命题与量词

命题与量词首先看下面几个句子。

(1)空集是任何集合的子集。

(2)指数函数是增函数。

(3)如果a>b,a>c,那么b=c 。

(4)1+1=2这些语句都可以判断真假。

像这样一些能判断真假的语句就是命题。

一个命题要么真，要么假，不能既真又假、模棱两可、无法判断其真假。

需要注意两点并不是任何语句都是命题，只有那些能判断真假的语句才是命题。

疑问句、祈使句、感叹句都不是命题。

“三角函数是周期函数吗”“但愿每人生活的很好”“花真漂亮”都不是命题。

表示方法：一个命题，一般可以用一个小写英文字母表示，如p ，q ，r ·············例1、判断下列句子中哪些是命题?若为命题并判断真假。

(1)空集是任何集合的子集。

(2)指数函数是增函数吗？(3)如果a>b,a>c,那么b=c 。

(4)x ＞15(5)指数函数的图像真漂亮！(6)作∠A 的平分线(7)若平面上两条直线不相交，则这两条直线平行。

(8)负数都小于零;(9)3大于2吗？(10)好人一生平安!量词是整数15;012-=-x x ，这些含有变量x 的语句，可用符号p(x),q(x)表示，由于不知x 代表什么数，无法判断它们真假，不是命题。

当赋予变量x 某个值或一定的条件时，这些含有变量的语句又变成可以判定真假的语句，从而成为命题。

p(x)：;012=-x q(x)：是整数15-x 都不是命题如果赋予变量x 某个数值，如x=5,p(5)：;0152=-q(5)：是整数155-⨯如果在语句p(x)或q(x)的前面加上“对所有整数x ”的条件，又可以得出：P1：对所有整数x ，;012=-x Q1：对所有整数x ，是整数15-x 短语“所有”在陈述中表示所述事物的全体，逻辑中通常叫做全称量词，用符号∀表示，含有全称量词的命题，叫做全称命题。

《命题与量词》说课稿尊敬的各位评委、老师：大家好！今天我说课的题目是《命题与量词》。

下面我将从教材分析、学情分析、教学目标、教学重难点、教法与学法、教学过程、板书设计这几个方面来展开我的说课。

一、教材分析本节课是高中数学人教 A 版必修第一册第一章集合与常用逻辑用语中的重要内容。

逻辑用语是数学语言的重要组成部分，是数学表达和交流的工具。

通过本节课的学习，学生将对命题的概念有清晰的认识，掌握量词的含义和使用方法，为后续学习充分条件、必要条件、全称量词命题和存在量词命题的否定等知识奠定基础。

在教材的编排上，先介绍了命题的概念，然后引入量词，通过实例让学生感受全称量词和存在量词的差异，逐步培养学生的逻辑推理能力和数学抽象素养。

二、学情分析学生在初中阶段已经接触过命题的相关知识，但对于命题的准确概念和量词的理解还不够深入。

在这个阶段，学生的抽象思维能力和逻辑推理能力有了一定的发展，但仍需要通过具体的例子和引导来加深对新知识的理解。

同时，学生在学习过程中可能会对一些抽象的概念感到困惑，例如全称量词和存在量词的符号表示以及它们所对应的命题的真假判断。

因此，在教学中要注重从具体到抽象，引导学生逐步理解和掌握。

三、教学目标1、知识与技能目标（1）理解命题的概念，能够判断一个语句是否为命题，并能区分命题的条件和结论。

（2）理解全称量词和存在量词的含义，能够用符号表示全称量词命题和存在量词命题，并判断其真假。

2、过程与方法目标（1）通过对具体实例的分析，培养学生的观察、分析和归纳能力。

（2）通过对命题和量词的学习，提高学生的逻辑推理能力和数学抽象素养。

3、情感态度与价值观目标（1）让学生体会数学语言的严谨性和准确性，培养学生严谨的治学态度。

（2）激发学生学习数学的兴趣，培养学生勇于探索、敢于创新的精神。

四、教学重难点1、教学重点（1）命题的概念和判断。

（2）全称量词和存在量词的含义及符号表示。

（3）全称量词命题和存在量词命题的真假判断。

第18讲命题与量词、命题的四种形式知识点一：命题：1. 定义：一般地，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的语句叫做命题.（1）命题由题设和结论两部分构成. 命题通常用小写英文字母表示，如p,q,r,m,n 等.（2）命题有真假之分，正确的命题叫做真命题，错误的命题叫做假命题. 数学中的定义、公理、定理等都是真命题（3）命题“”的真假判定方式：①若要判断命题“”是一个真命题，需要严格的逻辑推理；有时在推导时加上语气词“一定”能帮助判断。

如：一定推出.②若要判断命题“”是一个假命题，只需要找到一个反例即可.例如：“不一定等于3”不能判定真假，它不是命题.知识点二：四种命题1. 四种命题的形式：用p和q分别表示原命题的条件和结论，用p和q分别表示p和q的否定，则四种命题的形式为：原命题：若p则q；逆命题：若q则p；否命题：若p则q；逆否命题：若q则p.2. 四种命题的关系：①原命题逆否命题.它们具有相同的真假性，是命题转化的依据和途径之一.②逆命题否命题，它们之间互为逆否关系，具有相同的真假性，是命题转化的另一依据和途径.除①、②之外，四种命题中其它两个命题的真伪无必然联系.四种命题及其关系：关于逆命题、否命题、逆否命题，也可以有如下表述：第一：交换原命题的条件和结论，所得的命题为逆命题；第二：同时否定原命题的条件和结论，所得的命题为否命题；第三：交换原命题的条件和结论，并且同时否定，所得的命题为逆否命题；知识点三：全称量词与存在量词：1. 全称量词与存在量词：全称量词及表示：表示全体的量词称为全称量词。

表示形式为“所有”、“任意”、“每一个”等，通常用符号“”表示，读作“对任意”。

含有全称量词的命题，叫做全称命题。

全称命题“对M中任意一个x，有p(x)成立”可表示为“”，其中M为给定的集合，p(x)是关于x的命题.（II）存在量词及表示：表示部分的量称为存在量词。

表示形式为“有一个”，“存在一个”,“至少有一个”，“有点”,“有些”等，通常用符号“”表示，读作“存在”。

1.2 常用逻辑用语1.2.1 命题与量词1．命题可供真假判断的陈述语句是命题，而且，判断为真的语句称为真命题，判断为假的语句称为假命题．2．全称量词和全称量词命题(1)一般地，“任意”“所有”“每一个”在陈述中表示所述事物的全体，称为全称量词，并用符号“∀”表示．(2)含有全称量词的命题叫做全称量词命题，通常将含有变量x的语句用p(x)，q(x)，r(x)，…表示，变量x的取值范围用M表示，那么全称量词命题“对M中任意一个x，p(x)成立”可用符号简记为∀x∈M，p(x)．3．存在量词和存在量词命题(1)“存在”“有”“至少有一个”在陈述中表示所述事物的个体或部分，称为存在量词，并用符号“∃”表示．(2)含有存在量词的命题，叫做存在量词命题，存在量词命题“存在集合M 中的元素x，p(x)成立”，可用符号简记为“∃x∈M，p(x)”．思考：“一元二次方程ax2＋2x＋1＝0有实数解”是存在量词命题还是全称量词命题？请改写成相应命题的形式．提示：是存在量词命题，可改写为“存在x∈R，使ax2＋2x＋1＝0”．1．下列语句中，命题的个数为()①空集是任何非空集合的真子集；②起立！③垂直于同一平面的两条直线平行吗？④若实数x，y满足x2＋y2＝0，则x＝y＝0.A．1B．2C．3D．4B[①④为命题，②是祈使句，③是疑问句，都不是命题，故选B.]2．下列命题中，全称量词命题的个数为()①平行四边形的对角线互相平分；②梯形有两边平行；③存在一个菱形，它的四条边不相等．A．0 B．1 C．2 D．3C[①②是全称量词命题，③是存在量词命题．]3．下列存在量词命题中真命题的个数是()①∃x∈R，x≤0；②至少有一个整数，它既不是合数，也不是素数；③∃x∈{x|x是整数}，x2是整数．A．0 B．1 C．2 D．3D[①②③都是真命题．]4．用存在量词表示下列语句：“有一个实数乘以任意一个实数都等于0”表示为________．[答案]存在一个实数x，它乘以任意一个实数都等于0【例1】A．m＋n B．{0}∈NC．函数与图像D．2x＞3(2)下列语句中不是命题的有________．(填序号)①无理数的平方是有理数吗？②王明同学的素描多么精彩啊！③若x，y都是奇数，则x＋y是偶数；④请说普通话；⑤x2－xy＋y2≥0.(1)B(2)①②④[(1)只有B选项可判断真假．(2)①不是命题，因为是疑问句不是陈述句；②④分别是感叹句和祈使句，所以都不是命题；③⑤是命题，因为它们能判断真假．]一般地，判定一个语句是不是命题，要先判断这个语句是不是陈述句，再看能不能判断真假．其流程图如图：1．下列语句中，是命题的为________．(填序号)①红豆生南国；②作射线AB；③中国领土不可侵犯！④当x≤1时，x2－3x＋2≤0.①④[②和③都不是陈述句，根据命题定义可知①④是命题．]【例2】A．{x∈N|x3＋1＝0}不是空集B．若1x＝1y，则x＝yC．对任意的a，b∈R，都有a2＋b2－2a－2b＋2＜0 D．若整数m是偶数，则m是合数B [A 中，x ∈N ，x 3≥0，{x ∈N |x 3＋1＝0}是空集，故为假命题；B 中，由1x ＝1y 可推出x ＝y ；C 中，因为a 2＋b 2－2a －2b ＋2＝(a －1)2＋(b －1)2≥0，故是假命题；D 中，2是偶数，但2是质数，故是假命题．]判断命题真假性的两个技巧(1)真命题：判断一个命题为真命题时，会涉及学习过的概念、定理、公理、法则、公式等，借助于题目中的已知条件，经过严格科学的推理论证得出要证的结论．(2)假命题：判断一个命题为假命题时，只要举一反例即可．2．下列四个命题为真命题的有( )①若x ＞1，则x 2＞1；②梯形不是平行四边形； ③全等三角形的面积相等．A ．1个B ．2个C ．3个D ．0个C [①②③是真命题．]【例3①任何实数都有立方根； ②所有的质数都是奇数； ③有的平行四边形是矩形； ④三角形的内角和是180°.A ．0B ．1C ．2D ．3D [命题①②含有全称量词，而命题④可以叙述为“每一个三角形的内角和都是180°”，故有3个全称量词命题：①②④.]全称量词命题的常用表示形式：(1)所有的 x ∈M ，r (x )；(2)对一切x ∈M ，r (x )；(3)对每一个x∈M，r(x)；(4)任选一个x∈M，r(x)；(5)任意x∈M，r(x).3．下列不是全称量词命题的是()A．任何一个实数乘零都得零B．自然数都是整数C．高一(1)班绝大多数同学是团员D．每一个四边形的内角和都是180°C[“高一(1)班绝大多数同学是团员”，即“高一(1)班有的同学不是团员”，不是全称量词命题．]【例4①至少有一个偶数是质数；②∃x∈R，x2－1＞0; ③有的平行四边形是菱形．A．0 B．1 C．2 D．3D[①中含有存在量词“至少有一个”，所以是存在量词命题；②中含有存在量词符号“∃”，所以是存在量词命题；③中含有存在量词“有的”，所以是存在量词命题．]存在量词命题的常用表示形式：(1)存在x∈M，s(x)；(2)至少有一个x∈M，s(x)；(3)对有些x∈M，s(x)；(4)对某个x∈M，s(x)；(5)有一个x∈M，s(x).)4．下列语句是存在量词命题的是()A．整数n是2和5的倍数B．存在整数n，使n能被7整除C．x＞7D．∀x∈M，p(x)成立B[B选项中有存在量词“存在”，故是存在量词命题，A和C不是命题，D是全称量词命题. ](1)不等式x2＋x＋1＞0恒成立；(2)当x为有理数时，13x2＋12x＋1也是有理数；(3)方程3x－2y＝10有整数解．[解](1)对任意实数x，不等式x2＋x＋1＞0成立．(2)对任意有理数x, 13x2＋12x＋1是有理数．(3)存在一对整数x，y，使3x－2y＝10成立．1．判断一个命题是存在量词命题，还是全称量词命题，要根据命题中所含量词来判断．2．有些命题中表面上看并不含量词，但从意义上理解却含有“全部”“所有”等这样的意思，也是全称量词命题．5．用全称量词或存在量词表示下列语句．(1)有理数都能写成分数形式；(2)方程x2＋2x＋8＝0有实数解．[解](1)任意一个有理数都能写成分数形式．(2)存在实数x，使方程x2＋2x＋8＝0成立．(1)∀x∈R，x2＋2＞0;(2)∀x∈N，x4≥1；(3)∃x∈Z，x3＜1；(4)∀x∈Q，x2＝3.[解](1)由于x∈R，都有x2≥0，因而有x2＋2≥2＞0，即x2＋2＞0，所以命题“∀x∈R，x2＋2＞0”是真命题．(2)由于0∈N，当x＝0时，x4≥1不成立，所以命题“∀x∈N，x4≥1”是假命题．(3)由于－1∈Z，当x＝－1时，能使x3＜1，所以命题“∃x∈Z，x3＜1”是真命题．(4)由于使x2＝3成立的数只有±3，而它们都不是有理数．因此，任何一个有理数的平方都不等于3，所以命题“∀x∈Q，x2＝3”是假命题．1．要判定一个全称量词命题是真命题，必须对限定的集合M中的每一个元素x，验证p(x)成立；要判定一个全称量词命题是假命题，只要能举出集合M 中的一个x＝x0，使p(x0)不成立即可．2．判断一个存在量词命题真假的依据：若在限定集合M中，至少能找到一个x＝x0，使p(x0)成立，则这个存在量词命题是真命题，否则是假命题．6．判断下列命题的真假．(1)在平面直角坐标系中，任意有序实数对(x，y)都对应一点P;(2)每一条线段的长度都能用正有理数表示；(3)存在一个实数x，使等式x2＋x＋8＝0成立．[解](1)真命题. (2)假命题，如边长为1的正方形的对角线长2，它的长度就不能用有理数表示．(3)假命题，因为该方程的判别式Δ＝－31＜0，故无实数解．1．根据命题的意义，可以判断真假的陈述句是命题，真命题要给出证明，假命题只需举一反例即可．2．判断命题是全称量词命题还是存在量词命题，主要是看命题中是否含有全称量词和存在量词，有些全称量词命题虽然不含全称量词，可以根据命题涉及的意义去判断．3．要确定一个全称量词命题是真命题，需保证该命题对所有的元素都成立；若能举出一个反例说明命题不成立，则该全称量词命题是假命题．4．要确定一个存在量词命题是真命题，举出一个例子说明该命题成立即可；若经过逻辑推理得到命题对所有的元素都不成立，则该存在量词命题是假命题.1．下列语句不是命题的有()①若a>b，b>c，则a>c；②x>2；③3<7.A．0个B．1个C．2个D．3个B[①③是可以判断真假的陈述句，是命题；②不能判断真假，不是命题．] 2．下列命题是存在量词命题的是()A．对顶角相等B．正方形都是四边形C．不相交的两条直线是平行直线D．存在实数大于等于1D[选项D中含有存在量词“存在”，所以根据存在量词命题的定义知选D.]3．下列命题：①所有合数都是偶数；②x∈R，(x－1)2＋1≥1；③有些无理数的平方还是无理数．其中既是全称量词命题，又是真命题的个数是() A．0 B．1 C．2 D．3B[命题①是假命题；命题②既是全称量词命题，又是真命题；命题③既是存在量词命题，又是真命题，故选B.]4．下列命题：①若xy＝1，则x，y互为倒数；②平行四边形是梯形；③若x，y互为相反数，则x＋y＝0，其中真命题为________．①③[①是真命题；②平行四边形不是梯形，假命题；③是真命题．]。