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第一章 函数与极限函数是高等数学的主要研究对象，极限是研究函数的主要工具。
本章内容既是高等数学的基础，也是初学者的最大难点。
先介绍两个常用记号。
∀： 指“每一个、任意一个、任意、全部、都”等含义。
∃： 指“总能找到一个、至少能找到一个、存在一个、至少存在一个、存在”等含义。
§1.1 映射与函数由于集合、映射、区间、函数及相关概念在中学已经学习，所以本节不作详细介绍。
一、映射（一）映射概念定义 设X 、Y 是两个非空集合，如果对X 中每个元素x ，按法则f 在Y 中有唯一确定的元素y 与之对应，那么称f 为从X 到Y 的映射，记作f ：X Y →，其中y 称为元素x (在映射f 下)的像，记作()f x ，即()y f x =，而元素x 称为元素y (在映射f 下)的一个原像；集合X 称为映射f 的定义域，记作f D ，即f D X =；X 中所有元素的像所组成的集合称为映射f 的值域，记作f R 或()f X 。
（二）映射的别称映射又称为算子，根据集合X 、Y 的不同情形，在不同的数学分支中，映射又有不同的惯用名称。
例如，从非空集X 到数集Y 的映射又称为X 上的泛函；从非空集X 到它自身的映射又称为X 上的变换；从数集(或其子集) X 到数集Y 的映射通常称为定义在X 上的函数。
（三）复合映射设有两个映射g ：X Y →，f ：Y Z →，我们规定X 到Z 的新映射：x X ∀∈，此x 在映射g 下有唯一的像y Y ∈，该y 在映射f 下有唯一的像z Z ∈，选择此z 与x 对应。
这个新映射叫做f 和g 的复合映射，记作f g ，即 f g ：X Z →，元素x (在映射f g 下)的像记为[()]f g x ，即()()[()]z f g x f g x ==。
（四）满射、单射、一一映射、逆映射设f 是从集合X 到集合Y 的映射，若()f X Y =,即Y 中任一元素y 都是X 中某元素的像，则称f 为X 到Y 上的映射或满射；若对X 中任意两个不同元素12x x ≠，有12()()f x f x ≠，则称f 为X 到Y 的单射；若映射f 既是单射，又是满射，则称f 为X 到Y 的一一映射。
高等数学教案、第一章 函数、极限与与连续本章将在分别研究数列的极限与函数的极限的基础上，讨论极限的一些重要性质以及运算法则,函数的连续性，闭区间上连续函数的性质。
具体的要求如下：1． 理解极限的概念（理解极限的描述性定义,对极限的N -ε、δε-定义可在学习过程中逐步加深理解,对于给出ε求N 或δ不作过高要求）。
2． 掌握极限四则运算法则。
3． 了解极限存在准则（夹逼准则和单调有界准则），会用两个重要极限求极限。
4． 了解无穷小、无穷大及无穷小的阶的概念.能够正确运用等价无穷小求极限。
5。
理解函数在一点连续的概念,理解区间内（上）连续函数的概念。
6. 了解间断点的概念，会求函数的间断点并判别间断点的类型。
7. 了解初等函数的连续性和闭区间上连续函数的性质（最大、最小值定理、零点定理、介值定理）。
第一章共12学时,课时安排如下绪论 §1.1、函数 §1.2初等函数 2课时 §1。
4数列极限及其运算法则 2课时 §1.4函数极限及其运算法则 2课时 §1。
4两个重要极限 无穷小与无穷大 2课时 §1.4函数的连续性 2课时 第一章 习题课 2课时绪论数学:数学是研究空间形式和数量关系的一门学科，数学是研究抽象结构及其规律、特性的学科.数学具有高度的抽象性、严密的逻辑性和应用的广泛性。
关于数学应用和关于微积分的评价：恩格斯：在一切理论成就中,未必再有像17世纪下叶微积分的微积分的发现那样被看作人类精神的最高胜利了。
如果在某个地方我们看到人类精神的纯粹的和唯一的功绩，那就正是这里.华罗庚：宇宙之大,粒子之微，火箭之速，化工之巧,地球之变，生物之迷,日用之繁,无处不用数学。
张顺燕:微积分是人类的伟大结晶，它给出了一整套科学方法，开创了科学的新纪元，并因此加强和加深了数学的作用。
……有了微积分，人类才有能力把握运动和过程;有了微积分，就有了工业革命，有了大工业生产,也就有了现代的社会。
微积分1知识点总结微积分1是大学数学中的一门重要课程，它主要包括导数和不定积分两大部分。
微积分1是数学系、物理系、工程系等专业的重要基础课程，对学生的数学思维能力、逻辑思维能力和解决实际问题的能力都有较高的要求。
微积分1知识点较多，本文将对微积分1的相关知识点进行总结，以帮助学生更好地理解和掌握微积分1的知识。
一、函数与极限1.1 函数的概念函数是一个变量与变量之间的一种对应关系。
通常用 f(x) 或 y 来表示函数，x 是自变量，y 是因变量。
函数在微积分中有着非常重要的作用，它可以用来描述数学模型中的关系、描述实际问题中的情况等。
1.2 函数的极限极限是微积分中的一个重要概念，它描述的是当自变量趋向于某一点时，函数值的趋势。
极限的概念为后续的导数和积分提供了重要的理论基础。
1.3 极限的性质极限有一些重要的性质，比如极限的唯一性、函数极限存在的条件、函数极限的运算性质等。
掌握这些性质对于理解和计算函数的极限具有重要的意义。
1.4 极限的计算计算极限是微积分中的一个重要技能。
常见的计算技巧包括利用基本极限、利用夹逼定理、利用洛必达法则等。
二、导数2.1 导数的定义导数是函数的变化率，描述了函数在某一点的变化趋势。
导数的定义是函数在某一点的切线的斜率。
2.2 导数的计算导数的计算是微积分1中的重要内容。
常见的计算技巧包括使用导数的定义、使用导数的性质、使用求导法则等。
2.3 导数的性质导数具有一些重要的性质，比如导数存在的条件、导数的运算法则、导数的几何意义等。
2.4 高阶导数导数的概念可以进一步推广到高阶导数，高阶导数描述了函数的变化趋势更加细致的情况。
三、不定积分3.1 不定积分的概念不定积分是导数的逆运算，描述了函数的积分情况。
不定积分的概念是微积分1中的一个重要内容。
3.2 不定积分的计算计算不定积分是微积分1中的一个关键技能。
对于一些特定的函数，可以通过不定积分的性质、不定积分的基本积分公式等来进行计算。
