五年级下册数学讲义-奥数思维训练：5余数问题(无答案)全国通用

五年级奥数：余数问题在整数的除法中，只有能整除与不能整除两种情况。

当不能整除时，就产生余数，所以余数问题在小学数学中非常重要。

余数有如下一些重要性质（a，b，c均为自然数）：（1）余数小于除数。

（2）被除数=除数×商+余数；除数=（被除数-余数）÷商；商=（被除数-余数）÷除数。

（3）如果a，b除以c的余数相同，那么a与b的差能被c整除。

例如，17与11除以3的余数都是2，所以17-11能被3整除。

（4）a与b的和除以c的余数，等于a，b分别除以c的余数之和（或这个和除以c的余数）。

例如，23，16除以5的余数分别是3和1，所以（23+16）除以5的余数等于3+1=4。

注意：当余数之和大于除数时，所求余数等于余数之和再除以c的余数。

例如，23，19除以5的余数分别是3和4，所以（23+19）除以5的余数等于（3+4）除以5的余数。

（5）a与b的乘积除以c的余数，等于a，b分别除以c的余数之积（或这个积除以c的余数）。

例如，23，16除以5的余数分别是3和1，所以（23×16）除以5的余数等于3×1=3。

注意：当余数之积大于除数时，所求余数等于余数之积再除以c的余数。

例如，23，19除以5的余数分别是3和4，所以（23×19）除以5的余数等于（3×4）除以5的余数。

性质（4）（5）都可以推广到多个自然数的情形。

5122除以一个两位数得到的余数是66，求这个两位数。

分析与解：由性质（2）知，除数×商=被除数-余数。

5122-66=5056，5056应是除数的整数倍。

将5056分解质因数，得到5056=26×79。

由性质（1）知，除数应大于66，再由除数是两位数，得到除数在67～99之间，符合题意的5056的约数只有79，所以这个两位数是79。

被除数、除数、商与余数之和是2143，已知商是33，余数是52，求被除数和除数。

⼩学五年级逻辑思维学习—余数问题⼩学五年级逻辑思维学习—余数问题知识定位余数问题是数论知识板块中另⼀个内容丰富，题⽬难度较⼤的知识体系，也是各⼤杯赛⼩升初考试必考的奥数知识点，所以学好本讲对于学⽣来说⾮常重要。

许多孩⼦都接触过余数的有关问题，并有不少孩⼦说“遇到余数的问题就基本晕菜了！”余数问题主要包括了带余除法的定义，三⼤余数定理（加法余数定理，乘法余数定理，和同余定理），及中国剩余定理和有关弃九法原理的应⽤。

知识梳理⼀、带余除法的定义及性质⼀般地，如果a是整数，b是整数（b≠0）,若有a÷b=q……r，也就是a＝b×q＋r,0≤r＜b；我们称上⾯的除法算式为⼀个带余除法算式。

这⾥：r=时：我们称a可以被b整除，q称为a除以b的商或完全商(1)当0r≠时：我们称a不可以被b整除，q称为a除以b的商或不完全商(2)当0注：⼀个完美的带余除法讲解模型:如图，这是⼀堆书，共有a本，这个a就可以理解为被除数，现在要求按照b本⼀捆打包，那么b就是除数的⾓⾊，经过打包后共打包了c捆，那么这个c就是商，最后还剩余d本，这个d就是余数。

这个图能够让学⽣清晰的明⽩带余除法算式中4个量的关系。

并且可以看出余数⼀定要⽐除数⼩。

⼆、三⼤余数定理1.余数的加法定理a与b的和除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数之和，或这个和除以c的余数。

例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23+16=39除以5的余数等于4，即两个余数的和3+1.当余数的和⽐除数⼤时，所求的余数等于余数之和再除以c的余数。

例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以23+19=42除以5的余数等于3+4=7除以5的余数，即2.2.余数的乘法定理a与b的乘积除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数的积，或者这个积除以c所得的余数。

=。

例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以(2316)除以5的余数等于313当余数的和⽐除数⼤时，所求的余数等于余数之积再除以c的余数。

小学五年级逻辑思维学习—余数问题知识定位余数问题是数论知识板块中另一个内容丰富，题目难度较大的知识体系，也是各大杯赛小升初考试必考的奥数知识点，所以学好本讲对于学生来说非常重要。

许多孩子都接触过余数的有关问题，并有不少孩子说“遇到余数的问题就基本晕菜了！”余数问题主要包括了带余除法的定义，三大余数定理（加法余数定理，乘法余数定理，和同余定理），及中国剩余定理和有关弃九法原理的应用。

知识梳理一、带余除法的定义及性质一般地，如果a是整数，b是整数（b≠0）,若有a÷b=q……r，也就是a＝b×q＋r,0≤r＜b；我们称上面的除法算式为一个带余除法算式。

这里：r=时：我们称a可以被b整除，q称为a除以b的商或完全商(1)当0r≠时：我们称a不可以被b整除，q称为a除以b的商或不完全商(2)当0注：一个完美的带余除法讲解模型:如图，这是一堆书，共有a本，这个a就可以理解为被除数，现在要求按照b本一捆打包，那么b就是除数的角色，经过打包后共打包了c捆，那么这个c就是商，最后还剩余d本，这个d就是余数。

这个图能够让学生清晰的明白带余除法算式中4个量的关系。

并且可以看出余数一定要比除数小。

二、三大余数定理1.余数的加法定理a与b的和除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数之和，或这个和除以c的余数。

例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23+16=39除以5的余数等于4，即两个余数的和3+1.当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之和再除以c的余数。

例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以23+19=42除以5的余数等于3+4=7除以5的余数，即2.2.余数的乘法定理a与b的乘积除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数的积，或者这个积除以c所得的余数。

⨯=。

例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以(2316)⨯除以5的余数等于313当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之积再除以c的余数。

五年级下册数学奥数学案-余数问题苏教版一、导言在五年级下册的数学奥数学案中，余数问题是一个非常重要的内容。

掌握余数问题不仅能够帮助学生巩固对除法的理解，还能够培养学生的逻辑思维和问题解决能力。

在本文档中，我们将针对苏教版五年级下册的数学奥数学案中的余数问题进行详细的介绍和讲解。

二、什么是余数在进行除法运算时，如果除数不能整除被除数，则会产生一个余数。

余数表示了除数除不尽被除数的部分。

在数学中，余数通常用符号“%”表示。

例如，对于除法算式15÷7，我们可以得到商为2，余数为1。

表达成数学式就是15÷7=2，余1。

三、如何计算余数在计算余数时，我们可以使用数学中的除法算法来进行计算。

下面以一个例子来进行说明：例子：计算1234÷19的余数。

首先，我们将除数19写在左边，被除数1234写在左上方，然后从左往右逐位进行计算：19---------1234第一步，我们将19除以1（个位上的数字），得到的商为1，余数为0。

然后将余数0写在个位上。

19---------1234接下来，我们将余数0和2（十位上的数字）组合成为02，然后将02÷19进行计算。

得到的商为0，余数为2。

19---------123402最后，我们将余数2和3（百位上的数字）组合成为23，然后将23÷19进行计算。

得到的商为1，余数为4。

19---------1234124所以，1234÷19的商为1，余数为4。

四、余数问题的应用除了进行基本的余数计算，我们还可以将余数问题应用到其他数学问题中。

下面通过一些例子来说明：例子1：小明买糖果小明有27元，他想买一些糖果。

每颗糖果的价钱是3元。

小明想知道他能买多少颗糖果以及还剩下多少钱。

解答：首先，我们可以通过27÷3计算出可以买的整颗糖果的数量，得到的商为9。

然后，我们可以通过27%3计算出剩下的钱，得到的余数为0。

所以，小明能够买到9颗糖果，剩下的钱为0元。

小学五年级数学下册思维通用版尾数和余数问题习题及答案知识点总结：自然数的末位数字称为自然数的尾数；除法中，被除数减去商与除数的差叫作余数。

尾数和余数在运算时是有规律可循的，利用这种规律能解决一些看起来无从下手的问题【经典例题1】17×17×17×…×17积的尾数是几?109个17【思路分析】若干个自然数的积的尾数等于这若干个自然数尾数之积的尾数,102个17的连来积的尾数等于102个7的连乘积的尾数。

【本题解答】我们先列举前几个7的积,看看尾数在怎样变化,1个7的尾数就是7;7×7的尾数是9;7×7×7的尾数是3;7×7×7×7 的尾数是 1;......由此可见,积的尾数以7、9、3、1这四个数字循环出现,102÷4=25……2,说明 102个7相乘,积的尾数是 9,即 102 个17 相乘，积的尾数是 9。

【扩展训练】1.9×9×9×…×9×9积的末尾数字是几?2013个92. 3×3×3×…×3×3(2009个3相乘)的积的个位数字是多少？3. 2012 个2012 相乘的末位数字是。

A.2B.4C. 6D.8【经典例题2】一个两位数除723，余数是30,满足条件的两位数共有个,分别是。

【思路分析】由题意知:723÷□□=商……30,□□×商=723-30=693,把693分解质因数 693=3×3×7×11,因为除数□□比 30 大,满足条件的两位数 3×11=33,3×3×7=63,7×11=77,3×3×11=99。

【本题解答】723-30=693把693分解质因数:693=3×3×7×11满足条件的两位数:3×11=33,3×3×7=63,7×11=77,3×3×11=99。

余数问题在整数的除法中，只有能整除与不能整除两种情况。

当不能整除时，就产生余数，所以余数问题在小学数学中非常重要。

余数有如下一些重要性质（a，b，c均为自然数）：（1）余数小于除数。

（2）被除数=除数×商+余数；除数=（被除数-余数）÷商；商=（被除数-余数）÷除数。

（3）如果a，b除以c的余数相同，那么a与b的差能被c整除。

例如，17与11除以3的余数都是2，所以17-11能被3整除。

（4）a与b的和除以c的余数，等于a，b分别除以c的余数之和（或这个和除以c的余数）。

例如，23，16除以5的余数分别是3和1，所以（23+16）除以5的余数等于3+1=4。

注意：当余数之和大于除数时，所求余数等于余数之和再除以c的余数。

例如，23，19除以5的余数分别是3和4，所以（23+19）除以5的余数等于（3+4）除以5的余数。

（5）a与b的乘积除以c的余数，等于a，b分别除以c的余数之积（或这个积除以c的余数）。

例如，23，16除以5的余数分别是3和1，所以（23×16）除以5的余数等于3×1=3。

注意：当余数之积大于除数时，所求余数等于余数之积再除以c的余数。

例如，23，19除以5的余数分别是3和4，所以（23×19）除以5的余数等于（3×4）除以5的余数。

性质（4）（5）都可以推广到多个自然数的情形。

例1 5122除以一个两位数得到的余数是66，求这个两位数。

分析与解：由性质（2）知，除数×商=被除数-余数。

5122-66=5056，5056应是除数的整数倍。

将5056分解质因数，得到5056=26×79。

由性质（1）知，除数应大于66，再由除数是两位数，得到除数在67～99之间，符合题意的5056的约数只有79，所以这个两位数是79。

例2 被除数、除数、商与余数之和是2143，已知商是33，余数是52，求被除数和除数。

知识点一、常见数字的整除判定方法1. 一个数的末位能被2或5整除，这个数就能被2或5整除；一个数的末两位能被4或25整除，这个数就能被4或25整除；一个数的末三位能被8或125整除，这个数就能被8或125整除；总结：2、5配零，4、25配二零，8、125配三零。

2. 一个位数数字和能被3整除，这个数就能被3整除；一个数各位数数字和能被9整除，这个数就能被9整除；总结：3、9见数和3. 如果一个整数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差能被11整除，那么这个数能被11整除.总结：11跳和减4. 如果一个整数的末三位与末三位以前的数字组成的数之差能被7、11或13整除，那么这个数能被7、11或13整除.总结：7、11、13跳位段和减。

5.如果一个数能被99整除，这个数从后两位开始两位一截所得的所有数（如果有偶数位则拆出的数都有两个数字，如果是奇数位则拆出的数中若干个有两个数字还有一个是一位数）的和是99的倍数，这个数一定是99的倍数。

总结：二切法，三切法。

【备注】（以上规律仅在十进制数中成立.）二、整除性质性质1 如果数a和数b都能被数c整除，那么它们的和或差也能被c整除．即如果c︱a，c︱b，那么c︱(a±b)．性质2 如果数a能被数b整除，b又能被数c整除，那么a也能被c整除．即如果b∣a，c∣b，那么c∣a．用同样的方法，我们还可以得出：性质3如果数a能被数b与数c的积整除，那么a也能被b或c整除．即如果bc∣a，那么b∣a，c∣a．性质4如果数a能被数b整除，也能被数c整除，且数b和数c互质，那么a一定能被b 与c的乘积整除．即如果b∣a，c∣a，且(b，c)=1，那么bc∣a．例如：如果3∣12，4∣12，且(3，4)=1，那么(3×4) ∣12．性质5 如果数a能被数b整除，那么am也能被bm整除．如果b｜a，那么bm｜am（m为非0整数）；性质6如果数a能被数b整除，且数c能被数d整除，那么ac也能被bd整除．如果b｜a，且d｜c，那么bd｜ac；例题【例 1】在下面的数中，哪些能被4整除？哪些能被8整除？1164、2450、3248、6644、363656□中，被盖住的十位数分别等于几时，这个四位数分别能被8，4整除？【巩固】在四位数2【例 2】在方框中填上两个数字，可以相同也可以不同，使432是9的倍数. 请随便填出一种，并检查自己填的是否正确。

在整数的除法中，只有能整除与不能整除两种情况，当不能整除时，就产生余数，所以余数问题在小学数学中非常重要。

余数基本关系式：被除数÷除数＝商……余数（0≤余数＜除数）余数基本恒等式：被除数＝除数×商＋余数知识梳理1. 一般地，如果是整数，是整数（不为0），若有，也就是，，我们称上面的除法算式为一个带余除法算式。

2.与的和除以c的余数，等于a、b分别除以c的余数之和，当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之和再除以c的余数。

3. a与b的乘积除以c的余数，等于a、b分别除以c的余数的积，当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之积再除以c的余数。

例1一串数1、2、4、7、11、16、22、29、……这串数的组成规律为第2个数比第1个数多1；第3个数比第2个数多2；第4个数比第3个数多3；依此类推，那么这串数左起第1992个数除以5的余数是_____。

分析与解：设这串数为a1、a2、a3、…、a1992、…，依题意知a＝11a＝1＋12a＝1＋1＋23a＝1＋1＋2＋34a＝1＋1＋2＋3＋45……a＝1＋1＋2＋3＋…＋1991＝1＋996×19911992因为996÷5＝199……1，1991÷5＝398……1，所以996×1991的积除以5余数为1，1＋996×1991除以5的余数是2。

因此，这串数左起第1992个数除以5的余数是2。

例2除以13所得的余数是_____。

分析与解：因为222222＝2×111111＝2×111×1001＝2×111×7×11×13 所以222222能被13整除。

又因为2000＝6×333＋2，＝，22÷13＝1……9，所以要求的余数是9。

例3有一个自然数，用它分别去除63、90、130都有余数，三个余数的和是25。

五年级数奥－－余数问题(详细分析讲解）各种与余数有关的整数问题,其中包括求方幂的末位数字,计算具有规律的多位数除以小整数的余数，以及用逐步试算法找出满足多个余数条件的最小数等．1.分别为101,126,173,193的4个运动员进行乒乓球比赛,规定每两人比赛的盘数是他们的和被3除所得的余数.那么打球盘数最多的运动员打了多少盘?【分析与解】因为两个数和的余数同余与余数的和．有101,126,173,193除以3的余数依次为2,0,2,1．则101号运动员与126,173,193号运动员依次进行了2,1,0盘比赛,共3盘比赛；126号运动员与101,173,193号运动员依次进行了2,2,l盘比赛,共5盘比赛；173号运动员与101,126,193号运动员依次进行了1,2,0盘比赛,共3盘比赛；193号运动员与101,126,173号运动员依次进行了0,1,0盘比赛,共1盘比赛．所以,打球盘数最多的运动是126号,打了5盘．评注:两个数和的余数,同余与余数的和；两个数差的余数,同余与余数的差；两个数积的余数,同余与余数的积.2.自然数的个位数字是多少?【分析与解】我们先计算的个数数字,再减去1即为所求.(特别的如果是O,那么减去1后的个位数字因为借位为9)将一个数除以10,所得的余数即是这个数的个位数字.而积的余数,同余余数的积．有2除以10的余数为2,2×2除以10的余数为4,2×2×2除以10的余数为8,2×2×2×2除以i0的余数为6；2×2×2×2×2除以i0的余数为除以10的余数为4, 除以10的余数为8, 除以10的余数为6；…………也就是说,n个2相乘所得的积除以10的余数每4个数一循环．因为67÷4=16……3，所以除以10的余数同余与2×2×2,即余数为8,所以除以10的余数为7．即的个位数字为7．评注：n个相同的任意整数相乘所得积除以10的余数每4个数一循环．3.算式7+7×7+…+ 计算结果的末两位数字是多少?【分析与解】我们只用算出7+7×7+…+7 的和除以100的余数,即为其末两位数字．7除以100的余数为7,7×7除以100的余数为49,7×7×7除以100的余数为43,7 ×7 ×7×7除以100的余数等于43×7除以100的余数为1；而除以100的余数等于的余数,即为7,……这样我们就得到一个规律除以100所得的余数,4个数一循环,依次为7,49,43,1．1990÷4=497……2,所以7+7×7+…+7×7×…的和除以100的余数同余．497×(7+49+43+1)+7+49=49756,除以100余56．所以算式7+7×7+…+ 计算结果的末两位数字是56．4.1990…1990除以9的余数是多少?【分析与解】能被9整除的数的特征是其数字和能被9整除,如果这个数的数字和除以9余a,那么再减去a而得到的新数一定能被9整除,因而这个新数加上a后再除以9,所得的余数一定为a,即一个数除以9的余数等于其数字和除以9的余数．的数字和为20×(1+9+9+0)＝380，380的数字和又是3+8=11,11除以9的余数为2,所以除以9的余数是2．5.将1,2,3，…,30从左往右依次排列成一个51位数,这个数被11除的余数是多少?【分析与解】1,2,3,...,30这30个数从左往右依次排列成一个51位数为：123456...910 (15)...19202l...25 (2930)记个位为第l位,十位为第2位,那么：它的奇数位数字和为:0+9+8+7+6+…+l+9+8+7+6+…+1+9+7+5+3+l=115：它的偶数位数字和为:3+ + +8+6+4+2=53；它的奇数位数字和与偶数位数字和的差为115—53：62．而62除以1l的余数为7．所以将原来的那个51位数增大4所得到的数123456…910…15…192021…25…2934就是1l倍数,则将123456…910…15…192021…25…2934减去4所得到数除以11的余数为7．即这个51位数除以11的余数是7．评注:如果记个位为第1位,十位为第2位,那么一个数除以11的余数为其奇数位数字和A减去偶数位数字和B的差A-B=C,再用C除以1l所得的余数即是原来那个数的余数.(如果减不开可将偶数位数字和B减去奇数位数字和A,求得B-A=C,再求出C除以1l的余数D,然后将11-D即为原来那个数除以11的余数)．如:123456的奇数位数字和为6+4+2=12,偶数位数字和为5+3+1=9,奇数位数字和与偶数位数字和的差为12-9=3,所以123456除以11的余数为3．又如:654321的奇数位数字和为1+3+5=9,偶数位数字和为2+4+6=12,奇数位数字和减不开偶数位数字和,那么先将12-9=3,显然3除以11的余数为3,然后再用11-3=8,这个8即为654321除以11的余数．6.一个1994位的整数,各个数位上的数字都是3.它除以13,商的第200位（从左往右数)数字是多少?商的个位数字是多少?余数是多少?【分析与解】这个数即为，而整除13的数的特征是将其后三位与前面的数隔开而得到两个新数，将这两个新数做差，这个差为13的倍数．显然有能够被13整除,而1994÷6=332……2，即而是13的倍数，所以除以13的余数即为33除以13的余数为7．有,而,所以除以13所得的商每6个数一循环,从左往右依次为2、5、6、4、1、0．200÷6=33……2,所以除以所得商的第200位为5．除以13的个位即为33除以13的个位，为2．即商的第200位(从左往右数)数字是5,商的个位数字是2,余数是7．7.己知：a= .问:a除以13的余数是几?【分析与解】因为1能被13整除,而1991÷3=663……2．有a= =1×1 +1×1 +1×+1×1 +…+1×1 +19911991所以a除以13的余数等于19911991除以13的余数8．8.有一个数,除以3余数是2,除以4余数是1.问这个数除以12余数是几?【分析与解】我们将这个数加上7,则这个数能被3整除,同时也能被4整除,显然能被12整除,所以原来这个数除以12的余数为12-7=5．9.某个自然数被247除余63,被248除也余63.那么这个自然数被26除余数是多少?【分析与解】我们将这个数减去63,则得到的新数能被247整除,也能被248整除,而相邻的两个整数互质,所以得到的新数能被247×248整除,显然能被26整除．于是将新数加上63除以26的余数等于63除以26的余数为11．所以这个自然数被26除余数是11．10.一个自然数除以19余9,除以23余7.那么这个自然数最小是多少?【分析与解】这个自然数可以表达为19m+9,也可以表达为23n+7,则有19m+9=23n+7，即23n-19m=2，将未知数系数与常数对19取模,有4n≡2(mod 19)．n最小取10时,才有4n≡2(mod 19).所以原来的那个自然数最小为23×lO+7=237．评注：有时往往需要利用不定方程来清晰的表示余数关系,反过来不定方程往往需要利用余数的性质来求解．11.如图15-l,在一个圆圈上有几十个孔(少于100个).小明像玩跳棋那样从A 孔出发沿着逆时针方向，每隔几个孔跳一步,希望一圈以后能跳回到A孔.他先试着每隔2孔跳一步,结果只能跳到B孔.他又试着每隔4孔跳一步，也只能跳到B孔.最后他每隔6孔跳一步,正好回到4孔.问这个圆圈上共有多少个孔?【分析与解】设这个圆圈有n个孔,那么有n除以3余1,n除以5余1.n 能被7整除．则将n-1是3、5的倍数,即是15的倍数,所以n=15t+1,又因为凡是7的倍数,即15t+1=7A,将系数与常数对7取模,有t+1≡0(mod7),所以t取6或6与7的倍数和.对应孔数为15×6+l=91或91与105的倍数和，满足题意的孔数只有91．即这个圆圈上共有91个孔．12.某住宅区有12家住户，他们的门牌号分别是1,2,3，…,12.他们的依次是12个连续的六位自然数,并且每家的都能被这家的门牌整除.已知这些的首位数字都小于6,并且门牌是9的这一家的也能被13整除,问这一家的是什么数?【分析与解】设这12个连续的自然数为n+1,n+2,n+3,…,n+12,那么有它们依次能被1,2,3,…,12整除,显然有凡能同时被1,2,3,…,12整除.即n为1,2,3,…,12的公倍数．[1,2,3,…,12]=23×32×5×7×11=27720,所以n是27720的倍数,设为27720k.则有第9家的门牌为27720k+9为13的倍数,即27720k+9=13A.将系数与常数对13取模有:4k+9≡0(mod 13),所以后可以取l或1与13的倍的和.有要求n+1,n+2,n+3,…,n+12,为六位数,且首位数字都小于6,所以k只能取14,有7n=27720×14=388080．那么门牌是9的这一家的是388080+9=388089．13.有5000多根牙签,可按6种规格分成小包.如果10根一包,那么最后还剩9根.如果9根一包,那么最后还剩8根.第三、四、五、六种的规格是,分别以8,7,6,5根为一包,那么最后也分别剩7,6,5,4根.原来一共有牙签多少根?【分析与解】设这包牙签有n根,那么加上1根后为n+1根此时有n+1根牙签即可以分成10根一包，又可以分成9根一包,还可以分成8、7、6、5根一包.所以,n+1是10、9、8、7、6、5的倍数,即它们的公倍数．[10,9,8,7,6,51=23×32×5×7=2520,即n+1是2520的倍数,在满足题下只能是2520×2=5040,所以n=5039．即原来一共有牙签5039根．14.有一个自然数,用它分别去除63,90,130都有余数,3个余数的和是25.这3个余数中最大的一个是多少?【分析与解】设这个除数为M,设它除63,90,130所得的余数依次为a,b,c,商依次为A,B,C．63÷M=A……a90÷M=B……b130÷M=C……ca+b+c=25,则(63+90+130)-(a+b+c)=(A+B+C)×M,即283-25=258=(A+B+C)×M．所以M是258的约数.258=2×3×43,显然当除数M为2、3、6时,3个余数的和最大为3×(2-1)=3，3×(3-1)=6,3×(6-1)=15,所以均不满足．而当除数M为43×2,43×3,43×2×3时,它除63的余数均是63,所以也不满足．那么除数M只能是43,它除63,90,130的余数依次为20,4,1,余数的和为25,满足．显然这3个余数中最大的为20．15.一个数去除551,745,1133,1327这4个数,余数都相同.问这个数最大可能是多少?【分析与解】这个数A除55l,745,1133,1327,所得的余数相同,所以有551,745,1133,1327两两做差而得到的数一定是除数A的倍数．1327-1133=194,1133-745=388,745-551=194,1327-745=582,1327-551=77 6,1133-551=582．这些数都是A的倍数,所以A是它们的公约数,而它们的最大公约数(194，388，194，582，776，582)=194．所以,这个数最大可能为194．。

第四讲 余数问题知识点：1、在有余数的除法里，如果被除数和除数都能被同一自然数整除，那么余数也能被这个自然数整除。

例如：60÷25=2……10，255,605，，那么一定有1052、在有余数的除法里，如果除数和余数能被同一自然数整除，那么被除数也能被这个自然数整除。

例如：3、一个自然数被另一个自然数n 除时，余数只能是0，1，2，……（n-1)。

例如：4、如果两个整数被另一自然数n 除时（n 为整数），余数相同，则它们的差必定能被n 整除。

例如：5、如果整数a 和b 除以同一个自然数m ，所得的余数相同，c 和d 除以同一自然数m ，余数也相同，那么a+c ，b+d 除以m 所得的余数也相同。

例如：一、例题讲解例1、被除数、除数、商与余数之和是2143，已知商是33，余数是52，求被除数和余数。

例2、一个自然数除以3余1，除以5余3，加上2就能被7整除，这个自然数最小是多少？例3、自然数a 除以7余3，自然数b 除以7余4，（a+b ）除以7余几？例4、整数1111…111除以6的余数是几？2012个1例5、2012个7组成一个2012位数，被13除后余数是多少？商的各位数字之和是多少？例6、1～400的整数中，被3、5、7除都余2的数共有多少个？二、拓展训练1、有一个自然数，用它去除63、91、129得到3个余数的和是25，这个自然数是多少？2、在1～200这200个自然数中，被3或7除都余2的数有多少个？3、自然数a除以7余3，自然数b除以7余3，已知a大于b，那么a减去b的差除以7，余数是多少？4、有一个整数，除300、262、205得到相同的余数。

这个数多少？5、11+22+33+44+55+66+77+88+99除以3的余数是多少？三、能力检测1、71427和19的积被7除，余数是几？2、69、90、125被某个自然数除时，余数相同，试求这个自然数的最大值。

3、一个十几岁的男孩，把自己的岁数写在父亲的岁数之后，组成一个四位数，从这个四位数中减去他们父子两人岁数差的差得到4289。

第五讲余数问题内容概述从此讲开始，我们来进一步研究数论的有关知识。

小学奥数中的数论问题，涉及到整数的整除性、余数问题、奇数与偶数、质数与合数、约数与倍数、整数的分解与分拆。

在整数的除法中，只有能整除和不能整除两种情况。

当不能整除时，就产生余数，余数问题在小学数学中非常重要。

一般地，如果a是整数，b是整数（b≠0）,若有a÷b=q……r（也就是a=b×q+r）, 0≤r＜b；当r=0时，我们称a能被b整除；当r≠0时，我们称a不能被b整除，r为a除以b的余数，q为a除以b的商余数问题和整除性问题是有密切关系的，因为只要我们去掉余数那么就能和整除性问题联系在一起了。

余数有如下一些重要性质，我们将通过例题给大家讲解。

例题讲析【例1】（清华附中小升初分班考试）甲、乙两数的和是1088，甲数除以乙数商11余32，求甲、乙两数。

分析：法1：因为甲=乙×11+32，所以甲+乙=乙×11+32+乙=乙×12+32=1088；则乙=（1088-32）÷12=88，甲=1088-乙=1000。

法2：将余数先去掉变成整除性问题，利用倍数关系来做：从1088中减掉32以后，1056就应当是乙数的（11+1）倍，所以得到：乙数=1056÷12=88 ，甲数=1088-88=1000 。

【例2】（第十三届迎春杯决赛）已知一个两位数除1477，余数是49.那么，满足那样条件的所有两位数是 .分析：1477-49=1428是这两位数的倍数，又1428=2×2×3×7×17=51×28=68×21=84×17，因此所求的两位数51或68或84.【例3】（第十届迎春杯决赛）一个自然数除以8得到的商加上这个数除以9的余数，其和是13.求所有满足条件的自然数.分析：设这个数为n，除以9所得余数r≤8，所以除以8得到的商q≥13—8=5，又显然q≤13.q=5时，r=8，n=5×8+4=44；q=6时，r=7，n=6×8+4=52；q=7时，r=6，n=7×8+4=60；q=8时，r=5，n=8×8+4=68；q=9时，r=4，n=9×8+4=76；q=10时，r=3，n=10×8+4=84；q=11时，r=2，n=11×8+4=92；q=12时，r=1，n=12×8+4=100；q=13时，r=0，n=13×8+4=108.满足条件的自然数共有9个：108，100，92，84，76，68，60，52，44.【例4】（北京八中小升初入学测试题）有一个整数，用它去除70，110，160得到的三个余数之和是50。

2022年五年级数学思维训练：余数1．〔4分〕72除以一个数，余数是7．商可能是多少？2．〔4分〕100和84除以同一个数，得到的余数一样，但余数不为0．这个除数可能是多少？3．〔4分〕20220808除以9的余数是多少？除以8和25的余数分别是多少？除以11的余数是多少？4．〔4分〕4个运发动进展乒乓球比赛，他们的号码分别为101、126、173、193．规定每两人之间比赛的盘数是他们号码的和除以3所得的余数．请问：比赛盘数最多的运发动打了多少盘？5．〔4分〕某工厂有128名工人消费零件，他们每个月工作23天，在工作期间每人每天可以消费300个零件．月底将这些零件按17个一包的规格打包，发现最后一包不够17个．请问：最后一包有多少个零件？6．〔4分〕〔1〕220除以7的余数是多少？〔2〕1414除以11的余数是多少？〔3〕28121除以13的余数是多少？7．〔4分〕8+8×8+…+除以5的余数是多少？8．〔4分〕一个三位数除以21余17，除以20也余17．这个数最小是多少？9．〔4分〕有一个数，除以3余数是2，除以4余数是1．问这个数除以12余数是几？10．〔4分〕100多名小朋友站成一列，从第一人开场依次按1，2，3，…，11的顺序循环报数，最后一名同学报的数是9；假如按1，2，3，…，13的顺序循环报数，那么最后一名同学报的数是11．请问：一共有多少名小朋友？11．〔4分〕1111除以一个两位数，余数是66．求这个两位数．12．〔4分〕〔1〕除以4和125的余数分别是多少？〔2〕除以9和11的余数分别是多少？13．〔4分〕一年有365天，轮船制造厂每天都可以消费零件1234个，年终将这些零件按19个一包的规格打包，最后一包不够19个．请问：最后一包有多少个零件？14．〔4分〕自然数的个位数字是．15．〔4分〕算式12022+22022+32022+…+20222022计算结果的个位数是多少？16．〔4分〕一个自然数除以49余23，除以48也余23．这个自然数被14除的余数是多少？17．〔4分〕一个自然数除以19余9，除以23余7．这个自然数最小是多少？18．〔4分〕刘叔叔养了400多只兔子，假如每3只兔子关在一个笼子里，那么最后一个笼子里有2只；假如每5只兔子关在一个笼子里，那么最后一个笼子里有4只；假如每7只兔子关在一个笼子里，那么最后一个笼子里有6只．请问：刘叔叔一共养了多少只兔子？19．〔4分〕除以99的余数是多少？20．〔4分〕把63个苹果，90个橘子，130个梨平均分给一些同学，最后一共剩下25个水果没有分出去．请问：剩下个数最多的水果剩下多少个？21．〔4分〕有一个大于l的整数，用它除300、262、205得到一样的余数，求这个数．22．〔4分〕用61和90分别除以某一个数，除完后发现两次除法都除不尽，而且前一次所得的余数是后一次的2倍，假如这个数大于1，那么这个数是多少？23．〔4分〕从l依次写到99，可以组成一个多位数12345…979899．这个多位数除以第 1 页11的余数是多少？24．〔4分〕算式计算结果的末两位数字是多少？25．〔4分〕算式1×3×5×7×…×2022计算结果的末两位数字是多少？26．〔4分〕有5000多根牙签，按以下6种规格分成小包：假如10根一包，最后还剩9根；假如9根一包，最后还剩8根；假如依次以8、7、6、5根为一包，最后分别剩7、6、5、4根．原来一共有牙签多少根？27．〔4分〕有三个连续自然数，它们小道大依次是5、7、9的倍数，这三个连续自然数最小是多少？28．〔4分〕请找出所有的三位数，使它除以7、11、13的余数之和尽可能大．29．〔4分〕21!=．那么四位数是多少？30．〔4分〕有一些自然数n，满足：2n﹣n是3的倍数，3n﹣n是5的倍数，5n﹣n是2的倍数，请问：这样的，n中最小的是多少？参考答案1．商可能是5．【解析】试题分析：根据在有余数的除法中，余数总比除数小，即除数最小为：余数+1，进而根据“被除数﹣余数=商×除数〞解答即可．解：72﹣7=6565=13×5，所以，72除以一个数，余数是7．商可能是5．点评：解答此题的关键：根据在有余数的除法中，余数总比除数小，得出余数最大为：除数﹣1，然后被除数、除数、商和余数四个量之间的关系进展解答即可．2．这个除数可能是8或16．【解析】试题分析：要求这个除数可能是多少，根据同余定理，先求出100和84这两个数的差，再求出这三差的公约数，然后找出不能整除100和84的数，即为这个除数．解：余数一样，那么除数是100﹣84=16的约数，除数可能是1，2，4，8，16其中不能整除100和84的有8和16所以除数是8或者16．答：这个除数可能是8或16．点评：解答此题的关键是理解同余定理，求出两个数之差的公因数，进而解决问题．3．20220808除以9的余数是1807280；除以25的余数是8；除以8和11没有余数．【解析】试题分析：根据在有余数的除法中，“被除数=商×除数+余数〞解答即可．解：20220808÷9=2231200 (1807280)20220808÷8=251010120220808÷25=803232 (8)20220808÷11=1825528答：20220808除以9的余数是1807280；除以25的余数是8；除以8和11没有余数．点评：解答此题根据被除数、除数、商和余数四个量之间的关系进展解答即可．4．打球盘数最多的运发动是126号，打了5盘．【解析】试题分析：能被3整除的条件是：这个整数的各位数字和是3的整数倍；如15，1+6=6，6=3×2，所以15能被3整除；再如19，1+9=10，10÷3=3…1，那么19不能被3整除，19÷3=6…1，通过此题说明了一个问题：数字和除以3余数是几，那么这个数字除以3就余数是几；此题从101、126、173、193中任意选出2个数有6种，求和，除以3，再看和的数字除以3余数是几，再分别求出每个运发动打球的盘数，即可得解．解：101+126=227，2+2+7=11，11÷3=3…2；101+173=274，2+7+4=13，13÷3=4…1；101+193=294，2+9+4=15，15÷3=5；126+173=299，2+9+9=20，20÷3=6…2；126+193=319，3+1+9=13，13÷3=4…1；173+193=366，3+6+6=15，15÷3=5；101号运发动打球的盘数为：2+1+0=3〔盘〕，126好运发动打球的盘数为：2+2+1=5，第 1 页173号运发动打球的盘数为：1+2+0=3〔盘〕，193号运发动打球的盘数为：0+1+0=1〔盘〕，答：打球盘数最多的运发动是126号，打了5盘．点评：完成此题关键是根据题意，得出每个运发动打球的盘数，然后得出答案．5．16个零件.【解析】试题分析：用每人每天可以消费的零件个数乘以人数，乘以天数得到零件的总个数，用零件的总个数除以每包的个数，得到的商是包数，余数是剩下的零件个数，最后一包有的零件个数．解：300×128×23÷17=38400×23÷17=883200÷17=51952〔包〕…16〔个〕答：最后一包有16个零件．点评：此题关键弄清得到商表示量是什么，得到的余数表示什么量．6．〔1〕4；〔2〕4；〔3〕2.【解析】试题分析：〔1〕分别求出23、24、25、26…除以7的余数，总结出规律，然后判断出所求的余数是多少即可；〔2〕首先根据1414=〔11+3〕14，可得1414除以11同余314除以11；然后分别求出33、34、35、36…除以11的余数，总结出规律，然后判断出所求的余数是多少即可；〔3〕首先根据28121=〔13×2+2〕121，所以28121除以13同余2121，然后分别求出24、25、26、27…除以13的余数，总结出规律，然后判断出所求的余数是多少即可．解：〔1〕因为23÷7=1…1，24÷7=2…2，25÷7=4…4，26÷7=9…1，…所以从23开场，除以7的余数分别是1、2、4、1、2、4…，每3个一循环，分别是1、2、4，因为〔20﹣2〕÷3=6，所以220除以7的余数是4；〔2〕根据1414=〔11+3〕14，可得1414除以11同余314除以11，因为33÷11=2…5，34÷11=7…4，35÷11=22…1，36÷11=66…3，37÷11=198…9，38÷11=596…5，…所以从33开场，除以11的余数分别是5、4、1、3、9、5…，每5个一循环，分别是5、4、1、3、9，因为〔14﹣2〕÷5=2…2，所以1414除以11的余数是4；〔3〕根据28121=〔13×2+2〕121，所以28121除以13同余2121，因为24÷13=1…3，25÷13=2…6，26÷13=4…12，27÷13=9…11，28÷13=19…9，29÷13=39…5，210÷13=78…10，211÷13=157…7，212÷13=315…1，213÷13=630…2，214÷13=1260…4，215÷13=2520…8，216÷13=5041…3，所以从24开场，除以13的余数分别是3、6、12、11、9、5、10、7、1、2、4、8、3…，每12个一循环，分别是3、6、12、11、9、5、10、7、1、2、4、8，因为〔121﹣3〕÷12=9…10，所以28121除以13的余数是2．点评：此题主要考察了带余除法的性质的应用，以及同余定理的应用．7．2.【解析】试题分析：被5整除的数的特点是个位数字是0和5，所以只要看个位数字，即可，余数只能是0、1、2、3、4中的一个．解：乘积的个位数字分别是8，4，2，6，8，4，2，6，8，4；所以8+8×8+8×8×8+…+8×8×8×8…×8〔10个8〕的个位数字和是：8+4+2+6+8+4+2+6+8+4=52，所以8+8×8+8×8×8+…+8×8×8×8…×8〔10个8〕的个位数字是2，2即为余数；答：除以5的余数是2．点评：解决此题的关键是理解被5整除的特征．8．437.【解析】试题分析：因为这个数除以21，除以20都余17，要求这个数最小是多少，就是用20、21的最小公倍数加上17即可．解：21和20的最小公倍数是21×20=420420+17=437所以这个数最小是437．答：这个数最小是437．点评：此题考察了带余除法，根据题目特点，先求2个数的最小公倍数，然后加上余数，解决问题．9．5.【解析】试题分析：利用带余数的除法运算性质，将这个数看成A+B，A为可以被12整除的局部，B 那么为除以12的余数，得出A可以被3或4整除，再结合这个数除以3余2，除以4余1，得出B也一样，归纳出符合要求的只有5．解：将这个数看成A+B，A为可以被12整除的局部，B那么为除以12的余数．A可以被12整除，那么也可以被3或4整除．因为这个数“除以3余2，除以4余1〞，所以B也是“除以3余2，除以4余1〞，又因为B是大于等于1而小于等于11，在这个区间内，只有5是符合的．答：这个数除以12余数是5．点评：此题主要考察了带余数的除法运算，假设出这个数，分析得出符合要求的数据．10．141.【解析】试题分析：由题意知，一共有多少名小朋友，也就是求11和13的最小倍数，由此解答问题．解：因为9=11﹣2，11=13﹣2，所以只要再多2个人，人数就是11与13的公倍数，11与13的公倍数为143，所以共有143﹣2=141人，符合题意；而143×2＞100，不符合题意．答：共有141人．点评：此题主要把实际问题转化为求最小倍数的数学问题，解决数学问题，回到实际问题，这是数学中常用的一种方法．11．95.第 3 页【解析】试题分析：因为1111﹣66=1045，1045=5×11×19，所以两位因数有：11，19，55，95；又因为余数小于除数，但是11，19，55＜66，所以只有95符合题意，即这个两位数是95，此时1111÷95=11…66．解：因为1111﹣66=1045，1045=5×11×19，所以两位因数有：11，19，55，95；∵余数小于除数，但是11，19，55＜66，∴只有95符合题意，即这个两位数是95，此时1111÷95=11…66．答：这个两位数是95．点评：此题主要考察了带余除法的性质的应用，解答此题的关键是求出1111与66的差，进而将其分解质因数．12．〔1〕除以4和125的余数分别是1和46．〔2〕除以9和11的余数分别是3和5．【解析】试题分析：〔1〕421被4除后余数是1，放到下一个421，得到1421，除以4，余数仍然是1，再放到下一个421里，又得到1421，余数还是1，依此类推，无论多少个421，余数都是1．同理421除以125余数是46，放到下一个421中，得到46421，除以125，余数仍然是46，以此类推，无论多少个421，余数都是46．〔2〕被9整除的数的特点是数字和是9的倍数，所以9个808一定被9整除，18个808同样被9整除，还有3个808，数字和是〔8+8〕×3=48，48÷9=5…3，所以余数是3；一个808除以11余数是5，与下一个808得到5808，除以11，结果余数是0，所以每两个808可以被整除11，那么20个808被11整除，只要看最后一个808除以11余数为几，即可得解．解：〔1〕421÷4=105 (1)1421÷4=355 (1)再放到下一个421里，又得到1421，余数还是1，依此类推，无论多少个421，余数都是1．421÷125=3 (46)46421÷125=371 (46)放到下一个421中，得到46421，除以125，余数仍然是46，以此类推，无论多少个421，余数都是46．答：除以4和125的余数分别是1和46．〔2〕被9整除的数的特点是数字和是9的倍数，所以9个808一定被9整除，18个808同样被9整除，还有3个808，数字和是〔8+8〕×3=48，48÷9=5…3，所以余数是3；808÷11=73 (5)5808÷11=528一个808除以11余数是5，与下一个808得到5808，除以11，结果余数是0，所以每两个808可以被整除11，那么20个808被11整除，只要看最后一个808除以11余数为5．答：除以9和11的余数分别是3和5．点评：完成此题要根据余数的不同分别讨论解决．13．15个零件【解析】试题分析：用每天消费的零件个数乘以天数得到零件的总个数，用零件的总个数除以每包的个数，得到的商是包数，余数是剩下的零件个数就是最后一包有的零件个数．解：1234×365÷19=450410÷19=23705〔包〕…15〔个〕答：最后一包有15个零件．点评：此题关键弄清得到商表示量是什么，得到的余数表示什么量．14．7.【解析】试题分析：除去第一个2外，其余的每4个2相乘都有个位数字是4、8、6、2的循环出现，故用〔67﹣1〕除以4，得出是16组余2，所以个位数字是8，最终确定自然数的个位数字是7．解：除去第一个2外，其余的每4个2相乘都有个位数字是4、8、6、2的循环出现，为一组；〔67﹣1〕÷4=16〔组〕…2〔个〕；所以67个2相乘的个位数字是8，那么自然数的个位数字是 8﹣1=7．故答案为：7．点评：此题考察乘法中的巧算，关键是找出2连乘时积的变化规律，再进一步求得解．15．1.【解析】试题分析：12022的个位数是1，22022的个位数是8，32022的个位数是7，42022的个位数是4，52022的个位数是5，62022的个位数是6，72022的个位数是3，82022的个位数是2，92022的个位数是9，102022的个位数是0，112022的个位数是1…，每10个数一循环，依次为1，8，7，4，5，6，3，2，9，0；1+8+7+4+5+6+3+2+9+0=45，2022÷10=200…6，所以算式12022+22022+32022+…+20222022计算结果的个位数同算式200×45+1+8+7+4+5+6=931的个位数一样，即它的个位数是1，据此解答即可．解：12022的个位数是1，22022的个位数是8，32022的个位数是7，42022的个位数是4，52022的个位数是5，62022的个位数是6，72022的个位数是3，82022的个位数是2，92022的个位数是9，102022的个位数是0，112022的个位数是1…，每10个数一循环，依次为1，8，7，4，5，6，3，2，9，0；因为1+8+7+4+5+6+3+2+9+0=45，2022÷10=200…6，所以算式12022+22022+32022+…+20222022计算结果的个位数同算式200×45+1+8+7+4+5+6=931的个位数一样，即它的个位数是1．点评：此题主要考察了乘积的个位数问题的应用，解答此题的关键是判断出：12022、22022、32022、…的个位数依次为1，8，7，4，5，6，3，2，9，0，每10个数一循环．16．9.【解析】试题分析：一个自然数除以49余23，除以48也余23，那么这个自然数是49和48的最小公倍数加23，因为48和49互质，所以这个数是49×48+23，然后除以14，49×48÷14=7×24整除，只要看23除以14的余数，即可得解．解：23÷14=1 (9)答：这个自然数被14除的余数是9．第 5 页点评：关键是明白这个自然数是49×48+23，49×48能被14整除．17．237.【解析】试题分析：设这个自然数为x，根据这个自然数除以19余9，除以23余7，列出方程，求解即可．解：设这个自然数为x，根据题意，可得x=19m+9=23n+7〔m、n都是自然数〕，整理得：x﹣7=19m+2=23n，因为23×10=19×12+2，所以x﹣7=230，解得x=237，即这个自然数最小是237．答：这个自然数最小是237．点评：此题主要考察了有余数的除法各局部之间的关系的应用．18．419只.【解析】试题分析：求3、5、7的最小公倍数，进一步找出比400多一些的公倍数，用这个公倍数减去1即可得到答案．解：3、5、7这三个数两两互质，所以它们的最小公倍数是这三个数的乘积，3×5×7=105105×2=210105×3=315105×4=420420﹣1=419答：刘叔叔一共养了419只兔子．点评：此题关键理解好“每3只兔子关在一个笼子里，那么最后一个笼子里有2只〞可以理解为“每3只兔子关在一个笼子里，那么最后一个笼子里少1只〞由此理解后面的内容，即求出3，5，7的公倍数减去1即可得到答案．19．90.【解析】试题分析：6个123除以99刚好整除，这样求出123里有多少个6，余数是几，就看几个123并列除以99的余数，即可得解．解：123123123123123123÷99=1243667910334577每6个整除1次，123÷6=20 (3)前120个123并列能整除99，123123123÷99=1243667 (90)答：123个123并列除以99的余数是90．点评：找到几个123并列可以被99整除，是解决此题的关键．20．20.【解析】试题分析：求出苹果、梨、橘子的总个数，然后用水果的总个数减去25即可得到剩下的水果的总数，然后把水果的总个数分解质因式，确定出学生的人数，然后进一步求出剩下水果的个数，进一步确定剩下个数最多的水果．解：63+90+130﹣25=258258=2×3×43由此可知学生的人数是43人，余下的苹果的个数：63﹣1×43=20〔个〕余下橘子的个数：90﹣2×43=4〔个〕余下梨的个数：130﹣3×43=1〔个〕20＞4＞1所以余下的苹果最多，剩下20个．答：剩下个数最多的水果剩下20个．点评：此题关键求出发给的学生的人数，然后确定出余下水果最多的是那种水果．21．19.【解析】试题分析：a，b数被一个数d去除，有一样的余数，那么d可以整除〔a﹣b〕，由此找出300与262的差，以及262与205的差，它们的非1的公约数就是要求的数．解：这个数除300、262，得到一样的余数，所以这个数整除300﹣262=38，同理，这个数整除262﹣205=57，因此，它是38、57的公约数19．点评：此题利用同余定理的性质，得出要求的数是被除数两两之间差的公约数，从而得解．22．17.【解析】试题分析：假设这个数是a，61除以a余数是2c；90除以a余数是c，那么180除以a的余数就是2c；那么两个等式左右相减，余数被减去了，即得到的被除数能被a整除，所以只要把180减去61，分解质因数，即可得解．解：假设这个数是a，61除以a余数是2c；90除以a余数是c，那么：61÷a=b…2c90×2÷a=d…2c那么90×2﹣61=119=17×7因为61÷17=3 (10)90÷17=5 (5)10=5×2符合题意；答：这个数为17．点评：解决此题的关键是理解90的2倍减去61就是所求的数的整数倍，从而转化为求90×2﹣61的因数．23．4.【解析】试题分析：被11整除的数，奇数位和与偶数位和的差能被11整除，因此可以先求出此数奇数位上的和以及偶数位上的和．解：在此数前补一位0不影响．即01 23 45 ...67 89 10 11 (99)如上每两位一段．易知，被11整除的数，奇数位和，与偶数位和的差，能被11整除．那么上数，从10往后，偶数位上，数字1到9均出现10次．奇数位上，0到9出现9次．因此奇数位和=〔0+1+2+3…+9〕×9+〔1+3+5+7+9〕=45×9+25偶数位和=〔1+2+3…+9〕×10+〔0+2+4+6+8〕=45×10+20那么他们的差，偶﹣奇第 7 页=45×10+20﹣45×9﹣25=45﹣5=40 不能被11整除，而要是调整奇数位的最后一位〔99的个位9〕，减少4的话．这个差将被11整除．意味着01 23 45 …95 能被11整除，那么原数被11除余4．答：这个多位数除以11的余数是4．点评：解决此题的关键是理解被11整除的数，奇数位和与偶数位和的差能被11整除．24．00.【解析】试题分析：要求算式计算结果的末两位数字是多少，只要求出的和除以100的余数，即为其末两位数字，据此解答即可．解：7除以100的余数为7，7×7除以100的余数为49，7×7×7除以100的余数为43，7×7×7×7除以100的余数等于43×7除以100的余数为1；而7×7×7×7×7除以100的余数等于7，…那么7+7×7+…+7×7×…除以100所得的余数，4个数一循环，依次为7，49，43，1，因为2022÷4=502，所以算式计算结果除以100的余数同余502×〔7+49+43+1〕=50200，又因为50200除以100余数为0，所以算式计计算结果的末两位数字是00．点评：此题主要考察了乘积的个位数问题的应用，解答此题的关键是分析出：7+7×7+…+7×7×…除以100所得的余数，4个数一循环，依次为7，49，43，1．25．75.【解析】试题分析：因为是奇数相乘，有下面这个规律：25〔2n+1〕〔2n+3〕=100n2+200n+75〔25经过相邻的两个奇数相乘后变成75〕，75〔2n+1〕〔2n+3〕=300n2+600n+225〔75经过相邻的两个奇数相乘后变成25〕，这个规律是从15开场的，也就是当n＞2时，〔8n+1〕！和〔8n﹣1〕！最后两位是25，〔8n+3〕!和〔8n+5〕!最后两位是75；又因为2022=251×8+5，所以计算结果的末两位数字是75．解：因为是奇数相乘，有下面这个规律：25〔2n+1〕〔2n+3〕=100n2+200n+75〔25经过相邻的两个奇数相乘后变成75〕，75〔2n+1〕〔2n+3〕=300n2+600n+225〔75经过相邻的两个奇数相乘后变成25〕，这个规律是从15开场的，也就是当n＞2时，〔8n+1〕！和〔8n﹣1〕！最后两位是25，〔8n+3〕!和〔8n+5〕!最后两位是75；又因为2022=251×8+5，所以计算结果的末两位数字是75．答：算式1×3×5×7×…×2022计算结果的末两位数字是75．点评：此题主要考察了乘积的个位数问题的应用，解答此题的关键是分析出：当n＞2时，〔8n+1〕！和〔8n﹣1〕！最后两位是25，〔8n+3〕!和〔8n+5〕!最后两位是75．26．5039根．【解析】试题分析：根据10根一包，最后还剩9根，9根一包，最后还剩8根，分别以8、7、6、5根为一包，最后也分别剩7、6、5、4根，可以推知此数加上1就是8、7、6、5的公倍数，再求出8、7、6、5的公倍数减去1得解．解：这个数+1=8、7、6、5的公倍数8、7、6、5的最小公倍数为：2×4×7×3×5=840满足5000多这个条件的公倍数是840×6=5040牙签的数量就是5040﹣1=5039〔根〕答：原来一共有牙签 5039根．点评：解决此题关键在于求出符合条件〔5000多〕的8、7、6、5的公倍数，再用它减去1即可．27．160.【解析】试题分析：17，19和21这三个数都是奇数，且相邻的两个数都相差2，所以它们的最小公倍数仍然是一个奇数，这个最小公倍数分别加上5、7、9所得到的和都是偶数，且相邻的两个数仍然相差2，我们把这三个和分别除以2，就可以得到一组符合题目要求的连续自然数．5、7、9最小公倍数是5×7×9=315，315+5=320能被5整除，315+7=322能被7整除，315+9=24能被9整除，所以320，322，324分别能被5、7、9整除，这三个数都是偶数，且都相差2，把这三个数分别除以2，得到160，161，162，它们也一定能分别被5、7、9整除，又因为160小于最小公倍数315，所以160，161，162是符合题目要求的最小的一组，因此这三个连续自然数中最小的那个数最小是160．解：5、7、9最小公倍数是5×7×9=315，315+5=320能被5整除，315+7=322能被7整除，315+9=24能被9整除，所以320，322，324分别能被5、7、9整除，这三个数都是偶数，且都相差2，把这三个数分别除以2，得到160，161，162，它们也一定能分别被5、7、9整除，又因为160小于最小公倍数315，所以160，161，162是符合题目要求的最小的一组，因此这三个连续自然数中最小的那个数最小是160．点评：完成此题是在理解5、7和9这一组数的根底上求出最小公倍数，然后用最小公倍数分别加上5、7、9所得到的和都是偶数，且相邻的两个数仍然相差2，我们把这三个和分别除以2，就可以得到一组符合题目要求的连续自然数，从而求出三个连续自然数中最小的那个数．28．三位数285、636除以7、11、13的余数之和最大．【解析】试题分析：根据题意，要使余数之和最大，三个余数只能分别为 6、10、12，那么这个三位数加上1就能同时被7、11、13整除，所以所求的三位数为7、11、13的公倍数减去1，那么它最小是：7×11×13﹣1=1000，它是一个四位数，不符合题意，因此，余数之和最大时，三个余数分别为 5、10、12 或6、9、12或6、10、11；然后分类讨论，求出满足题意的三位数即可．解：根据题意，要使余数之和最大，三个余数只能分别为 6、10、12，那么这个三位数加上1就能同时被7、11、13整除，第 9 页所以所求的三位数为7、11、13的公倍数减去1，那么它最小是：7×11×13﹣1=1000，它是一个四位数，不符合题意，因此，余数之和最大时，三个余数分别为 5、10、12 或6、9、12或6、10、11；〔1〕当三个余数分别为5、10、12时，那么这个数加1后能被11、13整除，且它被7除后余5，所以所求的三位数为：11×13k﹣1，它被7除的余数为：3k﹣1=5，解得k=2，所以这个三位数是：11×13×2﹣1=285；〔2〕当三个余数分别为6、9、12时，那么这个数加1后能被7、13 整除，且它被11除后余9，所以所求的三位数为：7×13k﹣1，它被11除的余数为3k﹣1=9+11，解得k=7，所以这个三位数是：7×13×7﹣1=636；〔3〕当三个余数分别为6、10、11，那么这个数加1后能被 7、11整除，且它被13除后余11，所以所求的三位数为：7×11k﹣1，它被13除的余数为：12k﹣1=11，解得k=1，所以这个数是：7×11﹣1=76，它是一个两位数，不符合题意；综上，三位数285、636除以7、11、13的余数之和最大．点评：此题主要考察了最大与最小问题的应用，考察了分类讨论思想的应用，解答此题的关键是判断出余数和最大的情况．29．5140．【解析】试题分析：21!=21×20×19×…×15×14×…×11×10×9×8×…5×4×…×1；通过21!分解后的数字，根据数的整除的特点解答即可．解：21!=21×20×19×...×15×14×...×11×10×9×8×...5×4× (1)显然21!末尾有4个0，故D=0；又21!含有质因子2的个数超过7个，所以去掉末尾4个0后，得到的新数后三位是8的倍数，即94C是8的倍数，可得C=4；由于21!能被9整除，所以各位数字之和能被9整除，可得A+B=6或15；由于21!能被11整除，所以奇数位数字和与偶数位数字之差能被11整除，可得：A﹣B=4或B﹣A=7；由于A+B与A﹣B奇偶性一样，所以有：或；解得：或显然只有符合题意．所以四位数是5140．答：四位数是5140．点评：解答此题的关键是灵敏运用数的整除的特点．30．15.【解析】试题分析：因为2n﹣n是3的倍数，3n﹣n是5的倍数，5n﹣n是2的倍数，所以n是3的倍数，2n是5的倍数，4n是2的倍数，又因为2n是5的倍数，所以n的个位是0或5；然后分类讨论，求出n中最小的是多少即可．解：因为2n﹣n是3的倍数，3n﹣n是5的倍数，5n﹣n是2的倍数，所以n是3的倍数，2n是5的倍数，4n是2的倍数，因为2n是5的倍数，所以n的个位是0或5；〔1〕当n的个位是0时，它是3的倍数，所以n最小是30；〔2〕当n的个位是5时，它是3的倍数，所以n最小是15；综上，可得n中最小的是15．答：n中最小的是15．点评：此题主要考察了最大与最小问题的应用，解答此题的关键是纯熟掌握是2、3、5的倍数的特征．第 11 页。

第5讲 数的整除特性一、知识点1. 整除概念定义 如果整数a 除以整数b ,商是整数且余数为0,则称a 能被b 整除或b 整除a ,记作a b ,其中a 叫做b 的倍数,b 叫做a 的约数（因数）.注 （1）零是任何正整数的倍数；（2）1是任何正整数的约数；2. 数的整除性质（1）如果,,c b b a 则.c a（2）如果,,b c a c 则)(b a c .3. 数的整除特性（1）一个整数的个位上是0,2,4,6,8,这个数能被2整除；（2）一个整数的个位上是0,5,这个数能被5整除；（3）一个整数各位上数字的和能被3或9整除,那么这个整数也能被3或9整除；（4）一个整数的末两位数能被4或25整除,那么这个整数也能被4或25整除；（5）一个整数的末三位数能被8或125整除,那么这个整数也能被8或125整除；（6）一个整数既能被2整除,又能被3整除,那么这个数能被6整除；反之,一个整数能被6整除,那么这个数一定能被2或3整除；（7）能被11整除的数的特性：一个整数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差是11的倍数,那么这个数是11的倍数；（8）能被7（11或13）整除的数的特性：一个整数的末三位数与末三位之前的数之差能被7（11或13）整除,那么这个数能被7（11或13）整除.二、典型例题例1 下列11个数：23487,3568,8875,6765,5880,7538,198954,6512,93625,864,407.其中能被4整除的有_____________________；能被8整数的是__________________； 能被25整除的有_____________________；能被125整除的有_____________________； 能被3整除的有______________________；能被9整除的有______________________； 能被11整除的有______________________.例2 173 是一个四位数,在方框内先后填入3个数字,得到3个四位数,依次能被9,11,8整除,则填入的3个数字之和是______________.例3 一个五位数y x 362能被55整除,则这个五位数是____________.例4 老师买了72本相同的书,当时没有记住每本书的价格,只记下了用掉的总钱数是13.7 元,回校后发现有两个数字看不清了.你能帮助补上这两个数字吗？例5 已知四位数abcd 是11的倍数,且有,a c b =+bc 为完全平方数,求该四位数.例6 六位数ABABA 3是6的倍数,这样的六位数有多少个？例7 由1、3、4、5、7、8这六个数字所组成的六位数中,能被11整除的最大的数是多少？三、水平测试1.下列9个数：48、75、90、122、650、594、4305、7836、4100.其中能被4整除的有_______________；能被25整除的有_______________；能被9整除的有________________；能被11整除的有________________.x236能被63整除,则这个五位数是______________.2.一个五位数y3.125是一个四位数,在方框中先后填入3个数字,得到3个四位数,依次能被9,11,8整除,则填入的3个数字之和是_____________.4.在2、3、4、5、6这五个数字取四个不同的数字组成的四位数中,其中能被45整除的最大四位数是____________.568,能同时被3、4、5整除,这个六位数最小是___________.5.一个六位数abc6. 能被11整除,各位数字的和为14且小于1000的正整数有___________个.。

五年级数学思维《余数问题》专题训练
（每小题10分）
1 一班学生（少于60人）买了310本练习本，如果分给每个学生相同数量的练习本后还余下37本，问：一班有多少个学生？
2 4711除以一个两位数，余数是6，则适合这个条件的所有两位数是
哪些？
3 自然数a除以7余3，自然数b除以7余4，那么a加b的和除以
7余几？
4 一个数被7除，余数是3，该数的3倍被7除，余数是多少？
5 两数相除，商4余8，被除数、除数、商数、余数四数之和等于4
15，则被除数是多少？
6 某个自然数除以3余l，除以4余2，除以5余3，被6除余4，求
这个自然数的最小值．
7 有一列数：4，5，9，14，23，…，问：这列数的第2014个数除以
3，余数是几？
8 两个不同的三位数被13除，若得到相同的余数，那么，这两个三
位数的和最大是多少？它们的差最大是多少？
9 两个自然数相除，商是17，余数是13，已知被除数、除数、商与
余数之和为2113，则被除数是多少？
10 一个自然数，除以11时所得到的商和余数是相等的，除以9时所
得到的商是余数的3倍，这个自然数是多少？
11 一自行车选手在相距950千米的甲、乙两地间训练，他从甲地出
发，去时每90千米休息一次，到达乙地后休息一天，再沿原路返
回，返回时每100千米休息一次，他发现恰好有一个休息地点与去时的一个休息地点相同，问：这个地方距甲地有多少千米？
12 任意写一个两位数，再将它依次重复3遍成一个8位数，将此8
位数除以该两位数所得到的商再除以9，问：得到的余数是多
少？。

五年级奥数题及答案-求余数问题
编者小语：奥数教学不能单纯是传授数学知识，更重要的是培养学生数学意识、数学思想、独立获得和运用数学知识的能力和良好的数学学习习惯的过程。

让学生具备在未来的工作中科学地提出数学问题、探索数学问题、创造性地解决数学问题的能力。

为大家准备了小学五年级奥数题，希望小编整理的五年级奥数题及参考答案：求余数问题，可以帮助到你们，助您快速通往高分之路!!
求余数：
求437×319×2010+2010被7除的余数。

解答：437≡3(mod7)，319≡5(mod7)，2010≡1(mod7)
由"同余性质"可知：
437×319×2010≡3×5×1(mod7)=15(mod7)≡1(mod7)
所以：437×319×2010+2010≡1+1(mod7)=2(mod7)
即：437×319×2010+2010被7除的余数是2.这道题主要考察了同余性质。

必须注意的是同余性质只能用在加、减、乘。