微积分基础(国家开放大学)---第1章---第1节---函数的概念详解

微积分入门微积分是一门研究函数、极限、导数和积分等概念的数学分支，它在科学、工程和商业等领域有着广泛的应用。

本文将简要介绍微积分的基本概念和原理，帮助初学者更好地理解和应用微积分知识。

极限极限是微积分的基础概念之一，它描述了函数在某一点附近的行为。

当自变量趋近于某个值时，如果函数的值趋近于一个确定的极限值，我们就说这个函数在该点有极限。

例如，当x 趋近于0时，函数1/x的极限为无穷大；而当x趋近于0时，函数sin(x)/x的极限为1。

导数导数是微积分的另一个重要概念，它描述了函数在某一点的瞬时变化率。

导数可以看作是函数在这一点的切线斜率，它反映了函数在该点的局部变化趋势。

导数的定义是：当自变量x 在一个很小的范围内变化时，函数值的变化量与x的变化量之比的极限值。

例如，对于函数f(x) = x^2，其在x=a处的导数为2a。

积分积分是微积分的第三个基本概念，它描述了函数在某个区间上的累积效果。

积分可以看作是面积、体积或者其他物理量的总和。

积分的基本思想是将一个连续的量分割成许多小的部分，然后对这些部分进行求和。

例如，对于函数f(x) = x，其在区间[0,1]上的积分值为1/2。

微分方程微分方程是微积分的一个重要应用领域，它描述了某个未知函数与其导数之间的关系。

微分方程在物理学、工程学和其他科学领域有着广泛的应用。

求解微分方程通常需要运用到微积分的知识和方法。

例如，对于一个质点沿直线运动的位移-时间关系s(t)，其速度v(t)和加速度a(t)可以通过对s(t)求导得到，而根据牛顿第二定律，加速度又与作用在质点上的力有关。

因此，通过建立微分方程并求解，我们可以得到质点的运动规律。

总之，微积分是一门重要的数学分支，它在各个领域都有着广泛的应用。

通过学习和掌握微积分的基本概念和原理，我们可以更好地理解和解决实际问题。

希望本文能帮助初学者入门微积分，为进一步的学习和应用打下基础。

大一微积分每章知识点总结微积分是数学的重要分支之一，用于研究变化率与累积效应。

在大一微积分课程中，我们学习了许多重要的知识点，这些知识点为我们进一步学习高级数学打下了坚实的基础。

本文将对大一微积分每章的知识点进行总结，以帮助读者巩固所学内容。

第一章：函数与极限在这一章中，我们学习了函数的概念与性质，以及极限的定义与运算法则。

函数是一种将一个数集映射到另一个数集的规则，可以用数学公式或图形表示。

极限是函数在某个点无限接近于某个值的情况，是微积分的基础概念之一。

第二章：导数与微分导数是用来描述函数变化率的概念，它表示函数在某一点处的切线斜率。

我们学习了导数的计算方法，包括基本导数公式、加减乘除法则、链式法则等。

微分则是导数的应用，用于计算函数在某一点的近似值，并研究函数的局部特征。

第三章：微分中值定理与导数的应用在这一章中，我们学习了微分中值定理和导数的应用。

微分中值定理是描述函数在某个区间内存在某点的斜率等于该区间的平均斜率的定理，包括拉格朗日中值定理和柯西中值定理。

导数的应用包括函数的单调性、极值点、凹凸性等的判断与求解。

第四章：不定积分不定积分是导数的逆运算，用于求解函数的原函数。

我们学习了不定积分的基本性质和常用的积分公式，包括换元法、分部积分法、有理函数的积分等。

通过不定积分，我们可以求解函数的面积、曲线长度等问题。

第五章：定积分与定积分的应用定积分是用来计算曲线下面积的工具，也可以表示变化率与累积效应。

我们学习了定积分的定义和性质，以及计算定积分的方法，如换元法、分部积分法和定积分的几何应用等。

定积分的应用包括计算曲线的弧长、质量、物体的质心等。

第六章：微分方程微分方程是用导数和未知函数构成的方程，研究函数之间的关系。

我们学习了常微分方程的基本概念和解法，包括一阶线性微分方程和可分离变量的方程等。

微分方程是实际问题建模与求解的重要工具，应用广泛于物理、化学、工程等领域。

通过对大一微积分每章的知识点进行总结，我们回顾了函数与极限、导数与微分、微分中值定理与导数的应用、不定积分、定积分与定积分的应用、微分方程等内容，巩固了所学知识，并为之后学习高级数学打下了坚实的基础。

大一微积分前五章知识点微积分是数学的一门重要分支，广泛应用于自然科学、工程技术、经济管理等领域。

作为大一学生的你，将要学习微积分的前五章内容。

下面将介绍这五章的主要知识点和概念。

第一章：数列与极限1. 数列的概念：数列是由一系列有序的数按一定规律排列而成的。

2. 数列的极限：当数列的项随着自变量的变化而趋近于一个确定的常数时，称该常数为数列的极限。

3. 收敛数列与发散数列：若数列存在极限，则称为收敛数列，否则称为发散数列。

4. 数列极限的性质：数列极限具有唯一性、有界性和保号性等重要性质。

第二章：函数与极限1. 函数的概念：函数是一个自变量和因变量之间的映射关系。

2. 函数的极限：当函数的自变量趋近于某个值时，函数的值根据一定的规则趋近于一个确定的常数，称该常数为函数的极限。

3. 函数极限的运算法则：极限有四则运算法则、复合函数的极限法则等。

4. 无穷小量与无穷大量：在函数极限的计算中，我们常常会用到无穷小量和无穷大量的概念。

第三章：连续函数与导数1. 连续函数的定义：函数在某一点上的函数值等于该点的极限，我们称该函数在该点连续。

2. 连续函数的性质：连续函数具有保号性、介值性和局部有界性等重要性质。

3. 导数的概念：导数是描述函数变化快慢程度的量，用于研究函数在任意点的切线斜率。

4. 导数的计算方法：导数具有基本运算法则、常用函数的导数公式等。

第四章：微分学的应用1. 微分的几何应用：微分学常用于求曲线的切线和法线、求曲率等几何问题的解决。

2. 最值与最值问题：利用微分学的知识，可以求函数的最大值、最小值及其所对应的自变量。

3. 函数的单调性与曲线的凹凸性：通过函数的导数可以判断函数的单调性和曲线的凹凸性。

第五章：不定积分1. 不定积分的概念：不定积分是反导数的概念，表示求函数的原函数的过程。

2. 基本积分表：基本积分表是常见函数的积分公式，学习时需要熟记并掌握应用。

3. 不定积分的计算方法：通过基本积分表、换元积分法、分部积分法等方法可以计算不定积分。

微积分(知识点概要)微积分 (知识点概要)第一章函数、极限与连续1．1函数定义与符号1．2极限概念与运算法则1．3求极限的方法1．4函数的连续性1．1函数的定义（P1）1函数的定义1．若变量x、y之间存在着确定的对应关系，即当x的值给定时，唯一y值随之也就确定，则称y是x的函数，记为y=f(x)。

2．确定函数有两个要素：函数的定义域和对应关系。

例如：y=lgx2 与y =2lgx 就不是相同的函数，因为它们的定义域不同。

2函数记号一旦在问题中设定函数y=f(x)，记号“f”就是表示确定的对应规则，f（3）就是表示按此对应规则在x=3时所对应的函数值y等。

3初等函数（P6）称幂函数x k（k为常数），指数函数a x ，对数函数loga x （a为常数，a﹥0，a≠1）三角函数及反三角函数为基本初等函数。

凡由基本初等函数经有限次．．．加、减、乘、除及有限次复合且能用一个式子表达的函数，称为初等函数。

4函数的简单性质（1）有界性：（P5）对于函数f(x)，若存在常数M、m对定义域内所有xf(x)≤M 称f(x)有上界f(x)≥m 称f(x)有下界，既有上界又有下界简称有界。

（2）奇偶性：（P3）若函数f(x)的定义域关于x=0的对称区间，又对于定义域内的任意x均有f(-x)=f(x) 则称f(x)为偶函数。

f(-x)=-f(x) 则称f(x)为奇函数。

（3）单调性：（P4）若函数f(x)在[a、b]上有定义对∀x∊[a、b]x1﹤x2时f(x1)≤f(x2) f(x) 在[a、b]上↗f(x1)≥f(x2) f(x) 在[a、b]上↘（4）周期性:(P5)若存在常数a(a≠0)，使对任意x且有f(x)= f(x+a)则称f(x)为周期函数，称常数a 为f(x)的周期。

1．2极限概念与运算法则1极限的直观定义（P11）当一个变量f(x)在x →a 的变化过程中变化趋势是无限地接近于一个常数b ，则称变量f(x)在x →a 的过程中极限存在。

第一单元函数的概念第一节函数的概念一、学习目标通过本节课的学习，理解函数的概念，了解函数的表示法，会计算函数值．二、内容讲解同学们从入小学到高中毕业一直要学习数学，在这一阶段所面对的数学对象的特点是：所讨论的量在研究问题的过程中保持不变．只是从未知到已知．例如解方程或方程组，求得的解都是固定不变的．又如讨论三角形，它的边长也是固定不变的量．这些量叫做常量．常量——只取固定值的量这门课程中讨论的量在研究问题的过程中不是保持不变的．如圆的面积与半径的关系：S=πr2考虑半径r可以变化的过程．面积和半径叫做变量．变量——可取不同值的量变域——变量的取值范围我们考虑问题的过程中，不仅是一个变量，可能有几个变量．比如两个变量，要研究的是两个变量之间有什么关系，什么性质．函数就是变量之间确定的对应关系．比如股市中的股指曲线，就是时间与股票指数之间的对应关系．又如银行中的利率表它反映的是存款存期与存款利率之间的对应关系．这几个例子反映的都是两个变量之间的确定的对应关系．函数的定义是：定义1.1——函数设x, y是两个变量，x的变域为D，如果存在一个对应规则f，使得对D内的每一个值x 都有唯一的y值与x对应，则这个对应规则f称为定义在集合D上的一个函数，并将由对应规则f 所确定的x 与y 之间的对应关系，记为：)(x f y =称x 为自变量，y 为因变量或函数值，D 为定义域．集合},)({D x x f y y ∈=称为函数的值域．我们要研究的是如何发现和确定变量之间的对应关系．三、例题讲解例1 求函数)1ln(1-=x y 的定义域． 解：)1ln(1-=x y ，求函数的定义域就是使表达式有意义的x 。

由对数函数的性质得到01>-x ，即1>x ；由分式的性质得到0)1ln(≠-x ，即11≠-x ，即2≠x 。

综合起来得出所求函数的定义域为),2()2,1(∞+= D ．例2 设国际航空信件的邮资F 与重量m 的关系是的关系是⎩⎨⎧≤<-+≤<=20010,)10(3.04100,4)(m m m m F ,求)20(,)8(,)3(F F F 。

大一微积分第一章知识点微积分作为数学的重要分支之一，是应用广泛且深具内涵的学科。

作为大一学生，学习微积分的第一章是打好基础的关键。

本文将重点介绍大一微积分第一章的知识点，帮助同学们更好地理解和掌握这一内容。

一、函数及其性质1.1 函数的定义函数是一种对应关系，将一个集合的元素映射到另一个集合的元素上。

数学上常用的表示函数的方式有函数表达式、函数图像和函数的解析式。

1.2 常见函数类型常见函数类型包括线性函数、二次函数、指数函数、对数函数、三角函数等。

每种函数都有其特定的性质和图像，了解它们的性质有助于我们更好地理解微积分的概念和方法。

1.3 函数的性质函数的性质主要包括定义域、值域、奇偶性和周期性。

定义域是指函数的自变量可以取的值的集合，值域是函数的因变量可以取的值的集合。

奇偶性是指函数是否满足f(-x) = f(x)或f(-x) = -f(x)，周期性是指函数是否满足f(x+T) = f(x)，其中T为一个正常数。

1.4 函数的运算函数的运算包括四则运算、复合运算和反函数的概念。

函数之间可以进行加减乘除的运算，也可以进行复合运算，即将一个函数的输出作为另一个函数的输入。

反函数是指对于一个函数f(x)，存在一个函数g(x)，使得f(g(x)) = x和g(f(x)) = x成立。

二、数列及其极限2.1 数列的定义数列是按照一定规律排列的一串数。

通常用{an}或者ai表示，其中n是数列的下标。

数列中的每个数称为数列的项。

2.2 数列的性质数列的性质主要包括数列的有界性、单调性和等差性。

数列有界性是指数列的项存在一个上界和下界，单调性是指数列的项随着n的增大而单调变化，等差性是指数列中相邻项之间的差值相等。

2.3 数列的极限数列的极限是指数列中的项随着下标n的趋于无穷大时，对应数值的极限值。

当数列有界且趋于无穷大时，我们可以说该数列收敛。

若数列不收敛，则称其为发散。

2.4 常见数列常见的数列包括等差数列、等比数列和斐波那契数列。

大一微积分前五章知识点总结微积分是数学的重要分支，它的应用广泛且深远。

作为大一学生，学习微积分是我们深入理解数学和科学的基础。

在大一的微积分课程中，前五章的知识点是我们建立起微积分基础的关键。

本文将对大一微积分前五章的知识点进行总结，帮助大家更好地掌握这些重要的概念和技巧。

第一章：导数导数是微积分的核心概念之一。

它描述了函数的变化率，并且在计算曲线的斜率和速率等问题中起到了重要作用。

在学习导数时，我们需要掌握以下几个重要的知识点：1. 利用极限的定义计算导数：通过求极限的方式，我们可以得到函数的导数。

对于一个函数f(x)，它在点x处的导数可以表示为f'(x)或者dy/dx。

2. 导数的几何意义：导数可以解释为函数曲线在某一点上的切线的斜率。

这个概念有助于我们理解函数的变化趋势以及求解最值等问题。

3. 常见函数的导数：对于常见的函数（如多项式函数、三角函数、指数函数等），我们需要熟悉它们的导数公式，并能够熟练地应用这些公式进行求导。

4. 高阶导数：导数的概念可以推广到高阶导数，表示函数的变化率的变化率。

高阶导数在函数的凹凸性和曲率等问题中有重要的应用。

第二章：微分学微分学是导数的应用。

它帮助我们研究函数的性质和应用，包括函数的极值、最值、增减性以及函数模型的建立等。

下面是关于微分学的几个重要知识点：1. 微分的定义和性质：微分是导数的应用之一，它表示函数在某一点附近的近似变化。

微分的定义和求解方法对于后续的应用问题具有重要意义。

2. 函数的极值与最值：利用导数的概念，我们可以找到函数的极值点（包括最大值和最小值）。

这里需要注意的是，极值点必然是函数导数为零或不存在的点。

3. 函数的增减性：通过对函数的导数进行区间判断，我们可以得到函数的增减性。

这个概念可以帮助我们研究函数的单调性和区间划分等问题。

4. 函数模型的建立：利用微分学的知识，我们可以建立函数模型，描述实际问题中的变化规律。

这对于工程、经济等领域的问题求解具有重要意义。

微积数学是自然科学的基础，是自然科学的皇后，是科学的无限，数学是思维的体操，它的特点是：1.概念上的高度抽象性；2.论证上的确切严格性；3.结果上的精密肯定性；4.应用上的极其广泛性。

第一章函数（Functions）微积分研究的是变量与运动的学科。

变量间的互相依赖关系叫函数关系，也就是说，微积分研究的对象是函数，所利用的工具是极限论。

因此，函数的概念是高等数学中最重要的概念之一。

§1-1 函数的概念与性质一、集合、区间、变量、邻域（主要讲述邻域概念）集合（---所谓集合是指具有某种（或某些）属性的一些对象的全体（简称“集” ）.集合中的每个对象称为该集合的元素.集合通常用大写的拉丁字母如 ,,,C B A 来表示,元素则用小写的拉丁字母如 ,,,,y x b a 来表示.当x 是集合E 的元素时，我们就说x 属于E ，记作E x ∈；当x 不是集合E 的元素时，就说x 不属于E ，记作E x ∉. 集合运算-----略）。

变量（口述----略）。

区间：指介于某两个实数a 与b 之间的所有实数，即数集（a,b ）={x|a<x<b}。

分为：开区间、闭区间、半开闭区间、有限区间、无限区间等。

邻域：以点a 为中心，ε>0为半径的开区间，称为点a 的ε邻域，记作 ：∪（a, ε）=(a-ε,a+ε)={x| |x-a|<ε}。

去（空）心邻域：()()(),,,oU a a a U a a εεε=-+。

为了方便，有时把开区间(),a a ε-称为点a 的左ε邻域，把开区间(),a a ε+称为点a 的右ε邻域.（举例）二、函数的概念1、 函数的定义设有两个变量x y 与，变量x D ∈（实数集），如果存在某种对应法则f ，使得对于每一个x D ∈，都有唯一的一个实数y 与之对应，则称两个变量x y 与建立了一个函数关系，(---设数集R D ⊂，则称映射R D f →:为定义在D 上的函数，)通常记作 )(x f y = ，D x ∈，其中x 称为自变量，y 称为因变量(或函数)，D 称为定义域，记作f D ，即D D f =，f ----对应法则.包含三大要素： ①定义域 D(f) ②对应法则（变量依赖关系的具体表现）， ③值域。

第一章 函数微积分研究的主要对象是函数．研究函数通常有两种方法：一种方法是代数方法和几何方法的综合．用这种方法常常只能研究函数的简单性质，有的做起来很复杂．初等数学中就是用这种方法来研究函数的单调性、奇偶性、周期性的；另一种方法就是微积分的方法，或者说是极限的方法．用这种方法能够研究函数的许多深刻性质，并且做起来相对简单．微积分就是用极限的方法研究函数的一门学问．因此，在介绍微积分之前，有必要先介绍函数的概念和有关知识．第一节 函数的概念及其基本性质一、 集合及其运算自从德国数学家康托(Geor g CAntor,1845~1918)在19世纪末创立集合论以来，集合论的概念和方法已渗透到数学的各个分支，成为现代数学的基础和语言。

一般地，所谓集合(简称集)是指具有某种确定性质的对象的全体．组成集合的各个对象称为该集合的元素． 习惯上，用大写字母A ，B ，C ，…表示集合，用小写字母a ,b ,c ,…表示集合的元素．用a ∈A 表示a 是集合A 中的元素，读作“a 属于A ”；用a ∈（或a ∉A ）表示a 不是集合A 中的元素，读作“a 不属于A ”．含有有限多个元素的集合称为有限集；含有无限多个元素的集合称为无限集；不含有任何元素的集合称为空集，记作∅．集合的表示方法有两种：列举法和描述法．列举法就是把集合中的所有元素一一列出来，写在一个花括号内．如A =｛－１，１｝，B ＝｛０，１，２｝等．描述法就是在花括号内指明该集合中的元素所具有的确定性质．如C =｛210x x -≥｝，Ｄ＝｛sin 0x x =｝等．一般，用N 表示自然数集，用Z 表示整数集，用Q 表示有理数集，用R 表示实数集． 对于集合A 和B ，若集合A 中的每一个元素都是集合B 中的元素，即若a ∈A ，则a ∈B ，这时就称A 是B 的一个子集，记作A ⊂B ，读作“A 含于B ”(或“B 包含A ”)．若A ⊂B ，且存在b ∈B ，使得b ∉A ，则称A 是B 的一个真子集．规定：∅是任何集合A 的子集，即∅⊂A ．若A ⊂B 且B ⊂A ，则称A ，B 相等，记作A ＝B ．此时A 中的元素都是B 中的元素，反过来，B 中的元素也都是A 中的元素，即A ，B 中的元素完全一样．设A ，B 是两个集合，称｛x ∣x ∈A 或x ∈B ｝为A 与B 的并集，记作A ∪B ，即A ∪B ＝｛x ∣x ∈A 或x ∈B ｝．它是将A 和B 的全部元素合起来构成的一个集合．称｛x ∣x ∈A 且x ∈B ｝为A 与B 的交集，记作A B ，即A B ＝｛x ∣x ∈A 且x ∈B ｝．它是由A 与B 的公共元素构成的一个集合．称｛x ∣x ∈A 且x ∉B ｝为A 与B 的差集，记作A -B ，即A -B ＝｛x ∣x ∈A 且x ∉B ｝．它是由A 中那些属于A 但不属于B 的元素构成的一个集合．集合的运算满足下述基本法则：定理1 设A ，B ，C 为三个集合，则(1) A ∪B ＝B ∪A ，A ∩B ＝B ∩A ．（交换律)(2) (A ∪B )∪C ＝A ∪（B ∪C ），（A ∩B ）∩C ＝A ∩（B ∩C ）； （结合律)（３）（A ∪B ）∩C ＝（A ∩C ）∪（B ∩C ），（A∩B）∪C＝（A∪C）∩（B∪C），（A-B）∩C＝（A∩C）-（B∩C）；（分配律)（４）A∪A＝A，A∩A＝A；（幂等律)(5) A∪∅＝A，A∩∅＝∅；若A⊂B，则A∪B＝B，A∩B＝A．（吸收律)特别地，由于A∩B⊂A⊂A∪B，所以有，A∪(A∩B)＝A，A∩（A∪B）＝A．二、区间与邻域设a,b∈R，且a＜b，记(a，b）＝｛x∣a＜x＜b，x∈R｝，称为开区间；记［a，b］＝｛x∣a≤x≤b，x∈R｝，称为闭区间；记［a，b）＝｛x∣a≤x＜b，x∈R｝，称为左闭右开区间；记(a，b］＝｛x∣a＜x≤b，x∈R｝，称为左开右闭区间；a，b分别称为区间的左端点和右端点．另外，我们还记(－∞，＋∞）＝R，（－∞，b）＝｛x∣x＜b，x∈R｝，（a，＋∞）＝｛x∣a ＜x，x∈R｝，等等．设x0∈R，δ＞０，记U（x0，δ）＝｛x x－x0＜δ，x∈R｝，称为x0的δ邻域，其中x0称为这个邻域的中心，δ称为该邻域的半径．容易知道，U(x0，δ）＝（x0－δ，x0＋δ）．记U（x0，δ）＝Ｕ（x0，δ）－∣x0∣＝｛x∣0＜∣x－x0∣＜δ，x∈R｝＝（x0－δ，x0）∪（x0，x0＋δ），称为x0的去心δ邻域．当不必知道邻域的半径δ的具体值时，常将x0的邻域和去心邻域分别简记为Ｕ（x0）和0U(x0）．三、函数的概念定义1 设D为非空实数集，若存在对应规则f，使得对任意的x∈D，按照对应规则f，都有唯一确定的y∈R与之对应，则称f为定义在D上的一个一元函数，简称函数．D称为f的定义域．函数f的定义域常记作D f(或D(f))．对于x∈D f，称其对应值y为函数f在点x处的函数值，记作f(x)，即y=f(x)．全体函数值所构成的集合称为f的值域，记作f(D)、R f（或R(f))，即R f＝｛f(x)︱x∈D f｝．应该注意，在定义1中，函数是f，它是一个对应规则，规定了D f中的x对应于哪个实数y．而f(x)(即y)则是函数值，是在对应规则f的规定下，x所对应的那个值y，这两者在概念上是不一样的．但由于历史的原因，我们习惯上也把f(x)(或y)称为x的函数，称x为自变量，称y为因变量．由定义1可知，确定一个函数需确定其定义域和对应规则，因此，我们称定义域和对应规则为确定函数的两个要素．如果两个函数f和g的定义域和对应规则都相同，则称这两个函数相同．函数的表示法一般有三种：表格法、图象法和解析法．这三种方法各有特点，表格法一目了然；图象法形象直观；解析法便于计算和推导．在实际中可结合使用这三种方法．例1 求φ（x)=ln(arcsin x）2和g(x)=2ln arcsin x的定义域，并判断它们是否为同一个函数．解在中学我们就已知道，对于用解析式表示的函数f(x)，若其定义域未给出，则认为其定义域为使该函数式f (x )有意义的实数的全体．因此，要使ϕ (x )有意义，x 必须满足11arcsin 0x x -≤≤⎧⎨≠⎩，即110x x -≤≤⎧⎨≠⎩， 故D （ϕ）＝［－１，０）∪（０，１］．要使g (x )有意义，x 必须满足11arcsin 0x x -≤≤⎧⎨>⎩，即110x x -≤≤⎧⎨<⎩， 故D (g )＝（０，１］．由于D (ϕ）≠D (g )，可见ϕ (x )和g (x )不是同一函数．例2 设函数21,0()1,0x x f x x x -<⎧=⎨+≥⎩当时，当时， 求f (0),f (-1),f (2)，并作函数图形．解 这是定义在(-∞，+∞）内的一个函数，在定义域的不同部分上，函数的表达式不同，这种函数称为分段函数．当x ＜０时，对应的函数值f (x )=x -1［即用x -1来计算f (x )］，而当x ≥０时，对应的函数值f (x )=x 2+1［即用x 2+1来计算f (x )］．所以f (-1)=(-1)-1=-2，f (0)=02+1=1，f (2)=22+1=5．函数图形可分段描绘，并注意空心点和实心点的区别(图1-1)．图1-1四、 复合函数和反函数１． 复合函数设y =f (u )，u ∈Ｕ，而u =φ(x )，x ∈Ｘ，此时y 常常能通过变量u 成为x 的函数．这是因为任取x ∈Ｘ，由于u 是x 的函数，由这个x 可确定唯一的u 与之对应，又由于y 是u 的函数，对这个由x 所确定的u (当u ∈Ｕ时)，又可确定唯一一个y 与u 对应，即f x u y ϕ−−→−−→，由函数定义知y 是x 的函数．其函数式可通过代入运算得到：将u =ϕ (x )代入y =f (u )中，得y =f (ϕ (x ))，称为由f (u )和ϕ (x )构成的复合函数．例3 设y =f (u )=ln u ,u =φ(x )=sin x ，则他们构成的复合函数为y =f (ϕ (x ))=ln sin x ．可见，若给出两个函数y =f (u )和u =ϕ (x )，要求复合函数只须作代入运算即可．但应注意，并非任何两个函数都能构成复合函数．例4 设y =f (u )=ln(u -2),u =ϕ (x )=sin x ，问f (u )和ϕ (x )能否构成复合函数f (ϕ(x ))？ 解 将u =sin x 代入到y =ln(u -2)中，得y =ln(sin x -2)，由于-1≤sin x ≤１，sin x －２＜０，故函数的定义域为空集，所以不能构成复合函数．研究例3、例4可以发现，要使y =f (u )和u =ϕ (x )能够构成复合函数f (ϕ (x ))，关键是要保证代入后的函数式要有意义，或者说要保证u =ϕ (x )的值域全部或部分落在y =f (u )的定义域内，这样，我们得到复合函数的定义．定义2 若y =f (u )的定义域为U ，而u =ϕ (x )的定义域为X ，值域为*U ，且Ｕ∩*U ≠∅，则y 通过变量u 成为x 的函数，称它为由f (u )和ϕ (x )构成的复合函数，记作f (ϕ (x ))．u 称为中间变量．例5 设f (x )ϕ (x )，求复合函数f (ϕ (x ))和ϕ (f (x ))．解 由例2知， f (ϕ (x ))= ϕ (f (x ))=．２． 反函数在研究两个变量的函数关系时，可以根据问题的需要，选定其中一个为自变量，那么另一个就是因变量或函数．例如，在圆面积公式S =πr 2中，圆面积S 是随半径r 的变化而变 化的，或者说任给一个r ＞0，就有唯一确定的S 与之对应，因此S 是r 的一个函数，r 是自变量，S 是因变量．但如果是要由圆面积S 的值来确定半径r ，则可从S =πr 2中解出r ，得rr 是随S 的变化而变化的，或者说，任给一个S ＞0，就有唯一确定的r 与之对应，按函数定义，r 是S 的函数，这时的自变量为S ，而r 为因变量．我们称r为S ＝πr 2的反函数．一般地，设y =f (x )的定义域为X ，值域为Y ＝｛f (x )∣x ∈Ｘ｝，且f (x )满足：对任意的x 1，x 2∈Ｘ，若x １≠x ２，则f (x １)≠f (x ２)．此时，对任意的y ∈Ｙ，必存在唯一确定的x ∈Ｘ满足y =f (x )，换言之，对Y 中的任何一个y ，通过函数y =f (x )，可以反解出唯一的一个x ，使得y 与这个x 相对应，根据函数定义，x 是y 的函数．这个函数的自变量是y ，因变量是x ，定义域是Y ，值域是X ．称之为y =f (x )的反函数，记为x =f -1(y )．显见，若x =f -1(y )是y =f (x )的反函数，则y =f (x )是x =f -1(y )的反函数，即他们互为反函数．x =f -1(y )的定义域和值域分别是y =f (x )的值域和定义域．并且不难知道f -1(f (x ))=x ,x ∈Ｘ；f (f -1(y ))=y ,y ∈Ｙ．注意到在x =f -1(y )中，y 是自变量，x 是因变量，由于习惯上常用x 作为自变量，y 作为 因变量，因此，反函数x =f -1(y )，y ∈Ｙ常记作y =f -1(x )，x ∈Ｙ．关于反函数还有一些常用结论：(1) y =f (x ),(定义域为X ，值域为Y )存在反函数y =f -1(x )(x ∈Y )的充要条件是对任意的x １，x ２∈X ，若x １≠x ２，则f (x １)≠f (x ２)．(2)若y =f (x )，x ∈X 存在反函数y =f -1(x )，则在同一直角坐标系xOy 中，y =f (x )和y =f -1(x )的函数图形关于直线y =x 对称．这是因为若点P (a ,b )是y =f (x )的函数图形上的点，即b =f (a )，由反函数定义知，a =f -1(b )，因此点Q (b ,a )是y =f -1(x )的函数图形上的点；反之，若点Q (b ,a )是y =f -1(x )的函数图形上的点，则P (a ,b )是y =f (x )的函数图形上的点．因点P (a ,b )与Q (b ,a )关于直线y =x 对称(即直线y =x 垂直平分线段PQ ，故上述结论(2)正确(图1-2)．图1-2例6 求下列函数的反函数：(1) y =2x+1；(2) f (x)= 2101,02x x x -≤+≤≤⎪⎩<, 解 (1)由y =2x +1得2x =y -1，两边取对数得x =lo g 2（y -1)．交换x ,y 的位置，得反函数y =lo g 2(x -1)．(2) 当-1≤x ＜0时，由yx=≤y ＜1．当0≤x ＜2时，由y =x 2+1得x=≤y ＜５．于是，有x=15y y ⎧≤<⎪⎨≤<⎪⎩．交换x ,y 的位置，得反函数y=15x x ⎧≤<⎪⎨≤<⎪⎩五、 函数的基本性质１． 单调性定义3 设函数f (x )在实数集D 上有定义，对任意的x 1，x 2∈D ，且x 1＜x 2，(1)若有f (x 1)≤f (x 2)，则称f (x )在D 内是单调递增的；(2) 若有f (x 1)≥f (x 2)，则称f (x )在D 内是单调递减的；(3) 若有f (x 1)＜f (x 2)，则称f (x )在D 内是严格单调递增的；(4) 若有f (x 1)＞f (x 2)，则称f (x )在D 内是严格单调递减的．当f (x )在区间I 内单调递增(递减)时，又称f (x )是区间I 内的单调递增(递减)函数．单调递增函数和单调递减函数统称为单调函数，使函数单调递增(递减)的区间称为单调增(减)区间．例如，y =x 3在定义域R 内是单调递增函数：y =x 2在定义域R 内不是单调函数，但(-∞，0)是其单调减区间；(0，+∞)是其单调增区间．易见，若f (x )是(a ,b )内的严格单调函数，则f (x )在(a ,b )内存在反函数y =f -1(x )．这是因为对任意的x 1，x 2∈(a ,b )，若x 1≠x 2，则因f (x )严格单调，必有f (x 1)≠f (x 2)，故存在反函数．２． 奇偶性定义4 设函数f (x )的定义域D (f )关于原点对称(即若x ∈D ，则-x ∈D ），对于任意的x ∈D ，(1)若有f (-x )=-f (x )，则称f (x )为D 内的奇函数；(2) 若有f (-x )=f (x )，则称f (x )为D 内的偶函数．从定义4知，奇函数的图形关于原点对称，而偶函数的图形关于y 轴对称，如图1-3(a)与(b)所示．例如，y =x 2k +1（k 为整数)为奇函数，y =x 2k （k 为整数)为偶函数．y =sin x 是奇函数，y =cos x 是偶函数，y =C (C 为非零常数)是偶函数，y =0既是奇函数也是偶函数，y =x 2+x 既不是奇函数也不是偶函数．图1-3例7判断下列函数的奇偶性：(1)()ln(f x x =+; (2) 2e e ()2x xg x x -+= ．解 (1) f (-x )=ln(-x +=-ln(x )＝－f (x )，所以f (x )是奇函数．(2) g (-x )=(-x )2·()e e 2x x ---+＝2e e 2x x x -+ =g (x )， 所以g (x )是偶函数．３． 有界性定义5 设函数f (x )在实数集D 内有定义，如果存在正数M ，使得对任意的x ∈D ，都有∣f (x )∣≤Ｍ成立，则称f (x )在D 内有界，或称f (x )在D 内为有界函数，否则称f (x )在D 内无界，或称f (x )在D 内为无界函数．定义6 设函数f (x )在实数集D 内有定义，若存在数A ，使得对任意的x ∈D ，都有f (x )≤A (或f (x )≥A )成立，则称f (x )在D 内有上界(或有下界)，也称f (x )是D 内有上界(或有下界)的函数．A 称为f (x )在D 内的一个上界(下界)．显然，有界函数必有上界和下界；反之，既有上界又有下界的函数必是有界函数，即函数在D 内有界的充要条件是该函数在D 内既有上界又有下界。