中考数学 专题16 函数动点问题中三角形存在性(解析版)

二次函数与几何的动点及最值、存在性问题目录题型01平行y轴动线段最大值与最小值问题题型02抛物线上的点到某一直线的距离问题题型03已知点关于直线对称点问题题型04特殊角度存在性问题题型05将军饮马模型解决存在性问题题型06二次函数中面积存在性问题题型07二次函数中等腰三角形存在性问题题型08二次函数中直角三角形存在性问题题型09二次函数中全等三角形存在性问题题型10二次函数中相似三角形存在性问题题型11二次函数中平行四边形存在性问题题型12二次函数中矩形存在性问题题型13二次函数中菱形存在性问题题型14二次函数中正方形存在性问题二次函数常见存在性问题：(1)等线段问题：将动点坐标用函数解析式以“一母式”的结构表示出来，再利用点到点或点到直线的距离公式列出方程或方程组，然后解出参数的值，即可以将线段表示出来.【说明】在平面直角坐标系中该点在某一函数图像上，设该点的横坐标为m，则可用含m字母的函数解析式来表示该点的纵坐标，简称“设横表纵”或“一母式”.(2)平行y轴动线段最大值与最小值问题：将动点坐标用函数解析式以“一母式”的结构表示出来，再用纵坐标的较大值减去较小值，再利用二次函数的性质求出动线段的最大值或最小值.(3)求已知点关于直线对称点问题：先求出直线解析式，再利用两直线垂直的性质(两直线垂直，斜率之积等于-1)求出已知点所在直线的斜率及解析式，最后用中点坐标公式即可求出对称点的坐标.(4)“抛物线上是否存在一点，使其到某一直线的距离为最值”的问题：常常利用直线方程与二次函数解析式联立方程组，求出切点坐标，运用点到直线的距离公式进行求解.(5)二次函数与一次函数、特殊图形、旋转及特殊角度综合：图形或一次函数与x 轴的角度特殊化，利用与角度有关知识点求解函数图像上的点，结合动点的活动范围，求已知点与动点是否构成新的特殊图形.2.二次函数与三角形综合(1)将军饮马问题:本考点主要分为两类：①在定直线上是否存在点到两定点的距离之和最小;②三角形周长最小或最大的问题，主要运用的就是二次函数具有对称性.(2)不规则三角形面积最大或最小值问题:利用割补法将不规则三角形分割成两个或以上的三角形或四边形，在利用“一母式”将动点坐标表示出来，作线段差，用线段差来表示三角形的底或高，用面积公式求出各部分面积，各部分面积之和就是所求三角形的面积.将三角形的面积用二次函数的结构表示出来，再利用二次函数的性质求出面积的最值及动点坐标.(3)与等腰三角形、直角三角形的综合问题:对于此类问题，我们可以利用两圆一线或两线一圆的基本模型来进行计算.问题分情况找点画图解法等腰三角形已知点A ，B 和直线l ，在l 上求点P ，使△PAB 为等腰三角形以AB为腰分别以点A ，B 为圆心，以AB 长为半径画圆，与已知直线的交点P 1，P 2，P 4，P 5即为所求分别表示出点A ，B ，P 的坐标，再表示出线段AB ，BP ，AP 的长度，由①AB =AP ；②AB =BP ；③BP =AP 列方程解出坐标以AB 为底作线段AB 的垂直平分线，与已知直线的交点P 3即为所求分别表示出点A ，B ，P 的坐标，再表示出线段AB ，BP ，AP 的长度，由①AB =AP ；②AB =BP ；③BP =AP 列方程解出坐标问题分情况找点画图解法直角三角形已知点A ，B 和直线l ，在l 上求点P ，使△PAB 为直角三角形以AB为直角边分别过点A ，B 作AB 的垂线，与已知直线的交点P 1，P 4即为所求分别表示出点A ，B ，P 的坐标，再表示出线段AB ，BP ，AP 的长度，由①AB 2=BP 2+AP 2；②BP 2=AB 2+AP 2；③AP 2=AB 2+BP 2列方程解出坐标以AB 为斜边以AB 的中点Q 为圆心，QA 为半径作圆，与已知直线的交点P 2，P 3即为所求注：其他常见解题思路有：①作垂直，构造“三垂直”模型，利用相似列比例关系得方程求解；②平移垂线法：若以AB 为直角边，且AB 的一条垂线的解析式易求(通常为过原点O 与AB 垂直的直线)，可将这条直线分别平移至过点A 或点B 得到相应解析式，再联立方程求解．(4)与全等三角形、相似三角形的综合问题:在没有指定对应点的情况下，理论上有六种情况需要讨论，但在实际情况中，通常不会超过四种，要注意边角关系，积极分类讨论来进行计算.情况一探究三角形相似的存在性问题的一般思路：解答三角形相似的存在性问题时，要具备分类讨论思想及数形结合思想，要先找出三角形相似的分类标准，一般涉及动态问题要以静制动，动中求静，具体如下：①假设结论成立，分情况讨论．探究三角形相似时，往往没有明确指出两个三角形的对应点(尤其是以文字形式出现求证两个三角形相似的题目)，或者涉及动点问题，因动点问题中点的位置的不确定，此时应考虑不同的对应关系，分情况讨论；②确定分类标准．在分类时，先要找出分类的标准，看两个相似三角形是否有对应相等的角，若有，找出对应相等的角后，再根据其他角进行分类讨论来确定相似三角形成立的条件；若没有，则分别按三种角对应来分类讨论；③建立关系式，并计算．由相似三角形列出相应的比例式，将比例式中的线段用所设点的坐标表示出来(其长度多借助勾股定理运算)，整理可得一元一次方程或者一元二次方程，解方程可得字母的值，再通过计算得出相应的点的坐标．情况二探究全等三角形的存在性问题的思路与探究相似三角形的存在性问题类似，但是除了要找角相等外，还至少要找一组对应边相等．3.二次函数与四边形的综合问题特殊四边形的探究问题解题步骤如下：①先假设结论成立；②设出点坐标，求边长；③建立关系式，并计算．若四边形的四个顶点位置已确定，则直接利用四边形边的性质进行计算；若四边形的四个顶点位置不确定，需分情况讨论：a.探究平行四边形：①以已知边为平行四边形的某条边，画出所有的符合条件的图形后，利用平行四边形的对边相等进行计算；②以已知边为平行四边形的对角线，画出所有的符合条件的图形后，利用平行四边形对角线互相平分的性质进行计算；③若平行四边形的各顶点位置不确定，需分情况讨论，常以已知的一边作为一边或对角线分情况讨论．b.探究菱形：①已知三个定点去求未知点坐标；②已知两个定点去求未知点坐标，一般会用到菱形的对角线互相垂直平分、四边相等的性质列关系式．c.探究正方形：利用正方形对角线互相垂直平分且相等的性质进行计算，一般是分别计算出两条对角线的长度，令其相等，得到方程再求解．d.探究矩形：利用矩形对边相等、对角线相等列等量关系式求解；或根据邻边垂直，利用勾股定理列关系式求解.题型01平行y轴动线段最大值与最小值问题1(2023·广东东莞·一模)如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，OA=OC =3，顶点为D．(1)求此函数的关系式；(2)在AC 下方的抛物线上有一点N ，过点N 作直线l ∥y 轴，交AC 与点M ，当点N 坐标为多少时，线段MN 的长度最大？最大是多少？(3)在对称轴上有一点K ，在抛物线上有一点L ，若使A ，B ，K ，L 为顶点形成平行四边形，求出K ，L 点的坐标．(4)在y 轴上是否存在一点E ，使△ADE 为直角三角形，若存在，直接写出点E 的坐标；若不存在，说明理由．【答案】(1)y =x 2+2x -3(2)当N 的坐标为-32,-154 ，MN 有最大值94(3)K -1，4 ，L -1，-4 或K -1，12 ，L -5，12 或K -1，12 ，L 3，12(4)存在，点E 的坐标为0,32 或0,-72或0,-1 或0,-3【分析】(1)由OA =OC =3求得A -3,0 ,C 0，-3 ,再分别代入抛物线解析式y =x 2+bx +c ，得到以b ，c 为未知数的二元一次方程组，求出b ，c 的值即可；(2)求出直线AC 的解析式，再设出M 、N 的坐标，把MN 表示成二次函数，配方即可；(3)根据平行四边形的性质，以AB 为边，以AB 为对角线，分类讨论即可；(4)设出E 的坐标，分别表示出△ADE 的平分，再分每一条都可能为斜边，分类讨论即可．【详解】(1)∵抛物线y =x 2+bx +c 经过点A ，点C ，且OA =OC =3,∴A -3,0 ,C 0，-3 ,∴将其分别代入抛物线解析式，得c =-39-3b +c =0，解得b =2c =-3 ．故此抛物线的函数表达式为：y =x 2+2x -3；(2)设直线AC 的解析式为y =kx +t ，将A -3,0 ,C 0，-3 代入，得t =-3-3k +t =0 ，解得k =-1t =-3 ，∴直线AC 的解析式为y =-x -3，设N 的坐标为n ，n 2+2n -3 ，则M n ，-n -3 ，∴MN =-n -3-n 2+2n -3 =-n 2-3n =-n +32 +94，∵-1<0，∴当n =-32时，MN 有最大值，为94，把n =-32代入抛物线得，N 的坐标为-32,-154，当N 的坐标为-32,-154 ，MN 有最大值94；(3)①当以AB 为对角线时，根据平行四边形对角线互相平分，∴KL 必过-1,0 ，∴L 必在抛物线上的顶点D 处，∵y =x 2+2x -3=x +1 2-4，∴K -1，4 ，L -1，-4②当以AB 为边时，AB =KL =4，∵K 在对称轴上x =-1，∴L 的横坐标为3或-5，代入抛物线得L -5,12 或L 3,12 ，此时K 都为-1，12 ，综上，K -1，4 ，L -1，-4 或K -1，12 ，L -5，12 或K -1，12 ，L 3，12 ；(4)存在，由y =x 2+2x -3=x +1 2-4，得抛物线顶点坐标为D -1,-4 ∵A -3，0 ，∴AD 2=-3+1 2+0+4 2=20，设E 0，m ，则AE 2=-3-0 2+0-m 2=9+m 2，DE 2=-1-0 2+-4-m 2=17+m 2+8m ，①AE 为斜边，由AE 2=AD 2+DE 2得：9+m 2=20+17+m 2+8m ，解得：m =-72，②DE 为斜边，由DE 2=AD 2+AE 2得：9+m 2+20=17+m 2+8m ，解得：m =32，③AD 为斜边，由AD 2=ED 2+AE 2得：20=17+m 2+8m +9+m 2，解得：m =-1或-3，∴点E 的坐标为0,32 或0,-72或0,-1 或0,-3 ．【点睛】本题主要考查待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象与性质，平行四边形的判定与性质以及勾股定理等知识，会运用待定系数法列方程组，两点间距离公式求MN 的长，由平行四边形的性质判定边相等，运用勾股定理列方程．2(2023·河南南阳·统考一模)如图，抛物线与x 轴相交于点A 、B (点A 在点B 的左侧)，与y 轴的交于点C 0，-4 ，点P 是第三象限内抛物线上的一个动点，设点P 的横坐标为m ，过点P 作直线PD ⊥x 轴于点D ，作直线AC 交PD 于点E ．已知抛物线的顶点P 坐标为-3，-254．(1)求抛物线的解析式；(2)求点A 、B 的坐标和直线AC 的解析式；(3)求当线段CP =CE 时m 的值；(4)连接BC ，过点P 作直线l ∥BC 交y 轴于点F ，试探究：在点P 运动过程中是否存在m ，使得CE =DF ，若存在直接写出m 的值；若不存在，请说明理由．【答案】(1)y =14x 2+32x -4(2)A -8，0 ，B 2，0 ，y =-12x -4(3)-4(4)存在，m =2-25或m =-4【分析】(1)运用待定系数法即可求得抛物线的解析式；(2)令y =0，解方程即可求得点A 、B 的坐标，再运用待定系数法即可求得直线AC 的解析式；(3)过点C 作CF ⊥PE 于点F ，根据等腰三角形的性质可得点F 是PE 的中点，设P m ,14m 2+32m -4 ，则E m ，-12m -4 ，可得F m ，18m 2+12m -4 ，再由点F 与点C 的纵坐标相同建立方程求解即可；(4)过C 作CH ⊥PD 于H ，设P m ,14m 2+32m -4 ，由PF ∥BC ，可得直线PF 解析式为y =2x +14m 2-12m -4，进而可得OF =14m 2-12m -4 ，再证得Rt △CHE ≅Rt △DOF HL ，得出∠HCE =∠FDO ，进而推出∠FDO =∠CAO ，即tan ∠FDO =tan ∠CAO ，据此建立方程求解即可．【详解】(1)解：∵抛物线的顶点坐标为-3，-254∴设抛物线的解析式为y =a x +3 2-254，把点C 0，-4 代入，得：-4=9a -254，解得：a =14，∴y =14x +3 2-254=14x 2+32x -4，∴该抛物线的解析式为y =14x 2+32x -4．(2)解：令y =0，得14x 2+32x -4=0，解得：x 1=-8，x 2=2，∴A -8，0 ，B 2，0 ，，设直线AC 的解析式为y =kx +b ，则-8k +b =0b =-4 ，解得：k =-12b =-4 ，∴直线AC 的解析式为y =-12x -4．(3)解：如图，过点C 作CF ⊥PE 于点F ，∵CP =CE ，∴EF =PF ，即点F 是PE 的中点，设P m ,14m 2+32m -4 ，则E m ，-12m -4 ，∴F m ，18m 2+12m -4 ，∵PE ∥y 轴，CF ⊥PE ，∴CF ∥x 轴，∴18m 2+12m -4=-4，解得：m =-4或m =0(不符合题意，舍去)，∴m =-4．(4)解：存在m ，使得CE =DF ，理由如下：如图：过C 作CH ⊥PD 于H ，设P m,14m2+32m-4，由B2，0，C0，-4，由待定系数法可得直线BC解析式为y=2x-4，根据PF∥BC，设直线PF解析式为y=2x+c，将P m,14m2+32m-4代入得：1 4m2+32m-4=2m+c，∴c=14m2-12m-4，∴直线PF解析式为y=2x+14m2-12m-4，令x=0得y=14m2-12m-4，∴F0,14m2-12m-4，∴OF=14m2-12m-4，∵∠CHD=∠PDO=∠COD=90°，∴四边形CODH是矩形，∴CH=OD，∵CE=DF，∴Rt△CHE≅Rt△DOF HL，∴∠HCE=∠FDO，∵∠HCE=∠CAO，∴∠FDO=∠CAO，∴tan∠FDO=tan∠CAO，∴OF OD =OCOA，即14m2-12m-4-m=48=12，∴1 4m2-12m-4=-12m或14m2-12m-4=12m，解得：m=-4或m=4或m=2-25或m=2+25，∵P在第三象限，∴m=2-25或m=-4．【点睛】本题属于二次函数综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式、二次函数综合应用、等腰三角形性质、矩形判定及性质、相似三角形判定及性质、解直角三角形等知识点，解题的关键是用含m的代数式表示相关点坐标和相关线段的长度．3(2023·山东聊城·统考三模)抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于点A3,0，与y轴交于点C0,3，点P 为抛物线上的动点．(2)若P 为直线AC 上方抛物线上的动点，作PH ∥x 轴交直线AC 于点H ，求PH 的最大值；(3)点N 为抛物线对称轴上的动点，是否存在点N ，使直线AC 垂直平分线段PN ？若存在，请直接写出点N 的纵坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)b =2，c =3(2)PH 取得最大值为94(3)存在，2-2或2+2【分析】(1)将坐标代入解析式，构建方程求解；(2)设PH 交y 轴于点M ，P m ,-m 2+2m +3 ，则PM =m ；待定系数法确定直线AC 的解析式为y =-x +3，从而确定PH =m -m 2-2m =-m 2+3m =-m -32 2+94，解得PH 最大值为94；(3)如图，设PN 与AC 交于点G ，可设直线PN 的解析式为y =x +p ，设点N (1,n )，求得y =x +(n -1)；联立y =-x +3y =x +(n -1) ，解得x =-n 2+2y =n 2+1，所以点P 的横坐标为2×-n 2+2 -1=-n +3，纵坐标为2×n2+1 -n =2，由二次函数解析式构建方程-(-n +3)2+2(-n +3)+3=2，解得n =2±2；【详解】(1)∵抛物线y =-x 2+bx +c 与x 轴交于点A 3,0 ，与y 轴交于点C 0,3 ，∴-9+3b +c =0c =3，解得：b =2c =3 ，∴b =2，c =3；(2)设PH 交y 轴于点M ，P m ,-m 2+2m +3 ，∴PM =m ，∵PH ∥x 轴，∴点H 的纵坐标为-m 2+2m +3，设直线AC 的解析式为y =kx +n ，∴3k +n =0n =3 ，解得：k =-1n =3 ，∴直线AC 的解析式为y =-x +3．∴-m 2+2m +3=-x +3，∴x =m 2-2m ，∴H m 2-2m ,-m 2+2m +3 ，∴PH =m -m 2-2m =-m 2+3m =-m -322+94，∴当m =32时，PH 取得最大值为94(3)存在点N ，使直线AC 垂直平分线段PN ，点N 的纵坐标为2-2或2+2如图，设PN 与AC 交于点G ，∵AC 垂直平分PN ，直线AC 的解析式为y =-x +3∴可设直线PN 的解析式为y =x +p 设点N (1,n )，则n =1+p ∴p =n -1，∴y =x +(n -1)联立y =-x +3y =x +(n -1) ，解得x =-n 2+2y =n 2+1∴点P 的横坐标为2×-n 2+2 -1=-n +3，纵坐标为2×n 2+1 -n =2∴-(-n +3)2+2(-n +3)+3=2，解得n =2±2∴点N 的纵坐标为2-2或2+2．【点睛】本题考查利用二次函数解析式及点坐标求待定参数、待定系数法确定函数解析式、二次函数极值及其它二次函数综合问题，利用直线间的位置关系、点线间的位置关系，融合方程的知识求解坐标是解题的关键．题型02抛物线上的点到某一直线的距离问题1(2023·广东梅州·统考二模)探究求新：已知抛物线G 1:y =14x 2+3x -2，将抛物线G 1平移可得到抛物线G 2:y =14x 2．(1)求抛物线G 1平移得到抛物线G 2的平移路径；(2)设T 0,t ，直线l ：y =-t ，是否存在这样的t ，使得抛物线G 2上任意一点到T 的距离等于到直线l 的距离？若存在，求出t 的值；若不存在，试说明理由；(3)设H 0,1 ，Q 1,8 ，M 为抛物线G 2上一动点，试求QM +MH 的最小值．参考公式：若点M x 1,y 1 ，N x 2,y 2 为平面上两点，则有MN =x 1-x 22+y 1-y 2 2．【答案】(1)将G 1向左平移-6个单位，向上平移11个单位(2)存在，1(3)9【分析】(1)设G 1向左平移a 个单位，向上平移b 个单位得到函数G 2，列方程组即可求解；(2)设P x 0,x 204为抛物线G 2上的一点，根据题意列方程即可；(3)点H 坐标与(2)中t =1时的T 点重合，过点M 作MA ⊥l ，垂足为A ，如图所示，则有MH =MA ，当且仅当Q ,M ,A 三点共线时QM +MA 取得最小值．【详解】(1).解：设G 1向左平移a 个单位，向上平移b 个单位得到函数G 2，由平移法则可知14(x +a )2+3(x +a )-2+b =14x 2，整理可得14x 2+3+12a x +14a 2+3a -2+b =14x 2，可得方程组3+12a =014a 2+3a -2+b =0，解得a =-6b =11 ；∴平移路径为将G 1向左平移-6个单位，向上平移11个单位；(2)解：存在这样的t ，且t =1时满足条件，设P x 0,x 204为抛物线G 2上的一点，则点P 到直线l 的距离为x 204+t ，点P 到点T 距离为(x 0-0)2+x 204-t2，联立可得：x 204+t =(x 0-0)2+x 204-t2，两边同时平方合并同类项后可得x 20-x 20t =0解得：t =1；(3)解：点H 坐标与(2)中t =1时的T 点重合，作直线l ：y =-1，过点M 作MA ⊥直线l ，垂足为A ，如图所示，则有MH =MA ，此时QM +MH =QM +MA ，当且仅当Q ,M ,A 三点共线时QM +MA 取得最小值即QM +MA =QA =8-(-1)=9∴QM +MH 的最小值为9；【点睛】本题考查二次函数综合题，涉及到线段最小值、平移性质等，灵活运用所学知识是关键．2(2023·湖北宜昌·统考一模)如图，已知：点P 是直线l ：y =x -2上的一动点，其横坐标为m (m 是常数)，点M 是抛物线C ：y =x 2+2mx -2m +2的顶点．(1)求点M 的坐标；(用含m 的式子表示)(2)当点P 在直线l 运动时，抛物线C 始终经过一个定点N ，求点N 的坐标，并判断点N 是否是点M 的最高位置？(3)当点P 在直线l 运动时，点M 也随之运动，此时直线l 与抛物线C 有两个交点A ，B (A ，B 可以重合)，A ，B 两点到y 轴的距离之和为d ．①求m 的取值范围；②求d 的最小值．【答案】(1)M -m ,-m 2-2m +2(2)N (1,3)，点N 是点M 的最高位置(3)①m ≤-52或m ≥32；②d 取得最小值为2【分析】(1)将抛物线解析式写成顶点式即可求解；(2)根据解析式含有m 项的系数为0，得出当x =1时，y =3，即N (1,3)，根据二次函数的性质得出-m 2-2m +2=-m +1 2+3的最大值为3，即可得出点N 是点M 的最高位置；(3)①根据直线与抛物线有交点，联立方程，根据一元二次方程根的判别式大于等于0，求得m 的范围，即可求解；②设A ,B 的坐标分别为x 1,y 1 ,x 2,y 2 ，其中x 1<x 2，由①可知x 1,x 2是方程x 2+2mx -x -2m +4=0的两根，根据x 1+x 2=-2m +1，分情况讨论，求得d 是m 的一次函数，进而根据一次函数的性质即可求解．【详解】(1)解：y =x 2+2mx -2m +2=x +m 2-m 2-2m +2，∴顶点M -m ,-m 2-2m +2 ，(2)解：∵y =x 2+2mx -2m +2=x 2+2+2m x -1 ，∴当x =1时，y =3，抛物线C 始终经过一个定点1,3 ，即N (1,3)；∵M -m ,-m 2-2m +2 ，-m 2-2m +2=-m +1 2+3，∴M 的纵坐标最大值为3，∴点N 是点M 的最高位置；(3)解：①联立y =x -2y =x 2+2mx -2m +2 ，得x 2+2mx -x -2m +4=0，∵直线l 与抛物线C 有两个交点A ，B (A ，B 可以重合)，∴Δ=b 2-4ac =2m -1 2-4-2m +4 ，=4m 2+4m -15≥0，∵4m 2+4m -15=0，解得m 1=-52,m 2=32，∴当4m 2+4m -15≥0时，m ≤-52或m ≥32，②设A ,B 的坐标分别为x 1,y 1 ,x 2,y 2 ，其中x 1<x 2，由①可知x 1,x 2是方程x 2+2mx -x -2m +4=0的两根，∴x1+x 2=-2m +1，当m =-3时，如图所示，y A =0，当-3≤m ≤-52时，y 1≥0,y 2≥0，则d =x 1+x 2 =-2m +1 ，∵-2<0，∴当m =-52时，d 取得最小值为-2×-52 +1=5+1=6，当m ≥32时，d =-x 1+x 2 =--2m +1 =2m -1，∴当m =32时，d 取得最小值为2×32-1=2，综上所述，d 取得最小值为2．【点睛】本题考查了二次函数的性质，一元二次方程与二次函数的关系，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．3(2023·云南楚雄·统考一模)抛物线y =x 2-2x -3交x 轴于A ，B 两点(A 在B 的左边)，C 是第一象限抛物线上一点，直线AC 交y 轴于点P ．(1)直接写出A ，B 两点的坐标；(2)如图①，当OP =OA 时，在抛物线上存在点D (异于点B )，使B ，D 两点到AC 的距离相等，求出所有满足条件的点D 的横坐标；(3)如图②，直线BP 交抛物线于另一点E ，连接CE 交y 轴于点F ，点C 的横坐标为m ，求FP OP 的值(用含m 的式子表示)．【答案】(1)A (-1,0)，B (3,0)(2)0或3-41或3+41(3)13m 【分析】(1)令y =0，解方程可得结论；(2)分两种情形：①若点D 在AC 的下方时，过点B 作AC 的平行线与抛物线交点即为D 1．②若点D 在AC 的上方时，点D 1关于点P 的对称点G (0,5)，过点G 作AC 的平行线交抛物线于点D 2，D 3，D 2，D 3符合条件．构建方程组分别求解即可；(3)设E 点的横坐标为n ，过点P 的直线的解析式为y =kx +b ，由y =kx +b y =x 2-2x -3 ，可得x 2-(2+k )x -3-b =0，设x 1，x 2是方程x 2-(2+k )x -3-b =0的两根，则x 1x 2=-3-b ，推出x A ⋅x C =x B ⋅x E =-3-b 可得n =-1-b 3，设直线CE 的解析式为y =px +q ，同法可得mn =-3-q 推出q =-mn -3，推出q =-(3+b )-1-b 3 -3=13b 2+2b ，推出OF =13b 2+b ，可得结论．【详解】(1)解：令y =0，得x 2-2x -3=0，解得：x =3或-1，∴A (-1,0)，B (3,0)；(2)∵OP =OA =1，∴P (0,1)，∴直线AC 的解析式为y =x +1．①若点D 在AC 的下方时，过点B 作AC 的平行线与抛物线交点即为D 1．∵B (3,0)，BD 1∥AC ，∴直线BD 1的解析式为y =x -3，由y =x -3y =x 2-2x -3，解得x =3y =0 或x =0y =-3 ，∴D 1(0,-3)，∴D 1的横坐标为0．②若点D 在AC 的上方时，点D 1关于点P 的对称点G (0,5)，过点G 作AC 的平行线l 交抛物线于点D 2，D 3，D 2，D 3符合条件．直线l 的解析式为y =x +5，由y =x +5y =x 2-2x -3 ，可得x 2-3x -8=0，解得：x =3-412或3+412，∴D 2，D 3的横坐标为3-412，3+412，综上所述，满足条件的点D 的横坐标为0，3-412，3+412．(3)设E 点的横坐标为n ，过点P 的直线的解析式为y =kx +b ，由y =kx +b y =x 2-2x -3，可得x 2-(2+k )x -3-b =0，设x 1，x 2是方程x 2-(2+k )x -3-b =0的两根，则x 1x 2=-3-b ，∴x A ⋅x C =x B ⋅x E =-3-b∵x A =-1，∴x C =3+b ，∴m =3+b ，∵x B =3，∴x E =-1-b 3，∴n =-1-b 3，设直线CE 的解析式为y =px +q ，同法可得mn =-3-q∴q =-mn -3，∴q =-(3+b )-1-b 3 -3=13b 2+2b ，∴OF =13b 2+2b ，∴FP OP=13b +1=13(m -3)+1=13m ．【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，一次函数的性质，一元二次方程的根与系数的关系等知识，解题的关键是学会构建一次函数，构建方程组确定交点坐标，学会利用参数解决问题，属于中考压轴题．题型03已知点关于直线对称点问题1(2023·辽宁阜新·统考中考真题)如图，在平面直角坐标系中，二次函数y =-x 2+bx -c 的图象与x 轴交于点A (-3,0)和点B (1,0)，与y 轴交于点C ．(1)求这个二次函数的表达式．(2)如图1，二次函数图象的对称轴与直线AC :y =x +3交于点D ，若点M 是直线AC 上方抛物线上的一个动点，求△MCD 面积的最大值．(3)如图2，点P 是直线AC 上的一个动点，过点P 的直线l 与BC 平行，则在直线l 上是否存在点Q ，使点B 与点P 关于直线CQ 对称？若存在，请直接写出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)y =-x 2-2x +3；(2)S △MCD 最大=98；(3)Q 1-5，-5 或1+5，5 ．【分析】(1)根据抛物线的交点式直接得出结果；(2)作MQ ⊥AC 于Q ，作ME ⊥AB 于F ，交AC 于E ，先求出抛物线的对称轴，进而求得C ，D 坐标及CD 的长，从而得出过M 的直线y =x +m 与抛物线相切时，△MCD 的面积最大，根据x +m =-x 2-2x +3的△=0求得m 的值，进而求得M 的坐标，进一步求得CD 上的高MQ 的值，进一步得出结果；(3)分两种情形：当点P 在线段AC 上时，连接BP ，交CQ 于R ，设P (t ，t +3)，根据CP =CB 求得t 的值，可推出四边形BCPQ 是平行四边形，进而求得Q 点坐标；当点P 在AC 的延长线上时，同样方法得出结果．【详解】(1)解：由题意得，y =-(x +3)(x -1)=-x 2-2x +3；(2)解：如图1，作MQ ⊥AC 于Q ，作ME ⊥AB 于F ，交AC 于E ，∵OA =OC =3，∠AOC =90°，∴∠CAO =∠ACO =45°，∴∠MEQ =∠AEF =90°-∠CAO =45°，抛物线的对称轴是直线：x =-3+12=-1，∴y =x +3=-1+3=2，∴D (1,2)，∵C (0,3)，∴CD =2，故只需△MCD 的边CD 上的高最大时，△MCD 的面积最大，设过点M 与AC 平行的直线的解析式为：y =x +m ，当直线y =x +m 与抛物线相切时，△MCD 的面积最大，由x +m =-x 2-2x +3得，x 2+3x +(m -3)=0，由△=0得，32-4(m -3)=0得，m -3=94，∴x 2+3x +94=0，∴x 1=x 2=-32，∴y =--32 2-2×-32 +3=154，y =x +3=-32+3=32，∴ME =154-32=94，∴MQ =ME ⋅sin ∠MEQ =ME ⋅sin45°=94×22=928，∴S △MCD 最大=12×2×928=98；(3)解：如图2，当点P 在线段AC 上时，连接BP ，交CQ 于R ，∵点B 和点Q 关于CQ 对称，∴CP =CB ，设P (t ，t +3)，由CP 2=CB 2得，2t 2=10，∴t 1=-5，t 2=5(舍去)，∴P -5，3-5 ，∵PQ ∥BC ，∴CR =BR =1，∴CR =QR ，∴四边形BCPQ 是平行四边形，∵1+(-5)-0=1-5，0+(3-5)-3=-5，∴Q 1-5，-5 ；如图3，当点P 在AC 的延长线上时，由上可知：P 5，3+5 ，同理可得：Q 1+5，5 ，综上所述：Q 1-5，-5 或1+5，5 ．【点睛】本题考查了二次函数及其图象的性质，一元二次方程的解法，平行四边形的判定和性质，轴对称的性质等知识，解决问题的关键是分类讨论．2(2023·四川甘孜·统考中考真题)已知抛物线y =x 2+bx +c 与x 轴相交于A -1，0 ，B 两点，与y 轴相交于点C 0，-3 ．(1)求b ，c 的值；(2)P 为第一象限抛物线上一点，△PBC 的面积与△ABC 的面积相等，求直线AP 的解析式；(3)在(2)的条件下，设E 是直线BC 上一点，点P 关于AE 的对称点为点P ，试探究，是否存在满足条件的点E ，使得点P 恰好落在直线BC 上，如果存在，求出点P 的坐标；如果不存在，请说明理由．【答案】(1)b =-2,c =-3.(2)y =x +1(3)存在，点P 的坐标为1+21,-2+21 或1-21,-2-21【分析】(1)由待定系数法即可求解；(2)S △PBC =S △ABC 得到AP ∥BC ，即可求解；(3)由题意的：∠AEP =∠AEP ,P E =PE ，即可求解．【详解】(1)由题意，得1-b +c =0,c =-3.∴b =-2,c =-3.(2)由(1)得抛物线的解析式为y =x 2-2x -3．令y =0，则x 2-2x -3=0，得x 1=-1，x 2=3．∴B 点的坐标为3，0 ．∵S △PBC =S △ABC ，∴AP ∥BC ．∵B 3，0，C 0，-3 ，∵AP∥BC，∴可设直线AP的解析式为y=x+m．∵A(-1，0)在直线AP上，∴0=-1+m．∴m=1．∴直线AP的解析式为y=x+1．(3)设P点坐标为m，n．∵点P在直线y=x+1和抛物线y=x2-2x-3上，∴n=m+1，n=m2-2m-3．∴m+1=m2-2m-3．解得m1=4，m2=-1(舍去)．∴点P的坐标为4，5．由翻折，得∠AEP=∠AEP ,P E=PE．∵AP∥BC，∴∠PAE=∠AEP '．∴∠PAE=∠PEA．∴PE=PA=4+12=52．2+5-0设点E的坐标为t，t-3，则PE2=t-42．2+t-3-52=52∴t=6±21．当t=6+21时，点E的坐标为6+21,3+21．设P (s,s-3),由P E=AP，P E=PE=52得：s-6-212，2=522+s-3-3-21解得：s=1+21，则点P 的坐标为1+21,-2+21．当t=6-21时，同理可得，点P 的坐标为1-21,-2-21．综上所述，点P 的坐标为1+21,-2+21．或1-21,-2-21【点睛】本题是二次函数的综合题，主要考查了用待定系数法求一次函数、二次函数的解析式，二次函数的性质，此题题型较好，综合性比较强，用的数学思想是分类讨论和数形结合的思想．3(2023·江苏连云港·连云港市新海实验中学校考二模)如图，“爱心”图案是由抛物线y=-x2+m的一部分及其关于直线y=-x的对称图形组成，点E、F是“爱心”图案与其对称轴的两个交点，点A、B、C、D是该图案与坐标轴的交点，且点D的坐标为6,0．(1)求m 的值及AC 的长；(2)求EF 的长；(3)若点P 是该图案上的一动点，点P 、点Q 关于直线y =-x 对称，连接PQ ，求PQ 的最大值及此时Q 点的坐标．【答案】(1)m =6，AC =6+6(2)52(3)2542，Q -234,-12【分析】(1)用待定系数法求得m 与抛物线的解析式，再求出抛物线与坐标轴的交点坐标，进而求得A 的坐标，根据对称性质求得B ，C 的坐标，即可求得结果；(2)将抛物线的解析式与直线EF 的解析式联立方程组进行求解，得到E ，F 的坐标，即可求得结果；(3)设P (m ,-m 2+6)，则Q (m 2-6,-m )，可得PQ =2×m -12 2-252 ，即求m -12 2-252的最值，根据二次函数的最值，即可得到m 的值，即可求得．【详解】(1)把D 6,0 代入y =-x 2+m 得0=-6+m解得m =6∴抛物线的解析式为：y =-x 2+6∴A 0,6根据对称性可得B -6,0 ，C 0,-6∴AC =AO +OC =6+6(2)联立y =-x y =-x 2+6解得x =3y =-3 或x =-2y =2 ∴E -2,2 ，F 3,-3∴EF =-2-3 2+2+3 2=52(3)设P (m ,-m 2+6)，则Q (m 2-6,-m )∴PQ =m -m 2-6 2+-m 2+6--m 2整理得PQ =2×m -12 2-254 ∵m -12 2≥0∴当m -12 2=0时，即m =12时，m -12 2-254 有最大值为254∴PQ 的最大值为2542∴12 2-6=-234故Q -234,-12【点睛】本题考查二次函数综合应用，涉及待定系数法求函数解析式，两点间的距离公式，求抛物线与一次函数的交点坐标，二次函数的最值等知识，解题的关键是掌握关于直线y =-x 对称的点坐标的关系．题型04特殊角度存在性问题1(2023·山西忻州·统考模拟预测)如图，抛物线y =18x 2+34x -2与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ．P 是直线AC 下方抛物线上一个动点，过点P 作直线l ∥BC ，交AC 于点D ，过点P 作PE ⊥x 轴，垂足为E ，PE 交AC 于点F ．(1)直接写出A ，B ，C 三点的坐标，并求出直线AC 的函数表达式；(2)当线段PF 取最大值时，求△DPF 的面积；(3)试探究在拋物线的对称轴上是否存在点Q ，使得∠CAQ =45°？若存在，请直接写出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)A -8,0 ，B 2,0 ，C 0,-2 ．y =-14x -2(2)85(3)存在，-3,3 或-3,-253【分析】(1)对于直线y =18x 2+34x -2，当x =0时，y =-2，即点C 0,-2 ，令18x 2+34x -2=0，则x =2或-8，则点A ，B 的坐标分别为-8,0 ，2,0 即求出三个点的坐标，设直线AC 的表达式为y =kx +b ，利用待定系数法求解即可；(2)设点P 的横坐标为m ，则P m ,18m 2+34m -2 ，F m ,-14m -2 ，表示出PF =-18m 2-m ，求出PF max =2，再表示出点D 到直线PF 的距离d =85，利用S △DPF =12⋅PF ⋅d 进行求解即可；(3)由抛物线的表达式知，其对称轴为x =-3，当点Q 在x 轴上方时，设抛物线的对称轴交x 轴于点N ，交AC 于H ，故点Q 作QT ⊥AC 于点T ，在△AQH 中,∠CAQ =45°，tan ∠QHA =4，用解直角三角形的方法求出QH =174，即可求出Q 点坐标，当点Q Q 在x 轴上方时，直线AQ 的表达式为y =35x +8 ，当∠CAQ =45°时，AQ ⊥AQ ，即可求解．【详解】(1)解：对于抛物线y =18x 2+34x -2，当x =0时，y =-2，即点C 0,-2 ，令18x 2+34x -2=0，则x =2或-8，则点A ，B 的坐标分别为-8,0 ，2,0 ，即点A ，B ，C 三点的坐标分别为-8,0 ，2,0 ，0,-2 ，设直线AC 的表达式为y =kx +b ，则-8k +b =0b =-2 ，解得k =-14b =-2 ，∴直线AC 的函数表达式为y =-14x -2；(2)设点P 的横坐标为m ，则P m ,18m 2+34m -2 ，F m ,-14m -2 ，PF =-14m -2 -18m 2+34m -2 =-18m 2-m ，当m =--12×-18 =-4时，PF 最大，PF max =-18×(-4)2--4 =2，此时，P -4,-3 ，由B 2,0 ，C 0,-2 ，可得直线BC 的函数表达式为y =x -2，设直线l 的函数表达式为y =x +p ，将P -4,-3 代入可得p =1，∴直线l 的函数表达式为y =x +1，由y =-14x -2y =x +1 ，解得x =-125y =-75，∴D -125,-75 ，点D 到直线PF 的距离d =-125--4 =85，∴S △DPF =12⋅PF ⋅d =12×2×85=85．(3)存在，理由：由抛物线的表达式知，其对称轴为x =-3，当点Q 在x 轴上方时，如下图：设抛物线的对称轴交x 轴于点N ，交AC 于H ，故点Q 作QT ⊥AC 于点T ，则∠ACO =∠QHA ，则tan ∠ACO =tan ∠QHA =4，当x =3时，y =-14x -2=-54，则点H -3,-54 ，由点A ，H 的坐标得，AH =5174，在△AQH 中，∠CAQ =45°，tan ∠QHA =4，设TH =x ，则QT =4x ，则QH =17x ，则AH =AT +TH =5x =5174，则x =174，则QH =17x =174，则174-54=3，则点Q -3,3 ；当点Q Q 在x 轴上方时，直线AQ 的表达式为y =35x +8 ，当∠CAQ =45°时，AQ ⊥AQ ，则直线AQ 的表达式为y =-53x +8 ，当x =-3时，y =-5x +8 =-25，。

_ Q_ G_P_ O二次函数中的动点问题 三角形的存在性问题一、技巧提炼1、利用待定系数法求抛物线解析式的常用形式（1）、【一般式】已知抛物线上任意三点时，通常设解析式为 ，然后解三元方程组求解； （2）、【顶点式】已知抛物线的顶点坐标和抛物线上另一点时，通常设解析式为 求解； 2、二次函数y=ax 2+bx+c 与x 轴是否有交点，可以用方程ax 2+bx+c = 0是否有根的情况进行判定；判别式ac b 42-=∆ 二次函数与x 轴的交点情况一元二次方程根的情况△ ＞ 0 与x 轴 交点 方程有 的实数根△ ＜ 0 与x 轴 交点 实数根 △ ＝ 0与x 轴 交点方程有 的实数根3、抛物线上有两个点为A （x 1，y ），B （x 2，y ） (1)对称轴是直线2x 21x x +=(2)两点之间距离公式：已知两点()()2211y ,x Q ,y ,x P ， 则由勾股定理可得：221221)()(y y x x PQ -+-=练一练：已知A （0，5）和B （－2，3），则AB ＝ 。

4、 常见考察形式1）已知A （1,0），B （0，2），请在下面的平面直角坐标系 坐标轴上找一点C ，使△ABC 是等腰三角形； 总结：两圆一线方法规律:平面直角坐标系中已知一条线段，构造等腰三角形，用的是“两圆一线”：分别以线段的两个端点为圆心，线段长度为半径作圆，再作线段的垂直平分线；2）已知A （-2,0），B （1，3），请在平面直角坐标系中坐标轴 上找一点C ，使△ABC 是直角三角形；总结： 两线一圆方法规律{平面直角坐标系中已知一条线段，构造直角三角形，用的是“两线一圆”：分别过已知线段的两个端点作已知线段的垂线，再以已知线段为直径作圆； 5、求三角形的面积：（1）直接用面积公式计算；（2）割补法；（3）铅垂高法； 如图，过△ABC 的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线， 外侧两条直线之间的距离叫△ABC 的“水平宽”（a ），中间的 这条直线在△ABC 内部线段的长度叫△ABC 的“铅垂高”（h ）． 我们可得出一种计算三角形面积的新方法：S △ABC =12ah ，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半。

例析动点问题在中考中与三角形有关的常见题型二次函数与几何综合题已成为近几年各省市、地区中考数学压轴题。

命题老师对这道题的问题设置，常常会设置动点问题作为考查考生对整个初中数学知识学习的综合运用能力。

本文就动点问题在中考中与三角形有关的常见题型作了归纳整理，希望与同行共鸣。

一、由因动点产生的相似三角形问题例：如图1，在平面直角坐标系xOy 中，顶点为M 的抛物线y ＝ax 2＋bx （a ＞0）经过点A 和x 轴正半轴上的点B ，AO ＝BO ＝2，∠AOB ＝120°．（1）求这条抛物线的表达式；（2）连结OM ，求∠AOM 的大小；（3）如果点C 在x 轴上，且△ABC 与△AOM 相似，求点C 的坐标．图1思路点拨1．第（2）题把求∠AOM 的大小，转化为求∠BOM 的大小．2．因为∠BOM ＝∠ABO ＝30°，因此点C 在点B 的右侧时，恰好有∠ABC ＝∠AOM ．3．根据夹角相等对应边成比例，分两种情况讨论△ABC 与△AOM 相似． 满分解答（1）如图2，过点A 作AH ⊥y 轴，垂足为H ．在Rt △AOH 中，AO ＝2，∠AOH ＝30°， 所以AH ＝1，OH ＝3．所以A (1,3)-．因为抛物线与x 轴交于O 、B (2,0)两点，设y ＝ax (x －2)，代入点A (1,3)-，可得33a =． 图2 所以抛物线的表达式为23323(2)333y x x x x =-=-． （2）由2232333(1)3333y x x x =-=--， 得抛物线的顶点M 的坐标为3(1,)3-．所以3tan 3BOM ∠=． 所以∠BOM ＝30°．所以∠AOM ＝150°．（3）由A(1,3)-、B(2,0)、M3 (1,)3 -，得3tan3ABO∠=，23AB=，233OM=．所以∠ABO＝30°，3OAOM=．因此当点C在点B右侧时，∠ABC＝∠AOM＝150°．△ABC与△AOM相似，存在两种情况：①如图3，当3BA OABC OM==时，23233BABC===．此时C(4,0)．②如图4，当3BC OABA OM==时，33236BC BA==⨯=．此时C(8,0)．图3 图4考点伸展在本题情境下，如果△ABC与△BOM相似，求点C的坐标．如图5，因为△BOM是30°底角的等腰三角形，∠ABO＝30°，因此△ABC也是底角为30°的等腰三角形，AB＝AC，根据对称性，点C的坐标为(－4,0)．图5二、由动点产生的等腰三角形问题例：如图1，抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A(－1,0)、B(3, 0)、C(0 ,3)三点，直线l是抛物线的对称轴．（1）求抛物线的函数关系式；（2）设点P是直线l上的一个动点，当△PAC的周长最小时，求点P的坐标；（3）在直线l上是否存在点M，使△MAC为等腰三角形，若存在，直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．图1思路点拨1．第（2）题是典型的“牛喝水”问题，点P 在线段BC 上时△PAC 的周长最小．2．第（3）题分三种情况列方程讨论等腰三角形的存在性．满分解答（1）因为抛物线与x 轴交于A (－1,0)、B (3, 0)两点，设y ＝a (x ＋1)(x －3)，代入点C (0 ,3)，得－3a ＝3．解得a ＝－1．所以抛物线的函数关系式是y ＝－(x ＋1)(x －3)＝－x2＋2x ＋3．（2）如图2，抛物线的对称轴是直线x ＝1．当点P 落在线段BC 上时，PA ＋PC 最小，△PAC 的周长最小．设抛物线的对称轴与x 轴的交点为H ． 由BH PH BO CO =，BO ＝CO ，得PH ＝BH ＝2． 所以点P 的坐标为(1, 2)．图2（3）点M 的坐标为(1, 1)、(1,6)、(1,6-)或(1,0)．考点伸展第（3）题的解题过程是这样的：设点M 的坐标为(1,m )．在△MAC 中，AC 2＝10，MC 2＝1＋(m －3)2，MA 2＝4＋m 2．①如图3，当MA ＝MC 时，MA 2＝MC 2．解方程4＋m 2＝1＋(m －3)2，得m ＝1． 此时点M 的坐标为(1, 1)．②如图4，当AM ＝AC 时，AM 2＝AC 2．解方程4＋m 2＝10，得6m =±． 此时点M 的坐标为(1,6)或(1,6-)．③如图5，当CM ＝CA 时，CM 2＝CA 2．解方程1＋(m －3)2＝10，得m ＝0或6． 当M (1, 6)时，M 、A 、C 三点共线，所以此时符合条件的点M 的坐标为(1,0)．图3 图4 图5三、由动点产生的直角三角形问题例：如图1，抛物线233384y x x =--+与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ．（1）求点A 、B 的坐标；（2）设D 为已知抛物线的对称轴上的任意一点，当△ACD 的面积等于△ACB 的面积时，求点D 的坐标；（3）若直线l 过点E (4, 0)，M 为直线l 上的动点，当以A 、B 、M 为顶点所作的直角三角形有且只有．．．．三个时，求直线l 的解析式．图1思路点拨1．根据同底等高的三角形面积相等，平行线间的距离处处相等，可以知道符合条件的点D 有两个．2．当直线l 与以AB 为直径的圆相交时，符合∠AMB ＝90°的点M 有2个；当直线l 与圆相切时，符合∠AMB ＝90°的点M 只有1个．3．灵活应用相似比解题比较简便．满分解答（1）由23333(4)(2)848y x x x x =--+=-+-， 得抛物线与x 轴的交点坐标为A (－4, 0)、B (2, 0)．对称轴是直线x ＝－1．（2）△ACD 与△ACB 有公共的底边AC ，当△ACD 的面积等于△ACB 的面积时，点B 、D 到直线AC 的距离相等．过点B 作AC 的平行线交抛物线的对称轴于点D ，在AC 的另一侧有对应的点D ′．设抛物线的对称轴与x 轴的交点为G ，与AC 交于点H ．由BD //AC ，得∠DBG ＝∠CAO ．所以34DG CO BG AO ==． 所以3944DG BG ==，点D 的坐标为9(1,)4-． 因为AC //BD ，AG ＝BG ，所以HG ＝DG ．而D ′H ＝DH ，所以D ′G ＝3DG 274=．所以D ′的坐标为27(1,)4．图2 图3（3）过点A 、B 分别作x 轴的垂线，这两条垂线与直线l 总是有交点的，即2个点M ．以AB 为直径的⊙G 如果与直线l 相交，那么就有2个点M ；如果圆与直线l 相切，就只有1个点M 了．联结GM ，那么GM ⊥l ．在Rt △EGM 中，GM ＝3，GE ＝5，所以EM ＝4．在Rt △EM 1A 中，AE ＝8，113tan 4M A M EA AE ∠==，所以M 1A ＝6． 所以点M 1的坐标为(－4, 6)，过M 1、E 的直线l 为334y x =-+． 根据对称性，直线l 还可以是334y x =+． 考点伸展第（3）题中的直线l 恰好经过点C ，因此可以过点C 、E 求直线l 的解析式． 在Rt △EGM 中，GM ＝3，GE ＝5，所以EM ＝4．在Rt △ECO 中，CO ＝3，EO ＝4，所以CE ＝5．因此三角形△EGM ≌△ECO ，∠GEM ＝∠CEO ．所以直线CM 过点C ．总之，动点问题是新课改后中考的的一个热点问题，解这类题目的一般技巧是抓住变化中的“不变量”，以不变应万变，首先根据题意理清题目中两个变量变化情况并找出相关常量；第二，按照图形中的几何性质及相互关系，找出一个基本关系式，把相关的量用一个自变量的表达式表达出来，然后再根据题目的要求，依据几何、代数知识解出；第三，确定自变量的取值范围，画出相应的图象。

中考数学“特殊三角形的存在性问题”题型解析二次函数与特殊三角形的存在性问题主要分为两类：一类是静态的特殊三角形的存在性问题；一类是动态的特殊三角形的存在性问题 .静态的特殊三角形的存在性问题难度相对较小，可根据抛物线的对称性以及三角形的特点为切入点来解决；动态的特殊三角形的存在性问题难度相对较大，解决此类问题的关键是根据题意分析出动点在动的过程一些不变的量以及不变的关系 .本节主要来讨论下关于动态的特殊三角形的存在性问题 .类型一：等腰三角形存在性问题【例题1】如图，已知抛物线y = -1/4 x^2 - 1/2 x + 2 与x 轴交于A , B 两点，与y 轴交于点C . （1）求点A , B , C 的坐标；（2）此抛物线的对称轴上是否存在点M，使得△ACM 是等腰三角形？若存在请求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由 .【分析】（1）分别令y = 0 , x = 0 , 即可解决问题；（2）分A、C、M 为顶点三种情形讨论，分别求解即可 . 【解析】（1）令y = 0 , 得-1/4 x^2 - 1/2 x + 2 = 0 ，∴x^2 + 2x - 8 = 0 ,∴x = - 4（舍）或2 ，∴点A 坐标（2,0），点B 坐标（-4,0），令x = 0 , 得y = 2 ,∴点C 的坐标（0,2）.（2）如图所示，①当C 为顶点时，CM1 = CA , CM2 = CA , 作M1N⊥OC 于N , 在Rt△CM1N 中，∴点M1 坐标（-1，2+√7），点M2 坐标（-1 , 2-√7）.②点M3 为顶点时，∵直线AC 解析式为y = -x + 2 , 线段AC 的垂直平分线为y = x , ∴点M3 坐标为（-1，-1）.③当点A 为顶点的等腰三角形不存在 .综上所述M 坐标为（-1，-1）或（-1，2+√7）或（-1 , 2-√7）.类型二：直角三角形存在性问题【例题2】如图，△OAB 的一边OB 在x 轴的正半轴上，点A 的坐标为（6,8），OA = OB，点P 在线段OB 上，点Q 在y 轴的正半轴上，OP = 2OQ，过点Q 作x 轴的平行线分别交OA，AB 于点E , F .（1）求直线AB 的解析式；（2）是否存在点P，使△PEF 为直角三角形？若存在，请直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由 .【分析】（1）由点A 的坐标可确定出OA 的长，即为OB 的长，从而可确定出B 点坐标，利用待定系数法即可求出直线AB 的解析式；（2）分三种情况来考虑：若∠PEF = 90°；若∠PFE = 90°，若∠EPF = 90°，过点E , F 分别作x 轴垂线，垂足分别为G、H，分别求出t 的值，确定出满足题意P 坐标即可 .【解题策略】此类问题主要考查特殊三角形的存在性问题：首先运用特殊三角形的性质画出相应的图形，确定动点问题的位置；其次借助特殊三角形的性质找到动点与已知点的位置关系和数量关系；最后结合已知列出方程求解即可 .要注意分类讨论时考虑全面所有可能的情形 .。

专题16 二次函数与实际问题：图形问题一、解答题1．如图，已知抛物线2()30y ax bx a =++≠与x 轴交于点(1,0)A 和点(3,0)B -，与y 轴交于点C ． （1）求抛物线的解析式；（2）设抛物线的对称轴与x 轴交于点M ，问在对称轴上是否存在点P ，使CMP ∆为等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）作直线BC ，若点(,0)D d 是线段BM 上的一个动点（不与B 、M 重合），过点D 作x 轴的垂线交抛物线于点F ，交BC 于点E ，当BDE CEF S S ∆∆=时，求d 的值．【答案】（1）223y x x =--+；（2）存在，P (-或(1,-或(1,6)-或5(1,)3-；（3）32d =- 【分析】（1）利用待定系数法即可求解；（2）分CP PM =，CM PM =，CM CP =三种情况，根据等腰三角形的性质分别进行求解； （3）根据三角形面积公式可得1·2BDE S BD DE ∆=⨯，1·2CEF S EF OD ∆=，由BDE CEF S S ∆∆=代入数据即可求解【详解】解：（1）抛物线2()30y ax bx a =++≠与x 轴交于点(1,0)A 和点(3,0)B -，∴309330a b a b ++=⎧⎨-+=⎩，解得12a b =-⎧⎨=-⎩． ∴所求抛物线解析式为：223y x x =--+；（2）抛物线解析式为：223y x x =--+，∴其对称轴为212x -==-， ∴设P 点坐标为(1,)a -，当0x =时，3y =，(0,3)C ∴，(1,0)M -，∴当CP PM =时，222(1)(3)a a -+-=，解得53a =， P ∴点坐标为：15(1,)3P -；∴当CM PM =时，222(1)3a -+=，解得a =P ∴点坐标为：2(P -或3(1,P -； ∴当CM CP =时，由勾股定理得：2222(1)3(1)(3)a -+=-+-，解得6a =，P ∴点坐标为：4(1,6)P -．综上所述，存在符合条件的点P ，其坐标为(-或(1,-或(1,6)-或5(1,)3-；（3）由点B 、C 的坐标知，直线BC 的表达式为3y x ，则点E 、F 的坐标分别为(,3)d d +、2(,23)d d d --+，11·(3)?(3)22BDE S BD DE d d ∆=⨯=⨯++， 211·(233)?()22CEF S EF OD d d d d ∆==⨯--+---，BDE CEF S S ∆∆=，∴211(3)?(3)(233)?()22d d d d d d ⨯++=⨯--+---， 解得0d =（舍去）或3-（舍去）或32-， 故32d =-． 【点睛】本题考查二次函数的综合题，涉及到待定系数法求解析式、等腰三角形的性质、三角形面积计算，解题的关键是综合运用所学知识，注意题（2）要分情况考虑进行求解．2．如图用长为30m 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形养鸡场ABCD ，已知墙长14m ，设边AB 的长为xm ，矩形ABCD 的面积为ym 2．（1）求y 与x 之间的函数关系式，并求出函数y 的最大值．（2）当y ＝108时，求x 的值．【答案】（1）y ＝﹣12（x ﹣15）2+112.5，y 的最大值为112m 2；（2）x 的值为12 【分析】（1）根据长方形的面积等于长乘以宽及墙体长度为14米，即可求出y 与x 的函数关系式，结合二次函数增减性得出二次函数最值；（2）把y=108代入（1）中的解析式，解方程得出答案．【详解】（1）根据题意可得：AD＝12（30﹣x）m，y＝12x（30﹣x）＝﹣12x2+15x＝﹣12（x﹣15）2+112.5，∵墙长为14m，∴0＜x≤14，则x≤15时，y随x 的增大而增大，∴当x＝14m，即AB＝14m，BC＝8m时，长方形的面积最大，最大面积为：14×8＝112（m2）；∴y的最大值为112m2；（2）当y＝108时，108＝12x（30﹣x），整理得：x2﹣30x+216＝0，解得：x1＝12，x2＝18（不合题意舍去），答：x的值为12．【点睛】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，根据题意正确得出函数关系式并明确二次函数的性质是解题的关键．3．如图，抛物线y=x2﹣2x+k+1与x轴相交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C（0，﹣3）．P 为抛物线上一点且在y轴的右侧，横坐标为m．（1）求此抛物线的解析式；（2）当点P 在第四象限时，求△BAP 面积的最大值；（3）设此抛物线在点C 与点P 之间部分（含点C 和点P ）最高点与最低点的纵坐标之差为h ．求h 关于m 的函数解析式，并写出自变量m 的取值范围．【答案】（1）y =x 2﹣2x ﹣3；（2）8；（3）222(01)1(12)21(2)m m m h m m m m ⎧-+<≤⎪=<≤⎨⎪-+>⎩．【分析】（1）将点C 坐标代入表达式即可求出k 的值并得出解析式；（2）根据题目分析可知，当点P 位于抛物线顶点时，△BAP 的面积最大，根据解析式求出A 、B 的坐标，从而得到AB 的长，再利用三角形的面积公式计算面积即可；（3）分三种情况，0＜m ≤1，1＜m ≤2，m ＞2，分别进行计算即可．【详解】（1）∵点C （0，﹣3）在抛物线y =x 2﹣2x +k +1上，∴k +1=﹣3，解得：k =﹣4，∴此抛物线的解析式为y =x 2﹣2x ﹣3；（2）令y =0，则0=x 2﹣2x ﹣3，解得：x 1=﹣1，x 2=3，∴A （﹣1，0），B （3，0），∴AB =4．∵y =x 2﹣2x ﹣3=（x ﹣1）2﹣4，∴抛物线顶点为（1，﹣4），∴当P 位于抛物线顶点时，△ABP 的面积有最大值，此时S 12=⨯4×4=8， 即△BAP 面积的最大值是8；（3）∵P 为抛物线上一点且在y 轴的右侧，横坐标为m ，∴m ＞0，∴当0＜m ≤1时，h =﹣3﹣（m 2﹣2m ﹣3）=﹣m 2+2m ；当1＜m ≤2时，h =（22﹣2×2﹣3）﹣（﹣4）=1；当m ＞2时，h =m 2﹣2m ﹣3﹣（﹣4）=m 2﹣2m+1． 综上所述，222(01)1(12)21(2)m m m h m m m m ⎧-+<≤⎪=<≤⎨⎪-+>⎩．【点睛】本题为二次函数的综合题，熟练掌握二次函数表达式求法及二次函数的性质，对于动点问题正确分析出所存在的所有情况是解题的关键．4．如图，已知二次函数y =﹣x 2+（a +1）x ﹣a 与x 轴交于A ，B 两点（点A 位于点B 的左侧），点A 的坐标为（﹣3，0），与y 轴交于点C ．（1）求a 的值与△ABC 的面积；（2）在抛物线上是否存在一点P ，使S △ABP =S △ABC ．若存在，请求出P 坐标，若不存在，请说明理由．【答案】（1）a=﹣3，S△ABC=6；（2）存在，P点的坐标为（﹣2，3）或（﹣13）或（﹣1，﹣3）．【分析】（1）令y=0代入函数解析式得到点A、B的坐标，进而可得a的值，然后可得点B、C的坐标，进而可求解△ABC的面积；（2）由（1）可得点C的坐标，然后由等积法可得△ABP与△ABC同底，进而可得点P的纵坐标为±3，然后分别代入二次函数解析式可求解．【详解】解：（1）∵y=﹣x2+（a+1）x﹣a，令x=0，则y=﹣a，∴C（0，﹣a），令y=0，即﹣x2+（a+1）x﹣a=0解得：x1=a，x2=1，由图象知：a＜0，∴A（a，0），B（1，0）．∵点A的坐标为（﹣3，0），∴a=﹣3，AB=4，∴OC=3，∴S△ABC12=AB•OC1432=⨯⨯=6；（2）∵a =﹣3，∴C （0，3），∵S △ABP =S △ABC ，∴P 点的纵坐标为±3，把y =3代入y =﹣x 2﹣2x +3得﹣x 2﹣2x +3=3，解得：x =﹣2或x =0（与点C 重合，舍去）；把y =﹣3代入y =﹣x 2﹣2x +3得﹣x 2﹣2x +3=﹣3，解得：x =﹣1x =﹣1，∴P 点的坐标为（﹣2，3）或（﹣1，﹣3）或（﹣1，﹣3）．【点睛】本题主要考查二次函数的应用，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．5．如图，抛物线26y ax bx =++经过()2,0A -、()4,0B 两点，与y 轴交于点C ，点D 是抛物线上一动点，设点D 的横坐标为()14m m <<，连结AC 、BC 、DB 、DC ．（1）求抛物线的函数表达式．（2）当BCD △的面积等于AOC △的面积的34时，求m 的值． （3）当2m =时，若点M 是x 轴上一动点，点N 是抛物线上一动点，试判断是否存在这样的点M ，使得以点B 、D 、M 、N 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点M 的的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）233642y x x =-++；（2）3m =；（3）点M 的坐标为()2,0或)1,0或()1,0或()6,0．【分析】（1）用待定系数法即可求解；（2）22133332662324224BDC S HD OB m m m m m ⎛⎫⎛⎫=⋅=-+++-=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则3319624422AOC S =⨯⨯⨯=，即可求解； （3）分BD 是边、BD 是对角线两种情况，利用图象平移的性质和中点坐标公式即可求解．【详解】解：（1）抛物线26y ax bx =++经过()2,0A -、()4,0B 两点， ∴042601646a b a b =-+⎧⎨=++⎩， 解得：3432a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， ∴抛物线的表达式为：233642y x x =-++； （2）由抛物线的表达式可知，点()0,6C ，()2,0A -， ∴1126622AOC S OA OC =⨯⨯=⨯⨯=， 设直线BC 的函数表达式为：()0y kx e k =+≠，由点B 、C 两点的坐标得：406k e n +=⎧⎨=⎩， 解得：326k e ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，∴直线BC 的表达式为：362y x =-+， 如图所示，过点D 作y 轴的平行线交直线BC 于点H ，交x 轴于点F ，作CE BD ⊥交BD 于点E ．点D 的横坐标为()14m m <<， ∴236,342m m D m ，点3,62H m m ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭， ∴2233336634224DH m m m m m ⎛⎫=-++--+=-+ ⎪⎝⎭，()4,0B ， ∴4OB =，()11112222BCD CDH BDH S S S DH CE DH BF DH CE BF DH OB =+=⋅+⋅=⋅+=⋅， ∴221133=3462242BCD SDH OB m m m m ⎛⎫=⋅-+⨯=-+ ⎪⎝⎭， BCD △的面积等于AOC △的面积的34，∴2336=624m m -+⨯， ∴11m =（舍去），23m =，∴3m =；（3）当2m =时，点()2,6D ，设点(),0M p ，点(),N t n ， 则233642n t t =-++①， Ⅰ：当BD 是边时，点B 向左平移2个单位，向上平移6个单位得到点D ，同样点()M N 向左平移2个单位，向上平移6个单位得到点()N M ，∴206p t n -=⎧⎨+=⎩或206p t n +=⎧⎨-=⎩②， 联立①②并解得：426p t n =⎧⎪=⎨⎪=⎩（不符合题意，舍去）或206p t n =⎧⎪=⎨⎪=⎩或116p t n ⎧=⎪⎪=+⎨⎪=-⎪⎩或116p t n ⎧=⎪⎪=⎨⎪=-⎪⎩；∴点M 的坐标为()2,0或)1,0或()1,0-； Ⅱ：当BD 是对角线时， 由中点坐标公式得：()()()()1124221160022p t n ⎧+=+⎪⎪⎨⎪+=+⎪⎩③，联立①③并解得：606p t n =⎧⎪=⎨⎪=⎩或426p t n =⎧⎪=⎨⎪=⎩（不符合题意，舍去），∴点M 的坐标为()6,0；综上，点M 的坐标为()2,0或)1,0或()1,0或()6,0． 【点评】本题是二次函数综合题，主要考查了一次函数的性质、平行四边形的性质、图形的平移、面积的计算等，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏．6．如图，已知抛物线23y ax bx =++()0a ≠与x 轴交于点1,0A 和点()3,0B -，与y 轴交于点 C ． （1）求抛物线的解析式；（2）设抛物线的对称轴与x 轴交于点M ，问在对称轴上是否存在点P ，使CMP 为等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）作直线BC ，若点(),0D d 是线段BM 上的一个动点（不与B 、M 重合），过点D 作x 轴的垂线交抛物线于点F ，交BC 于点E ，当BDE CEF S S =△△时，求d 的值．【答案】（1）223y x x =--+；（2）存在；P 坐标为51,3⎛⎫- ⎪⎝⎭或(-或(1,-或()1,6-；（3）d =．【分析】（1）用待定系数法即可求解；（2）由抛物线解析式求出()0,3C ，对称轴是直线1x =-，进而得出()1,0M -，设P 点坐标为()1,c -，则用勾股定理可知CP =CM ==PM =CP PM =、CM PM =、CM CP =三种情况，根据等腰三角形腰相等，分别求解即可；（3）由点B 、C 的坐标可知直线BC 的表达式为：3y x ，因为点(),0D d ，所以可知点E 、F 的坐标分别为(),3d d +、()2,23d d d --+，则23EF d d =--，根据三角形面积公式可知 12BDE S BD DE =⋅，12CEF S EF OD =⋅，由BDE CEF S S =△△，即可求解． 【详解】解：（1）抛物线23y ax bx =++()0a ≠与x 轴交于点1,0A 和点()3,0B -， ∴309330a b a b ++=⎧⎨-+=⎩， 解得：12a b =-⎧⎨=-⎩， ∴所求抛物线解析式为：223y x x =--+；（2）抛物线解析式为：223y x x =--+，∴其对称轴为()21221b x a -=-=-=-⨯-， ∴点()1,0M -，点P 在对称轴上，∴设P 点坐标为()1,c -，当0x =时，3y =，∴()0,3C ，∴CP =CM ==PM①当CP PM =时，=即()2213c c +-=，解得：53c =，∴P 点坐标为51,3⎛⎫- ⎪⎝⎭，②当CM PM =时，=即210c =，解得：c =，∴P 点坐标为(-或(1,-，③当CM CP =时，=即()21310c +-=，解得：16c =，20c =（不符合题意，舍去），∴P 点坐标为()1,6-，综上所述，存在符合条件的点P ，其坐标为51,3⎛⎫- ⎪⎝⎭或(-或(1,-或()1,6-； （3）设直线BC 的表达式为：y kx e =+，由点B 、C 的坐标可知，033k e e =-+⎧⎨=⎩， 解得：13k e =⎧⎨=⎩， ∴直线BC 的表达式为：3y x ，点(),0D d ，∴点E 、F 的坐标分别为(),3d d +、()2,23d d d --+，∴()2222332333EF d d d d d d d d =--+-+=--+--=--， 12BDE SBD DE =⋅，12CEF S EF OD =⋅， ∴()()1332BDE S d d =++，()()21302CEF S d d d =--⨯-，BDE CEF S S =△△， ∴()()()()21133322d d d d d ++=---，∴112d +=，212d =，33d =-（不符合题意，舍去），∴d =． 【点评】本题为二次函数综合题，主要考查了二次函数的基本知识、等腰三角形的性质、三角形面积的计算，要注意的是（2）中，不确定等腰三角形哪条边是底边的情况下，要分类讨论，不要漏解．7．在平面直角坐标系中，直线y ＝x ＋4与x 、y 轴分别交于A 、B 两点，抛物线y ＝﹣x 2＋bx ＋c 经过A 、B 两点，并与x 轴交于另一点C （点C 在点A 的右侧），点P 是抛物线上的一个动点．（1）求抛物线解析式及点C ；（2）若点P 在第二象限内，过点P 作PD ⊥x 轴于点D ，交AB 于点E ，当点P 运动到什么位置时，PE 最长是多少？【答案】（1）y ＝﹣x 2﹣3x ＋4，点C （1，0）；（2）点P 运动到（﹣2，6）时，PE 最长为4【分析】（1）先求出点A 、B 的坐标，然后代入二次函数解析式，求出b 、c 的值，以及点C 的坐标；（2）如图，设P 点横坐标为m ，求出P 点纵坐标以及点E 的纵坐标，求出PE 的长度，利用二次函数求极值的方法求出PE 长度的最大值．【详解】解：（1）∵直线y ＝x ＋4与x 、y 轴分别交于A 、B 两点，∴A （﹣4，0），B （0，4），将点A 、B 坐标代入抛物线解析式2y x bx c =-++得：16404b c c --+⎧⎨⎩＝＝， 解得：34b c -⎧⎨⎩＝＝， 则二次函数的解析式为：y ＝﹣x 2﹣3x ＋4，令﹣x 2﹣3x ＋4＝0，解得：x 1＝-4，x 2＝1，则点C 坐标为（1，0）；（2）如图，设P 点横坐标为m ，则纵坐标为﹣m 2﹣3m ＋4，E 点纵坐标为m ＋4，则PE ＝﹣m 2﹣3m ＋4﹣（m ＋4）＝﹣m 2﹣3m ＋4﹣m ﹣4＝﹣m 2﹣4m ＝﹣（m ＋2）2＋4，当m ＝﹣2时，PE 有最大值4，此时点P 纵坐标为6，故当点P 运动到（﹣2，6）时，PE 最长为4．【点睛】本题综合考查了二次函数的图象与性质、待定系数法、一次函数与二次函数结合的问题，涉及考点较多，难度较大，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．8．如图，抛物线y =x 2﹣mx ﹣3（m ＞0）交y 轴于点C ，CA ⊥y 轴，交抛物线于点A ，点B 在抛物线上，且在第一象限内，BE ⊥y 轴，交y 轴于点E ，交AO 的延长线于点D ，BE =2AC ．（1）用含m 的代数式表示BE 的长．（2）当m =D 是否落在抛物线上，并说明理由．【答案】（1）BE =2m ；（2）点D 在抛物线上，理由见解析．【分析】（1）先确定(0,3)C -，再解方程233x mx --=-得 (,3)-A m ，所以AC m =，从而得到22BE AC m ==；（2）先利用待定系数法求出直线OA 的方程为y =，再计算出x =233y x =-=，从而得到B ，3)，则确定D 点坐标(，3)，然后根据二次函数图象上点的坐标特征可判断点D 在抛物线上．【详解】解：（1）当0x =时，233y x mx =--=-，则 (0,3)C -，当3y =-时，233x mx --=-，解得 10x =，2x m =，则(,3)-A m ，AC m ∴=， 22BE AC m ∴==；（2）点D 在抛物线上．理由如下：当m =时，点A 的坐标为3)-．设OA 的直线方程为y kx =，将A 3)-代入，得k =∴直线OA 的方程为y =，抛物线的解析式为23y x =-，而BE =B 点的横坐标为当x =2312633y x =-=--=，则 B ，3)，//BD x 轴，D ∴点的纵坐标为3，当3y =时，3=，解得x = D 点坐标为(3)，当x =233333y x =--=+-=，∴点D 在抛物线上．【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟悉相关性质是解题的关键．9．如图，已知90,30Rt OAB OAB ABO ∠=︒∠=︒，，斜边4OB =，将Rt OAB 绕点O 顺时针旋转60︒，得到ODC △，连接BC ．（1）填空：OBC ∠=_________︒；（2）如图1，连接AC ，作OP AC ⊥，垂足为P ，求OP 的长度；（3）如图2，点M ，N 同时从点O 出发，在OCB 边上运动，M 沿O C B →→路径匀速运动，N 沿O B C →→路匀速运动，当两点相遇时运动停止，己知点M 的运动速度为1.5单位/秒，点N 的运动速度为1单位/秒，设运动时间为x 秒，OMN 的面积为y ，求y 与x 的函数关系式．【答案】（1）60；（2；（3）()222808384834 4.82x x x x x x ⎧⎛⎫<≤⎪ ⎪⎝⎭⎪⎪⎪⎛⎫-+<≤⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪⎪<≤⎪⎩【分析】（1）由旋转性质可知：OB=OC ，∠BOC=60°，则△OBC 是等边三角形，即可求解；（2）证明△BOC 是等边三角形，BC=OB=4，而∠OBC=60°，∠ABC=∠ABO+∠OBC=90°，故AC ==S △AOC 11222OA AB =⋅⋅=⨯⨯= （3）分880, 4.4 4.833x x x <≤<≤<≤三种情况，利用面积公式求解即可． 【详解】解：（1）由旋转性质可知：OB=OC ，∠BOC=60°，∴△OBC 是等边三角形，∴∠OBC=60°．故答案为：60；（2）如图1，904,30BAP OB ABO ∠=︒=∠=︒，，122OA OB AB ∴====，由旋转得：BOC 是等边三角形，4BC OB ==∴6090OBC ABC ABO OBC ∠=︒∠=∠+∠=︒，，∴AC ==∴11222AOCS OA AB =⋅⋅=⨯⨯=∴27AOC S OP AC ===． （3）①当803x <≤时，M 在OC 上运动，N 在OB 上运动，如图2，过点N 作NE OC ⊥且交OC 于点E ．则12OE x NE x ===，，11 1.5222OMN S OM NE x x ∴=⋅⋅=⨯⨯．∴2y x =； ②当843x <≤时，M 在BC 上运动，N 在OB 上运动，如图2，作MH OB ⊥于H ，则)8 1.5,8 1.5BM x MH x =-=-∴212y ON MH x =⨯⨯=+ ③当4 4.8x <≤时，M 、N 都在BC 上运动，作OG BC ⊥于G ．12 2.5MN x =-，OG AB ==∴12y MN OG x =⋅⋅=综上所述，()222808384834 4.8x x x x x x ⎧⎛⎫<≤⎪ ⎪⎝⎭⎪⎪⎪⎛⎫-+<≤⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪⎪<≤⎪⎩【点睛】本题考查几何变换综合题、30度的直角三角形的性质、等边三角形的判定和性质、三角形的面积等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．10．如图，已知△ABC 中，BC ＝10，BC 边上的高AH ＝8，四边形DEFG 为内接矩形．（1）当矩形DEFG 是正方形时，求正方形的边长．（2）设EF ＝x ，矩形DEFG 的面积为S ，求S 关于x 的函数关系式，当x 为何值时S 有最大值，并求出最大值．【答案】（1）409；（2）()254204S x=--+，当x＝4时，S有最大值20【分析】（1）GF∥BC得△AGF∽△ABC，利用相似三角形对应边上高的比等于相似比，列方程求解；（2）根据相似三角形的性质求出GF＝10−54x，求出矩形的面积，运用二次函数性质解决问题．【详解】（1）设HK＝y，则AK＝AH﹣KH＝AH﹣EF＝8﹣y，∵四边形DEFG为矩形，∴GF∥BC，∴△AGF∽△ABC，∴AK：AH＝GF：BC，∵当矩形DEFG是正方形时，GF＝KH＝y，∴(8﹣y)：8＝y：10，解得：y＝409；（2）设EF＝x，则KH＝x．∴AK＝AH﹣EF＝8﹣x，由（1）可知：8108GF x-=，解得：GF＝10﹣54 x，∴s＝GF•EF＝（10﹣54x）x＝﹣54（x﹣4）2+20，∴当x＝4时S有最大值，并求出最大值20．【点睛】本题考查了相似三角形的性质，二次函数的最值，矩形的性质的应用，注意：矩形的对边相等且平行，相似三角形的对应高的比等于相似比，题目是一道中等题，难度适中．11．如图，在Rt ABC △中，90C ∠=︒，4cm AC =，3cm BC =．动点M ，N 从点C 同时出发，均以每秒1cm 的速度分别沿CA 、CB 向终点A ，B 移动，同时动点P 从点B 出发，以每秒2cm 的速度沿BA 向终点A 移动，连接PM ，PN ，设移动时间为t （单位：秒，0 2.5t <<）．（1）当t 为何值时，以A ，P ，M 为顶点的三角形与ABC 相似？（2）是否存在某一时刻t ，使四边形APNC 的面积S 有最小值？若存在，求S 的最小值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）t=32；（2）存在，t=32时，最小值为215． 【分析】（1）分两种情况讨论：①当△AMP ∽△ABC 时，②当△APM ∽△ABC 时，对应边成比例求解，即可求出结论；（2）过P 作PH 垂直BC ，通过△BPH ∽△BAC ，求出PH 长，再用△ABC 的面积减去△BPN 面积即可表示四边形APNC 的面积解析式，化成顶点式找到最小值，即可求出结果；【详解】解：（1）以A 、P 、M 为顶点的三角形与△ABC 相似，分两种情况：①当△AMP ∽△ABC 时，AP AM AC AB =，即52445t t --=，解：t=32，②当△APM∽△ABC时，AM APAC AB=，即45245t t--=，解得t=0（不符合题意，舍去）综上所述，当t=32秒时，以A、P、M为顶点的三角形与△ABC相似；（2）存在某一时刻t，使四边形APNC的面积S有最小值，理由如下：设存在某一时刻t，使四边形APNC的面积S有最小值，如图，∵在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4cm，BC=3cm，∴，过P作PH⊥BC于H，则∠PHB=∠C=90°，∵∠B=∠B，∴△BPH∽△BAC，∴PH BP AC AB=∴2 45 PH t=解得PH=85tcm∴S=S△ABC-S△BPN=12×3×4-12×（3-t）85t=45（t-32）2+215（0<t<2.5）∵45>0，∴S有最小值，当t=32时，S最小值=215，∴存在t值使四边形APNC的面积S最小，t=32时，最小值为215．【点睛】本题考查相似三角形的性质和判定，平行线分线段成比例，二次函数最值以及三角形面积问题等知识点，注意要分类讨论，以防漏解．12．如图，已知二次函数24y ax x c =-+的图像经过点A （-1，0）和点D （5，0）．（1）求该二次函数的解析式；（2）直接写出该抛物线的对称轴及顶点C 的坐标；（3）点B 是该抛物线与y 轴的交点，求四边形ABCD 的面积．【答案】（1）245y x x =--；（2）对称轴为直线x=2，顶点C 的坐标为（2，-9）；（3）30【分析】（1）利用待定系数法解答；（2）将函数解析式化为顶点式即可得到答案；（3）连接AB 、BC 、CD 、OC ，根据解析式求出点B 的坐标，再利用面积和的关系求出答案.【详解】（1）∵二次函数24y ax x c =-+的图像经过点A （-1，0）和点D （5，0），∴4025200a c a c ++=⎧⎨-+=⎩，解得15a c =⎧⎨=-⎩， ∴该二次函数的解析式为245y x x =--；（2）∵2245(2)9y x x x =--=--，∴该抛物线的对称轴为直线x=2，,顶点C 的坐标为（2，-9）；（3）如图，连接AB 、BC 、CD 、OC ，令245y x x =--中x=0，解得y=-5，∴B （0，-5）∵A （-1，0）、B （0，-5）、C （2，-9）、D （5，0），∴OA=1，OB=5，OD=5，∴四边形ABCD 的面积=AOB BOC COD S S S ++=11151525930222=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=.【点睛】此题考查待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质，将二次函数的一般式化为顶点式，利用割补法求几何图形的面积，这是一道二次函数的基础题.13．如图，在矩形OABC 中，点O 为原点，点A 的坐标为（0，8），点C 的坐标为（6，0）．抛物线y =49-x 2+bx +c 经过点A 、C ，与AB 交于点D ．点P 为线段BC 上一个动点（不与点C 重合），点Q 为线段AC 上一个动点，AQ =CP ，连接PQ ，设CP =m ，△CPQ 的面积为S ．（1）求抛物线的函数解析式．（2）求S 关于m 的函数表达式．（3）当S 最大时，△求点Q 的坐标．△若点F 在抛物线y =49-x 2+bx +c 的对称轴上，且△DFQ 的外心在DQ 上，求点F 的坐标．【答案】（1）244893y x x =-++；（2）23310S m m =-+；（3）△点Q 的坐标为（3，4）；△点F 的坐标为32⎛ ⎝⎭，或362⎛- ⎝⎭，． 【分析】 （1）将A 、C 两点坐标代入抛物线y =49-x 2+bx +c ，即可求得抛物线的解析式； （2）先用m 表示出QE 的长度，进而求出三角形的面积S 关于m 的函数；（3）△根据二次函数的最值，求出S 最大时的m 值，得出AQ 的长，即可求得点Q 的坐标；△根据三角形的外心性质，可得△DFQ 为直角三角形，且DQ 为斜边，由勾股定理列出关于三边的方程，求解后即可得到点F 的坐标．【详解】解：（1）将A （0，8）、C （6，0）两点坐标代入抛物线y =49-x 2+bx +c ，得 8436609c b c =⎧⎪⎨-⨯++=⎪⎩， 解得438b c ⎧=⎪⎨⎪=⎩， ∴抛物线的解析式为：244893y x x =-++； （2）过点Q 作QE ⊥BC 与E 点，∵A （0，8）、C （6，0），则OA ＝8，OC ＝6，∴AC 10=．则sin ∠ACB ＝35QE AB QC AC ==． ∴3105QE m =-， ∴3(10)5QE m =-， ∴21133(10)322510S CP QE m m m m =⋅=⨯-=-+； （3）△∵()221133315(10)3522510102S CP QE m m m m m =⋅=⨯-=-+=--+， ∴当m ＝5时，S 取最大值，即AQ ＝5，∵A （0，8）、C （6，0），∴点Q 的坐标为（3，4）；△∵抛物线244893y x x =-++的对称轴为x ＝32， ∵△DFQ 的外心在DQ 上，∴△DFQ 为直角三角形，且∠DFQ ＝90°当∠DFQ ＝90°时，设F （32，n ）， ∵点D 是AB 与244893y x x =-++的交点， 令y ＝8，则x ＝0或x ＝3，∴点D 的坐标为（3，8），则FD2＋FQ2＝DQ2，即()()22991644n n+++=8--4解得62n=±．∴满足条件的点F共有两个，坐标分别为36+22⎛⎫⎪⎪⎝⎭，或3622⎛-⎝⎭，．【点睛】本题是二次函数的综合题，其中涉及到的知识点有抛物线的解析式的求法抛物线的最值等知识点，解题时注意数形结合数学思想的运用．14．如图，已知正三角形ABC的边长为4，矩形DEFG的DE两个点在正三角形BC边上，F、G点在AB、AC边上，求矩形DEFG的面积的最大值是多少？【答案】【分析】设EF=x，先求出三角形ABC的高AH的长，由矩形性质FG∥BC，推出△AFG∽△ABC利用性质得比例式FG AM=BC AH求出4x⋅，利用矩形面积公式S矩形DEFG=243x x-+利用函数的性质求出最值即可．【详解】过A 作AH ⊥BC 于H ，交FG 于M ，∵正三角形ABC 的边长为4，∴BH=CH=2，在Rt △ABH 中由勾股定理设EF=x ，则AM=x ，∵矩形DEFG 的DE 两个点在正三角形BC 边上，△FG ∥BC ，∴△AFG ∽△ABC ， ⊥FG AM =BC AH， ⊥234AMBC FG==AH 2x⋅，△S 矩形DEFG 244x xx x ⋅=+，⊥a =0<， 则抛物线开口向下，有最大值，x ==⎝⎭S 最大=【点睛】本题考查等边三角形内接矩形问题，涉及等边三角形的性质，矩形的性质，相似三角形的判定与性质，二次函数的性质，掌握等边三角形的性质，矩形的性质，相似三角形的判定与性质，二次函数的性质是解题关键．15．某农场拟建三间矩形饲养室，饲养室一面靠墙（墙可用长≤20m），中间用两道墙隔开，已知计划中的建筑材料可建围墙的总长为60m，设饲养室宽为x（m），总占地面积为y（m2）（如图所示）．（1）求y关于x的函数表达式，并直接写出自变量x的取值范围；（2）三间饲养室占地总面积有可能达到210m2吗？请说明理由．【答案】（1）y=﹣4x2+60x，10≤x＜15；（2）不能，理由见解析．【分析】（1）设饲养室宽为x（m），则长为（60﹣4x）m，由矩形面积公式可以得到y关于x的函数表达式，再由y 的值大于0且小于或等于20可以得到自变量的取值范围；（2）令y=210，得到关于x的一元二次方程，解方程得到x的值后根据（1）中自变量的取值范围可以得到问题解答．【详解】（1）设饲养室宽为x（m），则长为（60﹣4x）m，∴y=x （60﹣4x ）=﹣4x 2+60x ，∵0＜60﹣4x≤20，∴10≤x ＜15；（2）不能，理由如下：当y=210时，﹣4x 2+60x=210，解得：或＜10，且10， ∴三间饲养室占地总面积不可能达到210平方米．【点睛】本题考查二次函数的应用，由题意列出二次函数解析式后再结合二次函数图象或一元二次方程的解作答是解题关键．16．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于点A ，点B ，与y 轴交于点C ，其中()4,0A -，()2,0B ，()0,4C -．（1）求该抛物线的函数表达式：（2）若点D 是y 轴上的点，且以A ，C ，D 为顶点的三角形与ABC 相似，求点D 的坐标． （3）点P 是抛物线2y ax bx c =++的对称轴上的一点，点S 是坐标平面内一点，若以A ，C ，P ，S 为顶点的四边形是菱形，请直接写出所有符合条件的点P 的坐标．【答案】（1）2142y x x =+-；（2）1D (0，43)，2D (0，2)；（3）1P (-1，-1)，2P (-1，3P (-1，，4P (-1，，5P (-1，-4【分析】（1）设出二次函数的交点式，将点C 带入求值即可求得解析式；（2）分两种情况讨论：①当ABC CAD ∽时，②当ABC CDA ∽时，求点D 的坐标即可；（3）根据菱形是四边都相等的平行四边形，分情况讨论即可；【详解】（1）∵A(-4，0)，B(2，0)，设抛物线解析式为()()42y a x x =+-，抛物线过C(0，-4)84a ∴-=-，12a ∴=，∴此抛物线解析式为2142y x x =+-； （2）∵A(-4，0)，B(2，0)，C(0，-4)4OA OC ∴==，2BO =，6AB ∴=ACO ∴为等腰直角三角形①当ABC CAD ∽时 则CD AC AC AB=6=，163CD ∴= 164433OD CD OC ∴=-=-= 1D ∴(0，43) ②当ABC CDA ∽时则CD AC AB AC=6CD ∴=6CD ∴= 642OD CD OC ∴=-=-=2D ∴(0，2)（3）∵抛物线对称轴为直线x=-1，设点P(-1，y)，∵A(-4，0)， C(0，-4)，()2222149AP y y =-++=+ ，()()()222201441CP y y =+++=++()()222040432AC =+++=①若AP=CP ，则()22y 9=y+41++ ，解得y=-1， △ 1P (-1，-1)，②若AP=AC ，则2y 9=32+，解得：1y ，2y =，∴ 2P (-1，3P (-1，③若CP=AC ，则()2y+41=32+，解得：1y ，2y =4-∴ 4P (-1，，5P (-1，-41P (-1，-1)，2P (-1，，3P (-1，，4P (-1，，5P (-1，-4【点睛】本题考查了二次函数解析式、二次函数的性质、二次函数与直角三角形、二次函数与菱形的结合，解题的关键是注意分类讨论的情况；17．如图，在ABC 中，AB=AC=5，BC=8，点D 为BC 边上的动点（点D 不与点B 、C 重合），以D 为顶点作ADE B ∠=∠，射线DE 交AC 边于点E ．（1）若CE=3，求BD 的长；（2）如图2，当//ED AB 时，求AE 的长；（3）设BD=x ，AE=y ，求y 关于x 的函数解析式，并写出x 的取值范围．【答案】（1）3或5；（2）12564；（3）218555y x x =-+，08x <<． 【分析】（1）先根据等腰三角形的性质可得B C ∠=∠，再根据三角形的外角性质可得BAD CDE ∠=∠，然后根据相似三角形的判定与性质求解即可得；（2）先根据平行线的性质、等量代换可得B C BAD CDE ∠=∠=∠=∠，再利用相似三角形的判定与性质可得AB BD BC AB=，从而可得2539,88BD CD ==，然后利用相似三角形的判定与性质可得CD CE BC AC =，由此即可得；（3）先根据线段的和差可得8,5CD x CE y =-=-，再利用（1）中相似三角形的性质可得y 关于x 的函数解析式，然后根据BC 的长即可得x 的取值范围．【详解】（1）设BD a =，则8CD BC BD a =-=-，5AB AC ==，B C ∴∠=∠，由三角形的外角性质得：B BAD ADC ADE CDE ∠+∠=∠=∠+∠，ADE B ∠=∠，BAD CDE ∴∠=∠，在ABD △和DCE 中，B C BAD CDE ∠=∠⎧⎨∠=∠⎩， ABD DCE ∴~，AB BD CD CE∴=，即583a a =-， 解得3a =或5a =，经检验，3a =或5a =都是所列分式方程的解，则BD 的长为3或5；（2）设AE b =，则5CE AC AE b =-=-，由（1）可知，B C ∠=∠，BAD CDE ∠=∠，//ED AB ，B CDE ∴∠=∠，B C BAD CDE ∴∠=∠=∠=∠，在ABD △和CBA △中，BAD C B B∠=∠⎧⎨∠=∠⎩， ∴ABDCBA ， AB BD BC AB ∴=，即585BD =， 解得258BD ， 2539888CD BC BD ∴=-=-=， 又//ED AB ，CDE CBA ∴~，CD CE BC AC ∴=，即395885b -=， 解得12564b =， 即AE 的长为12564； （3）,,8,5BD x AE y BC AC ====，8,5CD BC BD x CE AC AE y ∴=-=-=-=-， 由（1）已证：AB BD CD CE =， 585x x y∴=--， 化简整理得：218555y x x =-+， 点D 为BC 边上的动点（点D 不与点B 、C 重合），且8BC =， 08x ∴<<，故y 关于x 的函数关系式为218555y x x =-+，x 的取值范围为08x <<． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、可化为一元二次方程的分式方程的应用、相似三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键．18．为了美化校园，某校综合实践小组准备利用校园内一面长15m 的墙和40m 的不锈钢管，把校园内的一片空地围成如图所示的由四个小矩形组成的矩形花圃，若设矩形花圃的宽为x m ，矩形花圃的面积为S 2m ，请解答下列问题：（1）求出S 2m 与()x m 函数关系式，并确定自变量x 的取值范围；（2）当矩形花圃的宽为多少米时，矩形花圃的面积最大，并求出此时矩形花圃的面积．【答案】（1）2540S x x =-+，()58x ≤<；（2）当矩形花圃的宽为5m 时，矩形花圃的面积最大，此时矩形花圃的面积为275m △【分析】（1）利用矩形面积公式结合图形求出S 2m 与()xm 函数关系式，进而利用040515x <-≤求出自变量x 的取值范围；（2）利用二次函数的增减性结合x 的取值范围得出答案．【详解】（1）由题意可知：矩形花圃的长为()405x m -， ()2405540S x x x x =-=-+，040515x <-≤，∴58x ≤<，∴自变量x 的取值范围为：58x ≤<；（2）2540S x x =-+()258x x =--()2225844x x =--+-()25480x =--+∴二次函数的对称轴为：直线4x =， 50a =-<，∴当4x >△，S 随x 的增大而减小，58x ≤<，∴当5x =△，S 有最大值，∴()()225548075S m =-⨯-+=．答：当矩形花圃的宽为5m 时，矩形花圃的面积最大，此时矩形花圃的面积为275m △【点睛】本题考查了二次函数的应用，二次函数的增减性以及不等式的应用，利用二次函数的增减性求出最值是解题的关键．19．如图，在平面直角坐标系中，直线210y x =-+与x 轴，y 轴相交于A ，B 两点．点C 的坐标是()8,4，连接AC ，BC ．（1）求过O ，A ，C 三点的抛物线的解析式，并判断ABC 的形状；（2）抛物线上是否存在着一点P ，使PAB △的面积为25？若存在，求出P 的坐标，若不存在，请说明理由；（3）在抛物线上，是否存在着一点M ，使ABM 为以AB 为斜边的直角三角形？若存在，请直接写出M 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）21566y x x =-，ABC 为以C 为直角顶点的直角三角形；（2）存在，P 的坐标为()15,50P -或()8,4P 或()0,0P 或()7,14P -；（3）()18,4M ，()20,0M ，()33,4M -．【分析】（1）先确定出点A ，B 坐标，再用待定系数法求出抛物线解析式；用勾股定理逆定理判断出△ABC 是直角三角形；（2）作PQ x ⊥轴交直线AB 于点Q ，由PAB △的面积为25求出PQ 的长，则可得217101066t t +-=，解得115t =-，28t =，30t =，47t =-，则可求得点P 的坐标； （3）根据二次函数的图象与性质可得抛物线的对称轴为直线522O A x x x +==，由圆周角性质的推论，直径所对的圆周角为直角，则M 必须在以AB 为直径的圆上，而M 又在抛物线上，M 在以AB 为直径的圆和抛物线的交点处均符合题意， 圆与抛物线共有四个交点为O ，A ，C ，3M ，由图象可得()184M ，，()200M ，，由3M 与()84C ，关于直线52x =对称可求解3M 的坐标． 【详解】解：（1）∵210y x =-+与x 轴，y 轴相交于A ，B 两点，当0y =时，即2100x -+=，解得5x =，△()50A ，， 当0x =时，10y =，△()010B ，． ∵抛物线过原点，∴设抛物线的解析式为2y ax bx =+．△2y ax bx c =++过()50A ，，()84C ，， 则25506484a b a b +=⎧⎨+=⎩， 解得1656a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩， △该抛物线的解析式为21566y x x =-． △()5,0A ，()0,10B ，()8,4C ，△()()22250010125AB =-+-=； ()()222580425AC =-+-=；()()22208104100BC =-+-=；△222AC BC AB +=．△ABC 为以C 为直角顶点的直角三角形（2）存在．理由如下：作PQ x ⊥轴交直线AB 于点Q ，设21566P t t t ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，则()210Q t t -+，， △2171066P Q PQ y y t t =-=+-， △1·252PAB S OA PQ ==△，△15252PQ ⨯⋅= 即10PQ = 即217101066t t +-= 即217101066t t +-=或217101066t t +-=- 解得：115t =-，28t =，30t =，47t =-；当15t =-时，2155066P y t t =-=，此时()1550P -，； 当8t =时，215466P y t t =-=，此时()84P ，；当0t =时，215066P y t t =-=，此时()00P ，； 当7t =-时，2155066P y t t =-=，此时()714P -，； △综上所述：当P 的坐标为()1550P -，或()84P ，或()00P ，或()714P -，时，PAB △的面积为25． （3）由抛物线的轴对称性可知：抛物线的对称轴为直线522O A x x x +==， 若在抛物线找一点M 使ABM 为以AB 为斜边的直角三角形，即M 为直角顶点；由圆周角性质的推论，直径所对的圆周角为直角，则M 必须在以AB 为直径的圆上，而M 又在抛物线上，△M 在以AB 为直径的圆和抛物线的交点处均符合题意，如图所示：圆与抛物线共有四个交点，分别为O ，A ，C ，3M由（1）可知，当M 与O 或C 重合的时候均符合题意，与A 重合A ，B ，M 三点不能组成三角形，△()184M ，，()200M ， 而AB 的中点即圆心在抛物线的对称轴上，所以抛物线与圆具备了公共的对称轴，直线52x =， △圆与抛物线的四个交点是关于直线52x =对称， △3M 与()84C ，关于直线52x =对称，△3522M Cx x += 解得33M x =-，△()334M -，综上可知：()184M ，，()200M ，，()334M -，． 【点睛】本题属于二次函数综合题，主要考查了待定系数法、勾股定理逆定理、圆周角定理等知识，解题的关键是能够熟练掌握待定系数法并准确灵活应用所学知识解决问题．20．如图，梯形ABCD 中，//AB DC ，90ABC ∠=︒，45A ∠=︒．30AB =，BC x =，其中530x ≤<．作DE AB ⊥于点E ，将ADE 沿直线DE 折叠，点A 落在F 处，DF 交BC 于点G ．（1）用含有x 的代数式表示BF 的长；（2）设四边形DEBG 的面积为S ，求S 与x 的函数关系式；（3）当x 为何值时，S 有最大值，并求出这个最大值．【答案】（1）230BF x =-；（2）23604502S x x =-+-；（3）当20x 时，S 有最大值，最大值为150【分析】（1）由等腰直角三角形的性质解题； （2）由等腰直角三角形的性质及三角形面积公式解题；（3）将函数关系配方成顶点式，结合二次函数图象与性质解题．。