弹性力学-第7章 空间问题

zx
z
dz
zy
zy
z
dz
z 0
y
y
yx yz
xy
x
yz
yz
y
dy
fz
fy fx
xz
yx
y yx dy
y
y y
dy
zx zy
x
x
x x
dx
z
根椐平衡条件： Fx 0
xz
xzx
x
dx
x
x
x
dx dydz
xdydz
(
yx
yx
x
dy)dxdz
yxdxdz
( zx
zx
z
dz)dxdy
zxdxdy
Xdxdydz
0
§7-1平衡微分方程
x x
yx y
zx
z
fx
0
xy
y
x
y
zy
z
f y
0
xz yz
x
y
z z fz 0
（7-1）
平面应力问题：
1、平面应力问题z方向应力为零：
0
xz
yz
0
z
2、所有的应力、应变和位移分量均与z无关，仅是x,y的函数。 以上方程可以直接转化为平面应力的平衡方程。
在计算任一平面上的应力时，方向余弦l,m,n可变化，但 均为有限值，故必存在某个平面，其上正应力取得极值。
主平面：正应力取得极值的平面。 主应力：主平面上的正应力。 主方向：主应力的方向，也称应力主向。 在主平面上，正应力取极值、剪应力为零。
二、主应力的确定：
设主平面存在，其外法线为n，
C
方向余弦：l,m,n 则：其上应力：
第七章 空间问题的基本理论
§7-1平衡微分方程
应力分量：
{}={x;y;z;xy;xz;yz}
体力分量：
xx
{X}={X;Y;Z}
z
z
zx zy
xz yz
xy
yx
y y
在物体内的任意一点P，取PA=dx，PB=dy，PC=dz，割 取一平行六面体，研究应力逐点变化的规律。
z
z z
dz
zx
§7-2几何及物理方程
一、几何方程 平面问题中，通过研究度oxy平面内平行于x轴、y 轴 的线元dx和dy的变形得到几何方程，若用同样的方法分 析oyz、ozx两平面内相应线元的变形，可得类似的方程。 在小变形情况下，在推导过程中，忽略第一次变形在以后
变形过程中的影响。可得下式：
u , x x
v z
0, u z
0
最后两公式说明u,v在不随z坐标变化， 各截面上u,v只是x,y的函数
三、物理方程：
x
1 E
[ x
(
y
z )]
y
1 E
[
y
( z
x )]
z
1 E
[ z
(
x
y )]
yz
2(1 E
)
yz
zx
2(1 E
) zx
xy
2(1 E
)
xy
平面应变问题：
0 0
x 2
2 x
z 2
2 xz
xy
2 2 x ( yz xz xy )
yz x x y z
2 2 y ( xz xy yz )
xz y y z x
2 2 z ( xy yz xz )
xy z z x y
其中左边三个形式上是类似的，第一个为平面问题的 连续性方程。（推导见§2-8）
求：经过P点的任一 斜截面的应力
设平面为ABC,外法线为 n，其方向余弦为： cos(n, x) , cos(n, y) m, cos(n, z) n
C
zy
n
yx xy
yz P n xz
zx A zy
x
y
z
n x B
利用静力平衡的方法可以求得：
px x m yx n zx p y m y n zy xy pz n z xz m yz
n n 0
在x,y.z轴上的投影为：
px xxz
A zy
pz n
x
y z
px l l x m yx n zx
xz
yz
z
w0
x
1 E
[ x
y ]
y
1 E
[ y
x ]
z ( x y )
xy
2(1 E
)
xy
,
yz 0 zx 0
C （7-12A）
三、物理方程：
x
1 E
[ x
(
y
z )]
y
1 E
[
y
( z
x )]
z
1 E
[ z
(
x
y )]
yz
2(1 E
)
yz
zx
2(1 E
) zx
s
n
zx
s
fx
m y s n zy s xy s f y
n n s xz s m yz s f z
（7-2）
其中： x s,
y
s, z s ,
xy
s , xz s ,
yz
为应力分量的边界值
s
§7-3 主应力、最大与最小的应力
一、主平面、主应力、主方向
右边三式可按第一式由xy z x轮换字母获得。
u , x x
v , y y
w z z
v u ,
w v ,
u w
xy x y yz y z xz z x
平面应变问题： 0 0 w 0
xz
yz
z
u , x x
v , y y
v u xy x y
xy
2(1 E
)
xy
平面应力问题：
0 0
xz
yz
z
x
1 E
[ x
y ]
y
1 E
[ y
x ]
z ( x y )
w0
xy
2(1 E
)
xy
,
yz 0 zx 0
C （7-12A）
§7-2物体内任一点的应力状态
一、任一平面上的应力：
设任一点P的6个应力分量已知
x , y , z , yz zy , zx zx , xy yx
p
2 y
pz2
2 n
（7-4）
二、弹性体的应力边界条件
当面ABC为物体的边界面时，则其应力分量
px , p y , pz 成为面力分量 f x , f y , f z
px x m yx n zx
由
p y m y n zy xy
pz n z xz m yz
x
s
m yx
求ABC面上的正应力与剪应力：
（7-2）
将三个应力分量向n轴投影： n px mp y npz
将（7-2）代入，可得其正应力公式：
n 2 x m2 y n2 z 2mn yz 2nl zx 2lm xy （7-3）
其剪应力：
S
2 n
2 n
2 n
p
2 x
p
2 y
pz2
2 n
p
2 x
v , y y
w z z
v u ,
xy x y
w v , yz y z
u w xz z x
如用矩阵表示：
（7-8）
二、变形相容方程（协调方程）
空间中，不同平面间应变分量的关系。即变形连续性条件。
2 x
y 2
2 y
x2
2 xy
xy
2 y
z 2
2 z
y 2
2 yz
yz
2 z