高考数学一轮复习第十章算法初步、推理与证明、复数第三节复数习题理

课时跟踪检测（四十八） 合情推理与演绎推理一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．已知数列{a n }中，a 1＝1，n ≥2时，a n ＝a n －1＋2n －1，依次计算a 2，a 3，a 4后，猜想a n 的表达式是________．解析：a 1＝1，a 2＝4，a 3＝9，a 4＝16，猜想a n ＝n 2. 答案：a n ＝n 22．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，则S 4，S 8－S 4，S 12－S 8，S 16－S 12成等差数列．类比以上结论我们可以得到的一个真命题为：设等比数列{b n }的前n 项积为T n ，则____________________成等比数列．解析：利用类比推理把等差数列中的差换成商即可． 答案：T 4，T 8T 4，T 12T 8，T 16T 123．由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则： ①“mn ＝nm ”类比得到“a ·b ＝b ·a ”；②“(m ＋n )t ＝mt ＋nt ”类比得到“(a ＋b)·c ＝a ·c ＋b ·c ”； ③“(m ·n )t ＝m (n ·t )”类比得到“(a ·b)·c ＝a ·(b ·c )”； ④“t ≠0，mt ＝xt ⇒m ＝x ”类比得到“p ≠0，a ·p ＝x·p ⇒a ＝x ”； ⑤“|m ·n |＝|m |·|n |”类比得到“|a ·b |＝|a |·|b |”；⑥“ac bc ＝a b ”类比得到“a ·c b ·c ＝a b”．以上的式子中，类比得到的结论正确的个数是________． 解析：①②正确，③④⑤⑥错误． 答案：24．对于命题：若O 是线段AB 上一点，则有||OB ―→ ·OA ―→＋||OA ―→ ·OB ―→＝0. 将它类比到平面的情形是：若O 是△ABC 内一点，则有S △OBC ·OA ―→＋S △OCA ·OB ―→＋S △OBA ·OC ―→＝0.将它类比到空间的情形应该是：若O 是四面体ABCD 内一点，则有________________________________________________________________________．解析：将平面中的相关结论类比到空间，通常是将平面中的图形的面积类比为空间中的几何体的体积，因此依题意可知：若O 为四面体ABCD 内一点，则有V O BCD·OA ―→＋V OACD·OB―→＋V OABD·OC ―→＋V OABC·OD ―→＝0.答案：V OBCD·OA ―→＋V O ACD·OB ―→＋V OABD·OC ―→＋V OABC·OD ―→＝05．(2018·南京调研)已知函数f (x )＝x 3＋x ，对于等差数列{a n }满足：f (a 2－1)＝2，f (a 2016－3)＝－2，S n 是其前n 项和，则S 2 017＝________.解析：因为函数f (x )＝x 3＋x 为奇函数，且在R 上单调递增，又因为f (a 2－1)＝2，f (a 2 016－3)＝－2，则a 2－1＝－(a 2 016－3)，即a 2＋a 2 016＝4，即a 1＋a 2 017＝4.则S 2 017＝2 0172(a 1＋a 2 017)＝4 034.答案：4 0346．(2018·启东检测) [x ]表示不超过x 的最大整数，例如：[π]＝3.S 1＝[1]＋[2]＋[3]＝3，S 2＝[4]＋[5]＋[6]＋[7]＋[8]＝10，S 3＝[9]＋[10]＋[11]＋[12]＋[13]＋[14]＋[15]＝21，……依此规律，那么S 10＝________.解析：因为[x ]表示不超过x 的最大整数， 所以S 1＝[1]＋[2]＋[3]＝1×3＝3，S 2＝[4]＋[5]＋[6]＋[7]＋[8]＝2×5＝10，S 3＝[9]＋[10]＋[11]＋[12]＋[13]＋[14]＋[15]＝3×7＝21，……， S n ＝[n 2]＋[n 2＋1]＋[n 2＋2]＋…＋[n 2＋2n －1]＋[n 2＋2n ]＝n ×(2n ＋1)，所以S 10＝10×21＝210.答案：210二保高考，全练题型做到高考达标1．二维空间中，圆的一维测度(周长)l ＝2πr ，二维测度(面积)S ＝πr 2；三维空间中，球的二维测度(表面积)S ＝4πr 2，三维测度(体积)V ＝43πr 3.应用合情推理，若四维空间中，“超球”的三维测度V ＝8πr 3，则其四维测度W ＝________.解析：在二维空间中，圆的二维测度(面积)S ＝πr 2，则其导数S ′＝2πr ，即为圆的一维测度(周长)l ＝2πr ；在三维空间中，球的三维测度(体积)V ＝43πr 3，则其导数V ′＝4πr 2，即为球的二维测度(表面积)S ＝4πr 2；应用合情推理，若四维空间中，“超球”的三维测度V ＝8πr 3，则其四维测度W ＝2πr 4.答案：2πr 42．观察下列等式 12＝112－22＝－3 12－22＋32＝6 12－22＋32－42＝－10 ……照此规律，第n 个等式可为________________．解析：观察规律可知，第n 个式子为12－22＋32－42＋…＋(－1)n ＋1n 2＝(－1)n ＋1n n ＋12.答案：12－22＋32－42＋…＋(－1)n ＋1n 2＝(－1)n ＋1n n ＋123．(2018·南京第十三中学检测)某种树的分枝生长规律如图所示，第1年到第5年的分枝数分别为1,1,2,3,5，则预计第10年树的分枝数为________．解析：因为2＝1＋1,3＝2＋1,5＝3＋2，即从第三项起每一项都等于前两项的和，所以第10年树的分枝数为21＋34＝55.答案：554．给出以下数对序列： (1,1) (1,2)(2,1) (1,3)(2,2)(3,1) (1,4)(2,3)(3,2)(4,1) ……记第i 行的第j 个数对为a ij ，如a 43＝(3,2)，则a nm ＝________.解析：由前4行的特点，归纳可得：若a n m ＝(a ，b )，则a ＝m ，b ＝n －m ＋1，所以a n m＝(m ，n －m ＋1)．答案：(m ，n －m ＋1)5．在平面几何中：△ABC 的∠C 内角平分线CE 分AB 所成线段的比为AC BC ＝AEBE.把这个结论类比到空间：在三棱锥A ­BCD 中(如图)，平面DEC 平分二面角A ­CD ­B 且与AB 相交于E ，则得到类比的结论是______________．解析：由平面中线段的比转化为空间中面积的比可得AE EB ＝S △ACDS △BCD. 答案：AE EB ＝S △ACDS △BCD6．设n 为正整数，f (n )＝1＋12＋13＋…＋1n ，计算得f (2)＝32，f (4)>2，f (8)>52，f (16)>3，观察上述结果，可推测一般的结论为____________________．解析：因为f (21)＝32，f (22)>2＝42，f (23)>52，f (24)>62，所以归纳得f (2n)≥n ＋22.答案：f (2n)≥n ＋227．(2018·海门中学测试) 有一个奇数组成的数阵排列如下：1 3 7 13 21 … 5 9 15 23 … … 11 17 25 … … … 19 27 … … … … 29 … … … … … ………………则第30行从左到右第3个数是________．解析：由归纳推理可得第30行的第1个数是1＋4＋6＋8＋10＋ (60)30×2＋602－1＝929.又第n 行从左到右的第2个数比第1个数大2n ，第3个数比第2个数大2n ＋2，所以第30行从左到右的第2个数比第1个数大60，第3个数比第2个数大62，故第30行从左到右第3个数是929＋60＋62 ＝1 051.答案：1 0518．如果函数f (x )在区间D 上是凸函数，那么对于区间D 内的任意x 1，x 2，…，x n ，都有f x 1＋f x 2＋…＋f x n n ≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 2＋…＋x n n .若y ＝sinx 在区间(0，π)上是凸函数，那么在△ABC 中，sin A ＋sin B ＋sin C 的最大值是________．解析：由题意知，凸函数满足f x 1＋f x 2＋…＋f x n n ≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 2＋…＋x n n ，又y ＝sin x 在区间(0，π)上是凸函数， 则sin A ＋sin B ＋sin C ≤3sin A ＋B ＋C3＝3sin π3＝332.答案：3329．(2018·苏州调研)已知函数f (x )＝ln x ，g (x )＝x 2－x －m . (1)当m ＝0时，求函数F (x )＝f (x )－g (x )在(0，a ]的最大值；(2)证明：当m ≥－3时，不等式f (x )＋g (x )<x 2－(x －2)e x对任意x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1均成立(其中e 为自然对数的底数，e ＝2.718…)．解：(1)当m ＝0时，F (x )＝ln x －x 2＋x ，x ∈(0，＋∞)， 则F ′(x )＝－2x ＋1x －1x，x ∈(0，＋∞)，当0<x <1时，F ′(x )>0；当x >1时，F ′(x )<0，所以F (x )在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减， 所以当0<a ≤1时，F (x )的最大值为F (a )＝ln a －a 2＋a ； 当a >1时，F (x )的最大值为F (1)＝0.(2)证明：f (x )＋g (x )<x 2－(x －2)e x 可化为m >(x －2)e x＋ln x －x ，设h (x )＝(x －2)e x＋ln x －x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1，要证m ≥－3时，m >h (x )对任意x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1均成立， 只要证h (x )max <－3即可，下证此结论成立．因为h ′(x )＝(x －1)⎝ ⎛⎭⎪⎫e x －1x ，所以当12<x <1时，x －1<0，设u (x )＝e x －1x ，则u ′(x )＝e x＋1x2>0，所以u (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1上单调递增， 又因为u (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1上的图象是一条不间断的曲线，且u ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝e －2<0，u (1)＝e －1>0，所以∃x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，使得u (x 0)＝0，即e x 0＝1x 0，ln x 0＝－x 0，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，x 0时，u (x )<0，h ′(x )>0； 当x ∈(x 0,1)时，u (x )>0，h ′(x )<0；所以函数h (x )在⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，x 0上单调递增，在(x 0,1]上单调递减，所以h (x )max ＝h (x 0)＝(x 0－2)e x 0＋ln x 0－x 0＝(x 0－2)·1x 0－2x 0＝1－2x 0－2x 0.因为y ＝1－2x －2x 在x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1上单调递增， 所以h (x 0)＝1－2x 0－2x 0<1－2－2＝－3，即h (x )max <－3，所以当m ≥－3时，不等式f (x )＋g (x )<x 2－(x －2)e x对任意x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1均成立.10．已知O 是△ABC 内任意一点，连结AO ，BO ，CO 并延长，分别交对边于A ′，B ′，C ′，则OA ′AA ′＋OB ′BB ′＋OC ′CC ′＝1，这是一道平面几何题，其证明常采用“面积法”： OA ′AA ′＋OB ′BB ′＋OC ′CC ′＝S △OBC S △ABC ＋S △OCA S △ABC ＋S △OAB S △ABC ＝S △ABCS △ABC＝1. 请运用类比思想，对于空间中的四面体A BCD ，存在什么类似的结论，并用“体积法”证明．解：在四面体A BCD 中，任取一点O ，连结AO ，DO ，BO ，CO 并延长，分别交四个面于E ，F ，G ，H 点．则OE AE ＋OF DF ＋OG BG ＋OHCH＝1.证明：在四面体O BCD 与A BCD 中， OE AE ＝h 1h ＝13S △BCD ·h 113S △BCD ·h ＝V OBCD V ABCD.同理有OF DF ＝V O ABC V DABC；OG BG ＝V OACD V BACD；OH CH ＝V OABD V CABD.所以OE AE ＋OF DF ＋OG BG ＋OHCH＝V O BCD＋V OABC＋V OACD＋V OABDV ABCD＝V A BCD V ABCD＝1.三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．观察下列事实：|x |＋|y |＝1的不同整数解(x ，y )的个数为4，|x |＋|y |＝2的不同整数解(x ，y )的个数为8，|x |＋|y |＝3的不同整数解(x ，y )的个数为12，…，则|x |＋|y |＝20的不同整数解(x ，y )的个数为________．解析：由|x |＋|y |＝1的不同整数解的个数为4，|x |＋|y |＝2的不同整数解的个数为8，|x |＋|y |＝3的不同整数解的个数为12，归纳推理得|x |＋|y |＝n 的不同整数解的个数为4n ，故|x |＋|y |＝20的不同整数解的个数为80.答案：802．古希腊的数学家研究过各种多边形数．记第n 个k 边形数为N (n ，k )(k ≥3)，以下列出了部分k 边形数中第n 个数的表达式：三角形数 N (n,3)＝12n 2＋12n四边形数 N (n,4)＝n 2五边形数 N (n,5)＝32n 2－12n六边形数 N (n,6)＝2n 2－n ……可以推测N (n ，k )的表达式，由此计算N (20,15)的值为________． 解析：原已知式子可化为N (n,3)＝12n 2＋12n ＝3－22n 2＋4－32n ；N (n,4)＝n 2＝4－22n 2＋4－42n ； N (n,5)＝32n 2－12n ＝5－22n 2＋4－52n ； N (n,6)＝2n 2－n ＝6－22n 2＋4－62n . 故N (n ，k )＝k －22n 2＋4－k 2n ，N (20,15)＝15－22×202＋4－152×20＝2 490. 答案：2 4903.(2018·东台中学检测)如图，已知双曲线x 24－y 29＝1，F 1，F 2是左右两个焦点，点M 在双曲线上．(1)若∠F 1MF 2＝90°，求△F 1MF 2的面积；(2)若∠F 1MF 2＝120°，△F 1MF 2的面积是多少？若∠F 1MF 2＝60°， △F 1MF 2的面积又是多少？(3)观察以上结果，你能猜出随着∠F 1MF 2的度数的变化， △F 1MF 2的面积将怎样变化吗？试证明你的结论．解：由双曲线方程知a ＝2，b ＝3，c ＝13，设MF 1＝r 1，MF 2＝r 2(r 1>r 2)，由双曲线的定义，得r 1－r 2＝2a ＝4， 将r 1－r 2＝4两边平方得r 21＋r 22－2r 1r 2＝16，(1)若∠F 1MF 2＝90°，在Rt △F 1MF 2中，有F 1F 22－4S △F 1MF 2＝16， 即52－16＝4S △F 1MF 2，解得S △F 1MF 2＝9.(2)若∠F 1MF 2＝120°，在△F 1MF 2中，由余弦定理得F 1F 22＝r 21＋r 22－2r 1r 2cos 120°， 即F 1F 22＝(r 1－r 2)2＋3r 1r 2，即(213)2＝42＋3r 1r 2，所以r 1r 2＝12， 可得S △F 1MF 2＝12r 1r 2sin 120°＝3 3.同理可得，若∠F 1MF 2＝60°时，S △F 1MF 2＝9 3.(3)由此猜想：随着∠F 1MF 2的度数的逐渐增大，△F 1MF 2的面积将逐渐减小． 证明如下：令∠F 1MF 2＝θ(0<θ<π)， 则S △F 1MF 2＝12r 1r 2sin θ，由双曲线的定义及余弦定理， 得{ r 1－r 22＝4a 2， ①r 21＋r 22－2r 1r 2cos θ＝4c 2， ②②－①得r 1r 2＝4c 2－4a221－cos θ，所以S △F 1MF 2＝c 2－a 2sin θ1－cos θ＝b 2tanθ2，因为0<θ<π，0<θ2<π2，所以当θ2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2时，tan θ2是增函数．而当tan θ2逐渐增大时，S △F 1MF 2＝b 2tanθ2将逐渐减小，所以随着∠F 1MF 2的度数的逐渐增大，△F 1MF 2的面积将逐渐减小．。

第十章 推理证明、算法、复数考点35 推理与证明、数学归纳法两年高考真题演练1.(2014·某某)用反证法证明命题“设a ，b 为实数，则方程x 3＋ax ＋b ＝0至少有一个实根”时，要做的假设是( )A ．方程x 3＋ax ＋b ＝0没有实根B ．方程x 3＋ax ＋b ＝0至多有一个实根C ．方程x 3＋ax ＋b ＝0至多有两个实根D ．方程x 3＋ax ＋b ＝0恰好有两个实根 2．(2015·某某)观察下列各式： C 01＝40； C 03＋C 13＝41; C 05＋C 15＋C 25＝42； C 07＋C 17＋C 27＋C 37＝43； ……照此规律，当n ∈N *时，C 02n －1＋C 12n －1＋ C 22n －1＋…＋ C n －12n －1＝________．3．(2015·某某)一个二元码是由0和1组成的数字串x 1x 2…x n (n ∈N *)，其中x k (k ＝1，2，…，n )称为第k 位码元．二元码是通信中常用的码，但在通信过程中有时会发生码元错误(即码元由0变为1，或者由1变为0)．已知某种二元码x 1x 2…x 7的码元满足如下校验方程组：⎩⎪⎨⎪⎧x 4⊕x 5⊕x 6⊕x 7＝0，x 2⊕x 3⊕x 6⊕x 7＝0，x 1⊕x 3⊕x 5⊕x 7＝0，其中运算⊕定义为0⊕0＝0，0⊕1＝1，1⊕0＝1，1⊕1＝0.现已知一个这种二元码在通信过程中仅在第k 位发生码元错误后变成了1101101，那么利用上述校验方程组可判定k 等于________．4．(2014·某某)如图，在等腰直角三角形ABC 中，斜边BC ＝22，过点A 作BC 的垂线，垂足为A 1；过点A 1作AC 的垂线，垂足为A 2；过点A 2作A 1C 的垂线，垂足为A 3；…，依此类推，设BA ＝a 1，AA 1＝a 2，A 1A 2＝a 3，…，A 5A 6＝a 7，则a 7＝________．5．(2014·某某)若集合{a ，b ，c ，d }＝{1，2，3，4}，且下列四个关系：①a ＝1；②b ≠1；③c ＝2；④d ≠4有且只有一个是正确的，则符合条件的有序数组(a ，b ，c ，d )的个数是________．6多面体 面数(F ) 顶点数(V )棱数(E ) 三棱柱 5 6 9 五棱锥 6 6 10 立方体6 812猜想一般凸多面体中F ，V ，E 所满足的等式是________．7．(2014·某某)设a 1＝1，a n ＋1＝a 2n －2a n ＋2＋b (n ∈N *)． (1)若b ＝1，求a 2，a 3及数列{a n }的通项公式；(2)若b ＝－1，问：是否存在实数c 使得a 2n ＜c ＜a 2n ＋1对所有n ∈N *成立？证明你的结论．考点35 推理与证明、数学归纳法一年模拟试题精练1．(2015·某某师大附中模拟)观察下列等式：13＋23＝1，73＋83＋103＋113＝12，163＋173＋193＋203＋223＋233＝39，…，则当n ＜m 且m ，n ∈N 时，3n ＋13＋3n ＋23＋…＋3m －23＋3m －13＝________．(最后结果用m ，n 表示)2．(2015·某某黄冈模拟)对于集合N ＝{1，2，3，…，n }和它的每一个非空子集，定义一种求和称之为“交替和”如下：如集合{1，2，3，4，5}的交替和是5－4＋3－2＋1＝3，集合{3}的交替和为3. 当集合N 中的n ＝2时，集合N ＝{1，2}的所有非空子集为{1}，{2}，{1，2}，则它的“交替和”的总和S 2＝1＋2＋(2－1)＝4，请你尝试对n ＝3，n ＝4的情况，计算它的“交替和”的总和S 3, S 4，并根据计算结果猜测集合N ＝{1，2，3，…，n }的每一个非空子集的“交替和”的总和S n ＝________ (不必给出证明)．3．(2015·某某威海模拟)对大于1的自然数m 的三次幂可用奇数进行以下方式的“分裂”23⎩⎪⎨⎪⎧35，33⎩⎪⎨⎪⎧7911，43⎩⎪⎨⎪⎧13151719，…仿此，若m 3的“分裂”数中有一个是2 015，则m 的值为________．4．(2015·某某七市模拟)将长度为l (l ≥4，l ∈N *)的线段分成n (n ≥3)段，每段长度均为正整数，并要求这n 段中的任意三段都不能构成三角形．例如，当l ＝4时，只可以分为长度分别为1，1，2的三段，此时n 的最大值为3；当l ＝7时，可以分为长度分别为1，2，4的三段或长度分别为1，1，1，3的四段，此时n 的最大值为4.则：(1)当l ＝12时，n 的最大值为________； (2)当l ＝100时，n 的最大值为________．5．(2015·某某模拟)已知n ，k ∈N * ，且k ≤n ，k C k n ＝n C k －1n －1，则可推出C 1n ＋2C 2n ＋3C 3n ＋…＋k C k n ＋…＋n C n n ＝n (C 0n －1＋C 1n －1＋…C k －1n －1＋…C n －1n －1)＝n ·2n －1，由此，可推出C 1n ＋22C 2n ＋32C 3n ＋…＋k 2C k n ＋…＋n 2C nn ＝________.6．(2015·某某日照模拟)已知2＋23＝223，3＋38＝338，4＋415＝4415，…，若7＋a b ＝7ab，(a 、b 均为正实数)，则类比以上等式，可推测a 、b 的值，进而可得a ＋b ＝________．7．(2015·某某某某模拟)已知函数f 1(x )＝2x ＋1，f n ＋1(x )＝f 1(f n (x ))，且a n ＝f n （0）－1f n （0）＋2.(1)求证：{a n }为等比数列，并求其通项公式； (2)设b n ＝（－1）n －12a n ，g (n )＝1＋12＋13＋…＋1n (n ∈N *)，求证：g (b n )≥n ＋22.考点36 算法与程序框图两年高考真题演练1.(2015·某某)阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出的结果为( )A ．2B ．1C ．0D ．－12．(2015·)执行如图所示的程序框图，输出的结果为( )A ．(－2，2)B ．(－4，0)C ．(－4，－4)D ．(0，－8) 3．(2015·某某)执行如图所示的程序框图，若输出k 的值为8，则判断框内可填入的条件是( ) A ．s ≤34B ．s ≤56C ．s ≤1112D ．s ≤25244．(2015·新课标全国Ⅱ)下边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图，若输入的a ，b 分别为14，18，则输出的a ＝( )A ．0B ．2C ．4D ．145．(2014·某某)执行如图所示的程序框图，若输出k 的值为6，则判断框内可填入的条件是( )A ．s >12B ．s >35C ．s >710D ．s >456．(2014·某某)执行如图的程序框图，如果输入的x ，y ∈R ，那么输出的S 的最大值为( )A ．0B ．1C ．2D ．3考点36 算法与程序框图一年模拟试题精练1．(2015·某某某某模拟)执行如图所示的程序框图，若输入n的值为22，则输出的S 的值为( )A．232 B．211 C．210 D．1912．(2015·乌鲁木齐模拟)执行如图程序在平面直角坐标系上打印一系列点，则打出的点在圆x2＋y2＝10内的个数是( )A．2 B．3 C．4 D．53．(2015·某某模拟)在区间[－2，3]上随机选取一个数M，不断执行如图所示的程序框图，且输入x的值为1，然后输出n的值为N，则M≤N－2的概率为( )A.15B.25C.35D.454．(2015·某某一模)已知如图1所示是某学生的14次数学考试成绩的茎叶图，第1次到第14次的考试成绩依次记为A 1，A 2，…A 14，图2是统计茎叶图中成绩在一定X 围内考试次数的一个程序框图，则输出的n 的值是( )A ．8B ．9C ．10D ．115．(2015·某某一模)如图，给出的是计算12＋14＋16＋…＋12 016的值的程序框图，其中判断框内应填入的是( )A ．i ≤2 021B ．i ≤2 019C ．i ≤2 017D ．i ≤2 0156．(2015·某某枣庄模拟)某算法的程序框图如图所示，如果输出的结果为26，则判断框内的条件应为( )A ．k ≤5?B ．k ＞4?C ．k ＞3?D ．k ≤4?考点37 复 数 两年高考真题演练1.(2015·某某)设i 是虚数单位，则复数2i1－i 在复平面内所对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．(2015·某某)若复数z ＝i(3－2i)(i 是虚数单位)，则z ＝( ) A ．3－2i B ．3＋2i C ．2＋3i D ．2－3i3．(2015·新课标全国Ⅱ)若a 为实数，且(2＋a i)(a －2i)＝－4i ，则a ＝( ) A ．－1 B ．0 C ．1 D ．24．(2015·某某)设复数z ＝(x －1)＋y i(x ，y ∈R )，若|z |≤1，则y ≥x 的概率为( ) A.34＋12π B.14－12π C.12－1π D.12＋1π5．(2015·新课标全国Ⅰ)设复数z 满足1＋z 1－z ＝i ，则|z |＝( )A ．1 B. 2 C. 3 D ．26．(2015·某某)设i 是虚数单位，则复数i 3－2i＝( )A ．－iB ．－3iC ．iD ．3i7．(2015·)复数i(2－i)＝( ) A ．1＋2i B ．1－2i C ．－1＋2i D ．－1－2i8．(2015·某某)若集合A ＝{i ，i 2，i 3，i 4}(i 是虚数单位)，B ＝{1，－1}，则A ∩B 等于( )A ．{－1}B ．{1}C ．{1，－1}D ．∅9．(2015·某某)已知（1－i ）2z＝1＋i(i 为虚数单位)，则复数z ＝( )A ．1＋iB ．1－iC ．－1＋iD ．－1－i10．(2015·某某)若复数z 满足z1－i ＝i ，其中i 为虚数单位，则z ＝( )A ．1－iB ．1＋iC ．－1－iD ．－1＋i11．(2014·某某)复平面内表示复数i(1－2i)的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限12．(2014·某某)已知i 是虚数单位，a ，b ∈R ，则“a ＝b ＝1”是“(a ＋b i)2＝2i ”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件13．(2014·某某)已知a ，b ∈R ，i 是虚数单位，若a －i 与2＋b i 互为共轭复数，则(a ＋b i)2＝( )A ．5－4iB ．5＋4iC ．3－4iD ．3＋4i 14．(2015·某某)设复数a ＋b i(a ，b ∈R )的模为3，则(a ＋b i)(a －b i)＝________． 15．(2015·某某)i 是虚数单位，若复数(1－2i)(a ＋i)是纯虚数，则实数a 的值为________．1．(2015·某某江南十校模拟)若复数6＋a i3－i (其中a ∈R ，i 为虚数单位)的实部与虚部相等，则a ＝( )A ．3B ．6C ．9D ．122．(2015·某某某某模拟)已知i 为虚数单位，复数z ＝(1＋2i)i 对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限3．(2015·万州区模拟)设复数z ＝a ＋i1－i(a ∈R ，i 为虚数单位)，若z 为纯虚数，则a ＝( )A ．－1B ．0C ．1D ．24．(2015·乌鲁木齐模拟)在复平面内，复数1＋2i1－i对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 5．(2015·某某模拟)已知复数z 满足：z i ＝2＋i(i 是虚数单位)，则z 的虚部为( ) A ．2i B ．－2i C ．2 D ．－26．(2015·某某一模)已知i 为虚数单位，复数z 满足i z ＝1＋i ，则z ＝( ) A ．1＋i B ．1－i C ．－1＋i D ．－1－i7．(2015·某某一模)设i 为虚数单位，复数2i1＋i等于( )A ．－1＋iB ．－1－iC ．1－iD ．1＋i8．(2015·某某一模)已知复数z 1＝2＋i ，z 2＝1－2i ，若z ＝z 1z 2，则z －＝( )A.45＋iB.45－i C ．i D ．－i 9．(2015·德阳模拟)复数2i 2－i ＝( )A ．－25＋45i B.25－45iC.25＋45i D ．－25－45i 10．(2015·某某枣庄模拟)i 是虚数单位，若z ＝1i －1，则|z |＝( )A.12B.22C. 2 D ．2 11．(2015·某某某某模拟)已知i 是虚数单位， 若⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋i 1＋m i 2＜0(m ∈R )，则m 的值为( )A.12 B ．－2 C ．2 D ．－1212．(2015·某某某某模拟)设a ∈R ，i 是虚数单位，则“a ＝1”是“a ＋ia －i为纯虚数”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件13．(2015·某某模拟)复数z ＝m －2i1＋2i(m ∈R ，i 为虚数单位)在复平面上对应的点不可能位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限14．(2015·某某河西五地模拟)下面是关于复数z ＝21－i的四个命题： p 1：|z |＝2, p 2：z 2＝2i ，p 3：z 的共轭复数为－1＋i, p 4：z 的虚部为1.其中真命题为( ) A ．p 2，p 3 B ．p 1，p 2 C ．p 2，p 4 D ．p 3，p 415．(2015·某某马某某模拟)若复数z ＝(a 2－4)＋(a ＋2)i 为纯虚数，则a ＋i 2 0151＋2i的值为( )A ．1B ．－1C ．iD ．－i第十章 推理证明、算法、复数考点35 推理与证明、数学归纳法 【两年高考真题演练】1．A [因为至少有一个的反面为一个也没有，所以要做的假设是方程x 3＋ax ＋b ＝0没有实根．]2．4n －1[观察等式，第1个等式右边为40＝41－1，第2个等式右边为41＝42－1，第3个等式右边为42＝43－1， 第4个等式右边为43＝44－1，所以第n 个等式右边为4n －1.]3．5 [(ⅰ)x 4⊕x 5⊕x 6⊕x 7＝1⊕1⊕0⊕1＝1，(ⅱ)x 2⊕x 3⊕x 6⊕x 7＝1⊕0⊕0⊕1＝0；(ⅲ)x 1⊕x 3⊕x 5⊕x 7＝1⊕0⊕1⊕1＝1.由(ⅰ)(ⅲ)知x 5，x 7有一个错误，(ⅱ)中没有错误，∴x 5错误，故k 等于5.]4.14 [由题意知数列{a n }是以首项a 1＝2，公比q ＝22的等比数列，∴a 7＝a 1·q 6＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫226＝14.] 5．6 [根据题意可分四种情况：(1)若①正确，则a ＝1，b ＝1，c ≠2，d ＝4，符合条件的有序数组有0个；(2)若②正确，则a ≠1，b ≠1，c ≠2，d ＝4，符合条件的有序数组为(2，3，1，4)和(3，2，1，4)；(3)若③正确，则a ≠1，b ＝1，c ＝2，d ＝4，符合条件的有序数组为(3，1，2，4)； (4)若④正确，则a ≠1，b ＝1，c ≠2，d ≠4，符合条件的有序数组为(2，1，4，3)，(4，1，3，2)，(3，1，4，2)．所以共有6个．故答案为6.]6．F ＋V －E ＝2 [因为5＋6－9＝2，6＋6－10＝2，6＋8－12＝2，故可猜想F ＋V －E ＝2.]7. 解 (1)法一 a 2＝2，a 3＝2＋1. 再由题设条件知(a n ＋1－1)2＝(a n －1)2＋1. 从而{(a n －1)2}是首项为0公差为1的等差数列， 故(a n －1)2＝n －1，即a n ＝n －1＋1 (n ∈N *)．法二 a 2＝2，a 3＝2＋1.可写为a 1＝1－1＋1，a 2＝2－1＋1，a 3＝3－1＋1. 因此猜想a n ＝n －1＋1. 下面用数学归纳法证明上式： 当n ＝1时结论显然成立．假设n ＝k 时结论成立，即a k ＝k －1＋1，则a k ＋1＝（a k －1）2＋1＋1＝（k －1）＋1＋1＝（k ＋1）－1＋1.这就是说，当n ＝k ＋1时结论成立． 所以a n ＝n －1＋1(n ∈N *)． (2)设f (x )＝（x －1）2＋1－1， 则a n ＋1＝f (a n )．令c ＝f (c )，即c ＝（c －1）2＋1－1，解得c ＝14.下用数学归纳法证明加强命题a 2n ＜c ＜a 2n ＋1＜1. 当n ＝1时，a 2＝f (1)＝0，a 3＝f (0)＝2－1， 所以a 2＜14＜a 3＜1，结论成立．假设n ＝k 时结论成立，即a 2k ＜c ＜a 2k ＋1＜1. 易知f (x )在(－∞，1]上为减函数， 从而c ＝f (c )＞f (a 2k ＋1)＞f (1)＝a 2， 即1＞c ＞a 2k ＋2＞a 2.再由f (x )在(－∞，1]上为减函数得c ＝f (c )＜f (a 2k ＋2)＜f (a 2)＝a 3＜1. 故c ＜a 2k ＋3＜1，因此a 2(k ＋1)＜c ＜a 2(k ＋1)＋1＜1. 这就是说，当n ＝k ＋1时结论成立．综上，符合条件的c 存在，其中一个值为c ＝14.【一年模拟试题精练】1. m 2－n 2 [当n ＝0，m ＝1时，为第一个式子13＋23＝1此时1＝12－0＝m 2－n 2，当n ＝2，m ＝4时，为第二个式子73＋83＋103＋113＝12；此时12＝42－22＝m 2－n 2，当n ＝5，m ＝8时，为第三个式子163＋173＋193＋203＋223＋233＝39此时39＝82－52＝m 2－n 2，由归纳推理可知等式：3n ＋13＋3n ＋23＋…＋3m －23＋3m －13＝m 2－n 2.故答案为：m 2－n 2]2．n ·2n －1[S 1＝1，S 2＝4，当n ＝3时，S 3＝1＋2＋3＋(2－1)＋(3－1)＋(3－2)＋(3－2＋1)＝12，S 4＝1＋2＋3＋4＋(2－1)＋(3－1)＋(4－1)＋(3－2)＋(4－2)＋(4－3)＋(3－2＋1)＋(4－2＋1)＋(4－3＋1)＋(4－3＋2)＋(4－3＋2－1)＝32，∴根据前4项猜测集合N ＝{1，2，3，…，n }的每一个非空子集的“交替和”的总和S n＝n ·2n －1，故答案为：n ·2n －1.]3．45 [由题意，从23到m 3，正好用去从3开始的连续奇数共2＋3＋4＋…＋m ＝（m ＋2）（m －1）2个，2 015是从3开始的第1 007个奇数，当m ＝44时，从23到443，用去从3开始的连续奇数共46×432＝989个． 当m ＝45时，从23到453，用去从3开始的连续奇数共47×442＝1 034个．] 4．(1)5 (2)9 [当l ＝12时，为使n 最大，先考虑截下的线段最短，第1段和第2段长度为1、1，由于任意三段都不能构成三角形，∴第3段的长度为1＋1＝2，第4段和第5段长度为3、5，恰好分成了5段；(2)当l ＝100时，依次截下的长度为1、1、2、3、5、8、13、21、34的线段，长度和为88，还余下长为12的线段，因此最后一条线段长度取为34＋12＝46，故n 的最大值是9.]5．n (n ＋1)·2n －2[C 1n ＋22C 2n ＋32C 3n ＋…＋k 2C k n ＋…＋n 2C n n ＝n (C 0n －1＋2C 1n －1＋…＋k C k －1n －1＋…＋n C n －1n －1)＝n [(C 0n －1＋C 1n －1＋…＋C k －1n －1＋…＋C n －1n －1)＋(C 1n －1＋2C 2n －1＋…＋(k －1)C k －1n －1＋…＋(n －1)C n －1n －1)]．]6．55 [观察下列等式2＋23＝223，3＋38＝338，4＋415＝4415，…， 照此规律，第7个等式中：a ＝7，b ＝72－1＝48，∴a ＋b ＝55，故答案为：55.] 7．(1)证明 由题设知a 1＝f 1（0）－1f 1（0）＋2＝14，∴a n ＋1a n ＝f n ＋1（0）－1f n ＋1（0）＋2f n （0）－1f n （0）＋2＝2f n （0）＋1－12f n （0）＋1＋2f n （0）－1f n （0）＋2＝1－f n （0）2f n （0）＋4f n （0）－1f n （0）＋2＝－12，∴数列{a n }为等比数列，项通次公式为a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n ＋1. (2)解 由(1)知b n ＝2n，g (b n )＝1＋12＋13＋…＋12n ，只要证：1＋12＋13＋…＋12n ≥n ＋22，下面用数学归纳证明：n ＝1时，1＋12＝1＋22，结论成立，假设n ＝k 时成立，即1＋12＋13＋…＋12k ＞k ＋22，那么：n ＝k ＋1时，1＋12＋13＋…＋12k ＋12k ＋1＋…＋12k ＋1＞k ＋22＋12k ＋1＋…＋12k ＋1＞k ＋22＋12k ＋1＋12k ＋1＋…＋12k ＋1＞k ＋22＋12k ＋12k ＝k ＋32，即n ＝k ＋1时，结论也成立， 所以n ∈N ，结论成立．考点36 算法与程序框图【两年高考真题演练】1．C [当i ＝1，S ＝0进入循环体运算时，S ＝0，i ＝2；S ＝0＋(－1)＝－1，i ＝3；S＝－1＋0＝－1，i ＝4；∴S ＝－1＋1＝0，i ＝5；S ＝0＋0＝0，i ＝6＞5，故选C.]2．B [第一次循环：S ＝1－1＝0，t ＝1＋1＝2；x ＝0，y ＝2，k ＝1； 第二次循环：S ＝0－2＝－2，t ＝0＋2＝2，x ＝－2，y ＝2，k ＝2；第三次循环：S ＝－2－2＝－4，t ＝－2＋2＝0，x ＝－4，y ＝0，k ＝3.输出(－4，0)．] 3．C [由程序框图，k 的值依次为0，2，4，6，8，因此S ＝12＋14＋16＝1112(此时k ＝6)还必须计算一次，因此可填S ≤1112，选C.]4．B [由题知，若输入a ＝14，b ＝18，则第一次执行循环结构时，由a ＜b 知，a ＝14，b ＝b －a ＝18－14＝4； 第二次执行循环结构时，由a ＞b 知，a ＝a －b ＝14－4＝10，b ＝4； 第三次执行循环结构时，由a ＞b 知，a ＝a －b ＝10－4＝6，b ＝4； 第四次执行循环结构时，由a ＞b 知，a ＝a －b ＝6－4＝2，b ＝4； 第五次执行循环结构时，由a ＜b 知，a ＝2，b ＝b －a ＝4－2＝2； 第六次执行循环结构时，由a ＝b 知，输出a ＝2，结束，故选B.]5．C [程序框图的执行过程如下：s ＝1，k ＝9，s ＝910，k ＝8；s ＝910×89＝810，k ＝7；s ＝810×78＝710，k ＝6，循环结束．故可填入的条件为s >710.故选C.]6．C [先画出x ，y 满足的约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，x ＋y ≤1，对应的可行域如图中的阴影部分：移动直线l 0：y ＝－2x .当直线经过点A (1，0)时，y ＝－2x ＋S 中截距S 最大，此时S max ＝2×1＋0＝2. 再与x ≥0，y ≥0，x ＋y ≤1不成立时S ＝1进行比较，可得S max ＝2.] 【一年模拟试题精练】1．B [由循环程序框图可转化为数列{S n }为1，2，4，…并求S 21，观察规律得S 2－S 1＝1，S 3－S 2＝2，S 4－S 3＝3，……，S 21－S 20＝20，把等式相加：S 21－S 1＝1＋2＋…＋20＝20×1＋202＝210，所以S 21＝211.故选B.]2．B [根据流程图所示的顺序，该程序的作用是打印如下点：(1，1)、⎝ ⎛⎭⎪⎫2，12、⎝ ⎛⎭⎪⎫3，13、⎝ ⎛⎭⎪⎫4，14、⎝ ⎛⎭⎪⎫5，15、⎝ ⎛⎭⎪⎫6，16 其中(1，1)、⎝ ⎛⎭⎪⎫2，12、⎝ ⎛⎭⎪⎫3，13满足x 2＋y 2＜10，即在圆x 2＋y 2＝10内，故打印的点在圆x 2＋y 2＝10内的共有3个，故选：B.]3．C [ 循环前输入的x 的值为1， 第1次循环，x 2－4x ＋3＝0≤0，满足判断框条件，x ＝2，n ＝1，x 2－4x ＋3＝－1≤0，满足判断框条件，x ＝3，n ＝2，x 2－4x ＋3＝0≤0，满足判断框条件，x ＝4，n ＝3，x 2－4x ＋3＝3＞0，不满足判断框条件，输出n ：N ＝3.在区间[－2，3]上随机选取一个数M ，长度为5，M ≤1，长度为3，所以所求概率为35，故选C.]4．C [由程序框图知：算法的功能是计算学生在14次数学考试成绩中，成绩大于等于90的次数，由茎叶图得，在14次测试中，成绩大于等于90的有：93、99、98、98、94、91、95、103、101、114共10次，∴输出n 的值为10.故选C.] 5．C [根据流程图，可知第1次循环：i ＝2，S ＝12；第2次循环：i ＝4，S ＝12＋14；第3次循环：i ＝6，S ＝12＋14＋16…，第1 008次循环：i ＝2 016， S ＝12＋14＋16＋…＋12 016； 此时，设置条件退出循环，输出S 的值．故判断框内可填入i ≤2 016.对比选项，故选C.]6．C[分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环计算S 值并输出，模拟程序的运行过程，即可得到答案，程序在运行过程中，各变量的值变化如下所示：S 条件？ k循环前 0 / 1 第1圈 1 否 2 第2圈 4 否 3 第3圈 11 否 4 第4圈 26 是得，当k ＝4时，S ＝26，此时应该结束循环体并输出S 的值为26，所以判断框应该填入的条件为：k ＞3？，故选C.]考点37 复 数【两年高考真题演练】1．B [2i 1－i ＝2i （1＋i ）（1－i ）（1＋i ）＝2i （1＋i ）2＝i －1＝－1＋i ，其对应点坐标为(－1，1)，位于第二象限，故选B.]2．D [因为z ＝i(3－2i)＝2＋3i ，所以z ＝2－3i ，故选D.]3．B [因为a 为实数，且(2＋a i)(a －2i)＝4a ＋(a 2－4)i ＝－4i ，得4a ＝0且a 2－4＝－4，解得a ＝0，故选B.]4．B [由|z|≤1可得(x －1)2＋y 2≤1，表示以(1，0)为圆心，半径为1的圆及其内部，满足y ≥x 的部分为如图阴影所示，由几何概型概率公式可得所求概率为： P ＝14π×12－12×12π×12＝π4－12π ＝14－12π.] 5．A [由1＋z 1－z ＝i ，得1＋z ＝i －z i ，z ＝－1＋i1＋i ＝i ，∴|z |＝|i|＝1.]6．C [i 3－2i ＝－i －2i i 2＝－i ＋2i ＝i.选C.]7．A [i(2－i)＝2i －i 2＝1＋2i.]8．C [集合A ＝{i －1，1，－i}，B ＝{1，－1}，A ∩B ＝{1，－1}，故选C.]9．D [由（1－i ）2z ＝1＋i ，知z ＝（1－i ）21＋i ＝－2i1＋i ＝－1－i ，故选D.]10．A [∵z1－i＝i ，∴z ＝i(1－i)＝i －i 2＝1＋i ，∴z ＝1－i.] 11．A [复数i(1－2i)＝2＋i ，在复平面内对应的点的坐标是(2，1)，位于第一象限．] 12．A [当a ＝b ＝1时，(a ＋b i)2＝(1＋i)2＝2i ，反之，若(a ＋b i)2＝2i ，则有a ＝b ＝－1或a ＝b ＝1，因此选A.]13．D [根据已知得a ＝2，b ＝1，所以(a ＋b i)2＝(2＋i)2＝3＋4i.]14．3 [由|a ＋b i|＝3得a 2＋b 2＝3，即a 2＋b 2＝3，所以(a ＋b i)(a －b i)＝a 2＋b 2＝3.]15．－2 [(1－2i)(a ＋i)＝a ＋2＋(1－2a )i ，由已知，得a ＋2＝0，1－2a ≠0，∴a ＝－2.]【一年模拟试题精练】 1．A [z ＝（6＋a i ）（3＋i ）（3－i ）（3＋i ）＝18－a ＋（3a ＋6）i10.由条件得，18－a ＝3a ＋6，∴a＝3.]2．B [因为z ＝(1＋2i)i ＝i ＋2i 2＝－2＋i ，所以z 对应的点的坐标是(－2，1)，所以在第二象限，故选B.]3．C [z ＝a ＋i 1－i ＝（a ＋i ）（1＋i ）（1－i ）（1＋i ）＝a －1＋（1＋a ）i 2＝a －12＋1＋a2i ，若z 为纯虚数，则a －12＝0且1＋a2≠0，解a ＝1，故选：C.] 4．B [∵复数 1＋2i 1－i ＝（1＋2i ）（1＋i ）（1＋i ）（1－i ）＝－1＋3i 2＝－12＋32i ，∴复数对应的点的坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32，∴复数1＋2i 1－i 在复平面内对应的点位于第二象限，故选B.]5．D [由z i ＝2＋i ，得z ＝2＋i i ＝－i （2＋i ）－i2＝1－2i ，∴z 的虚部是－2.] 6．A [∵i z ＝1＋i ，∴－i ·i z ＝－i(1＋i)，化为z ＝1－i ，∴z －＝1＋i.] 7．D [2i 1＋i ＝2i （1－i ）（1＋i ）（1－i ）＝2＋2i2＝1＋i.]8．D [∵复数z 1＝2＋i ，z 2＝1－2i ，∴z ＝z 1z 2＝2＋i 1－2i ＝（2＋i ）（1＋2i ）（1－2i ）（1＋2i ）＝5i5＝i ，则z ＝－i.]9．A [2i 2－i ＝2i （2＋i ）（2－i ）（2＋i ）＝－2＋4i 5＝－25＋45i.]10．B [由题根据所给复数化简求解即可；∵z ＝1i －1＝1＋i －2，∴|z |＝22.]11．B [由⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋i 1＋m i 2＜0，知2＋i 1＋m i 为纯虚数，∴2＋i 1＋m i ＝2＋m ＋（1－2m ）i 1＋m 2为纯虚数，∴m ＝－2，故选B.]12．A [∵a ＋i a －i ＝a 2－1＋2a i a 2＋1，∴“a ＋ia －i为纯虚数”⇔“a ＝±1”， 故“a ＝1”是“a ＋ia －i为纯虚数”的充分不必要条件．] 13．A [由已知z ＝m －2i 1＋2i ＝（m －2i ）（1－2i ）（1＋2i ）（1－2i ）＝15[(m －4)－2(m ＋1)i]； 在复平面对应点如果在第一象限，则⎩⎪⎨⎪⎧m －4＞0，m ＋1＜0而此不等式组无解．即在复平面上对应的点不可能位于第一象限．故选A.]14．C [p 1：|z |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪21－i ＝2，故命题为假；p 2：z 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫21－i 2＝41－2i －1＝2i ，故命题为真； z ＝21－i＝1＋i ，∴z 的共轭复数为1－i ，故命题p 3为假； ∵z ＝21－i ＝1＋i ，∴p 4：z 的虚部为1，故命题为真．故真命题为p 2，p 4故选C.]15．D [∵z ＝(a 2－4)＋(a ＋2)i 为纯虚数，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2－4＝0，a ＋2≠0，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2或a ＝－2，a ≠－2，解得a ＝2，则a ＋i 2 0151＋2i ＝2＋i 31＋2i ＝2－i 1＋2i ＝－i.]。

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课时达标检测(四十八)算法、复数1。

（2018·南京市高三年级学情调研)如图所示的算法流程图，若输出y的值为错误!，则输入x的值为________．解析:此算法程序表示一个分段函数y＝错误!由f(x）＝12得x＝－错误!.答案：－22．(2018·常州模拟)设复数z满足(z＋i)（2＋i)＝5(i为虚数单位)，则z＝________。

解析：由（z＋i)（2＋i）＝5，得z＋i＝错误!，即z＋i＝2－i，所以z＝2－2i。

答案: 2－2i3．(2018·徐州模拟）已知复数z满足z2＝－4，若z的虚部大于0，则z＝________。

解析：由z2＝－4得z＝±2i，而z的虚部大于0，所以z＝2i.答案：2i4．（2018·连云港模拟）运行如图所示的伪代码,则输出的结果S为________．解析：本题的算法功能是在累加变量S初值为1的基础上连续加2四次,所以S＝9.答案：95．(2018·扬州调研)如图给出的是计算错误!＋错误!＋错误!＋错误!＋…＋错误!的一个算法流程图，其中判断框内应填入的条件是________．解析：因为该循环体需要运行50次,i的初始值是1，间隔是1，所以i＝50时不满足判断框内的条件,而i＝51时满足判断框内条件，所以判断框内的条件可以填入i＞50（或i≥51)．答案：i＞50（i≥51亦可）6．（2018·宿迁期中）若复数z＝错误!(i为虚数单位），则z的模为________．解析：由z＝错误!两边同时取模得|z|＝错误!＝错误!＝错误!。

1．算法的含义算法是解决某类问题的一系列步骤或程序，只要按照这些步骤执行，都能使问题得到解决．2．算法框图在算法设计中，算法框图(也叫程序框图)可以准确、清晰、直观地表达解决问题的思想和步骤，算法框图的三种基本结构：顺序结构、选择结构、循环结构．3．三种基本逻辑结构(1)顺序结构：按照步骤依次执行的一个算法，称为具有“顺序结构”的算法，或者称为算法的顺序结构．其结构形式为(2)选择结构：需要进行判断，判断的结果决定后面的步骤，像这样的结构通常称作选择结构．其结构形式为(3)循环结构：指从某处开始，按照一定条件反复执行某些步骤的情况．反复执行的处理步骤称为循环体．其基本模式为4．基本算法语句任何一种程序设计语言中都包含五种基本的算法语句，它们分别是：输入语句、输出语句、赋值语句、条件语句和循环语句．5．赋值语句(1)一般形式：变量＝表达式(2)作用：将表达式所代表的值赋给变量．6．条件语句(1)If—Then—Else语句的一般格式为：(2)If—Then语句的一般格式是：7．循环语句(1)For语句的一般格式：(2)DoLoop语句的一般格式：【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)算法只能解决一个问题，不能重复使用．(×)(2)算法框图中的图形符号可以由个人来确定．(×)(3)输入框只能紧接开始框，输出框只能紧接结束框．(×)(4)选择结构的出口有两个，但在执行时，只有一个出口是有效的．(√)(5)5＝x是赋值语句．(×)(6)输入语句可以同时给多个变量赋值．(√)1．已知一个算法：(1)m＝a.(2)如果b<m，则m＝b，输出m；否则执行第(3)步．(3)如果c<m，则m＝c，输出m.如果a＝3，b＝6，c＝2，那么执行这个算法的结果是()A．3 B．6C．2 D．m答案 C解析当a＝3，b＝6，c＝2时，依据算法设计，本算法是求a、b、c三个数的最小值，故输出m的值为2，故选C.2．(2015·陕西)根据如图所示的框图，当输入x为6时，输出的y等于()A．1B．2 C．5D．10答案 D解析输入x＝6，程序运行情况如下：x ＝6－3＝3＞0，x ＝3－3＝0≥0，x ＝0－3＝－3＜0， 退出循环，执行y ＝x 2＋1＝(－3)2＋1＝10， 输出y ＝10.故选D.3．如图是一个算法框图，则输出的S 的值是________．答案 0解析 该算法框图运行2016次，所以输出的S ＝cos π3＋cos 2π3＋cosπ＋…＋cos 2015π3＋cos2016π3＝336(cos π3＋cos 2π3＋cosπ＋…＋cos 6π3)＝0.4．如图，是求实数x 的绝对值的算法框图，则判断框①中可填________________．答案 x >0(或x ≥0)解析 由于|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧x ， x ≥0，－x ，x <0或|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x >0，－x ，x ≤0，故根据所给的算法框图，易知可填“x>0”或“x≥0”．5．如图是求12＋22＋32＋…＋1002的值的算法框图，则正整数n＝________.答案100解析第一次判断执行后，i＝2，s＝12；第二次判断执行后，i＝3，s＝12＋22，而题目要求计算12＋22＋…＋1002，故n＝100.题型一顺序结构与选择结构命题点1顺序结构例1已知f(x)＝x2－2x－3，求f(3)、f(－5)、f(5)，并计算f(3)＋f(－5)＋f(5)的值．设计出解决该问题的一个算法，并画出算法框图．解算法如下：第一步，令x＝3.第二步，把x＝3代入y1＝x2－2x－3.第三步，令x＝－5.第四步，把x＝－5代入y2＝x2－2x－3.第五步，令x＝5.第六步，把x＝5代入y3＝x2－2x－3.第七步，把y1，y2，y3的值代入y＝y1＋y2＋y3.第八步，输出y1，y2，y3，y的值．该算法对应的算法框图如图所示：命题点2 选择结构例2 执行如图所示的算法框图，如果输入的t ∈[－1,3]，则输出的s 属于( )A ．[－3,4]B ．[－5,2]C ．[－4,3]D ．[－2,5]答案 A解析 根据算法框图可以得到分段函数s ＝⎩⎪⎨⎪⎧3t ，t <1，4t －t 2，t ≥1，进而在函数的定义域[－1,3]内分段求出函数的值域．所以当－1≤t <1时，s ＝3t ∈[－3,3)；当1≤t ≤3时，s ＝4t －t 2＝－(t －2)2＋4，所以此时3≤s ≤4.综上可知，函数的值域为[－3,4]，即输出的s 属于[－3,4]． 引申探究若将本例中判断框的条件改为“t ≥1”，则输出的s 的范围是什么？解 根据算法框图可以得到，当－1≤t <1时，s ＝4t －t 2＝－(t －2)2＋4，此时－5≤s <3；当1≤t≤3时，s＝3t∈[3,9]．综上可知，函数的值域为[－5,9]，即输出的s属于[－5,9]．思维升华应用顺序结构与选择结构的注意点(1)顺序结构顺序结构是最简单的算法结构，语句与语句之间、框与框之间是按从上到下的顺序进行的．(2)选择结构①选择结构中条件的判断关键是明确条件结构的功能，然后根据“是”的分支成立的条件进行判断；②对选择结构，无论判断框中的条件是否成立，都只能执行两个分支中的一个，不能同时执行两个分支．(2014·四川)执行如图所示的算法框图，如果输入的x，y∈R，那么输出的S的最大值为()A．0 B．1C．2 D．3答案 C解析当条件x≥0，y≥0，x＋y≤1不成立时输出S的值为1；当条件x≥0，y≥0，x＋y≤1成立时S＝2x＋y，下面用线性规划的方法求此时S的最大值．作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x≥0，y≥0，x＋y≤1表示的平面区域如图中阴影部分，由图可知当直线S＝2x＋y经过点M(1,0)时S最大，其最大值为2×1＋0＝2，故输出S的最大值为2.题型二循环结构命题点1由算法框图求输出结果例3(2015·安徽)执行如图所示的算法框图，输出的n为________．答案 4解析结合算法框图逐一验证求解．执行第一次判断：|a－1.414|＝0.414>0.005，a＝32，n＝2；执行第二次判断：|a－1.414|＝0.086>0.005，a＝75，n＝3；执行第三次判断：|a－1.414|＝0.014>0.005，a＝1712，n＝4；执行第四次判断：|a－1.414|<0.005，输出n＝4.命题点2完善算法框图例4(2014·重庆)执行如图所示的算法框图，若输出k的值为6，则判断框内可填入的条件是()A ．s >12B ．s >35C ．s >710D ．s >45答案 C解析 第一次执行循环：s ＝1×910＝910，k ＝8，s ＝910应满足条件；第二次执行循环：s ＝910×89＝810，k ＝7，s ＝810应满足条件，排除选项D ；第三次执行循环：s ＝810×78＝710，k ＝6，正是输出的结果，故这时程序不再满足条件，结束循环，而选项A 和B 都满足条件，故排除A 和B ，故选C.命题点3 辨析算法框图的功能例5 (2014·陕西)根据下面框图，对大于2的整数N ，输出的数列的通项公式是( )A ．a n ＝2nB ．a n ＝2(n －1)C ．a n ＝2nD ．a n ＝2n －1答案 C解析 由算法框图可知第一次运行：i ＝1，a 1＝2，S ＝2； 第二次运行：i ＝2，a 2＝4，S ＝4； 第三次运行：i ＝3，a 3＝8，S ＝8； 第四次运行：i ＝4，a 4＝16，S ＝16. 故选C.思维升华 与循环结构有关问题的常见类型及解题策略(1)已知算法框图，求输出的结果，可按算法框图的流程依次执行，最后得出结果．(2)完善算法框图问题，结合初始条件和输出结果，分析控制循环的变量应满足的条件或累加、累乘的变量的表达式．(3)对于辨析算法框图功能问题，可将算法执行几次，即可根据结果作出判断．(1)(2015·课标全国Ⅰ)执行如图所示的算法框图，如果输入的t ＝0.01，则输出的n等于( )A ．5B ．6C ．7D ．8(2)(2014·课标全国Ⅱ)执行如图所示的算法框图，如果输入的x ，t 均为2，则输出的S 等于( )A ．4B ．5C ．6D ．7 答案 (1)C (2)D解析 (1)逐次运行程序，直至输出n .运行第一次：S ＝1－12＝12＝0.5，m ＝0.25，n ＝1，S >0.01；运行第二次：S ＝0.5－0.25＝0.25，m ＝0.125，n ＝2，S >0.01；运行第三次：S ＝0.25－0.125＝0.125，m ＝0.0625，n ＝3，S >0.01； 运行第四次：S ＝0.125－0.0625＝0.0625，m ＝0.03125，n ＝4，S >0.01； 运行第五次：S ＝0.03125，m ＝0.015625，n ＝5，S >0.01； 运行第六次：S ＝0.015625，m ＝0.0078125，n ＝6，S >0.01； 运行第七次：S ＝0.0078125，m ＝0.00390625，n ＝7，S <0.01. 输出n ＝7.故选C.(2)x ＝2，t ＝2，M ＝1，S ＝3，k ＝1. k ≤t ，M ＝11×2＝2，S ＝2＋3＝5，k ＝2；k ≤t ，M ＝22×2＝2，S ＝2＋5＝7，k ＝3；3>2，不满足条件，输出S ＝7. 题型三 基本算法语句例6 (1)以下程序运行结果为( )A ．80B ．120C ．100D ．95 (2)下面的程序：该程序运行的结果为________． 答案 (1)B (2)6解析 (1)运行结果为t ＝1×2×3×4×5＝120. (2)∵a ＝33，b ＝39，∴a <b ，∴t ＝33，a ＝39，b ＝33，a －b ＝39－33＝6.思维升华 解决算法语句有三个步骤：首先通读全部语句，把它翻译成数学问题；其次领悟该语句的功能；最后根据语句的功能运行程序，解决问题．根据下列算法语句，当输入x 为60时，输出y 的值为( )A ．25B ．30C ．31D ．61 答案 C解析 由题意，得y ＝⎩⎪⎨⎪⎧0.5x ，x ≤50，25＋0.6(x －50)，x >50.当x＝60时，y＝25＋0.6×(60－50)＝31.所以输出y的值为31.21．变量的含义理解不准致误典例执行如图所示的算法框图，输出的S值为()A．2B．4C．8D．16易错分析(1)读不懂算法框图，把执行循环体的次数n误认为是变量k的值，没有注意到k 的初始值为0.(2)对循环结构：①判断条件把握不准；②循环次数搞不清楚；③初始条件容易代错．解析当k＝0时，满足k<3，因此S＝1×20＝1；当k＝1时，满足k<3，则S＝1×21＝2；当k＝2时，满足k<3，则S＝2×22＝8；当k＝3时，不满足k<3，输出S＝8.答案 C温馨提醒(1)要分清两种循环结构；要理解循环结构中各变量的具体含义以及变化规律．(2)在处理含有循环结构的算法问题时，关键是确定循环的次数，循环中有哪些变量，且每一次循环之后的变量S、k值都要被新的S、k值所替换．[方法与技巧]1．在设计一个算法的过程中要牢记它的五个特征：概括性、逻辑性、有穷性、不唯一性、普遍性．2．在画算法框图时首先要进行结构的选择．若所要解决的问题不需要分情况讨论，只用顺序结构就能解决；若所要解决的问题要分若干种情况讨论时，就必须引入选择结构；若所要解决的问题要进行许多重复的步骤，且这些步骤之间又有相同的规律时，就必须引入变量，应用循环结构．[失误与防范]1．注意起止框与处理框、判断框与循环框的不同．2．注意选择结构与循环结构的联系：对于循环结构有重复性，选择结构具有选择性没有重复性，并且循环结构中必定包含一个选择结构，用于确定何时终止循环体．3．循环语句有“For语句”与“DoLoop语句”两种，要区别两者的异同，主要解决需要反复执行的任务，用循环语句来编写程序．4．关于赋值语句，有以下几点需要注意：(1)赋值号左边只能是变量名字，而不是表达式，例如3＝m是错误的．(2)赋值号左右不能对换，赋值语句是将赋值号右边的表达式的值赋给赋值号左边的变量，例如Y＝x，表示用x的值替代变量Y的原先的取值，不能改写为x＝Y.因为后者表示用Y的值替代变量x的值．(3)在一个赋值语句中只能给一个变量赋值，不能出现多个“＝”．A组专项基础训练(时间：25分钟)1．(2015·北京)执行如图所示的算法框图，输出的k值为()A．3B．4C．5D．6 答案 B解析第一次循环：a＝3×12＝32，k＝1；第二次循环：a＝32×12＝34，k＝2；第三次循环：a＝34×12＝38，k＝3；第四次循环：a＝38×12＝316<14，k＝4.故输出k＝4.2．(2015·课标全国Ⅱ)下边算法框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”，执行该算法框图，若输入的a，b分别为14,18，则输出的a等于()A．0 B．2C．4 D．14答案 B解析由题知，若输入a＝14，b＝18，则第一次执行循环结构时，由a＜b知，a＝14，b＝b－a＝18－14＝4；第二次执行循环结构时，由a＞b知，a＝a－b＝14－4＝10，b＝4；第三次执行循环结构时，由a＞b知，a＝a－b＝10－4＝6，b＝4；第四次执行循环结构时，由a ＞b 知，a ＝a －b ＝6－4＝2，b ＝4； 第五次执行循环结构时，由a ＜b 知，a ＝2，b ＝b －a ＝4－2＝2； 第六次执行循环结构时，由a ＝b 知，输出a ＝2，结束． 故选B.3．执行如图所示的算法框图，则输出的k 的值是( )A ．3B ．4C ．5D ．6 答案 C解析 由题意，得k ＝1时，s ＝1；k ＝2时，s ＝1＋1＝2；k ＝3时，s ＝2＋4＝6；k ＝4时，s ＝6＋9＝15；k ＝5时，s ＝15＋16＝31>15，此时输出k 值为5.4．(2015·重庆)执行如图所示的算法框图，若输出k 的值为8，则判断框内可填入的条件是( )A ．s ≤34B ．s ≤56C ．s ≤1112D ．s ≤2524答案 C解析 由s ＝0，k ＝0满足条件，则k ＝2，s ＝12，满足条件；k ＝4，s ＝12＋14＝34，满足条件；k＝6，s ＝34＋16＝1112，满足条件；k ＝8，s ＝1112＋18＝2524，不满足条件，输出k ＝8，所以应填“s≤1112”． 5．(2015·天津)阅读右边的算法框图，运行相应的程序，则输出S 的值为( )A ．－10B ．6C ．14D ．18答案 B解析 运行相应的程序，第一次循环：i ＝2，S ＝20－2＝18；第二次循环：i ＝4，S ＝18－4＝14；第三次循环：i ＝8，S ＝14－8＝6；8＞5，终止循环，输出S ＝6，故选B.6．定义某种运算，a b 的运算原理如图所示．设S ＝1x ，x ∈[－2,2]，则输出的S 的最大值与最小值的差为( )A ．2B ．－1C ．4D ．3 答案 A解析 由题意可得，S (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|x |，－2≤x ≤1，1，1<x ≤2，∴S (x )max ＝2，S (x )min ＝0， ∴S (x )max －S (x )min ＝2.7．下面是一个求20个数的平均数的算法语句，在横线上应填充的语句为________．答案 i ≤208．如图是一个算法框图，则输出的n 的值是________．答案 5解析 该算法框图共运行5次，各次2n 的值分别是2,4,8,16,32，所以输出的n 的值是5. 9．(2015·山东)执行下边的算法框图，输出的T 的值为________.答案116解析 当n ＝1时，T ＝1＋⎠⎛01x 1d x ＝1＋⎪⎪12x 210＝1＋12＝32； 当n ＝2时，T ＝32＋⎠⎛01x 2d x ＝32＋⎪⎪13x 310＝32＋13＝116；当n ＝3时，结束循环，输出T ＝116.10．关于函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ，1<x ≤4，cos x ，－1≤x ≤1的算法框图如图所示，现输入区间[a ，b]，则输出的区间是________．答案 [0,1]解析 由算法框图的第一个判断条件为f(x)>0，当f(x)＝cos x ，x ∈[－1,1]时满足．然后进入第二个判断框，需要解不等式f ′(x)＝－sin x ≤0，即0≤x ≤1.故输出区间为[0,1]．B 组 专项能力提升 (时间：25分钟)11．如图是一个算法框图，若输入m 的值为2，则输出i 的值是________．答案 4解析 当输入m 的值为2时，执行题中的算法框图，i ＝1，A ＝2，B ＝1，A>B ；进入循环，i＝2，A ＝4，B ＝2，A>B ；进入循环，i ＝3，A ＝8，B ＝6，A>B ；进入循环，i ＝4，A ＝16，B ＝24，A<B ，此时结束循环，输出i ＝4.12．执行如图所示的算法框图，则输出的S 的值为________．答案1114解析 由算法框图得运行的结果依次为S ＝1＋02＋0＝12，i ＝1；S ＝12＋11＋1＝34，i ＝2；S ＝34＋232＋2＝1114，i ＝3，此时满足i ≥3，跳出循环，故输出S ＝1114.13．若某算法框图如图所示，则该程序运行后输出的值等于________．答案 95解析 当k ＝5时，输出S.此时，S ＝1＋11×2＋12×3＋13×4＋14×5＝1＋1－12＋12－13＋13－14＋14－15＝2－15＝95.14．对一个作直线运动的质点的运动过程观测了8次，第i 次观测得到的数据为a i ，具体如下表所示：i 1 2 3 4 5 6 7 8 a i4041434344464748在对上述统计数据的分析中，一部分计算见如图所示的算法框图(其中a 是这8个数据的平均数)，则输出的S 的值是________．答案 7解析 本题计算的是这8个数的方差， 因为a ＝40＋41＋43＋43＋44＋46＋47＋488＝44，所以S ＝(－4)2＋(－3)2＋(－1)2＋(－1)2＋02＋22＋32＋428＝7.15．如图(1)(2)所示，它们都表示的是输出所有立方小于1000的正整数的算法框图，那么应分别补充的条件为：(1)____________；(2)______________．答案(1)n3<1000(2)n3≥1000解析第一个图中，n不能取10，否则会把立方等于1000的正整数也输出了，所以应该填写n3<1000；第二个图中当n≥10时，循环应该结束，所以填写n3≥1000.16．(2014·湖北)设a是一个各位数字都不是0且没有重复数字的三位数．将组成a的3个数字按从小到大排成的三位数记为I(a)，按从大到小排成的三位数记为D(a)(例如a＝815，则I(a)＝158，D(a)＝851)．阅读如图所示的算法框图，运行相应的程序，任意输入一个a，输出的结果b＝________.答案495解析取a1＝815⇒b1＝851－158＝693≠815⇒a2＝693；由a2＝693⇒b2＝963－369＝594≠693⇒a3＝594；由a3＝594⇒b3＝954－459＝495≠594⇒a4＝495；由a4＝495⇒b4＝954－459＝495＝a4⇒b＝495.。

一、选择题1．(2018·福州四校联考)如果复数z ＝2－1＋i ，则( )A ．z 的共轭复数为1＋iB ．z 的实部为1C ．|z |＝2D ．z 的实部为－1解析：∵z ＝2－1＋i ＝2(－1－i )(－1＋i )(－1－i )＝－2－2i 2＝－1－i ，∴z 的实部为－1，故选D.答案：D2．(2018·辽宁五校联考)执行如图所示的程序框图，如果输入的x ＝－10，则输出的y ＝( )A ．0B ．1C ．8D ．27解析：开始x ＝－10，满足条件x ≤0，x ＝－7；满足条件x ≤0，x ＝－4，满足条件x ≤0，x ＝－1；满足条件x ≤0，x ＝2，不满足条件x ≤0，不满足条件y ＝23＝8.故输出的y ＝8.故选C.答案：C3．i 是虚数单位，则复数i(2 018－i)在复平面内对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限解析：复数i(2 018－i)＝1＋2 018i ，在复平面内对应的点为(1,2 018)，故选A. 答案：A4．(2018·广州模拟)若复数z 满足(1＋2i)z ＝1－i ，则|z |＝( ) A.25 B.35 C.105D.10 解析：法一：由(1＋2i)z ＝1－i ，可得z ＝1－i1＋2i ＝(1－i )(1－2i )(1＋2i )(1－2i )＝1－2i －i －25＝－15－35i ，所以|z |＝1＋95＝105，选C. 法二：由(1＋2i)z ＝1－i 可得|(1＋2i)z |＝|1－i|，即|1＋2i||z |＝|1－i|，得到5|z |＝2，故|z |＝105，选C. 答案：C5．(2018·南宁模拟)甲、乙、丙三人中，一人是工人，一人是农民，一人是知识分子．已知：丙的年龄比知识分子大；甲的年龄和农民不同；农民的年龄比乙小．根据以上情况，下列判断正确的是( )A ．甲是工人，乙是知识分子，丙是农民B ．甲是知识分子，乙是农民，丙是工人C ．甲是知识分子，乙是工人，丙是农民D ．甲是农民，乙是知识分子，丙是工人解析：由“甲的年龄和农民不同”和“农民的年龄比乙小”可以推得丙是农民，所以丙的年龄比乙小；再由“丙的年龄比知识分子大”，可知甲是知识分子，故乙是工人．所以选C.答案：C6．(2018·沈阳模拟)已知一个算法的程序框图如图所示，当输出的结果为0时，输入的x 的值为( )A ．－3B ．－3或9C ．3或－9D ．－9或－3解析：当输出的y ＝0时，若x ≤0，则y ＝(12)x －8＝0，解得x ＝－3，若x ＞0，则y ＝2－log 3x ＝0，解得x ＝9，两个值都符合题意，故选B.答案：B7．(2018·长春模拟)已知某算法的程序框图如图所示，则该算法的功能是( )A ．求首项为1，公差为2的等差数列的前2 017项和B ．求首项为1，公差为2的等差数列的前2 018项和C ．求首项为1，公差为4的等差数列的前1 009项和D ．求首项为1，公差为4的等差数列的前1 010项和解析：由程序框图可得S ＝1＋5＋9＋…＋4 033，故该算法的功能是求首项为1，公差为4的等差数列的前1 009项和．故选C.答案：C8．(2018·山西八校联考)已知a ，b ∈R ，i 为虚数单位，若3－4i 3＝2－b ia ＋i ，则a ＋b 等于( )A ．－9B ．5C ．13D ．9解析：由3－4i 3＝2－b i a ＋i 得，3＋4i ＝2－b ia ＋i，即(a ＋i)(3＋4i)＝2－b i ，(3a －4)＋(4a ＋3)i ＝2－b i ，则⎩⎪⎨⎪⎧ 3a －4＝2，4a ＋3＝－b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－11，故a ＋b ＝－9，故选A.答案：A9．(2018·石家庄模拟)当n ＝4时，执行如图所示的程序框图，则输出的S 的值为( )A ．9B ．15C ．31D ．63解析：执行程序框图，k ＝1，S ＝1；S ＝3，k ＝2；S ＝7，k ＝3；S ＝15，k ＝4；S ＝31，k ＝5＞4，退出循环．故输出的S ＝31，故选C.答案：C10．(2018·西安八校联考)如图给出的是计算12＋14＋16＋…＋12 014＋12 016的值的程序框图，其中判断框内应填入的是( )A ．i ≤2 014?B ．i ≤2 016?C ．i ≤2 018?D ．i ≤2 020?解析：依题意得，S ＝0，i ＝2；S ＝0＋12，i ＝4；…；S ＝0＋12＋14＋…＋12 014＋12 016，i ＝2 018不满足，输出的S ＝12＋14＋16＋…＋12 014＋120 16，所以题中的判断框内应填入的是“i ≤2 016”．答案：B11．(2018·重庆模拟)我国古代数学著作《九章算术》中有如下问题：“今有人持金出五关，前关二而税一，次关三而税一，次关四而税一，次关五而税一，次关六而税一，并五关所税，适重一斤．问本持金几何．”其意思为：今有人持金出五关，第1关收税金为持金的12，第2关收税金为剩余金的13，第3关收税金为剩余金的14，第4关收税金为剩余金的15，第5关收税金为剩余金的16，5关所收税金之和，恰好重1斤．问此人总共持金多少．则在此问题中，第5关收税金( )A.120斤B.125斤C.130斤 D.136斤 解析：假设原来持金为x ，则第1关收税金12x ；第2关收税金13(1－12)x ＝12×3x ；第3关收税金14(1－12－16)x ＝13×4x ；第4关收税金15(1－12－16－112)x ＝14×5x ；第5关收税金16(1－12－16－112－120)x ＝15×6x .依题意，得12x ＋12×3x ＋13×4x ＋14×5x ＋15×6x ＝1，即(1－16)x ＝1，56x ＝1，解得x ＝65，所以15×6x ＝15×6×65＝125.故选B.答案：B12．(2018·惠州调研)《周易》历来被人们视作儒家群经之首，它表现了古代中华民族对万事万物深刻而又朴素的认识，是中华人文文化的基础，它反映出中国古代的二进制计数的思想方法．我们用近代术语解释为：把阳爻“”当作数字“1”，把阴爻“”当作数字“0”，则八卦所代表的数表示如下：依次类，符号为“”，其表示的十进制数是() A．33 B．34C．36 D．35解析：由题意类推，可知六十四卦中的“屯”卦的符号“”表示的二进制数为100010，转化为十进制数为0×20＋1×21＋0×22＋0×23＋0×24＋1×25＝34.故选B.答案：B二、填空题13．若a ＋b i i(a ，b ∈R )与(2－i)2互为共轭复数，则a －b ＝________.解析：a ＋b i i ＝i (a ＋b i )i 2＝b －a i ，(2－i)2＝3－4i ，因为这两个复数互为共轭复数，所以b＝3，a ＝－4，所以a －b ＝－4－3＝－7.答案：－714．(2018·昆明模拟)将数列{a n }中的所有项按每一行比上一行多1项的规则排成如下数阵：a 1 a 2，a 3 a 4，a 5，a 6 a 7，a 8，a 9，a 10……若第11行左起第1个数为a m ，则m ＝________.解析：要求这个数阵第11行左起的第1个数是这个数列中的第几项，只需求出这个数阵的前10行共有几项即可．因为第1行有1项，且每一行都比上一行多1项，所以前10行共有1＋2＋3＋…＋10＝10×(1＋10)2＝55项，所以m ＝56.答案：5615．在学习等差数列这一节时，可以这样得到等差数列的通项公式：设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，根据等差数列的定义，可以得到a 2－a 1＝d ，a 3－a 2＝d ，…，a n －a n －1＝d ，将以上n －1个式子相加，即可得到a n ＝a 1＋(n －1)d .“斐波那契数列”是数学史上一个著名的数列，在“斐波那契数列”{a n }中，令a 1＝1，a 2＝1，a 3＝2，…，a n ＋2＝a n ＋1＋a n (n ∈N *)，当a 2 018＝t 时，根据上述方法可知数列{a n }的前2 016项和是________．解析：由题意知，a 3－a 2＝a 1，a 4－a 3＝a 2，…，a 2 018－a 2 017＝a 2 016， 将以上2 016个式子相加，可得a 2 018－a 2＝a 1＋a 2＋…＋a 2 016＝S 2 016. 因为a 2 018＝t ，所以S 2 016＝t －1.故答案为t －1. 答案：t －116．(2018·重庆模拟)某学生的素质拓展课课表由数学、物理和体育三门学科组成，且各科课时数满足以下三个条件：①数学课时数多于物理课时数； ②物理课时数多于体育课时数；③体育课时数的两倍多于数学课时数．则该学生的素质拓展课课表中课时数的最小值为________．解析：法一：设该学生的素质拓展课课表中的数学、物理、体育的课时数分别为x ，y ，z ，则由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥1，y －z ≥1，2z －x ≥1，x ，y ，z ∈N *，则该学生的素质拓展课课表中的课时数为x ＋y ＋z .设x＋y ＋z ＝p (x －y )＋q (y －z )＋r (2z －x )＝(p －r )x ＋(－p ＋q )y ＋(－q ＋2r )z ，比较等式两边的系数，得⎩⎪⎨⎪⎧p －r ＝1，－p ＋q ＝1，－q ＋2r ＝1，解得p ＝4，q ＝5，r ＝3，则x ＋y ＋z ＝4(x －y )＋5(y －z )＋3(2z －x )≥4＋5＋3＝12，所以该学生的素质拓展课课表中的课时数的最小值为12.法二：设该学生的素质拓展课课表中的数学、物理、体育的课时数分别为x ，y ，z ，则2z ＞x ＞y ＞z .由题意，知z 的最小值为3，由此易知y 的最小值为4，x 的最小值为5，故该学生的素质拓展课课表中的课时数x ＋y ＋z 的最小值为12.答案：12。

2020 年高考数学（理）总复习：算法、复数、推理与证明题型一复数的观点与运算【题型重点】复数问题的解题思路(1)以复数的基本观点、几何意义、相等的条件为基础，联合四则运算，利用复数的代数形式列方程或方程组解决问题．(2)若与其余知识联合考察，则要借助其余的有关知识解决问题．【例 1】设有下边四个命题()1p1：若复数 z 知足z∈R，则 z∈R；p2：若复数 z 知足 z2∈R，则 z∈R；p3：若复数 z1，z2知足 z1z2∈R，则 z1＝Z2；p4：若复数 z∈R，则 z ∈R.此中的真命题为()A ． p1， p3 B． p1， p4C．p2， p3 D． p2， p4【分析】令 z＝a＋ bi(a， b∈R)，则由1＝ 1 ＝a2－bi2∈R得b＝0，所以z∈R，故z a＋ bi a ＋ bp1正确；当 z＝ i 时，因为 z2＝ i 2＝－ 1∈R，而 z＝ i? R知，故 p2不正确；当z1＝ z2＝ i 时，知足 z1·z2＝－ 1∈R，但 z1≠Z2，知 p3不正确；对于 p4，因为实数没有虚部，所以它的共轭复数是它自己，也属于实数，故p4正确，应选 B.【答案】 B【例 2】． i 是虚数单位，复数4＋ 2i－ (1－ i) 2－ 4i ＝ ()1－ 2iA ． 0B ． 2C ．－ 4iD ． 4i【分析】4＋2i－ (1－ i) 2－4i ＝4＋2i1＋2i － (1－ 2i － 1)－ 4i ＝2i ＋ 2i － 4i ＝ 0，所以选1－ 2i1－ 2i 1＋ 2iA.【答案】A【例 3】．已知 a ∈ R ，若 a ＋ 2i是纯虚数，则在复平面内，复数z ＝ ai ＋ i 2018 所对应的点4－ i位于()A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【分析】依题意，a ＋ 2i a ＋ 2i 4＋ i 4a － 2＋ a ＋8 i4a － 2＝ 0 1 ＝ ＝ ，故a ＋ 8≠0，解得 a ＝ .4－ i4－ i 4＋ i172故 z ＝ ai ＋i2018＝12i － 1 在复平面内所对应的点为1, 1，位于第二象限，应选 B.2【答案】 B题组训练一复数的观点与运算1．已知 a ∈ R ， i 是虚数单位．若 a － i与 3i － 5i 互为共轭复数，则a ＝ ()2＋i 2－ i11A. 3 B ．－ 3 C ．－ 3D ． 3a － i a － i 2－ i 2a － 1 － a ＋ 2 i 2a － 1 a ＋ 2 5i ＝ 3i【分析】 2＋ i ＝5 ＝ 5 ＝ 5 － 5 i,3i － 2－ i － 5i 2＋ i － 5＋ 10i a － i 5i 2a － 1 a ＋ 2＝3i 与3i ＝－1，解得 a＝ 3.应选 D.【答案】 D2．已知复数 z 的共轭复数为z 在复平面内对应的点z ＝1＋ 3i(i 为虚数单位 )，则复数1＋i位于()A ．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【分析】∵ z ＝ 1＋3i(i 为虚数单位 )，∴ z＝ 1－ 3i.则复数z ＝ 1－ 3i＝ 1－ 3i 1－ i ＝－ 2－ 4i＝－ 1－ 2i1 ＋ i 1＋ i 1＋ i 1－ i 2在复平面内对应的点(－ 1，－ 2)位于第三象限．应选 C. 【答案】 C3．“z＝ 1 －1 π(此中 i 是虚数单位 )是纯虚数．”是“θ＝＋ 2kπ”的 ________条件sin θ＋ cos θ·i 2 6()A ．充足不用要B．必需不充足C．充要D．既不充足也不用要【分析】z＝ 1 －1＝ sin θ－1－ icos θ(此中 i 是虚数单位 )是纯虚数．sin θ＋ cos θ·i 2 2则 sin θ－1＝ 0， cos θ≠0，2ππ解得：θ＝ 2kπ＋或θ＝ 2kπ＋π－ (k∈Z )．6 6∴ z＝ 1π－1(此中 i 是虚数单位 )是纯虚数．”是“θ＝＋ 2kπ”的必需不充足条sin θ＋ cos θ·i 2 6 件．应选 B.【答案】 B题型二程序框图【题型重点】解答程序框图问题的三个关注点(1)弄清程序框图的三种基本结构，按指向履行直至结束．(2)关注输出的是哪个量，何时结束．(3)解答循环结构问题时，要写出每一次的结果，防备运转程序不完全，同时注意划分计算变量与循环变量．【例 4】履行以下图的程序框图，输出的n 为 ()A ． 1 B． 2C．3 D． 4【分析】当 n＝ 1 时， f(x)＝ 1，知足 f(x)＝ f(－x)，不知足 f(x)＝ 0 有解，故 n＝ 2；当 n ＝2时， f(x)＝2x，不知足 f(x)＝ f(－ x)，故 n＝ 3；当 n＝3 时， f(x) ＝3x2，知足 f(x) ＝f(－ x)，知足 f( x)＝ 0 有解，故输出的n 为 3，应选 C.【答案】 C1＋1＋1＋＋1的值的一个框图，此中菱形判断框内应填【例 5】．如图给出的是计算2 4 620入的条件是 ()A ． i ＞8B． i＞ 9 C．i ＞10D． i＞ 11【分析】经过第一次循环获取S＝1， i ＝ 2，此时的i 应当不知足判断框中的条件21 1经过第二次循环获取S＝＋， i ＝ 3，此时的i 应当不知足判断框中的条件11 1经过第三次循环获取S＝＋＋， i＝ 4，此时的i 应当不知足判断框中的条件经过第十次循环获取S＝12＋14＋16＋＋201，i＝ 11，此时的 i 应当知足判断框中的条件，履行输出故判断框中的条件是i ＞ 10，应选 C.【答案】 C题组训练二程序框图1．以下程序框图输出的 a 的值为 ()A ． 5 B． 0C．－ 5 D． 10【答案】 A2．履行以下图的程序框图，假如输入的x＝ 0，y＝ 1，n＝1，则输出 x，y 的值知足 ()A ． y＝ 2x B． y＝ 3xC．y＝ 4x D． y＝ 5x【分析】输入 x＝ 0， y＝1， n＝ 1，运转第一次，x＝0， y＝ 1，不知足x2＋ y2≥ 36；运转第二次，x＝12， y＝ 2，不知足x2＋ y2≥ 36；运转第三次，x＝3， y＝ 6，知足 x2＋ y2≥ 36，2输出 x＝3， y＝ 6. 2因为点3,6在直线y＝4x上，应选C. 2【答案】 C题型三推理与证明【题型重点】合情推理的解题思路(1)在进行概括推理时，要先依据已知的部分个体，把它们适合变形，找出它们之间的联系，进而概括出一般结论．(2)在进行类比推理时，要充足考虑已知对象的性质，而后经过类比，推导出类比对象的性质．(3)概括推理重点是找规律，类比推理重点是看共性．【例 6】我国古代数学著作《九章算术》有以下问题：“今有人持金出五关，前关二而税一，次关三而税一，次关四而税一，次关五而税一，次关六而税一．并五关所税，适重一下．问本持金几何？”其意思为“今有人持金出五关，第 1 关收税金1，第 2 关收税金为节余2的1，第 3 关收税金为节余的1，第 4 关收税金为节余的1，第 5 关收税金为节余的1，5 关所3 4 5 6收税金之和，恰巧重 1 斤，问本来持金多少？”若将“5关所收税金之和，恰巧重1 斤，问原本持金多少？”改成“假定这个人本来持金为x，按此规律经过第8 关”，则第 8 关所收税金为____________x.1 1 1 x x【分析】第1 关收税金：2x；第 2 关收税金：3 1 2 x＝6＝2×3；第 3 关收税金：11 1 x ＝x ；412 6x＝12 3×4第 8 关收税金：x＝x. 8×9 721【答案】72【例 7】．已知点A(x1， ax1)、 B( x2， ax2)是函数y＝ a x(a＞ 1)的图象上随意不一样两点，依ax 1＋ ax 2x 1 ＋x 2据图象可知，线段 AB 老是位于 A 、B 两点之间函数图象的上方， 所以有结论＞ a22建立．运用类比思想方法可知，若点A(x 1， sin x 1 )、 B(x 2， sin x 2)是函数 y ＝ sin x[ x ∈(0 ，π )] 图象上的不一样两点，则近似地有 ________建立．xx【分析】 由题意知， 点 A 、B 是函数 y ＝ a (a ＞ 1)的图象上随意不一样两点， 函数 y ＝ a (a ＞1) 图象下凸，线段 AB 老是位于A 、B 两点之间函数图象的上方，所以有结论ax 1＋ ax 2＞2x 1 ＋ x 2a 建立；而函数 y ＝ sin x(x ∈ (0，π))图象上凸，线段 AB 老是位于 A 、B 两点之间函数图 2象的下方，所以可类比获取结论sin x 1＋ sin x 2 ＜ sin x 1＋ x 2. 2 2【答案】sin x 1＋ sin x 2x 1＋ x 22＜ sin2题组训练三 推理与证明1．“已知对于 x 的不等式 ax 2＋ bx ＋ c>0 的解集为 (1,2)，解对于 x 的不等式 cx 2＋ bx ＋ a>0. ” 给出以下的一种解法：【解】 由 ax 2＋ bx ＋ c>0 的解集为 (1,2)，得 a1x2＋b1＋ c>0 的解集为1,1 ，即x2对于 x 的不等式 cx 2＋ bx ＋a>0 的解集为1,1 .2类比上述解法：若对于x 的不等式 b ＋ x ＋ b1,1∪1,1 ，则对于<0 的解集为x ＋a x ＋ c32bx － bx 的不等式－>0 的解集为 ______________________ ．x － a x － c【分析】依据题意，由 b＋ x ＋ b1,1 1 ，<0 的解集为∪,1x ＋a x ＋ c32得 b ＋ － x ＋ b1,11,1 ，－x ＋ c <0 的解集为∪－ x ＋ a23即 b － x － b1, 11,1 .x － a x －c>0的解集为2 ∪ 3【答案】1,1∪1,1232．学校艺术节对同一类的A ，B ，C ，D 四项参赛作品，只评一项一等奖，在评奖揭晓前，甲、乙、丙、丁四位同学对这四项参赛作品展望以下：甲说： “是 C 或 D 作品获取一等奖”；乙说： “B 作品获取一等奖”；丙说： “A，D 两项作品未获取一等奖”；丁说： “是 C 作品获取一等奖”．若这四位同学中只有两位说的话是对的，则获取一等奖的作品是________．【分析】若 A 为一等奖，则甲，丙，丁的说法均错误，故不知足题意，若 B 为一等奖，则乙，丙说法正确，甲，丁的说法错误，故知足题意，若 C 为一等奖，则甲，丙，丁的说法均正确，故不知足题意，若 D 为一等奖，则只有甲的说法正确，故不合题意，故若这四位同学中只有两位说的话是对的，则获取一等奖的作品是B.【答案】B题型四 复数代数运算的转变方法【题型重点】(1) 求解复数问题：就是利用复数相等转变为实数问题，此中解法一、二、三用了整体思想，即 x ＋yi 是一个数．(2)解法三是技巧，利用了模的性质：Z 1 Z 1 |z 1·z 2|＝ |z 1| |z ·2|，.Z 2Z 2【例 8】若 i(x ＋ yi) ＝3＋ 4i ， x ， y ∈R ，则复数 x ＋ yi 的模是 ()A ． 2 B． 3 C．4 D． 5 【分析】法一：因为 i(x＋ yi) ＝ 3＋ 4i，所以 x＋yi ＝3＋4i＝3＋4i －i＝ 4－ 3i，i i － i故 |x＋ yi|＝ |4－ 3i|＝42＋－3 2＝5.法二：因为 i(x＋ yi) ＝ 3＋ 4i，所以 (－ i)i( x＋ yi) ＝ (－ i) (3·＋ 4i)＝ 4－ 3i，即 x＋ yi ＝ 4－3i ，故 |x＋ yi|＝ |4－ 3i|＝42＋－3 2＝5. 法三：∵ i( x＋ yi) ＝ 3＋ 4i∴ |i(x＋ yi)| ＝ |3＋4i|∴ |i||x＋ yi|＝ 5，∴ |x＋ yi|＝ 5.法四：因为 i(x＋ yi) ＝ 3＋ 4i，所以－ y＋ xi ＝3＋ 4i，所以 x＝4， y＝－ 3，故 |x＋ yi|＝ |4－ 3i|＝ 42＋－ 3 2＝ 5.【答案】 D题组训练四复数代数运算的转变方法已知 i 是虚数单位，则7＋i＝ ________. 3＋ 4i【分析】7＋ i ＝ 7＋i 3－ 4i ＝ 25－ 25i＝1－i，填1－i.3＋ 4i 25 25【答案】1－ i【专题训练】一、选择题1．设 a， b 是两个实数，给出以下条件：①a＋ b>1；② a＋b＝ 2；③ a＋ b>2；④ a2＋ b2>2；⑤ ab>1.此中能推出：“a，b中起码有一个大于1”的条件是 ()A ．②③B．①②③C．③D．③④⑤【分析】若 a＝1， b＝2，则 a＋b>1 ，但 a<1， b<1，故①推不出；2 3若 a＝b＝ 1，则 a＋ b＝ 2，故②推不出；若 a＝－ 2， b＝－ 3，则 a2＋b2 >2，故④推不出；若 a＝－ 2， b＝－ 3，则 ab>1，故⑤推不出；对于③，即 a＋b>2，则 a， b 中起码有一个大于 1，反证法：假定a≤1且 b≤1，则 a＋ b≤2与 a＋ b>2 矛盾，所以假定不建立，a， b 中起码有一个大于 1.【答案】 C2．若复数z＝1－3i(i 为虚数单位 )，则 |z＋ 1|＝() 1＋ iA ． 3 B． 2 C. 2 D. 5【分析】z＝ 1－3i ＝ 1－ 3i 1－i＝－ 1－2i1＋ i 1＋ i 1－ i 所以 |z＋ 1|＝ 2，应选 B.【答案】 B1，则 z－ |z|对应的点所在的象限为 ()3．已知复数 z＝1－iA ．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【分析】∵复数 z＝ 1 ＝1＋ i 1＋1 i ，＝1－ i 1－ i 1＋ i 2 22 2 2＋1 i ，∴ z－ |z|＝1＋1i － 1 1 ＝ 1－2 2 2 2 2 2其对应的点 1 2 , 1 所在的象限为第二象限．应选B.2 2【答案】 B4．复数 z＝m－2i( m∈R， i 为虚数单位 )在复平面上对应的点不行能位于() 1＋ 2iA ．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【分析】由已知 z＝m－2i＝m－2i1－2i ＝1[(m－ 4)－ 2(m＋1)i] 在复平面对应点假如1＋ 2i 1＋2i 1－ 2i 5在第一象限，则m－ 4＞ 0，而此不等式组无解，即在复平面上对应的点不行能位于第一象m＋ 1＜ 0，限．应选 A.【答案】 A5．履行以下图的程序框图，若输入m＝ 1， n＝3，输出的 x＝ 1.75 ，则空白判断框内应填的条件为 ( )A ． |m－ n|＜ 1B． |m－ n|＜C．|m－ n|＜D． |m－ n|＜【分析】当第一次履行， x ＝ 2,2 2－3>0， n ＝ 2，返回，第二次履行 3 3 2－3<0 ，x ＝ ， ()22m ＝ 3，返回，第三次， x ＝3＋ 4＝，(7)2－ 3>0，n ＝ 7，要输出 x ，故知足判断框，此时 m2444－n ＝ 3－ 7＝－ 1，应选 B.244 【答案】B6．老师带甲、乙、丙、丁四名学生去参加自主招生考试，考试结束后老师向四名学生认识考试状况，四名学生回答以下：甲说：“我们四人都没考好 ”；乙说： “我们四人中有人考得好 ”；丙说： “乙和丁起码有一人没考好 ”；丁说： “我没考好 ”．结果，四名学生中有两 人说对了，则四名学生中说对了的两人是( )A ．甲 丙B ．乙 丁C ．丙 丁D ．乙 丙【分析】 假如甲对， 则丙、丁都对， 与题意不符， 故甲错， 乙对； 假如丙错， 则丁错， 所以只好是丙对，丁错，应选D.【答案】D7.定义：若函数 f(x)的图象经过变换 T 后所得图象对应函数的值域与 f(x)的值域同样，则称变换 T 是 f(x)的 “同值变换 ”．下边给出四个函数及其对应的变换 T ，此中不属于 f(x)的 “同值变换 ”的是 ()A ． f(x)＝ (x － 1)2， T ：将函数 f(x)的图象对于 y 轴对称B ．f(x)＝ 2x ＋ 3， T ：将函数 f(x)的图象对于点 ( －1,1)对称C ．f(x)＝ 2x －1－ 1，T ：将函数 f(x)的图象对于 x 轴对称D ． f(x)＝ sin x， T ：将函数 f(x)的图象对于点 (－ 1,0)对称3【分析】A ． f(x)＝ (x － 1)2 对于 y 轴对称的函数是 y ＝ (x ＋ 1)2，值域 (0，＋ ∞)同样；B ．f(x)＝ 2x ＋ 3 对于点 (－ 1,1)对称的函数为 f(x)＝ 2x ＋3，值域 R 同样；C ．f(x)＝ 2x －1－ 1＞－ 1，对于 x 轴对称的函数是 y ＝－ 2x － 1＋ 1＜1，值域不一样；D． f(x)＝ sin x对于(－1,0)对称的函数是y＝－ sin 2 x，值域[－1,1]相3 3同，应选 C.【答案】 C8．履行以下程序框图，若输出i 的值为 3，则输入x 的取值范围是()A ． 0<x<3B． 1<x<3C．1≤x<3D． 1<x≤3【分析】该程序框图履行以下程序：i ＝ 1， x＝ 2x＋ 1； i ＝ 2， x＝ 2(2x＋ 1)＋ 1＝ 4x＋ 3； i ＝ 3， x＝ 2(4x＋ 3)＋ 1 ＝ 8x＋ 7 则由8x＋ 7>15可得 1<x≤3.4x＋ 3≤ 15应选 D.【答案】 D9．“现代五项”是由现代奥林匹克之父顾拜旦先生创办的运动项目，包含射击、击剑、游泳、马术和越野跑五项运动．已知甲、乙、丙共三人参加“现代五项”．规定每一项运动的前三名得分都分别为a， b，c(a＞ b＞ c 且 a，b，c∈N* )，选手最后得分为各项得分之和．已知甲最后得22 分，乙和丙最后各得9 分，且乙的马术竞赛获取了第一名，则游泳竞赛的第三名是()A ．甲B．乙C．丙D．乙和丙都有可能【分析】∵甲最后得22 分，乙和丙最后各得9 分，∴5(a＋ b＋c)＝ 22＋ 9＋9? a＋ b＋ c＝ 8即每个项目三个名次总分是8 分．每个项目的三个名次的分值状况只有两种：①5分、2分、1分；②4分、3分、1分；对于状况① 5 分、 2 分、 1 分：乙的马术竞赛获取了第一名， 5 分，余下四个项目共得 4 分，只好是四个第三名；余下四个第一名，若甲得三个第一名，15 分，还有两个项目得7 分不行能，故甲一定得四个第一名，一个第二名，余下一个第三名，四个第二名恰巧切合丙得分，由此可得乙和丙都有可能得第三名．对于状况② 4 分、 3 分、 1 分；同上剖析，应选 D.【答案】 D10．以下图将若干个点摆成三角形图案，每条边(包含两个端点)有 n(n＞ 1， n∈N )个点，相应的图案中总的点数记为a n，则9 ＋9＋9＋＋9＝()a2a3a3a4a4a5a2 015a2 0162 012 2 013A.2 013 B.2 0122 014 2 014C.2 015 D.2 013【分析】每条边有 n 个点，所以三条边有3n 个点，三角形的 3 个极点都被重复计算了一次，所以减 3 个极点，即 a ＝ 3n－ 3，那么9 ＝9 ＝ 1 ＝1－1，则9n a n a n＋1 3n－ 3 ×3n n－ 1 n n－ 1 na2 a3 ＋9 ＋9 ＋＋9a3a4 a4a5 a2 015a2 016＝11 1 1 1 1 1 11 2 2 3 3 4 2014 2015＝ 1－ 1 ＝2 014 ，应选 C.2 015 2 015【答案】 C11．以下数表的结构思路源于我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中的“杨辉三角形”．该表由若干行数字构成，从第 2 行起，第一行中的数字均等于其“肩上”两数之和，表中最后一行仅有一个数，则这个数为()2 015 2 014A．2 017 ×2 B． 2 017 ×22 015 2 014C．2 016 ×2 D． 2 016 ×2【分析】由题意知数表的每一行都是等差数列，且第 1 行数的公差为1，第 2 行数的公差为 2，第 3 行数的公差为4，，第 2 015行数的公差为22 014，第 1 行的第一个数为 2×2－1，第 2 行的第一个数为 3×20，第 3 行的第一个数为 4×21，第 n 行的第一个数为 (n＋ 1) ×2n－2，【答案】 B二、填空题12．有三张卡片，分别写有 1 和 2,1 和 3,2 和 3.甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上同样的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上同样的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是________．【分析】由丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”可知，丙为“1和 2”或“1和 3”，又乙说“我与丙的卡片上同样的数字不是 1”，所以乙只可能为“2和 3”，所以由甲说“我与乙的卡片上同样的数字不是 2”，所以甲只好为“1和 3”．【答案】 1和 3z13．设复数 z 的共轭复数为z ，若 z＝ 1－ i(i 为虚数单位 )，则z＋ z2的虚部为 ________．16【分析】∵ z＝1－ i(i 为虚数单位 )，z 1＋i＋ (1－ i)2＝ 2 － 2i ∴＋ z2＝1＋ iz 1－ i 1－ i 1＋ i＝2i－ 2i＝－ i，故其虚部为－ 1. 2【答案】－ 114．履行以下图所示的程序框图，则S 的值为 ()A．16 B． 32C．64 D． 128【分析】模拟程序的运转，可得i＝ 1， S＝ 1，履行循环体，S＝ 2， i＝ 2，知足条件 i ≤4，履行循环体，S＝ 8， i ＝ 4.知足条件 i ≤4，履行循环体，S＝ 128， i ＝8.此时，不知足条件i ≤4，退出循环，输出S 的值为 128.故答案为 D.【答案】 D15． 2016 年夏天大美青海又迎来了旅行热，甲、乙、丙三位旅客被咨询能否去过陆心之海青海湖，海北百里油菜花海，茶卡天空之境三个地方时，甲说：我去过的地方比乙多，但没去过海北百里油菜花海；乙说：我没去过茶卡天空之境；丙说：我们三人去过同一个地方．由此可判断乙去过的地方为____________ ．【分析】由乙说：我没去过茶卡天空之境，则乙可能去过陆心之海青海湖或茶卡天空之境，但甲说：我去过的城市比乙多，但没去过海北百里油菜花海，则乙只好是去过陆心之海青海湖，茶卡天空之境中的任一个，再由丙说：我们三人去过同一个地方，则由此可判断乙去过的地方为陆心之海青海湖．【答案】陆心之海青海湖16．在我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》(1261 年 )一书中，用以以下图 1 所示的三角形，解说二项和的乘方规律．在欧洲直到1623 年此后，法国数学家布莱士·帕斯卡的著作 (1655 年 )介绍了这个三角形．最近几年来外国也渐渐认可这项成就属于中国，所以有些书上称这是“中国三角形”(Chinesetriangle) 如图 1,17 世纪德国数学家莱布尼茨发现了“莱布尼茨三角形”以以下图 2.在杨辉三角中相邻两行知足关系式：r r＋1 r＋1C n＋C n ＝ C n＋1，此中 n 是行数， r∈N.请类比上式，在莱布尼茨三角形中相邻两行知足的关系式是________．1 11 2 11 3 3 11 4 6 4 11 5 10 10 5 1C n0 C n1 C n r C n n－1 C n n图 11 12 21 1 13 6311 1 14 12 12 41 1 1 1 1520 3020 51 1 1 1 1 16 30 60 60 30 6111 1r1110 111n －11nC n ＋1C n C n ＋1C n C n ＋1C n C n ＋1 C n C n ＋1C n图 2【分析】 类比察看得，将莱布尼茨三角形的每一行都能提出倍数11，而相邻两项之C n ＋1和是上一行的二者相拱之数， 所以类比式子 C r n ＋ C n r ＋ 1＝C nr ＋＋11，有 1 1 r＝11 r ＋ 1 1r ＋ 1.C n ＋1C nC n ＋ 2C n ＋ 1 C n ＋ 2C n ＋ 1【答案】1＝ 1 1 11r r ＋ 1r ＋1C n ＋1C n C n ＋2 C n ＋ 1 C n ＋ 2C n ＋ 1。

[考纲解读] １．了解算法的含义及思想，掌握程序框图的三种基本逻辑结构：顺序结构、条件结构、循环结构．（重点）２．了解几种算法的基本语句，输入语句、输出语句、赋值语句、条件语句、循环语句的含义．[考向预测] 从近三年高考情况来看，本讲是每年高考的必考内容. 预测将会考查：１框图的直接计算；２根据框图的输出值添加满足的条件. 题型为客观题，试题难度不大，属中、低档题型.１．算法的含义与程序框图（１）算法：算法是指按照错误!一定规则解决某一类问题的明确和有限的步骤．（２）程序框图：程序框图又称流程图，是一种用程序框、流程线及文字说明来表示算法的图形．在程序框图中，一个或n个程序框的组合表示算法中的一个步骤；带有方向箭头的流程线将程序框连接起来，表示算法步骤的执行顺序．（３）算法框图的图形符号及其功能２．三种基本逻辑结构及相应语句续表１．概念辨析（１）一个程序框图一定包含顺序结构，也包含条件结构（选择结构）和循环结构．（）（２）当型循环是给定条件不成立时，执行循环体，反复进行，直到条件成立为止．（）（３）在算法语句中，X＝X＋１是错误的．（）（４）输入语句可以同时给多个变量赋值．（）答案（１）×（２）×（３）×（４）√２．小题热身（１）根据给出的程序框图（如图），计算f（—１）＋f（２）＝（）Ａ．0 Ｂ．１C．２Ｄ．４答案A解析f（—１）＝４×（—１）＝—４，f（２）＝２２＝４，∴f（—１）＋f（２）＝—４＋４＝0．（２）计算机执行下面的程序段后，输出的结果是（）错误!Ａ．１,３Ｂ．４,１C．0,0 Ｄ．6,0答案B解析读程序可知a＝１＋３＝４，b＝４—３＝１．（３）已知输入实数x＝１２，执行如图所示的流程图，则输出的x是（）Ａ．２５Ｂ．１0２C．１0３Ｄ．５１答案C解析输入x＝１２，经过第一次循环得到x＝２×１２＋１＝２５，n＝２，经过第二循环得到x＝２×２５＋１＝５１，n＝３，经过第三次循环得到x＝２×５１＋１＝１0３，n＝４，此时输出x，故选Ｃ．（４）按照如图的程序框图执行，若输出结果为１５，则M处条件为（）Ａ．k≥１6 Ｂ．k＜8 C．k＜１6 Ｄ．k≥8答案A解析程序运行过程中，各变量的值如下表所示：故退出循环的条件应为k≥１6，故选Ａ．题型错误!顺序结构和条件结构１．阅读如图所示程序框图．若输入x为３，则输出的y值为（）Ａ．２４Ｂ．２５C．３0 Ｄ．４0答案D解析a＝３２—１＝8，b＝8—３＝５，y＝8×５＝４0．２．（２0１7·江苏高考）下图是一个算法流程图．若输入x的值为错误!，则输出y的值是________．答案—２解析输入x＝错误!，错误!≥１不成立，执行y＝２＋log２错误!＝２—４＝—２．输出y的值为—２．条件探究将举例说明２中“输入x”改为“输出y”，求输入的x的值．解略应用顺序结构与条件结构的注意点（１）顺序结构：顺序结构是最简单的算法结构，语句与语句之间、框与框之间是按从上到下的顺序进行的．（２）条件结构：利用条件结构解决算法问题时，重点是判断框，判断框内的条件不同，对应的下一程序框中的内容和操作要相应地进行变化，故要重点分析判断框内的条件是否满足.定义运算a⊗b的结果为执行如图所示的程序框图输出的S，则错误!⊗错误!的值为（）Ａ．４Ｂ．３C．２Ｄ．—１答案A解析由程序框图可知，S＝错误!因为２cos错误!＝１,２tan错误!＝２,１<２，所以错误!⊗错误!＝２×（１＋１）＝４．题型错误!循环结构角度１由程序框图求输出（输入）结果１．（２0１9·烟台模拟）执行如图所示的程序框图，输出的n值为（）Ａ．6 Ｂ．7 C．8 Ｄ．１２答案C解析由程序框图可知，第一次循环：S＝错误!，n＝２；第二次循环：S＝错误!＋错误!２，n＝３；第三次循环：S＝错误!＋错误!２＋错误!３，n＝４；……第六次循环：S＝错误!＋…＋错误!6＝错误!<错误!，n＝7；第七次循环：S＝错误!＋…＋错误!7＝错误!>错误!，n＝8．故终止循环，输出n＝8．故选Ｃ．角度２完善程序框图２．（２0１8·全国卷Ⅱ）为计算S＝１—错误!＋错误!—错误!＋…＋错误!—错误!，设计了下面的程序框图，则在空白框中应填入（）Ａ．i＝i＋１Ｂ．i＝i＋２Ｃ．i＝i＋３Ｄ．i＝i＋４答案B解析由S＝１—错误!＋错误!—错误!＋…＋错误!—错误!，知程序框图先对奇数项累加，偶数项累加，最后再相减．因此在空白框中应填入i＝i＋２，选Ｂ．角度３逆向求解问题３．（２0１7·全国卷Ⅲ）执行如图所示的程序框图，为使输出S的值小于9１，则输入的正整数N的最小值为（）Ａ．５Ｂ．４C．３Ｄ．２答案D解析假设N＝２，程序执行过程如下：t＝１，M＝１00，S＝0，１≤２，S＝0＋１00＝１00，M＝—错误!＝—１0，t＝２，２≤２，S＝１00—１0＝90，M＝—错误!＝１，t＝３，３＞２，输出S＝90＜9１．符合题意．∴N＝２成立．显然２是最小值．故选Ｄ．１．循环结构程序框图求输出结果的方法解决此类问题最常用的方法是列举法，即依次执行循环体中的每一步，直到循环终止，但在执行循环体的过程中：第一，要明确是当型循环结构还是直到型循环结构，根据各自特点执行循环体；第二，要明确框图中的累加变量，明确每一次执行循环体前和执行循环体后，变量的值发生的变化；第三，要明确循环终止的条件是什么，什么时候要终止执行循环体．２．程序框图补全问题的求解方法（１）先假设参数的判断条件满足或不满足；（２）运行循环结构，一直到运行结果与题目要求的输出结果相同为止；（３）根据此时各个变量的值，补全程序框图.１．（２0１7·全国卷Ⅰ）如图所示的程序框图是为了求出满足３n—２n>１000的最小偶数n，那么在和两个空白框中，可以分别填入（）Ａ．A>１000？和n＝n＋１Ｂ．A>１000？和n＝n＋２Ｃ．A≤１000？和n＝n＋１Ｄ．A≤１000？和n＝n＋２答案D解析因为题目要求的是“满足３n—２n＞１000的最小偶数n”，所以n的叠加值为２，所以内填入“n＝n＋２”．由程序框图知，当内的条件不满足时，输出n，所以内填入“A≤１000？”．故选Ｄ．２．（２0１8·洛阳三模）定义[x]表示不超过x的最大整数，例如[0．6]＝0，[２]＝２，[３．6]＝３，下图的程序框图取材于中国古代数学著作《孙子算经》．执行该程序框图，则输出a＝（）Ａ．9 Ｂ．１6 C．２３Ｄ．３0答案C解析由程序框图得k＝１，a＝9，a—３·错误!＝0≠２；k＝２，a＝１6，a—３·错误!＝１≠２；k ＝３，a＝２３，a—３·错误!＝２，a—５·错误!＝３，退出循环体，所以输出a＝２３，故选Ｃ．３．（２0１8·东北三省四市模拟）庄子说：“一尺之锤，日取其半，万世不竭”，这句话描述的是一个数列问题．现用程序框图描述．如图所示，若输入某个正整数n后，输出的S∈错误!，则输入的n的值为（）Ａ．7 Ｂ．6 C．５Ｄ．４答案C解析第一次循环得S＝错误!，k＝２；第二次循环得S＝错误!，k＝３；第三次循环得S＝错误!，k ＝４；第四次循环得S＝错误!，k＝５；第五次循环得S＝错误!∈错误!，k＝6，此时满足题意，退出循环，所以输入的n值为５，故选Ｃ．题型错误!基本算法语句１．根据如图算法语句，当输入x为60时，输出y的值为（）Ａ．２５Ｂ．３0 C．３１Ｄ．6１答案C解析该语句表示分段函数y＝错误!当x＝60时，y＝２５＋0．6×（60—５0）＝３１．故输出y的值为３１．２．如图程序执行后输出的结果是________．答案990解析程序反映出的算法过程为i＝１１⇒S＝１１×１，i＝１0；i＝１0⇒S＝１１×１0，i＝9；i＝9⇒S＝１１×１0×9，i＝8；i＝8<9，退出循环，执行“PRINT S”．故S＝990．１．解决算法语句的三步骤（１）通读全部语句，把它翻译成数学问题；（２）领悟该语句的功能；（３）根据语句的功能运行程序，解决问题．２．算法语句应用的四关注（２0１8·保定模拟）根据如图所示的语句，可知输出的结果S＝________.答案7解析S＝１，I＝１；１<8，S＝３，I＝４；４<8，S＝５，I＝7；7<8，S＝7，I＝１0；１0>8，终止循环，输出S＝7．。