1.4.1-2全称命题与特称命题1(含答案)

全称命题与特称命题1.全称量词：“所有”、“任意”、“每一个”等，通常用符号“”表示，读作“对任意”。

含有全称量词的命题，叫做全称命题。

全称命题“对M 中任意一个x ，有p(x)成立”可表示为“”，其中M 为给定的集合，p(x)是关于x 的命题.2.存在量词：“有一个”，“存在一个”,“至少有一个”，“有点”,“有些”等，通常用符号“”表示，读作“存在”。

含有存在量词的命题，叫做特称命题 特称命题“存在M 中的一个x ，使p(x)成立”可表示为“”，其中M 为给定的集合，p(x)是关于x 的命题.3. 对含有一个量词的命题进行否定全称命题p ：，他的否定： 全称命题的否定是特称命题。

特称命题p ：，他的否定：特称命题的否定是全称命题。

练习题：1.命题“2,210x R x ∀∈+>”的否定是( )．A ．200,210x R x ∃∈+>B ．2,210x R x ∀∈+≤ C ．200,210x R x ∃∈+< D ．200,210x R x ∃∈+≤2.命题“x ∃∈R ，2210x x -+<”的否定是( )A ．x ∃∈R ，221x x -+≥0 B ．x ∃∈R ，2210x x -+> C ．x ∀∈R ，221x x -+≥0D ．x ∀∈R ，2210x x -+<3.命题:p 2,11x x ∀∈+≥R ，则p ⌝是 （ ） A ．2,11x x ∀∈+<R B ．11,2≥+∈∀x R x C ．11,200<+∈∃x R x D ．11,200≥+∈∃x R x5.下列命题是真命题的是（ ） 1x ,Z x .D 1x ,N x .C 3x ,Q x .B 22x ,R x .A 30022002<∈∃≥∈∀=∈∃>+∈∀6.（逻辑）已知命题p ：1sin ,≤∈∀x R x ，则（ ） A ．1sin ,:≥∈∃⌝x R x p B ．1sin ,:≥∈∀⌝x R x pC ．1sin ,:>∈∃⌝x R x pD ．1sin ,:>∈∀⌝x R x p7.已知命题p ：∀x 1，x 2∈R ，(f (x 2)-f (x 1))(x 2-x 1)≥0，则⌝p 是（ ） A ．∃x 1，x 2∈R ，(f (x 2)-f (x 1))(x 2-x 1)≤0 B ．∀x 1，x 2∈R ，(f (x 2)-f (x 1))(x 2-x 1)≤0 C ．∃x 1，x 2∈R ，(f (x 2)-f (x 1))(x 2-x 1)<0 D ．∀x 1，x 2∈R ，(f (x 2)-f (x 1))(x 2-x 1)<08.命题“(,),,,2330x y x R y R x y ∃∈∈++<”的否定是( ) A. 000000(,),,,2330x y x R y R x y ∃∈∈++< B. 000000(,),,,2330x y x R y R x y ∃∈∈++≥ C. (,),,,2330x y x R y R x y ∀∈∈++≥ D. (,),,,2330x y x R y R x y ∀∈∈++>9.命题“042,2≤+-∈∀x x R x ”的否定为（ ） A.042,2≥+-∈∀x x R x B.042,2>+-∈∀x x R x C.042,2>+-∈∃x xR x D.042,2>+-∉∃x x R x10.命题“x ∃∈R ，2450x x ++≤”的否定是 .11.已知命题0:p x R ∃∈，200220x x ++≤，则p ⌝为 （ ）A. 2000,220x R x x ∃∈++>B. 2000,220x R x x ∃∈++< C. 2000,220x R x x ∀∈++≤ D. 2000,220x R x x ∀∈++>12.命题“04,2>++∈∀x x R x ”的否定是13若命题p :x ∀∈R 22421ax x a x ,++≥-+是真命题,则实数a 的取值范围是 .14.若命题“x R ∀∈，210x ax ++≥”是真命题，则实数a 的取值范围为 .15.命题“2,20x R x x ∀∈++≤”的否定是__________ _______.16.命题“若b a >，则122->b a ”的否命题为______________________________.17.若“,x R ∃∈使2220x ax -+<”是假命题，则实数a 的范围 ．18.若命题“2,10x R x ax ∃∈++<”是真命题，则实数a 的取值范围是_____________.。

含有一个量词的命题的否定
温故知新
全称量词: “所有的”, “任意一个”, “一切” ,
“每一个”, “任给”……常用符号“"”表示.
全称命题:含有全称量词的命题叫做全称命题.
全称命题格式为: 对M中任意一个x,有p(x)成立.
符号语言表示为: "x∈M,p(x).
温故知新
存在量词:“存在一个”, “至少有一个”,“有
7．(2010 年高考湖南卷文科 2)下列命题中的假命题 是 ．．． A. $x R, lg x 0 C. B. $x R, tan x 1 D. "x R, 2x > 0
"x R, x3 > 0
一不变：元素的性质不变.
练习: 写出下列命题的否定 . (1) p: $x0∈R, x02 + 2x0 + 2 ≤ 0； (2) p: 有的三角形是等边三角形； (3) p: 有一个素数含三个正因数 . 注意： 特称命题的否定是全称命题.
写出下列命题的否定:
(1) p: ∃x0∈R , x02 + 2x0 + 2 ≤ 0；
p:每一个平行四边形都不是菱形．
( 3)$x0 R, x + 1 < 0 .
2 0
p : "x R , x 2 + 1 0 .
特称命题的否定
特称命题: p: $x0∈M , p(x0) ﹁ p: "x∈M , ﹁ p(x) 特称命题的否定： 注意事项:
三变：更换量词,否定结论,给元素去下标;
∀x∈M，¬ p(x)
课堂小结
1、全称量词、全称命题的定义. 2、全称命题的符号记法. 3、判断全称命题真假性的方法. 4、存在量词、特称命题的定义. 5、特称命题的符号记法. 6、判断特称命题真假性的方法. 7、含有一个量词的否定.

全称命题与特称命题课程目标知识提要全称命题与特称命题∙全称量词与全称命题短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词（universal quantifier），并用符号“ ”表示．含有全称量词的命题，叫做全称命题．通常，将含有变量的语句用，，，来表示，变量的取值范围用表示，那么，全称命题“对中任意一个，有成立”可用符号简记为．∙特称量词与特称命题短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词（existential quantifier），并用符号“ ”表示．含有特称量词的命题，叫做特称命题．特称命题“存在中元素，使成立”可用符号简记为．全（特）称命题的概念与真假判断∙全称量词与全称命题短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词（universal quantifier），并用符号“ ”表示．含有全称量词的命题，叫做全称命题．通常，将含有变量的语句用，，，来表示，变量的取值范围用表示，那么，全称命题“对中任意一个，有成立”可用符号简记为，．∙特称量词与特称命题短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词（existential quantifier），并用符号“ ”表示．含有特称量词的命题，叫做特称命题．特称命题“存在中元素，使成立”可用符号简记为，．全（特）称命题的否定∙全称命题的否定一般地，对于含有一个量词的全称命题，，其否定为．全称命题的否定是特称命题．∙特称命题的否定一般地，对于含有一个量词的特称命题，，其否定为．特称命题的否定是全称命题．精选例题全称命题与特称命题1. 命题“ ，”的否定为．【答案】，2. 若命题，，则命题为．【答案】，3. 命题，的否定为．【答案】，4. 命题“ ，使得”的否定是．【答案】5. 已知命题，则是．【答案】，6. 下列命题中，假命题的序号是．，；，；，能被和整除；，．【答案】④7. 命题：存在实数，使得关于的方程有实数根，则，命题的真假是．【答案】对一切实数，关于的方程没有实数根；假【分析】（1）原命题为存在性命题，故为全称命题；（2）间接考查的真假．8. 若命题一元一次不等式的解集一定是，命题关于的不等式的解集一定是，则“ ”，“ ”及“ ”形式的复合命题中的真命题是．【答案】【分析】为假命题（因为可以不大于），也是假命题．因为，的大小关系未知，所以“ ”“ ”为假命题，“ ”为真命题．9. 若命题” 使”是假命题，则实数的取值范围为．【答案】10. 命题“ ，使得”的否定是．【答案】，11. 写出下列命题的否定：(1)若是锐角三角形，则的任何一个内角是锐角；【解】若是锐角三角形，则中存在某个内角不是锐角．(2)所有可以被整除的整数，末位数字都是；【解】存在一个可以被整除的整数，末位数字不是．(3)，；【解】，．(4)存在一个四边形，它的对角线互相垂直且平分．【解】对于所有四边形，它的对角线不互相垂直或不平分．12. 用符号“ ”与“ ”表示下列命题，并判断真假：(1)不论取什么实数，方程必有实根；【解】，方程必有实根．假命题；(2)存在一个实数，使．【解】，．真命题．13. 判断下列命题是全称命题还是存在性命题，并判断其真假．(1)对数函数都是单调函数；【解】命题中隐含了全称量词“所有的”，原命题应为“所有的对数函数都是单调函数”，是全称命题，且为真命题．(2)至少有一个整数，它既能被整除，又能被整除；【解】命题中含有存在量词“至少有一个”，因此是存在性命题，真命题．(3)，；【解】命题中含有全称量词“ ”，是全称命题，真命题．(4)，．【解】命题中含有存在量词“ ”，是存在性命题，真命题．14. 命题：二次函数的图象与轴相交，命题：二次函数的图象与轴相交，判断由，组成的新命题“ ”的真假．【解】：二次函数与轴相交，易知图象过点，故为真．：二次函数的图象与轴相交，而，故为假，所以为假命题．15. 设集合边形，：内角和为．试用不同的表述写出全称命题：‘’‘’．【解】任意边形的内角和都为．16. 判断命题" ，则方程有解"是全称命题还是特称命题，并写出它的否定．【解】由于表示是任意实数，即命题中含有全称量词"任意的"，因而是全称命题；其否定是：" ，使方程无解"．17. 写出下列命题的否定．(1) ，；【解】，使得；(2) ，是有理数；【解】，使得不是有理数；(3) 使；【解】都有；(4) 使得．【解】都有．18. 指出下列语句中的全称量词或存在量词：(1)每个人都喜欢体育锻炼；【解】全称量词：每个．(2)有的等差数列是等比数列；【解】存在量词：有的．(3)有些相似三角形是全等三角形；【解】存在量词：有些；(4)两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．【解】全称量词：任意．19. 写出下列命题的非，并指出其真假：（1）至少有一个实数，使；（2）；（3）；（4）若与是对顶角，则．【解】（1）任意实数，使；真（2）；假（3）；假（4）若与是对顶角，则；假．20. 用量词符号" ， "表示下列命题，并判断下列命题的真假．(1)任意实数都有，；【解】；假命题，时，结论不成立；(2)存在实数，；【解】；假命题，时，；(3)存在一对实数，使成立；【解】；真命题，如，；(4)有理数的平方仍为有理数；【解】；真命题；(5)实数的平方大于．【解】；假命题，．(6)有一个实数乘以任意一个实数都等于．【解】，有；真命题，即满足．全（特）称命题的概念与真假判断1. 已知命题：“ ，，”，且命题是假命题，则实数的取值范围为．【答案】【分析】命题是假命题，则命题是真命题，即关于的方程有实数解，而，所以．2. 若命题" ， "是真命题，则实数的取值范围是．【答案】3. 命题" "的否定形式是．【答案】4. 对于语句（1）；（2）；（3）（4）；其中正确的命题序号是．（全部填上）【答案】5. 判断下列存在性命题的真假：（1），；（2）至少有一个整数，它既不是合数，也不是素数；（3）是无理数，是无理数．【答案】（1）真；（2）真；（3）真6. 下列四个命题：，使得；，；，；，．其中的真命题是．【答案】【分析】由，得，故错误；结合指数函数和三角函数的图象，可知，错误；因为恒成立，所以正确．7. （1）任意属于，有成立，用符号语言可简记为；（2）符号语言：，，读作．【答案】（1），则成立（2）存在实数使不等式成立．8. 给出下列四个命题：①偶数都能被整除；②实数的绝对值大于；③存在一个实数，使④，为第一象限的角，则．其中即使全称命题又是假命题的是．（写出所有符合要求的序号）【答案】②④9. 下列命题中真命题的个数有个①②③使【答案】【分析】①③正确．10. 若命题 " 不成立 " 是真命题，则实数的取值范围是．【答案】【分析】该命题等价于：对恒成立．当时，恒成立；当时，解得．综上，．11. 判断下列命题的真假：(1)，；【解】因为时，成立，所以，“ ，”是真命题；(2)，；【解】因为时，不成立，所以，" ，“是假命题；(3)，；【解】因为使成立的数只有与，但它们都不是有理数，所以，“ ，”是假命题；(4)，．【解】因为对任意实数，都有成立，所以，” ，“是真命题．12. 判断下列命题是全称命题还是存在性命题：(1)有的质数是偶数；【解】存在性命题．(2)与同一平面所成的角相等的两条直线平行；【解】全称命题．(3)有的三角形三个内角成等差数列；【解】存在性命题．(4)与圆只有一个公共点的直线是圆的切线．【解】全称命题．13. 判断下列命题是全称命题还是存在性命题，并判断其真假：(1)对数函数都是单调函数；【解】全称命题，真命题；(2)至少有一个整数，它既能被整除又能被整除；【解】存在性命题，真命题；(3) ，使．【解】存在性命题，真命题．(1)设，判断命题" ， "的真假；【解】取，则，显然，，因此，此时．故这个命题是假命题．(2)设，判断命题" ， "的真假．【解】由，得．因为，，所以，成立．因此，" ， "是真命题．15. 写出下列命题的否定，并判断其真假，写出理由．(1)：任意两个第一象限角和，有；【解】：存在两个第一象限角和，有此为真命题．(2)：存在一个函数，既是奇函数又是偶函数．【解】：对所有函数，不能既是奇函数又是偶函数．此为假命题，如，．16. 已知，命题：" ， "命题：" "． (1)若命题为真命题，求实数的取值范围；【解】由命题为真命题，，．(2)若命题为假命题，求实数的取值范围．【解】由命题为假命题，所以为假命题或为假命题为假命题时，由．为假命题时，综上．17. 判断下列命题是全称命题还是存在性命题，并判断真假．①是整数( )；②对所有的实数，；③对任意一个整数，为奇数；④末位是的整数，可以被整除；⑤角平分线上的点到这个角的两边的距离相等；⑥正四面体中两侧面的夹角相等；⑦有的实数是无限不循环小数；⑧有些三角形不是等腰三角形；⑨有的菱形是正方形．【解】①⑥是全称命题，⑦⑨是存在性命题；③⑨是真命题，①②是假命题．18. 判断下列命题是全称命题还是存在性命题．(1)线段的垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等；【解】全称命题；(2)负数的平方是正数；【解】全称命题；(3)有些三角形不是等腰三角形；【解】存在性命题；(4)有些菱形是正方形．【解】存在性命题．19. 写出下列命题的否定，并判断真假．(1) ，；【解】，（真命题）．(2) ，；【解】，（假命题）．(3)集合是集合或的子集；【解】存在集合既不是集合的子集，也不是的子集（假命题）．(4) 是异面直线，，，使，．【解】，是异面直线，，，有既不垂直于，也不垂直于（假命题）．20. 判断下列命题是全称命题还是存在性命题：(1)任何实数的平方都是非负数；【解】全称命题；(2)任何数与相乘，都等于；【解】全称命题；(3)任何一个实数都有相反数；【解】全称命题；(4)有些三角形的三个内角都是锐角．【解】存在性命题全（特）称命题的否定1. 命题：“ ”的否定是．【答案】2. 命题：“ ，”的否定是．【答案】，3. 已知命题：，，则为．【答案】，4. 若：" "，则"非 "为．【答案】，使5. 已知命题，则命题的否定是．【答案】6. 命题 " " 的否定是．【答案】．7. 命题：，的否定是．【答案】，8. 命题：，的否定是．【答案】，；9. 已知命题，，则命题的否定．【答案】，10. 已知命题：，则为．【答案】11. 写出下列命题的否定：(1)中学生的年龄都在岁以上；【解】有的中学生年龄不在岁以上；(2)有的三角形中，有一个内角是直角；【解】任意三角形中’所有内角都不是直角；(3)锐角都相等；【解】有些锐角不相等；(4)我们班上有的学生不会用电脑．【解】我们班上所有的学生都会用电脑．12. 写出下列特称命题的否定：，使．【解】，都有．13. 写出下列命题的否定：(1)三角形的内角和是；【解】存在三角形的内角和不是；(2)所有的等边三角形都全等；【解】存在两个等边三角形不全等；(3)实系数一元二次方程有实数解；【解】有的实系数一元二次方程没有实数解；(4)有的实数没有平方根．【解】所有的实数都有平方根．14. 已知命题：存在一个实数，使．当时，非为真命题，求集合．【解】非为真，故" ， "为真即．从而，所求的集合．15. 命题：对任意实数，有或，其中，是常数．(1)写出命题的否定；【解】命题的否定：对某些实数，有且，其中，是常数．(2)实数，满足什么条件时，命题的否定为真？【解】要使命题的否定为真，就是要使关于的不等式组的解集不为空集．通过画数轴可以看出：，应满足的条件是．16. 设函数．求证：，，中至少有一个不小于．【解】假设，，都小于，则有即由，得，即，与矛盾，故假设不成立．即，，中至少有一个不小于．17. 写出下列命题的否定：(1)所有人都晨练；【解】“所有人都晨练”的否定是“有的人不晨练”．(2)，＞；【解】，的否定是‘‘ ，”．(3)平行四边形的对边相等；【解】“平行四边形的对边相等”是指任意—个平行四边形的对边相等’它的否定是“存在平行四边形，它的对边不相等”．(4)，＝．【解】‘‘ ，”的否定是‘‘ ， "．课后练习1. 请补充条件，使命题成为全称命题．2. 若命题“ ，”是假命题，则实数的取值范围是．3. 设集合四边形，：“对角线互相垂直平分”．试用不同的表述方法写出存在性命题：“ ，”．4. 关于的函数，有以下命题：①，；②，使；③，都不是偶函数；④，使是奇函数．其中假命题的序号是．5. 使’’的非命题是．6. 已知命题，，命题，，若命题“ ”是真命题，则实数的值为．7. 已知命题，，则该命题的否定是．8. 命题“ ，”的否定是．9. 命题“ ，”的否定是．10. 命题“ ，”的否定是．11. 给出下列命题：①，使得；②曲线表示双曲线；③，的递减区间为④对，使得其中真命题为（填上序号）12. 由命题“ ，”是假命题，求得实数的取值范围是，则实数的值是．13. 已知命题：存在，使得，命题：指数函数是上的增函数，若命题“ 且”是真命题，则实数的取值范围是．14. 已知命题：；：．若且为真，则的取值范围是．15. 有下列四个命题：①对任意实数均有．②不存在实数使．③方程至少有一个实数根．④使．其中假命题是．（填相应序号即可）16. 下列四个命题：①；②；③；④．其中真命题的序号是．17. 若存在，使，则实数的取值范围是．18. 若方程和中至少有一个方程有实数根，则实数的取值范围是．19. 下列命题中，是真命题的有．①；②；③；④．20. 命题"存在 "为假命题，则实数的取值范围为．21. 命题 "对任意，都有 "的否定是-----．22. 由命题"存在，使 "是假命题，求得的取值范围是，则实数的值是．23. 命题 " " 的否定是．24. 命题“ ，或”的否定为．25. 命题＂，＂的否定是．26. 已知命题，，则命题是．27. 命题"存在实数，使得 "的否定是．28. 命题“至少有一个数，使”的否定是．29. 命题 " "的否定是．30. 已知命题，则命题的否定是．31. 已知，，若使得，求正实数的取值范围．32. 用符号“ ”，“ ”表达下列命题：(1)实数的平方大于等干；(2)存在一个实数，使；(3)存在一对实数对，使成立．33. 已知命题对任意的，都成立．判断此命题是全称命题还是存在性命题，并写出它的否定．34. 写出下列命题的否定，并判断真假．(1) 等圆的面积相等，周长相等；(2) 对任意角，都有；(3) 存在实数，使得或．35. 已知集合，函数的定义域为．(1)若，求实数的取值范围；(2)若，求实数的取值范围．36. 用符号‘’ ‘’与‘’ ‘’表示下面含有量词的命题：(1)自然数的平方大于零；(2)存在一对整数，使．37. 判断下列命题是全称命题还是特称命题，并判断其真假．(1)对数函数都是单调函数；(2)至少有一个整数，它既能被整除，又能被整除；(3) 是无理数，是无理数；(4) ，．38. 设语句．(1)写出，并判断其真假；(2)写出“ ，”并判断命题的真假．39. “ 是的子集”可以用下列数学语言表达：“若对任意的，都有，则称”，请用数学语言表达“ 不是的子集”．40. 判断下列命题是全称命题还是特称命题，并判断其真假．(1)对数函数都是单调函数；(2) 是无理数，是无理数；(3) ，．41. 设语句，写出" "，并判断它是不是真命题．42. 用符号" "，" "表达下列命题：(1)实数的平方大于等于；(2)存在一个实数，使；(3)存在一个实数对，使成立．43. 判断下列命题是全称命题还是特称命题，并判断其真假．(1)对于第一象限角，，都有：时，；(2)对于圆上的点的坐标，有的不能使方程成立；(3)对于中的元素，都有．44. 写出下列命题的否定，并判断真假．(1)正方形都是菱形；(2)，使；(3)，；(4)集合是集合或的子集．45. 判断下列命题的真假：(1)已知，，，，若，或，则；(2) ，；(3)若，则方程无实数根；(4)存在一个三角形没有外接圆．全称命题与特称命题-出门考姓名成绩1. 命题：" "的否定是．2. 已知命题，；命题，，若命题“ 且”是真命题，则实数的取值范围为．3. 命题：“存在，使”为假命题，则实数的取值范围是．4. 命题“ ，”的否定是．5. 给出下列四个命题：①；②矩形都不是梯形；③，；④任意互相垂直的两条直线的斜率之积等于．其中全称命题是．6. 写出下列命题的否定：①有的平行四边形是菱形，②存在质数是偶数．7. 命题“ ”的否定是命题．（填“真”或“假”之一）8. 已知命题，，则为．9. 命题“ ，”的否定是．10. 已知命题：“ ”，则：．11. 已知命题．如果命题是真命题，那么实数的取值范围是．12. 若“ ，”是真命题，则实数的取值集合是．13. 命题：，：，则命题为 (填： "真"或"假")．14. “存在，，使”是命题（填“全称”或“特称”），该命题是（填“真”或“假”）命题．15. 若命题“存在，”为假命题，则实数的取值范围是．16. 若命题 "对 "是真命题，则实数的取值范围是．17. 下列命题既是全称命题，又是真命题的个数有个．（1）对数函数都是单调函数；（2）至少有一个整数，它既能被整除，又能被整除；（3）对于任意的无理数，是无理数；（4）存在一个整数，使得．18. " ，使 "是真命题，则实数的取值范围是．19. 若命题" ，使得 "是真命题，则实数的取值范围是．20. 已知命题：；命题：中，，则．则命题 " 且 " 的真假性的是．21. 命题：，的否定是．22. “ 是的子集”可以用下列数学语言表达：“若对任意的，都有，则称”．那么“ 不是的子集”可用数学语言表达为．23. 命题" ， "的否定形式是．24. 命题" "的否定．25. 命题" ， "的否定是．26. 命题"对任何 "的否定是．27. 已知命题，则．28. 命题"若，则 "的否命题是．29. 若命题"存在实数，使 "的否定是真命题，则实数的取值范围为．30. 命题" ， "的否定是31. 写出下列命题的否定，并判断真假．(1)等边三角形都是等腰三角形；(2) ，使；(3) ，有．32. 判断下列命题是否是全称命题或特称命题．若是，用符号表示，并判断其真假．(1)有一个实数，；(2)任何一条直线都存在斜率；(3)所有的实数，，方程恰有唯一解；(4)存在实数，使得．33. 下列语句是不是全称命题或者是特称命题．(1)有一个实数，不能取对数；(2)所有不等式的解集为，都有；(3)有的向量方向不定；(4)正弦函数都是周期函数吗？34. 判断下列命题是全称命题还是特称命题，并判断其真假：(1)对数函数都是单调函数；(2)至少有一个整数，它既能被整除，又能被整除；(3) ，．35. 判断下面对结论的否定是否正确，如果不正确，请写出正确的否定结论：(1)至少有一个是；否定：至少有两个或两个以上是；(2)最多有一个是．否定：最少有一个是；(3)全部都是．否定：全部的都不是．36. 判断下列命题的真假：(1)，；(2)，；(3)，使；(4)，使为的约数．37. 写出下列命题的否定，并判断其真假：(1)菱形的对角线互相垂直；(2)二次函数的图象与轴有公共点．38. 写出下列命题的否定，并判断真假：(1)质数都是奇数；(2) ，；(3) （为全集），是集合的真子集．39. 判断下列命题是全称命题，还是存在性命题．(1)平面四边形都存在外接圆；(2)有些直线没有斜率；(3)三角形的内角和等于；(4)有一些向量方向不定；(5)所有的有理数都是整数；(6)实数的平方是非负的．40. 用符号“ ”与“ ”表达下列命题．(1)对任意角，都有；(2)存在正整数，，对任意小的正数，当时，；(3)存在实数，使得．。

所以“p或q”是真命题时,实数a的取值范围是(-∞,1]∪[2,+∞).
方法技巧 (1)含参数的全称命题为真时,常转化为不等式的恒成立问题来 处理,最终通过构造函数转化为求函数的最值问题. (2)含参数的特称命题为真时,常转化为方程或不等式有解问题来处理,最 终借助根的判别式或函数等相关知识获得解决.
是错误的,故选C.
方法技巧 (1)全称命题的真假判断
要判定一个全称命题“∀x∈M,p(x)”是真命题,必须对限定集合M中的每个
元素x验证p(x)成立;但要判定全称命题是假命题,只要能举出集合M中的一
个x=x0,使得p(x0)不成立即可. (2)特称命题的真假判断 要判断特称命题“∃x0∈M,p(x0)”为真命题,只需在限定集合M中找出一个 x=x0,使得p(x0)成立即可;要判断特称命题为假命题,就要验证集合M中的每 个元素x都不能满足p(x),即在集合M中,使p(x0)成立的元素x0不存在.
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知识点一 全称量词与全称命题
问题1:结合你学过的知识,谈谈你对全称量词的含义的理解.
答案:短语“所有”在陈述中表示所述事物的全体,在逻辑中通常叫做全称量
词.
∀
梳理 全称量词有:所有的、任意一个、任给一个,用符号“
”表示,含
有全∀称x∈量M词,p的(x命) 题,叫做全称命题.“对M中的所有x,p(x)”用符号简记为:
解析:(1)可以改为所有的凸多边形的外角和等于360°,故为全称命题.
(2)含有全称量词“任意”,故是全称命题;
(3)是命题,但既不是全称命题,也不是特称命题;
(4)有一个实数a,a不能取对数. (5)任何数的0次方都等于1吗?
解析:(4)含有存在量词“有一个”,因此是特称命题; (5)不是命题.

2020-2021学年高中数学第一章常用逻辑用语1.4.1 全称量词1.4.2 存在量词1.4.3 含有一个量词的命题的否定课时跟踪训练新人教A版选修2-1年级：姓名：第一章常用逻辑用语[A组学业达标]1．下列命题中为全称命题的是( )A．过直线外一点有一条直线和已知直线平行B．矩形都有外接圆C．存在一个实数与它的相反数的和为0D．0没有倒数解析：命题“矩形都有外接圆”可改写为“每一个矩形都有外接圆”，是全称命题．故选B.答案：B2．下列命题中为特称命题的是( )A．所有的整数都是有理数B．三角形的内角和都是180°C．有些三角形是等腰三角形D．正方形都是菱形解析：A，B，D为全称命题，而C含有存在量词“有些”，故为特称命题．答案：C3．命题“∃x0∈R,2x0<12或x20>x0”的否定是( )A．∃x0∈R,2x0≥12或x20≤x0B．∀x∈R,2x≥12或x2≤xC．∀x∈R,2x≥12且x2≤xD．∃x0∈R,2x0≥12且x20≤x0解析：原命题为特称命题，其否定为全称命题，应选C.答案：C4．下列四个命题中的真命题为( )A．若sin A＝sin B，则A＝BB．∀x∈R，都有x2＋1>0C．若lg x2＝0，则x＝1D．∃x0∈Z，使1<4x0<3解析：A中，若sin A＝sin B，不一定有A＝B，故A为假命题，B显然是真命题；C中，若lg x2＝0，则x2＝1，解得x＝±1，故C为假命题；D中，解1<4x<3得14<x<34，故不存在这样的x∈Z，故D为假命题．答案：B5．命题“∀x∈[1,2]，x2－a≤0”是真命题的一个充分不必要条件是( ) A．a≥4B．a≤4C．a≥5 D．a≤5解析：当该命题是真命题时，只需a≥(x2)max，x∈[1,2]．因为y＝x2在[1,2]上的最大值是4，所以a≥4.因为a≥4⇒/ a≥5，a≥5⇒a≥4，故选C.答案：C6．下列命题中，是全称命题的是________；是特称命题的是________．(填序号)①正方形的四条边相等；②有两个角相等的三角形是等腰三角形；③正数的平方根不等于0；④至少有一个正整数是偶数．解析：①可表述为“每一个正方形的四条边相等”，是全称命题；②是全称命题，即“凡是有两个角相等的三角形都是等腰三角形”；③可表述为“所有正数的平方根不等于0”，是全称命题；④是特称命题．答案：①②③④7．命题p ：∃x 0∈R ，x 20＋2x 0＋5<0是________(填“全称命题”或“特称命题”)，它是________命题(填“真”或“假”)，它的否定是綈p ：____________，它是________命题(填“真”或“假”)．解析：∵x 2＋2x ＋5＝(x ＋1)2＋4≥0恒成立，∴命题p 是假命题． 答案：特称命题 假 ∀x ∈R ，x 2＋2x ＋5≥0 真8．若命题“∃x 0∈R ，使得x 20＋(1－a )x 0＋1<0”是真命题，则实数a 的取值范围是________．解析：由题意可知，Δ＝(1－a )2－4＝(a －3)(a ＋1)>0，解得a <－1或a >3. 答案：(－∞，－1)∪(3，＋∞) 9．判断下列命题的真假，并说明理由． (1)∀x ∈R ，都有x 2－x ＋1>23；(2)∃x 0∈R 使sin x 0＋cos x 0＝2； (3)∀x ，y ∈N ，都有(x －y )∈N ； (4)∃x 0，y 0∈Z ，使2x 0＋y 0＝3.解析：(1)x 2－x ＋1>23⇔x 2－x ＋13>0，由于Δ＝1－4×13＝－13<0，∴不等式x 2－x ＋1>23的解集是R ，∴该命题是真命题．(2)∵sin x 0＋cos x 0＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x 0＋π4，∴－2≤sin x 0＋cos x 0≤2<2， ∴该命题是假命题．(3)当x ＝2，y ＝4时，x －y ＝－2∉N ，所以该命题是假命题． (4)当x 0＝0，y 0＝3时，2x 0＋y 0＝3，所以该命题是真命题．10．已知命题p ：∀a ∈(0，b ](b ∈R 且b >0)，函数f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x a ＋π3的周期不大于4π. (1)写出綈p ；(2)当綈p 是假命题时，求实数b 的最大值．解析：(1)綈p ：∃a 0∈(0，b ](b ∈R 且b >0)，函数f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x a 0＋π3的周期大于4π.(2)因为綈p 是假命题，所以p 是真命题，所以∀a ∈(0，b ]，2π1a≤4π恒成立，解得a ≤2，所以b ≤2，所以实数b 的最大值是2.[B 组 能力提升]11．已知命题p ：∀x ∈R,2x <3x ；命题q ：∃x 0∈R ，x 30＝1－x 20.则下列命题为真命题的是( ) A ．p ∧q B ．(綈p )∧q C ．p ∧(綈q )D ．(綈p )∧(綈q )解析：由20＝30知，p 为假命题；令h (x )＝x 3＋x 2－1，则h (0)＝－1<0，h (1)＝1>0，∴方程x 3＋x 2－1＝0在(0,1)内有解，∴q 为真命题，∴p ∧q ，p ∧(綈q )，(綈p )∧(綈q )均为假命题，(綈p )∧q 为真命题，故选B.答案：B12．命题p ：∀x ∈R ，ax 2＋ax ＋1≥0，若綈p 是真命题，则实数a 的取值范围是( ) A ．(0,4]B ．[0,4]C ．(－∞，0]∪[4，＋∞)D ．(－∞，0)∪(4，＋∞)解析：当a ＝0时，不等式恒成立； 当a ≠0时，要使不等式恒成立，则有⎩⎨⎧a >0，Δ≤0，即⎩⎨⎧a >0，a 2－4a ≤0，解得0<a ≤4.综上，0≤a ≤4，则命题p ：0≤a ≤4， 所以綈p ：a <0或a >4.。

专项训练：全称命题与特称命题
一、单选题
1．命题“ ”的否定是（）
A． B．
C． D．
2．已知命题 命题q: ，则下列命题中为真命题的是
A． B． C． D．
3．若集合 ，集合 ，则“ ”是“ ”的（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
4．命题“对 ，都有 ”的否定为
43．p：x1，x2是方程x2＋5x－6＝0的两根，q：x1＋x2＝－5，那么p是q的______________条件．
44．已知命题p：∀x∈(1，＋∞)，log3x＞0，则 p为_____.
参考答案
1．D
【解析】
【分析】
利用全称命题的否定的规则写出其否定即可.
【详解】
命题的否定为： ， ，故选D.
A． B． C． D．
28．（2015高考湖北，文3）命题“ ， ”的否定是（）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
29．设 ， 是两个不同的平面， 是直线且 ，则“ ”是“ ”的（ ）
A．必要不充分条件B．充分不必要条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
30．设 ,则“ ”是“ ”的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
【点睛】
全称命题的一般形式是： ， ，其否定为 .存在性命题的一般形式是 ， ，其否定为 .
2．D
【解析】
【分析】
命题 是假命题，命题 是真命题，根据复合命题的真值表可判断真假.
【详解】
因为 ，故命题 是假命题，又命题 是真命题，故 为假， 为假， 为假， 为真命题，故选D.
【点睛】
复合命题的真假判断有如下规律：
7．C

全称命题与特称命题【教学目标】知识目标能力目标情感目标【教学重、难点】教学重点：教学难点：【教学模式】【技术运用】【教学过程与情境设计】1、全称命题：短语“对所有的”“对任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词. 符号：∀含有全称量词的命题，叫做全称命题. 符号：(),x M p x ∀∈2、特称命题：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做全称量词. 符号：∃含有存在量词的命题，叫做特称命题. 符号：()00,x M p x ∃∈3、全称命题与特称命题的否定：全称命题P ：(),x M p x ∀∈，它的否定P ⌝：()00,x M p x ∃∈⌝；特称命题()00:,P x M P x ∃∈，它的否定():,P x M P x ⌝∀∈⌝.2. 例1 判断下列全称命题的真假.⑴所有的素数（质数）都是奇数；（假，反例：2）⑵2,11x x ∀∈+≥R ；（真）⑶对每一个无理数x ，2x 也是无理数；）⑷每个指数函数都是单调函数. （真）（教师分析——学生回答——教师点评）3. 思考：下列语句是命题吗？⑴与⑶，⑵与⑷之间有什么关系？⑴213x +=；⑵x 能被2 和3 整除；⑶存在一个0x ∈R ，使0213x +=；⑷至少有一个0x ∈Z ，0x 能被2 和3 整除.（1）（2）不是命题，而（3）（4）是命题，其原因是加入了量词（学生回答——教师点评——引入新课）4. 存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做全称量词. 符号：∃特称命题：含有存在量词的命题. 符号：()00,x M p x ∃∈例如：有的平行四边形是菱形；有一个素数不是奇数.5. 例2 判断下列全称命题的真假.⑴有一个实数0x ，使200230x x ++=； ⑵存在两个相交平面垂直于同一条直线； ⑶有些整数只有两个正因数；⑷00,0x R x ∃∈≤；⑸有些数的平方小于0.（教师分析——学生回答——教师点评）6.思考：写出下列命题的否定：⑴所有的矩形都是平行四边形；⑵每一个素数都是奇数.7.全称命题P ：(),x M p x ∀∈，它的否定P ⌝：()00,x M p x ∃∈⌝；特称命题()00:,P x M P x ∃∈，它的否定():,P x M P x ⌝∀∈⌝.8.例3写出下列命题的否定.⑴所有能被3整除的整数都是奇数；⑵每一个四边形的四个顶点共圆；⑶对任意x Z ∈，2x 的个位数字不等于3；⑷有一个素数含有三个正因数；⑸有的三角形是等边三角形. （教师分析——学生回答——教师点评）下列全称命题的否定中，假命题的个数是（ B ）(1)所有能被3整除的数能被6整除 ；(2)所有实数的绝对值是正数；(3) x ∀∈Z ，2x 的个位数字不是2A.0B.1C.2D.4（07琼、宁）已知命题p ：x ∀∈R ，sin 1x ≤，则（ ）A. p ⌝：x ∃∈R ，sin 1x ≥B. p ⌝：x ∀∈R ，sin 1x ≥C. p ⌝：x ∃∈R ，sin 1x >D. p ⌝：x ∀∈R ，sin 1x >（07鲁）命题“对任意的x ∈R ，3210x x -+≤”的否定是（ ）A. 不存在x ∈R ，3210x x -+≤B. 存在x ∈R ，3210x x -+≤C. 存在x ∈R ，3210x x -+>D. 对任意的x ∈R ，3210x x -+>（2009天津卷理）命题“存在0x ∈R ，02x ≤0”的否定是 （A ）不存在0x ∈R, 02x >0 （B ）存在0x ∈R, 02x ≥0（C ）对任意的x ∈R, 2x ≤0 （D ）对任意的x ∈R, 2x >0【考点定位】本小考查四种命题的改写，基础题。

全称量词与存在量词预习课本P21～25，思考并完成以下问题1．全称量词、全称命题的定义是什么？2．存在量词、特称命题的定义是什么？3．全称命题与特称命题的否定分别是什么命题？[新知初探]1．全称量词与全称命题全称量词所有的、任意一个、一切、每一个、任给符号__∀__全称命题含有全称量词的命题形式“对M中任意一个x，有p(x)成立”，可用符号简记为“∀x∈M，p(x)”存在量词存在一个、至少有一个、有一个、有些、有的符号表示__∃__特称命题含有存在量词的命题形式“存在M中的一个x0，使p(x0)成立”可用符号简记为“∃x0∈M，p(x0)”知识点原命题命题的否定全称命题p：∀x∈M，p(x)綈p：∃x0∈M，綈p(x0)的否定特称命题p：∃x0∈M，p(x0)綈p：∀x∈M，綈p(x)的否定[(1)全称命题的否定全称命题的否定是一个特称命题，否定全称命题时关键是找出全称量词，明确命题所提供的性质．(2)特称命题的否定特称命题的否定是一个全称命题，否定特称命题时关键是找出存在量词，明确命题所提供的性质．[小试身手]1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)在全称命题和特称命题中，量词都可以省略( )(2)“有的等差数列也是等比数列”是特称命题( )(3)“三角形内角和是180°”是全称命题( )答案：(1)×(2)√(3)√2．命题“∀x∈R，|x|＋x2≥0”的否定是( )A．∀x∈R，|x|＋x2<0 B．∀x∈R，|x|＋x2≤0C．∃x0∈R，|x0|＋x20<0 D．∃x0∈R，|x0|＋x20≥0答案：C3．下列全称命题为真命题的是( )A．所有的质数是奇数B．∀x∈R，x2＋1≥1C．对每一个无理数x，x2也是无理数D．所有的能被5整除的整数，其末位数字都是5答案：B4．命题p：∃x0∈R，x20＋2x0＋5<0是________(填“全称命题”或“特称命题”)，它是________命题(填“真”或“假”)，它的否定为綈p：______________.答案：特称命题假∀x∈R，x2＋2x＋5≥0全称命题与特称命题的判断[典例](1)凸多边形的外角和等于360°；(2)有的向量方向不定；(3)对任意角α，都有sin2α＋cos2α＝1；(4)矩形的对角线不相等；(5)若一个四边形是菱形，则这个四边形的对角线互相垂直．[解] (1)可以改为所有的凸多边形的外角和等于360°，故为全称命题．(2)含有存在量词“有的”，故是特称命题．(3)含有全称量词“任意”，故是全称命题．(4)可以改为所有矩形的对角线不相等，故为全称命题．(5)若一个四边形是菱形，也就是所有的菱形，故为全称命题．判断一个语句是全称命题还是特称命题的思路[注意] 全称命题可能省略全称量词，特称命题的存在量词一般不能省略． [活学活用]用全称量词或存在量词表示下列语句： (1)不等式x 2＋x ＋1>0恒成立；(2)当x 为有理数时，13x 2＋12x ＋1也是有理数；(3)等式sin(α＋β)＝sin α＋sin β对有些角α，β成立； (4)方程3x －2y ＝10有整数解．解：(1)对任意实数x ，不等式x 2＋x ＋1>0成立． (2)对任意有理数x ，13x 2＋12x ＋1是有理数．(3)存在角α，β，使sin(α＋β)＝sin α＋sin β成立． (4)存在一对整数x ，y ，使3x －2y ＝10成立.全称命题、特称命题的真假判断[典例] A ．∃x 0∈R ，lg x 0＝0 B ．∃x 0∈R ，tan x 0＝1 C ．∀x ∈R ，x 2>0D ．∀x ∈R ，e x>0(2)下列命题中的真命题是( )A ．∀φ∈R ，函数f (x )＝sin(2x ＋φ)都不是偶函数B ．∃α0，β0∈R ，使cos(α0＋β0)＝cos α0＋cos β0C ．向量a ＝(2,1)，b ＝(－1,0)，则a 在b 方向上的投影为2D ．“|x |≤1”是“x ≤1”的既不充分又不必要条件 [解析] (1)对于A ，x ＝1时，lg x ＝0； 对于B ，x ＝k π＋π4(k ∈Z)时，tan x ＝1；对于C ，当x ＝0时，x 2＝0，所以C 中命题为假命题； 对于D ，e x>0恒成立．(2)对于A ，当φ＝π2时，f (x )＝cos 2x ，为偶函数，故A 为假命题；对于B ，令α0＝π4，β0＝－π2，则cos(α0＋β0)＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＝22，cos α0＋cos β0＝22＋0＝22，cos(α0＋β0)＝cos α0＋cos β0成立，故B 为真命题； 对于C ，向量a ＝(2,1)，b ＝(－1,0)，则a 在b 方向上的投影为a ·b |b |＝－2＋01＝－2，故C 为假命题；对于D ，|x |≤1，即－1≤x ≤1，故充分性成立，若x ≤1，则|x |≤1不一定成立，所以“|x |≤1”为“x ≤1”的充分不必要条件，故D 为假命题．[答案] (1)C (2)B指出下列命题是全称命题，还是特称命题，并判断真假． (1)若a >0，且a ≠1，则对任意实数x ，a x>0. (2)对任意实数x 1，x 2，若x 1<x 2，则tan x 1<tan x 2. (3)存在两个相交平面垂直于同一条直线． (4)∃x 0∈R ，使x 20＋1<0. 解：(1)是全称命题．∵a x>0(a >0，且a ≠1)恒成立，∴命题(1)是真命题． (2)是全称命题．存在x 1＝0，x 2＝π，x 1<x 2，但tan 0＝tan π， ∴命题(2)是假命题． (3)是特称命题．由于垂直于同一条直线的两个平面是互相平行的， ∴命题(3)是假命题． (4)是特称命题．对任意x ∈R ，x 2＋1>0，∴命题(4)是假命题.全称命题与特称命题的否定[典例] p n n2n pA．∀n∈N，n2>2n B．∃n∈N，n2≤2nC．∀n∈N，n2≤2n D．∃n∈N，n2＝2n(2)(2016·浙江高考)命题“∀x∈R，∃n∈N*，使得n≥x2”的否定形式是( )A．∀x∈R，∃n∈N*，使得n＜x2B．∀x∈R，∀n∈N*，使得n＜x2C．∃x∈R，∃n∈N*，使得n＜x2D．∃x∈R，∀n∈N*，使得n＜x2[解析] (1)因为“∃x∈M，p(x)”的否定是“∀x∈M，綈p(x)”，所以命题“∃n∈N，n2>2n”的否定是“∀n∈N，n2≤2n”，故选C.(2)由于特称命题的否定形式是全称命题，全称命题的否定形式是特称命题，所以“∀x ∈R，∃n∈N*，使得n≥x2”的否定形式为“∃x∈R，∀n∈N*，使得n＜x2”．[答案] (1)C (2)D全称命题与特称命题的否定的思路(1)一般地，写含有一个量词的命题的否定，首先要明确这个命题是全称命题还是特称命题，并找到量词及相应结论，然后把命题中的全称量词改成存在量词，存在量词改成全称量词，同时否定结论．(2)对于省略量词的命题，应先挖掘命题中隐含的量词，改写成含量词的完整形式，再依据规则来写出命题的否定．判断下列命题的真假，并写出它们的否定．(1)三角形的内角和为180°；(2)每个二次函数的图象都开口向下；(3)存在一个四边形不是平行四边形．解：(1)三角形的内角和为180°，是全称命题，是真命题．命题的否定：三角形的内角和不全为180°，即存在一个三角形，其内角和不等于180°.(2)每个二次函数的图象都开口向下，是全称命题，是假命题．命题的否定：存在一个二次函数的图象开口不向下．(3)存在一个四边形不是平行四边形，是特称命题，是真命题．命题的否定：所有的四边形都是平行四边形.利用全称命题与特称命题求参数[典例] 若命题“∀x ∈[－1，＋∞)，x 2－2ax ＋2≥a ”是真命题，求实数a 的取值范围．[解] 法一：由题意，∀x ∈[－1，＋∞)， 令f (x )＝x 2－2ax ＋2≥a 恒成立，所以f (x )＝(x －a )2＋2－a 2≥a 可转化为∀x ∈[－1，＋∞)，f (x )min ≥a 恒成立， 而∀x ∈[－1，＋∞)，f (x )min ＝⎩⎪⎨⎪⎧2－a 2，a ≥－1，1＋a 2＋2－a 2，a <－1.由f (x )的最小值f (x )min ≥a ，知a ∈[－3,1]． 法二：x 2－2ax ＋2≥a ， 即x 2－2ax ＋2－a ≥0， 令f (x )＝x 2－2ax ＋2－a ，所以全称命题转化为∀x ∈[－1，＋∞)，f (x )≥0恒成立，所以Δ≤0或⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝4a 2－42－a >0，a <－1，f －1≥0，即－2≤a ≤1或－3≤a <－2.所以－3≤a ≤1. 综上，所求实数a 的取值范围是[－3,1]．利用全称命题与特称命题求参数范围的两类题型(1)全称命题的常见题型是“恒成立”问题，全称命题为真时，意味着命题对应的集合中的每一个元素都具有某种性质，所以利用代入可以体现集合中相应元素的具体性质；也可以根据函数等数学知识来解决．(2)特称命题的常见题型是以适合某种条件的结论“存在”“不存在”“是否存在”等语句表达．解答这类问题，一般要先对结论作出肯定存在的假设，然后从肯定的假设出发，结合已知条件进行推理证明，若推出合理的结论，则存在性随之解决；若导致矛盾，则否定了假设．1．命题p ：∃x 0∈[0，π]，使sin ⎝⎛⎭⎪⎫x 0＋π3<a ，若p 是真命题，则实数a 的取值范围为________．解析：由0≤x ≤π，得π3≤x ＋π3≤4π3，所以－32≤sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3≤1. 而命题p ：∃x 0∈[0，π]，使sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0＋π3<a ，因为p 为真命题，所以a >－32. 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，＋∞ 2．已知命题p ：∃x 0∈R ，使x 20－mx 0＋1＝0，命题q ：∀x ∈R ，有x 2－2x ＋m >0.若命题q ∨(p ∧q )为真，綈p 为真，求实数m 的取值范围．解：由于綈p 为真，所以p 为假，则p ∧q 为假． 又q ∨(p ∧q )为真，故q 为真，即p 假、q 真．命题p 为假，即关于x 的方程x 2－mx ＋1＝0无实数解，则m 2－4<0，解得－2<m <2； 命题q 为真，则4－4m <0，解得m >1. 故实数m 的取值范围是(1,2)．层级一 学业水平达标1．已知命题p ：∀x >0，总有e x>1，则綈p 为( ) A ．∃x 0≤0，使得e x 0≤1 B ．∃x 0>0，使得e x 0≤1 C ．∀x >0，总有e x≤1D ．∀x ≤0，总有e x<1解析：选B 因为全称命题的否定是特称命题，所以命题p 的否定綈p 为∃x 0>0，使得e x 0≤1.故选B.2．下列四个命题中的真命题为( ) A ．若sin A ＝sin B ，则A ＝B B ．∀x ∈R ，都有x 2＋1>0 C ．若lg x 2＝0，则x ＝1 D ．∃x 0∈Z ，使1<4x 0<3解析：选B A 中，若sin A ＝sin B ，不一定有A ＝B ，故A 为假命题，B 显然是真命题；C 中，若lg x 2＝0，则x 2＝1，解得x ＝±1，故C 为假命题；D 中，解1<4x <3得14<x <34，故不存在这样的x ∈Z ，故D 为假命题．3．命题“∃x 0∈R,2x 0<12或x 20>x 0”的否定是( )A ．∃x 0∈R,2x 0≥12或x 20≤x 0B ．∀x ∈R,2x ≥12或x 2≤xC ．∀x ∈R,2x ≥12且x 2≤xD ．∃x 0∈R,2x 0≥12且x 20≤x 0解析：选C 原命题为特称命题，其否定为全称命题，应选C. 4．以下四个命题既是特称命题又是真命题的是( ) A ．锐角三角形的内角是锐角或钝角 B ．至少有一个实数x ，使x 2≤0 C ．两个无理数的和必是无理数 D ．存在一个负数x ，使1x>2解析：选B A 中锐角三角形的内角是锐角或钝角是全称命题；B 中x ＝0时，x 2＝0，所以B 既是特称命题又是真命题；C 中因为3＋(－3)＝0，所以C 是假命题；D 中对于任一个负数x ，都有1x<0，所以D 是假命题．5．命题p ：∀x ∈R ，ax 2＋ax ＋1≥0，若綈p 是真命题，则实数a 的取值范围是( ) A ．(0,4]B ．[0,4]C ．(－∞，0]∪[4，＋∞)D ．(－∞，0)∪(4，＋∞)解析：选D 当a ＝0时，不等式恒成立； 当a ≠0时，要使不等式恒成立，则有⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧a >0，a 2－4a ≤0，解得0<a ≤4.综上，0≤a ≤4，则命题p ：0≤a ≤4， 所以綈p ：a <0或a >4.6．下列命题中，是全称命题的是________；是特称命题的是________．(填序号) ①正方形的四条边相等；②有两个角相等的三角形是等腰三角形； ③正数的平方根不等于0； ④至少有一个正整数是偶数．解析：①可表述为“每一个正方形的四条边相等”，是全称命题；②是全称命题，即“凡是有两个角相等的三角形都是等腰三角形”；③可表述为“所有正数的平方根不等于0”是全称命题；④是特称命题．答案：①②③ ④7．命题“至少有一个正实数x 满足方程x 2＋2(a －1)x ＋2a ＋6＝0”的否定是________． 解析：把量词“至少有一个”改为“所有”，“满足”改为“都不满足”得命题的否定． 答案：所有正实数x 都不满足方程x 2＋2(a －1)x ＋2a ＋6＝08．已知命题“∃x 0∈R,2x 20＋(a －1)x 0＋12≤0”是假命题，则实数a 的取值范围是________．解析：原命题等价于“∀x ∈R,2x 2＋(a －1)x ＋12>0”是真命题，即Δ＝(a －1)2－4<0，解得－1<a <3.答案：(－1,3)9．判断下列命题的真假，并写出它们的否定． (1)∀α，β∈R ，sin(α＋β)≠sin α＋sin β； (2)∃x 0，y 0∈Z,3x 0－4y 0＝20；(3)在实数范围内，有些一元二次方程无解； (4)正数的绝对值是它本身．解：(1)当α＝β＝0时，sin(α＋β)＝sin α＋sin β，故命题为假命题．命题的否定为：∃α0，β0∈R ，sin(α0＋β0)＝sin α0＋sin β0.(2)真命题．命题的否定为：∀x ，y ∈Z,3x －4y ≠20.(3)真命题．命题的否定为：在实数范围内，所有的一元二次方程都有解．(4)省略了量词“所有的”，该命题是全称命题，且为真命题．命题的否定为：有的正数的绝对值不是它本身．10．已知命题p ：∀a ∈(0，b ](b ∈R 且b >0)，函数f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x a ＋π3的周期不大于4π.(1)写出綈p ；(2)当綈p 是假命题时，求实数b 的最大值． 解：(1)綈p ：∃a 0∈(0，b ](b ∈R 且b >0)，函数f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x a 0＋π3的周期大于4π. (2)因为綈p 是假命题，所以p 是真命题， 所以∀a ∈(0，b ]，2π1a≤4π恒成立，解得a ≤2，所以b ≤2，所以实数b 的最大值是2.层级二 应试能力达标1．已知f (x )＝3sin x －πx ，命题p ：∀x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，f (x )<0，则( )A ．p 是假命题，綈p ：∀x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，f (x )≥0B ．p 是假命题，綈p ：∃x 0∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，f (x 0)≥0 C ．p 是真命题，綈p ：∀x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，f (x )≥0 D ．p 是真命题，綈p ：∃x 0∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，f (x 0)≥0 解析：选D 由正弦函数的图象，知∀x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，sin x <x ，又3<π，∴当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2时，3sin x <πx ，即∀x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，f (x )<0恒成立，∴p 是真命题．又全称命题的否定是特称命题，∴綈p ：∃x 0∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，f (x 0)≥0. 2．已知命题p ：∀x ∈R,2x 2＋2x ＋12<0；命题q ：∃x 0∈R ，sin x 0－cos x 0＝ 2.则下列判断正确的是( )A ．p 是真命题B ．q 是假命题C ．p ，q 都是假命题D ．綈q 是假命题解析：选D p ：2x 2＋2x ＋12＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋x ＋14＝2x ＋122≥0，∴p 为假命题，綈p 为真命题．q ：sin x 0－cos x 0＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x 0－π4，∴x 0＝34π时成立．故q 为真，而綈q 为假命题． 3．已知命题p ：∃x 0∈R ，使sin x 0＝52；命题q ：∀x ∈R ，都有x 2＋12x ＋34>0.给出下列结论：①命题p 是真命题； ②命题q 是假命题； ③命题(綈p )∧q 是真命题； ④命题p ∨(綈q )是假命题． 其中正确的是( ) A ．②④ B ．②③ C ．③④D ．①②③解析：选C 对于命题p ，因为函数y ＝sin x 的值域为[－1,1]，所以命题p 为假命题； 对于命题q ，因为函数y ＝x 2＋12x ＋34的图象开口向上，最小值在x ＝－14处取得，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－14＝1116>0，所以命题q 为真命题． 由命题p 为假命题和命题q 为真命题可得：命题(綈p )∧q 是真命题，命题p ∨(綈q )是假命题．故③④正确．4．命题“∀n ∈N *，f (n )∈N *且f (n )≤n ”的否定形式是( ) A ．∀n ∈N *，f (n )∉N *且f (n )>n B ．∀n ∈N *，f (n )∉N *或f (n )>n C ．∃n 0∈N *，f (n 0)∉N *且f (n 0)>n 0 D ．∃n 0∈N *，f (n 0)∉N *或f (n 0)>n 0解析：选D 写全称命题的否定时，要把量词∀改为∃，并且否定结论，注意把“且”改为“或”．5．有下列四个命题：①∀x ∈R,2x 2－3x ＋4>0； ②∀x ∈{1，－1,0},2x ＋1>0； ③∃x 0∈N ，x 20≤x 0；④∃x 0∈N *，x 0为29的约数． 其中真命题有________个．解析：易知①③④正确．当x ＝－1时，2x ＋1<0，故②错误． 答案：36．已知命题p ：∃c >0，y ＝(3－c )x在R 上为减函数，命题q ：∀x ∈R ，x 2＋2c －3>0.若p ∧q 为真命题，则实数c 的取值范围为________．解析：由于p ∧q 为真命题，所以p ，q 都是真命题，所以⎩⎪⎨⎪⎧0<3－c <1，2c －3>0，解得2<c <3.故实数c 的取值范围为(2,3)．答案：(2,3)7．已知命题p ：“至少存在一个实数x 0∈[1,2]，使不等式x 2＋2ax ＋2－a >0成立”为真，试求参数a 的取值范围．解：法一：由题意知，x 2＋2ax ＋2－a >0在[1,2]上有解，令f (x )＝x 2＋2ax ＋2－a ，则只需f (1)>0或f (2)>0，即1＋2a ＋2－a >0，或4＋4a ＋2－a >0.整理得a >－3或a >－2.即a >－3.故参数a 的取值范围为(－3，＋∞)． 法二：綈p ：∀x ∈[1,2]，x 2＋2ax ＋2－a >0无解， 令f (x )＝x 2＋2ax ＋2－a ， 则⎩⎪⎨⎪⎧f 1≤0，f2≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧1＋2a ＋2－a ≤0，4＋4a ＋2－a ≤0.解得a ≤－3.故命题p 中，a >－3. 即参数a 的取值范围为(－3，＋∞)．8．已知f (t )＝log 2t ，t ∈[2，8]，若命题“对于f (t )值域内的所有实数m ，不等式x 2＋mx ＋4>2m ＋4x 恒成立”为真命题，求实数x 的取值范围．解：易知f (t )∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，3. 由题意，令g (m )＝(x －2)m ＋x 2－4x ＋4＝(x －2)m ＋(x －2)2，则g (m )>0对∀m ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，3恒成立．所以⎩⎪⎨⎪⎧g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12>0，g 3>0，即⎩⎪⎨⎪⎧12x －2＋x －22>0，3x －2＋x －22>0，解得x >2或x <－1.故实数x 的取值范围是(－∞，－1)∪(2，＋∞)．(时间120分钟 满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是( ) A ．任意一个有理数，它的平方是有理数 B ．任意一个无理数，它的平方不是有理数 C ．存在一个有理数，它的平方是有理数 D ．存在一个无理数，它的平方不是有理数解析：选B 根据特称命题的否定是全称命题，先将存在量词改为全称量词，然后否定结论，故该命题的否定为“任意一个无理数，它的平方不是有理数”．2．设x >0，y ∈R ，则“x >y ”是“x >|y |”的( ) A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件解析：选C 由x >y 推不出x >|y |，由x >|y |能推出x >y ，所以“x >y ”是“x >|y |”的必要不充分条件．3．已知命题①若a >b ，则1a <1b，②若－2≤x ≤0，则(x ＋2)(x －3)≤0，则下列说法正确的是( )A ．①的逆命题为真B ．②的逆命题为真C ．①的逆否命题为真D ．②的逆否命题为真解析：选D ①的逆命题为1a <1b则，a >b ，若a ＝－2，b ＝3，则不成立．故A 错；②的逆命题为若(x ＋2)(x －3)≤0，则－2≤x ≤0是假命题，故B 错；①为假命题，其逆否命题也为假命题，故C 错；②为真命题，其逆否命题也为真命题，D 正确．4．已知命题p ：实数的平方是非负数，则下列结论正确的是( ) A ．命题綈p 是真命题B ．命题p 是特称命题C ．命题p 是全称命题D ．命题p 既不是全称命题也不是特称命题解析：选C 命题p ：实数的平方是非负数，是全称命题，且是真命题，故綈p 是假命题．5．下列命题中，真命题是( ) A ．命题“若|a |>b ，则a >b ”B ．命题“若“a ＝b ，则|a |＝|b |”的逆命题C ．命题“当x ＝2时，x 2－5x ＋6＝0”的否命题 D ．命题“终边相同的角的同名三角函数值相等”解析：选D 原命题可以改写成“若角的终边相同，则它们的同名三角函数值相等”，是真命题，故选D.6．已知命题p ：若实数x ，y 满足x 3＋y 3＝0，则x ，y 互为相反数；命题q ：若a >b >0，则1a <1b.下列命题p ∧q ，p ∨q ，綈p ，綈q 中，真命题的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选B 易知命题p ，q 都是真命题，则p ∧q ，p ∨q 都是真命题，綈p ，綈q 是假命题．7．已知f (x )＝e x＋x －1，命题p ：∀x ∈(0，＋∞)，f (x )>0，则( ) A ．p 是真命题，綈p ：∃x 0∈(0，＋∞)，f (x 0)<0 B ．p 是真命题，綈p ：∃x 0∈(0，＋∞)，f (x 0)≤0 C ．p 是假命题，綈p ：∃x 0∈(0，＋∞)，f (x 0)<0 D ．p 是假命题，綈p ：∃x 0∈(0，＋∞)，f (x 0)≤0解析：选B 由于函数y ＝e x 和y ＝x －1在R 上均是增函数，则f (x )＝e x＋x －1在R 上是增函数，当x >0时，f (x )>f (0)＝0，所以p 为真命题，綈p ：∃x 0∈(0，＋∞)，f (x 0)≤0，故选B.8．下列关于函数f (x )＝x 2与函数g (x )＝2x的描述，正确的是( ) A ．∃a 0∈R ，当x >a 0时，总有f (x )<g (x ) B ．∀x ∈R ，f (x )<g (x ) C ．∀x <0，f (x )≠g (x )D．方程f(x)＝g(x)在(0，＋∞)内有且只有一个实数解解析：选A 在同一坐标系内作出两函数的大致图象，两交点为(2,4)，(4,16)．当x>4时，由图象知f(x)<g(x)，其余三命题均错误．9．已知p：x≥k，q：3x＋1<1，如果p是q的充分不必要条件，则实数k的取值范围是( )A．[1，＋∞) B．(2，＋∞)C．[－1，＋∞) D．(－∞，－1)解析：选B3x＋1<1⇔x<－1或x>2.又p是q的充分不必要条件，则k>2，故选B.10．下列判断正确的是( )A．命题“负数的平方是正数”不是全称命题B．命题“∀x∈N*，x3>x2”的否定是“∃x0∈N*，x30<x20”C．“a＝1”是“函数f(x)＝cos2ax－sin2ax的最小正周期是π”的必要不充分条件D．“b＝0”是“函数f(x)＝ax2＋bx＋c是偶函数”的充要条件解析：选D 选项A是全称命题，不正确；选项B应该是∃x0∈N*，x30≤x20，不正确；对于选项C，f(x)＝cos2ax－sin2ax＝cos 2ax，周期T＝2π2a＝πa，当a＝1时，周期是π，当周期是π时，a＝1，所以“a＝1”是“函数f(x)＝cos2ax－sin2ax的最小正周期是π”的充要条件；选项D正确，故选D.11．设f(x)＝x2－4x(x∈R)，则f(x)>0的一个必要不充分条件是( )A．x<0 B．x<0或x>4C．|x－1|>1 D．|x－2|>3解析：选C 由f(x)＝x2－4x>0，得x<0或x>4.由|x－1|>1，得x<0或x>2.由|x－2|>3，得x<－1或x>5，所以只有C是必要不充分条件．故选C.12．有下列命题：①“若x＋y>0，则x>0且y>0”的否命题；②“矩形的对角线相等”的否命题；③“若m≥1，则mx2－2(m＋1)x＋m＋3>0的解集是R”的逆命题；④“若a ＋7是无理数，则a 是无理数”的逆否命题． 其中正确的是( ) A ．①②③ B ．②③④ C ．①③④D ．①④解析：选C ①的逆命题为“若x >0且y >0，则x ＋y >0”为真，故否命题为真； ②的否命题为“不是矩形的图形对角线不相等”，为假命题； ③的逆命题为，若mx 2－2(m ＋1)x ＋m ＋3>0的解集为R ，则m ≥1. ∵当m ＝0时，解集不是R ，∴应有⎩⎪⎨⎪⎧m >0，Δ<0， 即m >1.∴③是真命题；④原命题为真，逆否命题也为真．二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中的横线上) 13．命题“若a ∉A ，则b ∈B ”的逆否命题是________． 解析：逆否命题既否定其条件又否定其结论，然后交换其顺序． 答案：若b ∉B ，则a ∈A14．命题p ：若a ，b ∈R ，则ab ＝0是a ＝0的充分条件，命题q ：函数y ＝x －3的定义域是[3，＋∞)，则“p ∨q ”“p ∧q ”“綈p ”中是真命题的为________．解析：p 为假命题，q 为真命题，故p ∨q 为真命题，綈p 为真命题． 答案：p ∨q ，綈p15．已知p ：－4<x －a <4，q ：(x －2)(3－x )>0，若綈p 是綈q 的充分条件，则实数a 的取值范围是________．解析：p ：a －4<x <a ＋4，q ：2<x <3. 由綈p 是綈q 的充分条件可知，q 是p 的充分条件，即q ⇒p ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a －4≤2，a ＋4≥3，解得－1≤a ≤6.答案：[－1,6]16．已知在实数a ，b 满足某一前提条件时，命题“若a >b ，则1a <1b”及其逆命题、否命题和逆否命题都是假命题，则实数a ，b 应满足的前提条件是________．解析：由题意，知ab ≠0，当ab >0时，1a <1b ⇔ab ·1a <1b·ab ⇔b <a ，所以四种命题都是正确的．当ab <0时，若a >b ，则必有a >0>b ，故1a>0>1b ，所以原命题是假命题；若1a <1b，则必有1a<0<1b，故a <0<b ，所以原命题的逆命题也是假命题．由命题的等价性，可知四种命题都是假命题，故填ab <0.答案：ab <0三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)判断下列命题是全称命题还是特称命题，并判断其真假． (1)对数函数都是单调函数；(2)至少有一个整数，它既能被11整除，又能被9整除； (3)∀x ∈{x |x >0}，x ＋1x>2；(4)∃x 0∈Z ，log 2x 0>2.解：(1)命题中隐含了全称量词“所有的”，因此命题应为“所有的对数函数都是单调函数”，是全称命题，且为真命题．(2)命题中含有存在量词“至少有一个”，因此是特称命题，且为真命题． (3)命题中含有全称量词“∀”，是全称命题，且为假命题． (4)命题中含有存在量词“∃”，是特称命题，且为真命题．18．(本小题满分12分)把下列命题改写成“若p ，则q ”的形式，并判断命题的真假． (1)能被6整除的数一定是偶数；(2)当a －1＋|b ＋2|＝0时，a ＝1，b ＝－2； (3)已知x ，y 为正整数，当y ＝x 2时，y ＝1，x ＝1.解：(1)若一个数能被6整除，则这个数为偶数，是真命题． (2)若a －1＋|b ＋2|＝0，则a ＝1且b ＝－2，真命题． (3)已知x ，y 为正整数，若y ＝x 2，则y ＝1且x ＝1，假命题．19．(本小题满分12分)已知c >0，设命题p ：y ＝c x为减函数，命题q ：函数f (x )＝x ＋1x >1c 在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上恒成立．若p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题，求c 的取值范围． 解：由p ∨q 真，p ∧q 假，知p 与q 为一真一假，对p ，q 进行分类讨论即可．若p 真，由y ＝c x为减函数，得0<c <1.当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2时，由不等式x ＋1x ≥2(x ＝1时取等号)知， f (x )＝x ＋1x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上的最小值为2.若q 真，则1c <2，即c >12.若p 真q 假，则0<c <1，c ≤12，所以0<c ≤12；若p 假q 真，则c ≥1，c >12，所以c ≥1.综上可得，c ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12∪[1，＋∞)． 20．(本小题满分12分)已知k ∈R 且k ≠1，直线l 1：y ＝k 2x ＋1和l 2：y ＝1k －1x －k .(1)求直线l 1∥l 2的充要条件；(2)当x ∈[－1,2]时，直线l 1恒在x 轴上方，求k 的取值范围．解：(1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧k 2＝1k －1，k －1≠0，－k ≠1，解得k ＝2.当k ＝2时，l 1：y ＝x ＋1，l 2：y ＝x －2，此时l 1∥l 2. ∴直线l 1∥l 2的充要条件为k ＝2.(2)设f (x )＝k2x ＋1.由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧f－1>0，f 2>0，即⎩⎪⎨⎪⎧k2×－1＋1>0，k 2×2＋1>0，解得－1<k <2.∴k 的取值范围是(－1,2)．21．(本小题满分12分)已知“∃x ∈{x |－1<x <1}，使等式x 2－x －m ＝0成立”是真命题．(1)求实数m 的取值集合M ；(2)设不等式(x －a )(x ＋a －2)<0的解集为N ，若x ∈N 是x ∈M 的必要条件，求实数a 的取值范围．解：(1)由题意，知m ＝x 2－x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122－14.由－1<x <1，得m ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－14，2，故M ＝⎣⎢⎡⎭⎪⎫－14，2. (2)由x ∈N 是x ∈M 的必要条件，知M ⊆N . ①当a >2－a ，即a >1时，N ＝(2－a ，a )，则⎩⎪⎨⎪⎧2－a <－14，a ≥2，a >1，解得a >94.②当a <2－a ，即a <1时，N ＝(a,2－a )，则⎩⎪⎨⎪⎧a <1，a <－14，2－a ≥2，解得a <－14.③当a ＝2－a ，即a ＝1时，N ＝∅，不满足M ⊆N . 综上可得a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－14∪⎝ ⎛⎭⎪⎫94，＋∞. 22．(本小题满分12分)已知命题：“∀x ∈{x |－1≤x ≤1}，都有不等式x 2－x －m <0成立”是真命题．(1)求实数m 的取值集合B ；(2)设不等式(x －3a )(x －a －2)<0的解集为A ，若x ∈A 是x ∈B 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．解：(1)命题：“∀x ∈{x |－1≤x ≤1}，都有不等式x 2－x －m <0成立”是真命题，得x 2－x －m <0在－1≤x ≤1时恒成立，∴m >(x 2－x )max ，得m >2， 即B ＝{m |m >2}．(2)不等式(x －3a )(x －a －2)<0，①当3a >2＋a ，即a >1时，解集A ＝{x |2＋a <x <3a }，若x ∈A 是x ∈B 的充分不必要条件，则A B ，∴2＋a ≥2，此时a ∈(1，＋∞)；②当3a ＝2＋a ，即a ＝1时，解集A ＝∅，若x ∈A 是x ∈B 的充分不必要条件，则A B 成立；③当3a <2＋a ，即a <1时，解集A ＝{x |3a <x <2＋a }，若x ∈A 是x ∈B 的充分不必要条件，则A B 成立，∴3a ≥2，此时a ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，1.综上①②③可得a ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，＋∞.。

1.4.1-2全称命题与特称命题1（含答案）1.4.1-1.4.2全称量词和存在量词一、课程学习目标1.了解生活和数学中经常使用的两类量词的含义，熟悉常见的全称量词和存在量词；2.了解含有量词的全称命题和特称命题的含义，并能用数学符号表示含有量词的命题及判断此类命题的真假．二、课本知识梳理1.命题用到，这样的词语，这些词语一般在指定的范围内都表示整体或全部，这样的词叫做，用符号表示，含有全称量词的命题，叫做.通常将含有变量x的语句用p（x），q（x），r（x），……表示，变量x的取值范围用M表示. 那么全称命题“对M中任意一个x，有p（x）成立”可用符号简记为：读做“对任意x属于M，有p（x）成立”.命题用到了，这样的词语，这些词语都是表示整体的一部分的词叫做。

并用符号“”表示.含有存在量词的命题叫做特称命题：“存在M中一个x，使p（x）成立”可以用符号简记为：。

读做“存在一个x属于M,使p（x）成立”．3.全称量词相当于日常语言中“凡”，“所有”，“一切”，“任意一个”等；存在量词相当于日常语言中“存在一个”，“有一个”，“有些”，“至少有一个”，“至多有一个”等.三、课前双基自测1．下列全称命题中真命题的个数是（）①末位是0的整数，可以被2整除；②角平分线上的点到这个角的两边的距离相等；③正四面体中两侧面的夹角相等；A．1 B．2 C．3 D．02．下列存在性命题中假命题的个数是（）①有的实数是无限不循环小数；②有些三角形不是等腰三角形；③有的菱形是正方形；A．0 B．1 C．2 D．33．下列命题为特称命题的是（）A．偶函数的图象关于y轴对称B．正四棱柱都是平行六面体C．不相交的两条直线是平行直线D．有很多实数不小于34．下列命题中为全称命题的是（）A.圆内接三角形中有等腰三角形B.存在一个实数与它的相反数的和不为0C.矩形都有外接圆D.过直线外一点有一条直线和已知直线平行5.下列全称命题中，真命题是( )A. 所有的素数是奇数；B. ；C. D.6.下列特称命题中，假命题是( )A.B.至少有一个能被2和3整除C. 存在两个相交平面垂直于同一直线D.x2是有理数7.已知：对恒成立，则a的取值范围是.四、课时方法积累1. 理解全称量词与特称量词的意义.；2. 重点是正确地判断全称命题和特称命题的真假.五、课堂达标训练1．下列是全称命题且是真命题的是( )A．?x∈R，x2>0 B．?x∈Q，x2∈QC．?x0∈Z，x20>1 D．?x，y∈R，x2＋y2>0２．设A、B为两个集合.下列四个命题：AB对任意x∈A，有xB；②ABA∩B=；③ABAB；④AB存在x∈A，使得xB.其中真命题的序号是______________.（把符合要求的命题序号都填上）３. 已知：对恒成立，则a的取值范围是.课下练习巩固1.下列命题既是全称命题又是真命题的个数是( )①所有的素数都是奇数;②?x∈R,(x-1)2+1≥1;③有的无理数的平方还是无理数.A.0B.1C.2D.32.判断下列命题是全称命题还是特称命题？（1）方程2x=5只有一解；（2）凡是质数都是奇数；（3）方程2＋1=0有实数根；（4）没有一个无理数不是实数；（5）如果两直线不相交，则这两条直线平行；（6）集合A∩B是集合A的子集.3．下列命题中，真命题是（）A.一元二次方程都有两个实数根B.一切实数都有算术根C.有些直线没有倾斜角D.存在体积相等的球和正方体4.判断下列语句是不是全称命题或者特称命题，如果是，用量词符号表达出来：（1）中国的所有江河都注入太平洋；（2）0不能作除数；（3）任何一个实数除以1，仍等于这个实数；（4）每一个向量都有方向吗？七、课后感悟反思1.4.1-1.4.2全称量词和存在量词课本知识梳理对所有的，对任意一个，全称量词，，全称命题.，2.存在一个, 至少有一个，存在量词. ，特称命题.三、课前双基自测1 C2 A3 D4 D5 D6 C7 a＜2五、课堂达标训练1 B2 ④3 a＜2六、课下巩固练习1．B 2．（1）特称命题（2）全称命题（3）特称命题⑷全称命题⑸特称命题⑹全称命题3．D 4．(1) 全称命题(2) 特称命题(3) 全称命题(4) 不是命题．。

这些命题和它们的否定在形式上有什么变化？
上面三个命题都是全称命题，即具有形式
“x M”，p(x)
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例3：写出下列全称命题的否定
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巩固练习： 1．判断下列命题的真假，其中为真命 题的是 （ D ）
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这三个命题都是全称命题，即具有形式 “x∈M, p(x) ”
命题（1）的否定是“并非所有的矩形都是平 行四边形”，也就是说，存在一个矩形不是平 行四边形；
命题（2）的否定是“并非每一个素数都是奇 数”，也就是说，存在一个素数不是奇数；
命题（3）的否定是“并非x∈R, x2－2x＋1≥0”， 也就是说，x∈R, x2－2x＋1＜0；
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1、全称量词与全称命题
定义：短语“所有的” “任意一个”在逻辑中 通常叫做全称量词
常见的全称量词还有:“一切”, “每一个”, “任给”等等
记法：全称量词用符号 “
”表示
全称命题：含有全称量词的命题,叫做全称命题.
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例如，命题：
（3）对每一个无理数 x，x2 也是无理数；
假命题
课本23页第1题
答案： 1、（1）真命题 （2）假命题 （3）假命题
2、（1）真命题 （2）真命题 （3）真命题
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3、思考：写出下列命题的否定
一（1般）地所，有对的于矩含形有都一是个量平词行四 的全边称形命；题的否定，
A，x R, x2 1 0

解析：p 为假命题，q 为真命题，故綈 p 且 q 为真命题．
答案：B
6．(2014 年南昌模拟)已知命题 p：“任意 x∈[0,1]，a≥ex”；命题 q：“存在 x0∈R，x 20＋4x0＋a＝0”．若命题“p 且 q”是假命题，则实数 a 的取值范围是( )
A．(－∞，4]
C．(－∞，e)∪(4，＋∞)
＝x2－2cx＋1 在(2
范围．
1
，＋∞
)上为增函数，若“p 且 q”为假，“p 或 q”为真，求实数 c 的取值
解析：∵函数 y＝cx 在 R 上单调递减，∴0<c<1.
即 p：0<c<1，∵c>0 且 c≠1，∴綈 p：c>1.
又∵f(x)＝x2－2cx＋1 在(2
1
∴c≤2.即 q：0<c≤2，∵c>0 且 c≠1，
解析：当 p 为真命题时，a≥e；当 q 为真命题时，x2＋4x＋a＝0 有解，则 Δ＝16－4a≥0，
∴a≤4.∴“p 且 q”为真命题时，e≤a≤4.
“p 且 q”为假命题时，a<e 或 a>4.
答案：C
二、填空题
7．命题“能被 5 整除的数，末位是 0”的否定是________．
解析：省略了全称量词“任何一个”，否定为：有些可以被 5 整除的数，末位不是 0.
一、选择题
1．命题“所有奇数的立方都是奇数”的否定是( )
A．所有奇数的立方都不是奇数
B．不存在一个奇数，它的立方是偶数
C．存在一个奇数，Байду номын сангаас的立方是偶数
D．不存在一个奇数，它的立方是奇数
[A 组 基础演练·能力提升]
解析：全称命题的否定是特称命题，即“存在一个奇数，它的立方是偶数”．

1.4 全称量词与存在量词(1)第1课时：全称量词与存在量词 情景设计: 已知2():20p x x x +-=，():sin cos q x x x >， （1）语句()p x ，()q x 是命题吗？为什么？（2）如果在语句()p x 或()q x 前面加上“对所有x R ∈”或“存在一个x R ∈”，它们是命题吗？为什么？ 点拔提示：（1）在x 未赋值之前，语句()p x ，()q x 不能判断其真假，所以它们不是命题；（2）在语句()p x 或()q x 前面加上“对所有x R ∈”或“存在一个x R ∈”后，()p x ，()q x 的真假就能确定，所以它们是命题.阅读与积累:1．短语“__________”、“____________” 逻辑中称为全称量词，并用符号“_____” 表示。

对所有的 对任意一个 ∀ 2．短语“__________”、“____________” 逻辑中称为存在量词，并用符号“_____” 表示。

存在一个 至少有一个 ∃3．含有全称量词的命题称为____________；含有存在量词的命题称为___________.全称命题 特称命题4．全称命题形式：_____________；特称命题形式：____________ 。

其中M 为给定的集合，p (x )是一个关于x 的命题。

,()x M p x ∀∈ ,()x M p x ∃∈问题与思考:题1：判断下列命题是全称命题还是特称命题.（1）对任意的n ∈Z, 2n +1 是奇数 （2）所有的正方形都是矩形 （3）有的平行四边形是菱形 （4）有一个素数不是奇数答案：（1）（2）都是全称命题 ；（3）（4）都是特称命题题2： 判断下列命题的真假吗？（1）4,1x N x ∀∈≥有 （2）2,10x R x x ∀∈-+>有（3）1,2=+∈∃x x R x 使 （4）5,2=∈∃x Z x 使 答案：(1) 假命题 （2）真命题 (3) 真命题 (4) 假命题[合作学习与问题探究] [难点·疑点·方法]问题1: 你能用符号“∀”与“∃”表达下列命题吗？①自然数的平方大于或等于零_______________________________________②圆221x y +=上存在一个点到直线1y x =+的距离等于圆的半径____________________________________________________________________ ③基本不等式：________________________________________________④对于数列1n n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭，总存在正整数n ,使得n a 与1之差的绝对值小于0.01：解： ①2,0x N x ∀∈≥; ②(){}22(,),/11x y x y x y ∃∈+==③,,2a b a b R ++∀∈≥; ④,10.01n n N a +∃∈-<名师讲析: 一般地，全称命题写成“,()x M p x ∀∈”，特称命题写成“,()x M p x ∃∈”， 其中M 为给定的集合，p (x )是一个关于x 的命题。

解析：C 答案已经是全称命题了．
答案：C
3．命题“有些负数满足不等式(1＋ 2 x)(1 － 9x )>0”用“ ∃ ”写成特称命题 2 为______________________________ ． ∃x0∈R，x0<0，(1＋x0)(1－9x0)>0
解析：“有些”即存在．
4． 判断下列命题是全称命题还是特称命题？并 判断其真假． 2 (1)存在一个实数，使等式 x ＋x＋8＝0 成立； (2)每个二次函数的图象都与 x 轴相交； 1 (3)若对所有的正实数， 不等式 m≤x＋x都成立， 则 m≤2； (4)如果对任意的正整数 n， 数列{an}的前 n 项和 Sn＝an2＋bn(a，b 为常数)，那么数列{an}为等差数 列．
解析：②、③、④、⑥都含有全称量词． 答案：D
2．下列命题不是“存在 x0∈R，x2 0>3”的表述 方法的是( ) 2 A．有一个 x0∈R，使得 x0>3 成立 B．对有些 x0∈R，使得 x2 0>3 成立 2 C．任选一个 x∈R，使得 x >3 成立 D．至少有一个 x0∈R，使得 x2 0>3 成立
例1 判断下列全称命题的真假：
（1）所有的素数都是奇数； （2） （3）对每一个无理数x，x2也是无理数。
解：（1）假命题； （2）真命题； （3）假命题。
小 结：
判断全称命题"x M,p(x)"是真命题的方法：
——需要对集合M中每个元素x，证明p(x)成立
判断全称命题"x M,p(x)"是假命题的方法：
(4)全称命题． ∵Sn＝an2＋bn，∴a1＝a＋b. 当命题． n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝an2＋bn－a•(n－1)2 －b(n－1)＝2na＋b－a， 所以an＝2an＋b－a(n∈N*)． 从而数列{an}是等差数列，即这个全称命题也是 真

全称命题p: x M , p( x),
它的否定 p: x0 M , p( x0 )
它的否定 p:x M , p( x), 4.复合命题的否定 特称命题p: x0 M , p( x0 )
例4:写出下列命题的否定形式: (1)3是6的约数或15的约数; (2)菱形的对角线互相垂直平分 (1)3既不6的约数,也不是15的约数. (2)菱形的对角线不互相垂直或不互相平分
例1:判断下列全称命题的真假 假 (1)所有的素数是奇数; (2) x (5, ), f ( x) x 2 4 x 2 0 真 (3) n N 点 pn (n, an ) 都在直线y=2x+1上,则 an 是等差数列 真 2:存在量词 x 与(3),(2)与(4)之间有 问题2:下列语句是命题吗?(1) 什么关系? (1)2x+1=3 (2)x能被2和3整除. (3)存在一个 x0 R 使 2 x0 1 3 (4)至少有一个 x0 Z x0 能被2和3整除 短语“至少有一个” “存在一个” “某些” “有一个” “对 某个” “有的”等在逻辑中通常叫做存在量词.并用符号

特称命题“存在M中元素x0,使p(x0)成立”
可以有符号简记为 x0 M , p( x0 ) 例2:判断下列特称命题的真假 2 假 (1) x0 R, x0 2x0 3 0 (2)存在两个相交平面垂直于同一条直线.假 (3) a Z , a 2 3a 2 真 3.全称命题与特称命题的否定 例3:写出下列命题的否定,并判断真假: (1)所有的矩形都是平行四边形; (2) x R, x 2 2x 1 0 (3)有些实数的绝对值是正数; (4) x0 R, x0 2 1 0
D．x R, sin来自x tan x4．命题p：存在实数m，使方程x2＋mx＋1＝0有实数根， 则“非p”形式的命题是（ B ） A.存在实数m，使得方程x2＋mx＋1＝0无实根； B.不存在实数m，使得方程x2＋mx＋1＝0有实根； C.对任意的实数m，使得方程x2＋mx＋1＝0有实根； D.至多有一个实数m，使得方程x2＋mx＋1＝0有实根；

02 特称命题的定义与特点
特称命题的定义
特称命题是含有存在量词的命题，表 示某类对象中存在某些具有某种性质 的个体。
例如：“存在自然数n，使得 n^2=4”。
特称命题的特点
存在量词
特称命题使用存在量词来表示某类对象中至少有一个 个体满足给定性质。
描述特定个体
特称命题关注的是某类对象确使用全称命题与特称命题
明确范围
在使用全称命题时，需要明确其涵盖的范围，避免出现逻 辑上的漏洞或错误。
01
具体实例
使用特称命题时，需要提供具体的实例 来支持或反驳某个观点，增强论证的说 服力。
02
03
逻辑连贯
在构建论证时，需要确保全称命题和 特称命题之间的逻辑连贯性，避免出 现矛盾或不一致的情况。
简化性
在推理和证明中，全称命题可以简化复杂的问题，使得推理过程更加简洁明了。
全称命题的逻辑形式
全称命题的逻辑形式通常表示为“∀x: P(x)”，其中“∀”表示“对于所有”，x表示个体变量，P(x)表示 关于x的命题。
全称命题的逻辑形式在推理和证明中具有重要意义。通过使用全称命题，我们可以将一个复杂的命题 简化为一个简单的形式，从而更容易进行推理和证明。同时，全称命题也为我们提供了一种有效的工 具，用于描述和表达普遍适用的真理。
全称命题与特称命题的未来发展
1 2
深入研究
随着逻辑学、语言学等学科的发展，全称命题与 特称命题的研究将更加深入和细致。
应用拓展
随着人工智能、大数据等领域的发展，全称命题 与特称命题的应用将更加广泛和深入。
3
跨学科融合
全称命题与特称命题的研究和应用将进一步与其 他学科融合，推动跨学科领域的发展和创新。

[点评] 解题时要注意存在性量词、全称量词的不同表示形式． 存在性命题p：∃x∈A，p(x)，其否定为¬p：∀x∈A，¬p(x)． 全称命题q：∀x∈A，q(x)，其否定为¬q：∃x∈A，¬q(x)．
命题方向二：含有一个量词的命题的否定的真 假判断
[例3] 写出下列命题的否定并判断真假： (1)不论m取何实数，方程x2＋x－m＝0必有实数根； (2)所有末位数字是0或5的整数都能被5整除； (3)每一个非负数的平方都是正数； (4)有的四边形没有外接圆； (5)某些梯形的对角线互相平分； (6)被8整除的数能被4整除．
因为 x∈0，12，所以 f(x)＋2∈0，34.
要使 x∈0，12时 f(x)＋2<logax 恒成立． 显然当 a>1 时不可能．
0<a<1， 所以loga12≥34.
解得344≤a<1.
课堂巩固训练
一、选择题
1．判断下列全称命题的真假，其中真命题为( )
A．所有奇数都是素数
B．∀x∈R，x2＋1≥1
知能自主梳理
1．短语“对所有的”“ 对任意一个”在逻辑中通常叫做全称量 词，并用符号“ ∀ ”表示，含有全称量词的命题，叫做 全称命题． 2．短语“存在一个”“ 至少有一个 ”在逻辑中通常叫做存在量 词，并用符号“ ∃”表示，含有存在量词的命题，叫做 特称．命题 3．全称命题p：∀x∈M，p(x)，它的否定¬p： ∃x∈M，非p(x) ． 4．特称命题p：∃x∈M，p(x)，它的否定¬p： ∀x∈M，非p(x) <logax在x∈
上恒成立时，求a的取值范围．
[解析] (1)由已知f(x＋y)－f(y)＝(x＋2y＋1)x，令x＝1，y＝0， 得f(1)－f(0)＝2，又因为f(1)＝0，所以f(0)＝－2.

练习：写出下列命题的否定,并判断其真假： （1）一切分数都是有理数; （2）有些三角形是锐角三角形; （3）∃x∈R, x²+x=x+2; （4）∀x∈R, 2x+4≥0. （5）∀x∈R, x²>0; （6）∃x∈R, x²=1; （7）∃x∈R, 是方程x²-3x+2=0的根.
一般地，对于含有一个量词的全称命题的否定, 有下面的结论： 全称命题 它的否定 一般地，对于含有一个量词的特称命题的否定,有下
写出下列命题的否定: (1)有些实数的绝对值是正数; (2)有些平行四边形是菱形; (3) ∃x0∈R, x0²+1<0. (4)所有能被3整除的整数都是奇数; (5)对任意x∈Z, x²的个位数字不等于3.
这些命题和它们的否定在形式上有什么变化?
例题
例3 写出下列特称命题的否定，并判断其真假： （1）p：∃x0∈R, x0²+2x0+2≤0; （2）p：有的三角形是等边三角形; （3）p：有一个素数含三个正因数. （4）q：至少有一个实数x,使x³+1=0 （5）r：任意两个等边三角形都是相似的; （6）s：∃x0∈R, x0²+2x0+2=0.
些”、“有一个”、“对某个”、“有的”在逻 辑中通常叫做存在量词。 表示： 用符号“∃”表示,
2.特称命题及表示：
定义: 含有存在量词的命题,叫做特称命题. 表示：特称命题“存在M中的一个x,使p(x)成立”可用
符号简记为∃x∈M,p(x). 读作:“存在一个x属于M,使p(x)成立”.
例如: 命题 (1)有的平行四边形是菱形;
关系(3: )在(1)的基础上,用短语“存在一个”对变量x的 取值进行限定,使(3)变成了可以判断真假的语句;