函数的最值与值域

函数最值、值域、恒成立问题一、函数最值定义1.（1）一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数M 满足：①x I ∀∈，都有()f x M ≤；②0x I ∃∈，使得()0f x M =。

就称M 是函数()y f x =的最大值。

（2）一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数M 满足：①x I ∀∈，都有()f x M ≥；②0x I ∃∈，使得()0f x M =。

就称M 是函数()y f x =的最小值。

2.【注】（1）函数的最值指的是函数值（y 值）的最大值和最小值。

求函数的最值，既要求函数的最大值也要求函数的最小值。

【注】（2）从函数图象上看，函数的最大值对应函数图象最高点的纵坐标；函数的最小值对应函数图象最低点的纵坐标。

二、单调函数的最值1.单调函数的最值在闭区间的端点处取得。

（1）单调递增函数在闭区间的左端点取得最小值，在右端点取得最大值。

（2）单调递减函数在闭区间的左端点取得最大值，在右端点取得最小值。

【注】单调函数在开区间上无最值，即既无最大值，也无最小值。

2.函数值域闭区间的左端点是函数值的最小值，右端点是函数值的最大值。

求函数的值域，往往要求函数的最大值和最小值。

三、分段函数的最值1.分段函数的最大值，是各段函数值最大值中的最大值；2.分段函数的最小值，是各段函数值最小值中的最小值。

四、函数最值的求解方法函数求最值的方法一般有：配方法、换元法、数形结合法（图象法）、结合函数的单调性法等。

五、函数的值域问题函数值域中的最小值往往是函数值的最小值，函数值域中的最大值往往是函数值中的最大值，所以求函数的值域往往需要先求出函数的最大值和最小值。

六、恒成立问题假设()g x 为已知函数，求()f a 的取值范围，则有以下两种情况：（1）()()f a g x ≤恒成立()()min f a g x ⇔≤；（2）()()f a g x ≥恒成立()()max f a g x ⇔≥。

第10讲 函数的值域与最值【考点解读】1. 理解函数的单调性、值域和最值的概念；2. 掌握求函数的值域和最值的常用方法与变形手段.【知识扫描】1.函数的值域与最值(1)函数的值域是函数值的集合,它是由定义域和对应法则共同确定的，所以求值域时应注意函数的定义域. (2)函数的最值.设函数y =f (x )的定义域为I ，如果存在实数M 满足：(ⅰ)对于任意的x ∈I ,都有f (x )≤M ;(ⅱ)存在x 0∈I ,使得f (x 0)=M ,则称M 是函数y =f (x )的最大值.类似地可定义f (x )的最小值. 2.基本初等函数的值域(1)一次函数y =kx +b (k ≠0)的值域为R. (2)二次函数y =ax 2+bx +c (a ≠0)的值域：当a>0时，值域为24,4ac b a ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭; 当a<0时，值域为24,4ac b a ⎛⎤--∞ ⎥⎝⎦(3)反比例函数y = (k ≠0)的值域为不为0的实数；(4)指数函数y =ax (a >0且a ≠１)的值域为()0,+∞. (5)对数函数y =log ax (a >0且a ≠１)的值域为R.(6)正、余弦函数y =sin x (x ∈R )、y =cos x (x ∈R )的值域为[]1,1-;正切函数y =tan x (x ≠k π+ ,k ∈Z )的值域为 R.3.求函数的值域（最值）常用的方法 (1)配方法. 适合一元二次函数 (2)单调性法. 注意函数xkx y +=的单调性。

(3)导数法.(4) 换元法；通过变量代换转化为能求值域的函数，特别注意新变量的范围。

注意三角换元的应用。

如求21x x y -+=的值域。

⑸均值不等式法. 要注意“一正、二定、三相等”，⑹数形结合法，要注意代数式的几何意义。

如xxy cos 1sin 2+-=的值域。

（几何意义――斜率）⑺判别式法：适合于可转化为关于x 的一元二次方程的函数求值域。

函数的值域与最值知识点归纳函数是数学中的重要概念，是描述两个集合之间元素的对应关系。

在函数的研究中，值域和最大最小值是两个重要的知识点。

本文将对函数的值域与最值进行归纳与总结，以帮助读者更加深入地理解和掌握这些知识点。

一、函数的值域值域是函数在定义域内所有可能的输出值的集合。

即对于函数f(x)，其值域为所有符合f(x) = y的y的取值。

确定函数的值域可以采用以下方法：1. 列表法：将定义域内所有可能的输入值代入函数，得到对应的输出值，将这些输出值按照从小到大的顺序排列，即可得到函数的值域。

2. 图像法：通过绘制函数的图像，观察图像在纵坐标上的取值范围，即可得到函数的值域。

需要注意的是，对于不连续的函数，应该观察每个分段函数的值域。

3. 函数表达式法：通过分析函数的解析表达式，确定函数的值域。

例如，对于一次函数f(x) = ax + b，由于a为常数，那么当x趋向于正无穷或负无穷时，f(x)也趋向于正无穷或负无穷，因此可以确定该一次函数的值域为整个实数集。

二、函数的最大最小值最大最小值是函数在定义域内取得的最大和最小的输出值。

确定函数的最大最小值可以采用以下方法：1. 导数法：对函数进行求导，找到导数为零的点和导数不存在的点，然后将这些点代入原函数，得到对应的函数值，即为函数的最大最小值。

需要注意的是，在求导的过程中，要注意判断定义域的边界情况。

2. 极值点法：对于闭区间上的函数，可以通过求解函数的极值点来确定函数的最大最小值。

首先求解函数的驻点，即导数为零或不存在的点，然后将这些驻点以及端点的函数值进行比较，得到函数的最大最小值。

3. 函数图像法：通过绘制函数的图像，观察图像在纵坐标上的取值范围，即可得到函数的最大最小值。

需要注意的是，对于不连续的函数，应该观察每个分段函数的最大最小值，并对比得到整个函数的最大最小值。

综上所述，函数的值域与最值是函数研究中的重要内容。

确定函数的值域可以通过列表法、图像法和函数表达式法等方法进行，确定函数的最大最小值可以通过导数法、极值点法和函数图像法等方法进行。

函数值域与最值1、求函数值域（1）函数值域的定义：函数y = f(x), x ∈A 表示f ：A→B 为从集合A 到集合B 的一个函数， 其中集合A 叫做函数的定义域，函数值的集合{f(x)|x ∈A}叫做函数的值域, 于是C ⊆B 。

函数值域由函数的定义域和对应法则而确定。

（2）确定函数值域的原则①当函数y=f(x)用表格给出时，函数的值域是指表格中实数y 的集合；②当函数y=f(x)用图象给出时，函数的值域是指图象在y 轴上的投影所覆盖的实数y 的集合； ③当函数y=f(x)用解析式给出时，函数的值域由函数的定义域及其对应法则唯一确定的集合(){}|f x x A ∈；④当函数y=f(x)由实际问题给出时，函数的值域还得由问题的实际意义确定。

（3）熟练掌握常见函数的值域常见函数有一次、二次函数，反比例函数，指数、对数函数，幂函数、正、余弦函数以及特殊的函数，如函数y=,(0)ax a x+>等，掌握它们的值域，有利于应用解题。

（4）求函数值域的常用方法；一般地，求函数值域的常用方法有配方法、图象法、判别式法、换元法、单调法、基本不等式法、反解法、导数法、利用已知函数的值域等方法。

2、求函数最值 （1）最值定义：函数y=f (y )，定义域为A ，若存在y 0∈A ，使得对任意的x ∈A ，恒有)()(0x f x f ≥))()((0x f x f ≤成立，则称)(0x f 为函数的最小（大）值。

（2）常规方法：求函数最值的常用方法有配方法，二次方程Δ法，图象法，单调法，换元法，基本不等式法，导数法等。

3、值域与最值的关系函数一定有值域，但不一定有极值或最值，函数值域在一定条件下可以存在最值；函数有最值，其最值一定是函数值域区间的端点值。

（1）如果函数值域是连续（即不间断）的闭区间，那么闭区间端点的值就是函数最大值与最小值。

（2）如果函数值域是连续（即不间断）的半闭半开区间，那么半闭区间端点的值就是函数最大值或最小值。

函数的定义域、值域和最值一、函数的定义域： （一）常见函数定义域：对数函数()10log ≠>=a a y xa 且定义域为),0(+∞。

三角函数x y sin =定义域为R ；x y cos =定义域为R ；x y tan =定义域为},2{Z k k x x ∈+≠ππ。

（二）基本题型：1.已知解析式求定义域： （1）()122log 43++--=x xx x y （2）)4323ln(1)(22+--++-=x x x x x x f 2.同一对应法则两个函数定义域问题：（1）已知()2x f 的定义域为[-1,1]，求()x f 2的定义域。

（2）已知()x f 2的定义域为[-1,1]，求()xf 2log 的定义域。

（3）已知()x f 的定义域为[0,2]，求()()12-=x x f x g 的定义域。

3.与参数有关的函数定义域的求法： （1）已知86)(2++-=m mx mx x f 的定义域为R ，求实数m 的取值范围。

（2）已知x x m x f 421)(⋅++=的定义域为R ，求实数m 的取值范围。

（3）已知函数()()6131)(22+-+-=x a xa x f①若()x f 的定义域为R ，求实数a 的取值范围；②若()x f 的定义域为[-2,1]，求实数a 的值。

二、函数的值域及最值： （一）常见函数值域：一次函数)0(≠+=k b kx y 的值域为R 。

二次函数)0(2≠++=a c bx ax y ，当0>a 时，值域为),44[2+∞-a b ac ；当0<a 时，值域为]44,(2ab ac --∞。

反比例函数()0≠=k xky 的值域为 )0,(-∞),0(+∞。

指数函数xa y =的值域为),0(+∞。

对数函数()10log ≠>=a a y xa 且值域为R 。

正弦函数、余弦函数的值域为[-1,1]；正切函数x y tan =的值域为R 。

函数的值域与最值1. 值域的概念和常见函数的值域函数的值域取决于定义域和对应法则，不论采用什么方法球函数的值域均应考虑其定义域. 常见函数的值域：一次函数()0y kx b k =+≠的值域为R.二次函数()20y ax bx c a =++≠，当0a >时的值域为24,4ac b a ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭，当0a <时的值域为24,4ac b a ⎛⎤--∞ ⎥⎝⎦.，反比例函数()0k y kx=≠的值域为{}0y R y ∈≠.指数函数()01xy aa a =>≠且的值域为{}0yy >.对数函数()log 01a y x a a =>≠且的值域为R.正，余弦函数的值域为[]1,1-，正，余切函数的值域为R.2. 函数的最值对于函数()f x ，假定其定义域为A ，则2.1若存在0x A ∈，使得对于任意x A ∈，恒有()()0f x f x ≥成立，则称()0f x 是函数()f x 的最小值；2.2若存在0x A ∈，使得对于任意的x A ∈，恒有()()0f x f x ≤成立，则称()0f x 是函数()f x 的最大值.对于函数的最值应抓住如下两点：①是“任意的”，即对于定义域内的任意的x ，相应的不等式都成立；②是“存在性”，即在定义域中存在0x 似的等式成立.3.求函数值域（最值）的常用方法 3.1.基本函数法对于基本函数的值域可通过它的图像性质直接求解. 3.2配方法对于形如()20y ax bx c a =++≠或()()()()20F x a f x bf x c a =++≠⎡⎤⎣⎦类的函数的值域问题，均可用配方法求解.例：求函数的值域：y =解：设()2650x x μμ=---≥，则原函数可化为：y =.又因为()2265344x x x μ=---=-++≤，所以04μ≤≤，[]0,2，所以，y =的值域为[]0,2. 3.3换元法利用代数或三角换元，将所给函数转换成易求值域的函数，形如()1y fx =的函数，令()f x t =；形如,,,,0)y ax b a b c d ac =+±≠均为常数的函数，t =的结构的函数，可利用三角代换，令[]cos ,0,x a θθπ=∈，或令sin ,,22x a ππθθ⎡⎤=∈-⎢⎥⎣⎦.例：求函数的值域：y x =+解：设0,t =≥则21x t =-.所以原函数可化为()()2214250y t t t t =-+=--+≥，所以5y ≤.所以原函数的值域为(],5-∞.3.4不等式法利用基本不等式a b +≥，用此法求函数值域时，要注意条件“一正，二定，三相等”.如利用a b +≥0,0a b >>;②()a b ab +或为定值；③取等号成立的条件a b =.三个条件缺一不可. 例：求函数的值域：2211212x x y x x -+⎛⎫=>⎪-⎝⎭. 解：()212112111121212121222x x x x y x x x x x x -+-+===+=-++----11,022x x >∴->112122x x ∴-+≥=-当且仅当112122xx-=-时，即12x+=时等号成立，12y∴≥，所以元函数的值域为12⎡⎫++∞⎪⎢⎣⎭.3.5函数的单调性法确定函数在定义域（或某个定义域的子集）上的单调性求出函数的值域，例如，()()0,0bf x ax a bx=+>>.当利用不等式法等号不能成立时，可考虑利用函数的单调性解题. 3.6数形结合法如果所给函数有较明显的几何意义，可借助几何法求函数的值域，如由1221y yx x--可联想到两点()11,x y与()22,x y连线的斜率.例：求函数的值域：14y x x=-++解：()()()23414541231x xy x x xx x--≤-⎧⎪=-++=-<<⎨⎪+≥⎩5y∴≥∴函数的值域为：[)5,+∞.3.7函数的有界性法形如sin1sinxyx=+，可用y表示出sin x，再根据1sin1x-<≤，解关于y的不等式，可求y的取值范围.3.8导数法设()y f x=的导数为()f x'，由()0f x'=可求得极值点坐标，若函数定义域为[],a b，则最值必定为极值点或区间端点中函数值的最大值和最小值.3.9判别式法例：求函数的值域22221x xyx x-+=++解：210x x++>恒成立，∴函数的定义域为R.由22221x xyx x-+=++得()()22120y x y x y-+++-=。

函数的最值和值域函数最值的定义：一般地，设函数()y f x =的定义域为A ．若存在定植0x A ∈，使得对于任意x A ∈，有0()()f x f x ≤恒成立，则称0()f x 为()y f x =的最大值，记为max 0()y f x =；若存在定植0x A ∈，使得对于任意x A ∈，有0()()f x f x ≥恒成立，则称0()f x 为()y f x =的最小值，记为min 0()y f x =；问题1：设函数()y f x =的定义域为[],a b ，若()y f x =是增函数，则max y = ，min y = ； 若()y f x =是减函数，则max y = ，min y = ．问题2：判断下列说法是否正确：（1）单调函数一定有最大值和最小值；（2）在定义域内不具有单调性的函数一定没有最大值和最小值．例1．如图为函数()y f x =，[]4,7x ∈-的图象，指出它的最大值、最小值及单调区间．说明：求函数的单调区间时，如果函数既有单调增区间，又有单调减区间，必须分别写出． 例2．求下列函数的最小值：（1）22y x x =-； （2）1()f x x=，[]1,3x ∈．变题1：将例2 的要求改为“求下列函数的值域”；变题2：求下列函数的值域：22y x x =-，[]0,4x ∈；变题3：求2()2f x x ax =-，[0,4)x ∈的最小值．例题解析例1.已知函数32)(2--=x x x f ，（1）若]0,2[-∈x ，求函数)(x f 的最值； （2）若]4,2[∈x ，求函数)(x f 的最值；（3）若]25,21[∈x ，求函数)(x f 的最值； （4）若]23,21[-∈x ，求函数)(x f 的最值；（5）若]2,[+∈t t x 时，求函数)(x f 的最值；注：例1是“轴定区间变”的问题，可视为动区间沿x 轴移动的过程中，函数最值的变化，即动区间在定轴的左右两侧及包含定轴的变化。

玩转函数第三招第3招：函数的值域和最值一、确定函数的值域的原则1、当数y=f(x)用表格给出时，函数的值域是指表格中实数y 的集合。

2、当函数y=f(x)图象给出时，函数的值域是指图象在y 轴上的投影所覆盖的实数y 的集合。

3、当函数y=f(x)用解析式给出时，函数的值域由函数的定义域及其对应法则唯一确定。

常见函数的值域：4、当函数由实际问题给出时，函数的值域由问题的实际意义确定。

二、求函数值域的方法11种：1、直接观察法，一般要用到210000xx x≥≥≥≠【例1】求函数1y x=【例2】求函数3y =的值域【例3】（陕西文）函数f(x)=11+x 2(x ∈R)的值域是( )A.(0,1) B.(0,1] C.[0,1) D.[0,1]2、配方法（形如y=ax 2+bx+c(a≠0)的函数常用配方法求函数的值域，要注意x 的取值范围。

）二次函数（二次函数在给出区间上的最值有两类：一是求闭区间[,]m n 上的最值；二是求区间定（动），对称轴动（定）的最值问题。

求二次函数的最值问题，勿忘数形结合，注意“两看”：一看开口方向；二看对称轴与所给区间的相对位置关系），如（1）求函数225,[1,2]y x x x =-+∈-的值域；（2）当]2,0(∈x 时，函数3)1(4)(2-++=x a axx f 在2=x 时取得最大值，则a 的取值范围是___；（3）已知()3(24)x bf x x -=≤≤的图象过点（2,1），则1212()[()]()F x f x fx --=-的值域为______3、判别式法――对分式函数（分子或分母中有一个是二次）都可通用，但这类题型有时也可以用其它方法进行求解，不必拘泥在判别式法上，也可先通过部分分式后，再利用均值不等式：①2b y k x=+型，可直接用不等式性质，如求232y x=+的值域②2bx y x m x n=++型，先化简，再用均值不等式，如（1）求21x y x=+的值域（2）求函数3y x =+（3）设2()()1ax b f x x R x +=∈+的值域为[-1，4]，求a,b 的值③22x m x n y x mx n''++=++型，通常用判别式法； 如已知函数2328log 1mx x ny x ++=+的定义域为R ，值域为[0，2]，求常数,m n 的值如求函数2231x x y x x -+=-+的值域④2x m x n y mx n ''++=+型，可用判别式法或均值不等式法，如求211x x y x ++=+的值域说明：利用判别式法求函数的值域，一是方程二次项系数为0的情形要特别讨论；二是要看函数的定义域是否满足x ∈R 。

函数的值域和最值一、函数的值域1、定义：函数值的集合叫做函数的值域。

2、剖析：（1）函数的值域是非空的数集。

（2）函数的值域与函数的定义域相对应，即定义域中的每一个数x ，在值域中都有唯一确定的数f(x)与之对应。

函数的值域是确定函数的要素之一。

（3）函数的值域可以用区间表示。

3、求法：（1）列举法 即直接根据函数的定义域与对应法则将函数值一一求出来写成集合的形式。

这种方法只适用于值域中元素为有限或虽然是无限但却是与自然数有关的集合。

例：求荻里克莱函数：为无理数）（为有理数）x x x f 0(1{)(=因为函数值只可能为1或0，所以函数的值域为{0，1}（2）配方法 有些函数如能化为“二次”形式进行配方，便可利用二次函数的最值确定所给函数的值域。

例：求322)(212+-=++x x x f 的值域配方得11)12(2)(2≥+-=x x f当x=0时，f(x)取最小值1，所以值域为[1,+∞)（3）换元法 在求函数值域过程中，有时为了把一个复杂而又陌生的函数转化为熟悉而又简单的函数则需要进行换元引参。

如上例中，令t x =2,则化为)0(342)(2>+-=t t t t g注意：换元后应注明新变量的范围，即新函数的定义域，如上例中的新函数g(t)的定义域为t>0.(4)判别式法 即将函数式化成关于自变量的二次方程式的形式，根据二次方程有解判别式△≥0，得到函数y 的控制不等式，求解得到函数的值域。

注意：当定义域为全体实数即R 时可以放心使用判别式法求值域，当定义域不是R 时，要慎用判别式法。

例 求函数1-=x x y 的值域。

这里定义域是x>1，所以y>0，再根据判别式法可求得y ≥2(5)利用均值不等式 如上例中，令1-x =t>0，所以x=t^2+1，所以y=t +t1≥2，当且仅当t=1即x=2时取等号。

所以当x=2时函数的最小值为2，值域为y ≥2.（6）图像法 借助于图像，运用数型结合的方法求值域。

函数的值域与最值函数y =f (x )，x ∈D 的值域就是函数图像上点的纵坐标的集合，或说是函数解析式中变量y 的取值范围,故集合{y |y =f (x ) ，x ∈D }就是函数y = f (x )的值域.研究函数的值域或最值主要有四种方法：数形结合法（针对可用图象处理的函数）、换元法(针对复合函数y =f [g (x )])、方程法(把函数看成是x , y 的方程，思考y 如何取值，关于x 方程有解)，不等式法.研究函数的图象的变化规律，中学最好的工具是导数，有了导数知识，我们可很方便地解决相当一部分的值域或最值问题。

在最值的研究中，应关注一些重要的不等式（如均值不等式，柯西不等式）的应用。

解析法思想也是研究函数的值域或最值一种重要工具。

也应加以关注。

研究函数的值域和最值所需要的数学知识有：集合、函数、重要不等式、解析几何、导数。

本讲暂不涉及解析几何与导数知识。

一、函数值域或最值知识归纳1. 若函数f (x )是奇函数，且有最大值和最小值，则f max (x )+ f min (x )=0 .2. 若函数在闭区间[a ,b ]上单调，则函数f (x )在区间两端取得最值.由于一次函数，指数函数，对数函数都是单调函数，所以这些函数在某一闭区间上的最值必在端点发生。

3. 研究二次函数段f (x )=ax 2+bx +c , x ∈ [m ,n ](a >0)的最值，一般要分类讨论.① 求最大值需要分两种情况:二次函数的对称轴2b x a =-与2m n +大小。

② 求最小值需要分三种情况:二次函数的对称轴2b x a =-≤m , 2bx a=-∈ (m ,n ),2b x a=-≥n .4．对形如222111122222(0)a x b x c y a a a x b x c ++=+≠++,其中分子与分母是不可约，一般我们用方程法研究其值域或最值。

具体思维过程是：把函数式21112222a xb xc y a x b x c ++=++等价化为关于x 的方程22121210()()()ya a x yb b x yc c -+-+-=思考系数如何取值，此方程有实数解，这需要分21ya a -=0和21ya a - ≠ 0讨论。

函数的值域和最值一、相关概念1、值域：函数A x x f y ∈=，)(，我们把函数值的集合}/)({A x x f ∈称为函数的值域。

2、最值：求函数最值常用方法和函数值域的方法基本相同。

事实上，如果在函数的值域中存在一个最小(大)数，这个数就是函数的最小(大)值。

因此，求函数的最值和值域，其实质是相同的，只是提问不同而已。

二、基本函数的值域1、 一次函数）（0≠+=a b kx y 的值域为R ；2、 二次函数）（02≠++=a c bx ax y ；]44(0);44[022ab ac ，，a ，a b ac ，a --∞<∞+->值域是时值域是时 3、 反比例函数()0k x k y ≠=的值域为}0y |y {≠； 4、 指数函数)10(≠>=a a a y x 且的值域为}0/{>y y ；5、 对数函数)10(log ≠>=a a x y a 且的值域为R 。

6、 函数y=sinx 、y=cosx 的值域是 ][1,1-三、求函数值域的方法（注：不论采用什么方法求函数的值域均应先考虑其定义域）1、 观察法： “直线类，反比例函数类”用此方法；2、配方法.：“二次函数”用配方法求值域；例1. ]53(232，求函数-∈+-=x x x y 的值域； 解：1223)61(32322+-+-=x x x y ＝求函数所以此函数的值域为]721223[，. 例2. 求562---=x x y 函数 的值域； 解：;44)3(5622≤++-=---=x x x μ.400≤≤∴≥μμ，又].2,0[],2,0[值域为∴∈μ３、换元法： 形如d cx b ax y +±+=（a 、b 、c 、d 为常数且0a ≠）的函数，常用换元法求值域。

；例3. 求函数x x y -+=142的值域 解：设2101t x x t -=≥-=则,44)1(224222≤+--=++-=∴t t t y , (]4,∞-∴值域为. 4、判别式法：形如域的函数用判别式法求值不同时为零，)(2122221121a a c x b x a c x b x a y ++++=； 例4 求函数xx y 1+=的值域； 解：011122=+-⇒+=+=yx x xx x x y 要上面的方程有实数根，04114)(22≥-=⨯⨯--=∆y y 求出12-≤≥y y 或,所以函数的值域为).,2[]2,(∞+--∞５、反函数法：直接求函数的值域困难时，可以通过求其原函数的定义域来确定原函数的值域。

函数的值域与最值●知识点归纳一、相关概念 1、值域：函数A x x f y ∈=，)(，我们把函数值的集合{|(),}y y f x x A =∈称为这个函数的值域。

2、最值：求函数最值常用方法和函数值域的方法基本相同。

事实上，如果在函数的值域中存在一个最小(大)数，这个数就是函数的最小(大)值。

因此，求函数的最值和值域，其实质是相同的，只是提问不同而已。

最大值：一般地，设函数y =f (x )的定义域为I ，如果存在实数M 满足：①对于任意的x ∈I ，都有f (x )≤M ；②存在x 0∈I ，使得f (x 0) = M 。

那么，称M 是函数y =f (x )的最大值。

记作()max 0y f x =最小值：一般地，设函数y =f (x )的定义域为I ，如果存在实数M 满足：①对于任意的x ∈I ，都有f (x )≥M ；②存在x 0∈I ，使得f (x 0) = M 。

那么，称M 是函数y =f (x )的最小值。

记作()min 0y f x = 注意：①函数最大（小）首先应该是某一个函数值，即存在x 0∈I ，使得f (x 0) = M ；② 函数最大（小）应该是所有函数值中最大（小）的，即对于任意的x ∈I ，都有f (x )≤M （f (x )≥M ）。

二、基本函数的值域一次函数）（0≠+=a b kx y 的定义域为R ，值域为R ； 二次函数）（02≠++=a c bx ax y 的定义域为R ，；当]44(0);44[022ab ac ，，a ，a b ac ，a --∞<∞+->值域是时值域是时反比例函数)0(≠=k xk y 的定义域为{x|x ≠0}，值域为}0/{≠y y ；数函数)10(≠>=a a a y x且的值域为}0/{>y y ； 对数函数)10(log ≠>=a a x y a 且的值域为R ； 正、余弦:函数的值域][1,1-；正、余切函数 2k x ,tan ππ+≠=x y ,cot x y =),(Z k k x ∈≠π的值域为R 。

函数的值域与最值知识梳理求函数的值域和求函数的最值实质上是同一问题，只是答题的方式有所差异，因此求函数值域的方法，也是求函数的最值的方法。

求函数值域（最值）的常用方法：(1)配方法：主要适用于可化为二次函数或可化为二次函数的函数，要特别注意自变量的范围；(2)判别式法：主要适用于可化为关于x 的二次方程2()()()0a y x b y x c y ++=的函数()y f x =．由0∆≥且()0a y ≠，求得y 的范围或最值(若求最值在求出y 的值后，要检验这个y 值在定义域内是否有相应的x 的值;若是求值域应判断()0a y =时的x 值是否在函数的定义域内)；(3)不等式法：利用基本不等式求值域（最值）时一定要注意等号成立的条件；(4)换元法：运用代数或三角代换将所给函数转化为容易确定值域（最值）的另一函数，从而求得原来函数的值域。

用换元法时一定要注意新变元的取值范围；(5)数形结合法：对于图形较容易画出的函数的值域（最值）问题可借助图象直观求出； (6)单调性法：利用函数的单调性确定函数值域（最值），特别是闭区间上函数的值域（最值）． (7)利用函数有界性.借助于某些函数(如三角函数、指数函数等)的有界性求另一些函数的值域.1 具体函数值域（最值） 具体函数值域（最值）的求法主要是根据不同类型,采用适当的方法求解.在求值域的过程中应特别注意函数的定义域对函数值域的制约作用。

【例题1】 求下列函数的值域：（1）232y x x =-+； （2）312x y x +=-； （3）y x =+（4）|1||4|y x x =-++； （5）22221x x y x x -+=++；（6）2211()212x x y x x -+=>-. 【分析】根据不同的类型采有不同的方法.【答案】（1）（配方法）2212323323()61212y x x x =-+=-+≥Q ，∴232y x x =-+的值域为23[,)12+∞． （2）（法一）反函数法：312x y x +=-的反函数为213x y x +=-，其定义域为{|3}x R x ∈≠，∴原函数312x y x +=-的值域为{|3}y R y ∈≠．（法二）分离变量法：313(2)773222x x y x x x +-+===+---，∵702x ≠-，∴7332x +≠-，∴函数312x y x +=-的值域为{|3}y R y ∈≠．（3）换元法（代数换元法）：设0t =≥，则21x t =-，∴原函数可化为2214(2)5(0)y t t t t =-+=--+≥，∴5y ≤， ∴原函数值域为(,5]-∞．（4）数形结合法：23(4)|1||4|5(41)23(1)x x y x x x x x --≤-⎧⎪=-++=-<<⎨⎪+≥⎩，∴5y ≥，∴函数值域为[5,)+∞．（5）判别式法：∵210x x ++>恒成立，∴函数的定义域为R ．由22221x x y x x -+=++得：2(2)(1)20y x y x y -+++-= ①①当20y -=即2y =时，①即300x +=，∴0x R =∈②当20y -≠即2y ≠时，∵x R ∈时方程2(2)(1)20y x y x y -+++-=恒有实根， ∴22(1)4(2)0y y =+-⨯-≥V ，∴15y ≤≤且2y ≠，∴原函数的值域为[1,5]．（6）2121(21)111121212121222x x x x y x x x x x x -+-+===+=-++----，∵12x >，∴102x ->，∴112122x x -+≥=-，当且仅当112122x x -=-时，即12x =时等号成立．∴12y ≥，∴原函数的值域为1,)2+∞．【点评】说明：形如y ax b =++2y ax b =+用代数换元法2 复合函数值域复合函数求值域是一个难点，对于复合函数求值域问题应注意握两点：一、复合函数的定义域；二、复合函数的单调性。

函数的值域与最值1．函数值和函数值域的概念(1)函数值与函数值域是两个相关概念，函数值是一个局部概念，函数值域是一个整体概念．函数值域是函数值的集合. (2)确定函数值域取决于这一函数的定义域和对应法则．2．函数的最值(1)定义（见教材必修1 30页） (2)对最值的理解①从图象上看，函数的最大值就是图象上最高处点的纵坐标；函数的最小值就是图象上最低处点的纵坐标．函数y ＝f(x)的图象如图所示．②从定义中可以看出函数的最大值是函数值域中的最大者，函数的最小值是函数值域中的最小者．③极值与最值极值是函数的局部性质，极大(小)值是函数在某一区间上的最大(小)值，而最大值与最小值则分别是函数在整个定义域内的最大的函数值和最小的函数值．（并不是所有的函数都有最大值与最小值．）基本初等函数的值域：3．函数值域（最值）的求法(1)列举法 即直接根据函数的定义域与对应法则将函数值一一求出来写成集合形式．这种方法只适于值域B 中元素为有限或虽然是无限但却是与自然数有关的集合．(2)逐层求值域法：逐层求值域法就是根据x 的取值范围一层一层地去求函数的值域．例如：求函数f(x)＝11－2x，x ∈[2,5]的值域． (3)分离常数法 形如y ＝cx ＋d ax ＋b(a ≠0)的函数 (4)配方法 是求“二次函数类”值域的基本方法，形如F (x )＝a [f 2(x )＋bf (x )＋c ]的函数的值域问题。

(5)换元法 运用代数或三角代换，将所给函数化成值域容易确定的另一函数，从而求得原函数的值域，形如y ＝ax ＋b ±cx ＋d (a 、b 、c 、d 均为常数，且a ≠0)的函数常用此法求解．在用换元法求值域时一定要注意新元的范围对值域的影响．(6)利用函数的有界性 形如sin α＝f (y )，x 2＝g (y )，a x ＝h (y )等，因为|sin α|≤1，x 2≥0，a x ＞0可解出y 的范围，从而求出其值域或最值．(7)数形结合法 若函数的解析式的几何意义较明显，诸如距离、斜率等(8)重要不等式(绝对值不等式)利用均值不等式：a ＋b ≥2ab ，ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22，a 2＋b 2≥2ab .用此法求函数值域时，要注意条件“一正，二定，三相等”(9)利用函数的单调性①单调函数在端点处有定义，则函数在端点处取最值． 如果函数在端点处没有定义，则不可能在端点处取得最值．②关于自变量x 的一次根式，如y ＝ax ＋b ＋dx ＋c ，若ad ＞0，则用单调性求值域或最值；若ad ＜0，则用换元法．③形如y ＝x ＋k x的函数． (10)导数法：利用导函数求最值．4．条件最值所谓条件最值，即函数在一定条件下才能取得最值，或者说函数的最值受到某种条件的制约和影响．因此，在求条件最值时，一定要注意所求最值是否符合条件；尤其是实际应用题，要检查所求最值是否符合实际意义．如 已知x 2＋y 2＝x ，求u ＝3x 2＋12y 2的最值． 配方法 换元法 例1 (1)已知函数f (x )＝x 2＋x －2，其定义域分别为：① R ，②[－2，＋∞)，③[2,4]，则对应的值域依次是①________，②________，③________.(2)求下列函数的最值① 222++-=x x y②练习：求下列函数的最值：(1)y ＝2x ＋1－2x ； (2)y ＝x ＋4＋9－x 2；221x x y -+=21)2(1421:2x x y xx y -+=-+=）（求下列函数的最值例分离常数法、有界性法例：求下列函数的最值：(1)y ＝x －2x ＋1； (2)y ＝2x ＋12x －1；练习： 求下列函数的值域(1)y ＝5x －14x ＋2，x ∈[－3，－1]；不等式法、单调性法2211)2(x x y +-=13log log 345)2()0(4)1(322-+=++=>+=xx y x x y x xx y ）（例：求下列函数的值域2221)21()2(4log 1-=-=x y x y ）（域练习：求下列函数的值导数法的取值范围上都是递增的，求和在）若（上的最值；在求）若（为实数，：已知例a x f x f f a x x x f a ),2[]2,()(2]2,2[)(,0)1(1).)(4()(1/2+∞--∞-=---=数形结合法条件最值设x ，y ≥0,2x ＋y ＝6，求Z ＝4x 2＋3xy ＋y 2－6x －3y 的最值． x x y x x y cos 3sin 2)2(4)5(16)3()1(22+-=+-+++=例：求下列函数的最值。

函数的值域与最大(小)值(一)复习指导函数的值域就是全体的函数值所构成的集合，是由其对应法则和定义域共同决定的，在多数情况下，一旦函数的定义域和对应法则确定，函数的值域也就随之确定了，而函数的最大(小)值一定是值域内最大(小)的一个函数值，因此求函数的值域和求函数的最大(小)值在方法上是相通的．求函数的值域要注意优先考虑定义域，常用的方法有：（1）观察法：利用已有的基本函数的值域观察直接得出所求函数的值域，例如函数221x y +=的值域是}210{≤<y y ；（2）反函数法：用函数和它的反函数的定义域和值域的关系，通过求反函数的定义域而得到原函数的值域，形如)0(≠++=a b ax dcx y 的函数值域可用此法求值域；（3）配方法：二次函数或可转化为形如c x bf x f a x F ++=)()]([)(2类的函数的值域问题，均可用配方法，而后一情况要注意)(x f 的范围；（4）不等式法：利用基本关系,0)]([2≥x f 两个正数的均值不等式ab b a 2≥+在应用时要注意“一正二定三相等”；（5）利用函数的单调性求值域：观察函数式特点，联系函数单调性确定函数的定义域和值域，例如函数)0(≠+++=ac d cx b ax y ，可看a 与c 是否同号，若同号则可用单调性求值域，若异号才用换元法；在利用两正数的均值不等式求值域失效（即等号不成立）的情况下，可采用单调性法求值域，函数)0,0(>>+=k x x kx y 当],0(k x ∈时，函数递减，当),[+∞∈k x 函数递增，想想这是为什么？ 另外，还可用数形结合法（函数的图像）、判别式法、换元法（三角换元法）等求值域。

小结：对于二次函数)0()(2≠++=a c bx ax x f ,⑴若定义域为R 时， ①当a>0时，则当a bx 2-=时，其最小值a b ac y 4)4(2min -=； ②当a<0时，则当a bx 2-=时，其最大值b ac y )4(2max -= ⑵若定义域为x ∈ [a,b],则应首先判定其顶点横坐标x 0是否属于区间[a,b]①若0x ∈[a,b],则)(0x f 是函数的最小值（a>0）时或最大值（a<0）时，再比较)(),(b f a f 的大小决定函数的最大（小）值②若0x ∉[a,b],则[a,b]是在)(x f 的单调区间内，只需比较)(),(b f a f 的大小即可决定函数的最大（小）值(3)若给定区间不是闭区间，则可能得不到最大（小）值；(4)当顶点横坐标是字母时，则应根据其对应区间特别是区间两端点的位置关系进行讨论利用方程思想来处理函数问题，一般称判别式法 判别式法一般用于分式函数，其分子或分母只能为二次式解题中要注意二次项系数是否为0的讨论求函数值域常用的一些方法（观察法、配方法、判别式法、图象法、换元法等），随着知识的不断学习和经验的不断积累，还有如不等式法、三角代换法等有的题可以用多种方法求解，有的题用某种方法求解比较简捷，同学们要通过不断实践，熟悉和掌握各种解法，并在解题中尽量采用简捷解法(二)解题方法指导例1．求下列函数的值域： (1)f (x )=x 2－2x －3，x ∈[2，4] (2)f (x )=x 2－2x －3，x ∈[－3，4](3)f (x )=sin 2x －2sin x －3 (4)xx y 22)21(-=例2．求下列函数的值域： (1);152++=x x y(2)1sin 22sin -+=x x y例3．求函数2cos 1sin --=θθy 的值域．例4．求x x y -+-=42的值域．例5．设函数2221()log log (1)log ()1x f x x p x x +=+-+--， （1）求函数的定义域；（2）问()f x 是否存在最大值与最小值？如果存在，请把它写出来；如果不存在，请说明理由例 题 解 析例1解：(1)根据f (x )=x 2－2x －3=(x －1)2－4的图像，可知在[2，4]上函数是单调递增的，f (2)≤f (x )≤f (4)，即－3≤f (x )≤5，所以函数的值域为[－3，5]．(2)抛物线f (x )=x 2－2x －3的开口向上，对称轴为x =1，而1∈[－3，4]，所以由图像可知f (1)≤f (x )≤f (－3)，即－4≤f (x )≤12，所以y ∈[－4，12](3)令t =sin x ，则问题化为当t ∈[－1，1]时，求φ(t )=t 2－2t －3的值域，根据图像可知函数φ(t )=t 2－2t －3在[－1，1]是单调递减的，φ(1)≤φ(t )≤φ(－1)即－4≤φ(t )≤0，所以函数的值域为[－4，0]．(4)令u =x 2－2x ，u =x 2－2x =(x －1)2－1≥－1，而uy )21(=所以在R 上是减函数，所以2)21(1=≤-y ，故y ∈(0，2]．小结：(3)(4)题是双重复合型函数问题，求值域宜“由里向外”，逐层考虑．二次函数的值域和两个因素密切相关：一是所给的区间，二是对称轴的位置．根据所给条件条件，迅速做出草图，是解决这类问题的最佳方法，关于二次函数求最大(小)值问题，后面还要专门的研究．例2解：(1)原函数可化为132++=x y ，因为013=/+x ，所以y ≠2，即函数的值域为{y ∈R ｜y ≠2}．注：此题也可以反解x ，得25--=y y x ，得到y ≠2．一般地，当c ≠0时，ab ax y ++=α的值域为{y ∈R ｜y ≠c a}． (2)由1sin 22sin -+=x x y 反解sin x ，得⋅=/-+=21122sin y y y x （因为｜sin x ｜≤1，所以得1|122|≤-+y y 解得y ≥3或⋅-≤31y 所以函数的值域为].31,(),3[--∞+∞注：此题也可以令t =sin x ，通过图像考虑122-+=t t y 在[－1，1]上的单调性，从而求出函数的值域． 例3解：令m =cos θ，n ＝sin θ，则m 2＋n 2=1．因此所求函数的值域，就是圆x 2＋y 2=1上的动点(x ，y )与定点(2，1)连线的斜率的变化范围，设经过定点(2，1)且与x 2＋y 2=1相切的直线为y －1=k (x －2)，即kx －y ＋1－2k =0，利用相切的条件：圆心到直线的距离等于半径，易得k =0，或34=k ，由图形可知，34,0=k 分别为圆上的动点(x ，y )与定点(2，1)连线的斜率的最小值，最大值，所以所求的函数的值域为⋅]34,0[小结：此题用的是数形结合的方法，也可以将2cos 1sin --=θθy 变形为sin θ－y cos θ=1－2y ，进一步化为121)sin(2+-=-y y ϕθ，其中φ为辅助角，根据｜sin(θ－φ)｜≤1解得⋅∈]34,0[y例4解法1：原函数式两端平方得).42()4)(2222≤≤--+=x x x y （显然有y 2≥2， 又1242)4)(2(=-+-≤--xx x x ，当且仅当x －2=4－x 即x =3时“=”成立， 所以又有y 2≤2＋2=4，由2≤y 2≤4及y ＞0，得].2,2[∈y解法2：因为2≤x ≤4，所以可令x =2＋2cos 2x ）（2π0≤≤x ．则函数变为)cos (sin 2x x y +=).4πsin(2+=x 由于,2π0≤≤x 所以,4π34π4π≤+≤x 所以].2,2[)4πsin(2∈+=x y例5解：（1）由101100x x x p x +⎧>⎪-⎪⎨->⎪->⎪⎩，解得1x x p >⎧⎨<⎩ ①当1p ≤时，①不等式解集为∅；当1p >时，①不等式解集为{}|1x x p <<， ∴()f x 的定义域为(1,)(1)p p >（2）原函数即22221(1)()log [(1)()]log [()]24p p f x x p x x -+=+-=--+， 当112p -≤，即13p <≤时，函数()f x 既无最大值又无最小值； 当112p p -<<，即3p >时，函数()f x 有最大值22log (1)2p +-，但无最小值。