广东省广州市高二下学期期末考试(数学)

2018-2019学年高二下学期期末考试一、选择题：本题共12个小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合4{|0}2x A x Z x -=∈≥+，1{|24}4x B x =≤≤，则A B I =（） A ．{|12}x x -≤≤ B ．{1,0,1,2}-C ．{2,1,0,1,2}--D ．{0,1,2}2.已知i 为虚数单位，若复数11tiz i-=+在复平面内对应的点在第四象限，则t 的取值范围为（） A ．[1,1]- B ．(1,1)- C ．(,1)-∞-D ．(1,)+∞3.若命题“∃x 0∈R ，使x 20＋(a －1)x 0＋1<0”是假命题，则实数a 的取值范围为( ) A ．1≤a ≤3 B ．－1≤a ≤3 C ．－3≤a ≤3D ．－1≤a ≤14.已知双曲线1C ：2212x y -=与双曲线2C ：2212x y -=-，给出下列说法，其中错误的是（）A.它们的焦距相等B ．它们的焦点在同一个圆上C.它们的渐近线方程相同D ．它们的离心率相等5.在等比数列{}n a 中，“4a ，12a 是方程2310x x ++=的两根”是“81a =±”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C.充要条件D ．既不充分也不必要条件6.已知直线l 过点P (1，0，－1)，平行于向量a ＝(2，1，1)，平面α过直线l 与点M (1，2，3)，则平面α的法向量不可能是( ) A.(1，－4，2)B.⎝⎛⎭⎫14，－1，12 C.⎝⎛⎭⎫－14，1，－12 D.(0，－1，1)7.在极坐标系中，由三条直线θ＝0，θ＝π3，ρcos θ＋ρsin θ＝1围成的图形的面积为( )A.14 B.3－34 C.2－34 D.138.若从1,2,3，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有( ) A ．60种 B ．63种 C ．65种 D ．66种 9.设m 为正整数，(x ＋y )2m 展开式的二项式系数的最大值为a ，(x ＋y )2m ＋1展开式的二项式系数的最大值为b ，若13a ＝7b ，则m 等于( )A ．5B ．6C ．7D ．8 10.通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表：男 女 总计 爱好 40 20 60 不爱好 20 30 50 总计6050110由K 2＝n ad －bc 2a ＋bc ＋d a ＋c b ＋d算得，K 2＝110×40×30－20×20260×50×60×50≈7.8.附表：P (K 2≥k ) 0.050 0.010 0.001 k3.8416.63510.828参照附表，得到的正确结论是( )A ．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”B ．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”C ．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”D ．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”11.焦点为F 的抛物线C ：28y x =的准线与x 轴交于点A ，点M 在抛物线C 上，则当||||MA MF 取得最大值时，直线MA 的方程为（） A ．2y x =+或2y x =-- B ．2y x =+ C.22y x =+或22y x =-+D ．22y x =-+12.定义在R 上的函数()f x 满足(2)2()f x f x +=，且当[2,4]x ∈时，224,23,()2,34,x x x f x x x x⎧-+≤≤⎪=⎨+<≤⎪⎩()1g x ax =+，对1[2,0]x ∀∈-，2[2,1]x ∃∈-，使得21()()g x f x =，则实数a 的取值范围为（）A ．11(,)[,)88-∞-+∞UB ．11[,0)(0,]48-U C.(0,8]D ．11(,][,)48-∞-+∞U二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13.已知(1,)a λ=r ，(2,1)b =r，若向量2a b +r r 与(8,6)c =r 共线，则a r 和b r 方向上的投影为．14.将参数方程⎩⎨⎧x ＝a2⎝⎛⎭⎫t ＋1t ，y ＝b 2⎝⎛⎭⎫t －1t (t 为参数)转化成普通方程为________．15.已知随机变量X 服从正态分布N (0，σ2)，且P (－2≤X ≤0)＝0.4，则P (X >2)＝________. 16.已知球O 是正三棱锥（底面为正三角形，顶点在底面的射影为底面中心）A BCD -的外接球，3BC =，23AB =，点E 在线段BD 上，且3BD BE =，过点E 作圆O 的截面，则所得截面圆面积的取值范围是.三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.(10分)已知直线l 的参数方程为24,222x t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为4cos ρθ=，直线l 与圆C 交于A ，B 两点.（1）求圆C 的直角坐标方程及弦AB 的长；（2）动点P 在圆C 上（不与A ，B 重合），试求ABP ∆的面积的最大值18.(12分)设函数()1f x x x =+-的最大值为m .（1）求m 的值；（2）若正实数a ，b 满足a b m +=，求2211a b b a +++的最小值.19.(12分)点C 在以AB 为直径的圆O 上，PA 垂直与圆O 所在平面，G 为AOC ∆的垂心. （1）求证：平面OPG ⊥平面PAC ；（2）若22PA AB AC ===，求二面角A OP G --的余弦值.20.(12分)2017年春节期间，某服装超市举办了一次有奖促销活动，消费每超过600元（含600元），均可抽奖一次，抽奖方案有两种，顾客只能选择其中的一种.方案一：从装有10个形状、大小完全相同的小球（其中红球3个，黑球7个）的抽奖盒中，一次性摸出3个球，其中奖规则为：若摸到3个红球，享受免单优惠；若摸出2个红球则打6折，若摸出1个红球，则打7折；若没摸出红球，则不打折.方案二：从装有10个形状、大小完全相同的小球（其中红球3个，黑球7个）的抽奖盒中，有放回每次摸取1球，连摸3次，每摸到1次红球，立减200元.（1）若两个顾客均分别消费了600元，且均选择抽奖方案一，试求两位顾客均享受免单优惠的概率；（2）若某顾客消费恰好满1000元，试从概率的角度比较该顾客选择哪一种抽奖方案更合算？21. (12分)已知椭圆x 2b 2＋y 2a 2＝1 (a >b >0)的离心率为22，且a 2＝2b .(1)求椭圆的方程；(2)是否存在实数m ，使直线l ：x －y ＋m ＝0与椭圆交于A ，B 两点，且线段AB 的中点在圆 x 2＋y 2＝5上？若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由.22. (12分)已知函数f(x)＝ln(1＋x)－x＋k2x2(k≥0)．(1)当k＝2时，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；(2)求f(x)的单调区间．参考答案一、选择题1-5:BBBDA 6-10:DBDBC 11-12：AD 二、填空题13.35514：x 2a 2－y 2b 2＝1 . 15.0.1 16.[2,4]ππ三、解答题17.解：（1）由4cos ρθ=得24cos ρρθ=，所以2240x y x +-=，所以圆C 的直角坐标方程为22(2)4x y -+=.将直线l 的参数方程代入圆:C 22(2)4x y -+=，并整理得2220t t +=，解得10t =，222t =-.所以直线l 被圆C 截得的弦长为12||22t t -=. （2）直线l 的普通方程为40x y --=.圆C 的参数方程为22cos ,2sin ,x y θθ=+⎧⎨=⎩（θ为参数），可设曲线C 上的动点(22cos ,2sin )P θθ+，则点P 到直线l 的距离|22cos 2sin 4|2d θθ+--=|2cos()2|4πθ=+-，当cos()14πθ+=-时，d 取最大值，且d 的最大值为22+. 所以122(22)2222ABP S ∆≤⨯⨯+=+， 即ABP ∆的面积的最大值为22+.18.解：（Ⅰ）f (x )＝|x ＋1|－|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧－1，x ≤－1，2x ＋1，－1＜x ＜1，1， x ≥1，由f (x )的单调性可知，当x ≥1时，f (x )有最大值1．所以m ＝1．（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，a ＋b ＝1，a 2b ＋1＋b 2a ＋1＝13(a 2b ＋1＋b 2a ＋1)[(b ＋1)＋(a ＋1)] ＝13[a 2＋b 2＋a 2(a ＋1)b ＋1＋b 2(b ＋1)a ＋1]≥13(a 2＋b 2＋2a 2(a ＋1)b ＋1·b 2(b ＋1)a ＋1) ＝13(a ＋b )2＝13．当且仅当a ＝b ＝12时取等号． 即a 2b ＋1＋b 2a ＋1的最小值为13． 19.解：（1）延长OG 交AC 于点M .因为G 为AOC ∆的重心，所以M 为AC 的中点. 因为O 为AB 的中点，所以//OM BC .因为AB 是圆O 的直径，所以BC AC ⊥，所以OM AC ⊥. 因为PA ⊥平面ABC ，OM ⊂平面ABC ，所以PA OM ⊥. 又PA ⊂平面PAC ，AC ⊂平面PAC ，PA AC A =I ， 所以OM ⊥平面PAC .即OG ⊥平面PAC ，又OG ⊂平面OPG ， 所以平面OPG ⊥平面PAC .（2）以点C 为原点，CB u u u r ，CA u u u r ，AP u u u r方向分别为x ，y ，z 轴正方向建立空间直角坐标系C xyz -，则(0,0,0)C ，(0,1,0)A ，(3,0,0)B ，31(,,0)22O ，(0,1,2)P ，1(0,,0)2M ，则3(,0,0)2OM =-u u u u r ，31(,,2)22OP =-u u u r .平面OPG 即为平面OPM ，设平面OPM 的一个法向量为(,,)n x y z =r ，则30,23120,22n OM x n OP x y z ⎧⋅=-=⎪⎪⎨⎪⋅=-++=⎪⎩r u u u u r r u u u r 令1z =，得(0,4,1)n =-r . 过点C 作CH AB ⊥于点H ，由PA ⊥平面ABC ，易得CH PA ⊥，又PA AB A =I ，所以CH ⊥平面PAB ，即CH u u u r为平面PAO 的一个法向量.在Rt ABC ∆中，由2AB AC =，得30ABC ∠=︒，则60HCB ∠=︒，1322CH CB ==. 所以3cos 4H x CH HCB =∠=，3sin 4H y CH HCB =∠=. 所以33(,,0)44CH =u u u r .设二面角A OP G --的大小为θ，则||cos ||||CH n CH n θ⋅==⋅u u u r r u u ur r 2233|0410|251441739411616⨯-⨯+⨯=+⨯+. 20.解：（1）选择方案一若享受到免单优惠，则需要摸出三个红球，设顾客享受到免单优惠为事件A ，则333101()120C P A C ==，所以两位顾客均享受到免单的概率为1()()14400P P A P A =⋅=.（2）若选择方案一，设付款金额为X 元，则X 可能的取值为0，600，700，1000.333101(0)120C P X C ===，21373107(600)40C C P X C ===， 123731021(700)40C C P X C ===，373107(1000)24C P X C ===， 故X 的分布列为，所以17217()06007001000120404024E X =⨯+⨯+⨯+⨯17646=（元）. 若选择方案二，设摸到红球的个数为Y ，付款金额为Z ，则1000200Z Y =-，由已知可得3~(3,)10Y B ，故39()31010E Y =⨯=， 所以()(1000200)E Z E Y =-=1000200()820E Y -=（元）.因为()()E X E Z <，所以该顾客选择第一种抽奖方案更合算.21.解：(1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝22，a 2＝2b ，b 2＝a 2－c 2，解得⎩⎨⎧a ＝2，c ＝1，b ＝1，故椭圆的方程为x 2＋y22＝1.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，线段AB 的中点为M (x 0，y 0). 联立直线与椭圆的方程得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 22＝1，x －y ＋m ＝0，即3x 2＋2mx ＋m 2－2＝0，所以Δ＝(2m )2－4×3×(m 2－2)＞0，即m 2＜3， 且x 0＝x 1＋x 22＝－m 3，y 0＝x 0＋m ＝2m3， 即M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－m 3，2m 3，又因为M 点在圆x 2＋y 2＝5上，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫－m 32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2m 32＝5，解得m ＝±3，与m 2＜3矛盾.故实数m 不存在.22. 解： (1)当k ＝2时，f (x )＝ln(1＋x )－x ＋x 2， f ′(x )＝11＋x－1＋2x .由于f (1)＝ln 2，f ′(1)＝32，所以曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为y －ln 2＝32(x －1)，即3x －2y ＋2ln 2－3＝0.(2)f ′(x )＝x (kx ＋k －1)1＋x，x ∈(－1，＋∞)．当k ＝0时，f ′(x )＝－x1＋x .所以，在区间(－1,0)上，f ′(x )>0； 在区间(0，＋∞)上，f ′(x )<0. 故f (x )的单调递增区间是(－1,0)， 单调递减区间是(0，＋∞)．当0<k <1时，由f ′(x )＝x (kx ＋k －1)1＋x＝0，得x 1＝0，x 2＝1－kk>0.所以，在区间(－1,0)和(1－kk，＋∞)上，f ′(x )>0；在区间(0，1－kk)上，f ′(x )<0.故f (x )的单调递增区间是(－1,0)和(1－kk，＋∞)，单调递减区间是(0，1－kk )．当k ＝1时，f ′(x )＝x 21＋x .故f (x )的单调递增区间是(－1，＋∞)．当k >1时，由f ′(x )＝x (kx ＋k －1)1＋x＝0，得x 1＝1－kk∈(－1,0)，x 2＝0.所以，在区间(－1，1－kk)和(0，＋∞)上，f ′(x )>0；在区间(1－kk，0)上，f ′(x )<0.故f (x )的单调递增区间是(－1，1－kk)和(0，＋∞)，单调递减区间是(1－kk ，0)．。

广东省广州市第二中学2023-2024学年高二下学期期末考试数学试题一、单选题1．已知{}(){}42,lg 10A x x B x x =-≤≤=-<，则A B =I （ ） A ．{}42x x -≤< B ．{}42x x -≤≤ C ．{}12x x <<D ．{}12x x <≤2．已知复数1i z =+（i 是虚数单位），则izzz =+（ ） A ．31i 55+B ．11i 55+C ．31i 55-+D ．11i 55-+3．已知向量(3,1)a =-r ，(2,1)b m =--r ，若(2)a a b ⊥+r r r ，则m =（ ） A ．1-B ．2-C ．1D ．04．若nx ⎛⎫ ⎝的展开式中各项系数之和为128-，则展开式中2x 的系数为（ ） A ．2835- B ．945 C ．2835 D ．945-5．若π(0,)2α∈，2cos tan 232sin ααα=-，则tan α等于（ ）A B ．18C D 6．已知球与某圆台的上、下底面及侧面均相切，若球与圆台的表面积之比为12，则球与圆台的体积之比为（ ）A ．14B ．12C ．23D ．347．当a<0时，函数()()2e xf x x ax =+的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．8．已知函数()f x ，()g x 的定义域均为R ，()1f x +为奇函数，()2g x -为偶函数，()()121f x g x -=-+，()11f -=，则()()20232024f g =（ ）A ．1-B ．1C ．2023D ．2024二、多选题9．下列说法中，正确的是（ ）A ．设随机变量X 服从正态分布()0,1N ，若()1P X p ≥=，则(10)12P X p -<<=-B ．某人在10次答题中，答对题数为X ，()10,0.7X B :，则答对7题的概率最大C ．基于小概率值α的检验规则是：当2x αχ≥时，我们就推断0H 不成立，即认为X 和Y不独立，该推断犯错误的概率不超过α；当2x αχ<时，我们没有充分证据推断0H 不成立，可以认为X 和Y 独立D ．将4名老师分派到两个学校支教，每个学校至少派1人，则共有14种不同的分派方法10．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，当()0,x ∈+∞时，()332f x x x =--，则（ ）A ．()f x 的极大值点为1-B ．函数()y f x = 3C ．函数()()y f f x =的零点个数为7D ．()()0f f x >的解集为()()2,02,-+∞U11．费马原理是几何光学中的一条重要原理，可以推导出双曲线具有如下光学性质：从双曲线的一个焦点发出的光线，经双曲线反射后，反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点.由此可得，过双曲线上任意一点的切线平分该点与两焦点连线的夹角.已知1F 、2F 分别是以34y x =?为渐近线且过点()A 的双曲线C 的左、右焦点，在双曲线C 右支上一点()()0000,4,0P x y x y >>处的切线l 交x 轴于点Q ，则（ ）A ．双曲线CB ．双曲线C 的方程为221169x y -=C ．过点1F 作1F K PQ ⊥，垂足为K ，则8OK =D ．点Q 的坐标为016,0x ⎛⎫⎪⎝⎭三、填空题12．等差数列{}n a 中，148121520a a a a a ++++=，则15S =．13．已知函数()32f x x x =+，若0m >，0n >，且()()()210f m f n f +-=，则12m n+的最小值是14．某校高三年级有(2,N )n n n *>∈个班，每个班均有(30)n +人，第k （1,2,3,,k n =⋅⋅⋅）个班中有(10)k +个女生，余下的为男生.在这n 个班中任取一个班，再从该班中依次取出三人，若第三次取出的人恰为男生的概率是813，则n =.四、解答题15．已知a ，b ，c 分别为ABC V 三个内角A ，B ，C 的对边，且2cos 2a cC b-=． (1)求角B 的大小； (2)若3b =，sin C ABC V 的面积． 16．已知函数()2e ,R xf x x a x =-+∈，曲线()y f x =在()()0,0f 处的切线方程为y bx =．(1)求()f x 的解析式；(2)当x ∈R 时，求证：()2f x x x ≥-+；(3)若()f x kx ≥对任意的()0,x ∈+∞恒成立，求实数k 的取值范围.17．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，AB AC ⊥，3AB ==，2AD DB =，O 为BC 的中点，1AO ⊥平面ABC .(1)求证：1AA OD ⊥；(2)若1AA =1BAA 和平面1AAO 夹角的余弦值. 18．已知点()2,3在双曲线2222:12x y C a a -=+上． (1)求双曲线C 的方程；(2)设点Q 为双曲线右支上除右顶点外的任意点，证明：点Q 到C 的两条渐近线的距离之积为定值；(3)过点1,12P ⎛⎫⎪⎝⎭作斜率为k 的动直线l 与双曲线右支交于不同的两点M ，N ，在线段MN 上取异于点M ，N 的点H ，满足PM MH PNHN=．（ⅰ）求斜率k 的取值范围；（ⅱ）证明：点H 恒在一条定直线上．19．对于数列{}n a ，如果存在等差数列{}n b 和等比数列{}n c ，使得()n n n a b c n *=+∈N ，则称数列{}n a 是“优分解”的．(1)证明：如果{}n a 是等差数列，则{}n a 是“优分解”的．(2)记()2*11ΔΔΔΔn n n n n n a a a a a a n ++=-=-∈N ，，证明：如果数列{}n a 是“优分解”的，则()2*Δ0n a n =∈N 或数列{}2Δn a 是等比数列．(3)设数列{}n a 的前n 项和为n S ，如果{}n a 和{}n S 都是“优分解”的，并且123346a a a ===，，，求{}n a 的通项公式．。

广州中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷一、单选题（每题5分，共8小题）1. 若函数，则（ ）A. B. C. D. 2. 长时间玩手机可能影响视力，据调查，某学校学生中，大约有的学生每天玩手机超过，这些人近视率约为，其余学生的近视率约为，现从该校任意调查一名学生，他近视的概率大约是（ ）A.B.C.D.3. 在的二项展开式中，常数项是（ ）A. 132B. 160C. 180D. 1964. 已知随机变量服从，若，则（）A. 0.2B. 0.3C. 0.4D. 0.55. 已知随机变量X 的分布列如下：X －101P设Y ＝2X ＋1，则Y 的数学期望E (Y )的值是（ ）A. －B.C.D. －6. 从编号为1，2，3，…，10，11的11个球中，取出5个球，使这5个球的编号之和为奇数，其取法总数为（ ）A. 236 B. 328C. 462D. 26407. 已知，，，则（ ）A. B. C. D. ()22e e xf x =+()1f '=2e 22e 23e 24e 151h 12381571625781022x ⎛+ ⎝X ()20.5,N σ()0.30.3P X ≤=()0.30.7P X ≤≤=12161316132323a =b =c =a c b >>b a c >>a b c>>b c a >>8. 设函数，若，且的最小值为，则的值为（ ）A.B. C. D. 二、多选题（每题6分，共3小题）9. 已知，分别为随机事件A ，B 的对立事件，，，则（ ）A. B. C. 若A ，B 独立，则 D. 若A ，B 互斥，则10. 甲、乙、丙、丁、戊五人并排站成一排，下列说法正确的是（ ）A. 若甲、乙、丙按从左到右顺序排列，则不同的排法有12种B. 若甲、乙不相邻，则不同排法有72种C. 若甲不能在最左端，且乙不能在最右端，则不同的排法共有72种D. 如果甲、乙必须相邻且乙在甲的右边，则不同的排法有24种11. 已知函数，其导函数为，且，记，则下列说法正确的是（ ）A 恒成立B. 函数的极小值为0C. 若函数在其定义域内有两个不同的零点，则实数的取值范围是D. 对任意的，都有三、填空题（每题5分，共3小题）12. 过原点的直线与相切，则切点的坐标是______.13. 中国空间站主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱．假设空间站要安排甲、乙、丙、丁4名航天员开展实验，每名航天员只能去一个舱，每个舱至少安排一个人，则甲被安排在天和核心舱的条件下，乙也被安排在天和核心舱的概率为_________．14. 2023年第57届世界乒乓球锦标赛在南非德班拉开帷幕，参赛选手甲、乙进入了半决赛，半决赛采用五的的.的()2,0ln ,0x a x f x x x -≤⎧=⎨>⎩()()()1212f x f x x x =<212x x -ln2a 12e 2-A B ()0P A >()0P B >()()||1P B A P B A +=()()()||P B A P B A P A +=()()P A B P A =()(|)|=P A B P B A ()()1e x x k f x x-+=()f x '()11f =()()g x xf x =()0f x ¢>()g x ()y g x m =-m ()0,1()12,2,x x ∈+∞()()121222f x f x x x f ++⎛⎫≤⎪⎝⎭l e x y =局三胜制，当选手甲、乙两位中有一位赢得三局比赛时，就由该选手晋级而比赛结束．每局比赛皆须分出胜负，且每局比赛的胜负不受之前比赛结果影响．假设甲在任一局赢球的概率为，比赛局数的期望值记为，则的最大值是______．四、解答题（共5小题，共77分）15. 已知，展开式中二项式系数的最大值为.（1）求的值；（2）求的值（结果可以保留指数形式）.16. 为弘扬中华优秀传统文化，荣造良好的文化氛围，某高中校团委组织非毕业年级开展了“我们的元宵节”主题知识竞答活动，该活动有个人赛和团体赛，每人只能参加其中的一项，根据各位学生答题情况，获奖学生人数统计如下：个人赛奖项组别一等奖二等奖三等奖团体赛获奖高一20206050高二162910550（1）从获奖学生中随机抽取1人，若已知抽到的学生获得一等奖，求抽到的学生来自高一的概率；（2）从高一和高二获奖者中各随机抽取1人，以表示这2人中团体赛获奖的人数，求的分布列和数学期望；17. 已知函数在处取得极值．（1）确定的值并求的单调区间；（2）若关于的方程至多有两个根，求实数的取值范围．18. 在某诗词大会的“个人追逐赛”环节中，参赛选手应从8个不同的题目中随机抽取3个题目进行作答．已知这8个题目中，选手甲只能正确作答其中的6个，而选手乙正确作答每个题目的概率均为0.8，且甲、乙两位选手对每个题目作答都是相互独立的．（1）求选手甲恰好正确作答2个题目的概率；（2）记选手乙正确作答的题目个数为X ，求X 的分布列和数学期望；（3）如果在抽取的3个题目中答对2个题目就可以晋级，你认为甲、乙两位选手谁晋级的可能性更大？()01p p ≤≤()fp ()f p ()72701271mx a a x a x a x +=++++ 7m m 1357a a a a +++X X ()()3144R 3f x ax x a =-+∈2x =-a ()f x x ()f x b =b请说明理由．19. 英国数学家泰勒发现了如下公式：其中为自然对数的底数，.以上公式称为泰勒公式.设，根据以上信息，并结合高中所学的数学知识，解决如下问题.（1）证明：；（2）设，证明：；（3）设，若是的极小值点，求实数的取值范围.2312!3!!xnx x x x n =++++++e !1234,en n =⨯⨯⨯⨯⨯ e 2.71828= ()()e e e e ,22x x x xf xg x ---+==e 1x x ≥+()0,x ∈+∞()()f xg x x<()()212x F x g x a ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭0x =()F x a广州中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷简要答案一、单选题（每题5分，共8小题）【1题答案】【答案】B【2题答案】【答案】C【3题答案】【答案】C【4题答案】【答案】C【5题答案】【答案】C【6题答案】【答案】A【7题答案】【答案】C【8题答案】【答案】B二、多选题（每题6分，共3小题）【9题答案】【答案】ACD【10题答案】【答案】BD【11题答案】【答案】CD三、填空题（每题5分，共3小题）【12题答案】(1,e)【答案】【13题答案】【答案】【14题答案】【答案】四、解答题（共5小题，共77分）【15题答案】【答案】（1）； （2）或148160.【16题答案】【答案】（1）（2）分布列略，【17题答案】【答案】（1），单调递增区间和，单调递减区间是 （2）或【18题答案】【答案】（1）（2）分布列略， （3）选手乙，理由略【19题答案】【答案】（1）证明略 （2）证明略（3）是163385m =771(64)2+59()712E X =1a =(),2-∞-()2,+∞()2,2-283b ≥43b ≤-1528() 2.4E X =(],1-∞。

广州市三校2023-2024学年高二下学期期末联考数学参考答案12. 31 13.（也可以写成）； 72 14. 415. 【详解】（1）当n =1时，a 1=S 1(2)=0.当n ≥2时，a n =S n (2)―S n―1(2)=(2+22+⋯2n ―2)―(2+22+⋯2n―1―2)=2n .又当n =1时，a 1=0不满足上式，所以a n ={0，n =12n ,n ≥2（2）∵S 2024(x )=x +x 2+x 3+⋯+x 2024―2,∴S ′2024(x )=1+2x +3x 2+⋯+2024x 2023.S ′2024(2)=1+2×2+3×22+⋯+2024×22023①2S ′2024(2)=2+2×22+3×23+⋯+2024×22024②①-②得，―S ′2024(2)=1+1×2+1×22+⋯+1×22023―2024×22024=1―220241―2―2024×22024=―2023×22024―1.∴S ′2024(2)=2023×22024+1.16. 【详解】（1）当时，，则，令，解得；令，解得，在区间上单调递减，在区间上单调递增.，函数的最小值为.（2）由已知得，设切点为，则且，解得，，，.要证，即证，即证，即证，令，，原不等式等价于，即，设，则，在区间上单调递增，，即成立，所以对任意，都有.1234567891011BACDCACBADBCDACD()sin sin sin a αββα-tan tan tan tan a αββα⋅-1m =()()()2e 21x h x f x g x x =-=--()22e 2xh x ='-()22e 20x h x '=->0x >()22e 20xh x '=-<0x <()h x ∴(),0∞-()0,∞+()()00h x h ∴≥=∴()h x 0()22e xf x '=()020,e x P x 022e 2x m =()02021e x m x +=00x =1m =()21g x x ∴=+()2e 21xh x x =--()()22e 2ah a h b a b-<--222e 2e 22e 2a b aa b a b --+<--222e e 2e a b a a b-<-()221e2b a a b --<-22a b t -=0t >1e t t --<e 1t t -+>()e t F t t -=+()1e 0tF t -=->'()F t ∴()0,∞+()()01F t F ∴>=e 1t t -+>a b >()()22e 2a h a h b a b-<--17. 【解析】（1）不妨设，因为平面平面，故，在中，，由余弦定理，，得，故，则，因为平面，所以平面，而平面，所以平面平面；（2）由（1）知，两两垂直，如图所示，以为坐标原点，建立的空间直角坐标系，则，故，，所以，设，则，即，所以；设为平面的一个法向量，则令，则，因为轴平面，则可取为平面的一个法向量，设平面与平面的夹角为，则解得，故．1AD =1A D⊥,ABCD AD ⊂ABCD 1A D AD ⊥ADB 2,1,60AB AD DAB ==∠= 222222cos 21221cos603BD AB AD AB AD DAB ∠=+-⋅⋅=+-⨯⨯⨯= BD =222AD BD AB +=AD DB ⊥11,,A D DB D A D DB ⋂=⊂1A BD AD ⊥1A BD AD ⊂11ADD A 1A BD ⊥11ADD A 1,,DA DB DA D D xyz -()()()(()10,0,0,1,0,0,,,D A B A C -()11,AC A C AC =-= (1C ∴-((11,A B DC ==-()101DE DC λλ=<<()12DE DC λλ==- ()2E λ-(12A E λ=-()111,,n x y z = 1A EB 1111111020n A B n A E x y z λ⎧⋅==⎪⎨⋅=-+-=⎪⎩12z λ=112,==-y x λ()2,2n λλ=-y ⊥11BCC B ()0,1,0m =11BCC B 1A EB 11BCC B αcos n m n m α⋅===⋅14λ=113DE EC =18. 【解析】（1）根据题意，得，因为，同理，所以所以总样本的平均数为，方差.（2）依题意可知，的所有可能取值为0，1，2，设“第场比赛在甲区举行，甲区代表队获胜”为事件，“第场比赛在乙区举行，甲区代表队获胜”为事件，，则，所以，，，则的分布列为：012P.121821833628.812185x y z +⨯+⨯===+()()()()()121212222111212i i i i i i x x x zx x x x x z x z===-+-=-+--+-∑∑∑()()()()()12121222221112121212i i ii i i x xx z x x x zx x x z ===⎛⎫=-+--+-=-+- ⎪⎝⎭∑∑∑()()()18182221112iii i y y z y y z y y ==-+-=-+-∑∑()()()()12181218222221111113030i i i i i i i i S x z z y x x x z y y z y ====⎡⎤⎡⎤=-+-=-+-+-+-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦∑∑∑∑()()()()12182222111121230i ii i x x z y x z y y ==⎡⎤=-+-+-+-⎢⎥⎣⎦∑∑()()22221211212181830S S y x z z ⎡⎤=+-++-⎢⎥⎣⎦()22112191210.81870187.2127.430=⨯⨯+⨯+⨯+⨯=28.8z =2127.4S =X i i A i i B 1,2,3i =()35i P A =()12i P B =()()2123401525P X P A A ⎛⎫===-= ⎪⎝⎭()()()()123123123123313331611152555225P X P A B A A A B P A B A P A A B ⎛⎫⎛⎫==+=+=⨯⨯-+-⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()()15210125P X P X P X ==-=-==X X 42562535()46153601225252525E X =⨯+⨯+⨯=19. 【解析】（1）依题意，，故椭圆C ：；易知点为的重心，则，故，代入椭圆方程得∴椭圆C 的方程为；（2）∵，，成等差数列，．∴．设，，AD 中点．，由弦长公式∵，∴，同理，代入可得，①当AD斜率存在时两式作差可得，，∴，∴弦AD 的中垂线方程为，当时，，即AD 的中垂线的纵截距为．∵在椭圆C 内，∴，得，且．1b =2221xy a+=111,36G ⎛⎫ ⎪⎝⎭12MF F △1131,2OM OG ⎛⎫== ⎪⎝⎭ 11,2M ⎛⎫⎪⎝⎭22114143a a =⇒+=22314x y +=2F A 2F B 2F D 2222F A F D F B +==()11,A x y ()22,D x y ()00,M x y 2F ⎫⎪⎪⎭211F A x x ==112x ==-1x ⎡∈⎢⎣2112F A x =-2212F D x =-1202x x x +==22112222314314x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩()2222121234x x y y --=-1212121234x x y y y y x x ⎛⎫+--=⎪+-⎝⎭)0304AD k y =-=≠0y y x -=0x =03y y =-03y-0M y ⎫⎪⎪⎭20114y +<0y <<00y ≠②当AD 斜率不存在时，此时AD ：，AD 的中垂线的纵截距为0．∴综上所述，弦AD 的中垂线的纵截距的取值范围为．（3）解法一：易知点，分别为，的重心，设，，设点，，则根据重心性质及面积公式得，，而∴，∴，∴，，设直线l ：，则联立椭圆方程得消元化简得，，，∴，，∴，∴对任意的t 恒成立，即，故实数a 的取值范围为．解法二：易知点为的重心，，∴，，，此时，设点，，，，则根据重心的性质可得，x =⎛ ⎝1G 2G 12MF F △12NF F △121F F M S S =△122F F N S S =△()11,M x y ()22,N x y ()21121133MNG MNF S S S S ==+ ()11121121211123333NF G S S S S S S S S =+--+=+ 2112435MNG NF G MNG S S S ≤≤ ()()121212412533333S S S S S S ⎛⎫+≤+≤+ ⎪⎝⎭12121221222S S S S S S ≤⎧⇒≤≤⎨≤⎩12122y y ≤≤-1212,2y y ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦x ty c =+2221x ty cx y a=+⎧⎪⎨+=⎪⎩()222210t a ytcy ++-=()2222Δ440t c t a =++>12222tc y y t a -+=+12221y y t a-=+()2222212121212222112122452,22y y y y y y y y t c y y y y y y t a +-+⎡⎤+===--∈--⎢⎥+⎣⎦()2222222410892t c a t a t a ≤≤⇒-≤+28901a a -≤⇒<≤⎛ ⎝2G 12NF F △223NG NO =111111NF G NOF NOG G OF S S S S =++△△△△113NOG MNO S S =△△()11,M x y ()22,N x y ()1,0F c -()2,0F c 1111,33G x y ⎛⎫ ⎪⎝⎭∴，，，∴，；；而，∴，∴，；设直线l ：，则联立椭圆方程得消元化简得，，，∴，，∴，∴对任意的t 恒成立，即，故实数a 的取值范围为．()212121122MNO S OF y y c y y =⋅⋅-=- 11221122NOF S OF y cy =⋅⋅=- 11111111236G OF S OF y cy =⋅⋅= ()1121136NOG MNO S S c y y ==- ()11122121211126633NF G cy cy S cy c y y cy =-+-+=- ()2122133MNG MNO S S c y y ==- 2112435MNG NF G MNG S S S ≤≤ 1124533NF G MNG S S ≤≤△△1212245,33y y y y -⎡⎤∈⎢⎥-⎣⎦11221111222222112,211y y y y y y y y y y y y --⎡⎤==⇒∈--⎢⎥-⎣⎦--x ty c =+2221x ty cx y a=+⎧⎪⎨+=⎪⎩()222210t a ytcy ++-=()2222Δ440t c t a =++>12222tc y y t a -+=+12221y y t a -=+()2222212121212222112122452,22y y y y y y y y t c y y y y y y t a +-+⎡⎤+===--∈--⎢⎥+⎣⎦()2222222410892t c a t a t a ≤≤⇒-≤+28901a a -≤⇒<≤⎛ ⎝。

2019-2020年高二下学期期末考试数学(理)试题 含答案命题教师：张金荣一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．已知集合A ＝{x |y ＝lg(2x －x 2)}，B ＝{y |y ＝2x ，x >0}，R 是实数集，则(∁R B )∩A 等于( )A ．[0,1]B ．(0,1]C ．(－∞，0]D ．以上都不对2．函数f(x)=ln(x-2)-的零点所在的大致区间是（ ）A ．（1,2） B.(2,3) C.(3,4) D.(4,5)3．函数f(x)=的定义域为（ ）A ． B. C. D.4．设a ＝60.7，b ＝0.76，c ＝log 0.76，则a ，b ，c 的大小关系为 ( )A ．c ＜b ＜aB ．c ＜a ＜bC ．b ＜a ＜cD ．a ＜c ＜b5．以下说法错误的是( )A ．命题“若x 2-3x+2=0,则x=1”的逆否命题为“若x≠1,则x 2-3x+2≠0”B ．“x=1”是“x 2-3x+2=0”的充分不必要条件C ．若p ∧q 为假命题,则p,q 均为假命题D ．若命题p:∃x 0∈R,使得+x 0+1<0,则﹁p:∀x ∈R,则x 2+x+1≥06．函数y=lg|x |x 的图象在致是（ ）7．偶函数y=f （x ）在x ∈时，f （x ）=x-1，则f(x －1)＜0的解集是( )A ．{x|-1＜x ＜0B ．{x|x ＜0或1＜x ＜2C ．{x|0＜x ＜2D ．{x|1＜x ＜28．函数f(x)= 满足对任意成立，则实数a 的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．9．若不等式x 2+ax+1≥0对于一切x(0,)恒成立，则a 的取值范围是（ ）A ．a≥0B ．a≥-2C ．a≥-D ．a≥-310．已知函数f (x )＝的值域为[0，＋∞)，则它的定义域可以是（ ）A ．(0,1]B ．(0,1)C ．(－∞，1]D ．(－∞，0]11．已知定义在R 上的奇函数f (x )，满足f (x －4)＝－f (x )，且在区间[0,2]上是增函数，() A ．f (－25)<f (11)<f (80) B ．f (80)<f (11)<f (－25)C ．f (11)<f (80)<f (－25)D ．f (－25)<f (80)<f (11)12．已知a >0且a ≠1，f (x )＝x 2－a x ，当x ∈(－1,1)时，均有f (x )<12，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(0，12]∪[2，＋∞) B ．[14，1)∪(1,4] C ．[12，1)∪(1,2] D ．(0，14]∪[4，＋∞) 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．已知函数f(x)=ax 2+bx+3a+b 是偶函数,定义域为[a-1,2a],则a+b= .14．已知函数f(x)是定义在区间上的函数，且在该区间上单调递增，则满足f(2x-1)<f()的x 的取值范围为__________15．定义：区间[x 1，x 2](x 1<x 2)的长度为x 2－x 1.已知函数y ＝|log 0.5x |的定义域为[a ，b ]，值域为[0,2]，则区间[a ，b ]的长度的最大值为________．16．设函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且对任意的x ∈R 恒有f (x ＋1)＝f (x －1)，已知当x ∈[0,1]时f (x )＝(12)1－x ，则 ①2是函数f (x )的周期；②函数f (x )在(1,2)上是减函数，在(2,3)上是增函数；③函数f (x )的最大值是1，最小值是0；④当x ∈(3,4)时，f (x )＝(12)x －3. 其中所有正确命题的序号是________．三、解答题(共70分)17．(12分)给定两个命题：：对任意实数都有恒成立；：关于的方程有实数根；如果P ∨q 为真，P ∧q 为假，求实数的取值范围．18．（12分）对定义在实数集上的函数f (x )，若存在实数x 0，使得f (x 0)＝x 0，那么称x 0为函数f (x )的一个不动点．(1)已知函数f (x )＝ax 2＋bx －b (a ≠0)有不动点(1,1)、(－3，－3)，求a 、b ；(2)若对于任意实数b ，函数f (x )＝ax 2＋bx －b (a ≠0)总有两个相异的不动点，求实数a 的取值范围．19．(12分)已知f (x )为定义在[－1,1]上的奇函数，当x ∈[－1,0]时，函数解析式f (x )＝14x －a 2x (a ∈R)． (1)写出f (x )在[0,1]上的解析式；(2)求f (x )在[0,1]上的最大值．20．(12分)C D E AB P 经市场调查，某城市的一种小商品在过去的近20天内的销售量(件)与价格(元)均为时间t (天)的函数，且销售量近似满足g (t )＝80－2t (件)，价格近似满足f (t )＝20－12|t －10|(元)． (1)试写出该种商品的日销售额y 与时间t (0≤t ≤20)的函数表达式；(2)求该种商品的日销售额y 的最大值与最小值．21．(12分)已知函数f (x )的图象与函数h (x )＝x ＋1x ＋2的图象关于点A (0,1)对称．(1)求函数f (x )的解析式；(2)若g (x )＝f (x )＋a x ，g (x )在区间(0,2]上的值不小于6，求实数a 的取值范围．请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.22.（本小题满分10分）选修4—1: 几何证明选讲．如图，在正ΔABC 中，点D 、E 分别在边BC, AC 上,且,，AD ，BE 相交于点P.求证：(I) 四点P 、D 、C 、E 共 圆；(II) AP ⊥CP 。

数学（文科）试题参考答案及评分标准说明：1．参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力比照评分标准给以相应的分数．2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．一．选择题：本大题主要考查基本知识和基本运算．共10小题，每小题5分，满分50分．二．填空题：本大题主要考查基本知识和基本运算．本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分．11．5 12．3 13．8π 14．1三．解答题： 本大题共6小题，满分80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分12分）解：（1）13．（2）解得1c =16．（本小题满分12分）解：（1）25a =人．且0.08251000.02b =⨯=人．总人数252500.025N ==⨯ （2）所以第1，2，3组分别抽取1人，1人，4人． （3）所以恰有1人年龄在第3组的概率为815． 17．（本小题满分14分）（1）证明：在正AMB ∆中，D 是AB 的中点，所以MD AB ⊥．……………………………………1分因为M 是PB 的中点，D 是AB 的中点，所以//MD PA ，故PA AB ⊥．……………………2分又PA AC ⊥，AB AC A =，,AB AC ⊂平面ABC ， 所以PA⊥平面ABC ．…………………………………4分 因为⊂BC平面ABC ，所以PA BC ⊥．……………5分 又,,,PCBC PA PC P PA PC ⊥=⊂平面PAC ， 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B D A D C D B A C B所以⊥BC 平面PAC ．………………………………7分（2）设点B 到平面DCM 的距离为h ，………8分因为10PB =，M 是PB 的中点，所以5MB =．因为AMB ∆为正三角形，所以5AB MB ==．……………………………………………………9分 因为4,BC BC AC =⊥，所以3AC =． 所以1111143322222BCDABC S S BC AC ∆∆==⨯⨯⨯=⨯⨯⨯=．…………………………………10分 因为23525522=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=MD ，由（1）知//MD PA ，所以DC MD⊥． 在ABC ∆中，1522CD AB ==， 所以8325252352121=⨯⨯=⨯⨯=∆CD MD S MCD．…………………………………………11分 因为MCD B BCDM V V --=，……………………………………………………………………………12分 所以h S MD S MCD BCD ⋅=⋅∆∆3131， 即153125333238h ⨯⨯=⨯⨯．……………………………………………………………………13分 所以512=h ． 故点B 到平面DCM 的距离为512．………………………………………………………………14分 19．（本小题满分14分）函数()f x 的定义域为(0,)+∞212(1)2(1)1()2(1)2(1)a a x a x f x a a x a x x---+'=+---= 令2()2(1)2(1)1g x a a x a x =---+224(1)8(1)121644(31)(1)a a a a a a a ∆=---=-+=--① 当103a <<时，0∆>，令()0f x '=，解得1(31)(1)2(1)a a a x a a -±--=- 则当1(31)(1)02(1)a a a x a a ----<<-或1(31)(1)2(1)a a a x a a -+-->-时，()0f x '> 当1(31)(1)1(31)(1)2(1)2(1)a a a a a a x a a a a -----+--<<--时，()0f x '< 则()f x 在1(31)(1)(0,)2(1)a a a a a -----，1(31)(1)(,)2(1)a a a a a -+--+∞-上单调递增，在1(31)(1)1(31)(1)(,)2(1)2(1)a a a a a a a a a a -----+----上单调递减 ② 当113a ≤≤时，0∆≤，()0f x '≥，则()f x 在(0,)+∞上单调递增 ③ 当1a >时，0∆>，令()0f x '=，解得1(31)(1)2(1)a a a x a a -±--=- ∵0x >，∴1(31)(1)2(1)a a a x a a ----=- 则当1(31)(1)02(1)a a a x a a ----<<-时，()0f x '> 当1(31)(1)2(1)a a a x a a ---->-时，()0f x '<则()f x 在1(31)(1)(0,)2(1)a a a a a -----上单调递增，在1(31)(1)(,)2(1)a a a a a ----+∞-上单调递减 20．（本小题满分14分）解：（1）因为2()ln (2)f x x ax a x =-+-， 所以函数()f x 的定义域为(0,)+∞．………………………………………………………………1分 且1()2(2)f x ax a x '=-+-．………………………………………………………………………2分 因为()f x 在1x =处取得极值， 所以()()11220f a a '=-+-=．解得1a =-．…………………………………………………………………………………………3分当1a =-时，1(21)(1)()23x x f x x x x--'=+-=，当102x <<时，()0f x '>；当112x <<时，()0f x '<；当1x >时，()0f x '>． 所以1x =是函数()y f x =的极小值点．故1a =-．……………………………………………………………………………………………4分（2）因为2a a <，所以01a <<．…………………………………………………………………………………………5分由（1）知(21)(1)()x ax f x x-+'=-． 因为(0,)x ∈+∞，所以10ax +>． 当102x <<时，()0f x '>；当12x >时，()0f x '<． 所以函数()f x 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增；在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减．………………………………7分 ①当102a <≤时，()f x 在2[,]a a 上单调递增， 所以[]32max ()()ln 2f x f a a a a a ==-+-．………………………………………………………9分 ②当21,21.2a a ⎧>⎪⎪⎨⎪<⎪⎩即1222a <<时，()f x 在21,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减， 所以[]max 12()ln 21ln 22424a a a f x f -⎛⎫==--+=-- ⎪⎝⎭．……………………………………11分 ③当212a ≤，即212a ≤<时，()f x 在2[,]a a 上单调递减， 所以[]2532max ()()2ln 2f x f a a a a a ==-+-．…………………………………………………13分综上所述： 当102a <≤时，函数()f x 在2[,]a a 上的最大值是32ln 2a a a a -+-； 当1222a <<时，函数()f x 在2[,]a a 上的最大值是1ln 24a --； 当212a ≤<时，函数()f x 在2[,]a a 上的最大值是5322ln 2a a a a -+-．……………14分。

华附､省实､广雅､深中2022级高二下学期四校联考数学注意事项：1.答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的校名､姓名､考号､座位号等相关信息填写在答题卡指定区域内，并用2B 铅笔填涂相关信息.2.选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后.再选涂其它答案；不能答在试卷上.3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.4.考生必须保持答题卡的整洁.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的本试卷共4页，19小题，满分150分.考试用时120分钟..1.若()i 11z +=（i为虚数单位），则z z −=（ ）A.2−B.2i− C.2D.2i【答案】D 【解析】【分析】根据复数代数形式的除法运算化简z ，即可求出其共轭复数，再由复数的减法计算可得.【详解】因为()i 11z +=，所以11i iz +==−，所以1i z =−−，则1i z =−+，所以()()1i 1i 2i z z −=−+−−−=.故选：D2.已知等比数列{}n a 中，1241,9a a a ==，则7a =（ ） A.3 B.3或-3C.27D.27或-27【答案】C【解析】【分析】根据等比数列的通项公式，计算得到等比数列的等比，结合通项公式计算得出答案；【详解】设等比数列{}n a 的公比为1212134,1,9,93q a a a qa a q q ==∴=⇒= ， 则6371327a a q ===， 故选：C.3. 已知圆22:2O x y +=与抛物线2:2(0)C x py p =>的准线相切，则p 的值为（ ）A. B.C. 4D. 2【答案】A 【解析】【分析】写出抛物线C 的准线方程，根据该准线与圆O 相切求出实数p 的值.【详解】由题意可知，圆O 的圆， 抛物线C 的准线方程为2py =−，由于抛物线C 的准线方程与圆O 相切，则2p=，解得p =. 故选：A.4. 如图所示，在正方形铁皮上剪下一个扇形和一个直径为2的圆，使之恰好围成一个圆锥，则圆锥的高为（ ）A. B.C.D.【答案】C 【解析】【分析】由扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长得2π2π2R r =，求得4R =，进而由h =可求得圆锥的高.【详解】由图可知，扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，圆锥底面圆的半径为1r =， 设扇形半径为R ，则有π2π2R r =，解得4R =，所以圆锥的母线长为4R =，故圆锥的高h =故选：C.5. 某校高二年级下学期期中考试数学试卷满分为150分，90分以上（含90分）为及格.阅卷结果显示，全年级800名学生的数学成绩近似服从正态分布，试卷的难度系数（=平均分/150）为0.49，标准差为22，则该次数学考试及格的人数约为（ ）附：若()2,X N µσ ，记()()p k P k X k µσµσ=−≤≤+，则()()0.750.547,10.683p p ≈≈. A. 127人 B. 181人 C. 254人 D. 362人【答案】B 【解析】【分析】首先求出平均数，即可得到学生的数学成绩()273.5,22X N ，再根据所给条件求出()5790P X ≤≤，即可求出()90P X ≥，即可估计人数.【详解】依题意可知平均分为1500.4973.5×=，又标准差为22， 所以学生的数学成绩()273.5,22X N ，即73.5µ=，22σ=，又9073.50.7522−=， 所以()()()00.57900.75.750.54775P X P X p µσµσ≤≤=−≤≤+=≈，所以()10.547900.22652P X −≥=≈=，又8000.2265181.2×=，所以该次数学考试及格的人数约为181人. 故选：B6. 已知双曲线2213y x −=的左、右焦点分别为12,F F ，直线y x =与双曲线的右支交于点P ，则12PF PF ⋅=（ ）A. 1−B. 0C. 1D. 2【答案】A 【解析】【分析】首先求出焦点坐标，再联立直线与双曲线方程，求出交点P 的坐标，再由数量积的坐标表示计算可得.【详解】双曲线2213y x −=的左、右焦点分别为()12,0F −，()22,0F ，由2213y x y x −= =，解得x y= =x y = =P ，则12PF =−，22PF =− ，所以212221PF PF ⋅=−×+=− . 故选：A7. 现有一组数据0,1,2,3,4,5，若将这组数据随机删去两个数，则剩下数据的平均数小于3的概率为（ ） A.23B.1115C.45D.1315【答案】B 【解析】【分析】设删去的两数之和为x ，依题意可得15362x−<−，求出x 的范围，再列出所有可能结果，最后利用古典概型的概率公式计算可得.【详解】依题意得这组数据各数之和为01234515+++++=， 设删去的两数之和为x ，若剩下数据的平均数小于3，则15362x−<−，解得3x >， 则删去的两个数可以为()0,4，()0,5，()1,3，()1,4，()1,5，()2,3，()2,4，()2,5，()3,4，()3,5，()4,5共11种情况，从0,1,2,3,4,5中任意取两个数有：()0,1，()0,2，()0,3，()0,4，()0,5，()1,2，()1,3，()1,4，()1,5，()2,3，()2,4，()2,5，()3,4，()3,5，()4,5，共15种情况，故所求概率1115P=. 故选：B8. 若函数()()21e 12xg x x b x =−+−存在单调递减区间，则实数b 的取值范围是（ ） A. [0,)+∞ B. ()0,∞+C. (],0−∞D. (),0∞−【答案】D【解析】【分析】根据题意转化为导函数e 10x x b −+−<有解，参变分离e 1x b x <−++有解,设()e 1x f x x =−++，则实数max ()b f x <，求导计算可得解；【详解】函数()()21e 12xg x x b x =−+−的定义域为R , 求导得()e 1xg x x b ′=−+−，函数存在单调递减区间， 所以e 10x x b −+−<有解，即e 1x b x <−++有解， 设()e 1x f x x =−++，则实数max ()b f x <， 则()e 1x f x ′−+=，令()0f x ′=，得0x =， 当0x <时，()0,()′>f x f x 在(),0∞−上递增； 当0x >时，()0,()′<f x f x 在(),0∞−上递减； 所以函数()f x 有最大值(0)0f =， 因此0b <. 故选：D.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分.9. 若“2x k <−或x k >”是“23x −<<”的必要不充分条件，则实数k 的值可以是（ ） A. 3B. 3−C. 5D. 5−【答案】BCD 【解析】【分析】令{|2A x x k =<−或}x k >，{}|23B x x =−<<，依题意可得B 真包含于A ，即可求出参数的取值范围.【详解】令{|2A x x k =<−或}x k >，{}|23B x x =−<<，因为“2x k <−或x k >”是“23x −<<”的必要不充分条件， 所以B 真包含于A ，所以2k ≤−或23k −≥，解得2k ≤−或5k ≥，结合选项可知符合题意的有B 、C 、D. 故选：BCD10. 下列关于成对数据统计的表述中，正确的是（ ） A. 成对样本数据的经验回归直线一定经过点(),x yB. 依据小概率事件0.1α=的2χ独立性检验对零假设0H 进行检验，根据22×列联表中的数据计算发现20.10.837 2.706x χ≈<=，由()2 2.7060.1P χ≥=可推断0H 不成立，即认为X 和Y 不独立，该推断犯错误的概率不超过0.1C. 在残差图中，残差点的分布随解释变量增大呈现扩散的趋势，说明残差的方差不是一个常数，不满足一元线性回归模型对随机误差的假设D. 决定系数2R 越大，表示残差平方和越大，即模型的拟合效果越差 【答案】AC 【解析】【分析】根据经验回归方程的性质判断A ，根据独立性检验的基本思想判断B ，根据回归分析的相关知识判断C 、D.【详解】对于A ：成对样本数据的经验回归直线一定经过点(),x y ，故A 正确；对于B ：因为20.10.837 2.706x χ≈<=，由()22.7060.1P χ≥=可推断0H 成立，即认为X 和Y 独立，故B 错误；对于C说明残差的方差不是一个常数，不满足一元线性回归模型对随机误差的假设，故C 正确； 对于D ：决定系数2R 越大，表示残差平方和越小，即模型的拟合效果越好，故D 错误. 故选：AC11. 如图，心形曲线22:()1L x y x +−=与y 轴交于,A B 两点，点P 是L 上的一个动点，则（ ）A. 点和()1,1−均在L 上B. 点PC. OP 的最大值与最小值之和为3D. PA PB +≤ 【答案】ABD 【解析】【分析】点代入曲线判断A ，根据曲线分段得出函数取得最大值判断B ，应用三角换元再结合三角恒等变换求最值判断C ，应用三角换元结合椭圆的方程得出恒成立判断D. 【详解】令0x =，得出1y =±，则()()1,0,1,0,A B −对于A ：x =时，2112y += 得0y =或y =，=1x −时，()2111y +−=得1y =，所以和()1,1−均在L 上，A 选项正确；对于B ：因为曲线关于y 轴对称，当0x ≥时，()221x y x+−=，所以y x =+()()222221112y y x x x x ==+−+≤++−=，所以x =y B 选项正确；对于C ：OP =，因为曲线关于y 轴对称，当0x ≥时，设cos ,sin x y x θθ=−=， 所以()2222222cos cos sin 2cos sin 2sin cos OP x y θθθθθθθ=+=++=++()1cos23131sin2cos2sin222222θθθθθϕ+=++=++=++，因为θ可取任意角，所以OP 取最小值=，OP 取最大值=，C 选项错误；对于D ：PA PB +≤等价为点P 在椭圆22132y x +=内，即满足()222cos sin 3cos 6θθθ++≤，即()()31+cos221sin 262θθ++≤，整理得4sin23cos25θθ+≤，即()sin 21θβ≤+恒成立，故D 选项正确. 故选：ABD.【点睛】方法点睛：应用三角换元，再结合三角恒等变换化简，最后应用三角函数值域求最值即可.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12. 6(21)x y +−的展开式中，所有项的系数和为__________. 【答案】64 【解析】【分析】令1xy ==计算可得. 【详解】令1xy ==，可得所有项的系数和为()642611+−=. 故答案为：6413. 如图，正八面体ABCDEF 的12条棱长相等，则二面角E AB F −−的余弦值为__________.【答案】13−.【解析】【分析】AB 的中点为G ，EGF ∠为二面角E AB F −−的平面角，结合正八面体的几何特征，利用余弦定理求值即可.【详解】连接,AC BD 交于点O ，连接EF ，取AB 的中点G ，连接,EG FG ，根据正八面体的几何特征，有EF 过点O ，EG AB ⊥，FG AB ⊥， 又EG ⊂平面ABE ，FG ⊂平面ABF ， 平面ABE ∩平面ABF AB =，所以EGF ∠为二面角E AB F −−的平面角.正八面体中， EF ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ， 则EF AC ⊥，所以AOE △是直角三角形，设正八面体棱长为2，则AO =，2AE =，所以OE =，得EF =在AEB △中，EGAB =，同理GF =在EGF △中， 由余弦定理，可得2221cos 23EG FG EF EGF EG FG +−∠==−⋅⋅ 故答案为：13−.14. 数列{}n a 前n 项和为n S ，且111,22n n a a a n +=−=，则满足2024n S >的最小正整数n 为__________. 【答案】9 【解析】【分析】先构造等比数列，再应用等比等差数列前n 项和公式计算，最后判断最小值n 即可.【详解】因为122n n a a n +−=，所以()124244n n a n a n +++++， 所以()()124222n n a n a n +++=++,所以{}22n a n ++是公比为2首项为1225a ++=的等比数列，所以112252,5222n n n n a n a n −−++=×=×−−.则()()()()()0112512422522246225213122n n n n n n S n n n −−++=+++−++++=−=−−−− ,因为152220,n n a n −=×−−>则n S 单调递增，又因为()8285218385255642411872024S =−−−×=×−−=<,()9295219395511812724472024S =−−−×=×−−=>.则2024n S >的最小正整数n 为9. 故答案为：9.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15. 已知ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且sin sin sin A B Cb c a b+=+−. 的（1）求A ；（2）如图，若点D 是BC 边上一点，且,2AB AD BD CD ⊥=，求ADB ∠. 【答案】（1）2π3A =（2）π3ADB ∠= 【解析】【分析】（1）利用正弦定理将已知等式统一成边的形式，化简后利用余弦定理可求出角A ； （2）由AB AD ⊥结合2π3A =可得π6DAC ∠=，然后在ABD △和ACD 分别利用正弦定理结合已知条件可得b c =，进而可求出ADB ∠. 【小问1详解】 因sin sin sin A B Cb c a b+=+−，所以由正弦定理得a b b c bca +=+−，所以222ab bc c −=+， 所以222b c a bc +−=−所以由余弦定理得2221cos 222b c a bc A bc bc +−−===−，因为()0,πA ∈，所以2π3A =； 【小问2详解】因为AB AD ⊥，所以π2BAD ∠=，所以2πππ326DAC BAC BAD ∠=∠−∠=−=， 在ABD △中，由正弦定理得πsin sin sin 2AB BD BD BDADB BAD ===∠∠， 在ACD 中，由正弦定理得2πsin sin sin 6AC CD CD CDADC DAC===∠∠， 因为πADB ADC ∠+∠=，所以sin sin ADB ADC ∠=∠为因为2BD CD =，所以AB AC =，即b c =，所以π6BC ==, 所以πππππ263ADB BAD B ∠=−∠−=−−=. 16. 如图，四棱锥P ABCD −的侧面PCD 为正三角形，底面ABCD 为梯形，//AB CD ，平面PCD ⊥平面ABCD ，已知44CD AB ==，13PM MD =.（1）证明：AM //平面PBC ；（2）若,AC AD PA ==，求直线AM 与平面PAB 所成角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析（2 【解析】【分析】（1）取PC 上的点N ，使14PN PC = ，可得MN AB =，则由线线平行可证线面平行；（2）取CD 中点O ，连,AO PO ，根据题意可证AO CD ⊥，PO ⊥平面ABCD ，所以以O 为坐标原点，,,OA OC OP分别为,,x y z 轴正方向，建立如图所示空间直角坐标系A xyz −，利用线面角的空间向量法求解. 【小问1详解】取PC 上的点N ，使14PN PC =，则()1144MN PN PM PC PD DC AB =−=−== ，所以四边形ABNM 为平行四边形，所以//AM BN ，又BN ⊂平面PBC ，AM ⊄平面PBC ，所以AM //平面PBC ； 【小问2详解】取CD 中点O ，连,AO PO ，因AC AD =，所以AO CD ⊥， 因为PCD为正三角形，所以,PO CD PO ⊥，又平面PCD ⊥平面ABCD ，平面PCD 平面ABCD CD =，PO ⊂平面PCD ， 所以PO ⊥平面ABCD ，因为AO ⊂平面ABCD ，所以PO AO ⊥，AO ==以O 为坐标原点，,,OA OC OP分别为,,x y z 轴正方向，建立如图所示空间直角坐标系A xyz −，则A ，(0,2,0)C ，(0,2,0)D −，)B，(0,0,P ，则(0,1,0)AB =，PA =−，1142AM AP PD =+=−， 设(,,)n x y z =为平面PAB 的法向量，则0000y n AB n PA = ⋅=⇒ −=⋅=，可取)n = ，cos ,n AM n AM n AM⋅===⋅， 故直线AM 与平面PAB. 17. 一个袋子中有30个大小相同球，其中有10个红球､20个白球，从中随机有放回地逐次摸球作为样为的本，摸到红球或者第5次摸球之后停止.用X 表示停止时摸球的次数. （1）求X 的分布列和期望；（2）用样本中红球的比例估计总体中红球的比例，求误差的绝对值不超过0.1的概率. 【答案】（1）分布列见解析，()21181E X = （2）2081【解析】【分析】（1）对于有放回的摸球，()()112,33P A P A ==，且i A ()1,2,3,4,5i =相互独立的，X 的可能取值为1,2,3,4,5，依次求出概率，可得分布列，再由期望公式求解； （2）设样本中红球的比例为f ，B =“样本中有红球”，且7133030C f =≤≤ ，分B 不发生，和B 发生求概率，从而得解. 【小问1详解】设=i A “第i 次摸出红球”，1,2,3,4,5i =，对于有放回的摸球，()()1101202,303303P A P A ====，且i A ()1,2,3,4,5i =相互独立的， X 的可能取值为1,2,3,4,5，则由题意可知，()(()()11212121,23339P X P A P X P A A ======⋅=， ()()212321433327P X P A A A ===⋅= ，()()3123421843381P X P A A A A ===⋅=，()()412342165381P X P A A A A ====，期望()124816211123453927818181E X =×+×+×+×+×=. 【小问2详解】总体中的红球比例13，设样本中红球的比例为f ，设B =“样本中有红球”，且17130.133030C f f =−≤=≤≤ ， 若B 不发生，则0f =，此时C =∅，所以()0P BC =， 若B 发生，则1f X =，此时711330303030137BC X X =≤≤=≤≤， 所以()()()482034278181P BC P X P X =+===+=， 所以，()()()2081P C P BC P BC =+=. 18. 已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的长轴长为()()1,2,0,2,02M N −.（1）求椭圆E 的方程；（2）过()4,0P 作一条斜率存在且不为0的直线l 交E 于,A B 两点. （i ）证明：直线AM 和直线BM 的斜率均存在且互为相反数； （ii ）若直线AM 与直线BN 交于点Q ，求Q 的轨迹方程. 【答案】（1）22186x y +（2）（i ）证明见解析；（ii）()212,02x x y −=≠≠【解析】【分析】（1）根据已知条件直接计算出椭圆相关基本量即可；（2）（i ）设()11,A x y ，()22,B x y ，直线l 的方程为()()40y k x k =−≠，联立方程组，利用韦达定理证明；（ii ）设直线，直线()()22:22BM x y y x +=+，联立方程组得204x x =，0202y y x =，采用代入法可得Q 的轨迹方程. 【小问1详解】根据题意，2a =，因为椭圆离心率为12，所以12c ea ==，所以c =6b =，所以椭圆的方程为22186x y +； 【小问2详解】（i ）设()11,A x y ，()22,B x y ，直线l 的方程为()()40y k x k =−≠，联立方程()224186y k x x y =− += ，消去y 得：()2222343264240k x k x k +−+−=， 则()2Δ96340k=−>，即k <由韦达定理得，212232=34k x x k++，2122642434k x x k −⋅=+，当k =Δ0=，122x x ==，不合题意，故122,2x x ≠≠， 所以直线AM 和直线BM 的斜率均存在，1212,22B A M M y y k k x x =−−=， 所以()()()()()()122112121242422222AM BM k x x k x x y yk k x x x x −−+−−+=+=−−−− ()()222121212122616024k x x x x x x x x ⋅−++ =⋅−++， 即直线AM 和直线BM 的斜率均存在且互为相反数； （ii ）由（i ）知22x ≠，且222BM AM y k k x ==−−， 可设直线()()22:22AM x y y x −=−，直线()()22:22BM x y y x +=+，设()00,Q x y ，则()()()()202020202222x y y x x y y x −=−− +=+ ，整理得20202022x y y y y x = = ①，由题意知20y ≠，由①知000,0y x ≠≠， 所以由①知，204x x =，0202y y x =②， 将②代入2222186x y +=得2022002213y x x +=，化简得0022123x y −=，又因为22x ≠，所以02x ≠，所以Q 的轨迹方程为()2212,023x y x y −=≠≠..【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为()11,x y ，()22,x y ；（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x （或y ）的一元二次方程，必要时计算∆； （3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为1212,x x x x +的形式； （5）代入韦达定理求解.19. 拟合（Fittiong ）和插值（Imorterpolation ）都是利用已知的离散数据点来构造一个能够反映数据变化规律的近似函数，并以此预测或估计未知数据的方法.拟合方法在整体上寻求最好地逼近数据，适用于给定数点.适用于需要高精度模型的场景，实际应用中常用多项式函数来逼近原函数，我们称之为移项式插值.例如，为了得到1cos 2的近似值，我们对函数()πcos 2f x x=进行多项式插值.设一次函数()1L x ax b =+满足()()()()11001110L f L f == == ，可得()f x 在[]0,1上的一次插值多项式()11L x x =−+，由此可计算出1cos 2的“近似值”11111cos10.6822πππf L=≈=−≈，显然这个“近似值”与真实值的误差较大.为了减小插值估计的误差，除了要求插值函数与原函数在给定节点处的函数值相等，还可要求在部分节点处的导数值也相等，甚至要求高阶导数也相等.满足这种要求的插值多项式称为埃尔米特（Hermite ）插值多项式.已知函数()πcos 2f x x = 在[]0,1上的二次埃尔米特插值多项式()2H x ax bx c ++满足()()()()()()001100H f H f H f =′=′ =（1）求()H x ，并证明当[]0,1x ∈时，()()f x H x ；（2）若当[]0,1x ∈时，()()2f x H x x λ− ，求实数λ的取值范围；（3）利用()H x 计算1cos 2的近似值，并证明其误差不超过140. （参考数据：2110.318,0.101ππ≈≈；结果精确到0.001） 【答案】（1）()21H x x =−+，证明见解析； （2）2π1,8−+∞（3）1cos 0.8992≈，证明见解析 【解析】【分析】（1）由题意列方程组求出,,a b c ，得()H x ；通过构造函数，利用导数求最值证明()()f x H x ≤；（2）令()()()()22π1cos 12G x H x f x x x x λλ=−−=−+−+，问题转化为()0G x ≤在[]0,1x ∈时恒成立，利用导数求函数单调性和最值，得条件满足时实数λ的取值范围；（3）由111cos 2ππf H =≈，代入求值即可，由误差2211π11ππ8πe f H =−≤− ，可证得结论.【小问1详解】()πcos 2f x x = ，()10f =，()01f =，()ππsin 22f x x′=−，()0 0f ′=，()2H x ax bx c ++，()2H x ax b ′=+，由()()()()()()001100H f H f H f =′=′=得100c a b c b = ++== ，解得101a b c =− = = ，因此()21H x x =−+. 设()()()2πcos 12F x f x H x x x =−=+−，[]0,1x ∈，()ππsin 222F x x x ′=−+ ，令()()1F x F x ′=，则()21ππcos 242F x x′=−+ ，因为()1F x ′在[0,1]上单调递增，且()21π0204F ′=−+<，()1120F ′=>，故存在()10,1x ∈使()110F x ′=，且()F x ′在()10,x 上单调递减，在()1,1x 上单调递增，又()00F ′=，()()100F x F ′′<=，()π120 2F ′=−+>， 所以()F x ′在()0,1上存在唯一的零点()21,1x x ∈，使得()20F x ′=， 且()F x 在()20,x 上单调递减，在()2,1x 上单调递增，又()()010F F ==，所以()0F x ≤，即()()f x H x ≤.【小问2详解】由（1）知()()2f x H x x λ−≤等价于()()2H x f x x λ−≤，且0λ≥，设()()()()22π1cos 12G x H x f x x x x λλ=−−=−+−+，[]0,1x ∈，则()0G x ≤， ()()ππ21sin 22G x x x λ′=−++， 令()()1G x G x ′=，则())21ππ21cos 42G x x λ′=−++， 令()()21G x G x ′=，则()32ππsin 082G x x′=−≤，所以1()G x ′在[]0,1上单调递减， 若2π18λ≥−，则()()()211π02104G x G λ′′≤=−++≤，所以()G x ′在[]0,1上单调递减，所以()()00G x G ′′≤=， 所以()G x 在[]0,1上单调递减，所以()(0)0G x G ≤=； 若2π018λ≤<−，则()21π(0)2104G λ′=−++>，而1(1)2(1)0G λ′=−+<，故存在()00,1x ∈，使10()0G x ′=，从而()00,x 上，1()0G x ′>，()G x ′单调递增，()()00G x G ′′>=， 在于是()G x 单调递增，()()00G x G >=不符合题意. 综上所述，λ的取值范围为2π1,8 −+∞. 【小问3详解】21111cos10.8992πππf H=≈=−+≈. 由（2）知，()()22π18f x H x x −≤−， 所以，误差22211π1111111ππ8π8π81040e f H =−≤−=−<−=. 【点睛】方法点睛：在实际解决“新定义”问题时，关键是正确提取新定义中的新概念、新公式、新性质、新模式等信息，确定新定义的名称或符号、概念、法则等，并进行信息再加工，寻求相近知识点，明确它们的共同点和不同点，探求解决方法，在此基础上进行知识转换，合理归纳，结合相关的数学技巧与方法来分析与解决. 不等式证明或不等式恒成立问题常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.。

广州市第六中学2023-2024学年高二下学期期末考试数学一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要目要求的.1. 已知非空集合，则实数a 的取值范围为（ ）A. B. C. D. 2. 若，则“”是“”（ ）A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件3. 函数与直线相切于点，则点的横坐标为（ ）A.B. 1C. 2D. 4. 若一个四位数的各个数位上的数子之和为3，则这样的四位数个数为（ ）A. 10B. 12C. 15D. 205. 如图，二面角等于，是棱上两点，分别在半平面内，，，且，则的长等于（ ）A. B. C. 4 D. 26. 记的内角的对边分别为，若，则的面积为（ ）AB.C.D.7. 已知函数在区间存在单调递减区间,则的取值范围是的.{}2A x a x a =<<()0,1(),0∞-()(),01,-∞⋃+∞()(),10,-∞-⋃+∞,a b ∈R a b >3322a b b a ->-()2ln f x x x =-0x y +=A A 1eel αβ--120︒A B 、l BD AC 、αβ、AC l ⊥BD l ⊥2AB AC BD ===CDABC V ,,A B C ,,a b c 222π,6,33B b a c ac ==+=ABCV 9492()2ln f x x ax x =--11,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦aA. B. C. D. 8. 已知等差数列的公差大于0且，若，则（ ）A.B.C.D.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9. 下列结论中，正确的有（ ）A. 数据4，1，6，2，9，5，8的第60百分位数为5B. 若随机变量，则C. 已知经验回归方程为，且，则D. 根据分类变量X 与Y 的成对样本数据，计算得到，依据小概率值的独立性检验，可判断X 与Y 有关联，此推断犯错误的概率不大于0.00110. 已知三棱锥是边长为2的正三角形，分别是的中点，在平面内的投影为点在平面内的投影为点．（ ）A. 两两垂直B. 在平面的投影为的中点C. 三点共线D. 形如三棱锥的容器能被整体装入一个直径为2.5的球11. 甲､乙两同学参加普法知识对抗赛，规则如下：每轮由其中一人从题库中随机抽取一题回答.若回答正确，得1分，且此人继续答题；若回答错误，得0分，同时换成对方进行下一轮答题.据经验统计，甲､乙每次答题正确的概率分别是和，且第1题通过抛掷硬币决定由谁作答.设第次答题者是甲的概率为，第次回答问题结束后甲的得分为，则（ ）A. B. C. D. 三､填空题：本小题共3小题，小题5分，共15分.12 若，则.[)1,+∞()1,+∞(),1∞-(],1-∞{}n a 1624a a a +=2416k ==5a =134947454()2~1,,(2)0.21N P ξσξ≤-=(4)0.79P ξ≤=ˆˆ 1.8y bx=+2,20x y ==ˆ9.1b =29.632χ=0.001α=2χ()0.00110.828x =,,V ABC VA VB VC ABC -==△,D E ,VA AB 90,CDE V ︒∠=ABC ,M M VAB P ,,VA VB VC P VAC VA ,,C M E V ABC -1223n n P n n K 214P =()1304P K ==11163n n P P +=+()112n n P K n +==()()28210012101(1)2(2)(2)x x a a x a x a x +⋅-=+-+-++- 01210a a a a ++++=__________.13. 已知双曲线的左、右焦点分别为的三个顶点都在上，且直线过原点，直线斜率的乘积为3，则双曲线的离心率为______．14. 在棱长为1的正方体中，点分别是棱的中点，是侧面上的动点.且平面，则点的轨迹长为__________.点到直线的距离的最小值为__________.四､解答题：本题共5小题，共7分.解答应写出文字说明､证明过程或验算步骤.15. 已知正项数列的前项积为，且满足.（1）求证：数列为等比数列；（2）求数列的前项和.16. 已知函数()，点A 是图像上的一个最高点，B 、C 为图像的两个对称中心，面积的最小值为．（1）求的值；（2）在区间上有20个极值点，求实数m 的取值范围．17. 已知函数.（1）求的最小值；（2）若在区间内恒成立，求实数的值.18. 由个小正方形构成长方形网格有行和列.每次将一个小球放到一个小正方形内，放满为止，记为一轮.每次放白球的频率为，放红球的概率为q ，.（1）若，，记表示100轮放球试验中“每一列至少一个红球”的轮数，统计数据如表：n 12345y7656423026求y 关于n 回归方程，并预测时，y 的值；（精确到1）的2222:1(0,0)x y M a b a b-=>>12,,F F ABC △M BC ,AC AB M 1111ABCD A B C D -E F ､1,BC CC P 11ADD A 1PC //AEF P P AF {}n a n n T ()*31nn n T a n T =∈-N 12n T ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭{}n T n n M ()πsin 4f x x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭0ω>()f x ()f x ABC V πω()f x []0,m 2()ln ()ln 1f x x x x g x a x x =-=-+，()f x ()0g x ≤()0,∞+a mn m n p 1p q +=2m =12p q ==y ln y bna =+ 10n =（2）若，，，，记在每列都有白球条件下，含红球的行数为随机变量，求的分布列和数学期望；（3）求事件“不是每一列都至少一个红球”发生的概率，并证明：.附：经验回归方程系数：，，，.19. 在空间解析几何中，可以定义曲面（含平面）的方程，若曲面和三元方程之间满足：①曲面上任意一点的坐标均为三元方程的解；②以三元方程的任意解为坐标的点均在曲面上，则称曲面的方程为，方程的曲面为.已知空间中某单叶双曲面的方程为，双曲面可视为平面中某双曲线的一支绕轴旋转一周所得的旋转面，已知直线过C 上一点，且以为方向向量.（1）指出平面截曲面所得交线是什么曲线，并说明理由；（2）证明：直线在曲面上；（3）若过曲面上任意一点，有且仅有两条直线，使得它们均在曲面上.设直线在曲面上，且过点，求异面直线与所成角的余弦值.的2m =2n =13p=23q =X X ()()111nmmn p q -+-≥1221ˆki ii kii x y kx ybxkx ==-⋅=-∑∑ˆˆa y bx=-51ln 53i ii n y=⋅=∑ln 3.8y =S S (),,0F x y z =S (),,0F x y z =(),,0F x y z =()000,,x y z S S (),,0F x y z =(),,0F x y z =S C 2221114x y z +-=C xOz z l ()1,1,2Q ()2,0,4d =--xOy C l C C C l 'C )2Tl l '广州市第六中学2023-2024学年高二下学期期末考试数学答案一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要目要求的.【1题答案】【答案】C【2题答案】【答案】C【3题答案】【答案】B【4题答案】【答案】A【5题答案】【答案】C【6题答案】【答案】A【7题答案】【答案】B【8题答案】【答案】B二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.【9题答案】【答案】BC【10题答案】【答案】ACD【11题答案】【答案】BCD三､填空题：本小题共3小题，小题5分，共15分.【12题答案】【答案】2560【13题答案】【答案】2【14题答案】【答案】①.②. 四､解答题：本题共5小题，共7分.解答应写出文字说明､证明过程或验算步骤.【15题答案】【答案】（1）证明略；（2）．【16题答案】【答案】（1） （2）【17题答案】【答案】（1） （2）【18题答案】【答案】（1）；3. （2）分布列略；. （3）；证明略.【19题答案】【答案】（1）平面上，以原点为圆心，1为半径的圆；理由略（2）证明略 （3111432nn⎡⎤⎛⎫-+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦12ω=77π81π,22⎛⎤⎥⎝⎦1-2 ln 0.45y n =-+32251(1)m n p --xOy O。

广东省广州市越秀区2023-2024学年高二下学期期末考试化学试题一、单选题1．从古至今，材料一直推动着人类社会的进步。

下列材料主要成分属于有机物的是A．玻璃B．石墨烯C．石英光导纤维D．导电高分子2．近年我国科技事业收获丰硕成果，为提升新质生产力提供了支撑。

下列相关描述正确的是A．“朱雀二号”液氧甲烷火箭入轨成功：CH4 燃烧时，其非极性共价键被破坏B．C929 配套的“长江2000”发动机试验成功：燃料煤油属于可再生能源C．打造中国北斗卫星导航系统：星载铷钟所用Rb元素位于元素周期表中的s区D．研制高导电性Al-Zr-Sc 合金材料：基态21Sc 的简化电子排布式是[Ar]3d24s1 3．下列化学用语或图示表达不正确的是A．顺-2-丁烯的键线式：B．SO2的VSEPR 模型：C．HCHO分子的空间结构模型：D．CH2=CH2分子中π键的形成过程：4．下列属于非极性分子的是A．CS2B．NF3C．O3D．H2O25．干冰的晶胞结构如图所示，下列说法正确的是A．干冰能自发地呈现多面体外形B．1个干冰晶胞中含有14个CO2分子C．干冰升华时，CO2的C=O受到破坏D．1个CO2分子周围有4个紧邻分子6．“结构决定性质”是化学学科的核心观念。

下列相关性质的比较正确的是A．沸点：乙醇<乙烷B．硬度：金刚石<硅C．在水中的溶解度：戊醇<乙醇D．第一电离能：Cl < P < S7．三氯化铁的熔点为282℃、沸点为315℃，易溶于水，也易溶于乙醚等有机溶剂。

在400℃Fe Cl存在。

则三氯化铁的晶体类型为时，它的蒸气中有双聚分子26A．分子晶体B．共价晶体C．金属晶体D．离子晶体8．原花青素是苹果中主要的多酚类物质，具有减少氧化应激以促进人体健康的作用。

其中的儿茶素结构如图所示，关于该化合物说法正确的是A．不属于烃的衍生物B．能与Fe3+发生取代反应C．能与溴水发生加成反应D．能与NaOH 溶液或Na2CO3溶液反应9．有机化合物性质因结构而多样，下列说法正确的是A．环戊烯()分子的核磁共振氢谱有3组峰B．乙醇和丙三醇互为同系物，化学性质相似C．甲苯能发生加成反应，但不能发生取代反应D．丙酮和环氧丙烷()互为同分异构体，化学性质相同10．下列除杂方法(括号内为杂质)正确的是A．硝基苯(苯)：蒸馏B．苯(少量苯酚)：滴加饱和溴水，过滤后分液C．乙烯(乙烷)：通入氢氧化钠溶液，洗气D．苯甲酸(泥沙和NaCl)：蒸发结晶11．N A为阿伏加德罗常数的值。

梅州市高中期末考试试卷（2024.7）高二数学注意事项：本试卷共6页，19小题，满分150分.考试用时120分钟.1.答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的学校、班级、考生号、姓名和座号填写在答题卡上.2.选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上.3.作答必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1.已知集合，，则A.{-2,-1,0,1}B.{-1,0,1}C.{-2,2}D.{-1,1}2.已知命题，，则为A.， B.，C.， D.，3.若，，则“”是“”的（ ）条件A.充分不必要B.必要不充分C.既不充分也不必要D.充分必要4.小明参加学校篮球协会的面试，通过面试的条件是：首先在三分线外投篮，两次机会，命中一次即通过面试；若均未命中，则接着在罚球点处投篮，一次机会，若命中，也可通过面试.已知小明三分线外投篮命中的概率为，在罚球点处投篮命中的概率为，且每次投篮是相互独立的，则其通过面试的概率为A.B.C.D.5.展开式中的常数项为A.6B.18C.-6D.-186.A. B.4 C.D.27.若制作一个容积为32（cm 3）的无盖正四棱柱容器（不考虑材料的厚度），要使所用材料最省，其底面边长为________（cm ）{2,1,0,1,2}A =--2}1{|B x x =>()= R A B ð:p x R ∀∈3sin cos 2x x +<⌝p x R ∀∈3sin cos 2x x +>x R ∀∈3sin cos 2x x +≥0x R ∃∈003sin cos 2x x +<0x R ∃∈003sin cos 2x x +≥x y R ∈>x y 22>x y 1323102717272327893212⎛⎫- ⎪⎝⎭x x 1sin10=︒1412A.2B.C.D.48.已知甲、乙两袋中装有大小相同、材质均匀的球，各袋中每个球被取出的概率相等.甲袋中有2个红球和4个蓝球，乙袋中有4个红球和4个蓝球，现从两袋中各取一个球，恰好一红一蓝，则其中红球来自于甲袋的概率为A.B.C.D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.某地生产的甲、乙两类水果的质量（单位：kg ）分别服从正态分布，，它们的正态分布的密度曲线如右图所示，则下列说法中正确的是A. B.C. D.10.某中学为了调查学生热爱阅读是否与学生的性别有关，从1200名女生和1500名男生中通过分层抽样的方式随机抽取180名学生进行问卷调查，将调查的结果得到等高堆积条形图如下图所示，则附：.a 0.0500.0100.0013.8416.63510.828A.可以估计该校学生中热爱阅读的女生人数比男生多B.用样本的频率估计总体概率，从该校学生中任选1人，其热爱阅读的概率为0.65C.根据小概率值a =0.01的独立性检验，可以认为学生是否热爱阅读与性别有关1413381221(,)N λσ22(,)N μσλμ<12σσ>00()()λμ≥>≥P x P x 00()()λμ≥<≥P x P x 22()()()()()χ-=++++n ad bc a b c d a c b d χa2χD.根据小概率值a =0.01的独立性检验，可以认为学生是否热爱阅读与性别无关11.已知函数，当且仅当，取得最小值，则下列说法正确的有A.的最大值为37B.的最小值为64C.在处导数等于0D.当x 和y 取遍所有实数时，则所能达到的最小值为4三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知离散型随机变量的分布列如下表，则均值________.10-1P0.50.3q13.写出在x =0处的切线方程为的一个二次函数________.14.摆线，又称旋轮线、圆滚线，是最速降线问题的解.在数学中，摆线的定义为：一个圆沿一条直线转动时，圆边界上一定点所形成的轨迹.已知一个半径为2的圆，沿着x 轴转动，角速度为1（rad/s ），如下图，为描述圆边界上从原点出发的点所形成的轨迹，写出其横坐标关于旋转时间t （s ）的函数表达式x t =________；其纵坐标关于旋转时间t 的函数表达式y t =________.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（13分）已知函数，的图像关于直线对称，且相邻两个零点的距离为.（1）求ω和φ的值；（2）若，，求的值.（3）若，使得关于x 的不等式成立，求实数m 的取值范围.16.（15分）某网上购物平台为了提高某商品的的销售业绩，对该商品近5个月的月销售单价x （单位：元）与月销量y （单位：个）之间的数据进行了统计，得到如下表数据：2χ22(,)(26sin )(cos )=+-+-f x y x y x y 00=⎧⎨=⎩x x y y (,)f x y ()(0,)=g y f y ()(,0)=h x f x 0()(,)=F x f x y 0=x x ξE()ξ=ξ21=+y x ()=g x ()2sin()f x x ωϕ=+0,22ππωϕ⎛⎫>-≤≤ ⎪⎝⎭3π=x 2π(0,)απ∈223f α⎛⎫= ⎪⎝⎭3cos 2πα⎛⎫+⎪⎝⎭0,2π⎡⎤∃∈⎢⎥⎣⎦x ()≤f x m单价x /元180190200210220月销量y /个5752423227（1）根据以往经验，y 与x 具有线性相关关系，求y 关于x 的线性回归方程；（2）若该商品的成本为140元/个，根据（1）中回归方程，求该商品月利润最大时的单价为多少元.（结果精确到1元）参考公式：.参考数据：.17.（15分）已知函数.（1）当a =1时，求函数的极值；（2）函数在区间上为单调函数，求a 的取值范围.18.（17分）如下图，李明从家里出发到公司有两条主干道，在主干道Ⅰ有R 1，R 2两个易堵点，R 1处出现堵车的概率为，且当R 1出现堵车时，R 2出现堵车的概率为；当R 1不堵车时，R 2出现堵车的概率为；主干道Ⅱ有三个易堵点，它们出现堵车的事件相互独立，且概率都是.（1）若李明从家里出发到公司选择了主干道Ⅱ行驶，求其恰遇到一次堵车的概率；（2）若李明选择了主干道Ⅰ行驶，求其遇到堵车的概率；（3）已知李明从家里出发到公司，如遇堵车，主干道Ⅰ中每个易堵点平均拥堵为4分钟，主干道Ⅱ的每个易堵点需平均拥堵为3分钟.若按照“平均拥堵时间短的路线是较优出行路线”的标准，则李明从家里出发到公司走哪一条路线较好？19.（17分）设集合，且P 中至少有两个元素，若集合Q 满足以下三个条件：①，且Q 中至少有两个元素；②对于任意，当，都有；③对于任意，若，则；则称集合Q 为集合P 的“耦合集”.（1）若集合P 1={2,4,6}，求集合P 1的“耦合集”Q 1；（2）集合，且，若集合P 2存在“耦合集”Q 2.（i ）求证：对于任意，有；1221ˆˆˆ,==-⋅==--∑∑ni ii nii x ynx y ba y bx xnx 55211201000,41200====∑∑i i ii i x x y 2ln ,0()=-->x x a x x a f ()f x ()f x [1,2]122314123,,S S S 13*N ⊆P *N ⊆Q ,∈m n P ≠m n +∈m n Q ,∈u v Q >v u -∈v u P *21234,,,,N ,1,2,3,4{}=∈=i P a a a a a i 1234<<<a a a a 14≤<≤i j 2-∈j i a a P（ii）求集合P2的“耦合集”Q2的元素个数.。

试卷类型：A汕头市2023-2024学年高二下学期期末普通高中教学质量监测数学注意事项：1.答题前，先将自己的姓名､准考证号填写在试题卷和答题卡指定位置.2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷､草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.4.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交.第Ⅰ卷选择题一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知32i -+是关于x 的实系数方程220x px q ++=的一个根，则q 的值为（ ）A.26B.-26C.13D.-132.若空间中四条不同的直线1l ，2l ，3l ，4l 满足12l l ⊥，23l l ⊥，34l l ⊥，则下面结论正确的是（ ）A.14l l ⊥B.14l l ∥C.1l ，4l 既不垂直也不平行 D.1l ，4l 的位置关系不确定3.已知1tan 3α=-，则sin 2α=（ ）A.35 B.35- C.35± D.45±4.已知{}n a 为等差数列，135105a a a ++=，24699a a a ++=，则20a =（ ）A.1B.33C.65D.-15.对于变量Y 和变量x 的成对样本观测数据，用一元线性回归模型()()20,Y bx a eE e D e σ=++⎧⎨==⎩得到经验回归模型ˆˆˆy bx a =+，对应的残差如图所示，则模型误差（）A.满足一元线性回归模型的所有假设B.不满足一元线性回归模型的()0E e =的假设C.不满足一元线性回归模型的()2D e σ=的假设D.不满足一元线性回归模型的()0E e =和()2D e σ=的假设6.通过随机询问某中学110名学生是否爱好跳绳，得到如下22⨯列联表.已知()()()()()22n ad bc a b c d a c b d χ-=++++，()210.8280.001Pχ≥=，根据小概率值0.001α=的独立性检验，以下结论正确的是（ ）性别跳绳男女合计爱好402060不爱好203050合计6050110A.爱好跳绳与性别有关B.爱好跳绳与性别有关，这个结论犯错误的概率不超过0.001C.爱好跳绳与性别无关D.爱好跳绳与性别无关，这个结论犯错误的概率不超过0.0017.在ABC 中，π4B =，BC 边上的高等于13BC ，则cos A =（ ）C. D.8.某海湾拥有世界上最大的海潮，其高低水位之差可达到15m .在该海湾某一固定点，大海水深d （单位：m ）与午夜24：00后的时间t （单位：h ）的关系由函数()104cos d t t =+表示，则上午9：00潮水的涨落速度为（精确到0.01m /h ，参考数据：33sin 30.140.0027≈≈）（ ）A.3.00B.-1.64C.1.12D.-2.15二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知点O ､N ､P 在ABC 所在平面内，则（）A.若OA OB OC ==，则点O 是ABC 的外心B.若0NA NB NC ++=，则点N 是ABC 的重心C.若PA PB PB PC PC PA ⋅=⋅=⋅，则点P 是ABC 的内心D.若0AB AC BC AB AC⎛⎫⎪+⋅= ⎪⎝⎭，则ABC 是等腰三角形10.已知函数()ππsin sin cos 66f x x x x a ⎛⎫⎛⎫=++-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的最大值为1，则（ ）A.1a =-B.()f x 的最小正周期为2πC.()f x 在π,π4⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减D.()f x 的图象按向量π,16a ⎛⎫=-⎪⎝⎭平移，所得图象过原点11.已知点()2,3P --和以点Q 为圆心的圆()()22129x y -+-=，以PQ 为直径，点Q '为圆心的圆与圆Q 相交于A ､B 两点，则（ ）A.圆Q '的方程为()()()()12230x x y y -++-+=B.PA 与PB 两条直线中，有一条直线的斜率不存在C.直线AB 的方程为3560x y +-=D.线段AB第II 卷非选择题三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.写出()81x +的展开式中系数最大的项：__________.13.已知一正四面体状木块V ABC -的棱长为3，点P 为侧面VAC 的重心，过点P 将木块锯开，使截面平行于直线VB 和AC ，则截面周长为__________.14.设椭圆()222210x y a b a b +=>>的离心率为e ，双曲线22221x y a b -=e 的取值范围是__________.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.（本小题满分13分）已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且132n n a S +=+，*n ∈N .（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）在n a 与1n a +之间插入n 个数，使这2n +个数组成一个公差为n d 的等差数列，在数列{}n d 中是否存在3项m d ､k d ､p d （其中m ､k ､p 成等差数列）成等比数列？若存在，求出这样的3项；若不存在，请说明理由.16.（本小题满分15分）在长方体1111ABCD A B C D -中，点E ､F 分别在棱1BB ､1DD 上，且1AE A B ⊥，1AF A D ⊥.（1）求证：1AC ⊥平面AEF ；（2）当3AD =，4AB =，15AA =时，求平面AEF 与平面11D B BD 的夹角的余弦值.17.（本小题满分15分）已知函数()()e 211x x f x x -=-.（1）作出()y f x =的大致图象，并说明理由；（2）讨论函数()12e 1x a g x x =---的零点个数.18.（本小题满分17分）甲公司现有资金200万元，考虑一项投资计划，假定影响投资收益的唯一因素是投资期间的经济形势：若投资期间经济形势好，投资有25%的收益率；若投资期间经济形势不好，投资有10%的损益率.如果不执行该投资计划，损失为1万元.现有如下两个方案，方案一执行投资计划；方案二聘请投资咨询公司乙分析投资期间的经济形势，聘请费用为5000元，若投资咨询公司乙预测投资期间经济形势好，则执行投资计划；若投资咨询公司乙预测投资期间经济形势不好，则不执行该计划.以往的资料表明，投资咨询公司乙预测不一定正确.投资期间经济形势好，咨询公司乙预测经济形势好的概率是0.8；投资期间经济形势不好，咨询公司乙预测经济形势不好的概率是0.7.假设根据权威资料可以确定，投资期间经济形势好的概率是0.4，经济形势不好的概率是0.6.（1）求投资咨询公司乙预测投资期间经济形势好的概率；（2）根据获得利润的数学期望的大小，甲公司应该执行哪个方案？说明理由.19.（本小题满分17分）抛物线具有光学性质：由其焦点F 发出的光线经抛物线上的点M （不同于抛物线的顶点）反射后，反射光线平行于抛物线的对称轴.由光路可逆知，反之也成立.（1）已知平行于x 轴的光线l 从点()(),20P m m >发出，经抛物线22y x =上的点A 反射后，再经该抛物线上另一点B ，最后沿BQ 方向射出，若射线BP 平分ABQ ∠，求实数m 的值；（2）光线被抛物线上某点反射，其实是被抛物线在该点处的切线反射.对于一般的抛物线()220y px p =>，请证明上述抛物线的光学性质.汕头市2023-2024学年高二下学期期末普通高中教学质量监测数学科参考答案与评分标准第I 卷题号1234567891011答案ADBACCDBABDABABD1.【解析】实系数一元二次方程的两根互为共轭复数，由韦达定理得2|32i |132q=-+=；2.【解析】利用长方体易得；3.【解析】2222sin cos 2tan 3sin2sin cos tan 15ααααααα===-++；4.【解析】1353353a a a a ++==，同理433a =，故公差2d =-，所以204161a a d =+=；5.【解析】由残差图的点没有均匀分布在水平带状区域内可知：不满足()2e D σ=的假设；6.【解析】计算得20.0017.810.828χα≈<=，说明没有充分证据作此推断；7.【解析】作AD BC ⊥于D ，设BC a =，则2,,33a a AD BD CD AB AC =====，故由余弦定理可求得Cos A ；8.【解析】由导数的意义知，上午9:00潮水的涨落速度为()()()()()2294sin94sin 634sin6Cos3Cos6sin342sin31sin 312sin 3sin3d ⎡⎤=-=-+=-+=--+-⎣⎦'()344sin 33sin3=-()440.002730.14 1.64;=⨯⨯-⨯≈-9.【解析】由外心定义，A 正确；设D 是AB 中点，由0NA NB NC ++= 得2NC ND =-，B 正确；由PA PB PB PC ⋅=⋅ 得()0PB PC PA PB AC ⋅-=⋅=，即PB AC ⊥，同理，PC AB ⊥，故点P 是ABC 的垂心，C 错误；设AB ACAF AB AC=+，则AF 为BAC ∠的平分线，又AF BC ⊥，故D 正确；10.【解析】化简得()π2sin 6f x x a ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，故21a +=，A 正确；显然，B 正确；π6u x =+在π,π4⎛⎫ ⎪⎝⎭上递增，且5π7π,126u ⎛⎫∈⎪⎝⎭，而sin u 在5π7π,126⎛⎫⎪⎝⎭上没有单调性，故C 错误；设()f x 的图象按向量π,16a ⎛⎫=-⎪⎝⎭平移，得到函数()g x 的图象，则()π2sin 3g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，D 错误；11.【解析】设点(),M x y 为圆Q '上任一点，由0MP MQ ⋅=知，A 正确；显然，PA 与PB 为圆Q 的切线，若有一条的斜率不存在，则其方程必为2x =-，它到圆心Q 的距离为3，与圆Q 半径相等，符合题意，故B 正确；圆Q 与圆Q '的方程相减得直线AB 的方程为3540x y +-=，故C 错误；圆心Q 到直线AB，所以AB ==，故D 正确；第II 卷12.【解析】8(1)x +的展开式中系数最大的项也即是二项式系数最大的项，即4458T C x =；13.【解析】由线面平行的性质定理知，截面的两组对边分别与AC 和VB 平行，与AC 平行的边长为2，与VB 平行的边长为1，故周长为6；14.【解析】依题意，0b a <<，故e ⎫=⎪⎪⎭；15.【答案】（1）设等比数列{}n a 的公比为q ，则当1n =时：1132a q a =+，①当2n =时：()211132a q a a q =++，②由①②解得：12,4a q ==，所以数列{}n a 的通项公式121242n n n a --=⨯=；（2）设数列{}n d 中存在3项m k p d d d ､､成等比数列，则2k m p d d d =⋅，因为2113211n n n n a a d n n -+-⨯==++，所以2212121323232111k m p k m p ---⎛⎫⨯⨯⨯=⋅ ⎪+++⎝⎭，即()()()22242223232(1)11m p k k m p +--⨯⨯=+++；又因为m k p ､､成等差数列，所以2k m p =+，所以()()2(1)11k m p +=++，化简得22k k mp m p +=++，所以2k mp =，又m k p ､､各不相等，所以222()4m p k mp k +=<=，矛盾.从而假设不成立，故在数列{}n d 中不存在3项,,m k p d d d 成等比数列.16.【答案】（1）证明：因为()()110AC AE A B BC AE BC AE BC AB BE ⋅=+⋅=⋅=⋅+=，所以1AC AE ⊥，因为()()110AC AF A D DC AF DC AF DC AD DF ⋅=+⋅=⋅=⋅+= ，所以1AC AF ⊥，又AE AF A ⋂=，故1AC ⊥平面AEF ；（2）以点D 为原点，分别以直线1DA DC DD ､､为x y z ､､轴，建立空间直角坐标系，则()()13,4,0,0,0,5DB DD ==设平面11DBB D 的法向量为(),,n x y z =，则150340n DD z n BD x y ⎧⋅==⎪⎨⋅=+=⎪⎩，取()4,3,0n =- ，由（1）知：()13,4,5A C =--是平面AEF 的一个法向量所以，111cos ,n A C n A C n A C⋅==⋅，设平面AEF 和平面11D B BD 的夹角为θ，则1cos cos ,n A C θ==.17.【答案】（1）()f x 的定义域为{}1xx ≠∣，且()()2e 23(1)x x x f x x -=-'，由()0f x '=得：0x =或32x =，列表得：x(),0∞-0()0,131,2⎛⎫ ⎪⎝⎭323,2∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭()f x '+--+()f x极大值极小值所以，()f x 的递增区间为(),0∞-与3,2∞⎛⎫+⎪⎝⎭，递减区间为()0,1与31,2⎛⎫⎪⎝⎭，()f x 的极大值为()01f =，极小值为3234e 2f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，当x ∞→-时，()0f x →，且0x <时，()0f x >，当x 从1的左侧无限趋近1时，()f x ∞→-，当x 从1的右侧无限趋近1时，()f x ∞→+又10,2f ⎛⎫=⎪⎝⎭所以函数()y f x =的大致图象如图所示：（2）令()120e 1x a g x x =--=-得：()()e 211x x a f x x -==-，由（1）知，当()32,01,4e a ∞⎧⎫∈-⋃⎨⎬⎩⎭时，()y g x =恰有1个零点；当()320,14e ,a ∞⎛⎫∈⋃+ ⎪⎝⎭时，()y g x =恰有2个零点；当321,4e a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()y g x =没有零点.18.【答案】（1）记B =“投资期间经济形势好”，A =“投资咨询公司预测投资期间经济形势好”，则()()0.4,0.6P B P B ==，()0.8P A B =∣，()()110.70.3,P A B P A B =-=-=∣∣由全概率公式得：()()()()()P A P B P A B P B P A B =+∣∣0.40.80.60.30.5;=⨯+⨯=（2）设采取方案一获得利润X 万元，则X 的分布列是X50-20P 0.40.6设采取方案二获得利润Y 万元，则Y 的所有可能取值为20.5, 1.5,49.5--，(20.5)()((0.18P Y P BA P B P A B =-===∣，( 1.5)(1()10.50.5P Y P A P A =-==-=-=，()()()()49.50.32P Y P BA P B P A B ====∣，Y ∴的分布列为：Y -20.5-1.549.5P0.180.50.32()()500.4200.68,20.50.18 1.50.549.50.3211.4E X E Y ∴=⨯-⨯==-⨯-⨯+⨯=，()(),E X E Y <∴ 甲公司应该选择方案二.19.【答案】（1）依题意可知，直线l 的方程为2y =，由222y y x =⎧⎨=⎩得：()2,2A ，又1,02F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以43AB k =，故直线AB 的方程为4132y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，由()2413222y x y x x ⎧⎛⎫=-⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪=≠⎩得：11,82B ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则2081BP k m =-，设直线BP 的倾斜角为θ，由2222tan 4tan21tan 13BP AB BP k k k θθθ====--得12BP k =或-2（舍去）所以201812m =-，故418m =；（2）设直线()0y kx b k =+≠与拋物线22(0)y px p =>相切于点M ，由22y kx b y px=+⎧⎨=⎩得：()222220k x kb p x b +-+=，故222Δ(22)40kb p k b =--=，整理得2kb p =，从而(),2,,0b M b F kb k ⎛⎫ ⎪⎝⎭，进而()21,2b MF k b k ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，取直线MF 的一个方向向量()211,2n k k =-- ，直线()0y kx b k =+≠的一个方向向量为()1,m k =，焦点F 发出的光线经点M 反射，设反射光线斜率为k '，取其一个方向向量为()21,n k '= ，故12cos ,cos ,0m n m n += ，即：=整理得：()2120k k k k ⎡⎤-+⎣'=⎦'，因为1n 与2n 不共线，所以()2120k k k '-+≠，从而0k '=，所以由抛物线焦点F 发出的光线经拋物线反射后，反射光线平行于抛物线的对称轴.。

广东省广州市2023-2024学年高二下学期期中考试数学质量检测试题一、单选题1．已知数列是公差为2的等差数列，若，，成等比数列，则 {}n a 12a +42a +14a 14(a =)A ．9B ．12C ．18D ．272．色差和色度是衡量毛绒玩具质量优劣的重要指标，现抽检一批产品测得数据如下表：已知该产品的色度y 和色差x 之间满足线性相关关系，且，现有一组测量数据为0.8y x a =+，则该数据的残差为（ ）()31,22.4色差x 22242628色度y16192021A ．B ．C ．D ．1.41.21.2- 1.4-3．已知随机变量，若，则（ ）~(,)X B n p 48(),()39E X D X ==(1)P X ==A ．B ．C ．D ．233281134814．山东烟台苹果因“果形端正､色泽艳丽､果肉㓉脆､香气浓郁”享誉国内外据统计，烟台苹果（把苹果近似看成球体）的直径（单位：）服从正态分布，则直径在]mm)()280,5N (70,85内的概率为（ ）附：若，则()2,X N μσ ()0.6826,(22)0.9544P X P X μσμσμσμσ-<≤+=-<<+=A ．B ．C ．D ．0.68260.84130.81850.95445．中国女子乒乓球队是世界乒坛的常胜之师，曾20次获得世乒赛女子团体冠军．2021年休斯敦世界乒乓球锦标赛，中国选手王曼昱以4∶2击败孙颖莎，夺得女单冠军．某校甲、乙两名女生进行乒乓球比赛，约定“七局四胜制”，即先胜四局者获胜．已知甲、乙两人乒乓球水平相当，事件A 表示“乙获得比赛胜利”，事件B 表示“比赛进行了七局”，则（ ）()P B A =A ．B ．C ．D ．7165163161166．设等差数列的前项和为，若，则当取得最小值时，的值为{}n a n n S 9610S S S <<n S n （ ）A ．7B ．8C ．9D ．107．函数在区间，上的最大值为 ()sin (1)cos f x x x x =-+[02]π()A ．B ．1C ．D ．1-1π+2π+8．已知是数列的前项和，，，不等式n S {}na n 12a =()122nn n a a +=+对任意的恒成立，则实数的取值范围为（ ）21212820n n a S n λ+--+≤*n ∈N λA ．B ．(],32-∞(],16-∞C ．D ．[)32,+∞(],8∞-二、多选题9．现有4个编号为1，2，3，4的不同的球和5个编号为1，2，3，4，5的不同的盒子，把球全部放入盒子内，则下列说法正确的是（ ）A ．共有种不同的放法45B ．恰有一个盒子不放球，共有120种放法C ．每个盒子内只放一个球，恰有2个盒子的编号与球的编号相同，不同的放法有24种D ．将4个不同的球换成相同的球，恰有一个空盒的放法有5种10．（多选题）已知函数，则（ ）()[]()31440,33f x x x x =-+∈A ．函数在区间上单调递减()f x [0,2]B ．函数在区间上的最大值为1()f x [0,3]C ．函数在点处的切线方程为()f x (1,(1))f 1033y x =-+D ．若关于的方程在区间上有两解，则x ()f x a =[0,3]4,43a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭11．已知数列满足，，，为数列的前项和，{}n a 24,3,nn n a n a a n ++⎧=⎨⎩为奇数为偶数11a =23a =n S {}n a n 则下列说法正确的有（ ）A ．725a =B ．当为奇数时，n ()12332n n n n S ++-+=C ．设，则数列的前项和小于2122n n n a b a -+={}n b n n P 37D ．设，则数列的前项和小于2nn c a =()()111n n n c c c +⎧⎫⎪⎪⎨⎬--⎪⎪⎩⎭n n T 14三、填空题12．展开式的常数项为 ．()62112x x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭13．等差数列中，为的前n 项和，，若不等式，对任意{}n a n S {}n a 222,3a S ==218n n S ka +≥的恒成立，则实数k 的取值范围为 .*N n ∈14．已知函数，过点且与曲线相切的直线只有1条，则实()()212e x f x x +=-()0,A m ()y f x =数的取值范围是 ．m 四、解答题15．羽毛球是一项隔着球网，使用长柄网状球拍击打平口端扎有一圈羽毛的半球状软木的室内运动，某学校为了解学生对羽毛球的喜爱情况，随机调查了200名学生，统计得到如下2×2列联表：喜欢不喜欢总计男生4060100女生8020100总计12080200(1)依据小概率值的独立性检验，能否认为“是否喜欢羽毛球”与性别有关联?0.001α=(2)为了增强学生学习羽毛球的积极性，从调查结果为“喜欢”的学生中按性别用分层抽样的方法抽取6人参加羽毛球集训，再从这6人中随机抽取3人参加羽毛球比赛，记随机变量X 为这3人中女生的人数，求X 的分布列和数学期望.附：，其中.()()()()()22n ad bc a b c d a c b d χ-=++++n a b c d =+++α0.1000.0500.0100.001x α 2.706 3.841 6.63510.82816．已知函数（）．()()22e 12x a f x x x ax =--+-a ∈R (1)若，求曲线在点处的切线方程；2a =()y f x =()()0,0f (2)讨论的单调性.()f x 17．设数列的前项和为，已知，是公差为2的等差数列．{}n a n n S 16a =2n S n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭(1)求的通项公式；{}n a (2)若，设数列的前项和，求证：．14n n n b a a +={}n b n n T 11156n T ≤<18．在一场乒乓球赛中，甲、乙、丙、丁四人角逐冠军.比赛采用“双败淘汰制”，具体赛制为：首先，四人通过抽签两两对阵，胜者进入“胜区”，败者进入“败区”；接下来，“胜区”的两人对阵，胜者进入最后决赛；“败区”的两人对阵，败者直接淘汰出局获第四名，紧接着，“败区”的胜者和“胜区”的败者对阵，胜者晋级最后的决赛，败者获第三名；最后，剩下的两人进行最后的冠军决赛，胜者获得冠军，败者获第二名.甲对阵乙、丙、丁获胜的概率均为，()01p p <<且不同对阵的结果相互独立.(1)若，经抽签，第一轮由甲对阵乙，丙对阵丁；0.6p =①求甲获得第四名的概率；②求甲在“双败淘汰制”下参与对阵的比赛场数的数学期望；(2)除“双败淘汰制”外，也经常采用“单败淘汰制”：抽签决定两两对阵，胜者晋级，败者淘汰，直至决出最后的冠军.哪种赛制对甲夺冠有利？请说明理由.19．已知函数.()ln af x x x =-(1)当时，求的极值；1a =-()f x (2)若恒成立，求实数的取值范围；()0f x ≥a (3)证明.()()312e*2e1n nn n ++++>+∈N答案：1．D【分析】利用等差数列与等比数列性质即可求解.【详解】由题可得，，24114(2)(2)a a a +=+∴2111(322)(2)(132)a a a +⨯+=++⨯解得，．11a =14113113227a a d =+=+⨯=故选：．D 2．D【分析】根据题意，由回归直线方程过样本中心点，即可得到，然后代入计算，即可1a =-得到结果.【详解】由题意可知，，，22242628254x +++==16192021194y +++==将代入，即，解得，()25,19 0.8y x a =+ 190.825a =⨯+ 1a =-所以，当时，， 0.81y x =-31x =0.831123.8y =⨯-=所以该数据的残差为.22.423.8 1.4-=-故选：D.3．B【分析】由二项分布的期望和方差公式，解出，由二项分布的概率公式求.,n p (1)P X =【详解】随机变量，则有，~(,)X B n p 48(),()(1)39E X np D X np p ===-=由，解得，()(1)8421()933D X np p p E X np -==-=÷=1,43p n ==所以.3141232(1)C 3381P X ⎛⎫==⨯⨯=⎪⎝⎭4．C【分析】确定，根据正态分布所给定区间上的概率，结合正态曲线的702,85μσμσ=-=+对称性，可求得答案.【详解】由题意得：，702,85μσμσ=-=+故(2)P X μσμσ-<<+(2)()P X P X μσμσμσμσ=-<<-+-<<+，0.95440.68260.68260.81852-=+=故烟台苹果直径在]内的概率为，(70,850.8185故选：C 5．B【分析】根据条件概率计算公式求解.【详解】乙获得比赛胜利，可能进行了4局或5局或6局或7局比赛，乙获胜的概率，()45124511C C 22P A ⎛⎫⎛⎫=+⨯+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭6736111C 222⎛⎫⎛⎫⨯+⨯=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭乙获胜并且比赛进行了七局的概率，()73615C 232P AB ⎛⎫=⨯=⎪⎝⎭∴．()P B A =()()55321162P AB P A ==故选：B ．6．B【分析】根据等差数列的性质即可求解,,进而根据数列的单调性求解.80a <90a >【详解】，即.9610967898,30S S S S S a a a a <<∴-=++=< 80a <()106789108989920,0,0,S S a a a a a a a a a -=+++=+>∴+>∴> 因此数列单调递增，{}n a 故当取得最小值时，的值为8.n S n 故选：B.【分析】首先对函数进行求导，求出函数极值点，最后求出函数的最大值．【详解】由于，()sin (1)cos f x x x x =-+故，()sin sin f x x x x '=+由于，，[0x ∈2]π令，解得或，()0f x '=x π=2π故函数在，上单调递增，在，上单调递减；[0x ∈]π[x π∈2]π当时，函数取得最大值为．x π=()1f ππ=+故选：．C 8．A【分析】根据题意，由条件可得数列是等差数列，再由错位相减法可得，代入计算，2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭n S 分离参数，结合基本不等式即可得到结果.【详解】，，又，()122nn n a a +=+ 11122n n n n a a ++∴-=12a =数列是首项为1、公差为1的等差数列，∴2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭，，2nn a n ∴=2n n a n ∴=⨯ ①，231222322nn S n ∴=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯②，()23121222122n n n S n n +∴=⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⨯+⨯①②得，，-()()2311121222222212212n n n n n n S n n n +++--=+++⋅⋅⋅+-⨯=-⨯=-⨯--，不等式，()1122n n S n +∴=-⨯+∴21212820n n a S n λ+--+≤即，222222212820n n n n n λ+⨯-⨯--+≤故对任意的恒成立．26422n n λ+≤+*n ∈N 又，当且仅当，即时等号成立，2264642223222n n n n +++≥⨯=26422n n +=2n =故选：A ．9．ABD【分析】对A ，按照分步乘法原理可计算；对B ，从5个盒子中选出4个盒子的排列；对C ，先选定两个盒子的编号与球的编号相同的球，再考虑剩下的两个球不放进自己编号的24C 盒子放法有种；对D ，即考虑哪个盒子为空的放法有5种.123+=【详解】对于A ，每个球都有5种放法，共有种放法，故A 正确；455555⨯⨯⨯=对于B ，把球全部放入盒子内，恰有一个盒子不放球，则有4个盒子每个盒子放1个球，有种放法，故B 正确；45A 5432120=⨯⨯⨯=对于C ，每个盒子内只放一个球，恰有2个盒子的编号与球的编号相同，不同的放法有种放法，故C 错误；()24C 1218⨯+=对于D ，将4个不同的球换成相同的球，恰有一个空盒，即有4个盒子每个盒子放1个球的放法有5种，故D 正确，故选：ABD.10．AC【分析】利用导数分析函数的单调性，进而判断AB 选项；结合导数的几何意义可判断()f x C 选项；画出函数大致图象，结合图象即可判断D 选项.()f x 【详解】因为，，31()443f x x x =-+[0,3]x ∈所以，2()4(2)(2)f x x x x '=-=+-令，即；令，即，()0f x '>2x >()0f x '<02x ≤<所以函数在区间上单调递减，在上单调递增，故A 正确；()f x [0,2][2,3]因为，，()04f =()31f =所以函数在区间上的最大值为4，故B 错误；()f x [0,3]因为，，(1)3f '=-1(1)3f =所以函数在点处的切线方程为，()f x (1,(1))f 13(1)3y x -=--要使方程在区间()f x a =[0,3]则，故D 错误.413a -<≤故选：AC.11．BD【分析】对于A ，只需对n所以，①， ②，2341159433333n n n P +-=++++ 345211594333333n n n P +-=++++ 由两式相减得：341221111434()393333n n n n P ++-=++++- ， 312211(1)1431433341933313n n n n n -++--+=+⨯-=--故，故C 项错误；2114312232n n n P +-=-⋅<对于D 项，，12333n n n nc a -===⋅则，()()1113111()11(31)(31)23131n n n n n n n n c c c +++==-------则22311111111[()()2313131313131n n n T +⎛⎫=-+-++- ⎪------⎝⎭ ，故D 项正确.11111()22314n +=-<-故BD.方法点睛：(1)对于已知递推数列是奇偶性要求的数列，一般按照奇偶性进行分组求和；(2)对于等差数列乘以等比数列型数列，一般考虑错位相消法求和；(3)对于数列通项具备分式型函数特点，一般考虑裂项相消法求和.12．100-【分析】先利用二项式定理求得展开式的通项公式，再分别求中常数项与612x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭612x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭含项的系数，从而得解.2x -【详解】因为展开式的通项公式为，612x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭()6662166C 2(1)2C 1r r r r r rr rT x x x--+-⎛⎫-= ⎝=-⎪⎭当1乘以时，令，解得，常数项为；612x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭620r -=3r =3336C 160(1)2=--当乘以时，令，解得，常数项为；2x 612x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭622r -=-4r =4246C 60(1)2=-所以的展开式中的常数项为.()62112x x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭16060100-+=-故答案为.100-13．19(,]2-∞【分析】利用等差数列的定义及求和公式先计算基本量得，再分离参数，借助对勾函数,n n a S 的性质计算即可.【详解】由题意可知，则的公差为，2211S a a -=={}n a 211d a a =-=所以，()1,2n n n n a n S +==则，即恒成立，()218118n n S ka n n kn +≥⇒++≥()218181N n n k n n n n *++≤=++∈由对勾函数的性质知在上单调递减，在上单调递增，()181f n n n =++()0,32()32,+∞而，即，()()19484525f f =<=min 181912n n ⎛⎫++= ⎪⎝⎭所以.192k ≤故19(,]2-∞14．或{2e m m <-}0m =【分析】设切点为，根据导数的几何意义求出切线方程，再将点代入()()21,2e a a a +-()0,A m 可得，构造函数，则的图像与直线()221242e a m a a +=-+-()()221242e x g x x x +=-+-()y g x =只有1个交点，利用导数求出函数的单调区间和极值，作出图象，结合图象即可y m =()g x 得解.【详解】设切点为，()()21,2e a a a +-由，得，()()212e x f x x +=-()()()212121e 22e 23e x x xf x x x +++=+-⋅=-'所以切线的斜率为，()()2123e a k f a a +=-'=切线方程为，()()()21212e 23e a a y a a x a ++--=--因为点在切线上，所以，()0,A m ()()()21212e 23e 0a a m a a a ++--=--数的图象的交点问题.()y g x =15．(1)有关联(2)分布列见解析，2【分析】（1）根据题意计算，并与临界值对比分析；2χ（2）由分层抽样可得抽取的6人中，男生2人，女生4人，X 的所有可能取值为1，2，3，依次求出相应的概率，得到分布列，求出数学期望.【详解】（1）零假设为：“是否喜欢羽毛球”与性别无关联，0H 根据列联表中的数据，经计算得到，()222004020608010033.33310.828120801001003χ⨯-⨯==≈>⨯⨯⨯依据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为“是否喜欢羽毛球”与性0.001α=0H 别有关联.（2）依题意，抽取的6人中，男生人数为：人，女生人数为人40624080⨯=+80644080⨯=+X 的所有可能取值为1，2，3，所以，，，221436C C 1(1)C 5P X ===122436C C (2)C 35P X ===3436C 1(3)C 5P X ===X 的分布列为：X123P153515所以.131()1232555E X =⨯+⨯+⨯=16．(1)30x y --=(2)答案见解析【分析】（1）根据导数的几何意义求切线方程：求出导函数，计算并计算出，()f x '(0)f '(0)f 由点斜式得切线方程并化简；（2）求出导函数，然后分类讨论确定和的解得单调区间．()f x '()0f x '>()0f x '<【详解】（1）若，则，所以，2a =()()22e 21x f x x x x =--+-()()1e 22x f x x x '=--+所以，又，()0121f '=-+=()0213f =--=-所以曲线在点处的切线方程为，即．()y f x =()()0,0f ()()310y x --=⨯-30x y --=（2），()()()()1e 1e x x f x x ax a x a'=--+=--当时，令，解得，令，解得，所以在上单调递0a ≤()0f x ¢>1x >()0f x '<1x <()f x (),1-∞减，在上单调递增()1,+∞当时，令，解得或，令，解得，所以0e a <<()0f x ¢>ln x a <1x >()0f x '<ln 1a x <<在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增；()f x (),ln a -∞()ln ,1a ()1,+∞当时，由在上恒成立，所以在上单调递增；e a =()0f x '≥(),-∞+∞()f x (),-∞+∞当时，令，解得或，令，解得，所以在e a >()0f x ¢>1x <ln x a >()0f x '<1ln x a <<()f x 上单调递增，在上单调递减，在上单调递增．(),1-∞()1,ln a ()ln ,a +∞综上，当时，在上单调递减，在上单调递增；0a ≤()f x (),1-∞()1,+∞当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增；0e a <<()f x (),ln a -∞()ln ,1a ()1,+∞当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在e a =()f x (),-∞+∞a e >()f x (),1-∞上单调递减，在上单调递增．()1,ln a ()ln ,a +∞17．(1)42n a n =+(2)证明见解析【分析】（1）由是公差为2的等差数列，求得，结合和的关系，2n S n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭2(2)n S n n =+n a n S 即可求解；（2）由（1）知，求得，结合关于14114246n n n b a a n n +==-++11646n T n =-+11646n T n =-+单调递增，以及，即可求解．n 146n >+【详解】（1）解：因为，所以，16a =1621212S ==++又因为是公差为2的等差数列，所以，即，2n S n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭2(1)222nS n nn =+-⨯=+2(2)n S n n =+当时，，2n ≥12(2)2(1)(1)42n n n a S S n n n n n -=-=+--+=+又由，适合上式，所以数列的通项公式为．16a ={}n a 42n a n =+（2）证明：由（1）知，144111114(42)(46)442464246n n n b a a n n n n n n +⎛⎫===⨯-=- ⎪++++++⎝⎭所以，1111111111610101414184246646n T n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 又由，111446410(46)(410)n n T T n n n n +=-=>++++-所以关于单调递增，所以，11646n T n =-+n 1115n T T ≥=又因为，所以，所以．1046n >+1116466n T n =-<+11156n T ≤<18．(1)①0.16；②3.128(2)答案见解析..【分析】（1）结合对立事件概率和独立事件概率公式求解即可；（2）结合对立事件概率和独立事件概率公式比较计算.【详解】（1）①记“甲获得第四名”为事件，则；A ()()210.60.16P A =-=②记在甲在“双败淘汰制”下参与对阵的比赛场次为随机变量，X 则的所有可能取值为2，3，4，X 连败两局：，()()2210.60.16P X ==-=可以分为：连胜两局，第三局不管胜负；负胜负；胜负负；3X =，()()()()()230.610.60.610.60.610.610.60.552P X ==+-⨯⨯-+⨯-⨯-=；()()()410.60.60.60.610.60.60.288P X ==-⨯⨯+⨯-⨯=故的分布列如下：XX234P0.160.5520.288故数学期望；()20.1630.55240.288 3.128E X =⨯+⨯+⨯=（2）“双败淘汰制”下，甲获胜的概率，()()()32331132P p p p p p p p p =+-+-=-在“单败淘汰制”下，甲获胜的概率为，2p 由，且()()()()3222232321211p p p p p p p p p --=--=--01p <<所以时，，“双败淘汰制”对甲夺冠有利；1,12p ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()3232p p p ->时，，“单败淘汰制”对甲夺冠有利；10,2p ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()3232p p p -<时，两种赛制甲夺冠的概率一样.12p =19．(1)极小值1，无极大值(2)1a e≤-(3)证明见解析【分析】（1）把代入，利用导数求出函数的极值；1a =-（2）分离参数并构造函数，再求出函数的最小值即得.（3）利用（2）的结论可得，再利用赋值法结合数列求和即得.e ln x x ≥【详解】（1）当时，的定义域为，1a =-1()ln f x x x =+(0,)+∞求导得，22111()x f x x x x -'=-=当时，，则在上递减，01x <<()0f x '<()f x (0,1)当时，，则在上递增，1x >()0f x '>()f x (1,)+∞所以有极小值，无极大值.()f x (1)1f =（2）由恒成，得，()0f x ≥0,ln x a x x ∀>≤令，求导得，()ln ,0g x x x x =>()1ln g x x '=+，。

秘密★启用前 试卷类型：A广东省广州市越秀区2013-2014学年高二下学期期末水平调研测试 数学理试题一、选择题：本大题共10小题,每小题5分,共50分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}2|280A x x x =--<，{}|1B y y =≤-，，则A B =（ ▲ ）A ．(]2,1--B ．[)1,4-C ．(),4-∞D ．∅2．复数()21i 1iz +=-（其中i 是虚数单位）所对应的点位于复平面的（ ▲ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限3．设,R a b ∈，则“()20a b a -<”是 “a b <”的（ ▲ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件4．已知函数)(x f 对任意的实数x ，都有(2)(2),(1)()f x f x f x f x +=-+=-，且)(x f 不恒为0，则)(x f 是（ ▲ ）A ．奇函数但非偶函数B ．偶函数但非奇函数C ．既是奇函数又是偶函数D ．是非奇非偶函数5．将函数π()2tan 36x f x ⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象向左平移π4个单位，再向下平移1个单位，得到函数()g x 的图象，则()g x 的解析式为（ ▲ ）A ．π()2tan()134x g x =-+B ．π()2tan()134x g x =+-C ．π()2tan()1312x g x =-+D ．π()2tan()1312x g x =--6．下列命题中，正确的是（ ▲ ）A ．一个平面内的两条直线与另一个平面内的两条直线分别平行，则这两个平面平行B ．平面α⊥β，直线m ⊥β，则m //αC ．直线l 是平面α的一条斜线，且l ⊂β，则α与β必不垂直D ．直线l ⊥平面α，直线l //平面β，则α⊥β7．如图所示的流程图,若输出的结果是9，则判断 框中的横线上可以填入的最大整数为（ ▲ ）A ．17B ．16C ．15D ．148．已知双曲线12222=-b y a x 的焦距长为c 2，过原点O 作圆：222)(b y c x =+-的两条切线，切点分别是B A ,，且︒=∠120AOB ，那么该双曲线的离 心率为（ ▲ ）第7题图A9. 已知函数⎪⎩⎪⎨⎧≤--->+=+-=02401)(,23)(223x x x x xx x g x x x f ，则方程[]0)(=-a x f g （a 为正实数）的根的个数不可能为（ ▲） A ．6个B ．2个C ．4个D ．3个10．用红、黄、绿、蓝四种不同颜色给一个正方体的六个面涂色，要求相邻两个面涂不同的颜色，则共有涂色方法（涂色后，任意翻转正方体，能使正方体各面颜色一致，我们认为是同一种涂色方法）（ ▲ ）A ．10种B ．12种C ．24种D ．48种二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分． 11. 已知某个几何体的三视图如下（主视图的弧线是半圆），根据图中标出的尺寸（单位：cm ），可得这个几何体的体积是__ ▲ cm 3． 12．二项式1332()nx x +的展开式中各项系数和是256，则展开式中5x 的系数是__ ▲ ．（用数字作答）13. 若实数,x y 满足不等式组110220x x y x y ≥⎧⎪-+≤⎨⎪--≤⎩， 则22x y +的最小值为__ ▲ ．14. 已知,A B 是抛物线C :x y 42=上的两点，O 为坐标原点，若△OAB 的垂心恰好是抛物线C 的焦点F ，则直线AB 的方程为__ ▲ ．15. 已知甲盒内有大小相同的1个红球和3个黑球，乙盒内有大小相同的2个红球和3 个黑球. 现从甲、乙两个盒内各任取2个球, 设ξ为取出的4个球中红球的个数，则ξ的数学期望为__ ▲ ．三、解答题：本大题共5小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 18.（本题满分14分）已知ABC ∆中，c b a ,,为角,,A B C 所对的边，且(3)cos b b c A -CA CB =⋅.（Ⅰ）求A cos 的值；（Ⅱ）若ABC ∆的面积为22，并且边AB 上的中线CM 的长为217，求,b c的长.左视图主视俯视图第11题19.（本题满分14分）已知等差数列{}n a 中，满足35a =且124,,a a a 成等比数列. （Ⅰ）求n a ； （Ⅱ）若数列{}n a 的公差为非零的常数，且125n n n b a a +=，记数列{}n b 的前n 项和为n T ，当n T λ≤恒成立，求λ的最小值.20.（本小题满分15分）如图（1），在等腰梯形CDEF 中，,CB DA 是梯形的高，2AE BF ==，AB =, 现将梯形沿,CB DA 折起，使EF ∥AB 且2EF AB =，得一简单组合体ABCDEF 如图（2）示，已知,M N 分别为,AF BD 的中点．（Ⅰ）求证：//MN 平面BCF ； （Ⅱ）若直线DE 与平面ABFE 所成角的正切值为22，则求平面CDEF 与平面ADE 所成的锐二面角大小.21.（本小题满分15分）已知椭圆E ：)0(12222>>=+b a by a x 的离心率23=e ，并且经过定点)213(，P .（Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）设,A B 为椭圆E 的左右顶点，P 为直线4=x l ：上的一动点(点P 不在x 轴上），连AP 交椭圆于C点，连PB 并延长交椭圆于D 点，试问是否存在λ，使得BCD ACD S S ∆∆=λ成立，若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由.第20题图（1）A B EF DC第20题图（2）22.（本小题满分14分）已知函数xax x f ln )(-=，其中a 为实数. （Ⅰ）当1≥a 时，判断函数)(x f y =的单调区间；（Ⅱ）是否存在实数a ，使得对任意()(),,11,0+∞∈ x x x f >)(恒成立？若不存在，请说明理由，若存在，求出a 的值.参考答案一、选择题：本大题共有10小题，每小题5分，共50分．二、填空题：本大题共有7小题，每小题4分，共28分．11．________21627π+_______ 12．__________28_____________ 13．_ 5 14．_________5x=___________15．22 15三、解答题：本大题共5小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．cos A∴=(1 n --AE A =上的射影是. (0,0,2),2,2,0),2,2,2),(22,0,0)---设(,,),(,,)m x y z n r s t ==分别是平面ADE 与平面CDFE 的法向量,00m AD n DC m AE n DE ⎧==⎪⎪⎨⎨==⎪⎪⎩⎩， 20220,2202z x x y x ⎧⎧==⎪⎪⎨⎨-+=-+⎪⎪⎩1cos ,2m n m n m n<>==ADE 与平面CDFE 所成锐二面角的大小为sin sin CD AE AEC CD EB BEC ∠∠(1,)+∞2ln (ln )ax x x +-=。

广州市第二中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学本试卷共4页，19小题．满分150分．考试用时120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必要填涂答题卷上的有关项目．2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答案涂在答题卷相应的位置上．3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液，不按以上要求作答的答案无效．4．请考生保持答题卷的整洁．考试结束后，将答题卷交回．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知数列为等比数列，，为函数的两个零点，则（ ）A 10B. 12C. 32D. 332. 已知函数，则曲线在处的切线方程为（ ）A. B. C. D.3. 已知二项展开式，则（ ）A.B. 3C.D. 54. 一个袋中有m 个红球，n 个白球，p 个黑球（，），从中任取1个球（每球取到的机会均等），设表示取出的红球个数，表示取出的白球个数，则A. B. C. D.5. 现有一组数据0，l ，2，3，4，5，6，7，若将这组数据随机删去两个数，则剩下数据的平均数大于4的概率为（ ）.{}n a 1a 6a ()23332f x x x =-+34a a =()11ex f x x =-+()y f x =0x =20x y +-=210x y +-=220x y +-=10x y +-=523450123451322x a a x a x a x a x a x ⎛⎫-=+++++ ⎪⎝⎭123452345a a a a a ++++=325215m n ≤<≤4p ≥1ξ2ξ()()()()1212,E E D D ξξξξ>>()()()()1212,E E D D ξξξξ><()()()()1212,E E D D ξξξξ<>()()()()1212,E E D D ξξξξ<<A.B.C.D.6. 根据贝叶斯统计理论，事件，，（的对立事件）存在如下关系：．若某地区一种疾病的患病率是，现有一种试剂可以检验被检者是否患病，已知该试剂的准确率为，即在被检验者患病的前提下用该试剂检测，有的可能呈现阳性，该试剂的误报率为，即在被检验者未患病的情况下用该试剂检测，有的可能会误报阳性．现随机抽取该地区的一个被检验者，用该试剂来检验，结果呈现阳性的概率为（ ）A. 0.0688B. 0.0198C. 0.049D. 0.057. 等比数列的首项，公比为，数列满足（是正整数），若当且仅当时，的前项和取得最大值，则取值范围是（ ）A. B. C. D. 8. 已知函数的导函数为，，且在R 上为严格增函数，关于下列两个命题的判断，说法正确的是（ ）①“”是“”的充要条件；②“对任意都有”是“在R 上为严格增函数”的充要条件．A ①真命题；②假命题B. ①假命题；②真命题C. ①真命题；②真命题D. ①假命题；②假命题二、选择题：本题共3小题，每小题6分．共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9. 事件与互斥，若，则（ ）A. B. C. D. 10. 已知函数（），则函数的图像不可能是（）.5143142717A B A A ()()()()()||P B P A P B A P A P B A =⋅+⋅0.0299%99%5%5%{}n a 1164a =q {}n b 0.5log n n b a =n 4n ={}n b n n Bq (3,()3,4()4(()y f x =()y f x '=x ∈R ()y f x '=12x x >()()()()121211f x f x f x f x ++>++0x <()()0f x f <()y f x =A B ()()0.2,0.6P A P B ==()1P A B +=()0.56P AB AB +=()()0.6P A P BA =∣()0.8P AB =∣()3f x ax bx c =++0ac <()y f x =A. B.C. D.11. 已知等差数列，公差为，，则下列命题错误是（ ）A. 函数可能是奇函数B. 若函数是偶函数，则C. 若，则函数是偶函数D. 若，则函数的图象是轴对称图形三、填空题：本题共3小题，每小题5分．共15分．其中第14题第一空2分．第二空3分．12.的展开式中，常数项为__________．（用数字作答）13. 已知函数，若，则最小值为__________．14. 设为随机变量，从棱长为1的正方体的12条棱中任取两条，当两条棱相交时，；当两条棱平行时，的值为两条棱之间的距离；当两条棱异面时，为两条棱上两点（不在同一条棱上）间距离的最小值，则随机变量的所有可能取值有__________，的数学期望为__________．四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15. 已知等差数列前项和为，公差.（1）若，求的通项公式；的的的{}n a d ()12f x x a x a =-+-()()y f x x =∈R ()()y f x x =∈R 0d =0d =()()y f x x =∈R 0d ≠()()y f x x =∈R ()4113x x-()ln bf x a x x=-()11f '=22a b +ξ0ξ=ξξξξ{}n a n n S 2d =10100S ={}n a（2）从集合中任取3个元素，记这3个元素能成等差数列为事件，求事件发生的概率.16. 在四棱锥中，底面是正方形，若．（1）证明：平面平面；（2）求二面角的平面角的余弦值．17. 甲乙两人进行乒乓球比赛，现采用三局两胜的比赛制度，规定每一局比赛都没有平局（必须分出胜负），且每一局甲赢的概率都是，随机变量表示最终的比赛局数．（1）求随机变量的分布列和期望；（2）若，设随机变量的方差为，求证：．18. 设函数的定义域为，给定区间，若存在，使得，则称函数为区间上的“均值函数”，为函数的“均值点”．（1）试判断函数是否为区间上的“均值函数”，如果是，请求出其“均值点”；如果不是，请说明理由；（2）已知函数是区间上的“均值函数”，求实数的取值范围；（3）若函数（常数）是区间上的“均值函数”，且为其“均值点”．将区间任意划分成（）份，设分点的横坐标从小到大依次为，记，，．再将区间等分成（）份，设等分点的横坐标从小到大依次为，记．求使得的最小整数的值．{}123456,,,,,a a a a a a A A ()P A Q ABCD -ABCD 2,3AD QD QA QC ====QAD ⊥ABCD B QD A --p X X ()E X 103p <<X ()D X ()2081D X <()y f x =D [,]a b D ⊆0(,)x a b ∈0()()()f b f a f x b a-=-()y f x =[,]a b 0x ()y f x =2y x =[1,2]2112212x x y m --=-+⋅-[1,3]m 222(22)x a y x x +=-+a ∈R[2,2]-23[2,0]-1m +N m ∈12,,,m t t t 02t =-10m t +=10|()()|mi i i G f t f t +==-∑[0,2]21n +n ∈N 122,,,n x x x 21()nii H f x ==∑2023H G ⋅>n19. 已知．（1）求函数的单调区间和极值；（2）请严格证明曲线有唯一交点；（3）对于常数，若直线和曲线共有三个不同交点，其中，求证：成等比数列．ln (),()e x x x f x g x x==()()y f x y g x ==、()()y f x y g x ==、10,e a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭y a =()()y f x y g x ==、()()()123,,,x a x a x a 、、123x x x <<123x x x 、、广州市第二中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学简要答案一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．【1题答案】【答案】C【2题答案】【答案】C【3题答案】【答案】C【4题答案】【答案】D【5题答案】【答案】D【6题答案】【答案】A【7题答案】【答案】C【8题答案】【答案】C二、选择题：本题共3小题，每小题6分．共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．【9题答案】【答案】AC【10题答案】【答案】ACD【11题答案】【答案】ABC三、填空题：本题共3小题，每小题5分．共15分．其中第14题第一空2分．第二空3分．【12题答案】【答案】【13题答案】【答案】##【14题答案】【答案】①. 、②.四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．【15题答案】【答案】（1）（2）【16题答案】【答案】（1）证明略；（2）.【17题答案】【答案】（1）分布列略，（2）证明略【18题答案】【答案】（1）为区间上的“均值函数”“均值点” （2）（3）【19题答案】【答案】（1）答案略（2）证明过程略（3）证明过程略12-120.50121na n=-310232()222E X p p=-++2y x=[1,2](,2)6,)-∞++∞15。

2023-2024学年广东省广州市海珠区高二下学期期末教学质量检测数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.在等差数列{a n}中，S n为其前n项和，若S3=1，S6=4，则S9=( )A. 7B. 8C. 9D. 122.已知随机变量ξ服从正态分布N(3,σ2)，且P(ξ<4)=0.6，则P(ξ<2)=( )A. 0.1B. 0.2C. 0.3D. 0.43.已知函数f(x)=x−ln x，则f(x)单调增区间是( )A. (−∞,0)B. (1,+∞)C. (−∞,0)∪(1,+∞)D. (0,1)4.五一假期期间，某单位安排5人值5天班，每人值班一天，要求甲不值第一天，乙不值第五天，则不同安排方法的种数有( )A. 42B. 72C. 78D. 965.2025有( )个不同的正因数A. 8B. 10C. 12D. 156.某企业进行节能降耗技术改造后，在生产某产品过程中的产量x(吨)与相应的生产能耗y(吨)的几组对应数据如表所示：x3456y 2.534 4.5根据表中数据得出y关于x的经验回归方程为y=0.7x+a，若生产7吨产品，预计相应的生产能耗为( )A. 5.15吨B. 5.25吨C. 5.5吨D. 9.5吨7.下列四个不等式①ln x<x<e x，②e x−1≥x，③ln x≥x−1，④x ln x≥x−1中正确个数为( )A. 1B. 2C. 3D. 48.有一个游戏，规则如下：如图，在圆上有A，B，C，D，E，F，G，H共八个点，一枚棋子起始位置在点A处，抛掷一枚均匀的骰子，若骰子正面向上的点数为i(i=1,2,⋯,6)，则棋子前进i步(每一步是从一个点按顺时针方向前进到相邻的另一个点)，可以循环进行，抛掷三次骰子后，游戏结束.若结束时棋子恰好在点A处，那么游戏过关.问游戏结束时过关的概率为( )A. 118B. 112C. 16D. 18二、多选题：本题共3小题，共15分。

种 C.20种A. B. C.D．C．234，空间中的动点P 满足22PB PC += ，则2⎤⎦C．4⎡⎣与抛物线x y 42=相交于B A ,两点，设直线C.2分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求），若()()30,20E X D X ==，则B．将一组数据中的每个数据都加上同一个常数后，方差恒不变，若()1P p ξ>=，则(10P ξ-<≤次射击中，击中目标的次数为X ，且()10,0.9X B ~，则当项，则下列说法中正确的有（）B．所有项的系数和为123项D．有理项共5项11.如图，点M 是棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中的侧面11ADD A 上的一个动点（包含边界），则下列结论正确的是（）A．有无数个点M 满足1CM AD ⊥B．当点M 在棱1DD 上运动时，1MA MB +的最小值为31+C．若12MB =，则动点M 的轨迹长度为π4D．在线段1AD 上存在点M ，使异面直线1MB 与CD 所成的角是3012.已知P 为双曲线22221x y a b-=右支上的一个动点（不经过顶点），1F ，2F 分别是双曲线的左，右焦点，12PF F △的内切圆圆心为I ，过2F 做2F A PI ⊥，垂足为A ，下列结论正确的是（）A．I 在定直线上B．1212PF F IF F S S △△为定值C．OA 为定值D．AP 为定值三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知ABC 的外心为O，2AO AB AC =+ ，||||1AO AB == ，则AO AC ⋅=________．14.设数列{}n a 的前n 项和为n S ，写出{}n a 的一个通项公式n a =________，满足下面两个条件：①{}n a 是单调递减数列；②{}n S 是单调递增数列.15.已知椭圆()221112211:10x y C a b a b +=>>与双曲线()222222222:10,0x y C a b a b -=>>有相同的焦点12F F ､，椭圆1C 的离心率为1e ，双曲线2C 的离心率为2e ，点P 为椭圆1C 与双曲线2C 的第一象限的交点，且123F PF π∠=，则1212e e e e +的取值范围是________．16.某市公租房的房源位于A ,B ,C 三个片区，设每位申请人只能申请其中一个片区的房子，申请其中任一个片区的房屋是等可能的，则该市的任4位申请人中，申请的房源在2个片区的概率是_________.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤.17.在ABC △中，5,cos 43B C π∠==．（1）求cos A 的值；（2）点D 为边BC 上的动点（不与C 点重合），设AD DC λ=，求λ的取值范围．18.已知数列{}n a 的前n 项的和为n S ，且满足*21()n n S a n N =-∈.（1）求数列{}n a 的通项公式n a 及n S ；（2）若数列{}n b 满足|15|n n b S =-，求数列{}n b 的前n 项的和n T .19.如图，AB 是圆O 的直径，点C 是圆O 上异于,A B 的点，直线PC ⊥平面ABC ，,E F 分别是PA ，PC 的中点.（1）记平面BEF 与平面ABC 的交线为l ，求证：直线l //平面PAC ；（2）若2PC AB ==，点C 是 AB 的中点，求二面角E l C --的正弦值.20.为调查禽类某种病菌感染情况，某养殖场每周都定期抽样检测禽类血液中A 指标的值.养殖场将某周的5000只家禽血液样本中A 指标的检测数据进行整理，绘成如下频率分布直方图（1）根据频率分布直方图，估计这5000只家禽血液样本中A 指标值的中位数（结果保留两位小数）；（通过长期调查分析可知，该养殖场家禽血液中A 指标的值X 服从正态分布()27.4,2.63.N （i）若其中一个养殖棚有1000只家禽，估计其中血液A 指标的值不超过10.03的家禽数量（结果保留整数）；（ii）在统计学中，把发生概率小于1%的事件称为小概率事件，通常认为小概率事件的发生是不正常的.该养殖场除定期抽检外，每天还会随机抽检20只，若某天发现抽检的20只家禽中恰有3只血液中A 指标的值大于12.66，判断这一天该养殖场的家禽健康状况是否正常，并分析说明理由.参考数据：①3170.022750.00001,0.977250.7≈≈；②若()2,X N μσ ，则;9545.0)22(;6827.0)(≈+≤≤-≈+≤≤-σμσμσμσμX P X P 21.已知椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C 短轴长为2，F 是C 的左焦点，B A ，是C 上关于x 轴对称的两点，ABF ∆周长的最大值为8．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）斜率为k 且不经过原点O 的直线l 与椭圆C 交于N M ,两点，若直线ON OM ,的斜率分别为21,k k ，且212k k k =，求直线l 的斜率，并判断22||||ON OM +的值是否为定值？若为定值，试求出此定值；否则，说明理由．22.已知函数2()4ln ,f x x x a x a =-+∈R ，函数()f x 的导函数为()f x '．（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）若()f x '有两个零点()1212,x x x x <，且不等式()12f x mx ≥恒成立，求实数m 的取值范围．绝密★启用前2022年广州市重点高中高二下数学期末考试模拟卷（一）数学试题答案及评分参考评分说明:1．本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分参考制订相应的评分细则．2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．只给整数分数．选择题不给中间分．一．选择题（1）D （2）B （3）D （4）A （5）B （6）A（7）D （8）A二．多选题（9）BCD （10）BD （11）AC （12）ABC三．填空题（13）32（14）12n⎛⎫ ⎪⎝⎭（答案不唯一）（15）3,1,42⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭（16）271416解析：解析：总可能事件数：8134=，当其中一个人分到一个片区，其他三人分在另一个片区：24121314=C C C ，也可以：相当于031--不定项分配：2433003314=A C C C ，当其中二个人分到一个片区，其他二人分在另一个片区：相当于2-2-0分配到三个地方去：183322002224=A A C C C ，所以2714811824=+四、解答题：17.解：（1）在ABC △，5cos 3C =，所以22sin 1cos 3C C =-=.……………………………………………1分所以cos cos cos sin sin cos cos 4444A C C C C πππππ⎛⎫⎛⎫=--=-+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2225221023236-=⨯-⨯=（2）由（1）可知2210cos 06A -=<，所以2A π>．因为sin sin AD DC C DAC =∠，所以sin 2sin 3sin AD C DC DAC DACλ===∠∠．因为0DAC BAC <∠∠≤，所以sin (0,1]DAC ∠∈．…………10分所以2,3λ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭．…………………………………………………………………………………………………12分18.解析：（1）由21n n S a =-得：1121S a =-，即11a =，由21n n S a =-得：1121n n S a ++=-，两式相减得:1122n n n a a a ++=-，即12n n a a +=，即数列{}n a 是以1为首项，2为公比的等比数列，则12n n a -=，则122112n n n S -==--.…………………………………………………………………………………………………6分（2）由（1）知：|216|nn b =-，则162(14)216(4)n n n n b n ⎧-≤≤=⎨->⎩，则当14n ≤≤时，12(162)(162)(162)nn T =-+-++- 122(12)16(222)1612n nn n -=-+++=-- 11622n n +=-+；当4n >时，124567(162)(162)(162)(216)(216)(216)(216)nn T =-+-++-+-+-+-++- 1242(222)16nT n =++++- 12(12)234162166612n n n n +-=⨯+-=-+-则111622(14)21666(4)n n n n n T n n ++⎧-+≤≤=⎨-+>⎩.…………………………………………………………………………………12分19.解析：（1）因为,E F 分别是,PA PC 的中点，所以//EF AC ，又因为AC ⊂平面ABC ，EF ⊄平面ABC ，所以//EF 平面ABC又EF ⊂平面BEF ，平面BEF 与平面ABC 的交线为l ，所以//EF l ，而l ⊄平面PAC ，EF ⊂平面PAC ，所以//l 平面PAC（2）如图，因为AB 是圆O 的直径，点C 是 AB 的中点，2AB =所以CA CB ⊥，2CA CB ==因为直线PC ⊥平面ABC 所以,PC CA PC CB ⊥⊥所以以C 为原点，直线CA ，CB ，CP 分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系C xyz -，则(0,0,1)F ，(0,2,0)B ，2(,0,1)2E 所以(0,2,1)BF =-uu u r ，2(,2,1)2BE =- 设平面EFB 的法向量(,,)n x y z = ，则·0·0BF n BE n ⎧=⎨=⎩，即202202y z x y z ⎧-+=⎪⎨-+=⎪⎩令1y =，则0,2x z ==得(0,1,2)n = 因为直线PC ⊥平面ABC 所以(0,0,1)CP =为平面ABC 的法向量所以26cos ,3||||3CP nCP n CP n <>===，所以二面角E l C --的正弦值为3320.解析：（1）由()()20.020.060.140.44,20.020.060.140.180.8⨯++=⨯+++=可得中位数在区间(]7,9内，设中位数为x ，则()20.020.060.14(7)20.5x ⨯+++-⨯=，解得7.03x =；（2）（i）由()27.4,2.63.X N 可得6827.0)03.1077.4()63.24.763.24.7(≈≤≤=+≤≤-X P X P ，则84135.05.02)03.1077.4()03.10(≈+≤≤=≤X P X P ，10000.84135841.35841⨯=≈只；（ii）9545.0)66.1214.2()63.224.763.224.7(≈≤≤=⨯+≤≤⨯-X P X P ，()10.954512.660.022752P X ->≈=，随机抽检20只相当于进行20次独立重复实验，设恰有3只血液中A 指标的值大于12.66为事件B ，则()173320()C 0.0227510.022750.007981%P B =⨯⨯-≈<，所以这一天该养殖场的家禽健康状况不正常.21.解：(1)设AB 与x 轴的交点为H ，右交点为2F .由题意||||2AF AH ≤，则a AF AF AH AF 2||||||||211=+≤+，当AB 过右焦点2F 时，ABF ∆周长取最大值2,84=∴=a a ，且1=b ，∴椭圆C 的标准方程为1422=+y x ，(2)设直线l 的方程为)0(=/+=m m kx y ，),(11y x M ，),(22y x N ，由⎪⎩⎪⎨⎧+==+m kx y y x 1422，得0)1(48)41(222=-+++m kmx x k ，221418k km x x +-=+∴，222141)1(4k m x x +-=.由题知21221221212121212)())((x x m x x km k xx m kx m kx x x y y k k k +++=++===，0)(221=++∴m x x km ，04182222=++-∴m k m k ..41,02=∴=/k m 此时2222214)418()(m k km x x =+-=+，)1(241)1(422221-=+-=m km x x ，则4141||||222221212222212122x x x x y x y x ON OM -++-+=+++=+52)]1(44[432]2)[(432)(4322212212221=+--=+-+=++=m m x x x x x x ，故直线l 的斜率为21±=k ，5||||22=+ON OM .22.【解析】方法一：（1）由2()4ln f x x x a x =-+得，函数的定义域为(0,)+∞，且224()24a x x af x x x x-=-='++，令()0f x '>，即2240x x a -+>，①当Δ1680a =-≤，即2a ≥时，2240x x a -+≥恒成立，所以()f x 在(0,)+∞单调递增；②当Δ0>，即2a <时，令12242242,22a ax x --+-==，当02a <<时，120x x <<，所()f x 在()()120,,x x +∞，上单调递增，在()12,x x 上单调递减；当0a ≤时，120x x <<，所以()f x 在()20,x 上单调递减，在()2,x +∞上单调递增．（2）由（1）可得，()f x '有两个零点()1212,x x x x <，则02a <<，且122x x +=，因为12x x <，所以1201,12x x <<<<，由不等式()12f x mx ≥，恒成立得()12f x m x ≤，只需()12minf x m x ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，又()()222111111111211442ln 4ln 22x x x x x f x x x a x x x x -+--+==--1111422ln 2x x x x =-++-，设11114()22ln (01)2h x x x x x x =-++<<-，2(4)()2ln (2)x x h x x x +-'-=，由01x <<可得，()0h x '<，即()h x 在(0,1)单调递减，所以()(1)3h x h >=-，所以3m ≤-．方法二：（1）2224()240240,Δ168a x x af x x x x a ax x-+=-+==⇒-='+=-①当Δ0≤，即2a ≥时，()0,()f x f x ≥'在(0,)+∞上 ②当Δ0>，即2a <时（ⅰ）若0a ≤时，由22422402ax x a x +--+=⇒=当24202a x +-<<时，()0,()f x f x '< ；当2422ax +->时，()0,()f x f x '> （ⅱ）若02a <<时，由22422402ax x a x ±--+>⇒=当24202ax --<<时，()0,()f x f x '> ；当24224222a a x --+-<<时，()0,()f x f x '< ；当2422ax +->时，()0,()f x f x '> ．（2）()f x '有两个零点，由（1）知02a <<此时12,x x 是一元二次方程2240x ax a -+=的两个不等实根且122x x +=，12012x x <<<<，211240x x a -+=由()()1122minf x f x mx m x ⎡⎤≥⇒≤⎢⎥⎣⎦()()2221111111111112111442ln 4ln 422ln 222x x x x x f x x x a x x x x x x x x -+--+===--+---令4()22ln ,(0,1)2g x x x x x x =--+∈-，224(4)()12ln 22ln 0(2)(2)x x g x x x x x -=--++=+-'<-∴()g x 在(0,1)上 ，∴()(1)3g x g >=-即()123f x x >-∴3m ≤-．。

2021-2022学年广东省广州市番禺区高二下学期期末数学试题一、单选题1．设集合{}|04M x x =<<，{}|15N x x =≤≤，则M N =（ ）A ．{}|01x x <≤B ．{}|14x x ≤<C ．{}|45x x ≤<D ．{}|05x x <≤【答案】B【分析】利用数轴表示出两集合的范围，进而得到M N ⋂.【详解】在数轴上分别表示出集合{}|04M x x =<<与集合{}|15N x x =≤≤， 如图所示：{}|14MN x x ∴=≤<.故选：B.2．若1i z =+（其中i 为虚数单位），则22z z -=（ ）A ．0B ．1C 2D ．2【答案】D【分析】先求出22z z -，即可得出答案.【详解】因为1i z =+，所以()()22221i 21i 12i i 22i 2z z -=+-+=++--=-，所以222z z -=.故选：D.3．中国古代“五行”学说认为：物质分“金、木、水、火、土”五种属性，并认为：“金生水、水生木、木生火、火生土、土生金”.从五种不同属性的物质中随机抽取2种，则抽到的两种物质不相生的概率为（ ）A ．15B ．14C ．13D ．12【答案】D【解析】总共有10种结果，其中相生的有5种，由古典概型的计算公式计算出概率即可【详解】从五种不同属性的物质中随机抽取2种，共2510C =种，而相生的有5种，则抽到的两种物质不相生的概率511102P =-= 故选：D【点睛】本题考查的是计算古典概型的概率，较简单. 4．函数()cos xf x x=的部分图象大致为（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】D【解析】确定函数的奇偶性，排除两个，再由0x →(0)x >时，()f x →+∞，又排除一个，从而得正确选项． 【详解】cos()cos ()()x xf x f x x x--==-=--，()f x 是奇函数，排除A.B ， 0x →(0)x >时，()f x →+∞，排除C ，只有D 可选．故选：D.【点睛】本题考查由函数的解析式选择函数图象，可用排除法，先确定函数的奇偶性，再确定函数值的变化趋势，特别是0x →时，函数值的变化趋势．5．某咖啡厅为了了解热饮的销售量y （单位：杯）与气温x （单位：℃）之间的关系，随机统计了某4天的销售量与气温，并制作了对照表： 气温/℃18 13 101-销售量/杯 24 34 38 64由表中数据分析，可得经验回归方程ˆ2=-+yx a .当气温为4-℃时，预测销售量约为（ ）A ．66杯 B ．68杯 C ．72杯 D ．77杯【答案】B【分析】先根据表格数据求出,x y ，代入回归方程求出a ，即可求出预测销售量. 【详解】由表可得()1813101104x +++-==，24343864404y +++==， 因为回归方程为ˆ2=-+yx a ，所以40210a =-⨯+，解得60a =， 当气温为4-℃时，预测销售量约为()246068-⨯-+=杯. 故选：B.6．已知6log 2a =，12log 4b =，18log 6c =，则（ ） A ．c b a >> B ．a b c >> C ．c a b >> D ．a c b >>【答案】A【分析】利用对数性质比较111,,a b c的大小关系，即得,,c b a 的关系. 【详解】由对数运算公式得，221log 61log 3a ==+，441log 121log 3b==+， 661log 181log 3c ==+，易知246log 3log 3log 30>>>，即1111a b c>>>， 故c b a >>. 故选：A.7．已知F 是抛物线C ：y ＝2x 2的焦点，N 是x 轴上一点，线段FN 与抛物线C 相交于点M ，若2FM ＝MN ，则|FN |＝（ ） A ．58B ．12C ．38D ．1【答案】A【分析】如图，过点M 作抛物线的准线的垂线，交x 轴于点A ，交抛物线C 的准线于点B ，得出MA ∥OF ，根据相似三角形的性质和2FM ＝MN ，即可得出结果. 【详解】因为F 是抛物线C ：y ＝2x 2的焦点，所以F 1(0)8，，抛物线C 的准线方程为y ＝－18，如图，过点M 作抛物线的准线的垂线，交x 轴于点A ，交抛物线C 的准线于点B ，则MA ∥OF ，所以||||MA OF ＝||||MN FN .因为2FM ＝MN ， 所以|MA |＝23×18＝112，|MF |＝|MB |＝112＋18＝524，|FN |＝3|FM |＝58.故选：A8．已知函数()sin 23f x a x x =的图象关于直线12x π=-对称，若()()124f x f x =-，则12x x -的最小值为（ ）A ．3π B ．23π C ．4π D ．2π 【答案】D 【解析】利用()12f π-是函数的最值求得参数a ，然后再确定12,x x 的性质．【详解】由题意213()sin()3)3126622f a a a πππ-=--=--=+1a =， ∴13()sin 2322(sin 22)2sin(2)23f x x x x x x π===-，22T ππ==． 1212()()4sin(2)sin(2)433f x f x x x ππ=--=-，12sin(2)sin(2)133x x ππ--=-，∵1sin(2)13x π-≤-≤，∴12sin(2)sin(2)33x x ππ--，中一个取值1一个取值1-， ∴12min 22T x x π-==． 故选：D.【点睛】本题考查三角函数的性质，考查三角函数的最值、周期、对称性等．正弦函数的性质：过正弦函数图象的最高点或者最低点与x 边垂直的直线是其对称轴．即对称轴对应的函数值是最值． 二、多选题9．已知32nx x ⎛⎝的展开式共有13项，则下列说法中正确的有（ ）A ．所有奇数项的二项式系数和为122B ．所有项的系数和为123C ．二项式系数最大的项为第6项或第7项D ．有理项共5项 【答案】BD【分析】根据展开式的通向公式以及二项式系数的的性质求解判断.【详解】因为113n +=，所以12n =，所有奇数项的二项式系数和为112，故A 错误， 令1x =，得所有项的系数和为123，故B 正确，由二项式系数的性质可知二项式系数最大的项为第7项，故C 错误，因为1232x x ⎛ ⎝展开式通项为()14121212*********rr r r r rr T C x x x C ----+⎛⎫=⋅⋅= ⎪⎝⎭，当4123r -为整数时，0r =，3，6，9，12，共有5项，故D 正确．故选：BD ．10．已知函数()331f x x x =-++，则（ ）A ．()f x 有三个零点B ．()f x 有两个极值点C ．点()0,1是曲线()y f x =的对称中心D ．直线2y x =是曲线()y f x =的切线【答案】ABC【分析】利用导数研究函数()331f x x x =-++的单调性、极值点、极值以及零点判断A 、B ，根据函数关于点对称的充要条件判断C ，再根据导数的几何意义求函数的切线方程判断D. 【详解】()331f x x x =-++，()233f x x '∴=-+，令()0f x '=，解得：1x =-或1x =，(),1x ∴∈-∞-时，()0f x '<，()f x 单调递减；()1,1x ∈-时，()0f x '>，()f x 单调递增；()1,x ∈+∞时，()0f x '>，()f x 单调递减；()f x ∴的极小值为：()()()3113111f -=--+⨯-+=-，()f x 的极大值为：()3113113f =-+⨯+=，∴()f x 有三个零点，()f x 有两个极值点，A 、B 正确；对于C ，若点()0,1是曲线()y f x =的对称中心，则有()()2f x f x +-=，将函数()331f x x x =-++代入上式验证得：()()3331312x x x x ⎡⎤-+++--+-+=⎣⎦，C 正确；对于D ，()2332k f x x '==-+=，解得：x =，当x =f =⎝⎭x =f ⎛= ⎝⎭，∴切线方程为：2y x =2y x =D 错误.故选：ABC.11．（多选）甲罐中有5个红球、2个白球和3个黑球，乙罐中有6个红球、2个白球和2个黑球，先从甲罐中随机取出一个球放入乙罐，分别以事件1A 、2A 、3A 表示由甲罐取出的球是红球、白球和黑球，再从乙罐中随机取出一个球，以事件B 表示由乙罐取出的球是红球，下列结论正确的是（ ） A ．事件B 与事件1A 不相互独立 B ．1A 、2A 、3A 是两两互斥的事件 C ．()35P B =D ．()1711P B A =【答案】ABD【分析】利用事件独立性的定义可判断A 选项的正误；利用互斥事件的定义可判断B 选项的正误；利用全概率公式可判断C 选项的正误；利用条件概率公式可判断D 选项的正误.【详解】对于A ，由题意可知，事件1A 发生与否影响事件B 的发生，故事件B 与事件1A 不相互独立，故A 正确;对于B ，1A 、2A 、3A 两两不可能同时发生，故B 正确； 对于C ，()5756131011101122P B =⨯+⨯=，故C 不正确； 对于D ，已知从甲罐中取出一个红球放入乙罐，这时乙罐中有11个球，其中红球有7个， 因此，在事件1A 发生的条件下，事件B 发生的概率为()1711P B A =，故D 正确. 故选：ABD.12．已知正方体ABCD －EFGH 棱长为2，M 为棱CG 的中点，P 为底面EFGH 上的动点，则（ ）A ．存在点P ，使得4AP PM +=B ．存在唯一点P ，使得AP PM ⊥C ．当AM BP ⊥，此时点P 2D ．当P 为底面EFGH 的中心时，三棱锥P －ABM 的外接球体积为92π 【答案】BCD【分析】以D 为原点，DA ，DC ，DH 所在直线分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系D -xyz ，设P 点坐标为（x ，y ，2），然后利用向量可判断ABC 的正误，当P 为底面EFGH 的中心时，外接球球心为棱AM 的中点，然后可判断D.【详解】以D 为原点，DA ，DC ，DH 所在直线分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系D -xyz ． A （2，0，0），M （0，2，1），设P 点坐标为（x ，y ，2）（,x y R ∈），()2,,2AP x y =-，(),2,1PM x y =---为求AP PM +的最小值，找出点A 关于平面EFGH 的对称点，设该点为1A ，则1A 点坐标为()2,0,4 ∴()()()2221022014174AP PM A M +≥=-+-+-=>故A 选项错误． 由AP PM ⊥可得()()2222022201101AP PM x x y y x y x y ⋅=⇒-+-+=⇒-+-=⇒==故B 选项正确．AM BP ⊥时，即0AM BP ⋅=，此时由点P 坐标为(),,2x y 得到()()222220x y --+-+=1y x ⇒=-点P 轨迹是连接棱EF 中点与棱EH 中点的线段，其长度为线段HF 的一半，2故C 选项正确．当P 为底面EFGH 的中心时，由B 选项知AP PM ⊥．易得AB BM ⊥．∴外接球球心为棱AM 的中点，从而求得球半径为1322AM =．92V π= 故D 选项正确．故选：BCD ． 三、填空题13．已知随机变量X 服从正态分布()22,N σ，且(2 2.5)0.36P X <≤=，则( 2.5)P X >=____________．【答案】0.14750． 【分析】根据正态分布曲线的性质即可解出． 【详解】因为()22,XN σ，所以()()220.5P X P X <=>=，因此()()()2.522 2.50.50.360.14P X P X P X >=>-<≤=-=．故答案为：0.14．14．已知数列{}n a ，{}n b 满足112a =，1n n ab +=，()121n n n b b n a *+=∈-N ，则2022b =___________.【答案】20222023【分析】根据已知条件转化式子得出1111n na a ，进而求出数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的通项公式即得数列{}n a 的通项公式，再求出数列{}n b 的通项公式，进一步求出答案即可. 【详解】1n n a b +=，1n n b a ∴=-，111n n a b +++=，111n n b a ++=-∴， ()()1121111111n n n n n n n nb a b a a a a a ++-∴====--+-+， 110n n n n a a a a ++∴--=，即：1111n na a ，1n a ⎧⎫∴⎨⎬⎩⎭是以首项为2，公差为1的等差数列， ()12111n n n a ∴=+-⨯=+，11n a n ∴=+， 11111n n n b a n n =--=+∴+=， 202220222023b ∴=. 故答案为：20222023. 15．写出与圆221x y +=和圆()()224316x y -++=都相切的一条切线方程___________. 【答案】1y =或247250x y ++=或4350x y --= 【分析】先判断两圆位置关系，再分情况依次求解可得.【详解】圆221x y +=的圆心为()0,0O ，半径为1；圆()()224316x y -++=的圆心为()4,3C -，半径为4，圆心距为5OC =，所以两圆外切，如图，有三条切线123,,l l l ， 易得切线1l 的方程为1y =，因为3l OC ⊥，且34OC k =-，所以343l k =，设34:3l y x b =+，即4330x y b -+=，则()0,0O 到3l 的距离315b =，解得53b =（舍去）或53-，所以343:50x y l --=，可知1l 和2l 关于3:4OC y x =-对称，联立341y x y ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，解得4,13⎛⎫- ⎪⎝⎭在2l 上， 在1l 上任取一点()0,1，设其关于OC 的对称点为()00,x y ， 则0000132421314y x y x +⎧=-⨯⎪⎪⎨-⎛⎫⎪⨯-=- ⎪⎪⎝⎭⎩，解得002425725x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，则27124252447253l k --==--+，所以直线2244:173l y x ⎛⎫-=-+ ⎪⎝⎭，即247250x y ++=， 综上，切线方程为1y =或247250x y ++=或4350x y --=. 故答案为：1y =或247250x y ++=或4350x y --=.16．若直线y kx b =+是曲线ln 2y x =+的切线，也是曲线ln(1)y x =+的切线，则b =_______．【答案】1ln2-【详解】试题分析：对函数ln 2y x =+求导得1y x '=，对ln(1)y x =+求导得11y x '=+，设直线y kx b =+与曲线ln 2y x =+相切于点111(,)P x y ，与曲线ln(1)y x =+相切于点222(,)P x y ，则1122ln 2,ln(1)y x y x =+=+，由点111(,)P x y 在切线上得()1111ln 2()y x x x x -+=-，由点222(,)P x y 在切线上得2221ln(1)()1y x x x x -+=-+，这两条直线表示同一条直线，所以，解得11111,2,ln 211ln 22x k b x x =∴===+-=-. 【解析】导数的几何意义【名师点睛】函数f （x ）在点x 0处的导数f ′（x 0）的几何意义是曲线y ＝f （x ）在点P （x 0，y 0）处的切线的斜率．相应地，切线方程为y−y 0＝f ′（x 0）（x−x 0）． 注意：求曲线切线时，要分清在点P 处的切线与过点P 的切线的不同． 四、解答题17．记n S 为数列{}n a 的前n 的和，已知11a =，n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是公差为12的等差数列.(1)求数列{}n a 的通项公式； (2)证明：121112nS S S +++<. 【答案】(1)n a n = (2)证明见解析【分析】（1）先利用n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是公差为12的等差数列，求得其通项，从而求得n S ，然后利用1n n n a S S -=-求得n a ，验证1n =即可；（2）利用裂项相消法求和后放缩即可证得结果. 【详解】(1)()11112n S S n n =+-12n +=所以()112n S n n =+当2n ≥时，1n n n a S S -=-()()111122n n n n =+--n =当1n =时，111S a ==， 所以n a n =.(2)因为()122211n S n n n n ==-++， 所以12211122222212231S S S n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭221n =-+2<. 18．ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，()()sin sin sin sin B C b c aA b C ++=+ (1)求角A ；(2)若D 为边BC 的中点，且AD =，求ABC 面积的最大值 【答案】(1)23A π= (2)【分析】（1）根据正弦定理角化边得()22b c a bc +=+，化简利用余弦定理可求解； （2）根据题意可知()12AD AB AC =+，两边平方化简可得224b c bc =+-，利用基本不等式可求bc 的最大值，再根据面积公式求解即可.【详解】(1)解：由()()sin sin sin sin B C b c a A b C ++=+，得()22b c a bc +=+，即222a b c bc =++，又由余弦定理2222cos a b c bc A =+-， 所以，1cos 2A =-，又()0,A π∈，23A π=； (2)解：∵D 是边BC 的中点， ∴()12AD AB AC =+，()222211114424AD AB AC AB AB AC AC =+=+⋅+， 又AD = ∴2212b c bc =+-又222b c bc +≥，当且仅当b c =时等号成立， ∴22122bc b c bc +=+≥ ∴12bc ≤， ∴112sin 12sin 223ABCSbc A π=≤⨯⨯=ABC面积的最大值为19．相对于二维码支付，刷脸支付更加便利，从而刷脸支付可能将会替代手机支付，成为新的支付方式，现从某大型超市门口随机抽取100名顾客进行调查，得到如下列联表：(1)依据0.01α=的独立性检验，能否认为性别与使用刷脸支付有关联？(2)根据是否刷脸支付，在样本的女性中，按照分层抽样的方法抽取9名，为进一步了解情况，再从抽取的9人中随机抽取4人，求抽到刷脸支付的女性人数X的分布列及数学期望.附：()()()()()22n ad bca b c d a c b d χ-=++++【答案】(1)能够认为性别与使用刷脸支付有关联(2)分布列答案见解析，数学期望20 9【分析】（1）补充列联表，计算出卡方值，和6.635比较即可得出；（2）可得X的可能取值为0，1，2，3，4，计算出X取不同值的概率，即可得出分布列，求出期望.【详解】(1)列联表补充为()221004520251055457030χ⨯⨯-⨯=⨯⨯⨯0.018.129 6.635x≈>=. 依据小概率值0.01α=的独立性检验，能够认为性别与使用刷脸支付有关联. (2)易知9人中刷脸支付的有5人，非刷脸支付的有4人. 由题意可知，X 的可能取值为0，1，2，3，4.()4449C 10C 126P X ===，()135449C C 20101C 12663P X ====， ()225449C C 60102C 12621P X ====，()315449C C 40203C 12663P X ====，()4549C 54C 126P X ===，X 的分布列为 X0 12 3 4P1126 106310212063 5126()1101020501234126632163126E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯209=. 20．如图，在三棱锥P ABC -中，PC BC ⊥，AB ⊥平面PBC ，AG GC =，PD DA =.(1)求证：平面BDG ⊥平面ABC ；(2)若2AB BC CP ===，求平面ABD 与平面CBD 的夹角大小. 【答案】(1)证明见解析； (2)60︒.【分析】（1）从所要证明的结论分析：要证平面BDG ⊥平面ABC ，即证DG ⊥平面ABC ，即证PC ⊥平面ABC ，即证PC AB ⊥，进而得到证明思路；（2）方法一：以G 为坐标原点，GB ，GC ，GD 所在直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，利用平面的法向量求二面角的大小；方法二：过A 作AE BD ⊥，垂足为E ，连接EC ，找出二面角的平面角，利用余弦定理求其大小.【详解】(1)证明：因为AB ⊥平面PBC ，PC ⊂平面PBC ， 所以PC AB ⊥.因为PC BC ⊥，AB BC B ⋂=， 所以PC ⊥平面ABC . 因为AG GC =，PD DA =， 所以//DG PC ， 故DG ⊥平面ABC . 因为DG ⊂平面BDG ， 所以平面BDG ⊥平面ABC .(2)方法一：因为AG GC =，AB BC =，所以BG AC ⊥.以G 为坐标原点，GB ，GC ，GD 所在直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系， 则()0,2,0A -，()2,0,0B ，()0,0,1D ，()0,2,0C所以()2,2,0AB =，()0,2,1AD =，()0,2,1CD =-，()2,2,0CB =-.设(),,m x y z =是平面ABD 的法向量， 则00m AB m AD ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即22020x y y z ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，令1x =，则1y =-，2z =，所以()1,1,2m =-，2m =. 设(),,n a b c =是平面CBD 的法向量， 则00n CD n CB ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即20220b c a b ⎧-+=⎪⎨-=⎪⎩，令1a =，则1b =，2c =，所以()1,1,2n =，2n = 所以21cos ,222m n m n m n⋅===⨯⋅. 所以平面ABD 与平面CBD 的夹角的大小为60︒.方法二：如图，过A 作AE BD ⊥，垂足为E ，连接EC .由（1）中的垂直关系及条件2AB BC CP ===，可计算得 22AC =，23PA =，所以132DB DC DA PA ====. 所以DAB DBC ≅.所以AEC ∠为二面角A BD C --的平面角. 3341cos 3233ADB +-∠==⋅⋅，222sin 1cos 3ADB ADB ∠=-∠=. 26sin 3EA DA ADE =∠=. 所以263EC =. 在EAC 中，由余弦定理可得 2221cos 22EA EC AC AEC EA EC +-∠==-⋅.所以120AEC ∠=︒，所以平面ABD 与平面CBD 的夹角的大小为60︒.21．在平面直角坐标系中，1A ，2A 两点的坐标分别为(2,0)-，(2,0)，直线1A M ，2A M ．相交于点M 且它们的斜率之积是34-，记动点M 的轨迹为曲线E ．过点(1,0)F 作直线l 交曲线E 于P ，Q 两点，且点P 位于x 轴上方．记直线1A Q ，2A P 的斜率分别为1k ，2k ． (1)证明：12k k 为定值： (2)设点Q 关于x 轴的对称点为1Q ，求1PFQ △面积的最大值． 【答案】(1)证明见解析 33【分析】（1）先求曲线方程，设直线方程联立曲线方程消元，根据韦达定理对12k k 化简可证；（2）数形结合，将所求面积转化为111PFQ PQQ QQ FS SS=-，由（1）根据韦达定理和基本不等式可得.【详解】(1)设(,)M x y ，由题可知3224y y x x ⋅=-+-，所以22143x y +=（2x ≠±）． 设直线l 的方程为1x my =+，()11,Q x y ，()22,P x y ，联立221143x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得()2234690m y my ++-=，所以122634my y m +=-+，122934y y m -=+，所以1112y k x =+，2222y k x =-，所以()()121111212212122222232y x y k x my y y y k x y my y y x -+-===++- ()()2222222229633413434939334334m m y m m y m m m m m y y m -⎛⎫--- ⎪-++++⎝⎭===--++++， 所以12k k 为定值．(2)设()111,Q x y -，由椭圆的对称性，不妨设0m >，∴()()11211121122PQQ S y x x x y x y =⋅--=-△，()()1111111122QQ F S x y x y y =--=-△，而()()1111121111PFQ PQQ QQ FSSSx y x y x y y =-=---()1211229134my my y my y m =-+=-=+9933442123m m==+，当243m =，即233m =时，等号成立， 此时1PFQ △的面积最大值为334．22．设函数()()211ln 22af x x a x a x =-+-++，0a >．(1)若1a =，求函数()f x 的单调区间和最值；(2)求函数()f x 的零点个数，并说明理由．【答案】(1)增区间为()0,1，减区间为()1,+∞；最大值为0，无最小值 (2)答案不唯一，具体见解析【分析】（1）由()211ln 22f x x x =-++，求导，再分别令()0f x '>，()0f x '<求解；（2）由()()211ln 22af x x a x a x =-+-++，0a >，求导()()()1-+-'=x x a f x x，得到函数有唯一的极大值点x a =，极大值()11ln 22⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭f a a a a ，令()11ln 22g a a a =-+，0a >，利用导数法求解.【详解】(1)解：函数的定义域为()0,∞+，当1a =时，()211ln 22f x x x =-++，()211-+'=-+=x f x x x x，令()0f x '=，得1x =； 由()0f x '>，得01x <<； 由()0f x '<，得1x >．所以，增区间为()0,1，减区间为()1,+∞．当1x =时，函数()f x 有最大值为()10f =，无最小值(2)()()211ln 22af x x a x a x =-+-++，0a >，()()()()()2111-+-+-+-'=-+-+==x a x a x x a a f x x a x x x， 令()0f x '=，得1x =-（舍）或x a =； 由()0f x '>，得0x a <<； 由()0f x '<，得x a >．所以，增区间为()0,a ，减区间为(),a +∞． 函数有唯一的极大值点x a =，()()21111ln ln 2222a f a a a a a a a a a ⎛⎫=-+-++=-+ ⎪⎝⎭，令()11ln 22g a a a =-+，0a >．因为()1102'=+>g a a a恒成立，函数()g a 为增函数，且()111ln1022g =-+=， ①01a <<时，()0g a <，即()0f a < 函数()f x 一定没有零点． ②1a =时，()0g a =，即()0f a = 函数()f x 有唯一的零点1x =． ③1a >时，()0g a >，即()0f a >，()()211ln 22af x x a x a x =-+-++，且2211111111ln 0e 2e e e e 2e 22e e⎛⎫⎛⎫=-+-++=---< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭a a f a a ，()()48441e e 1e ln e 22=-+-++a a a a af a a ，()4421e 22422=--+++a a ae a a ，令()()e 10x h x x x =-->，则()e 1xh x '=-，当0x >时，()0h x '>成立， 所以()()00h x h >=，所以()e 10xx x >+>，∴4e 41>+a a ，0a >，所以()()()()4211412341330222aa f e a a a a -++++=-+<≤， 在区间1,a e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有唯一零点，在区间4,aa e ⎡⎤⎣⎦上有唯一零点， 函数()f x 有两个不同的零点． 综上所述：①01a <<时，函数()f x 一定没有零点． ②1a =时，函数()f x 有唯一的零点． ③1a >时，函数()f x 有两个不同的零点．【点睛】方法点睛：用导数研究函数的零点，一方面用导数判断函数的单调性，借助零点存在性定理判断；另一方面，也可将零点问题转化为函数图象的交点问题，利用数形结合来解决．。