全称命题与存在性命题

路漫漫其修远兮 第 1 页 共 2 页 吾将上下而求索 高一（上）数学学案2——全称命题与存在性命题的否定【知识目标】1.命题的否定：对一个命题p 全盘否定，就得到一个新命题，记作p ⌝，读作 或 .2.p ⌝的真假判定：p ⌝与p 的真假恰好相反.3.（1）命题p ：若r ，则t 的否定p ⌝是 .（2）=⌝⌝)(p .（3）}|{)}(|{A x U x A x U x A C U ∉∈=∈⌝∈=（命题的否定就是它对应集合的补集）4.两种命题的否定5.写出命题的非（否定），需要对其正面叙述的词语进行否定，常用正面叙述词语及它的否 定列举如下：（但有时也需看语言环境）例1写出下列命题的非（否定），并判定真假：（1）23:<p ；（2）p ：空集是非空集合A 的真子集；（3）p ：关于x 的函数c bx ax y ++=2一定是二次函数；（4）p ：正整数集*N 中的元素一定是无理数；（5）p ：正方形都是矩形；（6）p ：整数集Z 中的元素至少有五个是自然数；（7）p ：自然数集N 中的元素都不是负数；（8）p ：若A C x U ∈，则A x ∉.路漫漫其修远兮 第 2 页 共 2 页 吾将上下而求索例2写出下列命题的非，并判定真假：（1）p ：0>∀x ，02>x ；（2）p ：R x ∈∃，0222≤++x x ；（3）p ：有的三角形是等边三角形；（4）p ：有一个素数含三个正因数；（5）p ：任意两个等边三角形都是相似的；（6）p ：所有的正方形都是矩形；（7）p ：至少有一个实数x ，使013=+x ；（8）p ：x a R a x 2,,2>∈∃≥∀.【A 组训练题】1.写出下列命题的非（否定），并判定真假：（1）p ：整数集Z 中的元素至少有一个是自然数；（2）p ：整数集Z 中的元素都是自然数；（3）p ：整数集Z 中的元素不都是自然数；（4）p ：整数集Z 中的元素都不是自然数；（5）p ：11<；（6）p ：2是质数；（7）p ：过一点有唯一一条直线与已知直线垂直且相交；（8）p ：线段的垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等；（9）p ：若B A B A I Y =，则B A =；（10）p ：若A B A =Y ，则A B ⊆.2.写出下列命题的非（否定），并判定真假：（1）q ：23,x x N x >∈∀；（2）r ：R x ∈∃，是方程0232=+-x x 的根；（3）s ：x x R x =∈∀2,；（4）t ：5≥∃x ，01032≥--x x .【B 组训练题】3.写出下列命题的非（否定），并判定真假：（1）每个二次函数的图像都与x 轴相交；（2）存在一个四边形没有外接圆；（3）在实数范围内，有一些一元二次方程无解；（4）不是每一个人都会开车.4.写出下列命题的非（否定），并判定真假：（1）p ：1023,,=-∈∃y x Z y x ；（2）q ：R b a ∈∀,，方程0=+b ax 恰有一个解；（3）r ：x a R a x 2,],2,1[>∈∃∈∀.5.已知命题021:2>--x x p ，则p ⌝对应的x 的集合为（ ） A.}21|{<<-x x B .}21|{≤≤-x xC.}12|{<<-x x .D.}12|{≤≤-x x。

第六讲 全称量词命题与存在量词命题【学习目标】1. 通过已知的数学实例，理解全称量词与存在量词的意义.2. 能正确使用存在量词对全称量词命题进行否定.3.能正确使用全称量词对存在量词命题进行否定.【基础知识】1.全称量词和全称量词命题(1)全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“∀”表示. (2)常见的全称量词还有“一切”“每一个”“任给”等.(3)全称量词命题：含有全称量词的命题叫做全称量词命题.全称量词命题“对M 中任意一个x ，有p (x )成立”可用符号简记为∀x ∈M ，p (x ). 2.存在量词与存在量词命题(1)存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“∃”表示.(2)常见的存在量词还有“有些”“有一个”“对某些”“有的”等.(3)存在量词命题：含有存在量词的命题叫做存在量词命题.存在量词命题“存在M 中的元素x ，使p (x )成立”可用符号简记为∃x ∈M ，p (x ). 3.命题与命题的否定的真假判断一个命题和它的否定不能同时为真命题，也不能同时为假命题，只能一真一假. 4.全称量词命题的否定 命题的否定：改变量词，否定结论 全称量词命题p ：∀x ∈M ，p (x )， 它的否定p ⌝：∃x ∈M ，p ⌝ (x ). 全称量词命题的否定是存在量词命题. 5.存在量词命题的否定存在量词命题p ：∃x ∈M ，p (x )， 它的否定p ⌝：∀x ∈M ，p ⌝ (x ). 存在量词命题的否定是全称量词命题.4.常见正面词语的否定举例如下：正面词语等于大于(>)小于(<)是都是否定不等于不大于(≤)不小于(≥)不是不都是正面词语至少有一个至多有一个任意的所有的至多有n个否定一个也没有至少有两个某个某些至少有n＋1个【考点剖析】考点一：全称量词命题与存在量词命题的识别例1．下列命题中（1）有些自然数是偶数；（2）正方形是菱形；（3）能被6整除的数也能被3整除；（4）对于任意x R∈，总有211 1x+．存在量词命题的个数是()A．0 B．1 C．2 D．3【答案】B【解析】对于（1），有些自然数是偶数，含有存在量词“有些”，是存在量词命题；对于（2），正方形是菱形，可以写成“所有的正方形都是菱形”，它是全称量词命题；对于（3），能被6整除的数也能被3整除，可以写成“所有能被6整除的数也能被3整除”，是全称量词命题；对于（4），对于任意x R∈，总有211 1x+，含有全称量词“任意的”，是全称量词命题．所以存在量词命题的序号是（1），有1个．故选B．考点二：全称量词命题与存在量词命题的真假的判断例2．下列命题为真命题的是()A ．0x R ∃∈，使200x <B ．x R ∀∈，有20xC ．x R ∀∈，有20x >D ．x R ∀∈，有20x <【答案】B【解析】因为x R ∈，所以20x ，所以x R ∀∈，有20x ， 故选B ．考点三：依据含量词命题的真假求参数取值范围例3．已知命题“x R ∀∈，使214(2)04x a x +-+>”是真命题，则实数a 的取值范围是( ) A ．(,0)-∞ B ．[0，4] C ．[4，)+∞ D ．(0,4)【答案】D【解析】命题“x R ∀∈，使214(2)04x a x +-+>”是真命题， 即判别式△21(2)4404a =--⨯⨯<， 即△2(2)4a =-<，则222a -<-<，即04a <<， 故选D ．考点四：全称量词命题的否定例4．全称命题：x R ∀∈，254x x +=的否定是( ) A ．x R ∃∈，254x x += B ．x R ∀∈，254x x +≠ C ．x R ∃∈，254x x +≠ D ．以上都不正确 【答案】C【解析】全称命题的否定是特称命题，x R ∴∀∈，254x x +=的否定是：x R ∃∈，254x x +≠．故选C ．考点五：存在量词命题的否定例5．设命题0:(0,)p x ∃∈+∞，0303x x <，则命题p 的否定为( )A ．(0,)x ∀∈+∞，33x x <B ．(0,)x ∀∈+∞，33x x >C ．(0,)x ∀∈+∞，33x xD ．(0,)x ∃∈+∞，33x x【答案】C【解析】命题0:(0,)p x ∃∈+∞，0303x x <，则命题p 的否定为：(0,)x ∀∈+∞，33x x ． 故选C ．考点六：根据全称量词命题、存在量词命题的否定求参数例6．已知命题:p x R ∃∈，使220ax x a ++，当a A ∈时，p 为假命题，求集合． 【解析】当a A ∈时，p 为假命题， 则当a A ∈时，x R ∀∈，使220ax x a ++<， 若0a =，不等式等价为0x <，不满足条件． 若0a ≠，要使不等式恒成立，则20440a a <⎧⎨=-<⎩，即011a a a <⎧⎨><-⎩或，则1a <-， 即(,1)A =-∞-．【真题演练】1．下列命题是全称量词命题的是( ) A ．有一个偶数是素数B ．至少存在一个奇数能被15整除C ．有些三角形是直角三角形D ．每个四边形的内角和都是360︒ 【答案】D【解析】A ，有一个，存在性量词，特称命题， B ，至少存在一个，存在性量词，特称命题， C ，有些，存在性量词，特称命题，D ，每个，全称量词，全称命题， 故选D ．2．下列命题中是全称量词命题并且是真命题的是( ) A ．x R ∀∈，2210x x ++> B ．所有菱形的4条边都相等 C ．若2x 为偶数，则x N ∈ D ．π是无理数【答案】B【解析】对于:A x R ∀∈，2221(1)0x x x ++=+，故A 错误； 对于B ：所有菱形的4条边都相等，满足两个条件，故B 正确； 对于C ：若2x 为偶数，则x N ∈或N -，故C 错误； 对于:D π是无理数不是全称命题，故D 错误． 故选B ．3．已知对{|13}x x x ∀∈<，都有m x >，则m 的取值范围为( ) A ．3m B ．3m > C ．1m > D ．1m【答案】A【解析】对{|13}x x x ∀∈<，都有m x >， 3m ∴，故选A ．4．下列命题含有全称量词的是( ) A ．某些函数图象不过原点 B ．实数的平方为正数C ．方程2250x x ++=有实数解D ．素数中只有一个偶数【答案】B【解析】A ：某些函数图象不过原点，不是全部的意思，不是全称量词命题；B ：实数的平方为正数即是所有实数的平方根都为正数，是全称量词命题；C ：方程2250x x ++=有实数解，不是全称量词命题；D ：素数中只有一个偶数，不是全称量词命题；故选B ．5．有下列四个命题：①x R ∀∈10>；②x N ∀∈，20x >；③x N ∃∈，[3x ∈-，1)-；④x Q ∃∈，22x =．其中真命题的个数为( ) A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】A【解析】对于①，x R ∀∈10>，是真命题，2010>； 对于②，x N ∀∈，20x >，是假命题， 因为0x =时，x N ∈，20x =；对于③，x N ∃∈，[3x ∈-，1)-，是假命题， 由x N ∈知0x ，所以[3x ∉-，1)-； 对于④，x Q ∃∈，22x =，是假命题， 因为x Q ∀∈，22x ≠．所以真命题的序号是①，共1个． 故选A ．6．全称命题：x R ∀∈，254x x +=的否定是( ) A ．x R ∃∈，254x x += B ．x R ∀∈，254x x +≠ C ．x R ∃∈，254x x +≠ D ．以上都不正确 【答案】C【解析】全称命题的否定是特称命题，x R ∴∀∈，254x x +=的否定是：x R ∃∈，254x x +≠．故选C ．7．若命题“x R ∃∈，使得23210x ax ++<”是假命题，则实数a 的取值范围是( )A ．a <B ．3a -，或3aC ．33aD ．a <a >【答案】C【解析】命题“x R ∃∈，使得23210x ax ++<”是假命题，即“x R ∀∈，23210x ax ++成立”是真命题， 故△24120a =-，解得33a ．故选C ．8．命题：x R ∃∈，210x x -+=的否定是 ．【答案】x R ∀∈，210x x -+≠【解析】因为特称命题的否定是全称命题，所以x R ∃∈，210x x -+=的否定是：x R ∀∈，210x x -+≠． 故答案为：x R ∀∈，210x x -+≠．9．设命题:p x R ∃∈，2230x x m -+-=，命题:q x R ∀∈，222(5)190x m x m --++≠．若p ，q 都为真命题，求实数m 的取值范围．【解析】若命题:p x R ∃∈，2230x x m -+-=为真命题， 则△44(3)0m =--，解得4m ；若命题:q x R ∀∈，222(5)190x m x m --++≠为真命题， 则△224(5)4(19)0m m =--+<，解得3(5m ∈，)+∞，又p ，q 都为真命题，∴实数m 的取值范围是33{|4}{|}(55m m m m >=，4]．【过关检测】1．命题“x N +∃∈使230x x m -+”的否定是( ) A ．x N +∃∈使230x x m -+< B ．不x N +∃∈使230x x m -+<C ．对x N +∀∈都有230x x m -+D ．对x N +∀∈都有230x x m -+<【答案】D【解析】命题“存在x N +∈，使230x x m ++”为特称命题， ∴命题的否定为：对任意x N +∈，使230x x m ++<，故选D ．2．下列语句是特称命题的是( ) A ．整数n 是2和7的倍数 B ．存在整数n ，使n 能被11整除 C ．若430x -=，则34x = D ．x M ∀∈，()p x 成立【答案】B【解析】命题：存在整数n ，使n 能被11整除，含有特称量词存在， 故B 是特此命题， 故选B ．3．设a 为常数，对任意x R ∈，210ax ax ++>，则a 的取值范围是( ) A ．(0,4) B ．[0，4) C ．(0,)+∞ D ．(,4)-∞【答案】B【解析】①当0a =时，10>恒成立，即0a =时满足题意， ②当0a ≠时，由对任意x R ∈，210ax ax ++>，则有： 240a a a >⎧⎨-<⎩，解得：04a <<， 综合①②得：a 的取值范围是[0，4)，故选B ．4．命题p ：任意的x R ∈，使770x x +>，则p ⌝是( )A ．0x R ∃∈，使70070x x +B ．0x R ∃∈，使70070x x +C ．x R ∀∈，使770x x +D ．x R ∀∈，使770x x +【答案】B【解析】根据题意，命题p ：任意的x R ∈，使770x x +>， 这是全称命题，其否定为特称命题， 即0x R ∃∈，使70070x x +， 故选B ．5．若存在x 使2()1x a ->成立．则a 的取值范围是( ) A ．(-∞．)+∞ B ．(2,)-+∞ C ．(0．)+∞ D ．(1,)-+∞【答案】A【解析】由2()1x a ->得12x a >+， 若存在x 使2()1x a ->成立， 则(a ∈-∞．)+∞，故选A ．6．若命题“[1x ∀∈，2]，22430x ax a -+”是真命题，则实数a 的取值范围是( ) A ．2(,1]3B ．2[,1)3C ．2[,1]3D ．2(,1)3【答案】C【解析】设22()43f x x ax a =-+，对[1x ∀∈，2]，22()430f x x ax a =-+是真命题， ∴22(1)1430(2)4830f a a f a a ⎧=-+⎨=-+⎩，∴113223a a ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩，∴213a ． 故选C ．7．已知命题：“[1x ∃∈，2]，使220x x a ++”为真命题，则实数a 的取值范围是( ) A ．[3-，)+∞ B ．(3,)-+∞ C ．[8-，)+∞ D ．(8,)-+∞【答案】C【解析】设2()2f x x x a =++， 要使[1x ∃∈，2]，使220x x a ++， 据二次函数的图象与性质得： 只要：f （2）0即可， 22220a ∴+⨯+，8a ∴-．故选C ．8．若“存在[1x ∈，2]，使0x a -”是假命题，则实数a 的取值范围是 ． 【答案】(,1)-∞【解析】由题转化为命题“[1x ∀∈，2]，0x a ->”为真命题，即a x <恒成立， 又y x =在[1，2]上单调递增，所以1min y =，故1a <． 故答案为：(,1)-∞．9．若“0(0,)x ∃∈+∞，21x x λ>+”是假命题，则实数λ的取值范围是 ． 【答案】2λ【解析】若“0(0,)x ∃∈+∞，21x x λ>+”是假命题， 则“(0,)x ∀∈+∞，21x x λ+”是真命题； 所以，(0,)x ∈+∞时，1x xλ+恒成立， 又1122x x x x+=，当且仅当1x =时取“=”； 所以实数λ的取值范围是2λ． 故答案为：2λ．10．已知命题p ：“x R ∀∈，220x x a +->”，命题q ：“x R ∃∈，使得2(1)10x a x +-+<”．试问p 是q 什么条件？【解析】因为命题p ：“x R ∀∈，220x x a +->”所以△0<，440a +<，解得：(,1)a ∈-∞-因为命题:q x R ∃∈，使得2(1)10x a x +-+<，所以△0>，即2(1)40a -->，解得(a ∈-∞，1)(3-⋃，)+∞ 所以，p 是q 充分不必要条件．。

全称命题与存有性命题教学目标：1．理解量词在日常生活中和数学命题中的作用，准确区分全称量词和存有量词的概念，并能准确使用和理解两类量词.2．利用日常生活中的例子和数学的命题介绍对量词命题的否认，使学生进一步理解全称量词、存有量词的作用.教学重点难点：全称量词与存有量词命题间的转化；隐蔽性否认命题的确定. 教学过程：一、全称命题与存有性命题问题1：请你给以下划横线的地方填上适当的词 答案：①张②头③匹④户⑤艘.问题2：以下命题中含有哪些量词？ （1）对所有的实数x ，都有x 2≥0； （2）存有实数x ，满足x 2≥0；（3）至少有一个实数x ，使得x 2－2＝0成立； （4）存有有理数x ，使得x 2－2＝0成立；（5）对于任何自然数n ，有一个自然数s 使得 s = n × n ； （6）有一个自然数s 使得对于所有自然数n ，有 s = n × n . 全称量词：如“所有”、“任何”、“一切”等.含有全称量词的命题称为全称命题存有量词：如“有”、“有的”、“有些”等.含有存有量词的命题称为存有性称命题含有量词的命题通常包括存有性命题和全称命题二种. 问题3：判断以下命题是全称命题，还是存有性命题？ （1）方程2x =5只有一解； （2）凡是质数都是奇数；（3）方程2x 2＋1=0有实数根； （4）没有一个无理数不是实数；（5）假如两直线不相交，则这两条直线平行； （6）集合A ∩B 是集合A 的子集. 分析：（1）存有性命题；（2）全称命题；（3）存有性命题；（4）全称命题；（5）全称命题；（6）全称命题；全称命题的格式：“对M 中的所有x ，p (x )”的命题，记为：,()x M p x ∀∈.存有性命题的格式：“存有集合M 中的元素x ，q (x )”的命题，记为：,()x M q x ∃∈.注：全称量词就是“任意”，写成上下颠倒过来的大写字母A ，实际上就是英语"all "中的首字母.存有量词就是“存有”、“有”，写成左右反过来的大写字母E ，实际上就是英语"exist "中的首字母.存有量词的“否”就是全称量词. 例1判断以下命题的真假：（1）2,x R x x ∃∈>; （2）2,x R x x ∀∈>; （3）2,80x Q x ∃∈-=; （4）2,20x R x ∀∈+>.上述命题中含有：“所有的”、“存有”、“至少”、“任何”等表示全体和局部的量词.命题中除了主词、谓词、联词以外，还有量词.命题的量词，表示的是主词数量的概念.在谓词逻辑中，量词被分为两类：一类是全称量词，另一类是存有量词.分析：（1）真；（2）假；（3）假；（4）真.例2判断以下语句是不是全称命题或者存有性命题，假如是，用量词符号表达出来. （1）中国的所有江河都注入太平洋； （2）0不能作除数；（3）任何一个实数除以1，仍等于这个实数； （4）每一个向量都有方向.分析：（1）全称命题，∀河流x ∈{中国的河流}，河流x 注入太平洋；（2）存有性命题，∃0∈R ，0不能作除数；（3）全称命题，∀ x ∈R ，1xx =；（4）全称命题，∀a ，a 有方向.二、存有性命题和全称命题的否认问题4：指出以下命题的形式，写出以下命题的否认. （1）∀x ∈R ，x 2-1≥0（2）所有的矩形都是平行四边形； （3）每一个素数都是奇数； 分析：（1）,()x M p x ∀∈，否认：∃x ∈R ，x 2-1<0；形如：,()x M p x ∃∈⌝.（2）,()x M p x ∀∈，否认：存有一个矩形不是平行四边形；,()x M p x ∃∈⌝. （3）,()x M p x ∀∈，否认：存有一个素数不是奇数；,()x M p x ∃∈⌝. 这些命题和它们的否认在形式上有什么变化？结论：从命题形式上看，这三个全称命题的否认都变成了存有性命题. 问题5：写出命题的否认：（1）p ：∃x ∈R ，x 2-1<0；（2）p ：有的三角形是等边三角形；有的矩形不是平行四边形 （3）p ：存有一个四边形，它的对角线互相垂直且平分. 分析：（1）∀ x ∈R ，x 2＋2x +2>0；,()x M p x ∀∈（2）任何三角形都不是等边三角形；（3）对于所有的四边形，它的对角线不可能互相垂直或平分. 从集合的运算观点剖析：()UUUA B AB =,()UUUA B AB =.1.全称命题、存有性命题的否认一般地，全称命题:p ,()x M p x ∀∈成立，其否认:,()p x M p x ⌝∃∈不成立,即:,()p x M p x ⌝∃∈⌝.存有性命题:,()p x M p x ∃∈成立；其否认为:,()p x M p x ⌝∀∈不成立，即:,()p x M p x ⌝∀∈⌝.用符号语言表示：:p ,()x M p x ∀∈否认为:,()p x M p x ⌝∃∈⌝； :p ,()x M p x ∃∈否认为 :,()p x M p x ⌝∀∈⌝.在具体操作中就是从命题P 把全称性的量词改成存有性的量词，存有性的量词改成全称性的量词，并把量词作用范围实行否认.即须遵循下面法则：否认全称得存有，否认存有得全称，否认肯定得否认，否认之否认得肯定. 2.关键量词的否认词语是 一定是 都是 大于 小于 且 词语的否认 不是 一定不是 不都是 小于或等于 大于或等于 或词语 必有一个 至少有n 个至多有一个所有x 成立 所有x 不成立词语的否认一个也没有至多有n -1个 至少有两个存有一个x 不成立存有有一个x 成立例3 写出以下全称命题的否认： （1）p ：所有人都晨练； （2）p ：∀x ∈R ，x 2＋x+1>0；（3）p ：平行四边形的对边相等；（4）p ：∃ x ∈R ，x 2－x +1＝0。

ʏ宋秀华全称量词命题与存在量词命题是一类特殊的问题,下面就这类问题的常见题型,进行举例分析㊂一㊁全称量词命题与存在量词命题的判断例1判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题,并用符号 ∀ 或 ∃ 表示㊂(1)自然数的平方大于或等于零(2)有的幂函数图像经过点(1,1)(3)所有的二次函数的图像的开口都向上(4)有些直角三角形的两锐角A,B,使得s i n A=c o s B解:(1)全称量词命题㊂表示为∀nɪN, n2ȡ0㊂(2)存在量词命题㊂∃幂函数,它的图像过点(1,1)㊂(3)全称量词命题㊂∀二次函数,它的图像的开口都向上㊂(4)存在量词命题㊂∃直角三角形的两锐角A,B,使得s i n A=c o s B㊂评注:判断一个命题是全称量词命题还是存在量词命题的关键是看量词㊂由于某些全称量词命题的量词可能省略,所以要根据命题表达的意义判断,同时要会用相应的量词符号正确表达命题㊂二㊁全称量词命题与存在量词命题的否定例2(1)命题 ∀xɪR,e x+s i n2x-3>0 的否定为()㊂A.∀xɪR,e x+s i n2x-3ɤ0B.∃xɪR,e x+s i n2x-3ɤ0C.∃xɪR,e x+s i n2x-3<0D.∀xɪR,e x+s i n2x-3<0(2)命题 ∃xɪR,2x>3x 的否定是()㊂A.∀xɪR,2x>3xB.∀xɪR,2xɤ3xC.∃xɪR,2xɤ3xD.∃xɪR,2x<3x解:(1)命题 ∀xɪR,e x+s i n2x-3> 0 为全称量词命题,其否定为:∃xɪR,e x+ s i n2x-3ɤ0㊂应选B㊂(2)命题 ∃xɪR,2x>3x 为特称命题,其否定为:∀xɪR,2xɤ3x㊂应选B㊂评注:全称量词命题的否定是存在量词命题,存在量词命题的否定是全称量词命题㊂三㊁全称量词命题与存在量词命题的真假判断例3(多选题)有四个关于三角函数的命题,其中真命题是()㊂A.∃xɪR,s i n x+c o s x=2B.∃xɪR,s i n2x=s i n xC.∀xɪ-π2,π2,1+c o s2x2=c o s xD.∀xɪ0,π,s i n x>c o s x解:对于A,s i n x+c o s x= 2s i n x+π4ɤ2,A错误㊂对于B,由s i n2x=s i n x=2s i n x c o s x,可得s i n x=0或c o s x=12,所以∃xɪR,使得s i n2x=s i n x, B正确㊂对于C,∀xɪ-π2,π2,c o s x>0,所以1+c o s2x2=c o s x=c o s x,C正确㊂对于D,∀xɪ0,π4,s i n x<c o s x成立,D错误㊂应选B C㊂评注:熟练掌握三角函数的图像与性质是解答本题的关键㊂3知识结构与拓展高一数学2023年7 8月Copyright©博看网. All Rights Reserved.四㊁由全称量词命题与存在量词命题的真假,确定参数的取值范围例4 (1)若命题 ∀x ɪR ,x 2-4x +a ʂ0为假命题,则实数a 的取值范围是( )㊂A .-ɕ,4 B .-ɕ,4 C .-ɕ,-4D .-4,+ɕ(2)若命题 ∃x ɪR ,(a 2-3a +2)x 2+(a -1)x +2<0 是真命题,则实数a 的取值范围为㊂解:(1)因为命题 ∀x ɪR ,x 2-4x +a ʂ0 为假命题,所以 ∃x 0ɪR ,x 20-4x 0+a =0 是真命题,所以方程x 2-4x +a =0有实根,所以Δ=(-4)2-4a ȡ0,解得a ɤ4㊂应选A ㊂(2)①若a 2-3a +2=0,则a =1或a =2㊂当a =1时,不等式为2<0,显然不成立;当a =2时,不等式为x +2<0,显然∃x ɪR ,使x +2<0成立,即a =2符合题意㊂②若a 2-3a +2<0,则1<a <2,此时不等式对应的一元二次函数的图像开口向下,符合题意㊂③若a 2-3a +2>0,则a <1或a >2,此时不等式对应的一元二次函数的图像开口向上,要使符合题意,只需方程(a 2-3a +2)㊃x 2+(a -1)x +2=0有两个不相等的实根,所以Δ=(a -1)2-4ˑ2(a 2-3a +2)>0,解得1<a <157,所以2<a <157㊂由①②③得实数a 的取值范围为1<a <157,即a ɪ1,157㊂评注:根据命题真假求参数的方法:利用题目条件,推出每个命题的真假(有时不一定只有一种情况);求出每个命题是真命题时参数的取值范围;根据每个命题的真假情况,确定出参数的取值范围㊂五㊁由全称量词命题与存在量词命题的否定的真假,确定参数的取值范围例5 命题:∃x ɪ[1,4],x 2-(a 2-4a -1)x +4<0的否定为真命题,则实数a 的最大值为㊂解:由特称命题的否定可知:∃x ɪ[1,4],x 2-(a 2-4a -1)x +4<0的否定为∀x ɪ[1,4],x 2-(a 2-4a -1)x +4ȡ0,且为真命题,所以a 2-4a -1ɤx 2+4x在x ɪ[1,4]上恒成立㊂对于∀x ɪ[1,4],x 2+4x =x +4xȡ24=4,当且仅当x =2时等号成立,所以a 2-4a -1ɤ4,所以-1ɤa ɤ5,即a ɪ[-1,5]㊂故所求实数a 的最大值为5㊂评注:解答这类问题的关键是利用命题的含义,结合函数的性质求得参数的取值范围㊂六㊁全称量词命题与存在量词命题的综合应用例6 命题p :∃x ɪ{x |-1ɤx ɤ1},使得x 2+1<a 成立;命题q :任意的x ɪ(0,+ɕ),不等式a x <x 2+1恒成立㊂若命题p 与q 只有一个为真命题,则实数a 的取值范围为㊂解:若命题p 为真命题,则存在x ɪ[-1,1],使得x 2+1<a 成立㊂令f (x )=x 2+1,则x ɪ[-1,1],a >f (x )m i n ㊂因为f (x )m i n =f (0)=1,所以a >1㊂若命题q 为真命题,则对任意的x ɪ(0,+ɕ),a x <x 2+1恒成立,即a <x 2+1x恒成立㊂令函数g (x )=x 2+1x =x +1x,则x ɪ(0,+ɕ),a <g (x )m i n ㊂因为g (x )=x +1x ȡ2x ㊃1x =2,当且仅当x =1时等号成立,所以g (x )m i n =2,所以a <2㊂当命题p 与命题q 只有一个为真命题时,若命题p 为真命题且命题q 为假命题,则a >1且a ȡ2,所以a ȡ2;若命题p 为假命题且命题q 为真命题,则a ɤ1且a <2,所以a ɤ1㊂故实数a 的取值范围为(-ɕ,1]ɣ[2,+ɕ)㊂评注:利用分离法求函数不等式恒(能)成立问题,遵循以下原则:∀x ɪD ,m ɤf (x )⇔m ɤf (x )m i n ;∀x ɪD ,m ȡf (x )⇔m ȡf (x )m a x ;∃x ɪD ,m ɤf (x )⇔m ɤf (x )m a x ;∃x ɪD ,m ȡf (x )⇔m ȡf (x )m i n ㊂作者单位:湖北省巴东县第三高级中学(责任编辑 郭正华)4知识结构与拓展 高一数学 2023年7 8月Copyright ©博看网. All Rights Reserved.。

全称量词与存在性量词知识点总结
①全称量词：短语“对所有的”，“对任意的”在陈述中表示整体或全部的含义，逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“”表示；
②全称命题：含有全称量词的命题，叫做全称命题
③全称命题的格式：“对M中任意一个x，有p（x）成立”的命题，记为？x∈M，p（x），读作“对任意x属于M，有p（x）成立”。

2、存在量词与特称命题：
①存在量词：短语“存在一个”，“至少有一个”在陈述中表示个别或者一部分的含义，在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“”表示。

②特称命题：含有存在量词的命题，叫做特称命题；
③“存在M中的一个x0，使p（x0）成立”的命题，记为？x0∈M，p（x0），读作“存在一个x0属于M，使p（x0）成立”。

3、全称命题的否定：
一般地，对于含有一个量词的全称命题的否定，有下面的结论：
全称命题p：，它的否命题4、特称命题的否定：
一般地，对于含有一个量词的特称命题的否定，有下面的结论：
特称命题p：，其否定命题高中数学全称量词与存在性量词知识点总结（二）全称量词与存在性量词
1、全称量词与全称命题：
①全称量词：短语“对所有的”，“对任意的”在陈述中表示整体或全部的含义，逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“”表示；
②全称命题：含有全称量词的命题，叫做全称命题。

2.3全称量词命题与存在量词命题2.3.1全称量词命题与存在量词命题课标要求素养要求1.理解全称量词与存在量词的意义.2.会判断命题是全称量词命题还是存在量词命题，并会判断它的真假. 用全称量词、存在量词梳理、表达学过的相应数学内容，重点提升数学抽象、逻辑推理素养.新知探究有下列几个命题：①有些集合没有子集；②所有三角形都有外接圆；③有些四边形有内切圆.问题在这些命题中有一些短语“有些，所有的”在逻辑中如何定义？提示短语“所有的，全部，任一个”等在逻辑中通常叫做全称量词.而“有些”“有一个”“有的”是存在量词.1.全称量词和全称量词命题(1)“所有”“任意”“每一个”等表示全体的词在逻辑学中称为全称量词，常用符号“∀x”表示“对任意x”.(2)含有全称量词的命题称为全称量词命题，它的一般形式可表示为：∀x∈M，p(x).2.存在量词和存在量词命题(1)“存在”“有的”“有一个”等表示部分或个体的词在逻辑学中称为存在量词，常用符号“∃x”表示“存在x”.(2)含有存在量词的命题称为存在量词命题，它的一般形式可表示为：∃x∈M，p(x).拓展深化[微判断]1.存在量词命题“∃x∈R，x2＜0”是真命题.(×)2.“三角形内角和是180°”是全称量词命题.(√)3.“∀x∈R，x2＋1≥1”是真命题.(√)4.“对每一个无理数x，x2也是无理数”是真命题.(×)提示3是无理数，但(3)2＝3是有理数.[微训练]用符号“∀”或“∃”表示下列命题：(1)存在一个实数对(x，y)，使2x＋3y＋3<0成立；(2)有些整数既能被2整除，又能被3整除；(3)所有的梯形都不是平行四边形；(4)任意x∈R，都有－x2＋2x－4<0.解(1)∃(x，y)∈{(x，y)|x∈R，y∈R}，2x＋3y＋3<0.(2)∃x∈Z，x既能被2整除，又能被3整除.(3)∀x∈{x|x是梯形}，x不是平行四边形.(4)∀x∈R，－x2＋2x－4<0.[微思考]1.全称量词命题中的“x，M与p(x)”表达的含义分别是什么？提示元素x可以表示实数、方程、函数、不等式，也可以表示几何图形，相应的集合M是这些元素的某一特定的范围.p(x)表示集合M的所有元素满足的性质.如“任意一个自然数都不小于0”，可以表示为“∀x∈N，x≥0”.2.在全称量词命题和存在量词命题中，量词是否可以省略？提示在存在量词命题中，量词不可以省略；在有些全称量词命题中，量词可以省略.题型一全称量词与存在量词命题的识别【例1】判断下列命题是全称量词命题，还是存在量词命题：(1)凸多边形的外角和等于360°；(2)有的速度方向不定；(3)对任意直角三角形的两锐角∠A，∠B，都有∠A＋∠B＝90°.解(1)可以改写为“所有的凸多边形的外角和等于360°”，故为全称量词命题.(2)含有存在量词“有的”，故是存在量词命题.(3)含有全称量词“任意”，故是全称量词命题.规律方法判断一个命题是全称量词命题还是存在量词命题的关键是看量词.由于某些全称量词命题的量词可能省略，所以要根据命题表达的意义判断，同时要会用相应的量词符号正确表达命题.【训练1】判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并用符号“∀”或“∃”表示下列命题：(1)自然数的平方大于或等于零；(2)有的一次函数图象经过原点；(3)所有的二次函数的图象的开口都向上.解(1)全称量词命题.表示为∀n∈N，n2≥0.(2)存在量词命题.∃一次函数，它的图象过原点.(3)全称量词命题.∀二次函数，它的图象的开口都向上.题型二命题真假的判断【例2】判断下列命题的真假.(1)所有的素数都是奇数；(2)任意矩形的对角线相等； (3)存在x ∈R ，使x 2＋2x ＋3＝0. 解 (1)2是素数，但2不是奇数.所以全称量词命题“所有的素数都是奇数”是假命题. (2)是真命题.(3)由于任意x ∈R ，x 2＋2x ＋3＝(x ＋1)2＋2≥2，因此使x 2＋2x ＋3＝0的实数x 不存在，所以存在量词命题“存在x ∈R ，使x 2＋2x ＋3＝0”为假命题.规律方法 判断一个命题为真命题应给出证明，判断一个命题为假命题只需举出反例，具体而言：(1)要判定一个存在量词命题为真，只要在给定的集合内找到一个元素x ，使p (x )成立即可，否则命题为假.(2)要判定一个全称量词命题为真，必须对给定集合内的每一个元素x ，p (x )都成立，但要判定一个全称量词命题为假时，只要在给定的集合内找到一个x ，使p (x )不成立即可.【训练2】 判断下列命题的真假： (1)有一些二次函数的图象过原点； (2)∃x ∈R ，2x 2＋x ＋1<0； (3)∀x ∈R ，x 2>0.解 (1)该命题中含有“有一些”，是存在量词命题.如y ＝x 2，其图象过原点，故该命题是真命题.(2)该命题是存在量词命题. ∵2x 2＋x ＋1＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋142＋78≥78>0，∴不存在x ∈R ，使2x 2＋x ＋1<0.故该命题是假命题. (3)该命题是全称量词命题.x ＝0时，x 2＝0，故该命题是假命题. 题型三 由命题的真假求参数范围【例3】 已知集合A ＝{x |－2≤x ≤5}，B ＝{x |m ＋1≤x ≤2m －1}，且B ≠∅. (1)若命题p ：“∀x ∈B ，x ∈A ”是真命题，求m 的取值范围； (2)命题q ：“∃x ∈A ，x ∈B ”是真命题，求m 的取值范围. 解 (1)由于命题p ：“∀x ∈B ，x ∈A ”是真命题， 所以B ⊆A ，B ≠∅，所以⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1≤2m －1，m ＋1≥－2，2m －1≤5，解得2≤m ≤3.(2)q 为真，则A ∩B ≠∅， 因为B ≠∅，所以m ≥2.所以⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1≤5，2m －1≥－2，m ≥2.解得2≤m ≤4.规律方法 根据含量词命题的真假等价转化为关于参数的不等式(组)求参数范围. 【训练3】 (1)已知命题“∃x ∈[－3，2]，3a ＋x －2＝0”为真命题，求实数a 的取值范围.(2)∀x ∈[1，5]，1x －2m ＋3≥0恒成立，求实数m 的取值范围. 解 (1)由3a ＋x －2＝0得－x ＝3a －2.∵x ∈[－3，2]，∴－2≤－x ≤3，∴－2≤3a －2≤3， 即0≤a ≤53.即实数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，53.(2)令y ＝1x ，由图象可知y ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤15，1，∴2m －3≤15，∴m ≤85，即m 的取值范围为⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，85.一、素养落地1.通过学习命题、全称量词命题与存在量词命题的概念提升数学抽象素养.通过判断全称量词命题与存在量词命题的真假培养逻辑推理素养.2.判断命题是全称量词命题还是存在量词命题，主要是看命题中是否含有全称量词或存在量词，有些全称量词命题不含全称量词，可以根据命题涉及的意义去判断.3.要确定一个全称量词命题是真命题，需保证该命题对所有的元素都成立；若能举出一个反例说明命题不成立，则该全称量词命题是假命题.4.要确定一个存在量词命题是真命题，举出一个例子说明该命题成立即可；若经过逻辑推理得到命题对所有的元素都不成立，则该存在量词命题是假命题. 二、素养训练1.下列命题中全称量词命题的个数是( ) ①任意一个自然数都是正整数； ②有的平行四边形也是菱形； ③n 边形的内角和是(n －2)×180°. A.0 B.1 C.2D.3解析 ①③是全称量词命题. 答案 C2.下列存在量词命题是假命题的是( ) A.存在x ∈Q ，使4－x 2＝0 B.存在x ∈R ，使x 2＋x ＋1＝0 C.有的素数是偶数 D.有的实数为正数解析 对于任意的x ∈R ，x 2＋x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋34>0恒成立.答案 B3.对任意x >3，x >a 恒成立，则实数a 的取值范围是________. 解析 对任意x >3，x >a 恒成立，即大于3的数恒大于a ，∴a ≤3. 答案 (－∞，3]4.给出下列四个命题：①有理数是实数；②矩形都不是梯形； ③∃x ，y ∈R ，x 2＋y 2≤1； ④凡是三角形都有内切圆.其中全称量词命题是________(填序号).解析 在④中含有全称量词“凡是”为全称量词命题；③为存在量词命题；①的实质为：所有的有理数都是实数；②的实质是：所有的矩形都不是梯形，故①②④为全称量词命题. 答案 ①②④5.判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并判断其真假： (1)∃x ，x －2≤0；(2)三角形两边之和大于第三边； (3)有些整数是偶数.解 (1)存在量词命题.x ＝1时，x －2＝－1≤0，故存在量词命题“∃x ，x －2≤0”是真命题.(2)全称量词命题.三角形中，任意两边之和大于第三边.故全称量词命题“三角形两边之和大于第三边”是真命题.(3)存在量词命题.2是整数，2也是偶数.故存在量词命题“有些整数是偶数”是真命题.基础达标一、选择题1.下列命题中存在量词命题的个数是()①有些自然数是偶数；②正方形是菱形；③能被6整除的数也能被3整除；④对于任意x∈R，总有|x|≥0.A.0B.1C.2D.3解析命题①含有存在量词；命题②可以叙述为“所有的正方形都是菱形”，是全称量词命题；命题③可以叙述为“一切能被6整除的数也都能被3整除”，是全称量词命题；而命题④是全称量词命题.故有一个存在量词命题.答案 B2.已知命题p：∃x∈R，x2＋4x＋a＝0，若命题p是假命题，则实数a的取值范围是()A.0<a<4B.a>4C.a<0D.a≥4解析∵p是假命题，∴方程x2＋4x＋a＝0没有实数根，即Δ＝16－4a<0，即a>4. 答案 B3.下列命题不是“∃x∈R，x2>3”的表述方法的是()A.有一个x∈R，使得x2>3成立B.对有些x∈R，使得x2>3成立C.任选一个x∈R，都有x2>3成立D.至少有一个x∈R，使得x2>3成立解析“任选一个”“任意一个”是全称量词.答案 C4.将命题“x2＋y2≥2xy”改写成全称量词命题为()A.对任意x，y∈R，都有x2＋y2≥2xy成立B.存在x，y∈R，使x2＋y2≥2xy成立C.对任意x>0，y>0，都有x2＋y2≥2xy成立D.存在x <0，y <0，使x 2＋y 2≤2xy 成立解析 B ，D 有存在量词“存在”，C 中，x ，y 的范围与原命题不符. 答案 A5.下列命题中是全称量词命题并且是真命题的是( ) A.每个二次函数的图象都开口向上 B.存在一条直线与已知直线不平行 C.对任意实数a ，b ，若a －b ≤0，则a ≤b D.存在一个实数x ，使等式x 2－2x ＋1＝0成立解析 B ，D 是存在量词命题，故应排除；对于A ，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a <0)的图象开口向下，也应排除，故应选C. 答案 C 二、填空题6.命题“有些负数满足不等式(1＋x )(1－9x )2>0”用“∃”写成存在量词命题为________.解析 存在量词命题“存在M 中的元素x ，使p (x )成立”可用符号简记为“∃x ∈M ，p (x )”.答案 ∃x <0，(1＋x )(1－9x )2>07.若命题“∃x ∈R ，使x 2＋2x －3m ＝0”为真命题，则m 的取值范围为________. 解析 由方程有实根，即Δ＝4＋12m ≥0，∴m ≥－13. 答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫－13，＋∞8.下列全称量词命题中真命题的个数为________. ①∀x ∈R ，x 2＋2>0； ②∀x ∈N ，x 4≥1；③对任意x ，y ，都有x 2＋y 2≠0.解析 ①由于∀x ∈R ，都有x 2≥0，因而有x 2＋2≥2>0，即x 2＋2>0，所以命题“∀x ∈R ，x 2＋2>0”是真命题.②由于0∈N，当x＝0时，x4≥1不成立，所以命题“∀x∈N，x4≥1”是假命题.③当x＝y＝0时，x2＋y2＝0，所以是假命题.答案 1三、解答题9.判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题？(1)矩形有一个外接圆.(2)非负实数有两个平方根.(3)方程x2－x＋1＝0有实数根.解(1)原命题可改写为“所有的矩形都有一个外接圆”是全称量词命题.(2)原命题改写为“任意的非负实数都有两个平方根”是全称量词命题.(3)原命题改写为“存在实数x，使x2－x＋1＝0”是存在量词命题.10.用量词符号“∀”“∃”表示下列命题，并判断其真假.(1)实数都能写成分数形式；(2)有一个实数x，使1x－1＝0；(3)平行四边形的对角线互相平分；(4)至少有一个集合A，满足A{1，2，3}.解(1)∀x∈R，x能写成分数形式.因为无理数不能写成分数形式，所以该命题是假命题.(2)∃x∈R，1x－1＝0.因为不存在x∈R，使1x－1＝0，所以该命题是假命题.(3)∀x∈{x|x是平行四边形}，x的对角线互相平分.由平行四边形的性质可知此命题是真命题.(4)∃A∈{A|A是集合}，A{1，2，3}.存在A＝{3}，使A{1，2，3}成立，所以该命题是真命题.能力提升11.已知命题p：∃x≥3，使2x－1<m是假命题，则实数m的最大值为________. 解析命题p为假命题，则任意x≥3，2x－1<m不成立，因为当x≥3时，2x－1≥5，故m≤5.答案 512.若∀x∈R，函数y＝mx2＋x－m－a的图象和x轴恒有公共点，求实数a的取值范围.解(1)当m＝0时，y＝x－a与x轴恒有公共点，所以a∈R.(2)当m≠0时，二次函数y＝mx2＋x－m－a的图象和x轴恒有公共点的充要条件是Δ＝1＋4m(m＋a)≥0恒成立，即4m2＋4am＋1≥0恒成立.设y1＝4m2＋4am＋1，则可转化为此关于m的二次函数的图象恒在m轴上方(或图象顶点在m轴上)的充要条件是Δ1＝(4a)2－16≤0，可得－1≤a≤1.综上所述，当m＝0时，a∈R；当m≠0时，a∈{a|－1≤a≤1}.创新猜想13.(多选题)下列说法错误的是()A.对所有的正实数t，有t<tB.存在实数x，使x2－3x－4＝0C.不存在实数x，使x<4且x2＋5x－24＝0D.任意实数x，使得|x＋1|≤1且x2>4解析t＝14时，t>t，所以A选项错；由x2－3x－4＝0，得x＝－1或x＝4，因此当x＝－1或x＝4时，x2－3x－4＝0，故B选项正确；由x2＋5x－24＝0，得x＝－8或x＝3，所以C选项错；x＝0时，不成立，所以D选项错.答案ACD14.(多选题)下列命题中的真命题是()A.∀x∈R，|x|＋1>0B.∀x∈N＋，(x－1)2>0C.∃x∈R，1x<1 D.∃x∈R，5x－3＝2解析A项，∵x∈R，∴|x|＋1>0，故A正确；B项，∵x∈N＋，∴当x＝1时，(x－1)2＝0与(x－1)2>0矛盾，故B错误；C项，当x>1时，1x<1，故C正确；D项，当x＝1时，5x－3＝2，故D正确. 答案ACD。

2.3全称量词命题与存在量词命题(解析版)2.3全称量词命题与存在量词命题（解析版）在数理逻辑中，全称量词命题和存在量词命题是重要的概念。

本文将详细解析这两种命题的含义、特点以及它们在推理和证明中的应用。

全称量词命题是表示一个命题对于某一特定论域中的所有个体都成立。

通常用符号∀x 来表示全称量词，其中 x 是论域中的个体。

举例来说，全称量词命题 "对于所有的学生x，x是努力学习的" 表明在论域中的每个学生都是努力学习的。

全称量词命题具有以下特点：1. 它对论域中的每个个体都进行了普遍的断言，因此涵盖了整个论域。

2. 全称量词命题通常用于进行普遍性的推理和推广，能够从一个特例得出普遍结论。

3. 当全称量词命题能够通过具体的例证或数学证明得到验证时，我们可以得出它的真值。

存在量词命题则表示在论域中存在至少一个个体使该命题成立。

用符号∃x 表示存在量词，其中 x 仍然是论域中的个体。

例如 "存在一个学生x，x是优秀的" 表明论域中至少存在一个优秀的学生。

存在量词命题的特点如下：1. 它只需要论证至少存在一个使命题成立的个体，而不需要考虑其他个体。

2. 存在量词命题通常用于证明问题的存在性，例如存在一个解，存在一个答案等。

3. 能否验证存在量词命题的真值取决于具体的情境和论域。

全称量词命题与存在量词命题在推理和证明中具有不同的应用。

全称量词命题可以用于推理和推广，通过观察和验证特例来得出普遍性结论。

它也可以用于证明某个性质对于论域中的每个个体都成立。

而存在量词命题则可以用于证明问题的存在性，例如存在一个解或存在一个满足条件的对象。

在解析命题时，我们需要根据命题的具体形式和要求来确定是应该使用全称量词还是存在量词。

通过正确地使用全称量词和存在量词，我们能够准确地表达命题的意思，并进行有效的推理和证明。

总结起来，全称量词命题和存在量词命题是数理逻辑中重要的概念。

全称量词命题表示对于论域中所有个体都成立的命题，而存在量词命题表示在论域中存在至少一个个体使命题成立。