1.2.2全称量词命题与存在量词命题的否定(新教材教师用书)

1.2.2全称量词命题与存在量词命题的否定学习目标1.掌握命题的否定的概念，能够对一个命题进行否定.2.通过实例总结含有一个量词的命题与它们的否定在形式上的变化规律.3.能正确地对含有一个量词的命题进行否定．知识点一命题的否定1．定义：一般地，对命题p加以否定，就得到一个新的命题，记作“綈p”，读作“非p”或“p的否定”．2．命题p与其否定綈p的真假关系．如果一个命题是真命题，那么这个命题的否定就是一个假命题；反之亦然．知识点二含量词的命题的否定p 綈p 结论全称量词命题∀x∈M，q(x)∃x∈M，綈q(x)全称量词命题的否定是存在量词命题存在量词命题∃x∈M，p(x)∀x∈M，綈p(x)存在量词命题的否定是全称量词命题思考用自然语言描述的全称量词命题的否定形式唯一吗？答案不唯一，如“所有的菱形都是平行四边形”，它的否定是“并不是所有的菱形都是平行四边形”，也可以是“有些菱形不是平行四边形”．1．命题与命题的否定的真假相反．(√)2．∃x∈M，p(x)与∀x∈M，綈p(x)的真假性相反．(√)3．“任意x∈R，x2≥0”的否定为“∃x∈R，x2<0”．(√)4．“∃x∈R，|x|＝x”是假命题．(×)一、全称量词命题的否定例1写出下列全称量词命题的否定：(1)任何一个平行四边形的对边都平行；(2)任何一个圆都是轴对称图形；(3)∀a，b∈R，方程ax＝b都有唯一解；(4)可以被5整除的整数，末位是0.解(1)其否定为：存在一个平行四边形，它的对边不都平行．(2)其否定为：存在一个圆不是轴对称图形．(3)其否定为：∃a，b∈R，使方程ax＝b的解不唯一或不存在．(4)其否定为：存在被5整除的整数，末位不是0.反思感悟全称量词命题的否定是存在量词命题，对省略全称量词的命题可补上全称量词后进行否定．跟踪训练1写出下列全称量词命题的否定：(1)p：每一个三角形的三个顶点共圆；(2)q：所有自然数的平方都是正数；(3)s：任何实数x都是方程5x－12＝0的根；(4)r：对任意实数x，x2＋5≥0.解(1)綈p：存在一个三角形，它的三个顶点不共圆．(2)綈q：有些自然数的平方不是正数．(3)綈s：存在实数x不是方程5x－12＝0的根．(4)綈r：存在实数x，使得x2＋5<0.二、存在量词命题的否定例2写出下列命题的否定：(1)有些四边形有外接圆；(2)某些平行四边形是菱形；(3)∃x∈R，x2＋1<0.解(1)所有的四边形都没有外接圆；(2)所有平行四边形都不是菱形；(3)∀x∈R，x2＋1≥0.反思感悟对存在量词命题进行否定时，首先把存在量词改为全称量词，然后对判断词进行否定，可以结合命题的实际意义进行表述．跟踪训练2写出下列存在量词命题的否定，并判断其否定的真假：(1)有些实数的绝对值是正数；(2)∃x，y∈Z，使得2x＋y＝3.解(1)命题的否定：“所有实数的绝对值都不是正数”．由于|－2|＝2，因此命题的否定为假命题．(2)命题的否定：“∀x，y∈Z，2x＋y≠3”．∵当x＝0，y＝3时，2x＋y＝3，∴命题的否定是假命题．三、全称量词命题、存在量词命题的否定的综合应用例3已知命题p：∀x∈R，m＋x2－2x＋5>0，若綈p为假命题，求实数m的取值范围．解因为綈p为假命题，所以命题p：∀x∈R，m＋x2－2x＋5>0为真命题，即二次函数y＝x2－2x＋m＋5的图像恒在x轴上方，所以Δ＝(－2)2－4(m＋5)<0，即m>－4，故实数m的取值范围为{m|m>－4}．延伸探究如果把本例改成：已知命题p：∃x∈R，m－x2＋2x－5>0，若綈p为假命题，求实数m的取值范围．解 因为綈p 为假命题，所以命题p ：∃x ∈R ，m －x 2＋2x －5>0为真命题，即二次函数y ＝－x 2＋2x ＋m －5的图像的最高点在x 轴上方，即图像与x 轴有两个交点，所以Δ＝22＋4(m －5)>0，即m >4，故实数m 的取值范围为{m |m >4}．反思感悟 (1)注意p 与綈p 的真假性只能一真一假，解决问题时可以相互转化． (2)对求参数范围问题，往往分离参数，转化成求函数的最值问题．跟踪训练3 已知命题p ：∃x ∈R ，x 2＋2(a －1)x ＋a 2≤0.若命题p 是假命题，则实数a 的取值范围是________． 答案 ⎝⎛⎭⎫12，＋∞ 解析 方法一 若命题p ：∃x ∈R ，x 2＋2(a －1)x ＋a 2≤0是真命题，得Δ＝4(a －1)2－4a 2≥0， 即－2a ＋1≥0，∴a ≤12.，若命题p 是假命题，则a >12.方法二 依题意，命题綈p ：∀x ∈R ，x 2＋2(a －1)x ＋a 2>0是真命题，得Δ＝4(a －1)2－4a 2<0，即a >12.1．命题“∀x ∈R ，|x |＋x 2≥0”的否定是( ) A ．∀x ∈R ，|x |＋x 2<0 B ．∀x ∈R ，|x |＋x 2≤0 C ．∃x ∈R ，|x |＋x 2<0 D ．∃x ∈R ，|x |＋x 2≥0答案 C解析 量词∀x ∈R 改为∃x ∈R ，结论“|x |＋x 2≥0”的否定是“|x |＋x 2<0”． 2．命题“存在实数x ，使x >1”的否定是( )A．对任意实数x，都有x>1B．不存在实数x，使x≤1C．对任意实数x，都有x≤1D．存在实数x，使x≤1答案 C解析存在量词命题的否定是全称量词命题，“存在实数x，使x>1”的否定是“对任意实数x，都有x≤1”．3．对下列命题的否定说法错误的是()A．p：能被2整除的数是偶数；綈p：存在一个能被2整除的数不是偶数B．p：有些矩形是正方形；綈p：所有的矩形都不是正方形C．p：有的三角形为正三角形；綈p：所有的三角形不都是正三角形D．p：∃n∈N,2n≤100；綈p：∀n∈N,2n>100.答案 C解析“有的三角形为正三角形”为存在量词命题，其否定为全称量词命题：“所有的三角形都不是正三角形”，故选项C错误．4．命题“存在x∈R,3x≥0”的否定是________．答案对任意的x∈R,3x<0解析存在量词命题的否定是全称量词命题，故“存在x∈R,3x≥0”的否定是“对任意的x∈R,3x<0”．5．命题“对任意x∈R，|x－2|＋|x－4|>3”的否定是________________________________．答案存在x∈R，使得|x－2|＋|x－4|≤3解析由定义知命题的否定为“存在x∈R，使得|x－2|＋|x－4|≤3”．1．知识清单：(1)全称量词命题、存在量词命题的否定．(2)全称量词命题、存在量词命题的否定的综合应用．2．方法归纳：转化法、分离参数法．3．常见误区：否定不唯一，命题与其否定的真假性相反．1．设命题p：∀x∈R，x2＋1>0，则綈p为()A．∃x∈R，x2＋1>0 B．∃x∈R，x2＋1≤0C．∃x∈R，x2＋1<0 D．∀x∈R，x2＋1≤0答案 B解析命题p：∀x∈R，x2＋1>0，是一个全称量词命题，∴綈p：∃x∈R，x2＋1≤0.2．(多选)对下列命题的否定，其中说法正确的是()A．p：∀x≥3，x2－2x－3≥0；p的否定：∃x≥3，x2－2x－3<0B．p：存在一个四边形的四个顶点不共圆；p的否定：每一个四边形的四个顶点共圆C．p：有的三角形为直角三角形；p的否定：有的三角形不是直角三角形D．p：∃x∈R，x2＋2x＋2≤0；p的否定：∀x∈R，x2＋2x＋2>0答案ABD解析若p：有的三角形为直角三角形，则p的否定：所有的三角形都不是直角三角形．3．命题p：∀x∈N，x3>x2的否定形式綈p为()A．∀x∈N，x3≤x2B．∃x∈N，x3>x2C．∃x∈N，x3<x2D．∃x∈N，x3≤x2答案 D解析命题p：∀x∈N，x3>x2的否定形式是存在量词命题，∴綈p：“∃x∈N，x3≤x2”．4．(多选)下列命题的否定为真命题的是()A．∃x∈R，x2＋2x＋2≤0B．∀x∈R，x3<1C．所有能被3整除的整数都是奇数D．某些梯形的对角线互相平分答案ABCD解析对于选项A，因为x2＋2x＋2＝(x＋1)2＋1>0，所以∃x∈R，x2＋2x＋2≤0是假命题，故其否定为真命题；对于选项B，因为当x≥1时，x3≥1，所以∀x∈R，x3<1是假命题，故其否定为真命题；对于选项C，因为6能被3整除，但6是偶数，所以这是假命题，其否定为真命题；对于选项D，任意一个梯形的对角线都不互相平分，所以这是假命题，因此其否定是真命题．5．命题“存在x∈R，使x2＋2x＋m≤0”是假命题，求得m的取值范围是(a，＋∞)，则实数a的值是()A．0 B．1 C．2 D．3答案 B解析由题意知原命题的否定是真命题，即∀x∈R，都有x2＋2x＋m>0是真命题．由Δ＝4－4m<0，得m>1，∴a＝1.6．“至少有2个人”的否定为__________，“至多有2个人”的否定为_____．答案至多有1人至少有3个人解析“至少有2个人”意思是多于或等于两个人，所以它的反面是有一个或者零个，也就是至多1人．“至多有两个人”含义是有0人或1人或2人，故“至多有2个人”的否定为“至少有3个人”．7．命题“存在x ∈R ，使得x 2＋2x ＋5＝0”的否定是________________________． 答案 对任意x ∈R ，x 2＋2x ＋5≠0解析 存在量词命题的否定是全称量词命题，将“存在”改为“任意”，“＝”改为“≠”． 8．若命题“∃x <2 020，x >a ”是假命题，则实数a 的取值范围是________． 答案 [2 020，＋∞)解析 由于命题“∃x <2 020，x >a ”是假命题，因此其否定“∀x <2 020，x ≤a ”是真命题，所以a ≥2 020.9．写出下列命题的否定，并判断否定的真假． (1)∀x ∈R ，x 2>0； (2)∃x ∈R ，x 2＝1；(3)∃x ∈R ，x 是方程x 2－3x ＋2＝0的根； (4)等腰梯形的对角线垂直．解 (1)命题的否定：∃x ∈R ，使x 2≤0， 因为x ＝0时，02＝0，所以命题的否定为真． (2)命题的否定：∀x ∈R ，使x 2≠1， 因为x ＝1时，x 2＝1， 所以命题的否定为假．(3)命题的否定：∀x ∈R ，x 不是方程x 2－3x ＋2＝0的根，因为x ＝1时，12－3×1＋2＝0，即x ＝1为方程的根，所以命题的否定为假．(4)命题的否定：存在一个等腰梯形的对角线不垂直，是真命题．10．已知命题p ：∀x ∈{x |－3≤x ≤2}，都有x ∈{x |a －4≤x ≤a ＋5}，且綈p 是假命题，求实数a 的取值范围．解 因为綈p 是假命题，所以p 是真命题，又∀x ∈{x |－3≤x ≤2}，都有x ∈{x |a －4≤x ≤a ＋5}， 所以{x |－3≤x ≤2}⊆{x |a －4≤x ≤a ＋5}，则⎩⎪⎨⎪⎧a －4≤－3，a ＋5≥2，解得－3≤a ≤1， 即实数a 的取值范围是－3≤a ≤1.11．(多选)下列命题的否定是真命题的为( ) A ．p 1：每一个合数都是偶数B ．p 2：两条平行线被第三条直线所截内错角相等C ．p 3：有些实数的绝对值是正数D ．p 4：所有平行四边形都是菱形 答案 AD解析 因为p 1为全称量词命题，且是假命题，则綈p 1是真命题．命题p 2，p 3均为真命题，所以綈p 2，綈p 3都是假命题，p 4是全称量词命题，是假命题，綈p 4为真命题．12．已知命题“∃x ∈R ，使4x 2＋(a －2)x ＋14＝0”是假命题，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，0)B ．[0,4]C ．[4，＋∞)D ．(0,4)答案 D解析 ∵命题“∃x ∈R ，使4x 2＋(a －2)x ＋14＝0”是假命题，∴命题“∀x ∈R ，使4x 2＋(a－2)x ＋14≠0”是真命题，即判别式Δ＝(a －2)2－4×4×14<0，即Δ＝(a －2)2<4，则－2<a －2<2， 即0<a <4.13．命题“至少有一个正实数x 满足方程x 2＋2(a －1)x ＋2a ＋6＝0”的否定是_____________ ____________.答案所有正实数x都不满足方程x2＋2(a－1)x＋2a＋6＝0解析把量词“至少有一个”改为“所有”，“满足”改为“都不满足”得命题的否定．14．已知命题p：任意x∈R，x2＋2ax＋a2＋a＋1>0.若命题p是假命题，则实数a的取值范围是____________．答案(－∞，－1]解析若命题p为假命题，则綈p：∃x∈R，x2＋2ax＋a2＋a＋1≤0为真命题，则Δ＝4a2－4(a2＋a＋1)≥0，∴a的取值范围是a≤－1.15．某中学开展小组合作学习模式，高二某班某组小王同学给组内小李同学出题如下：若命题“∃x∈R，函数y＝x2＋2x＋m的图像在x轴的下方”是假命题，求m的取值范围．小李略加思索，反手给了小王一道题：若命题“∀x∈R，函数y＝x2＋2x＋m的图像在x轴的上方或x轴上”是真命题，求m的取值范围．你认为，两位同学题中m的取值范围是否一致？________.(填“是”“否”中的一种)答案是解析∵命题“∃x∈R，函数y＝x2＋2x＋m的图像在x轴的下方”的否定是“∀x∈R，函数y＝x2＋2x＋m的图像在x轴的上方或x轴上”．而命题“∃x∈R，函数y＝x2＋2x＋m的图像在x轴的下方”是假命题，则其否定“∀x∈R，函数y＝x2＋2x＋m的图像在x轴的上方或x轴上”为真命题．∴两位同学题中m的取值范围是一致的．16．已知命题p：∀x∈[1,3]，都有m≥x，命题q：∃x∈[1,3]，使m≥x，若命题p为真命题，綈q为假命题，求实数m的取值范围．解由题意知命题p，q都是真命题．由∀x∈[1,3]，都有m≥x成立，只需m大于或等于x的最大值，即m≥3.由∃x∈[1,3]，使m≥x 成立，只需m大于或等于x的最小值，即m≥1.因为两者同时成立，故实数m的取值范围为{m|m≥3}∩{m|m≥1}＝{m|m≥3}．。

1.2.1 命题与量词1.2.2 全称量词命题与存在量词命题的否定1. 课标要求2. 自主预习预习教材P22－P29，思考以下问题：1．全称量词、全称量词命题的定义是什么？2．存在量词、存在量词命题的定义是什么？3．全称量词命题与存在量词命题的否定分别是什么命题？4．全称量词命题“∀x∈M，r(x)”的否定是什么？5．存在量词命题“∃x∈M，s(x)”的否定是什么？3. 基础知识1. 全称量词和存在量词（1）全称量词命题与存在量词命题的辨析例1.判断下列语句是否为全称量词命题或存在量词命题．(1)所有不等式的解集A，都满足A⊆R；(2)有些实数a，b能使|a－b|＝|a|＋|b|；(3)对任意a，b∈R，若a>b，则1a<1 b；(4)自然数的平方是正数．【解】因为“自然数的平方是正数”的实质是“任意一个自然数的平方都是正数”，所以(1)(3)(4)都是全称量词命题；(2)含有存在量词“有些”，所以(2)是存在量词命题．练习1．给出下列命题：①存在实数x＞1，使x2＞1；②全等的三角形必相似；③有些相似三角形全等；④至少有一个实数a，使ax2－ax＋1＝0的根为负数．其中存在量词命题的个数为( )A．1 B．2C．3 D．4解析：选C.①③④为存在量词命题，②为全称量词命题．故选C.（2）全称量词命题与存在量词命题的真假判断例2. 判断下列命题的真假．(1)∃x∈Z，x3＜1；(2)存在一个四边形不是平行四边形；(3)在平面直角坐标系中，任意有序实数对(x，y)都对应一点P；(4)∀x∈N，x2>0.【解】(1)因为－1∈Z，且(－1)3＝－1＜1，所以“∃x∈Z，x3＜1”是真命题．(2)真命题，如梯形．(3)由有序实数对与平面直角坐标系中的点的对应关系知，它是真命题．(4)因为0∈N，02＝0，所以命题“∀x∈N，x2>0”是假命题．练习2．下列命题中是全称量词命题并且是真命题的是( )A．∀x∈R，2x＋1>0B．若2x为偶数，则∀x∈NC．所有菱形的四条边都相等D．π是无理数解析：选C.对A，是全称量词命题，但不是真命题；故A不正确；对B，是假命题，也不是全称量词命题，故B不正确；对C，是全称量词命题，也是真命题，故C正确；对D，是真命题，但不是全称量词命题，故D不正确．故选C.（3）全称量词命题与存在量词命题的否定例3. 写出下列命题的否定，并判断其真假．(1)p：所有的方程都有实数解；(2)q：∀x∈R，4x2－4x＋1≥0；(3)r：∃x∈R，x2＋2x＋2≤0；(4)s：某些平行四边形是菱形．【解】(1) ¬p：存在一个方程没有实数解，真命题．比如方程x2＋1＝0就没有实数解．(2) ¬q：∃x∈R，4x2－4x＋1<0，假命题．由于∀x∈R，4x2－4x＋1＝(2x－1)2≥0恒成立，是真命题，所以¬q是假命题．(3) ¬r：∀x∈R，x2＋2x＋2>0，真命题．(4) ¬s：每一个平行四边形都不是菱形，假命题．练习3. 命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是( )A．任意一个有理数，它的平方是有理数B．任意一个无理数，它的平方不是有理数C．存在一个有理数，它的平方是有理数D．存在一个无理数，它的平方不是有理数解析：选B.量词“存在”否定后为“任意”，结论“它的平方是有理数”否定后为“它的平方不是有理数”．故选B.5. 自我检测1．以下四个命题既是存在量词命题又是真命题的是( )A．锐角三角形的内角是锐角或钝角B．至少有一个实数x，使x2≤0C．两个无理数的和必是无理数D．存在一个负数x，使1x＞2答案：B2．下列命题是“∀x∈R，x2＞3”的另一种表述方式的是( ) A．有一个x∈R，使得x2＞3B．对有些x∈R，使得x2＞3C．任选一个x∈R，使得x2＞3D．至少有一个x∈R，使得x2＞3答案：C3．命题“对任意的x∈R，x3－x2＋2<0”的否定是( )A．不存在x∈R，x3－x2＋2≥0B．存在x∉R，x3－x2＋2≥0C．存在x∈R，x3－x2＋2≥0D．存在x∈R，x3－x2＋2<0解析：选C.命题“对任意的x∈R，x3－x2＋2<0”是全称量词命题，否定时将量词“对任意的x∈R”变为“存在x∈R”，再将<变为≥即可．即存在x∈R，x3－x2＋2≥0.故选C.4．判断下列命题的真假．(1)每一条线段的长度都能用正有理数来表示；(2)存在一个实数x，使得等式x2＋x＋8＝0成立．解：(1)假命题，如边长为1的正方形，其对角线的长度为2， 2 就不能用正有理数表示．(2)假命题，方程x2＋x＋8＝0的判别式Δ＝－31<0，故方程无实数解．。

全称量词命题与存在量词命题的否定基础知识1．命题的否定(1)定义：对命题p加以否定，就得到一个新的命题，记作“¬p”，读作“非p”或“p的否定”．(2)结论：如果一个命题是真命题，那么这个命题的否定就应该是假命题；反之亦然．2．存在量词命题的否定1．命题“∀x∈R，|x|＋x2≥0”的否定是(C)A．∀x∈R，|x|＋x2<0B．∀x∈R，|x|＋x2≤0C．∃x∈R，|x|＋x2<0D．∃x∈R，|x|＋x2≥0解析：命题“∀x∈R，|x|＋x2≥0”是全称量词命题，其否定为存在量词命题，所以命题的否定是∃x∈R，|x|＋x2<0.2．“∃m，n∈Z，使得m2＝n2＋2 020”的否定是(C)A．∀m，n∈Z，使得m2＝n2＋2 020B．∃m，n∈Z，使得m2≠n2＋2 020C．∀m，n∈Z，有m2≠n2＋2 020D．以上都不对解析：命题“∃m，n∈Z，使得m2＝n2＋2 020”是存在量词命题，其否定为全称量词命题，所以命题的否定是∀m，n∈Z，有m2≠n2＋2 020.3．设命题p：∀x∈(－1,1)，|x|<1，则¬p为(B)A．∃x∈(－1,1)，|x|<1B．∃x∈(－1,1)，|x|≥1C．∀x∈(－1,1)，|x|≥1D．∀x∉(－1,1)，|x|≥1解析：命题p是全称量词命题，其否定¬p为∃x∈(－1,1)，|x|≥1.4．设命题p ：有些三角形是直角三角形，则¬p 为__任意三角形不是直角三角形__. 解析：命题p 是存在量词命题，¬p 为任意三角形不是直角三角形． 5．命题“∃x <1使得x 2≥1”是__真__命题．(选填“真”或“假”)类型 存在量词命题的否定 ┃┃典例剖析__■典例1 写出下列存在量词命题的否定，并判断其真假． (1)p ：存在x ∈R,2x ＋1≥0； (2)q ：存在x ∈R ，x 2－x ＋14<0；(3)r ：有些分数不是有理数．思路探究：把存在量词改为全称量词，然后否定结论． 解析：(1)任意x ∈R,2x ＋1<0，为假命题． (2)任意x ∈R ，x 2－x ＋14≥0.因为x 2－x ＋14＝(x －12)2≥0，是真命题．(3)一切分数都是有理数，是真命题． 归纳提升：1.存在量词命题否定的步骤(1)改变量词：把存在量词换为恰当的全称量词．(2)否定结论：原命题中的“有”“存在”等更改为“没有”“不存在”等． 2．存在量词命题否定的真假判断存在量词命题的否定是全称量词命题，其真假性与存在量词命题相反；要说明一个存在量词命题是真命题，只需要找到一个实例即可． ┃┃对点训练__■1．将本例(2)改为：q ：存在x ∈R ，x 2－x －1<0，写出它的否定，并判断真假． 解析：任意x ∈R ，x 2－x －1≥0.因为x 2－x －1＝(x －12)2－54，所以不能判断其值大于等于零，为假命题．类型 全称量词命题的否定 ┃┃典例剖析__■典例2 写出下列全称量词命题的否定： (1)任何一个平行四边形的对边都平行； (2)∀a ∈R ，方程x 2＋ax ＋2＝0有实数根；(3)∀a，b∈R，方程ax＝b都有唯一解；(4)∀n∈N，n2≤2n.思路探究：把全称量词改为存在量词，然后否定结论．解析：(1)存在一个平行四边形，它的对边不都平行．(2)∃a∈R，方程x2＋ax＋2＝0没有实数根．(3)∃a，b∈R，使方程ax＝b的解不唯一或不存在．(4)∃n∈N，n2>2n.归纳提升：1.全称量词命题否定的步骤(1)改变量词：把全称量词换为恰当的存在量词．(2)否定结论：原命题中的“是”“成立”等改为“不是”“不成立”等．2．全称量词命题否定的真假判断方法全称量词命题的否定是存在量词命题，其真假性与全称量词命题相反；要说明一个全称量词命题是假命题，只需举一个反例即可．┃┃对点训练__■2．写出下列全称量词命题的否定，并判断所得命题的真假：(1)p：∀x∈{－2，－1,0,1,2}，|x－2|≥2；(2)q：∀x∈R，x3＋1≠0；(3)r：所有分数都是有理数．解析：(1)¬p：∃x∈{－2，－1,0,1,2}，|x－2|<2.例如当x＝2时，|x－2|＝0<2，¬p是真命题．(2)¬q：∃x∈R，x3＋1＝0.例如当x＝－1时，x3＋1＝0，所以¬q是真命题．(3)¬r：存在一个分数不是有理数．由r是真命题可知¬r是假命题．易混易错警示写命题的否定时忽略隐含的量词┃┃典例剖析__■典例3写出下列命题的否定：(1)可以被5整除的数，末位数字是0；(2)能被3整除的数，也能被4整除．错因探究：本题易忽略命题中存在的隐含量词，如“可以被5整除的数”实际上含有全称量词“任何一个”，注意要在否定时改为“存在”．事实上，对于(1)，通常会错解为“可以被5整除的数，末位数字不是0”，而原命题为假命题，错解中命题的否定也是假命题，故此命题的否定错误；(2)的易错点与(1)相仿，易错解为“能被3整除的数，不能被4整除”．解析：(1)省略了全称量词“任何一个”，命题的否定为：存在可以被5整除的数，末位数字不是0.(2)省略了全称量词“所有”，命题的否定为：存在一个能被3整除的数，不能被4整除．误区警示：由于全称量词往往省略不写，因此在写这类命题的否定时，必须找出其中省略的全称量词，写成“∀x∈m，p(x)”的形式，再把它的否定写成“∃x∈M，¬p(x)”的形式．要学会挖掘命题中隐含的量词，注意把握每一个命题的实质，写出命题的否定后可以结合它们的真假性(一真一假)进行验证．学科核心素养全称量词命题、存在量词命题为假命题时求参数问题┃┃典例剖析__■已知命题p为假命题求参数的值或取值范围时，通常等价转化为¬p是真命题后，再求参数的值或取值范围．(1)存在量词命题为真命题求参数范围(值)的问题，常以一次函数、二次函数等为载体进行考查，一般在题目中会出现“恒成立”等词语．解决此类问题，可构造函数，利用数形结合法求参数范围(值)，也可用分离参数法求参数范围(值)．(2)存在量词命题为真命题求参数范围(值)的问题中常出现“存在”等词语，对于此类问题，通常是假设存在满足条件的参数，然后分离参数，并利用条件求参数范围(值)．典例4已知命题p：“∃x∈R，x2－2x＋m≤0”是假命题，求实数m的取值范围．思路探究：命题p的否定¬p一定为真命题，可以通过分离参数法，转化为不等式恒成立问题，通过求最值得出m的取值范围；也可以利用二次函数的图像和性质转化为Δ与0的关系，解不等式求解．解析：方法一：¬p：∀x∈R，x2－2x＋m>0，是真命题，即m>－x2＋2x＝－(x－1)2＋1，x∈R恒成立，设函数y＝－(x－1)2＋1，由二次函数的性质知，当x＝1时，y最大值＝1，∴m>y最大值＝1，即实数m的取值范围是(1，＋∞)．方法二：¬p：∀x∈R，x2－2x＋m>0，是真命题，设函数y＝x2－2x＋m，由二次函数的图像和性质知，只需方程x2－2x＋m＝0的根的判别式Δ<0，即4－4m<0，得m>1，即实数m的取值范围是(1，＋∞)．课堂检测·固双基1．命题“存在实数x，使x>1”的否定是(C)A．对任意实数x，都有x>1B．不存在实数x，使x≤1C．对任意实数x，都有x≤1D．存在实数x，使x≤1解析：命题“存在实数x，使x>1”的否定是“对任意实数x，都有x≤1”．2．命题“对任意x∈R，都有x2＋2x＋3>0”的否定为(A)A．存在x∈R，使得x2＋2x＋3≤0B．对任意x∈R，都有x2＋2x＋3≤0C．存在x∈R，使得x2＋2x＋3>0D．不存在x∈R，使得x2＋2x＋3≤0解析：命题的否定为“存在x∈R，使得x2＋2x＋3≤0”．3．“∀x>0，x2＋1>|x＋1|”的否定是__∃x>0，使x2＋1≤|x＋1|__.解析：根据含有量词的命题的否定的规则，可以写出：∃x>0，使x2＋1≤|x＋1|.4．对于二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，命题“对于任意a>0，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像开口向上”的否定是__存在一个a>0，使二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像开口向下__. 5．写出下列命题的否定，并判断所得命题的真假．(1)p：不论m取何实数，方程3x2－2x＋m＝0必有实数根；(2)q：存在一个实数x，使得x2＋x＋1≤0；(3)r：等圆的面积相等，周长相等．解析：(1)全称量词命题p：∀m∈R，方程3x2－2x＋m＝0有实数根，该命题的否定是存在量词命题，¬p：∃m∈R，使得方程3x2－2x＋m＝0没有实数根．当Δ<0，即m>13时，方程没有实数根，所以¬p是真命题．(2)命题q的否定是全称量词命题¬q：∀x∈R，x2＋x＋1>0.易知(x＋12)2＋34>0恒成立，所以¬q是一个真命题．(3)命题r的否定是¬r：存在一对等圆，其面积不相等或周长不相等．由平面几何知识知¬r是一个假命题．A级基础巩固一、单选题(每小题5分，共25分)1．命题“对任意x∈R，都有|x＋1|＋|x－2|≥3”的否定为(A)A．存在x∈R，使得|x＋1|＋|x－2|<3B ．对任意x ∈R ，都有|x ＋1|＋|x －2|<3C ．存在x ∈R ，使得|x ＋1|＋|x －2|≥3D ．不存在x ∈R ，使得|x ＋1|＋|x －2|<3解析：命题的否定为“存在x ∈R ，使得|x ＋1|＋|x －2|<3”．2．已知全集U ＝R ，A ⊆U ，B ⊆U ，如果p ：a ∈(A ∪B )，那么“¬p ”是( D ) A ．a ∈A B ．a ∈∁U BC ．a ∉(A ∩B )D ．a ∈[(∁U A )∩(∁U B )]解析：“p 或q ”的否定是“非p 且非q ”，所以“a ∈(A ∪B )”的否定为“a ∉A 且a ∉B ”，即“a ∈[(∁U A )∩(∁U B )]”．3．命题“∀x ∈R ，∃n ∈N *，使得n ≥2x ＋1”的否定是( D ) A ．∀x ∈R ，∃n ∈N *，使得n <2x ＋1 B ．∀x ∈R ，∀n ∈N *，使得n <2x ＋1 C ．∃x ∈R ，∃n ∈N *，使得n <2x ＋1 D ．∃x ∈R ，∀n ∈N *，使得n <2x ＋1解析：将“∀x ∈R ”改为“∃x ∈R ”，“∃n ∈N *”改为“∀n ∈N *”，“ n ≥2x ＋1”改为“n <2x ＋1”即可．4．若x 是不为零的实数，则命题∀m ∈[0,1]，x ＋1x ≥2m 的否定形式是( D )A ．∀m ∈[0,1]，x ＋1x <2mB ．∃m ∈[0,1]，x ＋1x≥2mC ．∃m ∈(－∞，0)∪(1，＋∞)，x ＋1x ≥2mD ．∃m ∈[0,1]，x ＋1x<2m解析：∀m ∈[0,1]，x ＋1x ≥2m 的否定是∃m ∈[0,1]，x ＋1x <2m ，全称量词命题的否定是换量词，否结论，不改变条件．故选D ．5．若命题“∃x 0∈R ，x 20＋2mx 0＋m ＋2<0”为假命题，则m 的取值范围是( C ) A ．(－∞，－1]∪[2，＋∞) B ．(－∞，－1)∪(2，＋∞) C ．[－1,2]D ．(－1,2)解析：依题意得：∀x 0∈R ，x 20＋2mx 0＋m ＋2≥0，Δ＝(2m )2－4(m ＋2)≤0解得：－1≤m ≤2，即m ∈[－1,2]． 二、填空题(每小题5分，共15分)6．“∃x 0∈R ，x 20＋2x 0＋2≤0”的否定是__∀x ∈R ，x 2＋2x ＋2>0__.解析：这是一个存在量词命题，其否定为全称量词命题，故该命题的否定为∀x ∈R ，x 2＋2x ＋2>0.7．静宁一中开展小组合作学习模式，高一某班某组王小一同学给组内王小二同学出题如下：若命题“∃x ∈R ，x 2＋2x ＋m ≤0”是假命题，求m 的取值范围．王小二略加思索，反手给了王小一一道题：若命题“∀x ∈R ，x 2＋2x ＋m >0”是真命题，求m 的取值范围．你认为，两位同学所出的题中m 的取值范围是否一致？__是__(填“是”或“否”)解析：原命题是假命题，则该命题的否定是真命题，所以两位同学所出的题中m 的取值范围是一致的．8．已知非空集合M ，P ，则下列条件中，能得到命题“M ⊆P ”是假命题的是__④__. ①∀x ∈M ，x ∉P ； ②∀x ∈P ，x ∈M ；③∃x 1∈M ，x 1∈P 且x 2∈M ，x 2∉P ； ④∃x ∈M ，x ∉P .解析：M ⊆P 等价于∀x ∈M ，x ∈P ，因为“M ⊆P ”是假命题，所以其否定为∃x ∈M ，x ∉P ，它是真命题，故能得到“M ⊆P ”是假命题的条件是∃x ∈M ，x ∉P .故只有④符合条件． 三、解答题(共20分)9．(10分)命题p ：存在x >a ，使得2x ＋a <3.若命题p 为假命题，求实数a 的取值范围． 解析：命题p 为假命题，则¬p ：任意的x >a ，都有2x ＋a ≥3为真命题．由此可得2a ＋a ≥3，即a ≥1.所以实数a 的取值范围是[1，＋∞)．10．(10分)命题p 是“对任意实数x ，有x －a >0或x －b ≤0”．其中a ，b 是常数． (1)写出命题p 的否定；(2)a ，b 满足什么条件时，命题p 的否定为真？解析：(1)根据全称量词命题的否定是存在量词命题可知，¬p ：∃x ∈R ， 满足x －a ≤0且x －b >0.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧x －a ≤0，x －b >0，得b <x ≤a ，所以当a >b 时，命题p 的否定为真．。

《1.2.2 全称量词命题与存在量词命题的否定》教学设计方案（第一课时）一、教学目标：1. 理解全称量词命题和存在量词命题的否定概念；2. 掌握全称量词命题和存在量词命题的否定形式的表达方式；3. 培养逻辑推理和问题解决的能力。

二、教学重难点：1. 教学重点：理解并掌握全称量词命题和存在量词命题的否定形式；2. 教学难点：在实际问题中灵活运用否定概念进行推理。

三、教学准备：1. 准备教学PPT，包含图片、案例和相关概念的解释；2. 准备练习题，供学生课堂练习；3. 准备实物或模型（如果有的话），帮助学生理解抽象概念。

四、教学过程：1. 引入(1)回顾全称量词命题与存在量词命题的概念。

(2)通过实例让学生感受否定命题的含义和作用。

(3)讲解本节课的目的和要求，让学生明确学习目标。

2. 讲授新课(1)举例说明全称量词命题与存在量词命题的否定形式。

(2)通过具体的例子，让学生掌握否定命题的书写格式。

(3)引导学生自己举出一些全称量词命题和存在量词命题的例子，并给出它们的否定形式。

(4)强调否定命题的书写规范和注意事项。

3. 实践操作(1)给学生一些练习题，让他们自己动手书写否定命题的答案。

(2)教师对典型错误进行讲解，强调易错点。

(3)鼓励学生相互讨论，交流自己的解题心得。

4. 课堂小结(1)让学生自己总结本节课的主要内容，包括全称量词命题、存在量词命题和否定命题的书写格式、注意事项等。

(2)教师对学生的总结进行补充和完善。

5. 布置作业(1)给学生布置一些与本节课内容相关的练习题，让他们巩固所学知识。

(2)鼓励学生通过查阅资料或相互讨论，解决作业中遇到的问题。

教学设计方案（第二课时）一、教学目标1. 学生能够理解全称量词命题和存在量词命题的否定概念。

2. 掌握否定命题的逻辑性质，理解否定命题与原命题之间的差异。

3. 培养学生的逻辑推理能力和抽象思维能力。

二、教学重难点1. 教学重点：理解否定命题的逻辑性质，掌握否定命题的表示方法。

1.2.2全称量词命题与存在量词命题的否定学习任务核心素养1．能正确写出一个命题的否定，并判断其真假．2．理解含有一个量词的命题的否定的意义，会对含有一个量词的命题进行否定．(重点) 3．掌握全称量词命题的否定是存在量词命题，存在量词命题的否定是全称量词命题．(重点、难点)1．通过对命题的否定的认识，提升数学抽象的素养．2．通过对含有一个量词的命题的否定的理解，提升逻辑推理的素养.一位探险家被土人抓住，土人首领说：“如果你说真话，你将被烧死，说假话，将被五马分尸．”问题请问探险家该如何保命？知识点一命题的否定1．定义：一般地，对命题p加以否定，就得到一个新的命题，记作“¬p”，读作“非p”或“p的否定”．2．命题p与其否定¬p的真假关系如果一个命题是真命题，那么这个命题的否定就是一个假命题；反之亦然．1．(1)圆周率π是无理数的否定是__________，它是________命题(填“真”或“假”)．(2)∅是集合A的子集的否定是________________，它是________命题(填“真”或“假”)．[答案](1)圆周率π不是无理数假(2)∅不是集合A的子集假知识点二全称量词命题与存在量词命题的否定1．存在量词命题的否定存在量词命题p ¬p 结论∃x∈M，p(x)∀x∈M，¬p(x)存在量词命题的否定是全称量词命题全称量词命题q ¬q 结论∀x∈M，q(x)∃x∈M，¬q(x)全称量词命题的否定是存在量词命题用自然语言描述的全称量词命题的否定形式唯一吗？[提示]不唯一，如“所有的菱形都是平行四边形”，它的否定是“并不是所有的菱形都是平行四边形”，也可以是“有些菱形不是平行四边形”．命题的否定与集合运算的关系(1)已知全集为U，设命题p对应的集合为P，则命题的否定¬p对应的集合为∁U P＝{x|x∈U，且x∉P}，这样可以从集合的角度进一步认识命题的否定．(2)已知全集为U，若“p是真命题”对应“a∈P”，则“p是假命题”对应“a∈∁U P”；若“¬p是真命题”对应“a∈∁U P”，则“¬p是假命题”对应“a∈P”．2.思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)命题¬p的否定是p. ()(2)∃x∈M，p(x)与∀x∈M，¬p(x)的真假性相反．()(3)从存在量词命题的否定看，是对“量词”和“p(x)”同时否定．()[答案](1)√(2)√(3)×[提示](1)命题p与¬p互为否定．(2)存在量词命题p与其否定¬p一真一假．(3)尽管存在量词命题的否定是全称量词命题，只是对“p(x)”进行否定，而将“存在量词”调整为“全称量词”，不能将其理解为“同时否定”．3.命题“存在x∈R,2x≤0”的否定是________．对任意的x∈R,2x＞0[存在量词命题的否定是全称量词命题．]4.已知命题p：∀x＞2，x－2＞0，则¬p是________．∃x＞2，x－2≤0[全称量词命题的否定为存在量词命题．]类型1命题的否定【例1】写出下列命题的否定，并判断其真假．(1)p：y＝sin x是周期函数；(2)p：实数的绝对值都大于0；(3)p：菱形的对角线垂直平分；(4)p：若xy＝0，则x＝0或y＝0.[解](1)¬p：y＝sin x不是周期函数．假命题．(2)¬p：实数的绝对值不都大于零．真命题．(3)¬p：菱形的对角线不垂直或不平分．假命题．(4)¬p：若xy＝0，则x≠0且y≠0.假命题．如何对一个命题进行否定？[提示]否定一个命题是对这个命题结论的否定，要灵活应用常见关键词对应的否定词．另外，命题和它的否定真假性相反，可运用此结构检查所写命题的否定是否正确．[跟进训练]1．写出下列命题的否定形式，并判断其真假．(1)p：面积相等的三角形都是全等三角形；(2)p：若m2＋n2＝0，则实数m，n全为零；(3)p：实数a，b，c满足abc＝0，则a，b，c中至少有一个为0.[解](1)¬p：面积相等的三角形不都是全等三角形．真命题．(2)¬p：若m2＋n2＝0，则实数m，n不全为零．假命题．(3)¬p：实数a，b，c满足abc＝0，则a，b，c中都不为0.假命题．类型2全称量词命题的否定【例2】写出下列命题的否定，并判断其真假．(1)p：任意n∈Z，则n∈Q；(2)p：等圆的面积相等，周长相等；(3)p：偶数的平方是正数．[解](1)¬p：存在n∈Z，使n∉Q，这是假命题．(2)¬p：存在等圆，其面积不相等或周长不相等，这是假命题．(3)¬p：存在偶数的平方不是正数，这是真命题．1．写出全称量词命题的否定的关键是找出全称量词命题的全称量词和结论，把全称量词改为存在量词，结论变为否定的形式就得到命题的否定．2．有些全称量词命题省略了量词，在这种情况下，千万不要将否定简单的写成“是”或“不是”．[跟进训练]2．写出下列全称量词命题的否定．(1)p：所有能被3整除的整数都是奇数；(2)p：对任意x∈Z，x2的个位数字不等于3；(3)p：数列{1,2,3,4,5}中的每一项都是偶数；(4)p：可以被5整除的整数，末位是0.[解](1)¬p：存在一个能被3整除的整数不是奇数．(2)¬p：∃x∈Z，x2的个位数字等于3.(3)¬p：数列{1,2,3,4,5}中至少有一项不是偶数．(4)¬p：存在被5整除的整数，末位不是0.类型3存在量词命题的否定【例3】写出下列存在量词命题的否定．(1)p：∃x∈R，x2＋2x＋2≤0；(2)p：有的三角形是等边三角形；(3)p：有一个素数含三个正因数．[解](1)¬p：∀x∈R，x2＋2x＋2>0.(2)¬p：所有的三角形都不是等边三角形．(3)¬p：每一个素数都不含三个正因数．与全称量词命题的否定的写法类似，要写出存在量词命题的否定，先确定它的存在量词，再确定结论，然后把存在量词改写为全称量词，对结论作出否定就得到存在量词命题的否定.[跟进训练]3．写出下列命题的否定，并判断其真假．(1)存在一个平行四边形，它的对角线互相垂直；(2)存在一个三角形，它的内角和大于180°；(3)存在偶函数为单调函数．[解](1)命题的否定：对于任意的平行四边形，它的对角线都不互相垂直，是假命题．(2)命题的否定：对于任意的三角形，它的内角和小于或等于180°，是真命题．(3)命题的否定：所有的偶函数都不是单调函数，是真命题．类型4全称量词命题与存在量词命题中的求参问题1．关于x的不等式ax2＋bx＋c＞0(a＞0)恒成立的条件是什么？[提示]判别式Δ＝b2－4ac＜0.2．关于x的方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有实根的条件是什么？[提示]判别式Δ＝b2－4ac≥0.【例4】已知命题p：“∃x∈R，x2－2x＋m≤0”是假命题，求实数m的取值范围．[思路点拨]命题p的否定¬p一定为真命题，可以通过分离参数法，转化为不等式恒成立问题，通过求最值得出m的取值范围；也可以利用二次函数的图像和性质转化为Δ与0的关系，解不等式求解．[解]法一：¬p：∀x∈R，x2－2x＋m＞0，是真命题，即m＞－x2＋2x＝－(x －1)2＋1，x∈R恒成立，设函数y＝－(x－1)2＋1，由二次函数的性质知，当x＝1时，y最大值＝1，∴m＞y最大值＝1，即实数m的取值范围是(1，＋∞)．法二：¬p：∀x∈R，x2－2x＋m＞0，是真命题，设函数y＝x2－2x＋m，由二次函数的图像和性质知，只需方程x2－2x＋m＝0的根的判别式Δ＜0，即4－4m＜0，得m＞1，即实数m的取值范围是(1，＋∞)．若命题“∃x∈R，使得x2－2x＋m＝0”为真命题，则m的取值范围是________．(－∞，1][∃x∈R，使得x2－2x＋m＝0，即关于x的方程x2－2x＋m＝0有实根，∴Δ＝4－4m≥0，解得m≤1．]含有量词的命题求参数问题的思路(1)此类题目常以二次方程或二次不等式等为载体，一般在题目中会出现“恒成立”等词语，解决此类问题，可用判别式法求参数范围，也可以利用分离参数法求得参数的范围．(2)求参数的范围时，从真命题的角度比较好列关系式，所以如果已知条件是一个存在量词命题，且是假命题，可以写出该命题的否定，利用命题的否定是真命题求得参数的范围．1．已知a＜b，则下列结论中正确的是()A．∀c＜0，a＞b＋c B．∀c＜0，a＜b＋cC．∃c＞0，a＞b＋c D．∃c＞0，a＜b＋cD[A项，若a＝1，b＝2，c＝－1，满足a＜b，但a＞b＋c不成立；B项，若a＝9.5，b＝10，c＝－1，a＜b＋c不成立；C项，因为a＜b，c＞0，所以a＜b＋c恒成立，故C错误；D项，∃c＞0，a＜b＋c成立，故选D．]2．设命题p：∀x∈R，x2＋1＞0，则¬p为()A．∃x∈R，x2＋1＞0 B．∃x∈R，x2＋1≤0C．∃x∈R，x2＋1＜0 D．∀x∈R，x2＋1≤0B[命题p：∀x∈R，x2＋1＞0，是一个全称量词命题，∴¬p：∃x∈R，x2＋1≤0.故选B．]3．下列命题的否定为假命题的是()A．∃x∈R，x2＋2x＋2≤0B．∀x∈R，x3＜1C．所有能被3整除的整数都是奇数D．任意一个梯形的对角线都不互相平分D[对于选项A，因为x2＋2x＋2＝(x＋1)2＋1＞0，所以∃x∈R，x2＋2x＋2≤0是假命题，故其否定为真命题；对于选项B，因为当x≥1时，x3≥1，所以∀x∈R，x3＜1是假命题，故其否定为真命题；对于选项C，因为6能被3整除，但6是偶数，所以这是假命题，其否定为真命题；对于选项D，任意一个梯形的对角线都不互相平分，是真命题，因此其否定是假命题．故选D．]4．若命题p：∃x∈R，使得x2－x－2＝0，则¬p为________．[答案]∀x∈R，使得x2－x－2≠05．命题“∃x∈R，|2－x|＋|x＋3|＞4”的否定是________．[答案]∀x∈R，|2－x|＋|x＋3|≤4回顾本节知识，自我完成下列问题：1．对含有一个量词的命题的否定要注意哪些问题？[提示](1)确定命题类型：命题是全称量词命题还是存在量词命题．(2)改变量词：把全称量词改为恰当的存在量词；把存在量词改为恰当的全称量词．(3)否定结论：原命题中的“是”“有”“存在”“成立”等改为“不是”“没有”“不存在”“不成立”等．(4)无量词的全称量词命题要先补回量词再否定．2．含有量词的命题中求参数问题如何解答？[提示](1)转化法：已知命题p为假命题求参数的值或取值范围时，通常等价转化为¬p是真命题后，再求参数的值或取值范围．(2)分离参数法：存在量词命题为真命题求参数范围(值)的问题中常出现“存在”等词语，对于此类问题，通常是假设存在满足条件的参数，然后分离参数，并利用条件求参数范围(值)．。

1．2.2 全称量词命题与存在量词命题的否定(1)定义:对命题p加以否定,就得到一个新的命题,记作“p”,读作“非p”或“p的否定”.(2)结论:如果一个命题是真命题,那么这个命题的否定就应该是假命题;反之亦然.存在量词命题p p 结论存在量词命题的否∃x∈M,p(x) ∀x∈M,p(x)定是全称量词命题全称量词命题q q 结论全称量词命题的否定∀x∈M,q(x) ∃x∈M,q(x)是存在量词命题用自然语言描述的全称量词命题的否定形式唯一吗?提示:不唯一,如“所有的菱形都是平行四边形”,它的否定是“并不是所有的菱形都是平行四边形”,也可以是“有些菱形不是平行四边形”.1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”).(1)命题p的否定是p.( )(2)∃x∈M,p(x)与∀x∈M,p(x)的真假性相反.( )(3)从存在量词命题的否定看,是对“量词”和“p(x)”同时否定.( )提示:(1)√.命题p与p互为否定.(2)√.存在量词命题p与其否定p一真一假.(3)×.尽管存在量词命题的否定是全称量词命题,只是对“p(x)”进行否定,而将“存在量词”调整为“全称量词”,不能将其理解为“同时否定”.2.命题p:∀x∈N,|x+2|≥3的否定为( )A.∀x∈N,|x+2|<3B.∀x∉N,|x+2|<3C.∃x∈N,|x+2|≥3D.∃x∈N,|x+2|<3【解析】选D.命题p:“∀x∈N,|x+2|≥3”的否定为:∃x∈N,|x+2|<3.3.(教材例题改编)命题“∀x∈R,∃n∈N*,使得n≥x2”的否定形式是( )A.∀x∈R,∃n∈N*,使得n<x2B.∀x∈R,∀n∈N*,使得n<x2C.∃x∈R,∃n∈N*,使得n<x2D.∃x∈R,∀n∈N*,使得n<x2【解析】选D.∀的否定是∃,∃的否定是∀,n≥x2的否定是n<x2.类型一存在量词命题的否定(逻辑推理)【典例】1.已知命题p:∃x>2,x3-8>0,那么p为( )A.∃x>2,x3-8≤0B.∀x>2,x3-8≤0C.∃x≤2,x3-8≤0D.∀x≤2,x3-8≤02.已知命题p:存在k∈R,使得函数y=(k-3)x+k的图像不经过定点M,若命题p是假命题,则点M的坐标为.3.写出下列存在量词命题的否定,并判断所得命题的真假:(1)p:有些实数的绝对值是正数.(2)q:某些平行四边形是菱形.(3)r:∃x∈R,x2+1<0.(4)s:∃x,y∈Z,使得x+y=3.【思路导引】1.量词和结论都改变.2.依据原命题和其否定一真一假解答.3.找准量词和结论,分别进行改变和否定.【解析】1.选B.已知命题p:∃x>2,x3-8>0,那么p是∀x>2,x3-8≤0.2.因为命题p是假命题,所以p是真命题,即任意k∈R,使得函数y=(k-3)x+k的图像经过定点M,易知点M的坐标为(-1,3).答案:(-1,3)3.(1)p:“所有实数的绝对值都不是正数”,由p是真命题可知p是假命题.(2)q:“每一个平行四边形都不是菱形”.由q是真命题可知q是假命题.(3)r:“∀x∈R,x2+1≥0”.因为∀x∈R,x2≥0,所以x2+1≥0”,所以r是真命题.(4)s:“∀x,y∈Z,x+y≠3”,由s是真命题可知s是假命题.(1)改变量词:把存在量词换为恰当的全称量词.(2)否定结论:原命题中的“有”“存在”等更改为“没有”“不存在”等.存在量词命题的否定是全称量词命题,其真假性与存在量词命题相反;要说明一个存在量词命题是真命题,只需要找到一个实例即可.1.写出这些命题的否定,并判断所得命题的真假:(1)p:某些梯形的对角线互相平分.(2)q:存在一个x∈R,使=0.(3)r:在同圆中,有的等弧所对的圆周角不相等.(4)s:存在k∈R,函数y=kx+b随x的值增大而减小.【解析】(1)p是假命题.(2)q:任意x∈R,使≠0,由q是假命题可知q是真命题.(3)r:在同圆中,任意等弧所对的圆周角相等.由r是假命题可知r为真命题.(4)s:任意k∈R,函数y=kx+b随x的值增大而增大或不变.当k<0时,函数y=kx+b随x的值增大而减小,所以s是真命题,s是假命题.2.判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题,并写出这些命题的否定.(1)有一个奇数不能被3整除.(2)∀x∈Z,x2与3的和不等于0.(3)有些三角形的三个内角都为60°.(4)与圆只有一个公共点的直线是圆的切线.【解析】(1)是存在量词命题,否定为:每一个奇数都能被3整除.(2)是全称量词命题,否定为:∃x∈Z,x2与3的和等于0.(3)是存在量词命题,否定为:任意一个三角形的三个内角不都为60°.(4)是全称量词命题,省略了全称量词“任意”,即“任意一条与圆只有一个公共点的直线是圆的切线”,否定为:存在一条与圆只有一个公共点的直线不是圆的切线.类型二全称量词命题的否定(逻辑推理)【典例】“∀x∈[-1,2],x2+2x-1<0”的否定为( )A.∀x∈[-1,2],x2+2x-1≥0B.∃x∈[-1,2],x2+2x-1≥0C.∃x∈(-∞,-1)∪(2,+∞),x2+2x+1≥0D.∀x∈(-∞,-1)∪(2,+∞),x2+2x-1≥02.写出下列全称量词命题的否定,并判断所得命题的真假:(1)p:对所有正数x,>x+1.(2)q:任何一个实数除以1,仍等于这个数.(3)r:所有被5整除的整数都是奇数.(4)s:任意两个等边三角形都相似.【思路导引】1.∀x∈M,p(x)的否定为∃x∈M,p(x).2.全称量词改为存在量词,同时否定结论即可.【解析】1.选B.根据全称量词命题的否定是存在量词命题,知∀x∈[-1,2],x2+2x-1<0的否定为∃x∈[-1,2],x2+2x-1≥0.2.(1)p:存在正数x,≤x+1.例如当x=1时,<x+1,所以p是真命题.(2)q是假命题.(3)r:存在一个被5整除的整数不是奇数. 例如10是能被5整除的整数且不是奇数,所以r是真命题.(4)s是假命题.(1)改变量词:把全称量词换为恰当的存在量词.(2)否定结论:原命题中的“是”“成立”等改为“不是”“不成立”等.全称量词命题的否定是存在量词命题,其真假性与全称量词命题相反;要说明一个全称量词命题是假命题,只需举一个反例即可.1.已知全集U=R,A⊆U,B⊆U,如果命题p:∈(A∪B),则命题p是.【解析】因为p:∈A∪B,所以p:∉A且∉B,即p:∈(∁U A)∩(∁U B).答案:∈(∁U A)∩(∁U B)2.写出下列全称量词命题的否定,并判断所得命题的真假:(1)p:∀x∈{-2,-1,0,1,2},|x-2|≥2.(2)q:∀x∈R,x3+1≠0.(3)r:所有分数都是有理数.(4)s:每一个四边形的四个顶点共圆.【解析】(1)p:∃x∈{-2,-1,0,1,2},|x-2|<2.例如当x=2时,|x-2|=0<2,p是真命题.(2)q:∃x∈R,x3+1=0.例如当x=-1时,x3+1=0,所以q是真命题.(3)r是假命题.(4)°和150°的菱形的四个顶点不共圆,所以s是真命题.【补偿训练】写出下列全称量词命题的否定,并判断所得命题的真假:(1)p:被8整除的数能被4整除.(2)q:所有二次函数的图像关于y轴对称.(3)r:实数都能写成小数形式.(4)s:方程x2-8x-10=0的每一个根都不是奇数.【解析】(1)p是假命题.(2)q:存在一个二次函数,它的图像不关于y轴对称.例如二次函数y=x2+x的图像不关于y轴对称,所以q是真命题.(3)r是假命题.(4)s:方程x22-8x-10=0的两个根都是无理数,不是奇数,所以s是真命题,s是假命题.1.(2021·某某高一检测)设命题p:所有正方形都是平行四边形,则p为( )【解析】选C.“所有”改为“存在”(或“有的”),“都是”改为“不都是”(或“不是”),即p 为有的正方形不是平行四边形.2.(教材习题改编)已知命题p:∀x∈(1,+∞),x3+16>8x,则命题p的否定为( )A.p:∀x∈(1,+∞),x3+16≤8xB.p:∀x∈(1,+∞),x3+16<8xC.p:∃x∈(1,+∞),x3+16≤8xD.p:∃x∈(1,+∞),x3+16<8x【解析】选C.命题p:∀x∈(1,+∞),x3+16>8x的否定是:∃x∈(1,+∞),x3+16≤8x.“∃x∈R,x2+2 019x+2 020<0”的否定为( )A.∀x∈R,x2+2 019x+2 020<0B.∀x∈R,x2+2 019x+2 020≤0C.∀x∈R,x2+2 019x+2 020≥0D.∃x∈R,x2+2 019x+2 020≥0【解析】选C.命题的否定为“∀x∈R,x2+2 019x+2 020≥0”.4.若命题p:∃x∈R,使得x2-x-2=0,则p为.【解析】命题p:∃x∈R,使得x2-x-2=0的否定是p:∀x∈R,使得x2-x-2≠0.答案:∀x∈R,使得x2-x-2≠0“∃x∈R,|2-x|+|x+3|>4”的否定是.答案:∀x∈R,|2-x|+|x+3|≤4。

1.2.2 全称量词命题与存在量词命题的否定教学目标1. 通过探究数学中一些实例，使学生归纳总结出命题的否定形式；2. 使学生能够正确写出全称量词命题与存在量词命题的否定并能够判断真假；3. 使学生体会从具体到一般的认知过程，培养学生抽象概括能力；4. 培养学生的辨析能力以及培养他们良好的思维品质，树立辩证唯物主义观。

教学重难点重点：了解命题否定的含义，理解全称量词命题与存在量词命题的否定形式；难点：得到命题的否定。

涉及的核心素养数学抽象、逻辑推理。

教学过程【情境引入】“否定”是我们日常生活中经常使用的词语。

2009年11月23日《人民日报》的《创新，从敢于否定开始》一文中有这样一段话：“培养一流创新人才，敢于否定的精神非常重要。

一旦下定决心进行研究，首先就要敢于否定别人的成果，并想一想：前人的成果有哪些是不对的，有什么方面可以改善，有什么地方可以加强。

”结合上述这段话，谈谈你对“否定”一词的认识，并由此猜想“命题的否定”是什么意思。

设计意图这里通过《人民日报》的文章设置了情境。

教学时可以强调其中的“培养一流创新人才，敢于否定的精神非常重要”，以此引导学生树立科学的世界观，树立正确的是非判断标准，培养学生敢于否定的精神，强化学生创新意识。

这一情景的主要目的是引出了否定的概念，并由此联想到本届要研究的命题的否定。

教学中可以让学生谈他们自己的对“否定”的认识。

【数学引入】你能说出命题s：“3的相反数是3-”和t：“3的相反数不是3-”这两个命题之间的关系吗？他们的真假性如何？可以发现，命题s是对命题t的否定，命题t也是对命题s的否定，而且s是真命题，t 是假命题。

一、命题的否定一般地，对命题p加以否定，就得到一个新的命题，记作“p⌝”，读作“非p”或“p 的否定”。

如果一个命题是真命题，那么这个命题的否定就是一个假命题；反之，一个命题是假命题，那么这个命题的否定就是真命题。

=3就是一个假命题。

3设计意图：尝试与发现中的两个命题，教学中可以先让学生判断是否为命题，然后再判断真假，最后考虑两个命题的关系。

第一章集合与常用逻辑用语常用逻辑用语全称量词命题与存在量词命题的否定教学设计常用逻辑用语是数学语言的重要组成部分，是数学表达和交流的工具，是逻辑思维的基本语言。

本单元的学习，可以帮助学生使用常用逻辑用语表达数学对象，进行数学推理，体会常用逻辑用语在表述数学内容和论证数学结论中的作用，提升交流的严谨性与准确性。

【教学目标】1、辨析命题是全称量词命题还是存在量词命题2、掌握全称量词命题与存在量词命题的否定的方法3、正确地判断否定命题真假性【核心素养】1、数学抽象：判断命题是全称量词命题还是存在量词命题2、逻辑推理:全称量词与存在量词的否定3、数学运算:对否定命题判断真假4、数据分析:结合集合列举法来考察【教学重点】1、掌握全称量词命题与存在量词命题的否定的方法2、判断否定命题的真假【教学难点】1、辨析命题是全称量词命题还是存在量词命题2、正确地对命题进行否定教师通过复习上节的内容，回忆如何判断全称量词命题与存在量词命题的真假举例子,并引出本节内容一、命题【课前导读】“否定”是我们日常生活中经常使用的一个词2022年11月23日《人民日报》的《创新，从敢于否定开始》一文中有这样一段话：“培养一流创新人才，敢于否定的精神非常重要。

一旦下定决心进行研究，首先就要敢于否定别人的成果，并想一想：前人的成果有哪些是不对的，有什么方面可以改善，有什么地方可以加强。

”结合上述这段话，谈谈你对“否定”一词的认识，并由此猜想“命题的否定”是什么意思。

本小节我们要学习的是与命题的否定有关的知识。

一、命题的否定【尝试与发现】【新课讲授】 可以发现，命题s 是对命题t 的否定，命题t 也是对命题s 的否定。

而且，s 是真命题，t 是假命题。

-般地，对命题99∀,∀,∀∀∀,q （）”的否定是存在量词命题【典型例题】例1写出下列命题的否定，并判断所得命题的真假：（1）p ：∀∈R ，2≥-1 （2）q ：∀∈{1,2,3,4,5}，x 1＜ 3 s:至少有一个直角三角形不是等腰三角形解 1p ：：∃∈R ，2＜-1，由p 是真命题可知p 是假命题 2q ：∃∈{1,2,3,4,5}，x 1≥将集合中的元素逐个验证，当=1时不等式成立，因此q 是真命题3s ：所有直角三角形都是等腰三角形，因为有一个内角为30°的直角三角形不是等腰三角形，所以s 是假命题例2 写出下列命题的否定，并判断所得命题的真假：1p:∃a ∈R ，一次函数y=a 的图像经过原点2q ：∀∈（-3，∞），2>9解（1）p ：∀a ∈R ，一次函数y=a 的图像不经过原点，因为当a=0时，一次函数y=a 的图像经过原点，所以p 是 命题你能说出命题S ：“3的相反数是-3”和t ：“3的相反数不是-3”这两个命题之间的关系吗它们的真假性如何记r ：“每一个素数都是奇数”，用类似的方法，研究r 和r 的关系、符号表示以及真假性 ∃∈M,q （）（2）q：∃∈（-3， ），2≤=0时，2=0<9，所以q是真命题本节内容学生容易感到混淆,首先要判断该命题是全称量词命题还是存在量词命题,然后否定条件和结论,最后得出真假性的判断。