第三章弹性力学有限元法共41页

0
Ni y Ni x
N j x 0
N j y
0
N j y N j x
N m x 0
N m y
0
N m y N m x
ui
vi
u v
j j
um vm
1 2A
b0i ci
0 ci bi
bj 0 cj
0 cj bj
B Bi B j
ui
bm 0 cm
0 cm bm
a
u
v
N
ae
INi
I
1 0
0 1
IN j INm ae
位移模式需满足以下三个条件： 1、位移模式必须反映单元的刚体位移 2、位移模式必须反映单元的常量应变 3、位移模式应尽可能反映位移的连续性
单元应变函数
u
x y
xy
x u
y
u y
v x
Ni
x
0
Ni
y
) xy
x
E
1 2
( x
y)
y
E
1 2
(
x
y)
xy
2(1 E
)
xy
E
1 2
1
2
xy
x y
xy
E
1 2
1
0
1 0
1
0
0
xxyy
2
D DBae
D
E
1 2
1
0
1 0
0
0
1
2
在数学上，要将某个微分方程的定解问题 转化为一个变分问题求解，必须针对已给的定 解问题构造一个相应的泛函，并证明定解问题 的解与泛函极值问题的解等价。

y
v v dy y
u B''
u dy y
B'
B
dy
v P
xy
P' u
dx
o
A'
v dx
yx
x
A''
v A
u u dx x
x
x
u x
y
v y
z
w z
xy
yx
v x
u y
yz
zy
w y
v
z
zx
xz
w x
u z
第三章 空间问题的基本理论
与几何方程等价的是变形连续性方程（也称相容方程 或协调方程），在空间问题里表示为
在S上
xzl yzm zn Z
在混合边界问题中，某些边界条件是位移边界条件， 而另一些边界条件是应力边界条件。
第三章 空间问题的基本理论
§ 3-5 物体内任一点的应力状态
已知物体在任一点P的六个应力分量 x, y,z ,xy yx, yz zy ,zx xz ， 试求经过P点的任一斜面上的应力。
2G 3
2G
y
y
2G
2G 3
2G
z
z
2G
2G 3 2G
及
x e 2G x
y
e
2G y
z e 2G z
xy G xy
xy
xy
G
yz
yz
G
zx
zx
G
yz G yz
zx G zx
其中 、G — 拉密常数
✓ 各种弹性常数之间的关系
G
应力状态不变量 1 x y z

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在离散体中任取一个单元，三个节点按逆时针方向顺序编
号为i，j，m。节点坐标分别表示为（xi，yi），（xj，yj）， （xm，ym）。
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对于弹性力学平面问题，一个三角形单元上的每 个节点应有2个位移分量，则三角形单元共有6个自 由度： ui , vi ,u j , v j ,um , vm 。
u x
K
矩形单元：采用双线性位移模式，单元内的应力是线性
变化的。
u kx2 mx
(kx2 mx) x
3. 薄板弯曲单元和薄板单元
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4. 多面体单元
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5. 等参数单元：单元内任一点的位移与节点位移之间的关系 恰好和该点的坐标与节点坐标之间的关系相同。
任意四边形的边一般不平行于坐标轴，沿单元边的位 移将按抛物线变化，而不是线性变化。
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2
（2）分析单元的力学性质 列出单元节点和节点位移之间的关系式。应用几何方程和
物理方程来建立力和位移的方程式，导出单元刚度矩阵。
节点载荷和节点位移之间的关系式为：
Fe Kee
K e 为单元刚度矩阵。
（3）计算等效节点力：用等效的节点力来代替所有在单元 上的力。
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元位移模式。
u(x, v(x,
y) y)
Ni
(x, 0
y)
0 N j (x, y) Ni (x, y) 0
0 Nm (x, y) N j (x, y) 0
0
Nm
(
x,
y)
u Ne
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有限元原理及应用
第三章 弹性力学有限元法
• 3．单元分析 • 单元分析包括位移模式选择，单元力学分析两个内容。 • 位移模式也称位移函数或插值函数，在有限元位移法中是 以节点位移为基本未知量，再由这些节点位移插值得到单 元内任意一点的位移值。单元的位移模式一般采用多项式， 因为多项式计算简便，并且随着项数的增加，可以逼近任 何一段光滑的函数曲线。 • 单元力学分析 根据所选单元的节点数和单元材料性质， 应用弹性力学几何方程和物理方程得到单元刚度矩阵。由 于连续体离散化后假定力是通过节点在单元间传递的，因 此要利用插值函数把作用在单元上的体积力、面积力和集 中力按静力等效原则移到节点上。
Hale Waihona Puke 有限元原理及应用第三章 弹性力学有限元法
• 5．结果后处理和分析 • 求解线性方程组得到位移矢量后，由几何和物理关系可以 得到应变和应力。 • 由于应变（应力）来自位移的微分可能导致单元间应力不 连续，这会使应力计算误差较大，要在节点附近进行平均 化处理。 • 通过后处理还可得到位移、应变和应力的最大最小值及其 所在位臵以及主应力、主应变或其它定义的等效应力。 • 结果的输出可以应用图表、动画等各种方式。最后还要对 这些结果进行分析以指导工程设计、产品开发等等。
有限元原理及应用第三章弹性力学有限元法?如果挠度与板厚相比不再为小量如金属板当挠度如果挠度与板厚相比不再为小量如金属板当挠度ww与板厚tt的关系在范围内板的中面应变就不能忽略如图的关系在范围内板的中面应变就不能忽略如图35所示面内的两个自由度也要一并考虑所示面内的两个自由度也要一并考虑导致单元的每个节点上a四边形弯曲单元b三角形弯曲单元图34薄板弯曲单元导致单元的每个节点上就要有五个自由度此类单元一般称为薄板单元
有限元原理及应用

—— 对应于矩形梁的纯弯曲问题。
第三章 平面问题的直角坐标解答
§3-2 矩形梁的纯弯曲
应力函数取三次多项式
ay
3

M
h
M
2 2
对应的应力分量：
x 6ay y 0 xy yx 0

（a）
x
x
图
y
y
l
h
x
1
h
结论：应力函数（a）能解决 矩形梁受纯弯曲的问题。 如图，取单位宽度的梁来考察，并命每单位宽度上力偶的矩为 M 。这 里 M 的因次是[力][长度]/[长度]，即[力]。 边界条件： 上下(主要)边界：
h 2 h 2
h 2 h 2
前一式总能满足，而后一式要求：
a 2M h3
代入式（a），得：
x
12 M y y 0 xy yx 0 3 h
第三章 平面问题的直角坐标解答
§3-3 位移分量的求出
1. 形变分量与位移分量
（1）形变分量 由前节可知，其应力分量为：
x M y
u x l 0, v x l 0
y 0 y 0
v x
x l y 0
0
o
l
x
y
（中点不动）
u0 0
M 2 l l v0 0 2 EI
（轴线在端部不转动）
u0 0
v0 Ml 2 EI
2
代入式（f），有
代回式（f），有
u M (l x) y EI
2 x 2 fx x y
(2-25)
2 y 2 fy y x
(2-24)
（b）边界条件

3.3 单元分析
2.单元分析
K
11 rp

b a
rp(1
13r p
)
1
2
a b
r
p
(
1

1 3

r
p
)
其中：
K
12 rp

r p

1
2

r
p
K
22 rp

b a
r
p
(
1

1 3
r
p
)
1
2
a b
r p(1
1 3
r
p
)
K
21 rp

r p

a5 xy a11 xy

a6 y2 a12 y 2
i
j
l
3.3 单元分析
1. 单元的插值函数（各种多项式）
四节点矩形单元 的插值多项式
ue
v
e

a1 a7

a2 x a8 x

a3 a9
y y

a4 xy a11xy

N
i

1 (1 4
x a
)(1
y b
z
三角形环单元
O
y
x
3.2 连续体离散化
5.轴对称单元
四边形环单元
回转圆锥薄壳单元
z
O
y
x z
O
y
x
3.3 单元分析
1. 单元的插值函数（各种多项式）
m
u e
v
e

a1 a4

1 T U d Kd 2
u1 d u 2 u 3
有限单元法
崔向阳
Step 3: 单元集成
单元集成——外力功
整体节点 位移列阵
整体等效节 点力列阵
u1 d u2 u 3
f1 R1 f f 2 0 f F 3
有限单元法
崔向阳
Step 2.单元特征分析
xi
单元节点位移列阵： 单元节点坐标列阵： 单元等效节点力列阵：
II＝0
有限单元法 崔向阳
真实位移
6
最小势能原理
1 II ij ij dV bi ui dV pi ui dA 2 Sp 1 II Dijkl ij kl dV bi ui dV pi ui dA Sp 2

ij
ij
dV biui dV piui dA
Sp
弹性问题中等价于最小势能原理！
有限单元法 崔向阳
比较：虚功原理和能量变分原理
虚功原理是理论力学上的一个根本性原理，可以用于
一切非线性力学问题。
最小势能原理只是虚功原理对弹性体导出的一种表述
形式，但是对于线弹性问题，最小势能原理的应用非 常方便。
ij ui ij ui Dijkl ij kl dV bi ui dV pi ui dA Sp ij ij dV bi ui dV pi ui dA Sp
V= – W
弹性势能—弹性体变形后，产生弹性内力，这种力也具有对外作 功的能力，称为弹性势能，或弹性应变能。

E 1 2 ,
. 1
平面应变
• 4 变形协调方程
平面应力
平面应变
调和方程
由6个简化为1个
平面问题
方程数量： 平衡方程——2个 物理方程——3个 几何方程——3个
合计 8
未知量：
应力分量——3个 x、 y、 xy
应变分量——3个
x、 y z、 xy
位移分量——2个
u、v
合计 8
第三章 弹性力学问题求解方法简述
• 研究的内容：
– 外力作用下
应力、应变、位移
• 物体变形——弹性变形、塑性变形
• 弹性变形：
– 当外力撤去以后恢复到原始状态，没有变形残留，材 料的应力和应变之间具有一一对应的关系。与时间无 关，也与变形历史无关。
• 塑性变形：
– 当外力撤去以后尚残留部分变形量，不能恢复到原始 状态，——即存在永久变形。应力和应变之间的关系 不再一一对应，与时间、与加载历程有关。
1.3 几个基本概念
1. 外力 2. 一点的应力状态 3. 一点的形变 4. 位移分量
1 外力
• 作用于物体的外力可以分为3种类型： 体力、面力、集中力。
• 体力——就是分布在物体整个体积内部各个质点上的
力，又称为质量力。例如物体的重力，惯性力，电磁力等 等。
• 面力——是分布在物体表面上的力，例如风力，静水
大小和方向不同。
• 体力分量：将体力沿三个坐标轴xyz 分解，用X、
Y、Z表示，称为体力分量。
• 符号规定：与坐标轴方向一致为正，反之为
负。 应该注意的是：在弹性力学中，体力是指单位
体积的力 。
• 体力的因次：[力]/[长度]^3
• 表示：F={X Y Z}

度之间相关的是应力在其作用截面的法线方向和
z
C
τ zx +
∂τ zx dz ∂z ∂τ yz σx ∂τ xz dy τ yz + τ xz + dx ∂y ∂x fz τxy τyx ∂σ y fy fx σy + dy ∂τ xy τxz σy ∂y τ xy + dx ∂τ yx ∂x ∂σ x τ yx + dy σx + dx ∂y ∂x τ B
yz
σz +
∂σz dz ∂z ∂τ zy dz τ zy + ∂z
P
τzy
τzx
A
σz
o
y
x
正六面单元体的取法
经过物体内任一点如P 经过物体内任一点如P点取出一个微小的正六面 体，它的棱边分别平行于三个坐标轴而长度分别 为： PA = ∆x, PB = ∆y, PC = ∆z。将每个面上的应力分 解为一个正应力和两个切应力。 解为一个正应力和两个切应力。正应力用 σ 表 表示。 示，切应力用 τ 表示。 应力下标的含意： 应力下标的含意：
物理方程的表达形式
以应力表示应变
以应变表示应力
τxy 1 εx = σx −v(σy +σz ) γ xy = E G τ yz 1 ε y = σy − v(σx +σz γ yz = E G τxz 1 εz = σz −v(σx +σy ) γ xz = E G
σx =λθ +2Gεx τxy =Gγxy σy =λθ +2Gεy τyz =Gγ yz σz =λθ +2Gεz τxz =Gγxz
θ = εx + ε y + εz

¶w ¶v ¶w ¶w ¶u z ， yz + ， zx + ¶z ¶z ¶y ¶x ¶z
联立得到几何方程，表明应变分量与位移分量之间的关系：
¶u ¶v ¶w ， y ， z ¶x ¶y ¶z ¶u ¶v ¶v ¶w ¶w ¶u + ， yz + ， zx + ¶y ¶x ¶z ¶y ¶x ¶z
弹性力学的基本假定
4、各向同性(Isotropy)
物体的弹性性质在所有各个方向都相同 好处：物体材料常数不随坐标方向改变而改变
像木材，竹子以及纤维增强材料等，属于各向异 性材料。
弹性力学的基本假定
5、小变形假定(Small deformation):
物体的位移和形变是微小的. 即物体的位移 远小于物体原来的尺寸, 而且应变和转角都远小 于1
u+
¶u dy ¶y
C'
D" b D '
D C
A ' B ' AB x AB ¶u (u + dx) u ¶x dx ¶u ¶x
dy
u
v
A
A'
B'
a
v+
¶v dx ¶x
B dx
¶u u + dx ¶x
B"
x
0
¼ Í
1-5
弹性力学的基本方程之几何方程
（2）y方向的相对伸长量
y
¶u dy ¶y
切应力符号 的含义
受力面的法线方向
xy
力的方向
弹性力学的运动与变形
1、位移、形变、正应变、剪应变的概念
位移（displacement）: 是指位置的移动. 它在 x, y and z 轴上的 投影用 u, v 和w。

3弹性力学平面问题的有限元法本章包括以下的内容：3.1弹性力学平面问题的基本方程3.2单元位移函数3.3单元载荷移置3.4单元刚度矩阵3.5单元刚度矩阵的性质与物理意义3.6整体分析3.7约束条件的处理3.8整体刚度矩阵的特点与存储方法3.9方程组解法3.1弹性力学平面问题的基本方程弹性力学是研究弹性体在约束和外载荷作用下应力和变形分布规律的一门学科。

在弹性力学中针对微小的单元体建立基本方程，把复杂形状弹性体的受力和变形分析问题归结为偏微分方程组的边值问题。

弹性力学的基本方程包括平衡方程、几何方程、物理方程。

弹性力学的基本假定如下：1）完全弹性，2）连续，3）均匀，4）各向同性，5）小变形。

3.1.1基本变量弹性力学中的基本变量为体力、面力、应力、位移、应变，各自的定义如下。

体力体力是分布在物体体积内的力，例如重力和惯性力。

面力面力是分布在物体表面上的力，例如接触压力、流体压力。

应力物体受到约束和外力作用，其内部将产生内力。

物体内某一点的内力就是应力。

图3.1如图3.1假想用通过物体内任意一点 p 的一个截面 mn 将物理分为I 、n 两部分。

将部分n 撇开，根据力的平衡原则， 部分n 将在截面 mn 上作用一定的内力。

在mn 截面上取包含 p 点的微小面积 A ，作用于：A 面积上的内力为:Q 。

令.\A 无限减小而趋于p 点时， Q 的极限S 就是物体在p 点的应力。

应力S 在其作用截面上的法向分量称为正应力，用 b 表示；在作用截面上的切向分量称为剪应力，用T 表示。

显然，点p 在不同截面上的应力是不同的。

为分析点p 的应力状态，即通过p 点的各个截面上的应力的大小和方向，在p 点取出的一个平行六面体，六面体的各楞边平行于坐标轴。

将每个上的应力分解为一个正应力和两个剪应力， 分别与三个坐标轴平行。

用六面体表面的应力分量来表示 p 点的应力状态。

应力分量的下标约定如下：第一个下标表示应力的作用面，第二个下标表示应力的作用方向。

插值函数－－线性完备的多项式
u 1 2 x 3 y v 4 5 x 6 y
1 u φ 0 v 0 φ u = 6
φ [1, x, y]
i 为待定系数，称为广义坐标
ai x j ym xm y j bi y j ym ci x j xm
1 xi yi yj ym
1 (ci vi c j v j cm vm ) 2A
1 ui 1 2 1 uj 2A 1 um
1 xi 1 3 1 xj 2A 1 xm
1 yj (bi ui b j u j bmum ) 2A ym
16
有限元法基础
3.1 弹性力学平面问题的有限元格式
单元等效节点载荷列阵
e T T e e Q6 1 N 63 F31 tdxdy e N 63 T31 tdS QF QT e S
1）均质等厚单元质量
0 F g
Qix N Qi i e 0 Qiy
function）.
位移插值函数的矩阵表示为
Ni u Nq 0
e
0 Ni
Nj 0
0 Nj
Nm 0
0 T ui , vi , u j , v j , um , vm Nm
6
有限元法基础
3.1 弹性力学平面问题的有限元格式 形函数的性质
（1） Ni ( x j , y j ) ij
矩阵表达式
1 p (u) ( TCε F T u)tdxdy T T u tdS 2 S
应用到离散系统
1 p ep ( TCε F T u)tdxdy e T T u tdS S e e e 2 1 T T q eT TCB tdxdy q e q eT N F tdxdy N T tdS e e e S 2 e e

e
Fbe 2 NeTf rdrdz e
Fqe 2 NeT f rds Se
Fe 0
2
BeT0 rdrdz
e
Fe 0
2
BeTD0 rdrdz
e
3.2 三结点环状单元分析
R1=0.3
R2=0.5
承受内压：1.0e8 Pa
受均匀内压的球体计算分析模型
受均匀内压的球体有限元模型
3.2 三结点环状单元分析
z
u
w
1
1 1
0
z
r z
r
σ
z rz
1
E 1 1
2
1
1
1
1
1
1
0 0
r
z
rz
Dε
0
0
0
1 2
2 1
0
0
u
w
Lu
z
r
3.1 弹性力学空间轴对称问题的描述
四、边界条件
u
位移边界条件
u su
w
su
bir ciz 2A
i, j, m
ai rjzm rmz j bi zj zm ci rm rj
i, j, m轮换
3.2 三结点环状单元分析
二、单元内的应变
u
ε
r
z
r u r w
r
1
r
0
rz
z
u
w
z r z
0
0
u
uj wj
um
wm
3.2 三结点环状单元分析
ui
wi
ue
u e
w
Nie 0