追及和相遇问题

小学数学典型应用题相遇和追及问题 示例文章篇一：

《相遇和追及问题全知道》 一、相遇问题 1. 什么是相遇问题呢？就好像是两个人从不同的地方出发，然后朝着对方走，最后碰到一块儿了。比如说，我和我的好朋友小明，我在村子的东边，他在村子的西边，我们同时出发，然后在路上相遇了。这就像两条线从不同的点出发，最后交汇在一起。

有一次，我和小明约好去村中间的大树下见面。我走路的速度是每分钟50米，小明走路的速度是每分钟60米。我们家到大树的距离是800米，小明家到大树的距离是1000米。那我们要多久才能相遇呢？这时候就可以用到相遇问题的公式啦。

相遇问题的公式是：路程 = 速度和×相遇时间。在这里，总路程就是我家到大树的距离加上小明家到大树的距离，也就是800 + 1000 = 1800米。速度和呢，就是我和小明的速度相加，50 + 60 = 110米/分钟。那相遇时间就等于路程除以速度和，1800÷110≈16.36分钟。

2. 那要是有三个人呢？就像我、小明还有小红。我和小明还是像刚才那样走，小红从村子的南边出发，她的速度是每分钟40米，她家到大树的距离是900米。这时候怎么算相遇时间呢？其实也不难。

我们可以先把我和小明看成一组，算出我们相遇需要的时间，还是按照前面的方法，1800÷110≈16.36分钟。在这16.36分钟里，小红走的路程是40×16.36 = 654.4米。那剩下的路程就是900 - 654.4 = 245.6米。这时候，就变成了小红和已经相遇的我和小明一起走这245.6米的相遇问题啦。我们三个人的速度和是50 + 60 + 40 = 150米/分钟。那还需要的时间就是245.6÷150≈1.64分钟。所以总的相遇时间就是16.36+1.64 = 18分钟。

二、追及问题 1. 追及问题就像是一场比赛，一个人在前面跑，一个人在后面追。比如说，小强大步流星地在前面走，速度是每分钟70米，小刚在后面紧紧追赶，速度是每分钟80米。刚开始的时候，小强在小刚前面100米。那小刚多久能追上小强呢？ 追及问题的公式是：追及路程 = 速度差×追及时间。这里的追及路程就是刚开始两人的距离100米，速度差是80 - 70 = 10米/分钟。那追及时间就等于追及路程除以速度差，100÷10 = 10分钟。

追及、相遇问题1．两类追及问题(1)若后者能追上前者，追上时，两者处于同一位置，且后者速度一定不小于前者速度．(2)若追不上前者，则当后者速度与前者相等时，两者相距最近．2．两类相遇问题(1)同向运动的两物体追及追上时即相遇．(2)相向运动的物体，当各自发生的位移大小之和等于开始时两物体间的距离时即相遇．3．分析追及相遇问题的“一个条件”“两个关系”(1)一个临界条件：速度相等．它往往是物体间能否追上或(两者)距离最大、最小的临界条件，也是分析判断问题的切入点．(2)两个等量关系：时间关系和位移关系，通过画草图找出两物体的时间关系和位移关系是解题的突破口．4．追及相遇问题两种典型情况：假设物体A追物体B，开始时，两个物体相距x0，有两种典型情况：(1)匀加速运动的物体追匀速或匀减速运动的物体．一定能追上，追上前，v＝v B时，两者相距最远．A(2)匀减速运动的物体追匀速运动的物体．v A＝v B时：①若已超越则相遇两次；②若恰好追上，则相遇一次；③若没追上，则此时相距最近．5．解题思路和方法[自我检测](多选)甲、乙两物体在同一地点同时开始做直线运动的v－t图象如图所示．根据图象提供的信息可知下列说法正确的是( ) A．6 s末乙追上甲B．在乙追上甲之前，甲、乙相距最远为10 mC．8 s末甲、乙两物体相遇，且离出发点有32 mD．在0～4 s内与4～6 s内甲的平均速度大小相等1.从v－t图象上分析追及相遇问题例1：(单选)近年来，我国大部分地区经常出现雾霾天气，给人们的正常生活造成了极大的影响．在一雾霾天，某人驾驶一辆小汽车以30 m/s的速度行驶在公路上，突然发现正前方30 m处有一辆大卡车以10 m/s的速度同方向匀速行驶，小汽车紧急刹车，但刹车过程中刹车失灵．如图a、b分别为小汽车和大卡车的v－t图象，以下说法正确的是( )A．因刹车失灵前小汽车已减速，不会追尾B．在t＝5 s时追尾C．在t＝3 s时追尾D．由于初始距离太近，即使刹车不失灵也会追尾[审题突破](1)从开始到两车速度相等时，小汽车的位移为______，大卡车的位移为______；(2)经时间t小汽车与大卡车位移之差的值与30m比较，判断是否追尾．[解析]2.匀加速运动的物体追匀减速运动的物体例2：甲、乙两车相距x0＝40.5 m，同时沿平直公路做直线运动，甲车在前，以初速度v1＝16.0 m/s，加速度a1＝2.0 m/s2做匀减速直线运动，乙车在后，以初速度v2＝4.0 m/s，加速度a2＝1.0 m/s2与甲同向做匀加速直线运动．求：(1)甲、乙两车相遇前相距的最大距离；(2)乙车追上甲车经历的时间．[审题突破](1)两车相遇前距离最大的条件是v甲________v乙；(2)乙车追上甲车时，甲车是运动的还是静止的？[解析]3.匀减速运动的物体追匀速运动的物体例3：A、B两列火车，在同一轨道上同向行驶，A车在前，其速度v A＝10 m/s，B车在后，其速度v＝30 m/s，因大雾能见度低，B车在距A车x0＝85 m时才发B现前方有A车，这时B车立即刹车，但B车要经过180 m才能停止，问：B车刹车时A车仍按原速率行驶，两车是否会相撞？若会相撞，将在B车刹车后何时相撞？若不会相撞，则两车最近距离是多少？[审题突破](1)B车刹车过程的加速度大小a B＝________；(2)判断是否相撞．方法一：两者速度相等时的位置关系：①若B车在前，则相撞；②若A车仍在前，则不相撞．方法二：列出两车位置相同的方程：①若方程有解，则相撞；②若方程无解，则不相撞．[解析]1．判断是否相撞，是比较后面减速运动的物体与前面物体的速度相等的位置关系，而不是比较减速到0时的位置关系.2．匀速或匀加速运动的物体追减速运动的物体时，一定能追上．如果追上时所用的时间大于物体减速到零的时间，则说明追上时被追的物体早已停止运动．3．若追赶过程中，物体运动性质发生改变，要判断在哪个运动段追上或追不上．【方法技巧】求解追及相遇问题的三种方法(12分)甲、乙两车在同一直线轨道上同向行驶，甲车在前，速度为v1＝8 m/s，乙车在后，速度为v2＝16 m/s，当两车相距x0＝8 m时，甲车因故开始刹车，加速度大小为a1＝2 m/s2，为避免相撞，乙车立即开始刹车，则乙车的加速度至少为多大？法一：临界条件法设两车速度相同均为v时，所用时间为t，乙车的加速度为a2，则：v1－a1t ＝v2－a2t＝v，(4分)v1＋v 2t＝v2＋v2t－x，(3分)解得：t＝2 s，a2＝6 m/s2(2分)即t＝2 s时刻，两车恰好未相撞，显然此后在停止运动前，甲的速度始终大于乙的速度，故可避免相撞．(2分)满足题意的条件为乙车的加速度至少为6 m/s2.(1分)法二：函数法甲运动的位移：x甲＝v1t－12a1t2，x乙＝v2t－12a2t2(2分)避免相撞的条件为：x乙－x甲<x0(2分)即12(a2－a1)t2＋(v1－v2)t＋x0>0(1分)代入数据有：(a2－2)t2－16t＋16>0(2分)不等式成立的条件是：Δ＝162－4×16(a2－2)≤0，且a2－2>0(4分) 解得：a2≥6 m/s2.(1分)法三：图象法如图所示，当速度相同时，阴影面积Δx表示两者位移之差，(4分) 若Δx≤x0，则不会相撞，(2分)由几何关系得：Δx＝（v2－v1）t2＝x0，(2分)解得：t＝2 s．(1分)由v1－a1t＝v2－a2t得：a2＝6 m/s2(2分)故乙车的加速度至少为6 m/s2才能避免两车相撞．(1分) [答案] 6 m/s2解追及相遇问题的一般思路1．分析物体的运动过程，画运动示意图或v－t图象．2．选择恰当的方法，根据位移、时间、速度关系列方程．3．代入数据求解，必要时对结果的合理性进行讨论.在水平轨道上有两列火车A和B相距x，A车在后面做初速度为v0、加速度大小为2a的匀减速直线运动，而B车同时做初速度为零、加速度为a的匀加速直线运动，两车运动方向相同．要使两车不相撞，求A车的初速度v0满足什么条件．解析：法一：临界条件法法二：二次函数极值法法三：图象法1．(多选)在同一地点，甲、乙两物体同时沿同一方向做直线运动的速度－时间图象如图所示，对0～6 s过程，下列说法正确的是( )A．两物体两次相遇的时刻是2 s末和6 s末B．4～6 s甲在乙后面C．两物体相距最远的时刻是2 s末D．乙物体先向前运动2 s，随后向后运动2．两辆游戏赛车a、b在两条平行的直车道上行驶．t＝0时两车都在同一计时线处，此时比赛开始，它们在四次比赛中的v－t图象如图所示，则下列图象对应的比赛中，有一辆赛车能够追上另一辆的是( )3（多选）甲、乙两辆汽车在同一水平直道上运动，其运动的位移—时间图象(x－t图象)如图所示，则下列关于两车运动情况的说法中正确的是( )A．甲车先做匀减速直线运动，后做匀速直线运动B．乙车在0～10 s内的平均速度大小为0.8 m/sC．在0～10 s内，甲、乙两车相遇两次D．若乙车做匀变速直线运动，则图线上P点所对应的瞬时速度大小一定大于0.8 m/s4．(多选)小张和小王分别驾车沿平直公路同向行驶，在某段时间内两车的v－t图象如图所示，初始时小张在小王前方x处，下列说法正确的是( )A．若x0＝18 m，两车相遇1次B．若x0<18 m，两车相遇2次C．若x0＝36 m，两车相遇1次D．若x0＝54 m，两车相遇1次5．如图所示，直线MN表示一条平直公路，甲、乙两辆汽车原来停在A、B 两处，A、B间的距离为85 m，现在甲车开始向右做匀加速直线运动，加速度a1＝2.5 m/s2，甲车运动6 s时，乙车立即开始向右做匀加速直线运动，加速度a2＝5 m/s2，求两辆汽车相遇处距A处的距离．6．由于公路维修只允许单车道通行．t＝0时，甲车在前，乙车在后，相距x＝100 m，速度均为v0＝30 m/s，从此时开始两车按图示规律运动(图1为甲车0的v－t图象，图2为乙车的a－t图象)．(1)在甲车坐标系中画出乙车的v－t图象；(2)判断两车是否会相撞．7．春节放假期间，全国高速公路免费通行，小轿车可以不停车通过收费站，但要求小轿车通过收费站窗口前x0＝9 m区间的速度不超过v0＝6 m/s.现有甲、乙两小轿车在收费站前平直公路上分别以v甲＝20 m/s和v乙＝32 m/s的速度匀速行驶，甲车在前，乙车在后．甲车司机发现正前方收费站，开始以大小为a甲＝2 m/s2的加速度匀减速刹车．(1)甲车司机需在离收费站窗口至少多远处开始刹车才不违章？(2)若甲车司机经刹车到达离收费站窗口前9 m处的速度恰好为6 m/s，乙车司机在发现甲车刹车时经t0＝0.5 s的反应时间后开始以大小为a乙＝4 m/s2的加速度匀减速刹车．为避免两车相撞，且乙车在收费站窗口前9 m区不超速．则在甲车司机开始刹车时，甲、乙两车至少相距多远？。

相遇与追及问题一、学习目标1.理解相遇与追及的运动模型，掌握相遇与追及这两种情况下路程、时间、速度这三个基本量之间的关系.会利用这个关系来解决一些简单的行程问题.2.体会数形结合的数学思想方法.二、主要内容1.行程问题的基本数量关系式：路程二时间X速度；速度二路程F时间；时间二路程F速度.2．相遇问题的数量关系式：相遇路程二相遇时间X速度和；速度和二相遇路程F相遇时间；相遇时间二相遇路程F速度和.3.追及问题的数量关系式：追及距离二追及时间X速度差；速度差二追及距离F追及时间；追及时间二追及距离F速度差.4.能熟练运用路程、时间、速度这三个基本量的关系，结合图形分析，解决一些简单的行程问题.三、例题选讲例1两辆汽车同时分别从相距500千米的A,B两地出发，相向而行，速度分别为每小时40千米和每小时60千米.求几小时后两车相遇.例2甲车在乙车前200千米，同时出发，速度分别为每小时40千米与60千米.问多少小时后，乙车追上甲车.例3一辆公共汽车和一辆小轿车同时从相距598千米的两地相向而行.公共汽车每小时行40千米，小轿车每小时行52千米，问几小时后两车相距138千米？例4甲、乙两辆汽车同时从东、西两地相向开出，甲车每小时行56千米，乙车每小时行48千米，两车在离中点32千米处相遇.求东、西两地相距多少千米？例6一辆卡车和一辆摩托车同时从A、B两地相对开出，两车在途中距A地60千米处第一次相遇•然后，两车继续前进，卡车到达B地，摩托车到达A地后都立即返回，两车又在途中距B地30千米处第二次相遇.求A、B两地相距多少千米？例7甲、乙、丙三人进行100米赛跑•当甲到达终点时，乙离终点还有20米，丙离终点还有40米.如果甲、乙、丙赛跑的速度都不变，那么当乙到达终点时，丙离终点还有多远？例8小明步行上学，每分行75米，小明离家12分后，爸爸骑单车去追，每分行375米.问爸爸出发多少分后能追上小明？例9解放军某部快艇追击敌舰，追到A岛时，敌舰已逃离该岛15分钟，已测出敌舰每分钟行驶1000米，解放军快艇每分钟行驶1360米，在距离敌舰600米处可开炮射击.问解放军快艇从A岛出发经过多少分钟就可以开炮射击敌舰？例10甲、乙两人在环形跑道上以各自的不变速度跑步，如果两人同时从同地相背而行乙跑4分钟后两人第一次相遇，已知甲跑一周需6分钟，那么乙跑一周需要多少分钟？例11两名运动员在湖周围环形道上练习长跑，甲每分跑250米，乙每分跑200米，两人同时从两地同向出发，经过45分甲追上乙，如果两人同时同地反向出发，经过多少分两人相遇？例12甲、乙两人在相距90米的直路上来回跑步，甲的速度是每秒3米，乙的速度是每秒2米，如果她们同时分别从直路两端点出发，跑了6分，那么，这段时间内，两人共迎面相遇了多少次？巩固练习:1、甲、乙两站相距980千米，两列火车由两站相对开出，快车每小时行50千米，慢车每小时行多少千米，两车经10小时能相遇？2、甲车每小时行60千米，1小时后，乙车紧紧追赶，速度为每小时80千米，几小时后乙车可追上甲车？3、早晨6时，有一列货车和一列客车同时从相距360千米的甲、乙两城相对开出，中途相遇，这期间，货车停车一次60分钟，客车停车两次各30分钟，已知货车每小时行42千米，客车每小时行78千米，问两车在几点钟相遇？4、东、西两镇相距240千米，一辆客车从上午8时从东镇开往西镇，一辆货车在上午9时从西镇开往东镇，到正午12点，两车恰好在两镇间的中点相遇，如果两车都从上午8时由两地相向开出，速度不变，到上午10时，两车还相距多少千米？5、骑单车从甲地到乙地，以每小时10千米的速度行进，下午1点到，以每小时15千米的速度行进，上午11点到.如果希望中午12点到，那么应以怎样的速度行进呢？6、某人由甲地去乙地，如果他从甲地先骑摩托车行了12小时，再换骑自行车行9小时，恰好到达乙地.如果他从甲地先骑自行车行了21小时，再换骑摩托车行8小时，也恰好到达乙地.问：全程骑摩托车需要多少小时才能到达乙地？7、兄妹两人同时由家上学，哥哥每分钟走90米，妹妹每分钟走60米，哥哥到校门口时，发现忘了带课本，立即沿原路返回去取，行至离校门口180米处与妹妹相遇，他们家离学校多少米？8、兄妹两人在周长300米的圆形水池边玩.从同一地点同时背向饶水池而行.哥哥每分钟走13米，妹妹每分钟走12米.他们第5次相遇时，哥哥共走了多长的路？课后作业:1.甲以每小时4千米的速度步行去学校,乙比甲晚4小时骑自行车从同一地点出发去追甲,乙每小时行12千米,乙多少小时可追上甲？2.小张从家到公园,原打算每分钟走50米,为了提早10分钟到,他把速度加快,每分钟走75米.小张家到公园有多少米？3.父亲和儿子都在某厂工作,他们从家里出发步行到工厂,父亲用40分钟,儿子用30分钟.如果父亲比儿子早5分钟离家,问儿子用多少分钟可赶上父亲?4.解放军某部小分队,以每小时6千米的速度到某地执行任务,途中休息30分后继续前进,在出发5.5小时后,通讯员骑摩托车以56千米的速度追赶他们。

一、 相遇甲从A 地到B 地，乙从B 地到A 地，然后两人在途中相遇，实质上是甲和乙一起走了A,B 之间这段路程，如果两人同时出发，那么相遇路程＝甲走的路程+乙走的路程＝甲的速度×相遇时间+乙的速度×相遇时间 ＝（甲的速度+乙的速度）×相遇时间＝速度和×相遇时间. 一般地，相遇问题的关系式为：速度和×相遇时间=路程和，即=tS V 和和二、 追及有两个人同时行走，一个走得快，一个走得慢，当走得慢的在前，走得快的过了一些时间就能追上他.这就产生了“追及问题”.实质上，要算走得快的人在某一段时间内，比走得慢的人多走的路程，也就是要计算两人走的路程之差（追及路程）.如果设甲走得快，乙走得慢，在相同的时间（追及时间）内：追及路程＝甲走的路程-乙走的路程＝甲的速度×追及时间-乙的速度×追及时间 ＝（甲的速度-乙的速度）×追及时间 ＝速度差×追及时间.一般地，追击问题有这样的数量关系：追及路程=速度差×追及时间，即=tS V 差差三、 在研究追及和相遇问题时，一般都隐含以下两种条件：(1)在整个被研究的运动过程中，2个物体所运行的时间相同 (2)在整个运行过程中，2个物体所走的是同一路径。

⨯⎧⎪÷⎨⎪÷⎩÷⎧⎪⨯⎨⎪÷⎩路程=速度和相遇相遇速度和=路程相遇相遇=路程速度和追及=追及路程速度差追及追及路程=速度差追及速度差=追及路程追及知识框架相遇和追及问题重难点能够解决行程中复杂的相遇与追及问题能够画出多人相遇和追及的示意图并将问题转化多个简单相遇和追及环节进行解题能够利用柳卡图、比例解决多次相遇和追及问题例题精讲一、相遇和追及【例 1】在一条笔直的高速公路上，前面一辆汽车以90千米/小时的速度行驶，后面一辆汽车以108千米/小时的速度行驶．后面的汽车刹车突然失控，向前冲去(车速不变)．在它鸣笛示警后5秒钟撞上了前面的汽车．在这辆车鸣笛时两车相距多少米？【巩固】乙二人同时从A地去B地，甲每分钟行60米，乙每分钟行90米，乙到达B地后立即返回，并与甲相遇，相遇时，甲还需行3分钟才能到达B地，A、B两地相距多少米？【例 2】甲、乙二人分别从山顶和山脚同时出发，沿同一山道行进。

突破2追及相遇问题一、追及和相遇问题的概述1. 当两个物体在同一直线上运动时，由于两物体的运动情况不同，所以两物体之间的距离会不断发生变化，这时就会涉及追及、相遇或避免相碰等问题。

2. 追及与相遇问题的实质是研究两个物体的时空关系，只要满足两个物体在同一时间到达同一地点，即说明两个物体相遇。

二、追及相遇问题中的一个条件和两个关系1. 一个条件：二者速度相等。

它往往是能否追上或距离最大、最小的临界条件，也是分析判断的切入点。

2. 两个关系：即时间关系和位移关系。

可通过画草图找出两物体的位移关系，也是解题的突破口。

三、追及相遇问题常见的情况常见情形：物体A追物体B，开始二者相距x0，则1. A追上B时，必有x A－x B＝x0，且v A≥v B。

2. 要使两物体恰不相撞，必有x A－x B＝x0，且v A≤v B。

易错警示若被追赶的物体做匀减速直线运动，一定要注意判断追上前该物体是否已经停止运动。

四、两点解题技巧五、主要方法①临界条件法②图象法③数学法【典例1】一辆汽车在十字路口等待绿灯，当绿灯亮时汽车以a＝3 m/s2的加速度开始行驶，恰在这时一人骑自行车以v0＝6 m/s的速度匀速驶来，从后边超过汽车，试问：学，科，网(1)汽车从路口开动后，在追上自行车之前经过多长时间两车相距最远？最远距离是多大？(2)当汽车与自行车距离最近时汽车的速度是多大？【答案】(1)2 s 6 m(2)12 m/s【解析】方法一用临界条件求解(1)当汽车的速度为v ＝6 m/s 时，二者相距最远，所用时间为t ＝va ＝2 s最远距离为Δx ＝v 0t －12at 2＝6 m.(2)两车距离最近时有v 0t ′＝12at ′2解得t ′＝4 s汽车的速度为v ＝at ′＝12 m/s.【典例2】在同一条平直公路上行驶的a 车和b 车，其速度-时间图像分别为图中直线a 和曲线b ，由图可知（ ）A ．a 车与b 车一定相遇两次B ．在t 2时刻b 车的运动方向发生改变C ．t 1到t 2时间内某时刻两车的加速度可能相同D ．t 1到t 2时间内b 车会追上并超越a 车 【答案】C【跟踪短训】1.入冬以来，全国多地多次发生雾霾天气，能见度不足100 m 。