高中数学专题1.4.3含有一个量词的命题的否定练习(含解析)2_1

1.4.3含有一个量词的命题的否定一、选择题1．命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是( ) A ．任意一个有理数，它的平方是有理数 B ．任意一个无理数，它的平方不是有理数 C ．存在一个有理数，它的平方是有理数 D ．存在一个无理数，它的平方不是有理数 [答案] B[解析] 量词“存在”否定后为“任意”，结论“它的平方是有理数”否定后为“它的平方不是有理数”，故选B ．2．(2015·潍坊四县联考)命题“有些实数的绝对值是正数”的否定是( ) A ．∀x ∈R ，|x |>0 B ．∃x 0∈R ，|x 0|>0 C ．∀x ∈R ，|x |≤0 D ．∃x 0∈R ，|x 0|≤0[答案] C[解析] 由词语“有些”知原命题为特称命题，故其否定为全称命题，因为命题的否定只否定结论，所以选C ．3．(2015·东北三校模拟)已知命题p ：∃x ∈(0，π2)，sin x ＝12，则¬p 为( )A ．∀x ∈(0，π2)，sin x ＝12B ．∀x ∈(0，π2)，sin x ≠12C ．∃x ∈(0，π2)，sin x ≠12D ．∃x ∈(0，π2)，sin x >12[答案] B[解析] ¬p 表示命题p 的否定，即否定命题p 的结论，由“∃x ∈m ，p (x )”的否定为“∀x ∈m ，¬p (x )”知选B4．(2015·某某省八校联考)命题“∀x ∈R ，e x >x 2”的否定是( ) A ．不存在x ∈R ，使e x >x 2B ．∃x ∈R ，使e x <x 2C ．∃x ∈R ，使e x ≤x 2D ．∀x ∈R ，使e x ≤x 2[答案] C[解析] 原命题为全称命题，故其否定为存在性命题，“>”的否定为“≤”，故选C ． 5．(2015·某某市曲江一中月考)下列说法正确的是( )A ．“a >1”是“f (x )＝log a x (a >0，a ≠1)在(0，＋∞)上为增函数”的充要条件B ．命题“∃x ∈R 使得x 2＋2x ＋3<0”的否定是“∀x ∈R ，x 2＋2x ＋3>0”C ．“x ＝－1”是“x 2＋2x ＋3＝0”的必要不充分条件 D ．命题p ：“∀x ∈R ，sin x ＋cos x ≤2”，则¬p 是真命题 [答案] A[解析] a >1时，f (x )＝log a x 为增函数，f (x )＝log a x (a >0且a ≠1)为增函数时，a >1，∴A 正确；“<”的否定为“≥”，故B 错误；x ＝－1时，x 2＋2x ＋3≠0，x 2＋2x ＋3＝0时，x 无解，故C 错误；∵sin x ＋cos x ＝2sin(x ＋π4)≤2恒成立，∴p 为真命题，从而¬p 为假命题，∴D 错误．6．命题p ：存在实数m ，使方程x 2＋mx ＋1＝0有实数根，则“非p ”形式的命题是( ) A ．存在实数m ，使得方程x 2＋mx ＋1＝0无实根 B ．不存在实数m ，使得方程x 2＋mx ＋1＝0有实根 C ．对任意的实数m ，方程x 2＋mx ＋1＝0无实根 D ．至多有一个实数m ，使得方程x 2＋mx ＋1＝0有实根 [答案] C[解析] ¬p ：对任意实数m ，方程x 2＋mx ＋1＝0无实根，故选C ． 二、填空题7．命题“存在x ∈R ，使得x 2＋2x ＋5＝0”的否定是______. [答案] 任意x ∈R ，使得x 2＋2x ＋5≠0[解析] 特称命题的否定是全称命题，将“存在”改为“任意”，“＝”改为“≠”． 8．命题“过平面外一点与已知平面平行的直线在同一平面内”的否定为________. [答案] 过平面外一点与已知平面平行的直线不都在同一平面内 [解析] 原命题为全称命题，写其否定是要将全称量词改为存在量词．9．命题“∃x ∈R ，使x 2＋ax ＋1<0”为真命题，则实数a 的取值X 围是________. [答案] a >2或a <－2[解析] 由于∃x ∈R ，使x 2＋ax ＋1<0，又二次函数f (x )＝x 2＋ax ＋1开口向上，故Δ＝a 2－4>0，所以a >2或a <－2.三、解答题10．写出下列命题的否定并判断真假：(1)不论m 取何实数，方程x 2＋x －m ＝0必有实数根； (2)所有末位数字是0或5的整数都能被5整除； (3)某些梯形的对角线互相平分； (4)被8整除的数能被4整除．[解析] (1)这一命题可以表述为p ：“对所有的实数m ，方程x 2＋x －m ＝0都有实数根”，其否定是¬p ：“存在实数m ，使得x 2＋x －m ＝0没有实数根”，注意到当Δ＝1＋4m <0，即m <－14时，一元二次方程没有实根，因此¬p 是真命题．(2)命题的否定是：存在末位数字是0或5的整数不能被5整除，是假命题． (3)命题的否定：任一个梯形的对角线都不互相平分，是真命题． (4)命题的否定：存在一个数能被8整除，但不能被4整除，是假命题．一、选择题1．(2015·某某理)命题“∀n ∈N *，f (n )∈N *且f (n )≤n ”的否定形式是( ) A ．∀n ∈N *,f (n )∉N *且f (n )>n B ．∀n ∈N *,f (n )∉N *或f (n )>n C ．∃n 0∈N *,f (n 0)∉N *且f (n 0)>n 0 D ．∃n 0∈N *,f (n 0)∉N *或f (n 0)>n 0 [答案] D[解析] 命题“∀n ∈N *，f (n )∈N *且f (n )≤n ” 其否定为：“∃n 0∈N *，f (n 0)∉N *或f (n 0)>n 0”．2．已知命题“∀a 、b ∈R ，如果ab >0，则a >0”，则它的否命题是( ) A ．∀a 、b ∈R ，如果ab <0，则a <0 B ．∀a 、b ∈R ，如果ab ≤0，则a ≤0 C ．∃a 、b ∈R ，如果ab <0，则a <0 D ．∃a 、b ∈R ，如果ab ≤0，则a ≤0 [答案] B[解析] 条件ab >0的否定为ab ≤0； 结论a >0的否定为a ≤0，故选B ．3．已知命题p ：∀x ∈R,2x <3x ；命题q ：∃x ∈R ，x 3＝1－x 2，则下列命题中为真命题的是( )A ．p ∧qB ．(¬p )∧qC ．p ∧(¬q )D ．(¬p )∧(¬q )[答案] B[解析] 由20＝30知p 为假命题；令h (x )＝x 3＋x 2－1，则h (0)＝－1<0，h (1)＝1>0，∴方程x 3＋x 2－1＝0在(－1,1)内有解，∴q 为真命题，∴(¬p )∧q 为真命题，故选B ．4．(2014·某某省某某市检测)下列命题中是假命题．．．的是( ) A ．∃m ∈R ，使f (x )＝(m －1)·xm 2－4m ＋3是幂函数，且在(0，＋∞)上单调递减 B ．∀a >0，函数f (x )＝ln 2x ＋ln x －a 有零点 C ．∃α、β∈R ，使cos(α＋β)＝cos α＋sin βD ．∀φ∈R ，函数f (x )＝sin(2x ＋φ)都不是偶函数 [答案] D[解析] ∵f (x )为幂函数，∴m －1＝1，∴m ＝2，f (x )＝x －1，∴f (x )在(0，＋∞)上递减，故A 真；∵y ＝ln 2x ＋ln x 的值域为[－14，＋∞)，∴对∀a >0，方程ln 2x ＋ln x －a ＝0有解，即f (x )有零点，故B 真；当α＝π6，β＝2π时，cos(α＋β)＝cos α＋sin β成立，故C 真；当φ＝π2时，f (x )＝sin(2x ＋φ)＝cos2x 为偶函数，故D 为假命题．二、填空题5．已知命题p ：∀x ∈R ，x 2－x ＋14<0，命题q ：∃x 0∈R ，sin x 0＋cos x 0＝2，则p ∨q ，p ∧q ，¬p ，¬q 中是真命题的有________.[答案] p ∨q ¬p[解析] ∵x 2－x ＋14＝(x －12)2≥0，故p 是假命题，而存在x 0＝π4，使sin x 0＋cos x 0＝2，故q 是真命题，因此p ∨q 是真命题，¬p 是真命题．6．(2015·某某市八县联考)已知命题p ：m ∈R ，且m ＋1≤0，命题q ：∀x ∈R ，x 2＋mx ＋1>0恒成立，若p ∧q 为假命题且p ∨q 为真命题，则m 的取值X 围是________.[答案] m ≤－2或－1<m <2[解析] p ：m ≤－1，q ：－2<m <2，∵p ∧q 为假命题且p ∨q 为真命题，∴p 与q 一真一假，当p 假q 真时，－1<m <2，当p 真q 假时，m ≤－2，∴m 的取值X 围是m ≤－2或－1<m <2.三、解答题7．写出下列命题的否定． (1)p ：∀x >1，log 2x >0； (2)p ：∀a ，b ∈R ，a 2＋b 2>0； (3)p ：有的正方形是矩形； (4)p ：∃x 0∈R ，x 20－x 0＋2>0. [解析] (1)¬p ：∃x 0>1，log 2x 0≤0. (2)¬p ：∃a 、b ∈R ，a 2＋b 2≤0. (3)¬p ：任意一个正方形都不是矩形． (4)¬p ：∀x ∈R ，x 2－x ＋2≤0. 8.已知命题p ：f (x )＝x ＋1x ＋a在[2，＋∞)上单调递减；命题q ：g (x )＝log a (－x 2－x ＋2)的单调递增区间为[－12，1)．若命题p ∧q 为真命题．某某数a 的取值X 围．[解析] ∵f (x )＝x ＋1x ＋a ＝1＋1－ax ＋a在[2，＋∞)上单调递减， ∴⎩⎪⎨⎪⎧1－a >0，－a ≤2.∴－2≤a <1.∵g (x )＝log a (－x 2－x ＋2)的单调递增区间为[－12，1)，∴0<a <1.要使p ∧q 为真命题，应有p 真且q 真，∴⎩⎪⎨⎪⎧－2≤a <1，0<a <1，∴0<a <1.∴实数a 的取值X 围是0<a <1.。

课时作业7 含有一个量词的命题的否定时间：45分钟分值：100分一、选择题(每小题6分，共36分)1．∃m0，n0∈Z，使得m20＝n20＋1998的否定是( )A．∀m，n∈Z，使得m2＝n2＋1998B．∃m0，n0∈Z，使得m20≠n20＋1998C．∀m，n∈Z，使得m2≠n2＋1998D．以上都不对解析：这是一个特称命题，其否定为全称命题，形式是：∀m，n∈Z，有m2≠n2＋1998. 答案：C2．命题“∀x∈R，x2－2x＋1≥0”的否定是( )A．∃x0∈R，x20－2x0＋1<0B．∃x0∈R，x20－2x0＋1≥0C．∃x0∈R，x20－2x0＋1≤0D．∀x∈R，x2－2x＋1<0解析：由定义直接可得．答案：A3．命题“存在x∈Z，使x2＋2x＋m≤0”的否定是( )A．存在x∈Z，使x2＋2x＋m>0B．不存在x∈Z，使x2＋2x＋m>0C．对于任意x∈Z，都有x2＋2x＋m≤0D．对于任意x∈Z，都有x2＋2x＋m>0解析：由特称命题的否定得出．答案：D4．特称命题“∃x0∉M，p(x0)”的否定是( )A．∀x∈M，綈p(x) B．∀x∉M，p(x)C．∀x∉M，綈p(x) D．∀x∈M，p(x)解析：由特称命题的否定的定义可得．答案：C5．(2010·辽宁高考)已知a>0，函数f(x)＝ax2＋bx＋c.若x0满足关于x的方程2ax＋b ＝0，则下列选项的命题中为假命题的是( )A ．∃x ∈R ，f (x )≤f (x 0)B ．∃x ∈R ，f (x )≥f (x 0)C ．∀x ∈R ，f (x )≤f (x 0)D ．∀x ∈R ，f (x )≥f (x 0)解析：由题知：x 0＝－b 2a为函数f (x )图象的对称轴，所以f (x 0)为函数的最小值，即对所有的实数x ，都有f (x )≥f (x 0)，因此∀x ∈R ，f (x )≤f (x 0)是错误的，故选C.答案：C6．若函数f (x )＝x 2＋a x (a ∈R)，则下列结论正确的是( )A ．∀a ∈R ，f (x )在(0，＋∞)上是增函数B ．∀a ∈R ，f (x )在(0，＋∞)上是减函数C ．∃a ∈R ，f (x )是偶函数D ．∃a ∈R ，f (x )是奇函数解析：对于A 只有在a ≤0时f (x )在(0，＋∞)上是增函数，否则不满足；对于B ，如果a ≤0就不成立；对于D 若a ＝0，则成为偶函数了，因此只有C 是正确的，即对于a ＝0时有f (x )＝x 2是一个偶函数，因此存在这样的a ，使f (x )是偶函数．答案：C二、填空题(每小题8分，共24分)7．命题“∃x 0∈R ，x 20≤0”的否定是________．解析：由题知，本题为特称命题，故其否定为全称命题．答案：∀x ∈R ，x 2>08．已知命题p ：“∀x ∈R ，e x≤1”，则命题綈p 是________．解析：由定义直接可得．答案：∃x 0∈R ，e x 0>19．设命题p ：c 2<c 和命题q ：对∀x ∈R ，x 2＋4cx ＋1>0，若p 和q 有且仅有一个成立，则实数c 的取值范围是________．解析：p ：0<c <1；q ：由Δ<0知－12<c <12. ∴若p 真q 假，则⎩⎪⎨⎪⎧ 0<c <1，c ≥12或c ≤－12，得12≤c <1. 若p 假q 真，则⎩⎪⎨⎪⎧ c ≤0或c ≥1，－12<c <12，得－12<c ≤0. 综上：12≤c <1或－12<c ≤0.答案：－12<c ≤0或12≤c <1 三、解答题(共40分)10．(10分)判断下列命题的真假，并写出它们的否定：(1)∀α，β∈R ，sin(α＋β)≠sin α＋sin β；(2)∃x 0，y 0∈Z,3x 0－4y 0＝20；(3)在实数范围内，有些一元二次方程无解；(4)正数的对数都是正数．解：(1)假命题，否定为：∃α，β∈R ，sin(α＋β)＝sin α＋sin β；(2)真命题，否定为：∀x ，y ∈Z,3x －4y ≠20；(3)真命题，否定为：在实数范围内，所有的一元二次方程都有解；(4)假命题，否定为：存在一个正数，它的对数不是正数．11．(15分)用“∀”“∃”写出下列命题的否定，并判断真假．(1)二次函数的图象是抛物线．(2)直角坐标系中，直线是一次函数的图象．(3)∀a ，b ∈R ，方程ax ＋b ＝0恰有一解．(4)∀T ＝2kπ(k ∈Z)，sin(x ＋T )＝sin x .解：(1)綈p ：∃x 0∈{二次函数}，x 0的图象不是抛物线．假命题．(2)綈p ：在直角坐标系中，∃x 0∈{直线}，x 0不是一次函数的图象．真命题．(3)綈p ：∃a 0，b 0∈R ，方程a 0x ＋b 0＝0无解或至少有两解．真命题．(4)綈p ：∃T 0＝2kπ(k ∈Z)，sin(x ＋T 0)≠sin x ，是假命题．12．(15分)给定两个命题：p ：对任意实数x 都有ax 2＋ax ＋1>0恒成立；q ：关于x 的方程x 2－x ＋a ＝0有实数根；如果p 与q 中有且仅有一个为真命题，求实数a 的取值范围．解：对任意实数x 都有ax 2＋ax ＋1>0恒成立⇔a ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧ a>0Δ<0⇔0≤a<4；关于x 的方程x 2－x ＋a ＝0有实数根⇔1－4a≥0⇔a≤14； 若p 真，且q 假，有0≤a<4，且a>14，∴14<a<4； 若q 真，且p 假，有a<0或a≥4，且a≤14，∴a<0. 所以实数a 的取值范围为(－∞，0)∪(14，4)．。

第一章 1.4 1.4.3请同学们认真完成练案[9]A 级 基础巩固一、选择题1．命题“∃x 0∈(0，＋∞)，ln x 0＝x 0－1”的否定是( A ) A ．∀x ∈(0，＋∞)，ln x ≠x －1 B ．∀x ∉(0，＋∞)，ln x ＝x －1 C ．∃x 0∈(0，＋∞)，ln x 0≠x 0－1 D ．∃x 0∉(0，＋∞)，ln x 0＝x 0－12．命题“有些实数的绝对值是正数”的否定是( C ) A ．∀x ∈R ，|x |>0 B ．∃x 0∈R ，|x 0|>0 C ．∀x ∈R ，|x |≤0D ．∃x 0∈R ，|x 0|≤0[解析] 由词语“有些”知原命题为特称命题，故其否定为全称命题，因为命题的否定只否定结论，所以选C ．3．已知命题p ：∃x 0∈R ，x 0－2>lg x 0，命题q ：∀x ∈R ，x 2－1≥1，则( C ) A ．命题p ∨q 是假命题 B ．命题p ∧q 是真命题 C ．命题p ∧(¬q )是真命题 D ．命题p ∨(¬q )是假命题[解析] x 0＝4时，4－2>lg2，∴p 为真命题，∵∀x ∈R ，x 2≥2，∴q 为假命题，∴p ∧(¬q )是真命题．4．对给出下列命题：①∀x ∈R ，－x 2<0；②∃x ∈Q ，x 2＝5；③∃x ∈R ，x 2－x －1＝0；④若p ：∀x ∈N ，x 2≥1，则¬p ：∃x ∈N ，x 2<1.其中是真命题的是( D )A ．①③B ．②④C ．②③D ．③④[解析] ①中，当x ＝0时，－x 2＝0；②中，x 2＝5，x ＝±5，±5是无理数；③中，x ＝1±52使得x 2－x －1＝0；④中，全称命题的否定是特称命题，故③④是真命题．5．以下四个命题中，真命题的个数是( C )①“若a ＋b ≥2，则a ，b 中至少有一个不小于1”的逆命题； ②存在正实数a ，b ，使得lg(a ＋b )＝lg a ＋lg b ；③“所有奇数都是素数”的否定是“至少有一个奇数不是素数”； ④在△ABC 中，A <B 是sin A <sin B 的充分不必要条件．A ．0B ．1C ．2D ．3[解析] ①中，若a ，b 中至少有一个不小于1，则a ＋b ≥2为假命题，②中，存在a ＝2＝b ，使a ＋b ＝ab ，从而使lg(a ＋b )＝lg a ＋lg b ，故②符合题意，③中符合题意，④中为充要条件，故②③为真命题．二、填空题6．若命题p ：常数列是等差数列，则¬p ：__存在一个常数列，它不是等差数列__. [解析] 因为命题是全称命题，根据全称命题的否定是特称命题，所以命题的否定¬p ：存在一个常数列，它不是等差数列．故答案为：存在一个常数列，它不是等差数列．7．(2019－2020学年南康中学平川中学信丰中学联考)已知命题“∀x ∈R ，ax 2＋ax ＋1＞0”的否定为假命题，则实数a 的取值范围是__[0,4)__.[解析] 命题“∀x ∈R ，ax 2＋ax ＋1＞0”的否定为假命题．则原命题“∀x ∈R ，ax 2＋ax ＋1＞0”为真，即ax 2＋ax ＋1＞0恒成立．当a ＝0时，1＞0成立．当a ≠0时，则⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0Δ＝a 2－4a ＜0，解得：0＜a ＜4.综上所述：0≤a ＜4.故答案为[0,4)． 三、解答题8．写出下列命题的否定并判断真假：(1)不论m 取何实数，方程x 2＋x －m ＝0必有实数根； (2)某些梯形的对角线互相平分； (3)被8整除的数能被4整除．[解析] (1)这一命题可以表述为p ：“对所有的实数m ，方程x 2＋x －m ＝0都有实数根”，其否定是¬p ：“存在实数m ，使得x 2＋x －m ＝0没有实数根”，注意到当Δ＝1＋4m <0，即m <－14时，一元二次方程没有实根，因此¬p 是真命题．(2)命题的否定：任一个梯形的对角线都不互相平分，是真命题． (3)命题的否定：存在一个数能被8整除，但不能被4整除，是假命题． 9．若x ∈[－2,2]，不等式x 2＋ax ＋3≥a 恒成立，求a 的取值范围．[解析] 设f (x )＝x 2＋ax ＋3－a ，则问题转化为当x ∈[－2，2]时，[f (x )]min ≥0即可． ①当－a 2<－2，即a >4时，f (x )在[－2,2]上单调递增，f (x )min ＝f (－2)＝7－3a ≥0，解得a ≤73，又a >4，所以a 不存在．②当－2≤－a2≤2，即－4≤a ≤4时，f (x )min ＝f (－a 2)＝12－4a －a24≥0，解得－6≤a ≤2.又－4≤a ≤4，所以－4≤a ≤2.③当－a2>2，即a <－4时，f (x )在[－2,2]上单调递减，f (x )min ＝f (2)＝7＋a ≥0，解得a ≥－7， 又a <－4，所以－7≤a <－4.综上所述，a 的取值范围是{a |－7≤a ≤2}．B 级 素养提升一、选择题1．命题p ：∀x ∈R ，x ≥0的否定是( C ) A ．¬p ：∀x ∈R ，x <0 B ．¬p ：∃x ∈R ，x ≤0 C ．¬p ：∃x ∈R ，x <0D ．¬p ：∀x ∈R ，x ≤0[解析] 因为命题是全称命题，根据全称命题的否定是特称命题，所以命题的否定：∃x ∈R ，x <0.故选C ．2．已知命题p ：∀x ∈R,2x <3x ；命题q ：∃x ∈R ，x 3＝1－x 2，则下列命题中为真命题的是( B )A ．p ∧qB ．(¬p )∧qC ．p ∧(¬q )D ．(¬p )∧(¬q )[解析] 由20＝30知p 为假命题；令h (x )＝x 3＋x 2－1，则h (0)＝－1<0，h (1)＝1>0，∴方程x 3＋x 2－1＝0在(－1,1)内有解，∴q 为真命题，∴(¬p )∧q 为真命题，故选B ．3．(多选题)下列说法正确的是( ABD ) A ．∃α0，β0∈R ，使sin(α0＋β0)＝sin α0＋sin β0 B ．∀a >0，函数f (x )＝ln 2x ＋ln x －a 有零点 C ．∀φ∈R ，函数f (x )＝sin(2x ＋φ)都不是偶函数D ．命题“∀x ∈R ，x 2＋1>0”的否定是“∃x 0∈R ，x 20＋1≤0”[解析] 当φ＝k π＋π2，k ∈Z 时，f (x )是偶函数，故C 错误；A ，B ，D 都正确，故选ABD ．4．(多选题)(南平市2019－2020学年第一学期质检)下列命题中真命题的个数是( ABD ) A ．∀x ∈(－∞，0)，则2x ＞3xB ．“|a |＝1”是“a ＝1”的必要不充分条件C ．若命题p ∨q 是真命题，则¬p 是真命题D ．函数y ＝2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋1的一个对称中心是⎝⎛⎭⎫7π12，1 [解析] A 中，由于2x＞3x，所以2x3x ＞1，即⎝⎛⎭⎫23x ＞1解的x ∈(－∞，0)，所以A 正确；B 中，因为|a |＝1则a ＝±1，所以“|a |＝1”是“a ＝1”的必要不充分条件，故B 正确；C 中，若命题p ∨q 是真命题，则p 为真，q 为假也可以满足已知条件，则¬p 是假命题，所以C 不正确；D 中，当x ＝7π12时，y ＝2cos ⎝⎛⎭⎫2×7π12＋π3＋1＝2cos ⎝⎛⎭⎫3π2＋1＝1，故D 正确．故选ABD ．二、填空题5．已知命题p ：∀x ∈R ，x 2－x ＋14<0，命题q ：∃x 0∈R ，sin x 0＋cos x 0＝2，则命题p 为__假__(填“真”或“假”)命题，命题p ∨q ，p ∧q ，¬p ，¬q 中是真命题的有__p ∨q ，¬p __.[解析] ∵x 2－x ＋14＝(x －12)2≥0，故p 是假命题，而存在x 0＝π4，使sin x 0＋cos x 0＝2，故q 是真命题，因此p ∨q 是真命题，¬p 是真命题．6．若“∀m ∈[－1,1]，a 2－2a ≥m ＋2恒成立”是真命题，则实数a 的取值范围是__[3，＋∞)∪(－∞，－1]__.[解析] m ∈[－1,1]，则1≤m ＋2≤3， ∴a 2－2a ≥3，即a 2－2a －3≥0， ∴a ≥3或a ≤－1. 三、解答题7．已知函数f (x )＝x 2－2x ＋5，是否存在实数m ，使不等式m ＋f (x )>0对于任意x ∈R 成立，并说明理由．[解析] 不等式m ＋f (x )>0可化为m >－f (x )， 即m >－x 2＋2x －5＝－(x －1)2－4.要使m >－(x －1)2－4对于任意x ∈R 恒成立，只需m >－4即可．故存在实数m ，使不等式m ＋f (x )>0对于任意x ∈R 恒成立，此时，只需m >－4.8．设命题p ：实数x 满足x 2－4ax ＋3a 2<0，其中a >0；命题q ：实数x 满足x －3x －2≤0.(1)若a ＝1且p ∧q 为真，求实数x 的取值范围；(2)若“¬p ”是“¬q ”的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．[解析] (1)由x 2－4ax ＋3a 2<0得(x －3a )(x －a )<0，又a >0，所以a <x <3a ， 当a ＝1时，1<x <3，即p 为真时实数x 的取值范围是1<x <3.q 为真时，x －3x －2≤0等价于⎩⎪⎨⎪⎧x －2≠0，(x －2)(x －3)≤0，得2<x ≤3.即q 为真时实数x 的取值范围是2<x ≤3.若“p ∧q ”为真，则p 真且q 真，所以实数x 的取值范围2<x <3. (2)“¬p ”是“¬q ”的充分不必要条件， 即¬p ⇒¬q ，且¬q ⇒/ ¬p ，等价于q ⇒p ，且p ⇒/ q ，设A ＝{x |a <x <3a }，B ＝{x |2<x ≤3}，则B A ； 则0<a ≤2，且3a >3，所以实数a 的取值范围是1<a ≤2.。

1.4.3含有一个量词的命题的否定【自主学习】含有一个量词的命题的否定(1)全称命题p ：x M ∀∈，p (x )，它的否定非p ： ，全称命题的否定是 命题．(2)特称命题p ：0x M ∃∈，p (x 0)，它的否定非p ：，特称命题的否定是 命题．【自主检测】判断下列命题是全称命题还是特称命题，并对其否定：（1）所有的矩形都是平行四边形；（2）每一个素数都是奇数；（3）x R ∀∈, x 2－2x ＋1≥0；（4）有些实数的绝对值是正数；（5）某些平行四边形是菱形；（6）∃ x ∈R, x 2＋1＜0. 【典型例题】例1写出下列全称命题的否定1．p ：所有能被3整除的整数都是奇数；（2）p ：每一个四边形的四个顶点共圆；（3）p ：对任意x ∈Z, x 2的个位数不是奇数.例2写出下列特称命题的否定（1）p ：存在一个实数0x ，200220x x ++≤；（2）p ：有的三角形是等边三角形；（3）p ：有一个素数含有三个因数.例3写出下列命题的否定，并判断它们的真假（1）p ：存在一个实数0x ，200220x x ++=；（2）p ：任意两个等边三角形都是相似的.【课堂检测】1.写出下列命题的否定，并判断其真假．(1)任何一个素数是奇数．(2)所有的矩形都是平行四边形．(3)∀a ，b ∈R ，方程ax ＝b 都有惟一解．(4)某些平行四边形是菱形；(5)∃x 0∈R ，x 20＋1<0；※2.函数f (x )对一切实数x ，y 均有f (x ＋y )－f (y )＝(x ＋2y ＋1)x 成立，且f (1)＝0.(1)求f (0)的值；(2)当f (x )＋2<log a x 在⎪⎭⎫ ⎝⎛∈21,0x 上恒成立时，求a 的取值范围．。

第一章 常用逻辑用语1.4.3 含有一个量词的命题的否定参考答案【典例分析】例1.【解析】选C.所给命题∀2x >1，x>1是全称命题，它的否定是特称命题，为∃20x >1，0x ≤1.例2.选C.命题p 是一个特称命题，﹁p 为：∀x>0，2x -3x+2≤0.例3.【解析】因为命题“∃0x ∈[1，2]，使20x +20x +a ≥0”为真命题，x ∈[1，2]时，2x +2x 的最大值为8，所以a ≥-8时，命题“∃0x ∈[1，2]，使20x +20x +a ≥0”为真命题.所以a 的取值范围：[-8，+∞).【变式拓展】：1.选D.全称命题的否定是特称命题，所以命题“∀x ∈R ，2x ≠x ”的否定是“∃0x ∈R ，20x =0x ”.2.【解析】选D.根据题意可知命题p ：∀x ∈A ，2x ∈B 的否定是﹁p ：∃0x ∈A ，20x ∉B ，故选D.3.选A.已知命题是假命题，则它的否定为真命题，命题的否定为∀x ∈R ，使得2x +(a-1)x+1≥0，根的判别式Δ=(a-1)2-4≤0，解得-1≤a ≤3.4.【解析】否定形式：存在末位数是0或5的整数不能被5整除.答案：存在末位数是0或5的整数不能被5整除5.【解析】其否定为：“所有的四边形都不是平行四边形”.答案：所有的四边形都不是平行四边形6.【解析】其否定为：“∀x ∉M ，﹁p(x)”.答案：∀x ∉M ，﹁p(x)7.【解析】(1)存在0n ∈Z ，使0n ∉Q ，这是假命题.(2)存在等圆，其面积不相等或周长不相等，这是假命题.(3)存在偶数的平方不是正数，这是真命题.四、随堂检测1.【解析】选C.全称命题的否定是特称命题,因此选C.2.【解析】选B.命题p 是一个特称命题,其否定为全称命题, p:∀x ∈R,x 2+1≥0.3.【解析】选A.词语“都不是”的否定是“至少有一个是”.4.【解析】其否定为：“存在一个素数不是奇数”.答案：存在一个素数不是奇数5.【解析】依题意，命题﹁p ：∀x ∈R ，2x +2ax+a>0是真命题，得Δ=2)2(a -4a<0，即a(a-1)<0，解得0<a<1. 答案：(0，1)6.【解析】此命题为全称命题,其否定是特称命题,把“∀”改为“∃”,然后把2x +x+1>0进行否定. 答案:∃0x ∈R, 20x +0x +1≤07.【解析】此命题为特称命题,其否定为全称命题,需要把“∃”改为“∀”,同时把2x -x+1=0进行否定. 答案:∀x ∈R,2x -x+1≠08.【解析】(1)命题的否定是：对任意x ∈R ，都有2x +2x+5≠0，是真命题.(2)命题的否定是：对于任意的平行四边形，它的对角线都不互相垂直，是假命题.(3)命题的否定是：对于任意的三角形，它的内角和小于或等于180°，是真命题.(4)命题的否定是：所有的偶函数都不是单调函数，是真命题.9.【解析】因为⌝p 为真,又⌝p:∃x 0∈R,20x +ax 0+2≥0,而函数f(x)=x 2+ax+2开口向上,所以a ∈R. 答案:a ∈R10.【解析】特称命题：∃x 0∈R ，p(x 0)的否定是：∀x ∈R ，p(x)，即∀x ∈R ，ax 2+2x+1>0恒成立，可得a>0，且Δ=4-4a<0，所以a>1.11.【解析】(1)当x ∈[-1，3]时，函数f(x)=x 2∈[0，9]，所以f(x)的值域为[0，9].(2)对∀x ∈[0，2]，g(x)≥1成立，等价于g(x)在[0，2]上的最小值大于或等于1.而g(x)在[0，2]上单调递减，所以错误!未找到引用源。

含有一个量词的命题的否定(30分钟60分)一、选择题(每小题5分,共40分)1.(2015·全国卷Ⅰ)设命题p:?n0∈N,>,则p为( )A.?n∈N,n2>2nB.?n0∈N,≤C.?n∈N,n2≤2nD.?n0∈N,=【解析】选C.p:?n∈N,n2≤2n.2.命题“一次函数都是单调函数”的否定是( )A.一次函数都不是单调函数B.非一次函数都不是单调函数C.有些一次函数是单调函数D.有些一次函数不是单调函数【解析】选D.命题的否定只对结论进行否定,“都是”的否定是“不都是”,即“有些”.3.下列说法中,正确的个数是( )①存在一个实数,使-2+x0-4=0;②所有的质数都是奇数;③在同一平面中斜率相等且不重合的两条直线都平行;④至少存在一个正整数,能被5和7整除.A.1B.2C.3D.4【解析】选B.①方程-2+x0-4=0无实根;②2是质数,但不是奇数;③④正确.4.(2015·湖北高考)命题“?x0∈(0,+∞),lnx0=x0-1”的否定是( )A.?x∈(0,+∞),lnx≠x-1B.?x?(0,+∞),lnx=x-1C.?x0∈(0,+∞),lnx0≠x0-1D.?x0?(0,+∞),lnx0=x0-1【解析】选A.由特称命题的否定为全称命题可知,所求命题的否定为?x∈(0,+∞),lnx≠x-1.【延伸拓展】对全称命题和特称命题进行否定的步骤与方法(1)确定类型:是特称命题还是全称命题.(2)改变量词:把全称量词换为恰当的存在量词;把存在量词换为恰当的全称量词.(3)否定性质:原命题中“是”“有”“存在”“成立”等改为“不是”“没有”“不存在”“不成立”等.注意:无量词的全称命题要先补回量词再否定.5.有下列四个命题:①?x∈R,2x2-3x+4>0;②?x∈{1,-1,0},2x+1>0;③?x0∈N,≤x0;④?x0∈N*,x0为29的约数.其中真命题的个数为( )A.1B.2C.3D.4【解析】选C.对于①,这是全称命题,因为Δ=(-3)2-4×2×4<0,所以2x2-3x+4>0恒成立,故①为真命题;对于②,这是全称命题,因为当x=-1时,2x+1>0不成立,故②为假命题;对于③,这是特称命题,当x0=0或x0=1时,有≤x0成立,故③为真命题;对于④,这是特称命题,当x0=1时,x0为29的约数成立,所以④为真命题.6.命题p:“?x∈[1,2],2x2-x-m>0”,命题q:“?x0∈[1,2],log2x0+m>0”,若“p∧q”为真命题,则实数m的取值范围是( )A.m<1B.m>-1C.-1<m<1D.-1≤m≤1【解题指南】解答本题可先求出p与q分别为真命题时,m的取值范围,然后取其交集即可. 【解析】选C.由“p∧q”为真命题,得p,q都是真命题,命题p:“?x∈[1,2],2x2-x-m>0”为真命题.即对于?x∈[1,2],m<2x2-x恒成立,得m<(2x2-x)min=1.命题q:“?x0∈[1,2],log2x0+m>0”为真命题,则?x0∈[1,2],-m<log2x0,只要-m<(log2x)max=1,得m>-1.综上所述,-1<m<1.7.(2017·山东高考)已知命题p:?x>0,ln(x+1)>0;命题q:若a>b,则a2>b2,下列命题为真命题的是( )A.p∧qB.p∧qC.p∧qD. p∧q【解析】选B.因为x>0,所以x+1>1,所以ln(x+1)>0,则命题p为真命题,由1>-2,但12<(-2)2,所以命题q是假命题,则q是真命题,所以p∧q是真命题.8.(2017·吉林高二检测)下列命题错误的是( )A.命题“若x2-3x+2=0,则x=1”的逆否命题为“若x≠1,则x2-3x+2≠0”B.若p∧q为假命题,则p,q均为假命题C.命题p:存在x0∈R,使得+x0+1<0,则p:任意x∈R,都有x2+x+1≥0D.“x>2”是“x2-3x+2>0”的充分不必要条件【解析】选B.由逆否命题“条件的否定作结论,结论的否定为条件”知A正确;p∧q为假命题时,还可能p假或q假,故B错误;由“非”命题的定义知C正确;因为x>2时,x2-3x+2>0成立,x2-3x+2>0时,x<1或x>2,所以D正确.二、填空题(每小题5分,共10分)9.命题“?x∈R,3x2-2x+1>0”的否定是________.【解析】“?x∈M,p(x)”的否定为“?x0∈M,p(x0)”.所以其否定为?x0∈R,3-2x0+1≤0.答案:?x0∈R,3-2x0+1≤010.(2017·广州高二检测)若“?x0∈,sinx0+cosx0<m”为假命题,则实数m的取值范围是________.【解析】令f(x)=sinx+cosx=2sin,x∈,可知f(x)在上为增函数,在上为减函数,由于f(0)=,f=2,f=1,所以1≤f(x)≤2,由于“?x0∈,sinx0+cosx0<m”为假命题,则其否定“?x∈,sinx+cosx ≥m”为真命题,所以m≤f(x)min=1.答案:(-∞,1]三、解答题11.(10分)写出下列命题的否定,并判断真假:(1)p:?x∈R,x2-x+≥0.(2)q:所有的正方形都是矩形.(3)r:?x0∈R,+2x0+2≤0.(4)s:至少有一个实数x0,使+1=0.【解析】(1)p:?x0∈R,-x0+<0,假命题,因为?x∈R,x2-x+=≥0恒成立,所以p是假命题.(2)q:至少存在一个正方形不是矩形,假命题.(3)r:?x∈R,x2+2x+2>0,真命题,因为?x∈R,x2+2x+2=(x+1)2+1≥1>0恒成立,所以r是真命题.(4)s:?x∈R,x3+1≠0,假命题.因为x=-1时,x3+1=0,所以s是假命题.【能力挑战题】已知命题p:?m∈[-1,1],不等式a2-5a-3≥恒成立;命题q:?x0,使不等式+ax0+2<0成立.若p或q是真命题,q是真命题,求a的取值范围.【解析】根据p或q是真命题,q是真命题,得p是真命题,q是假命题.因为m∈[-1,1],所以∈[2,3].因为?m∈[-1,1],不等式a2-5a-3≥恒成立,所以a2-5a-3≥3,所以a≥6或a≤-1.故命题p为真命题时,a≥6或a≤-1.又命题q:?x0,使不等式+ax0+2<0,所以Δ=a2-8>0,所以a>2或a<-2,从而命题q为假命题时,-2≤a≤2,所以命题p为真命题,q为假命题时,a的取值范围为-2≤a≤-1.。

含有一个量词的命题的否定巩固训练一、选择题1．下列语句不是全称命题的是( )A．任何一个实数乘以零都等于零B．自然数都是正整数C．高二(一)班绝大多数同学是团员D．每一个向量都有大小2．命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是( ) A．任意一个有理数，它的平方是有理数B．任意一个无理数，它的平方不是有理数C．存在一个有理数，它的平方是有理数D．存在一个无理数，它的平方不是有理数3．命题“有些实数的绝对值是正数”的否定是( )A．?x∈R，|x|>0 B．?x0∈R，|x0|>0 C．?x∈R，|x|≤0 D．?x0∈R，|x0|≤0 4．命题“存在x∈Z，使x2＋2x＋m≤0成立”的否定是( ) A．存在x∈Z，使x2＋2x＋m>0B．不存在x∈Z，使x2＋2x＋m>0C．对于任意x∈Z，都有x2＋2x＋m≤0D．对于任意x∈Z，都有x2＋2x＋m>05．“存在整数m0，n0，使得m20＝n20＋2 011”的否定是( ) A．任意整数m，n，使得m2＝n2＋2 011B．存在整数m0，n0，使得m20≠n20＋2 011C．任意整数m，n，使得m2≠n2＋2 011D．以上都不对6．已知命题“?a、b∈R，如果ab>0，则a>0”，则它的否命题是( )A．?a、b∈R，如果ab<0，则a<0B．?a、b∈R，如果ab≤0，则a≤0C．?a、b∈R，如果ab<0，则a<0D．?a、b∈R，如果ab≤0，则a≤07．下列命题错误的是( )A．命题“若x2－3x＋2＝0，则x＝1”的逆否命题为“若x≠1，则x2－3x＋2≠0”B．若p∧q为假命题，则p、q均为假命题C．命题p：存在x0∈R，使得x20＋x0＋1<0，则？p：任意x∈R，都有x2＋x＋1≥0 D．“x>2”是“x2－3x＋2>0”的充分不必要条件8．已知命题p：?n∈N,2n>1 000，则？p为( )A．?n∈N,2n≤1 000 B．?n∈N,2n>1 000C．?n∈N,2n≤1 000 D．?n∈N,2n<1 0009．写出下列命题的否定并判断真假：(1)不论m取何实数，方程x2＋x－m＝0必有实数根；(2)所有末位数字是0或5的整数都能被5整除；(3)某些梯形的对角线互相平分；(4)被8整除的数能被4整除．10．已知命题p：?x1、x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)≥0，则？p是( )A．?x1、x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)≤0B．?x1、x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)≤0C．?x1、x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)<0D．?x1、x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)<011．已知命题p：?x∈R,2x<3x；命题q：?x∈R，x3＝1－x2，则下列命题中为真命题的是( )A．p∧q B．(?p)∧qC．p∧(?q) D．(?p)∧(?q)12．下列命题中是假命题．．．的是( )A．?m∈R，使f(x)＝(m－1)·xm2－4m＋3是幂函数，且在(0，＋∞)上单调递减B．?a>0，函数f(x)＝ln2x＋ln x－a有零点C．?α、β∈R，使cos(α＋β)＝cosα＋sinβD．?φ∈R，函数f(x)＝sin(2x＋φ)都不是偶函数二、填空题13．命题“存在x∈R，使得x2＋2x＋5＝0”的否定是________．14．命题“过平面外一点与已知平面平行的直线在同一平面内”的否定为________．15．命题“对任意的x∈R，x3－x2＋1≤0”的否定是________．16．下列四个命题：①?x∈R，x2＋2x＋3>0；②若命题“p∧q”为真命题，则命题p、q都是真命题；③若p是綈q的充分而不必要条件，则綈p是q的必要而不充分条件．其中真命题的序号为________．(将符合条件的命题序号全填上)17．已知命题p：?x∈R，x2－x＋14<0，命题q：?x0∈R，sin x0＋cos x0＝2，则p∨q，p∧q，？p，？q中是真命题的有________．18．已知命题p：m∈R，且m＋1≤0，命题q：?x∈R，x2＋mx＋1>0恒成立，若p∧q为假命题且p∨q为真命题，则m的取值范围是________．19．命题“?x∈R，使x2＋ax＋1<0”为真命题，则实数a的取值范围是________．三、解答题20．给出两个命题：命题甲：关于x的不等式x2＋(a－1)x＋a2≤0的解集为?，命题乙：函数y＝(2a2－a)x为增函数．分别求出符合下列条件的实数a的范围．(1)甲、乙至少有一个是真命题；(2)甲、乙中有且只有一个是真命题．21.已知命题p：f(x)＝x＋1x＋a在[2，＋∞)上单调递减；命题q：g(x)＝log a(－x2－x＋2)的单调递增区间为[－12，1)．若命题p∧q为真命题．求实数a的取值范围．。