互斥事件与对立事件汇总
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条件概率-独⽴事件-互斥事件-对⽴事件条件概率和独⽴事件条件概率:上次的操作对下次的操作(事件)有影响独⽴事件:上次与下次的操作(事件)⽆影响例⼦:抽牌(甲⼄2⼈抽54张牌)1,先说独⽴事件:这样的场景:甲抽⼀张牌(不看,不公开说),问⼄抽到红桃A的概率?因为甲抽的牌他们都没有公开,⼄抽的牌的时候虽然是53张了,但是甲没有看,也没有说,对后续⼄的事件没造成了影响,相当于从54张牌抽。
依然是1/542,再说条件概率:甲抽⼀张牌(看,公开说后),问⼄抽到红桃A的概率?如果甲抽到不是红桃A,⼄抽牌从53张抽取,⼄就是1/53。
如果甲抽到红桃A,⼄抽到的概率肯定是0。
甲抽牌这个事件,对后续⼄的事件造成了影响,是后续的条件,所以叫条件概率互斥事件和对⽴事件互斥不⼀定对⽴,对⽴⼀定互斥这么说是什么意思呢? 1,(⼀分为n。
n==2)先说对⽴事件,这样的场景:⼩明从两张牌抽⼀张,红桃A,红桃2,问抽到的红桃A的概率?肯定是1/2。
⼩明抽到红桃2的概率也是1/2。
⼩明抽到红桃A事件概率和抽到红桃2事件的概率是没有交集,互斥的的,但是注意:⼩明要么抽到红桃A,概率1/2,要么抽到红桃2,概率1/2,(这两个的概率和为1)。
⼀分为2。
不可能有其他的可能。
2,(⼀分为n。
n>2)再说互斥事件,这样的场景:⼩明从三张牌抽⼀张,红桃A,红桃2,红桃3,问抽到的红桃A的概率?肯定是1/3。
⼩明抽到红桃2的概率也是1/3。
⼩明抽到红桃A事件概率和抽到红桃2事件的概率是没有交集,互斥的的。
但是注意:⼩明要么抽到红桃A,概率1/3,要么抽到红桃2,概率1/3,(这两个的概率和为2/3)。
⼀分为3。
可能有其他的可能(红桃3)。
互斥事件与对立事件及其概率的算法【知识总结】1、互斥事件:指A∩B为不可能事件;事件A与事件B互斥,即事件A与事件B不能同时发生;A∩B=∅;P(A∪B)=P(A)+P(B)。
2、对立事件:A∩B为不可能事件,A∪B为必然事件;事件A与事件B对立,即事件A与事件B有且仅有一个发生;A∩B=∅,A∪B= ;概率计算P(A∪B)=1,P(A)=1-P(B)。
3、事件A与事件B互斥,事件A与事件B不一定对立;反之,事件A与事件B对立,事件A与事件B则一定互斥。
【巩固练习】1、某小组有5名男生和4名女生,从中任选4名同学参加“教师节”演讲比赛,则下列每对事件是对立事件的是()A.恰有2名男生与恰有4名男生B.至少有3名男生与全是男生C.至少有1名男生与全是女生D.至少有1名男生与至少有1名女生【答案】C【解析】“恰有2名男生”与“恰有4名男生”是互斥事件,但不是对立事件,排除A项;“至少有3名男生”与“全是男生”可以同时发生,不是互斥事件,排除B项;“至少有1名男生”与“全是女生”不可能同时发生,且必有一个发生,是对立事件,C项正确;“至少有1名男生”与“至少有1名女生”可以同时发生,不互斥,排除D项.故选:C.2、袋中装有白球3个,黑球4个,从中任取3个,下列各对事件中互为对立事件的是()A.恰有1个白球和全是白球B.至少有1个白球和全是黑球C.至少有1个白球和至少有2个白球D.至少有1个白球和至少有1个黑球【答案】B【解析】从白球3个,黑球4个中任取3个,共有四种可能,全是白球,两白一黑,一白两黑和全是黑球,故①恰有1个白球和全是白球,是互斥事件,但不是对立事件,②至少有1个白球和全是黑球是对立事件;③至少有1个白球和至少有2个白球不是互斥事件,④至少有1个白球和至少有1个黑球不是互斥事件,故选:B.3、甲:1A、2A是互斥事件;乙:1A、2A是对立事件,那么()A.甲是乙的充要条件B.甲是乙的充分但不必要条件C.甲是乙的必要但不充分条件D.甲既不是乙的充分条件,也不是乙的必要条件【答案】C【解析】当1A、2A是互斥事件时,1A、2A不一定是对立事件,所以甲是乙的非充分条件.当1A、2A是对立事件时,1A、2A一定是互斥事件,所以甲是乙的必要条件.所以甲是乙的必要非充分条件.故选C.4.学校将5个不同颜色的奖牌分给5个班,每班分得1个,则事件“1班分得黄色的奖牌”与“2班分得黄色的奖牌”是()A.对立事件B.不可能事件C.互斥但不对立事件D.不是互斥事件【答案】C【解析】由题意,1班和2班不可能同时分得黄色的奖牌,因而这两个事件是互斥事件;又1班和2班可能都得不到黄色的奖牌,故这两个事件不是对立事件,所以事件“1班分得黄色的奖牌”与“2班分得黄色的奖牌”是互斥但不对立事件.故选:C5、从装有5个红球和3个白球的口袋内任取3个球,那么互斥而不对立的事件是()A.至少有一个红球与都是红球B.至少有一个红球与都是白球C.恰有一个红球与恰有二个红球D.至少有一个红球与至少有一个白球【答案】C【解析】从装有5个红球和3个白球的口袋内任取3个球,不同的取球情况共有以下几种:3个球全是红球;2个红球和1个白球;1个红球2个白球;3个全是白球.选项A中,事件“都是红球”是事件“至少有一个红球”的子事件;选项B中,事件“至少有一个红球”与事件“都是白球”是对立事件;选项D中,事件“至少有一个红球”与事件“至少有一个白球”的事件为“2个红球1个白球”与“1个红球2个白球”;选项C中,事件“恰有一个红球”与事件“恰有2个红球”互斥不对立,故选C.6、从装有两个红球和两个黑球的口袋里任取两个球,那么对立的两个事件是()A.“至少有一个黑球”与“都是黑球”B.“至少有一个黑球”与“至少有一个红球”C.“恰好有一个黑球”与“恰好有两个黑球”D.“至少有一个黑球”与“都是红球”【答案】D【解析】记两个黑球为,A B,两个红球为1,2,则任取两球的所有等可能结果为:A AB B AB,记事件A为“至少有一个黑球”,事件B为:“都是红球”,1,2,1,2,,12,7、一个射手进行一次射击,则事件“命中环数小于6环”的对立事件是()A.命中环数为7、8、9、10环B.命中环数为1、2、3、4、5、6环C.命中环数至少为6环D.命中环数至多为6环【答案】C【解析】根据对立事件的定义,可得一个射手进行一次射击,则事件:“命中环数小于6环”的对立事件是“命中环数至少是6环”,故选C.8、某人射击一次,设事件A:“击中环数小于4”;事件B:“击中环数大于4”;事件C:“击中环数不小于4”;事件D:“击中环数大于0且小于4”,则正确的关系是A.A和B为对立事件B.B和C为互斥事件C.C与D是对立事件D.B与D为互斥事件【答案】D【解析】由题意,A项中,事件“击中环数等于4环”可能发生,所以事件A和B为不是对立事件;B项中,事件B和C可能同时发生,所以事件B和C不是互斥事件;C项中,事件“击中环数等于0环”可能发生,所以事件C和D为不是对立事件;D项中,事件B:“击中环数大于4”与事件D:“击中环数大于0且小于4”,不可能同时发生,所以B与D为互斥事件,故选D.9、把红、黄、蓝、白4张纸牌随机地分发给甲、乙、丙、丁四人,每个人分得一张,事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”()A.是对立事件B.是不可能事件C.是互斥但不对立事件D.不是互斥事件【答案】C【解析】显然两个事件不可能同时发生,但两者可能同时不发生,因为红牌可以分给丙、丁两人,综上,这两个事件为互斥但不对立事件.故选:C.10、一个人打靶时连续射击两次,事件“至少有一次中靶”的互斥事件是()A.至多有一次中靶B.两次都中靶C.只有一次中靶D.两次都不中靶解析:选D事件“至少有一次中靶”包括“中靶一次”和“中靶两次”两种情况.由互斥事件的定义,可知“两次都不中靶”与之互斥.11、从1,2,3,…,7这7个数中任取两个数,其中:①恰有一个是偶数和恰有一个是奇数;②至少有一个是奇数和两个都是奇数;③至少有一个是奇数和两个都是偶数;④至少有一个是奇数和至少有一个是偶数.上述事件中,是对立事件的是()A.①B.②④C.③D.①③解析:选C “至少有一个是奇数”即“两个都是奇数或一奇一偶”,而从1,2,3,…,7这7个数中任取两个数,根据取到数的奇偶性知共有三种情况:“两个都是奇数”“一奇一偶”“两个都是偶数”,故“至少有一个是奇数”与“两个都是偶数”是对立事件,易知其余都不是对立事件.故选C.12、对飞机连续射击两次,每次发射一枚炮弹.设A ={两次都击中飞机},B ={两次都没击中飞机},C ={恰有一枚炮弹击中飞机},D ={至少有一枚炮弹击中飞机},其中互为互斥事件的是__________;互为对立事件的是__________.【答案】A 与B 、A 与C ,B 与C 、B 与D ;B 与D .【解析】由于事件A 与B 不可能同时发生,故A 与B 是互斥事件;同理可得,A 与C ,B 与C 、B 与D 也是互斥事件.综上可得,A 与B 、A 与C ,B 与C 、B 与D 都是互斥事件.在上述互斥事件中,再根据B 、D 还满足B ∪D 为必然事件,故B 与D 是对立事件,故答案为A 与B 、A 与C ,B 与C 、B 与D ;B 与D .13、记事件A ={某人射击一次,中靶},且P (A )=0.92,则A 的对立事件是__________,它的概率值是__________.【答案】{某人射击一次,未中靶},0.08.【解析】事件A ={某人射击一次,中靶},则A 的对立事件是{某人射击一次,未中靶};又P (A )=0.92,故答案为:{某人射击一次,未中靶},0.08.14、如果事件A 与事件B 互斥,且()0.2P A =,()0.3P B =,则()P A B =.【答案】0.5【解析】()()0.20.3)0.5(P A P B P A B =+=+= 15、在5张电话卡中,有3张移动卡和2张联通卡,从中任取2张,若事件“2张全是移动卡”的概率是310,那么概率是710的事件是()A.至多有一张移动卡B.恰有一张移动卡C.都不是移动卡D.至少有一张移动卡解析:选A 至多有一张移动卡包含“一张移动卡,一张联通卡”“两张全是联通卡”两个事件,它是“2张全是移动卡”的对立事件,故选A.16、若A ,B 为互斥事件,P (A )=0.4,P (A ∪B )=0.7,则P (B )=________.解析:∵A ,B 为互斥事件,∴P (A ∪B )=P (A )+P (B ),∴P (B )=P (A ∪B )-P (A )=0.7-0.4=0.3.答案:0.317、已知随机事件A 和B 互斥,且()0.5P AUB =,()0.3P B =.则()P A =()A.0.5B.0.2C.0.7D.0.8【解析】(1)A 与B 互斥()()()P A B P A P B ∴=+本题正确选项:D18、已知随机事件,,A B C 中,A 与B 互斥,B 与C 对立,且()()0.3,0.6P A P C ==,则()P A B +=()A.0.3B.0.6C.0.7D.0.9【答案】C 【解析】因为()0.6P C =,事件B 与C 对立,所以()0.4P B =,又()0.3P A =,A 与B 互斥,所以()()()0.30.40.7P A B P A P B +=+=+=,故选C .19、设事件A ,B ,已知()15P A =,()13P B =,()815P A B = ,则A ,B 之间的关系一定为()A.两个任意事件B.互斥事件C.非互斥事件D.对立事件【答案】B()()()P A B P A P B ∴=+ A ∴.B 为互相斥事件故选:B .20、若随机事件A 、B 互斥,A 、B 发生的概率均不等于0,且分别为()2P A a =-,()45P B a =-,则实数a 的取值范围是()A.5,24⎛⎫ ⎪⎝⎭B.53,42⎛⎫ ⎪⎝⎭C.53,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦D.54,43⎛⎤ ⎥⎝⎦【答案】D【解析】 随机事件A 、B 互斥,A 、B 发生的概率均不等于0,且分别为()2P A a =-,()45P B a =-,∴0()10()1()()1P A P B P A P B <<⎧⎪<<⎨⎪+⎩,即021*******a a a <-<⎧⎪<-<⎨⎪-⎩,故选:D .21、若A ,B 互为对立事件,其概率分别为P (A )=4x ,P (B )=1y,则x +y 的最小值为________.=9,当且仅当x =2y 时等号成立,故x +y 的最小值为9.答案:922、一只袋子中装有7个红玻璃球,3个绿玻璃球,从中无放回地任意抽取两次,每次只取一个,取得两个红玻璃球的概率为715,取得两个绿玻璃球的概率为115,则取得两个同色玻璃球的概率为________;至少取得一个红玻璃球的概率为________.解析:由于“取得两个红玻璃球”与“取得两个绿玻璃球”是互斥事件,取得两个同色玻璃由于事件A “至少取得一个红玻璃球”与事件B “取得两个绿玻璃球”是对立事件,则。
互斥事件与对立事件的例子
1、互斥事件:
互斥事件是指两件事情之间存在冲突,但只有一件可以实现的事情。
比如:王思聪要
买特斯拉跑车,但他想要买宝马SUV,他只能根据自己的喜好,只能选择其中的一种汽车,而不能两种汽车都买;再比如一个人同时拥有苹果手机和安卓手机,但他只能拥有其中的
一种,而不能同时拥有两种,这也是互斥事件的一种。
2、对立事件:
对立事件是指事件之间有对立的性质,但可以同时发生的事件。
比如三国时期赤壁之战,司马懿和诸葛亮是处于对立状态,每一方都希望自己能够获胜,但两者可以同时存在,只是一方最终获胜而已。
再比如原子与粒子的分裂,改变了物质的状态,可以同时发生,
但又有改变物质状态的对立性质。
《互斥事件》讲义在概率论中,互斥事件是一个重要的概念,它在解决各种概率问题中发挥着关键作用。
让我们一起来深入了解一下互斥事件。
一、互斥事件的定义互斥事件,简单来说,就是指两个事件不能同时发生。
举个例子,抛一枚硬币,正面朝上和反面朝上就是互斥事件,因为在一次抛硬币的过程中,不可能既正面朝上又反面朝上。
更严格的数学定义是:若事件 A 和事件 B 不可能同时发生,即A ∩B =∅(空集),则称事件 A 与事件 B 互斥。
二、互斥事件与对立事件的区别在学习互斥事件时,容易与之混淆的概念是对立事件。
对立事件是一种特殊的互斥事件。
互斥事件强调的是两个事件不能同时发生,但这两个事件并非涵盖了所有可能的结果。
而对立事件则不仅不能同时发生,而且必然有一个会发生,也就是说两个对立事件的并集是整个样本空间。
比如说,在掷骰子的试验中,“点数为1”和“点数为2”是互斥事件,但不是对立事件,因为还有点数为 3、4、5、6 等其他可能。
而“点数小于3”(即点数为 1 或 2)和“点数大于等于3”(即点数为 3、4、5、6)就是对立事件。
三、互斥事件的概率计算了解了互斥事件的定义后,我们来看看如何计算互斥事件的概率。
如果事件 A 和事件 B 互斥,那么事件 A 或事件 B 发生的概率等于事件 A 发生的概率加上事件 B 发生的概率,即 P(A ∪ B) = P(A) +P(B)。
例如,一个袋子里有 5 个红球和 3 个蓝球,从中随机取出一个球,取出红球的概率是 5/8,取出蓝球的概率是 3/8,因为“取出红球”和“取出蓝球”是互斥事件,所以取出红球或蓝球的概率就是 5/8 + 3/8 = 1。
再举个例子,某班级有男生 25 人,女生 20 人,随机选一名学生是男生的概率为 25/45,是女生的概率为 20/45,那么随机选一名学生是男生或女生的概率就是 25/45 + 20/45 = 1。
四、互斥事件的应用互斥事件在实际生活中有很多应用。
§10.5互斥事件与独立事件知识梳理1.互斥事件(1)定义不能同时发生的两个事件称为互斥事件.(2)互斥事件的加法公式如果事件A,B互斥,那么事件A+B发生的概率,等于事件A,B分别发生的概率的和,即P(A+B)=P(A)+P(B).一般地,如果事件A1,A2,…,A n两两互斥,那么P(A1+A2+…+A n)=P(A1)+P(A2)+…+P(A n).2.对立事件如果两个互斥事件必有一个发生,那么称这两个事件为对立事件.事件A的对立事件记为A,对立事件概率公式P(A)=1-P(A).3.相互独立事件(1)概念:一般地,如果事件A是否发生不影响事件B发生的概率,那么称A,B为相互独立事件.(2)结论:A,B相互独立⇔P(AB)=P(A)P(B).(3)相互独立事件的性质如果事件A与B相互独立,那么A与B,A与B,A与B也都相互独立.4.随机事件的概率其他常用性质(1)当A⊆B时,P(A)≤P(B);(2)当A,B不互斥时,P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB).常用结论1.当事件A,B互斥时,不一定对立;当事件A,B对立时,一定互斥.即两事件互斥是对立的必要不充分条件.2.两事件互斥是指两个事件不可能同时发生,两事件相互独立是指一个事件发生与否对另一事件发生的概率没有影响,两事件相互独立不一定互斥.思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)对立事件一定是互斥事件.(√)(2)若P(A+B)=P(A)+P(B)=1,则事件A,B互斥且对立.(×)(3)对于任意两个事件,公式P(AB)=P(A)P(B)都成立.(×)(4)抛掷2枚质地均匀的硬币,“第一枚为正面”为事件A,“第2枚为正面”为事件B,则A,B相互独立.(√)教材改编题1.事件A与事件B的关系如图所示,则()A.A⊆BB.A⊇BC.A与B互斥D.A与B互为对立事件答案C解析由题图知,事件A与事件B不能同时发生,且A∪B≠Ω,因此A与B互斥不对立,故选C.2.某射手在一次射击中,射中10环,9环,8环的概率分别是0.2,0.3,0.1,则该射手在一次射击中不够8环的概率为()A.0.9B.0.3C.0.6D.0.4答案D解析设“该射手在一次射击中不够8环”为事件A,则P(A)=1-P(A)=1-0.6=0.4. 3.一个电路上装有甲、乙两根保险丝,甲熔断的概率为0.85,乙熔断的概率为0.74,甲、乙两根保险丝熔断与否相互独立,则两根保险丝都熔断的概率为()A.1B.0.629C.0D.0.74或0.85答案B解析由题意知甲、乙两根保险丝熔断与否相互独立,∴甲、乙两根保险丝都熔断的概率为0.85×0.74=0.629.题型一互斥事件与对立事件例1(1)(多选)某人打靶时连续射击两次,设事件A=“只有一次中靶”,B=“两次都中靶”,则下列结论正确的是()A.A⊆BB.A∩B=∅C.A∪B=“至少一次中靶”D.A与B互为对立事件答案BC解析事件A=“只有一次中靶”,B=“两次都中靶”,所以A,B是互斥但不是对立事件,所以AD选项错误,B选项正确.A∪B=“至少一次中靶”,C选项正确.(2)(多选)将颜色分别为红、绿、白、蓝的4个小球随机分给甲、乙、丙、丁4个人,每人一个,则()A.事件“甲分得红球”与事件“乙分得白球”是互斥不对立事件B.事件“甲分得红球”与事件“乙分得红球”是互斥不对立事件C.事件“甲分得绿球,乙分得蓝球”的对立事件是“丙分得白球,丁分得红球”D.当事件“甲分得红球”的对立事件发生时,事件“乙分得红球”发生的概率是13答案BD解析事件“甲分得红球”与事件“乙分得白球”可以同时发生,不是互斥事件,A错误;事件“甲分得红球”与事件“乙分得红球”不能同时发生,是互斥事件,除了甲分得红球或者乙分得红球以外,丙或者丁也可以分得红球,B正确;事件“甲分得绿球,乙分得蓝球”与事件“丙分得白球,丁分得红球”可以同时发生,不是对立事件,C错误;事件“甲分得红球”的对立事件是“甲没有分得红球”,因此乙、丙、丁三人中有一个人分得红球,事件“乙分得红球”发生的概率是13,D正确.教师备选1.抛掷一颗质地均匀的骰子,有如下随机事件:C i=“点数为i”,其中i=1,2,3,4,5,6;D1=“点数不大于2”,D2=“点数不小于2”,D3=“点数大于5”;E=“点数为奇数”,F=“点数为偶数”.下列结论正确的是()A.C1与C2对立B.D1与D2互斥C.D3⊆F D.E⊇(D1∩D2)答案C解析对于A,C1=“点数为1”,C2=“点数为2”,C1与C2互斥但不对立,故选项A不正确;对于B,D1=“点数不大于2”,D2=“点数不小于2”,当出现的点是2时,D1与D2同时发生,所以D1与D2不互斥,故选项B不正确;对于C,D3=“点数大于5”表示出现6点,F=“点数为偶数”,所以D3发生F一定发生,所以D3⊆F,故选项C正确;对于D,D1∩D2表示两个事件同时发生,即出现2点,E=“点数为奇数”,所以D1∩D2发生,事件E不发生,所以E⊇(D1∩D2)不正确,故选项D不正确.2.(多选)从1至9这9个自然数中任取两个,有如下随机事件:A=“恰有一个偶数”;B=“恰有一个奇数”;C=“至少有一个是奇数”;D=“两个数都是偶数”;E=“至多有一个奇数”.下列结论正确的有()A.A=B B.B⊆CC.D∩E=∅D.C∩D=∅,C∪D=Ω答案ABD解析事件A,B都指的是一奇一偶,故A正确;至少有一个奇数,指两个数是一奇一偶,或是两个奇数,所以B⊆C,故B正确;至多有一个奇数指一奇一偶,或是两偶,此时事件D,E有公共事件,故C错误;此时C,D是对立事件,所以C∩D=∅,C∪D=Ω.思维升华事件的关系运算策略(1)互斥事件是不可能同时发生的事件,但也可以同时不发生.(2)进行事件的运算时,一是要紧扣运算的定义,二是要全面考虑同一条件下的试验可能出现的全部结果,必要时可列出全部的试验结果进行分析.也可类比集合的关系和运用Venn图分析事件.跟踪训练1(1)(2022·长春模拟)口袋中装有3个红球和4个黑球,每个球编有不同的号码,现从中取出3个球,则互斥而不对立的事件是()A.至少有1个红球与至少有1个黑球B.至少有1个红球与都是黑球C.至少有1个红球与至多有1个黑球D.恰有1个红球与恰有2个红球答案D解析对于A,不互斥,如取出2个红球和1个黑球,与至少有1个黑球不是互斥事件,所以A不符合题意;对于B,至少有1个红球与都是黑球不能同时发生,且必有其中1个发生.所以为互斥事件,且为对立事件,所以B不符合题意;对于C,不互斥.如取出2个红球和1个黑球,与至多有1个黑球不是互斥事件,所以C不符合题意;对于D,恰有1个红球与恰有2个红球不能同时发生,所以为互斥事件,但不对立,如还有3个红球.(2)抛掷一枚质地均匀的骰子,有如下随机事件:A i=“向上的点数为i”,其中i=1,2,3,4,5,6,B=“向上的点数为偶数”,则下列说法正确的是()A.A1⊆B B.A2+B=ΩC.A3与B互斥D.A4与B对立答案C解析对于A,A1={2,3,4,5,6},B={2,4,6},∴B⊆A1,故A错误;对于B,A2+B={2}∪{2,4,6}={2,4,6}≠Ω,故B错误;对于C,A3与B不能同时发生,是互斥事件,故C正确;对于D,A4={4},B={1,3,5},A4与B是互斥但不对立事件,故D错误.题型二概率的基本性质例2某医院要派医生下乡义诊,派出医生的人数及其概率如下表所示.人数01234大于等于5概率0.10.160.30.20.20.04(1)求派出医生至多2个的概率;(2)求派出医生至少2个的概率.解设“不派出医生”为事件A,“派出1名医生”为事件B,“派出2名医生”为事件C,“派出3名医生”为事件D,“派出4名医生”为事件E,“派出5名及5名以上医生”为事件F,事件A,B,C,D,E,F彼此互斥,且P(A)=0.1,P(B)=0.16,P(C)=0.3,P(D)=0.2,P(E)=0.2,P(F)=0.04.(1)“派出医生至多2个”的概率为P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)=0.1+0.16+0.3=0.56.(2)方法一“派出医生至少2人”的概率为P(C+D+E+F)=P(C)+P(D)+P(E)+P(F)=0.3+0.2+0.2+0.04=0.74.方法二“派出医生至少2个”的概率为1-P(A+B)=1-0.1-0.16=0.74.教师备选1.抛掷一枚质地均匀的骰子,事件A表示“向上的点数是奇数”,事件B表示“向上的点数不超过3”,则P(A+B)等于()A.12B.23C.56D .1答案B 解析方法一A 包含向上点数是1,3,5的情况,B 包含向上的点数是1,2,3的情况,所以A +B 包含了向上点数是1,2,3,5的情况,故P (A +B )=46=23.方法二P (A +B )=P (A )+P (B )-P (AB )=12+12-26=1-13=23.2.甲、乙、丙、丁四名同学排成一排照相,则甲与乙相邻且甲与丙之间恰好有一名同学的概率为()A.18B.16C.14D.12答案C解析所有的排法有A 44=24(种),若甲、丙之间恰好为乙,则有A 22A 22种排法;若甲、丙之间恰好为丁,则有A 22种排法,故所求的概率为P =A 22A 22+A 22A 44=624=14.思维升华求复杂互斥事件的概率的两种方法(1)直接法(2)间接法(正难则反,特别是“至多”“至少”型题目,用间接法求解简单).跟踪训练2(1)(2022·东营模拟)五声音阶是中国古乐的基本音阶,故有成语“五音不全”,中国古乐中的五声音阶依次为宫、商、角、徵、羽.如果从这五个音阶中任取两个音阶,排成一个两个音阶的音序,则这个音序中宫和羽至少有一个的概率为()A.12B.710C.920D.1120答案B解析设从这五个音阶中任取两个音阶,排成一个两个音阶的音序,这个音序中宫和羽至少有一个为事件A ,则A 表示这个音序中不含宫和羽这两个音序,∴P (A )=1-P (A )=1-A 23A 25=1-3×25×4=710.(2)(多选)黄种人群中各种血型的人所占的比例见下表:血型A B AB O 该血型的人所占比例0.280.290.080.35已知同种血型的人可以输血,O 型血可以给任何一种血型的人输血,任何血型的人都可以给AB 血型的人输血,其他不同血型的人不能互相输血.下列结论正确的是()A .任找一个人,其血可以输给B 型血的人的概率是0.64B .任找一个人,B 型血的人能为其输血的概率是0.29C .任找一个人,其血可以输给O 型血的人的概率为1D .任找一个人,其血可以输给AB 型血的人的概率为1答案AD解析任找一个人,其血型为A ,B ,AB ,O 型血的事件分别为A ′,B ′,C ′,D ′,它们两两互斥.由已知,有P (A ′)=0.28,P (B ′)=0.29,P (C ′)=0.08,P (D ′)=0.35.因为B ,O 型血可以输给B 型血的人,所以“可以输给B 型血的人”为事件B ′∪D ′,根据概率的加法公式,得P (B ′+D ′)=P (B ′)+P (D ′)=0.29+0.35=0.64,故A 正确;B 型血的人能为B 型、AB 型的人输血,其概率为0.29+0.08=0.37,B 错误;由O 型血只能接受O 型血的人输血知,C 错误;由任何人的血都可以输给AB 型血的人,知D 正确.题型三相互独立事件的概率例3(1)(2021·新高考全国Ⅰ)有6个相同的球,分别标有数字1,2,3,4,5,6,从中有放回地随机取两次,每次取1个球.甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”,乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”,丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”,丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”,则()A .甲与丙相互独立B .甲与丁相互独立C .乙与丙相互独立D .丙与丁相互独立答案B解析事件甲发生的概率P (甲)=16,事件乙发生的概率P (乙)=16,事件丙发生的概率P (丙)=56×6=536,事件丁发生的概率P (丁)=66×6=16.事件甲与事件丙同时发生的概率为0,P (甲丙)≠P (甲)P (丙),故A 错误;事件甲与事件丁同时发生的概率为16×6=136,P (甲丁)=P (甲)P (丁),故B 正确;事件乙与事件丙同时发生的概率为16×6=136,P (乙丙)≠P (乙)P (丙),故C 错误;事件丙与事件丁是互斥事件,不是相互独立事件,故D 错误.(2)(2022·福州模拟)投壶是从先秦延续至清末的中国传统礼仪和宴饮游戏.晋代在广泛开展投壶活动中,对投壶的壶也有所改进,即在壶口两旁增添两耳,因此在投壶的花式上就多了许多名目,如“贯耳(投入壶耳)”.每一局投壶,每一位参赛者各有四支箭,投入壶口一次得1分,投入壶耳一次得2分.现有甲、乙两人进行投壶比赛(两人投中壶口、壶耳是相互独立的),甲四支箭已投完,共得3分,乙投完2支箭,目前只得1分,乙投中壶口的概率为13,投中壶耳的概率为15.四支箭投完,以得分多者赢.请问乙赢得这局比赛的概率为()A.1375B.375C.815D.875答案A解析由题意,若乙要赢得这局比赛,按照乙第三支箭的情况可分为两类:(1)第三支箭投中壶口,第四支箭必须投入壶耳,其概率为P 1=13×15=115;(2)第三支箭投入壶耳,第四支箭投入壶口、壶耳均可,其概率为P 2=15×=875,所以乙赢得这局比赛的概率为P =P 1+P 2=115+875=1375.思维升华求相互独立事件同时发生的概率的方法(1)相互独立事件同时发生的概率等于他们各自发生的概率之积.(2)当正面计算较复杂或难以入手时,可从其对立事件入手计算.跟踪训练3溺水、触电等与学生安全有关的问题越来越受到社会的关注和重视,为了普及安全教育,某市组织了一次学生安全知识竞赛,规定每队3人,每人回答一个问题,答对得1分,答错得0分.在竞赛中,假设甲队每人回答问题的正确率均为23,乙队每人回答问题的正确率分别为12,23,34,且两队各人回答问题正确与否相互之间没有影响.(1)分别求甲队总得分为3分与1分的概率;(2)求甲队总得分为2分且乙队总得分为1分的概率.解(1)记“甲队总得分为3分”为事件A ,“甲队总得分为1分”为事件B .甲队得3分,即三人都回答正确,其概率P (A )=23×23×23=827,甲队得1分,即三人中只有1人回答正确,其余2人都回答错误,其概率P (B )=23××23××23=29.故甲队总得分为3分与1分的概率分别为827,29.(2)记“甲队总得分为2分”为事件C ,“乙队总得分为1分”为事件D .甲队得2分,即甲队三人中有2人回答正确,1人回答错误,则P (C )=23×23×+23××23+×23×23=49,乙队得1分,即乙队三人中只有1人回答正确,其余2人回答错误,则P (D )=12××23××34=14.由题意得事件C 与事件D 相互独立,则甲队总得分为2分且乙队总得分为1分的概率为P (CD )=P (C )P (D )=49×14=19.。
数学知识点:概率的基本性质(互斥事件、对立事件)_知识点总结
数学知识点:概率的基本性质(互斥事件、对立事件)互斥事件:事件A和事件B不可能同时发生,这种不可能同时发生的两个事件叫做互斥事件。
如果A1,A2,…,An中任何两个都不可能同时发生,那么就说事件A1,A2,…An彼此互斥。
对立事件:
两个事件中必有一个发生的互斥事件叫做对立事件,事件A的对立事件记做。
注:两个对立事件必是互斥事件,但两个互斥事件不一定是对立事件。
事件A+B的意义及其计算公式:
(1)事件A+B:如果事件A,B中有一个发生发生。
(2)如果事件A,B互斥时,P(A+B)=P(A)+P(B),如果事件A1,A2,…An彼此互斥时,那么P(A1+A2+…+An)=P(A1)+P(A2)+…+P(An)。
(3)对立事件:P(A+)=P(A)+P()=1。
概率的几个基本性质:
(1)概率的取值范围:[0,高考地理,1].
(2)必然事件的概率为1.
(3)不可能事件的概率为0.
(4)互斥事件的概率的加法公式:
如果事件A,B互斥时,P(A+B)=P(A)+P(B),如果事件A1,A2,…An彼此互斥时,那么P(A1+A2+…+An)=P(A1)+P(A2)+…+P(An)。
如果事件A,B对立事件,则P(A+B)=P(A)+P(B)=1。
互斥事件与对立事件的区别和联系:
互斥事件是不可能同时发生的两个事件,而对立事件除要求这两个事件不同时发生外,还要求二者之一必须有一个发生。
因此,对立事件是互斥事件的特殊情况,而互斥事件未必是对立事件,即“互斥”是“对立”的必要但不充分条件,而“对立”则是“互斥”的充分但不必要条件。
《互斥事件和独立事件》讲义在概率论这一充满奇妙和智慧的领域中,互斥事件和独立事件是两个非常重要的概念。
它们不仅在理论研究中有着关键的地位,还在实际生活的各个方面有着广泛的应用,从保险精算到质量控制,从生物遗传学到金融投资,无处不在。
首先,我们来了解一下互斥事件。
互斥事件,简单来说,就是指两个事件不能同时发生。
比如说,抛一枚硬币,正面朝上和反面朝上就是互斥事件,因为在一次抛硬币的过程中,不可能同时出现正面和反面。
再比如,从一副扑克牌中抽一张牌,抽到红桃和抽到黑桃就是互斥事件。
用数学语言来表达,如果事件 A 和事件 B 是互斥事件,那么它们的交集为空集,即P(A ∩ B) = 0 。
同时,P(A ∪ B) = P(A) + P(B) 。
这意味着,如果我们知道了事件 A 发生的概率和事件 B 发生的概率,那么它们至少有一个发生的概率就是这两个概率之和。
互斥事件的特点非常鲜明。
其一,互斥事件之间不存在重叠部分,它们的发生是相互排斥的。
其二,因为它们不能同时发生,所以在计算概率时可以直接将各自的概率相加。
接下来,我们看看独立事件。
独立事件则是指一个事件的发生与否对另一个事件的发生概率没有影响。
例如,今天下雨与否和明天彩票中奖与否就是独立事件。
再比如,第一次抛硬币正面朝上和第二次抛硬币正面朝上也是独立事件。
对于独立事件,如果事件 A 和事件 B 相互独立,那么P(A ∩ B) =P(A) × P(B) 。
这是独立事件概率计算的重要公式。
独立事件的关键在于事件之间互不干扰,各自的概率不受对方的影响。
那么,互斥事件和独立事件有什么区别和联系呢?区别方面,最明显的就是互斥事件强调不能同时发生,而独立事件强调一个事件的发生不影响另一个事件的概率。
从概率计算的角度来看,互斥事件用加法计算至少一个发生的概率,而独立事件用乘法计算同时发生的概率。
联系方面,互斥事件和独立事件并不是完全割裂的概念。
有些情况下,两个事件可能既不是互斥事件也不是独立事件;而在某些特殊情况下,互斥事件也可能是独立事件,但这种情况相对较少。
高中数学知识点:事件间的关系
(1)互斥事件:不能同时发生的两个事件叫做互斥事件;
(2)对立事件:不能同时发生,但必有一个发生的两个事件叫做对立事件;
(3)包含:事件A发生时事件B一定发生,称事件A包含于事件B(或事件B包含事件A);
要点诠释:
从集合角度理解互斥事件为两事件交集为空,对立事件为两事件互补.
若两事件A与B对立,则A与B必为互斥事件,而若事件A与B 互斥,则不一定是对立事件.
“对立”只能是两个事件之间的关系,不会出现多个事件之间相互“对立”.
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对立事件与互斥事件区别与联系
一,定义:⎩⎨⎧件叫做对立事件个发生的事件两互斥事对立事件:其中必有一斥事件
发生的两个事件叫做互互斥事件:不可能同时
二:互斥事件与对立事件的理解:
1.集合的角度(互斥事件):
(对立事件)
2. A ,B 互斥但不对立:I B A B A ≠Φ= , ,对立事件:I B A B A =Φ= , A,B
互斥事件:Φ=B A
3.两者的联系:
4.从集合的角度看:两事件对立是这两个事件互斥的___________________条件
5.从集合的角度去找出一个事件的对立事件
三.练习。
1.若事件A ,B 互斥,那么( ) A.B A +是必然事件 B. B A +是必然事件
C. B A 与一定不互斥
D.A 与B 可能互斥,也可能不互斥
2.从装有2个红球和2个白球的口袋中任取出2个球,那么下列事件中互斥的有( C ) 1.至少有1个白球;都是白球 2。
至少有1个白球;至少有一个红球
3.恰有1个白球;恰有2个白球 4。
至少有一个白球;都是红球
A.0个
B.1个 C 。
2个 D.3个
互斥事件三种可能情形(1)B 2A B 3A B A ⎧⎪⎨⎪⎩发生且不发生
()不发生且发生()与都不发生
对立事件两种情形
1A B
2A B
⎧
⎨
⎩
()发生且不发生()不发生发生。
互斥与对立事件的计算公式在我们的数学世界里,互斥与对立事件就像是两个性格迥异的小伙伴,它们有着独特的脾气和规律。
而搞清楚它们的计算公式,就像是拿到了打开数学宝藏的钥匙。
咱们先来聊聊互斥事件。
互斥事件呢,简单说就是两个事件不能同时发生。
比如说,今天下午要么下雨,要么不下雨,这就是互斥事件。
要是用数学语言来表示,假设事件 A 和事件 B 是互斥事件,那么它们同时发生的概率为 0 ,也就是P(A∩B) = 0 。
而计算事件 A 或者事件 B 发生的概率,就用 P(A∪B) = P(A) + P(B) 。
我记得有一次在课堂上,我给学生们出了这样一道题:一个袋子里有 5 个红球和 3 个蓝球,从中随机取出一个球,问取出红球和取出蓝球是不是互斥事件。
有个学生一开始还迷糊着呢,觉得可能同时取出红球和蓝球。
我就拿着袋子亲自演示了一遍,告诉他,每次只能取一个球,要么是红球,要么是蓝球,不可能同时取到两个颜色的球。
这一下子,那学生恍然大悟,其他同学也都明白了互斥事件的概念。
再来说说对立事件。
对立事件是一种特殊的互斥事件,两个事件不仅不能同时发生,而且它们的并集是整个样本空间。
比如说,扔一个骰子,出现奇数点和出现偶数点就是对立事件。
用公式表示就是 P(A)+ P(B) = 1 ,而且 P(A) = 1 - P(B) 。
就像有一次考试,有一道关于对立事件的选择题,好多同学都选错了。
我在讲解的时候,就举了个大家都熟悉的例子,比如咱们班参加运动会,要么赢得比赛,要么输掉比赛,这就是一个对立事件,没有第三种可能。
这么一解释,同学们纷纷点头,下次再遇到类似的题目就不会出错啦。
在实际应用中,互斥事件和对立事件的计算公式能帮助我们解决很多问题。
比如说在概率统计中,计算各种可能性的大小;在决策分析中,评估不同方案的风险等等。
总之,搞懂互斥与对立事件的计算公式,就像是在数学的海洋里有了一艘坚固的小船,能带着我们驶向更广阔的知识天地。
同学们,加油吧,让我们一起在数学的世界里畅游!。
对立事件知识点总结对立事件是指两个或多个事件在同一时间或同一环境中发生,且彼此之间具有矛盾、对立或相互排斥的关系。
对立事件的特点包括相互矛盾、相互排斥、相互影响、相互制约等。
对立事件通常在社会、政治、经济、文化、环境等领域中出现,对社会发展和个人生活都具有重要的影响。
对立事件的种类:1.社会对立事件:社会对立事件是指社会中不同阶层、不同群体、不同利益主体之间的矛盾和冲突。
社会对立事件包括阶级对立、民族对立、宗教对立、政治对立等。
例如,不同阶级之间的贫富对立、不同民族之间的种族对立、不同政治势力之间的意识形态对立等。
2.经济对立事件:经济对立事件是指在经济领域中出现的矛盾和冲突。
经济对立事件包括产权对立、利益对立、资源分配对立等。
例如,企业之间的竞争对立、劳工与资本之间的利益对立、资源分配不均引发的对立事件等。
3.文化对立事件:文化对立事件是指不同文化、不同价值观念之间的矛盾和冲突。
文化对立事件包括价值观念对立、文化冲突对立、宗教信仰对立等。
例如,传统文化与现代文化之间的价值观念对立、不同宗教信仰之间的文化冲突等。
4.环境对立事件:环境对立事件是指在自然环境和人类活动中出现的矛盾和冲突。
环境对立事件包括资源开发对立、生态保护对立、污染治理对立等。
例如,资源开发与生态保护之间的对立、污染治理与环境保护之间的对立等。
对立事件的影响:1.社会稳定:对立事件可能引发社会动荡、群体冲突、社会混乱等,危及社会稳定。
因此,及时化解对立事件,维护社会稳定至关重要。
2.经济发展:对立事件可能阻碍经济发展,影响资源配置、劳动力流动、市场秩序等,使经济运行受到不利影响。
3.文化传承:文化对立事件可能引发文化断裂、价值观念冲突、文化传承困难等问题,影响文化传承和发展。
4.生态环境:环境对立事件可能导致资源枯竭、生态破坏、环境污染等问题,威胁生态平衡和人类生存环境。
5.国家利益:对立事件可能影响国家安全、国家利益、国家形象等,对国家整体利益造成威胁。
互斥事件与对立事件辨析.互斥事件与对立事件的概念与计算公式1.互斥事件:不可能同时发生的两个事件(即事件A发生,事件B不发生,事件B 发生,事件A不发生)叫做互斥事件;从集合角度看,记事件A为集合A,事件B为集合B,则事件A与事件B是互斥事件,则集合A与集合B的交集为0 .互斥事件的概率公式为P(AUB)=P(A)+P(B).2.对立事件:如果事件A与事件B不能同时发生,且事件A与B必有一个发生。
则称事件A与事件B为对立事件,事件A的对立事件一般都记作瓜。
从集合角度看,事件瓜所含的结果组成的集合是全集中由事件A所含的结果组成的集合的补集,即:若事件A与B是对立事件,则AAB=0且AUB=I,有P(A+B)=P(I)=1,从而对立事件A与瓜的概率之和等于1,即P(A)=1-P(A)..互斤事件、对立事件的区别和联系互斥事件和对立事件都是对两个事件来说的.互斥事件是不可能同时发生的两个事件,而对立事件是其中必有一个发生的互斥事件。
一般地,两个事件对立则这两个事件一定互斥, 但两个事件互斥,这两个事件不一定对立,两个事件对立是两个事件互斥的充分而不必要条件,对立事件是互斥事件的特殊情况。
.例题选讲例1.某小组有3名男生和2名女生,从中任选2名同学参加演讲比赛.判断下列每对事件是不是互斥事件,如果是,再判别它们是不是对立事件•,(1)恰有1名男生与恰有2名男生;(2)至少有1名男生与全是男生;(3)至少有1名男生与全是女生;(4)至少有1名男生与至少有1名女生.分析:判别两个事件是否互斤,就要考察它们是否不能同时发生;判别两个互斥事件是否对立,就要考察它们是否必有一个发生.解:(1)因为“恰有1名男生”与“恰有2名男生”不可能同时发生,所以它们是互斥事件;当恰有2名女生时它们都不发生,所以它们不是对立事件,(2)因为恰有2名男生时“至少有1名男生”与“全是男生”同时发生,所以它们不是互斥事件。
(3)因为“至少有1名男生”与“全是女生”不可能同时发生,所以它们互斥;山于它们必有一个发生,所以它们对立.(4)山于选出的是1名男生1名女生时“至少有1名男生”与“至少有1名女生”同时发生,所以它们不是互斥事件.例2.甲、乙两人下棋,和棋的概率为丄,乙获胜的概率丄,求:2 3(1)甲获胜的概率;(2)甲不输的概率.分析:甲、乙两人下棋,其结果有“甲胜”、“和棋”、“乙胜”二种,它们是互斥事件,“甲获胜”看做是“和棋或乙胜”的对立事件.“甲不输”可看做是“甲胜”“和棋” 这两个互斥事件的并事件,亦可看做“乙胜”的对立事件.解:⑴“甲获胜”是“和棋或乙胜”的对立事件,所以“甲获胜”的概率为P=l---- = -2 3 6•••甲获胜的概率是丄6⑵解法1:设事件A为“甲不输”,看做是“甲胜” “和棋”这两个互斥事件的并事件.所z 1 1 2以P(A)= —I—=—.6 2 31 ?解法厶设事件A “甲不输”看做是“乙胜”的对立事件,所以P(A)=l-- = -2・••甲不输的概率是一•3互斥事件概率问题的求解要点一、错解分析1.搞清楚“互斥事件”与“等可能事件”的差异。
对⽴事件和互斥事件的区别是什么互斥事件:事件A与事件B不可能同时发⽣,强调的是“不同时发⽣”。
对⽴事件:事件A、B中必定⽽且只有⼀个发⽣。
除了A 就是B,没有第三种可能。
互斥与对⽴的同异性互斥事件与对⽴事件两者的联系在于:对⽴事件属于⼀种特殊的互斥事件。
它们的区别可以通过定义看出来:⼀个事件本⾝与其对⽴事件的并集等于总的样本空间;⽽若两个事件互为互斥事件,表明⼀者发⽣则另⼀者必然不发⽣,但不强调它们的并集是整个样本空间。
即对⽴必然互斥,互斥不⼀定会对⽴。
互斥事件与独⽴事件的不同点⼤致有如下三点:第⼀,针对的⾓度不同.前者是针对能不能同时发⽣,即两个互斥事件是指两者不可能同时发⽣;后者是针对有没有影响,即两个相互独⽴事件是指⼀个事件发⽣对另⼀个事件发⽣的概率没有影响(注意:不是⼀个事件发⽣对另⼀个事件发⽣没有影响 )。
第⼆,试验的次数不同。
前者是⼀次试验下出现的不同事件,后者是两次或多次不同试验下出现的不同事件。
第三,概率公式不同,若A与B为互斥事件,则有概率加法公式 P(A+B)=P(A)+P(B),若A与B不为互斥事件,则有公式P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB);若A与B为相互独⽴事件,则有概率乘法公式P(AB)=p(A)P(B)。
互斥事件和对⽴事件如何区分对⽴事件是⼀件事有两种可能,不是A,就是B。
如⼀两车撞⼈,只有两种可能:撞上,没撞上。
互斥事件可能有多于两种可能,不是A,有可能是B,还有可能是C...但不管有多少种情况,只有⼀种会发⽣,不可能同时发⽣。
我从箱⼦⾥摸球,有红的,黄的,蓝的,绿的,紫的。
但我最后只可能摸出⼀个球。
总的来说互斥事件,包括对⽴事件。
______________________________________________________________________________________________________________精品资料互斥事件与对立事件一、选择题1.把黑、红、白3张纸牌分给甲、乙、丙三人,则事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”是( )(A )对立事件 (B )互斥但不对立事件(C )不可能事件 (D )必然事件2.从装有除颜色外完全相同的2个红球和2个白球的口袋内任取2个球,那么互斥而不对立的两个事件是( ).A .至少有1个白球,都是白球B .至少有1个白球,至少有1个红球C .恰有1个白球,恰有2个白球D .至少有1个白球,都是红球3.从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取得2个球,那么互斥而不对立的两 个事件是( )A .至少有1个黑球与都是黑球B .至少有1个红球与都是黑球C .至少有1个黑球与至少有1个红球D .恰有1个黑球与恰有2个黑球4.两个事件对立是两个事件互斥的( )A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件5.下列说法中正确的是( )A.若事件A 与事件B 是互斥事件,则()()1P A P B +=;B.若事件A 与事件B 满足条件:()()()1P A B P A P B ⋃=+=,则事件A 与事件B 是 对立事件;C.一个人打靶时连续射击两次,则事件 “至少有一次中靶”与事件 “至多有一次中靶”是对立事件;D.把红、橙、黄、绿4张纸牌随机分给甲、乙、丙、丁 4人,每人分得1张,则事件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”是互斥事件.6.若P (A ∪B )=P (A )+P (B )=1,则事件A 与B 的关系是 ( )A.互斥不对立B.对立不互斥C.互斥且对立D.以上答案都不对7.从1,2,3,4,5,6,7,8,9这9个数字中任取两个数,分别有下列事件:①恰有一个是奇数或恰有一个是偶数;②至少有一个是奇数和两个都是奇数;③至少有一个是奇数和两个都是偶数;④至少有一个是奇数和至少有一个是偶数.其中为互斥事件的是A .①B .②④C .③D .①③8.从一批产品(其中正品、次品都多于两件)中任取两件,观察正品件数和次品件数,下列事件是互斥事件的是( )①恰有一件次品和恰有两件次品;②至少有一件次品和全是次品;③至少有一件正品和至少有一件次品;④至少有一件次品和全是正品.(A)①②(B)①④(C)③④(D)①③9.给出以下三个命题:①将一枚硬币抛掷两次,记事件A:两次都出现正面,事件B:两次都出现反面,则事件A与事件B是对立事件;②在命题①中,事件A与事件B是互斥事件;③在10件产品中有3件是次品,从中任取3件,记事件A:所取3件中最多有2件是次品,事件B:所取3件中至少有2件是次品,则事件A与事件B是互斥事件.其中真命题的个数是()A.0 B.1 C.2 D.310.从一批产品中取出三件产品,设A=“三件产品全不是次品”,B=“三件产品全是次品”,C=“三件产品至少有一件是次品”,则下列结论正确的是()A.A与C互斥B.任何两个均互斥C.B与C互斥D.任何两个均不互斥11.给出如下四对事件:①某人射击1次,“射中7环”与“射中8环”;②甲、乙两人各射击1次,“甲射中7环”与“乙射中8环”;③甲、乙两人各射击1次,“两人均射中目标”与“两人均没有射中目标”;④甲、乙两人各射击1次,“至少有1人射中目标”与“甲射中,但乙未射中目标”,其中属于互斥事件的有()A.1对 B.2对 C.3对 D.4对12.抛掷一枚骰子,记事件A为“落地时向上的数是奇数”,记事件B为“落地时向上的数是偶数”,事件C为“落地时向上的数是2的倍数”,事件D为“落地时向上的数是2或4”,则下列每对事件是互斥事件但不是对立事件的是()A.A与D B.A与B C.B与C D.B与D13.把颜色分别为红、黑、白的3个球随机地分给甲、乙、丙3人,每人分得1个球.事件“甲分得白球”与事件“乙分得白球”是( )A.对立事件 B.不可能事件C.互斥事件 D.必然事件14.[2014·宁夏检测]抽查10件产品,设事件A为“至少有2件次品”,则事件A的对立事件为( )A.至多有2件次品B.至多有1件次品C.至多有2件正品D.至少有2件正品15.[2014·承德模拟]从装有2个红球和2个白球的口袋内任取2个球,那么互斥但不对立的两个事件是( )A.至少有1个白球,都是白球B.至少有1个白球,至少有1个红球C.恰有1个白球,恰有2个白球D.至少有1个白球,都是红球16.一个射手进行射击,记事件E1:“脱靶”,E2:“中靶”,E3:“中靶环数大于4”,E4:“中靶环数不小于5”,则在上述事件中,互斥而不对立的事件共有 ( ).A.1对 B.2对 C.3对 D.4对17.下列叙述错误的是( )A.频率是随机的,在试验前不能确定,随着试验次数的增加,频率一般会越来越接近概率B.若随机事件A发生的概率为P(A),则0≤P(A)≤1C.互斥事件不一定是对立事件,但是对立事件一定是互斥事件D.5张奖券中有一张有奖,甲先抽,乙后抽,那么乙与甲抽到有奖奖券的可能性相同18.从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球,那么互斥而不对立的两个事件是()试卷第2页,总6页______________________________________________________________________________________________________________精品资料A .“至少有一个黑球”与“都是黑球”B .“至少有一个黑球”与“都是红球”C .“至少有一个黑球”与“至少有一个红球”D .“恰有一个黑球”与“恰有两个黑球”19.下列四个命题:①对立事件一定是互斥事件;②若A,B 为两个事件,则P(A ∪B)=P(A)+P(B);③若事件A,B,C 两两互斥,则P(A)+P(B)+P(C)=1;④若事件A,B 满足P(A)+P(B)=1,则A,B 是对立事件.其中错误命题的个数是( )(A)0 (B)1 (C)2 (D)320.掷一枚均匀的正六面体骰子,设A 表示事件“出现2点”,B 表示“出现奇数点”,则P(A ∪B)等于( ) (A) (B) (C) (D)21.掷一颗质地均匀的骰子,观察所得的点数a,设事件A=“a 为3”,B=“a 为4”,C=“a 为奇数”,则下列结论正确的是( )(A)A 与B 为互斥事件(B)A 与B 为对立事件(C)A 与C 为对立事件(D)A 与C 为互斥事件22.已知事件A 与事件B 发生的概率分别为()P A 、()P B ,有下列命题:①若A 为必然事件,则()1P A =; ②若A 与B 互斥,则()()1P A P B +=; ③若A 与B 互斥,则()()()P A B P A P B ⋃=+.其中真命题有( )个A .0B .1C .2D .323.甲、乙两人下棋,甲获胜的概率为0.3,甲不输的概率为0.8,则甲、乙两人下成和棋的概率为( )A. 0.6B. 0.3C. 0.1D. 0.524.一枚均匀的正方体骰子,将它向上抛掷一次,设事件A 表示“向上的一面出现奇数点”,事件B 表示“向上的一面出现的点数不超过3”,事件C 表示“向上的一面出现的点数不小于4”则A .A 与B 是互斥而非对立事件 B .A 与B 是对立事件C .B 与C 是互斥而非对立事件D .B 与C 是对立事件25.把一枚硬币任意抛掷三次,事件A =“至少一次出现反面”,事件B =“恰有一次出现正面”,则(|)P B A =( )A .17B .27C .73 D .47 26.把红、黄、蓝3张卡片随机分给甲、乙、丙三人, 每人1张, 事件A :“甲得红卡”与事件B :“乙得红卡”是 ( )A.不可能事件B.必然事件C.对立事件D.互斥且不对立事件27.从装有2个白球和2个蓝球的口袋中任取2个球,那么对立的两个事件是( )试卷第4页,总6页A .“恰有一个白球”与“恰有两个白球”B .“至少有一个白球”与“至少有—个蓝球”C .“至少有—个白球”与“都是蓝球”D .“至少有一个白球”与“都是白球”28.从装有2个白球和2个蓝球的口袋中任取2个球,那么对立的两个事件是( )A .“恰有一个白球”与“恰有两个白球”B .“至少有一个白球”与“至少有—个蓝球”C .“至少有—个白球”与“都是蓝球”D .“至少有一个白球”与“都是白球”29.从装有2个红球和2个白球的口袋内任取2个,则互斥但不对立的两个事件是( )A 、至少一个白球与都是白球B 、至少一个白球与至少一个红球C 、恰有一个白球与恰有2个白球D 、至少有1个白球与都是红球30.抽查10件产品,设事件A :至少有两件次品,则A 的对立事件为( )(A )至多两件次品 (B )至多一件次品 (C )至多两件正品 (D )至少两件正品31.从装有2个红球和2个白球的口袋内任取2个球,那么互斥而不对立的两个事件是( )A .“至少一个白球”与“都是白球”B .“至少有一个白球”与“至少有1个红球”C .“恰有一个白球”与“恰有二个白球”D .“至少有1个白球”与“都是红球”32.已知甲盒内有大小相同的1个红球和3个黑球,乙盒内有大小相同的3个红球和3个黑球,现从甲、乙两个盒内各任取2个球。
(1)求取出的4个球中没有红球的概率;(2)求取出的4个球中恰有1个红球的概率;(3)设ξ为取出的4个球中红球的个数,求ξ的分布列和数学期望。
33.地为绿化环境,移栽了银杏树2棵,梧桐树3棵.它们移栽后的成活率分别为23、12,每棵树是否存活互不影响,在移栽的5棵树中: (1)求银杏树都成活且梧桐树成活2棵的概率; (2)求成活的棵树ξ的分布列与期望.34.某煤矿发生透水事故时,作业区有若干人员被困.救援队从入口进入之后有12,L L 两条巷道通往作业区(如下图),1L 巷道有123,,A A A 三个易堵塞点,各点被堵塞的概率都是12;2L 巷道有12,B B 两个易堵塞点,被堵塞的概率分别为33,45.______________________________________________________________________________________________________________精品资料(1)求1L 巷道中,三个易堵塞点最多有一个被堵塞的概率;(2)若2L 巷道中堵塞点个数为X ,求X 的分布列及数学期望EX ,并按照"平均堵塞点少的巷道是较好的抢险路线"的标准,请你帮助救援队选择一条抢险路线,并说明理由.35.某校在教师外出培训学习活动中,在一个月派出的培训人数及其概率如下表所示:⑴ 求有4个人或5个人培训的概率;⑵ 求至少有3个人培训的概率.36.有编号为1,2,3的三个白球,编号为4,5,6的三个黑球,这六个球除编号和颜色外完全相同,现从中任意取出两个球.(1)求取得的两个球颜色相同的概率;(2)求取得的两个球颜色不相同的概率.37.在打靶训练中,某战士射击一次的成绩在9环(包括9环)以上的概率是0.18,在8~9环(包括8环)的概率是0.51,在7~8环(包括7环)的概率是0.15,在6~7环(包括6环)的概率是0.09.计算该战士在打靶训练中射击一次取得8环(包括8环)以上成绩的概率和该战士打靶及格(及格指6环以上包括6环)的概率.38.甲、乙两人玩一种游戏:在装有质地、大小完全相同,编号分别为1,2,3,4,5五个球的口袋中,甲先摸出一个球,记下编号,放回后乙再摸一个球,记下编号,如果两个编号的和为偶数算甲赢,否则算乙赢.(1)求甲赢且编号和为6的事件发生的概率;(2)这种游戏规则公平吗?试说明理由.39.在一次抢险救灾中,某救援队的50名队员被分别分派到四个不同的区域参加救援工作,其分布的情况如下表,从这50名队员中随机抽出2人去完成一项特殊任务. 区域 A B C D人数 20 10 5 15(1)求这2人来自同一区域的概率;(2)若这2人来自区域A ,D ,并记来自区域A 队员中的人数为X ,求随机变量X 的分布列及数学期望.40.(本题满分12分)某种有奖销售的小食品,袋内印有“免费赠送一袋”或“谢谢品尝”字样,购买一袋若其袋内印有“免费赠送一袋”字样即为中奖,中奖概率为61.甲、乙、丙三位同学每人购买了一袋该食品。