对立事件与互斥事件区别与联系

《互斥事件》互斥事件与对立事件是北师大版数学必修3第三章第2节的内容，新课标的要求是：理解互斥事件概念，掌握互斥事件和对立事件的区别和联系，为以后学习相互独立事件和次独立重复试验做好铺垫，因此这节课有着深化知识层面，拓展能力范围的作用，是本章的重要内容。

之 【知识与能力目标】理解互斥事件和对立事件的概念，并根据概率计算公式的应用范围和具体运算法则解决简单的概率问题。

【过程与方法目标】通过引导学生判断互斥事件和互为对立事件两个概念的对比学习，提高学生的类比、归纳、探寻事物的能力。

通过不同形式的自主学习和探究活动，体验数学发现和创造的历程，提高学生的合作能力和创造的历程，提高学生的合作解题能力和利用数学知识解决实际应用问题的能力。

【情感与态度目标】通过课堂上学生独立思考、合作讨论，有意识、有目的的培养学生自主学习的学习习惯与协作共进的团队精神；让学生体验成功，激发其求知欲，树立求真知的信心；培养学生的辩证唯物主义观点。

◆ 教材分析◆教学目标【教学重点】：互斥事件和对立事件的概念以及互斥事件的概率计算公式。

【教学难点】：互斥事件与对立事件的区别与联系。

多媒体课件一、互斥事件1．互斥事件的定义：不能同时发生的两个事件称为互斥事件例如，在一个盒子里放有大小相同的10个小球，其中有7个红球，2个绿球，1个黄球.从盒中摸出1个小球得到的结果可能是红球，也可能是绿球或黄球，并且只能是其中一种情况.我们把“从盒中摸出1个小球，得到红球”叫做事件A ，“从盒中摸出1个小球，得到绿球”叫做事件B ，“从盒中摸出1个小球，得到黄球”叫做事件C ，那么这里的事件A 、事件B 、事件C 中的任何两个是不可能同时发生的.事件A 与事件B 、事件B 与事件C 都是互斥事件.从集合的角度来看，事件A 与事件B 是互斥事件，则事件A 所包含的基本事件构成的集合与事件B 所包含的基本事件构成的集合的交集是空集.2．互斥事件有一个发生的概率设A 、B 为互斥事件，当事件A 、B 有一个发生时，我们把这个事件记作A+B ．事件A+B 发生的概率等于事件A 、B 分别发生的概率的和,即P （A+B ）=P （A ）+P （B ），此公式也称概率和公式.例如上例中“从盒中摸出1个小球，得到红球”叫做事件A ，则P （A ）=0.7；“从盒中摸出1个小球，得到绿球”叫做事件B ，则P （B ）=0.2．若记“从盒中摸出1个小球，得到红球或绿球”为事件D ，则D=A+B ，此时P （D ）=P （A ）+P （B ）=0.7+0.2=0.9.3．一般地，如果事件A1，A2，…，An 中的任何两个都是互斥事件，就说事件A1，A2，…，An 彼此互斥.从集合的角度看，几个事件彼此互斥是指由各个事件所含的结果组成的集合彼此没有公共元素，即两两交集都是空集.一般地，如果事件A 1，A 2，…，A n 两两互斥，则P （A 1+A 2+…+A n ）=P （A 1）+P （A 2）◆ 教学重难点 ◆ ◆ 课前准备◆◆ 教学过程。

互斥事件的概率公式互斥事件是指事件 A 和事件 B 的交集为空，即 A∩B=。

互斥事件的概率可以用以下公式计算:P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A∩B)其中，A 和 B 为互斥事件，A∩B 表示事件 A 和事件 B 的并集，P(A) 表示事件 A 的概率，P(B) 表示事件 B 的概率，P(A∩B) 表示事件 A 和事件 B 的交集的概率。

互斥事件的概率和为 0，但对立事件的概率和为 1。

对立事件是指与事件 A 互斥的事件 B，即 A∩B=。

对立事件的概率可以用以下公式计算:P(B) = 1 - P(A∩B)在概率论中，互斥事件和对立事件是两种最基本的事件类型。

互斥事件的概率公式可以推导出其他许多事件的概率公式，例如等可能性事件的概率公式和必然事件的概率公式等。

拓展:1. 互斥事件和对立事件是概率论中最基本的事件类型之一。

在概率论中，我们可以用事件的概率来描述事件发生的可能性大小，而互斥事件和对立事件的概率公式则是计算事件发生可能性大小的基本公式。

2. 互斥事件和对立事件的概率和可以为 0 或 1，这取决于事件A 和事件B 的具体情况。

如果事件 A 和事件 B 是互斥的，则它们的交集为空，即 P(A∩B)=0。

如果事件 A 和事件 B 是对立事件，则它们的交集也为空，即 P(A∩B)=0。

如果事件 A 和事件 B 不是互斥事件或对立事件，则它们的交集的概率可以为 0 或 1。

3. 互斥事件和对立事件在概率论中有着广泛的应用。

例如，在赌博中，如果我们已知某个赌注是互斥事件，我们就可以计算出这个赌注的中奖概率，从而更好地决策是否参与这个赌注。

在统计学中，互斥事件和对立事件也是常用的概念，例如在抽样调查中，我们可以用互斥事件和对立事件来描述样本和总体之间的关系。

谈谈互斥事件与对立事件的联系与区别一. 互斥事件与对立事件的定义1.互斥事件：不可能同时发生的两个事件A 、B 叫做互斥事件，它们至少有一个发生的事件为A+B ，用概率的加法公式)()()(B P A P B A P +=+计算.2. 对立事件：必有一个发生的两个互斥事件A 、B 叫做互为对立事件,即-=A B 或-=B A .用概率的减法公式()⎪⎭⎫ ⎝⎛-=_1A P A P 计算其概率.高考常结合射击、电路、交通等问题对对立事件的判断识别及其概率计算进行考查.二.互斥事件与对立事件的联系与区别1. 对立事件一定是互斥事件,但互斥事件不一定对立;2. 对立事件是指的两个事件，而且必须有一个发生，而互斥事件可以对应很多事件，但最多只有一个发生，也可能都不发生;3. 从集合论(即把事件转换成集合的关系来看)的角度来看：表示互斥事件和对立事件的集合的交集都是空集，但两个对立事件的交集都是空集且并集是全集 ，而两个互斥事件的并集不一定是全集;4.两个对立事件的概率之和一定是1,而两个互斥事件的概率之和小于或者等于1 ;5. 若事件B A ,是互斥事件，则有:()()()B P A P B A P +=+ ;而对立事件A 与A 则有:()()A P A P -=1;6.一般地，如果 n A A A ,...,,21 两两互斥，则有 ()()()()n n A P A P A P A A A P +++=+++......2121 ;7.在教材中n A A A +++...21 指的是n A A A ,...,,21 中至少发生一个 ;8.在具体做题中，希望大家一定要注意书写过程，设处事件来，利用哪种概型解题，就按照那种概型的书写格式，最重要的是要设出所求的事件来.三. 互斥事件例题解析例1.10本不同的语文书,2本不同的数学书,从中任意取出2本,能取出数学书的概率有多大？解：基本事件的总数为：12×11÷2＝66“能取出数学书”这个事件所包含的基本事件个数分两种情况：（1）“恰好取出1本数学书”所包含的基本事件个数为：10×2＝20（2）“取出2本都是数学书”所包含的基本事件个数为：1而事件“恰好取出1本数学书” 与“取出2本都是数学书” 为互斥事件.所以“能取出数学书”这个事件的概率为:P （“能取出数学书”）＝P （“恰好取出1本数学书”）+ P （“取出2本都是数学书”）=6620661+=227. 例2.某热水瓶胆生产厂生产的10件产品中，有8件一级品，2件二级品，一级品和二级品在外观上没有区别．从这10件产品中任意抽检2件，计算：（1）2件都是一级品的概率；（2）至少有一件二级品的概率．解：（1）设2件都是一级品为事件A ．从10件产品中抽取2件,共有45个基本事件,且都是等可能的，而事件A 的结果（即包含的基本事件数）有28种, 则P （A ）=2845． （2）设至少有一件二级品为事件B ，则B 是两个互斥事件：“抽取的2件产品中包含了一件一级品，一件二级品（记为B 1）”与“抽取的2件产品均为二级品（B 2）”的和.而P （B 1）=1645，P （B 2）=145. ∴P （B ）=P （B 1+B 2）= P （B 1）+ P （B 2）=16117454545+=． 说明:确定两事件是否是互斥事件时,若对事件是否互斥把握不准,可以把事件转换为相应的集合,看看集合的交集是否为空集.四. 对立事件例题解析例3.甲、乙两人参加法律知识竞答，共有10道不同的题目，其中选择题6道，判断题4道, 甲、乙两人依次各抽一题．(1)甲抽到选择题、乙抽到判断题的概率是多少?(2)甲、乙两人中至少有一人抽到选择题的概率是多少?解：甲、乙两人从10道题中不放回地各抽一道题，先抽的有10种抽法，后抽的有9种抽法，故所有可能的抽法是90种.即基本事件总数是90.(1)记“甲抽到选择题、乙抽到判断题”为事件A,下面求事件A 包含的基本事件数: 甲抽到选择题有6种抽法,乙抽到判断题有4种抽法,所以事件A 的基本事件数为24.所以()1549024==A P . (2)先考虑问题的对立面:“甲、乙两人中至少有一人抽到选择题”的对立事件是“甲、乙两人都未抽到选择题”，即都抽到判断题.记“甲、乙两人都抽到判断题”为事件B,“至少一人抽到选择题”为事件C ，则B 包含的基本事件数为12.所以由古典概型概率公式,得().1529012==B P 由对立事件的性质可得: ()()151315211=-=-=B P C P . 说明:含有“至多”、“至少”等类型的概率问题,从正面突破比较困难或者比较繁琐时,可考虑其反面,即对立事件,然后应用对立事件的性质()()A P A P -=1进一步求解.。

互斥事件与对立事件的例子
1、互斥事件：
互斥事件是指两件事情之间存在冲突，但只有一件可以实现的事情。

比如：王思聪要
买特斯拉跑车，但他想要买宝马SUV，他只能根据自己的喜好，只能选择其中的一种汽车，而不能两种汽车都买；再比如一个人同时拥有苹果手机和安卓手机，但他只能拥有其中的
一种，而不能同时拥有两种，这也是互斥事件的一种。

2、对立事件：
对立事件是指事件之间有对立的性质，但可以同时发生的事件。

比如三国时期赤壁之战，司马懿和诸葛亮是处于对立状态，每一方都希望自己能够获胜，但两者可以同时存在，只是一方最终获胜而已。

再比如原子与粒子的分裂，改变了物质的状态，可以同时发生，
但又有改变物质状态的对立性质。

概率论知识点整理及习题答案1．对立事件与互不相容事件有何联系与区别？它们的联系与区别是：（1）两事件对立（互逆），必定互不相容（互斥），但互不相容未必对立。

（2）互不相容的概念适用于多个事件，但对立的概念仅适用于两个事件。

（3）两个事件互不相容只表示两个事件不能同时发生，即至多只能发生其中一个，但可以都不发生。

而两个事件对立则表明它们有且仅有一个发生，即肯定了至少有一个发生。

特别地，=A、AU= 、AI=φ。

2．两事件相互独立与两事件互不相容有何联系与区别？两事件相互独立与两事件互不相容没有必然的联系。

我们所说的两个事件A、B相互独立，其实质是事件A是否发生不影响事件B发生的概率。

而说两个事件A、B互不相容，则是指事件A发生必然导致事件B不发生，或事件B发生必然导致事件A不发生，即AB=φ，这就是说事件A是否发生对事件B发生的概率有影响。

3．随机事件与样本空间、样本点有何联系？所谓样本空间是指：随机试验的所有基本事件组成的集合，常用来记。

其中基本事件也称为样本点。

而随机事件可看作是有样本空间中具有某种特性的样本点组成的集合。

通常称这类事件为复合事件；只有一个样本点组成的集合称为基本事件。

在每次试验中，一定发生的事件叫做必然事件，记作。

而一定不发生的事件叫做不可能事件，记作φ。

为了以后讨论问题方便，通常将必然事件和不可能事件看成是特殊的随机事件。

这是由于事件的性质随着试验条件的变化而变化，即：无论是必然事件、随机事件还是不可能事件，都是相对“一定条件”而言的。

条件发生变化，事件的性质也发生变化。

例如：抛掷两颗骰子，“出现的点数之和为3点”及“出现的点数之和大于33点”，则是不可能事件了；而“出现的点数之和大于3点”则是必然事件了。

而样本空间中的样本点是由试验目的所确定的.。

例如：（1）={3，4，5，L，18}。

（2）将一颗骰子连续抛掷三次，观察六点出现的次数，其样本空间为 ={0，1，2，3}。

互斥事件有一个发生的概率学习指导1、互斥事件（1）两个互斥事件：不可能同时发生的两个事件（2）多个互斥事件：如果事件A1，A2，…，A n中的任何两个事件都是互斥事件，则说事件A1，A2，…，A n彼此互斥。

（3）从集合角度看：记某次试验的结果为全集U如果A、B是这次试验的两个互斥事件所含有的结果组成的集合，则A∩B=φ，A∪B≠⊂I。

如果事件A1，A2，…，A n彼此互斥，则由各个事件所含的结果组成的集合的交集是空集。

2、对立事件：如果两个互斥事件在一次试验中必然有一个发生，那么这样两个互斥事件叫做对立事件。

符号：事件A的对立事件用A表示从集合角度看，记某次试验的结果为全集U，A与A是两个对立事件的结果组成的集合，则A∩A=φ，A∪A=U。

也就是说，由事件A所含的结果组成的集合，是全集中由事件A所含的结果组成的集合的补集。

3、互斥事件与对立事件比较区别：互斥事件强调两个事件不可能同时发生，并非说明两个互斥事件不可能同时不发生，即在一次试验中两个互斥的事件可能都不发生，因此互斥事件不一定是对立事件。

如果A与B是互斥事件，那么在一次试验中可能出现的结果是：①A发生B不发生，②B发生A不发生，③A与B均不发生。

对立事件是指在一次试验中必然有一个发生的两个事件。

用Veen图表示联系：互斥事件与对立事件都不可能同时发生。

对立事件一定是互斥事件，对立事件是特殊的互斥事件，两个事件对立是两个事件互斥的充分非必要条件。

4、加法公式（1）两个互斥事件至少有一个发生的概率的计算公式①两个事件的和。

设A、B是两个事件，如果在一次试验中，A或B至少有一个发生。

符号A+B即A+B表示这样的事件：如果在一次试验中，A或B中至少有一个发生就表示该事件发生。

特例，当事件A与B互斥时②两个互斥事件的和：两个互斥事件至少有一个发生此时P(A+B)=P(A)+P(B) ……加法公式即两个互斥事件至少有一个发生的概率等于这两个事件分别发生的概率之和推广（2）多个互斥事件至少有一个发生的概率①多个事件的和：若事件A1，A2，…，，A n中至少有一个发生符号：A1+A2+…+A n特别地，当A1，A2，…，A n彼此互斥时②多个互斥事件的加法公式：如果事件A1，A2，…，A n彼此互斥，那么事件A1+A2+…+A n的概率，等于这n个事件分别发生的概率的和。

2．3互斥事件[学习目标] 1.理解互斥事件、对立事件的定义，会判断所给事件的类型.2.掌握互斥事件的概率加法公式并会应用.3.正确理解互斥、对立事件的关系，并能正确区分判断．知识点一互斥事件与对立事件发生是指思考(1)在掷骰子的试验中，事件A＝{出现的点数为1}，事件B＝{出现的点数为奇数}，事件A与事件B应有怎样的关系？(2)判断两个事件是对立事件的条件是什么？知识点二概率的几个基本性质1．概率的取值范围(1)由于事件的频数总是小于或等于试验的次数，所以频率在0～1之间，从而任何事件的概率在0～1之间，即.(2) 的概率为1.(3) 的概率为0.2．互斥事件的概率加法公式当事件A与事件B互斥时，A＋B发生的频数等于A发生的频数与B发生的频数之和，从而A＋B的频率f n(A＋B)＝f n(A)＋f n(B)，则概率的加法公式为P(A＋B)＝．3．对立事件的概率公式若事件A与事件B互为对立事件，则A＋B为必然事件，P(A＋B)＝1.再由互斥事件的概率加法公式P(A＋B)＝P(A)＋P(B)，得P(A)＝．题型一互斥事件、对立事件的概念例1从40张扑克牌(红桃、黑桃、方块、梅花，点数从1～10各10张)中，任取一张．(1)“抽出红桃”与“抽出黑桃”；(2)“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”；(3)“抽出的牌点数为5的倍数”与“抽出的牌点数大于9”．判断上面给出的每对事件是否为互斥事件，是否为对立事件，并说明理由．反思与感悟 1.要判断两个事件是不是互斥事件，只需要分别找出各个事件包含的所有结果，看它们之间能不能同时发生．在互斥的前提下，看两个事件的和事件是否为必然事件，从而可判断是否为对立事件．2．考虑事件的结果间是否有交事件．可考虑利用Venn图分析，对于较难判断的关系，也可考虑列出全部结果，再进行分析．跟踪训练1从装有5个红球和3个白球的口袋内任取3个球，那么下列各对事件中，互斥而不对立的是()A．至少有一个红球与都是红球B．至少有一个红球与都是白球C．至少有一个红球与至少有一个白球D．恰有一个红球与恰有两个红球题型二和事件的概念例2在掷骰子的试验中，可以定义许多事件．例如，事件C1＝{出现1点}，事件C2＝{出现2点}，事件C3＝{出现3点}，事件C4＝{出现4点}，事件C5＝{出现5点}，事件C6＝{出现6点}，事件D1＝{出现的点数不大于1}，事件D2＝{出现的点数大于3}，事件D3＝{出现的点数小于5}，事件E＝{出现的点数小于7}，事件F＝{出现的点数为偶数}，事件G＝{出现的点数为奇数}，请根据上述定义的事件，回答下列问题：(1)请举出符合包含关系、相等关系的事件；(2)利用和事件的定义，判断上述哪些事件是和事件．反思与感悟事件间运算方法：(1)利用事件间运算的定义．列出同一条件下的试验所有可能出现的结果，分析并利用这些结果进行事件间的运算．(2)利用Venn图．借助集合间运算的思想，分析同一条件下的试验所有可能出现的结果，把这些结果在图中列出，进行运算．跟踪训练2盒子里有6个红球，4个白球，现从中任取3个球，设事件A＝{3个球中有一个红球，两个白球}，事件B＝{3个球中有两个红球，一个白球}，事件C＝{3个球中至少有一个红球}，事件D＝{3个球中既有红球又有白球}．则：(1)事件D与事件A、B是什么样的运算关系？(2)事件C与事件A的交事件是什么事件？题型三对立事件、互斥事件的概率例3同时抛掷两枚骰子，求至少有一个5点或6点的概率．反思与感悟 1.互斥事件的概率的加法公式P(A＋B)＝P(A)＋P(B)．2．对于一个较复杂的事件，一般将其分解成几个简单的事件，当这些事件彼此互斥时，原事件的概率就是这些简单事件的概率的和．3．当求解的问题中有“至多”、“至少”、“最少”等关键词语时，常常考虑其反面，通过求其反面，然后转化为所求问题．跟踪训练3某射手在一次射击中，射中10环、9环、8环、7环的概率分别为0.21,0.23,0.25,0.28，计算这个射手一次射击中射中的环数低于7环的概率．求复杂事件的概率例4 玻璃盒里装有红球、黑球、白球、绿球共12个，从中任取1球，设事件A 为“取出1个红球”，事件B 为“取出1个黑球”，事件C 为“取出1个白球”，事件D 为“取出1个绿球”．已知P (A )＝512，P (B )＝13，P (C )＝16，P (D )＝112.(1)求“取出1个球为红球或黑球”的概率； (2)求“取出1个球为红球或黑球或白球”的概率．解后反思 求复杂事件的概率通常有两种方法：一是将所求事件转化成彼此互斥事件的和；二是先求对立事件的概率，再求所求事件的概率，即P (A )＝1－P (B )(B 是A 的对立事件)．1.互斥事件和对立事件既有区别又有联系．互斥未必对立，对立一定互斥．2．互斥事件的概率加法公式是一个很基本的计算公式，解题时要在具体的情景中判断各事件间是否互斥，只有互斥事件才能用概率加法公式P (A ＋B )＝P (A )＋P (B )． 3．求复杂事件的概率通常有两种方法： (1)将所求事件转化成彼此互斥事件的和事件； (2)先求其对立事件的概率，再求所求事件的概率．1．给出以下结论：①互斥事件一定对立；②对立事件一定互斥；③互斥事件不一定对立；④事件A 与B 的和事件的概率一定大于事件A 的概率；⑤事件A 与B 互斥，则有P (A )＝1－P (B )．其中正确命题的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．32．对同一事件来说，若事件A 是必然事件，事件B 是不可能事件，则事件A 与事件B 的关系是( ) A ．互斥不对立 B ．对立不互斥 C ．互斥且对立D ．不互斥、不对立3．从装有2个红球和2个白球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是( ) A ．“至少有1个白球”和“都是红球” B ．“至少有1个白球”和“至多有1个红球” C ．“恰有1个白球”和“恰有2个白球” D ．“至多有1个白球”和“都是红球”4．对空中飞行的飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，设A ＝{两次都击中飞机}，B ＝{两次都没击中飞机}，C ＝{恰有一弹击中飞机}，D ＝{至少有一弹击中飞机}，下列关系不正确的是( ) A ．A ⊆D B ．B ∩D ＝∅ C ．A ∪C ＝DD ．A ∪C ＝B ∪D5．从集合{a ，b ，c ，d ，e }的所有子集中任取一个，若这个子集不是集合{a ，b ，c }的子集的概率是34，则该子集恰是集合{a ，b ，c }的子集的概率是( )A.35B.25C.14D.186．从几个数中任取实数x ，若x ∈(－∞，－1]的概率是0.3，x 是负数的概率是0.5，则x ∈(－1,0)的概率是________．7．同时抛掷两枚骰子，既不出现5点也不出现6点的概率为49，则5点或6点至少出现一个的概率是________．8．袋中装有红球、黑球、黄球、绿球共12个．从中任取一球，取到红球的概率是13，取到黑球或黄球的概率是512，取到黄球或绿球的概率是512.试求取到黑球、黄球、绿球的概率各是多少．一、选择题1．已知P (A )＝0.1，P (B )＝0.2，则P (A ＋B )等于( ) A ．0.3 B ．0.2 C ．0.1D ．不确定2．若A 、B 是互斥事件，则( ) A ．P (A ＋B )<1 B ．P (A ＋B )＝1 C ．P (A ＋B )>1D ．P (A ＋B )≤13．某产品分甲、乙、丙三级，其中丙级为次品．若生产中出现乙级品的概率为0.03，丙级品的概率为0.01，则对该产品抽查一件抽到正品的概率为( ) A ．0.09 B ．0.97 C ．0.99D ．0.964．从装有2个红球和2个白球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是( ) A ．“至少有1个白球”和“都是红球” B ．“至少有1个白球”和“至多有1个红球” C ．“恰有1个白球”和“恰有2个白球” D ．“至多有1个白球”和“都是红球”5．从1,2,3，…，9中任取两数，其中：①恰有一个偶数和恰有一个奇数；②至少有一个奇数和两个都是奇数；③至少有一个奇数和两个都是偶数；④至少有一个奇数和至少有一个偶数．则在上述事件中，是对立事件的是( ) A ．① B ．②④ C ．③D ．①③6．下列四个命题：①对立事件一定是互斥事件；②若A ，B 为两个事件，则P (A ＋B )＝P (A )＋P (B )；③若事件A ，B ，C 两两互斥，则P (A )＋P (B )＋P (C )＝1；④事件A ，B 满足P (A )＋P (B )＝1，则A ，B 是对立事件．其中错误命题的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．37．掷一枚骰子的试验中，出现各点的概率为16.事件A 表示“小于5的偶数点出现”，事件B表示“小于5的点数出现”，则一次试验中，事件A ＋B (B 表示事件B 的对立事件)发生的概率为( )A.13B.12C.23D.56二、填空题8．若A ，B 为互斥事件，P (A )＝0.4，P (A ＋B )＝0.7，则P (B )＝________.9．在一次教师联欢会上，到会的女教师比男教师多12人，从这些教师中随机挑选一人表演节目，若选中男教师的概率为920，则参加联欢会的教师共有________人．10．对一批产品的长度(单位：毫米)进行抽样检测，下图为检测结果的频率分布直方图．根据标准，产品长度在区间[20,25)上的为一等品，在区间[15,20)和区间[25,30)上的为二等品，在区间[10,15)和[30,35)上的为三等品．用频率估计概率，现从该批产品中随机抽取一件，则其为二等品的概率为________．三、解答题12．袋中装有红球、黑球、黄球、绿球共12个．从中任取一球，取到红球的概率是13，取到黑球或黄球的概率是512，取到黄球或绿球的概率是512.试求取到黑球、黄球、绿球的概率各是多少．解 从袋中任取一球，记事件“取到红球”“取到黑球”“取到黄球”和“取到绿球”分别为A ，B ，C ，D ，则事件A ，B ，C ，D 显然是两两互斥的．由题意，得⎩⎨⎧P (A )＝13， P (B ＋C )＝512， P (C ＋D )＝512， P (A ＋B ＋C ＋D )＝1，即⎩⎨⎧P (B )＋P (C )＝512， P (C )＋P (D )＝512， 13＋P (B )＋P (C )＋P (D )＝1，解得⎩⎨⎧P (B )＝14， P (C )＝16， P (D )＝14，故取到黑球的概率是14，取到黄球的概率是16，取到绿球的概率是14.13．黄种人群中各种血型的人所占的比例如下表所示．互相输血．小明是B型血，若小明因病需要输血，则：(1)任找一个人，其血可以输给小明的概率是多少？(2)任找一个人，其血不能输给小明的概率是多少？解(1)对任一个人，其血型为A，B，AB，O的事件分别为A′，B′，C′，D′，它们是互斥的．由已知得P(A′)＝0.28，P(B′)＝0.29，P(C′)＝0.08，P(D′)＝0.35.由于B，O型血可以输给B型血的人，因此“可以输血给B型血的人”为事件B′＋D′，根据互斥事件的概率加法公式，得：P(B′＋D′)＝P(B′)＋P(D′)＝0.29＋0.35＝0.64.(2)由于A，AB型血不能输给B型血的人，因此“不能输血给B型血的人”为事件A′＋C′，所以P(A′＋C′)＝P(A′)＋P(C′)＝0.28＋0.08＝0.36.[学习目标] 1.初步体会模拟方法在概率方面的应用.2.理解几何概型的定义及其特点，会用公式计算简单的几何概型问题.3.了解古典概型与几何概型的区别与联系．知识点一 几何概型的含义1．几何概型的定义向平面上有限区域(集合)G 内随机地投掷点M ，若点M 落在子区域G 1 G 的概率与G 1的面积成正比，而与G 的形状、位置无关，即P (点M 落在G 1)＝G 1的面积G 的面积，则称这种模型为几何概型．2．几何概型的特点(1)试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个． (2)每个基本事件出现的可能性相等． 思考 几何概型与古典概型有何区别？ 答 几何概型与古典概型的异同点P (A )＝构成事件A 的区域长度(面积或体积)试验的全部结果所构成的区域长度(面积或体积).思考 计算几何概型的概率时，首先考虑的应该是什么？ 答 首先考虑取点的区域，即要计算的区域的几何度量．题型一 与长度有关的几何概型例1 取一根长为3 m 的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段的长都不小于1 m 的概率有多大？解 如图，记“剪得两段的长都不小于1 m ”为事件A .把绳子三等分，于是当剪断位置处在中间一段时，事件A 发生，因为中间一段的长度为1 m ，所以事件A 发生的概率为P (A )＝13.反思与感悟 在求解与长度有关的几何概型时，首先找到试验的全部结果构成的区域D ，这时区域D 可能是一条线段或几条线段或曲线段，然后找到事件A 发生对应的区域d ，在找区域d 的过程中，确定边界点是问题的关键，但边界点是否取到却不影响事件A 的概率． 跟踪训练1 平面上画了一组彼此平行且相距2a 的平行线．把一枚半径r ＜a 的硬币任意投掷在平行线之间，求硬币不与任一条平行线相碰的概率．解 设“硬币不与任一条平行线相碰”为事件A .如图，在两条相邻平行线间画出与平行线间距为r 的两条平行虚线，则当硬币中心落在两条虚线间时，与平行线不相碰．故P (A )＝虚线间距离平行线间距离＝2a －2r 2a ＝a －ra .题型二 与面积有关的几何概型例2 如图，射箭比赛的箭靶中有五个涂有不同颜色的圆环，从外向内分别为白色、黑色、蓝色、红色，靶心是金色，金色靶心叫“黄心”．奥运会的比赛靶面直径为122 cm ，靶心直径为12.2 cm ，运动员在一定距离外射箭，假设每箭都能中靶，且射中靶面内任意一点是等可能的，那么射中黄心的概率为多少？解 记“射中黄心”为事件B .因为中靶点随机地落在面积为⎝⎛⎭⎫14×π×1222cm 2的大圆内，而当中靶点落在面积为⎝⎛⎭⎫14×π×12.22cm 2的黄心内时，事件B 发生，所以事件B 发生的概率P (B )＝14×π×12.2214×π×1222＝0.01.反思与感悟 解此类几何概型问题的关键：(1)根据题意确定是不是与面积有关的几何概型问题．(2)找出或构造出随机事件对应的几何图形，利用图形的几何特征计算相关面积，套用公式从而求得随机事件的概率．跟踪训练2 一只海豚在水池中自由游弋，水池为长30 m ，宽20 m 的长方形，求此刻海豚嘴尖离岸边不超过2 m 的概率．解 如图所示，区域Ω是长30 m 、宽20 m 的长方形．图中阴影部分表示事件A ：“海豚嘴尖离岸边不超过2 m ”，问题可以理解为求海豚嘴尖出现在图中阴影部分的概率．由于区域Ω的面积为30×20＝600(m 2)，阴影部分的面积为30×20－26×16＝184(m 2)． 所以P (A )＝184600＝2375≈0.31.即海豚嘴尖离岸边不超过2 m 的概率约为0.31. 题型三 与体积有关的几何概型例3 已知正三棱锥S －ABC 的底面边长为a ，高为h ，在正三棱锥内取点M ，试求点M 到底面的距离小于h2的概率．解 如图，分别在SA ，SB ，SC 上取点A 1，B 1，C 1，使A 1，B 1，C 1分别为SA ，SB ，SC 的中点，则当点M 位于平面ABC 和平面A 1B 1C 1之间时，点M 到底面的距离小于h2.设△ABC 的面积为S ，由△ABC ∽△A 1B 1C 1，且相似比为2，得△A 1B 1C 1的面积为S4.由题意，知区域D (三棱锥S －ABC )的体积为13Sh ，区域d (三棱台ABC －A 1B 1C 1)的体积为13Sh －13·S 4·h 2＝13Sh ·78.所以点M 到底面的距离小于h 2的概率P ＝78.反思与感悟 如果试验的全部结果所构成的区域可用体积来度量，我们要结合问题的背景，选择好观察角度，准确找出基本事件所占的区域体积及事件A 所占的区域体积．其概率的计算公式为P (A )＝构成事件A 的区域体积试验的全部结果构成的区域体积.跟踪训练3 一只小蜜蜂在一个棱长为3的正方体内自由飞行，若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体6个面的距离均大于1，称其为“安全飞行”，求蜜蜂“安全飞行”的概率． 解 依题意，在棱长为3的正方体内任意取一点，这个点到各面的距离均大于1.则满足题意的点区域为：位于该正方体中心的一个棱长为1的小正方体．由几何概型的概率公式，可得满足题意的概率为P ＝1333＝127.题型四 与角度有关的几何概型例4 如图，在平面直角坐标系内，射线OT 落在60°角的终边上，任作一条射线OA ，求射线OA 落在∠xOT 内的概率．解 以O 为起点作射线OA 是随机的，因而射线OA 落在任何位置都是等可能的，落在∠xOT 内的概率只与∠xOT 的大小有关，符合几何概型的条件． 于是，记事件B ＝{射线OA 落在∠xOT 内}． 因为∠xOT ＝60°，所以P (B )＝60°360°＝16.反思与感悟 当涉及射线的运动，扇形中有关落点区域问题时，常以角的大小作为区域度量来计算概率，切不可用线段代替，这是两种不同的度量手段．跟踪训练4 如图，在等腰直角三角形ABC 中，过直角顶点C 在∠ACB 内部作一条射线CM ，与线段AB 交于点M .求AM ＜AC 的概率．解 因为CM 是∠ACB 内部的任意一条射线，而总的基本事件是∠ACB 的大小，即为90°， 所以作AC ′＝AC ，且∠ACC ′＝180°－45°2＝67.5°.如图，当CM 在∠ACC ′内部的任意一个位置时，皆有AM ＜AC ′＝AC ，即P (AM ＜AC )＝67.5°90°＝34.转化与化归思想例5 把长度为a 的木棒任意折成三段，求它们可以构成一个三角形的概率．分析 将长度为a 的木棒任意折成三段，要能够构成三角形必须满足“两边之和大于第三边”这个条件，进而求解即可．解 设将长度为a 的木棒任意折成三段的长分别为x ，y ，a －x －y ，则(x ，y )满足的条件为⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤a ，0≤y ≤a ，0≤x ＋y ≤a ，它所构成的区域为图中的△AOB .设事件M ＝{能构成一个三角形}， 则当(x ，y )满足下列条件时，事件M 发生．⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＞a －x －y ，x ＋a －x －y ＞y ，y ＋a －x －y ＞x ，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＞a 2，y ＜a2，x ＜a 2，它所构成的区域为图中的阴影部分， 故P (M )＝S 阴影S △AOB ＝12×⎝⎛⎭⎫a 2212×a 2＝14.故满足条件的概率为14.解后反思 解决本题的关键是将之转化为与面积有关的几何概型问题．一般地，有一个变量可以转化为与长度有关的几何概型，有两个变量可以转化为与面积有关的几何概型，有三个变量可以转化为与体积有关的几何概型.1．在区间[0,3]上任取一个数，则此数不大于2的概率是( ) A.13 B.12 C.23 D.79答案 C解析 此数不大于2的概率P ＝区间[0，2]的长度区间[0，3]的长度＝23.2．在半径为2的球O 内任取一点P ，则|OP |＞1的概率为( ) A.78 B.56 C.34 D.12 答案 A解析 问题相当于在以O 为球心，1为半径的球外，且在以O 为球心，2为半径的球内任取一点，所以P ＝43π×23－43π×1343π×23＝78.3．如图，边长为2的正方形中有一封闭曲线围成的阴影区域．在正方形中随机撒一粒豆子，它落在阴影区域内的概率是13，则阴影区域的面积是( )A.13B.23C.43 D ．无法计算答案 C解析 在正方形中随机撒一粒豆子，其结果有无限个，属于几何概型．设“落在阴影区域内”为事件A ，则事件A 构成的区域是阴影部分．设阴影区域的面积为S ，全部结果构成的区域面积是正方形的面积，则有P (A )＝S 22＝S 4＝13，解得S ＝43.4．当你到一个红绿灯路口时，红灯的时间为30秒，黄灯的时间为5秒，绿灯的时间为45秒，那么你看到黄灯的概率是( ) A.112 B.38 C.116 D.56 答案 C解析 由题意可知，在80秒内路口的红、黄、绿灯是随机出现的，可以认为是无限次等可能出现的，符合几何概型的条件．事件“看到黄灯”的时间长度为5秒，而整个灯的变换时间长度为80秒，据几何概型概率计算公式，得看到黄灯的概率为P ＝580＝116.5．在1 000 mL 水中有一个草履虫，现从中随机取出3 mL 水样放到显微镜下观察，则发现草履虫的概率是________． 答案31 000解析 由几何概型知，P ＝31 000.1.几何概型适用于试验结果是无穷多且事件是等可能发生的概率模型． 2．几何概型主要用于解决与长度、面积、体积有关的题目．3．注意理解几何概型与古典概型的区别．4．理解如何将实际问题转化为几何概型的问题，利用几何概型公式求解，概率公式为P(A)＝构成事件A的区域长度(面积或体积)试验的全部结果所构成的区域长度(面积或体积).。

高中数学知识点：事件间的关系
(1)互斥事件：不能同时发生的两个事件叫做互斥事件；
(2)对立事件：不能同时发生，但必有一个发生的两个事件叫做对立事件；
(3)包含：事件A发生时事件B一定发生，称事件A包含于事件B(或事件B包含事件A)；
要点诠释：
从集合角度理解互斥事件为两事件交集为空，对立事件为两事件互补.
若两事件A与B对立，则A与B必为互斥事件，而若事件A与B 互斥，则不一定是对立事件.
“对立”只能是两个事件之间的关系，不会出现多个事件之间相互“对立”.
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辨析互斥事件与对立事件作者：万青来源：《高中生学习·高二版》2015年第11期日常生活中，经常会遇到一些无法事先预测结果的随机事件，事件与事件的关系是研究概率的基础，而互斥事件与对立事件是事件的关系中两个易混淆的概念，同学们在学习过程中一定要正确理解. 这样才能夯实基础，有条理地思考，从而准确地分析问题，解决问题.互斥事件和对立事件都是对两个事件而言的，它们既有区别又有联系.在一次试验中，两个互斥的事件有可能都不发生，也可能有一个发生，而两个对立事件则必有一个发生，但不可能同时发生. 从集合的角度看：几个事件彼此互斥，是指由各个事件所含的结果组成的集合彼此交集是空集，而事件A的对应事件[A]包含的结果组成的集合，是全集中由事件A所包含的结果组成的集合的补集. 下面通过实例对这两个概念进行辨析：例1 ;在掷一枚骰子的试验中，可以定义许多事件：C1={出现1点};C2={出现2点};C3={出现3点};C4={出现4点};C5={出现5点};C6={出现6点};D1={出现的点数不大于1};D2={出现的点数大于6};D3={出现的点数小于5};E={出现的点数小于7};F={出现的点数大于6};G={出现的点数为偶数};H={出现点数为奇数}…（1）判断下列各对事件是否是互斥事件，并说明理由.①事件C1与事件C2②事件C1与事件D3③事件E与事件F分析 ;判断两个事件是否为互斥事件就是考查它们能否同时发生，如果不能同时发生则是互斥事件，反之就不是互斥事件.解 ;①是互斥事件. 因为掷一枚骰子每次只能出现一个数，出现1点就不可能同时出现2点，所以是一对互斥事件.②不可能是互斥事件. 因为“出现的点数小于5”包含“出现1点”，所以事件C1与事件D3可同时发生.③是互斥事件. 因为事件E为必然事件，它一定会发生的，而事件F为不可能事件，它一定不会发生的，即二者不可能同时发生，用集合的观点分析：事件E为全集，事件F为空集，二者的交集是空集，即不可能同时发生.点拨 ;互斥事件是概率知识中的重要概念，可以从两个方面来说明：用定义看是否同时发生;类比集合的运算，看交集是否为空集，若为空集，则两事件是互斥的.如果事件A1，A2…An中的任何两个都是互斥事件，则称事件A1，A2…An彼此互斥，如题目中的C1，C2…C6是彼此互斥的，反映在集合上，表现为由各个事件所含的结果组成的集合彼此交集为空集.（2）判断下列各对事件是否构成对立事件？①事件G与事件H ②事件E与事件F分析 ;判断两事件是否构成对立事件，关键看两事件所含结果组成的集合是否互为补集，若是互为补集则两事件是对立事件.解 ;①因为骰子的出现的点数不是奇数就是偶数，“出现的点数为偶数”所组成的集合的补集就是“出现的点数为奇数”所组成的集合.所以事件G与事件H构成对立事件.②因为在集合中，全集的补集为空集.事件E所含结果构成的集合是全集，而事件F所含结果构成的集合是空集，所以二者也是对立事件.点拨 ;对立事件是概率中又一个重要概念，要正确理解，就要清楚对立事件是对两个事件而言的，这两个事件中必须有一个发生而另一个不发生. 从集合角度看，由事件A所含结果组成的集合，是全集中事件A所含结果组成的集合的补集.（3）判断下列给出的每对事件，是否为互斥事件，是否为对立事件，并说明理由.①事件F与事件G ②事件G与事件H解 ;①是互斥事件，不是对立事件.因为事件F是不可能事件，它与事件G不可能同时发生，所以二者是互斥事件，同时不能保证其中必有一个发生这是由于骰子还可能出现的点数为奇数，因此，二者不是对立事件.②既是互斥事件，又是对立事件. 因为骰子出现的点数不是奇数就是偶数，只能出现一个数，所以这两个事件不可能同时发生，但其中必有一个发生.点拨 ;互斥事件和对立事件都是就两个事件而言的，互斥事件是不可能同时发生的两个事件，而对立事件是在互斥事件基础上，其中必有一个发生的互斥事件，即对立事件是特殊的互斥事件. 因此对立事件必是互斥事件，但互斥事件不一定是对立事件，也就是说互斥事件是对立事件的必要但不充分条件.例2 ;某射手射击一次，射中10环，9环，8环，7环的概率分别为0.12，0.32，0.27，0.11. 若这名射手射击一次，求：（1）射中9环或8环的概率;（2）至少射中7环的概率.解设射手射击一次射中10环，9环，8环，7环分别记为事件A，B，C，D.它们是彼此互斥的，其概率分别为P（A）=0.12，P（B）=0.32，P（C）=0.27，P（D）=0.11.（1）射中9环或8环为事件B∪C，则P（B∪C）=P（B）+P（C）=0.32+0.27=0.59.故射中9环或8环的概率为0.59.（2）至少射中7环为事件A∪B∪C∪D，则P（A∪B∪C∪D）=P（A）+P（B）+P（C）+P（D）=0.82.故至少射中7环的概率为0.82.点拨 ;本题是概率计算题中的典型题型，需要辨清事件之间的关系，从而选择正确的概率计算公式.例3 ;甲、乙两人下棋，乙不输的概率是0.7，下成和棋的概率为0.5，分别求出甲、乙获胜的概率.分析 ;记甲胜为事件A，乙胜为事件B，和棋为事件C，故事件A，B，C彼此互斥，乙不输为事件B∪C.解法一 ;甲、乙两人下棋，结果只有三种：甲胜、和棋、乙胜，彼此都是互斥的. 其中乙不输为互斥事件“乙胜”与“和棋”的并集，从而可以求出乙胜的概率，并可以求出甲胜的概率.P（B）=P（B∪C）-P（C），又根据题意有P（B∪C）=0.7，P（C）=0.5，故P（B）=0.7-0.5=0.2，P（A）=1-P（B∪C）=1-0.7=0.3.所以甲、乙获胜的概率分别为0.3，0.2.解法二 ;乙不输与甲获胜为对立事件，故可直接求出甲获胜的概率，从而求出乙获胜的概率.乙不输与甲获胜是对立事件，故P（A）=1-0.7=0.3，又结果只有三种：甲胜、和棋、乙胜，且彼此互斥. 故P（B）=1-P（A）-P（C）=1-0.3-0.5=0.2，所以甲、乙获胜的概率分别为0.3，0.2.总结 ;解答此类问题的关键，在于判断两事件是互斥事件还是对立事件，也就是牢记“在一次试验中，两个互斥的事件有可能都不发生，也可能有一个发生，而两个对立事件则必有一个发生，但不可能同时发生”. 只要我们正确理解了二者的概念，抓住了本质，再根据已经判断出的情况，开展后续计算求解，那么这类问题也就迎刃而解了.[练习]1.一个人打靶时连续射击两次，事件“至少有一次中靶”的互斥事件是（ ; ）A.至多一次中靶B.两次都中靶C.只有一次中靶D.两次都不中靶2.若P（AUB）=P（A）+P（B）=1，则事件A与B的关系是（ ; ）A.互斥不对立B.对立不互斥C.互斥且对立D.以上答案都不对3.从扑克牌40张（红、黑、方、梅点数从1到10各10张）中，任取一张.判断下列给出的每对事件，是否为互斥事件，是否为对立事件，并说明理由.（1）“抽出红桃”与“抽出黑桃”;（2）“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”;（3）“抽出的牌点数为5的位数”与“抽的牌点数大于9”.[参考答案]1.D ;2.D3.（1）是互斥事件，不是对立事件;（2）既是互斥事件，又是对立事件;（3）不是互斥事件，更不可能是对立事件.。

辨析 “四类”常见概率事件的区别与联系从近几年的高考试题看，每年都有关于概率的解答题，这说明高考对这部分知识是非常重视的，由于概率内容新概念较多，相近概念又容易混淆，本文对等可能事件、互斥事件、对立事件、相互独立事件的意义及事件间的关系加以探讨.一、“等可能”和“非等可能”等可能事件要求,在一次实验中可能出现的结果有若干个,而且所有结果出现的可能性都相等.例1在两个袋内,分别写着装有0,1,2,3,4,5六个数字的6张卡片,今从每个袋中各取一张卡片,求两数之和等于7的概率.【剖析】从每个袋中各取一张卡片出现的数字之和0,1,2,3,…10共11个数,认为事件总数是11,所以概率为P=111.事实上,以上11种基本事件不是等可能的,如：0=0+0一种情况,1=0+1或1=1+0两种情况, 其实,从每个袋中各取一张卡片,组成36种有序卡片对,其中和为7的卡片对为(2,5),(3,4),(4,3),(5,2)四种,所以41369P ==. 【解】从每个袋中各取一张卡片,组成26种有序卡片对,其中和为7的卡片对为(2,5),(3,4),(4,3),(5,2)四种,所以41369P ==. 例2甲、乙两个参加普法知识竟答,共有10个不同的题目,其中选择题6个,判断题4个,甲、乙两人依次各抽一题.(1) 甲抽到选择题、乙抽到判断题的概率是多少?(2) 甲、乙两人中至少有一人抽到选择题的概率是多少?【剖析】(1)求错事件总数.有的同学认为事件总数是111010C C ,其实,每个题被抽取的机会均等,题目不重复抽取, 事件总数应为11109C C .甲抽到选择题、乙抽到判断题应为1164C C .(3) 甲、乙两人中至少有一人抽到选择题,应分为恰好一人抽到选择题共有11114664C C C C +,两人都抽选择题,共有1165C C .有的同学不分类,或求错,导致错解. 【解】(1)甲从选择题中抽到一题的等可能结果有16C 个,乙依次从判断中抽到一题的等可能结果有14C 个,故甲抽到选择题、乙抽到判断题的等可能结果有1164C C 个；又甲、乙两人依次各抽一题的等可能结果有11109C C 个,所求概率为：116411109415C C C C =. (2) 甲、乙两人依次都抽到判断题的概率是114311109C C C C ,故甲、乙两人中至少有一人抽到选择题的概率是1－114311109C C C C 1315=. 评注：使用公式()m P A n=计算时,关键在于求出n 、m.在求n 时,必须注意这n 种结果是等可能的,做到不重复不遗漏.二、“互斥”和“对立”两个事件对立,必定互斥,但互斥未必对立；互斥的概念适用于多个事件,但对立概念只适用于两个事件；两个事件互斥只表明这两个事件不同时发生,即至多只能发生其中一个,但可以都不发生；而两个事件对立则表示它们有且仅有一个发生.例3 判断下列每对事件是否为互斥事件？是否为对立事件？从一副扑克牌（52张）中，任意的抽取一张，（1）“抽出红桃”与“抽出黑桃”；（2）“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”；（3）“抽出的牌点数为3的倍数”与“抽出的牌点数大于7”。

ʏ程红在事件的关系和运算中,互斥事件与对立事件是事件的两种重要基本关系,是进行概率运算的基础㊂对这两种事件,要深刻理解与正确区分,并在此基础上加以熟练应用㊂一㊁互斥事件与对立事件的区别与联系1.从概念和公式的角度看互斥事件与对立事件的区别与联系㊂(1)不可能同时发生的两个事件叫作互斥事件,如果事件A,B互斥,那么P(A+B) =P(A)+P(B)㊂(2)必有一个发生的互斥事件叫作对立事件,事件A的对立事件通常记作A,且满足P(A)+P(A)=P(A+A)=1㊂2.从发生的角度看互斥事件与对立事件的区别与联系㊂(1)在一次试验中,两个互斥事件有可能都不发生,也可能只有一个发生㊂(2)两个对立的事件,必有一个发生,但不可能同时发生㊂(3)两个事件对立,必定互斥,但互斥未必对立㊂对立事件是互斥事件的一个特例,两个互斥事件不一定是对立事件,而两个对立事件必为互斥事件㊂3.从个数的角度看互斥事件与对立事件的区别与联系㊂互斥的概念适用于多个事件,但对立的概念只适用于两个事件㊂4.从集合的角度看互斥事件与对立事件的区别与联系㊂(1)几个事件彼此互斥,是指由各个事件所含的结果组成的集合的交集是空集㊂(2)事件A的对立事件A所包含的结果组成的集合,是全集中由事件A所包含的结果组成的集合的补集㊂5.从应用的角度看互斥事件与对立事件的区别与联系㊂(1)互斥事件可以解决的问题比较广,一般只要满足AɘB=⌀,就可以用互斥事件的性质加以解决㊂(2)对立事件解决的问题主要有两类:一是事件含有否定意义或含有 至多 至少 等用语的问题;二是直接求解比较复杂或根本无法求解的问题㊂二㊁互斥事件与对立事件的应用1.事件的概念问题㊂例1一个不透明的袋中装入4个白球与4个黑球,从中任意摸出3个球㊂(1)可能发生哪些事件?(2)指出其中每个事件的互斥事件㊂(3)事件 至少摸出1个白球 是哪几个事件的和事件它的对立事件是哪个事件?分析:先列举出所有的事件,再根据各事件的相互关系加以分析与判断㊂(1)以白球或黑球的个数作为讨论标准,可能发生下列四个事件㊂①摸出3个白球,记为事件A;②摸出2个白球,1个黑球,记为事件B;③摸出1个白球,2个黑球,记为事件C;④摸出3个黑球,记为事件D㊂(2)事件A,B,C,D彼此互斥㊂(3) 至少摸出1个白球 的事件为A, B,C的和事件,即 至少摸出1个白球 的对立事件是事件D㊂解答这类问题,必须弄清对立事件与互斥事件的联系与区别㊂具体解题时,可把所有的事件一一列举出来,再结合互斥事件与对立事件的概念加以分析与判断㊂0 1知识结构与拓展高一数学2023年5月Copyright©博看网. All Rights Reserved.2.事件的判断问题㊂例2 从装有2个红球和2个白球的口袋内任取2个球,那么互斥而不对立的两个事件是( )㊂A.至少有1个白球,都是白球B .至少有1个白球,至少有1个红球C .恰有1个白球,恰有2个白球D .至少有1个白球,都是红球分析:从集合角度看,事件A ,B 互斥,就是它们对应集合的交集是空集;事件A ,B 对立,就是事件A 包含结果的集合是其对立事件B 包含结果的补集㊂事件 从装有2个红球和2个白球的口袋内任取2个球 的所有可能结果为事件 恰有2个红球 ,事件恰有1个红球1个白球 和事件 恰有2个白球 ,共3种情况㊂由上可得,选项A ,B 都不互斥,当然也不对立;选项C 互斥而不对立,选项D 不但互斥而且对立㊂应选C㊂解答这类问题,必须弄清对立事件与互斥事件的联系与区别㊂解题时,可把所有的事件列举出来,再结合互斥事件与对立事件的概念进行判断㊂3.事件的应用问题㊂例3 某商场有奖销售中,购满100元商品得1张奖券,多购多得,每1000张奖券为一个开奖单位㊂设特等奖1个,一等奖10个,二等奖50个㊂设1张奖券中特等奖㊁一等奖㊁二等奖的事件分别为A ㊁B ㊁C ㊂(1)求P (A ),P (B ),P (C )㊂(2)求1张奖券的中奖概率㊂(3)求1张奖券不中特等奖或一等奖的概率㊂分析:先根据等可能事件的概率确定对应事件的概率,进而通过互斥事件把 1张奖券中奖 进行转化,并结合对立事件与互斥事件来分析 1张奖券不中特等奖或一等奖 的情况㊂(1)由等可能事件的概率可得,P (A )=11000=0.001,P (B )=101000=0.01,P (C )=501000=0.05㊂(2) 1张奖券中奖是指1张奖券中特等奖,或一等奖,或二等奖,即为事件A +B +C ㊂由于事件A ,B ,C 是互斥事件,所以P (A +B +C )=P (A )+P (B )+P (C )=0.001+0.01+0.05=0.061㊂(3)1张奖券不中特等奖或一等奖是指事件A +B ㊂由于事件A +B 与A +B 是对立事件,所以P (A +B )=1-P (A +B )=1-P (A )-P (B )=1-0.001-0.01=0.989㊂概率加法公式应注意两点:一是所求事件是几个事件的和,二是这几个事件是互斥的㊂在求含有否定意义的事件的概率时,考虑对立事件往往是比较有效的方法㊂编者的话:互斥事件的判断要看是否 不能同时发生 ,对立事件的判断要看是否 既不同时发生,又必然有一个发生 ,同时注意发生与否都是对于同一次试验,不能在多次试验中进行判断㊂解答这类问题时,合理应用对立事件,可简化运算㊂围棋盒子中有多粒黑子和白子,已知从中取出2粒都是黑子的概率为17,从中取出2粒都是白子的概率是1235,则从中任意取出2粒恰好是同一色的概率是( )㊂A.17 B .1235 C .1735D .1提示:设 从中取出2粒都是黑子 为事件A ,从中取出2粒都是白子 为事件B , 任意取出2粒恰好是同一色 为事件C ,则C =A ɣB ,且事件A 与事件B 互斥㊂所以P (C )=P (A )+P (B )=17+1235=1735,即任意取出2粒恰好是同一色的概率为1735㊂应选C㊂作者单位:江苏省姜堰第二中学(责任编辑 郭正华)11知识结构与拓展高一数学 2023年5月Copyright ©博看网. All Rights Reserved.。

互斥的条件包括以下几种：
1. 互斥事件：两个事件不能同时发生，即P(A+B)=P(A)+P(B)。

2. 互斥事件不一定是对立事件，对立事件必然是互斥事件。

3. 如果事件A与B为互斥事件，那么其中任何一个事件的发生都会阻止另一个事件的发生。

4. 如果事件A与B为互斥事件，那么它们不会同时发生，但其中有一个发生必然导致另一个不发生。

5. 互斥事件的概率加法公式：如果A与B为互斥事件，那么P(A+B)=P(A)+P(B)，即两个互斥事件概率的和等于它们概率的直接相加。

6. 如果两个事件A和B不能同时发生，并且A发生时B一定不发生，则称事件A和B是互斥的。

7. 如果两个事件A和B不能同时发生，并且A发生时B一定不发生，则称事件A和B是相互排斥的。

8. 如果两个事件A和B不能同时发生，并且A发生时B一定不发生，则称事件A和B是相互排斥的。

9. 如果两个事件A和B不能同时发生，并且A发生时B一定不发生，则称事件A和B是相互排斥的。

10. 互斥条件：一个资源每次只能被一个进程使用，即在一段时间内某资源仅为一个进程所占有。

此时若有其他进程请求该资源，则请求者只能等待，直至占有资源的进程用毕释放。

11. 请求和保持条件：进程已经保持至少一个资源，但又提出了新的资源请求，而该资源已被其它进程占有，此时请求进程阻塞，但又对自己已获得的其它资源保持不放。

12. 不剥夺条件：进程已获得的资源在未使用完之前，不能被剥夺，只能在使用完时由自己释放。

13. 循环等待条件：若干进程间形成首尾相接循环等待资源的关系。

以上是互斥的条件，供您参考。