五年级下册数学讲义-奥数思维训练：5余数问题 全国通用【精品】

五年级奥数：余数问题在整数的除法中，只有能整除与不能整除两种情况。

当不能整除时，就产生余数，所以余数问题在小学数学中非常重要。

余数有如下一些重要性质（a，b，c均为自然数）：（1）余数小于除数。

（2）被除数=除数×商+余数；除数=（被除数-余数）÷商；商=（被除数-余数）÷除数。

（3）如果a，b除以c的余数相同，那么a与b的差能被c整除。

例如，17与11除以3的余数都是2，所以17-11能被3整除。

（4）a与b的和除以c的余数，等于a，b分别除以c的余数之和（或这个和除以c的余数）。

例如，23，16除以5的余数分别是3和1，所以（23+16）除以5的余数等于3+1=4。

注意：当余数之和大于除数时，所求余数等于余数之和再除以c的余数。

例如，23，19除以5的余数分别是3和4，所以（23+19）除以5的余数等于（3+4）除以5的余数。

（5）a与b的乘积除以c的余数，等于a，b分别除以c的余数之积（或这个积除以c的余数）。

例如，23，16除以5的余数分别是3和1，所以（23×16）除以5的余数等于3×1=3。

注意：当余数之积大于除数时，所求余数等于余数之积再除以c的余数。

例如，23，19除以5的余数分别是3和4，所以（23×19）除以5的余数等于（3×4）除以5的余数。

性质（4）（5）都可以推广到多个自然数的情形。

5122除以一个两位数得到的余数是66，求这个两位数。

分析与解：由性质（2）知，除数×商=被除数-余数。

5122-66=5056，5056应是除数的整数倍。

将5056分解质因数，得到5056=26×79。

由性质（1）知，除数应大于66，再由除数是两位数，得到除数在67～99之间，符合题意的5056的约数只有79，所以这个两位数是79。

被除数、除数、商与余数之和是2143，已知商是33，余数是52，求被除数和除数。

⼩学五年级逻辑思维学习—余数问题⼩学五年级逻辑思维学习—余数问题知识定位余数问题是数论知识板块中另⼀个内容丰富，题⽬难度较⼤的知识体系，也是各⼤杯赛⼩升初考试必考的奥数知识点，所以学好本讲对于学⽣来说⾮常重要。

许多孩⼦都接触过余数的有关问题，并有不少孩⼦说“遇到余数的问题就基本晕菜了！”余数问题主要包括了带余除法的定义，三⼤余数定理（加法余数定理，乘法余数定理，和同余定理），及中国剩余定理和有关弃九法原理的应⽤。

知识梳理⼀、带余除法的定义及性质⼀般地，如果a是整数，b是整数（b≠0）,若有a÷b=q……r，也就是a＝b×q＋r,0≤r＜b；我们称上⾯的除法算式为⼀个带余除法算式。

这⾥：r=时：我们称a可以被b整除，q称为a除以b的商或完全商(1)当0r≠时：我们称a不可以被b整除，q称为a除以b的商或不完全商(2)当0注：⼀个完美的带余除法讲解模型:如图，这是⼀堆书，共有a本，这个a就可以理解为被除数，现在要求按照b本⼀捆打包，那么b就是除数的⾓⾊，经过打包后共打包了c捆，那么这个c就是商，最后还剩余d本，这个d就是余数。

这个图能够让学⽣清晰的明⽩带余除法算式中4个量的关系。

并且可以看出余数⼀定要⽐除数⼩。

⼆、三⼤余数定理1.余数的加法定理a与b的和除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数之和，或这个和除以c的余数。

例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23+16=39除以5的余数等于4，即两个余数的和3+1.当余数的和⽐除数⼤时，所求的余数等于余数之和再除以c的余数。

例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以23+19=42除以5的余数等于3+4=7除以5的余数，即2.2.余数的乘法定理a与b的乘积除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数的积，或者这个积除以c所得的余数。

=。

例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以(2316)除以5的余数等于313当余数的和⽐除数⼤时，所求的余数等于余数之积再除以c的余数。

5、余数问题知识讲解一、消去余数1、出示例1：把蛋糕和面包平均分给敬老院老人。

蛋糕230块面包345个蛋糕分到最后余2块，面包分到最后还多3个，这些蛋糕和面包最多可以分给多少位老人？这是一道求除数的问题，设除数a。

已知：230÷a=（） (2)345÷a=（） (3)如果消去余数，就转化为整除问题。

230－2=228，345－3=342。

228，342分别能被a整除，a最大是几呢？（228，342）==114，最多可以分给114位老人。

如果这个敬老院的老人在50～60人之间，你能求出正确的人数和每位老人分到的蛋糕块数、面包个数吗？2、写出除数和余数相同，被除数不同的出发算式。

（）÷5=4...2 （）÷8=（） (5)（）÷5=7...2 （）÷8=（） (5)（）÷5=12...2 （）÷8=（） (5)（）÷12=（）...7 （）÷23=（） (12)（）÷12=（）...7 （）÷23=（） (12)（1）说说你的发现。

22÷5=4…2 22－2=5×437÷5=7…2 37－2=5×762÷5=12…2 62－2=5×12219÷23=9…12 357－12=23×9357÷23=15…12 357－12=23×15被除数和余数的差是除数的倍数。

37－22=5×3 357－219=13862－22=5×8 138÷23=662－37=5×5如果两个等式除数和余数相同，被除数之间的差是除数的倍数。

（2）你能再举一些这样的例子吗？A：被除数分别是43和75，余数都是3，除数是多少？B：被除数分别是75、51和111，余数相同，除数是多少？问题A：因为被除数与余数的差是除数的倍数，因此除数必定是（43－3）和（75－3）的公因数。

第五讲余数问题内容概述从此讲开始，我们来进一步研究数论的有关知识。

小学奥数中的数论问题，涉及到整数的整除性、余数问题、奇数与偶数、质数与合数、约数与倍数、整数的分解与分拆。

在整数的除法中，只有能整除和不能整除两种情况。

当不能整除时，就产生余数，余数问题在小学数学中非常重要。

一般地，如果a是整数，b是整数（b≠0）,若有a÷b=q……r（也就是a=b×q+r）, 0≤r＜b；当r=0时，我们称a能被b整除；当r≠0时，我们称a不能被b整除，r为a除以b的余数，q为a除以b的商余数问题和整除性问题是有密切关系的，因为只要我们去掉余数那么就能和整除性问题联系在一起了。

余数有如下一些重要性质，我们将通过例题给大家讲解。

例题讲析【例1】（清华附中小升初分班考试）甲、乙两数的和是1088，甲数除以乙数商11余32，求甲、乙两数。

分析：法1：因为甲=乙×11+32，所以甲+乙=乙×11+32+乙=乙×12+32=1088；则乙=（1088-32）÷12=88，甲=1088-乙=1000。

法2：将余数先去掉变成整除性问题，利用倍数关系来做：从1088中减掉32以后，1056就应当是乙数的（11+1）倍，所以得到：乙数=1056÷12=88 ，甲数=1088-88=1000 。

【例2】（第十三届迎春杯决赛）已知一个两位数除1477，余数是49.那么，满足那样条件的所有两位数是 .分析：1477-49=1428是这两位数的倍数，又1428=2×2×3×7×17=51×28=68×21=84×17，因此所求的两位数51或68或84.【例3】（第十届迎春杯决赛）一个自然数除以8得到的商加上这个数除以9的余数，其和是13.求所有满足条件的自然数.分析：设这个数为n，除以9所得余数r≤8，所以除以8得到的商q≥13—8=5，又显然q≤13.q=5时，r=8，n=5×8+4=44；q=6时，r=7，n=6×8+4=52；q=7时，r=6，n=7×8+4=60；q=8时，r=5，n=8×8+4=68；q=9时，r=4，n=9×8+4=76；q=10时，r=3，n=10×8+4=84；q=11时，r=2，n=11×8+4=92；q=12时，r=1，n=12×8+4=100；q=13时，r=0，n=13×8+4=108.满足条件的自然数共有9个：108，100，92，84，76，68，60，52，44.【例4】（北京八中小升初入学测试题）有一个整数，用它去除70，110，160得到的三个余数之和是50。

五年级数奥－－余数问题(详细分析讲解）各种与余数有关的整数问题,其中包括求方幂的末位数字,计算具有规律的多位数除以小整数的余数，以及用逐步试算法找出满足多个余数条件的最小数等．1.分别为101,126,173,193的4个运动员进行乒乓球比赛,规定每两人比赛的盘数是他们的和被3除所得的余数.那么打球盘数最多的运动员打了多少盘?【分析与解】因为两个数和的余数同余与余数的和．有101,126,173,193除以3的余数依次为2,0,2,1．则101号运动员与126,173,193号运动员依次进行了2,1,0盘比赛,共3盘比赛；126号运动员与101,173,193号运动员依次进行了2,2,l盘比赛,共5盘比赛；173号运动员与101,126,193号运动员依次进行了1,2,0盘比赛,共3盘比赛；193号运动员与101,126,173号运动员依次进行了0,1,0盘比赛,共1盘比赛．所以,打球盘数最多的运动是126号,打了5盘．评注:两个数和的余数,同余与余数的和；两个数差的余数,同余与余数的差；两个数积的余数,同余与余数的积.2.自然数的个位数字是多少?【分析与解】我们先计算的个数数字,再减去1即为所求.(特别的如果是O,那么减去1后的个位数字因为借位为9)将一个数除以10,所得的余数即是这个数的个位数字.而积的余数,同余余数的积．有2除以10的余数为2,2×2除以10的余数为4,2×2×2除以10的余数为8,2×2×2×2除以i0的余数为6；2×2×2×2×2除以i0的余数为除以10的余数为4, 除以10的余数为8, 除以10的余数为6；…………也就是说,n个2相乘所得的积除以10的余数每4个数一循环．因为67÷4=16……3，所以除以10的余数同余与2×2×2,即余数为8,所以除以10的余数为7．即的个位数字为7．评注：n个相同的任意整数相乘所得积除以10的余数每4个数一循环．3.算式7+7×7+…+ 计算结果的末两位数字是多少?【分析与解】我们只用算出7+7×7+…+7 的和除以100的余数,即为其末两位数字．7除以100的余数为7,7×7除以100的余数为49,7×7×7除以100的余数为43,7 ×7 ×7×7除以100的余数等于43×7除以100的余数为1；而除以100的余数等于的余数,即为7,……这样我们就得到一个规律除以100所得的余数,4个数一循环,依次为7,49,43,1．1990÷4=497……2,所以7+7×7+…+7×7×…的和除以100的余数同余．497×(7+49+43+1)+7+49=49756,除以100余56．所以算式7+7×7+…+ 计算结果的末两位数字是56．4.1990…1990除以9的余数是多少?【分析与解】能被9整除的数的特征是其数字和能被9整除,如果这个数的数字和除以9余a,那么再减去a而得到的新数一定能被9整除,因而这个新数加上a后再除以9,所得的余数一定为a,即一个数除以9的余数等于其数字和除以9的余数．的数字和为20×(1+9+9+0)＝380，380的数字和又是3+8=11,11除以9的余数为2,所以除以9的余数是2．5.将1,2,3，…,30从左往右依次排列成一个51位数,这个数被11除的余数是多少?【分析与解】1,2,3,...,30这30个数从左往右依次排列成一个51位数为：123456...910 (15)...19202l...25 (2930)记个位为第l位,十位为第2位,那么：它的奇数位数字和为:0+9+8+7+6+…+l+9+8+7+6+…+1+9+7+5+3+l=115：它的偶数位数字和为:3+ + +8+6+4+2=53；它的奇数位数字和与偶数位数字和的差为115—53：62．而62除以1l的余数为7．所以将原来的那个51位数增大4所得到的数123456…910…15…192021…25…2934就是1l倍数,则将123456…910…15…192021…25…2934减去4所得到数除以11的余数为7．即这个51位数除以11的余数是7．评注:如果记个位为第1位,十位为第2位,那么一个数除以11的余数为其奇数位数字和A减去偶数位数字和B的差A-B=C,再用C除以1l所得的余数即是原来那个数的余数.(如果减不开可将偶数位数字和B减去奇数位数字和A,求得B-A=C,再求出C除以1l的余数D,然后将11-D即为原来那个数除以11的余数)．如:123456的奇数位数字和为6+4+2=12,偶数位数字和为5+3+1=9,奇数位数字和与偶数位数字和的差为12-9=3,所以123456除以11的余数为3．又如:654321的奇数位数字和为1+3+5=9,偶数位数字和为2+4+6=12,奇数位数字和减不开偶数位数字和,那么先将12-9=3,显然3除以11的余数为3,然后再用11-3=8,这个8即为654321除以11的余数．6.一个1994位的整数,各个数位上的数字都是3.它除以13,商的第200位（从左往右数)数字是多少?商的个位数字是多少?余数是多少?【分析与解】这个数即为，而整除13的数的特征是将其后三位与前面的数隔开而得到两个新数，将这两个新数做差，这个差为13的倍数．显然有能够被13整除,而1994÷6=332……2，即而是13的倍数，所以除以13的余数即为33除以13的余数为7．有,而,所以除以13所得的商每6个数一循环,从左往右依次为2、5、6、4、1、0．200÷6=33……2,所以除以所得商的第200位为5．除以13的个位即为33除以13的个位，为2．即商的第200位(从左往右数)数字是5,商的个位数字是2,余数是7．7.己知：a= .问:a除以13的余数是几?【分析与解】因为1能被13整除,而1991÷3=663……2．有a= =1×1 +1×1 +1×+1×1 +…+1×1 +19911991所以a除以13的余数等于19911991除以13的余数8．8.有一个数,除以3余数是2,除以4余数是1.问这个数除以12余数是几?【分析与解】我们将这个数加上7,则这个数能被3整除,同时也能被4整除,显然能被12整除,所以原来这个数除以12的余数为12-7=5．9.某个自然数被247除余63,被248除也余63.那么这个自然数被26除余数是多少?【分析与解】我们将这个数减去63,则得到的新数能被247整除,也能被248整除,而相邻的两个整数互质,所以得到的新数能被247×248整除,显然能被26整除．于是将新数加上63除以26的余数等于63除以26的余数为11．所以这个自然数被26除余数是11．10.一个自然数除以19余9,除以23余7.那么这个自然数最小是多少?【分析与解】这个自然数可以表达为19m+9,也可以表达为23n+7,则有19m+9=23n+7，即23n-19m=2，将未知数系数与常数对19取模,有4n≡2(mod 19)．n最小取10时,才有4n≡2(mod 19).所以原来的那个自然数最小为23×lO+7=237．评注：有时往往需要利用不定方程来清晰的表示余数关系,反过来不定方程往往需要利用余数的性质来求解．11.如图15-l,在一个圆圈上有几十个孔(少于100个).小明像玩跳棋那样从A 孔出发沿着逆时针方向，每隔几个孔跳一步,希望一圈以后能跳回到A孔.他先试着每隔2孔跳一步,结果只能跳到B孔.他又试着每隔4孔跳一步，也只能跳到B孔.最后他每隔6孔跳一步,正好回到4孔.问这个圆圈上共有多少个孔?【分析与解】设这个圆圈有n个孔,那么有n除以3余1,n除以5余1.n 能被7整除．则将n-1是3、5的倍数,即是15的倍数,所以n=15t+1,又因为凡是7的倍数,即15t+1=7A,将系数与常数对7取模,有t+1≡0(mod7),所以t取6或6与7的倍数和.对应孔数为15×6+l=91或91与105的倍数和，满足题意的孔数只有91．即这个圆圈上共有91个孔．12.某住宅区有12家住户，他们的门牌号分别是1,2,3，…,12.他们的依次是12个连续的六位自然数,并且每家的都能被这家的门牌整除.已知这些的首位数字都小于6,并且门牌是9的这一家的也能被13整除,问这一家的是什么数?【分析与解】设这12个连续的自然数为n+1,n+2,n+3,…,n+12,那么有它们依次能被1,2,3,…,12整除,显然有凡能同时被1,2,3,…,12整除.即n为1,2,3,…,12的公倍数．[1,2,3,…,12]=23×32×5×7×11=27720,所以n是27720的倍数,设为27720k.则有第9家的门牌为27720k+9为13的倍数,即27720k+9=13A.将系数与常数对13取模有:4k+9≡0(mod 13),所以后可以取l或1与13的倍的和.有要求n+1,n+2,n+3,…,n+12,为六位数,且首位数字都小于6,所以k只能取14,有7n=27720×14=388080．那么门牌是9的这一家的是388080+9=388089．13.有5000多根牙签,可按6种规格分成小包.如果10根一包,那么最后还剩9根.如果9根一包,那么最后还剩8根.第三、四、五、六种的规格是,分别以8,7,6,5根为一包,那么最后也分别剩7,6,5,4根.原来一共有牙签多少根?【分析与解】设这包牙签有n根,那么加上1根后为n+1根此时有n+1根牙签即可以分成10根一包，又可以分成9根一包,还可以分成8、7、6、5根一包.所以,n+1是10、9、8、7、6、5的倍数,即它们的公倍数．[10,9,8,7,6,51=23×32×5×7=2520,即n+1是2520的倍数,在满足题下只能是2520×2=5040,所以n=5039．即原来一共有牙签5039根．14.有一个自然数,用它分别去除63,90,130都有余数,3个余数的和是25.这3个余数中最大的一个是多少?【分析与解】设这个除数为M,设它除63,90,130所得的余数依次为a,b,c,商依次为A,B,C．63÷M=A……a90÷M=B……b130÷M=C……ca+b+c=25,则(63+90+130)-(a+b+c)=(A+B+C)×M,即283-25=258=(A+B+C)×M．所以M是258的约数.258=2×3×43,显然当除数M为2、3、6时,3个余数的和最大为3×(2-1)=3，3×(3-1)=6,3×(6-1)=15,所以均不满足．而当除数M为43×2,43×3,43×2×3时,它除63的余数均是63,所以也不满足．那么除数M只能是43,它除63,90,130的余数依次为20,4,1,余数的和为25,满足．显然这3个余数中最大的为20．15.一个数去除551,745,1133,1327这4个数,余数都相同.问这个数最大可能是多少?【分析与解】这个数A除55l,745,1133,1327,所得的余数相同,所以有551,745,1133,1327两两做差而得到的数一定是除数A的倍数．1327-1133=194,1133-745=388,745-551=194,1327-745=582,1327-551=77 6,1133-551=582．这些数都是A的倍数,所以A是它们的公约数,而它们的最大公约数(194，388，194，582，776，582)=194．所以,这个数最大可能为194．。

第四讲 余数问题知识点：1、在有余数的除法里，如果被除数和除数都能被同一自然数整除，那么余数也能被这个自然数整除。

例如：60÷25=2……10，255,605，，那么一定有1052、在有余数的除法里，如果除数和余数能被同一自然数整除，那么被除数也能被这个自然数整除。

例如：3、一个自然数被另一个自然数n 除时，余数只能是0，1，2，……（n-1)。

例如：4、如果两个整数被另一自然数n 除时（n 为整数），余数相同，则它们的差必定能被n 整除。

例如：5、如果整数a 和b 除以同一个自然数m ，所得的余数相同，c 和d 除以同一自然数m ，余数也相同，那么a+c ，b+d 除以m 所得的余数也相同。

例如：一、例题讲解例1、被除数、除数、商与余数之和是2143，已知商是33，余数是52，求被除数和余数。

例2、一个自然数除以3余1，除以5余3，加上2就能被7整除，这个自然数最小是多少？例3、自然数a 除以7余3，自然数b 除以7余4，（a+b ）除以7余几？例4、整数1111…111除以6的余数是几？2012个1例5、2012个7组成一个2012位数，被13除后余数是多少？商的各位数字之和是多少？例6、1～400的整数中，被3、5、7除都余2的数共有多少个？二、拓展训练1、有一个自然数，用它去除63、91、129得到3个余数的和是25，这个自然数是多少？2、在1～200这200个自然数中，被3或7除都余2的数有多少个？3、自然数a除以7余3，自然数b除以7余3，已知a大于b，那么a减去b的差除以7，余数是多少？4、有一个整数，除300、262、205得到相同的余数。

这个数多少？5、11+22+33+44+55+66+77+88+99除以3的余数是多少？三、能力检测1、71427和19的积被7除，余数是几？2、69、90、125被某个自然数除时，余数相同，试求这个自然数的最大值。

3、一个十几岁的男孩，把自己的岁数写在父亲的岁数之后，组成一个四位数，从这个四位数中减去他们父子两人岁数差的差得到4289。

五年级奥数：余数问题在整数的除法中，只有能整除与不能整除两种情况。

当不能整除时，就产生余数，所以余数问题在小学数学中非常重要。

余数有如下一些重要性质（a，b，c均为自然数）：（1）余数小于除数。

（2）被除数=除数×商+余数；除数=（被除数-余数）÷商；商=（被除数-余数）÷除数。

（3）如果a，b除以c的余数相同，那么a与b的差能被c整除。

例如，17与11除以3的余数都是2，所以17-11能被3整除。

（4）a与b的和除以c的余数，等于a，b分别除以c的余数之和（或这个和除以c的余数）。

例如，23，16除以5的余数分别是3和1，所以（23+16）除以5的余数等于3+1=4。

注意：当余数之和大于除数时，所求余数等于余数之和再除以c的余数。

例如，23，19除以5的余数分别是3和4，所以（23+19）除以5的余数等于（3+4）除以5的余数。

（5）a与b的乘积除以c的余数，等于a，b分别除以c的余数之积（或这个积除以c的余数）。

例如，23，16除以5的余数分别是3和1，所以（23×16）除以5的余数等于3×1=3。

注意：当余数之积大于除数时，所求余数等于余数之积再除以c的余数。

例如，23，19除以5的余数分别是3和4，所以（23×19）除以5的余数等于（3×4）除以5的余数。

性质（4）（5）都可以推广到多个自然数的情形。

例题 15122除以一个两位数得到的余数是66，求这个两位数。

分析与解：由性质（2）知，除数×商=被除数-余数。

5122-66=5056，5056应是除数的整数倍。

将5056分解质因数，得到5056=26×79。

由性质（1）知，除数应大于66，再由除数是两位数，得到除数在67～99之间，符合题意的5056的约数只有79，所以这个两位数是79。

例题 2被除数、除数、商与余数之和是2143，已知商是33，余数是52，求被除数和除数。

五年级数学思维训练：余数（五年级）竞赛测试姓名:_____________ 年级:____________ 学号:______________一、xx 题 （每空xx 分，共xx 分） 【题文】（4分）72除以一个数，余数是7．商可能是多少？【答案】商可能是5．【解析】试题分析：根据在有余数的除法中，余数总比除数小，即除数最小为：余数+1，进而根据“被除数﹣余数=商×除数”解答即可．解：72﹣7=6565=13×5，所以，72除以一个数，余数是7．商可能是5．点评：解答此题的关键：根据在有余数的除法中，余数总比除数小，得出余数最大为：除数﹣1，然后被除数、除数、商和余数四个量之间的关系进行解答即可．【题文】（4分）100和84除以同一个数，得到的余数相同，但余数不为0．这个除数可能是多少？【答案】这个除数可能是8或16．【解析】试题分析：要求这个除数可能是多少，根据同余定理，先求出100和84这两个数的差，再求出这三差的公约数，然后找出不能整除100和84的数，即为这个除数．解：余数相同，那么除数是100﹣84=16的约数，除数可能是1，2，4，8，16其中不能整除100和84的有8和16所以除数是8或者16．答：这个除数可能是8或16．点评：解答此题的关键是理解同余定理，求出两个数之差的公因数，进而解决问题．【题文】（4分）20080808除以9的余数是多少？除以8和25的余数分别是多少？除以11的余数是多少？【答案】20080808除以9的余数是1807280；除以25的余数是8；除以8和11没有余数．【解析】试题分析：根据在有余数的除法中，“被除数=商×除数+余数”解答即可．解：20080808÷9=2231200 (1807280)20080808÷8=251010120080808÷25=803232 (8)20080808÷11=1825528答：20080808除以9的余数是1807280；除以25的余数是8；除以8和11没有余数．点评：解答此题根据被除数、除数、商和余数四个量之间的关系进行解答即可．【题文】（4分）4个运动员进行乒乓球比赛，他们的号码分别为101、126、173、193．规定每两人之间比赛的盘数是他们号码的和除以3所得的余数．请问：比赛盘数最多的运动员打了多少盘？【答案】打球盘数最多的运动员是126号，打了5盘．【解析】试题分析：能被3整除的条件是：这个整数的各位数字和是3的整数倍；如15，1+6=6，6=3×2，所以15能被3整除；再如19，1+9=10，10÷3=3…1，则19不能被3整除，19÷3=6…1，通过此题说明了一个问题：数字和除以3余数是几，则这个数字除以3就余数是几；此题从101、126、173、193中任意选出2个数有6种，求和，除以3，再看和的数字除以3余数是几，再分别求出每个运动员打球的盘数，即可得解．解：101+126=227，2+2+7=11，11÷3=3…2；101+173=274，2+7+4=13，13÷3=4…1；101+193=294，2+9+4=15，15÷3=5；126+173=299，2+9+9=20，20÷3=6…2；126+193=319，3+1+9=13，13÷3=4…1；173+193=366，3+6+6=15，15÷3=5；101号运动员打球的盘数为：2+1+0=3（盘），126好运动员打球的盘数为：2+2+1=5，173号运动员打球的盘数为：1+2+0=3（盘），193号运动员打球的盘数为：0+1+0=1（盘），答：打球盘数最多的运动员是126号，打了5盘．点评：完成本题关键是根据题意，得出每个运动员打球的盘数，然后得出答案．【题文】（4分）某工厂有128名工人生产零件，他们每个月工作23天，在工作期间每人每天可以生产300个零件．月底将这些零件按17个一包的规格打包，发现最后一包不够17个．请问：最后一包有多少个零件？【答案】16个零件.【解析】试题分析：用每人每天可以生产的零件个数乘以人数，乘以天数得到零件的总个数，用零件的总个数除以每包的个数，得到的商是包数，余数是剩下的零件个数，最后一包有的零件个数．解：300×128×23÷17=38400×23÷17=883200÷17=51952（包）…16（个）答：最后一包有16个零件．点评：本题关键弄清得到商表示量是什么，得到的余数表示什么量．【题文】（4分）（1）220除以7的余数是多少？（2）1414除以11的余数是多少？（3）28121除以13的余数是多少？【答案】（1）4；（2）4；（3）2.试题分析：（1）分别求出23、24、25、26…除以7的余数，总结出规律，然后判断出所求的余数是多少即可；（2）首先根据1414=（11+3）14，可得1414除以11同余314除以11；然后分别求出33、34、35、36…除以11的余数，总结出规律，然后判断出所求的余数是多少即可；（3）首先根据28121=（13×2+2）121，所以28121除以13同余2121，然后分别求出24、25、26、27…除以13的余数，总结出规律，然后判断出所求的余数是多少即可．解：（1）因为23÷7=1…1，24÷7=2…2，25÷7=4…4，26÷7=9…1，…所以从23开始，除以7的余数分别是1、2、4、1、2、4…，每3个一循环，分别是1、2、4，因为（20﹣2）÷3=6，所以220除以7的余数是4；（2）根据1414=（11+3）14，可得1414除以11同余314除以11，因为33÷11=2…5，34÷11=7…4，35÷11=22…1，36÷11=66…3，37÷11=198…9，38÷11=596…5，…所以从33开始，除以11的余数分别是5、4、1、3、9、5…，每5个一循环，分别是5、4、1、3、9，因为（14﹣2）÷5=2…2，所以1414除以11的余数是4；（3）根据28121=（13×2+2）121，所以28121除以13同余2121，因为24÷13=1…3，25÷13=2…6，26÷13=4…12，27÷13=9…11，28÷13=19…9，29÷13=39…5，210÷13=78…10，211÷13=157…7，212÷13=315…1，213÷13=630…2，214÷13=1260…4，215÷13=2520…8，216÷13=5041…3，所以从24开始，除以13的余数分别是3、6、12、11、9、5、10、7、1、2、4、8、3…，每12个一循环，分别是3、6、12、11、9、5、10、7、1、2、4、8，因为（121﹣3）÷12=9…10，所以28121除以13的余数是2．点评：此题主要考查了带余除法的性质的应用，以及同余定理的应用．【题文】（4分）8+8×8+…+除以5的余数是多少？【答案】2.【解析】试题分析：被5整除的数的特点是个位数字是0和5，所以只要看个位数字，即可，余数只能是0、1、2、3、4中的一个．解：乘积的个位数字分别是8，4，2，6，8，4，2，6，8，4；所以8+8×8+8×8×8+…+8×8×8×8…×8（10个8）的个位数字和是：8+4+2+6+8+4+2+6+8+4=52，所以8+8×8+8×8×8+…+8×8×8×8…×8（10个8）的个位数字是2，2即为余数；答：除以5的余数是2．点评：解决此题的关键是理解被5整除的特征．【题文】（4分）一个三位数除以21余17，除以20也余17．这个数最小是多少？【答案】437.试题分析：因为这个数除以21，除以20都余17，要求这个数最小是多少，就是用20、21的最小公倍数加上17即可．解：21和20的最小公倍数是21×20=420420+17=437所以这个数最小是437．答：这个数最小是437．点评：此题考查了带余除法，根据题目特点，先求2个数的最小公倍数，然后加上余数，解决问题．【题文】（4分）有一个数，除以3余数是2，l又因为B是大于等于1而小于等于11，在这个区间内，只有5是符合的．答：这个数除以12余数是5．点评：此题主要考查了带余数的除法运算，假设出这个数，分析得出符合要求的数据．【题文】（4分）100多名小朋友站成一列，从第一人开始依次按1，2，3，…，11的顺序循环报数，最后一名同学报的数是9；如果按1，2，3，…，13的顺序循环报数，那么最后一名同学报的数是11．请问：一共有多少名小朋友？【答案】141.【解析】试题分析：由题意知，一共有多少名小朋友，也就是求11和13的最小倍数，由此解答问题．解：因为9=11﹣2，11=13﹣2，所以只要再多2个人，人数就是11与13的公倍数，11与13的公倍数为143，所以共有143﹣2=141人，符合题意；而143×2＞100，不符合题意．答：共有141人．点评：此题主要把实际问题转化为求最小倍数的数学问题，解决数学问题，回到实际问题，这是数学中常用的一种方法．【题文】（4分）1111除以一个两位数，余数是66．求这个两位数．【答案】95.【解析】试题分析：因为1111﹣66=1045，1045=5×11×19，所以两位因数有：11，19，55，95；又因为余数小于除数，但是11，19，55＜66，所以只有95符合题意，即这个两位数是95，此时1111÷95=11…66．解：因为1111﹣66=1045，1045=5×11×19，所以两位因数有：11，19，55，95；∵余数小于除数，但是11，19，55＜66，∴只有95符合题意，即这个两位数是95，此时1111÷95=11…66．答：这个两位数是95．点评：此题主要考查了带余除法的性质的应用，解答此题的关键是求出1111与66的差，进而将其分解质因数．【题文】（4分）（1）除以4和125的余数分别是多少？（2）除以9和11的余数分别是多少？【答案】（1）除以4和125的余数分别是1和46．（2）除以9和11的余数分别是3和5．【解析】试题分析：（1）421被4除后余数是1，放到下一个421，得到1421，除以4，余数仍然是1，再放到下一个421里，又得到1421，余数还是1，依此类推，无论多少个421，余数都是1．同理421除以125余数是46，放到下一个421中，得到46421，除以125，余数仍然是46，以此类推，无论多少个421，余数都是46．（2）被9整除的数的特点是数字和是9的倍数，所以9个808一定被9整除，18个808同样被9整除，还有3个808，数字和是（8+8）×3=48，48÷9=5…3，所以余数是3；一个808除以11余数是5，与下一个808得到5808，除以11，结果余数是0，所以每两个808可以被整除11，则20个808被11整除，只要看最后一个808除以11余数为几，即可得解．解：（1）421÷4=105 (1)1421÷4=355 (1)再放到下一个421里，又得到1421，余数还是1，依此类推，无论多少个421，余数都是1．421÷125=3 (46)46421÷125=371 (46)放到下一个421中，得到46421，除以125，余数仍然是46，以此类推，无论多少个421，余数都是46．答：除以4和125的余数分别是1和46．（2）被9整除的数的特点是数字和是9的倍数，所以9个808一定被9整除，18个808同样被9整除，还有3个808，数字和是（8+8）×3=48，48÷9=5…3，所以余数是3；808÷11=73 (5)5808÷11=528一个808除以11余数是5，与下一个808得到5808，除以11，结果余数是0，所以每两个808可以被整除11，则20个808被11整除，只要看最后一个808除以11余数为5．答：除以9和11的余数分别是3和5．点评：完成本题要根据余数的不同分别讨论解决．【题文】（4分）一年有365天，轮船制造厂每天都可以生产零件1234个，年终将这些零件按19个一包的规格打包，最后一包不够19个．请问：最后一包有多少个零件？【答案】15个零件【解析】试题分析：用每天生产的零件个数乘以天数得到零件的总个数，用零件的总个数除以每包的个数，得到的商是包数，余数是剩下的零件个数就是最后一包有的零件个数．解：1234×365÷19=450410÷19=23705（包）…15（个）答：最后一包有15个零件．点评：本题关键弄清得到商表示量是什么，得到的余数表示什么量．【题文】（4分）自然数的个位数字是．【答案】7.【解析】试题分析：除去第一个2外，其余的每4个2相乘都有个位数字是4、8、6、2的循环出现，故用（67﹣1）除以4，得出是16组余2，所以个位数字是8，最终确定自然数的个位数字是7．解：除去第一个2外，其余的每4个2相乘都有个位数字是4、8、6、2的循环出现，为一组；（67﹣1）÷4=16（组）…2（个）；所以67个2相乘的个位数字是8，则自然数的个位数字是 8﹣1=7．故答案为：7．点评：此题考查乘法中的巧算，关键是找出2连乘时积的变化规律，再进一步求得解．【题文】（4分）算式12007+22007+32007+…+20062007计算结果的个位数是多少？【答案】1.【解析】试题分析：12007的个位数是1，22007的个位数是8，32007的个位数是7，42007的个位数是4，52007的个位数是5，62007的个位数是6，72007的个位数是3，82007的个位数是2，92007的个位数是9，102007的个位数是0，112007的个位数是1…，每10个数一循环，依次为1，8，7，4，5，6，3，2，9，0；1+8+7+4+5+6+3+2+9+0=45，2006÷10=200…6，所以算式12007+22007+32007+…+20062007计算结果的个位数同算式200×45+1+8+7+4+5+6=931的个位数相同，即它的个位数是1，据此解答即可．解：12007的个位数是1，22007的个位数是8，32007的个位数是7，42007的个位数是4，52007的个位数是5，62007的个位数是6，72007的个位数是3，82007的个位数是2，92007的个位数是9，102007的个位数是0，112007的个位数是1…，每10个数一循环，依次为1，8，7，4，5，6，3，2，9，0；因为1+8+7+4+5+6+3+2+9+0=45，2006÷10=200…6，所以算式12007+22007+32007+…+20062007计算结果的个位数同算式200×45+1+8+7+4+5+6=931的个位数相同，即它的个位数是1．点评：此题主要考查了乘积的个位数问题的应用，解答此题的关键是判断出：12007、22007、32007、…的个位数依次为1，8，7，4，5，6，3，2，9，0，每10个数一循环．【题文】（4分）一个自然数除以49余23，除以48也余23．这个自然数被14除的余数是多少？【答案】9.【解析】试题分析：一个自然数除以49余23，除以48也余23，则这个自然数是49和48的最小公倍数加23，因为48和49互质，所以这个数是49×48+23，然后除以14，49×48÷14=7×24整除，只要看23除以14的余数，即可得解．解：23÷14=1 (9)答：这个自然数被14除的余数是9．点评：关键是明白这个自然数是49×48+23，49×48能被14整除．【题文】（4分）一个自然数除以19余9，除以23余7．这个自然数最小是多少？【答案】237.【解析】试题分析：设这个自然数为x，根据这个自然数除以19余9，除以23余7，列出方程，求解即可．解：设这个自然数为x，根据题意，可得x=19m+9=23n+7（m、n都是自然数），整理得：x﹣7=19m+2=23n，因为23×10=19×12+2，所以x﹣7=230，解得x=237，即这个自然数最小是237．答：这个自然数最小是237．点评：此题主要考查了有余数的除法各部分之间的关系的应用．【题文】（4分）刘叔叔养了400多只兔子，如果每3只兔子关在一个笼子里，那么最后一个笼子里有2只；如果每5只兔子关在一个笼子里，那么最后一个笼子里有4只；如果每7只兔子关在一个笼子里，那么最后一个笼子里有6只．请问：刘叔叔一共养了多少只兔子？【答案】419只.【解析】试题分析：求3、5、7的最小公倍数，进一步找出比400多一些的公倍数，用这个公倍数减去1即可得到答案．解：3、5、7这三个数两两互质，所以它们的最小公倍数是这三个数的乘积，3×5×7=105105×2=210105×3=315105×4=420420﹣1=419答：刘叔叔一共养了419只兔子．点评：本题关键理解好“每3只兔子关在一个笼子里，那么最后一个笼子里有2只”可以理解为“每3只兔子关在一个笼子里，那么最后一个笼子里少1只”由此理解后面的内容，即求出3，5，7的公倍数减去1即可得到答案．【题文】（4分）除以99的余数是多少？【答案】90.【解析】试题分析：6个123除以99刚好整除，这样求出123里有多少个6，余数是几，就看几个123并列除以99的余数，即可得解．解：123123123123123123÷99=1243667910334577每6个整除1次，123÷6=20 (3)前120个123并列能整除99，123123123÷99=1243667 (90)答：123个123并列除以99的余数是90．点评：找到几个123并列可以被99整除，是解决此题的关键．【题文】（4分）把63个苹果，90个橘子，130个梨平均分给一些同学，最后一共剩下25个水果没有分出去．请问：剩下个数最多的水果剩下多少个？【答案】20.【解析】试题分析：求出苹果、梨、橘子的总个数，然后用水果的总个数减去25即可得到剩下的水果的总数，然后把水果的总个数分解质因式，确定出学生的人数，然后进一步求出剩下水果的个数，进一步确定剩下个数最多的水果．解：63+90+130﹣25=258258=2×3×43由此可知学生的人数是43人，余下的苹果的个数：63﹣1×43=20（个）余下橘子的个数：90﹣2×43=4（个）余下梨的个数：130﹣3×43=1（个）20＞4＞1所以余下的苹果最多，剩下20个．答：剩下个数最多的水果剩下20个．点评：本题关键求出发给的学生的人数，然后确定出余下水果最多的是那种水果．【题文】（4分）有一个大于l的整数，用它除300、262、205得到相同的余数，求这个数．【答案】19.【解析】试题分析：a，b数被一个数d去除，有相同的余数，那么d可以整除（a﹣b），由此找出300与262的差，以及262与205的差，它们的非1的公约数就是要求的数．解：这个数除300、262，得到相同的余数，所以这个数整除300﹣262=38，同理，这个数整除262﹣205=57，因此，它是38、57的公约数19．点评：本题利用同余定理的性质，得出要求的数是被除数两两之间差的公约数，从而得解．【题文】（4分）用61和90分别除以某一个数，除完后发现两次除法都除不尽，而且前一次所得的余数是后一次的2倍，如果这个数大于1，那么这个数是多少？【答案】17.【解析】试题分析：假设这个数是a，61除以a余数是2c；90除以a余数是c，则180除以a的余数就是2c；那么两个等式左右相减，余数被减去了，即得到的被除数能被a整除，所以只要把180减去61，分解质因数，即可得解．解：假设这个数是a，61除以a余数是2c；90除以a余数是c，则：61÷a=b…2c90×2÷a=d…2c则90×2﹣61=119=17×7因为61÷17=3 (10)90÷17=5 (5)10=5×2符合题意；答：这个数为17．点评：解决此题的关键是理解90的2倍减去61就是所求的数的整数倍，从而转化为求90×2﹣61的因数．【题文】（4分）从l依次写到99，可以组成一个多位数12345…979899．这个多位数除以11的余数是多少？【答案】4.【解析】试题分析：被11整除的数，奇数位和与偶数位和的差能被11整除，因此可以先求出此数奇数位上的和以及偶数位上的和．解：在此数前补一位0不影响．即01 23 45 ...67 89 1011 (99)如上每两位一段．易知，被11整除的数，奇数位和，与偶数位和的差，能被11整除．则上数，从10往后，偶数位上，数字1到9均出现10次．奇数位上，0到9出现9次．因此奇数位和=（0+1+2+3…+9）×9+（1+3+5+7+9）=45×9+25偶数位和=（1+2+3…+9）×10+（0+2+4+6+8）=45×10+20则他们的差，偶﹣奇=45×10+20﹣45×9﹣25=45﹣5=40 不能被11整除，而要是调整奇数位的最后一位（99的个位9），减少4的话．这个差将被11整除．意味着01 23 45 …95 能被11整除，则原数被11除余4．答：这个多位数除以11的余数是4．点评：解决此题的关键是理解被11整除的数，奇数位和与偶数位和的差能被11整除．【题文】（4分）算式计算结果的末两位数字是多少？【答案】00.【解析】试题分析：要求算式计算结果的末两位数字是多少，只要求出的和除以100的余数，即为其末两位数字，据此解答即可．解：7除以100的余数为7，7×7除以100的余数为49，7×7×7除以100的余数为43，7×7×7×7除以100的余数等于43×7除以100的余数为1；而7×7×7×7×7除以100的余数等于7，…则7+7×7+…+7×7×…除以100所得的余数，4个数一循环，依次为7，49，43，1，因为2008÷4=502，所以算式计算结果除以100的余数同余502×（7+49+43+1）=50200，又因为50200除以100余数为0，所以算式计计算结果的末两位数字是00．点评：此题主要考查了乘积的个位数问题的应用，解答此题的关键是分析出：7+7×7+…+7×7×…除以100所得的余数，4个数一循环，依次为7，49，43，1．【题文】（4分）算式1×3×5×7×…×2007计算结果的末两位数字是多少？【答案】75.【解析】试题分析：因为是奇数相乘，有下面这个规律：25（2n+1）（2n+3）=100n2+200n+75（25经过相邻的两个奇数相乘后变成75），75（2n+1）（2n+3）=300n2+600n+225（75经过相邻的两个奇数相乘后变成25），这个规律是从15开始的，也就是当n＞2时，（8n+1）！和（8n﹣1）！最后两位是25，（8n+3）!和（8n+5）!最后两位是75；又因为2013=251×8+5，所以计算结果的末两位数字是75．解：因为是奇数相乘，有下面这个规律：25（2n+1）（2n+3）=100n2+200n+75（25经过相邻的两个奇数相乘后变成75），75（2n+1）（2n+3）=300n2+600n+225（75经过相邻的两个奇数相乘后变成25），这个规律是从15开始的，也就是当n＞2时，（8n+1）！和（8n﹣1）！最后两位是25，（8n+3）!和（8n+5）!最后两位是75；又因为2013=251×8+5，所以计算结果的末两位数字是75．答：算式1×3×5×7×…×2007计算结果的末两位数字是75．点评：此题主要考查了乘积的个位数问题的应用，解答此题的关键是分析出：当n＞2时，（8n+1）！和（8n﹣1）！最后两位是25，（8n+3）!和（8n+5）!最后两位是75．【题文】（4分）有5000多根牙签，按以下6种规格分成小包：如果10根一包，最后还剩9根；如果9根一包，最后还剩8根；如果依次以8、7、6、5根为一包，最后分别剩7、6、5、4根．原来一共有牙签多少根？【答案】5039根．【解析】试题分析：根据10根一包，最后还剩9根，9根一包，最后还剩8根，分别以8、7、6、5根为一包，最后也分别剩7、6、5、4根，可以推知此数加上1就是8、7、6、5的公倍数，再求出8、7、6、5的公倍数减去1得解．解：这个数+1=8、7、6、5的公倍数8、7、6、5的最小公倍数为：2×4×7×3×5=840满足5000多这个条件的公倍数是840×6=5040牙签的数量就是5040﹣1=5039（根）答：原来一共有牙签 5039根．点评：解决此题关键在于求出符合条件（5000多）的8、7、6、5的公倍数，再用它减去1即可．【题文】（4分）有三个连续自然数，它们小道大依次是5、7、9的倍数，这三个连续自然数最小是多少？【答案】160.【解析】试题分析：17，19和21这三个数都是奇数，且相邻的两个数都相差2，所以它们的最小公倍数仍然是一个奇数，这个最小公倍数分别加上5、7、9所得到的和都是偶数，且相邻的两个数仍然相差2，我们把这三个和分别除以2，就可以得到一组符合题目要求的连续自然数．5、7、9最小公倍数是5×7×9=315，315+5=320能被5整除，315+7=322能被7整除，315+9=24能被9整除，所以320，322，324分别能被5、7、9整除，这三个数都是偶数，且都相差2，把这三个数分别除以2，得到160，161，162，它们也一定能分别被5、7、9整除，又因为160小于最小公倍数315，所以160，161，162是符合题目要求的最小的一组，因此这三个连续自然数中最小的那个数最小是160．解：5、7、9最小公倍数是5×7×9=315，315+5=320能被5整除，315+7=322能被7整除，315+9=24能被9整除，所以320，322，324分别能被5、7、9整除，这三个数都是偶数，且都相差2，把这三个数分别除以2，得到160，161，162，它们也一定能分别被5、7、9整除，又因为160小于最小公倍数315，所以160，161，162是符合题目要求的最小的一组，因此这三个连续自然数中最小的那个数最小是160．点评：完成此题是在了解5、7和9这一组数的基础上求出最小公倍数，然后用最小公倍数分别加上5、7、9所得到的和都是偶数，且相邻的两个数仍然相差2，我们把这三个和分别除以2，就可以得到一组符合题目要求的连续自然数，从而求出三个连续自然数中最小的那个数．【题文】（4分）请找出所有的三位数，使它除以7、11、13的余数之和尽可能大．【答案】三位数285、636除以7、11、13的余数之和最大．【解析】试题分析：根据题意，要使余数之和最大，三个余数只能分别为 6、10、12，那么这个三位数加上1就能同时被7、11、13整除，所以所求的三位数为7、11、13的公倍数减去1，则它最小是：7×11×13﹣1=1000，它是一个四位数，不符合题意，因此，余数之和最大时，三个余数分别为 5、10、12 或6、9、12或6、10、11；然后分类讨论，求出满足题意的三位数即可．解：根据题意，要使余数之和最大，三个余数只能分别为 6、10、12，那么这个三位数加上1就能同时被7、11、13整除，所以所求的三位数为7、11、13的公倍数减去1，则它最小是：7×11×13﹣1=1000，它是一个四位数，不符合题意，因此，余数之和最大时，三个余数分别为 5、10、12 或6、9、12或6、10、11；（1）当三个余数分别为5、10、12时，则这个数加1后能被11、13整除，且它被7除后余5，所以所求的三位数为：11×13k﹣1，它被7除的余数为：3k﹣1=5，解得k=2，所以这个三位数是：11×13×2﹣1=285；（2）当三个余数分别为6、9、12时，则这个数加1后能被7、13 整除，且它被11除后余9，所以所求的三位数为：7×13k﹣1，它被11除的余数为3k﹣1=9+11，解得k=7，所以这个三位数是：7×13×7﹣1=636；（3）当三个余数分别为6、10、11，则这个数加1后能被 7、11整除，且它被13除后余11，所以所求的三位数为：7×11k﹣1，它被13除的余数为：12k﹣1=11，解得k=1，所以这个数是：7×11﹣1=76，它是一个两位数，不符合题意；综上，三位数285、636除以7、11、13的余数之和最大．点评：此题主要考查了最大与最小问题的应用，考查了分类讨论思想的应用，解答此题的关键是判断出余数和最大的情况．【题文】（4分）已知21!=．那么四位数是多少？【答案】5140．【解析】试题分析：21!=21×20×19×…×15×14×…×11×10×9×8×…5×4×…×1；通过21!分解后的数字，根据数的整除的特点解答即可．解：21!=21×20×19×...×15×14×...×11×10×9×8×...5×4× (1)显然21!末尾有4个0，故D=0；又21!含有质因子2的个数超过7个，所以去掉末尾4个0后，得到的新数后三位是8的倍数，即94C是8的倍数，可得C=4；由于21!能被9整除，所以各位数字之和能被9整除，可得A+B=6或15；由于21!能被11整除，所以奇数位数字和与偶数位数字之差能被11整除，可得：A﹣B=4或B﹣A=7；由于A+B与A﹣B奇偶性相同，所以有：或；解得：或显然只有符合题意．所以四位数是5140．答：四位数是5140．点评：解答本题的关键是灵活运用数的整除的特点．【题文】（4分）有一些自然数n，满足：2n﹣n是3的倍数，3n﹣n是5的倍数，5n﹣n是2的倍数，请问：这样的，n中最小的是多少？【答案】15.【解析】试题分析：因为2n﹣n是3的倍数，3n﹣n是5的倍数，5n﹣n是2的倍数，所以n是3的l点评：此题主要考查了最大与最小问题的应用，解答此题的关键是熟练掌握是2、3、5的倍数的特征．。

国际数学奥林匹克竞赛国际数学奥林匹克竞赛，英文名：International Mathematical Olympiad，简称：IMO。

“数学奥林匹克”的名称源自苏联，其将体育竞赛、科学的发源地——古希腊和数学竞赛相互关联。

在20世纪上半叶，不同国家相继组织了各级各类的数学竞赛，先在学校，继之在地区，后来在全国进行，逐步形成了金字塔式的竞赛系统。

从各国的竞赛进一步发展，自然为形成最高一层的国际奥林匹克竞赛创造了必要的条件。

2023年7月12日，在第64届国际数学奥林匹克竞赛中，中国的6名选手全员获得金牌，中国队获国际数学奥赛总分五连冠。

[9]历史起源1956年罗马尼亚数学家罗曼教授提出了倡议，并于1959年7月在罗马尼亚举行了第一次国际奥林匹克数学（International Mathematical Olympiad简称IMO），当时只有保加利亚、捷克斯洛伐克、匈牙利、波兰、罗马尼亚和苏联参加。

以后每年举行（中间只在1980年断过一次），参加的国家和地区逐渐增多，参加这项赛事的代表队达80余支。

中国第一次参加国际数学奥林匹克是在1985年。

经过40多年的发展，国际数学奥林匹克的运转逐步制度化、规范化，有了一整套约定俗成的常规，并为历届东道主所遵循。

目的激发青年人的数学才能；引起青年对数学的兴趣；发现科技人才的后备军；促进各国数学教育的交流与发展。

对象参赛选手为中学生，每支代表队有学生6人，另派2名数学家为领队。

试题试题由各参赛国提供，然后由东道国精选后提交给主试委员会表决，产生6道试题。

东道国不提供试题。

试题确定之后，写成英语、法语、德语、俄语等工作语言，由领队译成本国文字。

第5讲有余除法一、知识要点：1、解这类题的关键是要先确定余数，如果余数已知，就可以确定除数，然后再根据被除数与除数、商和余数的关系求出被除数。

2、（1）余数必须小于除数；（2）被除数＝商×除数＋余数。

二、精讲精练【例题1】[ ]÷6＝8……[ ]，根据余数写出被除数最大是几？最小是几？练习1：(1)下面题中被除数最大可填________，最小可填_______。

⼩学奥数思维训练余数通⽤版2014年五年级数学思维训练：余数1．（4分）72除以⼀个数，余数是7．商可能是多少？2．（4分）100和84除以同⼀个数，得到的余数相同，但余数不为0．这个除数可能是多少？3．（4分）20080808除以9的余数是多少？除以8和25的余数分别是多少？除以11的余数是多少？4．（4分）4个运动员进⾏乒乓球⽐赛，他们的号码分别为101、126、173、193．规定每两⼈之间⽐赛的盘数是他们号码的和除以3所得的余数．请问：⽐赛盘数最多的运动员打了多少盘？5．（4分）某⼯⼚有128名⼯⼈⽣产零件，他们每个⽉⼯作23天，在⼯作期间每⼈每天可以⽣产300个零件．⽉底将这些零件按17个⼀包的规格打包，发现最后⼀包不够17个．请问：最后⼀包有多少个零件？6．（4分）（1）220除以7的余数是多少？（2）1414除以11的余数是多少？（3）28121除以13的余数是多少？7．（4分）8+8×8+…+除以5的余数是多少？8．（4分）⼀个三位数除以21余17，除以20也余17．这个数最⼩是多少？9．（4分）有⼀个数，除以3余数是2，除以4余数是1．问这个数除以12余数是⼏？10．（4分）100多名⼩朋友站成⼀列，从第⼀⼈开始依次按1，2，3，…，11的顺序循环报数，最后⼀名同学报的数是9；如果按1，2，3，…，13的顺序循环报数，那么最后⼀名同学报的数是11．请问：⼀共有多少名⼩朋友？11．（4分）1111除以⼀个两位数，余数是66．求这个两位数．12．（4分）（1）除以4和125的余数分别是多少？（2）除以9和11的余数分别是多少？13．（4分）⼀年有365天，轮船制造⼚每天都可以⽣产零件1234个，年终将这些零件按19个⼀包的规格打包，最后⼀包不够19个．请问：最后⼀包有多少个零件？14．（4分）⾃然数的个位数字是．15．（4分）算式12007+22007+32007+…+20062007计算结果的个位数是多少？16．（4分）⼀个⾃然数除以49余23，除以48也余23．这个⾃然数被14除的余数是多少？17．（4分）⼀个⾃然数除以19余9，除以23余7．这个⾃然数最⼩是多少？18．（4分）刘叔叔养了400多只兔⼦，如果每3只兔⼦关在⼀个笼⼦⾥，那么最后⼀个笼⼦⾥有2只；如果每5只兔⼦关在⼀个笼⼦⾥，那么最后⼀个笼⼦⾥有4只；如果每7只兔⼦关在⼀个笼⼦⾥，那么最后⼀个笼⼦⾥有6只．请问：刘叔叔⼀共养了多少只兔⼦？19．（4分）除以99的余数是多少？20．（4分）把63个苹果，90个橘⼦，130个梨平均分给⼀些同学，最后⼀共剩下25个⽔果没有分出去．请问：剩下个数最多的⽔果剩下多少个？1 / 1321．（4分）有⼀个⼤于l的整数，⽤它除300、262、205得到相同的余数，求这个数．22．（4分）⽤61和90分别除以某⼀个数，除完后发现两次除法都除不尽，⽽且前⼀次所得的余数是后⼀次的2倍，如果这个数⼤于1，那么这个数是多少？23．（4分）从l依次写到99，可以组成⼀个多位数12345…979899．这个多位数除以11的余数是多少？24．（4分）算式计算结果的末两位数字是多少？25．（4分）算式1×3×5×7×…×2007计算结果的末两位数字是多少？26．（4分）有5000多根⽛签，按以下6种规格分成⼩包：如果10根⼀包，最后还剩9根；如果9根⼀包，最后还剩8根；如果依次以8、7、6、5根为⼀包，最后分别剩7、6、5、4根．原来⼀共有⽛签多少根？27．（4分）有三个连续⾃然数，它们⼩道⼤依次是5、7、9的倍数，这三个连续⾃然数最⼩是多少？28．（4分）请找出所有的三位数，使它除以7、11、13的余数之和尽可能⼤．29．（4分）已知21!=．那么四位数是多少？30．（4分）有⼀些⾃然数n，满⾜：2n﹣n是3的倍数，3n﹣n是5的倍数，5n﹣n是2的倍数，请问：这样的，n中最⼩的是多少？参考答案1．商可能是5．【解析】试题分析：根据在有余数的除法中，余数总⽐除数⼩，即除数最⼩为：余数+1，进⽽根据“被除数﹣余数=商×除数”解答即可．解：72﹣7=6565=13×5，所以，72除以⼀个数，余数是7．商可能是5．点评：解答此题的关键：根据在有余数的除法中，余数总⽐除数⼩，得出余数最⼤为：除数﹣1，然后被除数、除数、商和余数四个量之间的关系进⾏解答即可．2．这个除数可能是8或16．【解析】试题分析：要求这个除数可能是多少，根据同余定理，先求出100和84这两个数的差，再求出这三差的公约数，然后找出不能整除100和84的数，即为这个除数．解：余数相同，那么除数是100﹣84=16的约数，除数可能是1，2，4，8，16其中不能整除100和84的有8和16所以除数是8或者16．答：这个除数可能是8或16．点评：解答此题的关键是理解同余定理，求出两个数之差的公因数，进⽽解决问题．3．20080808除以9的余数是1807280；除以25的余数是8；除以8和11没有余数．【解析】试题分析：根据在有余数的除法中，“被除数=商×除数+余数”解答即可．解：20080808÷9=2231200 (1807280)20080808÷8=251010120080808÷25=803232 (8)20080808÷11=1825528答：20080808除以9的余数是1807280；除以25的余数是8；除以8和11没有余数．点评：解答此题根据被除数、除数、商和余数四个量之间的关系进⾏解答即可．4．打球盘数最多的运动员是126号，打了5盘．【解析】试题分析：能被3整除的条件是：这个整数的各位数字和是3的整数倍；如15，1+6=6，6=3×2，所以15能被3整除；再如19，1+9=10，10÷3=3…1，则19不能被3整除，19÷3=6…1，通过此题说明了⼀个问题：数字和除以3余数是⼏，则这个数字除以3就余数是⼏；此题从101、126、173、193中任意选出2个数有6种，求和，除以3，再看和的数字除以3余数是⼏，再分别求出每个运动员打球的盘数，即可得解．解：101+126=227，2+2+7=11，11÷3=3…2；101+173=274，2+7+4=13，13÷3=4…1；101+193=294，2+9+4=15，15÷3=5；126+173=299，2+9+9=20，20÷3=6…2；126+193=319，3+1+9=13，13÷3=4…1；173+193=366，3+6+6=15，15÷3=5；101号运动员打球的盘数为：2+1+0=3（盘），126好运动员打球的盘数为：2+2+1=5，1 / 13173号运动员打球的盘数为：1+2+0=3（盘），193号运动员打球的盘数为：0+1+0=1（盘），答：打球盘数最多的运动员是126号，打了5盘．点评：完成本题关键是根据题意，得出每个运动员打球的盘数，然后得出答案．5．16个零件.【解析】试题分析：⽤每⼈每天可以⽣产的零件个数乘以⼈数，乘以天数得到零件的总个数，⽤零件的总个数除以每包的个数，得到的商是包数，余数是剩下的零件个数，最后⼀包有的零件个数．解：300×128×23÷17=38400×23÷17=883200÷17=51952（包）…16（个）答：最后⼀包有16个零件．点评：本题关键弄清得到商表⽰量是什么，得到的余数表⽰什么量．6．（1）4；（2）4；（3）2.【解析】试题分析：（1）分别求出23、24、25、26…除以7的余数，总结出规律，然后判断出所求的余数是多少即可；（2）⾸先根据1414=（11+3）14，可得1414除以11同余314除以11；然后分别求出33、34、35、36…除以11的余数，总结出规律，然后判断出所求的余数是多少即可；（3）⾸先根据28121=（13×2+2）121，所以28121除以13同余2121，然后分别求出24、25、26、27…除以13的余数，总结出规律，然后判断出所求的余数是多少即可．解：（1）因为23÷7=1…1，24÷7=2…2，25÷7=4…4，26÷7=9…1，…所以从23开始，除以7的余数分别是1、2、4、1、2、4…，每3个⼀循环，分别是1、2、4，因为（20﹣2）÷3=6，所以220除以7的余数是4；（2）根据1414=（11+3）14，可得1414除以11同余314除以11，因为33÷11=2…5，34÷11=7…4，35÷11=22…1，36÷11=66…3，37÷11=198…9，38÷11=596…5，…所以从33开始，除以11的余数分别是5、4、1、3、9、5…，每5个⼀循环，分别是5、4、1、3、9，因为（14﹣2）÷5=2…2，所以1414除以11的余数是4；（3）根据28121=（13×2+2）121，所以28121除以13同余2121，因为24÷13=1…3，25÷13=2…6，26÷13=4…12，27÷13=9…11，28÷13=19…9，29÷13=39…5，210÷13=78…10，211÷13=157…7，212÷13=315…1，213÷13=630…2，214÷13=1260…4，215÷13=2520…8，216÷13=5041…3，所以从24开始，除以13的余数分别是3、6、12、11、9、5、10、7、1、2、4、8、3…，每12个⼀循环，分别是3、6、12、11、9、5、10、7、1、2、4、8，因为（121﹣3）÷12=9…10，所以28121除以13的余数是2．点评：此题主要考查了带余除法的性质的应⽤，以及同余定理的应⽤．7．2.【解析】试题分析：被5整除的数的特点是个位数字是0和5，所以只要看个位数字，即可，余数只能是0、1、2、3、4中的⼀个．解：乘积的个位数字分别是8，4，2，6，8，4，2，6，8，4；所以8+8×8+8×8×8+…+8×8×8×8…×8（10个8）的个位数字和是：8+4+2+6+8+4+2+6+8+4=52，所以8+8×8+8×8×8+…+8×8×8×8…×8（10个8）的个位数字是2，2即为余数；答：除以5的余数是2．点评：解决此题的关键是理解被5整除的特征．8．437.【解析】试题分析：因为这个数除以21，除以20都余17，要求这个数最⼩是多少，就是⽤20、21的最⼩公倍数加上17即可．解：21和20的最⼩公倍数是21×20=420420+17=437所以这个数最⼩是437．答：这个数最⼩是437．点评：此题考查了带余除法，根据题⽬特点，先求2个数的最⼩公倍数，然后加上余数，解决问题．9．5.【解析】试题分析：利⽤带余数的除法运算性质，将这个数看成A+B，A为可以被12整除的部分，B 则为除以12的余数，得出A可以被3或4整除，再结合已知这个数除以3余2，除以4余1，得出B也相同，归纳出符合要求的只有5．解：将这个数看成A+B，A为可以被12整除的部分，B则为除以12的余数．A可以被12整除，则也可以被3或4整除．因为这个数“除以3余2，除以4余1”，所以B也是“除以3余2，除以4余1”，⼜因为B是⼤于等于1⽽⼩于等于11，在这个区间内，只有5是符合的．答：这个数除以12余数是5．点评：此题主要考查了带余数的除法运算，假设出这个数，分析得出符合要求的数据．10．141.【解析】试题分析：由题意知，⼀共有多少名⼩朋友，也就是求11和13的最⼩倍数，由此解答问题．解：因为9=11﹣2，11=13﹣2，所以只要再多2个⼈，⼈数就是11与13的公倍数，11与13的公倍数为143，所以共有143﹣2=141⼈，符合题意；⽽143×2＞100，不符合题意．答：共有141⼈．点评：此题主要把实际问题转化为求最⼩倍数的数学问题，解决数学问题，回到实际问题，这是数学中常⽤的⼀种⽅法．11．95.3 / 13【解析】试题分析：因为1111﹣66=1045，1045=5×11×19，所以两位因数有：11，19，55，95；⼜因为余数⼩于除数，但是11，19，55＜66，所以只有95符合题意，即这个两位数是95，此时1111÷95=11…66．解：因为1111﹣66=1045，1045=5×11×19，所以两位因数有：11，19，55，95；∵余数⼩于除数，但是11，19，55＜66，∴只有95符合题意，即这个两位数是95，此时1111÷95=11…66．答：这个两位数是95．点评：此题主要考查了带余除法的性质的应⽤，解答此题的关键是求出1111与66的差，进⽽将其分解质因数．12．（1）除以4和125的余数分别是1和46．（2）除以9和11的余数分别是3和5．【解析】试题分析：（1）421被4除后余数是1，放到下⼀个421，得到1421，除以4，余数仍然是1，再放到下⼀个421⾥，⼜得到1421，余数还是1，依此类推，⽆论多少个421，余数都是1．同理421除以125余数是46，放到下⼀个421中，得到46421，除以125，余数仍然是46，以此类推，⽆论多少个421，余数都是46．（2）被9整除的数的特点是数字和是9的倍数，所以9个808⼀定被9整除，18个808同样被9整除，还有3个808，数字和是（8+8）×3=48，48÷9=5…3，所以余数是3；⼀个808除以11余数是5，与下⼀个808得到5808，除以11，结果余数是0，所以每两个808可以被整除11，则20个808被11整除，只要看最后⼀个808除以11余数为⼏，即可得解．解：（1）421÷4=105 (1)1421÷4=355 (1)再放到下⼀个421⾥，⼜得到1421，余数还是1，依此类推，⽆论多少个421，余数都是1．421÷125=3 (46)46421÷125=371 (46)放到下⼀个421中，得到46421，除以125，余数仍然是46，以此类推，⽆论多少个421，余数都是46．答：除以4和125的余数分别是1和46．（2）被9整除的数的特点是数字和是9的倍数，所以9个808⼀定被9整除，18个808同样被9整除，还有3个808，数字和是（8+8）×3=48，48÷9=5…3，所以余数是3；808÷11=73 (5)5808÷11=528⼀个808除以11余数是5，与下⼀个808得到5808，除以11，结果余数是0，所以每两个808可以被整除11，则20个808被11整除，只要看最后⼀个808除以11余数为5．答：除以9和11的余数分别是3和5．点评：完成本题要根据余数的不同分别讨论解决．13．15个零件【解析】试题分析：⽤每天⽣产的零件个数乘以天数得到零件的总个数，⽤零件的总个数除以每包的个数，得到的商是包数，余数是剩下的零件个数就是最后⼀包有的零件个数．解：1234×365÷19=450410÷19=23705（包）…15（个）答：最后⼀包有15个零件．点评：本题关键弄清得到商表⽰量是什么，得到的余数表⽰什么量．14．7.【解析】试题分析：除去第⼀个2外，其余的每4个2相乘都有个位数字是4、8、6、2的循环出现，故⽤（67﹣1）除以4，得出是16组余2，所以个位数字是8，最终确定⾃然数的个位数字是7．解：除去第⼀个2外，其余的每4个2相乘都有个位数字是4、8、6、2的循环出现，为⼀组；（67﹣1）÷4=16（组）…2（个）；所以67个2相乘的个位数字是8，则⾃然数的个位数字是 8﹣1=7．故答案为：7．点评：此题考查乘法中的巧算，关键是找出2连乘时积的变化规律，再进⼀步求得解．15．1.【解析】试题分析：12007的个位数是1，22007的个位数是8，32007的个位数是7，42007的个位数是4，52007的个位数是5，62007的个位数是6，72007的个位数是3，82007的个位数是2，92007的个位数是9，102007的个位数是0，112007的个位数是1…，每10个数⼀循环，依次为1，8，7，4，5，6，3，2，9，0；1+8+7+4+5+6+3+2+9+0=45，2006÷10=200…6，所以算式12007+22007+32007+…+20062007计算结果的个位数同算式200×45+1+8+7+4+5+6=931的个位数相同，即它的个位数是1，据此解答即可．解：12007的个位数是1，22007的个位数是8，32007的个位数是7，42007的个位数是4，52007的个位数是5，62007的个位数是6，72007的个位数是3，82007的个位数是2，92007的个位数是9，102007的个位数是0，112007的个位数是1…，每10个数⼀循环，依次为1，8，7，4，5，6，3，2，9，0；因为1+8+7+4+5+6+3+2+9+0=45，2006÷10=200…6，所以算式12007+22007+32007+…+20062007计算结果的个位数同算式200×45+1+8+7+4+5+6=931的个位数相同，即它的个位数是1．点评：此题主要考查了乘积的个位数问题的应⽤，解答此题的关键是判断出：12007、22007、32007、…的个位数依次为1，8，7，4，5，6，3，2，9，0，每10个数⼀循环．16．9.【解析】试题分析：⼀个⾃然数除以49余23，除以48也余23，则这个⾃然数是49和48的最⼩公倍数加23，因为48和49互质，所以这个数是49×48+23，然后除以14，49×48÷14=7×24整除，只要看23除以14的余数，即可得解．解：23÷14=1 (9)答：这个⾃然数被14除的余数是9．5 / 13点评：关键是明⽩这个⾃然数是49×48+23，49×48能被14整除．17．237.【解析】试题分析：设这个⾃然数为x，根据这个⾃然数除以19余9，除以23余7，列出⽅程，求解即可．解：设这个⾃然数为x，根据题意，可得x=19m+9=23n+7（m、n都是⾃然数），整理得：x﹣7=19m+2=23n，因为23×10=19×12+2，所以x﹣7=230，解得x=237，即这个⾃然数最⼩是237．答：这个⾃然数最⼩是237．点评：此题主要考查了有余数的除法各部分之间的关系的应⽤．18．419只.【解析】试题分析：求3、5、7的最⼩公倍数，进⼀步找出⽐400多⼀些的公倍数，⽤这个公倍数减去1即可得到答案．解：3、5、7这三个数两两互质，所以它们的最⼩公倍数是这三个数的乘积，3×5×7=105105×2=210105×3=315105×4=420420﹣1=419答：刘叔叔⼀共养了419只兔⼦．点评：本题关键理解好“每3只兔⼦关在⼀个笼⼦⾥，那么最后⼀个笼⼦⾥有2只”可以理解为“每3只兔⼦关在⼀个笼⼦⾥，那么最后⼀个笼⼦⾥少1只”由此理解后⾯的内容，即求出3，5，7的公倍数减去1即可得到答案．19．90.【解析】试题分析：6个123除以99刚好整除，这样求出123⾥有多少个6，余数是⼏，就看⼏个123并列除以99的余数，即可得解．解：123123123123123123÷99=1243667910334577每6个整除1次，123÷6=20 (3)前120个123并列能整除99，123123123÷99=1243667 (90)答：123个123并列除以99的余数是90．点评：找到⼏个123并列可以被99整除，是解决此题的关键．20．20.【解析】试题分析：求出苹果、梨、橘⼦的总个数，然后⽤⽔果的总个数减去25即可得到剩下的⽔果的总数，然后把⽔果的总个数分解质因式，确定出学⽣的⼈数，然后进⼀步求出剩下⽔果的个数，进⼀步确定剩下个数最多的⽔果．解：63+90+130﹣25=258258=2×3×43由此可知学⽣的⼈数是43⼈，余下的苹果的个数：63﹣1×43=20（个）余下橘⼦的个数：90﹣2×43=4（个）余下梨的个数：130﹣3×43=1（个）20＞4＞1所以余下的苹果最多，剩下20个．答：剩下个数最多的⽔果剩下20个．点评：本题关键求出发给的学⽣的⼈数，然后确定出余下⽔果最多的是那种⽔果．21．19.【解析】试题分析：a，b数被⼀个数d去除，有相同的余数，那么d可以整除（a﹣b），由此找出300与262的差，以及262与205的差，它们的⾮1的公约数就是要求的数．解：这个数除300、262，得到相同的余数，所以这个数整除300﹣262=38，同理，这个数整除262﹣205=57，因此，它是38、57的公约数19．点评：本题利⽤同余定理的性质，得出要求的数是被除数两两之间差的公约数，从⽽得解．22．17.【解析】试题分析：假设这个数是a，61除以a余数是2c；90除以a余数是c，则180除以a的余数就是2c；那么两个等式左右相减，余数被减去了，即得到的被除数能被a整除，所以只要把180减去61，分解质因数，即可得解．解：假设这个数是a，61除以a余数是2c；90除以a余数是c，则：61÷a=b…2c90×2÷a=d…2c则90×2﹣61=119=17×7因为61÷17=3 (10)90÷17=5 (5)10=5×2符合题意；答：这个数为17．点评：解决此题的关键是理解90的2倍减去61就是所求的数的整数倍，从⽽转化为求90×2﹣61的因数．23．4.【解析】试题分析：被11整除的数，奇数位和与偶数位和的差能被11整除，因此可以先求出此数奇数位上的和以及偶数位上的和．解：在此数前补⼀位0不影响．即01 23 45 ...67 89 10 11 (99)如上每两位⼀段．易知，被11整除的数，奇数位和，与偶数位和的差，能被11整除．则上数，从10往后，偶数位上，数字1到9均出现10次．奇数位上，0到9出现9次．因此奇数位和=（0+1+2+3…+9）×9+（1+3+5+7+9）=45×9+25偶数位和=（1+2+3…+9）×10+（0+2+4+6+8）=45×10+20则他们的差，偶﹣奇7 / 13=45×10+20﹣45×9﹣25=45﹣5=40 不能被11整除，⽽要是调整奇数位的最后⼀位（99的个位9），减少4的话．这个差将被11整除．意味着01 23 45 …95 能被11整除，则原数被11除余4．答：这个多位数除以11的余数是4．点评：解决此题的关键是理解被11整除的数，奇数位和与偶数位和的差能被11整除．24．00.【解析】试题分析：要求算式计算结果的末两位数字是多少，只要求出的和除以100的余数，即为其末两位数字，据此解答即可．解：7除以100的余数为7，7×7除以100的余数为49，7×7×7除以100的余数为43，7×7×7×7除以100的余数等于43×7除以100的余数为1；⽽7×7×7×7×7除以100的余数等于7，…则7+7×7+…+7×7×…除以100所得的余数，4个数⼀循环，依次为7，49，43，1，因为2008÷4=502，所以算式计算结果除以100的余数同余502×（7+49+43+1）=50200，⼜因为50200除以100余数为0，所以算式计计算结果的末两位数字是00．点评：此题主要考查了乘积的个位数问题的应⽤，解答此题的关键是分析出：7+7×7+…+7×7×…除以100所得的余数，4个数⼀循环，依次为7，49，43，1．25．75.【解析】试题分析：因为是奇数相乘，有下⾯这个规律：25（2n+1）（2n+3）=100n2+200n+75（25经过相邻的两个奇数相乘后变成75），75（2n+1）（2n+3）=300n2+600n+225（75经过相邻的两个奇数相乘后变成25），这个规律是从15开始的，也就是当n＞2时，（8n+1）！和（8n﹣1）！最后两位是25，（8n+3）!和（8n+5）!最后两位是75；⼜因为2013=251×8+5，所以计算结果的末两位数字是75．解：因为是奇数相乘，有下⾯这个规律：25（2n+1）（2n+3）=100n2+200n+75（25经过相邻的两个奇数相乘后变成75），75（2n+1）（2n+3）=300n2+600n+225（75经过相邻的两个奇数相乘后变成25），这个规律是从15开始的，也就是当n＞2时，（8n+1）！和（8n﹣1）！最后两位是25，（8n+3）!和（8n+5）!最后两位是75；⼜因为2013=251×8+5，所以计算结果的末两位数字是75．答：算式1×3×5×7×…×2007计算结果的末两位数字是75．点评：此题主要考查了乘积的个位数问题的应⽤，解答此题的关键是分析出：当n＞2时，（8n+1）！和（8n﹣1）！最后两位是25，（8n+3）!和（8n+5）!最后两位是75．26．5039根．【解析】试题分析：根据10根⼀包，最后还剩9根，9根⼀包，最后还剩8根，分别以8、7、6、5根为⼀包，最后也分别剩7、6、5、4根，可以推知此数加上1就是8、7、6、5的公倍数，再求出8、7、6、5的公倍数减去1得解．解：这个数+1=8、7、6、5的公倍数8、7、6、5的最⼩公倍数为：2×4×7×3×5=840满⾜5000多这个条件的公倍数是840×6=5040⽛签的数量就是5040﹣1=5039（根）答：原来⼀共有⽛签 5039根．点评：解决此题关键在于求出符合条件（5000多）的8、7、6、5的公倍数，再⽤它减去1即可．27．160.【解析】试题分析：17，19和21这三个数都是奇数，且相邻的两个数都相差2，所以它们的最⼩公倍数仍然是⼀个奇数，这个最⼩公倍数分别加上5、7、9所得到的和都是偶数，且相邻的两个数仍然相差2，我们把这三个和分别除以2，就可以得到⼀组符合题⽬要求的连续⾃然数．5、7、9最⼩公倍数是5×7×9=315，315+5=320能被5整除，315+7=322能被7整除，315+9=24能被9整除，所以320，322，324分别能被5、7、9整除，这三个数都是偶数，且都相差2，把这三个数分别除以2，得到160，161，162，它们也⼀定能分别被5、7、9整除，⼜因为160⼩于最⼩公倍数315，所以160，161，162是符合题⽬要求的最⼩的⼀组，因此这三个连续⾃然数中最⼩的那个数最⼩是160．解：5、7、9最⼩公倍数是5×7×9=315，315+5=320能被5整除，315+7=322能被7整除，315+9=24能被9整除，所以320，322，324分别能被5、7、9整除，这三个数都是偶数，且都相差2，把这三个数分别除以2，得到160，161，162，它们也⼀定能分别被5、7、9整除，⼜因为160⼩于最⼩公倍数315，所以160，161，162是符合题⽬要求的最⼩的⼀组，因此这三个连续⾃然数中最⼩的那个数最⼩是160．点评：完成此题是在了解5、7和9这⼀组数的基础上求出最⼩公倍数，然后⽤最⼩公倍数分别加上5、7、9所得到的和都是偶数，且相邻的两个数仍然相差2，我们把这三个和分别除以2，就可以得到⼀组符合题⽬要求的连续⾃然数，从⽽求出三个连续⾃然数中最⼩的那个数．28．三位数285、636除以7、11、13的余数之和最⼤．【解析】试题分析：根据题意，要使余数之和最⼤，三个余数只能分别为 6、10、12，那么这个三位数加上1就能同时被7、11、13整除，所以所求的三位数为7、11、13的公倍数减去1，则它最⼩是：7×11×13﹣1=1000，它是⼀个四位数，不符合题意，因此，余数之和最⼤时，三个余数分别为 5、10、12 或6、9、12或6、10、11；然后分类讨论，求出满⾜题意的三位数即可．解：根据题意，要使余数之和最⼤，三个余数只能分别为 6、10、12，那么这个三位数加上1就能同时被7、11、13整除，9 / 13所以所求的三位数为7、11、13的公倍数减去1，则它最⼩是：7×11×13﹣1=1000，它是⼀个四位数，不符合题意，因此，余数之和最⼤时，三个余数分别为 5、10、12 或6、9、12或6、10、11；（1）当三个余数分别为5、10、12时，则这个数加1后能被11、13整除，且它被7除后余5，所以所求的三位数为：11×13k﹣1，它被7除的余数为：3k﹣1=5，解得k=2，所以这个三位数是：11×13×2﹣1=285；（2）当三个余数分别为6、9、12时，则这个数加1后能被7、13 整除，且它被11除后余9，所以所求的三位数为：7×13k﹣1，它被11除的余数为3k﹣1=9+11，解得k=7，所以这个三位数是：7×13×7﹣1=636；（3）当三个余数分别为6、10、11，则这个数加1后能被 7、11整除，且它被13除后余11，所以所求的三位数为：7×11k﹣1，它被13除的余数为：12k﹣1=11，解得k=1，所以这个数是：7×11﹣1=76，它是⼀个两位数，不符合题意；综上，三位数285、636除以7、11、13的余数之和最⼤．点评：此题主要考查了最⼤与最⼩问题的应⽤，考查了分类讨论思想的应⽤，解答此题的关键是判断出余数和最⼤的情况．29．5140．【解析】试题分析：21!=21×20×19×…×15×14×…×11×10×9×8×…5×4×…×1；通过21!分解后的数字，根据数的整除的特点解答即可．解：21!=21×20×19×...×15×14×...×11×10×9×8×...5×4× (1)显然21!末尾有4个0，故D=0；⼜21!含有质因⼦2的个数超过7个，所以去掉末尾4个0后，得到的新数后三位是8的倍数，即94C是8的倍数，可得C=4；由于21!能被9整除，所以各位数字之和能被9整除，可得A+B=6或15；由于21!能被11整除，所以奇数位数字和与偶数位数字之差能被11整除，可得：A﹣B=4或B﹣A=7；由于A+B与A﹣B奇偶性相同，所以有：或；解得：或显然只有符合题意．所以四位数是5140．答：四位数是5140．点评：解答本题的关键是灵活运⽤数的整除的特点．30．15.【解析】试题分析：因为2n﹣n是3的倍数，3n﹣n是5的倍数，5n﹣n是2的倍数，所以n是3的倍数，2n是5的倍数，4n是2的倍数，⼜因为2n是5的倍数，所以n的个位是0或5；然后分类讨论，求出n中最⼩的是多少即可．解：因为2n﹣n是3的倍数，3n﹣n是5的倍数，5n﹣n是2的倍数，所以n是3的倍数，2n是5的倍数，4n是2的倍数，因为2n是5的倍数，所以n的个位是0或5；（1）当n的个位是0时，它是3的倍数，所以n最⼩是30；（2）当n的个位是5时，它是3的倍数，所以n最⼩是15；综上，可得n中最⼩的是15．答：n中最⼩的是15．点评：此题主要考查了最⼤与最⼩问题的应⽤，解答此题的关键是熟练掌握是2、3、5的倍数的特征．11 / 13。