函数的值域与最值

一、值域的概念和常见函数的值域函数的值域取决于定义域和对应法则，不论采用什么方法球函数的值域均应考虑其定义域. 常见函数的值域：一次函数()0y kx b k =+≠的值域为R.二次函数()20y ax bx c a =++≠，当0a >时的值域为24,ac b ⎡⎫-+∞⎢，当0a <时的值1. 例1、 例2、 故函数的值域是：[ -∞，2 ] 2 、配方法适用类型：二次函数或可化为二次函数的复合函数的题型。

配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。

对于形如()20y ax bx c a =++≠或()()()()20F x a f x bf x c a =++≠⎡⎤⎣⎦类的函数的值域问题，均可用配方法求解.例3、求函数y=2x -2x+5，x ∈[-1，2]的值域。

解：将函数配方得：y=（x-1）2+4， x ∈[-1，2]， 由二次函数的性质可知：当x = 1时，y m in = 4 当x = - 1，时m ax y = 8 故函数的值域是：[ 4 ，8 ] 例 A 例解：21x x ++222x x x x -=++当2y -=当20y -≠时，x R ∈时，方程根.()()221420y y ∴=+-⨯-≥15y ∴≤≤且2y ≠.∴原函数的值域为[]1,5.例6、求函数y=x+)2(x x -的值域。

解：两边平方整理得：22x -2（y+1）x+y 2=0 （1）x ∈R ，∴△=4（y+1）2-8y≥0解得：1-2≤y≤1+2但此时的函数的定义域由x （2-x ）≥0，得：0≤x≤2。

由△≥0，仅保证关于x 的方程：22x -2（y+1）x+y 2=0在实数集R 有实根，而不能确保其实根在区间[0，2]上，即不能确保方程（1）有实根，由△≥0求出的范围可能比y 的实际范围大，故不能确定此函数的值域为[1，3]。

可以采取如下方法进一步确定原函数的值域。

4例y 5 、函数有界性法直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，反客为主来确定函数的值域。

函数最值、值域、恒成立问题一、函数最值定义1.（1）一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数M 满足：①x I ∀∈，都有()f x M ≤；②0x I ∃∈，使得()0f x M =。

就称M 是函数()y f x =的最大值。

（2）一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数M 满足：①x I ∀∈，都有()f x M ≥；②0x I ∃∈，使得()0f x M =。

就称M 是函数()y f x =的最小值。

2.【注】（1）函数的最值指的是函数值（y 值）的最大值和最小值。

求函数的最值，既要求函数的最大值也要求函数的最小值。

【注】（2）从函数图象上看，函数的最大值对应函数图象最高点的纵坐标；函数的最小值对应函数图象最低点的纵坐标。

二、单调函数的最值1.单调函数的最值在闭区间的端点处取得。

（1）单调递增函数在闭区间的左端点取得最小值，在右端点取得最大值。

（2）单调递减函数在闭区间的左端点取得最大值，在右端点取得最小值。

【注】单调函数在开区间上无最值，即既无最大值，也无最小值。

2.函数值域闭区间的左端点是函数值的最小值，右端点是函数值的最大值。

求函数的值域，往往要求函数的最大值和最小值。

三、分段函数的最值1.分段函数的最大值，是各段函数值最大值中的最大值；2.分段函数的最小值，是各段函数值最小值中的最小值。

四、函数最值的求解方法函数求最值的方法一般有：配方法、换元法、数形结合法（图象法）、结合函数的单调性法等。

五、函数的值域问题函数值域中的最小值往往是函数值的最小值，函数值域中的最大值往往是函数值中的最大值，所以求函数的值域往往需要先求出函数的最大值和最小值。

六、恒成立问题假设()g x 为已知函数，求()f a 的取值范围，则有以下两种情况：（1）()()f a g x ≤恒成立()()min f a g x ⇔≤；（2）()()f a g x ≥恒成立()()max f a g x ⇔≥。

故值域为[0，+≦)． 3. [0,4) 解析：≧4x>0，≨0≤16-4x<16，
≨ 16 4x
4. [-1,1) ≨-2≤ 5.4
3
∈[0,4)．
解析：y 1 <0，
2
≨-1≤y<1，即值域为[-1,1)．
1 3 3 x x 1 x , 解析： 2 4 4 1 4 4 f ( x) , f ( x ) max . 3 3 3 4
3 ， ≨△=8(2a2-a-3)≤0⇒-1≤a≤ 2 ≨a+3>0，
≨g(a)=2-a|a+3|=-a2-3a+2
3 17 3 a a 1, . 2 4 2
3 上单调递减， ≧二次函数g(a)在 1, 2
数，在[2，+≦)上是增函数，
≨f(x)min=f(2)=6.
函数，
1 1 (2)当a= 时，f(x)=x+ +2，易知f(x)在[1，+≦)上为增 2x 2
7 ≨f(x)min=f(1)= . 2
(3)函数f(x)=x+ a +2在(0， a ]上是减函数，在[ a ，+≦)
x
上是增函数． 若 a >1，即a>1时，f(x)在区间[1，+≦)上先减后增， ≨f(x)min=f(
2
3 ≨ 2
4
≤g(a)≤g(-1)，
19 即 ≤g(a)≤4，
≨g(a)的值域为
19 , 4 4
.
链接高考
(2010·山东改编)函数f(x)=log2(3x+1)的值域为________．

①
y

k
b x2
型，可直接用不等式性质，
【及时反馈】
求
y

3 2 x2
的值域（答： (0,
3]） 2
②
y

x2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
bx mx
n
型，先化简，再用均值不等式，
【及时反馈】
（2）求函数 y x 2 的值域（答：[0, 1] ）
x3
2
③ y x2 mx n 型，可用判别式法或均值不等式法， mx n
（3）、求函数 y x 2 2x 3 在如下区间中的的最值与值域。
ⅰ、 (4,2] ；ⅱ、 (1,2] ；ⅲ、 (3,5) ；ⅳ、 (,)
（4）、求函数 y sin x cos 2x 的最值与值域。（提示：先转化为带有限制条
件的二次型函数的最值与值域的求解）
（5）、若
所示：
定义域
值域
原函数 y f (x)
A
C
反函数 y f 1 (x)
C
A
由上表知，求原函数的值域就是相当于求它的反函数的定义域 ⅱ、求反函数的步骤（“三步曲”）
①求 x ( y) ；②x、y 互换；③通过求原函数的值域得出反函数的定义域
【及时反馈】
（1）、求函数 f (x) 2x 4 的值域 x 1
解： y x x 1 (x 1) x 1 1
令 x 1 t（运用换元法时，要特别要注意新元 t 的范围），易知 t 0(why ?) 所 以 x 1 t 2 ， 所 以 y t 2 t 1(t 0) ， 欲 求 原 函 数 的 值 域 ， 只 需 求 y t 2 t 1(t 0) 的最值与值域即可（解法同上面的【及时反馈】）。

反函数法
对于一些单调函数，可以通过求反函数，然后在反函数的定义域内求 最值。
常见函数的最值
一次函数
一次函数的最值出现在端点处 ，其最值为常数项。
二次函数
二次函数的最值出现在顶点处 ，其最值为顶点的纵坐标。
指数函数
指数函数在其定义域内单调递 增或递减，因此其最值为无穷 大或无穷小。
对数函数
对数函数在其定义域内单调递 增或递减，因此其最值为无穷
最值
函数在定义域内的最大值和最小值，是函数在特定条件下达到的极值。
如何在实际问题中灵活运用函数的性质
实际问题建模
将实际问题转化为数学模型，利用函数性质 进行分析和求解。
优化问题解决
利用函数最值性质，解决最优化问题，如最 大利润、最小成本等。
动态规划
利用函数性质进行动态规划，解决多阶段决 策问题。
数据分析
函数的定义域、值域、最值
• 函数的定义域 • 函数的值域 • 函数的最值 • 函数的最值在实际问题中的应用 • 总结与思考
01
函数的定义域
定义域的概念
定义域是函数中自变量x的取值范围， 它决定了函数中x可以取哪些值进行计 算。
定义域是函数存在的前提，没有定义 域的函数是不存在的。
确定定义域的方法
THANKS
感谢观看
最短路径问题
确定起点和终点
最短路径问题通常涉及从起点到终点的最短路径寻找。
定义路径函数
路径函数表示从起点到终点的所有可能路径，以及每 条路径的长度。
求解最短路径
通过比较所有可能的路径长度，可以找到最短路径， 即最小化路径函数值的路径。
最佳投资问题
确定投资目标和约束
01
最佳投资问题通常涉及在一定时间内实现最大的投资回报或最

高考热点二：函数值域、最值及极值基础回顾1、 函数的值域是指：几种常见的基本初等函数的值域：（1） 一次函数)0()(≠+=a b ax x f 的值域为：（2） 反比例函数)0()(≠=k xk x f 的定义域、值域分别为： （3） 二次函数)0()(2≠++=a c bx ax x f 的定义域为：当0>a 时，值域为： 当0<a 时，值域为：（4） 指数函数)10()(≠>=a a a x f x 且的定义域、值域分别为：（5） 对数函数)10(log )(≠>=a a x x f a 且的定义域、值域分别为：（6） 幂函数)3,2,1,21,1()(-==ααx x f 的定义域、值域分别为： （7） 函数)0)(sin()(≠+=A x A x f ϕω的值域为：2、 函数的最大值、最小值是指：3、 函数的极大值、极小值是指：极大值、极小值统称为极值.4、 求函数)(x f 的极值的方法步骤：（1） （2） (3)5、 利用导数求函数)(x f 的最值的方法步骤：（1） （2）6、 求函数值域与最值的常用方法：（1）直接法 （2）配方法 （3）分离常数法（4）换元法（5）三角有界法 （6）基本不等式法 （7）单调函数法 （8）数形结合法 （9）逆求法（10）判别式法 （11）构造法 （12）导数法达标训练一、选择题1、已知函数)(x f y =的定义域为R ，值域为]1,3[-，则)2(+=x f y 的值域为（ ）A 、]1,3[-B 、]3,1[-C 、),3(+∞D 、),(+∞-∞2、函数)1)(111(log 21>+-+=x x x y 的最大值是（ ） A 、2- B 、2 C 、3- D 、33、函数)1(log ++=x a y a x 在]1,0[上的最大值与最小值之和为a ，则a 的值为（ ）A 、41B 、21 C 、2 D 、4 4、已知函数313)(23-++=ax ax x x f 的定义域是R ，则实数a 的取值范围是（ ） A 、31>a B 、012≤<-a C 、012<<-a D 、31≤a 。

2, 2 ) 为圆心，以
z
2
2 i | 1
1 为半径的圆面
（包括边界） ，如图。由图观察，易知|z|max=3,|z|min=1。 答案：３ １
九、求导法：
【理论阐释】
求函数最值的步骤：
在闭区间[a，b]上连续，在（a，b）内可导，f（x）在 [a，b]上求最大值与最小值的步骤：①求f（x）在（a，
值域（最值）问题 常见类型及解法
函数的值域与最值是两个不同的概念，一般来说，求出了
一个函数的最值，未必能确定该函数的值域；反之，一个函数 的值域被确定，这个函数也未必有最大值或最小值。但是，在
许多常见的函数中，函数的值域与最值的求法是相通的、类似
的。关于求函数值域与最值的方法也是多种多样的，但是有许 多方法是类似的，下面就这些方法逐一说明它们的运用。
2 2
求得最值。注意“一正、二定、三等” 。
典例导悟
求函数 f ( x )
x 5
2
的值域。
4 x 4
2
x 4
2
【解析】
f (x)
x 5
2
x 4
2

x 4
2

3 x 4
2
4
3 x 4
2
4
3 2

5 2
4
。
当且仅当 x 2 4
5
，即 x 0 时，等号成立，
x 6 x 18
x 10 x 26
= ( x 3 ) 2 ( 0 3 ) 2 ( x 5 ) 2 ( 0 1) 2 表示动点 P ( x , 0 ) 到定点 A ( 3 ,3 ) ， B ( 5 , 1) 的距离之和，而 A、B 两点分别位于 X 轴的上下两侧，由此连接 AB 交 X 轴于一点，易证该点即是所求的 P 点。由题意 及分析易得直线 AB 的方程为 y

b 与区间 m, n 的位置关系 2a
b b m, n ,则当 a>0 时， f ( ) 是函数的最小值，最大值为 f (m), f (n) 中较大者；当 a<0 2a 2a
b ) 是函数的最大值，最大值为 f (m), f (n) 中较小者。 2a b m, n ,只需比较 f (m), f (n) 的大小即可决定函数的最大（小）值。 2a
5、 y 7、 已知二次函数 f ( x) ax bx 满足 f (1 x) f (1 x) ， 且方程 f ( x) x 有两个相等实根， 若函数 f ( x)
2
在定义域为 [ m, n] 上对应的值域为 [2m, 2n] ，求 m, n 的值。
2 x 2 bx c 8、已知函数 f ( x) (b 0) 的值域为 [1,3] ，求实数 b, c 的值。 x2 1
1
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四、形如： y
cx d 的值域： ax b b a c a
1、若定义域为 x x 时，其值域为 y y
2、若 x m, n 时，我们把原函数变形为 x 函数的值域。 如：1、求函数 y
二、一次函数在区间上的值域（最值）： 一次函数 y=ax+b(a 0)在区间 m, n 上的最值，只需分别求出 f m , f n ，并比较它们的大小即可。 如：y=3x+2(-1 x 1) 三、二次函数 f ( x) ax 2 bx c(a 0) 在区间 m, n 上的值域(最值)： 首先判定其对称轴 x （1）若 时， f (
知识要点
一、利用常见函数的值域 一次函数 y=ax+b(a 0)的定义域为 R，值域为 R； 反比例函数 y

⑦单调性法：先确定函数在给定区间上的单调性，然后依据单调性求函数的最值．这种求解方
法在高考中是必考的，且多在解答题的某一问中出现．
⑧导数法：设函数 f(x)在区间[a，b]上连续，在区间(a，b)内可导，则 f(x)在[a，b]上的最
大值和最小值应为 f(x)在(a，b)内的各极值与 f(a)，f(b)中的最大值和最小值．利用这种
方法二：（判别式法）由
1 y＝x＋ ＋1，得
x2＋(1－y)x＋1＝0.
x
∵方程有实根，∴Δ＝(1－y)2－4≥0.即(y－1)2≥4，∴y－1≤－2 或y－1≥2.得y≤－1 或y≥3.
1 （x＋1）（x－1）
方法三：（导数法）令 y′＝1－ ＝
<0，得－1<x<0 或 0<x<1.
x2
x2
∴函数在(0，1)上递减，在(1，＋∞)上递增，此时y≥3；函数在(－1，0)上递减，在(－∞，－1)上递增，
此时 y≤－1.∴y≤－1 或 y≥3.即函数值域为(－∞，－1]∪[3，＋∞)．
(4)方法一：（单调性法）定义域为{x|x≥－1}，函数y＝2x，y＝ 1＋x均在[－1，＋∞)上递增，
故 y≥2×(－1)＋ 1＋（－1）＝－2.
方法二：（换元法）令 1＋x＝t，则 t≥0，且 x＝t2－1.
∴y＝2t2＋t－2＝2(t＋1)2－17≥－2(t≥0)．∴函数值域为[－2，＋∞)． 48
cx＋d
2x＋1 sinx＋2
③反解法：适用于分子、分母只含有一次项的函数（即有理分式一次型），也可用于易反解出
自变量的函数类型.
④配方法：二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)及二次型函数 y＝a[f(x)]2＋b[f(x)]＋c(a≠0) ⑤换元法：换元法有两类，即代数换元和三角换元．如可用三角代换解决形如 a2＋b2＝1 及部

函数的值域与最值知识点归纳函数是数学中的重要概念，是描述两个集合之间元素的对应关系。

在函数的研究中，值域和最大最小值是两个重要的知识点。

本文将对函数的值域与最值进行归纳与总结，以帮助读者更加深入地理解和掌握这些知识点。

一、函数的值域值域是函数在定义域内所有可能的输出值的集合。

即对于函数f(x)，其值域为所有符合f(x) = y的y的取值。

确定函数的值域可以采用以下方法：1. 列表法：将定义域内所有可能的输入值代入函数，得到对应的输出值，将这些输出值按照从小到大的顺序排列，即可得到函数的值域。

2. 图像法：通过绘制函数的图像，观察图像在纵坐标上的取值范围，即可得到函数的值域。

需要注意的是，对于不连续的函数，应该观察每个分段函数的值域。

3. 函数表达式法：通过分析函数的解析表达式，确定函数的值域。

例如，对于一次函数f(x) = ax + b，由于a为常数，那么当x趋向于正无穷或负无穷时，f(x)也趋向于正无穷或负无穷，因此可以确定该一次函数的值域为整个实数集。

二、函数的最大最小值最大最小值是函数在定义域内取得的最大和最小的输出值。

确定函数的最大最小值可以采用以下方法：1. 导数法：对函数进行求导，找到导数为零的点和导数不存在的点，然后将这些点代入原函数，得到对应的函数值，即为函数的最大最小值。

需要注意的是，在求导的过程中，要注意判断定义域的边界情况。

2. 极值点法：对于闭区间上的函数，可以通过求解函数的极值点来确定函数的最大最小值。

首先求解函数的驻点，即导数为零或不存在的点，然后将这些驻点以及端点的函数值进行比较，得到函数的最大最小值。

3. 函数图像法：通过绘制函数的图像，观察图像在纵坐标上的取值范围，即可得到函数的最大最小值。

需要注意的是，对于不连续的函数，应该观察每个分段函数的最大最小值，并对比得到整个函数的最大最小值。

综上所述，函数的值域与最值是函数研究中的重要内容。

确定函数的值域可以通过列表法、图像法和函数表达式法等方法进行，确定函数的最大最小值可以通过导数法、极值点法和函数图像法等方法进行。

函数的定义域、值域和最值一、函数的定义域： （一）常见函数定义域：对数函数()10log ≠>=a a y xa 且定义域为),0(+∞。

三角函数x y sin =定义域为R ；x y cos =定义域为R ；x y tan =定义域为},2{Z k k x x ∈+≠ππ。

（二）基本题型：1.已知解析式求定义域： （1）()122log 43++--=x xx x y （2）)4323ln(1)(22+--++-=x x x x x x f 2.同一对应法则两个函数定义域问题：（1）已知()2x f 的定义域为[-1,1]，求()x f 2的定义域。

（2）已知()x f 2的定义域为[-1,1]，求()xf 2log 的定义域。

（3）已知()x f 的定义域为[0,2]，求()()12-=x x f x g 的定义域。

3.与参数有关的函数定义域的求法： （1）已知86)(2++-=m mx mx x f 的定义域为R ，求实数m 的取值范围。

（2）已知x x m x f 421)(⋅++=的定义域为R ，求实数m 的取值范围。

（3）已知函数()()6131)(22+-+-=x a xa x f①若()x f 的定义域为R ，求实数a 的取值范围；②若()x f 的定义域为[-2,1]，求实数a 的值。

二、函数的值域及最值： （一）常见函数值域：一次函数)0(≠+=k b kx y 的值域为R 。

二次函数)0(2≠++=a c bx ax y ，当0>a 时，值域为),44[2+∞-a b ac ；当0<a 时，值域为]44,(2ab ac --∞。

反比例函数()0≠=k xky 的值域为 )0,(-∞),0(+∞。

指数函数xa y =的值域为),0(+∞。

对数函数()10log ≠>=a a y xa 且值域为R 。

正弦函数、余弦函数的值域为[-1,1]；正切函数x y tan =的值域为R 。

课题函数教学目标函数的定义域、值域、最值以及解析式的求法重点、难点函数的最值以及解析式的求法考点及考试要求函数的最值以及解析式的求法教学内容（一）函数值域的概念：函数的值域就是我们通常说的y的范围，它是一个集合{y︱y=2x+1} 值域一定要与函数的定义域联系起来。

（二）函数的值域与最值的联系：注意：（三）常见函数的值域：考题8例1给出下列两个条件：（1）f (x +1)=x +2x ;(2)f (x )为二次函数且f (0)=3,f (x +2)-f (x )=4x +2.试分别求出f (x )的解析式. 解 （1）令t =x +1,∴t ≥1，x =（t -1）2.则f (t )=(t -1)2+2(t -1)=t 2-1,即f (x )=x 2-1,x ∈［1，+∞).（2）设f (x )=ax 2+bx +c (a ≠0),∴f (x +2)=a (x +2)2+b (x +2)+c ,则f (x +2)-f (x )=4ax +4a +2b =4x +2.∴⎩⎨⎧=+=22444b a a ，∴⎩⎨⎧-==11b a ，又f (0)=3⇒c =3,∴f (x )=x 2-x +3. 例2（1）求函数f (x )=229)2(1x x x g --的定义域；（2）已知函数f (2x ）的定义域是［-1，1］，求f (log 2x )的定义域. 解 （1）要使函数有意义，则只需要：,3302,090222⎩⎨⎧<<-<>⎪⎩⎪⎨⎧>->-x x x x x x 或即解得-3＜x ＜0或2＜x ＜3.故函数的定义域是(-3,0）∪(2,3).(2)∵y =f (2x )的定义域是［-1，1］，即-1≤x ≤1,∴21≤2x≤2. ∴函数y =f (log 2x )中21≤log 2x ≤2.即log 22≤log 2x ≤log 24,∴2≤x ≤4.故函数f (log 2x )的定义域为［2，4］1.（1）已知f （12+x）=lg x ，求f （x ）；（2）已知f （x ）是一次函数，且满足3f （x +1）-2f （x -1）=2x +17，求f （x ）； （3）已知f （x ）满足2f （x ）+f （x1）=3x ，求f （x ）.解 (1)令x 2+1=t ，则x =12-t ， ∴f （t ）=lg 12-t ，∴f （x ）=lg 12-x ,x ∈(1,+∞). （2）设f （x ）=ax +b ，则3f （x +1）-2f （x -1）=3ax +3a +3b -2ax +2a -2b =ax +b +5a =2x +17， ∴a =2，b =7，故f （x ）=2x +7. （3）2f （x ）+f （x1）=3x ，①把①中的x 换成x 1，得2f （x 1）+f （x ）=x3②①×2-②得3f （x ）=6x -x 3，∴f （x ）=2x -x1. 2. 求下列函数的定义域： （1）y =2)3(log 2+-x x +(2x -3)0;(2)y =log (2x +1)(32-4x ).解 （1）由⎪⎩⎪⎨⎧≠-><⎪⎩⎪⎨⎧≠->+>-.3log 2,303202032x ，x x x x x ，得∴定义域为（-2，log 23）∪(log 23,3).(2)⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≠-><⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≠+>+>-021,25,1120120432x ，x x x x x 得∴定义域为（-21,0）∪（0,25）.例1给出下列两个条件：（1）f (x +1)=x +2x ;(2)f (x )为二次函数且f (0)=3,f (x +2)-f (x )=4x +2.试分别求出f (x )的解析式. 解 （1）令t =x +1,∴t ≥1，x =（t -1）2.则f (t )=(t -1)2+2(t -1)=t 2-1,即f (x )=x 2-1,x ∈［+∞). （2）设f (x )=ax 2+bx +c(a ≠0),∴f (x +2)=a (x +2)2+b (x +2)+c ,f (x +2)-f (x )=4ax +4a +2b =4x +2.∴⎩⎨⎧=+=22444b a a ，∴⎩⎨⎧-==11b a ，又f (0)=3⇒c =3,∴f (x )=x 2-x +3. 例2（1）求函数f (x )=229)2(1xx xg --的定义域；（2）已知函数f (2x ）的定义域是［-1，1］，求f (log 2x )的定义域. 解 （1）要使函数有意义，则只需要：,3302,090222⎩⎨⎧<<-<>⎪⎩⎪⎨⎧>->-x x x x x x 或即解得-3＜x ＜0或2＜x ＜3.故函数的定义域是(-3,0）∪(2,3).(2)∵y =f (2x )的定义域是［-1，1］，即-1≤x ≤1,∴21≤2x≤2. ∴函数y =f (log 2x )中21≤log 2x ≤2.即log 22≤log 2x ≤log 24,∴2≤x ≤4.故函数f (log 2x )的定义域为［2，4］例4 已知函数f (x )=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<-=>.0,1,0,1,0,2x xx x x（1）画出函数的图象；（2）求f (1),f (-1),f ［f (-1)］的值. 解 （1）分别作出f (x )在x ＞0,x =0, x ＜0段上 的图象，如图所示，作法略. （2）f (1)=12=1,f (-1)=-11- =1,f ［f （-1）］=f （1）=1.1.（1）已知f （12+x）=lg x ，求f （x ）；（2）已知f （x ）是一次函数，且满足3f （x +1）-2f （x -1）=2x +17，求f （x ）； （3）已知f （x ）满足2f （x ）+f （x1）=3x ，求f （x ）.解 (1)令x 2+1=t ，则x =12-t ， ∴f （t ）=lg 12-t ，∴f （x ）=lg 12-x ,x ∈(1,+∞). （2）设f （x ）=ax +b ，则3f （x +1）-2f （x -1）=3ax +3a +3b -2ax +2a -2b =ax +b +5a =2x +17， ∴a =2，b =7，故f （x ）=2x +7. （3）2f （x ）+f （x1）=3x①把①中的x 换成x 1，得2f （x 1）+f （x ）=x3②①×2-②得3f （x ）=6x -x 3，∴f （x ）=2x -x1. 2. 求下列函数的定义域：（1）y =2)3(log 2+-x x +(2x -3)0;(2)y =log (2x +1)(32-4x ).解 （1）由⎪⎩⎪⎨⎧≠-><⎪⎩⎪⎨⎧≠->+>-.3log 2,303202032x ，x x x x x ，得∴定义域为（-2，log 23）∪(log 23,3).(2)⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≠-><⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≠+>+>-021,25,1120120432x ，x x x x x 得∴定义域为（-21,0）∪（0,25）. 一、填空题1.设函数f 1(x )=x 21,f 2(x )=x -1,f 3(x )=x 2,则[]))0072((123f f f = .答案 007212.（2008·安徽文，13）函数f (x )=)1(log 1|21|2---x 的定义域为 .答案 []+∞,3 3.若f (x )=⎩⎨⎧≥<+)6(log )6()3(2x xx x f ,则f (-1)的值为 .答案 3 4.已知f (2211)11xx x x +-=+-，则f(x )的解析式为 . 答案 f (x )=212x x +5.函数f (x )=xx -132 +lg(3x +1)的定义域是 .答案 （-31，1） 6.(2008·陕西理，11)定义在R 上的函数f (x )满足f (x +y )=f (x )+f (y )+2xy (x ,y ∈R ),f (1)=则f (-3)= . 答案 68.已知函数ϕ (x )=f (x )+g (x ),其中f (x )是x 的正比例函数,g (x )是x 的反比例函数，且ϕ（=16, ϕ (1)=8,则ϕ(x )= .答案 3x +x 5二、解答题9.求函数f (x )=21)|lg(|x x x --的定义域.解 由,11010||2⎩⎨⎧<<-<⎪⎩⎪⎨⎧>->-x x x x x ，得 ∴-1＜x ＜0. ∴函数f (x )=21)|lg(|xx x --的定义域为（-1,0）.10．（1）设f (x )是定义在实数集R 上的函数，满足f (0)=1,且对任意实数a 、,f (a -b )=f (a )-b (2a -b +1),求f (x );（2）函数f (x ) (x ∈(-1,1))满足2f (x )-f (-x )=lg(x +1),求f (x ). 解 （1）依题意令a =b =x ,则 f (x -x )=f (x )-x (2x -x +1), 即f (0)=f (x )-x 2-x , 而f (0)=1,∴f (x )=x 2+x +1. （2）以-x 代x ,依题意有 ①2f (-x )-f (x )=lg(1-x ) ②2f (x )-f (-x )=lg(1+x )两式联立消去f (-x )得 3f (x )=lg(1-x )+2lg(1+x ),∴f (x )=31lg(1+x -x 2-x 3)(-1＜x ＜1).。

函数的值域及零点与最值 『知识与方法梳理』☟1. 函数的定义域与值域的概念：函数f(x)的自变量x的取值范围就叫函数f(x)的定义域，函数值的取值集合叫做函数f(x)的值域.2. 几个初等函数的定义域与值域：函数定义域值域(1)f(x) = ax + b (a≠0)R R(2)f(x)=ax2+bx+c(a≠0)R a>0时[f(-b2a), +∞) a<0时(-∞, f(-b2a)](3)f(x) = ax(a≠0)(-∞,0)∪(0,+∞) (-∞,0)∪(0,+∞)(4)f(x) = a x(a≠1,a>0)R (0,+∞)(5)f(x)=log a x(a≠1,a>0)(0,+∞) R(6)y=xαα为正偶数R [0, +∞)α为负偶数(-∞,0)∪(0,+∞) (0,+∞)α为正奇数R Rα为负奇数(-∞,0)∪(0,+∞) (-∞,0)∪(0,+∞) α为正分数或正无理数[0, +∞) [0, +∞)α为负分数或负无理数(0,+∞) (0,+∞)(1)定义：使得f(x)=0 的实数x 叫做函数f(x)的一个零点.(2)判定定理：对于在区间[a, b]上连续不断的的函数f(x), 如果有f(a)·f(b)<0 ，那么f(x)在区间(a, b)内必有零点存在.4. 常识知识与方法:（1）求值域常用方法：①⎧⎪⎨⎪⎩复合函数法（配方法，整体换元，分离常数）函数法函数极值法（利用均值不等式或函数单调性，求最值及端点值）②方程法⎧⎪⎨⎪⎩逆求法（反解）判别式法（考察一元二次方程解）合一法（化一角一函数）③图形法（数形结合）（2）求最值的常用方法：①求函数值域；②均值法(利用基本不等式）；③极值法（求导选修内容）.（3）二次函数零点区间分布讨论所关注的要素：①开口方向；②对称轴位置；③判别式；④区间端点值符号；⑤函数所过定点.（4）函数零点问题常用解题策略①函数法：考察函数的图像和性质，关注极值点和单调性，利用零点区间存在性判定定理；②方程法：考察（判断或解）函数对应方程解；③分离函数（或变量）：函数与方程途径难以解决时，可以考虑将一式利用方程分成两可知类型的函数（或常函数），考察两函数的交点即可. 『题型分类例析』☟（一）求值域（或最值）1.复合函数的值域■题型结构特征：形如(或化为)f[g(x)]的函数的值域.★判断识真☆已知定义在R上的函数f(x)的值域为[－2，3]，则函数f(x －2)的值域为( )A．[－4，1] B．[0，5]C．[－4，0]∪[1，5] D．[－2，3]【例题1】求函数值域：(1) y = - x2 - 2x + 4 ;(2) y = (14)x–(12)x +1 (-3≤x≤1);(3) y = x + 1 - 2x ;(4) y =x + 2x + 1.【例题2】[2014重庆理12]函数)2(loglog)(22xxxf⋅=的最小值为_________.2.合成型函数的值域■题型结构特征：形如f(x)±g(x)或f(x)g(x)等函数的值域.【例题3】求函数值域：(1) y =3x + 13x - 1(2) y =2xx2 + 2x + 4(3) y = x +1x + 1【例题4】设g(x)是定义在R上，以1为周期的函数，若函数f(x) = x + g(x)在区间[0,1]上的值域为[ - 2, 5]，则f(x)在区间[0,3]上的值域为.3.分段函数的值域■题型结构特征：函数为分段函数.【例题5】求函数值域：(1)y =⎩⎪⎨⎪⎧x1 - x ( x < 0)12x -12 (x ≥ 0);(2) y = |2x + 1| + |3 – x|.4.含参数函数的最值值域问题■题型结构特征：需对参数进行讨论的函数的值域或最值.★判断识真☆[2017浙江5] 若函数f (x )=x 2+ ax +b 在区间[0,1]上的最大值是M ，最小值是m ，则M – mA ．与a 有关，且与b 有关B ．与a 有关，但与b 无关C ．与a 无关，且与b 无关D ．与a 无关，但与b 有关【例题6】设a 为实数，设函数f(x)= a 1 - x 2 +1 - x + 1 + x 的最大值为g(a).（1）设t= 1 - x + 1 + x ，求t 的取值范围，并把f(x)表示为t 的函数m(t)； （2）求g(a);【例题7】 [2015浙江理18]已知函数f （x ）=2x +ax+b （a ，b ∈R ）,记M （a ，b ）是|f （x ）|在区间[-1,1]上的最大值。

【知识要点】一、函数值域的定义函数值的集合叫做函数的值域.二、函数的值域取决于定义域和对应法则，不论采用什么方法求函数的值域，都要考虑定义域，函数的问题必须遵循“定义域优先”的原则.三、常见函数的值域1、一次函数的值域为.2、二次函数，当时的值域为，时的值域为.3、反比例函数的值域为.4、指数函数的值域为.5、对数函数的值域为.6、幂函数的值域为，幂函数的值域为.7、正弦函数、余弦函数的值域为，正切函数的值域为.四、求函数的值域常用的方法求函数的值域常用的方法有观察法、分离常数法、配方法、反函数法、换元法、判别式法、基本不等式法、单调性法、数形结合法、导数法、绝对值不等式法和柯西不等式法等.其中最常用的有“三数（函数、数形结合、导数）”和“三不（基本不等式、绝对值不等式、柯西不等式）”.五、函数的值域一定要用集合或区间来表示.六、函数的值域、取值范围和函数的最值实际上是同一范畴的问题，所以求函数值域的方法适用于求函数的最值和取值范围等.【方法讲评】方法六判别式法使用情景形如的函数.解题步骤一般先将函数化成二次方程，再利用判别式来求函数的值域.【例1】求函数的值域.【点评】（1）分子、分母中含有二次项的函数类型，此函数经过变形后可以化为的形式，再利用判别式加以判断.（2）函数经过变形后可以化为的形式后，要注意对是否为零进行分类讨论，因为它不一定是一元二次方程.（3）判别式法解出值域后一定要将端点值（本题是）代回方程检验，把不满足题意的舍去.【反馈检测1】求函数的值域.方法七基本不等式法使用情景一般变量是正数，变量的和或积是定值.解题步骤一般先进行配凑，再利用基本不等式求函数的最值，从而得到函数的值域.【例2】已知，求函数的最小值.【解析】.=当且仅当，即时，上式等号成立.因为在定义域内，所以最小值为.【点评】（1）本题不能直接使用基本不等式，本题在利用基本不等式前，要对函数化简，要用到分离函数的方法对函数进行化简，再使用基本不等式.（2）很多函数在使用基本不等式之前都要进行化简和配凑，所以要注意观察函数的结构,再进行变形，再使用基本不等式.(3)利用基本不等式求最值时，要注意“一正二定三相等”，三个条件缺一不可.【例3】已知，求函数的最大值.【点评】（1）基本不等式有二元基本不等式(和三元不等式.（2）基本不等式不仅适用于一般函数，也适用三角函数和其它所有函数，只要满足条件，就可以利用“一正二定三相等”来分析解答.【反馈检测2 】已知，，且，则的最小值为.【反馈检测3】【2017浙江，17】已知αR，函数在区间[1，4]上的最大值是5，则的取值范围是___________．方法八单调性法使用情景函数的单调性容易判断.解题步骤先判断函数的单调性，再利用函数的单调性得到函数的值域.【例 4】求函数的值域.【点评】（1）本题先利用复合函数的单调性确定了函数的单调区间，从而得到函数的最大值和最小值，得到函数的值域.（2）判定函数的单调性常用的有定义法、图像法、复合函数分析法和导数法,注意灵活使用.【例5】求函数的值域.【解析】令，则在上都是增函数，所以在上是增函数当时，当时，故所求函数的值域为。

函数的值域与最值●知识点归纳一、相关概念 1、值域：函数A x x f y ∈=，)(，我们把函数值的集合{|(),}y y f x x A =∈称为这个函数的值域。

2、最值：求函数最值常用方法和函数值域的方法基本相同。

事实上，如果在函数的值域中存在一个最小(大)数，这个数就是函数的最小(大)值。

因此，求函数的最值和值域，其实质是相同的，只是提问不同而已。

最大值：一般地，设函数y =f (x )的定义域为I ，如果存在实数M 满足：①对于任意的x ∈I ，都有f (x )≤M ；②存在x 0∈I ，使得f (x 0) = M 。

那么，称M 是函数y =f (x )的最大值。

记作()max 0y f x =最小值：一般地，设函数y =f (x )的定义域为I ，如果存在实数M 满足：①对于任意的x ∈I ，都有f (x )≥M ；②存在x 0∈I ，使得f (x 0) = M 。

那么，称M 是函数y =f (x )的最小值。

记作()min 0y f x = 注意：①函数最大（小）首先应该是某一个函数值，即存在x 0∈I ，使得f (x 0) = M ；② 函数最大（小）应该是所有函数值中最大（小）的，即对于任意的x ∈I ，都有f (x )≤M （f (x )≥M ）。

二、基本函数的值域一次函数）（0≠+=a b kx y 的定义域为R ，值域为R ； 二次函数）（02≠++=a c bx ax y 的定义域为R ，；当]44(0);44[022ab ac ，，a ，a b ac ，a --∞<∞+->值域是时值域是时反比例函数)0(≠=k xk y 的定义域为{x|x ≠0}，值域为}0/{≠y y ；数函数)10(≠>=a a a y x且的值域为}0/{>y y ； 对数函数)10(log ≠>=a a x y a 且的值域为R ； 正、余弦:函数的值域][1,1-；正、余切函数 2k x ,tan ππ+≠=x y ,cot x y =),(Z k k x ∈≠π的值域为R 。

课题：2.3函数值域与最值（复习教案）一、知识点：（一）确定函数值域的因素：函数的值域是由函数的定义域和对应法则确定的。

注意：求函数的值域不要忽视了函数的定义域，一般，求函数值域先求函数的定义域。

（二）基本初等函数的值域：1、一次函数y=kx+b （k ≠0）的值域为R ；2、二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0）的值域：当a ＞0时，值域为[ab ac 442-，﹢∞）；当a ＜0时，值域为（-∞，ab ac 442-]。

3、反比列函数y=xk（k ≠0，x ≠0）的值域为：{y|y ≠0，y ∈R}4、指数函数y=a x （a ＞0且a ≠1）的值域为：R +5、对数函数y=㏒a x （a ＞0，且a ≠1）的值域R6、正、余弦函数的值域为：[-1，+1]，正、余切函数的值域为R 二、求函数值域的常用方法：1、利用基本初等函数值域求一些简单的复合函数的值域例1、求函数y=log 21（x 2-6x+17）的值域。

解法1：设u= x 2-6x+17，则y=log 21u 由x 2-6x+17＞0得函数y 的定义域为R函数u 的在（-∞，3）上是减函数，在（3，+∞）上是增函数，当8≥u 时函数y=log 21u 在R 上是关于u 的减函数 所以函数y=log 21（x 2-6x+17），在（-∞，3）上是关于x 的增函数，在（3，+∞）上是关于x 的减函数。

y max =f （3）=log 218=-3 所以函数的值域为（-∞，-3]解法2：设u= x 2-6x+178≥，则y=log 21u （8≥u ） 求复合函数的值域等价于求外层函数的值域，由于y=log 21u （8≥u ）为减函数，因此8=u 时函数取得最大值3m ax -=y ，故函数y=log 21u （8≥u ）的值域为（-∞，-3]，即所求函数的值域为（-∞，-3]2、配方法----常用于二次函数或准二次函数 例2、求函数y=3x 2-6x+5（x ＜-2）的值域。

函数的值域与最值1．函数值和函数值域的概念(1)函数值与函数值域是两个相关概念，函数值是一个局部概念，函数值域是一个整体概念．函数值域是函数值的集合. (2)确定函数值域取决于这一函数的定义域和对应法则．2．函数的最值(1)定义（见教材必修1 30页） (2)对最值的理解①从图象上看，函数的最大值就是图象上最高处点的纵坐标；函数的最小值就是图象上最低处点的纵坐标．函数y ＝f(x)的图象如图所示．②从定义中可以看出函数的最大值是函数值域中的最大者，函数的最小值是函数值域中的最小者．③极值与最值极值是函数的局部性质，极大(小)值是函数在某一区间上的最大(小)值，而最大值与最小值则分别是函数在整个定义域内的最大的函数值和最小的函数值．（并不是所有的函数都有最大值与最小值．）基本初等函数的值域：3．函数值域（最值）的求法(1)列举法 即直接根据函数的定义域与对应法则将函数值一一求出来写成集合形式．这种方法只适于值域B 中元素为有限或虽然是无限但却是与自然数有关的集合．(2)逐层求值域法：逐层求值域法就是根据x 的取值范围一层一层地去求函数的值域．例如：求函数f(x)＝11－2x，x ∈[2,5]的值域． (3)分离常数法 形如y ＝cx ＋d ax ＋b(a ≠0)的函数 (4)配方法 是求“二次函数类”值域的基本方法，形如F (x )＝a [f 2(x )＋bf (x )＋c ]的函数的值域问题。

(5)换元法 运用代数或三角代换，将所给函数化成值域容易确定的另一函数，从而求得原函数的值域，形如y ＝ax ＋b ±cx ＋d (a 、b 、c 、d 均为常数，且a ≠0)的函数常用此法求解．在用换元法求值域时一定要注意新元的范围对值域的影响．(6)利用函数的有界性 形如sin α＝f (y )，x 2＝g (y )，a x ＝h (y )等，因为|sin α|≤1，x 2≥0，a x ＞0可解出y 的范围，从而求出其值域或最值．(7)数形结合法 若函数的解析式的几何意义较明显，诸如距离、斜率等(8)重要不等式(绝对值不等式)利用均值不等式：a ＋b ≥2ab ，ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22，a 2＋b 2≥2ab .用此法求函数值域时，要注意条件“一正，二定，三相等”(9)利用函数的单调性①单调函数在端点处有定义，则函数在端点处取最值． 如果函数在端点处没有定义，则不可能在端点处取得最值．②关于自变量x 的一次根式，如y ＝ax ＋b ＋dx ＋c ，若ad ＞0，则用单调性求值域或最值；若ad ＜0，则用换元法．③形如y ＝x ＋k x的函数． (10)导数法：利用导函数求最值．4．条件最值所谓条件最值，即函数在一定条件下才能取得最值，或者说函数的最值受到某种条件的制约和影响．因此，在求条件最值时，一定要注意所求最值是否符合条件；尤其是实际应用题，要检查所求最值是否符合实际意义．如 已知x 2＋y 2＝x ，求u ＝3x 2＋12y 2的最值． 配方法 换元法 例1 (1)已知函数f (x )＝x 2＋x －2，其定义域分别为：① R ，②[－2，＋∞)，③[2,4]，则对应的值域依次是①________，②________，③________.(2)求下列函数的最值① 222++-=x x y②练习：求下列函数的最值：(1)y ＝2x ＋1－2x ； (2)y ＝x ＋4＋9－x 2；221x x y -+=21)2(1421:2x x y xx y -+=-+=）（求下列函数的最值例分离常数法、有界性法例：求下列函数的最值：(1)y ＝x －2x ＋1； (2)y ＝2x ＋12x －1；练习： 求下列函数的值域(1)y ＝5x －14x ＋2，x ∈[－3，－1]；不等式法、单调性法2211)2(x x y +-=13log log 345)2()0(4)1(322-+=++=>+=xx y x x y x xx y ）（例：求下列函数的值域2221)21()2(4log 1-=-=x y x y ）（域练习：求下列函数的值导数法的取值范围上都是递增的，求和在）若（上的最值；在求）若（为实数，：已知例a x f x f f a x x x f a ),2[]2,()(2]2,2[)(,0)1(1).)(4()(1/2+∞--∞-=---=数形结合法条件最值设x ，y ≥0,2x ＋y ＝6，求Z ＝4x 2＋3xy ＋y 2－6x －3y 的最值． x x y x x y cos 3sin 2)2(4)5(16)3()1(22+-=+-+++=例：求下列函数的最值。