1.5.2全称量词命题和存在量词命题的否定【解析版】

1.5.2 全称量词命题和存在量词命题的否定（同步训练）一、选择题1.命题“∀x∈R，∃n∈N*，使得n≥2x＋1”的否定形式是( )A.∀x∈R，∃n∈N*，使得n<2x＋1B.∀x∈R，∀n∈N*，使得n<2x＋1C.∃x∈R，∃n∈N*，使得n<2x＋1D.∃x∈R，∀n∈N*，使得n<2x＋12.命题p：∀x∈N，x3>x2的否定形式⌝p为( )A.∀x∈N，x3≤x2B.∃x∈N，x3>x2C.∃x∈N，x3<x2D.∃x∈N，x3≤x23.下列说法正确的是( )A.对所有的正实数t，有t<tB.存在实数x，使x2－3x－4＝0C.不存在实数x，使x<4且x2＋5x－24＝0D.任意实数x，使得|x＋1|≤1且x2>44.关于命题p：“∀x∈R，x2＋1≠0”的叙述，正确的是( )A.⌝p：∃x∈R，x2＋1≠0B.⌝p：∀x∈R，x2＋1＝0C.p是真命题，⌝p是假命题D.p是假命题，⌝p是真命题5.已知命题p：实数的平方是非负数，则下列结论正确的是( )A.命题⌝p是真命题B.命题p是存在量词命题C.命题p是全称量词命题D.命题p既不是全称量词命题也不是存在量词命题6.已知A＝{x|1≤x≤2}，命题“∀x∈A，x2－a≤0”是真命题的一个充分不必要条件是( )A.a≥4B.a≤4C.a≥5D.a≤57.(多选)下列命题的否定是真命题的是( )A.三角形角平分线上的点到两边的距离相等B.所有平行四边形都不是菱形C.任意两个等边三角形都是相似的D.2是方程x2－9＝0的一个根二、填空题8.命题：∃x∈R，x2－x＋1＝0的否定是____________9.若对任意x>3，x>a恒成立，则a的取值范围是______________10.下列命题：①存在x<0，x2－2x－3＝0；②对一切实数x<0，都有|x|>x；③∀x∈R，x2＝x.其中，真命题的序号为________三、解答题11.写出下列命题的否定，并判断它们的真假．(1)∀x∈R，x2>0；(2)∃x∈R，x2＝1；(3)∃x∈R，x是方程x2－3x＋2＝0的根；(4)等腰梯形的对角线垂直．12.已知命题p：∃x＞0，x＋a－1＝0为假命题，求实数a的取值范围．13.命题p是“对某些实数x，若x－a>0，则x－b≤0”，其中a，b是常数．(1)写出命题p的否定；(2)当a，b满足什么条件时，命题p的否定为真？参考答案：一、选择题1.D2.D3.B4.C5.C6.C7.BD二、填空题8.答案:∀x∈R，x2－x＋1≠0. 9.答案:a≤3 10.答案:①②三、解答题11.解:(1)命题的否定：∃x∈R，使x2≤0，因为x＝0时，02＝0，所以命题的否定为真．(2)命题的否定：∀x∈R，使x2≠1，因为x＝1时，x2＝1，所以命题的否定为假．(3)命题的否定：∀x∈R，x不是方程x2－3x＋2＝0的根，因为x＝1时，12－3×1＋2＝0，即x＝1为方程的根，故命题的否定为假(4)命题的否定：存在一个等腰梯形的对角线不垂直，是真命题．12.解：因为命题p：∃x＞0，x＋a－1＝0为假命题，所以﹁p：∀x＞0，x＋a－1≠0是真命题，即x≠1－a，所以1－a≤0，即a≥1.所以a的取值范围为{a|a≥1}．13.解:(1)命题p的否定：对任意实数x，若x－a>0，则x－b>0.(2)b≤a.。

1.5.2全称量词命题与存在量词命题否定1．命题“每一个四边形的四个顶点共圆”的否定是()A．存在一个四边形，它的四个顶点不共圆B．存在一个四边形，它的四个顶点共圆C．所有四边形的四个顶点共圆D．所有四边形的四个顶点都不共圆解析：选A.根据全称量词命题的否定是存在量词命题，得命题“每一个四边形的四个顶点共圆”的否定是“存在一个四边形的四个顶点不共圆”，故选A.2．命题“存在实数x，使x>1”的否定是()A．对任意实数x，都有x≤1B．不存在实数x，使x≤1C．对任意实数x，都有x>1D．存在实数x，使x≤1解析：存在量词命题的否定是全称量词命题，即“存在实数x，使x>1”的否定是“对任意实数x，都有x≤1”．3．存在量词命题“∃x0∉M，p(x0)”的否定是()A．∀x∈M，¬p(x) B．∀x∉M，p(x)C．∀x∉M，¬p(x) D．∀x∈M，p(x)解析：由存在量词命题的否定的定义可得C正确．4．下列四个命题中的真命题为()A．∃x∈Z,1<4x<3B．∃x∈Z,5x＋1＝0C ．∀x ∈R ，x 2－1＝0D ．∀x ∈R ，x 2＋x ＋2>0解析：1<4x <3，14<x <34，这样的整数x 不存在，故选项A 为假命题；5x ＋1＝0，x ＝－15∉Z ，故选项B 为假命题；x 2－1＝0，x ＝±1，故选项C 为假命题；对任意实数x ，都有x 2＋x ＋2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋74>0，故选D. 5．命题“对任意的x ∈R ，都有x 2－2x ＋1≥0”的否定是( )A ．不存在x 0∈R ，使得x 20－2x 0＋1≥0B ．存在x 0∈R ，使得x 20－2x 0＋1≤0C ．存在x 0∈R ，使得x 20－2x 0＋1<0D ．对任意的x ∈R ，都有x 2－2x ＋1<0解析：命题“对任意的x ∈R ，都有x 2－2x ＋1≥0”的否定是“存在x 0∈R ，使得x 20－2x 0＋1<0”．故选C.6．已知命题p ：∃x 0∈R,2x 0＋1≤0，则命题p 的否定是( )A ．∃x 0∈R,2x 0＋1>0B ．∀x ∈R,2x ＋1>0C ．∃x 0∈R,2x 0＋1≥0D ．∀x ∈R,2x ＋1≥0解析：命题p ：∃x 0∈R,2x 0＋1≤0的否定是“∀x ∈R,2x ＋1>0”，故选B.7．命题“∀x ∈R ，∃n ∈N *，使得n ≥x 2”的否定形式是( )A ．∀x ∈R ，∃n ∈N *，使得n <x 2B ．∀x ∈R ，∀n ∈N *，使得n <x 2C ．∃x ∈R ，∃n ∈N *，使得n <x 2D．∃x∈R，∀n∈N*，使得n<x2解析：将“∀”改写为“∃”，“∃”改写为“∀”，再否定结论可得，命题的否定为“∃x∈R，∀n∈N*，使得n<x2”．8．命题“∀x∈{x|1≤x≤2}，x2－3x＋2≤0”的否定为()A．∀x∈{x|1≤x≤2}，x2－3x＋2>0B．∀x∉{x|1≤x≤2}，x2－3x＋2>0C．∃x0∈{x|1≤x≤2}，x20－3x0＋2>0D．∃x0∉{x|1≤x≤2}，x20－3x0＋2>0解析：由全称量词命题的否定为存在量词命题知，命题“∀x∈{x|1≤x≤2}，x2－3x＋2≤0”的否定为“∃x0∈{x|1≤x≤2}，x20－3x0＋2>0”，故选C.9．已知命题p：∃x0>0，x0＋a－1＝0，若p为假命题，则实数a的取值范围是()A．{a|a<1} B．{a|a≤1}C．{a|a>1} D．{a|a≥1}解析：因为p为假命题，所以綈p为真命题，所以∀x>0，x＋a－1≠0，即x≠1－a，所以1－a≤0，即a≥1，故选D.10.命题“∀x∈R,∃n0∈N*,使得n0≥2x+1”的否定形式是()A.∀x∈R,∃n0∈N*,使得n0<2x+1B.∀x∈R,∀n0∈N*,使得n0<2x+1C.∃x0∈R,∃n∈N*,使得n<2x0+1D.∃x0∈R,∀n∈N*,使得n<2x0+1解析：由题意可知,全称量词命题“∀x∈R,∃n0∈N*,使得n0≥2x+1”的否定形式为存在量词命题“∃x0∈R,∀n∈N*,使得n<2x0+1”,故选D.11.命题:“对任意k>0,方程x2+x-k=0有实根”的否定是.解析：全称量词命题的否定是存在量词命题,故原命题的否定是“存在k0>0,使得方程x2+x-k0=0无实根”.12.命题“至少有一个正实数x满足方程x2＋2(a－1)x＋2a＋6＝0”的否定是________________________________________________________________________．解析：把量词“至少有一个”改为“所有”，“满足”改为“都不满足”得命题的否定．∴所有正实数x都不满足方程x2＋2(a－1)x＋2a＋6＝013．命题“对任意实数x，都有x2－2x＋2>0”的否定为.答案：存在实数x，满足x2－2x＋2≤0.14．设命题p：∀x∈R，x2＋ax＋2<0，若¬p为真，则实数a的取值范围是.解析：因为¬p：∃x0∈R，x20＋ax0＋2≥0为真，且函数y＝x2＋ax＋2的图象是开口向上的抛物线，所以a∈R.15．已知命题q：“三角形有且只有一个外接圆”，则¬q 为。

1.5.2全称量词命题和存在量词命题的否定[教学目标]1.能正确的对全称量词命题和存在量词命题进行否定；2.知道全称量词命题的否定是存在量词命题，存在量词命题的否定是全称量词命题．[教学重点]能够正确对全称量词命题和存在量词命题进行否定．[教学难点]全称量词命题和存在量词命题的否定在形式上的变化．【要点整合】知识点一全称量词命题的否定[答一答]1．全称量词命题的否定一定是存在量词命题吗？提示：是，因为全称量词的否定一定是存在量词，所以全称量词命题的否定一定是存在量词命题．2．用自然语言描述的全称量词命题的否定形式唯一吗？提示：不唯一，如“所有的菱形都是平行四边形”，它的否定是“并不是所有的菱形都是平行四边形”，也可以是“有些菱形不是平行四边形”．知识点二存在量词命题的否定[答一答]3．为什么存在量词命题的否定一定是全称量词命题？提示：因为对“有的”，“存在一个”，“至少一个”等词语的否定是“都没有”，“都不存在”，“全都不”等，所以存在量词命题的否定一定是全称量词命题．4．“一般命题的否定”与“全称量词命题和存在量词命题的否定”有什么区别与联系？提示：(1)一般命题的否定通常是保留条件否定其结论，得到真假性完全相反的两个命题；全称量词命题和存在量词命题的否定要在否定结论p(x)的同时，改变量词的属性，即全称量词改为存在量词，存在量词改为全称量词．(2)与一般命题的否定相同，全称量词命题和存在量词命题的否定的关键也是对关键词的否定．因此，对全称量词命题和存在量词命题的否定，应根据命题所叙述的对象的特征，挖掘其中的量词．全称量词命题的否定与全称量词命题的真假性相反；存在量词命题的否定与存在量词命题的真假性相反．【典例讲练】类型一全称量词命题的否定【例1】(1)命题“对任意x∈R，都有x2≥0”的否定为()A．对任意x∈R，都有x2<0B．不存在x∈R，使得x2<0C．存在x0∈R，使得x20≥0D．存在x0∈R，使得x20<0(2)命题“∀x∈R，|x|＋x2≥0”的否定是________．【解析】(1)全称量词命题的否定是存在量词命题．“对任意x∈R，都有x2≥0”的否定为“存在x0∈R，使得x20<0”，故选D.(2)全称量词命题的否定为存在量词命题，所以命题的否定为“∃x0∈R，|x0|＋x20<0”．【答案】(1)D(2)∃x0∈R，|x0|＋x20<0[通法提炼]全称量词命题的否定形式与判断真假的方法：(1)求全称量词命题的否定命题，先将全称量词调整为存在量词，再对性质p(x)否定为p(x).(2)若全称量词命题为真命题，其否定命题就是假命题；若全称量词命题为假命题，其否定命题就是真命题.[变式训练1](1)设x∈Z，集合A是奇数集，集合B是偶数集．若命题p：∀x∈A,2x∈B，则()A．p：∃x∈A,2x∈B B．p：∃x∉A,2x∈BC．p：∃x∈A,2x∉B D．p：∀x∉A,2x∉B(2)命题“∀x>0，xx－1>0”的否定是()A．∃x0>0，x0x0－1≤0 B．∃x0>0,0≤x0≤1C．∀x>0，xx－1≤0 D．∀x<0,0≤x≤1【答案】(1)C(2)B【解析】(1)全称量词命题的否定是存在量词命题，将“∀”改为“∃”，“2x∈B”否定为“2x ∉B”，即p：∃x∈A,2x∉B.(2)∵x x －1>0，∴x <0或x >1，∴命题“∀x >0，x x －1>0”的否定是“∃x 0>0,0≤x 0≤1”， 故选B.类型二 存在量词命题的否定及真假判定【例2】 写出下列存在量词命题p 的否定p ，并判断p 的真假．(1)p ：∃x 0<0，x 0＋1x 0＋2<0. (2)p ：有一个质数含有三个正因数．(3)p ：存在实数m 0，x 2＋x ＋m 0＝0的两根都是正数．[解] (1)p ：∀x <0，x ＋1x ＋2≥0. 当x ＝－2，x ＋1x＋2<0，所以p 是假命题． (2)p ：每一个质数都不含有三个正因数，p 是真命题．(3)p ：对任意实数m ，x 2＋x ＋m ＝0的两根不都是正数．假设x 2＋x ＋m ＝0的两根x 1，x 2都是正数，则必须⎩⎪⎨⎪⎧ Δ≥0，x 1＋x 2>0，x 1x 2>0，即⎩⎪⎨⎪⎧ 1－4m ≥0，－1>0，m >0，此不等式组无解，所以不存在实数m 0，使x 2＋x ＋m 0＝0的两根都是正数，命题p 为假命题，所以p 为真命题．[通法提炼]存在量词命题的否定形式与判断真假的方法：(1)求存在量词命题的否定命题，先将存在量词调整为全称量词，再对性质p (x )否定为p (x ). (2)由于命题与命题的否定一真一假，所以如果判断一个命题的真假困难时，那么可以转化为判断命题的否定的真假从而进行判断.[变式训练2] 写出下列存在量词命题的否定，并判断其否定的真假．(1)有些实数的绝对值是正数；(2)某些平行四边形是菱形；(3)∃x 0，y 0∈Z ，使得2x 0＋y 0＝3.解：(1)命题的否定是“不存在一个实数，它的绝对值是正数”，即“所有实数的绝对值都不是正数”．它为假命题．(2)命题的否定是“没有一个平行四边形是菱形”，即“每一个平行四边形都不是菱形”．由于四条边相等的平行四边形是菱形，因此命题的否定是假命题．(3)命题的否定是“∀x，y∈Z，2x＋y≠3”．当x＝0，y＝3时，2x＋y＝3，因此命题的否定是假命题．[通法提炼]若全称量词命题为假命题，通常转化为其否定命题——存在量词命题为真命题解决，同理，若存在量词命题为假命题，通常转化为其否定命题——全称量词命题为真命题解决.[变式训练3]若命题“∀1≤x≤2，一次函数y＝x＋m的图象在x轴上方”为真命题，求实数m的取值范围．解：当1≤x≤2时，1＋m≤x＋m≤2＋m，因为y＝x＋m图象在x轴上方，所以m＋1>0，即m>－1.类型四素养提升对全称量词命题和存在量词命题的否定不完全【例4】已知命题p：存在一个实数x0，使得x20－x0－2<0，写出p.【错解一】p：存在一个实数x0，使得x20－x0－2≥0.【错解二】p：对任意的实数x，都有x2－x－2<0.【错因分析】该命题是存在量词命题，其否定应是全称量词命题，但错解一得到的p仍是存在量词命题，显然只对结论进行了否定，而没有对存在量词进行否定．错解二只对存在量词进行了否定，而没有对结论进行否定．【正解】p：对任意的实数x，都有x2－x－2≥0.【解后反思】对含有量词的命题进行否定时，(1)牢记全称量词命题的否定是存在量词命题，存在量词命题的否定是全称量词命题，注意不能只否定结论，而忘记了对量词的否定；也不能只否定量词，而忘记了对结论的否定．(2)牢记命题的否定与原命题的真假性相反，可以以此检验命题的否定是否正确．[变式训练4]已知命题p：∀x1，x2∈R，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)≥0，则p是()A．∃x1，x2∈R，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)≤0B．∀x1，x2∈R，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)≤0C．∃x1，x2∈R，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)<0D．∀x1，x2∈R，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)<0【答案】C【解析】利用全称量词命题的否定是存在量词命题求解．命题p 的否定为“∃x 1，x 2∈R ，[f (x 2)－f (x 1)](x 2－x 1)<0”．【课堂达标】1．命题：“∀x ∈R ，都有x 2－x ＋1>0”的否定是( )A ．∀x ∈R ，都有x 2－x ＋1≤0B ．∃x 0∈R ，使x 20－x 0＋1>0C ．∃x 0∈R ，使x 20－x 0＋1≤0D ．以上均不正确【答案】C【解析】原命题为全称量词命题，其否定为存在量词命题，故选C.【答案】D【解析】原命题为存在量词命题，其否定为全称量词命题．3．命题“∀x ∈R,3x 2－2x ＋1>0”的否定是 .【答案】∃x ∈R,3x 2－2x ＋1≤04．命题p ：∃x 0∈R ，x 20＋2x 0＋5<0是 (填“全称量词命题”或“存在量词命题”)，它是 命题(填“真”或“假”)，它的否定为p ： .【答案】存在量词命题 假 ∀x ∈R ，x 2＋2x ＋5≥0【解析】命题p ：∃x 0∈R ，x 20＋2x 0＋5<0是存在量词命题．因为x 2＋2x ＋5＝(x ＋1)2＋4>0恒成立，所以命题p 为假命题．命题p 的否定为：∀x ∈R ，x 2＋2x ＋5≥0.5．写出下列命题p 的否定p ，并判断命题p 的真假．(1)p ：∀x ∈R ，x 2＋x ＋1>0.(2)p ：∃x 0，y 0∈R, (x 0－1)2＋(y 0＋1)2＝0.解：(1) p ：∃x 0∈R ，x 20＋x 0＋1≤0.由于x 2＋x ＋1＝(x ＋12)2＋34≥34，所以p 为假命题． (2) p ：∀x ，y ∈R ，(x －1)2＋(y ＋1)2≠0.当x＝－y＝1时，(x－1)2＋(y＋1)2＝0，所以p为假命题．【课堂小结】本课须掌握的两大问题1．对全称量词命题的否定以及特点的理解：(1)全称量词命题的否定实际上是对量词“所有”否定为“并非所有”，所以全称量词命题的否定的等价形式就是存在量词命题，将全称量词调整为存在量词，就要对p(x)进行否定，这是叙述命题的需要，不能认为对全称量词命题进行“两次否定”，否则就是“双重否定即肯定”，所以含有一个量词的命题的否定仍是一次否定．(2)对于省去了全称量词的全称量词命题的否定，一般要改写为含有全称量词的命题，再写出命题的否定命题．2．对存在量词命题的否定以及特点的理解：(1)由于全称量词命题的否定是存在量词命题，而命题p与p互为否定，所以存在量词命题的否定就是全称量词命题．(2)全称量词命题与存在量词命题以及否定命题都是形式化命题，叙述命题时要结合命题的内容和特点，灵活运用自然语言、符号语言进行描述，这样才能准确判断命题的真假．。

1．5.2全称量词命题和存在量词命题的否定学习目标 1.通过实例总结含有一个量词的命题与它们的否定在形式上的变化规律.2.能正确地对含有一个量词的命题进行否定．知识点含量词的命题的否定p 綈p 结论全称量词命题∀x∈M，p(x)∃x∈M，綈p(x)全称量词命题的否定是存在量词命题存在量词命题∃x∈M，p(x)∀x∈M，綈p(x)存在量词命题的否定是全称量词命题1．∃x∈M，p(x)与∀x∈M，綈p(x)的真假性相反．(√)2．“任意x∈R，x2≥0”的否定为“∃x∈R，x2<0”．(√)3．“∃x∈R，|x|＝x”是假命题．(×)一、全称量词命题的否定例1写出下列命题的否定．(1)所有矩形都是平行四边形；(2)每一个素数都是奇数；(3)∀x∈R，x2－2x＋1≥0.解(1)存在一个矩形不是平行四边形；(2)存在一个素数不是奇数；(3)∃x∈R，x2－2x＋1<0.反思感悟全称量词命题p：∀x∈M，p(x)，它的否定綈p：∃x∈M，綈p(x)，全称量词命题的否定是存在量词命题．跟踪训练1写出下列命题的否定，并判断其否定的真假：(1)p：不论m取何实数，方程x2＋mx－1＝0必有实根；(2)p：∀x∈N,2x>0.解(1)綈p：存在一个实数m，使方程x2＋mx－1＝0没有实数根．因为该方程的判别式Δ＝m2＋4>0恒成立，故綈p为假命题．(2)綈p：∃x∈N,2x≤0.綈p为假命题．二、存在量词命题的否定例2写出下列命题的否定．(1)有些四边形有外接圆；(2)某些平行四边形是菱形；(3)∃x∈R，x2＋1<0.解(1)所有的四边形都没有外接圆；(2)所有平行四边形都不是菱形；(3)∀x∈R，x2＋1≥0.反思感悟对存在量词命题进行否定时，首先把存在量词改为全称量词，然后对判断词进行否定，可以结合命题的实际意义进行表述．跟踪训练2写出下列存在量词命题的否定，并判断其否定的真假：(1)有些实数的绝对值是正数；(2)∃x，y∈Z，使得2x＋y＝3.解(1)命题的否定：“不存在一个实数，它的绝对值是正数”，也即“所有实数的绝对值都不是正数”．由于|－2|＝2，因此命题的否定为假命题．(2)命题的否定：“∀x，y∈Z，2x＋y≠3”．∵当x＝0，y＝3时，2x＋y＝3，∴命题的否定是假命题．三、全称量词命题、存在量词命题的综合应用例3对于任意实数x，不等式x2＋4x－1>m恒成立．求实数m的取值范围．解令y＝x2＋4x－1，x∈R，则y＝(x＋2)2－5，因为∀x∈R，不等式x2＋4x－1>m恒成立，所以只要m<－5即可．所以所求m的取值范围是{m|m<－5}．延伸探究本例条件变为：“存在实数x，使不等式－x2＋4x－1>m有解”，求实数m的取值范围．解令y＝－x2＋4x－1，因为y＝－x2＋4x－1＝－(x－2)2＋3.又因为∃x∈R，－x2＋4x－1>m有解，所以只要m小于函数的最大值即可，所以所求m的取值范围是{m|m<3}．反思感悟求解含有量词的命题中参数范围的策略(1)对于全称量词命题“∀x∈M，a>y(或a<y)”为真的问题，实质就是不等式恒成立问题，通常转化为求函数y的最大值(或最小值)，即a>y max(或a<y min)．(2)对于存在量词命题“∃x∈M，a>y(或a<y)”为真的问题，实质就是不等式能成立问题，通常转化为求函数y的最小值(或最大值)，即a>y min(或a<y max)．跟踪训练3若命题p：∃x∈R，x2＋2x＋a≤0是真命题，则实数a的取值范围是() A．a≥1 B．a>1 C．a<1 D．a≤1答案 D解析命题p：∃x∈R，x2＋2x＋a≤0是真命题，则Δ≥0，即a≤1.故选D.1．命题“∀x∈R，|x|＋x2≥0”的否定是()A．∀x∈R，|x|＋x2<0B．∀x∈R，|x|＋x2≤0C．∃x∈R，|x|＋x2<0D．∃x∈R，|x|＋x2≥0答案 C解析条件∀x∈R的否定是∃x∈R，结论“|x|＋x2≥0”的否定是“|x|＋x2<0”．2．命题“存在实数x，使x>1”的否定是()A．对任意实数x，都有x>1B．不存在实数x，使x≤1C．对任意实数x，都有x≤1D．存在实数x，使x≤1答案 C解析利用存在量词命题的否定是全称量词命题求解．“存在实数x，使x>1”的否定是“对任意实数x，都有x≤1”．故选C.3．关于命题p：“∀x∈R，x2＋1≠0”的叙述，正确的是()A．綈p：∃x∈R，x2＋1≠0B．綈p：∀x∈R，x2＋1＝0C．p是真命题，綈p是假命题D．p是假命题，綈p是真命题答案 C解析命题p：“∀x∈R，x2＋1≠0”的否定是“∃x∈R，x2＋1＝0”．所以p是真命题，綈p是假命题．4．命题“同位角相等”的否定为________．答案有的同位角不相等解析全称量词命题的否定是存在量词命题，故否定为：有的同位角不相等．5．命题：“有的三角形是直角三角形”的否定是：________.答案所有的三角形都不是直角三角形解析命题：“有的三角形是直角三角形”是存在量词命题，其否定是全称量词命题，按照存在量词命题改为全称量词命题的规则，即可得到该命题的否定．1．知识清单：(1)全称量词命题、存在量词命题的否定．(2)命题真假的判断．2．方法归纳：转化思想．3．常见误区：否定不唯一，命题与其否定的真假性相反．1．若p：∀x∈R，|x|≤1，则()A．綈p：∃x∈R，|x|>1B．綈p：∀x∈R，|x|>1C．綈p：∃x∈R，|x|≥1D．綈p：∀x∈R，|x|≥1答案 A解析根据全称量词命题的否定为存在量词命题可知，∀x∈R，|x|≤1的否定为：∃x∈R，|x|>1，故选A.2．命题“∀x>0，都有x2－x＋3≤0”的否定()A．∃x>0，使得x2－x＋3≤0B．∃x>0，使得x2－x＋3>0C．∀x>0，都有x2－x＋3>0D．∀x≤0，都有x2－x＋3>0答案 B解析命题“∀x>0，都有x2－x＋3≤0”的否定是：∃x>0，使得x2－x＋3>0.3．命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是()A．任意一个有理数，它的平方是有理数B．任意一个无理数，它的平方不是有理数C．存在一个有理数，它的平方是有理数D．存在一个无理数，它的平方不是有理数答案 B解析量词“存在”改为“任意”，结论“它的平方是有理数”否定后为“它的平方不是有理数”，故选B.4．命题p：∀x∈N，x3>x2的否定形式綈p为()A．∀x∈N，x3≤x2B．∃x∈N，x3>x2C．∃x∈N，x3<x2D．∃x∈N，x3≤x2答案 D解析命题p：∀x∈N，x3>x2的否定形式是存在量词命题；∴綈p：“∃x∈N，x3≤x2”．故选D.5．已知命题p：实数的平方是非负数，则下列结论正确的是()A．命题綈p是真命题B．命题p是存在量词命题C．命题p是全称量词命题D．命题p既不是全称量词命题也不是存在量词命题答案 C解析命题p：实数的平方是非负数，是真命题，故綈p是假命题，命题p是全称量词命题，故选C.6．命题“∃x∈N，x2>1”的否定是________．答案∀x∈N，x2≤1解析由题意，根据存在量词命题与全称量词命题的关系可得，命题“∃x∈N，x2>1”的否定为“∀x∈N，x2≤1”．7．命题：∃x∈R，x2－x＋1＝0的否定是____________．答案∀x∈R，x2－x＋1≠0.解析因为存在量词命题的否定是全称量词命题，所以∃x∈R，x2－x＋1＝0的否定是：∀x∈R，x2－x＋1≠0.8．命题“任意一个x∈R，都有x2－2x＋4≤0”的否定是________．答案存在x∈R，使得x2－2x＋4>0解析原命题为全称量词命题，其否定为存在量词命题，所以其否定为：存在x∈R，使得x2－2x＋4>0.9．写出下列命题的否定，并判断它们的真假．(1)∀x∈R，x2>0；(2)∃x∈R，x2＝1；(3)∃x∈R，x是方程x2－3x＋2＝0的根；(4)等腰梯形的对角线垂直．解(1)命题的否定：∃x∈R，使x2≤0，因为x＝0时，02＝0，所以命题的否定为真．(2)命题的否定：∀x∈R，使x2≠1，因为x＝1时，x2＝1，所以命题的否定为假．(3)命题的否定：∀x∈R，x不是方程x2－3x＋2＝0的根，因为x＝1时，12－3×1＋2＝0，即x ＝1为方程的根，所以命题的否定为假．(4)命题的否定：存在一个等腰梯形的对角线不垂直，是真命题．10．命题p 是“对某些实数x ，若x －a >0，则x －b ≤0”，其中a ，b 是常数．(1)写出命题p 的否定；(2)当a ，b 满足什么条件时，命题p 的否定为真？解 (1)命题p 的否定：对任意实数x ，若x －a >0，则x －b >0.(2)b ≤a .11．下列命题的否定是真命题的是( )A ．三角形角平分线上的点到两边的距离相等B ．所有平行四边形都不是菱形C ．任意两个等边三角形都是相似的D ．3是方程x 2－9＝0的一个根答案 B解析 A 的否定：存在一个三角形，它的角平分线上的点到两边的距离不相等，假命题， B 的否定：有些平行四边形是菱形，真命题，C 的否定：有些等边三角形不相似，假命题，D 的否定： 3不是方程x 2－9＝0的一个根，假命题，故选B.12．已知命题“∃x ∈R ，使4x 2＋(a －2)x ＋14≤0”是假命题，则实数a 的取值范围是( ) A ．a <0B ．0≤a ≤4C ．a ≥4D ．0<a <4答案 D解析 ∵命题“∃x ∈R ，使4x 2＋(a －2)x ＋14≤0”是假命题，∴命题“∀x ∈R ，使4x 2＋(a －2)x ＋14>0”是真命题，即判别式Δ＝(a －2)2－4×4×14<0，即Δ＝(a －2)2<4，则－2<a －2<2，即0<a <4，故选D.13．命题∀x ∈R ，x 2－x ＋3>0的否定是________，命题∃x ∈R ，x 2＋1<0的否定是________． 答案 ∃x ∈R ，x 2－x ＋3≤0 ∀x ∈R ，x 2＋1≥014．已知命题p ：任意x ∈R ，x 2＋2ax ＋a >0.若命题p 是假命题，则实数a 的取值范围是____________．答案{a|a≤0，或a≥1}解析若命题p为真命题，则Δ＝4a2－4a<0，∴0<a<1，所以当p为假命题时，a的取值范围是a≤0或a≥1.15．命题“∀x∈R，∃n∈N*，使得n≥2x＋1”的否定形式是()A．∀x∈R，∃n∈N*，使得n<2x＋1B．∀x∈R，∀n∈N*，使得n<2x＋1C．∃x∈R，∃n∈N*，使得n<2x＋1D．∃x∈R，∀n∈N*，使得n<2x＋1答案 D解析由题意可知，全称量词命题“∀x∈R，∃n∈N*，使得n≥2x＋1”的否定形式为存在量词命题“∃x∈R，∀n∈N*，使得n<2x＋1”，故选D.16．已知命题“存在x∈R，ax2－2ax－3>0”是假命题，求实数a的取值范围．解因为命题“存在x∈R，ax2－2ax－3>0”的否定为“对于任意x∈R，ax2－2ax－3≤0恒成立”，由命题真，其否定假；命题假，其否定真可知该命题的否定是真命题．事实上，当a＝0时，对任意的x∈R，不等式－3≤0恒成立；当a≠0时，借助二次函数的图象(图略)，数形结合，易知不等式ax2－2ax－3≤0恒成立的等价条件是a<0且其判别式Δ＝4a2＋12a≤0，即－3≤a<0；综上知，实数a的取值范围是{a|－3≤a≤0}。

1.5.2全称量词命题和存在量词命题的否定（25分钟限时练）一、单选题（共5小题，共30分）1. (5分 ) 命题，则是( )A. B.C. D.2. (5分 ) 设命题设命题：，则＞，则为( )A. ，B. ，C. ，D. ，3. ( 5分 ) 命题“”的否定是( )A. B.C. D.4. (5分 ) 下列命题中，真命题是( )A.B. 是的充要条件C.D. 命题的否定是真命题5. (5分 ) 已知命题，则A.B.C.D.二、填空题（共3小题；共15分）6. (5分 ) 已知命题“”为真命题,则实数的取值范围是________.7. ( 5分 ) 命题“任意四面体均有内切球”的否定形式是________.8. ( 5分 ) 若命题p：“”是假命题，则实数a的取值范围是________．三、解答题（共2题；共23分）9. ( 15分 ) 判断下列命题的真假:（1）存在一个函数,既是偶函数又是奇函数;（2）每一条线段的长度都能用正有理数来表示;,使得等式成立;（3）存在一个实数x（4）∀x∈R,x2-3x+2=0;∈R, .（5）∃x10. ( 8分 ) 判断下列语句是不是命题，如果是，说明是全称命题还是特称命题．（1）任何一个实数除以1，仍等于这个数；（2）三角函数都是周期函数吗？（3）有一个实数x，x不能取倒数；（4）有的三角形内角和不等于180°．答案解析部分一、单选题1.【答案】B【考点】全称命题，特称命题【解析】【解答】根据题意，将任意改为存在，并将结论改为否定，则可知命题， 则是， 选B.【分析】主要是考查了全称命题的否定是特称命题，属于基础题。

2.【答案】 C【考点】特称命题【解析】:，，故选C【点评】全称命题的否定与特称命题的否定式高考考查的重点，对特称命题的否定，将存在换成任意，后边变为其否定形式，注意全称命题与特称命题否定的书写。

3.【答案】 D【考点】全称命题，特称命题【解析】【解答】因为，全称命题的否定是存在性命题，所以，命题“”的否定是， 选D 。

1.5.2 全称量词命题和存在量词命题的否定1．5.2 全称量词命题和存在量词命题的否定必备知识基础练1．解析：(1)綈p ：存在一个四边形，它的四个顶点不共圆． (2)綈p ：有些自然数的平方不是正数． (3)綈p ：存在实数x 不是方程5x －12＝0的根． (4)綈p ：存在实数x ，使得x 2＋1＜0.2．解析：(1)綈p ：∃x ＞0，x ＋1x＜2.假命题．(2)綈p ：有的矩形的对角线不相等．假命题．(3)綈p ：存在实数m ，使x 2＋x －m ＝0没有实数根．真命题． 3．解析：(1)綈p ：∀x ＞1，x 2－2x －3≠0.(假)． (2)綈p ：所有的自然数都不是奇数．(假)． (3)綈p ：所有的平行四边形都是矩形．(假)．4．解析：(1)题中命题的否定为“所有的素数都不是偶数”．这个命题是假命题，如2是素数也是偶数．(2)题中命题的否定为“∀x ∈R ，x 2＋x ＋14≥0”．这个命题是真命题，因为当x ∈R 时，x 2＋x ＋14＝⎝⎛⎭⎪⎫x ＋122≥0.(3)题中命题的否定为“∀x∈R，x 3＋1≠0”．这个命题是假命题，因为x ＝－1时，x 3＋1＝0.关键能力综合练1．解析：在写命题的否定时，一是更换量词，二是否定结论．更换量词：“有些”改为“所有”，否定结论：“是等腰三角形”改为“不是等腰三角形”，故綈p 为“所有三角形不是等腰三角形”，故选C.答案：C2．解析：全称量词命题的否定是存在量词命题．因此綈p 为∃x ＞0，(x ＋1)e x≤1.故选B.答案：B3．解析：存在量词命题的否定是全称量词命题．因此选D. 答案：D4．解析：命题p ：实数的平方是非负数，是真命题，故綈p 是假命题，命题p 是全称量词命题，故选C.答案：C5．解析：1＜4x ＜3，14＜x ＜34，这样的整数x 不存在，故A 为假命题；5x ＋1＝0，x ＝－15∉Z ，故B 为假命题；x 2－1＝0，x ＝±1，故C 为假命题；对任意实数x ，都有x 2＋x ＋2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋74＞0，故选D. 答案：D6．解析：C 中綈p ：所有的三角形都不是正三角形，故C 错误． 答案：C7．答案：∃x ∈R ，x 2－x ＋3≤0 ∀x ∈R ，x 2＋1≥08．解析：因为命题“∃x ∈R,2x 2＋3x ＋a ≤0”是假命题，所以其否定“∀x ∈R,2x 2＋3x＋a >0”是真命题，等价于方程2x 2＋3x ＋a ＝0无实根，所以Δ＝32－4×2×a <0，解得a >98.故实数a 的取值X 围是a >98.答案：⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a ⎪⎪⎪a >98 9．解析：∵p (1)是假命题，p (2)是真命题．∴⎩⎪⎨⎪⎧3－m ≤0，8－m >0，解得3≤m ＜8.答案：3≤m <810．解析：(1)綈p ：∃x ∈R ，x 2－x ＋14<0，假命题．∵∀x ∈R ，x 2－x ＋14＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122≥0，∴綈p 是假命题．(2)綈q ：有的正方形不是矩形，假命题． (3)綈r ：∀x ∈R ，x 2＋2x ＋2>0，真命题． ∵∀x ∈R ，x 2＋2x ＋2＝(x ＋1)2＋1≥1>0， ∴綈r 是真命题．学科素养升级练1．解析：∵命题“∃x ∈R ，使4x 2＋(a －2)x ＋14≤0”是假命题，∴命题“∀x ∈R ，使4x 2＋(a －2)x ＋14>0”是真命题，即判别式Δ＝(a －2)2－4×4×14<0，即Δ＝(a －2)2<4，则－2<a －2<2，即0<a <4，故CD 均符合．答案：CD2．解析：①当x ＝0时，x 2＝0，是假命题；②x 2＋x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋34≥0，是假命题；③x＝0时函数没有意义，是假命题；④当a ＝2－2，b ＝3＋2时，a ＋b ＝5，是真命题．答案：13．解析：因为命题“存在x ∈R ，ax 2－2ax －3>0”的否定为“对于任意x ∈R ，ax 2－2ax －3≤0恒成立”，由命题真，其否定假；命题假，其否定真可知该命题的否定是真命题． 事实上，当a ＝0时，对任意的x ∈R ，不等式－3≤0恒成立；当a ≠0时，借助二次函数的图象(图略)，数形结合，易知不等式ax 2－2ax －3≤0恒成立的等价条件是a <0且其判别式Δ＝4a 2＋12a ≤0，即－3≤a <0；综上知，实数a 的取值X 围是{a |－3≤a ≤0}．。