x x f 2sin sin 82cos 1)(2++=的最小值为 4 ．
（4）.已知k ＜－4，则函数y ＝cos2x ＋k (cos x －1)的最小值是 1 ．
（5）.若2αβπ+=，则cos 6sin y βα=-的最大值与最小值之和为____2____．
（三）借助直线的斜率的关系，用数形结合求解
型如d
x c b
x a x f ++=
cos sin )(型。此类型最值问题可考虑如下几种解法：
①转化为c x b x a =+cos sin 再利用辅助角公式求其最值；
②利用万能公式求解；
③采用数形结合法（转化为斜率问题）求最值。 例1：求函数sin cos 2
x
y x =
-的值域。
解法1：数形结合法：求原函数的值域等价于求单位圆上的点P(cosx , sinx )与定点Q(2, 0)所确定的直线的斜率的范围。作出如图得图象，当过Q 点的直线与单位圆相切时得斜率便是函数sin cos 2
x
y x =
-得最值，由几何知识，易求得过Q 的两切线得斜率分别为3
3
-、
33。结合图形可知，此函数的值域是33
[,]33
-
。 解法2：将函数sin cos 2x y x =-变形为cos sin 2y x x y -=，∴22s i n ()1y
x y
φ+=
+由2
|2||sin()|11y x y φ+=
≤+22(2)1y y ⇒≤+，解得：3333
y -
≤≤，故值域是33
[,]33-
解法3：利用万能公式求解：由万能公式2
12sin t
t
x +=，221cos 1t x t -=+，代入sin cos 2x y x =-得到2
213t y t
=--则有2
320yt t y ++=知：当0t =，则0y =，满足条件；当0t ≠，由2
4120y =-≥△，3333
y ⇒-≤≤，故所求函数的值域是33[,]33-。 解法4：利用重要不等式求解：由万能公式2
12sin t t x +=，221cos 1t x t -=+，代入sin cos 2x y x =
-得到2
213t
y t =--当0t =时，则0y =，满足条件；当0t ≠时，
22
113(3)
y t t t t
=
=---+，如果t > 0，则2223113233(3)y t t t t ==-≥-=---+，
x Q P
y O
此时即有3
03
y -
≤<；如果t < 0，则223
1
31
()(3)2()(3)
y t t t
t
=≤
=-+---，此时有303
y <≤
。综上：此函数的值域是33[,]33-。
例2.求函数2cos (0)sin x
y x x
π-=<<的最小值．
解法1：（利用三角函数的有界性求解）原式可化为sin cos 2(0)y x x x π+=<<，得21sin()2
y x ϕ++=，即2
2sin()1x y
ϕ+=+，
故
2
211y
≤+，解得3y ≥或3y ≤-（舍），所以y 的最小值为3．
解法2：(从结构出发利用斜率公式，结合图像求解)2cos (0)sin x
y x x
π-=
<<表示的是点
(0,2)A 与(sin ,cos )B x x -连线的斜率，
其中点B 在左半圆22
1(0)a b a +=<上，由图像知，当AB 与半圆相切时，y 最小，此时3AB k =，所以y 的最小值为3．
（四）换元法
代数换元法代换：x x x x y cos sin cos sin ++=
令：t t y t x x +-==+2
1
,cos sin 2则再用配方. 例题：求函数sin cos sin cos y x x x x =⋅++的最大值．
解：设sin cos x x t +=(22)t -≤≤，则21sin cos 2t x x -⋅=，则211
22
y t t =+-，
当2t =
时，y 有最大值为1
22
+．
