全称量词命题与存在量词命题

例1 判断下列语句是全称命题，还是存在量词命题. (1)凸多边形的外角和等于360°； 解 可以改为所有的凸多边形的外角和等于360°，故为全称命题. (2)对任意角α，都有sin2α＋cos2α＝1； 解 含有全称量词“任意”，故是全称命题. (3)矩形的对角线不相等； 解 可以改为所有矩形的对角线不相等，故为全称命题. (4)若一个四边形是菱形，则这个四边形的对角线互相垂直.
类型四 存在量词命题的否定
例4 写出下列存在量词命题的否定，并判断其否定的真假. (1)p：∃x0>1，使 x20－2x0－3＝0； 解 ￢p：∀x>1，x2－2x－3≠0.(假) (2)p：有些素数是奇数； 解 ￢p：所有的素数都不是奇数.(假) (3)p：有些平行四边形不是矩形. 解 ￢p：所有的平行四边形都是矩形.(假)
必修第一册
2．3 全称量词命题与存在量词命题
问题导学
思考 观察下列命题： (1)所有的质数都是奇数； (2)每一个四边形都有外接圆； (3)任意实数x，x2≥0. 以上三个命题有什么共同特征？ 答案 都使用了表示“全部”的量词，如“所有”、“每一个”、“任意”.
梳理
全称量词
所有的、任意一个、一切、每一个、任给
跟踪训练 写出下列存在量词命题的否定，并判断其否定的真假. (1)有些实数的绝对值是正数； 解 命题的否定是“不存在一个实数，它的绝对值是正数”，即“所有实 数的绝对值都不是正数”.它为假命题. (2)某些平行四边形是菱形； 解 命题的否定是“没有一个平行四边形是菱形”，即“每一个平行四边 形都不是菱形”.由于菱形是平行四边形，因此命题的否定是假命题. (3)∃x0，y0∈Z，使得 2x0＋y0＝3. 解 命题的否定是“∀x，y∈Z， 2x＋y≠3”. 当 x＝0，y＝3 时， 2x＋y＝3，因此命题的否定是假命题.

全称量词命题与存在量词命题的否定
知识概要
一、复习命题与量词；
二、命题的否定；
三、全称量词命题与存在量词命题的否定.
命题：可供真假判断的陈述语句.
全称量词：在陈述中表示所述事物的全体.
全称量词命题： ∀ ∈ , .
存在量词：在陈述中表示所述事物的个体或部分.
存在量词命题：∃ ∈ , .
全称量词命题， ∀ ∈ ， ∈ .
命题是真命题，因为实数包含有理数与无理数.
每一个有理数都不是实数.
假命题
¬:不是每一个有理数都是实数. 假命题
¬:存在一个有理数不是实数.
: 每一个有理数都是实数.
全称量词命题， ∀ ∈ ， ∈ .
命题是真命题，因为实数包含有理数与无理数.
两个命题之间有什么关系？它们的真假性如何？
（1） : 3的相反数是−3 ；
（2） : 3的相反数不是−3 .
两个命题之间有什么关系？它们的真假性如何？
（1） : 3的相反数是−3 ；
（2） : 3的相反数不是−3 .
命题是真命题，命题是假命题.
命题是命题的否定，命题是命题的否定.
解析: （3）：至少有一个直角三角形不是等腰三角形.
存在量词命题，
¬：所有直角三角形都是等腰三角形.
原命题和命题的否定必须一个为真，一个为假.
是真命题，因为等腰直角三角形满足条件，
¬是假命题，因为是真命题，
或非等腰直角三角形.
例2. 写出下列命题的否定，并判断所得命题的真假：
（1） ：∃ ∈ ，一次函数 = + 的图像经过原点；
每一个有理数都不是实数.
假命题
¬:不是每一个有理数都是实数. 假命题
¬:存在一个有理数不是实数.

2.3全称量词命题与存在量词命题(解析版)2.3全称量词命题与存在量词命题（解析版）在数理逻辑中，全称量词命题和存在量词命题是重要的概念。

本文将详细解析这两种命题的含义、特点以及它们在推理和证明中的应用。

全称量词命题是表示一个命题对于某一特定论域中的所有个体都成立。

通常用符号∀x 来表示全称量词，其中 x 是论域中的个体。

举例来说，全称量词命题 "对于所有的学生x，x是努力学习的" 表明在论域中的每个学生都是努力学习的。

全称量词命题具有以下特点：1. 它对论域中的每个个体都进行了普遍的断言，因此涵盖了整个论域。

2. 全称量词命题通常用于进行普遍性的推理和推广，能够从一个特例得出普遍结论。

3. 当全称量词命题能够通过具体的例证或数学证明得到验证时，我们可以得出它的真值。

存在量词命题则表示在论域中存在至少一个个体使该命题成立。

用符号∃x 表示存在量词，其中 x 仍然是论域中的个体。

例如 "存在一个学生x，x是优秀的" 表明论域中至少存在一个优秀的学生。

存在量词命题的特点如下：1. 它只需要论证至少存在一个使命题成立的个体，而不需要考虑其他个体。

2. 存在量词命题通常用于证明问题的存在性，例如存在一个解，存在一个答案等。

3. 能否验证存在量词命题的真值取决于具体的情境和论域。

全称量词命题与存在量词命题在推理和证明中具有不同的应用。

全称量词命题可以用于推理和推广，通过观察和验证特例来得出普遍性结论。

它也可以用于证明某个性质对于论域中的每个个体都成立。

而存在量词命题则可以用于证明问题的存在性，例如存在一个解或存在一个满足条件的对象。

在解析命题时，我们需要根据命题的具体形式和要求来确定是应该使用全称量词还是存在量词。

通过正确地使用全称量词和存在量词，我们能够准确地表达命题的意思，并进行有效的推理和证明。

总结起来，全称量词命题和存在量词命题是数理逻辑中重要的概念。

全称量词命题表示对于论域中所有个体都成立的命题，而存在量词命题表示在论域中存在至少一个个体使命题成立。

第六讲 全称量词命题与存在量词命题【学习目标】1. 通过已知的数学实例，理解全称量词与存在量词的意义.2. 能正确使用存在量词对全称量词命题进行否定.3.能正确使用全称量词对存在量词命题进行否定.【基础知识】1.全称量词和全称量词命题(1)全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“∀”表示. (2)常见的全称量词还有“一切”“每一个”“任给”等.(3)全称量词命题：含有全称量词的命题叫做全称量词命题.全称量词命题“对M 中任意一个x ，有p (x )成立”可用符号简记为∀x ∈M ，p (x ). 2.存在量词与存在量词命题(1)存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“∃”表示.(2)常见的存在量词还有“有些”“有一个”“对某些”“有的”等.(3)存在量词命题：含有存在量词的命题叫做存在量词命题.存在量词命题“存在M 中的元素x ，使p (x )成立”可用符号简记为∃x ∈M ，p (x ). 3.命题与命题的否定的真假判断一个命题和它的否定不能同时为真命题，也不能同时为假命题，只能一真一假. 4.全称量词命题的否定 命题的否定：改变量词，否定结论 全称量词命题p ：∀x ∈M ，p (x )， 它的否定p ⌝：∃x ∈M ，p ⌝ (x ). 全称量词命题的否定是存在量词命题. 5.存在量词命题的否定存在量词命题p ：∃x ∈M ，p (x )， 它的否定p ⌝：∀x ∈M ，p ⌝ (x ). 存在量词命题的否定是全称量词命题.4.常见正面词语的否定举例如下：正面词语等于大于(>)小于(<)是都是否定不等于不大于(≤)不小于(≥)不是不都是正面词语至少有一个至多有一个任意的所有的至多有n个否定一个也没有至少有两个某个某些至少有n＋1个【考点剖析】考点一：全称量词命题与存在量词命题的识别例1．下列命题中（1）有些自然数是偶数；（2）正方形是菱形；（3）能被6整除的数也能被3整除；（4）对于任意x R∈，总有211 1x+．存在量词命题的个数是()A．0 B．1 C．2 D．3【答案】B【解析】对于（1），有些自然数是偶数，含有存在量词“有些”，是存在量词命题；对于（2），正方形是菱形，可以写成“所有的正方形都是菱形”，它是全称量词命题；对于（3），能被6整除的数也能被3整除，可以写成“所有能被6整除的数也能被3整除”，是全称量词命题；对于（4），对于任意x R∈，总有211 1x+，含有全称量词“任意的”，是全称量词命题．所以存在量词命题的序号是（1），有1个．故选B．考点二：全称量词命题与存在量词命题的真假的判断例2．下列命题为真命题的是()A ．0x R ∃∈，使200x <B ．x R ∀∈，有20xC ．x R ∀∈，有20x >D ．x R ∀∈，有20x <【答案】B【解析】因为x R ∈，所以20x ，所以x R ∀∈，有20x ， 故选B ．考点三：依据含量词命题的真假求参数取值范围例3．已知命题“x R ∀∈，使214(2)04x a x +-+>”是真命题，则实数a 的取值范围是( ) A ．(,0)-∞ B ．[0，4] C ．[4，)+∞ D ．(0,4)【答案】D【解析】命题“x R ∀∈，使214(2)04x a x +-+>”是真命题， 即判别式△21(2)4404a =--⨯⨯<， 即△2(2)4a =-<，则222a -<-<，即04a <<， 故选D ．考点四：全称量词命题的否定例4．全称命题：x R ∀∈，254x x +=的否定是( ) A ．x R ∃∈，254x x += B ．x R ∀∈，254x x +≠ C ．x R ∃∈，254x x +≠ D ．以上都不正确 【答案】C【解析】全称命题的否定是特称命题，x R ∴∀∈，254x x +=的否定是：x R ∃∈，254x x +≠．故选C ．考点五：存在量词命题的否定例5．设命题0:(0,)p x ∃∈+∞，0303x x <，则命题p 的否定为( )A ．(0,)x ∀∈+∞，33x x <B ．(0,)x ∀∈+∞，33x x >C ．(0,)x ∀∈+∞，33x xD ．(0,)x ∃∈+∞，33x x【答案】C【解析】命题0:(0,)p x ∃∈+∞，0303x x <，则命题p 的否定为：(0,)x ∀∈+∞，33x x ． 故选C ．考点六：根据全称量词命题、存在量词命题的否定求参数例6．已知命题:p x R ∃∈，使220ax x a ++，当a A ∈时，p 为假命题，求集合． 【解析】当a A ∈时，p 为假命题， 则当a A ∈时，x R ∀∈，使220ax x a ++<， 若0a =，不等式等价为0x <，不满足条件． 若0a ≠，要使不等式恒成立，则20440a a <⎧⎨=-<⎩，即011a a a <⎧⎨><-⎩或，则1a <-， 即(,1)A =-∞-．【真题演练】1．下列命题是全称量词命题的是( ) A ．有一个偶数是素数B ．至少存在一个奇数能被15整除C ．有些三角形是直角三角形D ．每个四边形的内角和都是360︒ 【答案】D【解析】A ，有一个，存在性量词，特称命题， B ，至少存在一个，存在性量词，特称命题， C ，有些，存在性量词，特称命题，D ，每个，全称量词，全称命题， 故选D ．2．下列命题中是全称量词命题并且是真命题的是( ) A ．x R ∀∈，2210x x ++> B ．所有菱形的4条边都相等 C ．若2x 为偶数，则x N ∈ D ．π是无理数【答案】B【解析】对于:A x R ∀∈，2221(1)0x x x ++=+，故A 错误； 对于B ：所有菱形的4条边都相等，满足两个条件，故B 正确； 对于C ：若2x 为偶数，则x N ∈或N -，故C 错误； 对于:D π是无理数不是全称命题，故D 错误． 故选B ．3．已知对{|13}x x x ∀∈<，都有m x >，则m 的取值范围为( ) A ．3m B ．3m > C ．1m > D ．1m【答案】A【解析】对{|13}x x x ∀∈<，都有m x >， 3m ∴，故选A ．4．下列命题含有全称量词的是( ) A ．某些函数图象不过原点 B ．实数的平方为正数C ．方程2250x x ++=有实数解D ．素数中只有一个偶数【答案】B【解析】A ：某些函数图象不过原点，不是全部的意思，不是全称量词命题；B ：实数的平方为正数即是所有实数的平方根都为正数，是全称量词命题；C ：方程2250x x ++=有实数解，不是全称量词命题；D ：素数中只有一个偶数，不是全称量词命题；故选B ．5．有下列四个命题：①x R ∀∈10>；②x N ∀∈，20x >；③x N ∃∈，[3x ∈-，1)-；④x Q ∃∈，22x =．其中真命题的个数为( ) A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】A【解析】对于①，x R ∀∈10>，是真命题，2010>； 对于②，x N ∀∈，20x >，是假命题， 因为0x =时，x N ∈，20x =；对于③，x N ∃∈，[3x ∈-，1)-，是假命题， 由x N ∈知0x ，所以[3x ∉-，1)-； 对于④，x Q ∃∈，22x =，是假命题， 因为x Q ∀∈，22x ≠．所以真命题的序号是①，共1个． 故选A ．6．全称命题：x R ∀∈，254x x +=的否定是( ) A ．x R ∃∈，254x x += B ．x R ∀∈，254x x +≠ C ．x R ∃∈，254x x +≠ D ．以上都不正确 【答案】C【解析】全称命题的否定是特称命题，x R ∴∀∈，254x x +=的否定是：x R ∃∈，254x x +≠．故选C ．7．若命题“x R ∃∈，使得23210x ax ++<”是假命题，则实数a 的取值范围是( )A ．a <B ．3a -，或3aC ．33aD ．a <a >【答案】C【解析】命题“x R ∃∈，使得23210x ax ++<”是假命题，即“x R ∀∈，23210x ax ++成立”是真命题， 故△24120a =-，解得33a ．故选C ．8．命题：x R ∃∈，210x x -+=的否定是 ．【答案】x R ∀∈，210x x -+≠【解析】因为特称命题的否定是全称命题，所以x R ∃∈，210x x -+=的否定是：x R ∀∈，210x x -+≠． 故答案为：x R ∀∈，210x x -+≠．9．设命题:p x R ∃∈，2230x x m -+-=，命题:q x R ∀∈，222(5)190x m x m --++≠．若p ，q 都为真命题，求实数m 的取值范围．【解析】若命题:p x R ∃∈，2230x x m -+-=为真命题， 则△44(3)0m =--，解得4m ；若命题:q x R ∀∈，222(5)190x m x m --++≠为真命题， 则△224(5)4(19)0m m =--+<，解得3(5m ∈，)+∞，又p ，q 都为真命题，∴实数m 的取值范围是33{|4}{|}(55m m m m >=，4]．【过关检测】1．命题“x N +∃∈使230x x m -+”的否定是( ) A ．x N +∃∈使230x x m -+< B ．不x N +∃∈使230x x m -+<C ．对x N +∀∈都有230x x m -+D ．对x N +∀∈都有230x x m -+<【答案】D【解析】命题“存在x N +∈，使230x x m ++”为特称命题， ∴命题的否定为：对任意x N +∈，使230x x m ++<，故选D ．2．下列语句是特称命题的是( ) A ．整数n 是2和7的倍数 B ．存在整数n ，使n 能被11整除 C ．若430x -=，则34x = D ．x M ∀∈，()p x 成立【答案】B【解析】命题：存在整数n ，使n 能被11整除，含有特称量词存在， 故B 是特此命题， 故选B ．3．设a 为常数，对任意x R ∈，210ax ax ++>，则a 的取值范围是( ) A ．(0,4) B ．[0，4) C ．(0,)+∞ D ．(,4)-∞【答案】B【解析】①当0a =时，10>恒成立，即0a =时满足题意， ②当0a ≠时，由对任意x R ∈，210ax ax ++>，则有： 240a a a >⎧⎨-<⎩，解得：04a <<， 综合①②得：a 的取值范围是[0，4)，故选B ．4．命题p ：任意的x R ∈，使770x x +>，则p ⌝是( )A ．0x R ∃∈，使70070x x +B ．0x R ∃∈，使70070x x +C ．x R ∀∈，使770x x +D ．x R ∀∈，使770x x +【答案】B【解析】根据题意，命题p ：任意的x R ∈，使770x x +>， 这是全称命题，其否定为特称命题， 即0x R ∃∈，使70070x x +， 故选B ．5．若存在x 使2()1x a ->成立．则a 的取值范围是( ) A ．(-∞．)+∞ B ．(2,)-+∞ C ．(0．)+∞ D ．(1,)-+∞【答案】A【解析】由2()1x a ->得12x a >+， 若存在x 使2()1x a ->成立， 则(a ∈-∞．)+∞，故选A ．6．若命题“[1x ∀∈，2]，22430x ax a -+”是真命题，则实数a 的取值范围是( ) A ．2(,1]3B ．2[,1)3C ．2[,1]3D ．2(,1)3【答案】C【解析】设22()43f x x ax a =-+，对[1x ∀∈，2]，22()430f x x ax a =-+是真命题， ∴22(1)1430(2)4830f a a f a a ⎧=-+⎨=-+⎩，∴113223a a ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩，∴213a ． 故选C ．7．已知命题：“[1x ∃∈，2]，使220x x a ++”为真命题，则实数a 的取值范围是( ) A ．[3-，)+∞ B ．(3,)-+∞ C ．[8-，)+∞ D ．(8,)-+∞【答案】C【解析】设2()2f x x x a =++， 要使[1x ∃∈，2]，使220x x a ++， 据二次函数的图象与性质得： 只要：f （2）0即可， 22220a ∴+⨯+，8a ∴-．故选C ．8．若“存在[1x ∈，2]，使0x a -”是假命题，则实数a 的取值范围是 ． 【答案】(,1)-∞【解析】由题转化为命题“[1x ∀∈，2]，0x a ->”为真命题，即a x <恒成立， 又y x =在[1，2]上单调递增，所以1min y =，故1a <． 故答案为：(,1)-∞．9．若“0(0,)x ∃∈+∞，21x x λ>+”是假命题，则实数λ的取值范围是 ． 【答案】2λ【解析】若“0(0,)x ∃∈+∞，21x x λ>+”是假命题， 则“(0,)x ∀∈+∞，21x x λ+”是真命题； 所以，(0,)x ∈+∞时，1x xλ+恒成立， 又1122x x x x+=，当且仅当1x =时取“=”； 所以实数λ的取值范围是2λ． 故答案为：2λ．10．已知命题p ：“x R ∀∈，220x x a +->”，命题q ：“x R ∃∈，使得2(1)10x a x +-+<”．试问p 是q 什么条件？【解析】因为命题p ：“x R ∀∈，220x x a +->”所以△0<，440a +<，解得：(,1)a ∈-∞-因为命题:q x R ∃∈，使得2(1)10x a x +-+<，所以△0>，即2(1)40a -->，解得(a ∈-∞，1)(3-⋃，)+∞ 所以，p 是q 充分不必要条件．。

否定：∀ ∈ ,有 2 − 2 + 2 > 0
∃ ∈ ,使 2 − 2 + 2 ⩽ 0
02
全称量词的否定
抽象概括
一般地，要否定一个全称量词命题，只需要在给定集合中找到一个元素，使命
题的结论不正确，即全称量词命题不成立.全称量词命题的否定是存在量词命题.
对于全称量词命题: ∀ ∈ , 具有性质(),通常把它的否定表示为
(5)一切三角形的内角和都等于180◦ .
以上命题中，“所有”“每一个”“任意”“任何”“一切”都是在
指定范围内表示整体或全部在给定集合中，断言所有元素都具有同一
种性质的命题叫作全称量词命题.在命题中，诸如“所有”“每一
个”“任意”“任何”“一切”这样的词叫作全称量词，用符号“∀"表
示，读作“对任意的”.
(2)∃ ∈ , 2 的个位数字等于3.
02
存在量词的否定
抽象概括
一般地，要否定一个存在量词命题，需要判定给定集合中每一个元素均不能使存
在量词命题的结论成立.存在量词命题的否定是全称量词命题.
对于存在量词命题p: ∃x ∈ M, x具有性质p(x),通常把它的否定表示为：
∀x ∈ M, x不具有性质p(x).
在命题中，诸如“有些”“有一个”“存在”这样的词叫作存在量词，用符号“∃"
表示，读作“存在”.
例如，“存在实数,使得 2 + − 1 = 0"可表示为“∃ ∈ ,使 2 + − 1 = 0".
01
存在量词命题
例5 判断下列命题是不是存在量词命题，如果是，指出其中的存在量词：
(1)存在一个无理数,使 2 也是无理数；
题时，命题的否定是真命题.

第07讲全称量词命题与存在量词命题知识点一全称量词命题与存在量词命题1．全称量词与全称量词命题全称量词“所有”“任意”“每一个”等表示全体的词符号∀全称量词命题含有全称量词的命题形式∀x∈M，p(x) 2．存在量词与存在量词命题存在量词“存在”“有的”“有一个”等表示部分或个体的词符号∃存在量词命题含有存在量词的命题形式∃x∈M，p(x)知识点二全称量词命题和存在量词命题的否定p¬p结论全称量词命题：∀x∈M，p(x)∃x∈M，¬p(x)全称量词命题的否定是存在量词命题存在量词命题：∃x∈M，p(x)∀x∈M，¬p(x)存在量词命题的否定是全称量词命题1．要否定全称量词命题“∀x∈M，p(x)”，只需在M中找到一个x，使得p(x)不成立，也就是命题“∃x∈M，¬p(x)”成立．2．要否定存在量词命题“∃x∈M，p(x)”，需要验证对M中的每一个x，均有p(x)不成立，也就是命题“∀x∈M，¬p(x)”成立．知识点三存在(全称)量词命题真假的应用1．直接判定命题的真假命题判定为真判定为假存在量词命题找到一个特例严格证明全称量词命题严格证明找到一个反例2．利用命题p和¬p的对立关系(真假性相反)判定．考点一：全称量词命题与存在量词命题的判断例1 判断下列语句是全称量词命题，还是存在量词命题．(1)凸多边形的外角和等于360°；(2)矩形的对角线不相等；(3)若一个四边形是菱形，则这个四边形的对角线互相垂直；(4)有些实数a，b能使|a－b|＝|a|＋|b|；(5)方程3x－2y＝10有整数解．【总结】判断一个语句是全称量词命题还是存在量词命题的思路[注意]全称量词命题可能省略全称量词，存在量词命题的存在量词一般不能省略．变式(多选)下列语句是存在量词命题的是()A．有的无理数的平方是有理数B．有的无理数的平方不是有理数C．对于任意x∈Z，2x＋1是奇数D．存在x∈R，2x＋1是奇数考点二：全称量词命题、存在量词命题的真假判断例2 判断下列命题的真假．(1)∃x∈Z，x3<1；(2)存在一个四边形不是平行四边形；(3)在平面直角坐标系中，任意有序实数对(x，y)都对应一点P；(4)∀x∈N，x2＞0.【总结】全称量词命题与存在量词命题真假判断的技巧(1)要判定一个全称量词命题是真命题，必须对限定集合M中的每个元素x验证p(x)成立；但要判定全称量词命题是假命题，只要能举出集合M中的一个x，使得p(x)不成立即可；(2)要判定一个存在量词命题是真命题，只要在限定集合M中，能找到一个x使p(x)成立即可；否则，这个存在量词命题就是假命题．变式(多选)下列结论中正确的是()A．∀n∈N*，2n2＋5n＋2能被2整除是真命题B．∀n∈N*，2n2＋5n＋2不能被2整除是真命题C．∃n∈N*，2n2＋5n＋2不能被2整除是真命题D．∃n∈N*，2n2＋5n＋2能被2整除是真命题考点三：全称量词命题与存在量词命题的否定例3 (1)命题“存在实数x，使x＞1”的否定是()A．对任意实数x，都有x＞1B．不存在实数x，使x≤1C．对任意实数x，都有x≤1D．存在实数x，使x≤1(2)命题“∀x∈R，∃n∈N*，使得n≥x2”的否定形式是()A．∀x∈R，∃n∈N*，使得n＜x2B．∀x∈R，∀n∈N*，使得n＜x2C．∃x∈R，∃n∈N*，使得n＜x2D．∃x∈R，∀n∈N*，使得n＜x2【总结】全称量词命题与存在量词命题的否定的思路(1)一般地，写含有一个量词的命题的否定，首先要明确这个命题是全称量词命题还是存在量词命题，并找到量词及相应结论，然后把命题中的全称量词改成存在量词，存在量词改成全称量词，同时否定结论；(2)对于省略量词的命题，应先挖掘命题中隐含的量词，改写成含量词的完整形式，再依据规则来写出命题的否定．变式设x∈Z，集合A为偶数集，命题“∀x∈Z，2x∈A”的否定为()A．∀x∈Z，2x∉A B．∀x∉Z，2x∈AC．∃x∈Z，2x∈A D．∃x∈Z，2x∉A考点四：存在(全称)量词命题真假的应用例4 已知命题p：∀x∈R，2x≠－x2＋m，命题q：∃x∈R，x2＋2x－m－1＝0，若命题p为假命题，命题q为真命题，求实数m的取值范围．【总结】已知全称(存在)量词命题的真假求参数的解题思路(1)已知全称量词命题的真假求参问题，常以一次函数、二次函数等为载体进行考查，一般在题目中会出现“恒成立”等词语，解决此类问题时，可构造函数，利用数形结合求参数范围，也可用分离参数法求参数范围；(2)已知存在量词命题的真假求参数范围的问题中常出现“存在”等词语，对于此类问题，通常是假设存在满足条件的参数，然后利用条件求参数范围，若能求出参数范围，则假设成立；反之，假设不成立．解决此类问题时，应尽量分离参数．变式 已知命题“∀x ∈R ，ax 2＋2x ＋1≠0”为假命题，则实数a 的取值范围是________________．1．下列结论正确的个数是( )①命题“所有的四边形都是矩形”是存在量词命题； ②命题“∀x ∈R ，x 2＋2<0”是全称量词命题；③命题“∃x ∈R ，x 2＋4x ＋4≤0”的否定为“∀x ∈R ，x 2＋4x ＋4＞0”． A ．0 B ．1 C ．2 D ．32．以下四个命题既是存在量词命题又是真命题的是( )A ．锐角三角形的内角是锐角或钝角B ．至少有一个实数x ，使x 2≤0C ．两个无理数的和必是无理数D ．存在一个负数x ，使1x ＞23．命题“∀x ∈R ，x 2－2x ＋12≤0”的否定为( )A ．∀x ∉R ，x 2－2x ＋12≤0B ．∀x ∈R ，x 2－2x ＋12＞0C ．∃x 0∈R ，x 20 －2x 0＋12＞0D ．∃x 0∉R ，x 20 －2x 0＋12＞04．(多选)下列命题是真命题的是( )A.∀x ∈Z ，x 2的个位数字不等于3 B ．∀x ∈{y |y 是无理数}，x 3是无理数 C ．∃x ∈N,x 2＋1 ∈ND ．∃x ∈Z ，x 2＋1是4的倍数5．命题“∃x ∈(－1，2)，2x 2＋a ＝0”是真命题，则实数a 的取值范围是________．6．设非空集合P，Q满足P⊆Q，则表述正确的是()A．∀x∈Q，有x∈P B．∀x∈P，有x∈QC．∃x Q，使得x∈P D．∃x∈P，使得x Q7．下列存在量词命题中，是假命题的是()A．∃x∈Z，x2－2x－3＝0B．至少有一个x∈Z，使x能同时被2和3整除C．有的三角形没有外接圆D．某些四边形不存在外接圆8．命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是()A．任意一个有理数，它的平方是有理数B．任意一个无理数，它的平方不是有理数C．存在一个有理数，它的平方是有理数D．存在一个无理数，它的平方不是有理数9．能够说明“存在两个不相等的正数a，b，使得a－b＝ab”是真命题的一组有序数对(a，b)为________．10．若命题“∃x∈R，x2－4x＋a＝0”为假命题，则实数a的取值范围为________．1．下列命题中是全称量词命题并且是真命题的是()A．∃x>1，x2－2x－3＝0B．若2x为偶数，则x∈NC．所有菱形的四条边都相等D．π是无理数2．命题“每一个四边形的四个顶点共圆”的否定是()A．存在一个四边形，它的四个顶点不共圆B．存在一个四边形，它的四个顶点共圆C．所有四边形的四个顶点共圆D．所有四边形的四个顶点都不共圆3．a≥5是命题“∀x∈[1，2]，x2－a≤0”为真命题的()A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件4．设非空集合P ，Q 满足P ∩Q ＝P ，则( )A ．∀x ∈Q ，有x ∈PB ．∀x ∉Q ，有x ∉PC ．∃x ∉Q ，使得x ∈PD ．∃x ∈P ，使得x ∉Q5．下列命题中是存在量词命题且为假命题的是( )A ．∃x ∈R ，－x 2＋x －14 ≥0 B ．所有的正方形都是矩形C ．∃x ∈R ，x 2＋2x ＋2≤0D ．∃x ∈R ，使x 3＋1＝06．(多选)已知命题p ：有理数的算术平方根是无理数．则下列结论中正确的是( )A ．命题p 是真命题B ．命题p 的否定是真命题C ．命题p 是全称量词命题D ．命题p 是存在量词命题7．(多选)下列命题是真命题的是( )A ．命题“∃x 0∈R ，使得x 20 ＋x 0－1＜0”的否定是“∀x ∈R ，均有x 2＋x －1＞0”B ．∀x ∈R ，x 2＋x ＋1＞0C ．“x 2－x ＝0”是“x ＝1”的必要不充分条件D ．如果a ＜b ＜0，那么1a 2 ＜1b 28．命题“∀x ∈R ，1x －2 <0”的否定是________________．9．下列存在量词命题是真命题的序号是________．①有些不相似的三角形面积相等； ②存在实数x ，使x 2＋2<0;③存在实数a ，使函数y ＝ax ＋b 的值随x 的增大而增大； ④有一个实数的倒数是它本身．10．命题“∃x ∈[1，3]，x 2－2x －a ≥0”为真命题的充要条件是________．11．判断下列命题的真假．(1)每一条线段的长度都能用正有理数来表示；(2)至少有一个直角三角形不是等腰三角形； (3)存在一个实数x ，使得方程x 2＋x ＋8＝0成立； (4)∃x ∈R ，x 2－3x ＋2＝0； (5)∀x ，y ∈Z ，(x －y )2＝x 2－2xy ＋y 2.12．(多选)下列命题错误的是( )A ．∀x ∈{－1，1}，2x ＋1>0B ．∃x ∈Q ，x 2＝3C ．∀x ∈R ，x 2－1>0D ．∃x ∈N ，|x |≤013．以下四个命题中，真命题的个数是( )①“若a ＋b ≥2，则a ，b 中至少有一个不小于1”的逆命题；②存在正实数a ，b ，使得a ＋b ＝ab ；③“所有奇数都是素数”的否定是“至少有一个奇数不是素数”．A ．0B ．1C ．2D ．314．某中学开展小组合作学习模式，某班某组小王同学给组内小李同学出题如下：若命题“∃x ∈R ，x 2＋2x ＋m ≤0”是假命题，求m 范围．小李略加思索，反手给了小王一道题：若命题“∀x ∈R ，x 2＋2x ＋m >0”是真命题，求m 范围．你认为，两位同学题中m 范围________(填“一致”“不一致”中的一种).15．已知命题“∃x ∈R ，使4x 2＋x ＋14 (a －2)≤0”是假命题，则实数a 的取值范围是________.16．设全集U ＝R ，集合A ＝{x |0≤x ≤4}，集合B ＝{x |2－a ≤x ≤1＋2a }，其中a ∈R.若命题“∀x ∈A ，x ∈B ”是真命题，求a 的取值范围．17．已知命题p ：任意x ∈[1，2]，x 2－a ≥0，命题q ：存在x ∈R ，x 2＋2ax ＋2－a ＝0.若命题p 与q 都是真命题，求实数a 的取值范围．18．已知a ，b ，c 为△ABC 的三边长，集合A ＝{x |x 2＋2ax ＋b 2＝0，x ∈R}，B ＝{x |x 2＋2cx －b 2＝0，x ∈R}．(1)若a ＝b ＝c ＝4，求A ∪B ； (2)求A ∩B ≠∅的充要条件．。

全称量词命题和存在量词命题的否定乐乐课堂
摘要：
一、全称量词命题和存在量词命题的定义
二、全称量词命题和存在量词命题的否定规则
三、否定规则在实际问题中的应用
四、总结
正文：
一、全称量词命题和存在量词命题的定义
全称量词命题是指对集合A中的所有元素x都成立的命题，通常用“对于所有的x，P(x)”来表示。

存在量词命题是指集合A中至少存在一个元素x，使得P(x)成立，通常用“存在一个x，使得P(x)”来表示。

二、全称量词命题和存在量词命题的否定规则
对于全称量词命题的否定，我们需要将原命题中的“所有的”改为“存在一个不”，并将谓词P(x)取反。

即：对于所有的x，P(x)的否定是：存在一个x，使得非P(x)。

对于存在量词命题的否定，我们需要将原命题中的“存在一个”改为“所有的”，并将谓词P(x)取反。

即：存在一个x，使得P(x)的否定是：对于所有的x，非P(x)。

三、否定规则在实际问题中的应用
假设有一个全称量词命题：“对于所有的学生，努力学习可以获得好成绩。

”我们可以通过否定规则将其改写为存在量词命题的否定形式：“所有的学
生，不努力学习都会获得差成绩。

”
四、总结
全称量词命题和存在量词命题的否定规则可以帮助我们对命题进行改写，从而更好地理解和分析问题。

ʏ宋秀华全称量词命题与存在量词命题是一类特殊的问题,下面就这类问题的常见题型,进行举例分析㊂一㊁全称量词命题与存在量词命题的判断例1判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题,并用符号 ∀ 或 ∃ 表示㊂(1)自然数的平方大于或等于零(2)有的幂函数图像经过点(1,1)(3)所有的二次函数的图像的开口都向上(4)有些直角三角形的两锐角A,B,使得s i n A=c o s B解:(1)全称量词命题㊂表示为∀nɪN, n2ȡ0㊂(2)存在量词命题㊂∃幂函数,它的图像过点(1,1)㊂(3)全称量词命题㊂∀二次函数,它的图像的开口都向上㊂(4)存在量词命题㊂∃直角三角形的两锐角A,B,使得s i n A=c o s B㊂评注:判断一个命题是全称量词命题还是存在量词命题的关键是看量词㊂由于某些全称量词命题的量词可能省略,所以要根据命题表达的意义判断,同时要会用相应的量词符号正确表达命题㊂二㊁全称量词命题与存在量词命题的否定例2(1)命题 ∀xɪR,e x+s i n2x-3>0 的否定为()㊂A.∀xɪR,e x+s i n2x-3ɤ0B.∃xɪR,e x+s i n2x-3ɤ0C.∃xɪR,e x+s i n2x-3<0D.∀xɪR,e x+s i n2x-3<0(2)命题 ∃xɪR,2x>3x 的否定是()㊂A.∀xɪR,2x>3xB.∀xɪR,2xɤ3xC.∃xɪR,2xɤ3xD.∃xɪR,2x<3x解:(1)命题 ∀xɪR,e x+s i n2x-3> 0 为全称量词命题,其否定为:∃xɪR,e x+ s i n2x-3ɤ0㊂应选B㊂(2)命题 ∃xɪR,2x>3x 为特称命题,其否定为:∀xɪR,2xɤ3x㊂应选B㊂评注:全称量词命题的否定是存在量词命题,存在量词命题的否定是全称量词命题㊂三㊁全称量词命题与存在量词命题的真假判断例3(多选题)有四个关于三角函数的命题,其中真命题是()㊂A.∃xɪR,s i n x+c o s x=2B.∃xɪR,s i n2x=s i n xC.∀xɪ-π2,π2,1+c o s2x2=c o s xD.∀xɪ0,π,s i n x>c o s x解:对于A,s i n x+c o s x= 2s i n x+π4ɤ2,A错误㊂对于B,由s i n2x=s i n x=2s i n x c o s x,可得s i n x=0或c o s x=12,所以∃xɪR,使得s i n2x=s i n x, B正确㊂对于C,∀xɪ-π2,π2,c o s x>0,所以1+c o s2x2=c o s x=c o s x,C正确㊂对于D,∀xɪ0,π4,s i n x<c o s x成立,D错误㊂应选B C㊂评注:熟练掌握三角函数的图像与性质是解答本题的关键㊂3知识结构与拓展高一数学2023年7 8月Copyright©博看网. All Rights Reserved.四㊁由全称量词命题与存在量词命题的真假,确定参数的取值范围例4 (1)若命题 ∀x ɪR ,x 2-4x +a ʂ0为假命题,则实数a 的取值范围是( )㊂A .-ɕ,4 B .-ɕ,4 C .-ɕ,-4D .-4,+ɕ(2)若命题 ∃x ɪR ,(a 2-3a +2)x 2+(a -1)x +2<0 是真命题,则实数a 的取值范围为㊂解:(1)因为命题 ∀x ɪR ,x 2-4x +a ʂ0 为假命题,所以 ∃x 0ɪR ,x 20-4x 0+a =0 是真命题,所以方程x 2-4x +a =0有实根,所以Δ=(-4)2-4a ȡ0,解得a ɤ4㊂应选A ㊂(2)①若a 2-3a +2=0,则a =1或a =2㊂当a =1时,不等式为2<0,显然不成立;当a =2时,不等式为x +2<0,显然∃x ɪR ,使x +2<0成立,即a =2符合题意㊂②若a 2-3a +2<0,则1<a <2,此时不等式对应的一元二次函数的图像开口向下,符合题意㊂③若a 2-3a +2>0,则a <1或a >2,此时不等式对应的一元二次函数的图像开口向上,要使符合题意,只需方程(a 2-3a +2)㊃x 2+(a -1)x +2=0有两个不相等的实根,所以Δ=(a -1)2-4ˑ2(a 2-3a +2)>0,解得1<a <157,所以2<a <157㊂由①②③得实数a 的取值范围为1<a <157,即a ɪ1,157㊂评注:根据命题真假求参数的方法:利用题目条件,推出每个命题的真假(有时不一定只有一种情况);求出每个命题是真命题时参数的取值范围;根据每个命题的真假情况,确定出参数的取值范围㊂五㊁由全称量词命题与存在量词命题的否定的真假,确定参数的取值范围例5 命题:∃x ɪ[1,4],x 2-(a 2-4a -1)x +4<0的否定为真命题,则实数a 的最大值为㊂解:由特称命题的否定可知:∃x ɪ[1,4],x 2-(a 2-4a -1)x +4<0的否定为∀x ɪ[1,4],x 2-(a 2-4a -1)x +4ȡ0,且为真命题,所以a 2-4a -1ɤx 2+4x在x ɪ[1,4]上恒成立㊂对于∀x ɪ[1,4],x 2+4x =x +4xȡ24=4,当且仅当x =2时等号成立,所以a 2-4a -1ɤ4,所以-1ɤa ɤ5,即a ɪ[-1,5]㊂故所求实数a 的最大值为5㊂评注:解答这类问题的关键是利用命题的含义,结合函数的性质求得参数的取值范围㊂六㊁全称量词命题与存在量词命题的综合应用例6 命题p :∃x ɪ{x |-1ɤx ɤ1},使得x 2+1<a 成立;命题q :任意的x ɪ(0,+ɕ),不等式a x <x 2+1恒成立㊂若命题p 与q 只有一个为真命题,则实数a 的取值范围为㊂解:若命题p 为真命题,则存在x ɪ[-1,1],使得x 2+1<a 成立㊂令f (x )=x 2+1,则x ɪ[-1,1],a >f (x )m i n ㊂因为f (x )m i n =f (0)=1,所以a >1㊂若命题q 为真命题,则对任意的x ɪ(0,+ɕ),a x <x 2+1恒成立,即a <x 2+1x恒成立㊂令函数g (x )=x 2+1x =x +1x,则x ɪ(0,+ɕ),a <g (x )m i n ㊂因为g (x )=x +1x ȡ2x ㊃1x =2,当且仅当x =1时等号成立,所以g (x )m i n =2,所以a <2㊂当命题p 与命题q 只有一个为真命题时,若命题p 为真命题且命题q 为假命题,则a >1且a ȡ2,所以a ȡ2;若命题p 为假命题且命题q 为真命题,则a ɤ1且a <2,所以a ɤ1㊂故实数a 的取值范围为(-ɕ,1]ɣ[2,+ɕ)㊂评注:利用分离法求函数不等式恒(能)成立问题,遵循以下原则:∀x ɪD ,m ɤf (x )⇔m ɤf (x )m i n ;∀x ɪD ,m ȡf (x )⇔m ȡf (x )m a x ;∃x ɪD ,m ɤf (x )⇔m ɤf (x )m a x ;∃x ɪD ,m ȡf (x )⇔m ȡf (x )m i n ㊂作者单位:湖北省巴东县第三高级中学(责任编辑 郭正华)4知识结构与拓展 高一数学 2023年7 8月Copyright ©博看网. All Rights Reserved.。

第三节全称量词命题与存在量词命题考试要求：能正确地对全称量词命题与存在量词命题进行否定．一、教材概念·结论·性质重现1．全称量词与存在量词(1)全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，用符号“∀”表示．含有全称量词的命题叫做全称量词命题．(2)存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，用符号“∃”表示．含有存在量词的命题叫做存在量词命题．2．含有一个量词的命题的否定命题命题的否定∀x∈M，p(x)∃x∈M，p(x)∃x∈M，p(x)∀x∈M，p(x)1．对于省略量词的命题，应先挖掘命题中隐含的量词，改写成含量词的完整形式，再写出命题的否定，否则易出错．2．注意“或”“且”的否定，“或”的否定为“且”，“且”的否定为“或”．二、基本技能·思想·活动经验1．判断下列说法的正误，对的打“√”，错的打“×”．(1)“∀x∈R，x2≥0”的否定是“∃x∈R，x2＜0”．( √)(2)“长方形的对角线相等”是存在量词命题．( ×)(3)“∃x∈R，x2＋1＝0”为真命题．( ×)(4)写存在量词命题的否定时，存在量词变为全称量词．( √)(5)“∃x∈M，p(x)”与“∀x∈M，p(x)”的真假性相反．( √) 2．已知命题p：∀x>0，总有(x＋1)e x>1，则p为( )A．∃x≤0，使得(x＋1)e x≤1B．∃x>0，使得(x＋1)e x≤1C．∀x>0，使得(x＋1)e x≤1D．∀x≤0，使得(x＋1)e x≤1B 解析：“∀x >0，总有(x ＋1)e x >1”的否定是“∃x >0，使得(x ＋1)e x≤1”． 3．(多选题)下列命题为全称量词命题的是( ) A ．奇函数的图象关于原点对称 B ．正四棱柱都是平行六面体 C ．棱锥仅有一个底面D ．存在大于等于3的实数x ，使x 2－2x －3≥0ABC 解析： A ，B ，C 中命题都省略了全称量词“所有”，所以A ，B ，C 都是全称量词命题；D 中命题含有存在量词“存在”，所以D 是存在量词命题．故选ABC ．4．(多选题)下列命题是“∃x ∈R ，x 2>3”的另一种表述方法的是( ) A ．有一个x ∈R ，使得x 2>3成立 B ．对有些x ∈R ，有x 2>3成立 C ．任选一个x ∈R ，都有x 2>3成立 D ．至少有一个x ∈R ，使得x 2>3成立ABD 解析：原命题为存在量词命题，A ，B ，D 选项均为对应的存在量词命题，是原命题的表述方法，C 为全称量词命题．5．以下四个命题中既是存在量词命题又是真命题的是( ) A ．锐角三角形有一个内角是钝角 B ．至少有一个实数x ，使x 2≤0 C ．两个无理数的和必是无理数 D ．存在一个负数x ，使1x>2B 解析：锐角三角形的内角都是锐角，所以A 项是假命题；当x ＝0时，x 2＝0，满足x 2≤0，所以B 项既是存在量词命题又是真命题；因为2＋(－2)＝0不是无理数，所以C项是假命题；对于任意一个负数x ，都有1x <0，不满足1x>2，所以D 项是假命题．考点1 全称量词命题、存在量词命题的否定——基础性1．(2021·南昌测试)命题“∀x ≥0，sin x ≤x ”的否定为( ) A ．∃x <0，sin x >x B ．∃x ≥0，sin x >xC ．∀x ≥0，sin x >xD ．∀x <0，sin x ≤xB 解析：原命题是全称量词命题，其否定是存在量词命题．因为否定的是结论而不是条件，所以A 选项错误，B 选项正确．故选B ．2．命题“∀x ∈R ，∃n ∈N *，使得n ≥x 2”的否定形式是( ) A ．∀x ∈R ，∃n ∈N *，使得n <x 2B ．∀x ∈R ，∀n ∈N *，使得n <x 2C ．∃x ∈R ，∃n ∈N *，使得n <x 2D ．∃x ∈R ，∀n ∈N *，使得n <x 2D 解析：改变量词，否定结论．所以p 应为“∃x ∈R ，∀n ∈N *，使得n <x 2．”3．(2021·安徽滁州联合质检)命题“∃x ∈R,2x 2<cos x ”的否定为________________． ∀x ∈R,2x 2≥cos x 解析：存在量词命题的否定为全称量词命题，所以命题“∃x ∈R,2x 2<cos x ”的否定为“∀x ∈R,2x 2≥cos x ”．1．解决此类问题一般是先改写量词，再否定结论．2．对于省去量词的命题要结合命题的含义加上量词，再对量词进行改写．考点2 全称量词命题、存在量词命题的真假判断——综合性(1)下列四个命题中的真命题是( )A ．∀n ∈R ，n 2≥nB ．∃n ∈R ，∀m ∈R ，m ·n ＝mC ．∀n ∈R ，∃m ∈R ，m 2<n D ．∀n ∈R ，n 2<nB 解析：对于选项A ，令n ＝12，即可验证其为假命题；对于选项C ，D ，可令n ＝－1加以验证，均为假命题．(2)(多选题)已知集合A ＝{y |y ＝x 2＋2}，集合B ＝{x |y ＝lg x －3}，则下列命题中的真命题是( )A ．∃m ∈A ，mB B ．∃m ∈B ，m AC ．∀m ∈A ，m ∈BD ．∀m ∈B ，m ∈AAD解析：因为A＝{y|y＝x2＋2}＝[2，＋∞)，B＝{x|y＝lg x－3}＝(3，＋∞)，所以B A，则A，D是真命题．全称量词命题与存在量词命题真假的判断方法命题名称真假判断方法一判断方法二全称量词命题真所有对象使命题为真否定为假假存在一个对象使命题为假否定为真存在量词命题真存在一个对象使命题为真否定为假假所有对象使命题为假否定为真1．(2022·重庆一中模拟)命题p：∀x∈[0，＋∞)，(log32)x≤1，则( )A．p是假命题，p：∃x∈[0，＋∞)，(log32)x>1B．p是假命题，p：∀x∈[0，＋∞)，(log32)x≥1C．p是真命题，p：∃x∈[0，＋∞)，(log32)x>1D．p是真命题，p：∀x∈[0，＋∞)，(log32)x≥1C解析：因为0<log32<1，所以∀x∈[0，＋∞)，(log32)x≤1，所以p是真命题，p：∃x∈[0，＋∞)，(log32)x>1．2．(多选题)命题p：存在实数x∈R，使得数据1,2,3，x,6的中位数为3．若命题p为真命题，则实数x的取值集合可以为( )A．{3,4,5} B．{x|x>3}C．{x|x≥3} D．{x|3≤x≤6}ABCD解析：根据中位数的定义可知，只需x≥3，则1,2,3，x,6的中位数必为3，选项A，B，C，D中的取值集合均满足x≥3．考点3 全称量词命题、存在量词命题的应用——应用性(1)“∀x∈[－2,1]，x2－2a≤0”为真命题的一个充分不必要条件是( )A．a≥0B．a≥1C．a≥2 D．a≥3D解析：“∀x∈[－2,1]，x2－2a≤0”为真命题，即2a≥x2在x∈[－2,1]时恒成立，所以2a≥4，所以a≥2，即“∀x∈[－2,1]，x2－2a≤0”为真命题的充要条件是a≥2，所以可转化为求“a≥2”的充分不必要条件，即找集合A ＝{a |a ≥2}的非空真子集，结合选项知故选D ．(2)(多选题)(2021·辽宁盘锦模拟改编)使命题“∃x ∈[－1，2)，f (x )＝－x 2＋ax ＋4≤0”为假命题的充分不必要条件可以为( )A ．0≤a ＜3B ．0＜a ＜3C ．a ＜3D ．1＜a ＜2BD 解析：若命题p “∃x ∈[－1,2)，f (x )＝－x 2＋ax ＋4≤0”为假命题，则命题p“∀x ∈[－1,2)，f (x )＝－x2＋ax ＋4＞0”为真命题，则⎩⎪⎨⎪⎧f－1＞0，f 2≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧－1－a ＋4＞0，－4＋2a ＋4≥0，解得0≤a ＜3，结合选项知BD 正确．例2(1)改为“∃x ∈[－2,1)，x 2－2a ≤0”为真命题，则a 的取值范围为________． AB 解析：“∀x ∈[－2,1]，x 2－2a ≤0”为真命题，即2a ≥x 2在x ∈[－2,1]时恒成立，所以2a ≥4，所以a ≥2，即“∀x ∈[－2,1]，x 2－2a ≤0”为真命题的充要条件是a ≥2，所以可转化为求“a ≥2”的必要不充分条件．结合选项知选AB ．解决此类问题一般是把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(组)求解．1．命题“存在x ∈R ，使x 2＋ax －4a ＜0为假命题”是命题“－16≤a ≤0”的( ) A ．充要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分不必要条件D ．既不充分也不必要条件A 解析：因为存在x ∈R ，使x 2＋ax －4a <0为假命题，所以任意x ∈R ，使x 2＋ax －4a ≥0为真命题，则Δ＝a 2＋16a ≤0，解得－16≤a ≤0．故选A ．2．若“∃x ∈(0，＋∞)，λx >x 2＋1”是假命题，则实数λ的取值范围是________． (－∞，2] 解析：因为∃x ∈(0，＋∞)，λx >x 2＋1是假命题，所以∀x ∈(0，＋∞)，x 2＋1≥λx 为真命题，即λ≤x ＋1x 在(0，＋∞)上恒成立．当x ∈(0，＋∞)时，x ＋1x≥2，当且仅当x ＝1时，等号成立，所以λ≤2．。

二、应用性——强调学以致用 2．一位探险家被土著人抓住，土著人首领说：“如果你说真话，你将被烧死，
说谎话，将被五马分尸”． 请问：探险家该如何保命？ 解：探险家应该说“我将被五马分尸”． 理由如下： 如果土著人首领将探险家五马分尸，那就说明探险家说的是真话，而说真话 应该被烧死；如果土著人首领将探险家烧死，那就说明探险家说的是谎话， 而说谎话应该被五马分尸．所以土著人首领怎么处置探险家都不行，只能让 他活着．
D．存在x∈R，x3－x2＋1＞0
解析：全称量词命题的否定是存在量词命题，故排除C；由命题的否定只否 定结论，不否定条件，故排除A、B，D正确．
答案：D
3．命题“对任意x∈R，|x－2|＋|x－4|＞3”的否定是______________________． 解析：该命题是全称量词命题，其否定应该是存在量词命题，既要改变量词， 又要否定结论，故命题的否定是：“存在x∈R，使得|x－2|＋|x－4|≤3”． 答案：存在x∈R，使得|x－2|＋|x－4|≤3
【对点练清】 写出下列存在量词命题的否定，并判断其真假：
(1)p：存在 x∈R ,2x＋1≥0.
(2)q：存在 x∈R ，x2－x＋14＜0. (3)r：有些分数不是有理数． 解：(1)任意 x∈R ,2x＋1＜0.为假命题． (2)任意 x∈R ，x2－x＋14≥0. 因为 x2－x＋14＝x－122≥0，所以是真命题． (3)一切分数都是有理数．是真命题．
判断真假.
学推理，提升数学抽象素养.
知识点一 全称量词命题的否定 (一)教材梳理填空 1．命题的否定：
(1)一般地，对一个命题进行 否定 ，就可以得到一个新的命题，这一新命 题称为原命题的否定． (2)一个命题和它的否定不能同时为真命题，也不能同时为假命题，只能 _一__真__一__假__ .

解：(1)全称命题，因为x＝0时，x2＋x＋1 ＝1≠0，故是假命题．
(2)特称命题，是真命题，比如10既能被2整 除，又能被5整除．
(3)全称命题，是真命题．
(4)全称命题，是假命题，因为只有x＝2或x ＝1时满足．
例题讲解
类型二、全称命题与特称命题的表述 [例2] (1)设集合S＝{四边形}，p(x)：内角 和 为 360°. 试 用 不 同 的 表 述 写 出 全 称 命 题 “∀x∈S，p(x)”． (2)设q(x)：x2＝x，试用不同的表达方法写 出特称命题“∃x∈R，q(x)”．
(2)令y＝0，则f(x＋y)－f(y)＝f(x)－f(0)＝f(x)＋2＝(x ＋2×0＋1)x＝x2＋x，∴f(x)＋6＝x2＋x＋4.
∴要使在(0,4)上存在 )存在 x0 使 a＝x0＋x40＋1.而 x＋4x＋1≥4＋1＝5， 等号当且仅当 x＝2 时成立．
解析：当x＝0时，0∈N，但0<1. 故“∀x∈N，x≥1”是假命题． 答案：B
4．下列命题：
①偶数都可以被2整除；②角平分线上的任一点到 这个角的两边的距离相等；③正四棱锥的侧棱长相等； ④有的实数是无限不循环小数；⑤有的菱形是正方形； ⑥存在三角形其内角和大于180°.
既是全称命题又是真命题的是________，既是特称 命题又是真命题的是________(填上所有满足要求的序 号)．
解：(1)∵3×1＋1＝4,3×3＋1＝10,5×3＋1＝16 均为偶数，∴是真命题． (2)∵x20－6x0－5＝0 中，Δ＝36＋20＝56>0， ∴方程有两个不相等的实根，∴是真命题． (3)∵x20－x0＋1＝0 中，Δ＝1－4＝－3<0， ∴x02－x0＋1＝0 无解，∴是假命题． (4)∵x＝－1 时，|－1＋1|＝0，∴是假命题．

2.3全称量词命题与存在量词命题2.3.1全称量词命题与存在量词命题课标要求素养要求1.理解全称量词与存在量词的意义.2.会判断命题是全称量词命题还是存在量词命题，并会判断它的真假. 用全称量词、存在量词梳理、表达学过的相应数学内容，重点提升数学抽象、逻辑推理素养.新知探究有下列几个命题：①有些集合没有子集；②所有三角形都有外接圆；③有些四边形有内切圆.问题在这些命题中有一些短语“有些，所有的”在逻辑中如何定义？提示短语“所有的，全部，任一个”等在逻辑中通常叫做全称量词.而“有些”“有一个”“有的”是存在量词.1.全称量词和全称量词命题(1)“所有”“任意”“每一个”等表示全体的词在逻辑学中称为全称量词，常用符号“∀x”表示“对任意x”.(2)含有全称量词的命题称为全称量词命题，它的一般形式可表示为：∀x∈M，p(x).2.存在量词和存在量词命题(1)“存在”“有的”“有一个”等表示部分或个体的词在逻辑学中称为存在量词，常用符号“∃x”表示“存在x”.(2)含有存在量词的命题称为存在量词命题，它的一般形式可表示为：∃x∈M，p(x).拓展深化[微判断]1.存在量词命题“∃x∈R，x2＜0”是真命题.(×)2.“三角形内角和是180°”是全称量词命题.(√)3.“∀x∈R，x2＋1≥1”是真命题.(√)4.“对每一个无理数x，x2也是无理数”是真命题.(×)提示3是无理数，但(3)2＝3是有理数.[微训练]用符号“∀”或“∃”表示下列命题：(1)存在一个实数对(x，y)，使2x＋3y＋3<0成立；(2)有些整数既能被2整除，又能被3整除；(3)所有的梯形都不是平行四边形；(4)任意x∈R，都有－x2＋2x－4<0.解(1)∃(x，y)∈{(x，y)|x∈R，y∈R}，2x＋3y＋3<0.(2)∃x∈Z，x既能被2整除，又能被3整除.(3)∀x∈{x|x是梯形}，x不是平行四边形.(4)∀x∈R，－x2＋2x－4<0.[微思考]1.全称量词命题中的“x，M与p(x)”表达的含义分别是什么？提示元素x可以表示实数、方程、函数、不等式，也可以表示几何图形，相应的集合M是这些元素的某一特定的范围.p(x)表示集合M的所有元素满足的性质.如“任意一个自然数都不小于0”，可以表示为“∀x∈N，x≥0”.2.在全称量词命题和存在量词命题中，量词是否可以省略？提示在存在量词命题中，量词不可以省略；在有些全称量词命题中，量词可以省略.题型一全称量词与存在量词命题的识别【例1】判断下列命题是全称量词命题，还是存在量词命题：(1)凸多边形的外角和等于360°；(2)有的速度方向不定；(3)对任意直角三角形的两锐角∠A，∠B，都有∠A＋∠B＝90°.解(1)可以改写为“所有的凸多边形的外角和等于360°”，故为全称量词命题.(2)含有存在量词“有的”，故是存在量词命题.(3)含有全称量词“任意”，故是全称量词命题.规律方法判断一个命题是全称量词命题还是存在量词命题的关键是看量词.由于某些全称量词命题的量词可能省略，所以要根据命题表达的意义判断，同时要会用相应的量词符号正确表达命题.【训练1】判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并用符号“∀”或“∃”表示下列命题：(1)自然数的平方大于或等于零；(2)有的一次函数图象经过原点；(3)所有的二次函数的图象的开口都向上.解(1)全称量词命题.表示为∀n∈N，n2≥0.(2)存在量词命题.∃一次函数，它的图象过原点.(3)全称量词命题.∀二次函数，它的图象的开口都向上.题型二命题真假的判断【例2】判断下列命题的真假.(1)所有的素数都是奇数；(2)任意矩形的对角线相等； (3)存在x ∈R ，使x 2＋2x ＋3＝0. 解 (1)2是素数，但2不是奇数.所以全称量词命题“所有的素数都是奇数”是假命题. (2)是真命题.(3)由于任意x ∈R ，x 2＋2x ＋3＝(x ＋1)2＋2≥2，因此使x 2＋2x ＋3＝0的实数x 不存在，所以存在量词命题“存在x ∈R ，使x 2＋2x ＋3＝0”为假命题.规律方法 判断一个命题为真命题应给出证明，判断一个命题为假命题只需举出反例，具体而言：(1)要判定一个存在量词命题为真，只要在给定的集合内找到一个元素x ，使p (x )成立即可，否则命题为假.(2)要判定一个全称量词命题为真，必须对给定集合内的每一个元素x ，p (x )都成立，但要判定一个全称量词命题为假时，只要在给定的集合内找到一个x ，使p (x )不成立即可.【训练2】 判断下列命题的真假： (1)有一些二次函数的图象过原点； (2)∃x ∈R ，2x 2＋x ＋1<0； (3)∀x ∈R ，x 2>0.解 (1)该命题中含有“有一些”，是存在量词命题.如y ＝x 2，其图象过原点，故该命题是真命题.(2)该命题是存在量词命题. ∵2x 2＋x ＋1＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋142＋78≥78>0，∴不存在x ∈R ，使2x 2＋x ＋1<0.故该命题是假命题. (3)该命题是全称量词命题.x ＝0时，x 2＝0，故该命题是假命题. 题型三 由命题的真假求参数范围【例3】 已知集合A ＝{x |－2≤x ≤5}，B ＝{x |m ＋1≤x ≤2m －1}，且B ≠∅. (1)若命题p ：“∀x ∈B ，x ∈A ”是真命题，求m 的取值范围； (2)命题q ：“∃x ∈A ，x ∈B ”是真命题，求m 的取值范围. 解 (1)由于命题p ：“∀x ∈B ，x ∈A ”是真命题， 所以B ⊆A ，B ≠∅，所以⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1≤2m －1，m ＋1≥－2，2m －1≤5，解得2≤m ≤3.(2)q 为真，则A ∩B ≠∅， 因为B ≠∅，所以m ≥2.所以⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1≤5，2m －1≥－2，m ≥2.解得2≤m ≤4.规律方法 根据含量词命题的真假等价转化为关于参数的不等式(组)求参数范围. 【训练3】 (1)已知命题“∃x ∈[－3，2]，3a ＋x －2＝0”为真命题，求实数a 的取值范围.(2)∀x ∈[1，5]，1x －2m ＋3≥0恒成立，求实数m 的取值范围. 解 (1)由3a ＋x －2＝0得－x ＝3a －2.∵x ∈[－3，2]，∴－2≤－x ≤3，∴－2≤3a －2≤3， 即0≤a ≤53.即实数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，53.(2)令y ＝1x ，由图象可知y ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤15，1，∴2m －3≤15，∴m ≤85，即m 的取值范围为⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，85.一、素养落地1.通过学习命题、全称量词命题与存在量词命题的概念提升数学抽象素养.通过判断全称量词命题与存在量词命题的真假培养逻辑推理素养.2.判断命题是全称量词命题还是存在量词命题，主要是看命题中是否含有全称量词或存在量词，有些全称量词命题不含全称量词，可以根据命题涉及的意义去判断.3.要确定一个全称量词命题是真命题，需保证该命题对所有的元素都成立；若能举出一个反例说明命题不成立，则该全称量词命题是假命题.4.要确定一个存在量词命题是真命题，举出一个例子说明该命题成立即可；若经过逻辑推理得到命题对所有的元素都不成立，则该存在量词命题是假命题. 二、素养训练1.下列命题中全称量词命题的个数是( ) ①任意一个自然数都是正整数； ②有的平行四边形也是菱形； ③n 边形的内角和是(n －2)×180°. A.0 B.1 C.2D.3解析 ①③是全称量词命题. 答案 C2.下列存在量词命题是假命题的是( ) A.存在x ∈Q ，使4－x 2＝0 B.存在x ∈R ，使x 2＋x ＋1＝0 C.有的素数是偶数 D.有的实数为正数解析 对于任意的x ∈R ，x 2＋x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋34>0恒成立.答案 B3.对任意x >3，x >a 恒成立，则实数a 的取值范围是________. 解析 对任意x >3，x >a 恒成立，即大于3的数恒大于a ，∴a ≤3. 答案 (－∞，3]4.给出下列四个命题：①有理数是实数；②矩形都不是梯形； ③∃x ，y ∈R ，x 2＋y 2≤1； ④凡是三角形都有内切圆.其中全称量词命题是________(填序号).解析 在④中含有全称量词“凡是”为全称量词命题；③为存在量词命题；①的实质为：所有的有理数都是实数；②的实质是：所有的矩形都不是梯形，故①②④为全称量词命题. 答案 ①②④5.判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并判断其真假： (1)∃x ，x －2≤0；(2)三角形两边之和大于第三边； (3)有些整数是偶数.解 (1)存在量词命题.x ＝1时，x －2＝－1≤0，故存在量词命题“∃x ，x －2≤0”是真命题.(2)全称量词命题.三角形中，任意两边之和大于第三边.故全称量词命题“三角形两边之和大于第三边”是真命题.(3)存在量词命题.2是整数，2也是偶数.故存在量词命题“有些整数是偶数”是真命题.基础达标一、选择题1.下列命题中存在量词命题的个数是()①有些自然数是偶数；②正方形是菱形；③能被6整除的数也能被3整除；④对于任意x∈R，总有|x|≥0.A.0B.1C.2D.3解析命题①含有存在量词；命题②可以叙述为“所有的正方形都是菱形”，是全称量词命题；命题③可以叙述为“一切能被6整除的数也都能被3整除”，是全称量词命题；而命题④是全称量词命题.故有一个存在量词命题.答案 B2.已知命题p：∃x∈R，x2＋4x＋a＝0，若命题p是假命题，则实数a的取值范围是()A.0<a<4B.a>4C.a<0D.a≥4解析∵p是假命题，∴方程x2＋4x＋a＝0没有实数根，即Δ＝16－4a<0，即a>4. 答案 B3.下列命题不是“∃x∈R，x2>3”的表述方法的是()A.有一个x∈R，使得x2>3成立B.对有些x∈R，使得x2>3成立C.任选一个x∈R，都有x2>3成立D.至少有一个x∈R，使得x2>3成立解析“任选一个”“任意一个”是全称量词.答案 C4.将命题“x2＋y2≥2xy”改写成全称量词命题为()A.对任意x，y∈R，都有x2＋y2≥2xy成立B.存在x，y∈R，使x2＋y2≥2xy成立C.对任意x>0，y>0，都有x2＋y2≥2xy成立D.存在x <0，y <0，使x 2＋y 2≤2xy 成立解析 B ，D 有存在量词“存在”，C 中，x ，y 的范围与原命题不符. 答案 A5.下列命题中是全称量词命题并且是真命题的是( ) A.每个二次函数的图象都开口向上 B.存在一条直线与已知直线不平行 C.对任意实数a ，b ，若a －b ≤0，则a ≤b D.存在一个实数x ，使等式x 2－2x ＋1＝0成立解析 B ，D 是存在量词命题，故应排除；对于A ，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a <0)的图象开口向下，也应排除，故应选C. 答案 C 二、填空题6.命题“有些负数满足不等式(1＋x )(1－9x )2>0”用“∃”写成存在量词命题为________.解析 存在量词命题“存在M 中的元素x ，使p (x )成立”可用符号简记为“∃x ∈M ，p (x )”.答案 ∃x <0，(1＋x )(1－9x )2>07.若命题“∃x ∈R ，使x 2＋2x －3m ＝0”为真命题，则m 的取值范围为________. 解析 由方程有实根，即Δ＝4＋12m ≥0，∴m ≥－13. 答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫－13，＋∞8.下列全称量词命题中真命题的个数为________. ①∀x ∈R ，x 2＋2>0； ②∀x ∈N ，x 4≥1；③对任意x ，y ，都有x 2＋y 2≠0.解析 ①由于∀x ∈R ，都有x 2≥0，因而有x 2＋2≥2>0，即x 2＋2>0，所以命题“∀x ∈R ，x 2＋2>0”是真命题.②由于0∈N，当x＝0时，x4≥1不成立，所以命题“∀x∈N，x4≥1”是假命题.③当x＝y＝0时，x2＋y2＝0，所以是假命题.答案 1三、解答题9.判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题？(1)矩形有一个外接圆.(2)非负实数有两个平方根.(3)方程x2－x＋1＝0有实数根.解(1)原命题可改写为“所有的矩形都有一个外接圆”是全称量词命题.(2)原命题改写为“任意的非负实数都有两个平方根”是全称量词命题.(3)原命题改写为“存在实数x，使x2－x＋1＝0”是存在量词命题.10.用量词符号“∀”“∃”表示下列命题，并判断其真假.(1)实数都能写成分数形式；(2)有一个实数x，使1x－1＝0；(3)平行四边形的对角线互相平分；(4)至少有一个集合A，满足A{1，2，3}.解(1)∀x∈R，x能写成分数形式.因为无理数不能写成分数形式，所以该命题是假命题.(2)∃x∈R，1x－1＝0.因为不存在x∈R，使1x－1＝0，所以该命题是假命题.(3)∀x∈{x|x是平行四边形}，x的对角线互相平分.由平行四边形的性质可知此命题是真命题.(4)∃A∈{A|A是集合}，A{1，2，3}.存在A＝{3}，使A{1，2，3}成立，所以该命题是真命题.能力提升11.已知命题p：∃x≥3，使2x－1<m是假命题，则实数m的最大值为________. 解析命题p为假命题，则任意x≥3，2x－1<m不成立，因为当x≥3时，2x－1≥5，故m≤5.答案 512.若∀x∈R，函数y＝mx2＋x－m－a的图象和x轴恒有公共点，求实数a的取值范围.解(1)当m＝0时，y＝x－a与x轴恒有公共点，所以a∈R.(2)当m≠0时，二次函数y＝mx2＋x－m－a的图象和x轴恒有公共点的充要条件是Δ＝1＋4m(m＋a)≥0恒成立，即4m2＋4am＋1≥0恒成立.设y1＝4m2＋4am＋1，则可转化为此关于m的二次函数的图象恒在m轴上方(或图象顶点在m轴上)的充要条件是Δ1＝(4a)2－16≤0，可得－1≤a≤1.综上所述，当m＝0时，a∈R；当m≠0时，a∈{a|－1≤a≤1}.创新猜想13.(多选题)下列说法错误的是()A.对所有的正实数t，有t<tB.存在实数x，使x2－3x－4＝0C.不存在实数x，使x<4且x2＋5x－24＝0D.任意实数x，使得|x＋1|≤1且x2>4解析t＝14时，t>t，所以A选项错；由x2－3x－4＝0，得x＝－1或x＝4，因此当x＝－1或x＝4时，x2－3x－4＝0，故B选项正确；由x2＋5x－24＝0，得x＝－8或x＝3，所以C选项错；x＝0时，不成立，所以D选项错.答案ACD14.(多选题)下列命题中的真命题是()A.∀x∈R，|x|＋1>0B.∀x∈N＋，(x－1)2>0C.∃x∈R，1x<1 D.∃x∈R，5x－3＝2解析A项，∵x∈R，∴|x|＋1>0，故A正确；B项，∵x∈N＋，∴当x＝1时，(x－1)2＝0与(x－1)2>0矛盾，故B错误；C项，当x>1时，1x<1，故C正确；D项，当x＝1时，5x－3＝2，故D正确. 答案ACD。

一般地，对于含一个量词的特称命题的否定， 有下面的结论：特称命题p：∃x0∈M，p(x0)，它的 否定綈p：∀x∈M， ¬p(x)．特称命题的否定是全称 命题．如：“存在一个实数x，使得x2＋x＋1≤0”的 否定为“对所有实数x，都有x2＋x＋1>0”，其中， 把存在量词“存在一个”变为全称量词“对所有 的”．
③由于－1∈Z，当 x＝－1 时，x3<1 成立． 所以命题“∃x0∈Z，x30<1”是真命题． ④由于使 x2＝3 成立的数只有± 3， 而它们都不是有理数． 因此，没有任何一个有理数的平方等于 3. 所以命题“∃x0∈Q，x02＝3”是假命题．
[答案] ①③
跟踪练习
1. 判断下列命题的真假． (1)∀x∈{1,3,5},3x＋1 是偶数； (2)∃x0∈R，x20－6x0－5＝0； (3)∃x0∈R，x20－x0＋1＝0； (4)∀x∈R，|x＋1|>0.
有些全称命题省略了量词在这种情况下千万不要将否定写成是或不是如第小题将否定写成负数的平方不是正数就错误了因为这个命题也是全称命题是假命题
1.4 全称量 词和存在量词
一、 全称量 词和存在量词
新课讲解
1．全称量词和全称命题
(1)全称量词： 短语“所有的”、“任意一个”在逻辑中通常 叫做全称量词，并用符号“∀”表示．
(4)至少有一个集合 A，满足 A {1,2,3}．
[解] (1)是全称命题．因为∀ x∈N,2x＋1 都是奇数， 所以该命题是真命题．
(2)是特称命题．因为不存在 x0∈R，使x0－1 1＝0 成 立，所以该命题是假命题．
(3)是特称命题．当 m＝4，n＝3 时，使 m－n＝1 成 立，所以该命题是真命题．
(1)实数的平方大于或等于0； (2)存在一对实数(x，y)，使2x－y＋1<0成立； (3)勾股定理．