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三、函数的单调性。
（1）确定函数的单调性或单调区间的常用方法： ①在解答题中常用：定义法（取值――作差――变形――定号）、导数法（在区间(,)a b 内，若总有()0f x '>，则()f x 为增函数；反之，若()f x 在区间(,)a b 内为增函数，则()0f x '≥，请注意两者的区别所在。
如已知函数3()f x x ax =-在区间[1,)+∞上是增函数，则a 的取值范围是____(答：(0,3]）)；②在选择填空题中还可用数形结合法、特殊值法等等，特别要注意(0by ax a x=+>0)b >型函数的图象和单调性在解题中的运用：增区间为(,)-∞+∞，减区间为[.如（1）若函数2)1(2)(2+-+=x a x x f 在区间（－∞，4] 上是减函数，那么实数a 的取值范围是______(答：3-≤a ）)；（2）已知函数1()2ax f x x +=+在区间()2,-+∞上为增函数，则实数a 的取值范围_____（答：1(,)2+∞）；（3）若函数()()log 40,1a a f x x a a x ⎛⎫=+->≠ ⎪⎝⎭且的值域为R ，则实数a 的取值范围是______(答：04a <≤且1a ≠）)；③复合函数法：复合函数单调性的特点是同增异减，如函数()212log 2y x x =-+的单调递增区间是________(答：（1,2）)。
（2）特别提醒：求单调区间时，一是勿忘定义域，如若函数2()log (3)a f x x ax =-+在区间(,]2a -∞上为减函数，求a 的取值范围（答：(1）；二是在多个单调区间之间不一定能添加符号“ ”和“或”；三是单调区间应该用区间表示，不能用集合或不等式表示．（3）你注意到函数单调性与奇偶性的逆用了吗?（①比较大小；②解不等式；③求参数范围）.如已知奇函数)(x f 是定义在)2,2(-上的减函数,若0)12()1(>-+-m f m f ，求实数m 的取值范围。
函数最值、值域、恒成立问题一、函数最值定义1.（1）一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数M 满足：①x I ∀∈，都有()f x M ≤；②0x I ∃∈，使得()0f x M =。
就称M 是函数()y f x =的最大值。
（2）一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数M 满足：①x I ∀∈，都有()f x M ≥；②0x I ∃∈，使得()0f x M =。
就称M 是函数()y f x =的最小值。
2.【注】（1）函数的最值指的是函数值（y 值）的最大值和最小值。
求函数的最值，既要求函数的最大值也要求函数的最小值。
【注】（2）从函数图象上看，函数的最大值对应函数图象最高点的纵坐标；函数的最小值对应函数图象最低点的纵坐标。
二、单调函数的最值1.单调函数的最值在闭区间的端点处取得。
（1）单调递增函数在闭区间的左端点取得最小值，在右端点取得最大值。
（2）单调递减函数在闭区间的左端点取得最大值，在右端点取得最小值。
【注】单调函数在开区间上无最值，即既无最大值，也无最小值。
2.函数值域闭区间的左端点是函数值的最小值，右端点是函数值的最大值。
求函数的值域，往往要求函数的最大值和最小值。
三、分段函数的最值1.分段函数的最大值，是各段函数值最大值中的最大值；2.分段函数的最小值，是各段函数值最小值中的最小值。
四、函数最值的求解方法函数求最值的方法一般有：配方法、换元法、数形结合法（图象法）、结合函数的单调性法等。
五、函数的值域问题函数值域中的最小值往往是函数值的最小值，函数值域中的最大值往往是函数值中的最大值，所以求函数的值域往往需要先求出函数的最大值和最小值。
六、恒成立问题假设()g x 为已知函数，求()f a 的取值范围，则有以下两种情况：（1）()()f a g x ≤恒成立()()min f a g x ⇔≤；（2）()()f a g x ≥恒成立()()max f a g x ⇔≥。
高中数学《函数的最值》基础知识与讲义专题一、基础知识：1、函数的最大值与最小值：（1）设函数()f x 的定义域为D ，若0x D ∃∈，使得对x D ∀∈，均满足()()0f x f x ≤，那么称0x x =为函数()f x 的一个最大值点，()0f x 称为函数()f x 的最大值（2）设函数()f x 的定义域为D ，若0x D ∃∈，使得对x D ∀∈，均满足()()0f x f x ≥，那么称0x x =为函数()f x 的一个最小值点，()0f x 称为函数()f x 的最小值 （3）最大值与最小值在图像中体现为函数的最高点和最低点（4）最值为函数值域的元素，即必须是某个自变量的函数值。
例如：()[)ln ,1,4f x x x =∈，由单调性可得()f x 有最小值()10f =，但由于x 取不到4，所以尽管函数值无限接近于ln 4,但就是达不到。
()f x 没有最大值。
（5）一个函数其最大值（或最小值）至多有一个，而最大值点（或最小值点）的个数可以不唯一，例如()sin f x x =，其最大值点为()22x k k Z ππ=+∈，有无穷多个。
2．“最值”与“极值”的区别和联系右图为一个定义在闭区间[]b a ,上的函数)(x f 的图象．图中)(1x f 与3()f x 是极小值，2()f x 是极大值．函数)(x f 在[]b a ,上的最大值是)(b f ，最小值是3()f x（1）“最值”是整体概念，是比较整个定义域内的函数值得出的，具有绝对性；而“极值”是个局部概念，是比较极值点附近函数值得出的，具有相对性．（2）从个数上看，一个函数在其定义域上的最值是唯一的；而极值不唯一；（3）函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有一个（4）极值只能在定义域内部取得，而最值可以在区间的端点处取得，有极值的未必有最值，有最值的未必有极值；极值有可能成为最值，最值只要不在端点必定是极值．3、结论：一般地，在闭区间[]b a ,上函数()y f x =的图像是一条连续不断的曲线，那么函数()y f x =在[]b a ,上必有最大值与最小值．4、最值点只可能在极值点或者边界点处产生，其余的点位于单调区间中，意味着在这些点的周围既有比它大的，也有比它小的，故不会成为最值点5、利用导数求函数的最值步骤:一般地，求函数)(x f 在[]b a ,上的最大值与最小值的步骤如下： （1）求)(x f 在(,)a b 内的极值；（2）将)(x f 的各极值与端点处的函数值)(a f 、)(b f 比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值，得出函数)(x f 在[]b a ,上的最值6、求函数最值的过程中往往要利用函数的单调性，所以说，函数的单调区间是求最值与极值的基础7、在比较的过程中也可简化步骤：（1）利用函数单调性可判断边界点是否能成为最大值点或最小值点 （2）极小值点不会是最大值点，极大值点也不会是最小值点 8、最值点的作用 （1）关系到函数的值域（2）由最值可构造恒成立的不等式：例如：()ln 1f x x x =−+，可通过导数求出()()min 10f x f ==，由此可得到对于任意的0x >，均有()()min 0f x f x ≥=，即不等式ln 1x x ≤− 二、典型例题： 例1：求函数()xf x xe−=的最值思路：首先判定定义域为R ,对函数进行求导，根据单调区间求出函数的最值 解：()()'1x fx x e −=−，令()'0f x >,解得：1x <()f x ∴的单调区间为：()()max 1f x f e∴==，无最小值 小炼有话说：函数()xf x xe−=先增再减，其最大值即为它的极大值点，我们可以将这种先增再减，或者先减再增的函数成为“单峰函数”，在单峰函数中，极值点即为函数的某个最值点。
函数的值域知识点总结一、函数的值域的概念和含义1. 函数的值域定义函数的值域指的是函数在定义域内可以取得的所有可能的输出值的集合。
它是函数所有可能输出的值的集合，可以用集合的形式或者区间的形式进行表示。
例如，对于函数f(x) =x^2，其值域为非负实数的集合，即R+ = {y | y ≥ 0}。
2. 值域的含义值域可以帮助我们了解函数在定义域内的输出情况，它描述了函数所有可能的输出值。
通过求解函数的值域，我们可以确定函数的变化范围，找到函数的最大值和最小值，以及理解函数的性质和行为。
函数的值域在数学分析、微积分、代数等领域都有着重要的应用。
二、函数值域的求解方法1. 代数方法对于一些简单的函数，我们可以通过代数方法来求解函数的值域。
例如，对于线性函数f(x) = ax + b，其值域为整个实数集合R；对于二次函数 f(x) = ax^2 + bx + c，可以通过公式法求解其最值，从而确定其值域范围。
2. 图像法对于一些复杂的函数，我们可以通过绘制函数的图像来观察函数的变化趋势，从而求解函数的值域。
通过分析函数的图像，我们可以找到函数的最值点，从而确定函数的值域范围。
3. 极限方法对于一些较复杂的函数，我们可以通过求函数的极限来确定函数的值域。
通过求解函数在无穷远处的极限值，我们可以得到函数的最大值和最小值，从而确定函数的值域。
4. 排除法有时候，我们可以通过排除法来确定函数的值域。
通过观察函数的定义域和性质，我们可以排除一些无法取得的值，从而确定函数的值域范围。
三、常见函数的值域1. 线性函数对于线性函数 f(x) = ax + b，其值域为整个实数集合R。
线性函数的图像是一条直线，可以取得任意的实数值。
对于二次函数 f(x) = ax^2 + bx + c，可以通过公式法求解其最值，从而确定其值域范围。
当a > 0时，函数的最小值为f(-b/2a)，值域为[f(-b/2a), +∞)；当a < 0时，函数的最大值为f(-b/2a)，值域为(-∞, f(-b/2a)]。
函数的极值与最值知识点函数是数学中非常重要的概念，它描述了变量之间的关系。
在函数中，经常会遇到极值与最值的问题。
本文将介绍与函数的极值与最值相关的知识点。
一、函数的极值函数的极值指的是在函数曲线上存在的最高点或最低点。
根据函数的定义域和值域，可以分为两种极值：最大值和最小值。
1. 定义域与值域在讨论函数的极值之前，首先需要明确函数的定义域和值域。
定义域是指函数的自变量的取值范围，而值域则是函数的因变量的取值范围。
2. 局部极值对于实数域上的函数，如果在某个区间内存在一个点，使得这个点左右两侧的函数值都比它小（或都比它大），那么这个点就是函数在该区间内的局部最小值（或最大值）。
3. 单调性与极值单调性是指函数在定义域内的变化趋势。
如果函数在某个区间内单调递增，那么在这个区间内，函数的最小值一定在区间的起点上；如果函数在某个区间内单调递减，那么在这个区间内，函数的最大值一定在区间的终点上。
二、函数的最值函数的最值指的是函数在定义域内可能取得的最大值或最小值。
1. 最大值与最小值对于连续函数，在有限闭区间上一定存在最大值和最小值。
根据最值的性质，最大值是函数图像上的“最高点”，最小值是函数图像上的“最低点”。
2. 最值的求解方法为了找到函数的最值，可以使用以下方法：（1）导数法：通过求函数的导数，找到导数为零的点，并且通过二阶导数的符号判断这些点是极值点还是驻点。
（2）边界法：当函数定义域为闭区间时，极值可能出现在端点上。
三、综合例题为了更好的理解函数的极值与最值，下面给出一个综合例题：例题：已知函数f(x) = 2x^3 - 3x^2 + 4x - 1，求其在定义域[-2,2]上的最大值和最小值。
解答：首先，将函数f(x)对x求导，得到f'(x) = 6x^2 - 6x + 4。
令f'(x) = 0，解得x = 1/3。
然后，计算f''(1/3) = 4，由于f''(1/3)大于0，所以x = 1/3是函数f(x)的一个局部最小值点。
函数的值域与最值知识点归纳函数是数学中的重要概念，是描述两个集合之间元素的对应关系。
在函数的研究中，值域和最大最小值是两个重要的知识点。
本文将对函数的值域与最值进行归纳与总结，以帮助读者更加深入地理解和掌握这些知识点。
一、函数的值域值域是函数在定义域内所有可能的输出值的集合。
即对于函数f(x)，其值域为所有符合f(x) = y的y的取值。
确定函数的值域可以采用以下方法：1. 列表法：将定义域内所有可能的输入值代入函数，得到对应的输出值，将这些输出值按照从小到大的顺序排列，即可得到函数的值域。
2. 图像法：通过绘制函数的图像，观察图像在纵坐标上的取值范围，即可得到函数的值域。
需要注意的是，对于不连续的函数，应该观察每个分段函数的值域。
3. 函数表达式法：通过分析函数的解析表达式，确定函数的值域。
例如，对于一次函数f(x) = ax + b，由于a为常数，那么当x趋向于正无穷或负无穷时，f(x)也趋向于正无穷或负无穷，因此可以确定该一次函数的值域为整个实数集。
二、函数的最大最小值最大最小值是函数在定义域内取得的最大和最小的输出值。
确定函数的最大最小值可以采用以下方法：1. 导数法：对函数进行求导，找到导数为零的点和导数不存在的点，然后将这些点代入原函数，得到对应的函数值，即为函数的最大最小值。
需要注意的是，在求导的过程中，要注意判断定义域的边界情况。
2. 极值点法：对于闭区间上的函数，可以通过求解函数的极值点来确定函数的最大最小值。
首先求解函数的驻点，即导数为零或不存在的点，然后将这些驻点以及端点的函数值进行比较，得到函数的最大最小值。
3. 函数图像法：通过绘制函数的图像，观察图像在纵坐标上的取值范围，即可得到函数的最大最小值。
需要注意的是，对于不连续的函数，应该观察每个分段函数的最大最小值，并对比得到整个函数的最大最小值。
综上所述，函数的值域与最值是函数研究中的重要内容。
确定函数的值域可以通过列表法、图像法和函数表达式法等方法进行，确定函数的最大最小值可以通过导数法、极值点法和函数图像法等方法进行。
函数的值域与最值1. 值域的概念和常见函数的值域函数的值域取决于定义域和对应法则，不论采用什么方法球函数的值域均应考虑其定义域. 常见函数的值域：一次函数()0y kx b k =+≠的值域为R.二次函数()20y ax bx c a =++≠，当0a >时的值域为24,4ac b a ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭，当0a <时的值域为24,4ac b a ⎛⎤--∞ ⎥⎝⎦.，反比例函数()0k y kx=≠的值域为{}0y R y ∈≠.指数函数()01xy aa a =>≠且的值域为{}0yy >.对数函数()log 01a y x a a =>≠且的值域为R.正，余弦函数的值域为[]1,1-，正，余切函数的值域为R.2. 函数的最值对于函数()f x ，假定其定义域为A ，则2.1若存在0x A ∈，使得对于任意x A ∈，恒有()()0f x f x ≥成立，则称()0f x 是函数()f x 的最小值；2.2若存在0x A ∈，使得对于任意的x A ∈，恒有()()0f x f x ≤成立，则称()0f x 是函数()f x 的最大值.对于函数的最值应抓住如下两点：①是“任意的”，即对于定义域内的任意的x ，相应的不等式都成立；②是“存在性”，即在定义域中存在0x 似的等式成立.3.求函数值域（最值）的常用方法 3.1.基本函数法对于基本函数的值域可通过它的图像性质直接求解. 3.2配方法对于形如()20y ax bx c a =++≠或()()()()20F x a f x bf x c a =++≠⎡⎤⎣⎦类的函数的值域问题，均可用配方法求解.例：求函数的值域：y =解：设()2650x x μμ=---≥，则原函数可化为：y =.又因为()2265344x x x μ=---=-++≤，所以04μ≤≤，[]0,2，所以，y =的值域为[]0,2. 3.3换元法利用代数或三角换元，将所给函数转换成易求值域的函数，形如()1y fx =的函数，令()f x t =；形如,,,,0)y ax b a b c d ac =+±≠均为常数的函数，t =的结构的函数，可利用三角代换，令[]cos ,0,x a θθπ=∈，或令sin ,,22x a ππθθ⎡⎤=∈-⎢⎥⎣⎦.例：求函数的值域：y x =+解：设0,t =≥则21x t =-.所以原函数可化为()()2214250y t t t t =-+=--+≥，所以5y ≤.所以原函数的值域为(],5-∞.3.4不等式法利用基本不等式a b +≥，用此法求函数值域时，要注意条件“一正，二定，三相等”.如利用a b +≥0,0a b >>;②()a b ab +或为定值；③取等号成立的条件a b =.三个条件缺一不可. 例：求函数的值域：2211212x x y x x -+⎛⎫=>⎪-⎝⎭. 解：()212112111121212121222x x x x y x x x x x x -+-+===+=-++----11,022x x >∴->112122x x ∴-+≥=-当且仅当112122xx-=-时，即12x+=时等号成立，12y∴≥，所以元函数的值域为12⎡⎫++∞⎪⎢⎣⎭.3.5函数的单调性法确定函数在定义域（或某个定义域的子集）上的单调性求出函数的值域，例如，()()0,0bf x ax a bx=+>>.当利用不等式法等号不能成立时，可考虑利用函数的单调性解题. 3.6数形结合法如果所给函数有较明显的几何意义，可借助几何法求函数的值域，如由1221y yx x--可联想到两点()11,x y与()22,x y连线的斜率.例：求函数的值域：14y x x=-++解：()()()23414541231x xy x x xx x--≤-⎧⎪=-++=-<<⎨⎪+≥⎩5y∴≥∴函数的值域为：[)5,+∞.3.7函数的有界性法形如sin1sinxyx=+，可用y表示出sin x，再根据1sin1x-<≤，解关于y的不等式，可求y的取值范围.3.8导数法设()y f x=的导数为()f x'，由()0f x'=可求得极值点坐标，若函数定义域为[],a b，则最值必定为极值点或区间端点中函数值的最大值和最小值.3.9判别式法例：求函数的值域22221x xyx x-+=++解：210x x++>恒成立，∴函数的定义域为R.由22221x xyx x-+=++得()()22120y x y x y-+++-=。
函数的值域与最值【知识梳理】 1、值域的概念在函数()y f x =中，自变量x 取遍定义域内每个值时对应的函数值y 的全体称之为函数的值域.函数的值域一般表示成集合或区间，不用不等式表示. 2、最值的概念最值分为最大值与最小值，其分别是值域内最大的数与最小的数，即对于函数()y f x =，对任意的x D ∈（D 为()f x 的定义域），都有()()0f x f x ≤成立，就称()0f x 为函数的最大值，记为：()max 0y f x =；即对于函数()y f x =，对任意的x D ∈，都有()()0f x f x ≥，就称()0f x 为函数的最小值，记为：()min 0y f x =.【注】并不是每个函数均有最大值与最小值，有的函数只有最大值，有的函数只有最小值，有的函数最大值与最小值均无，还有的函数是既有最大值又有最小值，最值情况视具体函数而定.【注】最值首先是函数值，所以最值必须是函数值域内的元素.如函数的值域为[)2,3，只能说函数有最小值2，3不是函数的最大值，因为3不在值域内.再如，函数的值域为()2,5，此时函数无最值. 3、最值定理定义在闭区间上的连续函数既有最大值又有最小值.特别地，若函数在闭区间上单调，则最大值与最小值均在区间的端点取.【注】求函数在给定区间上的值域最忌讳的是将区间的端点直接代入求解，请不要低估命题者的智商.当然，若函数在区间上单调，上述做法可行，但前提需证明函数单调.事实上，命题者所给的区间往往是即有增区间又有减区间. 4、常见函数的值域①一次函数()f x kx b =+的值域R ；②二次函数()()20,R f x ax bx c a x =++≠∈，当0a >时，函数的值域为24,4ac b a ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭；当0a <时，函数的值域为24,4ac b a ⎛⎤--∞ ⎥⎝⎦.③一次分式函数()()0ax b f x c cx d +=≠+的值域a y y c ⎧⎫≠⎨⎬⎩⎭；④二次分式函数()()0,0bf x ax a b x=+>>的值域为(),2,ab ⎡-∞-+∞⎣； ⑤二次分式函数()()0,0bf x ax a b x=->>的值域为R ； ⑥指数函数()()0,1xf x aa a =>≠的值域()0,+∞；⑦对数函数()()log 0,1a f x x a a =>≠的值域为R ；⑧正、余弦函数()sin f x x =、()cos f x x =的值域为[]1,1-；正切函数()tan f x x =的值域为R ；⑨反正弦()arcsin f x x =函数的值域为,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，反余弦函数()arccos f x x =的值域为[]0,π，反正切函数()arctan f x x =的值域为,22ππ⎛⎫-⎪⎝⎭. 5、值域求解常用的方法函数值域的求解没有通性通法，只能依据函数解析式的特征来确定相应的解法，常用的求解方法有以下几种：①二次函数值域求解主要抓对称轴与所给区间的位置关系，结合函数的单调性进行求解. ②对于分式函数，一般采用分离常数法； ③换元法（代数换元与三角换元等）；④数形结合法（主要针对无理函数与带有绝对值的函数）； ⑤判别式法（主要针对自然定义域下的二次分式函数）；⑥利用基本初等函数的性质，如绝对值、偶次算术平方根的意义、三角函数的有界性、函数的单调性等；⑦利用已知函数的值域等. ⑧反函数法（等价转化法）6、关于函数()1231||||||||||n n f x x a x a x a x a x a -=-+-+-++-+-的最小值对于任意123,,a a a R n a ∈，若123a a a ≤≤≤1n n a a -≤≤，①当n 为奇数时，()f x 在123,,a a a n a 的中位数时取到最小值，即12n x a +=时，()f x 有最小值，即()1min 2n a f x f +⎛⎫=⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭.②当n 为偶数时，()f x 的最小值在123,,a a a n a 的中间两个数的范围内取到，即122,n n x a a +⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时()f x 有最小值.此时()min 2n f x f a ⎛⎫=⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭或()min 12n f x f a +⎛⎫=⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭. 7、函数()(),,R f x x a x b a b x =-+-∈的值域为),a b ⎡-+∞⎣； 函数()(),,R f x x a x b a b x =---∈的值域为,a b a b ⎡---⎤⎣⎦. 【典型例题】例1、求下列函数的值域 （1）()f x （2）()f x x =+ （3）()3f x x =+ （4）()f x =（5）()f x =（6）()212f x x x =-+-；（7）()21()01x f x x x +=>-；（8）()121()021x x f x x ++=>-（9）()arccos xf x x e =-；（10）2211()212x x f x x x -+⎛⎫=> ⎪-⎝⎭；（11）2256()6x x f x x x -+=+-.例2、求下列函数的值域（1）[]2()23,2,3f x x x x =+-∈-；（2）[]()2()23,,33f x x x x a a =+-∈<；（3）[]()2()44,,1R f x x x x a a a =--∈+∈；（4）[]2()23,2,3f x x ax x =--∈-； （5）()()()()3441022R x x x xf x x --=+-+∈；（6）[]2242()3,1,2f x x x x x x=-+-+∈； （7）()22()(512)(54)21R f x x x x x x =-+-++∈； （8）()2()1R,R f x x x a a x =+-+∈∈.例3、若一系列函数的解析式相同，值域相同，定义域不同，则称这些函数为“孪生函数”，那么解析式为()221f x x =+，值域为{}5,19的“孪生函数”共有_______个.例4、已知1sin sin 3x y +=，则2sin cos y x -的最大值为________. 例5、若实数,x y 满足：22240x y x y +-+=，则2x y -的取值范围为________.例6、若动点(),x y 在曲线22214x y b+=()0b >上变化，则22x y +的最大值为________. 例7、已知()22214y x ++=，则22x y +的取值范围为________. 例8、【2014安徽卷】若函数()12f x x x a =+++的最小值为3，则实数a =________. 例9、已知函数()()()222log 1212f x a x a x ⎡⎤=-+-+⎣⎦（1）如果函数()f x 的定义域为R ，求实数m 的取值范围. （2）如果函数()f x 的值域为R ，求实数m 的取值范围. 例10、我们把形如()0,0>>-=b a ax by 的函数因其图像类似于汉字“囧”字，故生动地称为“囧函数”，并把其与y 轴的交点关于原点的对称点称为“囧点”，以“囧点”为圆心凡是与“囧函数”有公共点的圆，皆称之为“囧圆”，则当1=a ，1=b 时，所有的“囧圆”中，面积的最小值为_______.例11、设[]x 表示不超过x 的最大整数，如[][]1.51, 1.52=-=-.若函数()()0,11x xa f x a a a =>≠+，则()()()1122g x f x f x ⎡⎤⎡⎤=-+--⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦的值域为_______. 例12、已知函数21()2f x a a x=+-1（R a ∈且0a ≠）. （1）设0mn >，判断函数)(x f 在[],m n 上的单调性，并说明理由；（2）设0m n <<且0a >时，()f x 的定义域和值域都是[],m n ，求n m -的最大值；（3）若不等式2|()|2a f x x ≤对1x ≥恒成立，求a 的范围.。
玩转函数第三招第3招：函数的值域和最值一、确定函数的值域的原则1、当数y=f(x)用表格给出时，函数的值域是指表格中实数y 的集合。
2、当函数y=f(x)图象给出时，函数的值域是指图象在y 轴上的投影所覆盖的实数y 的集合。
3、当函数y=f(x)用解析式给出时，函数的值域由函数的定义域及其对应法则唯一确定。
常见函数的值域：4、当函数由实际问题给出时，函数的值域由问题的实际意义确定。
二、求函数值域的方法11种：1、直接观察法，一般要用到210000xx x≥≥≥≠【例1】求函数1y x=【例2】求函数3y =的值域【例3】（陕西文）函数f(x)=11+x 2(x ∈R)的值域是( )A.(0,1) B.(0,1] C.[0,1) D.[0,1]2、配方法（形如y=ax 2+bx+c(a≠0)的函数常用配方法求函数的值域，要注意x 的取值范围。
）二次函数（二次函数在给出区间上的最值有两类：一是求闭区间[,]m n 上的最值；二是求区间定（动），对称轴动（定）的最值问题。
求二次函数的最值问题，勿忘数形结合，注意“两看”：一看开口方向；二看对称轴与所给区间的相对位置关系），如（1）求函数225,[1,2]y x x x =-+∈-的值域；（2）当]2,0(∈x 时，函数3)1(4)(2-++=x a axx f 在2=x 时取得最大值，则a 的取值范围是___；（3）已知()3(24)x bf x x -=≤≤的图象过点（2,1），则1212()[()]()F x f x fx --=-的值域为______3、判别式法――对分式函数（分子或分母中有一个是二次）都可通用，但这类题型有时也可以用其它方法进行求解，不必拘泥在判别式法上，也可先通过部分分式后，再利用均值不等式：①2b y k x=+型，可直接用不等式性质，如求232y x=+的值域②2bx y x m x n=++型，先化简，再用均值不等式，如（1）求21x y x=+的值域（2）求函数3y x =+（3）设2()()1ax b f x x R x +=∈+的值域为[-1，4]，求a,b 的值③22x m x n y x mx n''++=++型，通常用判别式法； 如已知函数2328log 1mx x ny x ++=+的定义域为R ，值域为[0，2]，求常数,m n 的值如求函数2231x x y x x -+=-+的值域④2x m x n y mx n ''++=+型，可用判别式法或均值不等式法，如求211x x y x ++=+的值域说明：利用判别式法求函数的值域，一是方程二次项系数为0的情形要特别讨论；二是要看函数的定义域是否满足x ∈R 。
学科教师辅导讲义11222=，故225)4x x x +=+254x +=+显然这样的实数不存在，那么我们就不能使用不等式法来求解了例4、求函数2223(20)()23(03)x x x f x x x x ⎧+--<⎪=⎨--⎪⎩，≤ ≤≤的值域．分析：求分段函数的值域可作出它的图象，则其函数值的整体变化情况就一目了然了，从而可以快速地求出其值域．解：作图象如图所示．(1)(1)4f f -==-∵，(2)3f -=-，(3)0f =，(0)3f =-，∴函数的最大值、最小值分别为0和4-，即函数的值域为[40]-，． 变式练习1：求函数13y x x =-+-的值域.分析: 此题首先是如何去掉绝对值,将其做成一个分段函数.24,(,1],2,(1,3),24,[3,),x x y x x x -+∈-∞⎧⎪=∈⎨⎪-∈+∞⎩在对应的区间内,画出此函数的图像, 如图1所示, 易得出函数的值域为),2[+∞. 变式练习2：求函数224548y x x x x =+++-+的值域。
解：原函数变形为222()(2)1(2)2f x x x =+++-+作一个长为4、宽为3的矩形ABCD ，再切割成 12个单位正方形。
设HK=x ,则EK=2x -,KF=2x +,AK=22(2)2x -+,KC=2(2)1x ++ 。
由三角形三边关系知，AK+KC ≥AC=5。
当A 、K 、C 三点共线时取等号。
∴原函数的知域为｛y |y ≥5｝。
变式练习3：求函数()225222++-++=x x x x x f 的最大值解：()225222++-++=x x x x x f =()()114122++-++x x=()()()()2222101201-++--++x x ，显然，求f(x)的最大值就是求点A(x,0)分别到B(-1,2),C(-1,1)的距离之差的最大值.如图1所示：()()22201-++x =|AB|,()()22101-++x =|AC|,且|BC|=1.显然f(x)=|AB|-|AC|≥|BC|=1当且仅当A,B,C 三点共线时取到等号，即当X=-1时()[]1max =∴x f . y yB 2 B 2C 1 C 1-1 O 1 x -1 O 1 x图1 图2图1y=-2x+4y=2x-4YX4O231时，x R ∈，函数的值域为[1,92212+++x x x 的值域先将此函数化成隐函数的形式得的一元二0)1≥-,解得略解：易知定义域为1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦，而12y x x =--在1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦上均为增函数，∴11112222y --=≤，故y ∈1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦13、求函数22y x x =-++的值域。
【知识要点】一、函数值域的定义函数值的集合叫做函数的值域.二、函数的值域取决于定义域和对应法则，不论采用什么方法求函数的值域，都要考虑定义域，函数的问题必须遵循“定义域优先”的原则.三、常见函数的值域1、一次函数的值域为.2、二次函数，当时的值域为，时的值域为.3、反比例函数的值域为.4、指数函数的值域为.5、对数函数的值域为.6、幂函数的值域为，幂函数的值域为.7、正弦函数、余弦函数的值域为，正切函数的值域为.四、求函数的值域常用的方法求函数的值域常用的方法有观察法、分离常数法、配方法、反函数法、换元法、判别式法、基本不等式法、单调性法、数形结合法、导数法、绝对值不等式法和柯西不等式法等.其中最常用的有“三数（函数、数形结合、导数）”和“三不（基本不等式、绝对值不等式、柯西不等式）”.五、函数的值域一定要用集合或区间来表示.六、函数的值域、取值范围和函数的最值实际上是同一范畴的问题，所以求函数值域的方法适用于求函数的最值和取值范围等.【方法讲评】方法六判别式法使用情景形如的函数.解题步骤一般先将函数化成二次方程，再利用判别式来求函数的值域.【例1】求函数的值域.【点评】（1）分子、分母中含有二次项的函数类型，此函数经过变形后可以化为的形式，再利用判别式加以判断.（2）函数经过变形后可以化为的形式后，要注意对是否为零进行分类讨论，因为它不一定是一元二次方程.（3）判别式法解出值域后一定要将端点值（本题是）代回方程检验，把不满足题意的舍去.【反馈检测1】求函数的值域.方法七基本不等式法使用情景一般变量是正数，变量的和或积是定值.解题步骤一般先进行配凑，再利用基本不等式求函数的最值，从而得到函数的值域.【例2】已知，求函数的最小值.【解析】.=当且仅当，即时，上式等号成立.因为在定义域内，所以最小值为.【点评】（1）本题不能直接使用基本不等式，本题在利用基本不等式前，要对函数化简，要用到分离函数的方法对函数进行化简，再使用基本不等式.（2）很多函数在使用基本不等式之前都要进行化简和配凑，所以要注意观察函数的结构,再进行变形，再使用基本不等式.(3)利用基本不等式求最值时，要注意“一正二定三相等”，三个条件缺一不可.【例3】已知，求函数的最大值.【点评】（1）基本不等式有二元基本不等式(和三元不等式.（2）基本不等式不仅适用于一般函数，也适用三角函数和其它所有函数，只要满足条件，就可以利用“一正二定三相等”来分析解答.【反馈检测2 】已知，，且，则的最小值为.【反馈检测3】【2017浙江，17】已知αR，函数在区间[1，4]上的最大值是5，则的取值范围是___________．方法八单调性法使用情景函数的单调性容易判断.解题步骤先判断函数的单调性，再利用函数的单调性得到函数的值域.【例 4】求函数的值域.【点评】（1）本题先利用复合函数的单调性确定了函数的单调区间，从而得到函数的最大值和最小值，得到函数的值域.（2）判定函数的单调性常用的有定义法、图像法、复合函数分析法和导数法,注意灵活使用.【例5】求函数的值域.【解析】令，则在上都是增函数，所以在上是增函数当时，当时，故所求函数的值域为。
函数的值域与最值●知识点归纳一、相关概念 1、值域：函数A x x f y ∈=，)(，我们把函数值的集合{|(),}y y f x x A =∈称为这个函数的值域。
2、最值：求函数最值常用方法和函数值域的方法基本相同。
事实上，如果在函数的值域中存在一个最小(大)数，这个数就是函数的最小(大)值。
因此，求函数的最值和值域，其实质是相同的，只是提问不同而已。
最大值：一般地，设函数y =f (x )的定义域为I ，如果存在实数M 满足：①对于任意的x ∈I ，都有f (x )≤M ；②存在x 0∈I ，使得f (x 0) = M 。
那么，称M 是函数y =f (x )的最大值。
记作()max 0y f x =最小值：一般地，设函数y =f (x )的定义域为I ，如果存在实数M 满足：①对于任意的x ∈I ，都有f (x )≥M ；②存在x 0∈I ，使得f (x 0) = M 。
那么，称M 是函数y =f (x )的最小值。
记作()min 0y f x = 注意：①函数最大（小）首先应该是某一个函数值，即存在x 0∈I ，使得f (x 0) = M ；② 函数最大（小）应该是所有函数值中最大（小）的，即对于任意的x ∈I ，都有f (x )≤M （f (x )≥M ）。
二、基本函数的值域一次函数）（0≠+=a b kx y 的定义域为R ，值域为R ； 二次函数）（02≠++=a c bx ax y 的定义域为R ，；当]44(0);44[022ab ac ，，a ，a b ac ，a --∞<∞+->值域是时值域是时反比例函数)0(≠=k xk y 的定义域为{x|x ≠0}，值域为}0/{≠y y ；数函数)10(≠>=a a a y x且的值域为}0/{>y y ； 对数函数)10(log ≠>=a a x y a 且的值域为R ； 正、余弦:函数的值域][1,1-；正、余切函数 2k x ,tan ππ+≠=x y ,cot x y =),(Z k k x ∈≠π的值域为R 。
函数的最值与值域【考纲要求】1. 会求一些简单函数的定义域和值域；2. 理解函数的单调性、最大(小)值及其几何意义；3. 会运用函数图象理解和研究函数的性质．4. 在某些实际问题中，会建立不等式求参数的取值范围，以及求最大值和最小值. 【知识网络】【考点梳理】考点一、函数最值的定义1.最大值：如果对于函数()f x 定义域D 内的任意一个自变量x ，存在0x D ∈，使得0()()f x f x ≤成立，则称0()f x 是函数()f x 的最大值．注意：下面定义错在哪里？应怎样订正．如果对于函数()f x 定义域D 内的任意一个自变量x ，都有()f x M ≤，则称M 是函数()f x 的最大值．2.最小值的定义同学们自己给出． 考点二、函数最值的常用求法1.可化为二次函数的函数，要特别注意自变量的取值范围．2.判别式法：主要适用于可化为关于x 的二次方程，由0∆≥（要注意二次项系数为0的情况）求出函数的最值，要检验这个最值在定义域内是否有相应的x 的值．3.换元法：很多含根式的函数的最值的求法经常用到换元法来求．常用的换元有———三角代换，整体代换．4.不等式法：利用均值不等式求最值．5.利用函数的性质求函数的最值6.含绝对值的函数或分段函数的最值的求法7.利用导数求函数的最值。
要点诠释：(1)求最值的基本程序：求定义域、求导数、求导数的零点、列表、根据表比较函数值大小给出最值； (2)一些能转化为最值问题的问题:()f x A >在区间D 上恒成立⇔函数min ()()f x A x D >∈函数的最值与值域 函数的值域函数的最大值函数的最小值()f x B <在区间D 上恒成立⇔函数max ()()f x B x D <∈在区间D 上存在实数x 使()f x B <⇔函数min ()()f x B x D <∈ 在区间D 上存在实数x 使()f x A >⇔函数max ()()f x A x D >∈ 【典型例题】类型一、通过转化或换元的方法求解函数的值域或最值 例1.求函数22()x x x f x e me e -=-+-xme -的最值． 【解析】22()()x x x x f x e e m e e --=+-+ 2()()2x x x x e e m e e --=+-+-令x xt e e -=+（注意t 的范围），这样所求函数就变为二次函数．【总结升华】当式子中同时出现22x x -+和1x x -±时，都可以化为二次式． 举一反三：【变式】求函数y =【解析】平方再开方，得[3,1]y x =∈-y ∴∈类型二、函数值的大小比较，求函数值域，求函数的最大值或最小值 例2. 求下列函数值域： (1)2-12x y x =+； 1)x ∈[5，10]； 2)x ∈(-3，-2)∪(-2，1)； (2)y=x 2-2x+3； 1)x ∈[-1，1]； 2)x ∈[-2，2]. 【解析】(1)2(2)-5-5-522x y y x x x+===+++2可看作是由左移2个单位，再上移2个单位得到，如图1)f(x)在[5，10]上单增，919[(5),(10)][,]712y f f ∈即； 2)1(-,(1))((-3),)(-)(7)3y f f ∈∞⋃+∞∞⋃+∞即，，； (2)画出草图1)y ∈[f(1)，f(-1)]即[2，6]； 2)[(1),(-2)][2,11]y f f ∈即. 举一反三：【变式】已知函数13xf (x)13x+=-.(1)判断函数f(x)的单调区间；(2)当x ∈[1，3]时，求函数f(x)的值域.【解析】(1)13x (3x 1)22f (x)113x 13x 3x 1+--++===-----1f (x)(-)3∴∞在，上单调递增，在1(,)3+∞上单调递增；(2)1[1,3](,)3⊆+∞故函数f(x)在[1，3]上单调递增∴x=1时f(x)有最小值，f(1)=-2 x=3时f(x)有最大值5f (3)4=-∴x ∈[1，3]时f(x)的值域为5[2,]4--. 类型三、含参类函数的最值与值域问题例3（2016 北京高考）设函数33,()2,x x x af x x x a ⎧-≤=⎨->⎩.①若0a =，则()f x 的最大值为______________； ②若()f x 无最大值，则实数a 的取值范围是________. 【答案】2，(,1)-∞-.【解析】如图先作出函数3()3g x x x =-与直线2y x =-的图象，它们的交点是(1,2)A -，(0,0)O ，(1,2)B -，由2'()33g x x =-，知1x =是函数()g x 的极大值点，①当0a =时，33,0()2,0x x x f x x x ⎧-≤=⎨->⎩，因此()f x 的最大值是(1)2f -=；②由图象知当1a ≥-时，()f x 有最大值是(1)2f -=；只有当1a <-时，由332a a a -<-，因此()f x 无最大值，∴所求a 的范围是(,1)-∞-，故填：2，(,1)-∞-．.举一反三：【变式】（2014 甘肃一模）若不等式2229t t a t t +≤≤+在(]0,2t ∈上恒成立，则a 的取值范围是（ ） A. 1,16⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B. 2,113⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C. 14,613⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D.16⎡⎢⎣ 【答案】B 【解析】函数22212t y t t t+==+，在(]0,2t ∈上为减函数 ∴当2t =时，22t t +的最小值为1;又2196t t ≤=+，当且仅当3t =时等号成立 所以函数29ty t =+在区间(]0,2上为增函数 可得2t =时，29t t +的最大值为213.因为不等式2229t t a t t+≤≤+在(]0,2t ∈上恒成立 所以22max min29t t a t t +⎛⎫⎛⎫≤≤⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭即2113a ≤≤可得a 的取值范围是2,113⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 类型四、抽象函数的最值与值域问题例4.若函数()y f x =的值域是1[,3]2，则函数1()()()F x f x f x =+的值域是（ ） A ．1[,3]2 B ．10[2,]3 C ．510[,]23 D ．10[3,]3【答案】B【解析】令()t f x =，则1[,3]2t ∈，110()[2,]3F x t t =+∈ 举一反三：【变式】设函数2211()21x x f x x x x ⎧-⎪=⎨+->⎪⎩，，，，≤则1()(2)f f 的值为（ ） A ．1516B ．2716-C ．89D ．18【答案】A【解析】∵2(2)2224f =+-=，∴211115()()1()(2)4416f f f ==-=. 类型五：解析几何在最值方面的综合应用例5．设A （0，0），B （4，0），C （t+4，4），D （t ，4）（t ∈R ）．记N （t ）为平行四边形ABCD 内部（不含边界）的整点的个数，其中整点是指横、纵坐标都是整数的点，则函数N （t ）的值域为（ ）A ．{9，10，11}B ．{9，10，12}C ．{9，11，12}D ．{10，11，12}【解析】当t ≠0时，直线AD 的方程为4y x t=， 分别与直线y=1，y=2，y=3交于点1(,1)4t M ，2(,2)2t M 33(,3)4M t 。
同理直线BC 的方程为4(4)y x t=-分别与直线y=1，y=2，y3交于点 1(4,1)4t N +，2(4,2)2t N +，33(4,3)4N t +。
此时当3014t <<时，直线y=1，y=2，y=3在平等四边形ABCD 内部的线段上各有4个整点，故此时N （t ）=12； 当314t =时，直线y=1，y=2在平行四边形ABCD 内部的线段上各有4个整点， 而直线y=3在平行四边形ABCD 内部的线段上只有3个整点， 此时N （t ）=11。
同理可得当31()4k k k t<<+∈Z 时，N （t ）=12； 当31()4t k k =+∈Z 时，N （t ）=11。
综上得 9, 044()12, (1)33411, (1)3t N t k t k t k ⎧⎪=⎪⎪=<<+⎨⎪⎪=+⎪⎩，其中k ∈Z ）。
故选C 。
【答案】C 当t=0时，平行四边形ABCD 为正方形，不含边界的整点个数为9个。
【变式2】设直线x=t 与函数2()f x x =，()ln g x x =的图像分别交于点M ，N ，则当|MN|达到最小时t 的值为（ ）A ．1B ．12 C ．2 D ．2【答案】D 如图，2||ln MN t t =-，令2()ln (0)h t t t t =->，∵2121'()2t h t t t t -=-=，∴易知02t <<时，'()0h t <；2t >'()0h t >。
于是可判断当t =|MN|取得小值。
