函数的最值与值域

，最小值是
y
1
，最大值为
y
1
。而
y
sin
x
，x
0,
2
的值域为
0,1
，但
0
不是
y
sin
x
，
x
0,
2
的最小值，1
也不是
y
sin
x
，
x
0,
2
的
最大值。
三、求函数值域和最值的 11 种方法
1、图象法 对某些给出函数的图象的函数，可以利用其图象直接“读取”出
函数的值域。 如右图所示，可知函数的最小值为 0，最大值为“ ”，
1 y2
∵ | sin x |1 ，∴ 2 y 1 ，两边平方得 3y2 1 ，
1 y2
∴
3 y 3
3 3
，∴原函数的值域为
3, 3
3 3
。
7、结合函数的单调性求值域
通过确定函数在定义域内或定义域内的某个子区间上的单调性来求函数的最大、最小值
等，进而得到函数的值域。
常 见 的 结 合 单 调 性 求 值 域 的 函 数 如 ： y ax b dx e （ a,b,c, d ,e 都 为 常 数 且 ad 0 ）。①当 ad 0 ，即 a 、d 同号时，可以直接利用函数的单调性求最值；②当 ad 0 ， 即 a 、 d 异号时，则需要用换元法求值域。
x
二 、函数最值
1. 最值的概念
函数 y f x 的最值指的是函数 y f x 的最大值和最小值。
（1）最大值
一般地，设函数 y f x 的定义域为 I ，若存在实数 M 满足：对任意的 x I ，都有
f x M ；同时，存在 x0 I ，使得 f x0 M ，则称 M 为 y f x 的最大值。

函数最值、值域、恒成立问题一、函数最值定义1.（1）一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数M 满足：①x I ∀∈，都有()f x M ≤；②0x I ∃∈，使得()0f x M =。

就称M 是函数()y f x =的最大值。

（2）一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数M 满足：①x I ∀∈，都有()f x M ≥；②0x I ∃∈，使得()0f x M =。

就称M 是函数()y f x =的最小值。

2.【注】（1）函数的最值指的是函数值（y 值）的最大值和最小值。

求函数的最值，既要求函数的最大值也要求函数的最小值。

【注】（2）从函数图象上看，函数的最大值对应函数图象最高点的纵坐标；函数的最小值对应函数图象最低点的纵坐标。

二、单调函数的最值1.单调函数的最值在闭区间的端点处取得。

（1）单调递增函数在闭区间的左端点取得最小值，在右端点取得最大值。

（2）单调递减函数在闭区间的左端点取得最大值，在右端点取得最小值。

【注】单调函数在开区间上无最值，即既无最大值，也无最小值。

2.函数值域闭区间的左端点是函数值的最小值，右端点是函数值的最大值。

求函数的值域，往往要求函数的最大值和最小值。

三、分段函数的最值1.分段函数的最大值，是各段函数值最大值中的最大值；2.分段函数的最小值，是各段函数值最小值中的最小值。

四、函数最值的求解方法函数求最值的方法一般有：配方法、换元法、数形结合法（图象法）、结合函数的单调性法等。

五、函数的值域问题函数值域中的最小值往往是函数值的最小值，函数值域中的最大值往往是函数值中的最大值，所以求函数的值域往往需要先求出函数的最大值和最小值。

六、恒成立问题假设()g x 为已知函数，求()f a 的取值范围，则有以下两种情况：（1）()()f a g x ≤恒成立()()min f a g x ⇔≤；（2）()()f a g x ≥恒成立()()max f a g x ⇔≥。

解决实际问题
在解决实际问题时，可以根据问题的实际背景确 定函数的值域，从而得到问题的解。
03 函数的最值与值域的关系
最值与值域的联系
01 最值是函数在定义域内达到的最大或最小值，而 值域是函数所有可能取值的集合。
02 最值一定出现在函数的定义域内，而值域是定义 域内所有可能取值的集合，包括最值。
03 当函数在定义域内取得最值时，其对应的自变量 值称为临界点。
最值与值域的区别
01
最值是函数在特定点上的取值，而值域是函数所有可
能取值的范围。
02
最值只考虑函数在临界点处的取值，而值域需要考虑
整个定义域内的取值情况。
03
最值是函数在特定点上的局部特性，而值域是函数在
整个定义域上的全局特性。
最值与值域在函数中的表现形式
值域：对于任意实数$x$， $f(x)=kx+b$的值域为$R$。
二次函数的最值与值域
二次函数$f(x)=ax^2+bx+c$的最值出现在对称轴上，即$x=-frac{b}{2a}$处，最大值为$frac{4acb^2}{4a}$，最小值为$frac{4ac-b^2}{4a}$。
值域：当$a>0$时，函数有最小值，最小值为$frac{4ac-b^2}{4a}$；当$a<0$时，函数有最大值，最大 值为$frac{4ac-b^2}{4a}$。
函数的最值可以通过求导数、利用极值定理或比较法等方法求得。
函数的值域可以通过观察函数的图像、利用函数的性质或比较法等方法确 定。
在实际应用中，需要根据问题的具体情况选择合适的方法来确定函数的最 值和值域。
04 函数的最值与值域的实例 分析
一次函数的最值与值域

\g
( - x ) +g
(x)
=
2x+1 +
2x +1
sin
x
2 -1+
1+ 2x
- sin
x
-1 =
0
思思老师
\g(-x) = -g(x)
\ g ( x) 为奇函数，函数图像关于原点对称.
\函数 g ( x) 在区间 [-k, k ](k > 0) 上的最大值记为 a,(a>0),则函数 g ( x) 在区间 [-k, k ](k > 0) 上的最小
f (2) 4
4 16
类型五：函数、导数、不等式知识在最值方面的综合应用
例 5. （ 2016 全 国 新 课 标 Ⅱ ） ( Ⅰ ) 讨 论 函 数 f (x) = x - 2 ex 的 单 调 性 ， 并 证 明 当 x > 0 时 ， x+2
(x - 2)ex + x + 2 > 0 ；
(Ⅱ)证明：当
f
(x)
=1+
2x+1 2x +1
+ sin
x
在区间 [-k, k ]( k
>
0)
上的值域为 [m, n]
，则
m+n=
.
【答案】4
【解析】记 g ( x)
=
f
(x)-2 =
2x+1 + sin x -1
2x +1
\
g
(-x)
=
2- x+1 2-x +1
+
sin
(-x)
-1
2 = 1+ 2x - sin x -1

第10讲 函数的值域与最值【考点解读】1. 理解函数的单调性、值域和最值的概念；2. 掌握求函数的值域和最值的常用方法与变形手段.【知识扫描】1.函数的值域与最值(1)函数的值域是函数值的集合,它是由定义域和对应法则共同确定的，所以求值域时应注意函数的定义域. (2)函数的最值.设函数y =f (x )的定义域为I ，如果存在实数M 满足：(ⅰ)对于任意的x ∈I ,都有f (x )≤M ;(ⅱ)存在x 0∈I ,使得f (x 0)=M ,则称M 是函数y =f (x )的最大值.类似地可定义f (x )的最小值. 2.基本初等函数的值域(1)一次函数y =kx +b (k ≠0)的值域为R. (2)二次函数y =ax 2+bx +c (a ≠0)的值域：当a>0时，值域为24,4ac b a ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭; 当a<0时，值域为24,4ac b a ⎛⎤--∞ ⎥⎝⎦(3)反比例函数y = (k ≠0)的值域为不为0的实数；(4)指数函数y =ax (a >0且a ≠１)的值域为()0,+∞. (5)对数函数y =log ax (a >0且a ≠１)的值域为R.(6)正、余弦函数y =sin x (x ∈R )、y =cos x (x ∈R )的值域为[]1,1-;正切函数y =tan x (x ≠k π+ ,k ∈Z )的值域为 R.3.求函数的值域（最值）常用的方法 (1)配方法. 适合一元二次函数 (2)单调性法. 注意函数xkx y +=的单调性。

(3)导数法.(4) 换元法；通过变量代换转化为能求值域的函数，特别注意新变量的范围。

注意三角换元的应用。

如求21x x y -+=的值域。

⑸均值不等式法. 要注意“一正、二定、三相等”，⑹数形结合法，要注意代数式的几何意义。

如xxy cos 1sin 2+-=的值域。

（几何意义――斜率）⑺判别式法：适合于可转化为关于x 的一元二次方程的函数求值域。

b 与区间 m, n 的位置关系 2a
b b m, n ,则当 a>0 时， f ( ) 是函数的最小值，最大值为 f (m), f (n) 中较大者；当 a<0 2a 2a
b ) 是函数的最大值，最大值为 f (m), f (n) 中较小者。 2a b m, n ,只需比较 f (m), f (n) 的大小即可决定函数的最大（小）值。 2a
5、 y 7、 已知二次函数 f ( x) ax bx 满足 f (1 x) f (1 x) ， 且方程 f ( x) x 有两个相等实根， 若函数 f ( x)
2
在定义域为 [ m, n] 上对应的值域为 [2m, 2n] ，求 m, n 的值。
2 x 2 bx c 8、已知函数 f ( x) (b 0) 的值域为 [1,3] ，求实数 b, c 的值。 x2 1
1
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四、形如： y
cx d 的值域： ax b b a c a
1、若定义域为 x x 时，其值域为 y y
2、若 x m, n 时，我们把原函数变形为 x 函数的值域。 如：1、求函数 y
二、一次函数在区间上的值域（最值）： 一次函数 y=ax+b(a 0)在区间 m, n 上的最值，只需分别求出 f m , f n ，并比较它们的大小即可。 如：y=3x+2(-1 x 1) 三、二次函数 f ( x) ax 2 bx c(a 0) 在区间 m, n 上的值域(最值)： 首先判定其对称轴 x （1）若 时， f (
知识要点
一、利用常见函数的值域 一次函数 y=ax+b(a 0)的定义域为 R，值域为 R； 反比例函数 y

⑦单调性法：先确定函数在给定区间上的单调性，然后依据单调性求函数的最值．这种求解方
法在高考中是必考的，且多在解答题的某一问中出现．
⑧导数法：设函数 f(x)在区间[a，b]上连续，在区间(a，b)内可导，则 f(x)在[a，b]上的最
大值和最小值应为 f(x)在(a，b)内的各极值与 f(a)，f(b)中的最大值和最小值．利用这种
方法二：（判别式法）由
1 y＝x＋ ＋1，得
x2＋(1－y)x＋1＝0.
x
∵方程有实根，∴Δ＝(1－y)2－4≥0.即(y－1)2≥4，∴y－1≤－2 或y－1≥2.得y≤－1 或y≥3.
1 （x＋1）（x－1）
方法三：（导数法）令 y′＝1－ ＝
<0，得－1<x<0 或 0<x<1.
x2
x2
∴函数在(0，1)上递减，在(1，＋∞)上递增，此时y≥3；函数在(－1，0)上递减，在(－∞，－1)上递增，
此时 y≤－1.∴y≤－1 或 y≥3.即函数值域为(－∞，－1]∪[3，＋∞)．
(4)方法一：（单调性法）定义域为{x|x≥－1}，函数y＝2x，y＝ 1＋x均在[－1，＋∞)上递增，
故 y≥2×(－1)＋ 1＋（－1）＝－2.
方法二：（换元法）令 1＋x＝t，则 t≥0，且 x＝t2－1.
∴y＝2t2＋t－2＝2(t＋1)2－17≥－2(t≥0)．∴函数值域为[－2，＋∞)． 48
cx＋d
2x＋1 sinx＋2
③反解法：适用于分子、分母只含有一次项的函数（即有理分式一次型），也可用于易反解出
自变量的函数类型.
④配方法：二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)及二次型函数 y＝a[f(x)]2＋b[f(x)]＋c(a≠0) ⑤换元法：换元法有两类，即代数换元和三角换元．如可用三角代换解决形如 a2＋b2＝1 及部

函数的值域与最值知识点归纳函数是数学中的重要概念，是描述两个集合之间元素的对应关系。

在函数的研究中，值域和最大最小值是两个重要的知识点。

本文将对函数的值域与最值进行归纳与总结，以帮助读者更加深入地理解和掌握这些知识点。

一、函数的值域值域是函数在定义域内所有可能的输出值的集合。

即对于函数f(x)，其值域为所有符合f(x) = y的y的取值。

确定函数的值域可以采用以下方法：1. 列表法：将定义域内所有可能的输入值代入函数，得到对应的输出值，将这些输出值按照从小到大的顺序排列，即可得到函数的值域。

2. 图像法：通过绘制函数的图像，观察图像在纵坐标上的取值范围，即可得到函数的值域。

需要注意的是，对于不连续的函数，应该观察每个分段函数的值域。

3. 函数表达式法：通过分析函数的解析表达式，确定函数的值域。

例如，对于一次函数f(x) = ax + b，由于a为常数，那么当x趋向于正无穷或负无穷时，f(x)也趋向于正无穷或负无穷，因此可以确定该一次函数的值域为整个实数集。

二、函数的最大最小值最大最小值是函数在定义域内取得的最大和最小的输出值。

确定函数的最大最小值可以采用以下方法：1. 导数法：对函数进行求导，找到导数为零的点和导数不存在的点，然后将这些点代入原函数，得到对应的函数值，即为函数的最大最小值。

需要注意的是，在求导的过程中，要注意判断定义域的边界情况。

2. 极值点法：对于闭区间上的函数，可以通过求解函数的极值点来确定函数的最大最小值。

首先求解函数的驻点，即导数为零或不存在的点，然后将这些驻点以及端点的函数值进行比较，得到函数的最大最小值。

3. 函数图像法：通过绘制函数的图像，观察图像在纵坐标上的取值范围，即可得到函数的最大最小值。

需要注意的是，对于不连续的函数，应该观察每个分段函数的最大最小值，并对比得到整个函数的最大最小值。

综上所述，函数的值域与最值是函数研究中的重要内容。

确定函数的值域可以通过列表法、图像法和函数表达式法等方法进行，确定函数的最大最小值可以通过导数法、极值点法和函数图像法等方法进行。

函数值域与最值1、求函数值域（1）函数值域的定义：函数y = f(x), x ∈A 表示f ：A→B 为从集合A 到集合B 的一个函数， 其中集合A 叫做函数的定义域，函数值的集合{f(x)|x ∈A}叫做函数的值域, 于是C ⊆B 。

函数值域由函数的定义域和对应法则而确定。

（2）确定函数值域的原则①当函数y=f(x)用表格给出时，函数的值域是指表格中实数y 的集合；②当函数y=f(x)用图象给出时，函数的值域是指图象在y 轴上的投影所覆盖的实数y 的集合； ③当函数y=f(x)用解析式给出时，函数的值域由函数的定义域及其对应法则唯一确定的集合(){}|f x x A ∈；④当函数y=f(x)由实际问题给出时，函数的值域还得由问题的实际意义确定。

（3）熟练掌握常见函数的值域常见函数有一次、二次函数，反比例函数，指数、对数函数，幂函数、正、余弦函数以及特殊的函数，如函数y=,(0)ax a x+>等，掌握它们的值域，有利于应用解题。

（4）求函数值域的常用方法；一般地，求函数值域的常用方法有配方法、图象法、判别式法、换元法、单调法、基本不等式法、反解法、导数法、利用已知函数的值域等方法。

2、求函数最值 （1）最值定义：函数y=f (y )，定义域为A ，若存在y 0∈A ，使得对任意的x ∈A ，恒有)()(0x f x f ≥))()((0x f x f ≤成立，则称)(0x f 为函数的最小（大）值。

（2）常规方法：求函数最值的常用方法有配方法，二次方程Δ法，图象法，单调法，换元法，基本不等式法，导数法等。

3、值域与最值的关系函数一定有值域，但不一定有极值或最值，函数值域在一定条件下可以存在最值；函数有最值，其最值一定是函数值域区间的端点值。

（1）如果函数值域是连续（即不间断）的闭区间，那么闭区间端点的值就是函数最大值与最小值。

（2）如果函数值域是连续（即不间断）的半闭半开区间，那么半闭区间端点的值就是函数最大值或最小值。

函数的定义域、值域和最值一、函数的定义域： （一）常见函数定义域：对数函数()10log ≠>=a a y xa 且定义域为),0(+∞。

三角函数x y sin =定义域为R ；x y cos =定义域为R ；x y tan =定义域为},2{Z k k x x ∈+≠ππ。

（二）基本题型：1.已知解析式求定义域： （1）()122log 43++--=x xx x y （2）)4323ln(1)(22+--++-=x x x x x x f 2.同一对应法则两个函数定义域问题：（1）已知()2x f 的定义域为[-1,1]，求()x f 2的定义域。

（2）已知()x f 2的定义域为[-1,1]，求()xf 2log 的定义域。

（3）已知()x f 的定义域为[0,2]，求()()12-=x x f x g 的定义域。

3.与参数有关的函数定义域的求法： （1）已知86)(2++-=m mx mx x f 的定义域为R ，求实数m 的取值范围。

（2）已知x x m x f 421)(⋅++=的定义域为R ，求实数m 的取值范围。

（3）已知函数()()6131)(22+-+-=x a xa x f①若()x f 的定义域为R ，求实数a 的取值范围；②若()x f 的定义域为[-2,1]，求实数a 的值。

二、函数的值域及最值： （一）常见函数值域：一次函数)0(≠+=k b kx y 的值域为R 。

二次函数)0(2≠++=a c bx ax y ，当0>a 时，值域为),44[2+∞-a b ac ；当0<a 时，值域为]44,(2ab ac --∞。

反比例函数()0≠=k xky 的值域为 )0,(-∞),0(+∞。

指数函数xa y =的值域为),0(+∞。

对数函数()10log ≠>=a a y xa 且值域为R 。

正弦函数、余弦函数的值域为[-1,1]；正切函数x y tan =的值域为R 。

函数的值域与最值1. 值域的概念和常见函数的值域函数的值域取决于定义域和对应法则，不论采用什么方法球函数的值域均应考虑其定义域. 常见函数的值域：一次函数()0y kx b k =+≠的值域为R.二次函数()20y ax bx c a =++≠，当0a >时的值域为24,4ac b a ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭，当0a <时的值域为24,4ac b a ⎛⎤--∞ ⎥⎝⎦.，反比例函数()0k y kx=≠的值域为{}0y R y ∈≠.指数函数()01xy aa a =>≠且的值域为{}0yy >.对数函数()log 01a y x a a =>≠且的值域为R.正，余弦函数的值域为[]1,1-，正，余切函数的值域为R.2. 函数的最值对于函数()f x ，假定其定义域为A ，则2.1若存在0x A ∈，使得对于任意x A ∈，恒有()()0f x f x ≥成立，则称()0f x 是函数()f x 的最小值；2.2若存在0x A ∈，使得对于任意的x A ∈，恒有()()0f x f x ≤成立，则称()0f x 是函数()f x 的最大值.对于函数的最值应抓住如下两点：①是“任意的”，即对于定义域内的任意的x ，相应的不等式都成立；②是“存在性”，即在定义域中存在0x 似的等式成立.3.求函数值域（最值）的常用方法 3.1.基本函数法对于基本函数的值域可通过它的图像性质直接求解. 3.2配方法对于形如()20y ax bx c a =++≠或()()()()20F x a f x bf x c a =++≠⎡⎤⎣⎦类的函数的值域问题，均可用配方法求解.例：求函数的值域：y =解：设()2650x x μμ=---≥，则原函数可化为：y =.又因为()2265344x x x μ=---=-++≤，所以04μ≤≤，[]0,2，所以，y =的值域为[]0,2. 3.3换元法利用代数或三角换元，将所给函数转换成易求值域的函数，形如()1y fx =的函数，令()f x t =；形如,,,,0)y ax b a b c d ac =+±≠均为常数的函数，t =的结构的函数，可利用三角代换，令[]cos ,0,x a θθπ=∈，或令sin ,,22x a ππθθ⎡⎤=∈-⎢⎥⎣⎦.例：求函数的值域：y x =+解：设0,t =≥则21x t =-.所以原函数可化为()()2214250y t t t t =-+=--+≥，所以5y ≤.所以原函数的值域为(],5-∞.3.4不等式法利用基本不等式a b +≥，用此法求函数值域时，要注意条件“一正，二定，三相等”.如利用a b +≥0,0a b >>;②()a b ab +或为定值；③取等号成立的条件a b =.三个条件缺一不可. 例：求函数的值域：2211212x x y x x -+⎛⎫=>⎪-⎝⎭. 解：()212112111121212121222x x x x y x x x x x x -+-+===+=-++----11,022x x >∴->112122x x ∴-+≥=-当且仅当112122xx-=-时，即12x+=时等号成立，12y∴≥，所以元函数的值域为12⎡⎫++∞⎪⎢⎣⎭.3.5函数的单调性法确定函数在定义域（或某个定义域的子集）上的单调性求出函数的值域，例如，()()0,0bf x ax a bx=+>>.当利用不等式法等号不能成立时，可考虑利用函数的单调性解题. 3.6数形结合法如果所给函数有较明显的几何意义，可借助几何法求函数的值域，如由1221y yx x--可联想到两点()11,x y与()22,x y连线的斜率.例：求函数的值域：14y x x=-++解：()()()23414541231x xy x x xx x--≤-⎧⎪=-++=-<<⎨⎪+≥⎩5y∴≥∴函数的值域为：[)5,+∞.3.7函数的有界性法形如sin1sinxyx=+，可用y表示出sin x，再根据1sin1x-<≤，解关于y的不等式，可求y的取值范围.3.8导数法设()y f x=的导数为()f x'，由()0f x'=可求得极值点坐标，若函数定义域为[],a b，则最值必定为极值点或区间端点中函数值的最大值和最小值.3.9判别式法例：求函数的值域22221x xyx x-+=++解：210x x++>恒成立，∴函数的定义域为R.由22221x xyx x-+=++得()()22120y x y x y-+++-=。

函数的最值和值域函数最值的定义：一般地，设函数()y f x =的定义域为A ．若存在定植0x A ∈，使得对于任意x A ∈，有0()()f x f x ≤恒成立，则称0()f x 为()y f x =的最大值，记为max 0()y f x =；若存在定植0x A ∈，使得对于任意x A ∈，有0()()f x f x ≥恒成立，则称0()f x 为()y f x =的最小值，记为min 0()y f x =；问题1：设函数()y f x =的定义域为[],a b ，若()y f x =是增函数，则max y = ，min y = ； 若()y f x =是减函数，则max y = ，min y = ．问题2：判断下列说法是否正确：（1）单调函数一定有最大值和最小值；（2）在定义域内不具有单调性的函数一定没有最大值和最小值．例1．如图为函数()y f x =，[]4,7x ∈-的图象，指出它的最大值、最小值及单调区间．说明：求函数的单调区间时，如果函数既有单调增区间，又有单调减区间，必须分别写出． 例2．求下列函数的最小值：（1）22y x x =-； （2）1()f x x=，[]1,3x ∈．变题1：将例2 的要求改为“求下列函数的值域”；变题2：求下列函数的值域：22y x x =-，[]0,4x ∈；变题3：求2()2f x x ax =-，[0,4)x ∈的最小值．例题解析例1.已知函数32)(2--=x x x f ，（1）若]0,2[-∈x ，求函数)(x f 的最值； （2）若]4,2[∈x ，求函数)(x f 的最值；（3）若]25,21[∈x ，求函数)(x f 的最值； （4）若]23,21[-∈x ，求函数)(x f 的最值；（5）若]2,[+∈t t x 时，求函数)(x f 的最值；注：例1是“轴定区间变”的问题，可视为动区间沿x 轴移动的过程中，函数最值的变化，即动区间在定轴的左右两侧及包含定轴的变化。

玩转函数第三招第3招：函数的值域和最值一、确定函数的值域的原则1、当数y=f(x)用表格给出时，函数的值域是指表格中实数y 的集合。

2、当函数y=f(x)图象给出时，函数的值域是指图象在y 轴上的投影所覆盖的实数y 的集合。

3、当函数y=f(x)用解析式给出时，函数的值域由函数的定义域及其对应法则唯一确定。

常见函数的值域：4、当函数由实际问题给出时，函数的值域由问题的实际意义确定。

二、求函数值域的方法11种：1、直接观察法，一般要用到210000xx x≥≥≥≠【例1】求函数1y x=【例2】求函数3y =的值域【例3】（陕西文）函数f(x)=11+x 2(x ∈R)的值域是( )A.(0,1) B.(0,1] C.[0,1) D.[0,1]2、配方法（形如y=ax 2+bx+c(a≠0)的函数常用配方法求函数的值域，要注意x 的取值范围。

）二次函数（二次函数在给出区间上的最值有两类：一是求闭区间[,]m n 上的最值；二是求区间定（动），对称轴动（定）的最值问题。

求二次函数的最值问题，勿忘数形结合，注意“两看”：一看开口方向；二看对称轴与所给区间的相对位置关系），如（1）求函数225,[1,2]y x x x =-+∈-的值域；（2）当]2,0(∈x 时，函数3)1(4)(2-++=x a axx f 在2=x 时取得最大值，则a 的取值范围是___；（3）已知()3(24)x bf x x -=≤≤的图象过点（2,1），则1212()[()]()F x f x fx --=-的值域为______3、判别式法――对分式函数（分子或分母中有一个是二次）都可通用，但这类题型有时也可以用其它方法进行求解，不必拘泥在判别式法上，也可先通过部分分式后，再利用均值不等式：①2b y k x=+型，可直接用不等式性质，如求232y x=+的值域②2bx y x m x n=++型，先化简，再用均值不等式，如（1）求21x y x=+的值域（2）求函数3y x =+（3）设2()()1ax b f x x R x +=∈+的值域为[-1，4]，求a,b 的值③22x m x n y x mx n''++=++型，通常用判别式法； 如已知函数2328log 1mx x ny x ++=+的定义域为R ，值域为[0，2]，求常数,m n 的值如求函数2231x x y x x -+=-+的值域④2x m x n y mx n ''++=+型，可用判别式法或均值不等式法，如求211x x y x ++=+的值域说明：利用判别式法求函数的值域，一是方程二次项系数为0的情形要特别讨论；二是要看函数的定义域是否满足x ∈R 。

函数的值域和最值一、函数的值域1、定义：函数值的集合叫做函数的值域。

2、剖析：（1）函数的值域是非空的数集。

（2）函数的值域与函数的定义域相对应，即定义域中的每一个数x ，在值域中都有唯一确定的数f(x)与之对应。

函数的值域是确定函数的要素之一。

（3）函数的值域可以用区间表示。

3、求法：（1）列举法 即直接根据函数的定义域与对应法则将函数值一一求出来写成集合的形式。

这种方法只适用于值域中元素为有限或虽然是无限但却是与自然数有关的集合。

例：求荻里克莱函数：为无理数）（为有理数）x x x f 0(1{)(=因为函数值只可能为1或0，所以函数的值域为{0，1}（2）配方法 有些函数如能化为“二次”形式进行配方，便可利用二次函数的最值确定所给函数的值域。

例：求322)(212+-=++x x x f 的值域配方得11)12(2)(2≥+-=x x f当x=0时，f(x)取最小值1，所以值域为[1,+∞)（3）换元法 在求函数值域过程中，有时为了把一个复杂而又陌生的函数转化为熟悉而又简单的函数则需要进行换元引参。

如上例中，令t x =2,则化为)0(342)(2>+-=t t t t g注意：换元后应注明新变量的范围，即新函数的定义域，如上例中的新函数g(t)的定义域为t>0.(4)判别式法 即将函数式化成关于自变量的二次方程式的形式，根据二次方程有解判别式△≥0，得到函数y 的控制不等式，求解得到函数的值域。

注意：当定义域为全体实数即R 时可以放心使用判别式法求值域，当定义域不是R 时，要慎用判别式法。

例 求函数1-=x x y 的值域。

这里定义域是x>1，所以y>0，再根据判别式法可求得y ≥2(5)利用均值不等式 如上例中，令1-x =t>0，所以x=t^2+1，所以y=t +t1≥2，当且仅当t=1即x=2时取等号。

所以当x=2时函数的最小值为2，值域为y ≥2.（6）图像法 借助于图像，运用数型结合的方法求值域。

函数的值域与最值函数y =f (x )，x ∈D 的值域就是函数图像上点的纵坐标的集合，或说是函数解析式中变量y 的取值范围,故集合{y |y =f (x ) ，x ∈D }就是函数y = f (x )的值域.研究函数的值域或最值主要有四种方法：数形结合法（针对可用图象处理的函数）、换元法(针对复合函数y =f [g (x )])、方程法(把函数看成是x , y 的方程，思考y 如何取值，关于x 方程有解)，不等式法.研究函数的图象的变化规律，中学最好的工具是导数，有了导数知识，我们可很方便地解决相当一部分的值域或最值问题。

在最值的研究中，应关注一些重要的不等式（如均值不等式，柯西不等式）的应用。

解析法思想也是研究函数的值域或最值一种重要工具。

也应加以关注。

研究函数的值域和最值所需要的数学知识有：集合、函数、重要不等式、解析几何、导数。

本讲暂不涉及解析几何与导数知识。

一、函数值域或最值知识归纳1. 若函数f (x )是奇函数，且有最大值和最小值，则f max (x )+ f min (x )=0 .2. 若函数在闭区间[a ,b ]上单调，则函数f (x )在区间两端取得最值.由于一次函数，指数函数，对数函数都是单调函数，所以这些函数在某一闭区间上的最值必在端点发生。

3. 研究二次函数段f (x )=ax 2+bx +c , x ∈ [m ,n ](a >0)的最值，一般要分类讨论.① 求最大值需要分两种情况:二次函数的对称轴2b x a =-与2m n +大小。

② 求最小值需要分三种情况:二次函数的对称轴2b x a =-≤m , 2bx a=-∈ (m ,n ),2b x a=-≥n .4．对形如222111122222(0)a x b x c y a a a x b x c ++=+≠++,其中分子与分母是不可约，一般我们用方程法研究其值域或最值。

具体思维过程是：把函数式21112222a xb xc y a x b x c ++=++等价化为关于x 的方程22121210()()()ya a x yb b x yc c -+-+-=思考系数如何取值，此方程有实数解，这需要分21ya a -=0和21ya a - ≠ 0讨论。

函数的值域和最值一、相关概念1、值域：函数A x x f y ∈=，)(，我们把函数值的集合}/)({A x x f ∈称为函数的值域。

2、最值：求函数最值常用方法和函数值域的方法基本相同。

事实上，如果在函数的值域中存在一个最小(大)数，这个数就是函数的最小(大)值。

因此，求函数的最值和值域，其实质是相同的，只是提问不同而已。

二、基本函数的值域1、 一次函数）（0≠+=a b kx y 的值域为R ；2、 二次函数）（02≠++=a c bx ax y ；]44(0);44[022ab ac ，，a ，a b ac ，a --∞<∞+->值域是时值域是时 3、 反比例函数()0k x k y ≠=的值域为}0y |y {≠； 4、 指数函数)10(≠>=a a a y x 且的值域为}0/{>y y ；5、 对数函数)10(log ≠>=a a x y a 且的值域为R 。

6、 函数y=sinx 、y=cosx 的值域是 ][1,1-三、求函数值域的方法（注：不论采用什么方法求函数的值域均应先考虑其定义域）1、 观察法： “直线类，反比例函数类”用此方法；2、配方法.：“二次函数”用配方法求值域；例1. ]53(232，求函数-∈+-=x x x y 的值域； 解：1223)61(32322+-+-=x x x y ＝求函数所以此函数的值域为]721223[，. 例2. 求562---=x x y 函数 的值域； 解：;44)3(5622≤++-=---=x x x μ.400≤≤∴≥μμ，又].2,0[],2,0[值域为∴∈μ３、换元法： 形如d cx b ax y +±+=（a 、b 、c 、d 为常数且0a ≠）的函数，常用换元法求值域。

；例3. 求函数x x y -+=142的值域 解：设2101t x x t -=≥-=则,44)1(224222≤+--=++-=∴t t t y , (]4,∞-∴值域为. 4、判别式法：形如域的函数用判别式法求值不同时为零，)(2122221121a a c x b x a c x b x a y ++++=； 例4 求函数xx y 1+=的值域； 解：011122=+-⇒+=+=yx x xx x x y 要上面的方程有实数根，04114)(22≥-=⨯⨯--=∆y y 求出12-≤≥y y 或,所以函数的值域为).,2[]2,(∞+--∞５、反函数法：直接求函数的值域困难时，可以通过求其原函数的定义域来确定原函数的值域。

函数的值域与最值●知识点归纳一、相关概念 1、值域：函数A x x f y ∈=，)(，我们把函数值的集合{|(),}y y f x x A =∈称为这个函数的值域。

2、最值：求函数最值常用方法和函数值域的方法基本相同。

事实上，如果在函数的值域中存在一个最小(大)数，这个数就是函数的最小(大)值。

因此，求函数的最值和值域，其实质是相同的，只是提问不同而已。

最大值：一般地，设函数y =f (x )的定义域为I ，如果存在实数M 满足：①对于任意的x ∈I ，都有f (x )≤M ；②存在x 0∈I ，使得f (x 0) = M 。

那么，称M 是函数y =f (x )的最大值。

记作()max 0y f x =最小值：一般地，设函数y =f (x )的定义域为I ，如果存在实数M 满足：①对于任意的x ∈I ，都有f (x )≥M ；②存在x 0∈I ，使得f (x 0) = M 。

那么，称M 是函数y =f (x )的最小值。

记作()min 0y f x = 注意：①函数最大（小）首先应该是某一个函数值，即存在x 0∈I ，使得f (x 0) = M ；② 函数最大（小）应该是所有函数值中最大（小）的，即对于任意的x ∈I ，都有f (x )≤M （f (x )≥M ）。

二、基本函数的值域一次函数）（0≠+=a b kx y 的定义域为R ，值域为R ； 二次函数）（02≠++=a c bx ax y 的定义域为R ，；当]44(0);44[022ab ac ，，a ，a b ac ，a --∞<∞+->值域是时值域是时反比例函数)0(≠=k xk y 的定义域为{x|x ≠0}，值域为}0/{≠y y ；数函数)10(≠>=a a a y x且的值域为}0/{>y y ； 对数函数)10(log ≠>=a a x y a 且的值域为R ； 正、余弦:函数的值域][1,1-；正、余切函数 2k x ,tan ππ+≠=x y ,cot x y =),(Z k k x ∈≠π的值域为R 。