小学五年级奥数讲义

前言目录第一讲分数乘法（乘法中的简算） (2)练习卷 (5)第二讲长方体和正方体（巧算表面积） (6)练习卷 (10)第三讲分数除法应用题 (11)练习卷 (15)第四讲长方体和正方体（巧算体积） (16)练习卷 (20)第五讲较复杂的分数应用题（寻找不变量） (21)练习卷 (24)第六讲百分数（浓度问题） (25)练习卷 (28)综合演习（1） (29)综合演习（2） (31)第一讲 分数乘法例题讲学例1 （1）1514×19 （2） 27×2611 【思路点拨】 观察这两道题中数的特点，第（1）题中的1514比1少151，可以把1514看作1-151，然后和19相乘，利用乘法分配律使计算简便；同样，第（2）题中27与2611中的分母26相差1，可以把27看作（26+1），然后和2611相乘，再运用乘法分配律使计算简便。

或拆成与1有关的两数之差或和；或者把一个数拆分成与分数分母相关的和或差，最后用乘法分配律使计算简便。

同步精练1. 3613×35 2. 2322×103. 8×15144. 253×126 5. 17×1211 6. 262524例2 120001999199820001999-⨯⨯+【思路点拨】 仔细观察分子、分母中各数的特点，我们就会发现，分子1999+2000×1998=1999+2000×（1999-1）=1999+2000×1999-2000=2000×1999-1，这样就把分子转化成与分母完全相同的式子，结果自然就好计算了，试试吧！特点一般都能化成分子、分母能约分的情况，然后使计算简便。

同步精练1. 186548362361548362-⨯⨯+2. 120112010200920112010-⨯⨯+例3651541431321211⨯+⨯+⨯+⨯+⨯ 【思路点拨】 在这道题中，每个分数的分子都是1，分母是两个连续的自然数的乘积。

第1讲图形综合训练【学习目标】1、复习基本图形的相关知识；2、熟悉小升初常见题型。

【知识梳理】1、三角形的面积公式：；2、平行四边形的面积公式：；3、梯形的面积公式：；4、学过的五种模型：、、、、。

【综合训练】1、如下图，长方形 ABCD 的面积为100平方厘米，E、F、G 分别是 AB、BC、CD 的中点，H 为AD边上的任意一点。

求阴影部分的面积是多少平方厘米？2、已知四边形 ABCD 的对角线被 E、F、G 三点四等分，且阴影部分面积为 15 平方厘米。

求四边形 ABCD 的面积。

3、如图所示，长方形 ABCD 内的阴影部分的面积之和为 70，AB=8 ，AD=15 ，四边形 EFGO的面积为多少？4、如图，正方形 ABCD 面积为3平方厘米， M 是 AD 边上的中点。

求图中阴影部分的面积。

5、如下图，在三角形 ABC 中，CD=3BD，AE=DE。

如果三角形 ABC 的面积是 5.6 平方厘米，那么阴影部分的面积是多少平方厘米？6、如图，E为AC的中点,BD=2CD，三角形DGC的面积为4，求三角形ABC的面积？7、如图，正方形ABCD和正方形CEFG，且正方形ABCD的边长是1厘米，图中阴影部分的面积是多少平方厘米？8、把两个长方形叠放在一起，小长方形的宽是2米，A点是大长方形一边的中点。

图中阴影部分的面积是多少平方米？9、用22张同样大小的长方形小纸片摆成一个大长方形，已知小纸片的宽是12厘米，那么图中阴影部分的面积一共是多少平方厘米？10、如图，两个一样的直角三角形重叠在一起，按照图上标出的数，计算阴影部分的面积。

（单位：厘米）11、如图，在直角三角形ABC中，四边形BEDF为正方形，AD=15厘米，CD=20厘米。

图中阴影部分的面积是多少平方厘米？12、如图，大正方形边长为4厘米，阴影部分面积为14平方厘米，小正方形的边长为多少厘米？13、如图，三角形ABC的面积是36平方厘米，AC长8厘米，DE长3厘米（四边形ADFC不是正方形）。

数字与数位的奥秘月日姓名【知识要点】同学们都知道,像0、1、2、3、…、9等都用来记数的符号，叫做数字。

一个数中，每一个数字都占有一个位置，这些位置就是数位，同一个数字，所处的位置不同，表示的数的大小也就不同，例如：2如果在个位上，表示2个一；记在十位上，表示2个十；记在百位上，表示2个百，今天我们就来研究数字与数位的奥秘。

数都是由数字组成的，你考虑过每个数的数字和问题吗？例如一个四位数3084它是由3、0、8、4四个数字组成的，这四个数字的和是3+0+8+4=15，15就是3084的各位上的数字和，关于数字和有许多有趣的问题。

【典型例题】例1 一个四位数，百位和十位上的数字相同，都是个位数字的3倍，而个位数字是千位数字的3倍，这个四位数是多少？例2 有一个三位数，数位上3个数字之和是12，十位上的数字与百位上数字一样大小，个位上的数字是十位上的数字的2倍，这个三位数是多少？例3 一个一位数，在它的前面写上2，所组成的两位数是原一位数的6倍，原来的一位数是多少？例4 一个两位数，在它的后面写上2，所成的三位数比原两位数多758，问原来的两位数是多少？例5 一个四位数，最高位上是7，如果把这个数字调到最后一位，其余的数字依次前移，则这个数要减少864，求这个四位数。

随堂小测姓名成绩1．一个三位数，十位上的数字比百位上的数字大2，个位上的数字比百位上的数字大5，这个三位数在450到500之间，这个三位数是多少？2．一个两位数,个位数字是十位数字的3倍，如果这个数加上7，则这两个数字相同，此数是多少？3．一个两位数，在它的后面写上0，所成的三位数比原两位数多243，问原来的两位数是多少？4．一个两位数在它的前面写上5，所成的三位数比原两位数的11倍，问原来的两位数是多少？5．一个两位数，在它的前面写上3，所成的三位数比原两位数的7倍多24，原来的两位数是多少？课后作业姓名成绩1．有一个四位数，千位和个位上的数字相同，且百位上的数字是十位上的3倍，十位上的数字是个位上的3倍，这个四位数是多少？2．一个三位数，个位上的数字是十位上的数字的3倍，十位上数字是百位上数字的一半，三个数位上的数字的和是12，这个三位数是几？3．把数字8写在一个三位数的前面得到一个四位数，这个四位数恰好是原三位数的21倍，问原三位数是多少？4．一个两位数，其数字之和为6，如果此数减去18，则两个数字的位置交换。

第12讲差不变模型【学习目标】1、熟悉差不变原理；2、会根据差不变原理解题。

【知识梳理】在组合图形中，除了多边形外，还有由圆、扇形、弓形与三角形、矩形、平行四边形、梯形等图形组合而成的不规则图形，为了计算它们的面积，常常需要变动图形的位置或对图形进行分割、旋转、拼补，使它变成可以计算出面积的规则图形。

就是在多边形的组合图形中，为了计算面积，有时也要用到差不变的原理。

【典例精析】【例1】如图中，甲三角形的面积比乙三角形的面积大多少平方厘米？6×8÷2-4×8÷2=8(cm²)【趁热打铁-1】如图所示，甲三角形的面积比乙三角形的面积大6平方厘米，求CE的长度．4×4-6=10(cm²)10×2÷4-4=1(m)【例2】图中ABCD是长方形，三角形EFD的面积比三角形ABF的面积大6cm²，其中BC=6cm，AB=4cm，求ED的长．6×4+6=30(cm²)30×2÷6-4=6(cm)【趁热打铁-2】如图，A三角形的面积比B三角形的面积大3m²，则a=__4__cm．9×6÷2=27(cm²)(27-3)÷6=4(cm)【例3】如图，ABCG是4×7的长方形，DEFG是2×10的长方形，那么三角形BCM的面积与三角形DEM的面积之差是__3__．(10-7)×(4+2)÷2-2×3=3【趁热打铁-3】大、小两个正方形拼在一起，比较图中两块阴影部分面积：S△ABE = S△CDE．【例4】如图，有一个正方形，边长是24厘米，E是AD的中点，甲、乙两个三角形的面积相差多少平方厘米？24×24÷2-24×12÷2=144(cm²)【趁热打铁-4】如图，正方形ABCD的边长是10厘米，长方形EFGH的长为8厘米，宽为5厘米．则阴影部分的甲与阴影部分乙面积的差是 60 平方厘米．10×10-8×5=60(cm²)【例5】如图，平行四边形ABCD的边长BC为10厘米，直角三角形ECB的直角边EC长8厘米，已知阴影部分的总面积比三角形EGF的面积大10平方厘米，则平行四边形ABCD的面积为__50__平方厘米。

五年级奥数讲义第13讲--长方体和正方体(一)work Information Technology Company.2020YEAR第13讲长方体和正方体（一）一、知识要点在数学竞赛中，有许多有关长方体、正方体的问题。

解答稍复杂的立体图形问题要注意几点：1.必须以基本概念和方法为基础，同时把构成几何图形的诸多条件沟通起来；2.依赖已经积累的空间观念，观察经过割、补后物体的表面积或体积所发生的变化；3.求一些不规则的物体体积时，可以通过变形的方法来解决。

二、精讲精练【例题1】一个零件形状大小如下图：算一算，它的体积是多少立方厘米表面积是多少平方厘米（单位：厘米）【思路导航】（1）可以把零件沿虚线分成两部分来求它的体积，左边的长方体体积是10×4×2=80（立方厘米），右边的长方体的体积是10×（6－2）×2=80（立方厘米），整个零件的体积是80×2=160（立方厘米）；（2）求这个零件的表面积，看起来比较复杂，其实，朝上的两个面的面积和正好与朝下的一个面的面积相等；朝右的两个面的面积和正好与朝左的一个面的面积相等。

因此，此零件的表面积就是（10×6＋10×4＋2×2）×2=232（平方厘米）。

想一想：你还能用别的方法来计算它的体积吗？练习1：1.一个长5厘米，宽1厘米，高3厘米的长方体，被切去一块后（如图），剩下部分的表面积和体积各是多少？2.把一根长2米的长方体木料锯成1米长的两段，表面积增加了2平方分米，求这根木料原来的体积。

3.有一个长8厘米，宽1厘米，高3厘米的长方体木块，在它的左右两角各切掉一个正方体（如图），求切掉正方体后的表面积和体积各是多少？【例题2】有一个长方体形状的零件，中间挖去一个正方体的孔（如图），你能算出它的体积和表面积吗（单位：厘米）【思路导航】（1）先求出长方体的体积，8×5×6=240（立方厘米），由于挖去了一个孔，所以体积减少了2×2×2=8（立方厘米），这个零件的体积是240－8=232（立方厘米）；（2）长方体完整的表面积是（8×5＋8×6＋6×5）×2=236（平方厘米），但由于挖去了一个孔，它的表面积减少了一个（2×2）平方厘米的面，同时又增加了凹进去的5个（2×2）平方厘米的面，因此，这个零件的表面积是236＋2×2×4=252（平方厘米）。

五年级奥数讲义：长方体和正方体的表面积在数学竞赛中，有许多问题涉及到长方体和正方体表面积的计算.这些知识不仅有趣而且具有一定的实用性和思考价值.解答长方体和正方体表面积的问题时，需要同学们具备较强的观察能力、作图能力以及空间想像能力，另外还要掌握一些解题的思路和技巧.例题选讲例1:一个长方体，前面和上面的面积之和是88平方厘米，这个长方体的长、宽、高是以厘米为单位的数，且都是质数，求这个长方体的表面积.【分析与解答】要求长方体的表面积，就要求长方体的长、宽、高.根据题意，前面与上面的面积之和是88平方厘米，也就是长×高+长x宽=88，即长×(高+宽)=88因为长、宽、高都是质数，我们把88分解质因数得88=1l×2×2×2，依题意，11不能分成两个质数和，经试验，有两种情况符合条件，(1)ll×(3+5)：88 (2)2×(41+3)一88，因此长方体的表面积可以有两种情况.解：88—11×2X2×2，2×2×2：3+5，11×2×2—41+3.长方体的表面积：(1)(11×3+1l×5+5×3)×2=206(平方厘米)(2)(2×3+2x4l+41×3)×2—422(平方厘米)例2:如图，将3个表面积都是24平方米的正方体木块粘成一个长方体，求这个长方体的表面积.【分析与解答】仔细观察图形，不难看出3个正方体块粘成1个长方体，共有2个粘接处，每一处都有2个面粘在一起，两处共粘去4个面，因此粘成的长方体的表面积等于(6×3—4)个面的面积，即24÷6×(6 x3—4)=56(平方厘米).例3:如图所示的是用19个棱长为1厘米的正方体堆起来的立体图形，其中有一些正方体看不见，那么这个立体图形的表面积是多少?【分析与解答】仔细观察图形，虽然这个立体图形是不规则的，但是从前面看到的面与从后面看到的面个数是相等，同理从左、右看到的面个数是相等的，从上、下看到的面是一致的，所以这个立体图形的表面积等于(前面十上面+左面)×2，即(10+9+8)×2=54(平方厘米).练习与思考1.有一个长方体，前面和上面两个面面积和为209平方厘米，并且长、宽、高都是以厘米为单位的数，且都是质数，求这个长方体的表面积.2.将两个长都是8厘米，6厘米，高都是5厘米的长方体拼成一个大长方体，那么这个大长方体表面积最大是多少平方厘米?3.如图所示的是由17个边长是1厘米的小正方体拼成的立体图形，求它的表面积.4.有一个长方体,长是8厘米,宽是4 厘米，高是6厘米，把它截成棱长是2厘米的若干个小正方体，这些小正方体表面积之和比原来长方体的表面积增加了多少平方厘米?5.如图，正方体木块的表面积是36平方分米，把它沿虚线截成体积相等的8个小正方体木块，这时表面积增加多少平方分米?6.如图，有一个边长是5厘米的立方体，如果它的左上方截去一个边长分别是5厘米，3厘米2厘米的长方体.那么，它的表面积减少多少平方厘米?7.如图，有一个长4厘米：宽和高都是3厘米的长方体，以A为底打一个上下直穿的长方体洞，以B为底打一个前后直穿的长方体洞，以C为底打一个左右穿通的长方体洞，所得立体图形的表面积是多少?8.如图，有一个棱长是1米的正方体木块.沿水平方向锯2次，竖直锯3次，再横着锯4次，共得到大大小小的长方体小木块60块，求这60块长方体表面积的和.9.用10个长7厘米，宽5厘米，高3厘米的长方体木块拼成一个大长方体，拼成的大长方体表面积最小是多少?。

第10讲行程问题【学习目标】1、掌握常见的几种行程问题模型；2、熟记常见模型的基本公式；3、会画线段图。

【知识梳理】1、相遇问题：①从两头往中间走；②从中间往两头走。

公式：总路程=速度和×相遇时间相遇时间=总路程÷速度和速度和=总路程÷相遇时间2、追及问题：①起点不同，终点相同（快追慢）；②起点相同，终点不同（快超慢）。

公式：距离差=速度差×追及时间追及时间=距离差÷速度差速度差=距离差÷追及时间3、火车过桥：①火车过桥；②火车过隧道。

公式：总路程＝桥长＋车长＝速度×时间4、流水行船问题：公式：顺水行程＝（船速＋水速）×顺水时间逆水行程＝（船速－水速）×逆水时间顺水速度=船速＋水速逆水速度＝船速－水速静水速度=（顺水速度＋逆水速度）÷2水速＝（顺水速度－逆水速度）÷2船速＝(顺水速度+逆水速度）÷25、环形行程问题：所有封闭路线问题都是环形问题。

（1）同向行驶就是追击问题：从同一地点出发，每追上一次就多跑一圈；（2）反向行驶就是相遇问题：从同一地点出发，每相遇一次合走一圈。

【典例精析】【例1】一辆卡车以每小时45千米的速度行驶，在其后2000米处，一辆轿车以每小时60千米的速度行驶，照此速度开下去，求在轿车追上卡车之前一分钟时，两车相距多少千米？【趁热打铁-1】春节期间，一名新手司机因错过高速出口而原地掉头逆行，行驶途中与一辆正常行驶的红色汽车相撞，已知新手司机的车速为每小时96km，红色汽车的车速为每小时120km，那么在他们相撞前一分钟，两车相距多少千米？【例2】甲乙两地相距840千米,两列火车分别从两地相对开出,4小时后相遇,快车每小时行125千米,慢车每小时行多少千米？【趁热打铁-2】客车和货车同时从相距550千米的甲乙两地相对开去,经过2.5小时两车相距200千米(未相遇)，已知货车每小时行60千米,客车每小时行多少千米？【例3】小轿车每时行60千米，比客车每时多行5千米,两车同时从A、B两地相向而行,在距中点20千米处相遇,求A、B两地的路程？【趁热打铁-3】快车和慢车同时从甲、乙两地相向开出,快车每小时行40千米,经过3小时,快车已驶过中点25千米，这时快车与慢车还相距7千米。

五年级数学奥数辅导讲义一第一课时整数与小数四则混合运算示例：在以下五个0.5之间，添加适当的运算符号+、-×、÷和括号，使以下等式为真。

0.50.50.50.50.5=2【思路导航】：我们可以很难解决上述问题，但通常很难做到，也很难找到解决问题的规律。

这个问题可以通过逆向思考来解决。

解：（0.5+0.5）÷0.5－0.5+0.5=2（0.5＋0.5）÷0.5＋0.50.5=2（0.5＋0.5＋0.5－0.5）÷0.5=2（0.5＋0.5）÷（0.5×0.5）×0.5=2注：上述问题中使用的分析方法是从公式的最后一个数字逐步向前推断。

这种方法称为反向外推。

倒转问题是解决数学问题的一种常用方法，特别是在条件很难启动的情况下，这种方法可以帮助我们找到问题的突破口。

试试：在下面的式子里添上运算符号，使等式成立。

⑴0.50.50.50.50.5=0⑵0.50.50.50.50.5=1⑶0.50.50.50.50.5=3⑷0.50.50.50.50.5=4⑸0.50.50.50.50.5=5平均第二学时数（I）解决平均数问题的关键是根据已知条件确定“总数”和“份数”。

它们之间具有下列数量关系：平均份数=总份数÷总份数=平均份数×份数=总份数÷平均份数例1：某商店将4千克水果糖和6千克奶糖混合成什锦糖，已知水果糖每千克4.2元，奶糖每千克5.6元，那么什锦糖每千克多少元？溶液（4.2）×4＋5.6×6）÷（4＋6）=50.4÷10=5.04元答什锦糖每千克5.04元。

例2：公共汽车在a和B之间来回行驶，行驶速度为30公里/小时，返回速度为60公里/小时。

找出汽车的平均往返速度。

解设甲、乙两地的路程是120千米。

120×2÷（120÷30＋120÷60）=240÷（4＋2）=40（千米）两地之间的平均速度是每小时40公里。

第4讲小数巧算2知识装备整数的加减乘除混合运算技巧在小数中仍然适用，可运用运算性质和运算定律，如：乘法分配律、除法的性质等，将算式转化后进行巧算。

初级挑战1用简便方法计算下面各题。

（1）8×25×2×1.25×0.5×0.4 （2）64×12.5×0.25思路引领：当乘法算式中出现25、125或与之相关的数时，可考虑运用乘法交换律、结合律凑整，使计算简便。

（1）8×25×2×1.25×0.5×0.4＝（8×1.25）×（25×0.4）×（2×0.5）＝10×10×1＝100（2）64×12.5×0.25＝8×4×2×12.5×0.25＝（8×12.5）×（4×0.25）×2＝100×1×2＝200能力探索1用简便方法计算下面各题。

（1）4×0.8×0.2×12.5×5×2.5 （2）32×1.25答案：（1）4×0.8×0.2×12.5×5×2.5＝（0.8×12.5）×（4×2.5）×（0.2×5）＝10×10×1＝100（2）32×1.25＝4×8×1.25＝4×10＝40初级挑战2用简便方法计算下面各题。

（1）492÷0.25÷0.4 （2）320÷1.25÷0.8思路引领：在连除算式中，除数可以凑整时，可利用除法性质先将除数凑成整数，再计算。

小学奥数基础教程(五年级)第1讲数字迷（一）第16讲巧算24第2讲数字谜(二)第17讲位置原则第3讲定义新运算(一)第18讲最大最小第4讲定义新运算(二)第19讲图形的分割与拼接第5讲数的整除性(一)第20讲多边形的面积第6讲数的整除性(二)第21讲用等量代换求面积第7讲奇偶性（一）第22讲用割补法求面积第8讲奇偶性（二）第23讲列方程解应用题第9讲奇偶性（三）第24讲行程问题（一）第10讲质数与合数第25讲行程问题（二）第11讲分解质因数第26讲行程问题（三）第12讲最大公约数与最小公倍数（一）第27讲逻辑问题（一）第13讲最大公约数与最小公倍数（二）第28讲逻辑问题（二）第14讲余数问题第29讲抽屉原理(一)第15讲子问题与逐步约束法第30讲抽屉原理(二)第1讲数字谜（一）数字谜的容在三年级和四年级都讲过，同学们已经掌握了不少方法。

例如用猜想、拼凑、排除、枚举等方法解题。

数字谜涉及的知识多，思考性强，所以很能锻炼我们的思维。

这两讲除了复习巩固学过的知识外，还要讲述数字谜的代数解法及小数的除法竖式问题。

例1 把+，-，×，÷四个运算符号，分别填入下面等式的○，使等式成立（每个运算符号只准使用一次）：（5○13○7）○（17○9）=12。

分析与解：因为运算结果是整数，在四则运算中只有除法运算可能出现分数，所以应首先确定“÷”的位置。

当“÷”在第一个○时，因为除数是13，要想得到整数，只有第二个括号是13的倍数，此时只有下面一种填法，不合题意。

（5÷13-7）×（17+9）。

当“÷”在第二或第四个○时，运算结果不可能是整数。

当“÷”在第三个○时，可得下面的填法：（5+13×7）÷（17-9）=12。

例2 将1～9这九个数字分别填入下式中的□中，使等式成立：□□□×□□=□□×□□=5568。

第一讲口算训练例：1/3+1/11= 1/3-1/11=解析：先让学生观察，找出算式的共同特点：两个分数的分子都是1，分母互质。

独立计算找出规律。

当两个分数的分子都是1而分母互质时，两个分数相加（减），和（差）的分母是两个分数分母的积，分子是两个分母的和（差）。

练一练：1/2+1/7= 1/4+1/9= 1/5+1/8= 1/3+1/4=1/2-1/7= 1/4-1/9= 1/5-1/8= 1/3-1/4=1/6+1/8= 1/2+1/8= 1/3+1/8= 1/3+1/7=1/6-1/8= 1/2-1/8= 1/3-1/8= 1/3-1/7=1/6+1/9= 1/4+1/8= 1/2+1/8= 1/6+1/7=1/6-1/9= 1/4-1/8= 1/2-1/8= 1/6-1/7=引深练习：1/6+2/9= 3/4+1/8= 1/2+3/8= 1/6+3/7=1/6-2/9= 3/4-1/8= 3/8-1/2= 3/7-1/6=（交叉相乘再加减）第二讲简算训练例：+( 7/10+3/10 )5/12-5/24-3/24=5/12-( 5/24 3/24 )7/9+6/11+2/9+3/11=( + )解析：引导学生发现整数加的运算在分数运算中同样适用。

用简便方法计算：2/3+7/10+1/3 5/9+8/15+1/15+4/9 6-5/13-8/1322/7×2/3+1/3×22/7 2/3×1/7×7 89×5/885×1/3+5×7/12 1/8×3/5×8/13×2/3 3/9×8+3/9 （18+3/5）×7/9 （1/9+1/6）×36 （1/8+1/4）×8/7第三讲数列中的规律例：找规律填数：1/2，3/8，9/32，（），81/512……解析：找规律填数类题目可以从四种运算来考虑，即加、减、乘、除。

第六讲 流水行船一、教学目标1、认识船速、水速、顺水速度、逆水速度；2、学习流水行船中的相遇追及问题。

二、知识体系行程中的比例多次相遇、多人相遇环形跑道问题 发车间隔 （四升五暑假） 流水行船 （四升五暑假）火车过桥 （四年级春季）平均速度 （四年级秋季）简单的相遇追及问题 （三、四年级）三、知识要点1、基本公式：顺水速度＝船速＋水速；逆水速度＝船速－水速；船速＝（顺水速度＋逆水速度）÷2水速＝（顺水速度－逆水速度）÷2顺水流程＝顺水速度×顺水时间逆水流程＝逆水速度×逆水时间2、★流水中的相遇追及问题，在求追及时间与相遇时间的时候不需要考虑水流的影响。

例题详解【例1】两个码头相距192千米，一艘汽艇顺水走完全程需要8小时，已知水流速度是每小时4千米，逆水走完全程需要小时。

【例2】一条河的水速是每小时3千米，一条船从这条河的上游A地顺流到达下游的C地，然后掉头逆流而上到达中流的B地，共用8小时。

已知这条船的顺流速度是逆流速度的2倍，A地与B地相距24千米。

求A、C两地间的距离。

【例3】甲、乙两船在相距100千米的A、B两港间航行。

甲上行全程需要10小时，乙上行全程需要6小时40分钟。

甲下行全程需要5小时，请问：乙下行全程需用几个小时？【例4】一艘轮船在两个港口间航行，水速为每小时6千米，顺水下行需要4小时，返回上行需要7小时。

求：这两个港口之间的距离。

【例5】一只船在河里航行，顺流而下每小时行18千米。

已知这只船下行2小时恰好与上行3小时所行的路程相等。

求船速和水速。

【例6】甲、乙两船在静水的速度分别为33千米/小时和25千米/小时。

两船从相距232千米的两港同时出发相向而行，几小时后相遇？如果同向而行，甲船在后乙船在前，几小时后甲船可以追上乙船？【例7】一艘小船在河中航行，第一次顺流航行33千米，逆流航行11千米，共用11小时；第二次用同样的时间，顺流航行了24千米，逆流航行了14千米。

【小学五年级奥数讲义】长方体和正方体( 三 )一、知识重点解答相关长方体和正方体的拼、切问题，除了要确实掌握长方体、正方体的特点，熟习计算方法，认真剖析每一步操作后表面几何体积的等比状况外，还一定知道：把一个长方体或正方体沿水平方向或垂直方向切割成两部分，新增添的表面积等于切面面积的两倍。

二、精讲精练【例题 1】一个棱长为 6 厘米的正方体木块，假如把它锯成棱长为 2 厘米的正方体若干块，表面积增添多少平方厘米？练习 1：1.把 27 块棱长是 1 厘米的小正方体堆成一个大正方体，这个大正方体的表面积比本来全部的小正方体的表面积之和少多少平方厘米？2.有一个棱长是1 米的正方体木块，假如把它锯成体积相等的8 个小正方体，表面积增添多少平方米？【例题 2】有一个正方体木块，把它分红两个长方体后，表面积增添了 24 平方厘米，这个正方体木块本来的表面积是多少平方厘米？练习 2：1.把三个棱长都是 2 厘米的正方体拼成一个长方体，这个长方体的表面积是多少平方厘米？2.有一个正方体木块，长 4 分米、宽 3 分米、高 6 分米，此刻把它锯成两个长方体，表面积最多增添多少平方分米？【例题 3】有一个正方体，棱长是 3 分米。

假如按下列图把它切成棱长是 1分米的小正方体，这些小正方体的表面积的和是多少？练习 3：1.用棱长是 1 厘米的小正方体摆成一个稍大一些的正方体，起码需要多少个小正方体？假如要摆一个棱长是 6 厘米的正方体，需要多少个小正方体？2.有一个长方体，长 10 厘米、宽 6 厘米、高 4 厘米，假如把它锯成棱长是1厘米的小正方体，一共能锯多少个？这些小正方体的表面积和是多少？【例题 4】一个正方体的表面涂满了红色，而后以下列图切开，切开的小正方体中：（ 1）三个面涂有红色的有几个？（2）二个面涂有红色的有几个？（3）一个面涂有红色的有几个？（4）六个面都没有涂色的有几个？练习 4：1.把一个棱长是 5 厘米的正方体的六个面涂满红色，而后切成 1 立方厘米的小正方体，这些小正方体中，一面涂红色的、二面涂红色的、三面涂红色的以及六个面都没有涂色的各有多少个？2.把若干个体积相同的小正方体堆成一个大的正方体，而后在大正方体的表面涂上颜色，已知两面被涂上红色的小正方体共有24 个，那么，这些小正方体一共有多少个？【例题 5】一个长方体的长、宽、高分别是 6 厘米、 5 厘米和 4 厘米，若把它切割成三个体积相等的小长方体，这三个小长方体表面积的和最大是多少平方厘米？练习 5：1. 有三块完整相同的长方体木块，每块长8 厘米、宽 5 厘米、高 3 厘米。

第7讲长方体体积【学习目标】1、学习长方体正方体体积公式；2、掌握体积、容积单位的换算；3、掌握阿基米德原理。

【知识梳理】1、区分占地面积与体积：（1）占地面积是指物体与地面接触的部分的面积；（2）体积：物体占有空间的多少。

2、体积公式：（1）正方体体积＝棱长×棱长×棱长；（2）长方体体积＝长×宽×高。

3、体积单位换算：1m³＝1000dm³ 1dm³＝1000cm³ 1L＝1000ml 1L＝1dm³ 1ml＝1cm³4、阿基米德原理：物体浸入水中的体积＝物体排开水的体积。

【典例精析】【例1】一个长方体木块，从上部截去一个高为3厘米的长方体，再从下部截去一个高为2厘米的长方体，剩下部分正好是一个正方体。

正方体的表面积比原来长方体的表面积减少了120平方厘米。

原来长方体的体积的多少立方厘米？【趁热打铁-1】一个长方体，从上面切走2厘米，再从下面切走5厘米后就变成了一个正方体，表面积减少140平方厘米。

原来长方体的体积是多少立方厘米？【例2】一个长方体木块刚好截成三个完全相同的正方体。

三个正方体的棱长之和比原来的长方体棱长之和增加了128厘米。

原来长方体的体积是多少立方厘米？【趁热打铁-2】用4个同样的正方体木块拼成一个长方体，表面积减少32平方厘米，每个小正方体的体积是立方厘米。

【例3】一个长方体的三个侧面的面积分别是3cm²、4cm²、12cm²，这个长方体的体积是多少？【趁热打铁-3】一个长方体相邻三个面的面积分别是50dm²、27dm²、6dm²，求这个长方体的体积。

【例4】一个长方体，如果长增加2厘米，则体积增加40立方厘米；如果宽增加3厘米，则体积增加90立方厘米；如果高增加4厘米，则体积增加96立方厘米。

长方体的体积是多少立方厘米？【趁热打铁-4】一个长方体，如果长减少2厘米，宽和高不变，则它的体积减少48立方厘米；如果宽增加3厘米，长和高不变，则它的体积增加99立方厘米；如果高增加4厘米，长和宽都不变，则它的体积增加352立方厘米。