下载文档原格式
函数最值、值域、恒成立问题一、函数最值定义1.（1）一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数M 满足：①x I ∀∈，都有()f x M ≤；②0x I ∃∈，使得()0f x M =。
就称M 是函数()y f x =的最大值。
（2）一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数M 满足：①x I ∀∈，都有()f x M ≥；②0x I ∃∈，使得()0f x M =。
就称M 是函数()y f x =的最小值。
2.【注】（1）函数的最值指的是函数值（y 值）的最大值和最小值。
求函数的最值，既要求函数的最大值也要求函数的最小值。
【注】（2）从函数图象上看，函数的最大值对应函数图象最高点的纵坐标；函数的最小值对应函数图象最低点的纵坐标。
二、单调函数的最值1.单调函数的最值在闭区间的端点处取得。
（1）单调递增函数在闭区间的左端点取得最小值，在右端点取得最大值。
（2）单调递减函数在闭区间的左端点取得最大值，在右端点取得最小值。
【注】单调函数在开区间上无最值，即既无最大值，也无最小值。
2.函数值域闭区间的左端点是函数值的最小值，右端点是函数值的最大值。
求函数的值域，往往要求函数的最大值和最小值。
三、分段函数的最值1.分段函数的最大值，是各段函数值最大值中的最大值；2.分段函数的最小值，是各段函数值最小值中的最小值。
四、函数最值的求解方法函数求最值的方法一般有：配方法、换元法、数形结合法（图象法）、结合函数的单调性法等。
五、函数的值域问题函数值域中的最小值往往是函数值的最小值，函数值域中的最大值往往是函数值中的最大值，所以求函数的值域往往需要先求出函数的最大值和最小值。
六、恒成立问题假设()g x 为已知函数，求()f a 的取值范围，则有以下两种情况：（1）()()f a g x ≤恒成立()()min f a g x ⇔≤；（2）()()f a g x ≥恒成立()()max f a g x ⇔≥。
【考大纲求】1. 会求一些简单函数的定义域和值域；2. 理解函数的单一性、最大 ( 小 ) 值及其几何意义；3. 会运用函数图象理解和研究函数的性质．4. 在某些实质问题中，会成立不等式求参数的取值范围，以及求最大值和最小值 .【知识网络】函数的最值与值域函函函 数 数 数 的的的最最值大小域值 值【考点梳理】考点一、函数最值的定义1. 最大值：假如对于函数f ( x) 定义域 D 内的随意一个自变量 x ，存在 x 0 D ，使得 f ( x)f (x 0 ) 成立，则称 f ( x 0 ) 是函数 f ( x) 的最大值．注意：下边定义错在哪里？应如何校正．假如对于函数 f (x) 定义域 D 内的随意一个自变量 x ，都有 f ( x) M ，则称 M 是函数 f ( x) 的最大值．2. 最小值的定义同学们自己给出．考点二、函数最值的常用求法1. 可化为二次函数的函数，要特别注意自变量的取值范围．2. 鉴别式法： 主要合用于可化为对于x 的二次方程， 由（要注意二次项系数为 0的状况） 求出函数的最值，要查验这个最值在定义域内能否有相应的 x 的值．3. 换元法：好多含根式的函数的最值的求法常常用到换元法来求．常用的换元有———三角代换，整体代换．4. 不等式法：利用均值不等式求最值．5. 利用函数的性质求函数的最值6. 含绝对值的函数或分段函数的最值的求法7. 利用导数求函数的最值。
重点解说：(1) 求最值的基本程序：求定义域、求导数、求导数的零点、列表、依据表比较函数值大小给出最值； (2) 一些能转变成最值问题的问题 :f ( x)A 在区间D 上恒成立函数 f ( x)minA( xD )f ( x)B 在区间D 上恒成立函数f ( x)maxB( xD )在区间 D 上存在实数x使f ( x) B在区间 D 上存在实数x使f ( x) A【典型例题】函数 f (x)min B(x D )函数 f (x)maxA(xD )种类一、经过转变或换元的方法求解函数的值域或最值 例 1. 求函数 f (x) e 2 x me x e 2 x me x 的最值．【分析】 f ( x)e 2x e 2 x m(e x e x )(e x e x ) 2 m(e x e x ) 2令 te x e x （注意 t 的范围），这样所求函数就变成二次函数．【总结升华】当式子中同时出现 x 2 x 2 和 x x1时，都能够化为二次式．贯通融会：【变式】求函数y 1 xx 3 的值域．【分析】平方再开方，得y4 2 (1x)(3 x) , x [3,1]y [2, 2 2]种类二、函数值的大小比较，求函数值域，求函数的最大值或最小值 例 2. 求以下函数值域：(1) y2x -1 ； 1)x∈ [5 ，10] ； 2)x ∈ (-3 ， -2) ∪(-2 ， 1) ；x 2(2)y=x 2-2x+3 ； 1)x ∈ [-1 ，1] ； 2)x ∈ [-2 ， 2].【分析】 (1) Q y2( x 2) -5-5 +2可看作是由 y-5左移 2 个单位，x 2 x 2x再上移 2 个单位获得，如图1)f(x) 在[5 ， 10] 上单增， y [ f (5), f (10)]即[ 9 ,19] ；1 7 12 2) y(- , f (1))( f (-3),)即(-(7， ) ；， )3(2) 画出草图1)y ∈ [f(1) ， f(-1)] 即[2 ，6] ； 2) y [ f (1), f (-2)]即[2,11] . 贯通融会：【变式】已知函数 f (x)1 3x .1 3x(1) 判断函数 f(x) 的单一区间；(2) 当 x ∈[1 ， 3] 时，求函数 f(x) 的值域 .【分析】 (1) 1 3x( 3x 1) 22f (x)3x1 3x 13x 11 f (x) 在(-11 ,) 上单一递加；， ) 上单一递加，在(33(2)[1,3] (1 在 [1 ， 3] 上单一递加, ) 故函数 f(x)3∴ x=1 时 f(x) 有最小值， f(1)=-25x=3 时 f(x) 有最大值 f (3)4∴ x ∈ [1 ，3] 时 f(x) 的值域为 [ 2, 5] .4种类三、含参类函数的最值与值域问题例 3. 已知二次函数2在区间 (1,1) 上是增函数，求：f(x)=x -(a-1)x+52(1) 实数 a 的取值范围；(2)f(2) 的取值范围 .【分析】 (1) ∵对称轴 a -1是决定 f(x) 单一性的重点，联系图象可知x 只要 a -11 2a 2 ；22(2) ∵ f(2)=2 2-2(a-1)+5=-2a+11 又∵ a ≤ 2，∴ -2a ≥ -4∴ f(2)=-2a+11 ≥ -4+11=7f(2) 7,+.贯通融会：2, x 2f (x)k有两个不一样的实根，【变式】已知函数 f (x)x，若对于 x 的方程 ( x 1)3 , x 2则实数 k 的取值范围是 ________.【分析】由图象知，若f (x)2 ( x 2) 单一递减且值域 (0,1] ， f ( x) ( x 1)3 ( x 2) 单一递加且值域为 (,1) ，x f ( x) k 有两个不一样的实根，则实数 k 的取值范围是（ 0,1 ）.种类四、抽象函数的最值与值域问题例 4. 若函数 yf ( x) 的值域是 [ 1,3] ，则函数 F ( x)f ( x)1 的值域是（ ）2f ( x)A ．[1,3]B． [2,10] C ． [ 5 ,10] D ． [3,10]23 2 33 【答案】 B【分析】令 tf ( x) ，则 t [ 1,3] ， F ( x) t 1 [2, 10]2t 3 贯通融会：f ( x)1 x 2，x ≤1，1 ) 的值为（【变式】设函数x 2x2， x 则 f (）1，f (2)A ．15B ．27 C ．8D ．1816169【答案】 A【分析】∵ f (2)222 2 4 ，∴ f ( 1) f (1) 1 ( 1)215 .f (2) 4416种类五：分析几安在最值方面的综合应用例 7．设 A （ 0， 0）， B （ 4， 0）， C （t+4 ， 4）， D （ t ， 4）（ t ∈ R ）．记 N （t ）为平行四边形 ABCD内部（不含界限）的整点的个数，此中整点是指横、纵坐标都是整数的点，则函数N （ t ）的值域为（）A ． {9 ，10， 11}B． {9 ， 10， 12}C ．{9 ， 11， 12}D．{10 ， 11， 12}【分析】当 t ≠ 0 时，直线 AD 的方程为 y4x ，t分别与直线 y=1，y=2， y=3 交于点 M 1 ( t,1)， M 2 ( t,2)M 3 ( 3t,3) 。
高中数学《函数的最值》基础知识与讲义专题一、基础知识：1、函数的最大值与最小值：（1）设函数()f x 的定义域为D ，若0x D ∃∈，使得对x D ∀∈，均满足()()0f x f x ≤，那么称0x x =为函数()f x 的一个最大值点，()0f x 称为函数()f x 的最大值（2）设函数()f x 的定义域为D ，若0x D ∃∈，使得对x D ∀∈，均满足()()0f x f x ≥，那么称0x x =为函数()f x 的一个最小值点，()0f x 称为函数()f x 的最小值 （3）最大值与最小值在图像中体现为函数的最高点和最低点（4）最值为函数值域的元素，即必须是某个自变量的函数值。
例如：()[)ln ,1,4f x x x =∈，由单调性可得()f x 有最小值()10f =，但由于x 取不到4，所以尽管函数值无限接近于ln 4,但就是达不到。
()f x 没有最大值。
（5）一个函数其最大值（或最小值）至多有一个，而最大值点（或最小值点）的个数可以不唯一，例如()sin f x x =，其最大值点为()22x k k Z ππ=+∈，有无穷多个。
2．“最值”与“极值”的区别和联系右图为一个定义在闭区间[]b a ,上的函数)(x f 的图象．图中)(1x f 与3()f x 是极小值，2()f x 是极大值．函数)(x f 在[]b a ,上的最大值是)(b f ，最小值是3()f x（1）“最值”是整体概念，是比较整个定义域内的函数值得出的，具有绝对性；而“极值”是个局部概念，是比较极值点附近函数值得出的，具有相对性．（2）从个数上看，一个函数在其定义域上的最值是唯一的；而极值不唯一；（3）函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有一个（4）极值只能在定义域内部取得，而最值可以在区间的端点处取得，有极值的未必有最值，有最值的未必有极值；极值有可能成为最值，最值只要不在端点必定是极值．3、结论：一般地，在闭区间[]b a ,上函数()y f x =的图像是一条连续不断的曲线，那么函数()y f x =在[]b a ,上必有最大值与最小值．4、最值点只可能在极值点或者边界点处产生，其余的点位于单调区间中，意味着在这些点的周围既有比它大的，也有比它小的，故不会成为最值点5、利用导数求函数的最值步骤:一般地，求函数)(x f 在[]b a ,上的最大值与最小值的步骤如下： （1）求)(x f 在(,)a b 内的极值；（2）将)(x f 的各极值与端点处的函数值)(a f 、)(b f 比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值，得出函数)(x f 在[]b a ,上的最值6、求函数最值的过程中往往要利用函数的单调性，所以说，函数的单调区间是求最值与极值的基础7、在比较的过程中也可简化步骤：（1）利用函数单调性可判断边界点是否能成为最大值点或最小值点 （2）极小值点不会是最大值点，极大值点也不会是最小值点 8、最值点的作用 （1）关系到函数的值域（2）由最值可构造恒成立的不等式：例如：()ln 1f x x x =−+，可通过导数求出()()min 10f x f ==，由此可得到对于任意的0x >，均有()()min 0f x f x ≥=，即不等式ln 1x x ≤− 二、典型例题： 例1：求函数()xf x xe−=的最值思路：首先判定定义域为R ,对函数进行求导，根据单调区间求出函数的最值 解：()()'1x fx x e −=−，令()'0f x >,解得：1x <()f x ∴的单调区间为：()()max 1f x f e∴==，无最小值 小炼有话说：函数()xf x xe−=先增再减，其最大值即为它的极大值点，我们可以将这种先增再减，或者先减再增的函数成为“单峰函数”，在单峰函数中，极值点即为函数的某个最值点。
高一数学重要知识点【函数的值域与最值】高一数学学习对大家来说很重要，想要取得好成绩必须要掌握好课本上的知识点，为了帮助大家掌握高一数学知识点，下面为大家带来高一数学重要知识点【函数的值域与最值】，希望对大家掌握数学知识有所帮助。
1、函数的值域取决于定义域和对应法则，不论采用何种方法求函数值域都应先考虑其定义域，求函数值域常用方法如下：(1)直接法：亦称观察法，对于结构较为简单的函数，可由函数的解析式应用不等式的性质，直接观察得出函数的值域.(2)换元法：运用代数式或三角换元将所给的复杂函数转化成另一种简单函数再求值域，若函数解析式中含有根式，当根式里一次式时用代数换元，当根式里是二次式时，用三角换元.(3)反函数法：利用函数f(x)与其反函数f-1(x)的定义域和值域间的关系，通过求反函数的定义域而得到原函数的值域，形如(a0)的函数值域可采用此法求得.(4)配方法：对于二次函数或二次函数有关的函数的值域问题可考虑用配方法.(5)不等式法求值域：利用基本不等式a+b[a，b(0，+)]可以求某些函数的值域，不过应注意条件一正二定三相等有时需用到平方等技巧.(6)判别式法：把y=f(x)变形为关于x的一元二次方程，利用△0求值域.其题型特征是解析式中含有根式或分式.(7)利用函数的单调性求值域：当能确定函数在其定义域上(或某个定义域的子集上)的单调性，可采用单调性法求出函数的值域.(8)数形结合法求函数的值域：利用函数所表示的几何意义，借助于几何方法或图象，求出函数的值域，即以数形结合求函数的值域. 2、求函数的最值与值域的区别和联系求函数最值的常用方法和求函数值域的方法基本上是相同的，事实上，如果在函数的值域中存在一个最小(大)数，这个数就是函数的最小(大)值.因此求函数的最值与值域，其实质是相同的，只是提问的角度不同，因而答题的方式就有所相异.如函数的值域是(0，16]，最大值是16，无最小值.再如函数的值域是(-，-2][2，+)，但此函数无最大值和最小值，只有在改变函数定义域后，如x0时，函数的最小值为2.可见定义域对函数的值域或最值的影响.3、函数的最值在实际问题中的应用函数的最值的应用主要体现在用函数知识求解实际问题上，从文字表述上常常表现为工程造价最低，利润最大或面积(体积)最大(最小)等诸多现实问题上，求解时要特别关注实际意义对自变量的制约，以便能正确求得最值.为大家带来了高一数学重要知识点【函数的值域与最值】，希望大家能够熟记这些数学知识点，更多的高一数学知识点请查阅。
三角函数知识点梳理关键信息项：1、三角函数的定义正弦函数余弦函数正切函数余切函数正割函数余割函数2、三角函数的基本关系式平方关系商数关系倒数关系3、三角函数的诱导公式正弦诱导公式余弦诱导公式4、三角函数的图像和性质正弦函数图像和性质余弦函数图像和性质正切函数图像和性质5、三角函数的周期性周期的定义常见三角函数的周期6、三角函数的最值和值域正弦函数的最值和值域余弦函数的最值和值域正切函数的最值和值域7、三角函数的和差公式正弦和差公式余弦和差公式正切和差公式8、三角函数的倍角公式余弦倍角公式正切倍角公式9、三角函数的半角公式正弦半角公式余弦半角公式正切半角公式11 三角函数的定义111 正弦函数：在直角三角形中，锐角的正弦等于其对边与斜边的比值。
即 sinA ＝ a/c，其中 A 为锐角，a 为 A 的对边，c 为斜边。
112 余弦函数：锐角的余弦等于其邻边与斜边的比值。
即 cosA ＝b/c，其中 b 为 A 的邻边。
113 正切函数：锐角的正切等于其对边与邻边的比值。
即 tanA ＝a/b。
114 余切函数：锐角的余切等于其邻边与对边的比值。
即 cotA ＝b/a。
115 正割函数：斜边与邻边的比值。
即 secA ＝ c/b。
116 余割函数：斜边与对边的比值。
即 cscA ＝ c/a。
12 三角函数的基本关系式121 平方关系：sin²A ＋ cos²A ＝ 1，1 ＋ tan²A ＝ sec²A，1 ＋ cot²A ＝ csc²A。
122 商数关系：tanA ＝ sinA ／ cosA，cotA ＝ cosA ／ sinA。
123 倒数关系：sinA × cscA ＝ 1，cosA × secA ＝ 1，tanA × cotA ＝1。
13 三角函数的诱导公式131 正弦诱导公式：sin(2kπ ＋ A) ＝ sinA，sin(π ＋ A) ＝ sinA，sin(A) ＝ sinA 等。
函数的值域知识点总结一、函数的值域的概念和含义1. 函数的值域定义函数的值域指的是函数在定义域内可以取得的所有可能的输出值的集合。
它是函数所有可能输出的值的集合，可以用集合的形式或者区间的形式进行表示。
例如，对于函数f(x) =x^2，其值域为非负实数的集合，即R+ = {y | y ≥ 0}。
2. 值域的含义值域可以帮助我们了解函数在定义域内的输出情况，它描述了函数所有可能的输出值。
通过求解函数的值域，我们可以确定函数的变化范围，找到函数的最大值和最小值，以及理解函数的性质和行为。
函数的值域在数学分析、微积分、代数等领域都有着重要的应用。
二、函数值域的求解方法1. 代数方法对于一些简单的函数，我们可以通过代数方法来求解函数的值域。
例如，对于线性函数f(x) = ax + b，其值域为整个实数集合R；对于二次函数 f(x) = ax^2 + bx + c，可以通过公式法求解其最值，从而确定其值域范围。
2. 图像法对于一些复杂的函数，我们可以通过绘制函数的图像来观察函数的变化趋势，从而求解函数的值域。
通过分析函数的图像，我们可以找到函数的最值点，从而确定函数的值域范围。
3. 极限方法对于一些较复杂的函数，我们可以通过求函数的极限来确定函数的值域。
通过求解函数在无穷远处的极限值，我们可以得到函数的最大值和最小值，从而确定函数的值域。
4. 排除法有时候，我们可以通过排除法来确定函数的值域。
通过观察函数的定义域和性质，我们可以排除一些无法取得的值，从而确定函数的值域范围。
三、常见函数的值域1. 线性函数对于线性函数 f(x) = ax + b，其值域为整个实数集合R。
线性函数的图像是一条直线，可以取得任意的实数值。
对于二次函数 f(x) = ax^2 + bx + c，可以通过公式法求解其最值，从而确定其值域范围。
当a > 0时，函数的最小值为f(-b/2a)，值域为[f(-b/2a), +∞)；当a < 0时，函数的最大值为f(-b/2a)，值域为(-∞, f(-b/2a)]。
三角函数的定义域、值域和最值一 知识点精讲：1 三角函数的定义域 （1）r y =αsin 定义域为R. （2）rx =αcos 定义域为R.（3）xy =αtan 定义域为 ⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+≠Z k k ,2|ππαα. （4）y x =αcot 定义域为{}Z k k ∈≠,|παα.2 三角函数的值域① )0(,sin ≠+=a b x a y 型当0>a 时，],[b a b a y ++-∈ ； 当0<a 时 ],[b a b a y +-+∈ ② c x b x a y ++=sin sin2型此类型的三角函数可以转化成关于sinx 的二次函数形式。
通过配方，结合sinx 的取值范围，得到函数的值域。
x sin 换为x cos 也可以。
③ x b x a y cos sin +=型 利用公式ab x b a x b x a =++=+φφtan ),sin(cos sin 22， 可以转化为一个三角函数的情形。
④x x b x x a y cos sin )cos (sin ++=型利用换元法，设x x t cos sin +=, ]2,2[-∈t ，则212cos sin -=t x x ,转化为关于t 的二次函数222122b at t b t bat y -+=-+=.⑤x x c x b x a y cos sin cos sin 22++=型这是关于x x cos ,sin 的二次齐次式，通过正余弦的降幂公式以及正弦的倍角公式，22sin cos sin ,22cos 1cos,22cos 1sin22x x x xx xx =+=-=，可转化为p x n x m y ++=2cos 2sin 的形式。
⑥ d x c bx a y ++=sin sin 型 可以分离常数，利用正弦函数的有界性。
⑦bx ax y ++=cos sin 型 可以利用反解的思想方法，把分母乘过去，整理得，a by x y x -=-cos sin ，11,1)sin(22≤+-+-=-ya by ya by x φ, 通过解此不等式可得到y的取值范围。
函数的极值与最值知识点函数是数学中非常重要的概念，它描述了变量之间的关系。
在函数中，经常会遇到极值与最值的问题。
本文将介绍与函数的极值与最值相关的知识点。
一、函数的极值函数的极值指的是在函数曲线上存在的最高点或最低点。
根据函数的定义域和值域，可以分为两种极值：最大值和最小值。
1. 定义域与值域在讨论函数的极值之前，首先需要明确函数的定义域和值域。
定义域是指函数的自变量的取值范围，而值域则是函数的因变量的取值范围。
2. 局部极值对于实数域上的函数，如果在某个区间内存在一个点，使得这个点左右两侧的函数值都比它小（或都比它大），那么这个点就是函数在该区间内的局部最小值（或最大值）。
3. 单调性与极值单调性是指函数在定义域内的变化趋势。
如果函数在某个区间内单调递增，那么在这个区间内，函数的最小值一定在区间的起点上；如果函数在某个区间内单调递减，那么在这个区间内，函数的最大值一定在区间的终点上。
二、函数的最值函数的最值指的是函数在定义域内可能取得的最大值或最小值。
1. 最大值与最小值对于连续函数，在有限闭区间上一定存在最大值和最小值。
根据最值的性质，最大值是函数图像上的“最高点”，最小值是函数图像上的“最低点”。
2. 最值的求解方法为了找到函数的最值，可以使用以下方法：（1）导数法：通过求函数的导数，找到导数为零的点，并且通过二阶导数的符号判断这些点是极值点还是驻点。
（2）边界法：当函数定义域为闭区间时，极值可能出现在端点上。
三、综合例题为了更好的理解函数的极值与最值，下面给出一个综合例题：例题：已知函数f(x) = 2x^3 - 3x^2 + 4x - 1，求其在定义域[-2,2]上的最大值和最小值。
解答：首先，将函数f(x)对x求导，得到f'(x) = 6x^2 - 6x + 4。
令f'(x) = 0，解得x = 1/3。
然后，计算f''(1/3) = 4，由于f''(1/3)大于0，所以x = 1/3是函数f(x)的一个局部最小值点。
函数的最值与值域【考纲要求】1. 会求一些简单函数的定义域和值域；2. 理解函数的单调性、最大(小)值及其几何意义；3. 会运用函数图象理解和研究函数的性质．4. 在某些实际问题中，会建立不等式求参数的取值范围，以及求最大值和最小值. 【知识网络】【考点梳理】考点一、函数最值的定义1.最大值：如果对于函数()f x 定义域D 内的任意一个自变量x ，存在0x D ∈，使得0()()f x f x ≤成立，则称0()f x 是函数()f x 的最大值．注意：下面定义错在哪里？应怎样订正．如果对于函数()f x 定义域D 内的任意一个自变量x ，都有()f x M ≤，则称M 是函数()f x 的最大值．2.最小值的定义同学们自己给出． 考点二、函数最值的常用求法1.可化为二次函数的函数，要特别注意自变量的取值范围．2.判别式法：主要适用于可化为关于x 的二次方程，由0∆≥（要注意二次项系数为0的情况）求出函数的最值，要检验这个最值在定义域内是否有相应的x 的值．3.换元法：很多含根式的函数的最值的求法经常用到换元法来求．常用的换元有———三角代换，整体代换．4.不等式法：利用均值不等式求最值．5.利用函数的性质求函数的最值6.含绝对值的函数或分段函数的最值的求法7.利用导数求函数的最值。
要点诠释：(1)求最值的基本程序：求定义域、求导数、求导数的零点、列表、根据表比较函数值大小给出最值； (2)一些能转化为最值问题的问题:()f x A >在区间D 上恒成立⇔函数min ()()f x A x D >∈函数的最值与值域 函数的值域函数的最大值函数的最小值()f x B <在区间D 上恒成立⇔函数max ()()f x B x D <∈在区间D 上存在实数x 使()f x B <⇔函数min ()()f x B x D <∈ 在区间D 上存在实数x 使()f x A >⇔函数max ()()f x A x D >∈ 【典型例题】类型一、通过转化或换元的方法求解函数的值域或最值 例1.求函数22()xx x f x e me e -=-+-x me -的最值．【解析】22()()xx x x f x ee m e e --=+-+2()()2xx xxe e m e e --=+-+-令x xt e e -=+（注意t 的范围），这样所求函数就变为二次函数．【总结升华】当式子中同时出现22x x -+和1x x -±时，都可以化为二次式． 举一反三：【变式】求函数13y x x =-++的值域．解：平方再开方，得42(1)(3),[3,1]y x x x =+-+∈-[2,22]y ∴∈类型二、函数值的大小比较，求函数值域，求函数的最大值或最小值 例2. 求下列函数值域： (1)2-12x y x =+； 1)x ∈[5，10]； 2)x ∈(-3，-2)∪(-2，1)； (2)y=x 2-2x+3； 1)x ∈[-1，1]； 2)x ∈[-2，2]. 【解析】 (1)2(2)-5-5-522x y y x x x+===++Q +2可看作是由左移2个单位，再上移2个单位得到，如图1)f(x)在[5，10]上单增，919[(5),(10)][,]712y f f ∈即； 2)1(-,(1))((-3),)(-)(7)3y f f ∈∞⋃+∞∞⋃+∞即，，； (2)画出草图1)y ∈[f(1)，f(-1)]即[2，6]； 2)[(1),(-2)][2,11]y f f ∈即. 举一反三：【变式】已知函数13xf (x)13x+=-.(1)判断函数f(x)的单调区间；(2)当x ∈[1，3]时，求函数f(x)的值域. 【解析】(1)13x (3x 1)22f (x)113x 13x 3x 1+--++===----- 1f (x)(-)3∴∞在，上单调递增，在1(,)3+∞上单调递增；(2)1[1,3](,)3⊆+∞故函数f(x)在[1，3]上单调递增∴x=1时f(x)有最小值，f(1)=-2 x=3时f(x)有最大值5f (3)4=-∴x ∈[1，3]时f(x)的值域为5[2,]4--. 类型三、含参类函数的最值与值域问题例 3.（2015 保定模拟）若函数()121sin 21x xf x x +=+++在区间[](),0k k k ->上的值域为[],m n ，则m n += .【答案】4【解析】记()()122sin 121x xg x f x x +=-=+-+ ()()12sin 1212sin 112x x xg x x x -+-∴-=+--+=--+()()122sin 1sin 102112x x xg x +g x x x +∴-=+-+--=++()()g x g x ∴-=-()g x ∴为奇函数，函数图像关于原点对称.∴函数()g x 在区间[](),0k k k ->上的最大值记为a ,(a >0),则函数()g x 在区间[](),0k k k ->上的最小值为-a()a g x a ∴-≤≤即()2a f x a -≤-≤即()22a f x a -≤≤+2,2m a n a ∴=-=+4m n ∴+=故选D.举一反三：【变式】已知函数32,2()(1),2x f x x x x ⎧≥⎪=⎨⎪-<⎩，若关于x 的方程()f x k =有两个不同的实根，则实数k 的取值范围是________.【解析】2()(2)f x x x=≥单调递减且值域(0,1]，3()(1)(2)f x x x =-<单调递增且值域为(,1)-∞，由图象知，若()f x k =有两个不同的实根，则实数k 的取值范围是（0,1）.类型四、抽象函数的最值与值域问题例4.若函数()y f x =的值域是1[,3]2，则函数1()()()F x f x f x =+的值域是（ ） A ．1[,3]2 B ．10[2,]3 C ．510[,]23 D ．10[3,]3【答案】B【解析】令()t f x =，则1[,3]2t ∈，110()[2,]3F x t t=+∈ 举一反三：【变式】设函数2211()21x x f x x x x ⎧-⎪=⎨+->⎪⎩，，，，≤则1()(2)f f 的值为（ ） A ．1516B ．2716-C ．89D ．18【答案】A【解析】∵2(2)2224f =+-=， ∴211115()()1()(2)4416f f f ==-=. 类型五：函数、导数、不等式知识在最值方面的综合应用 例 5. （2016 全国新课标Ⅱ）(Ⅰ)讨论函数xx 2f (x)x 2-=+e 的单调性，并证明当0x >时，(2)20x x e x -++>；(Ⅱ)证明：当[0,1)a ∈时，函数2x =(0)x e ax a g x x-->（）有最小值.设()g x 的最小值为()h a ，求函数()h a 的值域．【解析】（Ⅰ）()f x 的定义域为(,2)(2,)-∞-⋃-+∞.222(1)(2)(2)'()0,(2)(2)x x x x x e x e x e f x x x -+--==≥++ 且仅当0x =时，'()0f x =，所以()f x 在(,2),(2,)-∞--+∞单调递增， 因此当(0,)x ∈+∞时，()(0)1,f x f >=- 所以(2)(2),(2)20xxx e x x e x ->-+-++>(Ⅱ)'33(x 2)e (x 2)x 2(x)(f(x)a)x a g x x-+++==+ 由（Ⅰ）知，(x)f a +单调递增，对任意[0110,(2)0,a f a a f a a ∈=-<+=≥，）,(0)+ 因此。
存在唯一0(02]x ∈，，使得00f x a =()+，即'0()0g x =，当00x x <<时，'()0,()0,()f x a g x g x +<<单调递减；当0x x >时，'()0,()0,()f x a g x g x +>>单调递增。
因此()g x 在0x x =处取得最小值，最小值为000000022000(1)()(1)().2x x x e a x e f x x e g x x x x -+++===+于是0(),2x e h a x =+由'2(1)()0,2(2)2x x x e x e e x x x +=>+++单调递增，所以，由0(02]x ∈，得，002201().2022224x e e e e h a x =<=≤=+++因为2xe x +单调递增，对任意21(,],24e λ∈存在唯一的0(0,2],x ∈0()[0,1),af x =∈使得(),h a λ=所以()h a 的值域是21(,],24e综上，当[0,1)a ∈时，()g x 有()h a ，()h a 的值域是21(,].24e【总结升华】本题重点考查函数的导数，函数，函数极值的判定，给定区间上二次函数的最值等基础知识的综合运用，考查数形结合的数学思想分析问题，解决问题的能力.举一反三：【变式】设函数()22ln x e f x k x x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭（k 为常数， 2.71828e =L 是自然对数的底数）.(I)当0k ≤时，求函数()f x 的单调区间；(II )若函数()f x 在()0,2内存在两个极值点，求k 的取值范围.【解析】(I) ()f x 的定义域为()0,+∞，()()()()'320x x e kx f x x x --∴=>当0k ≤时，0kx ≤，0x e kx ∴->令()'0f x =则2x =，∴当02x <<时，()'0f x <，()f x 单调递减.当2x >时，()'0f x >，()f x 单调递增.()f x ∴的单调递减区间为()0,2，()f x 的单调递增区间为()2,+∞. (II )由(I)知，0k ≤时，函数()f x 在()0,2内单调递减，故()f x 在()0,2内不存在极值点.当0k >时，设函数()(),0,x g x e kx x =-∈+∞.()'ln x x k g x e k e e =-=-Q当01k <≤时，当()0,2x ∈时，()'0x g x e k =->，()y g x =单调递增，故()f x 在()0,2内不存在两个极值点.当1k >时，得：()0,ln x k ∈时，()'0g x <，函数()y g x =单调递减,()ln ,x k ∈+∞时，()'0g x >，函数()y g x =单调递增, ()y g x ∴=的最小值为()()ln 1ln g k k k =-函数()f x 在()0,2内存在两个极值点()()()00ln 0200ln 2g g k g k >⎧⎪<⎪∴⎨>⎪⎪<<⎩解得22e e k <<综上所述函数()f x 在()0,2内存在两个极值点时，k 的取值范围为：2,2e e ⎛⎫⎪⎝⎭.类型六：函数、不等数与数列知识在最值方面的综合应用 例6.设数列{}n a 的前n 项和为n S ，点*(,)()nS n n N n∈均在函数32y x =-的图像上. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设13n n n b a a +=，n T 是数列{}n b 的前n 项和，求使得20n m T <对所有*n N ∈都成立的最小正整数m .【解析】（I ）依题意得，32,nS n n=-即232n S n n =-. 当2n ≥时，()221(32)312(1)65n n n a S S n n n n n -⎡⎤=-=-----=-⎣⎦;当1n =时，2113121615a S ==⨯-==⨯-. 所以65()n a n n N *=-∈.（II ）由（I ）得[]131111()(65)6(1)526561n n n b a a n n n n +===--+--+， 故1111111111(1)()...()(1)277136561261nn b n n n T =⎡⎤-=-+-++-=-⎢⎥-++⎣⎦∑. 因此，使得()11(1)26120m n N n *-<∈+成立的m 必须满足1220m≤，即10m ≥, 故满足要求的最小整数m 为10.【总结升华】与数列知识结合的函数、不等式,解题时往往以不等式和数列知识结合为工具, 结合函数知识,通过计算和推理来解决问题.举一反三：【变式1】已知函数f(x)=a 1x+a 2x 2+…+a n x n(n∈N *)，且a 1，a 2，a 3，…，a n 构成数列{a n }，又f(1)=n 2． （1）求数列{a n }的通项公式； （2）求证：1)31(<f ．【解析】（1）由题意：f(1)=a 1+a 2+…+a n =n 2，(n∈N *)n=1时，a 1=1n≥2时，a n =(a 1+a 2+…+a n )-(a 1+a 2+…+a n-1)=n 2-(n-1)2=2n-1 ∴对n∈N *总有a n =2n-1,即数列{a n }的通项公式为a n =2n-1. (2)21111()13(21)3333nf n =⨯+⨯++-⋅L =)31(31f 1231)12(31)32(311+-+-++⋅n n n n Λ ∴2312111111()12()(21)3333333n n f n +=⋅+++--L 11111213(21)139313n n n -+-=+⋅--- 1222,33n n ++=- ∴11()1133n n f +=-<【变式2】已知数列{}n a 的首项135a =，1321n n n a a a +=+，12n =L ，，．（Ⅰ）求{}n a 的通项公式； （Ⅱ）证明：对任意的0x >，2112()1(1)3n na x x x --++≥，12n =L ，，； （Ⅲ）证明：2121n n a a a n +++>+L ．【解析】 （Ⅰ）1321n n n a a a +=+Q ，112133n n a a +∴=+，11111(1)3n na a +∴-=-， 又1213n a -=，1{1}n a ∴-是以23为首项，13为公比的等比数列． ∴112121333n n n a --=⋅=，332n n n a ∴=+． （Ⅱ）由（Ⅰ）知3032nn na =>+，2112()1(1)3n x x x --++2112(11)1(1)3nx x x =-+--++ 2111[(1)]1(1)nx x x a =--+++ 2112(1)1n a x x =-⋅+++211()1n n n a a a x=--++n a ≤， ∴原不等式成立．【另解】设2112()()1(1)3nf x x x x =--++， 则222222(1)()2(1)2()133()(1)(1)(1)n n x x x x f x x x x -+--⋅+-'=--=+++ 0x >Q ，∴当23n x <时，()0f x '>；当23nx >时，()0f x '<， ∴当23n x =时，()f x 取得最大值21()2313n n n f a ==+．∴原不等式成立．由（Ⅱ）知，对任意的0x >，有122222112112112()()()1(1)31(1)31(1)3n na a a x x x x x x x x x +++--+--++--++++++L L ≥221222()1(1)333nn nx x x =-+++-++L ． ∴令22220333n nx +++-=L ，则221(1)12221133()(1)13333(1)3n n nx n n n -=+++==--L ， ∴2212111111(1)133n n n n n n n a a a x n n n +++==>+++-+-L ≥．∴原不等式成立．类型五：解析几何在最值方面的综合应用例7．设A （0，0），B （4，0），C （t+4，4），D （t ，4）（t ∈R ）．记N （t ）为平行四边形ABCD 内部（不含边界）的整点的个数，其中整点是指横、纵坐标都是整数的点，则函数N （t ）的值域为（ ）A ．{9，10，11}B ．{9，10，12}C ．{9，11，12}D ．{10，11，12}【解析】当t ≠0时，直线AD 的方程为4y x t=， 分别与直线y=1，y=2，y=3交于点1(,1)4t M ，2(,2)2t M 33(,3)4M t 。
