函数的值域与最值

一、值域的概念和常见函数的值域函数的值域取决于定义域和对应法则，不论采用什么方法球函数的值域均应考虑其定义域. 常见函数的值域：一次函数()0y kx b k =+≠的值域为R.二次函数()20y ax bx c a =++≠，当0a >时的值域为24,ac b ⎡⎫-+∞⎢，当0a <时的值1. 例1、 例2、 故函数的值域是：[ -∞，2 ] 2 、配方法适用类型：二次函数或可化为二次函数的复合函数的题型。

配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。

对于形如()20y ax bx c a =++≠或()()()()20F x a f x bf x c a =++≠⎡⎤⎣⎦类的函数的值域问题，均可用配方法求解.例3、求函数y=2x -2x+5，x ∈[-1，2]的值域。

解：将函数配方得：y=（x-1）2+4， x ∈[-1，2]， 由二次函数的性质可知：当x = 1时，y m in = 4 当x = - 1，时m ax y = 8 故函数的值域是：[ 4 ，8 ] 例 A 例解：21x x ++222x x x x -=++当2y -=当20y -≠时，x R ∈时，方程根.()()221420y y ∴=+-⨯-≥15y ∴≤≤且2y ≠.∴原函数的值域为[]1,5.例6、求函数y=x+)2(x x -的值域。

解：两边平方整理得：22x -2（y+1）x+y 2=0 （1）x ∈R ，∴△=4（y+1）2-8y≥0解得：1-2≤y≤1+2但此时的函数的定义域由x （2-x ）≥0，得：0≤x≤2。

由△≥0，仅保证关于x 的方程：22x -2（y+1）x+y 2=0在实数集R 有实根，而不能确保其实根在区间[0，2]上，即不能确保方程（1）有实根，由△≥0求出的范围可能比y 的实际范围大，故不能确定此函数的值域为[1，3]。

可以采取如下方法进一步确定原函数的值域。

4例y 5 、函数有界性法直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，反客为主来确定函数的值域。

①
y

k
b x2
型，可直接用不等式性质，
【及时反馈】
求
y

3 2 x2
的值域（答： (0,
3]） 2
②
y

x2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
bx mx
n
型，先化简，再用均值不等式，
【及时反馈】
（2）求函数 y x 2 的值域（答：[0, 1] ）
x3
2
③ y x2 mx n 型，可用判别式法或均值不等式法， mx n
（3）、求函数 y x 2 2x 3 在如下区间中的的最值与值域。
ⅰ、 (4,2] ；ⅱ、 (1,2] ；ⅲ、 (3,5) ；ⅳ、 (,)
（4）、求函数 y sin x cos 2x 的最值与值域。（提示：先转化为带有限制条
件的二次型函数的最值与值域的求解）
（5）、若
所示：
定义域
值域
原函数 y f (x)
A
C
反函数 y f 1 (x)
C
A
由上表知，求原函数的值域就是相当于求它的反函数的定义域 ⅱ、求反函数的步骤（“三步曲”）
①求 x ( y) ；②x、y 互换；③通过求原函数的值域得出反函数的定义域
【及时反馈】
（1）、求函数 f (x) 2x 4 的值域 x 1
解： y x x 1 (x 1) x 1 1
令 x 1 t（运用换元法时，要特别要注意新元 t 的范围），易知 t 0(why ?) 所 以 x 1 t 2 ， 所 以 y t 2 t 1(t 0) ， 欲 求 原 函 数 的 值 域 ， 只 需 求 y t 2 t 1(t 0) 的最值与值域即可（解法同上面的【及时反馈】）。

函数专题之值域与最值问题一．观察法通过对函数定义域、性质的观察，结合函数的解析式，求得函数的值域。

例1求函数y=3+√(2－3x) 的值域。

点拨：根据算术平方根的性质，先求出√(2－3x) 的值域。

解：由算术平方根的性质，知√(2－3x)≥0，故3+√(2－3x)≥3。

∴函数的知域为 .点评：算术平方根具有双重非负性，即：（1）被开方数的非负性，（2）值的非负性。

本题通过直接观察算术平方根的性质而获解，这种方法对于一类函数的值域的求法，简捷明了，不失为一种巧法。

练习：求函数y=[x](0≤x≤5)的值域。

（答案：值域为：｛0，1，2，3，4，5｝）二．反函数法当函数的反函数存在时，则其反函数的定义域就是原函数的值域。

例2求函数y=(x+1)/(x+2)的值域。

点拨：先求出原函数的反函数，再求出其定义域。

解：显然函数y=(x+1)/(x+2)的反函数为:x=(1－2y)/（y－1）,其定义域为y≠1的实数,故函数y的值域为｛y∣y≠1,y∈R｝。

点评：利用反函数法求原函数的定义域的前提条件是原函数存在反函数。

这种方法体现逆向思维的思想，是数学解题的重要方法之一。

练习：求函数y=(10x+10-x)/(10x－10-x)的值域。

（答案：函数的值域为｛y∣y<－1或y>1｝）三．配方法当所给函数是二次函数或可化为二次函数的复合函数时,可以利用配方法求函数值域例3：求函数y=√(－x2+x+2)的值域。

点拨：将被开方数配方成完全平方数，利用二次函数的最值求。

解：由－x2+x+2≥0,可知函数的定义域为x∈[－1，2]。

此时－x2+x+2=－（x－1/2）2＋9/4∈[0，9/4]∴0≤√－x2+x+2≤3/2,函数的值域是[0,3/2]点评：求函数的值域不但要重视对应关系的应用,而且要特别注意定义域对值域的制约作用。

配方法是数学的一种重要的思想方法。

练习：求函数y=2x－5＋√15－4x的值域.(答案:值域为{y∣y≤3})四．判别式法若可化为关于某变量的二次方程的分式函数或无理函数,可用判别式法求函数的值域。

反函数法
对于一些单调函数，可以通过求反函数，然后在反函数的定义域内求 最值。
常见函数的最值
一次函数
一次函数的最值出现在端点处 ，其最值为常数项。
二次函数
二次函数的最值出现在顶点处 ，其最值为顶点的纵坐标。
指数函数
指数函数在其定义域内单调递 增或递减，因此其最值为无穷 大或无穷小。
对数函数
对数函数在其定义域内单调递 增或递减，因此其最值为无穷
最值
函数在定义域内的最大值和最小值，是函数在特定条件下达到的极值。
如何在实际问题中灵活运用函数的性质
实际问题建模
将实际问题转化为数学模型，利用函数性质 进行分析和求解。
优化问题解决
利用函数最值性质，解决最优化问题，如最 大利润、最小成本等。
动态规划
利用函数性质进行动态规划，解决多阶段决 策问题。
数据分析
函数的定义域、值域、最值
• 函数的定义域 • 函数的值域 • 函数的最值 • 函数的最值在实际问题中的应用 • 总结与思考
01
函数的定义域
定义域的概念
定义域是函数中自变量x的取值范围， 它决定了函数中x可以取哪些值进行计 算。
定义域是函数存在的前提，没有定义 域的函数是不存在的。
确定定义域的方法
THANKS
感谢观看
最短路径问题
确定起点和终点
最短路径问题通常涉及从起点到终点的最短路径寻找。
定义路径函数
路径函数表示从起点到终点的所有可能路径，以及每 条路径的长度。
求解最短路径
通过比较所有可能的路径长度，可以找到最短路径， 即最小化路径函数值的路径。
最佳投资问题
确定投资目标和约束
01
最佳投资问题通常涉及在一定时间内实现最大的投资回报或最

高考热点二：函数值域、最值及极值基础回顾1、 函数的值域是指：几种常见的基本初等函数的值域：（1） 一次函数)0()(≠+=a b ax x f 的值域为：（2） 反比例函数)0()(≠=k xk x f 的定义域、值域分别为： （3） 二次函数)0()(2≠++=a c bx ax x f 的定义域为：当0>a 时，值域为： 当0<a 时，值域为：（4） 指数函数)10()(≠>=a a a x f x 且的定义域、值域分别为：（5） 对数函数)10(log )(≠>=a a x x f a 且的定义域、值域分别为：（6） 幂函数)3,2,1,21,1()(-==ααx x f 的定义域、值域分别为： （7） 函数)0)(sin()(≠+=A x A x f ϕω的值域为：2、 函数的最大值、最小值是指：3、 函数的极大值、极小值是指：极大值、极小值统称为极值.4、 求函数)(x f 的极值的方法步骤：（1） （2） (3)5、 利用导数求函数)(x f 的最值的方法步骤：（1） （2）6、 求函数值域与最值的常用方法：（1）直接法 （2）配方法 （3）分离常数法（4）换元法（5）三角有界法 （6）基本不等式法 （7）单调函数法 （8）数形结合法 （9）逆求法（10）判别式法 （11）构造法 （12）导数法达标训练一、选择题1、已知函数)(x f y =的定义域为R ，值域为]1,3[-，则)2(+=x f y 的值域为（ ）A 、]1,3[-B 、]3,1[-C 、),3(+∞D 、),(+∞-∞2、函数)1)(111(log 21>+-+=x x x y 的最大值是（ ） A 、2- B 、2 C 、3- D 、33、函数)1(log ++=x a y a x 在]1,0[上的最大值与最小值之和为a ，则a 的值为（ ）A 、41B 、21 C 、2 D 、4 4、已知函数313)(23-++=ax ax x x f 的定义域是R ，则实数a 的取值范围是（ ） A 、31>a B 、012≤<-a C 、012<<-a D 、31≤a 。

函数的值域与最值1．函数值和函数值域的看法(1)函数值与函数值域是两个相关看法，函数值是一个局部看法，函数值域是一个整体看法．函数值域是函数值的会集 . (2)确定函数值域取决于这一函数的定义域和对应法那么．2．函数的最值(1)定义〔见教材必修 1 30 页〕 (2)对最值的理解①从图象上看，函数的最大值就是图象上最高处点的纵坐标；函数的最小值就是图象上最低处点的纵坐标．函数y＝ f(x) 的图象以以下图．②从定义中可以看出函数的最大值是函数值域中的最大者，函数的最小值是函数值域中的最小者．③极值与最值极值是函数的局部性质，极大 (小 )值是函数在某一区间上的最大 (小 )值，而最大值与最小值那么分别是函数在整个定义域内的最大的函数值和最小的函数值．〔其实不是所有的函数都有最大值与最小值．〕根本初等函数的值域：3．函数值域〔最值〕的求法(1)列举法即直接依照函数的定义域与对应法那么将函数值一一求出来写成会集形式．这种方法只适于值域 B 中元素为有限或诚然是无量但倒是与自然数相关的会集．(2) 逐层求值域法：逐层求值域法就是依照x 的取值范围一层一层地去求函数的值域．比方：求函数f(x) ＝1，x∈ [2,5] 的值域．1－ 2xcx＋d(3)分别常数法形如 y＝ax＋b(a≠ 0)的函数(4)配方法是求“二次函数类〞值域的根本方法，形如 F( x)＝ a[ f 2(x)＋ bf(x)＋ c]的函数的值域问题。

(5)换元法运用代数或三角代换，将所给函数化成值域简单确定的另一函数，从而求得原函数的值域，形如y＝ ax＋ b± cx＋ d(a、 b、 c、d 均为常数，且 a≠ 0)的函数常用此法求解．在用换元法求值域时必然要注意新元的范围对值域的影响．(6)利用函数的有界性形如 sinα＝f(y)，x2＝ g(y)，a x＝h(y)等，因为 |sinα|≤ 1，x2≥0， a x＞0 可解出 y 的范围，从而求出其值域或最值．(7)数形结合法假设函数的剖析式的几何意义较明显，诸如距离、斜率等(8)重要不等式 (绝对值不等式 )利用均值不等式：a＋ b≥2a＋ b222ab， ab≤， a ＋ b ≥ 2ab.2用此法求函数值域时，要注意条件“一正，二定，三相等〞(9) 利用函数的单调性①单调函数在端点处有定义，那么函数在端点处取最值． 若是函数在端点处没有定义，那么不可以能在端点处获取最值．②关于自变量 x 的一次根式， 如 y ＝ ax ＋ b ＋ dx ＋ c ，假设 ad ＞ 0，那么用单调性求值域或最值；假设 ad ＜0，那么用换元法．③形如 y ＝ x ＋kx 的函数．(10) 导数法：利用导函数求最值．4． 条件最值所谓条件最值， 即函数在必然条件下才能获取最值，也许说函数的最值碰到某种条件的限制和影响． 因此，在求条件最值时， 必然要注意所求最值可否吻合条件；特别是实质应用题，要检查所求最值可否吻合实质意义．如 x 2＋ y 2＝ x ，求 u ＝ 3x 2＋ 1y 2 的最值．2配方法 换元法例 1 (1)函数f(x)＝ x 2＋ x － 2，其定义域分别为：① R ， ②[ －2，＋ ∞ )，③ [2,4] ，那么对应的值域依次是① ________， ② ________， ③ ________.(2) 求以下函数的最值①②yx 2 2x 21y2x x2例 2 : 求以下函数的最值〔1〕y 2x 4 1 x( 2) y x 1 x 2练习：求以下函数的最值：(1)y ＝ 2x ＋ 1－ 2x ；(2) y ＝x ＋ 4＋ 9－ x 2；分别常数法、有界性法例：求以下函数的最值：(1)y＝x－ 22x＋ 1；(2)y＝x－ 1；x＋ 12练习：求以下函数的值域(1)y＝5x－ 11x2 4x， x∈ [ － 3，－ 1]；( 2) y2＋ 21x不等式法、单调性法练习：求以下函数的值域例：求以下函数的值域(1) y4( x0)〔1〕 y log 1 4 x2 x2 x(2) y(1 )x 2(2) y x25x242〔〕log3x log x 31 3 y导数法例1： a为实数， f ( x) ( x 24)( x a).〔1〕假设 f / ( 1) 0, 求 f (x)在[ 2,2]上的最值；〔2〕假设 f (x)在 ( , 2]和[2, )上都是递加的，求a的取值范围数形结合法例：求以下函数的最值(1) y(x 3)216( x 5)242 sin x(2) y3cos x条件最值设 x，y≥0,2 x＋ y＝6，求 Z＝4x2＋3xy＋ y2－6x－3y 的最值．。

2, 2 ) 为圆心，以
z
2
2 i | 1
1 为半径的圆面
（包括边界） ，如图。由图观察，易知|z|max=3,|z|min=1。 答案：３ １
九、求导法：
【理论阐释】
求函数最值的步骤：
在闭区间[a，b]上连续，在（a，b）内可导，f（x）在 [a，b]上求最大值与最小值的步骤：①求f（x）在（a，
值域（最值）问题 常见类型及解法
函数的值域与最值是两个不同的概念，一般来说，求出了
一个函数的最值，未必能确定该函数的值域；反之，一个函数 的值域被确定，这个函数也未必有最大值或最小值。但是，在
许多常见的函数中，函数的值域与最值的求法是相通的、类似
的。关于求函数值域与最值的方法也是多种多样的，但是有许 多方法是类似的，下面就这些方法逐一说明它们的运用。
2 2
求得最值。注意“一正、二定、三等” 。
典例导悟
求函数 f ( x )
x 5
2
的值域。
4 x 4
2
x 4
2
【解析】
f (x)
x 5
2
x 4
2

x 4
2

3 x 4
2
4
3 x 4
2
4
3 2

5 2
4
。
当且仅当 x 2 4
5
，即 x 0 时，等号成立，
x 6 x 18
x 10 x 26
= ( x 3 ) 2 ( 0 3 ) 2 ( x 5 ) 2 ( 0 1) 2 表示动点 P ( x , 0 ) 到定点 A ( 3 ,3 ) ， B ( 5 , 1) 的距离之和，而 A、B 两点分别位于 X 轴的上下两侧，由此连接 AB 交 X 轴于一点，易证该点即是所求的 P 点。由题意 及分析易得直线 AB 的方程为 y

b 与区间 m, n 的位置关系 2a
b b m, n ,则当 a>0 时， f ( ) 是函数的最小值，最大值为 f (m), f (n) 中较大者；当 a<0 2a 2a
b ) 是函数的最大值，最大值为 f (m), f (n) 中较小者。 2a b m, n ,只需比较 f (m), f (n) 的大小即可决定函数的最大（小）值。 2a
5、 y 7、 已知二次函数 f ( x) ax bx 满足 f (1 x) f (1 x) ， 且方程 f ( x) x 有两个相等实根， 若函数 f ( x)
2
在定义域为 [ m, n] 上对应的值域为 [2m, 2n] ，求 m, n 的值。
2 x 2 bx c 8、已知函数 f ( x) (b 0) 的值域为 [1,3] ，求实数 b, c 的值。 x2 1
1
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四、形如： y
cx d 的值域： ax b b a c a
1、若定义域为 x x 时，其值域为 y y
2、若 x m, n 时，我们把原函数变形为 x 函数的值域。 如：1、求函数 y
二、一次函数在区间上的值域（最值）： 一次函数 y=ax+b(a 0)在区间 m, n 上的最值，只需分别求出 f m , f n ，并比较它们的大小即可。 如：y=3x+2(-1 x 1) 三、二次函数 f ( x) ax 2 bx c(a 0) 在区间 m, n 上的值域(最值)： 首先判定其对称轴 x （1）若 时， f (
知识要点
一、利用常见函数的值域 一次函数 y=ax+b(a 0)的定义域为 R，值域为 R； 反比例函数 y

⑦单调性法：先确定函数在给定区间上的单调性，然后依据单调性求函数的最值．这种求解方
法在高考中是必考的，且多在解答题的某一问中出现．
⑧导数法：设函数 f(x)在区间[a，b]上连续，在区间(a，b)内可导，则 f(x)在[a，b]上的最
大值和最小值应为 f(x)在(a，b)内的各极值与 f(a)，f(b)中的最大值和最小值．利用这种
方法二：（判别式法）由
1 y＝x＋ ＋1，得
x2＋(1－y)x＋1＝0.
x
∵方程有实根，∴Δ＝(1－y)2－4≥0.即(y－1)2≥4，∴y－1≤－2 或y－1≥2.得y≤－1 或y≥3.
1 （x＋1）（x－1）
方法三：（导数法）令 y′＝1－ ＝
<0，得－1<x<0 或 0<x<1.
x2
x2
∴函数在(0，1)上递减，在(1，＋∞)上递增，此时y≥3；函数在(－1，0)上递减，在(－∞，－1)上递增，
此时 y≤－1.∴y≤－1 或 y≥3.即函数值域为(－∞，－1]∪[3，＋∞)．
(4)方法一：（单调性法）定义域为{x|x≥－1}，函数y＝2x，y＝ 1＋x均在[－1，＋∞)上递增，
故 y≥2×(－1)＋ 1＋（－1）＝－2.
方法二：（换元法）令 1＋x＝t，则 t≥0，且 x＝t2－1.
∴y＝2t2＋t－2＝2(t＋1)2－17≥－2(t≥0)．∴函数值域为[－2，＋∞)． 48
cx＋d
2x＋1 sinx＋2
③反解法：适用于分子、分母只含有一次项的函数（即有理分式一次型），也可用于易反解出
自变量的函数类型.
④配方法：二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)及二次型函数 y＝a[f(x)]2＋b[f(x)]＋c(a≠0) ⑤换元法：换元法有两类，即代数换元和三角换元．如可用三角代换解决形如 a2＋b2＝1 及部

函数的值域与最值知识点归纳函数是数学中的重要概念，是描述两个集合之间元素的对应关系。

在函数的研究中，值域和最大最小值是两个重要的知识点。

本文将对函数的值域与最值进行归纳与总结，以帮助读者更加深入地理解和掌握这些知识点。

一、函数的值域值域是函数在定义域内所有可能的输出值的集合。

即对于函数f(x)，其值域为所有符合f(x) = y的y的取值。

确定函数的值域可以采用以下方法：1. 列表法：将定义域内所有可能的输入值代入函数，得到对应的输出值，将这些输出值按照从小到大的顺序排列，即可得到函数的值域。

2. 图像法：通过绘制函数的图像，观察图像在纵坐标上的取值范围，即可得到函数的值域。

需要注意的是，对于不连续的函数，应该观察每个分段函数的值域。

3. 函数表达式法：通过分析函数的解析表达式，确定函数的值域。

例如，对于一次函数f(x) = ax + b，由于a为常数，那么当x趋向于正无穷或负无穷时，f(x)也趋向于正无穷或负无穷，因此可以确定该一次函数的值域为整个实数集。

二、函数的最大最小值最大最小值是函数在定义域内取得的最大和最小的输出值。

确定函数的最大最小值可以采用以下方法：1. 导数法：对函数进行求导，找到导数为零的点和导数不存在的点，然后将这些点代入原函数，得到对应的函数值，即为函数的最大最小值。

需要注意的是，在求导的过程中，要注意判断定义域的边界情况。

2. 极值点法：对于闭区间上的函数，可以通过求解函数的极值点来确定函数的最大最小值。

首先求解函数的驻点，即导数为零或不存在的点，然后将这些驻点以及端点的函数值进行比较，得到函数的最大最小值。

3. 函数图像法：通过绘制函数的图像，观察图像在纵坐标上的取值范围，即可得到函数的最大最小值。

需要注意的是，对于不连续的函数，应该观察每个分段函数的最大最小值，并对比得到整个函数的最大最小值。

综上所述，函数的值域与最值是函数研究中的重要内容。

确定函数的值域可以通过列表法、图像法和函数表达式法等方法进行，确定函数的最大最小值可以通过导数法、极值点法和函数图像法等方法进行。

函数值域与最值1、求函数值域（1）函数值域的定义：函数y = f(x), x ∈A 表示f ：A→B 为从集合A 到集合B 的一个函数， 其中集合A 叫做函数的定义域，函数值的集合{f(x)|x ∈A}叫做函数的值域, 于是C ⊆B 。

函数值域由函数的定义域和对应法则而确定。

（2）确定函数值域的原则①当函数y=f(x)用表格给出时，函数的值域是指表格中实数y 的集合；②当函数y=f(x)用图象给出时，函数的值域是指图象在y 轴上的投影所覆盖的实数y 的集合； ③当函数y=f(x)用解析式给出时，函数的值域由函数的定义域及其对应法则唯一确定的集合(){}|f x x A ∈；④当函数y=f(x)由实际问题给出时，函数的值域还得由问题的实际意义确定。

（3）熟练掌握常见函数的值域常见函数有一次、二次函数，反比例函数，指数、对数函数，幂函数、正、余弦函数以及特殊的函数，如函数y=,(0)ax a x+>等，掌握它们的值域，有利于应用解题。

（4）求函数值域的常用方法；一般地，求函数值域的常用方法有配方法、图象法、判别式法、换元法、单调法、基本不等式法、反解法、导数法、利用已知函数的值域等方法。

2、求函数最值 （1）最值定义：函数y=f (y )，定义域为A ，若存在y 0∈A ，使得对任意的x ∈A ，恒有)()(0x f x f ≥))()((0x f x f ≤成立，则称)(0x f 为函数的最小（大）值。

（2）常规方法：求函数最值的常用方法有配方法，二次方程Δ法，图象法，单调法，换元法，基本不等式法，导数法等。

3、值域与最值的关系函数一定有值域，但不一定有极值或最值，函数值域在一定条件下可以存在最值；函数有最值，其最值一定是函数值域区间的端点值。

（1）如果函数值域是连续（即不间断）的闭区间，那么闭区间端点的值就是函数最大值与最小值。

（2）如果函数值域是连续（即不间断）的半闭半开区间，那么半闭区间端点的值就是函数最大值或最小值。

函数的定义域、值域和最值一、函数的定义域： （一）常见函数定义域：对数函数()10log ≠>=a a y xa 且定义域为),0(+∞。

三角函数x y sin =定义域为R ；x y cos =定义域为R ；x y tan =定义域为},2{Z k k x x ∈+≠ππ。

（二）基本题型：1.已知解析式求定义域： （1）()122log 43++--=x xx x y （2）)4323ln(1)(22+--++-=x x x x x x f 2.同一对应法则两个函数定义域问题：（1）已知()2x f 的定义域为[-1,1]，求()x f 2的定义域。

（2）已知()x f 2的定义域为[-1,1]，求()xf 2log 的定义域。

（3）已知()x f 的定义域为[0,2]，求()()12-=x x f x g 的定义域。

3.与参数有关的函数定义域的求法： （1）已知86)(2++-=m mx mx x f 的定义域为R ，求实数m 的取值范围。

（2）已知x x m x f 421)(⋅++=的定义域为R ，求实数m 的取值范围。

（3）已知函数()()6131)(22+-+-=x a xa x f①若()x f 的定义域为R ，求实数a 的取值范围；②若()x f 的定义域为[-2,1]，求实数a 的值。

二、函数的值域及最值： （一）常见函数值域：一次函数)0(≠+=k b kx y 的值域为R 。

二次函数)0(2≠++=a c bx ax y ，当0>a 时，值域为),44[2+∞-a b ac ；当0<a 时，值域为]44,(2ab ac --∞。

反比例函数()0≠=k xky 的值域为 )0,(-∞),0(+∞。

指数函数xa y =的值域为),0(+∞。

对数函数()10log ≠>=a a y xa 且值域为R 。

正弦函数、余弦函数的值域为[-1,1]；正切函数x y tan =的值域为R 。

达式有明显的几何意义.
26
走进高考
学例1 (2009·湖 南 卷 ) 函 数
y=2tanx+tan( -x)(0<x< )的
最小值是 2
2
2.
2
因为0<x< 2 ，所以tanx>0,
所以y=2tanx+ 1 ≥
tan x
2 ,当2 且仅当
tanx= 时2 “=”成立.
2
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学例2 (2009·海南/宁夏卷)用min{a,b,c}表
87.当一切毫无希望时，我看着切石工人在他的石头上，敲击了上百次，而不见任何裂痕出现。但在第一百零一次时，石头被劈成两半。我体会到，并非那一击，而是前面的敲打使它裂开。――[贾柯·瑞斯] 88.每个意念都是一场祈祷。――[詹姆士·雷德非]
89.虚荣心很难说是一种恶行，然而一切恶行都围绕虚荣心而生，都不过是满足虚荣心的手段。――[柏格森] 90.习惯正一天天地把我们的生命变成某种定型的化石，我们的心灵正在失去自由，成为平静而没有激情的时间之流的奴隶。――[托尔斯泰]
12
不妨设f(x)=3x(-1≤x≤3，且x∈Z)， 可知D={-3,0,3,6,9}，M=9，N=-3，可 知，A、B、C错误，选D.
点评 1. 函 数 的 值 域 是 函 数 值 的 集 合 ，
函数的最值是该集合中的元素. 2.当函数y=f(x)在其定义域上是连续函数
时 ， D=[N ， M] ， 其 中 N=f(x)min ， M=f(x)max.
件的实数a、b.
综合①②③可得,满足条件的实数a、b不存在.
25
方法提炼
1.配方法：主要适用于二次函数或利用换元 技巧转化为二次函数，要特别注意自变量 和新变量的范围.

函数的值域及零点与最值 『知识与方法梳理』☟1. 函数的定义域与值域的概念：函数f(x)的自变量x的取值范围就叫函数f(x)的定义域，函数值的取值集合叫做函数f(x)的值域.2. 几个初等函数的定义域与值域：函数定义域值域(1)f(x) = ax + b (a≠0)R R(2)f(x)=ax2+bx+c(a≠0)R a>0时[f(-b2a), +∞) a<0时(-∞, f(-b2a)](3)f(x) = ax(a≠0)(-∞,0)∪(0,+∞) (-∞,0)∪(0,+∞)(4)f(x) = a x(a≠1,a>0)R (0,+∞)(5)f(x)=log a x(a≠1,a>0)(0,+∞) R(6)y=xαα为正偶数R [0, +∞)α为负偶数(-∞,0)∪(0,+∞) (0,+∞)α为正奇数R Rα为负奇数(-∞,0)∪(0,+∞) (-∞,0)∪(0,+∞) α为正分数或正无理数[0, +∞) [0, +∞)α为负分数或负无理数(0,+∞) (0,+∞)(1)定义：使得f(x)=0 的实数x 叫做函数f(x)的一个零点.(2)判定定理：对于在区间[a, b]上连续不断的的函数f(x), 如果有f(a)·f(b)<0 ，那么f(x)在区间(a, b)内必有零点存在.4. 常识知识与方法:（1）求值域常用方法：①⎧⎪⎨⎪⎩复合函数法（配方法，整体换元，分离常数）函数法函数极值法（利用均值不等式或函数单调性，求最值及端点值）②方程法⎧⎪⎨⎪⎩逆求法（反解）判别式法（考察一元二次方程解）合一法（化一角一函数）③图形法（数形结合）（2）求最值的常用方法：①求函数值域；②均值法(利用基本不等式）；③极值法（求导选修内容）.（3）二次函数零点区间分布讨论所关注的要素：①开口方向；②对称轴位置；③判别式；④区间端点值符号；⑤函数所过定点.（4）函数零点问题常用解题策略①函数法：考察函数的图像和性质，关注极值点和单调性，利用零点区间存在性判定定理；②方程法：考察（判断或解）函数对应方程解；③分离函数（或变量）：函数与方程途径难以解决时，可以考虑将一式利用方程分成两可知类型的函数（或常函数），考察两函数的交点即可. 『题型分类例析』☟（一）求值域（或最值）1.复合函数的值域■题型结构特征：形如(或化为)f[g(x)]的函数的值域.★判断识真☆已知定义在R上的函数f(x)的值域为[－2，3]，则函数f(x －2)的值域为( )A．[－4，1] B．[0，5]C．[－4，0]∪[1，5] D．[－2，3]【例题1】求函数值域：(1) y = - x2 - 2x + 4 ;(2) y = (14)x–(12)x +1 (-3≤x≤1);(3) y = x + 1 - 2x ;(4) y =x + 2x + 1.【例题2】[2014重庆理12]函数)2(loglog)(22xxxf⋅=的最小值为_________.2.合成型函数的值域■题型结构特征：形如f(x)±g(x)或f(x)g(x)等函数的值域.【例题3】求函数值域：(1) y =3x + 13x - 1(2) y =2xx2 + 2x + 4(3) y = x +1x + 1【例题4】设g(x)是定义在R上，以1为周期的函数，若函数f(x) = x + g(x)在区间[0,1]上的值域为[ - 2, 5]，则f(x)在区间[0,3]上的值域为.3.分段函数的值域■题型结构特征：函数为分段函数.【例题5】求函数值域：(1)y =⎩⎪⎨⎪⎧x1 - x ( x < 0)12x -12 (x ≥ 0);(2) y = |2x + 1| + |3 – x|.4.含参数函数的最值值域问题■题型结构特征：需对参数进行讨论的函数的值域或最值.★判断识真☆[2017浙江5] 若函数f (x )=x 2+ ax +b 在区间[0,1]上的最大值是M ，最小值是m ，则M – mA ．与a 有关，且与b 有关B ．与a 有关，但与b 无关C ．与a 无关，且与b 无关D ．与a 无关，但与b 有关【例题6】设a 为实数，设函数f(x)= a 1 - x 2 +1 - x + 1 + x 的最大值为g(a).（1）设t= 1 - x + 1 + x ，求t 的取值范围，并把f(x)表示为t 的函数m(t)； （2）求g(a);【例题7】 [2015浙江理18]已知函数f （x ）=2x +ax+b （a ，b ∈R ）,记M （a ，b ）是|f （x ）|在区间[-1,1]上的最大值。

函数的值域（最值）一、值域： 1．函数A x x f y ∈=，)(，函数值的集合}/)({A x x f ∈称为函数的值域。

2．常见函数的值域求法（优先考虑定义域），常用的方法有：①观察法； ②配方法； ③逆变法； ④不等式法； ⑤单调性法；⑥数形法； ⑦判别式法； ⑧有界性法； ⑨换元法（又分为代数换元法和三角换元法） 二、函数的最值：1.最大值、最小值的定义最大值：设函数y=f(x)定义域为I ，如果存在实数M 满足：（1）对于定义域I 中任意的x ，都有f (x)<=M ； （2）定义域I 中存在一个数x 0使得f(x 0)=M 。

则称M 是函数y=f(x)的最大值，记作f(x)max =f(x 0)=M最小值：设函数y=f(x)定义域为I ，如果存在实数M 满足：（1）对于定义域I 中任意的x ，都有f(x)>=M ； （2）定义域I 中存在一个数x 0使得f(x 0)=M 。

则称M 是函数y=f(x)的最小值，记作f(x)min =f(x 0)=M2、说明（1）函数最值的图形特征：函数的最大（小）值是函数图像上最高（低）点的纵坐标。

(2) 若f(x)在[a,b]上为增函数，则f(x)min =f(a), f(x)max =f(b)； 若f(x)在[a,b]上为减函数，则f(x)min =f(b), f(x)max =f(a)。

(3) 若f(x)值域为[a,b]，则f(x)min =a, f(x)max =b 。

3.求函数最值的方法： 根据以上的点拨与说明，我们要求函数的最值可用方法（1）图像法 （2）二次函数法 （3）单调性法 （4）求值域法 三、基本函数的值域：1、一次函数）（0≠+=a b kx y 的定义域为R ，值域为R ；2、二次函数y=ax 2+bx=c (a 不为0)的最值：① a<0，当x=2b a -时，2max 44ac b y a -=； ② a>0，当x=2b a -时，2min 44ac b y a-=3、反比例函数)0(≠=k xk y 的定义域为{x|x ≠0}，值域为}0/{≠y y ；4、对勾函数：Ky x x=+（K ＞0）的值域是练习：1、（1）函数y= -x 2+2x 的最大值为 ；（2）函数y= -x 2+2x （2≤x ≤3）的最大值为 。

学科教师辅导讲义11222=，故225)4x x x +=+254x +=+显然这样的实数不存在，那么我们就不能使用不等式法来求解了例4、求函数2223(20)()23(03)x x x f x x x x ⎧+--<⎪=⎨--⎪⎩，≤ ≤≤的值域．分析：求分段函数的值域可作出它的图象，则其函数值的整体变化情况就一目了然了，从而可以快速地求出其值域．解：作图象如图所示．(1)(1)4f f -==-∵，(2)3f -=-，(3)0f =，(0)3f =-，∴函数的最大值、最小值分别为0和4-，即函数的值域为[40]-，． 变式练习1：求函数13y x x =-+-的值域.分析: 此题首先是如何去掉绝对值,将其做成一个分段函数.24,(,1],2,(1,3),24,[3,),x x y x x x -+∈-∞⎧⎪=∈⎨⎪-∈+∞⎩在对应的区间内,画出此函数的图像, 如图1所示, 易得出函数的值域为),2[+∞. 变式练习2：求函数224548y x x x x =+++-+的值域。

解：原函数变形为222()(2)1(2)2f x x x =+++-+作一个长为4、宽为3的矩形ABCD ，再切割成 12个单位正方形。

设HK=x ,则EK=2x -,KF=2x +,AK=22(2)2x -+,KC=2(2)1x ++ 。

由三角形三边关系知，AK+KC ≥AC=5。

当A 、K 、C 三点共线时取等号。

∴原函数的知域为｛y |y ≥5｝。

变式练习3：求函数()225222++-++=x x x x x f 的最大值解：()225222++-++=x x x x x f =()()114122++-++x x=()()()()2222101201-++--++x x ，显然，求f(x)的最大值就是求点A(x,0)分别到B(-1,2),C(-1,1)的距离之差的最大值.如图1所示：()()22201-++x =|AB|,()()22101-++x =|AC|,且|BC|=1.显然f(x)=|AB|-|AC|≥|BC|=1当且仅当A,B,C 三点共线时取到等号，即当X=-1时()[]1max =∴x f . y yB 2 B 2C 1 C 1-1 O 1 x -1 O 1 x图1 图2图1y=-2x+4y=2x-4YX4O231时，x R ∈，函数的值域为[1,92212+++x x x 的值域先将此函数化成隐函数的形式得的一元二0)1≥-,解得略解：易知定义域为1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦，而12y x x =--在1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦上均为增函数，∴11112222y --=≤，故y ∈1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦13、求函数22y x x =-++的值域。

【知识要点】一、函数值域的定义函数值的集合叫做函数的值域.二、函数的值域取决于定义域和对应法则，不论采用什么方法求函数的值域，都要考虑定义域，函数的问题必须遵循“定义域优先”的原则.三、常见函数的值域1、一次函数的值域为.2、二次函数，当时的值域为，时的值域为.3、反比例函数的值域为.4、指数函数的值域为.5、对数函数的值域为.6、幂函数的值域为，幂函数的值域为.7、正弦函数、余弦函数的值域为，正切函数的值域为.四、求函数的值域常用的方法求函数的值域常用的方法有观察法、分离常数法、配方法、反函数法、换元法、判别式法、基本不等式法、单调性法、数形结合法、导数法、绝对值不等式法和柯西不等式法等.其中最常用的有“三数（函数、数形结合、导数）”和“三不（基本不等式、绝对值不等式、柯西不等式）”.五、函数的值域一定要用集合或区间来表示.六、函数的值域、取值范围和函数的最值实际上是同一范畴的问题，所以求函数值域的方法适用于求函数的最值和取值范围等.【方法讲评】方法六判别式法使用情景形如的函数.解题步骤一般先将函数化成二次方程，再利用判别式来求函数的值域.【例1】求函数的值域.【点评】（1）分子、分母中含有二次项的函数类型，此函数经过变形后可以化为的形式，再利用判别式加以判断.（2）函数经过变形后可以化为的形式后，要注意对是否为零进行分类讨论，因为它不一定是一元二次方程.（3）判别式法解出值域后一定要将端点值（本题是）代回方程检验，把不满足题意的舍去.【反馈检测1】求函数的值域.方法七基本不等式法使用情景一般变量是正数，变量的和或积是定值.解题步骤一般先进行配凑，再利用基本不等式求函数的最值，从而得到函数的值域.【例2】已知，求函数的最小值.【解析】.=当且仅当，即时，上式等号成立.因为在定义域内，所以最小值为.【点评】（1）本题不能直接使用基本不等式，本题在利用基本不等式前，要对函数化简，要用到分离函数的方法对函数进行化简，再使用基本不等式.（2）很多函数在使用基本不等式之前都要进行化简和配凑，所以要注意观察函数的结构,再进行变形，再使用基本不等式.(3)利用基本不等式求最值时，要注意“一正二定三相等”，三个条件缺一不可.【例3】已知，求函数的最大值.【点评】（1）基本不等式有二元基本不等式(和三元不等式.（2）基本不等式不仅适用于一般函数，也适用三角函数和其它所有函数，只要满足条件，就可以利用“一正二定三相等”来分析解答.【反馈检测2 】已知，，且，则的最小值为.【反馈检测3】【2017浙江，17】已知αR，函数在区间[1，4]上的最大值是5，则的取值范围是___________．方法八单调性法使用情景函数的单调性容易判断.解题步骤先判断函数的单调性，再利用函数的单调性得到函数的值域.【例 4】求函数的值域.【点评】（1）本题先利用复合函数的单调性确定了函数的单调区间，从而得到函数的最大值和最小值，得到函数的值域.（2）判定函数的单调性常用的有定义法、图像法、复合函数分析法和导数法,注意灵活使用.【例5】求函数的值域.【解析】令，则在上都是增函数，所以在上是增函数当时，当时，故所求函数的值域为。