2．3互斥事件●三维目标1．知识与技能．知识与技能使学生理解互斥事件和对立事件的概念；能利用公式解决简单的概率问题．使学生理解互斥事件和对立事件的概念；能利用公式解决简单的概率问题．2．过程与方法．过程与方法通过知识迁移，与集合中相关概念的对比；培养学生用对立统一思想分析问题并解决问题．题．3．情感、态度与价值观．情感、态度与价值观通过学生独立思考、分组讨论，培养学生自主学习的习惯、与人合作的团队精神．通过学生独立思考、分组讨论，培养学生自主学习的习惯、与人合作的团队精神． ●重点难点重点：理解互斥事件和对立事件概念的区别和联系．重点：理解互斥事件和对立事件概念的区别和联系．难点：灵活运用P (A ＋B )＝P (A )＋P (B )和P (A )＝1－P (A )两个公式来解决问题．两个公式来解决问题．●教学建议以问题为主线，引导发现法，教师可以从学生生活掷骰子事件出发，逐步导出互斥事件，使学生既有兴趣又很轻松的理解互斥事件，为下面的学习打好理论基础．使学生既有兴趣又很轻松的理解互斥事件，为下面的学习打好理论基础．●教学流程创设情境，引入新课，以课本上的掷骰子为例探究各事件间的关系⇒总结出互斥和对立事件的概念并展现它们之间的区别与联系，给出概率加法公式⇒通过例1及变式训练，使学生明确，互斥和对立事件的关系掌握判断事件的方法⇒通过例2及变式训练，使学生掌握互斥事件概率的运算⇒通过对互斥事件和对立事件的理解完成例3及变式训练进一步体会概率加法公式⇒归纳总结，知识升华，使学生从整体上把握本节知识⇒完成当堂双基达标，巩固本节知识并进行反馈、矫正固本节知识并进行反馈、矫正课标解读 1.了解互斥事件的概念及概率加法公式(重点)．2．掌握对立事件的概率及概率的计算公式(重点)． 3．能利用互斥事件、对立事件的概率计算公式解决复杂的古典概率的计算问题(难点)．4．理解互斥事件和对立事件的区别和联系.互斥事件 【问题导思】在掷骰子试验中，我们用集合形式定义如下事件：C 1＝{出现1点}，C 2＝{出现2点}，C 3＝{出现3点}，C 4＝{出现4点}，C 5＝{出现5点}，C 6＝{出现6点}，D 1＝{出现的点数不大于1}，D 2＝{出现的点数大于4}，D 3＝{出现的点数小于6}，E ＝{出现的点数小于7}，F ＝{出现的点数大于6}，G ＝{出现的点数为偶数}，H ＝{出现的点数为奇数}．1．事件D 3与事件F 能同时发生吗？能同时发生吗？【提示】 不能．2．如果事件“C 2发生或C 4发生或C 6发生”，就意味着哪个事件发生？发生”，就意味着哪个事件发生？【提示】 意味着事件G 发生．3．事件D 2与事件H 同时发生，意味着哪个事件发生？同时发生，意味着哪个事件发生？【提示】C5发生．1．互斥事件的定义在一个随机试验中，我们把一次试验中不能同时发生的两个事件A和B称作互斥事件．2．事件A与B至少有一个发生给定事件A，B，我们规定A＋B为一个事件，事件A＋B发生是指事件A和事件B至少有一个发生．少有一个发生．根据上述定义推广可得：事件A1＋A2＋…＋A n表示在一次随机试验中，事件A1，事件A2，…，事件A n中至少有一个发生．中至少有一个发生．3．互斥事件的概率加法公式一般地，如果事件A，B互斥，那么事件A＋B发生(即A，B中至少有一个发生)的概率等于事件A，B分别发生的概率的和，即P(A＋B)＝P(A)＋P(B)．这个公式称为互斥事件的概率加法公式．概率加法公式．如果事件A1，A2，…，A n彼此互斥，那么事件A1＋A2＋…＋A n发生(即A1，A2，…，A n中至少有一个发生)的概率，等于这n个事件分别发生的概率的和，即P(A1＋A2＋…＋A_n)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(A n)．对立事件及其概率的求法公式【问题导思】在知识1的问题导思中，事件G与事件H能同时发生吗？这两个事件有什么关系？能同时发生吗？这两个事件有什么关系？【提示】事件G与事件H不能同时发生，但必有一个发生．1．定义在每一次试验中，如果两个事件A与B不能同时发生，并且一定有一个发生，那么事件A与B称作是对立事件，事件A的对立事件记为A. 2．性质P(A)＋P(A)＝1，即P(A)＝1－P(A).互斥事件与对立事件的判断从装有除颜色外其他均相同的5只白球和5只红球的袋中任意取出3只球，判断下列每对事件是否为互斥事件，是否为对立事件．断下列每对事件是否为互斥事件，是否为对立事件．(1)“取出2只红球和1只白球”与“取出1只红球和2只白球”；只白球”；(2)“取出3只红球”与“取出3只球中至少有1只白球”；只白球”；(3)“取出3只红球”与“取出3只球中至少有1只红球．”只红球．”【思路探究】根据对立事件和互斥事件的定义来判断．【自主解答】从袋中任意取出3只球有4种结果：3只白球；2只白球1只红球；1只白球2只红球；3只红球．(1)因为“取出2只红球1只白球”与“取出1只红球2只白球”不能同时发生，所以它们是互斥事件．当“取出3只白球”时，它们都没有发生，所以它们不是对立事件．(2)“取出3只球中至少有1只白球”包括三种结果：1只白球2只红球，2只白球1只红球，3只白球．因此它与“取出3只红球”不能同时发生，它们是互斥事件，且它们中必有一个发生，所以又是对立事件．(3)当取出的3只球都是红球时，它们同时发生，所以它们不是互斥事件，也不是对立事件．1．要判断两个事件是不是互斥事件，只需找出各个事件包含的所有结果，看它们之间能不能同时发生，若不能同时发生，能不能同时发生，若不能同时发生，则为互斥事件，在互斥的前提下，则为互斥事件，在互斥的前提下，则为互斥事件，在互斥的前提下，看两个事件中是否必看两个事件中是否必有一个发生，可判断是否为对立事件．2．判断事件的关系，尤其是互斥事件和对立事件在求概率时非常重要，它直接决定了求解是否正确．应注意互斥事件不能同时发生，应注意互斥事件不能同时发生，对立事件除不能同时发生外，对立事件除不能同时发生外，对立事件除不能同时发生外，其和事件为必其和事件为必然事件，这些也可类比集合进行理解．判断下列给出的每对事件，是否为互斥事件，是否为对立事件，并说明道理．判断下列给出的每对事件，是否为互斥事件，是否为对立事件，并说明道理．从40张扑克牌(红桃、黑桃、方块、梅花点数为1～10各10张)中，任取一张．中，任取一张．(1)“抽出红桃”与“抽出黑桃”；“抽出红桃”与“抽出黑桃”； (2)“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”；“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”；(3)“抽出牌点数为5的倍数”与“抽出的牌点数大于9”．”．【解】 (1)是互斥事件，不是对立事件．道理是：从40张扑克牌中任意抽取1张，“抽出红桃”和“抽出黑桃”是不可能同时发生的，所以是互斥事件，同时，不能保证其中必有一个发生，这是由于还可能抽出“方块”或者“梅花”，因此，二者不是对立事件．(2)是对立事件．道理是：从40张扑克牌中任意抽取1张，“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”两个事件不可能同时发生，且其中必有一个发生，所以它们是对立事件，(3)不是互斥事件，也不是对立事件．道理是：从40张扑克牌中任意抽取1张．“抽出的牌的点数为5的倍数”与“抽出的牌的点数大于9”这两个事件可能同时发生．因此，二者不是互斥事件，当然不可能是对立事件．互斥事件的概率盒子里装有除颜色外其他均相同的各色球共12个，其中5红、4黑、2白、1绿，从中任取1球，记事件A 为“取出1个红球”，事件B 为“取出1个黑球”，事件C为“取出1个白球”，事件D 为“取出1个绿球”．已知P (A )＝512，P (B )＝13，P (C )＝16，P (D )＝112. 求(1)“取出1球为红球或黑球”的概率；球为红球或黑球”的概率；(2)“取出1球为红球或黑球或白球”的概率．球为红球或黑球或白球”的概率．【思路探究】 从12球中任取一球，取到红球、黑球、白球互斥，所以可用互斥事件概率的加法公式求解．【自主解答】 法一 (1)“取出1球为红球或黑球”的概率为P (A ＋B )＝P (A )＋P (B )＝512＋13＝34. (2)“取出1球为红球或黑球或白球”的概率为P (A ＋B ＋C )＝P (A )＋P (B )＋P (C )＝512＋13＋16＝1112. 法二 (1)“取出1球为红球或黑球”的对立事件为“取出1球为白球或绿球”，即A ＋B 的对立事件为C ＋D ，故“取出1球为红球或黑球”的概率为 P (A ＋B )＝1－P (C ＋D )＝1－(P (C )＋P (D ))＝1－(16＋112)＝34. (2)“取出1球为红球或黑球或白球”的对立事件为“取出1球为绿球”，即A ＋B ＋C 的对立事件为D ，所以“取出1球为红球或黑球或白球”的概率为P (A ＋B ＋C )＝1－P (D )＝1－112＝1112. 1．解决本题的关键是明确取到不同颜色球不可能同时发生，即互斥．由此可知用概率加法公式．2．若随机试验中，涉及多个事件，应先分析判断这几个事件是否互斥(或对立)，若是，可利用互斥事件概率的加法公式求解．当某一事件包含几个互斥的事件时，求该事件发生的概率也有上述规律．在数学考试中，小明的成绩在90分以上(含90分)的概率是0.18，在80分～89分的概率是0.51，在70分～79分的概率是0.15，在60分～69分的概率是0.09，在60分以下的概率是0.07. (1)求小明在数学考试中，取得80分以上(含80分)成绩的概率；成绩的概率；(2)求小明考试及格的概率．求小明考试及格的概率．【解】分别记小明的成绩“在90分以上”、“在80分～89分”、“在70分～79分”、“在60分～69分”为事件事件B、C、D、E，这四个事件彼此互斥．(1)小明的成绩在80分以上的概率是P(B＋C)＝P(B)＋P(C)＝0.18＋0.51＝0.69. (2)小明考试及格的概率是P(B＋C＋D＋E)＝P(B)＋P(C)＋P(D)＋P(E)＝0.18＋0.51＋0.15＋0.09＝0.93. 对立事件的概率某射手在一次射击训练中，射中10环、9环、8环、7环的概率分别为0.21,0.23,0.25,0.28，计算这个射手在一次射击中：，计算这个射手在一次射击中：(1)射中10环或7环的概率；环的概率；(2)射中7环以下的概率．环以下的概率．【思路探究】求复杂事件的概率通常有两种方法：一是将所求事件转化成彼此互斥的事件的和；二是先去求其对立事件的概率，进而再求所求事件的概率．【自主解答】(1)记“射中10环”为事件A，记“射中7环”为事件B.由于在一次射击中，A与B不可能同时发生，故A与B是互斥事件．“射中10环或7环”的事件为A＋B，故P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝0.21＋0.28＝0.49. (2)记“射中7环以下”为事件E，E的对立事件为E，则事件E为“射中7环或8环或9环或10环”．由“射中7环”、“射中8环”、“射中9环”、“射中10环”是彼此互斥事件，故P(E)＝0.21＋0.23＋0.25＋0.28＝0.97，从而P(E)＝1－P(E)＝1－0.97＝0.03. 所以射中10环或7环的概率为0.49，射中7环以下的概率为0.03. 1．必须分析清楚事件A，B是否互斥，只有互斥事件才可以用概率的加法公式．2．当直接求某一事件的概率较为复杂或根本无法求时，可先转化为求其对立事件的概率．经统计，在某储蓄所一个营业窗口等候人数及相应概率如下：经统计，在某储蓄所一个营业窗口等候人数及相应概率如下：排队人数012345人及以上人及以上概率0.10.160.30.30.10.04 (1)至多2人排队等候的概率是多少？人排队等候的概率是多少？(2)至少1人排队等候的概率是多少？人排队等候的概率是多少？【解】记事件“在窗口等候的人数为0,1,2,3,4,5人及以上”的事件分别为A，B，C，D，E，F，则它们彼此互斥．(1)至多2人排队等候的概率是：法一P(A＋B＋C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝0.1＋0.16＋0.3＝0.56. 法二P(A＋B＋C)＝1－P(D＋E＋F)＝0.56. (2)至少1人排队等候的概率是：对互斥事件概念理解有误点的概率都是16，记事件＝1，＝1，所以＝1＋1＋1＋1＝2. 互斥事件和对立事件都是针对两个事件而言的，它们两者之间既有区别又有联系．一次试验中，两个互斥事件有可能都不发生，一次试验中，两个互斥事件有可能都不发生，也可能有一个发生，也可能有一个发生，也可能有一个发生，但不可能两个都发生；而但不可能两个都发生；而两个对立事件必有一个发生，但是不可能两个事件同时发生，也不可能两个事件都不发生．所以两个事件互斥，它们未必对立；反之两个事件对立，它们一定互斥．以两个事件互斥，它们未必对立；反之两个事件对立，它们一定互斥． 2．互斥事件的概率加法公式是一个很基本的计算公式，解题时要在具体的情景中判断各事件间是否互斥，只有互斥事件才能用概率加法公式，只有互斥事件才能用概率加法公式，如果事件不互斥，如果事件不互斥，那么公式就不能使用！使用！3．求复杂事件的概率通常有两种方法．求复杂事件的概率通常有两种方法方法一：将所求事件转化成彼此互斥事件的并事件；方法一：将所求事件转化成彼此互斥事件的并事件；方法二：先求其对立事件的概率，再求所求事件的概率．方法二：先求其对立事件的概率，再求所求事件的概率．如果采用方法一，一定要将事件分拆成若干互斥的事件，一定要将事件分拆成若干互斥的事件，不能重复和遗漏；不能重复和遗漏；如果采用方法二，一定要找准其对立事件，否则容易出现错误．法二，一定要找准其对立事件，否则容易出现错误．1．事件A 与B 是对立事件，且P (A )＝0.6，则P (B )等于( ) A ．0.4B ．0.6C ．0.5D ．1 【解析】 由对立事件的性质知P (A )＋P (B )＝1，∴P (B )＝1－0.6＝0.4. 【答案】 A 2．某产品分甲、乙、丙三级，若生产中出现乙级品的概率为0.03，丙级品的概率为0.01，则对该产品抽查一件抽到甲级品的概率为( ) A ．0.09 B ．0.97 C ．0.99 D ．0.96 【解析】 产品共分三个等级，出现乙级品和丙级品的概率分别为0.03和0.01，则出现甲级品的概率为1－0.03－0.01＝0.96. 【答案】 D 3．从一箱苹果中任取一个，从一箱苹果中任取一个，如果其重量小于如果其重量小于200克的概率为0.2，重量在[200,300]克的概率为0.5，那么重量超过300克的概率为( ) A ．0.2 B ．0.3 C ．0.7 D ．0.8 【解析】 设“重量小于200克”为事件A ，“重量在[200,300]克之间”为事件B ，“重量超过300克”为事件C ，则P (C )＝1－P (A )－P (B )＝1－0.2－0.5＝0.3.故选B. 【答案】 B 4．甲、乙两人下棋，和棋的概率为12，乙获胜的概率为13，求：，求： (1)甲获胜的概率；(2)甲不输的概率．甲不输的概率． 【解】 甲、乙两人下棋，其结果有甲胜、和棋、乙胜三种，它们是互斥事件，“甲获胜”可看做是“和棋或乙胜”的对立事件．“甲不输”可看做是“甲胜”“和棋”这两个互斥事件的和事件，亦可看做“乙胜”的对立事件．于是，(1)“甲获胜”是“和棋或乙胜”的对立事件，所以“甲获胜”的概率P ＝1－12－13＝16，即甲获胜的概率是16. (2)法一 设事件A 为“甲不输”，它可看做是“甲胜”“和棋”这两个互斥事件的和事件，所以P (A )＝16＋12＝23. －1＝2，一、选择题A.1B.3C.C.33D.99，故选－1＝9，故选A.5 B.1 C.1 D.1 1；②第一次掷得正面，第二次1；③第一次掷得反面，第二次掷得正面，其概率为1的概率为1＋1＋1＝5. 上述事件中，对立事件是( ) A ．①．①B ．②④．②④C ．③．③D ．①③．①③ 【解析】 互为对立事件的两个事件既不能同时发生又必有一个发生．故③是符合要求的．【答案】 C 二、解答题6．从一副混合后的扑克牌(52张)中随机抽取1张，事件A 为“抽得红桃K ”，事件B 为“抽得黑桃”，则概率P (A ＋B )＝________. 【解析】 一副扑克牌中有1张红桃K,13张黑桃，事件A 与事件B 互斥，∴P (A ＋B )＝P (A )＋P (B )＝152＋1352＝72626. . 【答案】 726图3－2－2 7．如图3－2－2所示，靶子由一个中心圆面Ⅰ和两个同心圆环Ⅱ、Ⅲ构成，射手命中Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的概率分别为0.35、0.30、0.25，则不命中靶的概率是________．【解析】 1－0.35－0.30－0.25＝0.1. 【答案】 0.1 8．(2013·沈阳高一检测)一个口袋内装有大小相同的红球、白球和黑球，从中摸出一个球，摸出红球或白球的概率为0.58，摸出红球或黑球的概率为0.62，摸出红球的概率为________．【解析】 由题意知A ＝“摸出红球或白球”与B ＝“摸出黑球”是对立事件，又P (A )＝0.58，∴P (B )＝1－P (A )＝0.42，又C ＝“摸出红球或黑球”与D ＝“摸出白球”为对立事件，P (C )＝0.62，∴P (D )＝0.38.设事件E ＝“摸出红球”，则P (E )＝1－P (B ∪D ) ＝1－P (B )－P (D )＝1－0.42－0.38＝0.2. 【答案】 0.2 三、解答题9．从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛．人参加演讲比赛．(1)求所选3人中恰有1名女生的概率；名女生的概率；(2)求所选3人中至少有1名女生的概率．名女生的概率． 【解】 4名男生记为1,2,3,4，两名女生记为5,6，从这6个人中选3个人的方法有(1,2,3)，(1,2,4)，(1,2,5)，(1,2,6)，(2,3,4)，(2,3,5)，(2,3,6)，(3,4,5)，(3,4,6)，(4,5,6)，(1,3,4)，(1,3,5)，(1,3,6)，(1,4,5)，(1,4,6)，(1,5,6)，(2,4,5)，(2,4,6)，(2,5,6)，(3,5,6)共20种方法．(1)所选3人中恰好有1名女生的情况有(1,2,5)，(1,2,6)，(2,3,5)，(2,3,6)，(3,4,5)，(3,4,6)，(1,3,5)，(1,3,6)，(1,4,5)，(1,4,6)，(2,4,5)，(2,4,6)共12种方法．故所选3人中恰好有1名女生的概率为1220＝35. (2)所选3人中恰好有2名女生的情况有(1,5,6)，(2,5,6)，(3,5,6)，(4,5,6)，共4种情况，则所选3人中至少有1名女生的情况共有12＋4＝16种．所以，所选3人中至少有1名女生的概率为1620＝45(1－15＝45)． 10．某商场举行购物抽奖促销活动，规定每位顾客从装有编号为0,1,2,3四个相同小球的抽奖箱中，每次取出一球记下编号后放回，每次取出一球记下编号后放回，连续取两次，连续取两次，若取出的两个小球号码相加之和等于6，则中一等奖，等于5中二等奖，等于4或3中三等奖．中三等奖．(1)求中三等奖的概率；(2)求中奖的概率．求中奖的概率．【解】 设“中三等奖”为事件A ，“中奖”为事件B ，从四个小球中有放回地取两球有：(0,0)，(0,1)，(0,2)，(0,3)，(1,0)，(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,0)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,0)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，共有16种不同的结果．(1)取出的两个小球号码相加之和等于4或3的取法有：(1,3)，(2,2)，(3,1)，(0,3)，(1,2)，(2,1)(3,0)，有7种结果，则中三等奖的概率为P (A )＝716. (2)由(1)知两个小球号码相加之和等于3或4的取法有7种；两个小球号码相加之和等于5的取法有2种：(2,3)，(3,2)．两个小球号码相加之和等于6的取法有1种：(3,3)．则中奖的概率为P (B )＝7＋2＋116＝58. 11．(2013·湖南高考) 图3－2－3 某人在如图3－2－3所示的直角边长为4米的三角形地块的每个格点(指纵、横直线的交叉点以及三角形的顶点)处都种了一株相同品种的作物．根据历年的种植经验，一株该种作物的年收获量Y (单位：kg)与它的“相近”作物株数X 之间的关系如下表所示：之间的关系如下表所示：X 1 2 3 4 Y 51 48 45 42 这里，两株作物“相近”是指它们之间的直线距离不超过1米．米．(1)完成下表，并求所种作物的平均年收获量：Y 51 48 45 42 频数4 (2)在所种作物中随机选取一株，求它的年收获量至少为48 kg 的概率．的概率．【解】 (1)所种作物的总株数为1＋2＋3＋4＋5＝15，其中“相近”作物株数为1的作物有2株，“相近”作物株数为2的作物有4株，“相近”作物株数为3的作物有6株，“相近”作物株数为4的作物有3株，列表如下：Y 51 48 45 42 频数2 4 6 3 所种作物的平均年收获量为51×2＋48×4＋45×6＋42×315＝102＋192＋270＋12615＝69015＝46. (2)由(1)知，P (Y ＝51)＝215，P (Y ＝48)＝415.故在所种作物中随机选取一株，它的年收获量至少为48 kg 的概率为P (Y ≥48)＝P (Y ＝51)＋P (Y ＝48)＝215＋415＝25. (教师用书独具) 假设向三个相邻的军火库投掷一枚炸弹，炸中第一个军火库的概率为个小球，分别为红球、黑球、黄球、绿球，从中任取率是13，得到黑球或黄球的概率是512，得到黄球或绿球的概率也是512，试求得到黑球、黄球、＝14，＝16，＝14. 所以，得到黑球的概率为1，得到黄球的概率为1，得到绿球的概率为1. 。
