2020广州市高二数学水平测试答案

第 1 页 共 25 页2020年全国中学生数学能力测评高二年级模拟试卷一．多选题（共4小题）1．如图，点E 为正方形ABCD 边CD 上异于点C 、D 的动点，将△ADE 沿AE 翻折成△SAE ，在翻折过程中，下列说法正确的是（ ）A ．存在点E 和某一翻折位置，使得SB ⊥SEB ．存在点E 和某一翻折位置，使得AE ∥平面SBCC ．存在点E 和某一翻折位置，使得直线SB 与平面ABC 所成的角为45°D ．存在点E 和某一翻折位置，使得二面角S ﹣AB ﹣C 的大小为60°2．已知圆M ：（x ﹣1﹣cos θ）2+（y ﹣2﹣sin θ）2＝1，直线l ：kx ﹣y ﹣k +2＝0，下面五个命题，其中正确的是（ ）A ．对任意实数k 与θ，直线l 和圆M 有公共点B ．对任意实数k 与θ，直线l 与圆M 都相离C ．存在实数k 与θ，直线l 和圆M 相离D ．对任意实数k ，必存在实数θ，使得直线l 与圆M 相切E ．对任意实数θ，必存在实数k ，使得直线l 与圆M 相切3．已知双曲线C ：x 22−y 2b 2=1(a ＞0，b ＞0)，右顶点为A ，以A 为圆心，b 为半径作圆A ，圆A 与双曲线C 的一条渐近线交于M ，N 两点，若∠MAN ＝60°，则有（ ）A ．渐近线方程为y =±√33x B ．e =3√22 C ．e =2√33D ．渐近线方程为y =±√3x 4．已知椭圆C 1：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率为e 1，椭圆C 1的上顶点为M ，且MF 1→⋅MF 2→=0．双曲线C 2和椭圆C 1有相同焦点，且双曲线C 2的离心率为e 2，P 为曲线C 1与C 2的一个公共点，若∠F 1PF 2=π3，则正确的是 （ ）。

高中数学新课标测试模拟试卷（一）一、填空题（本大题共 10 道小题，每小题 3 分，共 30 分）1、数学是研究（）的科学，是刻画自然规律和社会规律的 科学语言和有效工具。

2、数学教育要使学生掌握数学的基本知识、（）、基本思想。

3、高中数学课程应具有多样性和（），使不同的学生在数学上得到不同的发展。

）能力。

4、高中数学课程应注重提高学生的数学（5、高中数学选修 2-2 的内容包括：导数及其应用、（复数的引入。

）、数系的扩充与 6、高中数学课程要求把数学探究、（块和专题内容之中。

）的思想以不同的形式渗透在各个模 7、选修课程系列 1 是为希望在（ ）等方面发展的学生设置的， 系列 2 是为希望在理工、经济等方面发展的学生设置的。

8、新课程标准的目标要求包括三个方面：知识与技能，过程与方法，（9、向量是近代数学中重要和基本的数学概念之一，它是沟通代数、几何与（ 的一种工具。

）。

）10、数学探究即数学（学习的过程。

）学习，是指学生围绕某个数学问题，自主探究、 二、判断题（本大题共 5 道小题，每小题 2 分，共 10 分）1、高中数学课程每个模块 1 学分，每个专题 2 学分。

（） 2、函数关系和相关关系都是确定性关系。

（ 3、统计是研究如何合理收集、整理、分析数据的学科，它可以为人们制定决策提供依 据。

（ 4、数学是人类文化的重要组成部分，为此，高中数学课程提倡体现数学的文化价值。

） ）（ ）5、教师应成为学生进行数学探究的领导者。

（）三、简答题（本大题共4道小题，每小题7分，共28分）1、高中数学课程的总目标是什么？2、高中数学新课程设置的原则是什么？3、评价学生在数学建模中的表现时，评价内容应关注哪几个方面？4、请简述《必修三》中《算法初步》一章的内容与要求。

四、论述题（本大题共2道小题，第一小题12分，第二小题20分）1、请完成《等差数列前n项和》第一课时的教学设计。

2、请您结合自己的教学经验，从理论和实践两个方面谈谈如何改善课堂教学中的教与学的方式，能使学生更主动地学习？答案一、填空题1、空间形式和数量关系2、基本技能3、选择性4、思维5、推理与证明6、数学建模7、人文、社会科学8、情感、态度、价值观9、三角函数10、探究性课题二、判断题1、错，改：高中数学课程每个模块2 学分，每个专题1 学分。

华南师大附中2022-2023学年第一学期期末考试高二数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分．考试用时120分钟． 注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考号等填写在答题卡上，并用铅笔在答题卡上的相应位置填涂.2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.3．回答第Ⅱ卷时，必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答卷各题目指定区域内，不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.第Ⅰ卷一、 单选题：本大题共8小题，每小题3分，满分24分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求． 1．过点()1,2-和点()0,3的直线在x 轴上的截距为（ ）A ．3B ．1C ．3-D ．1-2．设数列{}n a 的前n 项和21n S n =+，则6a 的值为（ ）A ．11B ．10C ．9D ．83．若直线l 的方向向量是()3,2,1a =，平面α的法向量是()1,2,1u =--，则l 与α的位置关系是（ ）A ．l α⊥B ．//l αC ．l 与α相交但不垂直D ．//l α或l α⊂4．若直线220x y +-=为圆22()1x a y -+=的一条对称轴，则=a （ ）A ．12B ．12-C ．1D ．1-5．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若232a a +=-，344a a +=，则8S =（ ）A ．80B ．85C ．90D ．956．已知正项等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若28793a a a --=，则158S a -的值为（ ） A ．3 B ．14 C ．28 D ．427．已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，点M 在抛物线C 的准线l 上，线段MF 与y 轴交于点A ，与抛物线C 交于点B ，若||1||3AB MA ==，，则p =（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．48．已知O 为坐标原点，P 是椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>上位于x 轴上方的点，F 为右焦点. 延长PO ，PF 交椭圆E 于Q ，R 两点，QF FR ⊥，3QF FR =，则椭圆E 的离心率为（ ）A ．3B ．2C ．3D ．4A 1二、多选题：本大题共4小题，每小题3分，满分12分. 在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求，全部选对得3分，选对但不全的得2分，有选错的得0分.9．已知数列{}n a 的前n 项和29n S n n =-+，则下列结论正确的是（ ）A ．{}n a 是等差数列B ．460a a +=C ．910a a <D ．n S 有最大值81410．已知曲线22:1C mx ny +=，则( )A ．若4m n ==，则曲线C 是圆,其半径为2B ．若0m n >>，则曲线C 是椭圆，其焦点在y轴上 C ．若曲线C过点(，(，则C 是双曲线 D ．若0mn =，则曲线C 不表示任何图形11．意大利人斐波那契于1202年从兔子繁殖问题中发现了这样的一列数：1，1，2，3，5，8，13，…．即从第三项开始，每一项都是它前两项的和．后人为了纪念他，就把这列数称为斐波那契数列．下面关于斐波那契数列{}n a 说法正确的是（ ） A ．12144a = B ．2022a 是偶数C ．20221232020a a a a a =++++ D ．2020202420223a a a +=12．抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经拋物线反射后，沿平行于拋物线对称轴的方向射出.反之，平行于拋物线对称轴的入射光线经拋物线反射后必过抛物线的焦点.已知抛物线2:,C y x O =为坐标原点.一束平行于x 轴的光线1l 从点()(),11P m m >射入，经过C 上的点()11,A x y 反射后，再经C 上另一点()22,B x y 反射后，沿直线2l 射出，经过点Q ，则（ ）A ．121y y =-B ．延长AO 交直线14x =-于点D ，则,,D B Q 三点共线 C ．2516AB =D ．若PB 平分ABQ ∠，则4116m =第Ⅱ卷三、填空题：本大题共4小题，每小题3分，满分12分．13．若双曲线221y x m-=的一条渐近线方程为3y x =，则实数m =___________．14．如图，直三棱柱111ABC A B C 中，90BCA ∠=︒，M N ，分别是11A B ，11A C 的中点，1BC CA CC ==，则BM 与AN 所成角的余弦值为______.全科试题免费下载公众号高中僧课堂15．已知正项数列{}n a 前n 项和n S 满足()()12n n n a a S m m +=+∈R ，，且3510a a +=，则m =__________. 16．如图，已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的右顶点和上顶点分别为,A B ，左焦点为F ，以原点O 为圆心的圆与直线BF 相切，且该圆与y 轴的正半轴交于点C ，过点C 的直线交椭圆于,M N 两点.若四边形FAMN 是平行四边形，且平行四边形面积为96，则椭圆的长轴长为___________.四、解答题：本大题共6小题，满分52分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算过程. 17．（本题满分8分）在ABC 中，7cos 8A =，3c =，sin 2sinB A =且b c ≠. （1）求b 的值； （2）求ABC 的面积．18．（本题满分8分）已知数列{}n a 满足194a =-且134n n a a +=. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设数列{}n b 满足30n n b na +=，求{}n b 的前n 项和为n T .19．（本题满分8分）如图，正三棱柱111ABC A B C 的所有棱长都为2，D 为1CC 中点. （1）求证：1AB ⊥平面1A BD ；（2）求二面角1A A D B --的正弦值.C 1120．（本题满分8分）如图，已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，且经过点(2A p ，)(0)m m >，||5AF =． （1）求p 和m 的值；（2）若点M ，N 在C 上，且AM AN ⊥，证明：直线MN 过定点．21．（本题满分10分）某高科技企业研制出一种型号为A 的精密数控车床，A 型车床为企业创造的价值逐年减少（以投产一年的年初到下一年的年初为A 型车床所创造价值的第一年）.若第1年A 型车床创造的价值是250万元，且第1年至第6年，每年A 型车床创造的价值减少30万元；从第7年开始，每年A 型车床创造的价值是上一年价值的50%.现用n a （*N n ∈）表示A 型车床在第n 年创造的价值.（1）求数列{}(N )n a n *∈的通项公式n a ；（2）记n S 为数列{}n a 的前n 项的和，n T =nS n，企业经过成本核算，若100n T >万元，则继续使用A 型车床，否则更换A 型车床，试问该企业须在第几年年初更换A 型车床？22．（本题满分10分）已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为12F F 、，右顶点A 在圆22:3O x y +=上，且121AF AF ⋅=-.（1）求双曲线C 的标准方程；（2）动直线l 与双曲线C 恰有1个公共点，且与双曲线C 的两条渐近线分别交于点M 、N ，设O 为坐标原点. ①求证：点M 与点N 的横坐标之积为定值； ②求MON ∆周长的最小值.，则2021122019a a a a =+++，同理2020122018a a a a =+++，2019122017a a a a =+++，依次类推，可得为原点，1,,CA CB CC 的方向为()1,0,2AN =-，()1,1,2BM =-，因为1430 cos,1056AN BMAN BMAN BM⋅-+<===⨯>，所成角的余弦值为30直线四边形FAMNS=椭圆长轴长故ABC 的面积34n ⎛⎫++⋅ ⎪⎝⎭()41n ⎫++-⎪434n ⎛⎫++- ⎪⎝⎭ABC 为正三角形正三棱柱, 又AO ⊂平面，1BB BC ⊥，1OO ⊂平面1(1,2,3),(2,1,0)AB BD ∴=-=-，1(1,2,3)BA =-. 1110,0AB BD AB BA ⋅=⋅=,1BD BA B ⋂=，且的一个法向量为(,,)n x y z =，(1,1,3)AD =--，1(0,2,0)AA =，则10n AD n AA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即，得(3,0,1)n =-.）得1(1,2,3)AB =-为平面易得2364|c |o ,28s ||n AB n AB n AB ⋅-===-⋅.B 的平面角为θ所以11(4,4)AM x y =--，22(4,4)AN x y =--，又）由题意知126,,,a a a 构成首项故()*280306,N n a n n n =-∈（万元）由题意知()*78,,,7,N n a a a n n ∈构成首顶(7*17,N 2n n n -⎫∈⎪⎭730,1n n n -≤≤⎫所以，当*12,N n n ∈时，恒有则()13,0AF c =--，()23,0AF c =-，因为121AF AF ⋅=-，所以的渐近线方程为33y x , 当直线的斜率不存在时，直线的方程为=3x ，所以3,2OD MN,所以132OM ON .此时OMN 的周长为6OM ON MN，此时3M Nx x . 当直线的斜率存在时，设其方程为(0)y kx m k ，则(,0)mD k，联立2213ykx m x y，得222(13)6330k xkmx m ，由于直线l 与双曲线所以2130k 且0m ，所以22222364(13)(33)130k m k m k，22310k m --=.则22310m k ,得33k或33k . ，由33ykx m yx ，解得3333(,),(,)33333333m mm m M N k k k k ，则222333()()333333m m mOM k k k ，222333()()333333m m m ON kk k ，22222331333()()1333333333m k m m m mMN k k k k k . 又22221331133M Nm k x x k k ，为定值，所以OMN 的周长为2221111333333k OM ON MNm k k k ，当33k时，周长为22222221112212123113333313333k k k kk m mkk k k k .当33k时，周长为 22222221112212123113333313333k k k k k m m kk kk k ,因为222222212122113113121111442kk k k kkkk k k，所以当33k 时，周长大于2336.当33k时，周长大于2336.综上所述，OMN 周长的最小值为。

广东省广州市市天河中学2020年高二数学理测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 若一条直线过A（1，3）、B（2，5）两点，则此直线的斜率为（）A．﹣2 B．﹣C．2 D．参考答案：C【考点】直线的斜率．【分析】根据两点坐标求出直线l的斜率即可．【解答】解：直线过A（1，3）、B（2，5）两点，则此直线的斜率为k==2，故选C．2. 已知函数(a>0，且a≠1)．若数列{a n}满足a n＝，且数列{a n}是递增数列，则实数a的取值范围是()A.(0,1)B.C.(2,3)D.(1,3)参考答案：C3. 某住宅小区有居民2万户，从中随机抽取200户，调查是否安装电话，调查的结果如表所示，则该小区已安装电话的户数估计有（）A．300户B．6500户C．9500户D．19000户参考答案：C【考点】总体分布的估计．【专题】概率与统计．【分析】首先根据图表提供的数据算出200户居民中安装电话的频率，用总住户乘以频率即可．【解答】解：由图表可知，调查的200户居民中安装电话的有95户，所以安装电话的居民频率为95：200根据用户样本中已安装电话的频率得：20000×=9500．所以该小区已安装电话的住户估计有9500（户）．故选C．【点评】本题考查了用样本的数字特征估计总体的数字特征，用样本的频率分布估计总体的分布，解答此类问题的关键是利用频率相等，是基础题4. 小明同学喜欢篮球，假设他每一次投篮投中的概率为，则小明投篮四次，恰好两次投中的概率是（）A. B. C. D.参考答案：D分析：利用二项分布的概率计算公式：概率即可得出．详解：：∵每次投篮命中的概率是，∴在连续四次投篮中，恰有两次投中的概率．故在连续四次投篮中，恰有两次投中的概率是．故选D.点睛：本题考查了二项分布概率计算公式，属于基础题．5. 四棱锥的底面是单位正方形(按反时针方向排列)，侧棱垂直于底面，且＝，记，则＝（） A． B． C． D．参考答案：C6. 观察下列各式：a+b=1，a2+b2=3，a3+b3=4，a4+b4=7，a5+b5=11，…，则a10+b10=（）A．28 B．76 C．123 D．199参考答案：C【考点】F1：归纳推理．【分析】观察可得各式的值构成数列1，3，4，7，11，…，所求值为数列中的第十项．根据数列的递推规律求解．【解答】解：观察可得各式的值构成数列1，3，4，7，11，…，其规律为从第三项起，每项等于其前相邻两项的和，所求值为数列中的第十项．继续写出此数列为1，3，4，7，11，18，29，47，76，123，…，第十项为123，即a10+b10=123，．故选C．7. 以（2，﹣1）为圆心且与直线3x﹣4y+5=0相交所得弦长为8的圆的标准方程为( )A．（x﹣2）2+（y+1）2=9 B．（x+2）2+（y﹣1）2=9 C．（x﹣2）2+（y+1）2=25D．（x+2）2+（y﹣1）2=25参考答案：C考点：直线与圆相交的性质．专题：直线与圆．分析：设圆的半径为r，由题意可得弦心距d==，求得r的值，可得圆的标准方程．解答：解：设圆的半径为r，由于（2，﹣1）为圆心，弦长为8，可得弦心距d==，求得 r=5，可得圆的标准方程为（x﹣2）2+（y+1）2=25，故选：C．点评：本题主要考查直线和圆相交的性质，点到直线的距离公式，弦长公式的应用，术语中档题．8. 函数的定义域为集合，函数的定义域为集合，则A． B． C．D．参考答案：A略9. 某产品的广告费用x（万元）与销售额y（万元）的统计数据如下表所示，根据表中的数据可得回归方程=x+，其中=0，据此模型预报，当广告费用为7万元时的销售额为（）参考答案：B【考点】线性回归方程．【专题】对应思想；数学模型法；概率与统计．【分析】根据表中数据计算、，由回归方程=x+过样本中心点，求出的值，再计算x=7时的值即可．【解答】解：根据表中数据，得： =×（4+2+3+5）=3.5，=×（38+20+31+51）=35；且回归方程=x+过样本中心点（，），其中=0，所以×3.5+0=35，解得=10，所以回归方程为=10x；当x=7时，=10×7=70，即广告费用为7万元时销售额为70万元．故选：B．【点评】本题考查了线性回归方程的应用问题，是基础题目10. 对任意实数，圆C：与直线的位置关系是（）A．相交B．相切 C．相离 D．与取值有关参考答案：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 曲线所围成的平面图形的面积为.参考答案：略12. 在△ABC 中，，则.参考答案：13. 某大学对名学生的自主招生水平测试成绩进行统计，得到样本频率分布直方图如图所示，现规定不低于分为合格，则合格人数人．参考答案：425略14. 正态总体的概率密度函数为（），则总体的平均数和标准差分别是.参考答案：，15. 设双曲线的半焦距为c，直线l过（a，0），（0，b）两点，已知原点到直线l的距离为，则双曲线的离心率为．参考答案：2【考点】双曲线的应用．【分析】先求出直线l的方程，利用原点到直线l的距离为，及又c2=a2+b2，求出离心率．【解答】解：∵直线l过（a，0），（0，b）两点，∴直线l的方程为： +=1，即 bx+ay﹣ab=0，∵原点到直线l的距离为，∴=．又c2=a2+b2，∴a2+b2﹣ab=0，即（a﹣b）（a﹣b）=0；∴a=b或a=b；又因为b＞a＞0，∴a=b，c=2a；故离心率为 e==2；故答案为 2．16. 一袋中有大小相同的4个红球和2个白球，给出下列结论：①从中任取3球，恰有一个白球的概率是；②从中有放回的取球6次，每次任取一球，则取到红球次数的方差为；③现从中不放回的取球2次，每次任取1球，则在第一次取到红球的条件下，第二次再次取到红球的概率为；④从中有放回的取球3次，每次任取一球，则至少有一次取到红球的概率为.其中所有正确结论的序号是________．参考答案：①②④.【分析】①根据古典概型概率公式结合组合知识可得结论；②根据二项分布的方差公式可得结果；③根据条件概率进行计算可得到第二次再次取到红球的概率；④根据对立事件的概率公式可得结果.【详解】①从中任取3个球，恰有一个白球的概率是，故①正确；②从中有放回的取球次，每次任取一球，取到红球次数，其方差为，故②正确；③从中不放回的取球2次，每次任取一球，则在第一次取到红球后，此时袋中还有3个红球2个白球，则第二次再次取到红球的概率为，故③错误；④从中有放回的取球3次，每次任取一球，每次取到红球的概率为，至少有一次取到红球的概率为，故④正确，故答案为①②④.【点睛】本题主要考查古典概型概率公式、对立事件及独立事件的概率及分二项分布与条件概率，意在考查综合应用所学知识解决问题的能力，属于中档题.解答这类综合性的概率问题一定要把事件的独立性、互斥性结合起来，要会对一个复杂的随机事件进行分析，也就是说能把一个复杂的事件分成若干个互斥事件的和，再把其中的每个事件拆成若干个相互独立的事件的积，这种把复杂事件转化为简单事件，综合事件转化为单一事件的思想方法在概率计算中特别重要.17. 顶点在原点，焦点在x轴上的抛物线经过点(2，2)，则此抛物线的方程为▲．参考答案：y2＝2x略三、解答题：本大题共5小题，共72分。

高中学业水平考试模拟测试卷(一)(时间：90分钟满分100分)一、选择题(共15小题，每小题4分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．已知集合M＝{1，2，3，4}，集合N＝{1，3，5}，则M∩N 等于()A．{2}B．{2，3}C．{1，3} D．{1，2，3，4，5}解析：M∩N＝{1，2，3，4}∩{1，3，5}＝{1，3}，故选C.答案：C2．函数f(x)＝ln(x－3)的定义域为()A．{x|x>－3} B．{x|x>0} C．{x|x>3} D．{x|x≥3}解析：由x－3>0得x>3，则定义域为{x|x>3}．故选C.答案：C3．下列命题中的假命题是()A．∀x∈R，2x－1>0 B．∀x∈N*，(x－1)2>0C．∃x∈R，lg x<1 D．∃x∈R，tan x＝2解析：当x＝1∈N*时，x－1＝0，不满足(x－1)2>0，所以B为假命题．故选B.答案：B4．设i是虚数单位，若复数z＝5(1＋i)i，则z的共轭复数为() A．－5＋5i B．－5－5i C．5－5i D．5＋5i解析：由复数z ＝5(1＋i)i ＝－5＋5i, 得z 的共轭复数为－5－5i.故选B.答案：B5．已知平面向量a ＝(0，－1)，b ＝(2，2)，|λa ＋b |＝2，则λ的值为( )A ．1＋ 2 B.2－1 C ．2 D ．1解析：λa ＋b ＝(2，2－λ)，那么4＋(2－λ)2＝4，解得，λ＝2.故选C.答案：C6．已知点A (1，2)，B (3，1)，则线段AB 的垂直平分线的方程是( )A ．4x ＋2y ＝5B ．4x －2y ＝5C ．x ＋2y ＝5D ．x －2y ＝5解析：线段AB 的中点为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，32，k AB ＝1－23－1＝－12， 所以垂直平分线的斜率k ＝－1k AB ＝2，所以线段AB 的垂直平分线的方程是y －32＝2(x －2) ⇒ 4x －2y －5＝0.故选B.答案：B7．如图(1)、(2)、(3)、(4)为四个几何体的三视图，根据三视图可以判断这四个几何体依次分别为( )A ．三棱台、三棱柱、圆锥、圆台B ．三棱台、三棱锥、圆锥、圆台C ．三棱柱、正四棱锥、圆锥、圆台D ．三棱柱、三棱台、圆锥、圆台 解析：(1)三视图复原的几何体是放倒的三棱柱．(2)三视图复原的几何体是四棱锥．(3)三视图复原的几何体是圆锥．(4)三视图复原的几何体是圆台．所以(1)(2)(3)(4)的顺序为：三棱柱、正四棱锥、圆锥、圆台．故选C.答案：C8．已知f (x )＝x ＋1x－2(x >0)，则f (x )有( ) A ．最大值为0B ．最小值为0C ．最大值为－4D ．最小值为－4解析：由x >0，可得1x >0, 即有f (x )＝x ＋1x－2≥2 x ·1x －2＝2－2＝0, 当且仅当x ＝1x，即x ＝1时，取得最小值0. 答案：B9．要完成下列两项调查：(1)某社区有100户高收入家庭，210户中等收入家庭，90户低收入家庭，从中抽取100户调查消费购买力的某项指标；(2)从某中学高二年级的10名体育特长生中抽取3人调查学习负担情况，应采取的抽样方法是( )A ．(1)用系统抽样法，(2)用简单随机抽样法B ．(1)用分层抽样法，(2)用系统抽样法C ．(1)用分层抽样法，(2)用简单随机抽样法D ．(1)(2)都用分层抽样法解析：根据简单随机抽样及分层抽样的特点，可知(1)应用分层抽样法，(2)应用简单随机抽样法．故选C.答案：C10．在△ABC 中，A ∶B ＝1∶2，sin C ＝1，则a ∶b ∶c ＝( )A ．1∶2∶3B ．3∶2∶1C ．2∶3∶1D ．1∶3∶2 解析：在△ABC 中，A ∶B ＝1∶2，sin C ＝1, 可得A ＝30°，B ＝60°，C ＝90°.a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ＝12∶32∶1＝1∶3∶2.故选D. 答案：D11．等差数列{a n }中，a 3＋a 4＋a 5＝12，那么{a n }的前7项和S 7＝( )A ．22B ．24C ．26D ．28解析：因为等差数列{a n }中，a 3＋a 4＋a 5＝12, 所以3a 4＝a 3＋a 4＋a 5＝12，解得a 4＝4，所以S 7＝7（a 1＋a 7）2＝7×2a 42＝7a 4＝28.故选D.答案：D12．抛物线y ＝14x 2的焦点到准线的距离是( ) A.14 B.12 C ．2 D ．4解析：方程化为标准方程为x 2＝4y .所以2p ＝4，p ＝2.所以焦点到准线的距离为2.故选C.答案：C13.⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π12－sin π12⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π12＋sin π12＝( ) A ．－32 B ．－12 C.12 D.32解析：⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π12－sin π12⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π12＋sin π12＝cos 2 π12－sin 2 π12＝cos π6＝32.故选D. 答案：D14．已知某几何体的三视图都是边长为2的正方形，若将该几何体削成球，则球的最大表面积是( )A ．16πB ．8πC ．4πD ．2π解析：因为三视图均为边长为2的正方形，所以几何体是边长为2的正方体，将该几何体削成球，则球的最大半径为1，表面积是4π×12＝4π.故选C.答案：C15．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝－10，a n ＋1＝a n ＋3(n ∈N *)，则S n 取最小值时，n 的值是( )A ．3B ．4C ．5D ．6解析：在数列{a n }中，由a n ＋1＝a n ＋3，得a n ＋1－a n ＝3(n ∈N *), 所以数列{a n }是公差为3的等差数列．又a 1＝－10，所以数列{a n }是公差为3的递增等差数列．由a n ＝a 1＋(n －1)d ＝－10＋3(n －1)＝3n －13≥0，解得n ≥133. 因为n ∈N *，所以数列{a n }中从第五项开始为正值．所以当n ＝4时，S n 取最小值．故选B.答案：B二、填空题(共4小题，每小题4分，共16分．)16．若点(2，1)在y ＝a x (a >0，且a ≠1)关于y ＝x 对称的图象上，则a ＝________．解析：因为点(2，1)在y ＝a x (a >0，且a ≠1)关于y ＝x 对称的图象上， 所以点(1，2)在y ＝a x (a >0，且a ≠1)的图象上，所以2＝a 1，解得a ＝2.答案：217．已知f (x )＝x 2＋(m ＋1)x ＋(m ＋1)的图象与x 轴没有公共点，则m 的取值范围是________(用区间表示)．解析：依题意Δ＝(m ＋1)2－4(m ＋1)＝(m ＋1)(m －3)<0⇒－1<m <3, 故m 的取值范围用区间表示为(－1，3)．答案：(－1，3)18．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧lg x ，x >0，10x ，x ≤0，则f (f (－2))＝________．解析：因为x ＝－2<0，所以f (－2)＝10－2＝1100>0, 所以f (10－2)＝lg10－2＝－2，即f (f (－2))＝－2.答案：－2 19．已知4x ＋9y＝1，且x >0，y >0，则x ＋y 的最小值是________． 解析：因为4x ＋9y ＝1，且x >0，y >0, 所以x ＋y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋9y (x ＋y )＝13＋4y x ＋9x y ≥13＋2 4y x ·9x y ＝25， 当且仅当4y x ＝9x y，即x ＝10且y ＝15时取等号． 答案：25三、解答题(共2小题，每小题12分，共24分．解答须写出文字说明，证明过程和演算步骤．)20．已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2c ·cos B －b ＝2a .(1)求角C 的大小；(2)设角A 的平分线交BC 于D ，且AD ＝3，若b ＝2，求△ABC 的面积．解：(1)由已知及余弦定理得2c ×a 2＋c 2－b 22ac＝2a ＋b, 整理得a 2＋b 2－c 2＝－ab, 所以cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝－ab 2ab ＝－12， 又0<C <π， 所以C ＝2π3，即角C 的大小为2π3. (2)由(1)知C ＝2π3，依题意画出图形．在△ADC 中，AC ＝b ＝2，AD ＝3，由正弦定理得sin ∠CDA ＝AC ×sin C AD ＝23×32＝22， 又△ADC 中，C ＝2π3， 所以∠CDA ＝π4， 故∠CAD ＝π－2π3－π4＝π12. 因为AD 是角∠CAB 的平分线， 所以∠CAB ＝π6， 所以△ABC 为等腰三角形，且BC ＝AC ＝ 2.所以△ABC 的面积S ＝12BC ·AC ·sin 2π3＝12×2×2×32＝32. 21．已知圆C 经过A (3，2)、B (1，6)两点，且圆心在直线y ＝2x 上．(1)求圆C 的方程；(2)若直线l 经过点P (－1，3)且与圆C 相切，求直线l 的方程． 解：(1)方法1：设圆C 的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r >0), 依题意得，⎩⎪⎨⎪⎧（3－a ）2＋（2－b ）2＝r 2，（1－a ）2＋（6－b ）2＝r 2，b ＝2a ，解得a ＝2，b ＝4，r 2＝5.所以圆C 的方程为(x －2)2＋(y －4)2＝5. 方法2：因为A (3，2)、B (1，6)，所以线段AB 中点D 的坐标为(2，4), 直线AB 的斜率k AB ＝6－21－3＝－2，因此直线AB 的垂直平分线l '的方程是y －4＝12(x －2)，即x －2y ＋6＝0. 圆心C 的坐标是方程组⎩⎨⎧x －2y ＋6＝0，y ＝2x ，的解．解此方程组，得⎩⎨⎧x ＝2，y ＝4，即圆心C 的坐标为(2，4)． 圆C 的半径长r ＝|AC |＝（3－2）2＋（2－4）2＝ 5.所以圆C 的方程为(x －2)2＋(y －4)2＝5.(2) 由于直线l 经过点P (－1，3),当直线l 的斜率不存在时，x ＝－1与圆C ：(x －2)2＋(y －4)2＝5相离，不合题意．当直线l 的斜率存在时，可设直线l 的方程为y －3＝k (x ＋1)，即kx －y ＋k ＋3＝0.因为直线l 与圆C 相切，且圆C 的圆心为(2，4)，半径为5，所以有|2k －4＋k ＋3|k 2＋1＝ 5.解得k ＝2或k ＝－12. 所以直线l 的方程为y －3＝2(x ＋1)或y －3＝－12(x ＋1), 即2x －y ＋5＝0或x ＋2y －5＝0.高中学业水平考试模拟测试卷(二)(时间：90分钟 满分100分)一、选择题(共15小题，每小题4分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．已知集合M ＝{－1，0，1}，N ＝{0，1，2}，则M ∪N ＝( )A ．{－1，0，1，2}B ．{－1，0，1}C ．{－1，0，2}D ．{0，1}解析：因为集合M ＝{－1，0，1}，N ＝{0，1，2}, 所以M ∪N ＝{－1，0，1，2}．答案：A2．“sin A ＝12”是“A ＝30°”的( ) A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：因为sin 30°＝12，所以“sin A ＝12”是“A ＝30°”的必要条件；150°，390°等角的正弦值也是12，故“sin A ＝12”不是“A ＝30°”的充分条件．故选B. 答案：B3．已知a ＝(4，2)，b ＝(6，y )，且a ⊥b ，则y 的值为( )A ．－12B ．－3C ．3D ．12 解析：因为a ＝(4，2)，b ＝(6，y )，且a ⊥b,所以a ·b ＝0，即4×6＋2y ＝0， 解得y ＝－12.故选A. 答案：A4．若a <b <0，则下列不等式：①|a |>|b |；②1a >1b ；③a b ＋b a >2；④a 2<b 2中，正确的有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个解析：对于①，根据不等式的性质，可知若a <b <0，则|a |>|b |，故正确；对于②，若a <b <0，两边同除以ab ，则a ab <bab ，即1b <1a ，故正确；对于③，若a <b <0，则a b >0，b a >0，根据基本不等式即可得到a b ＋ba >2，故正确； 对于④，若a <b <0，则a 2>b 2，故不正确．故选C.答案：C5．已知α是第二象限角，sin α＝513，则cos α＝( )A ．－513B ．－1213C.513D.1213解析：因为α是第二象限角，sin α＝513，所以cos α＝－ 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫5132＝－1213.故选B. 答案：B6．下列函数中，既是偶函数，又在区间(0，＋∞)上单调递减的函数是( )A ．y ＝x －2B ．y ＝x －1C ．y ＝x 2－2D ．y ＝log 12x解析：因为y ＝x －1是奇函数，y ＝log 12x 不具有奇偶性，故排除B ，D ；又函数y ＝x 2－2在区间(0，＋∞)上是单调递增函数，故排除C.故选A.答案：A7．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －3y ＋6≥0，x －y ＋2<0，表示的平面区域是( )解析：由题意可知，(0，0)在x －3y ＋6＝0的下方，满足x －3y ＋6≥0；(0，0)在直线x －y ＋2＝0的下方，不满足x －y ＋2<0. 故选B.答案：B8．一个容量为20的样本数据，分组后，组距与频数如下，A.120B.14C.12D.710解析：根据题意，样本在(10，50]上的频数为2＋3＋4＋5＝14, 所求的频率为P ＝1420＝710.故选D.答案：D9．cos 40°sin 80°＋sin 40°sin 10°＝( ) A.12B ．－32C ．cos 50° D.32解析：cos 40°sin 80°＋sin 40°sin 10°＝cos 40°cos 10°＋sin 40°sin 10°＝cos(40°－10°)＝32.答案：D10．函数y ＝log 2(x 2－3x ＋2)的递减区间是( )A ．(－∞，1)B ．(2，＋∞) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，32 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫32，＋∞ 解析：由x 2－3x ＋2>0，得x <1或x >2，又y ＝log 2(x 2－3x ＋2)的底数是2，所以在(－∞，1)上递减．故选A.答案：A11．为了大力弘扬中华优秀传统文化，某校购进了《三国演义》《水浒传》《红楼梦》和《西游记》若干套，如果每班每学期可以随机领取两套不同的书籍，那么该校高一(1)班本学期领到《三国演义》和《水浒传》的概率为( )A.23B.12C.14D.16解析：记《三国演义》《水浒传》《红楼梦》和《西游记》为a 、b 、c 、d ，则该校高一(1)班本学期领到两套书的所有情况有ab 、ac 、ad 、bc 、bd 、 cd 共6种，符合条件的情况为ab 共1种，故概率为16，选D.答案：D12．将函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π8的图象沿x 轴向左平移m (m ＞0)个单位后，得到一个奇函数的图象，则m 的最小值为( )A.7π16B.15π16C.7π8D.π16解析：y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π8的图象向左平移m 个单位长度后得到y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2（x ＋m ）＋π8， 因为y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2（x ＋m ）＋π8为奇函数， 所以sin ⎝⎛⎭⎪⎫2m ＋π8＝0. 所以2m ＋π8＝k π，k ∈Z ，即有m ＝k π2－π16，k ∈Z ，所以正数m 的最小值为7π16.答案：A13．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为3，则双曲线的渐近线方程为( )A ．y ＝±2xB ．y ＝±22xC ．y ＝±12x D ．y ＝±2x解析：由双曲线的离心率为3， 则e ＝ca ＝3，即c ＝3a,b ＝c 2－a 2＝3a 2－a 2＝2a ，由双曲线的渐近线方程为y ＝±ba x, 得其渐近线方程为y ＝±2x .故选D.答案：D14．函数f (x )＝log 2x ＋x －2的零点所在的区间是( ) A ．(0，1)B ．(1，2)C ．(2，3)D ．(3，4)解析：函数f (x )＝log 2x ＋x －2的图象在(0，＋∞)上连续不断，f (1)＝0＋1－2<0，f (2)＝1＋2－2>0，故函数f (x )＝log 2x ＋x －2的零点所在的区间是(1，2)．故选B. 答案：B15．已知向量AC →，AD →和AB →在正方形网格中的位置如图所示，若AC →＝λAB→＋μAD →，则λ＋μ＝( )A ．2B ．－2C ．3D ．－3解析：以A 为原点，AD 所在直线为x 轴，与AD 垂直的直线为y 轴建立直角坐标系，那么AD →＝(1，0)，AB →＝(1，2)，AC →＝(2，－2)，那么⎩⎨⎧λ＋μ＝2，2λ＝－2，解得λ＝－1，μ＝3，所以λ＋μ＝2.故选A.答案：A二、填空题(共4小题，每小题4分，共16分．)16．函数y ＝a x －1＋1(a >0，且a ≠1)的图象恒过定点________． 解析：当x －1＝0，即x ＝1时，y ＝2.所以函数y ＝a x －1＋1(a >0，且a ≠1)的图象恒过定点(1，2)．答案：(1，2)17．等差数列{a n }中，a 2＝3，a 3＋a 4＝9，则a 1a 6＝________． 解析：由等差数列的通项公式可得，a 3＋a 4＝2a 1＋5d ＝9，a 1＋d ＝3，所以a 1＝2，d ＝1，所以a 1a 6＝2×7＝14.答案：1418．某学院A ，B ，C 三个专业共有1 200名学生，为了调查这些学生勤工俭学的情况，拟用分层抽样的方法抽取一个容量为120的样本．已知该学院A 专业有380名学生，B 专业有420名学生，则该学院C 专业应抽取________名学生．解析：抽样比为1∶10，而C 学院的学生有 1 200－380－420＝400(名)，所以按抽样比抽取40名．答案：4019．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，则∠A 的度数为________．解析：根据正弦定理可得，sin B cos C ＋sin C cos B ＝sin 2A ⇔sin(B ＋C )＝sin 2A ，而sin(B ＋C )＝sin A ，所以sin A ＝sin 2A ，所以sin A ＝1，所以∠A ＝90°.答案：90°三、解答题(共2小题，每小题12分，共24分．解答须写出文字说明，证明过程和演算步骤．)20．已知函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6＋a ，a 为常数．(1)求函数f (x )的最小正周期；(2)若x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，f (x )的最小值为－2，求a 的值．解：(1)f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＋a . 所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.(2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，5π6，所以x ＝0时，f (x )取得最小值，即2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＋a ＝－2，故a ＝－1.21．已知函数f (x )＝1＋1x －x α(α∈R)，且f (3)＝－53.(1)求α的值； (2)求函数f (x )的零点；(3)判断f (x )在(－∞，0)上的单调性，并给予证明． 解：(1)由f (3)＝－53，得1＋13－3α＝－53，解得α＝1.(2)由(1)，得f (x )＝1＋1x －x .令f (x )＝0，即1＋1x －x ＝0，也就是x 2－x －1x ＝0，解得x ＝1±52.经检验，x ＝1±52是1＋1x －x ＝0的根， 所以函数f (x )的零点为1±52.(3)函数f (x )＝1＋1x －x 在(－∞，0)上是减函数．证明如下：设x 1，x 2∈(－∞，0)，且x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x 1－x 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x 2－x 2＝(x 2－x 1)⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 1x 2＋1. 因为x 1<x 2<0，所以x 2－x 1>0，x 1x 2>0，所以f (x 1)－f (x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2)，所以f (x )＝1＋1x －x 在(－∞，0)上是减函数．高中学业水平考试模拟测试卷(三)(时间：90分钟 满分100分)一、选择题(共15小题，每小题4分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．已知集合M ＝{－1，0，1}，N ＝{x |x 2＝x }，则M ∩N ＝( ) A ．{1}B ．{0，1}C ．{－1，0}D ．{－1，0，1}解析：x 2－x ＝0⇒x (x －1)＝0⇒N ＝{0，1}，所以M ∩N ＝{0，1}． 答案：B2．已知等比数列{a n }的公比为2，则a 4a 2值为( )A.14B.12C ．2D ．4解析：a 4a 2＝q 2＝4.答案：D3．已知a ⊥b ，|a |＝2，|b |＝3且向量3a ＋2b 与ka －b 互相垂直，则k 的值为( )A ．－32B.32C ．±32D ．1解析：命题“存在x 0∈R ，x 20－1＝0”的否定为“对任意的x ∈R ，x 2－1≠0”．答案：D4．直线l 过点(1，－2)，且与直线2x ＋3y －1＝0垂直，则l 的方程是( )A ．2x ＋3y ＋4＝0B ．2x ＋3y －8＝0C ．3x －2y －7＝0D ．3x －2y －1＝0解析：设直线l ：3x －2y ＋c ＝0，因为(1，－2)在直线上，所以3－2×(－2)＋c ＝0，解得c ＝－7，即直线l 的方程为3x －2y －7＝0.答案：C5．已知直线的点斜式方程是y －2＝－3(x －1)，那么此直线的倾斜角为( )A.π6B.π3C.2π3D.5π6解析：因为k ＝tan α＝－3， 所以α＝π－π3＝2π3，故选C.答案：C6．已知复数z 满足z i ＝2＋i ，i 是虚数单位，则|z |＝( ) A.2B. 3C ．2D. 5解析：由题意得z ＝2＋ii ＝1－2i ，所以|z |＝ 5. 答案：D7．要得到函数y ＝cos(2x ＋1)的图象，只要将函数y ＝cos 2x 的图象( )A ．向左平移1个单位B ．向右平移1个单位C ．向左平移12个单位D ．向右平移12个单位解析：y ＝cos 2x →y ＝cos(2x ＋1)＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋12.故选C.答案：C8．下列说法不正确的是( )A ．空间中，一组对边平行且相等的四边形一定是平行四边形B ．同一平面的两条垂线一定共面C ．过直线上一点可以作无数条直线与这条直线垂直，且这些直线都在同一个平面内D ．过一条直线有且只有一个平面与已知平面垂直解析：A ．一组对边平行且相等就决定了是平行四边形，故A 正确； B ．由线面垂直的性质定理知，同一平面的两条垂线互相平行，因而共面，故B 正确； C ．由线面垂直的定义知，这些直线都在同一个平面内即直线的垂面，故C 正确；D ．由实际例子，如把书本打开，且把书脊垂直放在桌上，则由无数个平面满足题意，故D 不正确．故选D.9．函数f (x )＝x 3－2的零点所在的区间是( ) A ．(－2，0) B ．(0，1)C ．(1，2)D ．(2，3)解析：因为f (1)＝13－2＝－1<0，f (2)＝23－2＝6>0.所以零点所在的区间为(1，2)．答案：C10．已知等差数列{a n }中，a 2＝2，a 4＝6，则前4项的和S 4等于( ) A ．8B ．10C ．12D ．14解析：设等差数列{a n }的公差为d ，则a 4＝a 2＋(4－2)d ⇒d ＝6－22＝2，a 1＝a 2－d ＝2－2＝0，所以S 4＝4（a 1＋a 4）2＝2(0＋6)＝12.故选C.答案：C11．某几何体的三视图及其尺寸如图所示，则这个几何体的体积是( )A ．6B ．9C ．18D ．36解析：由题意可知，几何体是以正视图为底面的三棱柱， 其底面面积S ＝12×4×52－42＝6，高是3，所以它的体积为V ＝Sh ＝18.故选C.12．双曲线x 2m －y 23＋m ＝1的一个焦点为(2，0)，则m 的值为( )A.12B ．1或3C.1＋22D.2－12解析：因为双曲线的焦点为(2，0)，在x 轴上且c ＝2，所以m ＋3＋m ＝c 2＝4，所以m ＝12.答案：A13．设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －6≤0，x －3y ＋2≤0，3x －y －2≥0，则z ＝x －2y 的最小值为( )A ．－10B ．－6C ．－1D ．0解析：由z ＝x －2y 得y ＝12x －z2，作出不等式组对应的平面区域如图(阴影部分)，平移直线y ＝12x －z2，由图象可知，当直线y ＝12x －z 2过点B 时，直线y ＝12x －z2的截距最大，此时z 最小，由⎩⎨⎧x ＋y －6＝0，3x －y －2＝0，解得⎩⎨⎧x ＝2，y ＝4，即B (2，4)．代入目标函数z ＝x －2y ，得z ＝2－8＝－6，所以目标函数z ＝x －2y 的最小值是－6.故选B. 答案：B14.sin 47°－sin 17°cos 30°cos 17°＝( )A ．－32B ．－12C.12D.32解析：sin 47°－sin 17°cos 30°cos 17°＝sin （30°＋17°）－sin 17°cos 30°cos 17°＝sin 30°cos 17°＋cos 30°sin 17°－sin 17°cos 30°cos 17°＝sin 30°cos 17°cos 17°＝sin 30°＝12.故选C.答案：C15．小李从甲地到乙地的平均速度为a ，从乙地到甲地的平均速度为b (a >b >0)，他往返甲、乙两地的平均速度为v ，则( )A ．v ＝a ＋b 2B ．v ＝ab C.ab <v <a ＋b 2 D ．b <v <ab解析：设甲地到乙地的距离为s .则他往返甲、乙两地的平均速度为v ＝2ss a ＋s b ＝2aba ＋b ，因为a >b >0，所以2aa ＋b>1，所以v ＝2aba ＋b >b .v ＝2aba ＋b <2ab2ab ＝ab .所以b <v <ab .故选D. 答案：D二、填空题(共4小题，每小题4分，共16分．)16．首项为1，公比为2的等比数列的前4项和S 4＝________． 解析：S 4＝1－241－2＝15.答案：1517．若函数f (x )＝log a (x ＋m )＋1(a >0且a ≠1)恒过定点(2，n )，则m ＋n 的值为________．解析：f (x )＝log a (x ＋m )＋1过定点(2，n )，则log a (2＋m )＋1＝n 恒成立，所以⎩⎨⎧2＋m ＝1，1＝n ，⇒⎩⎨⎧m ＝－1，n ＝1，所以m ＋n ＝0.答案：018．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x >0，3x ，x ≤0，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14的值是________．解析：f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝log 214＝－2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝f (－2)＝3－2＝19.答案：1919．已知椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，离心率为55，且过点P (－5，4)，则椭圆的方程为______________．解析：设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，将点(－5，4)代入得25a 2＋16b 2＝1， 又离心率e ＝c a ＝55，即e 2＝c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝15，所以a 2＝45，b 2＝36，故椭圆的方程为x 245＋y 236＝1.答案：x 245＋y 236＝1三、解答题(共2小题，每小题12分，共24分．解答须写出文字说明，证明过程和演算步骤．)20．已知圆C ：(x －1)2＋y 2＝9内有一点P (2，2)，过点P 作直线l 交圆C 于A 、B 两点．(1)当l 经过圆心C 时，求直线l 的方程； (2)当弦AB 被点P 平分时，求直线l 的方程； (3)当直线l 的倾斜角为45°时，求弦AB 的长．解：(1)已知圆C ：(x －1)2＋y 2＝9的圆心为C (1，0)，因为直线过点P 、C ，所以直线l 的斜率为2，直线l 的方程为y ＝2(x －1)，即2x －y －2＝0.(2)当弦AB 被点P 平分时，l ⊥PC ，直线l 的方程为y －2＝－12(x －2)，即x ＋2y －6＝0.(3)当直线l 的倾斜角为45°时，斜率为1，直线l 的方程为y －2＝x －2，即x －y ＝0.圆心到直线l 的距离为12，圆的半径为3，所以弦AB 的长为232－⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝34.21．已知等差数列{a n }满足a 2＋a 5＝8，a 6－a 3＝3. (1)求数列{a n }的前n 项和S n ；(2)若b n ＝1S n＋3·2n －2，求数列{b n }的前n 项和T n .解：(1)由a 6－a 3＝3得数列{a n }的公差d ＝a 6－a 33＝1，由a 2＋a 5＝8，得2a 1＋5d ＝8，解得a 1＝32，所以S n ＝na 1＋n （n －1）2d ＝n （n ＋2）2.(2)由(1)可得1S n ＝2n （n ＋2）＝1n －1n ＋2，所以b n ＝1S n ＋3·2n －2＝1n －1n ＋2＋3·2n －2.所以T n ＝b 1＋b 2＋b 3＋…＋b n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－14＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1n －1n ＋2＋32(1＋2＋…＋2n －1)＝⎝⎛⎭⎪⎫1＋12＋13＋…＋1n －(13＋14＋…＋1n ＋1n ＋1＋1n ＋2)＋32×2n－12－1＝32－1n ＋1－1n ＋2＋32×(2n －1)＝3·2n －1－1n ＋1－1n ＋2.高中学业水平考试模拟测试卷(四)(时间：90分钟 满分100分)一、选择题(共15小题，每小题4分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．已知集合P ＝{1，2}，Q ＝{2，3}，全集U ＝{1，2，3}，则∁U (P ∩Q )等于( )A ．{3}B ．{2，3}C ．{2}D ．{1，3}解析：因为全集U ＝{1，2，3}，集合P ＝{1，2}，Q ＝{2，3}，所以P ∩Q ＝{2}，所以∁U (P ∩Q )＝{1，3}，故选D. 答案：D2．圆x 2＋y 2－4x ＋6y ＋11＝0的圆心和半径分别是( ) A ．(2，－3)； 2 B ．(2，－3)；2 C ．(－2，3)；1D ．(－2，3)； 2解析：圆x 2＋y 2－4x ＋6y ＋11＝0的标准方程为(x －2)2＋(y ＋3)2＝2，据此可知圆心坐标为(2，－3)，圆的半径为2，故选A.答案：A3．已知a ⊥b ，|a |＝2，|b |＝3且向量3a ＋2b 与ka －b 互相垂直，则k 的值为( )A ．－32B.32C ．±32D ．1解析：因为3a ＋2b 与ka －b 互相垂直， 所以(3a ＋2b )·(ka －b )＝0， 所以3ka 2＋(2k －3)a ·b －2b 2＝0， 因为a ⊥b ，所以a ·b ＝0， 所以12k －18＝0，k ＝32.答案：B4．若cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12－θ＝13，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12＋θ＝( )A.13 B.223C ．－13D ．－223解析：因为cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12－θ＝13， 所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12＋θ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝⎛⎭⎪⎫π12－θ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12－θ＝13，故选A.答案：A5．已知函数f (x )＝x ＋1＋1x －2，则f (x )的定义域是( )A ．[－1，2)B ．[－1，＋∞)C ．(2，＋∞)D ．[－1，2)∪(2，＋∞)解析：根据题意得⎩⎨⎧x ＋1≥0，x －2≠0，解得x ≥－1且x ≠2，故f (x )的定义域为[－1，2)∪(2，＋∞)，故选D.答案：D6．若双曲线x 2a －y 2＝1的一条渐近线方程为y ＝3x ，则正实数a 的值为( )A ．9B ．3C.13D.19解析：双曲线x 2a －y 2＝1的渐近线方程为y ＝±xa ，由题意可得1a ＝3，解得a ＝19，故选D.答案：D7．若直线l 过点(－1，2)且与直线2x －3y ＋4＝0垂直，则l 的方程为( )A ．3x ＋2y －1＝0B ．2x ＋3y －1＝0C ．3x ＋2y ＋1＝0D ．2x －3y －1＝0解析：因为2x －3y ＋4＝0的斜率k ＝23，所以直线l 的斜率k ′＝－32，由点斜式可得l 的方程为y －2＝－32(x ＋1)，即3x ＋2y －1＝0，故选A.答案：A8．已知AB →＝(1，－1，0)，C (0，1，－2)，若CD →＝2AB →，则点D 的坐标为( )A ．(－2，3，－2)B ．(2，－3，2)C ．(－2，1，2)D ．(2，－1，－2)解析：设点D 的坐标为(x ，y ，z )，又C (0，1，－2)，所以CD→＝(x ，y －1，z ＋2)，因为AB→＝(1，－1，0)，CD →＝2AB →，所以(x ，y －1，z ＋2)＝(2，－2，0)，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－1，z ＝－2，则点D 的坐标为(2，－1，－2)．故选D.答案：D9．已知平面α，β和直线m ，直线m 不在平面α，β内，若α⊥β，则“m ∥β”是“m ⊥α”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：由α⊥β，m ∥β，可得m ⊥α或m ∥α或m 与α既不垂直也不平行，故充分性不成立；由α⊥β，m ⊥α可得m ∥β，故必要性成立，故选B.答案：B10．将函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象经怎样平移后，所得的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12，0成中心对称( ) A ．向左平移π12个单位 B ．向右平移π12个单位C ．向左平移π6个单位 D ．向右平移π6个单位解析：将函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象向左平移φ个单位，得y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋2φ＋π3的图象，因为该图象关于点⎝⎛⎭⎪⎫－π12，0成中心对称，所以2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12＋2φ＋π3＝k π(k ∈Z)，则φ＝k π2－π12(k ∈Z)，当k ＝0时，φ＝－π12，故应将函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象向右平移π12个单位，选B. 答案：B11．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若C ＝π3，c＝7，b ＝3a ，则△ABC 的面积为( )A.2－34B.334C. 2D.2＋34解析：已知C ＝π3，c ＝7，b ＝3a ，所以由余弦定理可得7＝a 2＋b 2－ab ＝a 2＋9a 2－3a 2＝7a 2，解得a ＝1，则b ＝3，所以S △ABC ＝12ab sin C ＝12×1×3×32＝334.故选B.答案：B12．函数y ＝x 33x －1的图象大致是( )解析：因为y ＝x 33x－1的定义域为{x |x ≠0}，所以排除选项A ；当x ＝－1时，y ＝32>0，故排除选项B ；当x →＋∞时，y →0，故排除选项D ，故选C.答案：C13．若实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤2，2x －3y ≤9，x ≥0，则z ＝x 2＋y 2的最大值是( )A.10B ．4C ．9D ．10解析：作出约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤2，2x －3y ≤9，x ≥0，的可行域，如图中阴影部分所示，因为A (0，－3)，C (0，2)，所以|OA |>|OC |.联立⎩⎨⎧x ＋y ＝2，2x －3y ＝9，解得B (3，－1)．因为x 2＋y 2的几何意义为可行域内的动点与原点距离的平方，且|OB |2＝9＋1＝10，所以z ＝x 2＋y 2的最大值是10.故选D.答案：D14．已知等差数列{a n }的前n 项和是S n ，公差d 不等于零，若a 2，a 3，a 6成等比数列，则( )A ．a 1d >0，dS 3>0B ．a 1d >0，dS 3<0C ．a 1d <0，dS 3>0D ．a 1d <0，dS 3<0解析：由a 2，a 3，a 6成等比数列，可得a 23＝a 2a 6，则(a 1＋2d )2＝(a 1＋d)(a1＋5d)，即2a1d＋d2＝0，因为公差d不等于零，所以a1d<0，2a1＋d＝0，所以dS3＝d(3a1＋3d)＝32d2>0.故选C.答案：C15．如图所示，在正三角形ABC中，D，E，F分别为各边的中点，G，H，I，J分别为AF，AD，BE，DE的中点．将△ABC沿DE，EF，DF折成三棱锥以后，HG与IJ所成角的度数为()A．90°B．60°C．45°D．0°解析：将△ABC沿DE，EF，DF折成三棱锥以后，点A，B，C 重合为点M，得到三棱锥M-DEF，如图．因为I、J分别为BE、DE 的中点，所以IJ∥侧棱MD，故GH与IJ所成的角等于侧棱MD与GH 所成的角．因为∠AHG＝60°，即∠MHG＝60°，所以GH与IJ所成的角的度数为60°，故选B.答案：B二、填空题(共4小题，每小题4分，共16分．)16．设公比不为1的等比数列{a n }满足a 1a 2a 3＝－18，且a 2，a 4，a 3成等差数列，则公比q ＝______，数列{a n }的前4项的和为_______．解析：公比不为1的等比数列{a n }满足a 1a 2a 3＝－18，所以a 32＝－18，解得a 2＝－12，a 3＝－12q ，a 4＝－12q 2，又a 2，a 4，a 3成等差数列，故2a 4＝a 2＋a 3，解得q ＝－12，a 1＝1，由S n ＝a 1（1－q n ）1－q可得S 4＝58.答案：－12 5817．设函数f (x )(x ∈R)满足|f (x )－x 2|≤14，|f (x )＋1－x 2|≤34，则f (1)＝________．解析：由|f (x )－x 2|≤14，得－14≤f (x )－x 2≤14.由|f (x )＋1－x 2|≤34，得－34≤f (x )－x 2＋1≤34，即－74≤f (x )－x 2≤－14， 所以f (x )－x 2＝－14，则f (1)－1＝－14，故f (1)＝34.答案：3418．若半径为10的球面上有A 、B 、C 三点，且AB ＝83，∠ACB ＝60°，则球心O 到平面ABC 的距离为________．解析：在△ABC 中，AB ＝83，∠ACB ＝60°，由正弦定理可求得其外接圆的直径为83sin 60°＝16，即半径为8，又球心在平面ABC 上的射影是△ABC 的外心，故球心到平面ABC 的距离、球的半径及三角形外接圆的半径构成了一个直角三角形，设球面距为d ，则有d 2＝102－82＝36，解得d ＝6.故球心O 到平面ABC 的距离为6.答案：619．已知动点P 是边长为2的正方形ABCD 的边上任意一点，MN 是正方形ABCD 的外接圆O 的一条动弦，且MN ＝2，则PM →·PN →的取值范围是________．解析：如图，取MN 的中点H ，连接PH ，则PM →＝PH →＋12NM →＝PH →－12MN →，PN →＝PH →＋12MN →.因为MN ＝2，所以PM →·PN →＝PH →2－14MN →2＝PH →2－12≥－12，当且仅当点P ，H 重合时取到最小值．当P ，H 不重合时，连接PO ，OH ，易得OH ＝22， 则PH →2＝(PO →＋OH →)2＝PO →2＋2PO →·OH→＋OH →2＝PO →2＋12－2|PO →||OH →|·cos ∠POH ＝PO →2＋12－2|PO →|·cos ∠POH ≤PO →2＋12＋2|PO →|≤32＋2，当且仅当P ，O ，H 三点共线，且P 在A ，B ，C ，D 其中某一点处时取到等号，所以PM →·PN→＝PH →2－12≤2＋1， 故PM →·PN →的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，2＋1. 答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，2＋1三、解答题(共2小题，每小题12分，共24分．解答须写出文字说明，证明过程和演算步骤．)20．已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若sin 2A ＋sin 2B －sin 2C ＝sin A sin B .(1)求角C 的大小；(2)若△ABC 的面积为23，c ＝23，求△ABC 的周长． 解：(1)由sin 2 A ＋sin 2 B －sin 2 C ＝sin A sin B 及正弦定理，得a 2＋b 2－c 2＝ab ，由余弦定理得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝12，因为C ∈(0，π)，所以C ＝π3.(2)由(1)知C ＝π3.由△ABC 的面积为23得12ab ·32＝23，解得ab ＝8，由余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－2ab ×12＝(a ＋b )2－3ab ＝12，所以(a ＋b )2＝36，a ＋b ＝6， 故△ABC 的周长为6＋2 3.21．如图，直线l 与椭圆C ：x 24＋y 22＝1交于M ，N 两点，且|MN |＝2，点N 关于原点O 的对称点为P .(1)若直线MP 的斜率为－12，求此时直线MN 的斜率k 的值；(2)求点P 到直线MN 的距离的最大值．解：(1)设直线MP 的斜率为k ′，点M (x ，y )，N (s ，t )， 则P (－s ，－t )，k ′＝－12，且x 24＋y 22＝1，s 24＋t 22＝1，所以y 2＝2－x 22，t 2＝2－s22.又k ′·k ＝y ＋t x ＋s ·y －t x －s ＝y 2－t 2x 2－s 2＝⎝⎛⎭⎪⎫2－x 22－⎝ ⎛⎭⎪⎫2－s 22x 2－s 2＝－12.且k ′＝－12，所以k ＝1.(2)当直线MN 的斜率k 存在时，设其方程为y ＝kx ＋m ，由⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 22＝1，y ＝kx ＋m ，消去y ，得(1＋2k 2)x 2＋4kmx ＋2m 2－4＝0，则Δ＝8(4k 2－m 2＋2)>0， x 1＋x 2＝－4km1＋2k 2，x 1·x 2＝2m 2－41＋2k2， 由|MN |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋k 2·8（4k 2－m 2＋2）1＋2k2＝2， 化简得m 2＝（2k 2＋1）（2k 2＋3）2k 2＋2. 设点O 到直线MN 的距离为d ，则P 到MN 的距离为2d ， 又d ＝|m |1＋k2，则4d 2＝4（2k 2＋1）（2k 2＋3）（2k 2＋2）（k 2＋1）＝ 2（4k 4＋8k 2＋3）k 4＋2k 2＋1＝8－2（k 2＋1）2<8，所以0<2d <2 2.当直线MN 的斜率不存在时， 则M (－2，1)，N (－2，－1)，则P (2，1)，此时点P 到直线MN 的距离为2 2. 综上，点P 到直线MN 的距离的最大值为2 2.高中学业水平考试模拟测试卷(五)(时间：90分钟 满分100分)一、选择题(共15小题，每小题4分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．集合A ＝{1，2，3}，B ＝{2，4，5}，则A ∪B ＝( ) A ．{2}B ．{6}C ．{1，3，4，5，6}D ．{1，2，3，4，5}解析：A ∪B ＝{1，2，3}∪{2，4，5}＝{1，2，3，4，5}，故选D. 答案：D2．设p ：log 2x 2>2，q ：x >2，则p 是q 成立的( ) A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：由log 2x 2>2得，x 2>4，解得x <－2或x >2，所以p 是q 成立的必要不充分条件．故选A.答案：A3．角θ的终边经过点P (4，y )，且sin θ＝－35，则tan θ＝( )A ．－43B.43C ．－34D.34解析：因为角θ的终边经过点P (4，y )， 且sin θ＝－35＝y16＋y 2，所以y ＝－3，则tan θ＝y4＝－34，故选C.答案：C4．某超市货架上摆放着某品牌红烧牛肉方便面，如图是它们的三视图，则货架上的红烧牛肉方便面至少有( )A ．8桶B ．9桶C ．10桶D ．11桶解析：易得第一层有4桶，第二层最少有3桶，第三层最少有2桶，所以至少共有9桶，故选B.答案：B5．在等差数列{a n }中，a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝450，则a 2＋a 8等于( )A ．45B ．75C ．180D ．360解析：由a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝(a 3＋a 7)＋(a 4＋a 6)＋a 5＝5a 5＝450，得到a 5＝90，则a 2＋a 8＝2a 5＝180.故选C.答案：C6．已知过点A (－2，m )和B (m ，4)的直线与直线2x ＋y ＋1＝0平行，则m 的值为( )A ．－8B ．0C ．2D ．10解析：因为直线2x ＋y ＋1＝0的斜率等于－2，且过点A (－2，m )和B (m ，4)的直线与直线2x ＋y ＋1＝0平行，所以k AB ＝－2，所以4－mm ＋2＝－2，解得m ＝－8，故选A.答案：A7．已知向量a ＝(3，0)，b ＝(0，－1)，c ＝(k ，3)，若(a －2b )⊥c ，则k ＝( )A ．2B ．－2C.32D ．－32解析：由a ＝(3，0)，b ＝(0，－1)，得a －2b ＝(3，2)，若(a －2b )⊥c ，则(a －2b )·c ＝0，所以3k ＋23＝0，所以k ＝－2，故选B.答案：B8．设α，β是两个不同的平面，l 是一条直线，以下命题正确的是( )A ．若l ⊥α，α⊥β，则l ⊂βB ．若l ∥α，α∥β，则l ⊂βC ．若l ⊥α，α∥β，则l ⊥βD ．若l ∥α，α⊥β，则l ⊥β 解析：由α，β是两个不同的平面，l 是一条直线，知： 在A 中，若l ⊥α，α⊥β，则l ∥β或l ⊂β，故A 错误； 在B 中，若l ∥α，α∥β，则l ∥β或l ⊂β，故B 错误；在C 中，若l ⊥α，α∥β，则由线面垂直的判定定理得l ⊥β，故C 正确；在D 中，若l ∥α，α⊥β，则l 与β相交、平行或l ⊂β，故D 错误，故选C.答案：C9．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若sin 2A ＋sin 2B －sin 2C ＝0，a 2＋c 2－b 2－ac ＝0，c ＝2，则a ＝( )A. 3 B ．1C.12D.32解析：因为sin 2A ＋sin 2B －sin 2C ＝0， 所以a 2＋b 2－c 2＝0，即C 为直角， 因为a 2＋c 2－b 2－ac ＝0，所以cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝12，B ＝π3，因此a ＝c cos π3＝1.故选B.答案：B10．已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足2S n ＝2n ＋1＋λ，则λ的值为( )A ．4B ．2C ．－2D ．－4解析：根据题意，当n ＝1时，2S 1＝2a 1＝4＋λ，当n ≥2时，a n＝S n －S n －1＝2n －1.因为数列{a n }是等比数列，所以a 1＝1，故4＋λ2＝1，解得λ＝－2.故选C.答案：C11．若以双曲线x 22－y 2b 2＝1(b >0)的左、右焦点和点(1，2)为顶点的三角形为直角三角形，则b 等于( )A.12B ．1C. 2D ．2解析：由题意，双曲线x 22－y 2b2＝1(b >0)的左、右焦点分别为(－c ，0)、(c ，0)，因为两焦点和点(1，2)为顶点的三角形为直角三角形，所以(1－c ，2)·(1＋c ，2)＝0，所以1－c 2＋2＝0，所以c ＝3，因为a ＝2，所以b ＝1.故选B. 答案：B12．已知函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，若将它的图象向右平移π6个单位长度，得到函数g (x )的图象，则函数g (x )图象的一条对称轴方程为( )A ．x ＝π12B ．x ＝π4C ．x ＝π3D ．x ＝2π3解析：由题意得g (x )＝2sin[2(x －π6)＋π6]＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6，令2x －π6＝k π＋π2，k ∈Z ，得x ＝k π2＋π3，k ∈Z ，当k ＝0时，得x ＝π3，所以函数g (x )图象的一条对称轴方程为x ＝π3.故选C.答案：C13．已知正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，点E 是线段BC 的中点，点M 是直线BD 1上异于B ，D 1的点，则平面DEM 可能经过下列点中的( )A ．AB ．C 1C ．A 1D ．C解析：连接A 1D ，A 1E ，因为A 1D 1∥BE ，所以A 1，D 1，B ，E 四点共面．设A 1E ∩BD 1＝M ，显然平面DEM 与平面A 1DE 重合，从而平面DEM 经过点A 1.故答案为C.答案：C14．已知x 、y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，x ＋y －4≥0，x ≤4，则3x －y 的最小值为()A ．4B ．6C ．12D ．16解析：由约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，x ＋y －4≥0，x ≤4，作出可行域如图，联立⎩⎨⎧x ＋y －4＝0，x －y ＝0，解得A (2，2)，令z ＝3x －y ，化为y ＝3x －z ，由图可知，当直线y ＝3x －z 过点A 时，直线在y 轴上的截距最大，z 有最小值为4.故选A.答案：A15．若正数x ，y 满足x ＋4y －xy ＝0，则3x ＋y 的最大值为( )A.13B.38C.37D ．1解析：由x ＋4y －xy ＝0可得x ＋4y ＝xy ，左右两边同时除以xy 得1y ＋4x ＝1，求3x ＋y的最大值，即求x ＋y 3＝x 3＋y 3的最小值， 所以⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3＋y 3×1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3＋y 3×⎝ ⎛⎭⎪⎫1y ＋4x ＝x 3y ＋4y 3x ＋13＋43≥2x 3y ×4y 3x ＋13＋43＝3，当且仅当x 3y ＝4y3x 时取等号，所以3x ＋y的最大值为13.所以选A. 答案：A二、填空题(共4小题，每小题4分，共16分．) 16．函数f (x )＝1－x ＋x ＋3－1的定义域是________． 解析：要使函数f (x )有意义，则⎩⎨⎧1－x ≥0，x ＋3≥0，即⎩⎨⎧x ≤1，x ≥－3，解得－3≤x ≤1，故函数的定义域为[－3，1]．答案：[－3，1]17．已知一个长方体的同一顶点处的三条棱长分别为1，3，2，则其外接球的半径为________，表面积为________．解析：设长方体的外接球的半径为R ，则长方体的体对角线长就等于外接球的直径，即2R ＝12＋（3）2＋22，解得R ＝2，所以外接球的表面积为S ＝4πR 2＝8π.答案：2 8π18．在平面直角坐标系xOy 中，已知过点A (2，－1)的圆C 和直线x ＋y ＝1相切，且圆心在直线y ＝－2x 上，则圆C 的标准方程为________．解析：因为圆心在y ＝－2x 上，所以可设圆心坐标为(a ，－2a )，又因为圆过A (2，－1)，且圆C 和直线x ＋y ＝1相切，所以（a －2）2＋（－2a ＋1）2＝|a －2a －1|2，解得a ＝1，所以圆半径r ＝|1－2－1|2＝2，圆心坐标为(1，－2)，所以圆方程为(x －1)2＋(y ＋2)2＝2.答案：(x －1)2＋(y ＋2)2＝219．已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x >0时，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x －1|＋m ，若函数f (x )有5个零点，则实数m 的取值范围是________．解析：由题意，函数f (x )是奇函数，f (x )有5个零点，其中x ＝0是1个，只需x >0时有2个零点即可，当x >0时，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x －1|＋m ，转化为函数y ＝－m 和f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x －1|的图象交点个数即可，画出函数的图象，如图所示．结合图象可知只需12<－m <1，即－1<m <－12.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－12 三、解答题(共2小题，每小题12分，共24分．解答须写出文字说明，证明过程和演算步骤．)20．在锐角△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且满足(2c －a )cos B －b cos A ＝0.(1)求角B 的大小；(2)已知c ＝2，AC 边上的高BD ＝3217，求△ABC 的面积S 的值． 解：(1)因为(2c －a )cos B －b cos A ＝0，所以由正弦定理得(2sin C －sin A )cos B －sin B cos A ＝0， 所以2sin C cos B －sin(A ＋B )＝0， 因为A ＋B ＝π－C 且sin C ≠0，所以2sin C cos B －sin C ＝0，即cos B ＝12.因为B ∈(0，π)，所以B ＝π3.(2)因为S ＝12ac sin ∠ABC ＝12BD ·b ，代入c ，BD ＝3217，sin ∠ABC ＝32，得b ＝73a ，由余弦定理得：b 2＝a 2＋c 2－2ac ·cos ∠ABC ＝a 2＋4－2a .代入b ＝73a ，得a 2－9a ＋18＝0，解得⎩⎨⎧a ＝3，b ＝7，或⎩⎨⎧a ＝6，b ＝27，又因为△ABC 是锐角三角形，所以a 2<c 2＋b 2，所以a ＝3，所以S △ABC ＝12ac sin ∠ABC ＝12×2×3×32＝332.21．设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，其右顶点是A (2，0)，离心率为12. (1)求椭圆C 的方程；(2)若直线l 与椭圆C 交于两点M ，N (M ，N 不同于点A )，若AM →·AN →＝0，求证：直线l 过定点，并求出定点坐标．(1)解：因为椭圆C 的右顶点是A (2，0)，离心率为12，所以a ＝2，c a ＝12，所以c ＝1，则b ＝3，所以椭圆的标准方程为x 24＋y 23＝1.(2)证明：当直线MN 斜率不存在时，设MN ：x ＝m ， 与椭圆方程x 24＋y 23＝1联立得：|y |＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫1－m 24，|MN |＝23⎝ ⎛⎭⎪⎫1－m 24. 设直线MN 与x 轴交于点B ，则|MB |＝|AB |，即3⎝⎛⎭⎪⎫1－m 24＝2－m ，所以m ＝27或m ＝2(舍)，。

2020年广东省广州市天河区高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合2{|60}A x x x =--<，集合{|1}B x x =>，则()(R A B =ð )A ．[3，)+∞B ．(1，3]C ．(1,3)D ．(3,)+∞2．（5分）设复数z 满足(2)34z i i i +=-，则复数z 在复平面内对应的点位于( ) A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．（5分）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若28515a a a +=-，则9S 等于( ) A ．18B ．36C ．45D ．604．（5分）已知m ，n 是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列命题正确的是( ) A ．若//m α，//n α，则//m n B ．若αγ⊥，βγ⊥，则//αβC ．若//m α，//n α，且m β⊂，n β⊂，则//αβD ．若m α⊥，n β⊥，且αβ⊥，则m n ⊥ 5．（5分）2521(2)(1)x x+-的展开式的常数项是( ) A ．3- B ．2-C ．2D ．36．（5分）已知1112x n =，122x e -=，3x 满足33x e lnx -=，则下列各选项正确的是( )A ．132x x x <<B ．123x x x <<C ．213x x x <<D ．312x x x <<7．（5分）中国古代十进制的算筹计数法，在数学史上是一个伟大的创造，算筹实际上是一根根同长短的小木棍．如图，是利用算筹表示数1~9的一种方法．例如：3可表示为“≡”，26可表示为“=⊥”．现有6根算筹，据此表示方法，若算筹不能剩余，则可以用1~9这9数字表示两位数的个数为( )A ．13B ．14C ．15D ．168．（5分）在矩形ABCD 中，3AB =，4AD =，AC 与BD 相交于点O ，过点A 作AE BD ⊥，垂足为E ，则(AEE C =) A ．725B ．1225C ．125D ．144259．（5分）函数2()(1)sin 1xf x x e =-+图象的大致形状是( )A ．B ．C ．D ．10．（5分）2位男生和3位女生共5位同学站成一排，若3位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是( ) A ．36B ．24C ．72D ．14411．（5分）已知函数()sin(2)6f x x π=-，若方程3()5f x =的解为1x ，212(0)x x x π<<<，则12sin()(x x -= )A ．35-B ．45-C ．D ．12．（5分）已知函数244()()x f x k lnx k x-=++，[4k ∈，)+∞，曲线()y f x =上总存在两点1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y ，使曲线()y f x =在M ，N 两点处的切线互相平行，则12x x +的取值范围为( )A ．8(,)5+∞B ．16(,)5+∞C ．8[,)5+∞D ．16[,)5+∞二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．13．（5分）已知数列{}n a 满足11a =，111(*,2)n n a a a n N n -=++⋯+∈…，则当1n …时，n a = ．14．（5分）设当x θ=时，函数()sin f x x x =+取得最大值，则tan()4πθ+= ．15．（5分）已知函数322()f x x ax bx a =+++在1x =处有极小值10，则a b -= ．16．（5分）在三棱锥S ABC -中，2SB SC AB BC AC =====，侧面SBC 与底面ABC 垂直，则三棱锥S ABC -外接球的表面积是 ．三、解答题：共70分。

高二12月月考（数学）（考试总分：150 分）一、单选题（本题共计8小题，总分40分）1.（5分）1．直线x﹣y+1＝0的斜率为（）A．B．﹣C．D．﹣2.（5分）2．已知向量＝（2，3，1），＝（1，2，0），则|+|等于（）A．B．3C．D．93.（5分）3．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，M为A1C1的中点，若＝，＝，＝，则下列向量与相等的是（）A．﹣﹣+B．+﹣C．﹣++D．++4.（5分）4．《周髀算经》是中国最古老的天文学和数学著作，书中提到冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影子长依次成等差数列．若冬至、大寒、雨水的日影子长的和是40.5尺，芒种的日影子长为4.5尺，则冬至的日影子长为（）A．6.5尺B．13.5尺C．14.5尺D．15.5尺5.（5分）5．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M、N分别为棱A1B1和BB1的中点，那么异面直线AM和CN所成角的余弦值是（）A．B．C．D．﹣6.（5分）6．历时23天嫦娥五号成功携带月球样品返回地球，标志着中国航天向前迈出一大步．其中2020年11月28日晚，嫦娥五号成功进行首次近月制动，进入一个大椭圆轨道．该椭圆形轨道以月球球心为一个焦点F1，若其近月点A（离月球表面最近的点）与月球表面距离为r1公里，远月点B（离月球表面最远的点）与月球表面距离为r2公里，并且F1，A，B在同一直线上已知月球的半径为R公里，则该椭圆形轨道的离心率为（）A．B．C．D．7.（5分）7．已知动点P在直线l1：3x﹣4y+1＝0上运动，动点Q在直线l2：6x+my+4＝0上运动，且l1∥l2，则|PQ|的最小值为（）A．B．C．D．8.（5分）8．若等差数列{a n}的前n项和为S n，首项a1＞0，a2020+a2021＞0，a2020•a2021＜0，则满足S n＞0成立的最大正整数n是（）A．4039B．4040C．4041D．4042二、多选题（本题共计4小题，总分20分）9.（5分）9．关于双曲线C1：＝1与双曲线C2：＝1，下列说法正确的是（）A．它们的实轴长相等B．它们的渐近线相同C．它们的离心率相等D．它们的焦距相等10.（5分）10．已知圆C1：x2+y2＝1和圆C2：x2+y2﹣4x＝0的公共点为A，B，则（）A．|C1C2|＝2B．直线AB的方程是x＝C．AC1⊥AC2D．|AB|＝11.（5分）11．若数列{a n}满足a1＝1，a2＝1，a n＝a n﹣1+a n﹣2（n≥3，n∈N+），则称数列{a n}为斐波那契数列，又称黄金分割数列．在现代物理、准晶体结构、化学等领域，斐波那契数列都有直接的应用则下列结论成立的是（）A．a7＝13B．a1+a3+a5+……+a2019＝a2020C．S7＝54D．a2+a4+a6+……+a2020＝a202112.（5分）12．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，点E，F在平面A1B1C1D1内，若|AE|＝，AC⊥DF，则（）A．点E的轨迹是一个圆B．点F的轨迹是一个圆C．|EF|的最小值为﹣1D．AE与平面A1BD所成角的正弦值的最大值为三、填空题（本题共计3小题，总分15分）13.（5分）13．若直线x﹣y+1＝0与直线mx+3y﹣1＝0互相垂直，则实数m的值为．14.（5分）14．若双曲线的渐近线为，则双曲线C的离心率为．15.（5分）16．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，过点（，0）的直线l与圆C：x2+y2﹣4x+8＝0交于A，B两点，则四边形OACB面积的最大值为．四、解答题（本题共计7小题，总分75分）16.（5分）15．已知四面体ABCD的顶点分别为A（2，3，1），B（1，0，2），C（4，3，﹣1），D（0，3，﹣3），则点D到平面ABC的距离．17.（10分）17．在：①圆C与y轴相切，且与x轴正半轴相交所得弦长为2；②圆C经过点A（4，1）和B（2，3）；③圆C与直线x﹣2y﹣1＝0相切，且与圆Q：x2+（y﹣2）2＝1相外切。

2020学年广州市高二年级学生学业水平数学测试本试卷分选择题和非选择题两部分, 共4页. 满分150分. 考试用时120分钟.注意事项:1．答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号填写在答题卡指定的位置上. 2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能答在试卷上.3. 非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液. 不按以上要求作答的451.函数fA ．[2.集合A. 5 3.A. 2 4.A. x C. 2x 5. 函数A ．⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦6.做一个体积为32m 3，高为2m 的无盖长方体的纸盒，则用纸面积最小为 （ ）A. 64m 2B. 48m 2C. 32m 2D. 16m 27. 已知变量x y ,满足约束条件201010x y x y y ⎧--≥⎪+-≤⎨⎪+≥⎩,,.则目标函数2z y x =-的最小值为（ ）A ．5-B ．4-C ．3-D ．2-8.如图1所示，程序框图（算法流程图）输出的结果是 （ ）A ．2B ．4C ．8D ．16 9.关于x 的不等式2220x ax a +-> 的解集中的一个元素为1，则实数a 的取值范围是（ ） A. ()(),12,-∞-+∞ B.（-1,2）C. (1,2⎛⎫⎝110.（A.1311.在△为 .12.图表示13.已知向量(1,2),(3,4),AB AC ==则BC = 14.已知表示不超过实数x 的最大整数，g(x)=[x]()21log f x x x=-的零点，则g(0x )的值等于 .三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答应写出文字说明、演算步骤和推证过程. 15.（本小题满分12分）某中学高一年级新生有1000名，从这些新生中随机抽取100名学生作为样本测量其身高（单位：cm ），（1（2)上的概率.16.（1（233⎝⎭17. （本小题满分14分）A 1C 1F如图3，在棱长为1的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E,F 分别是A 1D 1,A 1A 的中点。

2019-2020年高二下学期期末数学试卷（文科）含解析一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设全集U=R，A={x|x（x﹣2）＜0}，B={x|x﹣1＞0}，则A∩B=（）A．（﹣2，1）B．[1，2）C．（﹣2，1] D．（1，2）2．已知数列…，则2是这个数列的（）A．第6项B．第7项C．第11项D．第19项3．下列四个命题中的真命题为（）A．∃x0∈Z，1＜4x0＜3 B．∃x0∈Z，5x0+1=0C．∀x∈R，x2﹣1=0 D．∀x∈R，x2+x+2＞04．函数y=在x=1处的导数等于（）A．1 B．2 C．3 D．45．“a=﹣2”是“复数z=（a2﹣4）+（a+1）i（a，b∈R）为纯虚数”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件 D．既非充分又非必要条件6．已知a=30.2，b=log64，c=log32，则a，b，c的大小关系为（）A．c＜a＜b B．c＜b＜a C．b＜a＜c D．b＜c＜a7．设函数f（x）（x∈R）为奇函数，f（1）=，f（x+2）=f（x）+f（2），则f（5）=（）A．0 B．1 C．D．58．高二第二学期期中考试，按照甲、乙两个班级学生数学考试成绩优秀和不优秀统计后，得到如表：A．0.600 B．0.828 C．2.712 D．6.0049．已知函数f（x）=x|x|﹣2x，则下列结论正确的是（）A．f（x）是偶函数，递增区间是（0，+∞）B．f（x）是偶函数，递减区间是（﹣∞，1）C．f（x）是奇函数，递减区间是（﹣1，1）D．f（x）是奇函数，递增区间是（﹣∞，0）10．为提高信息在传输中的抗干扰能力，通常在原信息中按一定规则加入相关数据组成传输信息．设定原信息为a0a1a2，a i∈{0，1}（i=0，1，2），传输信息为h0a0a1a2h1，其中h0=a0⊕a1，h1=h0⊕a2，⊕运算规则为：0⊕0=0，0⊕1=1，1⊕0=1，1⊕1=0，例如原信息为111，则传输信息为01111．传输信息在传输过程中受到干扰可能导致接收信息出错，则下列接收信息一定有误的是（）A．11010 B．01100 C．10111 D．00011二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）11．设复数z满足（1﹣i）z=2i，则z=_______．12．函数y=的值域为_______．13．若P=﹣1，Q=﹣，则P与Q的大小关系是_______．14．已知变量x，y具有线性相关关系，测得（x，y）的一组数据如下：（0，1），（1，2），（2，4），（3，5），其回归方程为=1.4x+a，则a的值等于_______．15．已知函数则的值为_______．16．按程序框图运算：若x=5，则运算进行_______次才停止；若运算进行3次才停止，则x的取值范围是_______．三、解答题（本大题共5小题，共52分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．已知函数f（x）=log a（x+1）﹣log a（1﹣x），a＞0且a≠1．（1）求f（x）的定义域；（2）判断f（x）的奇偶性并予以证明．18．命题p方程：x2+mx+1=0有两个不等的实根，命题q：方程4x2+4（m+2）x+1=0无实根．若“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，求m的取值范围．19．在边长为60cm的正方形铁片的四角切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起（如图），做成一个无盖的方底箱子，箱底的边长是多少时，箱子的容积最大？最大容积是多少？20．已知函数f（x）=ax+lnx（a∈R）．（Ⅰ）若a=2，求曲线y=f（x）在x=1处的切线方程；（Ⅱ）求f（x）的单调区间；（Ⅲ）设g（x）=x2﹣2x+2，若对任意x1∈（0，+∞），均存在x2∈[0，1]，使得f（x1）＜g（x2），求a的取值范围．21．在无穷数列{a n}中，a1=1，对于任意n∈N*，都有a n∈N*，且a n＜a n+1．设集合A m={n|a n ≤m，m∈N*}，将集合A m中的元素的最大值记为b m，即b m是数列{a n}中满足不等式a n≤m的所有项的项数的最大值，我们称数列{b n}为数列{a n}的伴随数列．例如：数列{a n}是1，3，4，…，它的伴随数列{b n}是1，1，2，3，…．（I）设数列{a n}是1，4，5，…，请写出{a n}的伴随数列{b n}的前5项；（II）设a n=3n﹣1（n∈N*），求数列{a n}的伴随数列{b n}的前20项和．2015-2016学年北京市东城区高二（下）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设全集U=R，A={x|x（x﹣2）＜0}，B={x|x﹣1＞0}，则A∩B=（）A．（﹣2，1）B．[1，2）C．（﹣2，1] D．（1，2）【考点】交集及其运算．【分析】先求出不等式x（x﹣2）＜0的解集，即求出A，再由交集的运算求出A∩B．【解答】解：由x（x﹣2）＜0得，0＜x＜2，则A={x|0＜x＜2}，B={x|x﹣1＞0}={x|x＞1}，∴A∩B═{x|1＜x＜2}=（1，2），故选D．2．已知数列…，则2是这个数列的（）A．第6项B．第7项C．第11项D．第19项【考点】数列的概念及简单表示法．【分析】本题通过观察可知：原数列每一项的平方组成等差数列，且公差为3，即a n2﹣a n﹣12=3从而利用等差数列通项公式an2=2+（n﹣1）×3=3n﹣1=20，得解，n=7【解答】解：数列…，各项的平方为：2，5，8，11，…则a n2﹣a n﹣12=3，又∵a12=2，∴a n2=2+（n﹣1）×3=3n﹣1，令3n﹣1=20，则n=7．故选B．3．下列四个命题中的真命题为（）A．∃x0∈Z，1＜4x0＜3 B．∃x0∈Z，5x0+1=0 C．∀x∈R，x2﹣1=0 D．∀x∈R，x2+x+2＞0【考点】四种命题的真假关系．【分析】注意判断区分∃和∀．【解答】解：A错误，因为，不存在x0∉ZB错误，因为C错误，x=3时不满足；D中，△＜0，正确，故选D答案：D4．函数y=在x=1处的导数等于（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】导数的运算．【分析】先求原函数的导函数，再把x=1的值代入即可．【解答】解：∵y′=，∴y′|x=1==1．故选：A．5．“a=﹣2”是“复数z=（a2﹣4）+（a+1）i（a，b∈R）为纯虚数”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件 D．既非充分又非必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；复数的基本概念．【分析】把a=﹣2代入复数，可以得到复数是纯虚数，当复数是纯虚数时，得到的不仅是a=﹣2这个条件，所以得到结论，前者是后者的充分不必要条件．【解答】解：a=﹣2时，Z=（22﹣4）+（﹣2+1）i=﹣i是纯虚数；Z为纯虚数时a2﹣4=0，且a+1≠0∴a=±2．∴“a=2”可以推出“Z为纯虚数”，反之不成立，故选A．6．已知a=30.2，b=log64，c=log32，则a，b，c的大小关系为（）A．c＜a＜b B．c＜b＜a C．b＜a＜c D．b＜c＜a【考点】对数值大小的比较．【分析】a=30.2＞1，利用换底公式可得：b=log64=，c=log32=，由于1＜log26＜log29，即可得出大小关系．【解答】解：∵a=30.2＞1，b=log64=，c=log32==，∵1＜log26＜log29，∴1＞b＞c，则a＞b＞c，故选：B．7．设函数f（x）（x∈R）为奇函数，f（1）=，f（x+2）=f（x）+f（2），则f（5）=（）A．0 B．1 C．D．5【考点】函数奇偶性的性质；函数的值．【分析】利用奇函数的定义、函数满足的性质转化求解函数在特定自变量处的函数值是解决本题的关键．利用函数的性质寻找并建立所求的函数值与已知函数值之间的关系，用到赋值法．【解答】解：由f（1）=，对f（x+2）=f（x）+f（2），令x=﹣1，得f（1）=f（﹣1）+f（2）．又∵f（x）为奇函数，∴f（﹣1）=﹣f（1）．于是f（2）=2f（1）=1；令x=1，得f（3）=f（1）+f（2）=，于是f（5）=f（3）+f（2）=．故选：C．8．高二第二学期期中考试，按照甲、乙两个班级学生数学考试成绩优秀和不优秀统计后，得到如表：A．0.600 B．0.828 C．2.712 D．6.004【考点】独立性检验的应用．【分析】本题考查的知识点是独立性检验公式，我们由列联表易得：a=11，b=34，c=8，d=37，代入K2的计算公式：K2=即可得到结果．【解答】解：由列联表我们易得：a=11，b=34，c=8，d=37则K2===0.6004≈0.60故选A9．已知函数f（x）=x|x|﹣2x，则下列结论正确的是（）A．f（x）是偶函数，递增区间是（0，+∞）B．f（x）是偶函数，递减区间是（﹣∞，1）C．f（x）是奇函数，递减区间是（﹣1，1）D．f（x）是奇函数，递增区间是（﹣∞，0）【考点】函数奇偶性的判断．【分析】根据奇函数的定义判断函数的奇偶性，化简函数解析式，画出函数的图象，结合图象求出函数的递减区间．【解答】解：由函数f（x）=x|x|﹣2x 可得，函数的定义域为R，且f（﹣x）=﹣x|﹣x|﹣2（﹣x ）=﹣x|x|+2x=﹣f（x），故函数为奇函数．函数f（x）=x|x|﹣2x=，如图所示：故函数的递减区间为（﹣1，1），故选C．10．为提高信息在传输中的抗干扰能力，通常在原信息中按一定规则加入相关数据组成传输信息．设定原信息为a0a1a2，a i∈{0，1}（i=0，1，2），传输信息为h0a0a1a2h1，其中h0=a0⊕a1，h1=h0⊕a2，⊕运算规则为：0⊕0=0，0⊕1=1，1⊕0=1，1⊕1=0，例如原信息为111，则传输信息为01111．传输信息在传输过程中受到干扰可能导致接收信息出错，则下列接收信息一定有误的是（）A．11010 B．01100 C．10111 D．00011【考点】抽象函数及其应用．【分析】首先理解⊕的运算规则，然后各选项依次分析即可．【解答】解：A选项原信息为101，则h0=a0⊕a1=1⊕0=1，h1=h0⊕a2=1⊕1=0，所以传输信息为11010，A选项正确；B选项原信息为110，则h0=a0⊕a1=1⊕1=0，h1=h0⊕a2=0⊕0=0，所以传输信息为01100，B 选项正确；C选项原信息为011，则h0=a0⊕a1=0⊕1=1，h1=h0⊕a2=1⊕1=0，所以传输信息为10110，C 选项错误；D选项原信息为001，则h0=a0⊕a1=0⊕0=0，h1=h0⊕a2=0⊕1=1，所以传输信息为00011，D 选项正确；故选C．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）11．设复数z满足（1﹣i）z=2i，则z=﹣1+i．【考点】复数相等的充要条件；复数代数形式的乘除运算．【分析】由条件利用两个复数相除，分子和分母同时乘以分母的共轭复数，计算求得结果．【解答】解：∵复数z满足（1﹣i）z=2i，则z====﹣1+i，故答案为：﹣1+i．12．函数y=的值域为{y|y≠2} ．【考点】函数的值域．【分析】函数y===2+，利用反比例函数的单调性即可得出．【解答】解：函数y===2+，当x＞1时，＞0，∴y＞2．当x＜1时，＜0，∴y＜2．综上可得：函数y=的值域为{y|y≠2}．故答案为：{y|y≠2}．13．若P=﹣1，Q=﹣，则P与Q的大小关系是P＞Q．【考点】不等式比较大小．【分析】利用作差法，和平方法即可比较大小．【解答】解：∵P=﹣1，Q=﹣，∴P﹣Q=﹣1﹣+=（+）﹣（+1）∵（+）2=12+2，（ +1）2=12+2∴+＞+1，∴P﹣Q＞0，故答案为：P＞Q14．已知变量x，y具有线性相关关系，测得（x，y）的一组数据如下：（0，1），（1，2），（2，4），（3，5），其回归方程为=1.4x+a，则a的值等于0.9．【考点】线性回归方程．【分析】求出横标和纵标的平均数，写出样本中心点，把样本中心点代入线性回归方程，得到关于a的方程，解方程即可．【解答】解：∵==1.5，==3，∴这组数据的样本中心点是（1.5，3）把样本中心点代入回归直线方程，∴3=1.4×1.5+a，∴a=0.9．故答案为：0.9．15．已知函数则的值为﹣．【考点】函数的值；函数迭代．【分析】由题意可得=f（﹣）=3×（﹣），运算求得结果．【解答】解：∵函数，则=f（﹣）=3×（﹣）=﹣，故答案为﹣．16．按程序框图运算：若x=5，则运算进行4次才停止；若运算进行3次才停止，则x 的取值范围是（10，28] ．【考点】循环结构．【分析】本题的考查点是计算循环的次数，及变量初值的设定，在算法中属于难度较高的题型，处理的办法为：模拟程序的运行过程，用表格将程序运行过程中各变量的值进行管理，并分析变量的变化情况，最终得到答案．【解答】解：（1）程序在运行过程中各变量的值如下表示：x x 是否继续循环循环前5∥第一圈15 13 是第二圈39 37 是第三圈111 109 是第四圈327 325 否故循环共进行了4次；（2）由（1）中数据不难发现第n圈循环结束时，经x=（x0﹣1）×3n+1：x 是否继续循环循环前x0/第一圈（x0﹣1）×3+1 是第二圈（x0﹣1）×32+1 是第三圈（x0﹣1）×33+1 否则可得（x0﹣1）×32+1≤244且（x0﹣1）×33+1＞244解得：10＜x0≤28故答案为：4，（10，28]三、解答题（本大题共5小题，共52分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．已知函数f（x）=log a（x+1）﹣log a（1﹣x），a＞0且a≠1．（1）求f（x）的定义域；（2）判断f（x）的奇偶性并予以证明．【考点】函数奇偶性的判断；函数的定义域及其求法．【分析】（1）使函数各部分都有意义的自变量的范围，即列出不等式组，解此不等式组求出x范围就是函数的定义域；（2）根据函数奇偶性的定义进行证明即可．【解答】解：（1）由题得，使解析式有意义的x范围是使不等式组成立的x范围，解得﹣1＜x＜1，所以函数f（x）的定义域为{x|﹣1＜x＜1}．（2）函数f（x）为奇函数，证明：由（1）知函数f（x）的定义域关于原点对称，且f（﹣x）=log a（﹣x+1）﹣log a（1+x）=﹣log a（1+x）+log a（1﹣x）=﹣[log a（1+x）﹣log a （1﹣x）]=﹣f（x）所以函数f（x）为奇函数．18．命题p方程：x2+mx+1=0有两个不等的实根，命题q：方程4x2+4（m+2）x+1=0无实根．若“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，求m的取值范围．【考点】复合命题的真假．【分析】先将命题p，q分别化简，然后根据若“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，判断出p，q一真一假，分类讨论即可．【解答】解：由题意命题P：x2+mx+1=0有两个不等的实根，则△=m2﹣4＞0，解得m＞2或m＜﹣2，命题Q：方程4x2+4（m+2）x+1=0无实根，则△＜0，解得﹣3＜m＜﹣1，若“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，则p，q一真一假，（1）当P真q假时：，解得m≤﹣3，或m＞2，（2）当P假q真时：，解得﹣2≤m＜﹣1，综上所述：m的取值范围为m≤﹣3，或m＞2，或﹣2≤m＜﹣1．19．在边长为60cm的正方形铁片的四角切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起（如图），做成一个无盖的方底箱子，箱底的边长是多少时，箱子的容积最大？最大容积是多少？【考点】函数模型的选择与应用；基本不等式在最值问题中的应用．【分析】先设箱底边长为xcm，则箱高cm，得箱子容积，再利用导数的方法解决，应注意函数的定义域．【解答】解：设箱底边长为xcm，则箱高cm，得箱子容积（0＜x＜60）．（0＜x＜60）令=0，解得x=0（舍去），x=40，并求得V（40）=16 000由题意可知，当x过小（接近0）或过大（接近60）时，箱子容积很小，因此，16 000是最大值答：当x=40cm时，箱子容积最大，最大容积是16 000cm320．已知函数f（x）=ax+lnx（a∈R）．（Ⅰ）若a=2，求曲线y=f（x）在x=1处的切线方程；（Ⅱ）求f（x）的单调区间；（Ⅲ）设g（x）=x2﹣2x+2，若对任意x1∈（0，+∞），均存在x2∈[0，1]，使得f（x1）＜g（x2），求a的取值范围．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（Ⅰ）把a的值代入f（x）中，求出f（x）的导函数，把x=1代入导函数中求出的导函数值即为切线的斜率，可得曲线y=f（x）在x=1处的切线方程；（Ⅱ）求出f（x）的导函数，分a大于等于0和a小于0两种情况讨论导函数的正负，进而得到函数的单调区间；（Ⅲ）对任意x1∈（0，+∞），均存在x2∈[0，1]，使得f（x1）＜g（x2），等价于f（x）max＜g（x）max，分别求出相应的最大值，即可求得实数a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由已知，f'（1）=2+1=3，所以斜率k=3，又切点（1，2），所以切线方程为y﹣2=3（x﹣1）），即3x﹣y﹣1=0故曲线y=f（x）在x=1处切线的切线方程为3x﹣y﹣1=0．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（Ⅱ）①当a≥0时，由于x＞0，故ax+1＞0，f'（x）＞0，所以f（x）的单调递增区间为（0，+∞）．﹣﹣﹣﹣﹣﹣②当a＜0时，由f'（x）=0，得．在区间上，f'（x）＞0，在区间上，f'（x）＜0，所以，函数f（x）的单调递增区间为，单调递减区间为．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（Ⅲ）由已知，转化为f（x）max＜g（x）max．g（x）=（x﹣1）2+1，x∈[0，1]，所以g （x）max=2由（Ⅱ）知，当a≥0时，f（x）在（0，+∞）上单调递增，值域为R，故不符合题意．（或者举出反例：存在f（e3）=ae3+3＞2，故不符合题意．）当a＜0时，f（x）在上单调递增，在上单调递减，故f（x）的极大值即为最大值，，所以2＞﹣1﹣ln（﹣a），解得．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣21．在无穷数列{a n}中，a1=1，对于任意n∈N*，都有a n∈N*，且a n＜a n+1．设集合A m={n|a n ≤m，m∈N*}，将集合A m中的元素的最大值记为b m，即b m是数列{a n}中满足不等式a n≤m的所有项的项数的最大值，我们称数列{b n}为数列{a n}的伴随数列．例如：数列{a n}是1，3，4，…，它的伴随数列{b n}是1，1，2，3，…．（I）设数列{a n}是1，4，5，…，请写出{a n}的伴随数列{b n}的前5项；（II）设a n=3n﹣1（n∈N*），求数列{a n}的伴随数列{b n}的前20项和．【考点】数列的求和；数列的应用．【分析】（I）由{a n}伴随数列{b n}的定义可得前5项为1，1，1，2，3．（II）由a n=3n﹣1≤m，可得n≤1+log3m，m∈N*，分类讨论：当1≤m≤2时，m∈N*，b1=b2=1；当3≤m≤8时，m∈N*，b3=b4=…=b8=2；当9≤m≤20时，m∈N*，b9=b10=…=3；即可得出数列{a n}的伴随数列{b n}的前20项和．【解答】解：（Ⅰ）数列1，4，5，…的伴随数列{b n}的前5项1，1，1，2，3；（Ⅱ）由，得n≤1+log3m（m∈N*）．∴当1≤m≤2，m∈N*时，b1=b2=1；当3≤m≤8，m∈N*时，b3=b4=…=b8=2；当9≤m≤20，m∈N*时，b9=b10=…=b20=3．∴b1+b2+…+b20=1×2+2×6+3×12=50．2016年9月9日。