安徽省淮南市2019届高三第一次模拟考试数学(理)试题 含解析

安徽省淮南市2019届高三第一次模拟考试数学（理）试题（解析版）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知，，则A. B. C. D.【答案】B【解析】解：，，．故选：B．利用并集定义直接求解．本题考查并集的求法，考查并集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.A. B. C. D. i【答案】C【解析】解：．故选：C．直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础题．3.函数的大致图象为A. B.C. D.【答案】A【解析】解：，，为奇函数，其图象关于原点对称，故排除B，D，，是增函数，，是增函数，，在是增函数，排除C．或者当时，，故排除C，故选：A．判断函数的奇偶性，利用函数的单调性和函数值的变化趋势判断即可．本题考查函数的图象的判断，函数的奇偶性以及函数的单调性的判断与应用，考查计算能力．4.的展开式中，的系数是A. 40B. 60C. 80D. 100【答案】C【解析】解：二项展开式的通项为．令，得．因此，二项展开式中的系数为．故选：C．先写出二项展开式的通项，然后令x的指数为4，解出相应参数的值，代入通项即可得出答案．本题考查二项式定理求指定项的系数，考查二项式定理的应用，属于中等题．5.已知锐角的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，，则A. 10B. 9C. 8D. 5【答案】D【解析】解：，即，A为锐角，，又，，根据余弦定理得：，即，解得：或舍去，则．故选：D．利用二倍角的余弦函数公式化简已知的等式，求出的值，再由a与c的值，利用余弦定理即可求出b的值．此题考查了余弦定理，二倍角的余弦函数公式，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．6.在平行四边形ABCD中，已知，，，，则的值是A. 4B. 6C. 8D. 10【答案】C【解析】解：平行四边形ABCD中，已知，，，又，，，即，．故选：C．由已知，结合向量加法的平行四边形法则可知可知，展开后可求．本题主要考查了向量的基本运算及向量的数量积的性质的简单应用，属于基础试题．7.如图为我国数学家赵爽约3世纪初在为《周髀算经》作注时验证勾股定理的示意图，现在提供5种颜色给其中5个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不同，则A、C区域涂色不相同的概率为A. B. C. D.【答案】B【解析】解：提供5种颜色给其中5个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不同，根据题意，如图，设5个区域依次为A、B、C、D、E，分4步进行分析：，对于区域A，有5种颜色可选；，对于区域B，与A区域相邻，有4种颜色可选；，对于区域E，与A、B区域相邻，有3种颜色可选；，对于区域D、C，若D与B颜色相同，C区域有3种颜色可选，若D与B颜色不相同，D区域有2种颜色可选，C区域有2种颜色可选，则区域D、C有种选择，则不同的涂色方案有种，其中，A、C区域涂色不相同的情况有：，对于区域A，有5种颜色可选；，对于区域B，与A区域相邻，有4种颜色可选；，对于区域E，与A、B、C区域相邻，有2种颜色可选；，对于区域D、C，若D与B颜色相同，C区域有2种颜色可选，若D与B颜色不相同，D区域有1种颜色可选，C区域有1种颜色可选，则区域D、C有种选择，不同的涂色方案有种，、C区域涂色不相同的概率为．故选：B．提供5种颜色给其中5个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不同，利用分步计数原理求出不同的涂色方案有420种，其中，A、C区域涂色不相同的情况有120种，由此能求出A、C区域涂色不相同的概率．本题考查概率的求法，考查分步计数原理等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．8.已知函数，若直线l过点，且与曲线相切，则直线l的斜率为A. B. 2 C. D. e【答案】B【解析】解：函数的导数为，设切点为，可得切线的斜率为，则，解得，，故选：B．求得的导数，设出切点，可得切线的斜率，结合两点的斜率公式，解方程可得m，即可得到所求斜率．本题考查导数的运用：求切线的斜率，考查直线的斜率公式，以及方程思想和运算能力，属于基础题．9.已知奇函数满足，当时，，则A. B. C. D.【答案】A【解析】解：奇函数满足，当时，，．故选：A．推导出，由此能求出结果．本题考查函数值的求法，考查函数的奇偶性、周期性等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．10.已知点P是双曲线右支上一点，、分别是双曲线的左、右焦点，I为的内心，若成立，则双曲线的渐近线方程为A. B. C. D.【答案】A【解析】解：如图，设圆I与的三边、、分别相切于点E、F、G，连接IE、IF、IG，则，，，它们分别是：，，的高，，，，其中r是的内切圆的半径．，，两边约去得：，，根据双曲线定义，得，，，，可得双曲线的渐近线方程为故选：A．设圆I与的三边、、分别相切于点E、F、G，连接IE、IF、IG，可得，，可看作三个高相等且均为圆I半径r的三角形利用三角形面积公式，代入已知式，化简可得，再结合双曲线的定义与渐近线方程可得所求．本题将三角形的内切圆放入到双曲线当中，用来求双曲线的离心率，着重考查了双曲线的基本性质、三角形内切圆的性质和面积计算公式等知识点，属于中档题．11.如图是函数在区间上的图象，将该图象向右平移个单位后，所得图象关于直线对称，则m的最大值为A. B. C. D.【答案】B【解析】解：由函数，的图象可得，可得：．再由五点法作图可得，可得：．故函数的的解析式为故把的图象向右平移个单位长度，可得的图象，由于：所得图象关于直线对称，可得：，可得：，解得：，，由于：，可得：，，可得：当时，m的最大值为：．故选：B．由周期求出，由五点法作图求出的值，可得函数的的解析式再根据函数的图象的变换规律，可得结论．本题主要考查由函数的部分图象求解析式，函数的图象的变换规律，属于中档题．12.在平面直角坐标系中，设点，定义，其中O为坐标原点，对于下列结论：符合的点p的轨迹围成的图形面积为8；设点p是直线：上任意一点，则；设点p是直线：上任意一点，则使得“最小的点有无数个”的必要条件是；设点p是椭圆上任意一点，则．其中正确的结论序号为A. B. C. D.【答案】D【解析】解：由，根据新定义得：，由方程表示的图形关于x，y轴对称和原点对称，且，画出图象如图所示：根据图形得到：四边形ABCD为边长是的正方形，面积等于8，故正确；为直线：上任一点，可得，可得，当时，；当时，；当可得，综上可得的最小值为1，故正确；，当时，，满足题意；而，当时，，满足题意．“使最小的点P有无数个”的充要条件是“”，不正确；点P是椭圆上任意一点，则可设，，，，，，正确．则正确的结论有：、、．故选：D．根据新定义由，讨论x的取值，得到y与x的分段函数关系式，画出分段函数的图象，由图象可知点P的轨迹围成的图形为边长是的正方形，求出正方形的面积即可；运用绝对值的含义和一次函数的单调性，可得的最小值；根据大于等于或，把代入即可得到当最小的点P有无数个时，k等于1或；而k等于1或推出最小的点P有无数个，得到是“使最小的点P有无数个”的充要条件；把P的坐标用参数表示，然后利用三角函数的化积求得的最大值说明命题正确．此题考查学生理解及运用新定义的能力，考查了数形结合的数学思想，关键是对题意的理解，是中档题．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.若直线经过抛物线的焦点，则______．【答案】2【解析】解：直线过点，即抛物线的焦点F为，，则；故答案为：2．由直线方程求出直线过点，从而得到抛物线的焦点坐标，则p可求；本题考查了抛物线的简单性质，是基础题．14.若x，y满足约束条件则的最小值为______．【答案】5【解析】解：作出不等式组对应的平面区域，z的几何意义为区域内的点到定点的距离的平方，则由图象可知，DA距离最小，此时的最小值为5，故答案为：5．作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义，即可得到结论．本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合以及直线和圆的位置公式是解决本题的关键．15.已知等差数列，若点在经过点的定直线l上，则数列的前7项和______．【答案】56【解析】解：等差数列中，点在经过点的定直线l上，，数列的前7项和．故答案为：56．推导出，数列的前7项和，由此能求出结果．本题考查等差数列前7项和的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．16.已知函数，若关于x的方程有m个不同的实数解，则m的所有可能的值构成的集合为______．【答案】【解析】解：函数的导数为，由，得，递增；由，得或，递减．即有在处取得极小值；在处取得极大值，作出的图象，如图所示；关于x的方程，令，则，由判别式，方程有两个不等实根，，则原方程有一正一负实根．而，即当，则，此时，和有两个交点，与有1个交点，此时共有3个交点，当，则，此时，和有1个交点，与有2个交点，此时共有3个交点，当则，此时和有3个交点，与有0交点，此时共有3个交点，当，则或，此时和有2个交点，与有1个交点，此时共有3个交点，当，则，此时和有1个交点，与有2个交点，此时共有3个交点，当，则，此时和有0个交点，与有3个交点，此时共有3个交点，综上方程恒有3个不同的实数解，即，即m的所有可能的值构成的集合为，故答案为：．求函数的导数，判断函数的极值，作出函数的图象，设，利用根与系数之间的关系得到的两根之积，利用数形结合进行讨论求解即可．本题考查方程的根的个数的判断，考查函数方程的转化思想，注意运用二次方程的判别式和韦达定理，考查数形结合和分类讨论的思想方法，综合性较强，难度较大．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知等差数列的前n项和为，且，，，成等比数列．求数列的通项公式；若当时，数列满足，求数列的前n项和．【答案】解：，，，，成等比数列，，由得：或，当时，当时，；当时，，，，，得【解析】求得首项和公差即可；由可得，再由错位相减求和得．本题考查了等差数列的通项公式及等比数列的前n项和公式、错位相减法求和，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18.2016年某市政府出台了“2020年创建全国文明城市简称创文”的具体规划，今日，作为“创文”项目之一的“市区公交站点的重新布局及建设”基本完成，市有关部门准备对项目进行调查，并根据调查结果决定是否验收，调查人员分别在市区的各公交站点随机抽取若干市民对该项目进行评分，并将结果绘制成如图所示的频率分布直方图，相关规则为：调查对象为本市市民，被调查者各自独立评分；采用百分制评分，内认定为满意，80分及以上认定为非常满意；市民对公交站点布局的满意率不低于即可进行验收；用样本的频率代替概率．求被调查者满意或非常满意该项目的频率；若从该市的全体市民中随机抽取3人，试估计恰有2人非常满意该项目的概率；已知在评分低于60分的被调查者中，老年人占，现从评分低于60分的被调查者中按年龄分层抽取9人以便了解不满意的原因，并从中选取2人担任群众督察员，记为群众督查员中老年人的人数，求随机变量的分布列及其数学期望．【答案】本小题满分12分解：根据题意：分或以上被认定为满意或非常满意，在频率分布直方图中，评分在的频率为：；根据频率分布直方图，被调查者非常满意的频率是，用样本的频率代替概率，从该市的全体市民中随机抽取1人，该人非常满意该项目的概率为，现从中抽取3人恰有2人非常满意该项目的概率为：；评分低于分的被调查者中，老年人占，又从被调查者中按年龄分层抽取9人，这9人中，老年人有3人，非老年人6人，随机变量的所有可能取值为0，1，2，，，．的分布列为：的数学期望．【解析】根据频率分布直方图，求解在的频率即可．根据频率分布直方图，被调查者非常满意的频率是，然后求解抽取3人恰有2人非常满意该项目的概率．从被调查者中按年龄分层抽取9人，这9人中，老年人有3人，非老年人6人，随机变量的所有可能取值为0，1，2，求出概率得到分布列，然后求解期望即可．本题考查频率分布列，频率分布直方图，期望的求法，考查分层抽样的应用，是基础题．19.如图，在锐角中，D为边BC的中点，且，，O为外接圆的圆心，且．求的值；求的面积．【答案】解：如图所示，，，，；延长AD至E，使，连接BE，CE，则四边形ABEC为平行四边形，；在中，，，，；由余弦定理得，，即，解得，，．【解析】根据题意，利用二倍角公式求解即可；延长AD至E，使，连接BE，CE，得四边形ABEC为平行四边形，推出；利用余弦定理，求出CE，再求三角形ABC的面积．本题考查解三角形的应用问题，也考查了三角恒等变换与计算能力，是中档题．20.设椭圆：的左、右焦点分别为，，上顶点为A，过点A与垂直的直线交x轴负半轴于点Q，且，过A，Q，三点的圆恰好与直线：相切．求椭圆C的方程；过右焦点作斜率为k的直线l与椭圆C交于M，N两点，问在x轴上是否存在点，使得以PM，PN为邻边的平行四边形是菱形？如果存在，求出m的取值范围；如果不存在，说明理由．【答案】解：设椭圆C的焦距为，则点的坐标为，点的坐标为，设点Q的坐标为，且，如下图所示，，，，则，所以，，则点Q的坐标为，直线与直线AQ垂直，且点，所以，，，由，得，则，．为直角三角形，且为斜边，线段的中点为，的外接圆半径为2c．由题意可知，点到直线的距离为，所以，，，，因此，椭圆C的方程为；由题意知，直线l的斜率，并设，则直线l的方程为，设点、将直线l的方程与椭圆C的方程联立，消去x得，由韦达定理得，．，．所以，线段MN的中点为点．由于以PM，PN为邻边的平行四边形是菱形，则，则，所以，．由两点连线的斜率公式可得，得．由于，则，所以，，所以，．因此，在x轴上存在点，使得以PM，PN为邻边的平行四边形是菱形，且实数m 的取值范围是．【解析】设点Q的坐标为，且，利用以及得出点Q的坐标，将直角的外接圆与直线相切转化为其外接圆圆心到该直线的距离等于半径，可求出c的值，进而得出a与b的值，从而得出椭圆C的方程；令，得出，设点、，将直线l的方程与椭圆C的方程联立，列出韦达定理，并求出线段MN的中点E的坐标，将条件“以PM，PN为邻边的平行四边形是菱形”转化为，得出这两条直线的斜率之积为，然后得出m 的表达式，利用不等式的性质可求出实数m的取值范围．本题考查直线与椭圆的综合问题，考查椭圆的方程以及韦达定理设而不求法在椭圆综合中的应用，同时也考查了向量的坐标运算，属于中等题．21.已知函数其中a是实数．求的单调区间；若设，且有两个极值点，，求取值范围其中e为自然对数的底数．【答案】解：其中a是实数，的定义域为，，分令，，对称轴，，当，即时，，函数的单调递增区间为，无单调递减区间分当，即或时，若，则恒成立，的单调递增区间为，无减区间分若，令，得，，当时，，当时，．的单调递增区间为，，单调递减区间为分综上所述：当时，的单调递增区间为，无单调递减区间．当时，的单调递增区间为和，单调递减区间为分由知，若有两个极值点，则，且，，，又，，，，又，解得分，分令，，则恒成立，在单调递减，，即，故的取值范围为分【解析】求出的定义域为，，由此利用导数性质和分类讨论思想能求出的单调区间．推导出，令，，则恒成立，由此能求出的取值范围．本题考查函数的单调区间的求法，考查函数值之差的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意导数性质、构造法、分类讨论思想的合理运用．22.已知直线l过点，且倾斜角为，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立坐标系，圆C的极坐标方程为．求圆C的直角坐标系方程及直线l的参数方程；若直线l与圆C交于A，B两点，求的最大值和最小值．【答案】解：由，得，即，所以圆C的直角坐标方程为，直线l过点，且倾斜角为，所以直线l的参数方程为为参数．将代入，得，，设A，B两点对应的参数分别为，，则，因为，所以的最大值为，最小值为．【解析】由，得，由此能求出圆C的直角坐标方程；由直线l 过点，且倾斜角为，能求出直线l的参数方程．将代入，得，由此能求出的最大值和最小值．本题考查圆的直角坐标方程和直线的参数方程的求法，考查两条线段长的倒数和的最大值和最小值的求法，考查参数方程、极坐标方程、直角坐标方程的互化等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．23.已知函数．求不等式的解集；若对任意恒成立，求的最小值．【答案】解：，，或或解得或，故的解集为或．由函数的解析式得：，，，即，当且仅当时等号成立，，，解得，当且仅当时等号成立，故的最小值为．【解析】通过讨论x的范围，求出不等式的解集即可；求出函数的最小值，根据基本不等式的性质求出的最小值即可．本题考查了解绝对值不等式问题，考查基本不等式的性质，是一道中档题．。

2019届安徽省高三下学期综合训练一理科数学试卷【含答案及解析】姓名___________ 班级____________ 分数__________一、选择题1. 已知全集，集合，，那么（）A．______________________________ B．C．______________________________ D．2. 在复平面内，复数满足，则的共轭复数对应的点位于（）A．第一象限________________________ B．第二象限______________________________ C．第三象限______________________________ D．第四象限3. 在各项均为正数的等比数列中，若（），数列的前项积为，若，则的值为（）A．___________________________________ B． C．D．4. 已知函数（）的最小正周期为，则在区间上的值域为（）A．___________________________________ B．C． D．5. 执行如图的程序框图，那么输出的值是（）A．___________________________________ B． C．D．6. 在二项式的展开式中，前三项的系数成等差数列，把展开式中所有的项重新排成一列，有理项都互不相邻的概率为（）A．____________________________ B．_________________________________ C．_________________________________ D．7. 在中，，，分别是角，，所对边的边长，若，则的值是（）A．___________________________________ B． C．D．8. 一个长方体被一个平面截去一部分后所剩几何体的三视图如下图所示（单位：），则该几何体的体积为（）A．____________________________ B．_________________________________ C．_________________________________ D．9. 在中，，，分别为的重心和外心，且，则的形状是（）A．锐角三角形______________ B．钝角三角形C．直角三角形________________________ D．上述三种情况都有可能10. 平行四边形中，，沿将四边形折起成直二面角，且，则三棱锥的外接球的表面积为（）A．____________________ B．____________________________ C．____________________________ D．11. 已知双曲线的方程为，其左、右焦点分别是、．已知点坐标为，双曲线上点（，）满足，则（）A．____________________________ B．_________________________________ C．_________________________________ D．12. 定义在上的函数满足，当时，，函数．若，，不等式成立，则实数的取值范围是（）A．____________________________ B．_________________________________ C．_________________________________ D．二、填空题13. 设，则的展开式中常数项是______________________________ ．14. 以下四个命题中：① 从匀速传递的产品生产流水线上，质检员每分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测，这样的抽样是分层抽样；② 两个随机变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近于；③ 某项测量结果服从正态分布，，则；④ 对于两个分类变量与的随机变量的观测值来说，越小，判断“ 与有关系”的把握程度越大．以上命题中其中真命题的个数为______________________________ ．15. 已知圆和两点，（），若圆上存在点，使得，则的取值范围是______________________________ ．16. 是定义在上的函数，其导函数为，若，，则不等式（其中为自然对数的底数）的解集为______________ ．三、解答题17. 已知数列的前项和为，向量，，满足条件．（1）求数列的通项公式；（2）设函数，数列满足条件，．① 求数列的通项公式；② 设，求数列的前项和．18. 如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，侧棱底面，垂直于和，，．是棱的中点．（1）求证：平面；（2）求平面与平面所成的二面角的余弦值；（3）设点是直线上的动点，与平面所成的角为，求的最大值．19. 心理学家分析发现视觉和空间能力与性别有关，某数学兴趣小组为了验证这个结论，从兴趣小组中按分层抽样的方法抽取名同学（男女），给所有同学几何题和代数题各一题，让各位同学自由选择一道题进行解答．选题情况如下表（单位：人）：（1）能否据此判断有 %的把握认为视觉和空间能力与性别有关？（2）经过多次测试后，甲每次解答一道几何题所用的时间在分钟，乙每次解答一道几何题所用的时间在分钟，现甲、乙各解答同一道几何题，求乙比甲先解答完的概率；（3）现从选择做几何题的名女生中任意抽取两人对她们的答题情况进行全程研究，记甲、乙两女生被．抽到的人数为，求的分布列及数学期望．附表及公式：20. 已知椭圆（）的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线相切．（1）求椭圆的方程；（2）设，过点作与轴不重合的直线交椭圆于，两点，连接，分别交直线于，两点，若直线、的斜率分别为、，试问：是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由．21. 已知函数．（1）求函数的单调区间；（2）若，且对任意恒成立，求的最大值；（3）对于在区间上的任意一个常数，是否存在正数，使得成立？请说明理由．22. 如图，直线为圆的切线，切点为，点在圆上，的角平分线交圆于点，垂直交圆于点．（1）证明：；（2）设圆的半径为，，延长交于点，求外接圆的半径．23. 在直角坐标系中，以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线（），过点的直线的参数方程为（为参数），直线与曲线分别交于，两点．（1）写出曲线的平面直角坐标方程和直线的普通方程；（2）若，，成等比数列，求实数的值．24. 已知函数．（1）解不等式；（2）若不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围．参考答案及解析第1题【答案】第2题【答案】第3题【答案】第4题【答案】第5题【答案】第6题【答案】第7题【答案】第8题【答案】第9题【答案】第10题【答案】第11题【答案】第12题【答案】第13题【答案】第14题【答案】第15题【答案】第16题【答案】第17题【答案】第18题【答案】第19题【答案】第20题【答案】第21题【答案】第22题【答案】第23题【答案】第24题【答案】。

2019年安徽省淮南市高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求的．1．（5分）已知P＝{x|﹣1＜x＜1}，，则P∪Q＝（）A．B．（﹣2，1）C．D．（﹣2，﹣1）2．（5分）＝（）A．B．C．﹣i D．i3．（5分）函数f（x）＝x2（e x﹣e﹣x）的大致图象为（）A．B．C．D．4．（5分）的展开式中，x4的系数是（）A．40 B．60 C．80 D．1005．（5分）已知锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，23cos2A+cos2A＝0，a＝7，c＝6，则b＝（）A．10 B．9 C．8 D．56．（5分）在平行四边形ABCD中，已知AB＝4，AD＝3，，，则的值是（）A．4 B．6 C．8 D．107．（5分）如图为我国数学家赵爽（约3世纪初）在为《周髀算经》作注时验证勾股定理的示意图，现在提供5种颜色给其中5个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不同，则A、C区域涂色不相同的概率为（）A．B．C．D．8．（5分）已知函数f（x）＝xlnx，若直线l过点（0，﹣e），且与曲线y＝f（x）相切，则直线l的斜率为（）A．﹣2 B．2 C．﹣e D．e9．（5分）已知奇函数f（x）满足f（x）＝f（x+4），当x∈（0，1）时，f（x）＝4x，则f （log4184）＝（）A．﹣B．C．D．10．（5分）已知点P是双曲线右支上一点，F1、F2分别是双曲线的左、右焦点，I为△PF1F2的内心，若成立，则双曲线的渐近线方程为（）A．B．8x±y＝0 C．D．3x±y＝011．（5分）如图是函数在区间上的图象，将该图象向右平移|m|（m＜0）个单位后，所得图象关于直线对称，则m 的最大值为（）A．B．C．D．12．（5分）在平面直角坐标系中，设点p（x，y），定义[OP]＝|x|+|y|，其中O为坐标原点，对于下列结论：（1）符合[OP]＝2的点p的轨迹围成的图形面积为8；（2）设点p是直线：上任意一点，则[OP]min＝1；（3）设点p是直线：y＝kx+1（k∈R）上任意一点，则使得“[OP]最小的点有无数个”的必要条件是k＝1；（4）设点p是椭圆上任意一点，则．其中正确的结论序号为（）A．（1）（2）（3）B．（1）（3）（4）C．（2）（3）（4）D．（1）（2）（4）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13．（5分）若直线x﹣my+m＝0经过抛物线x2＝2py（p＞0）的焦点，则p＝．14．（5分）若x，y满足约束条件则（x+4）2+（y+1）2的最小值为．15．（5分）已知等差数列{a n}，若点在经过点（4，8）的定直线l上，则数列{a n}的前7项和S7＝．16．（5分）已知函数，若关于x的方程有m个不同的实数解，则m的所有可能的值构成的集合为．三.解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23为选考题，考生根据要求作答．17．（12分）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且S3＝9，a1，a3，a7成等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若a n≠a1（当n≥2时），数列{b n}满足，求数列{a n b n}的前n项和T n．18．（12分）2016年某市政府出台了“2020年创建全国文明城市（简称创文）”的具体规划，今日，作为“创文”项目之一的“市区公交站点的重新布局及建设”基本完成，市有关部门准备对项目进行调查，并根据调查结果决定是否验收，调查人员分别在市区的各公交站点随机抽取若干市民对该项目进行评分，并将结果绘制成如图所示的频率分布直方图，相关规则为：①调查对象为本市市民，被调查者各自独立评分；②采用百分制评分，[60，80）内认定为满意，80分及以上认定为非常满意；③市民对公交站点布局的满意率不低于60%即可进行验收；④用样本的频率代替概率．（1）求被调查者满意或非常满意该项目的频率；（2）若从该市的全体市民中随机抽取3人，试估计恰有2人非常满意该项目的概率；（3）已知在评分低于60分的被调查者中，老年人占，现从评分低于60分的被调查者中按年龄分层抽取9人以便了解不满意的原因，并从中选取2人担任群众督察员，记ξ为群众督查员中老年人的人数，求随机变量ξ的分布列及其数学期望Eξ．19．（12分）如图，在锐角△ABC中，D为边BC的中点，且，，O为△ABC 外接圆的圆心，且．（1）求sin∠BAC的值；（2）求△ABC的面积．20．（12分）设椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，上顶点为A，过点A与AF2垂直的直线交x轴负半轴于点Q，且，过A，Q，F2三点的圆恰好与直线相切．（1）求椭圆C的方程；（2）过右焦点F2作斜率为k的直线l与椭圆C交于M，N两点，问在x轴上是否存在点P（m，0），使得以PM，PN为邻边的平行四边形是菱形如果存在，求出m的取值范围；如果不存在，说明理由．21．（12分）已知函数f（x）＝x2﹣ax+2lnx（其中a是实数）．（1）求f（x）的单调区间；（2）若设2（e+）＜a＜，且f（x）有两个极值点x1，x2（x1＜x2），求f（x1）﹣f（x2）取值范围．（其中e为自然对数的底数）．[选做题]22．（10分）已知直线l过点P（1，0），且倾斜角为α，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立坐标系，圆C的极坐标方程为ρ＝4cosθ．（1）求圆C的直角坐标系方程及直线l的参数方程；（2）若直线l与圆C交于A，B两点，求的最大值和最小值．[选做题]23．已知函数f（x）＝|2x﹣1|+|x﹣2|．（1）求不等式f（x）≥3的解集；（2）若对任意x∈R恒成立，求m+n的最小值．2019年安徽省淮南市高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求的．1．（5分）已知P＝{x|﹣1＜x＜1}，，则P∪Q＝（）A．B．（﹣2，1）C．D．（﹣2，﹣1）【考点】1D：并集及其运算．【专题】11：计算题；37：集合思想；4O：定义法；5J：集合．【分析】利用并集定义直接求解．【解答】解：∵P＝{x|﹣1＜x＜1}，，∴P∪Q＝{x|﹣2＜x＜1}＝（﹣2，1）．故选：B．【点评】本题考查并集的求法，考查并集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2．（5分）＝（）A．B．C．﹣i D．i【考点】A5：复数的运算．【专题】38：对应思想；4A：数学模型法；5N：数系的扩充和复数．【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】解：＝．故选：C．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础题．3．（5分）函数f（x）＝x2（e x﹣e﹣x）的大致图象为（）A．B．C．D．【考点】3A：函数的图象与图象的变换．【专题】11：计算题；33：函数思想；44：数形结合法；51：函数的性质及应用．【分析】判断函数的奇偶性，利用函数的单调性和函数值的变化趋势判断即可．【解答】解：∵f（x）＝x2（e x﹣e﹣x），∴f（﹣x）＝（﹣x）2（e﹣x﹣e x）＝﹣x2（e x﹣e﹣x）＝﹣f（x），∴f（x）为奇函数，其图象关于原点对称，故排除B，D，∵y＝x2，是增函数x∈（0，+∞），f（x）＞0，y＝e x﹣e﹣x是增函数x∈（0，+∞），y ＞0，f（x）＝x2（e x﹣e﹣x）在（0，+∞）是增函数，排除C．（或者）当x→+∞时，f（x）→+∞，故排除C，故选：A．【点评】本题考查函数的图象的判断，函数的奇偶性以及函数的单调性的判断与应用，考查计算能力．4．（5分）的展开式中，x4的系数是（）A．40 B．60 C．80 D．100【考点】DA：二项式定理．【专题】11：计算题；21：阅读型；34：方程思想；49：综合法；5P：二项式定理．【分析】先写出二项展开式的通项，然后令x的指数为4，解出相应参数的值，代入通项即可得出答案．【解答】解：二项展开式的通项为＝．令，得k＝2．因此，二项展开式中x4的系数为．故选：C．【点评】本题考查二项式定理求指定项的系数，考查二项式定理的应用，属于中等题．5．（5分）已知锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，23cos2A+cos2A＝0，a＝7，c＝6，则b＝（）A．10 B．9 C．8 D．5【考点】HR：余弦定理．【专题】58：解三角形．【分析】利用二倍角的余弦函数公式化简已知的等式，求出cos A的值，再由a与c的值，利用余弦定理即可求出b的值．【解答】解：∵23cos2A+cos2A＝23cos2A+2cos2A﹣1＝0，即cos2A＝，A为锐角，∴cos A＝，又a＝7，c＝6，根据余弦定理得：a2＝b2+c2﹣2bc•cos A，即49＝b2+36﹣b，解得：b＝5或b＝﹣（舍去），则b＝5．故选：D．【点评】此题考查了余弦定理，二倍角的余弦函数公式，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．6．（5分）在平行四边形ABCD中，已知AB＝4，AD＝3，，，则的值是（）A．4 B．6 C．8 D．10【考点】9O：平面向量数量积的性质及其运算．【专题】11：计算题；5A：平面向量及应用．【分析】由已知，结合向量加法的平行四边形法则可知可知•（）＝2，展开后可求．【解答】解：平行四边形ABCD中，已知AB＝4，AD＝3，，又∵，∴•（）＝2，∴++＝2，即9﹣+﹣1×3＝2，∴＝8．故选：C．【点评】本题主要考查了向量的基本运算及向量的数量积的性质的简单应用，属于基础试题．7．（5分）如图为我国数学家赵爽（约3世纪初）在为《周髀算经》作注时验证勾股定理的示意图，现在提供5种颜色给其中5个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不同，则A、C区域涂色不相同的概率为（）A．B．C．D．【考点】CB：古典概型及其概率计算公式．【专题】11：计算题；31：数形结合；44：数形结合法；5I：概率与统计．【分析】提供5种颜色给其中5个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不同，利用分步计数原理求出不同的涂色方案有420种，其中，A、C区域涂色不相同的情况有120种，由此能求出A、C区域涂色不相同的概率．【解答】解：提供5种颜色给其中5个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不同，根据题意，如图，设5个区域依次为A、B、C、D、E，分4步进行分析：①，对于区域A，有5种颜色可选；②，对于区域B，与A区域相邻，有4种颜色可选；③，对于区域E，与A、B区域相邻，有3种颜色可选；④，对于区域D、C，若D与B颜色相同，C区域有3种颜色可选，若D与B颜色不相同，D区域有2种颜色可选，C区域有2种颜色可选，则区域D、C有3+2×2＝7种选择，则不同的涂色方案有5×4×3×7＝420种，其中，A、C区域涂色不相同的情况有：①，对于区域A，有5种颜色可选；②，对于区域B，与A区域相邻，有4种颜色可选；③，对于区域E，与A、B、C区域相邻，有2种颜色可选；④，对于区域D、C，若D与B颜色相同，C区域有2种颜色可选，若D与B颜色不相同，D区域有1种颜色可选，C区域有1种颜色可选，则区域D、C有2+1×1＝3种选择，不同的涂色方案有5×4×2×3＝120种，∴A、C区域涂色不相同的概率为p＝＝．故选：B．【点评】本题考查概率的求法，考查分步计数原理等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．8．（5分）已知函数f（x）＝xlnx，若直线l过点（0，﹣e），且与曲线y＝f（x）相切，则直线l的斜率为（）A．﹣2 B．2 C．﹣e D．e【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】34：方程思想；48：分析法；52：导数的概念及应用．【分析】求得f（x）的导数，设出切点（m，n），可得切线的斜率，结合两点的斜率公式，解方程可得m，即可得到所求斜率．【解答】解：函数f（x）＝xlnx的导数为f′（x）＝lnx+1，设切点为（m，n），可得切线的斜率为k＝1+lnm，则1+lnm＝＝，解得m＝e，k＝1+lne＝2，故选：B．【点评】本题考查导数的运用：求切线的斜率，考查直线的斜率公式，以及方程思想和运算能力，属于基础题．9．（5分）已知奇函数f（x）满足f（x）＝f（x+4），当x∈（0，1）时，f（x）＝4x，则f （log4184）＝（）A．﹣B．C．D．【考点】3K：函数奇偶性的性质与判断；4H：对数的运算性质．【专题】11：计算题；33：函数思想；4O：定义法；51：函数的性质及应用．【分析】推导出f（log4184）＝﹣f（log4184﹣4）＝﹣（），由此能求出结果．【解答】解：∵奇函数f（x）满足f（x）＝f（x+4），当x∈（0，1）时，f（x）＝4x，∴f（log4184）＝﹣f（log4184﹣4）＝﹣（）＝﹣＝﹣．故选：A．【点评】本题考查函数值的求法，考查函数的奇偶性、周期性等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．10．（5分）已知点P是双曲线右支上一点，F1、F2分别是双曲线的左、右焦点，I为△PF1F2的内心，若成立，则双曲线的渐近线方程为（）A．B．8x±y＝0 C．D．3x±y＝0【考点】KC：双曲线的性质．【专题】34：方程思想；48：分析法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】设圆I与△PF1F2的三边F1F2、PF1、PF2分别相切于点E、F、G，连接IE、IF、IG，可得△IF1F2，△IPF1，△IPF2可看作三个高相等且均为圆I半径r的三角形．利用三角形面积公式，代入已知式，化简可得|PF1|﹣|PF2|＝|F1F2|，再结合双曲线的定义与渐近线方程可得所求．【解答】解：如图，设圆I与△PF1F2的三边F1F2、PF1、PF2分别相切于点E、F、G，连接IE、IF、IG，则IE⊥F1F2，IF⊥PF1，IG⊥PF2，它们分别是：△IF1F2，△IPF1，△IPF2的高，∴S＝|PF1|•|IF|＝|PF1|，S＝|PF2|•|IG|＝|PF2|，S ＝|F1F2|•|IE|＝|F1F2|，其中r是△PF1F2的内切圆的半径．∵，∴|PF1|＝|PF2|+|F1F2|，两边约去得：|PF1|＝|PF2|+|F1F2|，∴|PF1|﹣|PF2|＝|F1F2|，根据双曲线定义，得|PF1|﹣|PF2|＝2a，|F1F2|＝2c，∴3a＝c，b＝＝2a，可得双曲线的渐近线方程为y＝±2x．故选：A．【点评】本题将三角形的内切圆放入到双曲线当中，用来求双曲线的离心率，着重考查了双曲线的基本性质、三角形内切圆的性质和面积计算公式等知识点，属于中档题．11．（5分）如图是函数在区间上的图象，将该图象向右平移|m|（m＜0）个单位后，所得图象关于直线对称，则m 的最大值为（）A．B．C．D．【考点】HK：由y＝Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【专题】11：计算题；31：数形结合；44：数形结合法；57：三角函数的图象与性质．【分析】由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得函数的f（x）的解析式．再根据函数y＝A sin（ωx+φ）的图象的变换规律，可得结论．【解答】解：由函数y＝sin（ωx+φ），（ω＞0，|φ|＜）的图象可得T＝＝﹣（﹣）＝π，可得：ω＝2．再由五点法作图可得 2×（﹣）+φ＝0，可得：φ＝．故函数的f（x）的解析式为f（x）＝sin（2x+）＝sin2（x+）．故把f（x）＝sin2（x+）的图象向右平移|m|（m＜0）个单位长度，可得g（x）＝sin2（x﹣|m|+）的图象，由于：所得图象关于直线x＝对称，可得：sin2（﹣|m|+）＝±1，可得：2（﹣|m|+）＝+kπ，解得：|m|＝﹣kπ，k∈Z，由于：m＜0，可得：m＝kπ﹣，k∈Z，可得：当k＝0时，m的最大值为：﹣．故选：B．【点评】本题主要考查由函数y＝A sin（ωx+φ）的部分图象求解析式，函数y＝A sin （ωx+φ）的图象的变换规律，属于中档题．12．（5分）在平面直角坐标系中，设点p（x，y），定义[OP]＝|x|+|y|，其中O为坐标原点，对于下列结论：（1）符合[OP]＝2的点p的轨迹围成的图形面积为8；（2）设点p是直线：上任意一点，则[OP]min＝1；（3）设点p是直线：y＝kx+1（k∈R）上任意一点，则使得“[OP]最小的点有无数个”的必要条件是k＝1；（4）设点p是椭圆上任意一点，则．其中正确的结论序号为（）A．（1）（2）（3）B．（1）（3）（4）C．（2）（3）（4）D．（1）（2）（4）【考点】2K：命题的真假判断与应用．【专题】35：转化思想；48：分析法；5B：直线与圆；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（1）根据新定义由[OP]＝|x|+|y|＝1，讨论x的取值，得到y与x的分段函数关系式，画出分段函数的图象，由图象可知点P的轨迹围成的图形为边长是2的正方形，求出正方形的面积即可；（2）运用绝对值的含义和一次函数的单调性，可得[OP]的最小值；（3）根据|x|+|y|大于等于|x+y|或|x﹣y|，把y＝kx+1代入即可得到当[OP]最小的点P 有无数个时，k等于1或﹣1；而k等于1或﹣1推出[OP]最小的点P有无数个，得到k ＝±1是“使[OP]最小的点P有无数个”的充要条件；（4）把P的坐标用参数表示，然后利用三角函数的化积求得[OP]＝|x|+|y|的最大值说明命题正确．【解答】解：（1）由[OP]＝2，根据新定义得：|x|+|y|＝2，由方程表示的图形关于x，y轴对称和原点对称，且x+y＝2（0≤x≤2，0≤y≤2），画出图象如图所示：根据图形得到：四边形ABCD为边长是2的正方形，面积等于8，故（1）正确；（2）P（x，y）为直线：上任一点，可得y＝1﹣x，可得|x|+|y|＝|x|+|1﹣x|，当x≤0时，[OP]＝1﹣（1+）x≥1；当0＜x＜时，[OP]＝1+（1﹣）x∈（1，）；当x≥时，可得[OP]＝﹣1+（1+）x≥，综上可得[OP]的最小值为1，故（2）正确；（3）∵|x|+|y|≥|x+y|＝|（k+1）x+1|，当k＝﹣1时，|x|+|y|≥|1|＝1，满足题意；而|x|+|y|≥|x﹣y|＝|（k﹣1）x﹣1|，当k＝1时，|x|+|y|≥|﹣1|＝1，满足题意．∴“使[OP]最小的点P有无数个”的充要条件是“k＝±1”，（3）不正确；（4）∵点P是椭圆上任意一点，则可设x＝3cosθ，y＝sinθ，θ∈[0，2π），[OP]＝|x|+|y|＝3cosθ+sinθ＝sin（θ+φ），θ∈[0，]，∴[OP]max＝，（4）正确．则正确的结论有：（1）、（2）、（4）．故选：D．【点评】此题考查学生理解及运用新定义的能力，考查了数形结合的数学思想，关键是对题意的理解，是中档题．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13．（5分）若直线x﹣my+m＝0经过抛物线x2＝2py（p＞0）的焦点，则p＝ 2 ．【考点】K8：抛物线的性质．【专题】35：转化思想；4O：定义法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】由直线方程求出直线过点（0，1），从而得到抛物线的焦点坐标，则p可求；【解答】解：∵直线x﹣my+m＝0过点（0，1），即抛物线x2＝2py（p＞0）的焦点F为（0，1），∴，则p＝2；故答案为：2．【点评】本题考查了抛物线的简单性质，是基础题．14．（5分）若x，y满足约束条件则（x+4）2+（y+1）2的最小值为 5 ．【考点】7C：简单线性规划．【专题】11：计算题；31：数形结合；35：转化思想；49：综合法；5T：不等式．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义，即可得到结论．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域，z的几何意义为区域内的点到定点D（﹣4，﹣1）的距离的平方，则由图象可知，DA距离最小，此时（x+4）2+（y+1）2的最小值为5，故答案为：5．【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合以及直线和圆的位置公式是解决本题的关键．15．（5分）已知等差数列{a n}，若点在经过点（4，8）的定直线l上，则数列{a n}的前7项和S7＝56 ．【考点】85：等差数列的前n项和．【专题】11：计算题；34：方程思想；4O：定义法；54：等差数列与等比数列．【分析】推导出a4＝8，数列{a n}的前7项和S7＝，由此能求出结果．【解答】解：等差数列{a n}中，点在经过点（4，8）的定直线l上，∴a4＝8，∴数列{a n}的前7项和S7＝＝56．故答案为：56．【点评】本题考查等差数列前7项和的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．16．（5分）已知函数，若关于x的方程有m个不同的实数解，则m的所有可能的值构成的集合为{3} ．【考点】53：函数的零点与方程根的关系．【专题】31：数形结合；32：分类讨论；4J：换元法；4R：转化法；51：函数的性质及应用．【分析】求函数f（x）的导数，判断函数的极值，作出函数f（x）的图象，设n＝f（x），利用根与系数之间的关系得到n2﹣nt﹣15＝0的两根之积n1n2＝﹣15，利用数形结合进行讨论求解即可．【解答】解：函数f（x）的导数为f′（x）＝＝＝＝，由f′（x）＞0，得﹣1＜x＜3，f（x）递增；由f′（x）＜0，得x＞3或x＜﹣1，f（x）递减．即有f（x）在x＝﹣1处取得极小值f（﹣1）＝﹣2e；在x＝3处取得极大值f（3）＝，作出f（x）的图象，如图所示；关于x的方程，令n＝f（x），则n2﹣nt﹣＝0，由判别式△＝t2+＞0，方程有两个不等实根，n1n2＝﹣＜0，则原方程有一正一负实根．而﹣2e×═﹣，即当n1＝，则n2＝﹣2e，此时y＝n1，和f（x）有两个交点，y＝n2与f（x）有1个交点，此时共有3个交点，当n1＞，则﹣2e＜n2＜0，此时y＝n1，和f（x）有1个交点，y＝n2与f（x）有2个交点，此时共有3个交点，当0＜n1＜则n2＜﹣2e，此时y＝n1和f（x）有3个交点，y＝n2与f（x）有0交点，此时共有3个交点，当﹣2e＜n1＜0，则或n2＞，此时y＝n1和f（x）有2个交点，y＝n2与f（x）有1个交点，此时共有3个交点，当n1＝﹣2e，则n2＝，此时y＝n1和f（x）有1个交点，y＝n2与f（x）有2个交点，此时共有3个交点，当n1＜﹣2e，则0＜n2＜，此时y＝n1和f（x）有0个交点，y＝n2与f（x）有3个交点，此时共有3个交点，综上方程[f（x）]2+tf（x）﹣＝0（t∈R）恒有3个不同的实数解，即m＝3，即m的所有可能的值构成的集合为{3}，故答案为：{3}．【点评】本题考查方程的根的个数的判断，考查函数方程的转化思想，注意运用二次方程的判别式和韦达定理，考查数形结合和分类讨论的思想方法，综合性较强，难度较大．三.解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23为选考题，考生根据要求作答．17．（12分）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且S3＝9，a1，a3，a7成等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若a n≠a1（当n≥2时），数列{b n}满足，求数列{a n b n}的前n项和T n．【考点】84：等差数列的通项公式；8E：数列的求和．【专题】35：转化思想；49：综合法；54：等差数列与等比数列．【分析】（1）求得首项和公差即可；（2）由（1）可得a n b n，再由错位相减求和得T n．【解答】解：（1）∵S3＝9，∴a2＝3，∴a1+d＝3①∵a1，a3，a7成等比数列，∴a32＝a1a7，∴（a1+2d）2＝a1（a1+6d）②由①②得：或，当时，a n＝3当时，a n＝n+1；（2）∵a n≠a1（当n≥2时），∴d≠0，∴a n＝n+1，∴b n＝2n+1，∴a n b n＝（n+1）2n+1，∴T n＝2•22+3•23+4•24+…+（n+1）2n+1①2T n＝2•23+3•24+4•25+…+（n+1）2n+2②①﹣②得﹣T n＝4+22+23+24+…+2n+1﹣（n+1）2n+2＝4+﹣（n+1）2n+2＝﹣n•2n+2∴T n＝n•2n+2【点评】本题考查了等差数列的通项公式及等比数列的前n项和公式、错位相减法求和，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18．（12分）2016年某市政府出台了“2020年创建全国文明城市（简称创文）”的具体规划，今日，作为“创文”项目之一的“市区公交站点的重新布局及建设”基本完成，市有关部门准备对项目进行调查，并根据调查结果决定是否验收，调查人员分别在市区的各公交站点随机抽取若干市民对该项目进行评分，并将结果绘制成如图所示的频率分布直方图，相关规则为：①调查对象为本市市民，被调查者各自独立评分；②采用百分制评分，[60，80）内认定为满意，80分及以上认定为非常满意；③市民对公交站点布局的满意率不低于60%即可进行验收；④用样本的频率代替概率．（1）求被调查者满意或非常满意该项目的频率；（2）若从该市的全体市民中随机抽取3人，试估计恰有2人非常满意该项目的概率；（3）已知在评分低于60分的被调查者中，老年人占，现从评分低于60分的被调查者中按年龄分层抽取9人以便了解不满意的原因，并从中选取2人担任群众督察员，记ξ为群众督查员中老年人的人数，求随机变量ξ的分布列及其数学期望Eξ．【考点】CG：离散型随机变量及其分布列；CH：离散型随机变量的期望与方差．【分析】（1）根据频率分布直方图，求解在[60，100]的频率即可．（2）根据频率分布直方图，被调查者非常满意的频率是，然后求解抽取3人恰有2人非常满意该项目的概率．（3）从被调查者中按年龄分层抽取9人，这9人中，老年人有3人，非老年人6人，随机变量ξ的所有可能取值为0，1，2，求出概率得到分布列，然后求解期望即可．【解答】（本小题满分12分）解：（1）根据题意：6（0分）或以上被认定为满意或非常满意，在频率分布直方图中，评分在[60，100]的频率为：（+++）×10＝；（2）根据频率分布直方图，被调查者非常满意的频率是，用样本的频率代替概率，从该市的全体市民中随机抽取1人，该人非常满意该项目的概率为，现从中抽取3人恰有2人非常满意该项目的概率为：；（3）∵评分低于6（0分）的被调查者中，老年人占，又从被调查者中按年龄分层抽取9人，∴这9人中，老年人有3人，非老年人6人，随机变量ξ的所有可能取值为0，1，2，，，．ξ的分布列为：ξ012pξ的数学期望Eξ＝．【点评】本题考查频率分布列，频率分布直方图，期望的求法，考查分层抽样的应用，是基础题．19．（12分）如图，在锐角△ABC中，D为边BC的中点，且，，O为△ABC 外接圆的圆心，且．（1）求sin∠BAC的值；（2）求△ABC的面积．【考点】HT：三角形中的几何计算．【专题】34：方程思想；44：数形结合法；58：解三角形．【分析】（1）根据题意，利用二倍角公式求解即可；（2）延长AD至E，使AE＝2AD，连接BE，CE，得四边形ABEC为平行四边形，推出CE＝AB；利用余弦定理AE2＝AC2+CE2﹣2AC•CE•cos∠ACE，求出CE，再求三角形ABC的面积．【解答】解：（1）如图所示，∠BOC＝2∠BAC，∴cos∠BOC＝cos2∠BAC＝1﹣2sin2∠BAC＝﹣，∴sin2∠BAC＝，sin∠BAC＝；（2）延长AD至E，使AE＝2AD，连接BE，CE，则四边形ABEC为平行四边形，∴CE＝AB；在△ACE中，AE＝2AD＝3，AC＝，∠ACE＝π﹣∠BAC，cos∠ACE＝﹣cos∠BAC＝﹣＝﹣；由余弦定理得，AE2＝AC2+CE2﹣2AC•CE•cos∠ACE，即（3）2＝（）2+CE2﹣2וCE×（﹣），解得CE＝3，∴AB＝CE＝3，∴S△ABC＝AB•AC•sin∠BAC＝×3××＝．【点评】本题考查解三角形的应用问题，也考查了三角恒等变换与计算能力，是中档题．20．（12分）设椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，上顶点为A，过点A与AF2垂直的直线交x轴负半轴于点Q，且，过A，Q，F2三点的圆恰好与直线相切．（1）求椭圆C的方程；（2）过右焦点F2作斜率为k的直线l与椭圆C交于M，N两点，问在x轴上是否存在点P（m，0），使得以PM，PN为邻边的平行四边形是菱形如果存在，求出m的取值范围；如果不存在，说明理由．【考点】KL：直线与椭圆的综合．【专题】11：计算题；21：阅读型；34：方程思想；4P：设而不求法；5E：圆锥曲线中的最值与范围问题．【分析】（1）设点Q的坐标为（x0，0），且x0＜0，利用AQ⊥AF2以及得出点Q的坐标，将直角△AQF2的外接圆与直线相切转化为其外接圆圆心F1到该直线的距离等于半径，可求出c的值，进而得出a与b的值，从而得出椭圆C的方程；（2）令，得出t≠0，设点M（x1，y1）、N（x2，y2），将直线l的方程与椭圆C的方程联立，列出韦达定理，并求出线段MN的中点E的坐标，将条件“以PM，PN为邻边的平行四边形是菱形”转化为PE⊥MN，得出这两条直线的斜率之积为﹣1，然后得出m的表达式，利用不等式的性质可求出实数m的取值范围．【解答】解：（1）设椭圆C的焦距为2c（c＞0），则点F1的坐标为（﹣c，0），点F2的坐标为（c，0），设点Q的坐标为（x0，0），且x0＜0，如下图所示，，，∵，则x0+c+2c＝0，所以，x0＝﹣3c，则点Q的坐标为（﹣3c，0），∵直线AF2与直线AQ垂直，且点A（b，0），所以，，，由，得b2＝3c2，则，．△AQF2为直角三角形，且F2Q为斜边，线段F2Q的中点为F1（﹣c，0），△AQF2的外接圆半径为2c．由题意可知，点F1到直线的距离为，所以，c＝1，a＝2c ＝2，，因此，椭圆C的方程为；（2）由题意知，直线l的斜率k≠0，并设，则直线l的方程为x＝ty+1，设点M（x1，y1）、N（x2，y2）．将直线l的方程与椭圆C的方程联立，消去x得（3t2+4）y2+6ty﹣9＝0，由韦达定理得，．∴，．所以，线段MN的中点为点．由于以PM，PN为邻边的平行四边形是菱形，则PE⊥MN，则k PE•k MN＝﹣1，所以，k PE＝﹣t．由两点连线的斜率公式可得，得．由于k≠0，则，所以，t2＞0，所以，．因此，在x轴上存在点P（m，0），使得以PM，PN为邻边的平行四边形是菱形，且实数m 的取值范围是．【点评】本题考查直线与椭圆的综合问题，考查椭圆的方程以及韦达定理设而不求法在椭圆综合中的应用，同时也考查了向量的坐标运算，属于中等题．21．（12分）已知函数f（x）＝x2﹣ax+2lnx（其中a是实数）．（1）求f（x）的单调区间；（2）若设2（e+）＜a＜，且f（x）有两个极值点x1，x2（x1＜x2），求f（x1）﹣f （x2）取值范围．（其中e为自然对数的底数）．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6E：利用导数研究函数的最值．【专题】11：计算题；32：分类讨论；49：综合法；53：导数的综合应用．【分析】（1）求出f（x）的定义域为（0，+∞），＝，由此利用导数性质和分类讨论思想能求出f（x）的单调区间．（2）推导出f（x1）﹣f（x2）＝，令h（x）＝，（），则＜0恒成立，由此能求出f（x1）﹣f（x2）的取值范围．【解答】解：（1）∵f（x）＝x2﹣ax+2lnx（其中a是实数），∴f（x）的定义域为（0，+∞），＝，…．（1分）令g（x）＝2x2﹣ax+2，△＝a2﹣16，对称轴x＝，g（0）＝2，当△＝a2﹣16≤0，即﹣4≤a≤4时，f′（x）≥0，∴函数f（x）的单调递增区间为（0，+∞），无单调递减区间．…（2分）当△＝a2﹣16＞0，即a＜﹣4或a＞4时，①若a＜﹣4，则f′（x）＞0恒成立，∴f（x）的单调递增区间为（0，+∞），无减区间．…（3分）②若a＞4，令f′（x）＝0，得，，当x∈（0，x1）∪（x2，+∞）时，f′（x）＞0，当x∈（x1，x2）时，f′（x）＜0．∴f（x）的单调递增区间为（0，x1），（x2，+∞），单调递减区间为（x1，x2）．…（4分）综上所述：当a≤4时，f（x）的单调递增区间为（0，+∞），无单调递减区间．当a＞4时，f（x）的单调递增区间为（0，x1）和（x2，+∞），单调递减区间为（x1，x2）．…（5分）（2）由（1）知，若f（x）有两个极值点，则a＞4，且x1+x2＝＞0，x1x2＝1，∴0＜x1＜1＜x2，又∵，a＝2（），，e+＜＜3+，又0＜x1＜1，解得．…（7分）∴f（x1）﹣f（x2）＝（）﹣（）＝（）﹣a（x1﹣x2）+2（lnx1﹣lnx2）＝（x1﹣x2）﹣a（x1﹣x2）+2ln＝﹣（）•（x1+）+4lnx1＝，…（9分）令h（x）＝，（），则＜0恒成立，∴h（x）在（）单调递减，∴h（）＜h（x）＜h（），即﹣4＜f（x1）﹣f（x2）＜﹣4ln3，故f（x1）﹣f（x2）的取值范围为（，）．…（12分）【点评】本题考查函数的单调区间的求法，考查函数值之差的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意导数性质、构造法、分类讨论思想的合理运用．[选做题]22．（10分）已知直线l过点P（1，0），且倾斜角为α，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立坐标系，圆C的极坐标方程为ρ＝4cosθ．（1）求圆C的直角坐标系方程及直线l的参数方程；（2）若直线l与圆C交于A，B两点，求的最大值和最小值．【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程；QJ：直线的参数方程．【专题】11：计算题；35：转化思想；4R：转化法；5S：坐标系和参数方程．【分析】（1）由ρ＝4cosθ，得ρ2＝4ρcosθ，由此能求出圆C的直角坐标方程；由直线l过点P（1，0），且倾斜角为α，能求出直线l的参数方程．（2）将代入（x﹣2）2+y2＝4，得t2﹣2t cosα﹣3＝0，由此能求出的最大值和最小值．【解答】解：（1）由ρ＝4cosθ，得ρ2＝4ρcosθ，即x2+y2＝4x，所以圆C的直角坐标方程为（x﹣2）2+y2＝4，直线l过点P（1，0），且倾斜角为α，所以直线l的参数方程为（t为参数）．（2）将代入（x﹣2）2+y2＝4，得t2﹣2t cosα﹣3＝0，△＝（2cosα）2+12＞0，设A，B两点对应的参数分别为t1，t2，则，因为cosα∈[﹣1，1]，所以的最大值为，最小值为．【点评】本题考查圆的直角坐标方程和直线的参数方程的求法，考查两条线段长的倒数。

2019届安徽省高三上学期第一次联考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．若集合A={1，2，3，4}，B={x|y=log（3﹣x）}，则A∩B=（）2A．{1，2} B．{1，2，3} C．{1，2，3，4} D．{4}2．取一根长度为3m的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段的长都不小于1m的概率是（）A．B．C．D．不确定3．将函数y=sin2x的图象先向左平行移动个单位长度，再向上平行移动1个单位长度，得到的函数解析式是（）A．y=sin（2x﹣）+1 B．y=sin（2x+）+1 C．y=sin（2x+）+1 D．y=sin（2x﹣）+14．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A． B． C．2πD．5．执行右边的程序框图，若p=0.8，则输出的n=（）A．3 B．4 C．5 D．66．若变量x、y满足约束条件，则z=的最小值为（）A．0 B．1 C．2 D．37．已知{an }为等差数列，a1+a2+a3=156，a2+a3+a4=147，{an}的前n项和为Sn，则使得Sn达到最大值的n是（）A．19 B．20 C．21 D．228．设m、n是两条不同的直线α、β是两个不同的平面，有下列四个命题：①如果α∥β，m⊂α，那么m∥β；②如果m⊥α，β⊥α，那么m∥β；③如果m⊥n，m⊥α，n∥β，那么α⊥β；④如果m∥β，m⊂α，α∩β=n，那么m∥n其中正确的命题是（）A．①② B．①③ C．①④ D．③④9．已知函数f（x）=是R上的增函数，则实数a的取值范围是（）A．﹣1＜a＜1 B．﹣1＜a≤1 C．D．10．设a＞b＞0，a+b=1，且x=（）b，y=log ab，z=log a，则x、y、z的大小关系是（）A．y＜z＜x B．z＜y＜x C．x＜y＜z D．y＜x＜z11．已知A、B是球O的球面上两点，且∠AOB=120°，C为球面上的动点，若三棱锥O﹣ABC体积的最大值为，则球O的表面积为（）A．4πB．C．16π D．32π12．设函数f（x）、g（x）分别是定义在R上的奇函数和偶函数，且f（x）+g（x）=2x，若对x∈[1，2]，不等式af（x）+g（2x）≥0恒成立，则实数a的取值范围是（）A．[﹣1，+∞）B．C．D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．经过圆x2+2x+y2=0的圆心C，且与直线x+y=0垂直的直线方程是．14．已知，则sin2x= ．15．设函数f（x）=sin（wx+φ），其中|φ|＜．若f（﹣）≤f（x）≤f（）对任意x∈R恒成立，则正数w的最小值为，此时，φ= ．16．已知，满足||=||=•=2，且（﹣）•（﹣）=0，则|2﹣|的最小值为．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．我国是世界上严重缺水的国家．某市政府为了了解居民用水情况，通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照[0，0.5），[0.5，1），…[4，4.5）分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图．（1）求直方图中a的值；（2）设该市有30万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3.5吨的人数，并说明理由；（3）若在该选取的100人的样本中，从月均用水量不低于3.5吨的居民中随机选取3人，求至少选到1名月均用水量不低于4吨的居民的概率．18．如图，在△ABC中，∠B=，AB=8，点D在边BC上，且CD=2，cos∠ADC=．（1）求sin∠BAD；（2）求BD，AC的长．19．如图所示，凸五面体ABCED中，DA⊥平面ABC，EC⊥平面ABC，AC=AD=AB=1，BC=，F为BE的中点．（1）若CE=2，求证：①DF∥平面ABC；②平面BDE⊥平面BCE；（2）若二面角E﹣AB﹣C为45°，求直线AE与平面BCE所成角．20．设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1=1，2S n =（n+1）a n ，n ∈N *．（1）求数列{a n }的通项公式；（2）令b n =，数列{b n }的前n 项和为T n ，试比较T n 与的大小．21．如图，已知直线l ：y=x+4，圆O ：x 2+y 2=3，直线m ∥l ．（1）若直线m 与圆O 相交，求直线m 纵截距b 的取值范围；（2）设直线m 与圆O 相交于C 、D 两点，且A 、B 为直线l 上两点，如图所示，若四边形ABCD 是一个内角为60°的菱形，求直线m 纵截距b 的值．22．已知a ＞0，b ∈R ，函数f （x ）=4ax 2﹣2bx ﹣a+b 的定义域为[0，1]．（Ⅰ）当a=1时，函数f （x ）在定义域内有两个不同的零点，求b 的取值范围；（Ⅱ）记f （x ）的最大值为M ，证明：f （x ）+M ＞0．2017-2018学年安徽省“江淮十校”高三（上）第一次联考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（3﹣x）}，则A∩B=（）1．若集合A={1，2，3，4}，B={x|y=log2A．{1，2} B．{1，2，3} C．{1，2，3，4} D．{4}【考点】交集及其运算．【分析】根据对数函数的定义求出集合B中元素的范围，再由交集的定义求出A∩B即可．【解答】解：∵A={1，2，3，4}，B={x|y=log（3﹣x）}={x|x＜3}，2则A∩B={1，2}，故选：A．2．取一根长度为3m的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段的长都不小于1m的概率是（）A．B．C．D．不确定【考点】几何概型；任意角的三角函数的定义．【分析】根据题意确定为几何概型中的长度类型，将长度为3m的绳子分成相等的三段，在中间一段任意位置剪断符合要求，从而找出中间1m处的两个界点，再求出其比值．【解答】解：记“两段的长都不小于1m”为事件A，则只能在中间1m的绳子上剪断，剪得两段的长都不小于1m，所以事件A发生的概率．故选B3．将函数y=sin2x的图象先向左平行移动个单位长度，再向上平行移动1个单位长度，得到的函数解析式是（）A．y=sin（2x﹣）+1 B．y=sin（2x+）+1 C．y=sin（2x+）+1 D．y=sin（2x﹣）+1【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【分析】第一次变换可得可得函数y=sin2（x+）的图象，第二次变换可得函数y=sin2（x+）+1的图象，从而得出结论．【解答】解：将函数y=sin2x的图象先向左平行移动个单位长度，可得函数y=sin2（x+）的图象，再向上平行移动1个单位长度，可得函数y=sin2（x+）+1=sin（2x+）+1 的图象，故选B．4．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A． B． C．2πD．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图可以看出，此几何体是一个上部为半圆锥、下部为圆柱的几何体，故可以分部分求出半圆锥与圆柱的体积再相加求出此简单组合体的体积．【解答】解：所求几何体为一个圆柱体和半圆锥体构成．其中半圆锥的高为2．其体积为=，圆柱的体积为π•12•1=π故此简单组合体的体积V=π+=．故选：A．5．执行右边的程序框图，若p=0.8，则输出的n=（）A．3 B．4 C．5 D．6【考点】循环结构．【分析】根据流程图所示的顺序，逐框分析程序中各变量、各语句的作用可知：该程序的作用是判断S=＞0.8时，n+1的值．【解答】解：根据流程图所示的顺序，该程序的作用是判断S=＞0.8时，n+1的值．当n=2时，当n=3时，，此时n+1=4．则输出的n=4故选B．6．若变量x、y满足约束条件，则z=的最小值为（）A．0 B．1 C．2 D．3【考点】简单线性规划．【分析】先根据约束条件画出可行域，再利用目标函数的几何意义：平面区域内的一点与原点连线的斜率求最小值【解答】解：作出的可行域如图所示的阴影部分，由于z==1+2的几何意义是平面区域内的一点与原点连线的斜率的2倍加1，结合图形可知，直线OA的斜率最小，由可得A（2，1），此时z===2．故选：C．7．已知{an }为等差数列，a1+a2+a3=156，a2+a3+a4=147，{an}的前n项和为Sn，则使得Sn达到最大值的n是（）A．19 B．20 C．21 D．22【考点】等差数列的前n项和．【分析】写出前n项和的函数解析式，再求此式的最值是最直观的思路，但注意n取正整数这一条件．【解答】解：设{an}的公差为d，由题意得：a 1+a2+a3=a1+a1+d+a1+2d=156，即a1+d=52，①a 2+a3+a4=a1+d+a1+2d+a1+3d=147，即a1+2d=49，②由①②联立得a1=55，d=﹣3，∴Sn=55n+×（﹣3）=﹣n2+n=﹣（n﹣）2+．∴观察选项，当n=19时，使得Sn达到最大值．故选：A．8．设m、n是两条不同的直线α、β是两个不同的平面，有下列四个命题：①如果α∥β，m⊂α，那么m∥β；②如果m⊥α，β⊥α，那么m∥β；③如果m⊥n，m⊥α，n∥β，那么α⊥β；④如果m∥β，m⊂α，α∩β=n，那么m∥n其中正确的命题是（）A．①② B．①③ C．①④ D．③④【考点】命题的真假判断与应用．【分析】根据空间直线与直线，直线与平面的位置关系及几何特征，逐一分析四个命题的真假，可得答案．【解答】解：①如果α∥β，m⊂α，那么m∥β，故正确；②如果m⊥α，β⊥α，那么m∥β，或m⊂β，故错误；③如果m⊥n，m⊥α，n∥β，那么α，β关系不能确定，故错误；④如果m∥β，m⊂α，α∩β=n，那么m∥n，故正确故选：C9．已知函数f（x）=是R上的增函数，则实数a的取值范围是（）A．﹣1＜a＜1 B．﹣1＜a≤1 C．D．【考点】分段函数的应用．【分析】根据f（x）在R上单调递增便可知，二次函数x2﹣2ax+2在[1，+∞）上单调递增，一次函数（a+1）x+1在（﹣∞，1）上单调递增，列出不等式，即可得出实数a的取值范围．【解答】解：函数f（x）=是R上的增函数，；∴当x≥1时，f（x）=x2﹣2ax+2为增函数；∴a≤1；当x＜1时，f（x）=（a+1）x+1为增函数；∴a+1＞0；∴a ＞﹣1；且a+2≤3﹣2a ；解得；∴实数a 的取值范围为：（﹣1，]．故选：D ．10．设a ＞b ＞0，a+b=1，且x=（）b ，y=log ab ，z=log a ，则x 、y 、z 的大小关系是（ ）A ．y ＜z ＜xB ．z ＜y ＜xC ．x ＜y ＜zD ．y ＜x ＜z【考点】对数值大小的比较．【分析】由已知得到a ，b 的具体范围，进一步得到ab ，，的范围，结合指数函数与对数函数的性质得答案．【解答】解：由a ＞b ＞0，a+b=1，得0，，且0＜ab ＜1，则，，a ＜，∴x=（）b ＞0，y=logab=﹣1，0=＞z=log a ＞=﹣1，∴y ＜z ＜x ．故选：A ．11．已知A 、B 是球O 的球面上两点，且∠AOB=120°，C 为球面上的动点，若三棱锥O ﹣ABC 体积的最大值为，则球O 的表面积为（ ）A ．4πB ．C ．16πD ．32π 【考点】球的体积和表面积．【分析】当点C 位于垂直于面AOB 的直径端点时，三棱锥O ﹣ABC 的体积最大，利用三棱锥O ﹣ABC 体积的最大值为，求出半径，即可求出球O 的表面积．【解答】解：如图所示，当点C 位于垂直于面AOB 的直径端点时，三棱锥O ﹣ABC 的体积最大，设球O 的半径为R ，此时V O ﹣ABC =V C ﹣AOB ==，故R=2，则球O 的表面积为4πR 2=16π，故选：C ．12．设函数f（x）、g（x）分别是定义在R上的奇函数和偶函数，且f（x）+g（x）=2x，若对x∈[1，2]，不等式af（x）+g（2x）≥0恒成立，则实数a的取值范围是（）A．[﹣1，+∞）B．C．D．【考点】函数奇偶性的性质．【分析】先根据函数奇偶性定义，解出奇函数f（x）和偶函数g（x）的表达式，将这个表达式不等式af（x）+g（2x）≥0，令t=2x﹣2﹣x，则t＞0，通过变形可得a≥﹣（t+），讨论出右边在x∈[1，2]的最大值，可以得出实数a的取值范围．【解答】解：∵f（x）为定义在R上的奇函数，g（x）为定义在R上的偶函数∴f（﹣x）=﹣f（x），g（﹣x）=g（x）又∵由f（x）+g（x）=2x，结合f（﹣x）+g（﹣x）=﹣f（x）+g（x）=2﹣x，∴f（x）=（2x﹣2﹣x），g（x）=（2x+2﹣x）不等式af（x）+g（2x）≥0，化简为（2x﹣2﹣x）+（22x+2﹣2x）≥0∵1≤x≤2∴≤2x﹣2﹣x≤令t=2x﹣2﹣x，则t＞0，因此将上面不等式整理，得：a≥﹣（t+）．∵≤t≤∴≤t+≤∴a≥﹣．故选：C．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．经过圆x2+2x+y2=0的圆心C，且与直线x+y=0垂直的直线方程是x﹣y+1=0 ．【考点】直线的点斜式方程；两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系．【分析】先求圆心，再求斜率，可求直线方程．【解答】解：易知点C为（﹣1，0），而直线与x+y=0垂直，我们设待求的直线的方程为y=x+b，将点C的坐标代入马上就能求出参数b的值为b=1，故待求的直线的方程为x﹣y+1=0．故答案为：x﹣y+1=0．14．已知，则sin2x= ．【考点】二倍角的正弦．【分析】由诱导公式，二倍角的余弦函数公式化简所求，结合已知即可计算求值．【解答】解：∵，∴．故答案为：．15．设函数f（x）=sin（wx+φ），其中|φ|＜．若f（﹣）≤f（x）≤f（）对任意x∈R恒成立，则正数w的最小值为 2 ，此时，φ= ﹣．【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【分析】直接利用函数的周期的最大值，即可求解ω的最小值．通过函数的最大值求出φ【解答】解：因为函数f（x）=sin（ωx+φ），其中|φ|＜．若f（﹣）≤f（x）≤f（）对任意x∈R恒成立，所以的最大值为：，所以正数ω的最小值为：，ω=2，因为函数的最大值为f（），所以2×=，所以φ=，故答案为：2，．16．已知，满足||=||=•=2，且（﹣）•（﹣）=0，则|2﹣|的最小值为﹣1 ．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】求出的夹角，建立平面直角坐标系，设=（2，0），则=（1，），根据数量积的几何意义得出C的轨迹，利用点到圆的最短距离求出|2﹣|的最小值．【解答】解：∵||=||=•=2，∴cos＜＞==，∴＜＞=60°．设=（2，0），==（1，），，∵（﹣）•（﹣）=0，∴，∴C的轨迹为以AB为直径的圆M．其中M（，），半径r=1．延长OB到D，则D（2，2）．连结DM，交圆M于C点，则CD为|2﹣|的最小值．DM==．∴CD=．故答案为：﹣1．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．我国是世界上严重缺水的国家．某市政府为了了解居民用水情况，通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照[0，0.5），[0.5，1），…[4，4.5）分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图．（1）求直方图中a的值；（2）设该市有30万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3.5吨的人数，并说明理由；（3）若在该选取的100人的样本中，从月均用水量不低于3.5吨的居民中随机选取3人，求至少选到1名月均用水量不低于4吨的居民的概率．【考点】古典概型及其概率计算公式；频率分布直方图．【分析】（1）由频率统计相关知识，各组频率之和的值为1，由此能求出a．（2）由图求出不低于3.5吨人数所占百分比，由此能估计全市月均用水量不低于3.5吨的人数．（3）由不低于3.5吨人数所占百分比为6%，得该选取的100人的样本中，月均用水量不低于3.5吨的居民有6人，其中[3.5，4）之间有4人，[4，4.5）之间有2人，由此能求出从6人中取出3人，至少选到1名月均用水量不低于4吨的居民的概率．【解答】解：（1）由频率统计相关知识，各组频率之和的值为1，∵频率=，∴0.5×（a+0.16+0.3+0.4+0.52+0.3+0.12+a+0.04）=1得a=0.08．（2）由图，不低于3.5吨人数所占百分比为0.5×（0.08+0.04）=6%，∴估计全市月均用水量不低于3.5吨的人数为：30×6%=1.8（万），（3）由（2）不低于3.5吨人数所占百分比为0.5×（0.08+0.04）=6%，因此该选取的100人的样本中，月均用水量不低于3.5吨的居民有100×6%=6人，其中[3.5，4）之间有4人，[4，4.5）之间有2人，从6人中取出3人，共有=20种取法，利用互斥事件分类讨论，3人中在[4，4.5）之间有1人，[3.5，4）之间有2人，共有12种取法，3人中在[4，4.5）之间有2人，[3.5，4）之间有1人，共有4种取法，所以至少选到1名月均用水量不低于4吨的居民的概率为：p==．18．如图，在△ABC中，∠B=，AB=8，点D在边BC上，且CD=2，cos∠ADC=．（1）求sin∠BAD；（2）求BD，AC的长．【考点】余弦定理的应用．【分析】根据三角形边角之间的关系，结合正弦定理和余弦定理即可得到结论．【解答】解：（1）在△ABC中，∵cos∠ADC=，∴sin∠ADC====，则sin∠BAD=sin（∠ADC﹣∠B）=sin∠ADC•cosB﹣cos∠ADC•sinB=×﹣=．（2）在△ABD中，由正弦定理得BD==，在△ABC中，由余弦定理得AC2=AB2+CB2﹣2AB•BCcosB=82+52﹣2×8×=49，即AC=7．19．如图所示，凸五面体ABCED中，DA⊥平面ABC，EC⊥平面ABC，AC=AD=AB=1，BC=，F为BE的中点．（1）若CE=2，求证：①DF∥平面ABC；②平面BDE⊥平面BCE；（2）若二面角E﹣AB﹣C为45°，求直线AE与平面BCE所成角．【考点】直线与平面所成的角；平面与平面垂直的判定．【分析】（1）①取BC作的中点G，连接GF，GA，证明四边形AGFD为平行四边形得出DF∥AG，故而DF∥平面ABC；②证明AG⊥平面BCE，得出DF⊥平面BCE，于是平面BDE⊥平面BCE；（2）连接AE，则∠EAC=45°，由AG⊥平面BCE得出∠AEG为所求角，利用勾股定理计算AG，AE，即可得出sin∠AEG．【解答】证明：（1）①取BC作的中点G，连接GF，GA，∴GF为三角形BCE的中位线，∴GF∥CE，GF=CE，∵DA⊥平面ABC，EC⊥平面ABC，∴DA∥CE，又DA=CE，∴GF∥AD，GF=AD．∴四边形GFDA为平行四边形，∴AG∥FD，又GA⊂平面ABC，DF⊄平面ABC，∴DF∥平面ABC．②∵AB=AC，G为BC的中点，∴AG⊥BC，∵CE⊥平面ABC，CE⊂平面BCE，∴平面BCE⊥平面ABC，又平面BCE∩平面ABC=BC，AG⊂平面ABC，∴AG⊥平面BCE，∵AG∥FD，∴FD⊥平面BCE，又FD⊂平面BDE，∴平面BDE⊥平面BCE．（2）连接AE．∵AD⊥平面ABC，AB⊂平面ABC，∴AD⊥AB，∵AB=AC=1，BC=，∴AC ⊥AB ，又AC ⊂平面ACE ，AD ⊂平面ACE ，AC∩AD=A，∴AB ⊥平面ACE ，又AE ⊂平面ACE ，∴AB ⊥AE ，∴E ﹣AB ﹣C 的平面角为∠EAC=45°，∴CE=AC=1；由（1）可知AG ⊥平面BCE ，∴直线AE 与平面BCE 所成角为∠AEG ．∵AB=AC=1，AB ⊥AC ，∴AG=BC=，AE==，∴，∴∠AEG=30°．20．设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1=1，2S n =（n+1）a n ，n ∈N *．（1）求数列{a n }的通项公式；（2）令b n =，数列{b n }的前n 项和为T n ，试比较T n 与的大小．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（1）由2S n =（n+1）a n ，当n ≥2，2S n ﹣1=na n ﹣1，两式相减可知：，即，a n =n ；（2）由（1）可知：，采用“裂项法”即可求得数列{b n }的前n 项和为T n ，即可比较T n 与的大小．【解答】解：（1）∵，∴，两式相减得：，…∴（n ≥2，且n ∈N *），又，∴，=n…∴an（2）由（1）可得…∴，=…21．如图，已知直线l：y=x+4，圆O：x2+y2=3，直线m∥l．（1）若直线m与圆O相交，求直线m纵截距b的取值范围；（2）设直线m与圆O相交于C、D两点，且A、B为直线l上两点，如图所示，若四边形ABCD是一个内角为60°的菱形，求直线m纵截距b的值．【考点】圆方程的综合应用；直线与圆的位置关系．【分析】（1）利用m∥l，求出直线l；设直线m的方程，利用设圆心O到直线m的距离为d，通过直线m与圆O相交，求解即可．（2）求出CD，利用AB与CD之间的距离，结合求解即可．【解答】解：（1）∵m∥l，直线，∴可设直线，即，设圆心O到直线m的距离为d，又因为直线m与圆O相交，∴，…即，∴…（2）由，①…AB与CD之间的距离，②…又③…联立①②③得到：b2﹣2b﹣5=0，又，解得：或…22．已知a＞0，b∈R，函数f（x）=4ax2﹣2bx﹣a+b的定义域为[0，1]．（Ⅰ）当a=1时，函数f（x）在定义域内有两个不同的零点，求b的取值范围；（Ⅱ）记f（x）的最大值为M，证明：f（x）+M＞0．【考点】二次函数的性质．【分析】（1）由题意可得f（0）≥0，f（1）≥0，△＞0，0＜＜1，解不等式即可得到所求范围；（2）求出对称轴，讨论对称轴和区间[0，1]的关系，可得最值，即可证明f（x）+M＞0．【解答】解：（1）由题意可得f（x）=4x2﹣2bx﹣1+b在[0，1]内有两个不同的零点，即有，解得1≤b＜2或2＜b≤3；（2）记f（x）的最大值为M，证明：f（x）+M＞0．只需证明f（x）最小值+M＞0即可，设f（x）的最小值是m，问题转化为证明M+m＞0，证明如下：f（x）的对称轴为x=，当＞1时，区间[0，1]为减区间，可得M=f（0）=b﹣a，m=f（1）=3a﹣b，则M+m=2a＞0；当＜0时，区间[0，1]为增区间，可得m=f（0）=b﹣a，M=f（1）=3a﹣b，则M+m=2a＞0；当0≤≤1时，区间[0，]为减区间，[，1]为增区间，可得m=f（）=，若f（0）≤f（1），即b≤2a，可得M=f（1）=3a﹣b，M+m=≥=a＞0；若f（0）＞f（1），即2a＜b≤4a，可得M=f（0）=b﹣a，M+m==，由于2a＜b≤4a，可得M+m∈（a，2a]，即为M+m＞0．综上可得：f（x）max +f（x）min＞0恒成立，即f（x）+M＞0．。

A10联盟2019届高三摸底考数学（理科）试题巢湖一中 合肥八中 淮南二中 六安一中 南陵中学 舒城中学 太湖中学天长中学 屯溪一中 宣城中学 滁州中学 池州中学 阜阳一中第Ⅰ卷 选择题（共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要示的．1．已知集合}032|{2<--=x x x A ，)}1lg(|{-==x y x B ，则B A ＝（ ）A ．（－1，3）B ．（－3，1）C ．（1，3）D ．（－1，1）2．若复数z 满足i i z -=+1)2(（i 为虚数单位），则z 的虚部分为（ ）A ．53B ．53-C ．i 53D ．i 53- 3．若α，β，γ是三个不同的平面，m ，n 是两条不同的直线，则下列命题正确的是（ ）A ．若m =βα ，α⊂n ，n m ⊥，则βα⊥B ．若βα⊥，m =βα ，n =γα ，则n m ⊥C ．若m 不垂直于平面α，则m 不可能垂直于平面α内的无数条直线D ．若α⊥m ，β⊥n ，m ∥n ，则α∥β4．七巧板是一种古老的中国传统智力游戏，被誉为“东方魔板”．如图，这是一个用七巧板拼成的正方形，其中1号板和2号板为两个全等的等腰直角三角形，3号板和5号板为两个全等的等腰直角三角形，7号板为一个等腰直角三角形，4号板为一个正方形，6号板为一个平行四边形．现从这个正方形内任取一点，由此点取自阴影部分的概率为（ ）A ．81 B ．41 C ．163 D ．83 5．函数x x f x x cos 2121)(⋅+-=，⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈22ππ，　x 的图象大致为（ ）6．设等比数列}{n a 的前n 项和为n S ，若0221=+S S ，且15)(842=-a a ，则51a a ＝（ ）A ．94B ．49C ．8116D ．16817．若函数)sin()(θ+=x x f （0＜θ＜π）的图象关于直线3π=x 对称，则)(x f 在［0，π］上的单调递减区间为（ ） A ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡ππ，3 B ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡323ππ， C ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡320π， D ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡ππ，32 8．设F 1，F 2分别是双曲线12222=-by a x （a ＞0，b ＞0）的左、右焦点，以线段F 1F 2为为边作等边 △MF 1F 2，若线段MF 1的中点P 在双曲线上，则该双曲线的离心率为（ ）A ．324+B ．13+C ．213+ D ．3 9．在△ABC 中，=，且32||=CP ，8||=CA ，∠ACB ＝32π，则CA CP ⋅＝（ ） A ．24 B ．12 C ．324 D ．31210．已知某几何体的三视图如图所示，俯视力中的3个小三角形全等，则该几何体的外接球衣的表面积为（ ）A ．314πB ．27136πC ．64165πD ．449π 11．已知直线l 过点（33，0）且不与x 轴垂直，圆C ：0222=-+y y x ，若直线l 上存在一点M ，OM交圆C 于点N ，且23=，其中O 为坐标原点，则直线l 的斜率的最小值为（ ） A ．－1 B ．3- C ．6- D ．33- 12．设)('x f 是函数)(x f 的导函数，12)1(')0(21)(-+-=x e f x f x x f ，若x x x f x g +-=221)()(，且 方程02=-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x a x g 有且只有一个实数根，则实数a 的取值范围是（ ） A ．}0{)0( ，-∞ B ．]10()0(，， -∞ C ．]10(， D ．[)∞+，1 第Ⅱ卷 非选择题（共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知角θ的终边经过点（54-，53），则2sin 2θ的值为 ． 14．已知实数x ，y 满足⎪⎩⎪⎨⎧≥+≥+≥y x y x x y 2422，则y x z 3-=的最大值为 ．15．6)2(z y x --的展开式中含z y x 32项的系数为 ．16．设抛物线x y 42=的焦点为F ，过点（2，0）的直线交抛物线于A ，B 两点，交抛物线的准线于点C ． 若52=∆∆BCF ACF S S ，则=||AF ． 三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（本小题满分10分）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且B c a C b cos )2(cos -=．（Ⅰ）求角B 的大小；（Ⅱ）若△ABC 外接圆的半径为334，求△ABC 面积的最大值．18．（本小题满分12分）已知数列}{n a 是单调递增数列，首项11=a ，其前n 项和为S n ，且满足12212+-=-n n n S a S （n ≥2且*N n ∈）．（Ⅰ）求数列}{n a 的通项公式；（Ⅱ）设11+⋅=n n n a a b ，数列}{n b 的前n 项和为n T ，求证：n T ＜21．如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是梯形，四边形ADEF是正方形，ED⊥平面ABCD．AB ∥DC，AB＝AD＝1，CD＝2，AC＝5．（Ⅰ）求证：平面EBC⊥平面EBD；（Ⅱ）设M为线段EC上一点，满足EC＝3EM．求二面角M－BD－E的余弦值．20．（本小题满分12分）某市政府为了节约用电，计划在本市试行居民生活用电定额管理，即确定一户居民用电标准a，用电量不超过a的部分按平价收费，超过a的部分按议价收费．为此，政府随机调查了100户居民的月平均用电量（单位：度），以［160，180），［180，200），［200，220），［220，240），［240，260），［260，280），［280，300］分组的频率分布直方图如图所示．（Ⅰ）根据频率分布直方图中的数据，求x的值，并估计该市每户居民月平均用电量μ的值（同一组数据用该组区间的中点值作代表）；（Ⅱ）用频率估计概率，利用（Ⅰ）的结果，假设该市每户居民月平均用电量X服从正态分布σ），求“μ＜X＜240”的概率；N（μ，2（Ⅲ）利用（Ⅱ）的结果，从该市所有居民中随机抽取3户，记月平均用电量介于（μ，240）度之间的户数为Y，求Y的分布列及数学期望E（Y）．已知椭圆C ：12222=+by a x （a ＞b ＞0）过点A （2，1），离心率为23．直线l ：t x y +=21（0≠t ） 与椭圆C 交于E （1x ，1y ），F （2x ，2y ）两点．（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）若直线AE 、AF 分别与x 轴正半轴交于P 、Q 两点，求证：||||OQ OP +为定值．22．（本小题满分12分）已知函数b x x e x f x ++-+=1232)(2的图象在0=x 处的切线方程为2+=ax y ，其中a ，b 为常数． （Ⅰ）求函数)(x f 的单调区间与极值；（Ⅱ）若存在实数x ，使得k x x x f 2232)(2----≤0成立，求整数k 的最小值．。

2019届高三第一次模拟考试数学（理）试卷（考试时间：120分钟 试卷分值：150分）本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.满分150分，考试时间120分钟.第I 卷 (选择题 共60分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，每小题只有一个正确答案, 请将答案填写至答题卷的相应位置)1.集合1{|()1}2x M x =≥，{|lg(2)}N x y x ==+，则MN =（ ）A.[0,)+∞B.(2,0]-C.(2,)-+∞D.(,2)[0,)-∞-+∞2.“3x ≥”是“22530x x --≥”的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.已知向量a ，b 满足()5a a b ⋅+=，且||2a =，||1b =，则向量a ，b 的夹角为（ ）A.56πB.23πC.3πD.6π 4. 已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若6234,3S a a ==，则10a =（ ） A. 3 B. 3- C. -6 D. 65.已知函数()f x 是R 上的奇函数，当0x >时为减函数，且(2)0f =，则{|(2)0}x f x -<=（ ） A.{|24}x x x <>或B.{|04}x x x <>或C.{|022}x x x <<>或D.{|024}x x x <<>或6.函数()(1)ln ||f x x x =-的图象可能为（ ）7．将函数sin 6y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象上各点的横坐标变为原来的12（纵坐标不变），再往上平移1个单位，所得图象对应的函数在下面哪个区间上单调递增（ ） A. 2,63ππ⎛⎫-⎪⎝⎭B. ,22ππ⎛⎫-⎪⎝⎭ C. ,33ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭D. ,36ππ⎛⎫-⎪⎝⎭8.如图所示，正弦曲线sin y x =，余弦函数cos y x =与两直线0x =，x π=所围成的阴影部分的面积为（ ）A.12C.2D.229.已知函数(2)y f x =+的图象关于直线2x =-对称，且当(0,)x ∈+∞时，2()|log |f x x =，若(3)a f =-，1()4b f =，(2)c f =，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）A.a b c >>B.a c bC.b a c >>D.b c a10．若{}n a 是等差数列，首项10,a >201120120a a +>，201120120a a ⋅<，则使前n 项和0n S >成立的最大正整数n 是（ ） A ．4023B ．4022C ．2012D ．201111. 平行四边形ABCD 中，M 为BC 的中点，若AB AM DB λμ=+，λμ-=（ ）A. 1B.23C.13D. 13-12.设函数()f x 满足32()3()1ln x f x x f x x '+=+，且1()2f e e=，则当0x >时，()f x （ ） A.有极大值，无极小值B.有极小值，无极大值C.既有极大值又有极小值D.既无极大值也无极小值第Ⅱ卷 (选择题 共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，请将答案直接填写至答题卷的相应位置) 13. 00cos102sin 20sin10-= 14.已知等腰直角三角形ABC 中，AB AC =，,D E 分别是,BC AB 上的点，且1AE BE ==，3CD BD =，则AD CE ⋅= .15. 某校学生小王在学习完解三角形的相关知识后，用所学知识测量高为AB 的烟囱的高度． 先取与烟囱底部B 在同一水平面内的两个观测点C ，D ，测得∠BDC =60°，∠BCD =75°，40CD =米，并在点C 处的正上方E 处观测顶部 A 的仰角为30︒，且1CE =米，则烟囱高AB = 米.16. 已知函数2ln(1),0,()=3,0x x f x x x x +>⎧⎨-+≤⎩，若不等式|()|20f x mx -+≥恒成立，则实数m 的 取值范围为 .三、解答题（本大题共6题，合计70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.请将答案填写至答题卷的相应位置） 17. （本小题满分10分）数列 满足 ，，．（1）设 ，证明 是等差数列；（2）求数列 的通项公式．18. （本小题满分12分）已知2()2cos sin()cos sin 6f x x x x x x π=⋅+⋅-.（Ⅰ）设[,]22x ππ∈-，求函数()y f x =的单调区间；（Ⅱ）设ABC △的内角A 满足()2f A =，且3AB AC ⋅=，求边BC 的最小值.19. （本小题满分12分）的内角A ，， 所对的边分别为a ，，c ，且，（1）求 的面积；（2）若，求 边上的中线 的长．20. （本小题满分12分）已知函数22()x f x e ax e x =+-. （Ⅰ）若曲线()y f x =在点(2,(2))f 处的切线平行于x 轴，求函数()f x 的极值； （Ⅱ）若0x >时，总有2()f x e x >-，求实数a 的取值范围.21. （本小题满分12分）如图，P 是两条平行直线1l ，2l 之间的一个定点，且点P 到1l ，2l 的距离分别为1PA =，PB 设PMN △的另两个顶点M ，N 分别在1l ，2l 上运动，设MPN α∠=，PMN β∠=，PNM γ∠=，且满足sin sin sin (cos cos )βγαβγ+=+. （Ⅰ）求α；（Ⅱ）求1PM 的最大值.22. （本小题满分12分）已知函数()ln (f x x mx m =-为常数). （1）讨论函数()f x 的单调区间；（2）当322m ≥时, 设()()22g x f x x =+的两个极值点()1212,x x x x <恰为()2ln h x x cx bx =--的零点, 求()1212'2x x y x x h +⎛⎫=- ⎪⎝⎭的最小值.参考答案一、选择题 1．B 2．A 3．C 4．B5．D6．A 7．D8．D9．C10．B 11．C12．A二、填空题13. 3； 14．12； 15．1；16．[3--三、解答题 17．解： （1） 由即又所以是首项为，公差为 的等差数列．（2） 由（1）得即10分18．解：（Ⅰ）2()2cos sin()cos sin 6f x x x x x x π=⋅+⋅-2sin(2)6x π=+ …………3分①由题设可得222262k x k πππππ-+≤+≤+，得36k x k ππππ-+≤≤+ 函数()y f x =的单调递增区间为[,],36k k k Z ππππ-++∈②由题设可得3222262k x k πππππ+≤+≤+，得263k x k ππππ+≤≤+ 函数()y f x =的单调递减区间为2[,],63k k k Z ππππ++∈因为[,]22x ππ∈-所以()y f x =的单调递增区间为：[,]36ππ-；单调递减区间为：[,]26ππ-和[,]62ππ…………6分（Ⅱ）因为()2f A =，所以2sin(2)16A π+=，又因为0A π<<，所以6A π= ………8分因为3AB AC ⋅=，所以cos bc A 2bc =…………10分222a b c =+-2bc cos A 22b c =+2bc ≥4=-BC 1=…………12分19．解：（1） 已知等式 ，利用正弦定理化简得：，整理得：，因为 ，所以又因为所以所以． …………6分（2） 因为由，可得：，解得：又因为由（）可得：，所以解得：，，又因为 所以所以，即 边上的中线 的长为．…………12分20．解：（Ⅰ）由22()x f x e ax e x =+-，得2()2x f x e ax e '=+-， 即()y f x =在点(2,(2))f 处的切线斜率40k a == …………2分此时2()x f x e e x =-，2()x f x e e '=- 由()0f x '=，得2x =当(,2)x ∈-∞时，()0f x '<，()f x 在(,2)-∞上为单调递减函数；当(2,)x ∈+∞时，()0f x '>，()f x 在(2,)+∞上为单调递增函数.…………6分（Ⅱ）2()f x e x >-得2x e a x>-，设2()x e g x x =-(0)x >，则2(2)()x e x g x x -'= …………8分当02x <<时，()0g x '>，()g x 在(0,2)上单调递增； 当2x >时，()0g x '<，()g x 在(0,2)上单调递减；…………10分2()(2)4e g x g ≤=-，所以实数a 的取值范围为2(,)4e -+∞…………12分21．解：（Ⅰ）设,,MN p PN m PM n ===，由正弦定理和余弦定理的 22222222p n m p m n m n p pn pm ⎛⎫+-+-+=+ ⎪⎝⎭…………3分化简整理得222m n p +=.由勾股定理逆定理得90α=︒…………5分（Ⅱ）设,02PMA πθθ∠=<<在Rt APM △中，sin PM PA θ⋅=，即1sin PM θ= …………7分由（Ⅰ）知2MPN π∠=，故BPN θ∠=所以在Rt BPN △中，cos PN PB θ⋅=，即PN = …………9分所以13sin cos ),4444PM ππππθθθθ=+=+<+<…………11分所以当42ππθ+=，即4πθ=时，1PM …………12分22．解：（1）()11',0mx f x m x x x-=-=>,当0x >时, 由10mx ->解得1x m <,即当10x m <<时,()()'0,f x f x > 单调递增；由10mx -<解得1x m >,即当1x m>时,()()'0,f x f x < 单调递减,当0m =时,()1'0f x x=>, 即()f x 在()0,+∞上单调递增； 当0m <时,10mx ->, 故()'0f x >,即()f x 在()0,+∞上单调递增.∴当0m >时, ()f x 的单调递增区间为10,m ⎛⎫ ⎪⎝⎭,单调递减区间为1,m ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭； 当0m ≤时, ()f x 的单调递增区间为()0,+∞..．．．．．．．．4分（2）()()2222ln 2g x f x x x mx x =+=-+,则()()221'x mx g x x-+=,()'g x ∴的两根12,x x 即为方程210x mx -+=的两根,322m ≥,2121240,,1m x x m x x ∴∆=->+==, 又12,x x 为()2ln h x x cx bx =--的零点,22111222ln 0,ln 0x cx bx x cx bx ∴--=--=,两式相减得()()()11212122ln0x c x x x x b x x x --+--=, 得()121212lnx x b c x x x x =-+-,而()1'2h x cx b x =--,()()()()()121212121212121212ln22x x y x x c x x b x x c x x c x x x x x x x x ⎡⎤∴=--+-=--+-++⎢⎥++-⎣⎦()11212111222212ln 2ln 1x x x x x x x x x x x x --=-=-++,令()1201x t t x =<<,由()2212x x m +=,得2221212122,1x x x x m x x ++==,两边同时除以12x x ,得21322,2t m m t ++=≥故152t t +≥,解得12t ≤或12,02t t ≥∴<≤.设()()()()22112ln ,'011t t G t t G t t t t ---=-∴=<++,则()y G t =在10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦上是减函数,()min 12ln 223G t G ⎛⎫∴==-+ ⎪⎝⎭, 即()1212'2x x y x x h +⎛⎫=- ⎪⎝⎭的最小值为2ln 23-+..．．．．．．．．12分。

2019届高中毕业班第一次质量检测数学（理科）试题本试卷分第Ⅰ卷（选择题60分）和第Ⅱ卷（非选择题90分）两部分，满分150分，考试时间120分钟. 注意事项：1．答题前，务必在试卷、答题卡规定的地方填写自己的姓名、座位号，并认真核对答题卡上所粘贴的条形码中姓名、座位号与本人姓名、座位号是否一致. 务必在答题卡背面规定的地方填写姓名和座位号后两位.2．答第Ⅰ卷时，每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.3．答第Ⅱ卷时，必须使用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡．．．上书写，要求字体工整、笔迹清晰. 作图题可先用铅笔在答题卡规定的位置绘出，确认后再用0.5毫米的黑色墨水签字笔描清楚. 必须在题号所指示的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效．．．．．．．．.．．．．．．．．．．．．．，在试题卷．．．．、草稿纸上答题无效4．考试结束，务必将试卷和答题卡一并上交.参考公式：球的表面积公式：球的体积公式：第Ⅰ卷（选择题满分60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请在答题卷的相应区域答题．．．．．．．．．．．．.）1. 集合，集合，则等于A. B. C. D.【答案】B【解析】集合集合，........................则.故选B.2. 已知复数，，,是虚数单位，若是实数，则A. B. C. D.【答案】A【解析】复数，，.若是实数，则，解得.故选A.3. 若双曲线与直线无交点，则离心率的取值范围是A. B. C. D.【答案】D【解析】双曲线的渐近线为.若双曲线与直线无交点，则.离心率.所以.故选D.4. 如图，某住宅小区的平面图呈圆心角为的扇形，是该小区的一个出入口，且小区里有一条平行于的小路．已知某人从沿走到用了2分钟，再沿着走到用了3分钟.若此人步行的速度为每分钟50米，则该扇形的半径的长度为( )米.A. B. C. D.【答案】B【解析】试题分析：设该扇形的半径为r米，连接CO．由题意，得CD=150（米），OD=100（米），∠CDO=60°，在△CDO中，，即，，解得（米）．考点：1．扇形面积公式；2．余弦定理求三角形边长5. 《九章算术》卷5《商功》记载一个问题“今有圆堡瑽，周四丈八尺，高一丈一尺 .问积几何？答曰：二千一百一十二尺.术曰：周自相乘，以高乘之，十二而一”.这里所说的圆堡瑽就是圆柱体，它的体积为“周自相乘，以高乘之，十二而一”. 就是说：圆堡瑽（圆柱体）的体积为(底面圆的周长的平方高)，则由此可推得圆周率的取值为A. B. C. D.【答案】A【解析】设圆柱体的底面半径为，高为，由圆柱的体积公式得体积为：.由题意知.所以，解得.故选A.6. 下列判断错误的是A. 若随机变量服从正态分布,则；B. 若组数据的散点都在上，则相关系数；C. 若随机变量服从二项分布：, 则；D. 是的充分不必要条件；【答案】D【解析】对于A.若随机变量服从正态分布，则，由得.,A正确；对于B.若组数据的散点都在上，则相关系数，B正确；对于C. 若随机变量服从二项分布：, 则；对于D.若，未必有，例如当时，，充分性不成立，D错误.故选D.7. 执行如图所示的程序框图，若输入的，则输出的，的值分别为A. B. C. D.【答案】C【解析】执行程序：均为偶数，且所以；均为偶数，且所以；均为偶数，且所以；不均为偶数，且所以;不均为偶数，且所以.此时，所以输出.故选C.点睛：本题主要考查程序框图的循环结构流程图. 解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.8. 已知定义在上的函数满足，且是偶函数，当时，.令，若在区间内，函数有4个不相等实根，则实数的取值范围是A. B. C. D.【答案】C【解析】由题意知，是定义在R上的周期为2的偶函数，令,作其与y=f(x)的图象如下，函数有4个不相等实根，等价于与y=f(x)有4个交点，所以，解得.故选C.点睛：已知函数零点(方程根)的个数，求参数取值范围的三种常用的方法：(1)直接法，直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法，先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法，先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．一是转化为两个函数的图象的交点个数问题，画出两个函数的图象，其交点的个数就是函数零点的个数，二是转化为的交点个数的图象的交点个数问题9. 我国的第一艘航空母舰“辽宁舰”在某次舰载机起降飞行训练中，有架“歼—”飞机准备着舰，如果乙机不能最先着舰，而丙机必须在甲机之前着舰（不一定相邻），那么不同的着舰方法种数为A. B. C. D.【答案】C【解析】架“歼—”飞机着舰的方法共有种，乙机最先着舰共有种，如果乙机不能最先着舰，而丙机必须在甲机之前着舰（不一定相邻）有：.故选C.10. 2017年中学数学信息技术研讨会,谈到了图像计算器在数学教学中的应用.如图输入曲线方程,计算器显示线段，则线段的曲线方程为A.B.C.D.【答案】A【解析】根据题中示例可知：之所以可以表示为之所以可以表示线段.因为方程等价于，即，即为线段.由此可得题中线段的方程为：，等价于.故选A.11. 如图是某几何体的三视图，正视图是等边三角形，侧视图和俯视图为直角三角形，则该几何体外接球的表面积为A. B. C. D.【答案】D【解析】试题分析：由三视图可知，这个几何体是三棱锥.如图所示，为球心，为等边三角形的外心，由图可知，故外接球面积为.考点：三视图.【思路点晴】设几何体底面外接圆半径为,常见的图形有正三角形,直角三角形,矩形,它们的外心可用其几何性质求;而其它不规则图形的外心,可利用正弦定理来求.若长方体长宽高分别为则其体对角线长为;长方体的外接球球心是其体对角线中点.找几何体外接球球心的一般方法:过几何体各个面的外心分别做这个面的垂线,交点即为球心.12. 设函数，其中,若存在唯一的整数，使得，则的取值范围是A. B. C. D.【答案】A【解析】设.恒过(，恒过(1,0)因为存在唯一的整数，使得，所以存在唯一的整数，使得在直线下方.因为，所以当时，,单调递减；当时，,单调递增.所以.作出函数图象如图所示：根据题意得：，解得：.故选A.点睛：利用导数研究不等式恒成立或存在型问题，首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题，同时也可以转化为两个函数的图象关系..第Ⅱ卷（非选择题满分90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．请在答题卷的相应区域答题．．．．．．．．．．．．.）13. 的展开式的常数项为_______________．【答案】70【解析】试题分析：的展开式中第项为令可得故展开式中的常数项为，故答案为.考点：二项展开式定理的应用.14. 将函数的图象向右平移个单位，得到函数的图象，若在上为增函数，则的最大值为__________．【答案】2【解析】函数的图象向右平移个单位，得到函数，y=g(x)在上为增函数，所以，即：ω⩽2，所以ω的最大值为：2.故答案为：2.点睛：三角函数中函数图象的平移变化是常考知识点，也是易错题型.首项必须看清题目中是由哪个函数平移，平移后是哪个函数；其次，在平移时，还要注意自变量x的系数是否为1，如果x有系数，需要将系数提出来求平移量，平移时遵循“左加右减”.15. 已知直线过点，若可行域的外接圆直径为20，则_____．【答案】【解析】由题意知可行域为图中△OAB及其内部，解得，又,则∠AOB=30°，由正弦定理得，解得.故答案为.16. 给出以下四个命题，其中所有真命题的序号为___________．①函数在区间上存在一个零点，则的取值范围是；②“”是“成等比数列”的必要不充分条件；③，；④若，则.【答案】②③④【解析】①,∵在区间(−1,1)上存在一个零点，∴,解得或，故①错误；②，若“”，则不一定成等比数列，例如，但“成等比数列”则有，所以“”成立，“”是“成等比数列”的必要不充分条件，故②正确；③,由图可知,单位圆O中，，设,又，所以，故③正确；④,∵为增函数,均为减函数，∴，故④正确；故答案为②③④.三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．请在答题卷的相应区域．．．．．．．．．．答题．．.）17. 已知数列是等差数列，数列是公比大于零的等比数列，且, . （1）求数列和的通项公式;（2）记，求数列的前项和.【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：（1）设出等差数列{a n}的公差为d，等比数列{b n}的公比为q，且q>0．由已知列式求得等差数列的公差和等比数列的公比，代入等差数列和等比数列的通项公式得答案；（2）由c n=a bn结合数列{a n}和{b n}的通项公式得到数列{c n}的通项公式，结合等比数列的前n项和求得数列{c n}的前n项和S n．试题解析：（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为，且．由，得，解得．所以．由，得，又，解得．所以．（2）因为，所以．18. 如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，,且,平面.（1）求与平面所成角的正弦值;（2）棱上是否存在一点,满足？若存在，求的长；若不存在，说明理由.【答案】（1）；（2）见解析.【解析】试题分析：（1）建立空间直角坐标系，借助空间向量数量积的坐标形式进行求解；（2）依据题设条件，运用向量的坐标形式建立方程，即判定方程是否有解：解：（1）依题意，以为坐标原点，分别以为轴建立空间直角坐标系，则，从而.设平面的法向量为,则，且，即，且，不妨取，则，所以平面的一个法向量,此时，所以与平面所成角的正弦值为；（2）设，则则，由得，化简得，，该方程无解，所以，棱上不存在一点满足.19. 心理学家分析发现视觉和空间能力与性别有关，某数学兴趣小组为了验证这个结论，从兴趣小组中按分层抽样的方法抽取名同学（男人，女人），给所有同学几何题和代数题各一题，让各位同学只能自由选择其中一道题进行解答.选题情况如下表（单位：人）：（1）能否据此判断有的把握认为视觉和空间能力与性别有关？（2）现从选择做几何题的名女生中，任意抽取两人,对她们的答题情况进行全程研究，记甲、乙两位女生被抽到的人数为，求的分布列和.附表及公式：【答案】（1）见解析；（2）见解析.【解析】试题分析：（1）计算K2，对照附表做结论；（2）使用组合数公式和古典概型的概率计算公式分别计算X取不同值时的概率，得到X的分布列，求出数学期望．试题解析：（1）由表中数据得的观测值：，所以根据统计有的把握认为视觉和空间能力与性别有关.（2）可能取值为，，，，的分布列为：.点睛：求解离散型随机变量的数学期望的一般步骤为：第一步是“判断取值”，即判断随机变量的所有可能取值，以及取每个值所表示的意义；第二步是“探求概率”，即利用排列组合，枚举法，概率公式（常见的有古典概型公式、几何概率公式、互斥事件的概率和公式、独立事件的概率积，以及对立事件的概率公式等），求出随机变量取每个值时的概率；第三步是“写分布列”，即按规范形式写出分布列，并注意用分布列的性质检验所求的分布列或某事件的概率是否正确；第四步是“求期望值”，一般利用离散型随机变量的数学期望的定义求期望的值，对于有些实际问题中的随机变量，如果能够断定它服从某常见的典型分布(如二项分布，则此随机变量的期望可直接利用这种典型分布的期望公式()求得.因此，应熟记常见的典型分布的期望公式，可加快解题速度.20. 已知椭圆的左、右焦点分别为、，短轴两个端点为、，且四边形是边长为的正方形.（1）求椭圆的方程；（2）若、分别是椭圆的左、右端点，动点满足，连接，交椭圆于与点.证明：为定值.【答案】（1）；（2）见解析.【解析】试题分析：（1）求椭圆标准方程，关键是求出，为此要列出关于的两个等式，由椭圆的性质及，四边形是边长为2的正方形，知；（2）本小题采用解析几何的基本方法，设，写出直线方程，再代入椭圆方程求得点坐标，然后直接计算，可得定值．试题解析：（1），，∴，∴椭圆方程为．（2），，设，，则，，直线，即，代入椭圆得，∵，∴，，∴，∴（定值）考点：椭圆的标准方程，椭圆的综合应用．【名师点晴】1．确定一个椭圆的标准方程，必须要有一个定位条件（即确定焦点的位置）和两个定形条件（即确定a，b的大小）．当焦点的位置不确定时，应设椭圆的标准方程为＋＝1 （a>b>0）或＋＝1 （a>b>0），或者不必考虑焦点位置，直接设椭圆的方程为mx2＋ny2＝1 （m>0，n>0，且m≠n）．2．解析几何中的定值问题，可根据已知条件设出一个参数，用这个参数表示出相应点的坐标，直线斜率、直线方程或曲线方程等等，再求出结论，如本题求出，它的最终结果与参数无关，是定值．21. 已知函数.（1）讨论的单调性；（2）若有两个极值点，，证明：.【答案】（1）见解析；（2）见解析.【解析】试题分析：（1）先求出函数的导数，通过讨论a的范围，确定导函数的符号，从而判断函数的单调性；（2）表示出，设令,通过求导进行证明．试题解析：（1）函数的定义域为..，方程的判别式.①当时，，∴，故函数在上递减；②当时，，由可得，.函数的减区间为；增区间为.所以，当时，在上递减；当时，在上递增，在，上递减.（2）由（1）知当时，函数有两个极值点，且.设，则，，所以在上递增，，所以.考生注意：请在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一个题目计分.作答时，请用2B铅笔在答题卡上将所选题目后的方框涂黑．22. 选修4—4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，以为极点，轴非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线的极坐标方程为，直线的参数方程为（为参数），直线与曲线交于，两点.（1）写出曲线的直角坐标方程和直线的普通方程;（2）若，求的值.【答案】（1）曲线，直线；（2）.【解析】试题分析：（1）将曲线C的方程两边分别乘以，再利用极坐标与直角坐标互化公式即可将极坐标方程化为直角坐标方程，对直线方程，消去参数t,即可化为普通方程；（2）将直线的参数方程代入曲线C的直角坐标方程，化为关于t二次方程，利用根与系数关系及参数t的几何意义，即可求出|PM|+|PN|的值.试题解析：(1)曲线C的直角坐标方程为，直线的普通方程. 6分(2)直线的参数方程为(t为参数),代入y2=4x, 得到,设M,N对应的参数分别为t1,t2则所以|PM|+|PN|=|t1+t2|=14分考点：直角坐标方程与参数方程的互化；极坐标方程与直角坐标方程互化；直线的参数方程中参数的意义；直线与抛物线的位置关系.23. 选修4—5：不等式选讲已知函数，，且的解集为.（1）求的值；（2）若是正实数，且，求证：.【答案】（1）；（2）见解析.【解析】试题分析：（1）由题意可得的解集为，由绝对值不等式的解法即可得；（2）将代入得，可得,展开运用基本不等式即可证得. 试题解析：（1）因为，所以等价于，由有解，得，且其解集为.又的解集为，故（2）由（1）知，又是正实数，由均值不等式得：，当且仅当时取等号，所以.。

绝密★启用前安徽省淮南市2019届高三年级第一次高考模拟考试数学（理）试题（解析版）一、选择题（本大题共12小题,共60.0分）1.已知,,则A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】直接利用并集的定义求解即可．【详解】,,,故选B．【点睛】研究集合问题,一定要抓住元素,看元素应满足的属性.研究两集合的关系时,关键是将两集合的关系转化为元素间的关系,本题实质求满足属于集合或属于集合的元素的集合.2.A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用复数的除法运算法则：分子、分母同乘以分母的共轭复数,化简原式即可．【详解】 ,故选C．【点睛】复数是高考中的必考知识,主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解,掌握纯虚数、共轭复数、复数的模这些重要概念,复数的运算主要考查除法运算,通过分母实数化转化为复数的乘法,运算时特别要注意多项式相乘后的化简,防止简单问题出错,造成不必要的失分.3.函数的大致图象为A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】利用函数的奇偶性排除,利用函数的单调性排除,从而可得结果．【详解】,,为奇函数,其图象关于原点对称,故排除,在上是增函数且,在上是增函数且,所以在是增函数,排除,故选A．【点睛】函数图象的辨识可从以下方面入手：(1)从函数的定义域,判断图象的左右位置；从函数的值域,判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性,判断图象的变化趋势；(3)从函数的奇偶性,判断图象的对称性；(4)从函数的特征点,排除不合要求的图象.4.的展开式中,的系数是A. 40B. 60C. 80D. 100【答案】C【解析】【分析】先写出二项展开式的通项,然后令的指数为4,解出相应参数的值,代入通项即可得出结果．。

蚌埠市2019届高三年级第一次教学质量检查考试数学（理工类）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 设集合，，若，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】依题意可知是集合的元素，即，解得，由，解得.2. 设是复数的共轭复数，且，则（）A. 3B. 5C.D.【答案】D【解析】，故.3. 若满足约束条件则的最小值为（）A. -3B. 0C. -4D. 1【答案】A【解析】画出可行域如下图所示，由图可知目标函数在点处取得最小值为.4. “直线不相交”是“直线为异面直线”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B5. 已知等差数列的前项和为，且满足，，则（）A. 4B. 5C. 6D. 7【答案】B【解析】设等差数列的公差为,,联立解得，则，故选B.6. 已知，且，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】，由于角为第三象限角，故，.7. 已知，则（）A. 18B. 24C. 36D. 56【答案】B【解析】，故，.8. 已知，下列程序框图设计的是求的值，在“”中应填的执行语句是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】不妨设，要计算，首先，下一个应该加，再接着是加，故应填.9. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则它的体积可能为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由三视图可知，该几何体由半个圆锥和一个三棱锥组合而成.故体积为.10. 已知为双曲线的左焦点，直线经过点，若点，关于直线对称，则双曲线的离心率为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】∵点，关于直线对称，，又∵直线经过点，∴直线的方程为，的中点坐标为，∴，化简整理得，即，，解得，（舍去），故选C.11. 已知，顺次连接函数与的任意三个相邻的交点都构成一个等边三角形，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】当正弦值等于余弦值时，函数值为，故等边三角形的高为，由此得到边长为，边长即为函数的周期，故.【点睛】本题主要考查三角函数的图像与性质.首先大致画出正弦函数图像和余弦函数图像，通过观察可知可知，三角形左右两个顶点之间为一个周期，故只需求出等边三角形的边长即可.再根据可知等边三角形的高，由此求得边长即函数的周期，再由周期公式求得的值.12. 定义在上的奇函数满足：当时，（其中为的导函数）.则在上零点的个数为（）A. 4B. 3C. 2D. 1【答案】D【解析】构造函数，，由于当时，，故当时，为增函数.又，所以当时，成立，由于，所以，由于为奇函数，故当时，，即只有一个根就是.【点睛】本题考查了零点的判断，考查了函数的奇偶性，和利用导数来研究函数的单调性.本题的难点在于构造新函数，然后利用导数来判断新函数的最值，进而判断出的取值.如何构造函数，主要靠平时积累，解题时要多尝试.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 已知，是两个不同的平面向量，满足：，则__________．【答案】【解析】，，解得，当时，两个是相同的向量，故舍去，所以.14. 已知函数图象关于原点对称.则实数的值为__________．【答案】【解析】依题意有，，，故.15. 已知是抛物线的焦点，是上一点，是坐标原点，的延长线交轴于点，若，则点的纵坐标为__________．【答案】【解析】由于三角形为直角三角形，而，即为中点，设，而，故，代入抛物线方程得，即点的纵坐标为.【点睛】本题主要考查直线和抛物线的位置关系，考查直角三角形斜边的中线等于斜边一半这一几何性质.首先根据题目所给的条件画出图像，突破口就在题目所给条件，这就联想到直角三角形斜边中线等于斜边一半这一几何性质，可得是的中点，设出坐标，代入抛物线方程即可得到所求的结果.16. 已知满足，，，则__________．（用表示）【答案】【解析】依题意，与已知条件相加可得.....................三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17. 在中，角的对边分别为，且，（1）求的面积；（2）若，求的周长.【答案】(1) （2）的周长为【解析】【试题分析】（1）根据余弦定理，由得到，，在利用三角形面积公式可求得面积.（2）利用三角形内角和定理，有,展开后结合已知条件可求得.利用正弦定理求得，利用配方法可求得由此求得周长为.【试题解析】（1）∵，∴，即，∴；（2）∵，∴由题意，∴，∵，∴，∴∵，∴．∴的周长为．18. 如图，在四棱锥中，是等边三角形，，.（1）求证：平面平面；（2）若直线与所成角的大小为60°，求二面角的大小.【答案】(1)见解析（2）90°【解析】【试题分析】（1）由于是等边三角形，结合勾股定理，可计算证明三条直线两两垂直，由此证得平面，进而得到平面平面.（2）根据（1）证明三条直线两两垂直，以为空间坐标原点建立空间直角坐标系，利用和所成角为计算出点的坐标，然后通过平面和平面的法向量计算二面角的余弦值并求得大小.【试题解析】（1）∵，且是等边三角形∴，，均为直角三角形，即，，∴平面∵平面∴平面平面（2）以为单位正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系．令，，∴，，，．设，则，．∵直线与所成角大小为60°，所以，即，解得或（舍），∴，设平面的一个法向量为．∵，，则即令，则，所以．∵平面的一个法向量为，∵，，则即令，则，，∴．∴，故二面角的大小为90°．19. 为监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取10件零件，度量其内径尺寸（单位：）.根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的内径尺寸服从正态分布. （1）假设生产状态正常，记表示某一天内抽取的10个零件中其尺寸在之外的零件数，求及的数学期望；（2）某天正常工作的一条生产线数据记录的茎叶图如下图所示：①计算这一天平均值与标准差；②一家公司引进了一条这种生产线，为了检查这条生产线是否正常，用这条生产线试生产了5个零件，度量其内径分别为（单位：）：85,95,103,109,119，试问此条生产线是否需要进一步调试，为什么？参考数据：，，，，，，，.【答案】(1) （2）①②生产线异常，需要进一步调试【解析】【试题分析】（1）依题意可知满足二项分布，根据二项分布的公式计算出，然后用减去这个值记得到的值.利用二项分布的期望公式，直接计算出的值.（2）分别计算出均值和标准差，计算的范围，发现不在这个范围内，根据原理可知需要进一步调试.【试题解析】（1）由题意知：或，，∵，∴；（2）①所以②结论：需要进一步调试．理由如下：如果生产线正常工作，则服从正态分布，零件内径在之外的概率只有0.0026，而根据原则，知生产线异常，需要进一步调试．20. 已知椭圆经过点，离心率.（1）求的方程；（2）设直线经过点且与相交于两点（异于点），记直线的斜率为，直线的斜率为，证明：为定值.【答案】(1) （2）见解析【解析】【试题分析】（1）依题意可知，解方程组可求得椭圆的标准方程.（2）当直线斜率斜率不存在时，不符合题意.当斜率存在时，设出直线的方程，联立直线的方程和椭圆的方程，写出韦达定理，计算的值，化简后结果为，由此证明结论成立.【试题解析】（1）因为椭圆，经过点，所以．又，所以，解得．故而可得椭圆的标准方程为：．（2）若直线的斜率不存在，则直线的方程为，此时直线与椭圆相切，不符合题意．设直线的方程为，即，联立，得．设，，则所以为定值，且定值为-1．【点睛】本题主要考查椭圆标准方程的求法，考查直线与圆锥曲线位置关系，考查一元二次方程根与系数关系.椭圆标准方程的参数有两个，要确定这两个参数，需要有两个条件，结合恒等式，列方程组来求的椭圆的标准方程.考查直线和圆锥曲线位置关系，要注意直线斜率不存在的情况.21. 已知函数，（其中为自然对数的底数，）.（1）若函数的图象与函数的图象相切于处，求的值；（2）当时，若不等式恒成立，求的最小值.【答案】(1) ，（2）【解析】【试题分析】（1）依题意求得切点为，斜率为，由此列方程组可求得的值.（2）将原不等式等价变形为，构造函数，利用导数求得的最大值为，由此求得的最小值. 【试题解析】（1），．（过程略）（2）令，则，当时，单调递增，而，∴时，不合题意当时，令，则，∵为减函数，∴时，，单调递增，时，，单调递减，∴，即．（△）但，等号成立当且仅当且．故（△）式成立只能即．【点睛】本题主要考查导数与切线有关的知识.考查利用导数解不等式恒成立问题.解决导数与切线有关的问题，关键点在于切点和斜率，联络点在于切点的横坐标，以此建立方程组，求得未知参数的值.不等式恒成立问题往往可以考虑构造函数法，利用函数的最值来求解.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22. 选修4-4：坐标系与参数方程已知曲线的极坐标方程为，的参数方程为（为参数）.（1）将曲线与的方程化为直角坐标系下的普通方程；（2）若与相交于两点，求.【答案】(1) （2）【解析】【试题分析】（1）对方程两边乘以，由此求得曲线的普通方程.对的参数方程利用加减消元法可求得的普通方程.（2）将的参数方程代入，利用韦达定理和直线参数的几何意义，来求的弦长的值. 【试题解析】（1）曲线的普通方程为，曲线的普通方程为（2）将的参数方程代入的方程，得，得：解得，∴．23. 选修4-5：不等式选讲已知.（1）当时，求不等式的解集；（2）若函数与的图象恒有公共点，求实数的取值范围.【答案】(1) （2）【解析】【试题分析】（1）利用零点分段法，去绝对值，分别求解每一段的解集.由此计算不等式的解集.（2）先求得函数的最小值，求得函数的最大值，比较这两个数值的大小，即可求得有公共点时，实数的取值范围. 【试题解析】（1）当时，，由得，；（2），该二次函数在处取得最小值，因为函数，在处取得最大值故要使函数与的图象恒有公共点，只需要，即．。