2007年广州高二数学水平测试试题(附答案)

2007年普通高等学校全国招生统一考试 (广东卷)数学(理科B 卷)参考答案题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C A D B B C B A9.91 10.2111.x= -5412.2)1(+n n ，12，2)1)(2(--n n n13.(0，2)，22 14.[ -1，1] 15.30°，3 三、解答题16. 解：(1) (3,4)AB =--, (3,4)AC c =--当c=5时，(2,4)AC =- cos cos ,5255A AC AB ∠=<>==⨯进而25sin 1cos 5A A ∠=-∠=(2)若A 为钝角，则AB ﹒AC= -3(c -3)+( -4)2<0 解得c>325 显然此时有AB 和AC 不共线，故当A 为钝角时，c 的取值范围为[325，+∞) 特别声明本资料乃本人向广大教师和考生提供以作参考的参考解答，不失其时效性，但解答内容所涉及的观点和方法仅代表本人立场，与官方答案绝无任何相关性，如有不足或错漏之处，请各位读者予以斧正。

欢迎来件进行交流合作！联系邮箱：xieyunfeng-xc@作者：谢超17. 解： (1)如下图01234567012345产量能耗(2)y x i ni i ∑=1=3⨯2.5+4⨯3+5⨯4+6⨯4.5=66.5x =46543+++=4.5y =45.4435.2+++=3.5∑=ni x i 12=32+42+52+62=86266.54 4.5 3.566.563ˆ0.7864 4.58681b-⨯⨯-===-⨯- ˆˆ 3.50.7 4.50.35aY bX =-=-⨯= 故线性回归方程为y=0.7x+0.35(3)根据回归方程的预测，现在生产100吨产品消耗的标准煤的数量为0.7⨯100+0.35=70.35 故耗能减少了90-70.35=19.65(吨)18. 解： (1)设圆心坐标为(m ，n)（m<0，n>0）,则该圆的方程为(x -m )2+(y -n )2=8已知该圆与直线y=x 相切，那么圆心到该直线的距离等于圆的半径，则2n m -=22即n m -=4 ①又圆与直线切于原点，将点(0，0)代入得 m 2+n 2=8 ②联立方程①和②组成方程组解得⎩⎨⎧=-=22n m故圆的方程为(x +2)2+(y -2)2=8 (2)a =5，∴a 2=25，则椭圆的方程为+=1其焦距c=925-=4，右焦点为(4，0)，那么OF =4。

试卷类型:A2007年广州市普通高中毕业班综合测试(二)数 学(文科)2007.4本试卷分选择题和非选择题两部分,共4页,满分150分.考试用时120分钟.注意事项:1.答卷前,考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号填写在答题卡上.用2B 铅笔将答题卡上试卷类型(A)涂黑.在答题卡右上角的“试室号”栏填写本科目试室号,在“座位号”列表内填写座位号,并用2B 铅笔将相应的信息点涂黑.不按要求填涂的,答卷无效.2.选择题每小题选出答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案,答案不能答在试卷上.3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.4.考试必须保持答题卡的整洁,考试结束后,将试卷和答题卡一并交回.参考公式:()()22221211236n n n n ++++++=()S r r l π'=+圆台侧(,r r '分别表示圆台上、下底面半径,l 表示母线长)第一部分 选择题(共50分)一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.sin 480的值为A.12-B. C.12 D 2.函数2xy =(x ∈R )的反函数为A .2log y x =(0x >) B.2log y x =(1x >) C.log 2x y =(0x >) D.log 2x y =(1x >)3.某个路口的交通指示灯,红灯时间为30秒,黄灯时间为10秒,绿灯时间为40秒.当你到达路口时,看见红灯的概率是A.18 B .38 C.12 D.584.已知等差数列{}n a 的前三项分别为1a -,21a +,7a +,则这个数列的通项公式为A.43n a n =-B.21n a n =-C.42n a n =-D.23n a n =-5.已知向量OA 和向量OC 对应的复数分别为34i +和2i -,则向量AC 对应的复数为 A.53i + B.15i + C .15i -- D.53i --6.1a =是直线1y ax =+和直线()21y a x =--垂直的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 7.一个圆台的两底面的面积分别为π,16π,侧面积为25π,则这个圆台的高为A.3 B .4 C.59.如图1所示,ABCDEF 为正六边形,则以F 、C 为焦点,且经过A 、E 、D 、B 四点的双曲线的离心率为 1 11 D 110.已知方程210ax bx +-=(,a b ∈R 且0a >)有两个实数根,其中一个根在区间()1,2内,则a b -的取值范围为A .()1,-+∞ B.(),1-∞- C.(),1-∞ D.()1,1-图1第二部分 非选择题(共100分)二、填空题:本大题共5小题,其中11～13题是必做题,14～15题是选做题,每小题5分,满分20分.11.已知函数()sin ,03y x x πωω⎛⎫=+∈> ⎪⎝⎭R 的最小正周期为π,则ω= . 12.某班的54名学生对数学选修专题《几何证明选讲》和《极坐标与参数方程》的选择情况如下(每位学生至少选．．．．．．．1．个专题．．．):两个专题都选的有6人,选《极坐标与参数方程》的学生数比选《几何证明选讲》的多8人,则只选修了《几何证明选讲》的学生有 人.13.已知函数()f x 满足()12f =,()()()111f x f x f x ++=-,则()3f 的值为 ,()()()()1232007f f f f ⋅⋅⋅⋅的值为 .▲选做题:在下面两道小题中选做一题,二题都选的只计算第14题的得分.14.在极坐标系中,若过点()4,0且与极轴垂直的直线交曲线6cosρθ=于,A B 两点,则=AB .15.如图2,P 是⊙O 的直径AB 延长线上一点,PC 与⊙O 相切于点C ,∠APC 的角平分线交AC 于点Q ,则AQP ∠的大小 为_________.三、解答题:本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16.(本小题满分12分)在甲、乙两个盒子中分别装有标号为1、2、3、4的四个球,现从甲、乙两个盒子中各取出1个球,每个小球被取出的可能性相等.(Ⅰ)求取出的两个球上标号为相邻整数的概率； (Ⅱ)求取出的两个球上标号之和能被3整除的概率.17.(本小题满分14分) 如图3所示,在直三棱柱111ABC A B C -中,90ACB ∠=,2AB =,1BC =,1AA =(Ⅰ)证明:1AC ⊥平面11AB C ； (Ⅱ)若D 是棱1CC 的中点,在棱AB 上是否存在一点E ,使DE平面11AB C ？证明你的结论.图218.(本小题满分12分)已知a 、b 、c 分别是△ABC 中角A 、B 、C 的对边,且222a cb ac +-=. (Ⅰ)求角B 的大小； (Ⅱ)若3c a =,求tan A 的值.19.(本小题满分14分)已知椭圆E 的两个焦点分别为()11,0F -、()21,0F ,点31,2C ⎛⎫ ⎪⎝⎭在椭圆E 上.(Ⅰ)求椭圆E 的方程；(Ⅱ)若点P 在椭圆E 上,且满足12PF PF t =,求实数t 的取值范围.20.(本小题满分14分)已知曲线C :x y e =(其中e 为自然对数的底数)在点()1,P e 处的切线与x 轴交于点1Q ,过点1Q 作x 轴的垂线交曲线C 于点1P ,曲线C 在点1P 处的切线与x 轴交于点2Q ,过点2Q 作x 轴的垂线交曲线C 于点2P ,……,依次下去得到一系列点1P 、2P 、……、n P ,设点n P 的坐标为(),n n x y (*n ∈N ).(Ⅰ)分别求n x 与n y 的表达式； (Ⅱ)设O 为坐标原点,求21nii OP=∑.21.(本小题满分14分)已知函数()242f x ax x =+-,若对任意1x ,2x ∈R 且12x x ≠,都有()()121222f x f x x x f ++⎛⎫<⎪⎝⎭. (Ⅰ)求实数a 的取值范围；(Ⅱ)对于给定的实数a ,有一个最小的负数()M a ,使得(),0x M a ∈⎡⎤⎣⎦时,()44f x -≤≤都成立,则当a 为何值时,()M a 最小,并求出()M a 的最小值.2007年广州市普通高中毕业班综合测试(二)数学(文科)参考答案及评分标准一、选择题:本大题考查基本知识和基本运算.共10小题,每小题5分,满分50分. 1.D 2.A 3.B 4.A 5.C 6.C 7.B 8.B 9.D 10.A二、填空题:本大题考查基本知识和基本运算.本大题共5小题,其中11～13题是必做题,14～15题是选做题.每小题5分,满分20分.第13题中的第一个空2分,第二个空3分. 11.2 12.20 13.12-；314. 15.135三、解答题:本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16.(本小题满分12分)(本小题主要考查古典概型等基础知识,考查或然与必然的数学思想与方法,以及运算求解能力)解法一:利用树状图可以列出从甲、乙两个盒子中各取出1个球的所有可能结果:可以看出,试验的所有可能结果数为16种. ……4分 (Ⅰ)所取两个小球上的标号为相邻整数的结果有1－2,2－1,2－3,3－2,3－4,4－3,共6种. ……6分故所求概率63168P ==. 答:取出的两个小球上的标号为相邻整数的概率为38. ……8分 (Ⅱ)所取两个球上的数字和能被3整除的结果有1－2,2－1,2－4,3－3,4－2,共5种. ……10分故所求概率为516P =. 答:取出的两个小球上的标号之和能被3整除的概率为516. ……12分 解法二:设从甲、乙两个盒子中各取1个球,其数字分别为y x ,,用),(y x 表示抽取结果,则所有可能有()1,1,()1,2,()1,3,()1,4,()2,1,()2,2,()2,3,()2,4,()3,1,()3,2,()3,3,()3,4,()4,1,()4,2,()4,3,()4,4,共16种. ……4分(Ⅰ)所取两个小球上的数字为相邻整数的结果有()1,2, ()2,1, ()2,3,()3,2, ()3,4,()4,3,共6种. ……6分故所求概率63168P ==. 答:取出的两个小球上的标号为相邻整数的概率为38. ……8分 (Ⅱ)所取两个球上的数字和能被3整除的结果有()1,2, ()2,1, ()2,4, ()3,3, ()4,2,共5种. ……10分故所求概率为516P =. 答:取出的两个小球上的标号之和能被3整除的概率为516. ……12分 (注:利用列表的方法求解,仿照上述解法给分)17.(本小题满分14分)(本小题主要考查空间中线面关系,考查数形结合的数学思想和方法,以及空间想象能力、逻辑推理能力和运算求解能力)证明:(Ⅰ)∵90ACB ∠=,∴BC AC ⊥.∵三棱柱111ABC A B C -为直三棱柱,∴1BC CC ⊥. ∵1ACCC C =,∴BC ⊥平面11ACC A .∵1AC ⊂平面11ACC A ,∴1BC AC ⊥, ∵11BCB C ,则111B C AC ⊥. ……4分在Rt ABC ∆中,2AB =,1BC =,∴AC .∵1AA =∴四边形11ACC A为正方形. ∴11AC AC ⊥. ……6分 ∵1111B C AC C =,∴1AC ⊥平面11AB C . ……7分 (Ⅱ)当点E 为棱AB 的中点时,DE 平面11AB C . ……9分证明如下:如图,取1BB 的中点F ,连EF 、FD 、DE ,∵D 、E 、F 分别为1CC 、AB 、1BB 的中点,∴1EFAB .∵1AB ⊂平面11AB C ,EF ⊄平面11AB C , ∴EF平面11AB C . ……12分同理可证FD 平面11AB C .∵EFFD F =,∴平面EFD平面11AB C .∵DE ⊂平面EFD , ∴DE平面11AB C . ……14分18.(本小题满分12分)(本小题主要考查正弦定理、余弦定理、同角三角函数的基本关系、解三角形等基础知识,考查运算求解能力)(Ⅰ)解:由余弦定理,得222cos 2a c b B ac+-=＝12. ……2分∵0B π<<,∴ 3B π=. ……4分(Ⅱ)解法一:将3c a =代入222a cb ac +-=,得b =. ……6分由余弦定理,得222cos 214b c a A bc +-==. ……8分∵0A π<<,∴sin 14A ==……10分∴sin tan cos A A A ==……12分解法二:将3c a =代入222a cb ac +-=,得b =. ……6分由正弦定理,得sin B A =. ……8分∵3B π=,∴sin 14A =. ……10分又b a =>,则B A >,∴cos A ==.∴sin tan cos A A A == ……12分解法三:∵3c a =,由正弦定理,得sin 3sin C A =. ……6分 ∵3B π=,∴()23C A B A ππ=-+=-. ∴2sin 3sin 3A A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭. ……8分 ∴22sincos cos sin 3sin 33A A A ππ-=.1sin 3sin 2A A A +=.∴5sin A A =. ……10分∴sin tan cos A A A ==……12分19.(本小题满分14分)(本小题主要考查椭圆的概念、椭圆的方程等基础知识,考查待定系数法、数形结合的数学思想与方法,以及运算求解能力)(Ⅰ)解法一:依题意,设椭圆E 的方程为22221x y a b+=(0a b >>),由已知半焦距1c =,∴221a b -=. ① ……2分 ∵点31,2C ⎛⎫⎪⎝⎭在椭圆E 上,则221914a b+=. ② ……4分 由①、②解得,24a =,23b =.∴椭圆E 的方程为22143x y +=. ……6分 解法二:依题意,设椭圆E 的方程为22221x y a b+=(0a b >>),∵点31,2C ⎛⎫⎪⎝⎭在椭圆E 上,∴1224a CF CF =+=,即2a =. ……3分 由已知半焦距1c =,∴2223b a c =-=. ……5分∴椭圆E 的方程为22143x y +=. ……6分(Ⅱ)设()00,P x y ,由12PF PF t =,得()()00001,1,x y x y t -----=,即22001x y t +=+. ③ ……8分 ∵点P 在曲线C 上,∴2200143x y +=. ④ 由③得22001y t x =+-,代入④,并整理得()2042x t =-. ⑤ ……10分由④知,2004x ≤≤, ⑥ ……12分 结合⑤、⑥,解得:23t ≤≤.∴实数t 的取值范围为[]2,3. ……14分20.(本小题满分14分)(本小题主要考查数列、导数等基础知识,考查有限与无限的数学思想与方法,以及抽象概括能力、运算求解能力和创新意识)解:(Ⅰ)∵xy e '=,∴曲线C :x y e =在点()1,P e 处的切线方程为()1y e e x -=-,即y ex =. 此切线与x 轴的交点1Q 的坐标为()0,0,∴点1P 的坐标为()0,1. ……2分 ∵点n P 的坐标为(),n n x y (*n ∈N ),∴曲线C :x y e =在点n P (),n n x y 处的切线方程为()n n x xn y ee x x -=-, ……4分 令0y =,得点1n Q +的横坐标为11n n x x +=-.∴数列{}n x 是以0为首项,1-为公差的等差数列.∴1n x n =-,1n n y e -=.(*n ∈N ) ……6分 (Ⅱ)∵()()2221221i ii i OP x y i e -=+=-+, ……8分∴222221231nin i OPOP OP OP OP ==++++∑()()()()()2212022240121n e e e n e ---⎡⎤=+++++++-+⎣⎦……10分 ()()22122241211n n e e e---⎡⎤⎡⎤=++++-+++++⎣⎦⎣⎦ ……12分 ()()22121161n n n n e e -----=+-()()()2222121161n n n n n e e e ----=+-. ……14分21.(本小题满分14分)(本小题主要考查函数及其运算、不等式及其性质等基础知识,考查化归与转化、数形结合的数学思想方法,以及抽象概括能力、逻辑推理能力、运算求解能力和创新意识)解:(Ⅰ)∵()()121222f x f x x x f ++⎛⎫-⎪⎝⎭22212121122222x x x x ax bx c ax bx c a b c +++++++⎛⎫⎛⎫=++-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()21204a x x =--<, ……2分 ∵12x x ≠,∴0a >.∴实数a 的取值范围为()0,+∞. ……4分(Ⅱ)∵()2224422f x ax x a x a a ⎛⎫=+-=+-- ⎪⎝⎭,显然()02f =-,对称轴20x a=-<. ……6分 (1)当424a --<-,即02a <<时,()2,0M a a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭,且()4f M a =-⎡⎤⎣⎦. 令2424ax x +-=-,解得x =此时()M a 取较大的根,即()M a==, ∵02a <<,∴()1M a =>-. ……10分数学试题A （文科） 第 11 页 共 11 页 (2)当424a --≥-,即2a ≥时,()2M a a<-,且()4f M a =⎡⎤⎣⎦. 令2424ax x +-=,解得x =, 此时()M a 取较小的根,即()M a ==, ∵2a ≥,∴()3M a =≥-.……13分 当且仅当2a =时,取等号.∵31-<-,∴当2a =时,()M a 取得最小值－3. ……14分。

2015-2016学年度广州市高中二年级学生学业水平测试2015年12月24日一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分.1.已知集合M =-1,0,1{},{}x x x N ==2|,则M ÇN =（）A.1{}B.0,1{}C.-1,0{}D.-1,0,1{}2.已知等比数列a n {}的公比为2，则a 4a 2值为（） A.14 B.12C. 2D.4 3.直线l 过点1,-2()，且与直线2x +3y -1=0垂直，则l 的方程是（）A. 2x +3y +4=0B.2x +3y -8=0C.3x -2y -7=0D.3x -2y -1=04.函数f x ()=12æèçöø÷x-x +2的零点所在的一个区间是（） A.-1,0() B.0,1() C.1,2() D.2,3()5.已知非零向量与的方向相同，下列等式成立的是（）6.要完成下列两项调查：（1）某社区有100户高收入家庭，210户中等收入家庭，90户低收入家庭，从中抽取100户调查消费购买力的某项指标；（2）从某中学高二年级的10名体育特长生中抽取3人调查学习负担情况，应采取的抽样方法是（）A.（1）用系统抽样法，（2）用简单随机抽样法B.（1）用分层抽样法，（2）用系统抽样法C.（1）用分层抽样法，（2）用简单随机抽样法D.（1）（2）都用分层抽样法7.设x ,y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤-+≥-≥+,03,02,01y x x y x ,则z =x -y 的最大值为（）A. 3B.1C.1-D.5-8.某几何体的三视图及其尺寸图，则该几何体的体积为（）A. 6B. 9C. 12D. 189.函数f x ()=12-cos 2p 4-x æèçöø÷的单调增区间是（） A. 2k p -p 2,2k p +p 2éëêùûú,k ÎZ B. 2k p +p 2,2k p +3p 2éëêùûú,k ÎZ C. k p +p 4,k p +3p 4éëêùûú,k ÎZ D. k p -p 4,k p +p 4éëêùûú,k ÎZ 10.设a >1,b >2且ab =2a +b 则a +b 的最小值为（）A.22B.22+1C.22+2D.22+3二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分。

试卷类型:A2007年广州市普通高中毕业班综合测试(二)数 学(理科)2007.4本试卷分选择题和非选择题两部分,共4页,满分150分.考试用时120分钟.注意事项:1.答卷前,考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号填写在答题卡上.用2B 铅笔将答题卡上试卷类型(A)涂黑.在答题卡右上角的“试室号”栏填写本科目试室号,在“座位号”列表内填写座位号,并用2B 铅笔将相应的信息点涂黑.不按要求填涂的,答卷无效.2.选择题每小题选出答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案,答案不能答在试卷上.3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.4.考试必须保持答题卡的整洁,考试结束后,将试卷和答题卡一并交回.参考公式:()()22221211236n n n n ++++++=第一部分 选择题(共40分)一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.sin 480的值为A.12-B. C.12 D 2.函数2xy =(x ∈R )的反函数为A .2log y x =(0x >) B.2log y x =(1x >) C.log 2x y =(0x >) D.log 2x y =(1x >)3.已知向量OA 和向量OC 对应的复数分别为34i +和2i -,则向量AC 对应的复数为 A.53i + B.15i + C .15i -- D.53i --4.1a =是直线1y ax =+和直线()21y a x =--垂直的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件6.4名男生和2名女生排成一排照相,要求2名女生必须相邻,则不同的排列方法为A.4242A A B.5252A A C.55AD.6622A A7.如图1,ABCDEF 为正六边形,则以F 、C 为焦点,且经过A 、E 、D 、B1 11 D 18.已知方程210ax bx +-=(,a b ∈R 且0a >)有两个实数根,其中一个根在区间()1,2内,则a b -的取值范围为A .()1,-+∞ B.(),1-∞- C.(),1-∞ D.()1,1-第二部分 非选择题(共110分)二、填空题:本大题共7小题,其中9～12题是必做题,13～15题是选做题,每小题5分,满分30分. 9.已知0t >,若()021d 6tx x -=⎰,则t = .10.某校有高级教师26人,中级教师104人,其他教师若干人.为了了解该校教师的工资收入情况,若按分层抽样从该校的所有教师中抽取56人进行调查,已知从其他教师中共抽取了16人,则该校共有教师 人.图111.函数)20,0,)(sin(πϕωϕω<≤>∈+=R x x y 的部分图象如图2所示,则ω= ,ϕ= .12.已知数列{}n a 满足12a =,111n n na a a ++=-(*n ∈N ),则3a 的值为 , 1232007a a a a ⋅⋅⋅⋅的值为 .▲选做题:在下面三道小题中选做两题,三题都选的只计算前两题的得分. 13.已知,,,a b x y ∈R ,224a b +=,6ax by +=,则22x y +的最小值为 .14.在极坐标系中,若过点()4,0且与极轴垂直的直线交曲线6cosρθ=于,A B 两点,则=AB .15.如图3,P 是⊙O 的直径AB 延长线上一点,PC 与⊙O 相切于点C ,∠APC 的角平分线交AC 于点Q ,则AQP ∠的大小 为_________.三、解答题:本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明、演算步骤或推证过程. 16.(本小题满分12分)已知a 、b 、c 分别是△ABC 中角A 、B 、C 的对边,且222a cb ac +-=. (Ⅰ)求角B 的大小；(Ⅱ)若3c a =,求tan A 的值.17.(本小题满分12分)袋中装着标有数字1,2,3的小球各2个,从袋中任取2个小球,每个小球被取出的可能性都相等.(Ⅰ)求取出的2个小球上的数字互不相同的概率；(Ⅱ)用ξ表示取出的2个小球上的数字之和,求随机变量ξ的概率分布与数学期望.图2图318.(本小题满分14分) 如图4所示,在直三棱柱111ABC A B C -中,90ACB ∠=,2AB =,1BC =,1AA =D(Ⅰ)证明:1A D ⊥平面11AB C ； (Ⅱ)求二面角11B AB C --的余弦值.19.(本小题满分14分)已知曲线C :x y e =(其中e 为自然对数的底数)在点()1,P e 处的切线与x 轴交于点1Q ,过点1Q 作x 轴的垂线交曲线C 于点1P ,曲线C 在点1P 处的切线与x 轴交于点2Q ,过点2Q 作x 轴的垂线交曲线C 于点2P ,……,依次下去得到一系列点1P 、2P 、……、n P ,设点n P 的坐标为(),n n x y (*n ∈N ).(Ⅰ)分别求n x 与n y 的表达式； (Ⅱ)设O 为坐标原点,求21ni i OP =∑.20.(本小题满分14分)已知椭圆E 的中心在坐标原点,焦点在坐标轴上,且经过()2,0A -、()2,0B 、31,2C ⎛⎫ ⎪⎝⎭三点.(Ⅰ)求椭圆E 的方程；(Ⅱ)若直线l :()1y k x =-(0k ≠)与椭圆E 交于M 、N 两点,证明直线AM 与直线BN 的交点在直线4x =上.21.(本小题满分14分)已知函数()242f x ax x =+-,若对任意1x ,2x ∈R 且12x x ≠,都有()()121222f x f x x x f ++⎛⎫<⎪⎝⎭. (Ⅰ)求实数a 的取值范围；(Ⅱ)对于给定的实数a ,有一个最小的负数()M a ,使得(),0x M a ∈⎡⎤⎣⎦时,()44f x -≤≤都成立,则当a 为何值时,()M a 最小,并求出()M a 的最小值.图42007年广州市普通高中毕业班综合测试(二)数学(理科)参考答案及评分标准一、选择题:本大题考查基本知识和基本运算.共8小题,每小题5分,满分50分. 1.D 2.A 3.C 4.C 5.B 6.B 7.D 8.A二、填空题:本大题考查基本知识和基本运算.本大题共7小题,其中9～12题是必做题,13～15题是选做题。

广州市高中二年级学生学业水平测试一、选择题：本大题共10小题，每小题5分. 1.已知集合M =-1,0,1{}，{}x x x N ==2|，则M ÇN=()A.1{}B.0,1{}C.-1,0{}D.-1,0,1{}2.已知等比数列a n {}的公比为2，则a 4a 2值为()A. 14B.12C. 2D.43.直线l 过点1,-2()，且与直线2x +3y -1=0垂直，则l 的方程是()A. 2x +3y +4=0B.2x +3y -8=0C.3x -2y -7=0D.3x -2y -1=0 4.函数f x ()=12æèçöø÷x-x +2的零点所在的一个区间是()A.-1,0()B.0,1()C.1,2()D.2,3()5.已知非零向量与的方向相同，下列等式成立的是()6.要完成下列两项调查：(1)某社区有100户高收入家庭，210户中等收入家庭，90户低收入家庭，从中抽取100户调查消费购买力的某项指标；(2)从某中学高二年级的10名体育特长生中抽取3人调查学习负担情况，应采取的抽样方法是()A.(1)用系统抽样法，(2)用简单随机抽样法B.(1)用分层抽样法，(2)用系统抽样法C.(1)用分层抽样法，(2)用简单随机抽样法D.(1)(2)都用分层抽样法7.设x ,y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤-+≥-≥+,03,02,01y x x y x ，则z =x -y 的最大值为()A. 3B.1C.1-D.5- 8.某几何体的三视图及其尺寸图，则该几何体的体积为()A. 6B. 9C. 12D. 18 9.函数f x ()=12-cos 2p 4-x æèçöø÷的单调增区间是() A.2k p -p 2,2k p +p 2éëêùûú,k ÎZ B. 2k p +p 2,2k p +3p 2éëêùûú,k ÎZC.k p +p 4,k p +3p 4éëêùûú,k ÎZ D. k p -p 4,k p +p 4éëêùûú,k ÎZ 10.设a >1,b >2且ab =2a +b 则a +b 的最小值为()A.22B.22+1C.22+2D.22+3二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分。

2007年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷)数 学(文科)参考公式：锥体的体积公式13V Sh =，其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高． 如果事件A 、B 互斥，那么()()()P A B P A P B +=+．用最小二乘法求线性回归方程系数公式1221ni ii nii x y nx yb xnx==-=-∑∑，a y bx =-．一、选择题：本大题共l0小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合M={x|10x +>}，N={x|101x>-}，则M ∩N= A ．{x|-1≤x ＜1} B ．{x|x >1} C ．{x|-1＜x ＜1} D ．{x|x ≥-1}2．若复数(1)(2)bi i ++是纯虚数(i 是虚数单位，b 是实数)，则b = A ．-2 B ．12-C.21D ．2 3．若函数3()f x x =(x R ∈)，则函数()y f x =-在其定义域上是A ．单调递减的偶函数B .单调递减的奇函数C ．单凋递增的偶函数 D.单调递增的奇函数4．若向量a 、b 满足|a |=|b |=1，a 与b 的夹角为60︒，则a a +a b = A ．12 B ．32 C. 12+．2 5．客车从甲地以60km ／h 的速度匀速行驶1小时到达乙地，在乙地停留了半小时，然后以80km ／h 的速度匀速行驶l 小时到达丙地.下列描述客车从甲地出发，经过乙地，最后到达丙地所经过的路程s 与时间t 之间关系的图象中，正确的是6．若l 、m 、n 是互不相同的空间直线，α、β是不重合的平面，则下列命题中为真命题的是 A ．若//,,l n αβαβ⊂⊂，则//l n B ．若,l αβα⊥⊂，则l β⊥ C. 若,l n m n ⊥⊥，则//l m D ．若,//l l αβ⊥，则αβ⊥ 7．图l 是某县参加2007年高考的学生身高条形统计图，从左到右 的各条形表示的学生人数依次记 为1A 、2A 、…、10A (如2A 表示身高(单位：cm )在[150，155) 内的学生人数)．图2是统计图l 中身高在一定范围内学生人数的 一个算法流程图．现要统计身高 在160～180cm (含160cm ，不 含180cm )的学生人数，那么在流程图中的判断框内应填写的条件是A ．9i <B ．8i <C ．7i <D ．6i <8．在一个袋子中装有分别标注数字1，2，3，4，5的五个小球，这些小球除标注的数字外完全相同．现从中随机取出2个小球，则取出的小球标注的数字之和为3或6的概率是 A ．310 B ．15 C ．110 D ．1129．已知简谐运动()2sin()()32f x x ππϕϕ=+<的图象经过点(0，1)，则该简谐运动的最小正周期T 和初相ϕ分别为 A ．6,6T πϕ==B ．6,3T πϕ==C ．6,6T ππϕ==D ．6,3T ππϕ==10．图3是某汽车维修公司的维修点环形分布图.公司在年初分配给A 、B 、C 、D 四个维修点某种配件各50件．在使用前发现需将A 、B 、C 、 D 四个维修点的这批配件分别调整为40、45、54、61件，但调整只能 在相邻维修点之间进行.那么要完成上述调整，最少的调动件次(n 件 配件从一个维修点调整到相邻维修点的调动件次为n )为A ．18B ．17C ．16D ．15二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，满分20分．其中14～15题是选做题，考生只能选做一题，两题全答的，只计算前一题得分．11．在平面直角坐标系xoy 中，已知抛物线关于x 轴对称，顶点在原点O ，且过点P(2，4)，则该抛物线的方程是 ．12．函数()ln (0)f x x x x =>的单调递增区间是 ．13．已知数列{n a }的前n 项和29n S n n =-，则其通项n a = ；若它的第k 项满足58k a <<，则k = ．14．(坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中，直线l 的方程为sin 3ρθ=，则点(2,)6π到直线l 的距离为 ．15．(几何证明选讲选做题)如图4所示，圆O 的直径AB=6， C 为圆周上一点，3BC =.过C 作圆的切线l ，过A 作l 的 垂线AD ，垂足为D ，则∠DAC= ．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．(本小题满分14分)已知ΔABC 三个顶点的直角坐标分别为A(3，4)、B(0，0)、C(c ，0)． (1)若0AB AC =，求c 的值；(2)若5c =，求sin ∠A 的值．17．(本小题满分12分)已知某几何体的俯视图是如图5所示的矩形，正视图(或称主视图)是一个底边长为8、高为4的等腰三角形，侧视图(或称左视 图)是一个底边长为6、高为4的等腰三角形． (1)求该几何体的体积V ； (2)求该几何体的侧面积S.18.(本小题满分12分)下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x (吨)与相应的生产能耗y (吨标准煤)的几组对照数据.(1)请画出上表数据的散点图；(2)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y 关于x 的线性回归方程ˆˆy bxa =+； (3)已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤．试根据(2)求出的线性同归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤? (参考数值：3 2.543546 4.566.5⨯+⨯+⨯+⨯=)19.(本小题满分14分)在平面直角坐标系xoy 中，已知圆心在第二象限、半径为22的圆C 与直线y x =相切于坐标原点O ．椭圆22219x y a +=与圆C 的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为10． (1)求圆C 的方程；(2)试探究圆C 上是否存在异于原点的点Q ，使Q 到椭圆右焦点F 的距离等于线段OF 的长．若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．20．(本小题满分14分)已知函数2()1f x x x =+-，α、β是方程()0f x =的两个根(αβ>)，()f x '是)(x f 的导数.设11a =，1()()n n n n f a a a f a +=-'(1,2,)n =. (1)求α、β的值；(2)已知对任意的正整数n 有n a α>,记ln n n n a b a βα-=-(1,2,)n =.求数列{n b }前n 项和n S .21．(本小题满分l4分)已知a 是实数，函数2()223f x ax x a =+--．如果函数()y f x =在区间[1,1]-上有零点，求a 的取值范围．2007年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学(文科)试题参考答案一、选择题: CDBBC DBAAC二、填空题: 11. 28y x = 12. 1,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭ 13. 2n -10； 8 14. 2 15. 30︒三、解答题:16.解: (1) (3,4)AB =--, (3,4)AC c =--,由 3(3)162530AB AC c c =--+=-= 得 253c =. (2) (3,4)AB =--, (2,4)AC =-, cos5AB AC A AB AC∠===sin 5A ∠==. 17．解: 由已知可得该几何体是一个底面为矩形,高为4,顶点在底面的射影是矩形中心的四棱锥V-ABCD.(1) ()1864643V =⨯⨯⨯=. (2) 该四棱锥有两个侧面V AD,VBC 是全等的等腰三角形,且BC 边上的高为1h ==另两个侧面V AB,VCD 也是全等的等腰三角形,AB 边上的高为 25h ==.因此 112(685)4022S =⨯⨯⨯⨯=+18解: (1) 散点图略. (2)4166.5i ii X Y ==∑, 4222221345686ii X==+++=∑, 4.5X =, 3.5Y =,266.54 4.5 3.566.563ˆ0.7864 4.58681b -⨯⨯-===-⨯-, ˆˆ 3.50.7 4.50.35a Y bX =-=-⨯=. 所求的回归方程为 0.70.35y x =+.(3) 100x =, 700.3570.35y =+=.预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低9070.3519.65-=(吨). 19解:(1) 设圆C 的圆心为)0)(,(>n n m .则 222m nn =-⎧⎪⎨=⎪⎩解得22m n =-⎧⎨=⎩所求的圆的方程为 22(2)(2)8x y ++-=.(2) 由已知可得210a =,5a =.椭圆的方程为221259x y +=,右焦点为 F(4, 0). 假设存在Q 点(,)x y 使QF OF =, 则F 在OQ 的中垂线上，又O 、Q 在圆C 上，所以O 、Q 关于直线CF 对称.直线CF 的方程为340x y +-=，设Q （x,y ），则334022yx x y ⎧=⎪⎪⎨⎪+-=⎪⎩，解得45125x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以存在点Q 412(,)55，使Q 到椭圆的右焦点F 的距离等于线段OF 的长.20解:(1) 由 210x x +-=得x =α∴=β=.(2) ()21f x x '=+, 221112121n n n n n n n a a a a a a a ++-+=-=++.(22112211.n n n n n n n nn a a a a a a a a βαβα++++++-==-⎛⎫ ⎪⎛⎫-== ⎪-⎝⎭∴ 12n n b b +=, 又1111ln4ln2a b a βα-+===-∴数列{}n b 是一个首项为 14ln2公比为2的等比数列.∴)()4ln1212421ln 122n n n S -+==--. 21解1: 若0a =,()23f x x =-, 显然在[1,1]-上没有零点, 所以 0a ≠. 令 ()248382440a a a a ∆=++=++=, 得a =当a =, ()y f x =恰有一个零点在[]1,1-上； 当()()()()11150f f a a -=--≤,即15a ≤≤时,()y f x =也有零点在[]1,1-上； 当 ()y f x =在[]1,1-上有两个零点时, 则()()208244011121010a a a a f f >⎧⎪∆=++>⎪⎪-<-<⎨⎪≥⎪⎪-≥⎩或()()208244011121010a a a a f f <⎧⎪∆=++>⎪⎪-<-<⎨⎪≤⎪⎪-≤⎩解得5a ≥或32a -<. 因此，a 的取值范围是 1a ≥ 或a ≤. 解2：a =0时，不符合题意，所以a ≠0.又2()223f x ax x a =+--=0在[-1，1]上有解2(21)32x a x ⇔-=-在[-1，1]上有解 212132x a x -⇔=-在[-1，1]上有解，问题转化为求函数22132x y x -=-在[-1，1]上的值域. 设t=3-2x ，x ∈[-1，1]，则t ∈[1,5]，21(3)217(6)22t y t t t --=⋅=+-，设2277(),'()t g t t g t t t -=+=，t ∈时，'()0g t <，g(t)单调递减，t ∈时，'()g t >0,g(t)单调递增，∴y的取值范围是3,1]，∴2()223f x ax x a =+--=0在[-1，1]上有解⇔1a∈3,1]1a ⇔≥或a ≤.。

2007年广州市高二数学竞赛试卷考生注意：⒈用钢笔、签字笔或圆珠笔作答； ⒉不准使用计算器；⒊考试用时120分钟，全卷满分150分．一、选择题：本大题共4小题，每小题6分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请将正确选项前的字母代号填在该小题后的括号内．1．设函数17,0,()20.xx f x x ⎧⎛⎫-<⎪ ⎪=⎝⎭⎨≥，若(1)1f a +<，则实数a 的取值范围是（ ）．A ．()∞-,-4B ．()4,0-C ．()0,+∞D ．()(),40,-∞-+∞2．椭圆221123x y +=的焦点为1F 和2F ，点P 在椭圆上，如果线段1PF 的中点在y 轴上，那么1PF 是2PF 的（ ）．A ．7倍B ．5倍C ．4倍 D ．3倍3．已知集合()221,lg lg lg 4M x y x y x y ⎧⎫⎛⎫=+=+⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭，则集合M 中元素的个数为（ ）．A ．0个B ．1个C ．2个D ．无数个4．设M 是ABC ∆内一点，且23,AB AC ⋅=30BAC ∠=，定义()(,,)f M m n p =，其中,,m n p分别是,,MBC MCA MAB ∆∆∆的面积，若1(),,2f P x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则14x y +的最小值是（ ）． A ．)91B ．18 C ．16D ．9二、填空题：本大题共6小题，每小题6分，共36分．把答案填在题中横线上．5．已知复数z 满足：210z z ++=，则=+++++2007321zz z z __________．6．在区间[]2,2-上任取两实数a ，b ，则二次方程220x ax b -+=有实数解的概率为．7．已知函数()f x 满足：()()(),(1)4f m n f m f n f +==，则2(1)(2)(1)f f f +2(2)(4)(3)f f f ++2(3)(6)(5)f f f +++2(251)(502)(501)f f f ++=．8．奇函数()f x 在R 上为减函数，若对任意的(]0,1x ∈，不等式()()220f kx f x x +-+->恒成立，则实数k 的取值范围为．9．四面体ABCD 中，AB ＝CD ＝6，其余的棱长均为5，则与该四面体各个表面都相切的内切球的半径长等于． 10．已知y x ,满足221643441x y x -≤≤-，则函数10-+=y x z 的最大值与最小值之和为．三、解答题：本大题共5小题，共90分．要求写出解答过程．11．（本小题满分15分）已知函数()f x =m n ，其中(sin cos )x x x ωωω=+m ，(cos sin ,2sin )x x x ωωω=-n （0ω>），若()f x 相邻两对称轴间的距离不小于2π． （Ⅰ）求ω的取值范围；（Ⅱ）在ABC ∆中，,,a b c 分别是角,,A B C的对边，3a b c =+=，当ω最大时，()1f A =，求ABC ∆的面积．12．（本小题满分20分）各项都为正数的数列{a n }的前n 项和为S n ，已知()221n n n S a a +=+．（Ⅰ）求数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）若数列{b n }满足12b =，12n n b b +=，数列{c n }满足()()nn na n cb n ⎧=⎨⎩为奇数为偶数，数列{c n }的前n 项和为T n ，当n 为偶数时，求T n ；（Ⅲ）同学甲利用第（Ⅱ）问中的T n 设计了一个程序如图，但同学乙认为这个程序如果被执行会是一个“死循环”（即程序会永远循环下去，而无法结束）．你是否同意同学乙的观点？请说明理由． 13．（本小题满分20分）多面体1111ABCD A B C D -的直观图，主视图，俯视图，左视图如下所示．14主视图A 、B 两点，且0OA OB =（O 为坐标原点），直线l 与圆O 相切，切点在劣弧AB （含A 、B 两点）上，且与抛物线C 相交于M 、N 两点，d 是M 、N 两点到抛物线C 的焦点的距离之和．(Ⅰ)求p 的值；(Ⅱ)求d 的最大值，并求d 取得最大值时直线l15．（本小题满分20分）已知函数()sin f x x x λ=+是区间[]1,1-上的减函数．（Ⅰ）若2()1f x t t λ≤++在[1,1]x ∈-上恒成立，求t （Ⅱ）讨论关于x 的方程2ln 2xx ex m x=-+20071．选B ． 2．选A ． 3．选D ． 4．选B ． 5．填1． 6．填14． 7．填2008． 8．填(),2-∞．9． 10．填20．11．解：（Ⅰ）22()cos sin sin f x x x x x ωωωω==-+⋅m nx x ωω2sin 32cos +=)62sin(2πω+=x ．0>ω ，∴函数()f x 的周期22T ππωω==． 由题意可知,22,22πωππ≥≥即T 解得01ω<≤． 故ω的取值范围是{|01}ωω<≤．（Ⅱ）由（Ⅰ）可知ω的最大值为1，)62sin(2)(π+=∴x x f ．1)(=A f ，21)62sin(=+∴πA ． 而132666A πππ<+<，ππ6562=+∴A ，3π=∴A ．由余弦定理，知bca cb A 2cos 222-+=，223b c bc ∴+-=，又3b c +=，联立解得21b c =⎧⎨=⎩或12b c =⎧⎨=⎩．23sin 21==∴∆A bc S ABC ． （或用配方法2,333)(2=∴=+=-+bc c b bc c b．1sin 2ABC S bc A ∆∴==）12．解：（Ⅰ）当1n =时，由()211121S a a +=+，解得12a =，当2n ≥时，由()221n n n S a a +=+，得()211121n n n S a a ---+=+．两式相减，并利用1n n n a S S -=-，求得11n n a a --=．∴数列{}n a 是首项为2，公差为1的等差数列．∴1n a n =+（*n ∈N ）．（Ⅱ）∵{}n b 是首项为2，公比为2的等比数列，∴2nn b =．当n 为偶数时，()()24131222n n n T a a a -=+++++++()114122214nn a a n --+=⋅+-()2242143nnn +=+-． （Ⅲ）∵2244n n P n =+（n 为偶数）， 设44742323n n n n d T P n =-=⋅--（n 为偶数）， ∴4681012142007d d d d d d <<<<<<<．且22007d <，（利用数列的单调性或函数的单调性判断）∴2007n d ≠，即2007n n T P -≠（n 为偶数）． 因此同学乙的观点正确．13．（Ⅰ）解：由已知图可得，平面⊥AB A 1平面ABCD ，取AB 中点H ，连接H A 1，在等腰AB A 1∆中，有AB H A ⊥1，则⊥H A 1平面ABCD ．∴AB A 1∠是A A 1与平面ABCD 所成的角． ∵12A H AH =，∴11tan A HA AB AH∠=2=． 故A A 1与平面ABCD 所成角的正切值为2．（Ⅱ）解法1：取AD 中点K ，连接KH K D ,1，同理有⊥K D 1平面ABCD ，即AHK ∆是11D AA ∆在平面ABCD 内的射影．取HK 的中点M ，取11A D 的中点N ，连接MN ，AM ，AN ，则MAN ∠就是面11D AA 与面ABCD 所成的二面角．∵MN ＝a，4AM a =，∴tan MN MAN AM ∠==．即1cos 3MAN ∠=． ∴面11D AA 与面ABCD 所成二面角的余弦值为13． 解法2：取AD 中点K ，连接KH K D ,1，同理有⊥K D 1平面ABCD ，即AHK ∆是11D AA ∆在平面ABCD 内的射影，在11D AA ∆中，a D A a AD AA 22,251111===，28311a S D AA =∆，又281a S AHK =∆， 设面11D AA 与面ABCD 所成二面角的大小为α，则31cos 11==∆∆D AA AHK S S α．∴面11D AA 与面ABCD 所成二面角的余弦值为13． （Ⅲ）解：∵该多面体为长方体削去四个全等的三棱锥，每个三棱锥的体积都为3111322224a a a a ⋅⋅⋅⋅=． ∴此多面体的体积333154246V a a a =-⋅=． 14． (Ⅰ)解：设点A 的坐标为()11,x y ()10x <，由于抛物线C 和圆O 关于y 轴对称，故点B 的坐标为()11,x y -．0OA OB =，2111()0x x y ∴-+=， 即22110x y -+=．点A 在抛物线C 上，∴2112x py =．21120py y ∴-+=， 即()1120y p y -+=．110,2y y p ≠∴=．12x p ∴=-．∴点A 的坐标为()2,2p p -．即l 的方程为：y kx =+联立22.y kx x y ⎧=+⎪⎨=⎪⎩即(()2222810y k y k -+++=．设()(),,,M M N N M x y N x y ，则22M N y y k +=+如图，设抛物线C 的焦点为F ，准线为L ，作11,MM L NN L ⊥⊥，垂足分别为11,M N ． 由抛物线的定义有：11d MF NF MM NN =+=+1M N y y =++221k =+．令t =，则2222k t =-．∴()224125d t t t =+-=+-．又∵11k -≤≤2t ≤≤． ∴当2t =时，d 有最大值11．当2t =时，1k =±，故直线l 的方程为4y x =±+．解法2：设直线l 与圆O 相切的切点坐标为()00,x y ，则切线l 的方程为008x x y y +=． 由0028,2.x x y y x y +=⎧⎨=⎩ 消去x ，得()222000162640y y y x y -++=． 设()(),,,M M N N M x y N x y ，则2002162M N y x y y y ++=． 如图，设抛物线C 的焦点为F ，准线为L ，作11,MM L NN L ⊥⊥，垂足分别为11,M N ． 由抛物线的定义有：11d MF NF MM NN =+=+1M N y y =++20021621y x y +=+．22008x y =-，()200216281y y d y +-=+20016161y y =+-20111652y ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭．0222y ≤≤，∴当02y =时，d 有最大值11．当02y =时，02x =±，故直线l 的方程为4y x =±+． 15．解：（Ⅰ）()sin f x x x λ=+在[]1,1-上是减函数，()cos 0f x x λ'∴=+≤在[]1,1-上恒成立， cos ,cos [cos1,1]x x λ∴≤-∈，1λ∴≤-．又()f x 在[]1,1-上单调递减，∴只需2sin11t t λλ--≤++，2(1)sin110t t λ∴++++≥（其中1λ≤-）恒成立．令2()(1)sin11()g t t λλλ=++++≤-1，则()11t g +≤⎧⎪⎨-≥⎪⎩0,0.，即211sin11t t t +≤⎧⎨--+++≥⎩0,0. 2sin1t t t ≤⎧∴⎨-+≥⎩-1,0.而2sin1t t -+≥0恒成立， t ∴≤-1．（Ⅱ）令212ln (),()2xf x f x x ex m x==-+， 121ln ()xf x x-'=， 当(]0,x e ∈时，1()f x '≥0，1()f x ∴在(0,]e 上为增函数；11[,),()()[,)x e f x f x e '∈+∞≤∴+∞时0,在上为减函数，当x e =时，1max 11()()f x f e e==． 而222()()f x x e m e =-+-，∴函数12()()f x f x 、在同一坐标系的大致图象如图所示，∴①当21m e e ->，即21m e e >+时，方程无解． ②当21m e e -=，即21m e e =+时，方程有一个根．③当21m e e -＜，即21m e e+＜时，方程有两个根．。

广州市高中二年级水平测试•数学一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.1、已知集合{1,2,4,8}M =，{2,4,6,8}N =，则M N = ( )..A {2,4} .B {2,48}， .C {1,6} .D {12,4,68}，，2、下列函数中，与函数1y x=定义域相同的函数为( ). .A 1y x=.B y x =.C 2y x -=.D ln y x =3、设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，已知59a =，24S =，则2a =( )..A 1 .B 2 .C 3.D 5 4、某几何体的三视图及其尺寸如图所示，则这个几何体的体积是( )..A 6.B 9.C 18.D 365、将函数cos y x =的图像向左平移2π个单位，得到函数()y f x = 的图像，则下列说法正确的是( )..A ()y f x =的最小正周期为π.B ()y f x =是偶函数.C ()y f x =的图像关于点(,0)2π对称.D ()y f x =在区间[0,]2π上是减函数6、已知221ab>>，则下列不等关系式中正确的是( )..A sin sin a b >.B 22log log a b <.C 11()()33a b > .D 11()()33a b <7、在ABC △中，已知5AB AC ==，6BC =，则AB BC =( )..A 18 .B 36 .C 18- .D 36-8、设y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥--≤+-≤-+,023,023,06y x y x y x 则y x z 2-=的最小值为( ).A 10- .B 6- .C 1- .D 0 9、设)(x f 为定义在R 上的奇函数，当0≥x 时，3)(1-=+x a x f （a 为常数），则)1(-f 的值为( ).A 6-.B 3-.C 2-.D 610、小李从甲地到乙地的平均速度为a ，从乙地到甲地的平均速度为b )0(>>b a ，他往返甲乙两地的平均速度为v ，则( ).A 2ba v +=.B ab v =.C 2ba v ab +<< .D ab v b <<435俯视图侧视图正视图二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分.11、过点)0,3(-且与直线024=-+y x 平行的直线方程是______12、如图，在半径为1的圆内随机撒100粒豆子，有14粒落在阴影部分， 据此估计阴影部分的面积为______13、执行如图所示的程序框图，则输出的z 的值是______14、在ABC ∆中，已知6=AB ，33cos =C ，C A 2=，则BC 的长为______三、解答题：本大题共6小题，满分80分.解答应写出文字说明、演算步骤和推证过程. 15、（本小题满分12分）实验室某一天的温度（单位：C o）随时间t （单位：h ）的变化近似满足函数关系：()[]24,0,312sin 4∈⎪⎭⎫ ⎝⎛-=t t t f ππ.（1）求实验室这一天上午10点的温度；（2）当t 为何值时，这一天中实验室的温度最低.20?z <z 输出开始结束x y =1,2x y ==y z=z x y =+是否16、（本小题满分12分）近年来，某市为了促进生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分为“厨余垃圾”、“可回收垃圾”、“有害垃圾”和“其他垃圾”等四类，并分别设置了相应的垃圾箱，为调查居民生活垃圾的正确分类投放情况，现随机抽取了该市四类垃圾箱总计100吨生活垃圾，数据统计如下（单位：吨）：“厨余垃圾”箱 “可回收垃圾”箱 “有害垃圾”箱 “其他垃圾”箱厨余垃圾24 4 1 2 可回收垃圾4 19 2 3 有害垃圾2 2 14 1 其他垃圾1 5 3 13 （1）试估计“可回收垃圾”投放正确的概率； （2）试估计生活垃圾投放错误．．的概率.17、（本小题满分14分）如图所示，四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 为矩形， ABCD PA 平面⊥，AB PA =，点E 为PB 的中点. （1）求证：ACE PD 平面//；（2）求证：PBC ACE 平面平面⊥.EDCBAP18、（本小题满分14分）已知直线05=+-y ax 与圆922=+y x C ：相交于不同两点A ，B . （1）求实数a 的取值范围（2）是否存在实数a ，使得过点()12，-P 的直线l 垂直平分弦AB ？若存在，求出a 的值；若不存在，请说明理由.19、（本小题满分14分）已知等差数列{}n a 的公差为2，且1a ，21a a +，()412a a +成等比数列. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧-12n n a 的前n 项和为n S ，求证：6<n S .20、（本小题满分14分）已知R a ∈，函数()a x x x f -=.（1）当2=a 时，求函数()x f y =的单调递增区间； （2）求函数()()1-=x f x g 的零点个数.广州市高中二年级学生学业水平测试数学参考答案一、选择题题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案BDCCDDCBAD二、填空题11、430x y ++= 12、0.14π 13、21 14、22 三、解答题15、解：（1）依题意()4sin(),[0,24]123f t t t ππ=-∈实验室这一天上午10点，即10t =时，(10)4sin(10)4sin 41232f πππ=⨯-==，所以上午10点时，温度为4C.（2）因为024t ≤≤，所以531233t ππππ-≤-≤， 令123t ππθ=-，即533ππθ-≤≤，所以54sin ,[,]33y ππθθ=∈- 故当32πθ=时，即22t =时，y 取得最小值，min 34sin42y π==- 故当22t =时，这一天中实验室的温度最低。

俯视图侧视图正视图2007年番禺区高二数学学业水平测试模拟题（十五）第一部分 选择题（共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求．1．下列表示错误的是 （ ） (A) {}{},a a b ∈ (B){}{},,a b b a ⊆ (C){}1,1⊂-≠{}1,0,1- (D) ⊂∅≠{}1,1-2．下列图形中，不能表示函数图像的是 （）（A ） （B ） （C ） （D ）3．已知正方形ABCD 的边长为1，AB =a ，BC =b ，AC =c ， 则++a b c 等于 ( ) (A) 0 (B) 3(C)(D) 4）(A )cos10︒ (B )cos10sin10︒-︒ (C ) sin10cos10︒-︒ (D ) (cos10sin10)±︒-︒ 5．在△ABC 中，60,1,3ABCA b S =︒==，则sin aA的值为（ ）(A(B(C(D ) 6．若直线260ax y ++=和直线2(1)(1)0x a a y a +++-= 垂直,则的值为 ( )7．如图是关于闰年的流程，则以下年份是闰年的为（ ） （A ）1998年 （B ）1994年 （C ）2100年 （D ）1996年8．若一个底面为正三角形、侧棱与底面垂直的棱柱的三视图如下图所示，则这个棱柱的体积为A.B. C.2 D. 6 9．已知函数{8 ,0()(1)7,x f x f x x N +==-+∈，则(1)f 等于（ ）（A ）7 （B ）8 （C ）15 （D ）2210．已知2m <-，点1(1,)m y -，2(,)m y ，3(1,)m y +都在二次函数22y x x =-的图像上，则（ ） （A ）123y y y << （B ）321y y y << （C ）132y y y << （D ）213y y y <<第二部分 非选择题（共100分）二、填空题 ：本大题共4小题，每小题5分，共20分．11．观察新生婴儿的体重，其频率分布直方图如下图所示，则新生婴儿体重在(2700，3000)内的频率为________．0.012．过点 (2 , 1) 的直线中 , 被圆04222=+-+y x y x 截得的最长弦所在直线的方程 是 .13．已知点P （x, y ）在不等式组 1020220y x x y ì-?ïïï-?íïï+-?ïïî 表示的区域上运动，则z=x-y 的取值范围是 .14．观察下面的数阵, 容易看出, 第n 行最右边的数是2n , 那么第20行最左边的数是____第20行所有数的和是__ __.1 2 3 45 6 7 8 910 11 12 13 14 15 1617 18 19 20 21 22 23 24 25… … … … … …三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分12分）要从甲、乙两名划艇运动员中选拔一名去参加比赛，为此对甲、乙两人在相同的条件下进行了6次测试，测得他们最大速度(m/s)的数据如下:甲：27，38，30，37，35，31； 乙：33，29，38，34，28，36. 试比较这两名划艇运动员谁更优秀.16．（本小题满分13分）已知函数()2sin (sin cos )f x x x x =+．（1）求()f x 的最小正周期；（2）画出函数()y f x =在区间,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的图象17．（本小题满分13分）如图，在四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 是正方形， 侧棱⊥PD 底面ABCD ，DC PD =，E 是PC 的中点.(1)证明//PA 平面EDB ；(2)求证:平面BDE ⊥平面PBC. 18．（本小题满分14分）某自来水厂蓄水池中有400吨的水，水厂每小时可向蓄水池注入m 吨水(0)m >，同时蓄水池又向居民小区供水，t小时内，水量为024t ≤≤）. 设t 小时后水池的水量为S . （1）写出S 与t 的关系式；（2）当80m =时，多少小时后蓄水池的水量最少.19．（本小题满分14分）已知直线2)0022=+>=-+y x m m y x l 与圆（：有两个不同的交点A , B (1) 求m 的取值范围;BD(2) 若)2,0(,1-=C C m 的坐标为点, 求∆ABC 的面积.20．（本小题满分14分）已知等差数列{}n a 及等比数列{}n b ，其中11b =，公比q < 0, 且数列{}n n a b +的前三项分别为2、1、4.（Ⅰ）求n a 及q ； （Ⅱ）求数列{}n n a b +的前n 项和n P .2007年番禺区高二数学学业水平测试模拟题（十五）参考解答及评分标准一、选择题：本大题主要考查基本知识和基本运算．共10小题，每小题5分，满分50分．二、填空题：本大题主要考查基本知识和基本运算．共4小题，每小题5分，满分20分．第（14）小题的第一个空2分、第二个空3分．（11）解:由直方图的意义可知，各小长方形的面积=组距×组距频率=频率,即各小长方形的面积等于相应各组的频率，在区间(2700,3000)内取值的频率为(3000－2700)×0.001=0.3.（12解：圆的最长弦是过圆心的弦，圆心坐标为)2,1(-直线的斜率为3利用直线的点斜式方程即可.53=--y x （13）[--1,2] （14）362,14859三、解答题 （15）解:甲x =61(27+38+30+37+35+31)=33; 乙x =61(33+29+38+34+28+36)=33. 即两人测试比赛的平均成绩相同.在这种情况下要进一步比较两人成绩的稳定程度.s 甲2=61［(27－33)2+(38－33)2+(30－33)2+(37－33)2+(35－33)2+(31－33)2］≈15.67; s 乙2=61［(33－33)2+(29－33)2+(38－33)2+(34－33)2+(28－33)2+(36－33)2］≈12.67.由s 乙2<s 甲2可以估计，乙运动员的成绩要比甲运动员的成绩稳定一些.所以乙比甲更优秀.（16）解 （1）21cos2()2sin 2sin cos 2sin21sin2cos21)24x f x x x x x x x x π-=+=⨯+=+-=- ∴22T ππ== （2）五点法作图（略）（17）(1)证明:连接AC,设AC 与BD 交点为O,连接OE,在三角形ECA 中,OE 是三角形ECA 的中位线.所以PA ∥OE,面PA 不在平面EDB 内,所以有PA ∥平面EDB.(2)证明:因为⊥PD 底面ABCD,所以CB ⊥PD,又BC ⊥DC,所以BC ⊥平面PDC,所以DE ⊥BC.在三角形PDC 中,PD=DC,E 是PC 的中点,所以DE ⊥PC,因此有DE ⊥平面PCB,因为DE ⊆平面DEB,所以平面BDE ⊥平面PBC. （18）（1）t tm S 6120400-+=)(240≤≤t （2）当80=m 时，400612080+-=t t S ，设t u 6=，则],[120∈u ，62u t =，)(10331402+-=u u S ，当29=u 时，即827=t 时，=S 130最少.（19）（1）由圆方程知：圆心坐标为)0,0(，圆半径为2， 根据直线与圆的位置关系有：2022||<<⇒<-m m（2）∵ )2,0(,1-=C C m 的坐标为点∴ 点C 到直线的距离为26 又⎩⎨⎧=+=-+20122y x y x ，可求得6||=AB 所以∆ABC 的面积为23（20）解： (Ⅰ)设{}n a 的首项为1a ，公差为d ，1122332,1,4a b a b a b +=+=+=112112124a a d q a d q ⎧+=⎪∴++=⎨⎪++=⎩…………………………………….3分 解得：11,13a q q ==-或，< 0 , 1q ∴=-，d=1…………….6分1(1)1(1)n a a n d n n ∴+-=+-=＝…………………………………….8分（Ⅱ）记数列{}n a 及{}n b 的前n 项和分别为n S 、n T ，则n S ＝1(1)1(1)22n n na d n n -+=+, …………………….10分1(1)1(1)1(1)11(1)2n n nn b q T q -----===---……………………11分 当n 为偶数时，n T ＝0；当n 为奇数时，n T ＝1. ………………….12分 故当n 为偶数时，n P ＝n S ＝2111(1)222n n n n +=+；……………13分 当n 为奇数时，n P ＝1n S +＝2111(1)11222n n n n ++=++.…15分。