对立事件与互斥事件习题讲课

章末复习课一、互斥事件与对立事件1．互斥事件是不可能同时发生的两个事件；对立事件除要求这两个事件不同时发生外，还要求二者必须有一个发生．因此对立事件一定是互斥事件，但互斥事件不一定是对立事件，对立事件是互斥事件的特殊情况．2．掌握互斥事件和对立事件的概率公式及应用，提升逻辑推理和数学运算素养．例1根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为0.5，购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为0.3.(1)求该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种的概率；(2)求该地1位车主甲、乙两种保险都不购买的概率．解记A表示事件：该车主购买甲种保险；B表示事件：该车主购买乙种保险但不购买甲种保险；C表示事件：该车主至少购买甲、乙两种保险中的1种；D表示事件：该车主甲、乙两种保险都不购买．(1)由题意得P(A)＝0.5，P(B)＝0.3，又C＝A∪B，所以P(C)＝P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝0.5＋0.3＝0.8.(2)因为D与C是对立事件，所以P(D)＝1－P(C)＝1－0.8＝0.2.反思感悟求复杂事件的概率常用的两种方法(1)将所求事件转化成彼此互斥的事件的和．(2)先求其对立事件的概率，然后再应用公式P(A)＝1－P(A)求解．跟踪训练1 (多选)从1,2,3，…，7这7个数中任取两个数，其中不是对立事件的是( ) A ．恰有一个是偶数和恰有一个是奇数 B ．至少有一个是奇数和两个都是奇数 C ．至少有一个是奇数和两个都是偶数 D ．至少有一个是奇数和至少有一个是偶数 答案 ABD解析 C 中“至少有一个是奇数”，即“两个奇数或一奇一偶”，而从1～7中任取两个数，根据取到数的奇偶性可认为共有三个事件：“两个都是奇数”、“一奇一偶”、“两个都是偶数”，故“至少有一个是奇数”与“两个都是偶数”是对立事件，易知其余都不是对立事件． 二、古典概型1．古典概型是一种最基本的概率模型，是学习其他概率模型的基础，解题时要紧紧抓住古典概型的两个基本特征，即有限性和等可能性．在应用公式P (A )＝mn 时，关键在于正确理解试验的发生过程，求出试验的样本空间的样本点总数n 和事件A 的样本点个数m . 2．掌握古典概型的概率公式及其应用，提升数学抽象、数据分析的数学素养． 例2 甲、乙两校各有3名教师报名支教，其中甲校2男1女，乙校1男2女． (1)若从甲校和乙校报名的教师中各任选1名，求选出的2名教师性别相同的概率； (2)若从报名的6名教师中任选2名，求选出的2名教师来自同一学校的概率．解 (1)从甲校和乙校报名的教师中各任选1名，所有可能的结果为(甲男1，乙男)、(甲男2，乙男)、(甲男1，乙女1)、(甲男1，乙女2)、(甲男2，乙女1)、(甲男2，乙女2)、(甲女，乙女1)、(甲女，乙女2)、(甲女，乙男)，共9种；选出的2名教师性别相同的结果有(甲男1，乙男)、(甲男2，乙男)、(甲女，乙女1)、(甲女，乙女2)，共4种，所以选出的2名教师性别相同的概率为49.(2)从报名的6名教师中任选2名，所有可能的结果为(甲男1，乙男)、(甲男2，乙男)、(甲男1，乙女1)、(甲男1，乙女2)、(甲男2，乙女1)、(甲男2，乙女2)、(甲女，乙女1)、(甲女，乙女2)、(甲女，乙男)、(甲男1，甲男2)、(甲男1，甲女)、(甲男2，甲女)、(乙男，乙女1)、(乙男，乙女2)、(乙女1，乙女2)，共15种；选出的2名教师来自同一学校的所有可能的结果为(甲男1，甲男2)、(甲男1，甲女)、(甲男2，甲女)、(乙男，乙女1)、(乙男，乙女2)、(乙女1，乙女2)，共6种，所以选出的2名教师来自同一学校的概率为615＝25.反思感悟 古典概型概率计算问题的关注点 (1)判断：该试验类型是否为古典概型问题．(2)关键：写出样本空间所包含的样本点及所求事件所包含的样本点． (3)注意：①弄清“放回”抽取还是“不放回”抽取； ②灵活运用互斥事件、对立事件的概率公式．跟踪训练2 某中学调查了某班全部45名同学参加书法社团和演讲社团的情况，数据如下表：(单位：人)(1)从该班随机选1名同学，求该同学至少参加上述一个社团的概率；(2)在既参加书法社团又参加演讲社团的8名同学中，有5名男同学A 1，A 2，A 3，A 4，A 5,3名女同学B 1，B 2，B 3.现从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人，求A 1被选中且B 1未被选中的概率．解 (1)由调查数据可知，既未参加书法社团又未参加演讲社团的有30人， 故至少参加上述一个社团的共有45－30＝15(人)，所以从该班随机选1名同学，该同学至少参加上述一个社团的概率为P ＝1545＝13.(2)从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人，其一切可能的结果组成的样本空间Ω＝{A 1B 1，A 1B 2，A 1B 3，A 2B 1，A 2B 2，A 2B 3，A 3B 1，A 3B 2，A 3B 3，A 4B 1，A 4B 2，A 4B 3，A 5B 1，A 5B 2，A 5B 3}，共含15个样本点．根据题意这些样本点出现的可能性相等．事件“A 1被选中且B 1未被选中”所包含的样本点有A 1B 2，A 1B 3，共2个． 所以其概率为P ＝215.三、相互独立事件1．相互独立事件的概率通常和互斥事件的概率综合在一起考查，这类问题具有一个明显的特征，那就是在题目的条件中已经出现一些概率值，解题时先要判断事件的性质(是互斥还是相互独立)，再选择相应的公式计算求解．2．掌握相互独立事件的概率公式的应用，提升数学抽象和逻辑推理的数学素养．例3某项选拔共有四轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答者进入下一轮考核，否则即被淘汰．已知某选手能正确回答第一、二、三、四轮的问题的概率分别为0.6,0.4,0.5,0.2.已知各轮问题能否正确回答互不影响．(1)求该选手被淘汰的概率；(2)求该选手在选拔中至少回答了2个问题后最终被淘汰的概率．解设“该选手能正确回答第i轮的问题”为事件A i(i＝1,2,3,4)，则P(A1)＝0.6，P(A2)＝0.4，P(A3)＝0.5，P(A4)＝0.2.(1)方法一该选手被淘汰的概率为P＝P(A1∪A1A2∪A1A2A3∪A1A2A3A4)＝P(A1)＋P(A1)P(A2)＋P(A1)P(A2)P(A3)＋P(A1)P(A2)·P(A3)P(A4)＝0.4＋0.6×0.6＋0.6×0.4×0.5＋0.6×0.4×0.5×0.8＝0.976.方法二P＝1－P(A1A2A3A4)＝1－P(A1)P(A2)·P(A3)P(A4)＝1－0.6×0.4×0.5×0.2＝1－0.024 ＝0.976.(2)方法一所求概率P＝P(A1A2∪A1A2A3∪A1A2A3A4)＝P(A1)P(A2)＋P(A1)P(A2)P(A3)＋P(A1)P(A2)P(A3)·P(A4)＝0.6×0.6＋0.6×0.4×0.5＋0.6×0.4×0.5×0.8＝0.576.方法二所求概率P＝1－P(A1)－P(A1A2A3A4)＝1－(1－0.6)－0.6×0.4×0.5×0.2＝0.576.反思感悟利用相互独立事件求复杂事件概率的解题思路(1)将待求复杂事件转化为几个彼此互斥的简单事件的和．(2)将彼此互斥的简单事件中的简单事件，转化为几个已知(易求)概率的相互独立事件的积事件．(3)代入概率的积、和公式求解．跟踪训练3设每个工作日甲、乙、丙、丁4人需使用某种设备的概率分别为0.6,0.5,0.5,0.4，各人是否需使用设备相互独立，则同一工作日至少3人需使用设备的概率为()A．0.25 B．0.30 C．0.31 D．0.35答案 C解析设甲、乙、丙、丁需使用设备分别为事件A，B，C，D，则P(A)＝0.6，P(B)＝0.5，P(C)＝0.5，P(D)＝0.4，所以同一工作日至少3人需使用设备的概率为P(ABC D＋AB C D＋A B CD＋A BCD＋ABCD)＝0.6×0.5×0.5×0.6＋0.6×0.5×0.5×0.4＋0.6×0.5×0.5×0.4＋0.4×0.5×0.5×0.4＋0.6×0.5×0.5×0.4＝0.31.四、频率与概率1．概率是随机事件发生可能性大小的度量，是随机事件A 的本质属性，随机事件A 发生的概率是大量重复试验中事件A 发生的频率的近似值．2．掌握频率与概率的关系，在具体的问题中会用频率估计概率，进一步提升数据分析与数学运算的核心素养．例4 某险种的基本保费为a (单位：元)，继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：随机调查了该险种的200名续保人在一年内的出险情况，得到如下统计表：(1)记A 为事件“一续保人本年度的保费不高于基本保费”．求P (A )的估计值；(2)记B 为事件“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160%”．求P (B )的估计值；(3)求续保人本年度平均保费的估计值．解 (1)事件A 发生当且仅当一年内出险次数小于2. 由所给数据知，一年内出险次数小于2的频率为 60＋50200＝0.55，故P (A )的估计值为0.55. (2)事件B 发生当且仅当一年内出险次数大于1且小于4.由所给数据知，一年内出险次数大于1且小于4的频率为30＋30200＝0.3，故P (B )的估计值为0.3.(3)由所给数据得调查的200名续保人的平均保费为0．85a ×0.30＋a ×0.25＋1.25a ×0.15＋1.5a ×0.15＋1.75a ×0.10＋2a ×0.05＝1.192 5a .因此，续保人本年度平均保费的估计值为1.192 5a . 反思感悟 频率与概率问题的关注点(1)依据概率的定义，可以用事件发生的频率去估计概率．(2)频率的计算公式为频率＝mn，其中m 是事件出现的频数，n 为重复试验次数．跟踪训练4 为了为奥运会做准备，某射击运动员在相同条件下进行射击训练，结果如下表：射击次数n 10 20 50 100 200 500 击中靶心次数m 8 19 44 92 178 455 击中靶心的频率0.80.950.880.920.890.91(1)该射击运动员射击一次，击中靶心的概率大约是多少？(2)假设该射击运动员射击了300次，则击中靶心的次数大约是多少？(3)假设该射击运动员射击了10次，前9次中有8次击中靶心，那么第10次一定击中靶心吗？ 解 (1)由表可知，击中靶心的频率在0.9附近，故击中靶心的概率大约是0.9. (2)击中靶心的次数大约是300×0.9＝270(次)．(3)由概率的意义，可知概率是个常数，不因试验次数的变化而变化．最后一次击中靶心的概率仍是0.9，所以不一定击中靶心．1．(2020·全国Ⅰ)设O 为正方形ABCD 的中心，在O ，A ，B ，C ，D 中任取3点，则取到的3点共线的概率为( ) A.15 B.25 C.12 D.45 答案 A解析 从O ，A ，B ，C ，D 这5个点中任取3点，取法有{O ，A ，B }，{O ，A ，C }，{O ，A ，D }，{O ，B ，C }，{O ，B ，D }，{O ，C ，D }，{A ，B ，C }，{A ，B ，D }，{A ，C ，D }，{B ，C ，D }，共10种，其中取到的3点共线的只有{O ，A ，C }，{O ，B ，D }这2种取法，所以所求概率为210＝15.2．(2018·全国Ⅱ)从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务，则选中的2人都是女同学的概率为( )A ．0.6B ．0.5C ．0.4D ．0.3答案 D解析 设2名男同学为a ，b,3名女同学为A ，B ，C ，从中选出两人的情形有(a ，b )，(a ，A )，(a ，B )，(a ，C )，(b ，A )，(b ，B )，(b ，C )，(A ，B )，(A ，C )，(B ，C )，共10种，而都是女同学的情形有(A ，B )，(A ，C )，(B ，C )，共3种，故所求概率为310＝0.3.3．(2017·全国Ⅱ)从分别写有1,2,3,4,5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为( ) A.110 B.15 C.310 D.25答案 D解析 从5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张的情况如图：基本事件总数为25，第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的事件数为10， ∴所求概率P ＝1025＝25.4．(2016·北京)袋中装有偶数个球，其中红球、黑球各占一半．甲、乙、丙是三个空盒，每次从袋中任意取出两个球，将其中一个球放入甲盒，如果这个球是红球，就将另一个球放入乙盒，否则就放入丙盒．重复上述过程，直到袋中所有球都被放入盒中，则( ) A ．乙盒中黑球不多于丙盒中黑球 B ．乙盒中红球与丙盒中黑球一样多 C ．乙盒中红球不多于丙盒中红球 D ．乙盒中黑球与丙盒中红球一样多 答案 B解析 取两个球往盒子中放有4种情况： ①红＋红，则乙盒中红球数加1； ②黑＋黑，则丙盒中黑球数加1；③红＋黑(红球放入甲盒中)，则乙盒中黑球数加1；④黑＋红(黑球放入甲盒中)，则丙盒中红球数加1.因为红球和黑球个数一样，所以①和②的情况一样多．③和④的情况完全随机，③和④对B 选项中的乙盒中的红球数与丙盒中的黑球数没有任何影响．①和②出现的次数是一样的，所以对B选项中的乙盒中的红球数与丙盒中的黑球数的影响次数一样．综上选B. 5．(2020·江苏)将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，则点数和为5的概率是________．答案1 9解析列表如下：点数的和共有36，其中和为5的共有4，由古典概型的概率公式可得点数和为5的概率P＝436＝19.6．(2019·全国Ⅱ)我国高铁发展迅速，技术先进．经统计，在经停某站的高铁列车中，有10个车次的正点率为0.97，有20个车次的正点率为0.98，有10个车次的正点率为0.99，则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为________．答案0.98解析经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为10×0.97＋20×0.98＋10×0.9910＋20＋10＝0.98.。

互斥事件与对立事件专题练习一、知识点复习1．事件的包含关系如果事件A发生，则事件B______.则称事件B______事件A.2．相等事件若______且______，那么事件A与事件B相等．3．并(和)事件若某事件发生当且仅当___________，则称此事件为事件A与B的并事件(或称和事件)记作：A∪B.4．交(积)事件若某事件发生当且仅当_________，则称此事件为事件A与B的交事件(或称积事件)记作：A∩B.5．互斥事件若A∩B为_________，即A∩B＝______，那么称事件A与事件B________.6．对立事件____________________对立事件．例如：某同学在高考中数学考了150分，与这同学在高考中考得130分，这两个事件是________．7．互斥事件概率加法公式当事件A与B互斥时，满足加法公式：P(A∪B)＝P(A)＋P(B)；若事件A与B为对立事件，则A∪B为必然事件，所以P(A∪B)＝________，于是有P(A)＝________.例如：投掷骰子六点向上的概率为1/6，投得向上点数不为六点的概率为：________.8.如果事件A与事件B互斥，则____________________；如果事件A与事件B对立，则________________________。

二、练习题1．在一对事件A，B中，若事件A是必然事件，事件B是不可能事件，那么A和B() A．是互斥事件，不是对立事件B．是对立事件，但不是互斥事件C．是互斥事件，也是对立事件D．既不是对立事件，也不是互斥事件2．把红、黑、蓝、白4张纸牌随机地分发给甲、乙、丙、丁4个人，每人分得1件，事件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”是()A．对立事件B．不可能事件C．互斥但不对立事件D．以上答案都不对3．给出以下结论：①互斥事件一定对立②对立事件一定互斥③互斥事件不一定对立④事件A与B的和事件的概率一定大于事件A的概率⑤事件A与B互斥，则有P(A)＝1－P(B)其中正确命题的个数为()A．0个B．1个C．2个D．3个4、某县城有甲、乙两种报纸供居民订阅，记事件A为“只订甲报”，事件B为“至少订一种报纸”，事件C为“至多订一种报纸”，事件D为“不订甲报”，事件E为“一种报纸也不订”．判断下列事件是不是互斥事件；如果是，再判断它们是不是对立事件：(1)A与C；(2)B与E；(3)B与D；(4)B与C；(5)C与E.5．某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学参加演讲比赛．判断下列每对事件是不是互斥事件，如果是，再判断它们是不是对立事件．(1)恰有1名男生与恰有2名男生；(2)至少1名男生与全是男生；(3)至少1名男生与全是女生；(4)至少1名男生与至少1名女生．6、 抛掷一枚骰子，下列事件：A ＝{出现奇数点}，B ＝{出现偶数点}，C ＝{点数小于3}，D ＝{点数大于2}，E ＝{点数是3的倍数}．则：(1)A ∩B ＝________，B ∩C ＝________.(2)A ∪B ＝________，B ＋C ＝________.(3)记 为事件H 的对立事件，则 ＝_______， ∩C ＝_____， ∪C ＝_____， + ＝______.7．某校组织一个夏令营，在高一(1)班抽一部分学生参加，记事件A 为抽到高一(1)班的运动员，事件B 为抽到高一(1)班数学竞赛小组成员，事件C 为抽到高一(1)班英语竞赛小组成员．说明下列式子所表示的事件：(1)A ∪B (2)A ∩C (3)A ∪(B ∩C)8、某射手在一次射击训练中，射中10环、9环、8环、7环的概率分别为0.21,0.23,0.25,0.28，计算这个射手在一次射击中：(1)射中10环或7环的概率；(2）没有射中10环的概率；(3)不够7环的概率．(4)该射手射击两次中第一次射中10环，第二次射中8环的概率；(5)该射手射击两次中有一次射中10环，一次射中8环的概率；H D E D B A。

互斥事件与对立事件（北京习题集）（教师版）一．选择题（共3小题）1．（2013•北京校级模拟）如果事件A、B互斥，那么()A．A B+是必然事件B．A B+是必然事件C．A与B一定互斥D．A与B一定不互斥2．（2010春•朝阳区期末）从1，2，3，4，5，6这六个整数中任取两个数，下列叙述中是对立事件的是()①恰有一个是偶数和恰有一个是奇数；②至少有一个是奇数和两个都是奇数；③至少有一个是奇数和两个都是偶数；④至少有一个是奇数和至少有一个是偶数．A．①B．②④C．③D．①③3．（2010春•崇文区期末）某足球运动员连续射两球，事件“至少有一次射入球框”的互斥事件是() A．至多有一次射入球框B．两次都射入球框C．只有一次射入球框D．两次都不射入球框二．填空题（共2小题）4．（2017春•海淀区校级期末）把红、黄、蓝、白4张纸牌随机地分发给甲、乙、丙、丁4个人，事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”是．（填序号）①对立事件；②不可能事件；③互斥但不对立事件；④对立不互斥事件．5．（2009秋•通州区期中）给出如下几个命题：（1）若A为随机事件，则0P（A）1（2）若事件A是必然事件，则A与B一定是对立事件（3）若事件A与B是互斥事件，则A与B一定是对立事件（4）若事件A与B是对立事件，则A与B一定是互斥事件其中正确命题的序号是．三．解答题（共1小题）6．（2009•丰台区一模）某校高二年级开设《几何证明选讲》及《数学史》两个模块的选修科目．每名学生至多选修一个模块，23的学生选修过《几何证明选讲》，14的学生选修过《数学史》，假设各人的选择相互之间没有影响．（Ⅰ）任选一名学生，求该生没有选修过任何一个模块的概率；（Ⅱ）任选4名学生，求至少有3人选修过《几何证明选讲》的概率．互斥事件与对立事件（北京习题集）（教师版）参考答案与试题解析一．选择题（共3小题）1．（2013•北京校级模拟）如果事件A 、B 互斥，那么( )A ．AB +是必然事件B ．A B +是必然事件C ．A 与B 一定互斥D ．A 与B 一定不互斥 【分析】由于事件A 、B 互斥，利用事件的定义为：在随机试验中出现的每一个结果成为一个事件，在利用必然事件，及对立事件性质即可判断．【解答】解：因为事件A 、B 互斥，当以个随机事件出现的结果为3个或多余3个时，利用必然事件的定义则，A 错； 由互斥事件的定义，A 、B 互斥即A B 为不可能事件，故B 正确．而C 中当B A ≠时，A 与B 不互斥，故C 错误．而D 中当B A =时，A 和B 互斥，故D 错误．故选：B ．【点评】此题考查了随机事件的定义，互斥事件，必然事件．2．（2010春•朝阳区期末）从1，2，3，4，5，6这六个整数中任取两个数，下列叙述中是对立事件的是( ) ①恰有一个是偶数和恰有一个是奇数；②至少有一个是奇数和两个都是奇数；③至少有一个是奇数和两个都是偶数；④至少有一个是奇数和至少有一个是偶数．A ．①B ．②④C ．③D ．①③【分析】挨个分析四组事件，①中表示的是同一个事件，②前者包含后者，④中两个事件都含有同一个事件，只有第三所包含的事件是对立事件．【解答】解：在①恰有一个是偶数和恰有一个是奇数中，这两个事件是同一个事件，在②至少有一个是奇数和两个都是奇数中至少有一个是奇数包括两个都是奇数，在③至少有一个是奇数和两个都是偶数中，至少有一个是奇数包括有一个奇数和有两个奇数，同两个都是偶数是对立事件，在④至少有一个是奇数和至少有一个是偶数中，都包含一奇数和一个偶数的结果，只有第三所包含的事件是对立事件故选：C．【点评】分清互斥事件和对立事件之间的关系，互斥事件是不可能同时发生的事件，对立事件是指一个不发生，另一个一定发生的事件．3．（2010春•崇文区期末）某足球运动员连续射两球，事件“至少有一次射入球框”的互斥事件是() A．至多有一次射入球框B．两次都射入球框C．只有一次射入球框D．两次都不射入球框【分析】直接根据互斥事件的定义作出判断．【解答】解：某足球运动员连续射两球，由于事件“至少有一次射入球框”和事件“两次都不射入球框”不可能同时发生，故这两件事是互斥事件，故选：D．【点评】本题主要考查互斥事件的定义的应用，属于基础题．二．填空题（共2小题）4．（2017春•海淀区校级期末）把红、黄、蓝、白4张纸牌随机地分发给甲、乙、丙、丁4个人，事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”是③．（填序号）①对立事件；②不可能事件；③互斥但不对立事件；④对立不互斥事件．【分析】事件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”，由互斥事件和对立事件的概念可判断两事件是互斥事件，不是对立事件，即可得答案．【解答】解：根据题意，把红、黑、蓝、白4张纸牌随机地分发给甲、乙、丙、丁四个人，每人分得1张，事件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”由互斥事件和对立事件的概念可判断两者不可能同时发生，故它们是互斥事件，又事件“乙取得红牌”与事件“丙取得红牌”也是可能发生的，事件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”不是对立事件，故两事件之间的关系是互斥而不对立，故答案为：③【点评】本题考查互斥事件与对立事件的概念，注意互斥事件、对立事件的区别．5．（2009秋•通州区期中）给出如下几个命题：（1）若A为随机事件，则0P（A）1（2）若事件A是必然事件，则A与B一定是对立事件（3）若事件A与B是互斥事件，则A与B一定是对立事件（4）若事件A 与B 是对立事件，则A 与B 一定是互斥事件其中正确命题的序号是 （1）、（4） ．【分析】由随机事件的定义可得，它的概率得取值范围是[0，1]，故（1）正确． 由于不知道事件B 是什么事件，故（2）不正确．根据互斥事件、对立事件的定义可得，对立事件一定是互斥事件，但互斥事件不一定是对立事件，故（4）正确，（3）不正确．【解答】解：由随机事件的定义可得，它的概率得取值范围是[0，1]，故（1）正确．（2）不正确，若事件A 是必然事件，但不知道事件B 是什么事件，则A 与B 不一定是对立事件．根据互斥事件、对立事件的定义可得，对立事件一定是互斥事件，但互斥事件不一定是对立事件，故（4）正确，（3）不正确．故答案为 （1）、（4）．【点评】本题主要考查互斥事件与对立事件的关系，随机事件的定义，属于基础题．三．解答题（共1小题）6．（2009•丰台区一模）某校高二年级开设《几何证明选讲》及《数学史》两个模块的选修科目．每名学生至多选修一个模块，23的学生选修过《几何证明选讲》，14的学生选修过《数学史》，假设各人的选择相互之间没有影响． （Ⅰ）任选一名学生，求该生没有选修过任何一个模块的概率；（Ⅱ）任选4名学生，求至少有3人选修过《几何证明选讲》的概率．【分析】（Ⅰ）根据23的学生选修过《几何证明选讲》，14的学生选修过《数学史》，每名学生至多选修一个模块，根据互斥事件的概率公式得到该生没有选修过任何一个模块的概率．()II 至少有3人选修过《几何证明选讲》，包括两种情况一是有3人修过，二是有4人修过，这两种情况是互斥的，根据独立重复试验和互斥事件的概率得到结果．【解答】解：（Ⅰ）23的学生选修过《几何证明选讲》，14的学生选修过《数学史》， 每名学生至多选修一个模块，设该生参加过《几何证明选讲》的选修为事件A ，参加过《数学史》的选修为事件B ，该生没有选修过任何一个模块的概率为P ， 则2111()1()3412P P A B =-+=-+= ∴该生没有选修过任何一个模块的概率为112（Ⅱ）至少有3人选修过《几何证明选讲》的概率为33444421216()()33327W C C =+= ∴至少有3人选修过《几何证明选讲》的概率为1627． 【点评】本题考查互斥事件的概率公式，考查互斥事件和对立事件，考查n 次独立重复试验中发生k 次的概率，考查利用概率知识解决实际问题，是一个综合题．。

【课 题】互斥事件与对立事件及其概率【复习目标】一、互斥事件与对立事件1.若某事件发生当且仅当事件A 发生或事件B 发生，则称此事件为事件A 与事件B 的并事件（或和事件），记作B A +。

2.若某事件发生当且仅当事件A 发生且事件B 发生，则称此事件为事件A 与事件B 的交事件（或积事件），记作B A （或AB ） （1）若B A 为不可能事件，（B A =Ф),那么称为事件A 与事件B 互斥，其含义是事件A 与事件B 在任何一次试验中不会同时发生。

（2）若B A 为不可能事件，B A +为必然事件，那么称事件A 与事件B 互为对立事件，其含义为事件A 与事件B 在任何一次试验中有且仅有一个发生。

二、事件的关系与运算定义符号表示 包含关系如果事件A ，则事件B ，这时称事件B 包含事件A （或称事件A 包含于事件B（或）相等关系 若A B ⊇且 ，那么称事件A 与事件B 相等。

B A =并事件（和事件） 若某事件发生当且仅当 ，称此事件为事件A 与事件B 的并事件（或和事件）B A （或B A +）交事件（积事件） 若某事件发生当且仅当 ，则称此事件为事件A 与事件B 的交事件（或积事件）（或 ） 互斥事件 若B A 为 事件，那么事件A 与事件B 互斥。

=B A Ф对立事件若B A 为 事件，B A 为 事件，那么称事件A 与事件B 互为对立事件。

=B A Φ且 =B A 三、概率公式 1.概率的加法公式如果事件A 与事件B 互斥，则=+)(B A P 。

2.对立事件的概率若事件A 与事件B 互为对立事件，则B A 为必然事件。

=+)(B A P ，=)(A P 。

【基础练习】1.甲，乙两人下棋，两人和棋的概率是21，乙获胜的概率是31，那么乙不输的概率是2.已知集合{}8,6,4,2,0,1,3,5,7,9-----=A ，从集合A 中选取不相同的两个数，构成平面直角坐标系上的点，观察点的位置，则事件=A {}轴上点落在x 与事件=B {}轴上点落在y 的概率关系为 。

课时四互斥事件和对立事件一．考纲要求：了解互斥事件、对立事件的概念，能判断某两个事件是否是互斥事件、是否是对立事件；了解两个互斥事件概率的加法公式，了解对立事件概率之和为1的结论，会用相关公式进行简单概率计算。

二．知识点回顾：1.互斥事件：2.彼此互斥事件：3.对立事件：4.互斥事件和对立事件之间的关系：5.事件A、B至少有一个发生记作，若两事件互斥，则A、B至少有一个发生的概率公式为三．基础练习：1.某人在打靶中，连续射击2次，事件“至少有一次中靶”的互斥事件是2.从装有５只红球、５只白球的袋中任意取出３只球，有事件：①“取出２只红球和１只白球”与“取出１只红球和２只白球”；②“取出２只红球和１只白球”与“取出３只红球”；③“取出３只红球”与“取出３只球中至少有１只白球”；④“取出３只红球”与“取出３只白球”．其中是对立事件的有3.两个事件对立是这两个事件互斥的条件四．典型例题：例1．每一万张有奖明信片中，有一等奖5张，二等奖10张，三等奖100张。

某人买了1张，设事件A“这张明信片获一等奖”，事件B“这张明信片获二等奖”，事件C“这张明信片获三等奖”，事件D“这张明信片未获奖”，事件E“这张明信片获奖”，则在这些事件中⑴．与事件D互斥的有哪些事件？⑵．与事件D对立的有哪些事件？⑶．与事件A+B对立的有哪些事件？A 互斥的有哪些事件？⑷．与事件B例2． 黄种人群中各种血型的人所占的比如下表所示：已知同种血型的人可以输血，O 型血可以输给任一种血型的人，任何人的血都可以输给AB 型血的人，其他不同血型的人不能互相输血．小明是B 型血，若小明因病需要输血，问： ⑴． 任找一个人，其血可以输给小明的概率是多少？ ⑵． 任找一个人，其血不能输给小明的概率是多少？例3． 某商场有奖销售中，购满100元商品得一张奖券，多购多得，每1000张奖券为一个开奖单位。

设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个。

设1张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为A 、B 、C ，求：⑴．；、、)()()(C P B P A P⑵．1张奖券的中奖概率；⑶．1张奖券不中特等奖或一等奖的概率。

《互斥事件和对立事件》课时同步详解问题情境导入从一副扑克牌中任抽一张,设事件A 表示“抽出的是红桃”,事件B 表示“抽出的是梅花”,在一次抽取中事件A 和事件B 能同时发生吗?能同时不发生吗?新课自主学习提示:不能同时发生,但能同时不发生,如抽出的是黑桃或方块. 自学导引 1.互斥事件.事件A 与B 不可能同时发生,我们称,A B 为_____. 2.对立事件.事件,A C 满足AC =∅,并且A C +=Ω,即互斥事件A ,C 中必有一个发生,我们称,A C 为_____. 3.如果事件,A B 互斥,那么事件A B +发生的概率,等于事件,A B 分别发生的概率的和,即_____. 4.互斥事件可以推广到n 个事件的情形(,2)n n ∈>N :如果事件12,,,n A A A 中任何两个事件都是互斥事件,那么称事件12,,,n A A A 两两互斥.如果事件12,,A A ,n A 两两互斥,那么_________.答案 1.互斥事件 2.对立事件3.()()()P A B P A P B +=+4.()()()()1212n n P A A A P A P A P A +++=+++预习测评1.将一颗质地均匀的骰子抛掷一次,设事件A 表示向上的一面出现的点数是3,事件B 表示向上的一面出现的点数为奇数,事件A 与B 的关系是（ ） A.事件B 包含事件A B.事件B 与事件A 相等 C.事件B 与事件A 是互斥事件 D.事件B 与事件A 是对立事件2.从装有两个红球和两个黑球的口袋内任取两个球,那么互斥但不对立的两个事件是（）A.“至少有一个黑球”与“都是黑球”B.“至少有一个黑球”与“至少有一个红球”C.“恰有一个黑球”与“恰有两个黑球”D.“至少有一个黑球”与“都是红球”3.某市送医下乡,将甲、乙、丙三位专家派到,,a b c三所乡镇医院,每所医院分到1位专家,则事件“乙被派到a”与事件“甲被派到a”是（）A.对立事件B.互斥但不对立事件C.不可能事件D.必然事件4.若某商场的会员只用现金支付的概率为16,既用现金支付也用非现金支付的概率为12,则不用现金支付的概率为（）A.3 8B.5 6C.1 3D.11 125.围棋盒子中有多粒黑子和白子,已知从中取出2粒都是黑子的概率为17,都是白子的概率为1135,则从中任意取出2粒恰好是不同色的概率为（）A.1 7B.19 35C.17 35D.1答案1.答案：A解析:由题意可得事件A发生,事件B一定发生,所以事件B包含事件A.2.答案：C解析:A中的两个事件能同时发生,故不互斥.同样,B中两个事件也可同时发生,故不互斥.D中两个事件是对立的.3.答案：B解析:由互斥事件和对立事件的概念知,事件“乙被派到a”与事件“甲被派到a”是互斥事件.又因为事件“丙被派到a”也是可能发生的,所以事件“乙被派到a”与事件“甲被派到a”不是对立事件.4.答案：C解析:因为某商场的会员只用现金支付,既用现金支付也用非现金支付,不用现金支付,是互斥事件,其概率和为1,所以由题得不用现金支付的概率为111 1623 --=.5.答案：B解析:设“从中取出2粒都是黑子”为事件A,“从中取出2粒都是白子”为事件B，“从中任意取出2粒恰好是不同色”为事件C,则1()1()()17P C P A P B=--=--11193535=.新知合作探究探究点1互斥事件与对立事件知识详解1.互斥事件.（1）概念及表示方法.事件A与B不可能同时发生,则称,A B为互斥事件,例如,掷一颗骰子,{出现奇数点}与{出现偶数点}是互斥事件.(2)图示.与两个集合的交集为空集类比,可以用如图表示.特别提示1.事件A与事件B互斥表示事件A与事件B不可能同时发生,即A与B两个事件同时发生的概率为0.2.事件A与事件B互斥包含三种情况:(1)事件A发生,B不发生;(2)事件A不发生,B发生;(3)事件A不发生,B也不发生.注意与事件A B+进行区别.2.对立事件.（1）概念及表示方法.事件,A C满足AC=∅,并且A C+=Ω,即互斥事件,A C中必有一个发生,我们称,A C为对立事件.例如,掷一颗骰子,{出现奇数点}与{出现偶数点}是对立事件.(2)图示.与两个集合的补集类比,可以用如图表示,阴影部分为事件C.即事件A的对立事件C是全集中由事件A包含的结果组成的集合的补集,也可记作C A=.特别提示1.在一次试验中,事件A和它的对立事件只能发生一个,并且必然发生一个,不可能两个都不发生或两个都发生,例如,掷一枚硬币,出现的结果可以是正面朝上,也可以是反面朝上,但不会出现第三种结果.2.根据对立事件的概念,易知:若两个事件对立,则这两个事件是互斥事件;反之,若两个事件是互斥事件,则这两个事件未必是对立事件.3.对立事件是特殊的互斥事件,若事件,A B是对立事件,则事件A与事件B互斥,而且A B+是必然事件.典例探究例1 某县城有甲、乙两种报纸供居民订阅,记事件A为“只订甲报”,事件B为“至少订一种报纸”,事件C为“至多订一种报纸”,事件D为“不订甲报”,事件E为“一种报纸也不订”,判断下列每组事件是不是互斥事件;如果是,再判断它们是不是对立事件:(1)A与C;(2)B与E;(3)B与D;(4)B与C;(5)C与E.解析根据互斥事件与对立事件的定义进行判断.答案（1）由于事件C“至多订一种报纸”中包括“只订甲报”,即事件A与事件C有可能同时发生,故A与C不是互斥事件.(2)事件B“至少订一种报纸”与事件E“一种报纸也不订”是不可能同时发生的,故B与E是互斥事件;由于事件B与事件E必有一个发生,故B与E是对立事件.(3)事件B“至少订一种报纸”中包括“只订乙报”,即有可能“不订甲报”,也就是说事件B和事件D有可能同时发生,故B与D不是互斥事件.(4)事件B“至少订一种报纸”中的可能情况为“只订甲报”“只订乙报”“订甲、乙两种报”.事件C“至多订一种报纸”中的可能情况为“一种报纸也不订” “只订甲报”“只订乙报”,也就是说事件B与事件C可能同时发生,故B与C不是互斥事件.(5)由(4)的分析,事件E中的一种可能情况,所以事件C与事件E可能同时发生,故C与E不是互斥事件.方法总结辨析互斥事件与对立事件的思路:1.从发生的角度看.（1）在一次试验中,两个互斥事件有可能都不发生,也可能有一个发生,但不可能同时发生. （2）两个对立事件必有一个发生,但不可能同时发生,即两事件对立,必定互斥,但两事件互斥,未必对立.对立事件是互斥事件的一个特例.2.从事件个数的角度看.互斥的概念适用于两个或多个事件,但对立的概念只适用于两个事件.变式训练1已知100件产品中任意取出3件,设E表示事件“3件产品全不是次品”,F表示事件“3件产品全是次品”,G表示事件“3件产品中至少有1件次品”,则下列结论正确的是（）A.F与G互斥B.E与G互斥但不对立C.,,E F G任意两个事件均互斥D.E与G对立答案 D点拨 由题意得事件E 与事件F 不可能同时发生,是互斥事件;事件E 与事件G 不可能同时发生,是互斥事件;当事件F 发生时,事件G 一定发生,所以事件F 与事件G 不是互斥事件,故A,C 不正确;事件E 与事件G 中必有一个发生,所以事件E 与事件G 对立,所以B 不正确,D 正确. 探究点2 互斥事件及概率加法公式的推广 知识详解1.互斥事件的推广.两个事件互斥的定义可以推广到n 个事件中去(n ∈,2):n >N 如果事件12,,,n A A A 中的任意两个事件互斥,就称事件12,,,n A A A 两两互斥.从集合的角度来看,n 个事件两两互斥是指各个事件所包含的结果组成的集合彼此不相交.例如,掷一颗骰子,{出现1点},{出现2点},{出现3点},{出现4点},{出现5点},{出现6点}两两互斥.2.概率加法公式的推广. 一般地,如果事件12,,,n A A A 两两互斥,那么()()()()1212n n P A A A P A P A P A +++=+++.特别提示 若事件,,A B C 两两互斥,且A B +与C 是立事件,则()()1()1()P C P A B P A P B =-+=--.例2 某射手在一次射击中,射中10环、9环、8环的概率分别是0.2,0.3,0.1,则该射手在一次射击中射中环数不够8环的概率为（ ）A.0.9B.0.3C.0.6D.0.4解析 设“该射手在一次射击中射中环数不够8环”为事件A ,则事件A 的对立事件A 是“该射手在一次射击中射中环数不小于8环”.事件A 包括射中8环、9环、10环,这三个事件是互斥的,()0.20.30.10.6P A ∴=++=， ∴()1()10.60.4P A P A =-=-=,即该射手在一次射击中射中环数不够8环的概率为0.4. 答案 D变式训练2 某学校成立了数学、英语、音乐3个课外兴趣小组,3个小组分别有393233、、个成员,而且一些成员还参加了不止一个小组,具体情况如图所示.随机选取一个成员.(1)他属于至少2个小组的概率是多少? (2)他属于不超过2个小组的概率是多少?答案 （1）从题图中可以看出,三个课外小组总人数为60.用A 表示事件“选取的成员只属于一个小组”,则A 就表示“选取的成员属于至少2个小组”,于是68103()1()1605P A P A ++=-=-=. 因此,随机选取的一个成员属于至少2个小组的概率是35.（2）用B 表示事件“选取的成员属于3个小组”，则B 就表示“选取的成员属于不超过2个小组”，于是，813()1()16015P B P B =-=-=. 因此，随机选取的一个成员属于不超过2个小组的概率是1315. 总结升华 本题将集合的表示与概率交汇于一体，有新意.易错易混解读例 从1,2,3,,9中任取两数,给出下列各组事件:①“恰有一个偶数”和“恰有一个奇数”; ②“至少有一个奇数”和“两个都是奇数”; ③“至少有一个奇数”和“两个都是偶数”;④“至少有一个奇数”和“至少有一个偶数”.其中是对立事件的是（）A.①B.②④C.③D.①③错解D错因分析对“恰有”“至多”“至少”等词语的意思理解出现偏差,导致对对立事件的判断出现错误.正解从1,2,3,,9中任取两数,有以下三种情况:①两个奇数;②两个偶数;③一个奇数和一个偶数.所以仅有③中的两个事件不能同时发生且必有一个发生,故选C.纠错心得对于一些事件关系的判断,考虑问题要全面,最好能把事件的几个方面列举出来,然后根据“至多”“至少”等所包含的情况进行判断.课堂快速检测1.如果事件,A B互斥,那么（）A.A B是必然事件B.A B是必然事件C.A与B一定互斥D.A与B一定不互斥2.抽查10件产品,设{A=至少2件次品},则A=（）A.{至多2件次品}B.{至多2件正品}C.{至少2件正品}D.{至多1件次品}3.一个人打靶时连续射击两次,事件“至多有一次中靶”的互斥事件是（）A.两次都中靶B.至少有一次中靶C.两次都不中靶D.只有一次中靶4.袋内有红球、白球、黑球的个数分别为3,2,1,从中任取2个,则互斥而不对立的两个事件是（）A.至少有1个白球;都是白球B.至少有1个白球;红球、黑球各1个C.恰有1个白球;1个白球1个黑球D.至少有1个白球;至少有1个红球5.掷一颗均匀的正六面体骰子,设A表示事件“出现2点”,B表示事件“出现奇数点",则()P A B等于（）A.1 2B.2 3C.5 6D.1 36.口袋内装有一些大小相同的红球、白球和黑球,从中摸出1个球,摸出红球的概率是0.38,摸出白球的概率是0.32,那么摸出黑球的概率是（）A.0.42B.0.28C.0.3D.0.7答案1.答案：B2.答案：D解析:至少两件次品与至多一件次品不可能同时发生,但必有一个发生.3.答案：A解析：事件“至多有一次中靶”包含“只有一次中靶”和“两次都不中靶”,因此不会与其同时发生的事件是“两次都中靶”.4.答案：B解析:因为至少有1个白球包括1个白球1个黑球,1个白球1个红球,2个白球三种情况,恰有1个白球包括1个白球1个黑球,1个白球1个红球两种情况,至少有1个红球包括1个红球1个黑球,1个白球1个红球,2个红球三种情况,所以“至少有1个白球”与“红球、黑球各1个”是互斥而不对立的两个事件.5.答案：B解析:由古典概型的概率公式得1(),()6P A P B==31,62=事件A与B为互斥事件,∴由互斥事件的概率和公式得112 ()()()623 P A B P A P B+=+=+=.6.答案：C解析：由题意得在口袋中摸出1个球，摸到红球，摸到黑球,摸到白球这三个事件是互斥的,摸出红球的概率是0.38,摸出白球的概率是0.32.摸出黑球是摸出红球或摸出白球的对立事件,∴摸出黑球的概率是10.380.320.3--=.要点概括整合。