1,1)-上为单调函数，所以212k -≤-或212k -≥， 所以所求实数k 的取值范围为(,0][4,)-∞+∞． （3）因为21()log 1x f x x ，所以()2122log 12x xxf -=+． 设1212x x t -=+，则12211212x x xt -==-+++． 因为()f x 的定义域为(1,1)-，20x >，所以021x <<，1122x <+<，111212x <<+，201112x<-+<+， 即01t <<，则2log 0t <．因为关于x 的方程()20xf m -=有解，则0m <，故m 的取值范围为(,0)-∞．【变式12．1】方程()12log 22x a x -=+有解，则a 的最小值为__________．【答案】1【解析】方程()12log 22x a x -=+有解，即方程222x x a --+=有解，即a 值属于222x x --+的范围内．由于2221x x --+≥=，当且仅当1x =-时取等号，a 的最小值为1，故答案为1．一般地，已知函数()[],,y f x x a b =∈，()[],,y g x x c d =∈． （1）若[]1,x a b ∀∈，[]2,x c d ∀∈，总有()()12f x g x <成立，故()()2max min f x g x <；（2）若[]1,x a b ∀∈，[]2,x c d ∃∈，有()()12f x g x <成立，故()()2max max f x g x <；（3）若[]1,x a b ∃∈，[]2,x c d ∀∈，有()()12f x g x <成立，故()()2min min f x g x <；（4）若[]1,x a b ∃∈，[]2,x c d ∃∈，有()()12f x g x <成立，故()()2min max f x g x <．一、选择题．1．若函数()1,1431x x x f x x ⎧-≤≤⎪=-≤<，则()f x 的值域为（）A．⎡⎣B ．150,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．[]0,4D．154⎤⎥⎦【答案】C【解析】函数1,14()31x x x f x x ⎧-≤≤⎪=-≤<， 当14x ≤≤时，1()f x x x =-递增，可得15()[0,]4f x ∈； 当31x -≤<时，()f x ==， 当2x =-时，()f x 取得最大值4；1x =时，()1f =，即有()f x ⎤∈⎦，可得()f x 的值域为[0,4]，故选C ．2．点(,8)m 在幂函数()(1)n f x m x =-的图象上，则函数()g x =值域为（）A．⎡⎣B．⎡⎣C．2⎤⎦D ．[]2,3【答案】B【解析】因为点(,8)m 在幂函数()(1)n f x m x =-的图象上， 所以11m -=，即2m =，()()228n f m f ===，所以3n =，故()g x =[]2,3x ∈，2()11g x =+=+，因为[]2,3x ∈，所以21560,4x x ⎡⎤-+-∈⎢⎥⎣⎦， 所以[]2()1,2g x ∈，所以函数()g x =⎡⎣，故选B ．3．下列各函数中，值域为()0,∞+的是（） A ．113x y +=B ．212x y --=C ．()22log 23y x x =++D ．y =【答案】B【解析】因为()()1,00,1x ∈-∞+∞+，所以()()1130,11,x y +=∈+∞，不满足条件，故A 错误； 因为21x --∈R ，()2120,x y --=∈+∞，即函数的值域为()0,∞+，满足条件，故B 正确；()2223122x x x ++=++≥，因为()22log 23y x x =++的值域是[)1,+∞，不满足条件，故C 错误；所以121x +>，∴1>y ，则函数的值域为()1,+∞，不满足条件，故D 错误， 故选B ．4．下列函数求值域正确的是（）A ．()1f x x =++[2,)+∞B ．222()1x x g x x ++=+的值域为[2,)+∞C ．()h x =)+∞D ．()w x =的值域为[2,【答案】D【解析】A 选项，原函数化为21,1()3,1221,2x x f x x x x -+≤-⎧⎪=-<≤⎨⎪->⎩，其图象如图，原函数值域为[3,)+∞，错；B 选项，2(1)11()(1)11x g x x x x ++==++++，∴值域为(,2][2,)-∞-+∞，错； C 选项，()h x 的定义域为[1,)+∞，()h x ===，均在[1,)+∞[1,)+∞上是增函数，[1,)+∞上恒不等于0[1,)+∞上是减函数，则()h x的最大值为(1)h =()h x 的最小值为x 最大时，此时()h x 无限接近于0，∴()h x的值域为，错； D 选项，()w x 的定义域为[]3,1-，()w x======设2(1)t x=-+，则[4,0]t∈-，则()m t=则()w x的值域为[2,，对，故选D．5．若函数()f x=0,，则实数m的取值范围是（）A．()1,4B．()(),14,-∞+∞C．(][)0,14,+∞D．[][)0,14,+∞【答案】D【解析】令t=1yt=的值域为0,，根据反比例函数的性质，可知()0,t∈+∞()0,+∞，记函数()22(2)1g x mx m x=+-+的值域为A，则()0,A+∞⊆，若0m=，则()41g x x=-+，其值域为R，满足()0,A+∞⊆；若0m≠，则mΔ>⎧⎨≥⎩，即()24240mm m>⎧⎪⎨--≥⎪⎩，解得4m≥或01m<≤．综上所述，实数m的取值范围是[][)0,14,+∞，故选D．二、填空题．6．函数()8f x xx=+，[)2,8x∈的值域为__________．【答案】)⎡⎣【解析】由8xx=可得x=±，∴对勾函数()f x在2,⎡⎣上单调递减，在)⎡⎣上单调递增，又()26f =，(f =88968+=>，∴函数()f x 的值域为)⎡⎣，故答案为)⎡⎣．7．函数2221x x y -=+的值域为__________．【答案】(2,1)-【解析】()1232212121213xx x x xy -+-===-+++， 因为20x >，所以211x +>，所以10121x <<+，则33021x-<-<+， 所以321121x-<-<+，即21y -<<， 所以函数的值域为(2,1)-．8．求函数()1y x =≥的值域____________．【答案】)+∞【解析】由()f x =()g x =[1,)x ∈+∞上均单调递增，∴y =在[1,)x ∈+∞上单调递增，而1x =时，y =)+∞，故答案为)+∞．9．已知函数(12)3,1()ln ,1a x a x f x x x -+<⎧=⎨≥⎩的值域为R ，则实数a 的取值范围是________．【答案】11,2⎡⎫-⎪⎢⎣⎭【解析】由题意知()ln (1)f x x x =≥的值域为[0,)+∞，故要使()f x 的值域为R ，则必有()(12)3f x a x a =-+为增函数，且1230a a -+≥， 所以120a ->，且1a ≥-，解得112a -≤<， 故答案为11,2⎡⎫-⎪⎢⎣⎭．10．若函数()y f x =的值域是1[,3]2，则函数1()(21)(21)F x f x f x =+++的值域是________． 【答案】10[2,]3【解析】因函数()y f x =的值域是1[,3]2，从而得函数(21)t f x =+值域为1[,3]2， 函数()F x 变为1y t t =+，1[,3]2t ∈，由对勾函数的性质知1y t t =+在1[,1]2上递减，在[1,3]上递增，1t =时，min 2y =；而12t =时，52y =；3t =时，103y =，即max 103y =，所以原函数值域是10[2,]3，故答案为10[2,]3． 11．已知函数||()2x f x =，11()2142xxg x m ⎛⎫⎛⎫=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，若对于任意的1[1,2]x ∈-，总存在2[1,2]x ∈-，使得()()12f x g x ≥成立，则实数m 的取值范围为_______． 【答案】24m ≤【解析】因为[1,2]x ∈-，对()2xf x =，当()1,0x ∈-单调递减，当()0,2x ∈单调递增，故min ()(0)1f x f ==，所以存在[1,2]x ∈-使得1()g x ≥成立．令12xt ⎛⎫= ⎪⎝⎭，2[1,2]x ∈-，1,24t ⎡⎤∴∈⎢⎥⎣⎦，则存在1,24t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦使得2211mt t +-≤成立，即222t m t -≤成立，所以2max22t m t -⎛⎫≤ ⎪⎝⎭．又因为2222111122,,42t t t t t -⎛⎫⎛⎫⎡⎤=-∈ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，所以22max 22242424t t -⎛⎫=⨯-⨯= ⎪⎝⎭，所以24m ≤， 故答案为24m ≤．12．已知函数2()2(0)x f x ax a =+>，2()41g x x x =-+．若对任意1[1,2]x ∈-，总存在2[1,2]x ∈-，使得()()12f x g x =，则实数a 的取值范围是__________．【答案】10,2⎛⎤⎥⎝⎦【解析】设2()2(0),[1,2]x f x ax a x =+>∈-的值域为A ， 设2()41[1,2]g x x x x =-+∈-，的值域为B ，因为()22()4123g x x x x =-+=--，所以()g x 在[1,2]-单调递减， 所以[]3,6B =-．因为对任意1[1,2]x ∈-，总存在2[1,2]x ∈-，使得()()12f x g x =， 所以A B ⊆．因为024x <≤，0a >时，204ax a ≤≤，所以()0f x >在[1,2]x ∈-恒成立，所以只需max()6f x ≤，只需()02446a f a >⎧⎨=+≤⎩，解得102a <≤， 故实数a 的取值范围是10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦，故答案为10,2⎛⎤⎥⎝⎦．13．已知函数()221f x x ax =++，存在0x ∈R ，使得()01f x ≤及()011f x +≤同时成立，则实数a 的取值范围是_____________．【答案】3113,,2222⎡⎤⎡⎤--⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦【解析】令()2211f x x ax =++=，则10x =，22x a =-，则有122x x a -=，存在0x ∈R ，使得()01f x ≤及()011f x +≤同时成立， 因为()f x 开口向上，故()1f x =的两根间距大于1，所以21a ≥，解得12a ≤-或12a ≥，同理，令()2211f x x ax =++=-，则22a x -±=，则有12x x -=存在0x ∈R ，使得()01f x ≤及()011f x +≤同时成立， 因为()f x 开口向上，故()1f x =-的两根间距小于1，1≤，即294a ≤，解得3322a -≤≤，综上所述，3113,,2222a ⎡⎤⎡⎤∈--⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，故答案为3113,,2222⎡⎤⎡⎤--⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦．三、解答题．14．已知函数()()()2lg 39f x x ax a =++∈R ．（1）若函数()f x 的定义域为R ，求实数a 的取值范围；（2）若对于任意[)1,x ∈+∞，恒有()0f x >，求实数a 的取值范围．【答案】（1）()2,2-；（2）3⎛⎫-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭．【解析】（1）因为函数()()2lg 39f x x ax =++的定义域为R ，所以2390x ax ++>恒成立，所以29360Δa =-<，解得22a -<<，所以实数a 的取值范围为()2,2-．（2）若对于任意[)1,x ∈+∞，恒有()0f x >，则对于任意[)1,x ∈+∞，恒有2391x ax ++>成立， 即83a x x>--对于[)1,x ∈+∞恒成立， 记()8g x x x=--，[)1,x ∈+∞，则只需()max 3a g x >． 当[)1,x ∈+∞时，()(,g x ∈-∞-，所以()max g x =-所以3a >-3a >-， 所以实数a的取值范围是⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭．15．设()()12log 10f x ax =-，a 为常数．若()32f =-．（1）求a 的值；（2）若对于区间[]3,4上的每一个x 的值，不等式()12xf x m ⎛⎫>+ ⎪⎝⎭恒成立， 求实数m 的取值范围．【答案】（1）2a =；（2）17,8⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭． 【解析】（1）()32f =-，()12log 1032a ∴-=-， 即211032a -⎛⎫-= ⎪⎝⎭，解得2a =． （2）设()()121log 1022xg x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭， 题设不等式可转化为()g x m >在[]3,4x ∈上恒成立， ()g x 在[]3,4上为增函数，()31min 2117(3)log (106)28g x g ⎛⎫∴==--=- ⎪⎝⎭，178m ∴<-， m ∴的取值范围为17,8⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭． 16．设指数函数()(2)x f x m =+，幂函数()23()1g x m m x =++． （1）求m ；（2）设0a <，如果存在12,[2,2]x x ∈-，使得()()12af x g x >，求a 的取值范围．【答案】（1）0；（2）(32,0)a ∈-．【解析】（1）根据题意得2212011m m m m +≠⎧⎪+>⎨⎪++=⎩，解得0m =．（2）由（1）知()2x f x =，3()g x x =，存在12,[2,2]x x ∈-，使得()()12af x g x >，等价于当12,[2,2]x x ∈-时，()()12max min af x g x ⎡⎤⎡⎤>⎣⎦⎣⎦，又0a <，所以()1max (2)4a af x af ⎡⎤=-=⎣⎦， ()32min (2)(2)8g x g ⎡⎤=-=-=-⎣⎦， 所以84a >-，解得32a >-， 所以(32,0)a ∈-．江西多宝格教育咨询有限公司（旗下网站：好教育 ）郑重发表如下声明：维权 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g3.1011函数的最值与值域一、知识回顾：求函数值域（最值）的一般方法： 1、利用基本初等函数的值域；2、配方法（二次函数或可转化为二次函数的函数）；3、不等式法（利用基本不等式，尤其注意形如)0(>+=k xk x y 型函数）4、函数的单调性：特别关注)0(>+=k xk x y 的图象及性质5、部分分式法、判别式法（分式函数）6、换元法（无理函数）7、导数法（高次函数）8、反函数法9、数形结合法 二、基本训练： 1、函数的值域是131-=xy( )(A) (-)1,-∞ (B) (),0()0,+∞∞- (C) (-1,+)∞ (D) (-),0()1,+∞-∞ 2、函数)2(log log 2x x y x +=的值域是 （ ） A ．]1,(--∞ (B)),3[+∞ (C)]3,1[- (D)),3[]1,(+∞⋃--∞ 3、函数2y =4、 ①223x x y +-= 的值域是______________. ②12++=x x y 的最小值是______________.③312-+=x x y 的值域是______________.④函数231()23f x x x =-在区间[－1，5]上的最大值是______三、例题分析： 1、①函数)1(11)(x x x f --=的最大值是（ ） A ．54B ．45C ．43D ．34②函数1222--=xx y 的值域为（ ） A ．（),1[]2,+∞--∞- B ．),1()2,(+∞---∞ C ．}{R y y y ∈-≠,1 D ．}{R y y y ∈-≠,2③已知()3(24)x b f x x -=≤≤的图象过点（2,1），则A 、[2, 5]B 、[)1,+∞C 、[2, 10]D 、[2, 13] ④ 函数xx y 1-=在]2,1[上的值域是_______________2、求下列函数的值域：①()271011x x y x x ++=>-+② x x y -+=123、已知二次函数2()f x ax bx =+满足(1)(1)f x f x +=-，且方程()f x x =有两个相等实根，若函数()f x 在定义域为[,]m n 上对应的值域为[2,2]m n ，求,m n 的值。