课件：命题与量词

第18讲命题与量词、命题的四种形式知识点一：命题：1. 定义：一般地，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的语句叫做命题.（1）命题由题设和结论两部分构成. 命题通常用小写英文字母表示，如p,q,r,m,n 等.（2）命题有真假之分，正确的命题叫做真命题，错误的命题叫做假命题. 数学中的定义、公理、定理等都是真命题（3）命题“”的真假判定方式：①若要判断命题“”是一个真命题，需要严格的逻辑推理；有时在推导时加上语气词“一定”能帮助判断。

如：一定推出.②若要判断命题“”是一个假命题，只需要找到一个反例即可.例如：“不一定等于3”不能判定真假，它不是命题.知识点二：四种命题1. 四种命题的形式：用p和q分别表示原命题的条件和结论，用p和q分别表示p和q的否定，则四种命题的形式为：原命题：若p则q；逆命题：若q则p；否命题：若p则q；逆否命题：若q则p.2. 四种命题的关系：①原命题逆否命题.它们具有相同的真假性，是命题转化的依据和途径之一.②逆命题否命题，它们之间互为逆否关系，具有相同的真假性，是命题转化的另一依据和途径.除①、②之外，四种命题中其它两个命题的真伪无必然联系.四种命题及其关系：关于逆命题、否命题、逆否命题，也可以有如下表述：第一：交换原命题的条件和结论，所得的命题为逆命题；第二：同时否定原命题的条件和结论，所得的命题为否命题；第三：交换原命题的条件和结论，并且同时否定，所得的命题为逆否命题；知识点三：全称量词与存在量词：1. 全称量词与存在量词：全称量词及表示：表示全体的量词称为全称量词。

表示形式为“所有”、“任意”、“每一个”等，通常用符号“”表示，读作“对任意”。

含有全称量词的命题，叫做全称命题。

全称命题“对M中任意一个x，有p(x)成立”可表示为“”，其中M为给定的集合，p(x)是关于x的命题.（II）存在量词及表示：表示部分的量称为存在量词。

表示形式为“有一个”，“存在一个”,“至少有一个”，“有点”,“有些”等，通常用符号“”表示，读作“存在”。

命题与量词教学讲义基础知识1．命题(1)全称量词：“任意”“所有”“每一个”在陈述中表示所述事物的全体，称为__全称量词__，用符号“∀”表示．(2)全称量词命题：含有全称量词的命题，称为全称量词命题．(3)符号表示：“对集合M 中的所有元素x ，r (x )”．可简记为：∀x ∈M ，r (x )． 3．存在量词与存在量词命题(1)存在量词：“存在”“有”“至少有一个”在陈述中表示所述事物的个体或部分，称为__存在量词__，用符号“∃”表示．(2)存在量词命题：含有存在量词的命题，称为存在量词命题．(3)符号表示：“存在集合M 中的元素x ，s (x )”．可简记为：∃x ∈M ，s (x )．基础自测1．下列语句：①3>2；②π是有理数吗？③sin 30°＝12；④x 2－1＝0有一个根为x ＝－1；⑤x >5.其中是命题的是( B ) A ．①②③ B ．①③④ C ．③D ．②⑤解析：①是真命题；②是疑问句不是命题；③是真命题；④也是真命题；⑤不能判断真假，不是命题．故选B ．2．下列命题中是存在量词命题的是( B ) A ．∀x ∈R ，x 2≥0 B ．∃x ∈R ，x 2<0C ．平行四边形的对边不平行D ．矩形的任一组对边都不相等解析：A ，C ，D 是全称量词命题，B 是存在量词命题． 3．下列命题中是全称量词命题并且是真命题的是( C )A ．每个二次函数的图像都开口向上B ．存在实数x ，平方为8C ．所有菱形的四条边都相等D ．存在一个实数x 0使不等式x 20－3x 0＋6<0成立解析：A 是全称量词命题但是假命题，B ，D 是存在量词命题，C 是全称量词命题且是真命题．4．将命题“x 2＋y 2≥2xy ”改写为全称量词命题为__对任意x ，y ∈R ，都有x 2＋y 2≥2xy 成立__.解析：“x 2＋y 2≥2xy ”是指对任意x ，y ∈R ，都有x 2＋y 2≥2xy 成立，故命题“x 2＋y 2≥2xy ”改写成全称量词命题为：对任意x ，y ∈R ，都有x 2＋y 2≥2xy 成立． 5．下列命题中，是真命题的为__①②③⑤__. ①5能整除15；②不存在实数x ，使得x 2－x ＋2<0； ③对任意实数x ，均有x －1<x ；④方程x 2＋3x ＋3＝0有两个不相等的实数根； ⑤不等式x 2＋x ＋1|x |<0的解集为空集．解析：对于①，由整数的整除性知该命题是真命题；对于②，因Δ<0，故x 2－x ＋2<0无解，所以该命题是真命题；对于③，因任意一个数减去一个正数后都小于原数，故该命题是真命题；对于④，因Δ<0，故方程x 2＋3x ＋3＝0无解，所以该命题是假命题；对于⑤，易知x 2＋x ＋1|x |>0，所以x 2＋x ＋1|x |<0的解集为空集，所以该命题是真命题．关键能力·攻重难类型 命题真假的判断 ┃┃典例剖析__■典例1 判断下列语句是不是命题，如果是，说明其真假． (1)奇数不能被2整除； (2)实数的平方是正数；(3)当(a －1)2＋(b －1)2＝0时，a ＝b ＝1；(4)已知x ，y 为正整数，当y ＝x ＋1时，y ＝3，x ＝2.思路探究：数学中要判定一个命题为真命题，需要经过严格的数学证明；要判定一个命题为假命题，只需举出一个反例即可．解析：(1)(2)(3)(4)都是陈述句，且能判断真假，因此都是命题．(1)是真命题．因为奇数是不能被2整除的整数．(2)是假命题．反例：0的平方还是0，不是正数．(3)是真命题．由(a－1)2＋(b－1)2＝0可得a－1＝0且b－1＝0，所以a＝b＝1.(4)是假命题．反例：y＝4，x＝3也满足y＝x＋1.归纳提升：判断一个语句是不是命题的关键点：(1)“是陈述句”．(2)“可以判断真假”，这两个条件缺一不可．一般来说，疑问句、祈使句、感叹句均不是命题．┃┃对点训练__■1．判断下列命题的真假：(1)一个角的补角必大于这个角；(2)一个有理数必有两个平方根；(3)直径所对的圆周角是直角；(4)两条直线被第三条直线所截，同位角相等；(5)等式两边都加同一个数，结果仍是等式．解析：(1)是假命题，例如设这个角是90°，它的补角是90°，而90°＝90°.(2)是假命题，例如有理数－1没有平方根．(3)是真命题，这是关于圆周角的结论．(4)是假命题，两条平行直线被第三条直线所截，同位角才相等．(5)是真命题，这是等式的性质．类型全称量词命题与存在量词命题的辨析┃┃典例剖析__■典例2判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题．(1)梯形的对角线相等；(2)存在一个四边形有外接圆；(3)二次方程都存在实数根；(4)负数没有对数．思路探究：首先确定量词，然后判断命题的类型．解析：(1)命题完整的表述应为“所有梯形的对角线相等”，很显然为全称量词命题．(2)命题为存在量词命题．(3)命题完整的表述为“所有的二次方程都存在实数根”，故为全称量词命题．(4)命题完整的表述是“所有负数都没有对数”，故为全称量词命题．归纳提升：判断一个语句是全称量词命题，还是存在量词命题的思路┃┃对点训练__■2．判断下列语句是全称量词命题，还是存在量词命题：(1)对任意的n∈Z,2n＋1是奇数；(2)有些三角形不是等腰三角形；(3)有的实数是无限不循环小数；(4)所有的正方形都是矩形．解析：(1)含有全称量词“任意”，故为全称量词命题．(2)含有存在量词“有些”，故为存在量词命题．(3)含有存在量词“有的”，故为存在量词命题．(4)含有全称量词“所有”，故为全称量词命题．类型全称量词命题、存在量词命题的真假判断┃┃典例剖析__■典例3(1)判断下列全称量词命题的真假：①所有的整数都是有理数；②∀x∈R，x2＋1≥1；③对每一个无理数x，x2也是无理数；④末位是0的整数，可以被5整除．(2)判断下列存在量词命题的真假：①至少有一个整数，它既能被2整除，又能被5整除；②∃x∈Q，x2＝3；③∃x∈Z，x3<1；④存在正实数x，y，使x2＋y2＝0.思路探究：对于全称量词命题，判断为真，需要证明，判断为假，举出反例；对于存在量词命题，判断为真，举出特例，判断为假，需要证明．解析：(1)①整数和分数统称为有理数，所以该命题是真命题．②因为x∈R，所以x2≥0，所以x2＋1≥1，所以该命题是真命题．③2是无理数，但(2)2＝2是有理数，所以该命题是假命题． ④末位是0或5的整数，都能被5整除，所以该命题是真命题． (2)①真命题．如10.②假命题．由于使x 2＝3成立的x 的值只有±3，而它们都不是有理数．因此，任何一个有理数的平方都不等于3，所以该命题是假命题．③真命题．由于－1∈Z ，当x ＝－1时，能使x 3<1，所以该命题是真命题．④假命题．要使x 2＋y 2＝0成立，只有x ＝y ＝0，而0不是正实数，因而不存在正实数x ，y ，使x 2＋y 2＝0，因此，该命题是假命题．归纳提升：判断全称量词命题和存在量词命题真假的方法(1)要判断一个全称量词命题为真，必须给定集合中的每一个元素x ，使命题p (x )为真；但要判断一个全称量词命题为假时，只要在给定的集合中找到一个元素x ，使命题p (x )为假． (2)要判断一个存在量词命题为真，只要在给定的集合中找到一个元素x ，使命题p (x )为真；要判断一个存在量词命题为假，必须对给定集合中的每一个元素x ，使命题p (x )为假． ┃┃对点训练__■3．下列命题中的假命题是( B ) A ．∀x ∈R ，|x |＋1>0 B ．∀x ∈N ＋，(x －1)2>0 C ．∃x ∈R ，1x<1D ．∃x ∈R,5x －3＝2解析：A 项，∵x ∈R ，∴|x |＋1>0，故A 正确；B 项，∵x ∈N ＋，∴当x ＝1时，(x －1)2＝0与(x －1)2>0矛盾，故B 错误；C 项，当x >1时，1x <1，故C 正确；D 项，当x ＝1时，5x －3＝2，故D 正确．易混易错警示 判断命题真假时考虑不全 ┃┃典例剖析__■典例4 (2019·石家庄高中毕业年级质检)给定集合A ，若对于任意a ，b ∈A ，有a ＋b ∈A ，且a －b ∈A ，则称集合A 为闭集合，给出如下三个结论： ①集合A ＝{－4，－2,0,2,4}为闭集合； ②集合A ＝{n |n ＝3k ，k ∈Z }为闭集合；③若集合A 1，A 2为闭集合，则A 1∪A 2为闭集合． 其中正确结论的序号是__②__.错因探究：A 1，A 2为闭集，存在A 1∪A 2不是闭集，不满足闭集条件．解析：①中，－4＋(－2)＝－6∉A ，所以①不正确；②中设n 1，n 2∈A ，n 1＝3k 1，n 2＝3k 2，k 1，k 2∈Z ，则n 1＋n 2∈A ，n 1－n 2∈A ，所以②正确；③令A 1＝{n |n ＝5k ，k ∈Z }，A 2＝{n |n ＝2k ，k ∈Z }，则A 1，A 2为闭集合，但A 1∪A 2不是闭集合，所以③不正确．误区警示：判断命题的真假，一定要全面分析命题中的相关条件与结论，做到心中有数，切忌主观臆断，丢三落四．学科核心素养 含有量词命题中参数范围的策略 ┃┃典例剖析__■已知含量词的命题真假求参数的取值范围，实质上是对命题意义的考查．解决此类问题，一定要辨清参数，恰当选取主元，合理确定解题思路．解决此类问题的关键是根据含量词命题的真假转化为相关数学知识，利用集合、方程、不等式等知识求解参数的取值范围，解题过程中要注意变量取值范围的限制． 典例5 (1)已知命题p (x )：x ＋1>x 为真命题，求x 的取值范围． (2)存在x ∈R ，使x 2＋x ＋a ＝0成立，求实数a 的取值范围．(3)已知集合A ＝{x |x >2}，B ＝{x |x >a }，若∀a ∈A ，都有a ∈B 成立，求实数a 的取值范围． 思路探究：把存在与恒成立问题转化为不等式端点值的大小关系． 解析：(1)因为x ＋1>x ，所以1>0(此式恒成立)，所以x ∈R .(2)因为存在x ∈R ，使x 2＋x ＋a ＝0成立，所以方程x 2＋x ＋a ＝0存在实数根，则Δ＝1－4a ≥0，解得a ≤14，即实数a 的取值范围是a ≤14.(3)因为∀a ∈A ，都有∀a ∈B 成立，所以A ⊆B ，则a ≤2，即实数a 的取值范围是a ≤2.课堂检测·固双基1．(多选)下列命题是全称量词命题的是( ABD ) A ．中国公民都有受教育的权利 B ．每一个中学生都要接受爱国主义教育 C ．有人既能写小说，也能搞发明创造 D ．任何一个数除0，都等于0 解析：A 、B 、D 都是全称量词命题． 2．下列命题中是真命题的是( B ) A ．∃x ∈R ，x 2＋1<0 B ．∃x ∈Z,3x ＋1是整数 C ．∀x ∈R ，|x |>3D ．∀x ∈Q ，x 2∈Z解析：A 是假命题．因为∀x ∈R ，x 2＋1>1；B 是真命题．当x ＝1时，3x ＋1＝4是整数；C 是假命题．如x ＝2时，|x |<3；D 是假命题．如x ＝12，x 2∉Z .3．下列命题中，是全称量词命题的有__①②③__，是存在量词命题的有__④__.(填序号) ①正方形的四条边相等；②所有有两个角是45°的三角形是等腰直角三角形；③正数的平方根不等于0；④至少有一个正整数是偶数；⑤所有正数都是实数吗？解析：④为存在量词命题，①②③为全称量词命题，而⑤不是命题．4．给出命题p：∃x≥3，使得2x－1<m，已知p是假命题，则实数m的取值范围是__m≤5__.解析：∵x∈[3，＋∞)，∴2x－1∈[5，＋∞)，当命题p为真命题时，即∃x∈[3，＋∞)，使2x－1<m成立，则m>5，∴命题p为假命题时，实数m的取值范围是m≤5.5．判断下列命题的真假：(1)∀x>0，x＋1>1；(2)若a>b，则a2>b2.解析：(1)∵x>0，∴x＋1>1，∴x＋1>1，命题为真．(2)取a＝0，b＝－1，显然a>b，但a2>b2不成立，∴命题为假．A级基础巩固一、单选题(每小题5分，共25分)1．下列四个命题中真命题的序号为(D)①3≥3；②100或50是10的倍数；③有两个角是锐角的三角形是锐角三角形；④等腰三角形至少有两个内角相等．A．①B．①②C．①②③D．①②④解析：①3≥3是3>3或者3＝3，所以①是真命题．②100和50都是10的倍数，所以②是真命题．③举一反例，若A＝15°，B＝15°，则C为150°，三角形为钝角三角形，所以③是假命题．④根据等腰三角形的定义可知④是真命题．故选D．2．以下四个命题既是存在量词命题又是真命题的是(B)A．锐角三角形的内角全是锐角B．至少有一个实数x，使x2≤0C．两个无理数的和必是无理数D ．存在一个负数x ，使1x>2解析：A 是全称量词命题．B 项为存在量词命题，当x ＝0时，x 2＝0成立，所以B 正确． 3．下列全称量词命题中假命题的个数是( C ) ①2x ＋1是整数(x ∈R )； ②对所有的x ∈R ，x >3；③对任意一个x ∈Z,2x 2＋1为奇数． A ．0个 B ．1个 C ．2个D ．3个解析：只有③是真命题．4．下列命题不是“∃x ∈R ，x 2>3”的另一种表述的是( C ) A ．有一个x ∈R ，使得x 2>3成立 B ．对有些x ∈R ，使得x 2>3成立 C ．任选一个x ∈R ，使得x 2>3成立 D ．至少有一个x ∈R ，使得x 2>3成立 解析：选项C 是全称量词命题，符合题意．5．下列命题：①面积相等的三角形是全等三角形；②若xy ＝0，则|x |＋|y |＝0；③若a >b ，则ac 2>bc 2；④矩形的对角线互相垂直．其中假命题的个数是( D ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4 解析：对于①，面积相等的三角形不一定全等，所以是假命题；对于②，xy ＝0，则x ＝0或y ＝0，不能得到|x |＋|y |＝0，所以是假命题；对于③，当c ＝0时，ac 2＝bc 2，所以是假命题；对于④，矩形的对角线不一定互相垂直，所以是假命题，综上所述，假命题有4个，故选D ． 二、填空题(每小题5分，共15分)6．命题p ：∃x ∈R ，x 2－2x ＋1≤0是__真__命题(填“真”或“假”)．解析：由于x 2－2x ＋1＝(x －1)2≤0，当且仅当x ＝1时等号成立．故命题p 为真命题． 7．若命题“∀x ∈[a,6]，x 2≥4”是真命题，则实数a 的取值范围是__[2,6)__. 解析：由题意可得当a ∈[2,6)时，a 2≥4恒成立．故实数a 的取值范围是[2,6)．8．已知P (x )：x 2－2x －m >0，如果P (1)是假命题，P (2)是真命题，则实数m 的取值范围是__－1≤m <0__.解析：由题意得m 满足⎩⎪⎨⎪⎧P (1)假，P (2)真，即⎩⎪⎨⎪⎧－1－m ≤0，－m >0.解得－1≤m <0.三、解答题(共20分)9．(10分)判断下列命题的真假： (1)∃x ∈R ，x 2＋2<0；(2)∀x ∈[0，＋∞)，x ＋2＝x ＋2； (3)∃x ∈R ，x 2<0； (4)∃x ∈Z ，x 2是自然数； (5)∃a ，b ∈R ，(a －b )2＝a 2－b 2.解析：(1)假命题；(2)假命题；(3)假命题；(4)真命题；(5)真命题．10．(10分)用符号“∀”(“∀”表示“任意”)或“∃”(“∃”表示“存在”)表示下面的命题，并判断真假： (1)实数的平方大于或等于0；(2)存在一对实数(x ，y )，使2x －y ＋1<0成立； (3)勾股定理．解析：(1)这是全称量词命题，隐藏了全称量词“所有的”．改写后命题为：∀x ∈R ，x 2≥0，它是真命题．(2)改写后命题为：∃(x ，y )，x ∈R ，y ∈R,2x －y ＋1<0，它是真命题．如x ＝0，y ＝2时，2x －y ＋1＝0－2＋1＝－1<0成立．(3)这是全称量词命题，所有的直角三角形都满足勾股定理．改写后命题为：∀Rt △ABC ，a ，b 为直角边长，c 为斜边长，a 2＋b 2＝c 2，它是真命题．。