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§1.2命题与量词、基本逻辑联结词2014高考会这样考 1.以量词为载体，判断命题的真假；2.考查基本逻辑联结词的含义，在与其他知识交汇处命题．复习备考要这样做 1.充分理解逻辑联结词的含义，注意和日常用语的区别；2.对量词的练习要在“含一个量词”框架内进行，不要随意加深；3.注意逻辑与其他知识的交汇．1．命题的概念能够判断真假的语句叫做命题．其中判断为真的语句叫真命题，判断为假的语句叫假命题．2．全称量词与全称命题(1)全称量词：短语“所有”在陈述中表示所述事物的全体，逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“∀”表示．(2)全称命题：含有全称量词的命题．(3)全称命题的符号表示：形如“对M中的所有x，p(x)”的命题，用符号简记为“∀x∈M，p(x)”．3．存在量词与存在性命题(1)存在量词：短语“有一个”或“有些”或“至少有一个”在陈述中表示所述事物的个体或部分，逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“∃”表示．(2)存在性命题：含有存在量词的命题．(3)存在性命题的符号表示：形如“存在集合M中的元素x，q(x)”的命题，用符号简记为∃x∈M，q(x)．(4)全称命题与存在性命题的否定4．(1)命题中的“且”、“或”、“非”叫做逻辑联结词．(2)命题真值表：[难点正本1．命题的否定与否命题“否命题”是对原命题“若p，则q”的条件和结论分别加以否定而得到的命题，它既否定其条件，又否定其结论；“命题的否定”即“非p”，只是否定命题p的结论．命题的否定与原命题的真假总是对立的，即两者中有且只有一个为真，而原命题与否命题的真假无必然联系．2．逻辑联结词“或”的含义逻辑联结词中的“或”的含义，与并集概念中的“或”的含义相同．如“x∈A或x∈B”，是指：x∈A且x∉B；x∉A且x∈B；x∈A且x∈B三种情况．再如“p真或q 真”是指：p真且q假；p假且q真；p真且q真三种情况．1．下列命题中，所有真命题的序号是________．①5>2且7>4；②3>4或4>3；③2不是无理数．答案①②解析①5>2和7>4都真，故5>2且7>4也真．②3>4假，4>3真，故3>4或4>3真．③2是无理数，故2不是无理数为假命题．点评对含有“或”、“且”、“非”的复合命题的判断，先判断简单命题，再根据真值表判断复合命题．2．已知命题p：∃x∈R，x2＋1x2≤2，命题q是命题p的否定，则命题p、q、p∧q、p∨q中是真命题的是________．答案p、p∨q解析x＝±1时，p成立，所以p真，q假，p∨q真，p∧q假．3．若命题“∃x∈R，有x2－mx－m<0”是假命题，则实数m的取值范围是________．答案[－4,0]解析“∃x∈R有x2－mx－m<0”是假命题，则“∀x∈R有x2－mx－m≥0”是真命题．即Δ＝m2＋4m≤0，∴－4≤m≤0.4．(2012·湖北)命题“∃x ∈∁R Q ，x 3∈Q ”的否定是 ( )A ．∃x ∁R Q ，x 3∈QB ．∃x ∈∁R Q ，x 3QC ．∀x ∁R Q ，x 3∈QD ．∀x ∈∁R Q ，x 3Q答案 D解析 “∃”的否定是“∀”，x 3∈Q 的否定是x 3Q .命题“∃x ∈∁R Q ，x 3∈Q ”的否定是“∀x ∈∁R Q ，x 3Q ”，故应选D. 5．有四个关于三角函数的命题： p 1：∃x ∈R ，sin 2x 2＋cos 2x 2＝12p 2：∃x ，y ∈R ，sin(x －y )＝sin x －sin y p 3：∀x ∈[0，π]，1－cos 2x2＝sin x p 4：sin x ＝cos y ⇒x ＋y ＝π2其中的假命题是( )A ．p 1，p 4B ．p 2，p 4C ．p 1，p 3D ．p 2，p 3答案 A解析 p 1为假命题；对于p 2，令x ＝y ＝0，显然有sin(x －y )＝sin x －sin y ，即p 2为真命题；对于p 3，由sin 2x ＝1－cos 2x2，当x ∈[0，π]时，sin x ≥0，sin x ＝1－cos 2x2.于是可判断p 3为真命题；对于p 4，当x ＝5π4时，有sin x ＝cos y ＝－22，这说明p 4是假命题.题型一 含有逻辑联结词的命题的真假例1 已知命题p 1：函数y ＝2x －2－x 在R 上为增函数，p 2：函数y ＝2x ＋2－x 在R 上为减函数，则在命题q 1：p 1∨p 2，q 2：p 1∧p 2，q 3：(綈p 1)∨p 2和q 4：p 1∧(綈p 2)中，真命题是( )A ．q 1，q 3B ．q 2，q 3C ．q 1，q 4D ．q 2，q 4思维启迪：先判断命题p 1、p 2的真假，然后对含逻辑联结词的命题根据真值表判断真假．答案 C解析 命题p 1是真命题，p 2是假命题，故q 1为真，q 2为假，q 3为假，q 4为真． 探究提高 (1)判断含有逻辑联结词的复合命题的真假，关键是对逻辑联结词“且”“或”“非”含义的理解．(2)解决该类问题的基本步骤：①弄清构成复合命题中简单命题p 和q 的真假；②明确其构成形式；③根据复合命题的真假规律判断构成新命题的真假．写出由下列各组命题构成的“p ∨q ”、“p ∧q ”、“綈p ”形式的复合命题，并判断真假：(1)p ：1是素数；q ：1是方程x 2＋2x －3＝0的根；(2)p ：平行四边形的对角线相等；q ：平行四边形的对角线互相垂直；(3)p ：方程x 2＋x －1＝0的两实根的符号相同；q ：方程x 2＋x －1＝0的两实根的绝对值相等．解 (1)p ∨q ：1是素数或是方程x 2＋2x －3＝0的根．真命题． p ∧q ：1既是素数又是方程x 2＋2x －3＝0的根．假命题． 綈p ：1不是素数．真命题．(2)p ∨q ：平行四边形的对角线相等或互相垂直．假命题． p ∧q ：平行四边形的对角相等且互相垂直．假命题． 綈p ：有些平行四边形的对角线不相等．真命题．(3)p ∨q ：方程x 2＋x －1＝0的两实根的符号相同或绝对值相等．假命题． p ∧q ：方程x 2＋x －1＝0的两实根的符号相同且绝对值相等．假命题． 綈p ：方程x 2＋x －1＝0的两实根的符号不相同．真命题． 题型二 含有一个量词的命题的否定例2 写出下列命题的否定，并判断其真假： (1)p ：∀x ∈R ，x 2－x ＋14≥0；(2)q ：所有的正方形都是矩形； (3)r ：∃x ∈R ，x 2＋2x ＋2≤0； (4)s ：至少有一个实数x 使x 3＋1＝0.思维启迪：否定量词，否定结论，写出命题的否定；判断命题的真假． 解 (1)綈p ：∃x ∈R ，x 2－x ＋14<0，假命题．(2)綈q ：至少存在一个正方形不是矩形，假命题． (3)綈r ：∀x ∈R ，x 2＋2x ＋2>0，真命题．(4)綈s ：∀x ∈R ，x 3＋1≠0，假命题．探究提高 全称命题与存在性命题的否定与命题的否定有一定的区别，否定全称命题和存在性命题时，一是要改写量词，全称量词改写为存在量词，存在量词改写为全称量词；二是要否定结论．而一般命题的否定只需直接否定结论即可．(1)已知命题p ：∀x ∈R ，sin x ≤1，则( )A ．綈p ：∃x ∈R ，sin x ≥1B ．綈p ：∀x ∈R ，sin x ≥1C ．綈p ：∃x ∈R ，sin x >1D ．綈p ：∀x ∈R ，sin x >1(2)命题p ：∃x ∈R,2x ＋x 2≤1的否定綈p 为__________________________________． 答案 (1)C (2)∀x ∈R,2x ＋x 2>1 题型三 逻辑联结词与命题真假的应用例3 已知p ：方程x 2＋mx ＋1＝0有两个不相等的负实数根；q ：不等式4x 2＋4(m －2)x ＋1>0的解集为R .若“p ∨q ”为真命题，“p ∧q ”为假命题，求实数m 的取值范围． 思维启迪：判断含有逻辑联结词的命题的真假，关键是判断对应p ，q 的真假，然后 判断“p ∧q ”，“p ∨q ”，“綈p ”的真假．解 p 为真命题⇔⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝m 2－4>0，－m <0⇒m >2；q 为真命题⇔Δ＝[4(m －2)]2－4×4×1<0⇒1<m <3.由“p ∨q ”为真命题，“p ∧q ”为假命题，知p 与q 一真一假．当p 真，q 假时，由⎩⎪⎨⎪⎧m >2，m ≤1或m ≥3⇒m ≥3；当p 假，q 真时，由⎩⎪⎨⎪⎧m ≤2，1<m <3⇒1<m ≤2.综上，知实数m 的取值范围是(1,2]∪[3，＋∞)．探究提高 含有逻辑联结词的命题要先确定构成命题的(一个或两个)命题的真假，求出此时参数成立的条件，再求出含逻辑联结词的命题成立的条件．已知a >0，设命题p ：函数y ＝a x 在R 上单调递增；命题q ：不等式ax 2－ax ＋1>0对∀x ∈R 恒成立．若“p 且q ”为假，“p 或q ”为真，求a 的取值范围． 解 ∵函数y ＝a x 在R 上单调递增，∴p ：a >1. 不等式ax 2－ax ＋1>0对∀x ∈R 恒成立，且a >0，∴a 2－4a <0，解得0<a <4，∴q ：0<a <4.∵“p ∧q ”为假，“p ∨q ”为真，∴p 、q 中必有一真一假．①当p 真，q 假时，⎩⎪⎨⎪⎧a >1a ≥4，得a ≥4.②当p 假，q 真时，⎩⎪⎨⎪⎧0<a ≤10<a <4，得0<a ≤1.故a 的取值范围为(0,1]∪[4，＋∞)．借助逻辑联结词求解参数范围问题典例：(12分)已知c >0，且c ≠1，设p ：函数y ＝c x 在R 上单调递减；q ：函数f (x )＝x 2－2cx ＋1在⎝⎛⎭⎫12，＋∞上为增函数，若“p 且q ”为假，“p 或q ”为真，求实数c 的取值范围．审题视角 (1)p 、q 都为真时，分别求出相应的a 的取值范围；(2)用补集的思想，求 出綈p 、綈q 分别对应的a 的取值范围；(3)根据“p 且q ”为假、“p 或q ”为真，确 定p 、q 的真假． 规范解答解 ∵函数y ＝c x 在R 上单调递减，∴0<c <1. [2分] 即p ：0<c <1，∵c >0且c ≠1，∴綈p ：c >1.[3分]又∵f (x )＝x 2－2cx ＋1在⎝⎛⎭⎫12，＋∞上为增函数，∴c ≤12. 即q ：0<c ≤12，∵c >0且c ≠1，∴綈q ：c >12且c ≠1.[5分]又∵“p 或q ”为真，“p 且q ”为假， ∴p 真q 假或p 假q 真． [6分]①当p 真，q 假时，{c |0<c <1}∩⎩⎨⎧⎭⎬⎫c |c >12且c ≠1＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫c |12<c <1.[8分] ②当p 假，q 真时，{c |c >1}∩⎩⎨⎧⎭⎬⎫c |0<c ≤12＝∅.[10分]综上所述，实数c 的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫c |12<c <1.[12分]第一步：求命题p 、q 对应的参数的范围． 第二步：求命题綈p 、綈q 对应的参数的范围．第三步：根据已知条件构造新命题，如本题构造新命题“p 且q ”或“p 或q ”．第四步：根据新命题的真假，确定参数的范围． 第五步：反思回顾．查看关键点、易错点及解题规范．温馨提醒 解决此类问题的关键是准确地把每个条件所对应的参数的取值范围求解出来，然后转化为集合交、并、补的基本运算．答题时，可依答题模板的格式进行，这样可使答题思路清晰，过程完整．老师在阅卷时，便于查找得分点.方法与技巧1．要写一个命题的否定，需先分清其是全称命题还是存在性命题，对照否定结构去写，并注意与否命题的区别；对于命题否定的真假，可以直接判定，也可以先判定原命题，再判定其否定．判断命题的真假要注意：全称命题为真需证明，为假举反例即可；存在性命题为真需举一个例子，为假则要证明全称命题为真．2．要把握命题的形成、相互转化，会根据复合命题来判断简单命题的真假． 3．全称命题与存在性命题可以互相转化，即从反面处理，再求其补集． 失误与防范1．p ∨q 为真命题，只需p 、q 有一个为真即可，p ∧q 为真命题，必须p 、q 同时为真． 2．p 或q 的否定：非p 且非q ；p 且q 的否定：非p 或非q . 3．全称命题的否定是存在性命题；存在性命题的否定是全称命题．4．简单逻辑联结词内容的考查注重基础、注重交汇，较多地考查简单逻辑与其他知识的综合问题，要注意其他知识的提取与应用，一般先化简转化命题，再处理关系．A 组 专项基础训练(时间：35分钟，满分：57分)一、选择题(每小题5分，共20分) 1．下列命题中的假命题是( )A ．∃x ∈R ，lg x ＝0B ．∃x ∈R ，tan x ＝1C ．∀x ∈R ，x 3>0D ．∀x ∈R,2x >0答案 C解析 对于A ，当x ＝1时，lg x ＝0，正确；对于B ，当x ＝π4时，tan x ＝1，正确；对于C ，当x <0时，x 3<0，错误；对于D ，∀x ∈R,2x >0，正确． 2．(2012·湖北)命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是( )A ．任意一个有理数，它的平方是有理数B ．任意一个无理数，它的平方不是有理数C ．存在一个有理数，它的平方是有理数D ．存在一个无理数，它的平方不是有理数 答案 B解析 通过否定原命题得出结论．原命题的否定是“任意一个无理数，它的平方不是有理数”．3．(2012·山东)设命题p ：函数y ＝sin 2x 的最小正周期为π2；命题q ：函数y ＝cos x 的图象关于直线x ＝π2对称．则下列判断正确的是( ) A ．p 为真 B ．綈q 为假 C ．p ∧q 为假D ．p ∨q 为真答案 C解析 p 是假命题，q 是假命题，因此只有C 正确．4．已知命题p ：“∀x ∈[1,2]，x 2－a ≥0”，命题q ：“∃x ∈R ，使x 2＋2ax ＋2－a ＝0”，若命题“p 且q ”是真命题，则实数a 的取值范围是( )A ．{a |a ≤－2或a ＝1}B ．{a |a ≥1}C ．{a |a ≤－2或1≤a ≤2}D ．{a |－2≤a ≤1}答案 A解析 由题意知，p ：a ≤1，q ：a ≤－2或a ≥1， ∵p 且q 为真命题，∴p 、q 均为真命题， ∴a ≤－2或a ＝1，故选A. 二、填空题(每小题5分，共15分)5．命题：“∀x ∈R ，e x ≤x ”的否定是__________________．答案 ∃x ∈R ，e x >x6．若命题p ：关于x 的不等式ax ＋b >0的解集是{x |x >－ba }，命题q ：关于x 的不等式(x－a )(x －b )<0的解集是{x |a <x <b }，则在命题“p ∧q ”、“p ∨q ”、“綈p ”、“綈q ”中，是真命题的有________． 答案 綈p 、綈q解析 依题意可知命题p 和q 都是假命题，所以“p ∧q ”为假、“p ∨q ”为假、“綈p ”为真、“綈q ”为真．7．已知命题p ：x 2＋2x －3>0；命题q ：13－x >1，若“綈q 且p ”为真，则x 的取值范围是____________________．答案 (－∞，－3)∪(1,2]∪[3，＋∞)解析 因为“綈q 且p ”为真，即q 假p 真，而q 为真命题时，x －2x －3<0，即2<x <3，所以q 假时有x ≥3或x ≤2；p 为真命题时，由x 2＋2x －3>0，解得x >1或x <－3，由⎩⎪⎨⎪⎧x >1或x <－3，x ≥3或x ≤2，得x ≥3或1<x ≤2或x <－3，所以x 的取值范围是x ≥3或1<x ≤2或x <－3.三、解答题(共22分)8．(10分)写出下列命题的否定，并判断真假： (1)q ：∀x ∈R ，x 不是5x －12＝0的根； (2)r ：有些质数是奇数； (3)s ：∃x ∈R ，|x |>0.解 (1)綈q ：∃x ∈R ，x 是5x －12＝0的根，真命题． (2)綈r ：每一个质数都不是奇数，假命题． (3)綈s ：∀x ∈R ，|x |≤0，假命题．9．(12分)已知c >0，设命题p ：函数y ＝c x 为减函数．命题q ：当x ∈⎣⎡⎦⎤12，2时，函数f (x )＝x ＋1x >1c 恒成立．如果“p 或q ”为真命题，“p 且q ”为假命题，求c 的取值范围．解 由命题p 为真知，0<c <1， 由命题q 为真知，2≤x ＋1x ≤52，要使此式恒成立，需1c <2，即c >12，若“p 或q ”为真命题，“p 且q ”为假命题， 则p 、q 中必有一真一假，当p 真q 假时，c 的取值范围是0<c ≤12；当p 假q 真时，c 的取值范围是c ≥1. 综上可知，c 的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫c |0<c ≤12或c ≥1.B 组 专项能力提升 (时间：25分钟，满分：43分)一、选择题(每小题5分，共15分)1．(2011·安徽)命题“所有能被2整除的整数都是偶数”的否定．．是( )A ．所有不能被2整除的整数都是偶数B ．所有能被2整除的整数都不是偶数C ．存在一个不能被2整除的整数是偶数D ．存在一个能被2整除的整数不是偶数 答案 D解析 由于全称命题的否定是存在性命题，本题“所有能被2整除的整数都是偶数”是全称命题，其否定为存在性命题“存在一个能被2整除的整数不是偶数”． 2．(2012·辽宁)已知命题p ：∀x 1，x 2∈R ，(f (x 2)－f (x 1))·(x 2－x 1)≥0，则綈p 是 ( ) A ．∃x 1，x 2∈R ，(f (x 2)－f (x 1))(x 2－x 1)≤0 B ．∀x 1，x 2∈R ，(f (x 2)－f (x 1))(x 2－x 1)≤0 C ．∃x 1，x 2∈R ，(f (x 2)－f (x 1))(x 2－x 1)<0 D ．∀x 1，x 2∈R ，(f (x 2)－f (x 1))(x 2－x 1)<0 答案 C解析 綈p ：∃x 1，x 2∈R ，(f (x 2)－f (x 1))(x 2－x 1)<0.3．设有两个命题，p ：不等式e x 4＋1e x >a 的解集为R ；q ：函数f (x )＝－(7－3a )x 在R 上是减函数，如果这两个命题中有且只有一个真命题，那么实数a 的取值范围是( ) A ．1≤a <2 B ．2<a ≤73C ．2≤a <73D ．1<a ≤2答案 A解析 记A ＝{a |不等式e x 4＋1e x >a 的解集为R }； B ＝{a |f (x )＝－(7－3a )x 在R 上是减函数}．由于函数y ＝e x 4＋1e x 的最小值为1，故A ＝{a |a <1}． 又因为函数f (x )＝－(7－3a )x 在R 上是减函数，故7－3a >1，即a <2，所以B ＝{a |a <2}．要使这两个命题中有且只有一个真命题，a 的取值范围为[(∁R A )∩B ]∪[(∁R B )∩A ]， 而(∁R A )∩B ＝[1，＋∞)∩(－∞，2)＝[1,2)，(∁R B )∩A ＝[2，＋∞)∩(－∞，1)＝∅，因此[(∁R A )∩B ]∪[(∁R B )∩A ]＝[1,2)，故选A.二、填空题(每小题5分，共15分)4．已知命题p ：“∀x ∈R ，∃m ∈R,4x －2x ＋1＋m ＝0”，若命题綈p 是假命题，则实数m 的取值范围是__________．答案 (－∞，1]解析 若綈p 是假命题，则p 是真命题，即关于x 的方程4x －2·2x ＋m ＝0有实数解，由于m ＝－(4x －2·2x )＝－(2x －1)2＋1≤1，∴m ≤1.5．设p ：方程x 2＋2mx ＋1＝0有两个不相等的正根，q ：方程x 2＋2(m －2)x －3m ＋10＝0无实根．则使“p ∨q ”为真，“p ∧q ”为假的实数m 的取值范围是____________． 答案 (－∞，－2]∪[－1,3)解析 设方程x 2＋2mx ＋1＝0的两个正根分别为x 1，x 2，则由⎩⎪⎨⎪⎧Δ1＝4m 2－4>0x 1＋x 2＝－2m >0，得m <－1，∴p ：m <－1. 由Δ2＝4(m －2)2－4(－3m ＋10)<0知－2<m <3，∴q ：－2<m <3.由p ∨q 为真，p ∧q 为假可知，命题p 和q 一真一假，当p 真q 假时，得⎩⎪⎨⎪⎧ m <－1m ≥3或m ≤－2，此时m ≤－2； 当p 假q 真时，得⎩⎪⎨⎪⎧m ≥－1－2<m <3，此时－1≤m <3， ∴m 的取值范围是(－∞，－2]∪[－1,3)．6．下列结论：①若命题p ：∃x ∈R ，tan x ＝1；命题q ：∀x ∈R ，x 2－x ＋1>0.则命题“p ∧綈q ”是假命题；②已知直线l 1：ax ＋3y －1＝0，l 2：x ＋by ＋1＝0，则l 1⊥l 2的充要条件是a b＝－3； ③命题“若x 2－3x ＋2＝0，则x ＝1”的逆否命题：“若x ≠1，则x 2－3x ＋2≠0”．其中正确结论的序号为________．答案 ①③解析 ①中命题p 为真命题，命题q 为真命题，所以p ∧綈q 为假命题，故①正确； ②当b ＝a ＝0时，有l 1⊥l 2，故②不正确；③正确．所以正确结论的序号为①③.三、解答题7．(13分)已知命题p ：方程2x 2＋ax －a 2＝0在[－1,1]上有解；命题q ：只有一个实数x 0满足不等式x 20＋2ax 0＋2a ≤0，若命题“p 或q ”是假命题，求a 的取值范围．解 由2x 2＋ax －a 2＝0得(2x －a )(x ＋a )＝0,∴x ＝a 2或x ＝－a ， ∴当命题p 为真命题时⎪⎪⎪⎪a 2≤1或|－a |≤1，∴|a |≤2.又“只有一个实数x 0满足不等式x 20＋2ax 0＋2a ≤0”，即抛物线y ＝x 2＋2ax ＋2a 与x 轴只有一个交点，∴Δ＝4a 2－8a ＝0，∴a ＝0或a ＝2.∴当命题q 为真命题时，a ＝0或a ＝2.∴命题“p 或q ”为真命题时，|a |≤2.∵命题“p 或q ”为假命题，∴a >2或a <－2.即a 的取值范围为{a |a >2或a <－2}．。
第三节全称量词命题与存在量词命题考试要求：能正确地对全称量词命题与存在量词命题进行否定．一、教材概念·结论·性质重现1．全称量词与存在量词(1)全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，用符号“∀”表示．含有全称量词的命题叫做全称量词命题．(2)存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，用符号“∃”表示．含有存在量词的命题叫做存在量词命题．2．含有一个量词的命题的否定命题命题的否定∀x∈M，p(x)∃x∈M，p(x)∃x∈M，p(x)∀x∈M，p(x)1．对于省略量词的命题，应先挖掘命题中隐含的量词，改写成含量词的完整形式，再写出命题的否定，否则易出错．2．注意“或”“且”的否定，“或”的否定为“且”，“且”的否定为“或”．二、基本技能·思想·活动经验1．判断下列说法的正误，对的打“√”，错的打“×”．(1)“∀x∈R，x2≥0”的否定是“∃x∈R，x2＜0”．( √)(2)“长方形的对角线相等”是存在量词命题．( ×)(3)“∃x∈R，x2＋1＝0”为真命题．( ×)(4)写存在量词命题的否定时，存在量词变为全称量词．( √)(5)“∃x∈M，p(x)”与“∀x∈M，p(x)”的真假性相反．( √) 2．已知命题p：∀x>0，总有(x＋1)e x>1，则p为( )A．∃x≤0，使得(x＋1)e x≤1B．∃x>0，使得(x＋1)e x≤1C．∀x>0，使得(x＋1)e x≤1D．∀x≤0，使得(x＋1)e x≤1B 解析：“∀x >0，总有(x ＋1)e x >1”的否定是“∃x >0，使得(x ＋1)e x≤1”． 3．(多选题)下列命题为全称量词命题的是( ) A ．奇函数的图象关于原点对称 B ．正四棱柱都是平行六面体 C ．棱锥仅有一个底面D ．存在大于等于3的实数x ，使x 2－2x －3≥0ABC 解析： A ，B ，C 中命题都省略了全称量词“所有”，所以A ，B ，C 都是全称量词命题；D 中命题含有存在量词“存在”，所以D 是存在量词命题．故选ABC ．4．(多选题)下列命题是“∃x ∈R ，x 2>3”的另一种表述方法的是( ) A ．有一个x ∈R ，使得x 2>3成立 B ．对有些x ∈R ，有x 2>3成立 C ．任选一个x ∈R ，都有x 2>3成立 D ．至少有一个x ∈R ，使得x 2>3成立ABD 解析：原命题为存在量词命题，A ，B ，D 选项均为对应的存在量词命题，是原命题的表述方法，C 为全称量词命题．5．以下四个命题中既是存在量词命题又是真命题的是( ) A ．锐角三角形有一个内角是钝角 B ．至少有一个实数x ，使x 2≤0 C ．两个无理数的和必是无理数 D ．存在一个负数x ，使1x>2B 解析：锐角三角形的内角都是锐角，所以A 项是假命题；当x ＝0时，x 2＝0，满足x 2≤0，所以B 项既是存在量词命题又是真命题；因为2＋(－2)＝0不是无理数，所以C项是假命题；对于任意一个负数x ，都有1x <0，不满足1x>2，所以D 项是假命题．考点1 全称量词命题、存在量词命题的否定——基础性1．(2021·南昌测试)命题“∀x ≥0，sin x ≤x ”的否定为( ) A ．∃x <0，sin x >x B ．∃x ≥0，sin x >xC ．∀x ≥0，sin x >xD ．∀x <0，sin x ≤xB 解析：原命题是全称量词命题，其否定是存在量词命题．因为否定的是结论而不是条件，所以A 选项错误，B 选项正确．故选B ．2．命题“∀x ∈R ，∃n ∈N *，使得n ≥x 2”的否定形式是( ) A ．∀x ∈R ，∃n ∈N *，使得n <x 2B ．∀x ∈R ，∀n ∈N *，使得n <x 2C ．∃x ∈R ，∃n ∈N *，使得n <x 2D ．∃x ∈R ，∀n ∈N *，使得n <x 2D 解析：改变量词，否定结论．所以p 应为“∃x ∈R ，∀n ∈N *，使得n <x 2．”3．(2021·安徽滁州联合质检)命题“∃x ∈R,2x 2<cos x ”的否定为________________． ∀x ∈R,2x 2≥cos x 解析：存在量词命题的否定为全称量词命题，所以命题“∃x ∈R,2x 2<cos x ”的否定为“∀x ∈R,2x 2≥cos x ”．1．解决此类问题一般是先改写量词，再否定结论．2．对于省去量词的命题要结合命题的含义加上量词，再对量词进行改写．考点2 全称量词命题、存在量词命题的真假判断——综合性(1)下列四个命题中的真命题是( )A ．∀n ∈R ，n 2≥nB ．∃n ∈R ，∀m ∈R ，m ·n ＝mC ．∀n ∈R ，∃m ∈R ，m 2<n D ．∀n ∈R ，n 2<nB 解析：对于选项A ，令n ＝12，即可验证其为假命题；对于选项C ，D ，可令n ＝－1加以验证，均为假命题．(2)(多选题)已知集合A ＝{y |y ＝x 2＋2}，集合B ＝{x |y ＝lg x －3}，则下列命题中的真命题是( )A ．∃m ∈A ，mB B ．∃m ∈B ，m AC ．∀m ∈A ，m ∈BD ．∀m ∈B ，m ∈AAD解析：因为A＝{y|y＝x2＋2}＝[2，＋∞)，B＝{x|y＝lg x－3}＝(3，＋∞)，所以B A，则A，D是真命题．全称量词命题与存在量词命题真假的判断方法命题名称真假判断方法一判断方法二全称量词命题真所有对象使命题为真否定为假假存在一个对象使命题为假否定为真存在量词命题真存在一个对象使命题为真否定为假假所有对象使命题为假否定为真1．(2022·重庆一中模拟)命题p：∀x∈[0，＋∞)，(log32)x≤1，则( )A．p是假命题，p：∃x∈[0，＋∞)，(log32)x>1B．p是假命题，p：∀x∈[0，＋∞)，(log32)x≥1C．p是真命题，p：∃x∈[0，＋∞)，(log32)x>1D．p是真命题，p：∀x∈[0，＋∞)，(log32)x≥1C解析：因为0<log32<1，所以∀x∈[0，＋∞)，(log32)x≤1，所以p是真命题，p：∃x∈[0，＋∞)，(log32)x>1．2．(多选题)命题p：存在实数x∈R，使得数据1,2,3，x,6的中位数为3．若命题p为真命题，则实数x的取值集合可以为( )A．{3,4,5} B．{x|x>3}C．{x|x≥3} D．{x|3≤x≤6}ABCD解析：根据中位数的定义可知，只需x≥3，则1,2,3，x,6的中位数必为3，选项A，B，C，D中的取值集合均满足x≥3．考点3 全称量词命题、存在量词命题的应用——应用性(1)“∀x∈[－2,1]，x2－2a≤0”为真命题的一个充分不必要条件是( )A．a≥0B．a≥1C．a≥2 D．a≥3D解析：“∀x∈[－2,1]，x2－2a≤0”为真命题，即2a≥x2在x∈[－2,1]时恒成立，所以2a≥4，所以a≥2，即“∀x∈[－2,1]，x2－2a≤0”为真命题的充要条件是a≥2，所以可转化为求“a≥2”的充分不必要条件，即找集合A ＝{a |a ≥2}的非空真子集，结合选项知故选D ．(2)(多选题)(2021·辽宁盘锦模拟改编)使命题“∃x ∈[－1，2)，f (x )＝－x 2＋ax ＋4≤0”为假命题的充分不必要条件可以为( )A ．0≤a ＜3B ．0＜a ＜3C ．a ＜3D ．1＜a ＜2BD 解析：若命题p “∃x ∈[－1,2)，f (x )＝－x 2＋ax ＋4≤0”为假命题，则命题p“∀x ∈[－1,2)，f (x )＝－x2＋ax ＋4＞0”为真命题，则⎩⎪⎨⎪⎧f－1＞0，f 2≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧－1－a ＋4＞0，－4＋2a ＋4≥0，解得0≤a ＜3，结合选项知BD 正确．例2(1)改为“∃x ∈[－2,1)，x 2－2a ≤0”为真命题，则a 的取值范围为________． AB 解析：“∀x ∈[－2,1]，x 2－2a ≤0”为真命题，即2a ≥x 2在x ∈[－2,1]时恒成立，所以2a ≥4，所以a ≥2，即“∀x ∈[－2,1]，x 2－2a ≤0”为真命题的充要条件是a ≥2，所以可转化为求“a ≥2”的必要不充分条件．结合选项知选AB ．解决此类问题一般是把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(组)求解．1．命题“存在x ∈R ，使x 2＋ax －4a ＜0为假命题”是命题“－16≤a ≤0”的( ) A ．充要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分不必要条件D ．既不充分也不必要条件A 解析：因为存在x ∈R ，使x 2＋ax －4a <0为假命题，所以任意x ∈R ，使x 2＋ax －4a ≥0为真命题，则Δ＝a 2＋16a ≤0，解得－16≤a ≤0．故选A ．2．若“∃x ∈(0，＋∞)，λx >x 2＋1”是假命题，则实数λ的取值范围是________． (－∞，2] 解析：因为∃x ∈(0，＋∞)，λx >x 2＋1是假命题，所以∀x ∈(0，＋∞)，x 2＋1≥λx 为真命题，即λ≤x ＋1x 在(0，＋∞)上恒成立．当x ∈(0，＋∞)时，x ＋1x≥2，当且仅当x ＝1时，等号成立，所以λ≤2．。
命题与量词教学讲义基础知识1．命题(1)全称量词：“任意”“所有”“每一个”在陈述中表示所述事物的全体，称为__全称量词__，用符号“∀”表示．(2)全称量词命题：含有全称量词的命题，称为全称量词命题．(3)符号表示：“对集合M 中的所有元素x ，r (x )”．可简记为：∀x ∈M ，r (x )． 3．存在量词与存在量词命题(1)存在量词：“存在”“有”“至少有一个”在陈述中表示所述事物的个体或部分，称为__存在量词__，用符号“∃”表示．(2)存在量词命题：含有存在量词的命题，称为存在量词命题．(3)符号表示：“存在集合M 中的元素x ，s (x )”．可简记为：∃x ∈M ，s (x )．基础自测1．下列语句：①3>2；②π是有理数吗？③sin 30°＝12；④x 2－1＝0有一个根为x ＝－1；⑤x >5.其中是命题的是( B ) A ．①②③ B ．①③④ C ．③D ．②⑤解析：①是真命题；②是疑问句不是命题；③是真命题；④也是真命题；⑤不能判断真假，不是命题．故选B ．2．下列命题中是存在量词命题的是( B ) A ．∀x ∈R ，x 2≥0 B ．∃x ∈R ，x 2<0C ．平行四边形的对边不平行D ．矩形的任一组对边都不相等解析：A ，C ，D 是全称量词命题，B 是存在量词命题． 3．下列命题中是全称量词命题并且是真命题的是( C )A ．每个二次函数的图像都开口向上B ．存在实数x ，平方为8C ．所有菱形的四条边都相等D ．存在一个实数x 0使不等式x 20－3x 0＋6<0成立解析：A 是全称量词命题但是假命题，B ，D 是存在量词命题，C 是全称量词命题且是真命题．4．将命题“x 2＋y 2≥2xy ”改写为全称量词命题为__对任意x ，y ∈R ，都有x 2＋y 2≥2xy 成立__.解析：“x 2＋y 2≥2xy ”是指对任意x ，y ∈R ，都有x 2＋y 2≥2xy 成立，故命题“x 2＋y 2≥2xy ”改写成全称量词命题为：对任意x ，y ∈R ，都有x 2＋y 2≥2xy 成立． 5．下列命题中，是真命题的为__①②③⑤__. ①5能整除15；②不存在实数x ，使得x 2－x ＋2<0； ③对任意实数x ，均有x －1<x ；④方程x 2＋3x ＋3＝0有两个不相等的实数根； ⑤不等式x 2＋x ＋1|x |<0的解集为空集．解析：对于①，由整数的整除性知该命题是真命题；对于②，因Δ<0，故x 2－x ＋2<0无解，所以该命题是真命题；对于③，因任意一个数减去一个正数后都小于原数，故该命题是真命题；对于④，因Δ<0，故方程x 2＋3x ＋3＝0无解，所以该命题是假命题；对于⑤，易知x 2＋x ＋1|x |>0，所以x 2＋x ＋1|x |<0的解集为空集，所以该命题是真命题．关键能力·攻重难类型 命题真假的判断 ┃┃典例剖析__■典例1 判断下列语句是不是命题，如果是，说明其真假． (1)奇数不能被2整除； (2)实数的平方是正数；(3)当(a －1)2＋(b －1)2＝0时，a ＝b ＝1；(4)已知x ，y 为正整数，当y ＝x ＋1时，y ＝3，x ＝2.思路探究：数学中要判定一个命题为真命题，需要经过严格的数学证明；要判定一个命题为假命题，只需举出一个反例即可．解析：(1)(2)(3)(4)都是陈述句，且能判断真假，因此都是命题．(1)是真命题．因为奇数是不能被2整除的整数．(2)是假命题．反例：0的平方还是0，不是正数．(3)是真命题．由(a－1)2＋(b－1)2＝0可得a－1＝0且b－1＝0，所以a＝b＝1.(4)是假命题．反例：y＝4，x＝3也满足y＝x＋1.归纳提升：判断一个语句是不是命题的关键点：(1)“是陈述句”．(2)“可以判断真假”，这两个条件缺一不可．一般来说，疑问句、祈使句、感叹句均不是命题．┃┃对点训练__■1．判断下列命题的真假：(1)一个角的补角必大于这个角；(2)一个有理数必有两个平方根；(3)直径所对的圆周角是直角；(4)两条直线被第三条直线所截，同位角相等；(5)等式两边都加同一个数，结果仍是等式．解析：(1)是假命题，例如设这个角是90°，它的补角是90°，而90°＝90°.(2)是假命题，例如有理数－1没有平方根．(3)是真命题，这是关于圆周角的结论．(4)是假命题，两条平行直线被第三条直线所截，同位角才相等．(5)是真命题，这是等式的性质．类型全称量词命题与存在量词命题的辨析┃┃典例剖析__■典例2判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题．(1)梯形的对角线相等；(2)存在一个四边形有外接圆；(3)二次方程都存在实数根；(4)负数没有对数．思路探究：首先确定量词，然后判断命题的类型．解析：(1)命题完整的表述应为“所有梯形的对角线相等”，很显然为全称量词命题．(2)命题为存在量词命题．(3)命题完整的表述为“所有的二次方程都存在实数根”，故为全称量词命题．(4)命题完整的表述是“所有负数都没有对数”，故为全称量词命题．归纳提升：判断一个语句是全称量词命题，还是存在量词命题的思路┃┃对点训练__■2．判断下列语句是全称量词命题，还是存在量词命题：(1)对任意的n∈Z,2n＋1是奇数；(2)有些三角形不是等腰三角形；(3)有的实数是无限不循环小数；(4)所有的正方形都是矩形．解析：(1)含有全称量词“任意”，故为全称量词命题．(2)含有存在量词“有些”，故为存在量词命题．(3)含有存在量词“有的”，故为存在量词命题．(4)含有全称量词“所有”，故为全称量词命题．类型全称量词命题、存在量词命题的真假判断┃┃典例剖析__■典例3(1)判断下列全称量词命题的真假：①所有的整数都是有理数；②∀x∈R，x2＋1≥1；③对每一个无理数x，x2也是无理数；④末位是0的整数，可以被5整除．(2)判断下列存在量词命题的真假：①至少有一个整数，它既能被2整除，又能被5整除；②∃x∈Q，x2＝3；③∃x∈Z，x3<1；④存在正实数x，y，使x2＋y2＝0.思路探究：对于全称量词命题，判断为真，需要证明，判断为假，举出反例；对于存在量词命题，判断为真，举出特例，判断为假，需要证明．解析：(1)①整数和分数统称为有理数，所以该命题是真命题．②因为x∈R，所以x2≥0，所以x2＋1≥1，所以该命题是真命题．③2是无理数，但(2)2＝2是有理数，所以该命题是假命题． ④末位是0或5的整数，都能被5整除，所以该命题是真命题． (2)①真命题．如10.②假命题．由于使x 2＝3成立的x 的值只有±3，而它们都不是有理数．因此，任何一个有理数的平方都不等于3，所以该命题是假命题．③真命题．由于－1∈Z ，当x ＝－1时，能使x 3<1，所以该命题是真命题．④假命题．要使x 2＋y 2＝0成立，只有x ＝y ＝0，而0不是正实数，因而不存在正实数x ，y ，使x 2＋y 2＝0，因此，该命题是假命题．归纳提升：判断全称量词命题和存在量词命题真假的方法(1)要判断一个全称量词命题为真，必须给定集合中的每一个元素x ，使命题p (x )为真；但要判断一个全称量词命题为假时，只要在给定的集合中找到一个元素x ，使命题p (x )为假． (2)要判断一个存在量词命题为真，只要在给定的集合中找到一个元素x ，使命题p (x )为真；要判断一个存在量词命题为假，必须对给定集合中的每一个元素x ，使命题p (x )为假． ┃┃对点训练__■3．下列命题中的假命题是( B ) A ．∀x ∈R ，|x |＋1>0 B ．∀x ∈N ＋，(x －1)2>0 C ．∃x ∈R ，1x<1D ．∃x ∈R,5x －3＝2解析：A 项，∵x ∈R ，∴|x |＋1>0，故A 正确；B 项，∵x ∈N ＋，∴当x ＝1时，(x －1)2＝0与(x －1)2>0矛盾，故B 错误；C 项，当x >1时，1x <1，故C 正确；D 项，当x ＝1时，5x －3＝2，故D 正确．易混易错警示 判断命题真假时考虑不全 ┃┃典例剖析__■典例4 (2019·石家庄高中毕业年级质检)给定集合A ，若对于任意a ，b ∈A ，有a ＋b ∈A ，且a －b ∈A ，则称集合A 为闭集合，给出如下三个结论： ①集合A ＝{－4，－2,0,2,4}为闭集合； ②集合A ＝{n |n ＝3k ，k ∈Z }为闭集合；③若集合A 1，A 2为闭集合，则A 1∪A 2为闭集合． 其中正确结论的序号是__②__.错因探究：A 1，A 2为闭集，存在A 1∪A 2不是闭集，不满足闭集条件．解析：①中，－4＋(－2)＝－6∉A ，所以①不正确；②中设n 1，n 2∈A ，n 1＝3k 1，n 2＝3k 2，k 1，k 2∈Z ，则n 1＋n 2∈A ，n 1－n 2∈A ，所以②正确；③令A 1＝{n |n ＝5k ，k ∈Z }，A 2＝{n |n ＝2k ，k ∈Z }，则A 1，A 2为闭集合，但A 1∪A 2不是闭集合，所以③不正确．误区警示：判断命题的真假，一定要全面分析命题中的相关条件与结论，做到心中有数，切忌主观臆断，丢三落四．学科核心素养 含有量词命题中参数范围的策略 ┃┃典例剖析__■已知含量词的命题真假求参数的取值范围，实质上是对命题意义的考查．解决此类问题，一定要辨清参数，恰当选取主元，合理确定解题思路．解决此类问题的关键是根据含量词命题的真假转化为相关数学知识，利用集合、方程、不等式等知识求解参数的取值范围，解题过程中要注意变量取值范围的限制． 典例5 (1)已知命题p (x )：x ＋1>x 为真命题，求x 的取值范围． (2)存在x ∈R ，使x 2＋x ＋a ＝0成立，求实数a 的取值范围．(3)已知集合A ＝{x |x >2}，B ＝{x |x >a }，若∀a ∈A ，都有a ∈B 成立，求实数a 的取值范围． 思路探究：把存在与恒成立问题转化为不等式端点值的大小关系． 解析：(1)因为x ＋1>x ，所以1>0(此式恒成立)，所以x ∈R .(2)因为存在x ∈R ，使x 2＋x ＋a ＝0成立，所以方程x 2＋x ＋a ＝0存在实数根，则Δ＝1－4a ≥0，解得a ≤14，即实数a 的取值范围是a ≤14.(3)因为∀a ∈A ，都有∀a ∈B 成立，所以A ⊆B ，则a ≤2，即实数a 的取值范围是a ≤2.课堂检测·固双基1．(多选)下列命题是全称量词命题的是( ABD ) A ．中国公民都有受教育的权利 B ．每一个中学生都要接受爱国主义教育 C ．有人既能写小说，也能搞发明创造 D ．任何一个数除0，都等于0 解析：A 、B 、D 都是全称量词命题． 2．下列命题中是真命题的是( B ) A ．∃x ∈R ，x 2＋1<0 B ．∃x ∈Z,3x ＋1是整数 C ．∀x ∈R ，|x |>3D ．∀x ∈Q ，x 2∈Z解析：A 是假命题．因为∀x ∈R ，x 2＋1>1；B 是真命题．当x ＝1时，3x ＋1＝4是整数；C 是假命题．如x ＝2时，|x |<3；D 是假命题．如x ＝12，x 2∉Z .3．下列命题中，是全称量词命题的有__①②③__，是存在量词命题的有__④__.(填序号) ①正方形的四条边相等；②所有有两个角是45°的三角形是等腰直角三角形；③正数的平方根不等于0；④至少有一个正整数是偶数；⑤所有正数都是实数吗？解析：④为存在量词命题，①②③为全称量词命题，而⑤不是命题．4．给出命题p：∃x≥3，使得2x－1<m，已知p是假命题，则实数m的取值范围是__m≤5__.解析：∵x∈[3，＋∞)，∴2x－1∈[5，＋∞)，当命题p为真命题时，即∃x∈[3，＋∞)，使2x－1<m成立，则m>5，∴命题p为假命题时，实数m的取值范围是m≤5.5．判断下列命题的真假：(1)∀x>0，x＋1>1；(2)若a>b，则a2>b2.解析：(1)∵x>0，∴x＋1>1，∴x＋1>1，命题为真．(2)取a＝0，b＝－1，显然a>b，但a2>b2不成立，∴命题为假．A级基础巩固一、单选题(每小题5分，共25分)1．下列四个命题中真命题的序号为(D)①3≥3；②100或50是10的倍数；③有两个角是锐角的三角形是锐角三角形；④等腰三角形至少有两个内角相等．A．①B．①②C．①②③D．①②④解析：①3≥3是3>3或者3＝3，所以①是真命题．②100和50都是10的倍数，所以②是真命题．③举一反例，若A＝15°，B＝15°，则C为150°，三角形为钝角三角形，所以③是假命题．④根据等腰三角形的定义可知④是真命题．故选D．2．以下四个命题既是存在量词命题又是真命题的是(B)A．锐角三角形的内角全是锐角B．至少有一个实数x，使x2≤0C．两个无理数的和必是无理数D ．存在一个负数x ，使1x>2解析：A 是全称量词命题．B 项为存在量词命题，当x ＝0时，x 2＝0成立，所以B 正确． 3．下列全称量词命题中假命题的个数是( C ) ①2x ＋1是整数(x ∈R )； ②对所有的x ∈R ，x >3；③对任意一个x ∈Z,2x 2＋1为奇数． A ．0个 B ．1个 C ．2个D ．3个解析：只有③是真命题．4．下列命题不是“∃x ∈R ，x 2>3”的另一种表述的是( C ) A ．有一个x ∈R ，使得x 2>3成立 B ．对有些x ∈R ，使得x 2>3成立 C ．任选一个x ∈R ，使得x 2>3成立 D ．至少有一个x ∈R ，使得x 2>3成立 解析：选项C 是全称量词命题，符合题意．5．下列命题：①面积相等的三角形是全等三角形；②若xy ＝0，则|x |＋|y |＝0；③若a >b ，则ac 2>bc 2；④矩形的对角线互相垂直．其中假命题的个数是( D ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4 解析：对于①，面积相等的三角形不一定全等，所以是假命题；对于②，xy ＝0，则x ＝0或y ＝0，不能得到|x |＋|y |＝0，所以是假命题；对于③，当c ＝0时，ac 2＝bc 2，所以是假命题；对于④，矩形的对角线不一定互相垂直，所以是假命题，综上所述，假命题有4个，故选D ． 二、填空题(每小题5分，共15分)6．命题p ：∃x ∈R ，x 2－2x ＋1≤0是__真__命题(填“真”或“假”)．解析：由于x 2－2x ＋1＝(x －1)2≤0，当且仅当x ＝1时等号成立．故命题p 为真命题． 7．若命题“∀x ∈[a,6]，x 2≥4”是真命题，则实数a 的取值范围是__[2,6)__. 解析：由题意可得当a ∈[2,6)时，a 2≥4恒成立．故实数a 的取值范围是[2,6)．8．已知P (x )：x 2－2x －m >0，如果P (1)是假命题，P (2)是真命题，则实数m 的取值范围是__－1≤m <0__.解析：由题意得m 满足⎩⎪⎨⎪⎧P (1)假，P (2)真，即⎩⎪⎨⎪⎧－1－m ≤0，－m >0.解得－1≤m <0.三、解答题(共20分)9．(10分)判断下列命题的真假： (1)∃x ∈R ，x 2＋2<0；(2)∀x ∈[0，＋∞)，x ＋2＝x ＋2； (3)∃x ∈R ，x 2<0； (4)∃x ∈Z ，x 2是自然数； (5)∃a ，b ∈R ，(a －b )2＝a 2－b 2.解析：(1)假命题；(2)假命题；(3)假命题；(4)真命题；(5)真命题．10．(10分)用符号“∀”(“∀”表示“任意”)或“∃”(“∃”表示“存在”)表示下面的命题，并判断真假： (1)实数的平方大于或等于0；(2)存在一对实数(x ，y )，使2x －y ＋1<0成立； (3)勾股定理．解析：(1)这是全称量词命题，隐藏了全称量词“所有的”．改写后命题为：∀x ∈R ，x 2≥0，它是真命题．(2)改写后命题为：∃(x ，y )，x ∈R ，y ∈R,2x －y ＋1<0，它是真命题．如x ＝0，y ＝2时，2x －y ＋1＝0－2＋1＝－1<0成立．(3)这是全称量词命题，所有的直角三角形都满足勾股定理．改写后命题为：∀Rt △ABC ，a ，b 为直角边长，c 为斜边长，a 2＋b 2＝c 2，它是真命题．。
